Периодические деформации в распределении молекул в тонких слоях нематического жидкого кристалла в электрическом поле

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Периодические деформации в распределении молекул в тонких слоях нематического жидкого кристалла в электрическом поле"

Транскрипт

1 Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 853 Периодические деформации в распределении молекул в тонких слоях нематического жидкого кристалла в электрическом поле Кондратьев Д.В. ГОУ ВПО «Башкирский государственный педагогический университет им. М.Акмуллы» Рассмотрена возможность образования периодических деформаций в нематических жидких кристаллах во внешнем электрическом поле. Исследован частный случай когда отсутствует азимутальная энергия связи который демонстрирует зависимость периодических искажений от приложенного электрического поля а именно: при увеличении напряженности электрического поля возрастает величина волнового вектора. Возможность образования устойчивых периодических деформаций в нематических жидких кристаллах (НЖК) ранее рассматривалась в работах Лонберга и Мейера []. В этих работах рассматривался образец НЖК с планарной ориентацией директора во внешнем поперечном магнитном поле. Они показали что если константа деформации кручения меньше некоторого критического значения деформация директора принимает периодический характер [ 3]. А периодические деформации в так называемых гибридных ячейках (планар-гомеотроп) нематика в отсутствие магнитного или электрического полей были рассмотрены в работах Стригацци [4 6]. И во всех случаях наличие внешнего поля электрического или магнитного приводило к периодической нестабильности в распределении директора. В.Пергаменщик [7 8] рассматривал возможность спонтанного появления периодических деформаций в планарных образцах. Он показал что при достаточно большой величине константы K 4 нематик в начальном состоянии характеризующийся планарными направлениями легкого ориентирования приобретает периодические искажения. В работе Барберо [9] исследуется

2 Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 854 появление периодических деформаций в образце НЖК при определенных граничных условиях. В данной работе рассматривается устойчивость однородной планарно ориентированной системы нематик + подложки ограничивающие НЖК по отношению к периодическим деформациям. Известно что на структуру образования влияет энергия Франка которая стремится минимизировать внешнее воздействие. В нашей работе мы рассматриваем слой НЖК толщины d когда он лежит в плоскости x. Нижняя часть подложки определяется условием = а верхняя = d где d толщина слоя. В нашей модели мы r r предполагаем что направление директора зависит от и. Если n = n( то соответствующая деформация нематика называется апериодической [9]. r r С другой стороны если n = n( то мы предполагаем периодическую зависимость вдоль оси то есть n r ( = n r ( + λ где λ = π q есть пространственный период деформации. Предполагаем также что в однородном состоянии n x ( ) = и n ( ) = n () =. Для малых флуктуаций планарной ориентации описываемых компонентами n и n будем считать величинами первого порядка x + малости. Из соотношения сохранения длины директора n n + n = r r nx n n O + = +. Исходя из того что n = n( r r = n n n = n n e (. следует что ( )( ) () получаем r и ( ) ) n + r n r n x + O Следовательно ( ) = n () и ( ) ) n + O r r n n = O(. Энергия Франка записывается в виде r r r r r f e = { K( n) + K[ n ( n) ] + K33[ n ( n) ] } r r r r ( K + K ) [ n n + n ( )] 4 n которая во втором порядке малости по отклонениям n и n записывается

3 Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 855 f e = { K ( n + n ) + K ( n n ) ( K + K )( n n n n )} 4 4 где учтена энергия взаимодействия с подложкой [9]. Для упрощения задачи рассмотрим одноконстантное приближение когда K = K = K33 = K. С учетом этого получим: f e = { K( n + n ) + K( n n ) ( K + K )( n n n n )} 4 4 Используя полярные координаты компоненты директора перепишутся в виде: n = sinθ sinφ = cos( π θ ) sinφ = cosθ = sin( π θ ) n. Введем переобозначение π θ = θ и далее под θ будем понимать θ. Тогда при θ и φ n = φ n = θ и f e запишется как где {( φ + θ ) + ( θ φ ) µ ( φ θ φ θ )} = () f e K K + K4 K = = + 4 µ. K K Как видно из соотношения () плотность функционала Франка представляет собой квадратичную форму от φ φ θ θ. В отсутствие подложек однородная планарная ориентация тонкого слоя НЖК соответствует минимуму плотности энергии Франка если квадратичная форма положительно определена. Это выполняется если определители главных миноров матрицы

4 Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 856 Q = µ µ µ µ положительны. Простые вычисления показывают что определители главных миноров первого и второго порядков равны т.е. больше нуля. Для определителей главных миноров третьего и четвертого порядков запишем неравенства: ( ) > ( µ ) > ( ) Первое неравенство выполняется для ( ;) очевидно. µ. µ второе же неравенство Если нематик помещен в электрическое поле то электрическая составляющая в энергию упругости Франка запишется в виде ε a r r f E ( n E) E = ε. 8π 8π Первое слагаемое не зависит от ориентации директора поэтому оно не дает вклада в энергию. В рассматриваемой задаче электрическое поле прикладывается перпендикулярно к слою нематика. Это означает что электрический вклад в энергию Франка ε r a f E = 8π 8π Тогда полная энергия Франка в объеме r ε a ε a ( n E) = n E = E θ 8π f = f e + f. Предполагая что поверхностная энергия характеризуется осью легкого ориентирования вдоль оси x имеем: [ w () n () n () w ( d) n ( d) n ( d) ] g s = αβ α β + αβ α β. α β E. В простейшем случае δ w αβ ( ) = w αβ αβ ( d) w αβ w = δ и мы имеем по величинам второго порядка малости

5 Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 857 [ φ () + θ ()] + w [ φ ( d) + θ ( )] g s = w d. () Возможным обобщением поверхностной энергии g s является случай в котором два собственных значения матрицы W элементов w αβ будут различны. Это означает что эффективная энергия связи будет иметь вид: g s [ w φ () + w θ ()] + [ w φ ( d) w θ ( )] = φ θ φ + θ d. g s = g + g (3) Очевидно что выражение (3) более реалистично чем выражение (). Поскольку поперечно-продольная деформация учитывающая угол θ подразумевает что речь идет о вариации анизотропной части потенциала Ван-дер-Ваальса благодаря изменениям среднего расстояния между приповерхностными молекулами нематика и подложки. В противоположность в деформации чистого кручения где изменяется только переменная φ среднее расстояние между молекулами не меняется. Средняя полная энергия на единицу длины вдоль оси x в общем случае записывается как F = λ d λ λ [ f ( θ φ θ φ i ) dd + g( θ φ ) d g( θ φ ) d] + i (4) λ где θ = θ () θ = θ ( ) под θ i подразумевается d θ и θ и φ φ имеют сходный смысл а λ длина волны периодической деформации. Задача минимизации функционала (4) приводит к решению следующей системы дифференциальных уравнений в общем случае α α α φ i = = α (5) α α для d и λ где α = с граничными условиями

6 Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» g g = + = на = (6) и + g g = + = на = d. (7) В нашем случае система уравнений (5) с учетом предположения θ ( = Θ( cos( q) и ( = Φ( sin( q) φ может быть приведена к виду Θ Φ ξθ = q Φ = ε где ξ = a E q. 4 π K Решением данной системы дифференциальных уравнений являются функции ( = C sh( ξ + C ch( ξ ( ) = C sin( ξ + C cos( Θ при ξ > и Θ при ξ < ) ( ξ ( q + C ch( q Φ = C sh. ( И окончательно θ ( [ C sh( ξ + C ch( ξ ] cos( q) ( θ [ C sin( ξ + C cos( ξ ] cos( ) и = при ξ > = q при ξ < ) ( [ C sh( q + C ch( q ] sin( ) φ ( = q. Поскольку постоянные интегрирования С С С С которые можно определить исходя из граничных условий (6) (7) линейно независимы то данные решения можно переписать в виде: θ ( [ C sh( ξ + C ch( ξ ] cos( q) ( θ [ C sin( ξ + C cos( ξ ] cos( ) = при ξ > = q при ξ < ) (8) (

7 Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 859 [ C sh( q C ch( q ] sin( ) φ ( = q. Проведем анализ устойчивости планарной ориентации директора для полученного решения (8). Здесь получаем Очевидно что θ = X cos( q) φ = X sin( q) (9) θ = X 3 cos( q) φ = X 4 sin( q) X i линейные комбинации констант C ( i = 4 ). Также исходя из вида решения для граничных условий (6) и (7) g + g + g + = d f g + = d где V i это линейные комбинации C i. Продифференцировав (4) по = = i = V cos( q) () = V = V = V выражения соотношения (9) и () получим F C Но так как из () следует что 4 i = 3 4 sin( q) cos( q) sin( q) C i и подставив в полученные V X C k k= = 4 k m= условие F C = запишется в виде i F C i km k i. V C а также Bik = X k Ci то 4 = B k= ik km C m m =.

8 Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 86 Обозначим M ij = 4 k= B ik kj тогда анализ устойчивости планарной ориентации директора n r сведется к исследованию матрицы M. В рассматриваемой модели матрицы B и определяются как: В первом случае при положительном ξ > B = sh( ch( элементы матрицы будут иметь вид = ξ θ ξ d) ξ d) sh( qd) ch( qd) = 3 = 4 = q( µ ) = = q ( µ ) = q sh( ξ d) 3 = ξ ch( ξ d) + θ 3 4 = θ φ ch( ξ d) 3 = ξ sh( ξ d) + = q( µ )sh( ) = q( µ )ch( ) 33 qd 34 qd = q( µ )sh( ξ ) = q( µ )ch( ξ ) 4 d sh( qd) 43 = qch( qd) + φ 4 d ch( qd) 44 = qsh( qd) + φ где K θ = w θ K θ = w θ K φ = w φ K φ = длины экстраполяции. w φ Во втором случае при отрицательном значении ξ < B = sin( cos( ξ d) ξ d) sh( qd) ch( qd) элементы матрицы запишутся следующим образом

9 Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 86 = ξ = 3 = 4 = q ( µ ) = = q( µ ) = q 3 θ θ sin( ξ d) = ξ cos( ξ d) = θ φ cos( ξ d) = ξ sin( ξ d) + = q( µ )sh( ) = q( µ )ch( ) 33 qd 34 qd = q( µ )sin( ξ ) = q( µ )cos( ξ ) 4 d sh( qd) 43 = qch( qd) + φ 4 d ch( qd) 44 = qsh( qd) +. φ В отсутствие азимутальной энергии связи и в φ φ предположении q выпишем главные миноры m m m 3 m 4 матрицы M в зависимости от знака ξ. Построим графики зависимостей значений m m m 3 m 4 от значения волнового вектора q. Построения графиков выполнены для четырех различных значений напряженности электрического поля. Во всех четырех случаях как видно из рис. главные миноры не отрицательны а следовательно планарная ориентация директора для рассмотренных значений параметров устойчива. Особенность поведения системы проявляется при * q q в виде того что значение ξ зануляется т.е. ξ ( q * ) =. При этом значение * q возрастает при увеличении напряженности электрического поля. Рассмотренный частный случай когда отсутствует азимутальная энергия связи демонстрирует зависимость периодических искажений от приложенного электрического поля: при увеличении напряженности электрического поля возрастает величина волнового вектора.

10 Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 86 a) б) в) г) Рис.. Графики главных миноров матрицы M в зависимости от q для µ = 3 E = В (сплошная линия) 3В (пунктирная линия) 4В (штриховая линия) 5В (штрих-пунктирная линия) d =. 3 см K = 6 дин. θ = 4 см θ = 4 см Литература. F.onberg and R.B.Meer Phs. Rev. ett (985).. C.Oldano Phs. Rev. ett (986). 3. E.Miraldi C.Oldano and.strigai Phs. Rev (986). 4..Sparavigna.Komitov B.Stebler and.strigai Mol. Crst. iq. Crst (99). 5..Sparavigna and.strigai Mol. Crst. iq. Crst. 9 (99). 6..Sparavigna O.avrentovich and.strigai Phs. Rev. E (994). 7. V.M.Pergamenshchik Phs. Rev. E (993). 8. V.M.Pergamenshchik Phs. Rev. E (). 9...lexe-Ionescu G.Barbero and I.elidis Phs. Rev. E ().

CONVECTION IN LIQUID CRYSTALS

CONVECTION IN LIQUID CRYSTALS КОНВЕКЦИЯ В ЖИДКИХ КРИСТАЛЛАХ Е. Д. ЭЙДЕЛЬМАН Санкт-Петербургская химико-фармацевтическая академия CONVECTION IN LIQUID CRYSTALS E. D. EIDELMAN Liquid crystals are a phase having properties of both liquid

Подробнее

y велики; y = p x + 1 Re v t + u v = p y + 1 Re u x + v y = 0 = v y=0 y=0 t=0

y велики; y = p x + 1 Re v t + u v = p y + 1 Re u x + v y = 0 = v y=0 y=0 t=0 Система уравнений пограничного слоя. Знаменательный успех в исследованиях движений жидкости при больших числах Рейнольдса был достигнут в 904 году и связан с именем Л. Прандтля. Прандтль показал как можно

Подробнее

Факультативно. Ковариантная форма физических законов.

Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Ковариантность и контравариантность. Слово "ковариантный" означает "преобразуется так же, как что-то", а слово "контравариантный" означает "преобразуется

Подробнее

(8.1) ( ) dx t dt (8.2) = a u t x t. du t x t u u u u dt t x dt t x (8.3)

(8.1) ( ) dx t dt (8.2) = a u t x t. du t x t u u u u dt t x dt t x (8.3) 8. Граничные условия Задание граничных условий для уравнений Навье-Стокса представляет собой отнюдь не тривиальную задачу. Даже более того. С теоретической точки зрения это наиболее сложная часть рассматриваемой

Подробнее

d 2 Ψ(x) + V (x)ψ(x) = EΨ(x). (1.1)

d 2 Ψ(x) + V (x)ψ(x) = EΨ(x). (1.1) Федеральное агентство по образованию И.В. Копытин, А.С. Корнев, Т.А. Чуракова Задачи по квантовой механике Учебное пособие для вузов Часть 3-е издание Воронеж 008 Утверждено научно-методическим советом

Подробнее

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики Технический университет) Л.А. МАНИТА УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ

Подробнее

Сеточные методы решения краевых задач математической физики

Сеточные методы решения краевых задач математической физики Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ М.Э.Рояк Ю.Г.Соловейчик Э.П.Шурина Сеточные методы решения краевых задач математической

Подробнее

Глава 5. Равновесие термодинамических систем и фазовые переходы 5.1. Гомогенные и гетерогенные термодинамические системы 5.2.

Глава 5. Равновесие термодинамических систем и фазовые переходы 5.1. Гомогенные и гетерогенные термодинамические системы 5.2. Глава 5. Равновесие термодинамических систем и фазовые переходы 5.1. Гомогенные и гетерогенные термодинамические системы 5.2. Термодинамическое равновесие 5.3. Условия устойчивости и равновесия в изолированной

Подробнее

Г. П. Быстрай, С. А. Охотников ОДИН ИЗ ПОДХОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Г. П. Быстрай, С. А. Охотников ОДИН ИЗ ПОДХОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Г. П. Быстрай, С. А. Охотников ОДИН ИЗ ПОДХОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Излагается термодинамика нелинейных процессов, в которой рассматриваются основные (базовые) термодинамические

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

Цель работы. Содержание работы. 1. Установление наличия корреляционной зависимости между случайными

Цель работы. Содержание работы. 1. Установление наличия корреляционной зависимости между случайными Цель работы Часто на практике необходимо исследовать, как изменение одной переменной величины X влияет на другую величину Y Например, как количество цемента X влияет на прочность бетона Y Такое влияние

Подробнее

1. Задача финансирования инвестиционных проектов

1. Задача финансирования инвестиционных проектов ' В.Н.Бурков, Л.А.Цитович МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ ФИНАНСИРОВАНИЯ В УСЛОВИЯХ РЫНОЧНОЙ ЭКОНОМИКИ Введение В статье рассматриваются механизмы финансирования инвестиционных проектов и программ в рыночной

Подробнее

ЗАДАЧА РЭЛЕЯ БЕНАРА ДЛЯ АНОМАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

ЗАДАЧА РЭЛЕЯ БЕНАРА ДЛЯ АНОМАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2007. Т. 48, N- 2 27 УДК 532.51.013.4:536.25 ЗАДАЧА РЭЛЕЯ БЕНАРА ДЛЯ АНОМАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ А. Н. Ермоленко Новосибирский государственный университет, 630090 Новосибирск

Подробнее

ЧАСТЬ III. СТАТИКА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

ЧАСТЬ III. СТАТИКА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ЧАСТЬ III. СТАТИКА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Теперь, когда все виды простейших деформаций бруса рассмотрены, можно было бы обратиться к исследованию усилий и перемещений в системах

Подробнее

Лекция 3. 2.6. Работа силы. Кинетическая энергия ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

Лекция 3. 2.6. Работа силы. Кинетическая энергия ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ 34 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Лекция 3.6. Работа силы. Кинетическая энергия Наряду с временнóй характеристикой силы ее импульсом, вводят пространственную, называемую работой. Как всякий вектор, сила

Подробнее

Линейные разностные уравнения и их приложения

Линейные разностные уравнения и их приложения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Владимирский государственный университет имени

Подробнее

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ. по физической химии

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ. по физической химии Российский химико-технологический университет имени Д.И. Менделеева Кафедра физической химии ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ по физической химии Спектрохимия Москва 015 Лабораторный практикум по физической химии.

Подробнее

А.М. Ефимов. ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ И МЕХАНИЗМЫ ИХ ФОРМИРОВАНИЯ Учебное пособие

А.М. Ефимов. ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ И МЕХАНИЗМЫ ИХ ФОРМИРОВАНИЯ Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ А.М. Ефимов ОПТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Работа силы Ампера. Сила Ампера. проводящий ползунок AC, которому

Работа силы Ампера. Сила Ампера. проводящий ползунок AC, которому Работа силы Ампера Напомню, что сила Ампера, действующая на элемент линейного тока, дается формулой (1) Посмотрим на рисунок По двум неподвижным горизонтальным проводникам (рельсам) может свободно перемещаться

Подробнее

Федеральное агентство по образованию И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков Квантовая теория Курс лекций для вузов Часть 1 3-е издание Воронеж 2009

Федеральное агентство по образованию И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков Квантовая теория Курс лекций для вузов Часть 1 3-е издание Воронеж 2009 Федеральное агентство по образованию И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков Квантовая теория Курс лекций для вузов Часть 1 3-е издание Воронеж 2009 Утверждено научно-методическим советом физического факультета

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

ЧЕГО НЕ УЧЛИ АМПЕР, ФАРАДЕЙ, МАКСВЕЛЛ И ГЕРЦ. 18. Динамические потенциалы и поля движущихся зарядов.

ЧЕГО НЕ УЧЛИ АМПЕР, ФАРАДЕЙ, МАКСВЕЛЛ И ГЕРЦ. 18. Динамические потенциалы и поля движущихся зарядов. ЧЕГО НЕ УЧЛИ АМПЕР, ФАРАДЕЙ, МАКСВЕЛЛ И ГЕРЦ. 18. Динамические потенциалы и поля движущихся зарядов. Тот путь, который продемонстрирован во второй главе, касающийся введения полных производных полей, пройден

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра общей физики. ОБРАБОТКА И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Методические рекомендации

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра общей физики. ОБРАБОТКА И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Методические рекомендации КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра общей физики ОБРАБОТКА И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Методические рекомендации Казань-1999 1. ИЗМЕРЕНИЕ И ЕГО МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ В основе

Подробнее

1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО

1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО 3. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО.. Линейное пространство Определение. Говорят, что на множестве R определена операция сложения элементов, если каждой упорядоченной паре элементов х, у R ставится в соответствие

Подробнее

Министерство образования и науки РФ

Министерство образования и науки РФ Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тульский государственный университет Кафедра физики МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к практическии

Подробнее

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Рассмотрим задачу на нахождение условного экстремума для случае функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Пусть имеется

Подробнее

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (следящие системы)

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (следящие системы) Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет К. К. Васильев ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (следящие системы) -е издание Рекомендовано Учебно-методическим

Подробнее

Глава 7. Основные термодинамические процессы 7.1. Изохорный процесс 7.2. Изобарный процесс 7.3. Изотермический процесс 7.4. Адиабатный процесс 7.5.

Глава 7. Основные термодинамические процессы 7.1. Изохорный процесс 7.2. Изобарный процесс 7.3. Изотермический процесс 7.4. Адиабатный процесс 7.5. Глава 7. Основные термодинамические процессы 7.. Изохорный процесс 7.2. Изобарный процесс 7.3. Изотермический процесс 7.4. Адиабатный процесс 7.5. Политропный процесс 7.6. Дросселирование. Эффект Джоуля-Томсона

Подробнее

Впредыдущих главах мы рассматривали методы решения обыкновенных дифференциальных

Впредыдущих главах мы рассматривали методы решения обыкновенных дифференциальных 4 Введение в системы дифференциальных уравнений Г Л А В А 4.1. Системы первого порядка и их приложения Впредыдущих главах мы рассматривали методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений с одной

Подробнее