МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»"

Транскрипт

1 Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г.

2 Учебное пособие для студентов техникума II курса Авторы: Т.А. Букатина преподаватель математики. Модуль содержит теоретический материал, необходимый при изучении темы: «Прямая на плоскости и ее уравнения». В конце изложения теории приводятся примеры решения типовых задач по данной теме. Модуль завершается блоком заданий для самостоятельной работы, вопросами для повторения и зачетными заданиями. Модуль составлен в соответствии с программой по математике, рекомендованной Министерством образования и науки РФ для средних специальных учебных заведений. Данный модуль может быть использован на учебных занятиях и для самостоятельной подготовки студентов всех специальностей.

3 Прямая на плоскости и её уравнения. Уравнение линии на плоскости Рассмотрим уравнение F x, y, () где x и y - произвольные переменные, принимающие действительные значения. Известно, что решением уравнения () является любая упорядоченная пара значений переменных x и y, обращающая это уравнение в верное равенство. Заметим, что уравнению () может удовлетворять одна пара действительных чисел, несколько и даже бесконечное множество таких пар. Например, уравнению x 4 y удовлетворяет единственная пара чисел x 4 и y. Уравнению x 3y 5 удовлетворяет любая пара чисел x x и y x 5/ 3, где x - произвольное число. Существуют уравнения вида (), которым не удовлетворяет ни одна пара действительных чисел. Такими, например, являются уравнения x y, cos x y 5. Зададим на плоскости систему координат Oxy. Если рассматривать множество пар значений переменных x и y, удовлетворяющих уравнению (), как координаты точек на плоскости, то множество этих точек представляет график уравнения (), который, вообще говоря, есть некоторая линия L. Таким образом, уравнению с переменными x и y соответствует на плоскости, вообще говоря, некоторая линия, координаты точек которой удовлетворяют данному уравнению. Построение графиков функций можно 3

4 рассматривать как примеры нахождения линий, соответствующих данным уравнениям. Не менее важной является обратная задача: по данной на плоскости линии найти соответствующее ей уравнение. Пример : Лежат ли точки ; и ; на линии 3x y 7? Подставив в данное уравнение вместо x и y координаты точки, получим Следовательно, точка лежит на данной линии. Подставим координаты точки : 3 7 6, т.е. точка не лежит на данной линии. ч.т.д.. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в плоскости Oxy заданы некоторая точка M x; y и ненулевой вектор n с координатами ;. Требуется составить уравнение прямой l, проходящей через точку M и перпендикулярной вектору n (рис. ). y M O n M l x (рис. ) 4

5 Определение. Любой ненулевой вектор n, перпендикулярный прямой l, называется нормальным вектором этой прямой. n l ; n ;. Очевидно, что через точку M в плоскости Oxy проходит единственная прямая l, имеющая нормальный вектор n. Возьмем на прямой l произвольную точку M x; y. Тогда вектор M M перпендикулярен вектору n и, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, т.е. n M M. () Учитывая, что M M x x; y y и n ;, выразим равенство () в координатной форме: x x y y. () x x y y - уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным нормальным вектором где ; - координаты нормального вектора x; y - текущие координаты x ; y - координаты точки, через которую проходит прямая Пример : Составить уравнение прямой, проходящей через точку M ;3 перпендикулярно вектору n ; 3. Из условия задачи имеем x, y 3,, 3. Подставив эти значения в уравнение (), получим x 3( y 3) x 3y. 5

6 ч.т.д. Упражнения:. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно вектору n 3i 7 j.. Составить уравнение прямой, проходящей через точку ; перпендикулярно вектору n ;. 3. Составить уравнение прямой, проходящей через середину отрезка перпендикулярно к нему, если 3; и 5; Общее уравнение прямой и неполные уравнения прямой 3. Общее уравнение прямой Пусть дана произвольная прямая. Выберем на ней некоторую точку M x; y, и пусть n ; - произвольный нормальный вектор этой прямой, тогда (из п.) уравнением этой прямой будет уравнение x x y y. Запишем его так: x x y y, x y x y ; обозначив число- x С, получим x y C. y x y C - общее уравнение прямой, вектора. Задача Указать где x; y- текущие координаты, ; - координаты нормального нормальные векторы для прямых, заданных уравнениями ) x 4y 5 ; ) y x 7 ; 5 6

7 3) x 5 Нормальным вектором первой прямой является вектор n ; 4; второй- вектор n ; ; третий - вектор n ; Неполные уравнения прямой В общем уравнении прямой x y C,,, C могут принимать различные действительные значения, исключая одновременное равенство нулю и. Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения x y C, получающиеся при равенстве нулю отдельных его коэффициентов. ) Пусть в уравнении x y C, =, тогда y C получим C y y b. C,. Обозначим b y b - уравнение прямой параллельной оси OX (рис. ) Если кроме того, C, то уравнение b y. y примет вид y - уравнение прямой, совпадающей с осью OX. y y b O рис. x 7

8 ) Пусть, тогда уравнение x y C примет вид C x C, или x C a, получим x a., положим x a - уравнение прямой параллельной оси OY (рис.3) y O a x a x рис.3 Если же кроме того, C, то уравнение x a примет вид x. x - уравнение прямой совпадающей с осью ординат (рис.4) y x O рис.4 x 3) Пусть в уравнении y C x y x y x 8 C, тогда y x ;, положим k - формула

9 углового коэффициента прямой из общего уравнения прямой, получим y kx - уравнение прямой, проходящей через начало координат (рис.5) y M y O x x Определение: Условным коэффициентом (k) прямой называется тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси OX. k tg - определение углового коэффициента прямой. Пример: Найти угловой коэффициент прямой 6y 5 ; 6; C 5, k. 6 3 Ответ: k / 3. x. 3.3 Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой Рассмотрим общее уравнение прямой y C y x C y kx b. x C C y x ; k ; b, получим 9

10 y kx b - уравнение прямой с угловым коэффициентом k и начальной ординатой b. Пример. Общее уравнение прямой x 3y 6 записать в виде y kx b. Решение: I способ: x 3y 6, 3, C 6 k 3 3 C 6 b 3 y kx b y x. 3 II способ: x 3y 6 3y x 6 6 y x 3 3 y x. 3 Пример. Составить уравнение прямой, образующей с положительным направлением оси OX угол 6 и отсекающей на оси OY отрезок, равный 4. Дано: 6 b 4. Составить уравнение прямой y C Решение: y kx b x.

11 k tg k tg6 k 3 y 3x 4 3x y 4. Ответ: 3x y 4. Упражнения:. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей с положительным направлением оси OX углы: ) 3, ) 35.. Найти угловой коэффициент и начальную ординату прямой 4x 6y Составить уравнение прямой, проходящей через точку 5; и имеющей начальную ординату b. 4. Написать общее уравнение прямой из данных прямых и найти координаты её нормального вектора: ) y 3x 5, ) y x. 3 4.Другие формы уравнения прямой на плоскости В этом параграфе мы познакомимся с некоторыми другими формами уравнения прямой на плоскости.. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом. Пусть даны точка M ( x; y ) и угловой коэффициент k прямой, проходящей через точку M. Требуется составить уравнение искомой прямой в виде x x y y. () В этом уравнении координаты и нормального вектора n нам известны, поэтому постараемся их

12 исключить. Для этого разделим уравнение () на (, в противном случае k / не существует): откуда или x x y y, x, y y x y y kx. () x Определение. Уравнение () называется уравнением прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Пусть даны две различные точки M ( x; y) и M ( x; y ). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через эти точки. Возьмем произвольную точку M ( x; y) на этой прямой (рис. 6). y M M M M O x рис. 6 Рассмотрим векторы M M x x; y y M x x y. (3) ; y и

13 Точки M, M и M лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда векторы (3) коллинеарны и, следовательно, их координаты пропорциональны. При y имеем x x и y x x x x y y y y. (4) Определение. Уравнение (4) называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки. Если x x, то прямая параллельна оси Oy и, следовательно, её уравнение имеет вид x x. (5) Если y y, то прямая параллельна оси Ox и её уравнение имеет вид y y. (6) Пример: Даны координаты точек (;4) и (6;3). Составить уравнение прямой. Решение: x 4 y x y 4 ; y 6 x x 4y Уравнение прямой в отрезках. Пусть требуется составить уравнение прямой l, отсекающей на оси Ox отрезок величиной a a, а на оси Oy - отрезок величиной b ( b ) (рис. 7). 3

14 y b O a l x рис. 7 Обозначим точки пересечения прямой l с осями координат Ox и Oy соответственно через точки и. Тогда точка имеет координаты a ;, а точка - координаты ;b. Составим уравнение прямой l как прямой, проходящей через две точки a; и ;b. Заменив в (4) x, y координатами точки и x, y - координатами точки, получим откуда x a y a b x a 4 y b,. (7) Определение. Уравнение (7) называется уравнением в отрезках (оно связывает текущие координаты x и y и величины отрезков a и b, отсекаемые прямой на осях координат). Пример: Построить прямую x 3y 6. Решение: Преобразуем данное уравнение к виду (7); для этого перенесем свободный член вправо и разделим обе части на него:

15 x y. 3 Сравнивая полученное уравнение с уравнением (7), найдем a 3 и b. Отложим на оси Ox отрезок O величиной 3 и на оси Oy - отрезок O величиной. Прямая, проведенная через точки и, будет искомой (рис. 8). y 3; x O ; рис. 8 Упражнения:. Составить уравнение прямой, проходящей через точку ; 4 и образующей с положительным направлением оси Ox угол 35.. Составить уравнение прямой, проходящей через точку 3; и имеющей угловой коэффициент, равный. 3. Прямая проходит через точки ; 6 и 7;. Найти отрезки, отсекаемые этой прямой на осях Ox и Oy. 4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку 4; и отсекающей на оси Oy отрезок, равный Составить уравнение прямой в отрезках, если она пересекает оси координат в точках: ) 3; и ;5 ) ; и ; 4. 5

16 6. Найти длину отрезка, заключенного между точками x y 6 пересечения прямой с осями координат. 7. Составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, если: ) M ( ;), M (; ) ; ) M ( 6;), M (3; ) ; 3) M( 5; 4), M (5;) ; 4) M ( ;7), M ( 3;7 ). 8. Написать уравнения в отрезках и построить следующие прямые: ) 5x 3y 5 ; 3 y. ) x 9. Найти площадь треугольника, ограниченного прямой x 5y и осями координат. 5. Вычисление угла между прямыми Пусть требуется определить угол между прямыми l и l, заданными в плоскости Oxy уравнениями x y C, x y C. Вычисление одного из смежных углов между прямыми l и l сводится к вычислению угла между нормальными векторами n ; ) и n ; ) этих прямых (рис. 9) ( ( 6

17 y n l l n 8 Но O n cos n n n рис. 9 x. Записав правую часть последнего равенства в координатной форме, получаем cos. cos - формула вычисления угла между прямыми Пример : Найти угол между прямыми 7 y Решение: По формуле x и x y 3. cos находим 7 ( ) ( ) 8 cos,8, arccos, '. 49 l и Если прямые 7 l заданы соответственно уравнениями

18 y kx b и y kx b, то угол, на который нужно повернуть прямую l в положительном направлении до совпадения с прямой l, можно вычислить через угловые коэффициенты k и k этих прямых. Из рис. 9 видно, что, откуда. Если прямые l и l не перпендикулярны, т.е. имеет смысл tg, то tg tg tg tg( ). tg tg Но tg k, tg k, поэтому tg k k k k. Пример : Найти острый угол между прямыми y 4 y x 4. x и Решение: Из уравнения x y 4 находим k / /( ). Сравнивая уравнение y x 4 с уравнением y kx b, находим k /. По формуле имеем 3/ 3 tg,75. 4 В таблице тангенсов или при помощи микрокалькулятора находим 36 5'. Упражнения:. Вычислить угол между прямыми: 8

19 ) 5 y 7 x и x 3y ; y x и y x 4 ; x y и y 3x 4; 3x 4y 6 и 8x 6y. ) 3 3) 4). Вычислить угол между прямой x 3y 6 и прямой, проходящей через точки ( 4; 5) и (3;). 3. Даны уравнения сторон треугольника C : 7x 4y 9 (), x 8y 7 (C), x y 6 (C). Найти внутренние углы треугольника. 6. Пересечение прямых. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Пересечение прямых Пусть даны две прямые, определяемые уравнениями x y C и x y C. 9 Требуется найти точку их пересечения. Точка пересечения данных прямых есть их общая точка. Координаты этой точки удовлетворяют как первому, так и второму уравнению, т.е. эти координаты являются общими корнями данных уравнений. Чтобы найти эти корни, нужно как известно из алгебры, решить совместно данные уравнения, рассматривая их как систему уравнений x y C x y C Пример: Найти точку пересечения прямых 3y x y. Решение: Решим данные уравнения как систему. x и

20 x 3y x y 3 5x 5 5x 5 x 3 x 3y 3x 3y 3 получим, зная x, находим y, например значение x подставляем во второе уравнение 3 y y y 3 ; Ответ: 3 ;.. Условие параллельности прямых Пусть даны на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy прямые l и l, и заданные уравнениями x y C и x y C (рис. ) y l n n l O рис. n ; ), n ; ) ( ( x ( n l ; n l ; l l ) n n векторы n и n коллинеарны значит их одноименные координаты пропорциональны, т.е.. - условие параллельности прямых

21 - условие совпадения прямых C C Перепишем равенство k и k, то k k. или, т.к. k k - условие параллельности прямых Таким образом прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны между собой. Пример : Показать, что прямые 3x y и 6x 4y 7 параллельны l l, если Решение: 3 y 3 6. x - l ( 3 ; ) 6x 4y 7 - l ( 6 ; 4 ) l l. 4 Пример : При каком значении m прямые 4 3y 9 mx 6y 3 будут параллельны. Решение: l l 4 3 m 6 Ответ: m 8. Пример 3: 3m 4 m 8 x и

22 Написать уравнение прямой, проходящей через точку (;3) и параллельной прямой x y 5. Дано: (;3) l x y 5 - l l l l Написать уравнение Решение: y y kx x ; Т.к. l l, то k k x y 5 - l ( ; ) k ; k k y 3 x y 3 x 4 x y Ответ: y x. 3. Условие перпендикулярности прямых Пусть на плоскости в системе координат даны два взаимно перпендикулярные прямые l и l, заданные уравнениями x y C и x y C (рис. ). y n n l l O рис. x

23 ( n l ; n ( ; ) ; n ( ; ) ; n l ; l l) n n n n. - условие перпендикулярности прямых Перепишем равенство, если и, то разделим обе части равенства на, получим или k k, отсюда при k k 3 и k ; k. k имеем k k - условие перпендикулярности прямых, то Таким образом, прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты обратные по величине и противоположны по знаку. Пример : Показать, что прямые 6x 5y 7 и x 4y перпендикулярны. Решение: l, если l 6x 5y 7 - l ( 6; 5 ) x 4y - l ( ; 4 ) l l. Пример : Написать уравнение прямой, проходящей через точку ( 4; 5) и перпендикулярной прямой 3x 6y 7. Дано: ( 4; 5) l

24 3x 6y 7 - l l l l Написать уравнение Решение: y y kx l l x k k 3x 6y 7 - l ( 3 ; 6 ) k ; y 5 ( x 4) ; x y 3 Ответ: x y 3. 3 k ; 6 Упражнения:. Найти точку пересечения двух прямых: ) 3x y 4 и x 3y 5 ; ) x 5y 7 и 3x 5y 4.. Параллельны ли прямые: ) x 3y 7 и 4x 6y 9 ; ) x y 3 и 8x 4y ; 3) 3x 5y и 6x y Перпендикулярны ли прямые: ) 3x y 3 и x 3y 7 ; ) x 5y 6 и 5x y При каких значениях m прямые 3 7y 9 6x my 3 параллельны. 5. При каких значениях n прямые 4 9y 8 nx 6y 7 перпендикулярны. x и x и 4

25 6. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M ( ; 3), параллельной прямой 3x y Написать уравнение прямой, проходящей через точку ( 4; ) и перпендикулярной прямой 3y 7 x. 5

26 Вопросы для повторения:. Какое вы знаете уравнение линии на плоскости?. Дайте определение нормального вектора прямой. 3. Каково уравнение прямой, проходящей через данную точку и нормальным вектором? 4. Какое уравнение прямой называется общим? 5. Какие вы знаете частные случаи уравнения прямой? 6. Каково уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой? 7. Какое знаете уравнение прямой, проходящей через точку с заданным направлением (пучок прямых)? 8. По какой формуле можно написать уравнение прямой, проходящей через две точки? 9. Что представляет собой уравнение прямой в отрезках?. Как найти угол между прямыми.. Какие условия параллельности прямых знаете?. Какие условия перпендикулярности прямых знаете? 3. По какой формуле можно найти координаты точки пересечения прямых? 6

27 Зачетная работа «Прямая на плоскости». Написать уравнение прямой, проходящей через точку (4;3) и перпендикулярной вектору MN, если (3;) N (;). M и. При каких значениях m прямые 3 my 9 4x 5y 7 параллельны? 3. При каких значениях p прямые 7y 5 px 4y 3 перпендикулярны? 4. Найти угол между прямыми x и x и y x 8 4 и x y,8. 4x 3y 4, 5. Определить длину отрезка прямой заключенного между точками пересечения прямой с осями координат. 7

28 Литература:. А.А. Дадаян «Математика» Профессиональное образование. Зайцев «Элементы высшей математики» 3. Г.Н. Яковлев «Математика для техникумов» 4. И.И. Валуцэ «Математика для техникумов» 5. Н.В. Богомолов «Практические занятия по математике». 8

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

Перевод на «язык равенств и неравенств»

Перевод на «язык равенств и неравенств» Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Перевод на «язык равенств и неравенств» Раздел электронного пособия «Элементарная математика» e-mail:

Подробнее

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного

Подробнее

Примеры решения задач

Примеры решения задач И. В. Яковлев Материалы по математике athus.ru Расстояние от точки до плоскости Если точка не принадлежит плоскости, то расстояние от точки до плоскости это длина перпендикуляра, проведённого из точки

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Т.Е. Воронцова И.Н. Демидова Н.К. Пешкова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

С.р.2 углов. Изображать с помощью чертёжных инструментов геометрические фигуры: 4 Смежные и

С.р.2 углов. Изображать с помощью чертёжных инструментов геометрические фигуры: 4 Смежные и Название темы Колво часов Приложение к рабочей программе по геометрии Учебно-тематический план Геометрия 7 класс ( часа в неделю, всего 70 часов) Характеристика деятельности обучающихся Глава. Простейшие

Подробнее

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс Санкт Петербургский государственный университет 5 6 учебный год, январь Вариант 1 1 Сравните числа ( 6 5 + 4) 1 и ( 8 + 7 6) 1 + 1 Решите уравнение + + + 1= log log Решите неравенство + 6 4 Изобразите

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

Зависимость скорости от времени

Зависимость скорости от времени И В Яковлев Материалы по физике MathUsru Равноускоренное движение Темы кодификатора ЕГЭ: виды механического движения, скорость, ускорение, уравнения прямолинейного равноускоренного движения, свободное

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН, ВИ ИВАНОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебно-методическое пособие

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2) Многогранники: виды задач и методы их решения

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2) Многогранники: виды задач и методы их решения Корянов АГ Прокофьев АА Многогранники: виды задач и методы их решения ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 (типовые задания С) Многогранники: виды задач и методы их решения Корянов Анатолий Георгиевич методист по математике

Подробнее

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2 А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Векторы в пространстве и метод координат. Задача C Существует два способа решения задач по стереометрии. Первый классический

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятиями треугольник, четырехугольник,

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Презентация по материалам рабочей тетради «Задача В8» авторов И.В. Ященко, П.И. Захарова

Презентация по материалам рабочей тетради «Задача В8» авторов И.В. Ященко, П.И. Захарова Презентация по материалам рабочей тетради «Задача В8» авторов И.В. Ященко, П.И. Захарова ЕГЭ Математика Задача B8 Содержание (виды заданий В8) 1 2 3 4 5 Найдите значение производной функции в точке х 0

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1.

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1. 1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, 2014-2015 учебный

Подробнее

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Гомель, 2007 Содержание Тема 1. Векторы и линейные операции над ними 5 1.1 Предмет,

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ Арифметика понимать особенности десятичной системы счисления; использовать понятия, связанные с делимостью натуральных чисел; выражать

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

r = (x, y) r 1 = (x 1,,y 1 ) M 1 (x 1,,y 1 ) L M(x, y) L D = Ax 1 By 1 ; M 1 (x 1, y 1 ) L; N=(A,B) L y=0 x=a x=0 y=b a = ; A

r = (x, y) r 1 = (x 1,,y 1 ) M 1 (x 1,,y 1 ) L M(x, y) L D = Ax 1 By 1 ; M 1 (x 1, y 1 ) L; N=(A,B) L y=0 x=a x=0 y=b a = ; A ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ТАБЛИЦАХ Уравнения прямой на плоскости в R - - Уравнение прямой проходящей через точку перпендикулярно вектору Общее уравнение прямой b Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

Цель: закрепить пройденный теоретический материал посредством рассмотрения I соответствующих примеров и решения задач.

Цель: закрепить пройденный теоретический материал посредством рассмотрения I соответствующих примеров и решения задач. Предмет: алгебра и начала анализа Класе: 11 Дата проведения урока: 21.12.2015 Учитель: С.М. Криштоп Тема урока: Касательная к графику функции (урок 2) Цель: закрепить пройденный теоретический материал

Подробнее

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (на базе

Подробнее

Летняя школа специализированного учебно-научного центра. Методическое пособие

Летняя школа специализированного учебно-научного центра. Методическое пособие Летняя школа специализированного учебно-научного центра Методическое пособие Екатеринбург 2014 ЛЕТНЯЯ ШКОЛА (2014г) П р о г р а м м а Алгебра 1. Метод интервалов на прямой. 2. Метод областей на плоскости.

Подробнее

Программа вступительного экзамена по математике

Программа вступительного экзамена по математике Программа вступительного экзамена по математике Программа составлена на основе Федерального компонента государственного стандарта основного общего и среднего (полного) общего образования (приказ Минобразования

Подробнее

Векторы в физике. Содержание. И. В. Яковлев Компания «Ваш репетитор» 1 Скалярные и векторные величины 2

Векторы в физике. Содержание. И. В. Яковлев Компания «Ваш репетитор» 1 Скалярные и векторные величины 2 И. В. Яковлев Компания «Ваш репетитор» Векторы в физике Содержание 1 Скалярные и векторные величины 2 2 Сложение векторов 4 2.1 Правило треугольника.................................. 4 2.2 Правило параллелограмма................................

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Гомель, 2007 Содержание Тема 1. Эллипс 4 1.1 Эллипс и его каноническое уравнение............

Подробнее

Многогранники в задаче 16

Многогранники в задаче 16 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Стереометрия на ЕГЭ по математике Многогранники в задаче 16 Цель данного пособия помочь школьнику научиться решать задачи 16 (в прошлом С) единого госэкзамена

Подробнее

Лекция 1: Комплексные числа

Лекция 1: Комплексные числа Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В школьном курсе математики понятие числа постепенно расширяется.

Подробнее

Еще несколько прямых, проходящих через точку Фейербаха. Ивлев Фёдор. СУНЦ МГУ

Еще несколько прямых, проходящих через точку Фейербаха. Ивлев Фёдор. СУНЦ МГУ Еще несколько прямых проходящих через точку Фейербаха. Ивлев Фёдор. СУНЦ МГУ Теорема: Дан треугольник. 1 - точки касания сторон и с вписанной окружностью соответственно. 0 0 - середины сторон. Обозначим

Подробнее

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ»

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА ОБУЧЕНИЕ ПО ПРОГРАММАМ БАКАЛАВРИАТА И ПРОГРАММАМ СПЕЦИАЛИТЕТА

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА ОБУЧЕНИЕ ПО ПРОГРАММАМ БАКАЛАВРИАТА И ПРОГРАММАМ СПЕЦИАЛИТЕТА Минобрнауки России Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сыктывкарский государственный университет имени Питирима Сорокина» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ МИНОБРНАУКИ РОССИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Новосибирский государственный университет экономики и управления «НИНХ» (ФГБОУ ВО «НГУЭУ», НГУЭУ)

Подробнее

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ООО «Резольвента» www.resolventa.ru resolventa@list.ru (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МА- ТЕМАТИКЕ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МА- ТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ МСХ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты:

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: Содержание программы 1. Числа, корни и степени. Числовые последовательности Натуральные числа. Простые

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

Баллы 0-4 5 6-7 8-9 Оценка «2» «3» «4» «5»

Баллы 0-4 5 6-7 8-9 Оценка «2» «3» «4» «5» МАТЕМАТИКА, класс Ответы и критерии, Ноябрь 0 Вариант/ задания ОТВЕТЫ В В В В В В В7 С 90, 0 0 0,8 0, arcsi 7, 00 0-0, +, +, ( + +, 0-0, 0, 9 Отрезку принадлежат корни 78,8 79 700 9, - 0, 0, arccos 8 7,

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ 1. Числовые множества. Арифметические действия над числами. Натуральные числа (N).

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

10 класс Повторение планиметрии

10 класс Повторение планиметрии Учебное пособие по геометрии 10 класс Повторение планиметрии (задачи в картинках) Для учащихся Лицея 1502 при МЭИ І полугодие Краткое содержание 1. Программа коллоквиума по «Планиметрии». 2. Содержание

Подробнее

Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрические ряды Фурье Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5) ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр (типовые задания С5) Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор педагогических наук, заведующий кафедрой высшей математики НИУ МИЭТ, учитель математики ГОУ лицей

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ» Автономная некоммерческая организация дополнительного образования Учебный Центр при МГТУ им. Н. Э. Баумана «Ориентир» «УТВЕРЖДАЮ» Директор АНО ДО Учебный Центр при МГТУ им. Н.Э.Баумана «Ориентир» ПАНФИЛОВА

Подробнее

Пояснительная записка к рабочей программе математике для 6 класса на учебный год

Пояснительная записка к рабочей программе математике для 6 класса на учебный год Пояснительная записка к рабочей программе математике для 6 класса на 2015-2016 учебный год Пояснительная записка к рабочей программе по математике для 6 класса составлена на основе следующих нормативно-правовых

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

ПРОГРАММА ПЕРЕВОДНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ В 6-ом КЛАССЕ

ПРОГРАММА ПЕРЕВОДНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ В 6-ом КЛАССЕ ПРОГРАММА ПЕРЕВОДНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ В 6-ом КЛАССЕ Программа переводного экзамена по математике в 6 классе составлена на основе требований к результатам изучения курса математики в 5-6 классах,

Подробнее

Лекция 2: Многочлены

Лекция 2: Многочлены Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Подробнее

ОБ УГЛАХ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ И НЕМНОГО О ПРОЧИХ УГЛАХ

ОБ УГЛАХ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ И НЕМНОГО О ПРОЧИХ УГЛАХ АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ 9 ВИРыжик ОБ УГЛАХ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ И НЕМНОГО О ПРОЧИХ УГЛАХ Окончание Начало см в 3 за 2008 г Задачи на вычисление угла между скрещивающимися прямыми Ясно, что установление

Подробнее

Тема 18 «Углы. Треугольники. Прямоугольный треугольник».

Тема 18 «Углы. Треугольники. Прямоугольный треугольник». Тема 18 «Углы. Треугольники. Прямоугольный треугольник». Основные понятия Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

Подробнее

Рабочая программа по геометрии

Рабочая программа по геометрии Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 3 города Пудожа Рассмотрено на заседании МО математики и информатики Протокол 1 от 29.08.2016 Руководитель МО Купцова

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФГБОУ ВПО «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Персиановский

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Факультет городского строительства и жилищно-коммунального хозяйства Кафедра

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Министерство образования и науки Российской Федерации. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет» МАТЕМАТИКА Методические

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Определенный интеграл. Графический смысл перемещения.

Определенный интеграл. Графический смысл перемещения. Определенный интеграл. Графический смысл перемещения. Если тело движется прямолинейно и равномерно, то для определения перемещения тела достаточно знать его скорость и время движения. Но как подойти к

Подробнее

А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru. Степенная функция

А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru. Степенная функция А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Степенная функция Степенн ыми называют функции вида x α, где α может быть целым, дробным, положительным или отрицательным. К

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

Задачи группы С2. Задача 1

Задачи группы С2. Задача 1 Как научить выпускников решать задачи C2 из ЕГЭ по математике? Существует три основных метода решения задач C2. Условно назовем их «методом построений», «векторно-координатным методом» и «методом объемов».

Подробнее

УСРЕДНЕНИЕ ТРЁХМЕРНОГО ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ

УСРЕДНЕНИЕ ТРЁХМЕРНОГО ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ 9 Компьютерная оптика том УСРЕДНЕНИЕ ТРЁХМЕРНОГО ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ АВ Устинов Учреждение Российской академии наук Институт систем обработки изображений РАН Аннотация В данной статье описан метод усреднения

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных дробей; с требуемой точностью округлять данные числа и результаты

Подробнее

Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае

Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае Задачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае 1 I рода слева I рода справа Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиями I-го рода: { X x + Xx, X X 11 Общее решение уравнения X x + Xx имеет вид Xx c

Подробнее

Оглавление. 1. Метод интегральных сумм Примеры решения задач Задачи типового расчета Список литературы... 21

Оглавление. 1. Метод интегральных сумм Примеры решения задач Задачи типового расчета Список литературы... 21 1. Метод интегральных сумм...................... Примеры решения задач....................... 3 3. Задачи типового расчета....................... 17 Список литературы............................ 1 1. Метод

Подробнее

Решение задач повышенного уровня по геометрии методом координат.

Решение задач повышенного уровня по геометрии методом координат. Усенко Людмила Викторовна, учитель математики высшей категории гимназии г. Сочи Решение задач повышенного уровня по геометрии методом координат. Эта методическая разработка по решению задач повышенного

Подробнее

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj Высшая математика Лекции по курсу Список литературы [] Высшая математика для экономистов Под редакцией НШ Кремера [] СА Минюк, ЕА Ровба Высшая математика [] Сборник задач по высшей математике для экономистов

Подробнее

Лекция 2. Инварианты плоских кривых

Лекция 2. Инварианты плоских кривых Лекция 2. Инварианты плоских кривых План лекции. Гладкие кривые на плоскости, число вращения, классификация кривых с точностью до гладкой гомотопии, точки самопересечения, число Уитни, теорема Уитни..1

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ (СОБЕСЕДОВАНИЕ)

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ (СОБЕСЕДОВАНИЕ) Министерство образования и науки Российской Федерации НОУ ВО "Институт экономики и правоведения (г. Назрань)" ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ (СОБЕСЕДОВАНИЕ) Назрань 2015 1 1. Арифметика,

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

Разговор после семинара: «Проблемы и пути их преодоления при решении задач группы С2».

Разговор после семинара: «Проблемы и пути их преодоления при решении задач группы С2». Разговор после семинара: «Проблемы и пути их преодоления при решении задач группы С» Богатова Елена Юрьевна, Пичина Ольга Викторовна, учителя математики высшей квалификационной категории ГБОУ гимназии

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Данная

Подробнее

Теоретическая механика Часть I. Кинематика

Теоретическая механика Часть I. Кинематика Министерство образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики (технический университет) Кафедра теоретической физики и механики Ю.А. Борисов, А.Г.

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее», 2 тур, 8 класс, 15 февраля 2015 года

МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее», 2 тур, 8 класс, 15 февраля 2015 года МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее», тур, 8 класс, 15 февраля 015 года ВАРИАНТ 1 3 1580 1. Докажите, что выражение 7 + 7 + 7 +... + 7 делится на 400.. В одном из областных центров

Подробнее

4. Постоянное магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле.

4. Постоянное магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле. 4 Постоянное магнитное поле в вакууме Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле Закон Био-Савара-Лапласа: [ dl, ] db =, 3 4 π где ток, текущий по элементу проводника dl, вектор dl направлен

Подробнее

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа вступительного испытания. по математике

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа вступительного испытания. по математике Федеральное государственное автономное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа вступительного испытания по математике

Подробнее

Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ

Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ Рациональные числа Ученик научится: В 5-6 КЛАССАХ 1) понимать особенности десятичной системы счисления; 2) владеть понятиями,

Подробнее

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( )

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( ) 6 9 Замена переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Общий случай замены переменной в двойном и тройном интегралах. Якобиан. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах

Подробнее

Кафедра высшей математики. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Кафедра высшей математики. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР Задачи выбора в условиях неопределенности Имеется набор возможных исходов y Y, из которых один окажется совмещенным с выбранной альтернативой, но с какой именно в момент выбора неизвестно,

Подробнее