Образцы базовых задач по ЛА

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Образцы базовых задач по ЛА"

Транскрипт

1 Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6 x + x, x 6 x 6 x 6 8, x 6 x 8 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6 x 6 y + z 9, 9 x 6 y 6 z 6, 6 x + y 6 6 z 6 Определённые системы линейных уравнений в матричной форме Решите методом Гаусса систему линейных уравнений, записанную в матричной форме: 6 x 6 6 y 6 Решите методом Гаусса систему линейных уравнений, записанную в матричной форме: x x x Решите методом Гаусса систему линейных уравнений, записанную в матричной форме: x y z 6 6 Общие и базисные решения систем линейных уравнений (с указанием) Найдите общее и базисное решения системы уравнений: 6 x + 9 x 6 x, 6 x + 8 x + x, 6 x + x + x,

2 выбрав в качестве базисных переменных x и x Линейные пространства Линейная зависимость и линейная независимость системы арифметических векторов 8 Найдите базис системы векторов Ne (6 9 ; ; ), Ne ( ; 6 ; 6 ), Ne ( ; ; ) 9 Найдите базис системы векторов Ne Ne (6,, ) (, 6 9, 6 9 ), Ne (, 6, 6 ), Ранг системы арифметических векторов Найдите ранг системы арифметических векторов Ne Ne ( ; 6 ; ) Ne Найдите ранг системы арифметических векторов Ne ( ; ; 6 ), Ne ( ; 6 ; 6 ) Найдите ранг системы арифметических векторов Ne Ne (8 ; ; ) ( 6 ; 6 ; 8 ), Ne ( ; 6 9 ; 6 ), ( ; ; 6 ), Ne (6 ; 6 ; ), (6 ; 6 ; ), Ne ( ; 6 ; 6 ), Операции над векторами Найдите арифметический вектор N v, удовлетволяющий уравнению (v N 6 N a ) + (v N 6 N b ) + (v N 6 N c ), если N a (6 ; ; 6 ), N b (6 ; ; 6 ), N c (6 ; 6 ; ) Скалярное произведение Найдите длину вектора N v Ne 6 Ne 6 Ne, где Ne, Ne, Ne ортонормированный базис Выясните, какой из векторов N v Ne + Ne + Ne и N w 6Ne 6 Ne + Ne короче? Здесь Ne, Ne, Ne ортонормированный базис В ответе укажите длину более короткого вектора 6 Найдите длину вектора N v Na 6 N b, если N a (6 ; ; ), N b (6 ; 6 ; ) Координаты векторов даны в ортонормированном базисе Вычислите скалярное произведение векторов N v Ne где Ne, Ne, Ne ортонормированный базис + Ne 6 Ne и N w 6Ne 6 Ne 8 Вычислите скалярное произведение векторов N v и N w, если известно, что N v, N w и угол между векторами N v и N w равен 9 Найдите косинус угла между векторами N v (6 ; 6 ; ) и N w (6 ; 6 6 ; ) Координаты векторов даны в ортонормированном базисе Выясните, угол между векторами N v Ne 6 Ne прямой, тупой или эти векторы коллинеарны? Здесь e базис + Ne и N w Ne N, Ne, e + Ne 6 Ne острый, N ортонормированный + Ne, Вычислите N a + N b, если известно, что N a, N b и c o s между векторами N a и N b 6, где угол Даны вектора N a (6 ; ; 6 ), N b ( ; ; ), N c (6 ; ; ) Вычислите c N b 6 Nc + (a N, N b ) (a N, N c ) Координаты векторов даны в ортонормированном базисе

3 Разложение вектора по базису Разложите вектор N v ( ; 6 ) по базису Ne (6 ; 8 ), Ne (6 ; 6 ) Разложение вектора по ортогональному базису Является ли базис Ne, Ne 6 ортогональным? Если да, то разложите 6 вектор N v по этому базису Координаты векторов даны в ортонормированном базисе Является ли базис Ne вектор N v базисе 6, Ne ортогональным? Если да, то разложите 6 по этому базису Координаты векторов даны в ортонормированном 6 6 Дополните вектор Ne (6 ; 6 ) до ортогонального базиса вектором вида Ne (x ; y ) так, чтобы Ne > и x >, и разложите вектор N v (8 ; 6 ) по этому базису Координаты векторов даны в ортонормированном базисе Матрицы Однородные системы уравнений Найдите фундаментальный набор решений (ФНР) и размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений 6 6 x + x + 6 x 6 x x 6 6 x 6 x + 8 x x 6 x 6 8 x + x 8 Найдите фундаментальный набор решений (ФНР) и размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений x 6 9 x 6 x 6 x 6 x + x x 6 x + x Нахождение ранга матрицы 9 Найдите ранг матрицы Найдите ранг матрицы 6 6

4 6 9 Найдите ранг матрицы Найдите ранг матрицы Транспонирование матриц Транспонируйте матрицу Умножение матриц Вычислите произведение Вычислите произведение Вычислите A + B C T, если A 6, B 6 и C Вычислите B A + A B, если A 6 6 и B Вычислите произведение Вычислите произведение Вычислите произведение

5 Вычислите произведение Определитель Определитель матрицы Вычислите определитель матрицы A Вычислите определитель Вычислите определитель матрицы A Задачи на определители Вычислите определитель матрицы A 6, если A Однородные системы уравнений 6 Выясните, имеет ли данная однородная система 6 8 x + 8 x 6 8 x + x 6 x 6 x + 9 x 6 x 6 x 6 x 6 x + x 6 x + x + x ненулевые решения? Ответ поясните Используя теорию определителей, выясните, имеет ли данная однородная система x + x + 8 x x 6 x 6 x x 6 x 6 x ненулевые решения? Ответ поясните 8 Используя теорию определителей, выясните, имеет ли данная однородная система x 6 x 6 x 6 x + x + x 6 6 x 6 x + 8 x ненулевые решения? Ответ поясните Обратная матрица

6 Формулы Крамера 9 Решите систему уравнений с помощью формул Крамера Вычисление обратной матрицы 6 6 x + y 6, x 6 y 8 Вычислите матрицу, обратную к матрице A Вычислите матрицу, обратную к матрице A Решение матричных уравнений 6 Решите матричное уравнение 6 9 X Решите матричное уравнение X Комплексные числа и многочлены Многочлены и рациональные функции Найдите целые действительные корни многочлена x 6 6 x 6 8 x + 6 В дроби 6 x + 8 x 6 x 6 x 6 Вычисления 6 Вычислите выражение i + 6 i6 выделите целую часть и представьте результат в виде a + b i Вычислите выражение (6 + 6 i)(6 + i) и представьте результат в виде a + b i 6 i Модуль и аргумент комплексного числа 8 Вычислите модуль и аргумент числа z 6 6 i z 9 Пусть u c o s 6 u + i s i n 6, v c o s + i s i n Значение аргумента укажите на отрезке [, ] 9v 6 Пусть u c o s 6 + i s i n 6, v c o s + i s i n z u 9 6 v 8 Значение аргумента укажите на отрезке [, ] 6 Приведите число z > 6 i к тригонометрическому виду Найдите модуль и аргумент Найдите модуль и аргумент

7 Уравнения 6 Найдите комплексные корни уравнения x 6 x Составьте квадратное уравнение с действительными коэффициентами, одним из корней которого является число z 6 + i Сколько существует таких уравнений? Линейные операторы Матрица линейного оператора Значение оператора на векторе f 6 Составьте матрицу линейного оператора f, если известно, что x x 6 8 x 6 x 6 x 6 x 6 Составьте матрицу линейного оператора f, если известно, что f x x x 6 x 6 x 8 x 66 Составьте матрицу линейного оператора f, если известно, что f (e N ) Ne 6 8Ne, f (e N ) 6 Ne 6 Ne 6 Найдите значение линейного оператора f на векторе N v 6 Ne этого оператора в базисе Ne, Ne имеет вид: A Ne, если матрица 6 68 Найдите значение линейного оператора f на векторе N v, если матрица этого оператора имеет вид: A Пересчёт координат вектора при замене базиса 69 Найдите матрицу перехода P e f от базиса N e (6, 6 ), N e (6, 6 ) к базису N f (6, 6 ), N f (, ) Собственные вектора и собственные значения Размерность два Найдите собственные значения матрицы A Найдите собственные значения матрицы A Найдите собственные значения матрицы A

8 Найдите собственные значения матрицы A, если A Найдите комплексные собственные значения матрицы A 6 Найдите собственные вектора матрицы A значения 6 и 6 6 6, если даны её собственные 6 Размерность три 6 Найдите собственные значения матрицы 6 6 Квадратичные формы Матрица квадратичной формы Составьте матрицу квадратичной формы c (x, x, x ) x 6 x x + x x + 6 x + 8 x x 6 x Составьте квадратичную форму, матрица которой имеет вид Метод Лагранжа 9 Методом Лагранжа приведите квадратичную форму c (x, x ) 9 x x x + x к нормальному виду и укажите пример соответствующего преобразования координат Знакоопределённые квадратичные формы 8 C помощью критерия Сильвестра выясните, является ли квадратичная форма c (x, x ) x 6 x x 6 x положительно определённой, отрицательно определённой или не знакоопределённой Канонический вид квадратичной формы 8 Найдите канонический вид квадратичной формы c (x, x ) 6 x + x 6 x x, к которому её можно привести с помощью подходящего ортогонального преобразования координат Аналитическая геометрия (размерность ) Уравнение прямой 8 Напишите общее уравнение прямой x + y + 8 Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точки A ( ; ) и B ( ; ) 8 Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A ( ; 6 ) и

9 B ( ) Прямая, перпендикулярная другой прямой 8 Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A (6 ; 6 8 ) и перпендикулярной прямой x 6 y Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A (6 ; 6 ) и перпендикулярной прямой x 6 y Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку A ( ; ) и перпендикулярной прямой x 6 y 6 88 Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку A ( 6 ; 6 ) и перпендикулярной прямой x 6 y + 9 Прямая, параллельная другой прямой 89 Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку A ( ; 6 ) и параллельной прямой 8 x 6 y Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A (6 ; ) и параллельной прямой x + y Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A ( ; ) и параллельной прямой x y + Точка пересечения прямых 9 Найдите точку пересечения прямых x 6 y 6 8 и x 6 y + 9 Найдите точку пересечения прямых x 6 8 y + и x + y Найдите точку пересечения прямых x + y 6 и x 6 6 y 6 Задачи на расстояния, проекции, симметричные точки 9 Найдите расстояние между точкой A (6 ; 6 8 ) и прямой x 6 y + 96 Найдите расстояние между точкой A ( ; ) и прямой x + y 6 Углы между прямыми 9 Найдите угол между прямыми x 6 y + и x 6 y 6 98 Найдите угол между прямыми x + 6 y 6 и 9 x + y + 99 Найдите угол между прямыми x 6 y 6 и x 6 6 y +

10 Аналитическая геометрия Уравнение прямой Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A (6 ; 6 ; ; ; ) и B ( ; ; ; 6 ; 6 ) Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A ( ; ; ; ) и параллельной прямой x + y 6 z6 9 t + Задачи на расстояния, проекции, симметричные точки, перпендикуляры Найдите расстояние между точкой A (6 ; ; 6 ) и осью координат O z Уравнение плоскости Напишите каноническое уравнение прямой, перпендикулярной плоскости 6 x + y + z + 9 и проходящей через точку A (6 ; 6 ; 6 ) Напишите каноническое уравнение прямой, перпендикулярной координатной плоскости O x y и проходящей через точку A (6 8 ; ; 6 ) Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через точку A (6 ; ; 6 6 ) и перпендикулярной прямой x y z + 6 Напишите общее уравнение плоскости, перпендикулярной координатной оси O x и проходящей через точку A ( ; ; ) Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через точки A ( ; ; ), B ( ; 6 6 ; ) и C ( ; ; ) 8 Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через точки A (6 ; 6 ; 8 ), B ( ; 6 ; 6 8 ), C (6 6 ; 6 8 ; ) 8 Углы между прямыми и плоскостями 9 Найдите угол между прямыми x + x x + x + и x 6 x x 6 x 6 Найдите угол между плоскостями x 6 y + z + 9 и 6 y + z + Найдите угол между прямой x + y + z + и плоскостью x 6 y + z6 Отрезки и лучи Найдите длину отрезка с концами в точках A ( ; 6 ; ) и B (6 ; ; ) Расстояние между точкой и плоскостью, проекция точки на плоскость и тд Найдите расстояние между точкой A ( ; ; ) и плоскостью x + y + 8 z6 Пересечение прямой и плоскости

11 Найдите точку пересечения прямой x 6 x + y + 6 z6 6 y z и плоскости Найдите точку пересечения прямой x 6 8 x 6 y + z6 y + z + 6 и плоскости Выпуклые множества Построение выпуклой оболочки системы точек 6 Перечислите по порядку все угловые точки выпуклой оболочки набора точек A (6, ), B (, ), C (, ), D (, 9 ) и E (, 8 ) Кривые второго порядка Упражнения Найдите координаты фокусов эллипса x + y 8 Найдите эксцентриситет эллипса x + y 9 Напишите каноническое уравнение эллипса с эксцентриситетом > и c расстоянием между фокусами 6> Найдите коодинаты фокусов гиперболы y Найдите эксцентриситет гиперболы y Найдите уравнение асимптот гиперболы x 6 x 6 x 6 y Напишите каноническое уравнение гиперболы с эксцентриситетом > и c 9 расстоянием между фокусами > Напишите каноническое уравнение гиперболы с асимптотами y ± расстоянием между фокусами > Найдите коодинаты фокуса параболы y 6 x x и с 6 Найдите уравнение директрисы параболы x y Найдите эксцентриситет параболы x y 8 Напишите каноническое уравнение параболы, у которой расстояние между фокусом и директрисой равно Виды кривых второго порядка

12 9 Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением: 9 x + 8 x + y + y + 9 Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением: x 6 8 x + 6 y + y + Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением: x 6 x 6 8 y + y + 9 Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением: 9 x + 8 x y 6 6 y + 9 Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением: 6 6 x + y 6 8 x 6 Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением: x 6 x + y + y + Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением: x 6 x 6 6 y 6 y + 6 Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением: x 6 x + Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением: y + y + 8 Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением: y + y + Ответы x, y 6 x, x 6, x x 6, y 6, z x, y x 6, x, x 6 6 x 6, y 6 6, z Если в качестве базисных переменных выбрать x, x то общее решение: x 6 + x, x 6 + x, x, ± ; базисное решение: x 6, x 6, x Если в качестве базисных переменных выбрать x, x то общее решение: x x, x + x, x, ± ; базисное решение: x 6 6, x, x Если в качестве базисных переменных выбрать x, x то общее решение: x, ±, x 6 + x, x + x ; базисное решение: x, x 6, x 8 В качестве базиса данной системы векторов можно взять Ne, Ne или Ne, Ne или Ne, Ne Можно заметить, что вектора системы удовлетворяют соотношнению Ne Ne + Ne 9 Это линейно независимая система векторов, так что она сама и будет своим базисом Ранг системы арифметических векторов равен Ранг системы арифметических векторов равен Ранг системы арифметических векторов равен N v 8 (6 ; ; 9 ) (6 ; ; ) Длина вектора N v равна > Первый вектор короче Его длина равна > 6 Длина вектора N v равна > > 9 c o s > c (6 6 ) (9 ) 6 8 N v 6 Ne 6 Ne N v 6 N v Ne + Ne + > > 6 Угол тупой 6 Ne Данный базис не является ортогональным 6 Ne (6 ; 6 ), 6 9 Ne Ne + Ne Размерность пространства решений равна если в

13 качестве базисной переменной взять x, то ФНР будет иметь вид: Nv ; ; ;, Nv 6 ; ; ;, Nv будет иметь вид: Nv 6 ; ; ; если в качестве базисной переменной взять x, то ФНР ; ; ;, Nv ; 6 ; ;, v N базисной переменной взять x, то ФНР будет иметь вид: Nv ; ; ; если в качестве ; ; 6 ;, Nv ; ; 6 ;, Nv ; ; 6 ; если в качестве базисной переменной взять x, то ФНР будет иметь вид: Nv ; ; ; 6, Nv ; ; ;, Nv ; ; ; 6 8 Размерность пространства решений равна если в качестве базисных переменных взять x, x, то ФНР будет иметь вид: Nv 6 ; 6 6 ; если в качестве базисных переменных взять x, x, то ФНР будет иметь вид: Nv 6 ; ; 6 6 если в качестве базисных переменных взять x, x, то ФНР будет иметь вид: Nv ; 6 ; 6 9 Ранг матрицы равен Ранг матрицы равен Ранг матрицы равен Ранг матрицы равен Имеет, 6 6 поскольку количество неизвестных превышает число уравнений Имеет, поскольку определитель матрицы, задающей эту систему, равен нулю 8 Не имеет, поскольку определитель матрицы, задающей эту систему, не равен нулю 9 R, R, R 6 ; x, y x + x + + z X 6 6 X x i i 8 z >, a r g(z ) 6 6, a r g(z ) 6 + k 6 6 z , a r g(z ) 6 z 6 c o s i s i n x, ± i 6 x + x + Таких уравнений существует бесконечное множество Каждое из них может быть получено из этого уравнения 9

14 умножением на ненулевой множитель 6 A A A 6 f (v N ) Ne + 9Ne 68 f (v N ) 69 6 P e f ; 6, 6 9, 6 6 ; 6 6, ± i 6, N v,, ±, e ; 6, N v,, ±, e 6 Характеристическое уравнение имеет вид: ;,, c (x, x, x ) 6 x + 6 x x 6 x x 6 9 x 6 6 x x 6 6 x 9 c (y, y ) y + y, y x + x, y x 8 R, R 6 Эта квадратичная форма не знакоопределённая 8 c (y, y ) y 6 y x 6 y x + y x + x + y x 6 y x + 8 x + 8 x + y y + 6 y x + y x y 6 9 Точка пересечения Q ( ; ) 9 Точка пересечения Q (6 ; 6 ) 9 Точка пересечения Q (6 ; ) a r c c o 6 s > > 8 > 6 8 a r c c o s 6 > a r c t g 6 98 a r c s i 6 n > 9 a r c s i n 6 > 6 a r c t g 6 99 a r c c o s > a r c c o s > 8 a r c c o s > a r c t g 9 x + y + z6 t6 r 6 x 6 y 6 z6 t > x + 6 x 6 y 6 y + + z + x + 8 y z x + 6 y + 8 z x 6 z 6 или x 6 y + 6 z6 8 x 6 y + 9 z 6 9 a r c c o 8 s > a r c c o s 8 > 8 6 a r c c o s > 6 a r c c o s > a r c c o s > a r c s i n > 8 a r c s i n > 9 a r c s i n > 9 > > A ( ; 6 ; ) Данная прямая лежит в данной плоскости 6 > 6 Угловыми точками выпуклой оболочки являются A (6, ), B (, ), C (, ), D (, 9 )

15 F, >, F, 6 > 8 > y ± > 6 9 x + y F, >, F, 6 x x 9 6 y 8 x 6 y F, 6 > y + 8 y x 9 Эллипс Это окружность, частный случай эллипса Мнимый эллипс Гипербола Парабола Мнимые пересекающиеся прямые Пересекающиеся прямые 6 Параллельные прямые Мнимые параллельные прямые 8 Совпадающие прямые


Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01 Ne Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в 04-0 уч году, Найдите вектор Ne (6 4 ; 6 8 ) и Ne ДЕМОвариант 0 (x ; y )(у которого Ne и x < 0) такой, чтобы система векторов (x ; y ) образовывала бы ортогональный

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x.

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x. Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы

Подробнее

Л.В. Липагина, Е.В. Маевский, П.В. Ягодовский. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ 1» (1 семестр)

Л.В. Липагина, Е.В. Маевский, П.В. Ягодовский. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ 1» (1 семестр) Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика-»

Подробнее

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ Кафедра «Математика и финансовые приложения» СВ Пчелинцев Вопросы и задачи по линейной алгебре для студентов всех специальностей Москва 6 ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ

Подробнее

Вопросы и задачи. оретические вопросы. 1. Дайте определение линейного пространства.

Вопросы и задачи. оретические вопросы. 1. Дайте определение линейного пространства. Вопросы и задачи оретические вопросы ормулировки 1. Дайте определение линейного пространства. 2. Дайте определение подпространства линейного пространства и сформулируйте критерий линейного подпространства.

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ Экзаменационный билет 1 по курсу: 1. Дать определение скалярного произведения векторов. Доказать свойства скалярного произведения. Вывести формулу скалярного произведения в ортонормированном базисе. Приложения

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Дисциплина «Алгебра и геометрия»

Дисциплина «Алгебра и геометрия» Методические материалы для преподавателей. Примерные планы лекционных занятий. Раздел «Алгебра: основные алгебраические структуры, линейные пространства и линейные отображения» Лекция 1 по теме «Комплексные

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8.

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: 16x 10x + 2x = 8, 40x + 25x 5x = 20. Ответ: Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 1 2 + 5 8 x 1 8 x, x, x R; базисное

Подробнее

Сборник контрольных заданий для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Линейная алгебра» Составитель: Ванин Ю. П.

Сборник контрольных заданий для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Линейная алгебра» Составитель: Ванин Ю. П. Автономная некоммерческая организация высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Новороссийский филиал (МГЭИ АНО ВПО НФ) Сборник контрольных заданий для студентов

Подробнее

. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости.

. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости. Тема. Комплексные числа и многочлены. Вычислить ( ) 0 + i. Вычислить ( ) 6 i i. Вычислить i + 70 00 i. Вычислить i 5. Вычислить 6. Вычислить 7i 7. Решить уравнение z + i 0 8. Решить уравнение z + 6 0 9.

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. 1.Векторная алгебра. Матрицы. Обратная матрица. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ-14-06. Вопросы к экзамену. 1. Определение вектора. Равенство векторов. Свободные вектора. Линейные

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. Компетенция ОК-10: способностью и готовностью к письменной и устной коммуникации на родном языке Знать: Уровень 1 Основные понятия

Подробнее

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Линейная алгебра»

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Линейная алгебра» Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Линейная алгебра» Направление 080100 Экономика для подготовки студентов бакалавров

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) 8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Финансовая академия при правительстве Российской Федерации (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Математика» ОБСУЖДЕНО Протокол

Подробнее

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством Определители Определитель второго порядка задается равенством Определитель третьего порядка задается равенством Свойства определителей Определитель равен нулю если он содержит две одинаковые или пропорциональные

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Б1.ДВ.2.1 Аналитическая геометрия Примерные тестовые задания Тест 1 ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления

Подробнее

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр План практических занятий по линейной алгебре1 семестр Занятие 1 Алгебра матриц 1 (±) 276 = 2 1 1 0 1 4, = 2 1 0 3 2 2 2 = 3 4, = 2 4 5 6 Найти A+B+AT +B T Найти 3A+2B 0 0 3 (±) =, = + 0 Доказать, что

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. ОК-7: способность к самоорганизации и самообразованию. Знать: Уровень 1 Основные определения курса аналитической геометрии и линейной

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Место дисциплины в структуре образовательной программы

Место дисциплины в структуре образовательной программы Место дисциплины в структуре образовательной программы Дисциплина «Алгебра и аналитическая геометрия» является дисциплиной модуля «Математика» Б1.Б.6 базовой части ОПОП по направлению подготовки 02.03.03

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» (ФН-1)

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» (ФН-1) Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» (ФН-1) КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН курса «Аналитическая геометрия» для студентов 1

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX»)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») 1 курс 1 семестр для групп ФН11, Э4, Э9, Э7, АК1,АК2, АК3, АК4, Знание: Физико-математические науки Направление науки: Математические

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Математико - механический факультет. Кафедра алгебры и дискретной математики. Алгебра и геометрия. Программа дисциплины (Стандарт ЕН.Ф.01.

Математико - механический факультет. Кафедра алгебры и дискретной математики. Алгебра и геометрия. Программа дисциплины (Стандарт ЕН.Ф.01. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» Математико - механический

Подробнее

R. Геометрический смысл

R. Геометрический смысл Рабочий учебно-тематический план изучения дисциплины «Линейная алгебра» для профиля «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 1 триместр, лектор -- профессор, д.ф.м.н. Тищенко А.В. Наименовани е Содержание

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Линейная алгебра» Направление Экономика

МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Линейная алгебра» Направление Экономика Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Линейная алгебра» Направление 080100 Экономика для подготовки студентов-бакалавров очного

Подробнее

Экзамен по аналитической геометрии 2009/2010 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников)

Экзамен по аналитической геометрии 2009/2010 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников) Экзамен по аналитической геометрии 2009/200 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников) Список вопросов к первой части экзамена Цель первой части экзамена проверка знания основных определений и формулировок

Подробнее

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (Пензенский филиал) Кафедра «Менеджмент, информатика и

Подробнее

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат.

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Матрицы, действия над ними.. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Свойства матричных операций.. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между ними, условия параллельности

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Критерии и показатели оценивания компетенций

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Критерии и показатели оценивания компетенций ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ Общие сведения 1. Кафедра Общих дисциплин 2. Направление подготовки 38.03.01 «Экономика» 3. Дисциплина (модуль) Б1.Б.8 Линейная алгебра Перечень компетенций - способностью осуществлять

Подробнее

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления Прикладная математика и информатика.

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления Прикладная математика и информатика. АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления 01.03.02 Прикладная математика и информатика. 1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины Алгебра и аналитическая

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» (приложение к рабочей программе)

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» (приложение к рабочей программе) Министерство сельского хозяйства РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшегообразования «Санкт-Петербургский государственный аграрный университет» ФГБОУ ВО СПбГАУ Кафедра

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности. Направление

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Список основных обозначений... 3 От авторов... 7

ОГЛАВЛЕНИЕ. Список основных обозначений... 3 От авторов... 7 ОГЛАВЛЕНИЕ Список основных обозначений..................... 3 От авторов................................ 7 Ч а с т ь I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Г л а в а 1. Преобразования матриц и системы линейных уравнений........................

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учреждение образования "Белорусский государственный экономический университет" УТВЕРЖДАЮ Ректор Учреждения образования "Белорусск v сударственный ~,..,.":нй университет" В.Н.Шимов ----...-:~'-1---- ~6'

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Xətti cəbr (Rus) ümumi imtahahn sualları

Xətti cəbr (Rus) ümumi imtahahn sualları Xətti ər Rus) üui ithhn sullrı Показать, что вектора ;;) ;; ) ; ;) образуют базис вектора и написать линейную комбинацию вектора Если ;; ) на эти вектора найти Х из уравнения Показать, что вектора ; )

Подробнее

5. Методические указания. по подготовке к практическим занятиям при изучении дисциплины «Линейная алгебра»

5. Методические указания. по подготовке к практическим занятиям при изучении дисциплины «Линейная алгебра» 5. Методические указания по подготовке к практическим занятиям при изучении дисциплины «Линейная алгебра» для специальности 080105 (060400) - «Финансы и кредит» Основная цель практических занятий способствовать

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

5. Методические указания по подготовке к практическим занятиям при изучении дисциплины «Линейная алгебра» для профиля

5. Методические указания по подготовке к практическим занятиям при изучении дисциплины «Линейная алгебра» для профиля 5. Методические указания по подготовке к практическим занятиям при изучении дисциплины «Линейная алгебра» для профиля 080100.62 - «Налоги и налогообложение» Основная цель практических занятий способствовать

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

Задачи. Алгебра.2 семестр.ртс. векторов заданного вида линейным подпространством в. образуют базис пространства P 2

Задачи. Алгебра.2 семестр.ртс. векторов заданного вида линейным подпространством в. образуют базис пространства P 2 Задачи Алгебра семестрртс I Комплексные числа 8 Вычислить ( i), ответ представить в алгебраической форме и изобразить на комплексной плоскости Вычислить Ответ представить в алгебраической форме и изобразить

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр Направление: «Строительство» Вопросы и задачи к экзамену семестр. Матрицы: определение, виды. Действия с матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, умножение матриц. 2. Элементарные преобразования

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

Вопросы к зачету по дисциплине «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» для студентов 1 курса направления «Бизнес-информатика»

Вопросы к зачету по дисциплине «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» для студентов 1 курса направления «Бизнес-информатика» Утверждены на заседании кафедры «Математика и информатика» Протокол 2(25) «8» сентября 2015г. зав. кафедрой к.э.н. Тимшина Д.В. Вопросы к зачету по дисциплине «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

Подробнее

Планы семинарских занятий по линейной алгебре для студентов физико-химического факультета МГУ. Занятие 1.

Планы семинарских занятий по линейной алгебре для студентов физико-химического факультета МГУ. Занятие 1. Планы семинарских занятий по линейной алгебре для студентов физико-химического факультета МГУ. Занятие 1. Комплексные числа и действия с ними. 1. Сказать несколько вводных слов о матрице, как основном

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» (приложение к рабочей программе)

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» (приложение к рабочей программе) МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский государственный аграрный университет» Кафедра

Подробнее

Составитель Т.И. Качаева. Федеральное агентство по образованию. Красноярский государственный университет

Составитель Т.И. Качаева. Федеральное агентство по образованию. Красноярский государственный университет Федеральное агентство по образованию Составитель Т.И. Качаева Красноярский государственный университет Высшая алгебра: рабочая программа / Красноярский государственный университет; составитель Т.И. Качаева.

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Тема: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Номер варианта определяется по последней цифре зачётной книжки. 1 вариант

Тема: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Номер варианта определяется по последней цифре зачётной книжки. 1 вариант Задания для выполнения расчётно-графической работы по математике на I полугодие - учебного года для студентов курса заочной формы обучения ИСиА Тема: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Номер

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Костанайский филиал

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания для подготовки к экзамену для студентов специальности 5В060200

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания для подготовки к экзамену для студентов специальности 5В060200 Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для подготовки к экзамену для студентов

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Задачи по курсу «Аналитическая геометрия»

Задачи по курсу «Аналитическая геометрия» Задачи по курсу «Аналитическая геометрия» 1 11 Используя метод Гаусса, вычислить определитель 2 4 1 3 2 1 0 5 3 9 2 7 12 Используя метод Гаусса, вычислить определитель 2 4 1 3 2 1 0 5 3 9 2 7 13 Используя

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые ВАРИАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) и M (6 ) проведена прямая Найти точки пересечения этой прямой с осями координат Составить уравнения сторон треугольника для которого точки A ( 1 ) B ( 3 1) C (0 4) являются

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей Контрольные вопросы Пример

Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей Контрольные вопросы Пример Математика [Электронный ресурс] : электронный учебно-методический комплекс. Ч. 1 / Е.А. Левина, В.И. Зимин, И.В. Касымова [и др.] ; Сиб. гос. индустр. ун-т. - Новокузнецк : СибГИУ, 2010. - 1 электрон.опт.диск

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Квадратичные формы. Пример 1 Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа

Квадратичные формы. Пример 1 Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа Квадратичные формы Пример Пример Пример 6 Пример Пример Пример 6 Пример 7 Пример 8 8 Пример 9 Методом Лагранжа найти нормальный вид и невырожденное линейное преобразование: 8 Пример Методом Лагранжа найти

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

имеет два индекса: i номер строки и k номер столбца. Краткая запись матрицы: =. Матрица называется квадратной

имеет два индекса: i номер строки и k номер столбца. Краткая запись матрицы: =. Матрица называется квадратной Матрицей размера содержащая m строк и столбцов Глава Линейная алгебра Матрицы и определители П Основные понятия m называется прямоугольная таблица чисел Каждый элемент матрицы k имеет два индекса: номер

Подробнее

Математика (2014 г, 2 сем Русский, автор Егисбаев Нуржан Оспанханович)

Математика (2014 г, 2 сем Русский, автор Егисбаев Нуржан Оспанханович) Математика (2014 г, 2 сем Русский, автор Егисбаев Нуржан Оспанханович) Автор: Егисбаев Нуржан Оспанханович 1. Вычислить определитель -17 11 17-19 1 2. Вычислить определитель 33 27-33 9-1 3. Вычислить определитель

Подробнее