. Преобразуем функцию:, если x

Транскрипт

1 Вариант Найти область определения функции : Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств является одна точка Ответ: Построить график функции: sin Область определения функции:, Преобразуем функцию: sin, если < и sin, если Функция чётная относительно разности Поэтому достаточно построить правую часть графика, затем отобразить его влево зеркально относительно прямой Строим по точкам график функции sin в интервале, затем «растягиваем» его по оси ОУ в два раза, а по оси OX в три раза Полученный график отображаем зеркально влево Ответ: Последовательность построения графика представлена на рисунках Построить график функции: / Область определения функции: вся числовая ось:, Сначала построим график функции, затем «растянем» полученный график в три раза по оси OX, затем сместим его на единицы вниз по оси ОY Получим график функции / Точки пересечения с осями координат, и log, Ответ: Последовательность получения графика представлена на рисунке cos Построить график функции: sin

2 Составим таблицу координат нескольких точек графика в первой четверти: π/6 π/ π/ π/ График симметричен относительно осей координат и относительно начала координат Поэтому нет необходимости вычислять координаты точек в других четвертях координатной плоскости По точкам строим график и отражаем его симметрично относительно начала координат в другие четверти Ответ: График представлен на рисунке 5 Построить график функции: ρ 5+ sinϕ Функция существует, когда 9 π 7π ρ sinϕ 5 ϕ Так как 6 6 sinϕ sin π ϕ, то достаточно построить правую половину графика, а затем отразить его зеркально в левую полуплоскость Составим таблицу значений функции: φ -π/6 -π/ π/6 π/ π/ π/ ρ Строим правую половину графика по этим точкам и отражаем его в левую полуплоскость Ответ: график представлен на рисунке n+ 7 n+ 6 Вычислить предел: n n+ + n+ Возведём все скобки в степени и приведём подобные: n+ 7 n+ n + n + 7n+ n 6n n n n n n 9n + n+ + 6n + n+ 5n + 5n n + 5n n 5n + n+ 5 n 5+ n + 5n n+ 7 n+ Ответ: n n+ + n+ 5 7 Вычислить предел: 6 неопределённость вида / Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители: Ответ: / 9 / Вычислить предел: неопределённость вида / / / + Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение: / 9 / / 9 / / + + / 9 / / / / + / + / + + / / / 9 / 9 / / 9[ / 9 / ] / 9 + / / 9+ /

3 / 9 / 6 Ответ: / / Вычислить предел: неопределённость вида / sinπ +, +, Сделаем замену переменной: sinπ sinπ если, то + + sin π sin π+ π sin π + sin π+ π sin π π π Здесь π sin воспользовались первым замечательным пределом: Ответ: sinπ π n Вычислить предел: n 5n неопределённость вида Приведём предел ко второму замечательному пределу: + : z z n n 5n + n n + n n n n n 5n + n 5n + n n n n Предел в квадратных скобках равен числу Предел в n показателе степени равен Ответ: n n cos Вычислить предел: неопределённость вида / arcg Воспользуемся эквивалентными величинами: cos cos + cos + cos cos cos ~ arcg arcg arcg arcg ~ / cos Ответ: arcg Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: Область определения:,,, В области определения функция является непрерывной как элементарная функция Исследуем поведение функции в граничных точках области определения:, +, + Таким образом, в 5n / z

4 точках - и функция имеет разрывы второго рода Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: ± Ответ: В точках - и функция имеет разрывы второго рода, в остальных точках она непрерывна Эскиз графика представлен на рисунке Исследовать функцию на непрерывность и построить +,, эскиз графика:, > Область определения функции:, Ось ОХ разбивается на два интервала, на каждом из которых функция f совпадает с одной из указанных непрерывных функций Поэтому точкой разрыва может быть только точка, разделяющая интервалы Вычислим односторонние пределы: f +, f Таким образом, в точке функция + + терпит разрыв первого рода Величина скачка функции в точке равна - Ответ: В точке функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна Эскиз графика представлен на рисунке Исходя из определения производной, найти : cos f,, f f + f По определению Заменим на - : f f f Но, f, поэтому В данном случае cos + cos - ~ при, + cos ~ / при Ответ: f / 5 Найти производную показательно-степенной функции: / g + Прологарифмируем функцию: ln g ln + Берём производную, как производную неявной функции: cos ln g Подставляем сюда : + ln + 6 g g ln + 6 g g + + Ответ: + + cos + cos + 6 Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить : + Уравнения касательной и нормали к кривой f имеют вид + и /, 5 5

5 где и - координаты точки касания Вычислим сначала эти координаты: 5, Найдём производные и 5 : Тогда Далее, , следовательно, Таким образом, уравнение касательной +, уравнение нормали Или 5 и Ответ:,,,, 7 5, касательная нормаль 7 Функция, заданная неявно уравнением + sin π, принимает в точке π значение,,, Дифференцируем уравнение по, предполагая, что : + cos + + sin + cos Из этого равенства находим: Находим + sin вторую производную: + cos sin + sin + + cos + cos + sin Вычислим производные в точке π : + cos sin π / π, π / π Ответ: + sin + sin + + cos + cos, + cos, + sin π / π, π / π Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью 5 дифференциала:,, По определению дифференциала + + d + o или, в других обозначениях, + d + o, d Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: + В данном случае,, / 5 / 5, / 5,, +,/ 5, Ответ:, 9 Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: cos π / π / Это неопределённость вида Преобразуем предел: cos ln π показателе степени: π / π / ln π lncos lncos ln π [ln lncos ] π π / π / lncos ln π, Тогда ln π Найдём предел в π / π sin cos

6 sin + π cos π sin π / / Следовательно, ln π cos ln π / Ответ: cos / π / Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: 6 Это неопределённость вида : 6 / + / / / + / / Ответ: Многочлен по степеням представить в виде многочлена по степеням : + / f +, Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: f f f f !!! Найдём все производные: f,, f, f Тогда f 6, 6, f,, f Подставив это в формулу, получим: f Ответ: f Найти многочлен, приближающий заданную функцию f в окрестности точки с точностью до o : f, / Применяем формулу Тейлора: f f f o!! Вычисляем последовательно: / f /,, /, / /, f / / / 5 /, f / 7 7 Ответ: f o 6 Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: f sin +, Найдём значения функции и её первых четырёх производных в заданной точке: f, sin + cos +,, cos sin,, f sin cos,, f cos + sin, f По формуле Тейлора f / 6+ o Ответ: В окрестности точки, функция ведёт себя как степенная функция четвёртой степени Точка, является точкой максимума

7 cos + sin Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: π / +π / Преобразуем числитель: cos + sin + cos + sin + sin + sin cos + sin + sin + sin Следовательно, π / / + π / π + Сделаем замену: π / + π / π /, π /, sin sin π / cos Тогда π / + sin + π / в предел: cos cos По формуле Тейлора cos / + o Подставим это + / + o cos + sin Ответ: π / + π / 5 Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: + + Область определения функции:, / /, Функция непрерывна в каждой точке области определения Найдём односторонние пределы в граничной точке области + + определения:, / + / + + Отсюда следует, что прямая / является вертикальной асимптотой Исследуем функцию при + + ± :, Ищем + + наклонные асимптоты в виде k+ b : k ± f + + ±, 7 b [ f k] [ ± / + o ± + ] + + Следовательно, прямая ± + + является наклонной асимптотой Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке 6 Провести полное исследование поведения функции и построить её график: + Область определения:,, Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют Функция имеет разрыв в точке Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва:, + + Таким образом, прямая + является вертикальной асимптотой 6,, по правилу + + Лопиталя Ищем наклонные асимптоты в виде k+ b : k f,

8 + Следовательно, прямая является правосторонней горизонтальной асимптотой Других асимптот нет + 5 Первая производная [ ] + + Производная + + обращается в нуль в точке Слева от точки производная положительна, справа отрицательна Следовательно, в точке имеет место максимум функции, причём f В точке производная имеет разрыв В интервале, функция монотонно возрастает, в интервале, функция монотонно убывает, в интервале, функция монотонно убывает 6 Вторая производная: + [ + ] Знак второй производной определяется знаменателем числитель всегда положительный Если <, то производная отрицательна и, следовательно, интервал, - интервал выпуклости графика функции В интервале, производная положительна, следовательно, это интервал вогнутости графика функции Точек перегиба нет 7 График функции не пересекает осей координат Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремум максимум в точке, Вертикальная асимптота, правосторонняя горизонтальная асимптота