Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

Транскрипт

1 Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией. Областью определения функции y = f(u(x)) является либо вся область определения функции u=u(x) либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения функции y= f(u). Операция "функция от функции" может проводиться не один раз, а любое число раз. Установим правило дифференцирования сложной функции. Теорема. Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке x 0 производную и принимает в этой точке значение u 0 = u(x 0 ), а функция y= f(u) имеет в точке u 0 производную y ' u = f '(u 0 ), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x 0 тоже имеет производную, которая равна y ' x = f '(u 0 ) u '(x 0 ), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x). Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x. Доказательство. При фиксированном значении х 0 будем иметь u 0 =u(x 0 ), у 0 =f(u 0 ). Для нового значения аргумента x 0 +Δx: Δu= u(x 0 + Δx) u(x 0 ), Δy=f(u 0 +Δu) f(u 0 ). Т.к. u дифференцируема в точке x 0, то u непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx 0 Δu 0. Аналогично при Δu 0 Δy 0. По условию предела, получаем (при Δu 0). Из этого соотношения, пользуясь определением, где α 0 при Δu 0, а, следовательно, и при Δx 0. Перепишем это равенство в виде: Δy= y ' u Δu+α Δu. Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx. По условию. Поэтому, переходя к пределу при Δx 0, получим y ' x = y ' u u ' x. Теорема доказана. Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней" функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" функции по независимой переменной. Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y ' x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы. По доказанному правилу имеем y ' x = y ' u u ' x. Применяя эту же теорему для u ' x получаем, т.е.

2 Примеры. y ' x = y ' x u ' v v ' x = f ' u (u) u ' v (v) v ' x (x). 1. y = sin x 2. Тогда ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ. Начнем с примера. Рассмотрим функцию y= x 3. Будем рассматривать равенство y= x 3 как уравнение относительно x. Это уравнение для каждого значения у определяет единственное значение x:. Геометрически это значит, что всякая прямая параллельная оси Oxпересекает график функции y= x 3 только в одной точке. Поэтому мы можем рассматривать x как функцию от y. Функция называется обратной по отношению к функции y= x 3. Прежде чем перейти к общему случаю, введем определения. Функция y = f(x) называется возрастающей на некотором отрезке, если большему значению аргумента x из этого отрезка соответствует большее значение функции, т.е. если x 2 >x 1, то f(x 2 ) > f(x 1 ). Аналогично функция называется убывающей, если меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. еслих 2 <х 1, то f(x 2 ) > f(х 1 ). Итак, пусть дана возрастающая или убывающая функция y= f(x), определенная на некотором отрезке [a; b]. Для определенности будем рассматривать возрастающую функцию (для убывающей все аналогично).

3 Рассмотрим два различных значения х 1 и х 2. Пусть y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). Из определения возрастающей функции следует, что если x 1 <x 2, то у 1 <у 2. Следовательно, двум различным значениям х 1 и х 2 соответствуют два различных значения функции у 1 и у 2. Справедливо и обратное, т.е. если у 1 <у 2, то из определения возрастающей функции следует, чтоx 1 <x 2. Т.е. вновь двум различным значениям у 1 и у 2 соответствуют два различных значенияx 1 и x 2. Т.о., между значениями x и соответствующими им значениями y устанавливается взаимно однозначное соответствие, т.е. уравнение y=f(x) для каждого y (взятого из области значений функции y=f(x)) определяет единственное значение x, и можно сказать, что x есть некоторая функция аргумента y: x= g(у). Эта функция называется обратной для функции y=f(x). Очевидно, что и функция y=f(x) является обратной для функции x=g(у). Заметим, что обратная функция x=g(y) находится путем решения уравнения y=f(x) относительно х. Пример. Пусть дана функция y = e x. Эта функция возрастает при <x<+. Она имеет обратную функцию x = lny. Область определения обратной функции 0 <y< +. Сделаем несколько замечаний. Замечание 1. Если возрастающая (или убывающая) функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b], причем f(a)=c, f(b)=d, то обратная функция определена и непрерывна на отрезке [c; d]. Замечание 2. Если функция y=f(x) не является ни возрастающей, ни убывающей на некотором интервале, то она может иметь несколько обратных функций. Пример. Функция y=x 2 определена при <x<+. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотрим интервал 0 x<+, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет. На интервале <x 0 функция убывает и обратная для нее. Замечание 3. Если функции y=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными, то они выражают одну и ту же связь между переменными x и y. Поэтому графиком их является одна и та же кривая. Но если аргумент обратной функции мы обозначим снова через x, а функцию через y и построим их в одной системе координат, то получим уже два различных графика. Легко заметить, что графики будут симметричны относительно биссектрисы 1-го координатного угла.

4 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ. Докажем теорему, позволяющую находить производную функции y=f(x), зная производную обратной функции. Теорема. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у 0 имеет производную g '(v 0 ), отличную от нуля, то в соответствующей точке x 0 =g(x 0 ) функция y=f(x) имеет производную f '(x 0 ), равную, т.е. справедлива формула. Доказательство. Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y 0, то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x 0 =g(y 0 ). Следовательно, при Δx 0 Δy 0. Покажем, что. Пусть. Тогда по свойству предела. Перейдем в этом равенстве к пределу при Δy 0. Тогда Δx 0 и α(δx) 0, т.е.. Следовательно, что и требовалось доказать., Эту формулу можно записать в виде. Рассмотрим применение этой теоремы на примерах. Примеры. 1. y = e x. Обратной для этой функции является функция x= ln y. Мы уже доказали, что. Поэтому согласно сформулированной выше теореме Итак, (e x ) ' = e x 2. Аналогично можно показать, что (a x ) ' = a x lna. Докажите самостоятельно. 3. y = arcsin x. Рассмотрим обратную функцию x = sin y. Эта функция в интервале π/2<y<π/2 монотонна. Ее производная x ' = cos y не обращается в этом интервале в нуль. Следовательно, по теореме о производной обратной функции

5 . Но на ( π/2; π/2). Поэтому 4. Аналогично Докажите самостоятельно. 5. y = arctg x. Эта функция по определению удовлетворяет условию существования обратной функции на интервале π/2<y< π/2. При этом обратная функция x = tg y монотонна. По ранее доказанному. Следовательно, y ' = cos 2 y. Но. Поэтому Используя эти формулы, найти производные следующих функций:

6