Решение задач 3 тура 2010/2011 года. (3 балла)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Решение задач 3 тура 2010/2011 года. (3 балла)"

Транскрипт

1 Приносим свои извинения за то, что в решении последней задачи предыдущего тура была допущена ошибка, решение исправлено, баллы полученные участниками подкорректированы. В соответствующих файлах были внесены изменения. задач 3 тура 2010/2011 года Задача 1. Упростить выражение. (3 балла) Ответ: 2. Задача 2. Решить неравенство. (3 балла) Рассмотрим случай, когда, тогда правая часть неравенства отрицательна, а левая часть неотрицательна, т.е. неравенство верно. При неравенство неопределенно. Пусть, тогда и модуль раскрываем со знаком «+», получаем: Решая последнее неравенство и учитывая, что имеем. Ответ: Задача 3. Решить уравнение. (4 балла). Введем замену,, получим уравнение относительно :, корнями которого являются и (посторонний корень). Возвращаемся к замене, получаем уравнение. Решая полученное уравнение, получим 2 серии решений: и,. Поскольку, то в первой серии нужно взять, а во второй серии взять. Ответ:,,. Задача 4. В трапеции основания и равны и соответственно,. Окружность, проходящая через точки, и, касается прямой. Найти радиус этой окружности. (6 баллов)

2 Так как окружность проходит через точку и касается прямой, то касание проходит в точке. По свойству касательной и секущей измеряется половиной дуги и равен. Кроме того,. Отсюда следует, что, и поэтому, откуда,. Пусть радиус окружности. Эта окружность описана около треугольника, и поэтому. Ответ:. Задача 5. Найти все пары целых чисел,, удовлетворяющие одновременно двум неравенствам (7 баллов) Первое и второе уравнения задают круги без ограничивающих их окружностей. Единственная точка с целочисленными координатами, которая принадлежит обоим кругам, это. Ответ:. Задача 6. Найти все пары вещественных чисел, удовлетворяющие неравенству (11 баллов) Произведем оценку оснований логарифмов: при,, а при,, таким образом, для всех ; так как, то, аналогично, и, следовательно, (значения, необходимо исключить из области определения неравенства, поскольку при данных значениях основание логарифма равно 1).

3 Произведем оценку аргументов логарифмов: ; (значения,, необходимо исключить из области определения, при данных значениях аргумент логарифма равен 0). Поскольку у логарифма из левой части основание больше 1, а аргумент не менее 1, то логарифм принимает неотрицательные значения; основание логарифма из правой части больше 1, а аргумент не превосходит 1, то логарифм принимает неположительные значения. Таким образом, неравенство возможно только тогда, когда каждый из логарифмов равен 0. Следовательно, исходное уравнение эквивалентно следующей системе: Отсюда следует ответ:, или,. Олимпиадные задачи 1. В первой строке таблицы 2 20 выписаны по возрастанию числа от 1 до 20, а во второй строке те же числа, но, возможно, в другом порядке. Компьютер Вася читает числа в первой строке по порядку. Дойдя до числа a, он смотрит на стоящее под ним число b, находит в первой строчке b, смотрит на стоящее под b число c и меняет во второй строчке b и c местами. Дочитав первую строку до конца, он начинает читать ее снова. Докажите, что после нескольких прочтений числа перестанут меняться.. Назовём числа, под которыми написаны они сами, непродуктивными, остальные продуктивными. Все непродуктивные числа при проходе Васи остаются на месте, а при проходе продуктивного числа a, под которым написано число b, число b становится непродуктивным. При этом если b > a, то не пройденных продуктивных чисел после прохода a становится на два меньше (a пройдено, а b стало непродуктивным), а если b < a, то на одно меньше. Следовательно, после каждого прохода Васи количество непродуктивных чисел уменьшается минимум вдвое. Через какое-то время оно станет меньше 1, то есть равным 0. Но отсутствие непродуктивных чисел как раз и означает, что все числа во второй строке идут по порядку. 2. Точка E середина стороны СD выпуклого четырехугольника ABCD, где AD = BC. Докажите, что AE+CD > BE.. AE+CD > AE+ED+CE > AD+CE = BC+CE > BE. 3. Дан клетчатый квадрат Будем называть кораблем фигуру, состоящую из нескольких клеток, образующих прямоугольник 1 1, 1 2, 1 3 или 1 4. Будем говорить, что корабли расположены хорошо, если никакие два корабля не налегают и не касаются. Какое наименьшее суммарное число клеток могут содержать несколько хорошо расположенных кораблей, если при добавлении к ним любого корабля расположение перестанет быть хорошим? Ответ: 16.

4 . Пронумеруем строки квадрата по порядку числами от 1 до 10. Так же пронумеруем и столбцы. Поставим одноклеточные корабли на пересечении столбцов и строк, номера которых дают остаток 1 при делении на 3: их будет 16. Квадраты 3 3 с центрами в этих клетках не пересекаются и покрывают весь квадрат Поэтому к поставленным нами кораблям ничего добавить нельзя. С другой стороны, если на доску поставлены корабли суммарной площадью не больше 15 клеток, в одном из вышеуказанных квадратов не будет ни одной их клетки, и мы сможем поставить одноклеточный корабль в её центр. 4. Два последовательных трехзначных числа записали одно за другим. Докажите, что полученное число не может делиться на 7.. Обозначим меньшее из этих чисел через n. Тогда мы записали число 1000n+n+1 = 1001n+1. Поскольку 1001 делится на 7, это число при делении на 7 даёт остаток 1, из чего и следует утверждение задачи. 5. На столе лежат 17 монет. Некоторые лежат «орлом» вверх, некоторые «орлом» вниз. Вася за первый ход может перевернуть шестнадцать монет, за второй пятнадцать, за третий четырнадцать, и т. д., за шестнадцатый одну монету. Докажите, что Вася может действовать таким образом, что в конце все монеты будут лежать одинаковым образом (т. е. все "решкой" вверх или все «орлом» вверх).. Всего переворачиваний монет будет сделано чётное число. Следовательно, чётность количества «орлов» и количества «решек» не поменяется. Не умаляя общности, будем считать, что в исходном положении «орлов» было нечётное число, а «решек» чётное. Тогда, в конечном положении все монеты должны лежать «орлом» вверх. Покажем, как этого добиться. Разобьём ходы на пары по количеству переворачиваний: (1,3), (2,4), (5,7), (6,8), (9,11), (10,12), (13,15), (14,16). Делаем сразу два хода из одной пары (k, k+2) так: сначала какие-то k монет, а затем эти же k монет и ещё две монеты. Таким образом, ровно две монеты поменяют своё положение на противоположное. Так как «решек» чётное число, то не более, чем за 8 парных ходов все решки можно сделать «орлами». Если же для достижения цели требовалось меньшее количество ходов, то несколько первых парных ходов можно сделать «холостыми», поменяв на противоположное положение двух монет одного «орла» и одной «решки». Если же первоначально все монеты уже лежали «орлами» вверх, то первым ходом сделаем две решки и дальше будем действовать по уже описанному алгоритму. 6. Пять мальчиков и пять девочек собрали 100 грибов. При этом девочки собрали по различному количеству грибов, а каждые три мальчика собрали вместе не менее 45 грибов. Сколько грибов собрал каждый, если у любых двух грибников количества собранных ими грибов отличаются не больше, чем в 5 раз? Ответ: Мальчики собрали по 15 грибов, а девочки 3, 4, 5, 6 и 7.. Расставим мальчиков по кругу и рассмотрим пять троек мальчиков, стоящих рядом. Каждый мальчик входит в три такие тройки. Поэтому вместе мальчики собрали не меньше, чем 45 5/3 = 75 грибов. Стало быть, девочки вместе собрали не больше 25 грибов. Пусть кто-то из мальчиков собрал больше 15 грибов. Тогда каждая девочка собрала больше 15/5 = 3, то есть не меньше 4 грибов, а все девочки вместе не меньше, чем = 30 грибов. Противоречие. Значит, каждый мальчик собрал по 15 грибов (иначе они вместе собрали меньше 75 грибов). Тогда каждая девочка собрала не меньше 15/5 = 3 грибов, и единственный возможный расклад для суммы 25 при этом

5 7. Натуральные числа a и b таковы, что натуральное число a b делится на натуральное число 3b a. Докажите, что тогда и число a+b делится на 3b a.. Вместе с a b на 3b a делится и 3b a+(a b) = 2b. Значит, делится на 3b a и a b+2b = a+b. 8. В колоде 36 карт: по 9 карт каждой из 4 мастей. Эту колоду раздали на шестерых игроков (не обязательно поровну, но каждому хотя бы по одной карте). Оказалось, что никакие двое игроков не могут из розданных им карт выбрать 4 карты разных мастей. Докажите, что тогда либо есть игрок, у которого все карты имеют одну масть, либо есть масть, карты которой есть у всех игроков.. Очевидно, карт всех мастей ни у кого быть не может. Допустим, у кого-то есть карты трёх разных мастей. Тогда возьмём любого, у которого есть карта четвёртой масти, и получим двоих, у которых есть карты всех мастей, что противоречит условию. Допустим, нет игрока, у которого все карты одной масти. Тогда у каждого карты ровно двух мастей. Пусть у игрока А это масти 1 и 2. Возьмём игрока Б, у которого есть масть 3. Не умаляя общности, можно считать, что вторая масть у него 1. Возьмём игрока В, у которого есть масть 4. Тогда вторая масть у него 1, иначе у него вместе с А или с Б будут карты всех мастей. Возьмём произвольного игрока Г. У него есть карта масти 2, 3 или 4. Но тогда вторая масть у него 1, иначе у него вместе с А, Б или В будут карты всех мастей. Итак, масть 1 есть у всех игроков.

Информация по оформлению работ

Информация по оформлению работ Задачи 3 тура 2010/2011 года срок отправки решения до 15 марта 2011 Задача 1. Упростить выражение. (3 балла) Задача 2. Решить неравенство. (3 балла) Задача 3. Решить уравнение. (4 балла) Задача 4. В трапеции

Подробнее

7.1. Может ли оказаться, что эту задачу правильно решит 1000 участников олимпиады, причем среди них мальчиков будет на 43 больше, чем девочек?

7.1. Может ли оказаться, что эту задачу правильно решит 1000 участников олимпиады, причем среди них мальчиков будет на 43 больше, чем девочек? 7 класс 7.1. Может ли оказаться, что эту задачу правильно решит 1000 участников олимпиады, причем среди них мальчиков будет на 43 больше, чем девочек? 7.2. Лада и Лера загадали по натуральному числу. Если

Подробнее

Error! Reference source not found. 1

Error! Reference source not found. 1 Error! Reference source not found. 1 2 Электронная физико-техническая школа Решебник для 8-9 класса 1 Первая часть задания Задача 1 Камень весит 6 кг, еще треть камня и еще половину камня. Сколько весит

Подробнее

Второй тур Высшая лига.

Второй тур Высшая лига. Второй тур 05.11.15. Высшая лига. 1. Назовём выпуклую фигуру на плоскости толстой, если при некотором r > 0 она содержит круг радиуса r и содержится в круге радиуса 1000r. Верно ли, что любую толстую фигуру

Подробнее

5 класс Задачи можно решать в любом порядке. Ответы в заданиях необходимо. 5 класс

5 класс Задачи можно решать в любом порядке. Ответы в заданиях необходимо. 5 класс 5 класс 5.1. Петя бегает в два раза быстрее Коли и в три раза быстрее Маши. На беговой дорожке стадиона Петя, Коля и Маша стартовали одновременно. Петя добежал до финиша на 12 секунд раньше Коли. А на

Подробнее

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 6. sin x. Ответ: 0,76. Решение. 1) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 6. sin x. Ответ: 0,76. Решение. 1) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов) Сумма трѐх чисел равна нулю Может ли сумма их попарных произведений быть положительной? Ответ: нет, не может Решение Пусть a + b + c = 0 Докажем, что

Подробнее

Задача 21 на ЕГЭ по математике

Задача 21 на ЕГЭ по математике И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Задача 21 на ЕГЭ по математике Здесь приведены задачи 21 (в прошлом С6), которые предлагались на ЕГЭ по математике, а также на диагностических работах МИОО

Подробнее

Олимпиада «Ломоносов» по математике Условия, ответы и краткие решения заданий отборочного этапа (7 класс, 2010/2011 учебный год)

Олимпиада «Ломоносов» по математике Условия, ответы и краткие решения заданий отборочного этапа (7 класс, 2010/2011 учебный год) Олимпиада «Ломоносов» по математике Условия, ответы и краткие решения заданий отборочного этапа (7 класс, / учебный год) 1. После обработки сада средством от гусениц садовод заметил, что с 12 кустов смородины

Подробнее

Задача С6 на ЕГЭ по математике

Задача С6 на ЕГЭ по математике И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Задача С6 на ЕГЭ по математике 1 Необходимая теория 2 1.1 Числовые множества................................... 2 1.2 Делимость.........................................

Подробнее

22. Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий, среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10

22. Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий, среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 Старшие 0. Числа a, b, c и d таковы, что (a b)(b c)(c d)(d a) < 0. Число b наибольшее из a, b, c и d. Определите, какое из чисел a, b, c и d третье по величине. 1. В трех клетках клетчатого листа записаны

Подробнее

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 2.1. Функция f(x) определена для всех x, кроме 1, и удовлетворяет равенству: x

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 2.1. Функция f(x) определена для всех x, кроме 1, и удовлетворяет равенству: x 10 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). 1.1. Известно. что разность кубов корней квадратного уравнения ax + bx + c = 0 равна 011. Сколько корней имеет уравнение ax + bx + 4c = 0? Ответ:

Подробнее

Люберцы. 16 октября 2006 года

Люберцы. 16 октября 2006 года Занятие 1. Вводное Люберцы. 16 октября 2006 года 1. Представьте число 2006 в виде суммы пяти натуральных чисел, произведение которых делится на 10 10. 2. Произведение трех чисел оканчивается на 2006. Докажите,

Подробнее

Материалы заданий с ответами. олимпиады школьников по математике «САММАТ - 2010» 7 КЛАСС. HOK(x, y) = HOK(201, 209),

Материалы заданий с ответами. олимпиады школьников по математике «САММАТ - 2010» 7 КЛАСС. HOK(x, y) = HOK(201, 209), 7 КЛАСС 1. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение HOK(x, y) = HOK(201, 209), где HOK - наименьшее общее кратное двух чисел? Ответ: 81. 2. В треугольнике ABC известно, что AB = 5, BC = 6,

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятиями треугольник, четырехугольник,

Подробнее

Геометрия Александрова.

Геометрия Александрова. Тема 5 Геометрия Александрова. В этой лекции мы определим пространства Александрова и обсудим некоторые их свойства. 5.1 Треугольники и углы сравнения Пусть (X, d) произвольное метрическое пространство.

Подробнее

31-й Международный математический Турнир городов 2009/10 учебный год Решения задач

31-й Международный математический Турнир городов 2009/10 учебный год Решения задач 31-й Международный математический Турнир городов 2009/10 учебный год Решения задач Весенний тур Сложный вариант, младшие классы 7.1. [3] Есть кусок сыра. Разрешается выбрать число a 1 и разрезать этот

Подробнее

Критерии оценивания решений задач заочного этапа Всесибирской олимпиады школьников 2013-14гг по математике Общие принципы оценивания Баллы

Критерии оценивания решений задач заочного этапа Всесибирской олимпиады школьников 2013-14гг по математике Общие принципы оценивания Баллы Критерии оценивания решений задач заочного этапа Всесибирской олимпиады школьников 2013-14гг по математике Общие принципы оценивания Каждая задача оценивается из 7 баллов. Далее, по степени решённости

Подробнее

Задания, ответы и критерии оценивания Ответ Решение Критерии проверки

Задания, ответы и критерии оценивания Ответ Решение Критерии проверки ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ. 2016 2017 уч. г. ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 8 КЛАСС Задания, ответы и критерии оценивания 1. (7 баллов) В рамке 8 8 шириной в 2 клетки (см. рисунок) всего 48 клеточек.

Подробнее

Наборы прямых на плоскости

Наборы прямых на плоскости Наборы прямых на плоскости Решения задач до промежуточного финиша Задача 1. Ответ: n + 1 f n(n+1) + 1. Оба неравенства доказываются индукцией по n, база n = 1, f =. Если добавляемая прямая пересекает предыдущие

Подробнее

Решив уравнение, получим x = 2500.

Решив уравнение, получим x = 2500. 1 тур 9 класс 1. (3 балла) Является ли число 3000 разностью кубов двух натуральных чисел? Ответ: Нет, не является. Решение: Действительно, из равенства x 3 y 3 = (x y)(x 2 + y 2 + xy) = (x y)((x y) 2 +

Подробнее

7.3. Разносторонний треугольник поделѐн на две части некоторой прямой. Докажите, что эти части не могут быть равными фигурами.

7.3. Разносторонний треугольник поделѐн на две части некоторой прямой. Докажите, что эти части не могут быть равными фигурами. Всесибирская открытая олимпиада школьников по математике 014-15 г.г. Второй этап 15 декабря 014 г. - 5 января 015 г. 7 класс 7.1. В булочной есть пирожки с двумя начинками (яблочной и вишнѐвой) и двух

Подробнее

1.2. В равнобокой трапеции AВСD основания AD и ВС равны 12 и 6 соответственно, а высота равна 4. Сравните углы ВАС и САD.

1.2. В равнобокой трапеции AВСD основания AD и ВС равны 12 и 6 соответственно, а высота равна 4. Сравните углы ВАС и САD. 9 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... На координатной плоскости изображен график функции y = ax + c (см. рисунок). В каких точках график функции y = cx + a пересекает оси координат? Ответ:

Подробнее

14(15 15... 15 16) 1. 4. На сторонах ВС, АС и АВ треугольника АВС выбраны соответственно точки A., B1B 2 треугольника A1 B1C 1

14(15 15... 15 16) 1. 4. На сторонах ВС, АС и АВ треугольника АВС выбраны соответственно точки A., B1B 2 треугольника A1 B1C 1 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОГО (ОЧНОГО) ЭТАПА ОЛИМПИАДЫ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА «ШАГ В БУДУЩЕЕ» ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ 8-0 КЛАССОВ 0-04 УЧЕБНОГО ГОДА. ВАРИАНТ (8 класс). Найдите три числа, если первое составляет

Подробнее

25 апреля 2015г. 2) Упростить выражение:

25 апреля 2015г. 2) Упростить выражение: 25 апреля 2015г. Решения 1) На двух взаимно перпендикулярных диаметрах окружности, радиус которой равен 2 см, построен прямоугольник ABCD, причем AD = 1,5 см. Определить диагональ BD. Решение: Т.к. ABCD

Подробнее

Сборная солянка. И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru

Сборная солянка. И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Сборная солянка. («Покори Воробьёвы горы!», 206, 5 8 ) В тесте четыре раздела, каждый из которых содержит одинаковое количество вопросов. Андрей правильно

Подробнее

Мат.бой 7-3 и 7-4 Март 2011

Мат.бой 7-3 и 7-4 Март 2011 Задания математическиx боёв 7-x классов Аннотация Мат.бой 7-3 и 7-4 Март 2011 1 Два автомобиля, находящихся на расстоянии S км друг от друга, движутся навстречу друг другу. Скорость первого автомобиляv

Подробнее

Глава 5 ПЛОЩАДИ, УГЛЫ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 5.1. ПЛОЩАДИ

Глава 5 ПЛОЩАДИ, УГЛЫ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 5.1. ПЛОЩАДИ Глава 5 ПЛОЩАДИ, УГЛЫ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 5.. ПЛОЩАДИ 5... Понятие площади. Площади подобных фигур. Площадь треугольника (выражение через основание и высоту и формула Герона) и трапеции. Важным геометрическим

Подробнее

в) 3 Какая из нижеперечисленных десятичных дробей является результатом округления числа 13

в) 3 Какая из нижеперечисленных десятичных дробей является результатом округления числа 13 Задача 1 4 1 = 9 2 а) 1 18 б) 3 в) 3 7 7 г) 1 18 Задача 2 Какая из нижеперечисленных десятичных дробей является результатом округления числа 13 до десятых? 7 а) 1, 6 б) 1, 7 в) 1, 8 г) 1, 9 Задача 3 10

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ. Компьютерный вариант сборника подготовлен Американцевым А.А.

ВВЕДЕНИЕ. Компьютерный вариант сборника подготовлен Американцевым А.А. ВВЕДЕНИЕ В данной брошюре приведены условия задач, предлагавшихся на вступительных испытаниях в 8 и 9 классы (в 9 класс набор производился только в 003, 004 и 006 годах) Лицея "Физико-техническая школа"

Подробнее

ОГЭ 2015 (задание 13, модуль "ГЕОМЕТРИЯ")

ОГЭ 2015 (задание 13, модуль ГЕОМЕТРИЯ) ОГЭ 2015 (задание 13, модуль "ГЕОМЕТРИЯ") 169915 Какие из следующих утверждений верны? 1) Если угол равен 45, то вертикальный с ним угол равен 45. 2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку. 3) Через

Подробнее

Муниципальный этап республиканской олимпиады школьников по технологии УДЕ академика РАО П. М. Эрдниева в учебном году

Муниципальный этап республиканской олимпиады школьников по технологии УДЕ академика РАО П. М. Эрдниева в учебном году по технологии УДЕ академика РАО П. М. Эрдниева в 2013-2014 учебном году 4 класс 1. Поставьте между цифрами один или несколько знаков арифметических действий и скобки так, чтобы получились верные равенства:

Подробнее

Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное.

Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное. Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное. Тест 2. Объединение фигур Объединением двух треугольников может быть:

Подробнее

Перевод на «язык равенств и неравенств»

Перевод на «язык равенств и неравенств» Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Перевод на «язык равенств и неравенств» Раздел электронного пособия «Элементарная математика» e-mail:

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

Международная математическая олимпиада «Формула Единства» / «Третье тысячелетие» 2013/2014 год

Международная математическая олимпиада «Формула Единства» / «Третье тысячелетие» 2013/2014 год Задачи 1 тура, 5 класс все годы с 1988 по 2012 были лихими. Каково максимальное количество лихих лет, идущих подряд, среди уже прошедших лет нашей эры? 2. На круглом торте стоит 6 свечей. Тремя разрезами

Подробнее

Математика. Программа вступительного испытания

Математика. Программа вступительного испытания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «СОЧИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» «Университетский экономико-технологический колледж» Математика Программа вступительного испытания

Подробнее

Решения и примерные критерии первой проверки ОММО-2010

Решения и примерные критерии первой проверки ОММО-2010 Решения и примерные критерии первой проверки ОММО-010 Приведённые ниже критерии, конечно, не могут охватить все случаи И если какое-то решение под критерии не подпадает, то стоит оценивать его по здравому

Подробнее

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2015 года ПО МАТЕМАТИКЕ I тур. 6 класс.

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2015 года ПО МАТЕМАТИКЕ I тур. 6 класс. I тур. 6 класс. 1. В гильдии ювелиров есть два кольца по цене 10 и 30 гулденов и 4 драгоценных камня по цене 60, 70, 80 и 90 гулденов. В гильдии можно заказать изготовление перстня Мудрости, для этого

Подробнее

Ошибка! Источник ссылки не найден. 1

Ошибка! Источник ссылки не найден. 1 Ошибка! Источник ссылки не найден. 1 2 Электронная физико-техническая школа 1 Введение Конкурс Золотой ключик это заочный конкурс по математике для школьников, который проводится совместно с Московским

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

Образовательный центр «Сириус» Финальный отборочный тур, Решения задач 6 класса

Образовательный центр «Сириус» Финальный отборочный тур, Решения задач 6 класса Решения задач 6 класса Задача 1. Восемь одинаковых ваз вставили друг в друга, и высота этой «башни» оказалась равна 36 см. А когда друг в друга вставили 16 ваз, то высота стала равна 60 см. Найдите высоту

Подробнее

Межшкольная олимпиада. 4 класс

Межшкольная олимпиада. 4 класс Межшкольная олимпиада 30.01.16 4 класс 1. Соедините пять звеньев цепи в одну цепь при помощи только шести операций (операции состоят из расковывания и заковывания колец) 2. Скорый поезд вышел из Москвы

Подробнее

Электронная физико-техническая школа. 1 Введение

Электронная физико-техническая школа. 1 Введение 2 Электронная физико-техническая школа 1 Введение Конкурс «Волшебный сундучок» это заочный конкурс по математике для школьников, который проводится Электронной школой ефтш. Ученикам 4-9 классов предлагаются

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

Трушин Б.В., 2015 г. Рис. 1:

Трушин Б.В., 2015 г. Рис. 1: Комбинаторика Часть первая. Введение Что такое комбинаторика? Комбинаторикой (или комбинаторным анализом) называется раздел математики, который решает задачи подсчета количества объектов, удовлетворяющих

Подробнее

Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 10 класс)

Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 10 класс) Задача 1 Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 10 класс) Найдите все простые числа p и q такие, что выражение целого числа является квадратом 1 Очевидно, что при q

Подробнее

5 класс. (Продолжительность работы 2ч 30мин).

5 класс. (Продолжительность работы 2ч 30мин). 5 класс. (Продолжительность работы ч 3мин).. Собрались несколько рыцарей и лжецов, все разного роста (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут). Каждый заявил: «Среди тех, кто выше меня, есть лжецы».

Подробнее

Решения заданий заключительного этапа Всесибирской открытой олимпиады школьников по математике гг. Каждая задача оценивается в 7 баллов

Решения заданий заключительного этапа Всесибирской открытой олимпиады школьников по математике гг. Каждая задача оценивается в 7 баллов Решения заданий заключительного этапа Всесибирской открытой олимпиады школьников по математике 04-5 гг. Каждая задача оценивается в 7 баллов 7 класс Каждая задача оценивается в 7 баллов 7.. Составьте три

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Серия 1, 7 класс. Многовариантная задача только отеет письменно.

Серия 1, 7 класс. Многовариантная задача только отеет письменно. Серия 1, 7 класс. Многовариантная задача только отеет письменно. Сколько существует прямоугольников, составленных из клеток доски 8 8 a)? b) квадратов; c) содержащих клетку с координатами (4,3); d) содержащих

Подробнее

Принцип Дирихле. Методические аспекты изучения математики

Принцип Дирихле. Методические аспекты изучения математики Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских работ учащихся 9-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Методические аспекты изучения математики Принцип Дирихле Комягин

Подробнее

О. А. Иванов, Т. Ю. Иванова, К. М. Столбов. Алгебра в 9 классе Уроки обобщающего повторения

О. А. Иванов, Т. Ю. Иванова, К. М. Столбов. Алгебра в 9 классе Уроки обобщающего повторения О. А. Иванов, Т. Ю. Иванова, К. М. Столбов Алгебра в 9 классе Уроки обобщающего повторения Санкт-Петербург 03 УДК ББК 5(xxx) XX.xxXX X?? Иванов О. А., Иванова Т. Ю., Столбов К. М. X?? Алгебра в 9 классе.

Подробнее

a = p 1p 2, b = p 1p 3

a = p 1p 2, b = p 1p 3 9.1. Известно, что ни одно из чисел a, b, c не является целым. Может ли случиться так, что каждое из чисел ab, bc, ca, abc целое? Ответ. Может. Решение. Например, выберем три различных простых числа p

Подробнее

BE. Доказать, что точка P пересечения прямых CM и DN принадлежит прямой,

BE. Доказать, что точка P пересечения прямых CM и DN принадлежит прямой, Ортологичные треугольники Д. Прокопенко, школа 007, Москва. Часть. Вводные задачи. Идея решения: высоты пересекаются в одной точке. Задача. На стороне AB прямоугольника ABCD вне его построен треугольник

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных дробей; с требуемой точностью округлять данные числа и результаты

Подробнее

Error! Reference source not found. 1

Error! Reference source not found. 1 Error! Reference source not found. 1 2 Электронная физико-техническая школа Решебник для 4-5 класса 1 Первая часть задания Задача 1: Азартный мальчик Вова купил 12 лотерейных билетов, заплатив за каждый

Подробнее

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФГБОУ ВПО «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Персиановский

Подробнее

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс Санкт Петербургский государственный университет 5 6 учебный год, январь Вариант 1 1 Сравните числа ( 6 5 + 4) 1 и ( 8 + 7 6) 1 + 1 Решите уравнение + + + 1= log log Решите неравенство + 6 4 Изобразите

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ (СОБЕСЕДОВАНИЕ)

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ (СОБЕСЕДОВАНИЕ) Министерство образования и науки Российской Федерации НОУ ВО "Институт экономики и правоведения (г. Назрань)" ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ (СОБЕСЕДОВАНИЕ) Назрань 2015 1 1. Арифметика,

Подробнее

Допуск Выполнение Отчет

Допуск Выполнение Отчет Л. Р. «Разветвляющиеся вычислительные процессы» Студент Иванов И. И. Группа ХХ-999 Дата дд.мм.гг Допуск Выполнение Отчет Условие задачи 1 Ввести число x, выяснить что больше: целая часть числа x, или его

Подробнее

Решения всех задач тура должны удовлетворять следующим ограничениям:

Решения всех задач тура должны удовлетворять следующим ограничениям: Решения всех задач тура должны удовлетворять следующим ограничениям: Максимальное время работы на одном тесте Максимальный объем используемой памяти Имя входного файла Имя выходного файла 2 секунды 256

Подробнее

Презентация по материалам рабочей тетради «Задача В8» авторов И.В. Ященко, П.И. Захарова

Презентация по материалам рабочей тетради «Задача В8» авторов И.В. Ященко, П.И. Захарова Презентация по материалам рабочей тетради «Задача В8» авторов И.В. Ященко, П.И. Захарова ЕГЭ Математика Задача B8 Содержание (виды заданий В8) 1 2 3 4 5 Найдите значение производной функции в точке х 0

Подробнее

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (на базе

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

ПРОЕКТ. Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

ПРОЕКТ. Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ ПРОЕКТ Демонстрационный вариант ЕГЭ 7 г. МАТЕМАТИКА, класс. Профильный уровень. / 8 Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Пояснения к демонстрационному

Подробнее

Комбинаторика. Правило произведения

Комбинаторика. Правило произведения И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Комбинаторика. Правило произведения При решении комбинаторных задач часто приходится умножать число способов выбора одного объекта на число способов выбора

Подробнее

В заданиях на формирование массива предполагается, что размер результирующего массива не превосходит 10.

В заданиях на формирование массива предполагается, что размер результирующего массива не превосходит 10. Одномерные массивы Одномерные массивы Условие вида «дан массив размера N» означает, что вначале дается фактический размер массива (целое число N), а затем приводятся все его элементы. Если в задании явно

Подробнее

МАТЕМАТИКА БЕЗ ГРАНИЦ 2013 - ЗИМНИЙ ТУР 2014 г. ВТОРОЙ КЛАСС

МАТЕМАТИКА БЕЗ ГРАНИЦ 2013 - ЗИМНИЙ ТУР 2014 г. ВТОРОЙ КЛАСС МАТЕМАТИКА БЕЗ ГРАНИЦ 2013 - ЗИМНИЙ ТУР 2014 г. ВТОРОЙ КЛАСС Задача 1. Какое число пропущено? 40 +? = 30 + 10 А) 0 Б) 10 В) 20 Задача 2. Отрезок длины 7 м: А) длиннее отрезка 70 дм Б) короче отрезка 10

Подробнее

Зимний тур XXIV Турнира Архимеда Условия и решения задач

Зимний тур XXIV Турнира Архимеда Условия и решения задач Зимний тур XXIV Турнира Архимеда Условия и решения задач Задача 1 (3 балла). Упорный Вася хочет из клетчатой доски 8 8 вырезать 12 прямоугольников 1 2 так, чтобы из оставшейся части доски невозможно было

Подробнее

Беговая дорожка Тур I, задача 1

Беговая дорожка Тур I, задача 1 Беговая дорожка Тур I, задача 1 Байт-таун является столицей Байтландии. Это очень красивый и богатый город в центре страны. Архитектура и природа поражает воображение. Каждый год количество туристов, приезжающих

Подробнее

а) Заметим, что в левой части каж дое слагаемое делится на 6, поэ тому количество целых чисел делится на 6. По условию Шпаргалка ЕГЭ

а) Заметим, что в левой части каж дое слагаемое делится на 6, поэ тому количество целых чисел делится на 6. По условию Шпаргалка ЕГЭ C6 На доске написано более 36, но менее 48 целых чисел Среднее арифметическое этих чисел равно, среднее арифметическое всех полож ительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из

Подробнее

Одномерные и двумерные массивы

Одномерные и двумерные массивы Одномерные и двумерные массивы Вариант 1 1. Дан массив целых чисел (n = 15), заполненный случайным образом числами из [-20, 50]. Удалить из него все элементы, в которых есть цифра 5. Вставить число k после

Подробнее

Целые, рациональные и вещественные числа

Целые, рациональные и вещественные числа Глава 2 Целые, рациональные и вещественные числа 2.. Целые числа Числа, 2, 3,... называются натуральными. Множество всех натуральных чисел обозначается N, т.е. N = {,2,3,...}. Числа..., 3, 2,,0,,2,3,...

Подробнее

Условия и решения Осенняя интернет-олимпиада «2 2» 4 класс

Условия и решения Осенняя интернет-олимпиада «2 2» 4 класс Условия и решения Осенняя интернет-олимпиада «2 2» 4 класс Более 10 лет Творческая лаборатория «Дважды Два» проводит олимпиады школьников. В 2016 году 2 наших ученика стали членами сборной России по математике

Подробнее

61. Числа 11 и 61 не являются цифрами, поэтому искомого числа не существует.

61. Числа 11 и 61 не являются цифрами, поэтому искомого числа не существует. 0. Поезд из 10 вагонов, длина каждого из которых 0 метров въехал на мост, длина которого 00 метров со скоростью 0 метров в секунду. Сколько времени он ехал по мосту? Решение. Длина поезда 00 метров, длина

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Делимость. 1

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Делимость. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Делимость. 1 Говоря о делимости, мы имеем в виду целые числа. Определение. Число a делится на число b, если существует такое число c, что a = bc. При этом

Подробнее

Примеры задач к экзамену по информатике (2-ой вопрос билета, практическая часть)

Примеры задач к экзамену по информатике (2-ой вопрос билета, практическая часть) Примеры задач к экзамену по информатике (-ой вопрос билета, практическая часть) 1. С клавиатуры вводится натуральное число N

Подробнее

Школьный этап всероссийской олимпиады по математике уч.год 5 класс

Школьный этап всероссийской олимпиады по математике уч.год 5 класс Школьный этап всероссийской олимпиады по математике 2014-2015 уч.год 5 класс 1. На уроке физкультуры мальчики построились в шеренгу. Потом между каждыми двумя мальчиками встала девочка. Всего в шеренге

Подробнее

Вариант II-A-5 1. Нарисовать на плоскости область, в которой и только в которой истинно указанное выражение:

Вариант II-A-5 1. Нарисовать на плоскости область, в которой и только в которой истинно указанное выражение: Вариант II-A-1 1. Вывести на экран фразу "у меня n книг"с согласованием падежей (n 20). 2. Вычислить произведение элементов массива, попадающих в интервал [a, b]. 3. По заданному двумерному массиву составить

Подробнее

2 Решение. Проект демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ-2015 по математике. Базовый уровень. Решение. Ответ: 2, 6 5. или. Ответ: 3, 2. или.

2 Решение. Проект демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ-2015 по математике. Базовый уровень. Решение. Ответ: 2, 6 5. или. Ответ: 3, 2. или. 1 Проект демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ-2015 по математике. Базовый уровень. 2, 6 5 3, 2 1, 1 2 4 0 5 4 1 3 1 7 4 0 0 0 Если 25 выпускников это треть от всего числа выпускников, то всех выпускников

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

Вариант 1 Ответом на задания 1 14 является целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов

Вариант 1 Ответом на задания 1 14 является целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов Вариант 1 Ответом на задания 1 14 является целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-10 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ Учебно-методическое

Подробнее

Часть 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины прямого угла.

Часть 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины прямого угла. Часть 1 Ответом на задания B1 B8 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Единицы измерения писать не нужно. B4 Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите высоту треугольника,

Подробнее

ГОРОДСКАЯ УСТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА

ГОРОДСКАЯ УСТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА Департамент образования г. Москвы Московский центр непрерывного математического образования Школа 218 г. Москвы и филиал Малого мехмата МГУ им. М. В. Ломоносова Гимназия 1514 г. Москвы Школа-интернат «Интеллектуал»

Подробнее

Преобразуем уравнение. Обозначим Тогда

Преобразуем уравнение. Обозначим Тогда Задача 1 Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 11 класс) Если двухзначное число разделить на некоторое целое число, то в частном получится 3 и в остатке 8 Если в делимом

Подробнее

X ВУЗОВСКО-АКАДЕМИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ учебный год 5 6 класс

X ВУЗОВСКО-АКАДЕМИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ учебный год 5 6 класс 5 6 класс (5 6.1) В пакете 9 кг крупы. Как при помощи чашечных весов и единственной гири весом 200 г за три взвешивания отмерить ровно 2 кг крупы? (5 6.2) Имеется 5 электрических розеток и 10 тройников.

Подробнее

Тренировочная работа. в формате ЕГЭ. 14 ноября 2013 года. 11 класс. Вариант МА10201

Тренировочная работа. в формате ЕГЭ. 14 ноября 2013 года. 11 класс. Вариант МА10201 Математика класс Вариант МА Тренировочная работа в формате ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 4 ноября 3 года класс Вариант МА Инструкция по выполнению работы На выполнение работы по математике даётся 3 часа 55 минут (35

Подробнее

Уроки математики в 6 классе.

Уроки математики в 6 классе. Уроки математики в 6 классе. РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ ( ч) Урок 11. Разложение на простые множители Цели: ознакомить с разложением на простые множители числа; повторить степень числа; формировать

Подробнее

КЛАССИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ. Теорема. Для любых двух положительных чисел a и b имеют место неравенства

КЛАССИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ. Теорема. Для любых двух положительных чисел a и b имеют место неравенства КЛАССИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ Определение Средним арифметическим двух чисел a и называется число Определение Средним геометрическим двух неотрицательных чисел a и называется число Определение 3 Средним квадратичным

Подробнее

Летняя школа специализированного учебно-научного центра. Методическое пособие

Летняя школа специализированного учебно-научного центра. Методическое пособие Летняя школа специализированного учебно-научного центра Методическое пособие Екатеринбург 2014 ЛЕТНЯЯ ШКОЛА (2014г) П р о г р а м м а Алгебра 1. Метод интервалов на прямой. 2. Метод областей на плоскости.

Подробнее

1. а-г (3 балла 2 балла 1 балл) д-е (4 балла 2 балла 1 балл) ж (2 балла 1 балл 0 баллов) Переложите одну спичку так, чтобы равенство стало верным

1. а-г (3 балла 2 балла 1 балл) д-е (4 балла 2 балла 1 балл) ж (2 балла 1 балл 0 баллов) Переложите одну спичку так, чтобы равенство стало верным Весенний тур XX Турнира Архимеда. г. класс.. а-г ( балла балла балл) д-е (4 балла балла балл) ж ( балла балл баллов) Переложите одну спичку так, чтобы равенство стало верным а) б) Переложите две спички

Подробнее

VIII Математический фестиваль «Золотое руно» г. Пицунда, Абхазия 1 9 июня 2015 г.

VIII Математический фестиваль «Золотое руно» г. Пицунда, Абхазия 1 9 июня 2015 г. VIII Математический фестиваль «Золотое руно» г. Пицунда, Абхазия. Комбинаторика 1 6 класс. 2.06.2015 1. В 20 пеналах разложены красные и синие ручки по 5 ручек в каждом. Известно, что всего красных и синих

Подробнее

МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее», 2 тур, 8 класс, 15 февраля 2015 года

МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее», 2 тур, 8 класс, 15 февраля 2015 года МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее», тур, 8 класс, 15 февраля 015 года ВАРИАНТ 1 3 1580 1. Докажите, что выражение 7 + 7 + 7 +... + 7 делится на 400.. В одном из областных центров

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ МАТЕМАТИКА, класс. Профильный уровень (5 - / 9) Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 5 года по МАТЕМАТИКЕ Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный

Подробнее

Error! Reference source not found. 1

Error! Reference source not found. 1 Error! Reference source not found. 1 2 Электронная физико-техническая школа Разбор задач второй части заданий 1 4 5 класс Задача 1. Несколько гномов, навьючив свою поклажу на пони, отправились в дальний

Подробнее

7 класс 1. Ответ. Решение. Критерий. Решение. Критерий. ЦИРКУЛЬ ЧАСТНОЕ ЧАСТЬ КРЕСТ Ответ. Решение. Критерий. Ответ. Решение.

7 класс 1. Ответ. Решение. Критерий. Решение.   Критерий. ЦИРКУЛЬ ЧАСТНОЕ ЧАСТЬ КРЕСТ Ответ. Решение. Критерий. Ответ. Решение. 7 класс 1. Компьютерный салон объявил о продаже гаджетов нового поколения. За несколько часов до открытия выстроилась очередь. Из каждого поезда метро между любыми двумя уже стоящими соседями влезало в

Подробнее