2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11"

Транскрипт

1 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно сходящиеся функциональные последовательности и ряды Геометрический смысл равномерной сходимости функциональной сходимости 4 Необходимый и достаточный признак равномерной сходимости функциональных последовательностей Критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей 5 Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда

2 Определения функциональной последовательности и функционального ряда Опр Пусть дана последовательность функций:,,,,, причем функции являются функциями одной переменной и определены в некоторой области X Такая последовательность называется функциональной и обозначается: Пусть для каждого X эта последовательность имеет конечный предел Величина этого предела зависит от значения Поэтому функциональная последовательность своим пределом будет также иметь функцию, зависящую от, те lim Опр Функция называется предельной функцией последовательности Теперь нас будут интересовать не только существование предела при каждом отдельном значении, но и функциональные свойства предельной функции [4] Опр Рассмотрим ряд, элементами которого являются функции одной и той же переменной, заданной в области X : U U U Такой ряд называется функциональным рядом Сходимость этого ряда определяется следующим образом: при каждом фиксированном значении функция при каждом из X функциональный ряд U о сходимости числовых рядов подробно описано в [] U принимает числовое значение Поэтому превращается в числовой ряд, а

3 Пусть дан функциональный ряд U и он сходится при каждом фиксированном из X, тогда сумма такого ряда представляет собой некоторую функцию от переменной : U определяется также как и для числового: Сумма для функционального ряда lim частичная сумма функционального ряда -го порядка Здесь U U U U k k - Опр4 Множество всех значений, при которых заданный функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда [4] Пример Найти область сходимости ряда Решение Применим признак Д`Аламбера абсолютной сходимости функционального ряда Имеем: U ; U lim U U lim Следовательно, при расходится ; данный ряд сходится абсолютно, а при Рассмотрим теперь поведение исследуемого функционального ряда при и При этих значениях получаются соответствующие числовые ряды:

4 ;, которые, сходятся по интегральному признаку сходимости числового положительного ряда и признаку сходимости знакочередующегося ряда соответственно Окончательно получаем, что на отрезке [-,] заданный функциональный ряд абсолютно сходится [] Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов Опр5 Последовательность функций равномерно сходится на множестве Х к предельной функции, если N, N, X : Опр6 Функциональная последовательность называется равномерно сходящейся на множестве X, если существует функция равномерно сходится на множестве X Обозначение:, X [4], в которой она ряда Определения равномерной сходимости функциональных рядов Опр7 Если последовательность частичных сумм U равномерно сходится к функции равномерно сходится на множестве X [4] функционального на множестве X, то ряд Рассмотрим определение равномерной сходимости функционального ряда на некотором отрезке [, b ]

5 Пусть функциональный ряд U сходится на отрезке [, b] и - какое-нибудь значение из области сходимости, причем Тогда числовой ряд U U U U U 4 сходится и его сумма равна, те f = U U U U 4 U Представим это равенство в виде = R, где U U U U 4 U сумма; R U U U Тогда, lim R, lim - остаток ряда к функции b - -я частичная Как и в случае функциональной последовательности, для функционального ряда номер N также зависит как от, так и от значения из области сходимости: N N, Однако, для функционального ряда число N может и не зависеть от, те это число N будет одно и тоже для каждого значения, принадлежащего области сходимости Опр8 Функциональный ряд U, сходящийся на отрезке [, b ], называется равномерно сходящимся, если для любого существует такой номер N, не зависящий от, что [, b] [7] R при N, каково бы ни было Пример Исследовать на сходимость функциональный ряд

6 Решение При сумма ряда равна нулю; при ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму сумма ряда равна единице При При и ряд представляет собой сумму бесконечно возрастающей геометрической прогрессии,следовательно, расходится [,] R Таким образом, данный ряд сходится на отрезке [,] и имеет сумму f, если ;, если Выясним теперь, будет ли данный ряд равномерно сходящимся на отрезке Остаток ряда имеет вид R Очевидно, что R R геометрической прогрессии, поэтому Ряд в правой части равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей R Для того чтобы выполнялось неравенство, откуда l l или / l l / Пусть l натуральное число R l, нужно положить N- ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом Тогда для любого положительного числа существует такое N, зависящее от, что заданного, можно найти соответствующее N отношением l / l l также будет приближаться к нулю, а число N R при N Для каждого, определяемое Однако если, меняясь, приближается к нулю, то - неограниченно

7 возрастать Это обстоятельство показывает, что, хотя данный ряд и сходится на отрезке [,], все же для любого положительного числа нельзя найти такой не зависящий от значения номер N, что R при N Это говорит о том, что ряд не всюду на отрезке [,] сходится равномерно Данный ряд, однако, будет равномерно сходящимся на [,], где - положительное постоянное число, меньшее В качестве номера N не зависящего от можно взять ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом l / l [] Геометрический смысл равномерной сходимости функциональной последовательности Перепишем неравенство опр5 в виде двойного неравенства: Это означает, что график функций шириной, и функции и вверх и вниз на величину [4] целиком располагается в полосе получены смещением функции Рис Понятие равномерной сходимости естественным образом переносится и на функциональные ряды

8 Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности Теорема Для того чтобы функциональная последовательность х равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для N, N, p, Доказательство необходимости p N и х Х p выполнялось неравенство: Пусть последовательность функций равномерно сходится на множестве Х, где Х область определения этих функций Требуется доказать, что для N N, N, p p, p N и х Х : Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности, существует такая предельная функция, к которой эта последовательность сходится, те, N N, N, х Х : При тех же условиях существует такой номер N, что при p будет выполняться неравенство: 4 Сложим два неравенства одинакового смысла: + p p N 5 В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел: y y p p + Следовательно, p, N, p, p N

9 Доказательство достаточности Пусть N N, N p, p N: p Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции на X Так как по условию достаточности выполняется неравенство p, то какое бы х из Х не было взято, функциональная последовательность будет числовой последовательностью, а для числовой последовательности выполняется критерий Коши сходимости числовой последовательности последовательность p { }, который утверждает, что эта сходится Значит, х Х у функциональной последовательности существует конечный предел, а это доказывает существование предельной функции для функциональной последовательности: lim Кроме того, lim p p А это означает, что функциональная последовательность будет сходиться на множестве Х, так как будет выполняться неравенство: p, перейдем к пределу при р, а cost, получим: - условие равномерной сходимости функциональной последовательности по определению Теорема доказана [4] Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда U Теорема Для того чтобы функциональный ряд равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы, N N, N, p, p N и х Х выполнялось неравенство:

10 U U U p Доказательство p U k k Составим разность частичных сумм функционального ряда p U U U p U : Если будут выполняться неравенства: p, то это означает, что последовательность частичных сумм функционального ряда U равномерно сходится на множестве Х А по определению равномерной сходимости функционального ряда, исследуемый функциональный ряд будет сходиться на множестве Х Теорема доказана [4]

11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Достаточный признак равномерной и абсолютной сходимости функциональных рядов теорема Вейерштрасса Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов Почленное интегрирование функциональных рядов на R

12 Достаточный признак равномерной и абсолютной сходимости функционального ряда признак Вейерштрасса Теорема Пусть даны два ряда: функциональный которого являются функции U, элемен-тами U, определенные на множестве Х, и числовой положительный сходящийся ряд А Тогда, если для всех х Х выполняется неравенство U A U, то функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на множестве Х Доказательство Пусть выполняются все условия теоремы А Так как по условию теоремы числовой ряд сходится, то в соответствии со свойством числового ряда, его остаток должен стремится к нулю, те А k k или A A A p A p Так как это положительный числовой ряд, то неравенство примет вид: A A A p A p По условию теоремы х Х выполняется неравенство: U A Поэтому, при p выполняется и такое неравенство: 4 Если p, то неравенство примет вид: учетом пункта По свойству транзитивности p p Uk Ak k k U k A k k k U k k положительного функционального ряда, стремящегося к нулю при - это остаток с k Значит,

13 функциональный ряд U будет сходиться по свойству рядов Известно, что если ряд абсолютно сходится, то он просто сходится Значит, функциональный ряд U сходится 5 Докажем равномерность сходимости функционального ряда Из неравенства p U k k и, используя свойства модуля суммы двух y действительных чисел p p U k Uk k k 6 По свойству транзитивности: y можно переписать это неравенство так: p U k k сходимости функционального ряда на множестве Х Теорема доказана [] - условие равномерности Замечание Положительный сходящийся числовой ряд, связанный с функциональным рядом, называется мажорантным или мажорирующим [4] Пример : Доказать, что функциональный ряд равномерно сходится на всей числовой прямой Решение Так как выберем при х R si абсолютно и si, N, х R, то в качестве мажорантного ряда Cравним общие элементы функционального и числового рядов: si, при х R Следовательно, si сходится абсолютно и

14 равномерно на R, так как, [4] - положительный сходящийся ряд ряд Дирихле с Замечание Признак Вейерштрасса является лишь достаточным условием равномерной сходимости функционального ряда [4] Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов Теорема 4 Если функции U непрерывны в точке х Х и функциональный ряд U равномерно сходится на множестве Х, то его сумма х тоже непрерывна в точке х Доказательство Пусть - частичная сумма функционального ряда В соответствии с условиями теоремы, функциональный ряд равномерно сходится, значит, выполняется и равномерная сходимость последовательности частичных сумм На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать:, N N, N : 4 Так как функции условию теоремы, то частичная сумма или U исследуемого ряда непрерывны в точке х по будет непрерывна в точке х, как сумма состоящая из конечного числа непрерывных функций по теореме о непрерывности функции полученной в результате алгебраического сложения и умножения двух непрерывных функций: = U + U + + U

15 5 На основании определения непрерывности функции языке можно записать: х Х, х х : 6 Так как последовательность функций сходиться к предельной функции будет тоже равномерно сходиться к в точке на будет существовать такое, будет равномерно, то и последовательность функций 7 На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать:, N N, N : 8 Сложим три неравенства одинакового смысла пунктов,5,7: + + модуля суммы действительных чисел Воспользуемся свойством y y, получим: Следовательно, - условие непрерывности функции Теорема доказана [4] Замечание в точке х Полученное утверждение теоремы можно переписать в следующем виде: lim или lim U, так как U, его сумма U, следовательно, lim U U

16 Так как каждая функция U непрерывна в точке х, то для любой функции можно написать утверждение: lim U lim lim U U, следовательно, U Таким образом, предел от функционального U ряда равен сумме пределов его элементов [4] ряда Известно, что если последовательность частичных сумм функционального U равномерно сходится, то этот функциональный ряд тоже равномерно сходится на указанном множестве Это обстоятельство позволяет переформулировать теорему 4 для функциональных рядов в соответствующую теорему для функциональных последовательностей Теорема 5 Если функции равномерно сходятся к функции, N непрерывны в точке х непрерывна в точке х и выполняется равенство: предельные переходы по х и по перестановочны Доказательство Так как функции на множестве Х, то и функция lim lim X и lim lim равномерно сходятся в предельной функции на множестве Х, на основании теоремы 4, то можно записать равенство: lim Функция основании теоремы 4Так как является непрерывной в точке множества Х на непрерывна в точке х, то можно записать lim следующее утверждение: определение непрерывности функции в точке

17 Используя равенство пункта, подставим вместо левую часть утверждения lim lim 4 Так как по условию теоремы функции непрерывны в точке х X, то на основании определения непрерывности функции в точке можно записать lim 5 Перейдем к пределу при в последнем равенстве: lim lim lim 6 Так как последовательность функций сходиться к предельной функции lim будет равномерно, то верно следующее утверждение: 7 С учетом записанного равенства, равенство пункта 5 примет вид: lim lim 8 Сравним равенства пункта и пункта 7 Правые части равны, значит, равны и левые: lim [ lim ] lim [ lim Теорема доказана [4] ] Почленное интегрирование функциональных рядов Теорема 6 Если последовательность непрерывных на сходится равномерно на указанном отрезке к предельной функции, функций, [, b] последовательность определенных интегралов с переменным верхним пределом { t dt} b будет сходиться равномерно на [, b ] к, то

18 определенному интегралу формула: lim t dt Доказательство t dt, причем будет справедлива следующая [ lim t ] dt t Так как по условию теоремы последовательность функций { } равномерно сходится к пределу функции функция на [, b ] те, то будет непрерывна на [, b] на основании теоремы 5 Известна теорема, что если функция непрерывна на [, b ], то она интегрируема на указанном отрезке, те существует определенный интеграл tdt,,, b В силу равномерной сходимости последовательности функции { } к пределу функции на основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать:,, N, N, t [, b] : b t t b 4 Рассмотрим разность двух определенных интегралов с переменным верхним пределом под знаком модуля: t dt t dt = t t dt t t на основании dt свойства определенного интеграла 5 С учетом неравенства пункта можно написать:

19 t dt t dt dt b b 6 Если правую часть последнего неравенства заменить на, то получим неравенство: t dt t dt, что равносильно выражению lim t dt t dt, но t lim t, поэтому lim t dt [lim Теорема доказана [4] t ] dt,, [, b] Следствие Пусть функции U, непрерывны на [, b ] и функциональный ряд U равномерно сходится на указанном отрезке, тогда, [, b] функциональный ряд вида сходиться на отрезке [, b ] к формула: U tdt U U t U t dt dt t dt или к будет равномерно t dt, т е справедлива Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, те U t d U t dt t Доказательство dt

20 Так как по условию следствия функциональный ряд U равномерно сходится на [, b ], то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции Причем и основа-нии только что доказанной теоремы: t dt [, b] t, те [, b] непрерывны в каждой точке отрезка [, b] на dt,, [, b] Но t dt представляет собой частичную сумму такого ряда: U t dt 4 А t dt является суммой ряда U t На основании доказанной теоремы можно записать: lim t dt t dt 5 Последнее равенство можно переписать следующим образом: U t dt Теорема доказана U t dt,, [, b] Замечание Условие равномерной сходимости ряда на [, b ] является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы [] dt

21 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Почленное дифференцирование функциональных рядов и последовательностей Понятие степенного ряда Теорема Абеля 4 Геометрическая интерпретация теоремы Абеля

22 Почленное дифференцирование функциональных рядов Теорема 7 Пусть последовательность функций дифференцируемых на [, b ], непрерывно, и последовательность их производных равномерно сходятся на [, b ], тогда предел последовательности непрерывно дифференцируемых функций указанном отрезке и верно равенство: lim lim ' или, т е d lim d lim, [, b] d d Доказательство, непрерывно дифференцируем на Обозначим через предельную функцию последовательностей lim функций на [, b ] { } : По условию теоремы { } равномерно сходится к предельной функции На основании ранее доказанных теорем функция непрерывна на [, b], следовательно, она будет интегрируема на [, b], т е существует t dt, он будет равен [ lim t ] dt lim t dt интегрировании функциональных последовательностей на основании теоремы о почленном df F b F 4 По свойству определенного интеграла:, правую часть записанного выражения можно записать в виде следующего равенства: b

23 lim[ t dt] lim[ ] lim lim на основании теоремы о предельной сумме сходящихся последовательностей и видно, что функция дифференцируема для, [, b] 5 Известна теорема, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке Значит, функция непрерывна, [, b] 6 В соответствии с теоремой, если функция непрерывна на [, b ], то она на нем интегрируема, те существует непрерывна в каждой точке [, b ] tdt Следовательно, функция 7 Из пунктов 4, 5, и 6 следует, что функция непрерывно дифференцируема на указанном отрезке Теорема доказана [4] Следствие Пусть функции U непрерывно дифференцируемы на [, b] и функциональные ряды: U, U равномерно сходятся на [, b ] Тогда сумма функционального ряда U дифференцируема на указанном отрезке и верно равенство: ряда U U / = непрерывно те допустимо почленное дифференцирование у такого функционального Доказательство

24 Обозначим предел частичных сумм { }, т е lim для функционального ряда U По условию следствия должны равномерно сходиться последовательности функций, [,b ] [,b ] На основании только что доказанной теоремы и функция непрерыв но дифференцируема, те lim lim 4 Последнее равенство можно переписать по-другому: U U Теорема доказана [4] Понятие степенного ряда Определение Ряды, членами которых являются целые положительные степени независимой переменной или двучлена, где cost, умноженные на числовые коэффициенты называются степенными рядами: или b b b b b b Члены степенных рядов являются непрерывными и дифференцируемыми функциями на всей действительной оси Все последующие рассуждения будут проводиться для рядов вида так как ряды вида переменной y b приводятся к рядам вида заменой,

25 Итак, для ряда числа,,,,, называются коэффициентами степенного ряда Нумерация членов степенного ряда начинается с нуля Придавая различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися и расходящимися Определение Множество тех значений, при которых ряд сходится, называется областью его сходимости Это множество не пусто, так как любой степенной ряд сходится при Очевидно, что частичная сумма степенного ряда является функцией переменной Поэтому и сумма ряда является некоторой функцией от, определенной в области сходимости ряда: Теорема Абеля Абель Нильс Хенрик 8 87 норвежский математик Теорема Дан степенной ряд Ι Если он сходится для некоторого значения, то он сходится и притом абсолютно для всех значений, удовлетворяющих неравенству: ΙΙ Если он расходится для некоторого значения, то он расходится и для всех, удовлетворяющих условию: Доказательство Ι часть Пусть степенной ряд сходится для Требуется доказать, что он сходится и притом абсолютно, удовлетворяющих неравенству

26 Так как ряд в точке сходится, то на основании теоремы о сходимости ряда общий член ряда стремится к нулю при, т е при На основании теоремы, если последовательность сходится, то она ограничена, последовательность будет ограничена Значит, существует такое число M, что выполняется неравенство: M 4 Перепишем ряд в следующем виде: 5 Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин элементов этого ряда: 6 Члены последнего ряда в силу неравенства M меньше соответствующих членов такого ряда: M M M M 7 Если, то ряд M M M M представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q и M b Следовательно, ряд M сходится

27 8 Так как члены ряда меньше соответствующих членов ряда M : M, то по признаку сравнения положительных рядов ряд сходится при 9 Тогда сходится и ряд и притом абсолютно при на основании теоремы: если ряд абсолютно сходится, то он просто сходится ΙΙ часть Докажем теперь вторую часть теоремы По условию теоремы ряд в точке расходится Требуется доказать, что он расходится для всех, удовлетворяющих условию Предположим обратное, т е, допустим, что при некотором, таком, что ряд сходится 4 Тогда по только что доказанной первой части теоремы ряд сходиться и в точке, так как, а в точке он сходится 5 Но это противоречит тому, что в точке ряд будет расходится Это противоречие и доказывает -ую часть теоремы ч т д Геометрическая интерпретация теоремы Абеля Если ряд сходится в точке, то он сходится абсолютно во всех точках, расположенных на интервале ;

28 Если ряд расходится в точке, то он расходится вне интервала ; ; ] [ ;

29 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция 4 Интервал и радиус сходимости степенного ряда Способ определения радиуса сходимости степенного ряда Свойства степенных рядов

30 Интервал и радиус сходимости степенного ряда Теорема Если степенной ряд сходится не на всей числовой прямой и не только при, то существует число R такое, что: а ряд абсолютно сходится при R ; б ряд расходится при R Доказательство Пусть и ряд Обозначим множество всех таких через X сходится Если множество X неограниченно, то по теореме Абеля ряд будет всюду сходиться 4 Если множество X пусто, то есть X Ш, то ряд расходится всюду 5 Если же множество X не пусто, то есть X Ш, то, значит, оно ограничено 6 Обозначим через R sup X точную верхнюю грань множества X X 7 Если R, то, очевидно, что X R расходится, и, значит, ряд 8 Если R, то X, что R ряд при любом будет сходиться абсолютно на основании теоремы Абеля ч т д Определение Интервал R;R называется интервалом сходимости степенного ряда Определение Число R называется радиусом сходимости степенного ряда Замечание Интервал сходимости некоторых рядов охватывает всю числовую прямую В этом случае пишут R У других рядов интервал сходимости вырождается в одну точку R

31 Всякий степенной ряд имеет свой радиус сходимости R 4 При R ряд может, как сходиться, так и расходиться Это вопрос решается для каждого конкретного случая Для нахождения радиуса сходимости можно использовать признак Даламбера Способ определения радиуса сходимости степенного ряда Теорема Если существует предел lim, то радиус сходимости степенного ряда равен R lim Доказательство Рассмотрим ряд По условию теоремы существует предел lim Обозначим этот предел через R 4 Найдем отношение элемента ряда к -ому элементу lim U lim lim U lim lim R R 5 При каждом значении степенной ряд становится числовым рядом 6 По признаку Даламбера ряд сходится, если, т е R R 7 Тогда по теореме о сходимости знакопеременных рядов если ряд, состоящий из абсолютных величин членов заданного ряда сходится, то он просто

32 сходится ряд также будет сходиться при R, причем будет сходиться абсолютно 8 При R ряд расходится, т е lim R 9 И, следовательно, общий член ряда не стремится к нулю при Таким образом, данный ряд сходится внутри интервала R;R и расходится вне его, т е радиус сходимости равен R lim ч т д Пример Найти радиус сходимости ряда! Решение R lim lim!! lim! lim! Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на всей числовой прямой, т е его радиус сходимости равен бесконечности Свойства степенных рядов Свойство Если R - радиус сходимости степенного ряда r R, то этот ряд сходится равномерно на отрезке r;r Доказательство Пусть r; r Тогда для r; r выполняется неравенство и r Но числовой ряд r сходится, так как r R, а R радиус сходимости степенного ряда 4 Ряд r числовой положительный ряд, т е мажорантный ряд

33 5 Следовательно, по признаку Вейерштрасса ряд сходится равномерно и абсолютно на отрезке r;r ч т д Свойство Сумма степенного ряда непрерывна на интервале сходимости Доказательство Пусть r R, где R радиус сходимости ряда Так как ряд сходится равномерно и абсолютно на отрезке r;r по свойству, то его сумма непрерывна на этом интервале в силу теоремы о непрерывности суммы функционального ряда Так как число r выбиралось произвольно, то сумма степенного ряда непрерывна на интервале сходимости R;R ч т д Свойство Степенной ряд интегрировать, т е, R; R t dt верно равенство: Доказательство Пусть r таково, что, r; r Следовательно, степенной ряд на отрезке r;r следует: на интервале R;R можно почленно и r R равномерно абсолютно сходится Тогда по теореме о почленном интегрировании функциональных рядов t t dt t dt Свойство 4 Степенной ряд можно почленно дифференцировать, т е R; R на интервале сходимости R;R верно утверждение: ч т д

34 R и интервал сходимости ряда, причем, интервал сходимости последнего ряда равен Доказательство Пусть, R; R Тогда числовой ряд интервале R;R r тоже равен R и r r R сходится, так как Поэтому числовая последовательность r сходится на, являясь сходящейся, будет ограничена на основании теоремы если последовательность сходится, то она ограничена 4Следовательно, можно записать, что неравенство: r M 5 Тогда r ;r верно неравенство: M выполняется r r r M q r r, где q r 6 Но ряд M q числовой положительный ряд, сходящийся как сумма убывающей геометрической прогрессии с q 7 Тогда ряд, составленный из производных ряда, т е, сходится равномерно и абсолютно на отрезке r ;r по признаку Вейерштрасса 8 Значит, ряд можно почленно дифференцировать в точке, так как r, на основании теоремы о почленном дифференцировании функционального ряда

35 9 Так как точка выбиралась произвольно, то ряд дифференцировать на интервале R;R можно Теперь покажем, что радиусы сходимости рядов, и совпадают Обозначим их радиусы сходимости соответственно R, R, R Из свойства и предыдущих рассуждений следует, что ряды t dt и сходятся во всякой точке интервала сходимости R;R ряда Поэтому, очевидно, что R R и R R, т е действия почленного интегрирования и дифференцирования степенного ряда не уменьшают его результат сходимости 4 Но, в свою очередь, ряд почленного дифференцирования ряда интегрирования ряда 5 Значит R R ; R R можно рассматривать как результат или как результат почленного 6 Сопоставление полученных неравенств и дает R R R ч т д

36 модуль Тема 4 Формула и ряд Тейлора Разложение в степенной ряд основных элементарных функций Тригонометрические ряды Ряд Тейлора Фурье Лекция 5 Разложение функций в ряд Тейлора Необходимые и достаточные условия представимости функции рядом Тейлора 4 Достаточные условия представимости функции рядом Тейлора 5 Разложение функции e в ряд Тейлора 6 Разложение функций Тейлора si, х R, в ряд

37 Ряд Тейлора Определение Пусть функция f определена и бесконечно дифференцируема на интервале, h h, тогда ряд f! называется рядом Тейлора функции f в точке Теорема Пусть R радиус сходимости степенного ряда, и f его сумма на интервале ; R R Тогда этот степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы Доказательство Так как степенные ряды можно почленно дифференцировать, и в результате дифференцирования снова получается степенной ряд с тем же радиусом сходимости, то это значит, что степенные ряды можно бесконечно дифференцировать Следовательно, f сумма ряда бесконечно дифференцируема Продифференцируем степенной ряд k раз в точке, получим: ; f f ; f ; f 4 4

38 ; f k k k! k k k k 4 Вычислим значения производных в точке : f ; f ; k f,, f k! k 5 Таким образом, все коэффициенты ряда такого вида f k определяются единственным образом по формуле: f! k f k или k! 6 Это означает, что данный степенной ряд Тейлора для своей суммы f в точке является рядом ч т д Теорема единственности Если ряды такого вида, b сходятся на некотором интервале h; и на этом интервале их h суммы совпадают, то будут равны и коэффициенты степенных рядов, те,,, Доказательство Так как по условию теоремы суммы степенных рядов совпадают, то обозначим сумму рядов f b, Из предыдущей теоремы следует, что коэффициенты степенного ряда

39 определяются по формуле ч т д f! Значит, f b!, т е b Определение Если функция f определена и бесконечно дифференцируема на интервале h; h, то ее ряд Тейлора в точке называется рядом Маклорена функции f и этот ряд имеет вид: f! Разложение функций в ряд Тейлора Возникает вопрос, при каких условиях ряд Тейлора для бесконечно дифференцируемой на интервале h; функции f сходится на h этом интервале и сходится именно к функции f Решать эту задачу будем, используя известную формулу Тейлора для функции f В разделе Дифференциальное исчисление функции одной переменной выведена формула Тейлора для любой бесконечно дифференцируемой функции: f f f f f R,!!! где h;, и h R остаточный член формулы Тейлора Причем, остаточный член в форме Лагранжа имеет вид: R f! Остаточный член в форме Коши имеет вид: R f!, где, где

40 Необходимое и достаточное условия представимости функции рядом Тейлора Теорема Функция f разлагается в ряд Тейлора на интервале h h; тогда и только тогда, когда остаточный член формулы Тейлора стремится к нулю при Доказательство необходимости: на этом интервале Пусть функция f разлагается в ряд Тейлора на интервале f h;, те f, h; h! h Требуется доказать, что R при на указанном промежутке Так как функция f является суммой ряда Тейлора, то предел частичных сумм данного ряда существует, конечен и равен f, те lim f, h; h Тогда из равенства f R следует, что lim R, h; h ч т д Доказательство достаточности: Пусть lim R, h; h Требуется доказать, что функция f разлагается в ряд Тейлора на указанном интервале Допустим, что функция разлагается в ряд Тейлора, тогда f R R f Перейдем к пределу в последнем неравенстве: lim R lim[ f ], так как lim R, то lim[ f ] f lim 4 Значит, ряд Тейлора сходится на интервале h; и его сумма h равна f, те функция f разлагается в ряд Тейлора на интервале h h;

41 чтд Замечание Из теоремы следует, что вопрос о разложении функции в ряд Тейлора сводится к исследованию поведения остаточного элемента Достаточные условия представимости функции рядом Тейлора Часто бывает неудобно пользоваться необходимым и достаточным признаком представимости функции рядом Тейлора Это объясняется тем, что выражение для R может быть громоздким, и трудно установить, стремится ли остаточный член к нулю при признак для проверки или нет В таких случаях применяют достаточный Теорема 4 Пусть функция f бесконечно дифференцируема на интервале h; и все ее производные на указанном интервале h ограничены одной и той же константой M, те f M,,,, Тогда функция f разлагается в ряд Тейлора на интервале h; : h f f, h; h или :! Доказательство h Для того чтобы доказать эту теорему, необходимо убедиться, что остаточный член формулы Тейлора стремится к нулю при при модулю и для h; h, те Оценим остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа по R R f! M! M h,! M h а при Известно, что lim!,, и h; h h

42 h Действительно, ряд! сходится по признаку д Аламбера h! h h! h lim lim lim lim h lim h!! h h Так как,, то ряд h! сходится h 4 А тогда общий элемент ряда при по необходимому! признаку сходимости ряда 5 Значит, R при для h; Таким образом, h выполнены необходимое и достаточное условия разложения функции f в ряд Тейлора на интервале h; ч т д h Разложение функции e, R, в ряд Тейлора Рассмотрим показательную функцию f e, R R : Данная функция бесконечно дифференцируема, причем при любом f e, N, и значение f, f,,,, Зафиксируем числа h и R 4 Тогда для h; будет верно h f e и f h e e 5 Значит, в соответствии с теоремой о достаточном условии представимости функции рядом Тейлора-Маклорена, функция разлагается в ряд Тейлора на интервале h; h f e 6 Так как величина h выбрана произвольно, то функция f e разлагается в ряд Тейлора на всей прямой, те f! или f,!

43 e e разложение функции e в ряд Тейлора! e e e Или e e e!!! 7 Если, то разложение примет вид e! разложение функции или e!!!! e в ряд Маклорена, 8 Ряды Тейлора и Маклорена разложения функции e сходятся на всей числовой прямой 9 Найдем радиус сходимости этого ряда по формуле: R lim!! lim lim!! Это означает, что ряд сходится на всей числовой прямой Разложение функции Рассмотрим функцию f si, R si, R, в ряд Тейлора Данная функция бесконечно дифференцируема, и при любом R : si si, где N Зафиксируем h, R 4 Тогда для h; h будет верно f si в силу ограниченности тригонометрической функции 5 Значит, в соответствии с теоремой о достаточном условии представимости функции рядом Тейлора функция Тейлора на интервале h; h f si разлагается в ряд 6 Но так как h было выбрано произвольно, то функция f si разлагается в ряд Тейлора и Маклорена на всей числовой прямой, те

44 так как si si! f! 7 При имеем ряд Маклорена 8 Так как si k si разложение функции si в ряд Тейлора, si! разложение функции si в, если k; si, если k, kчётное, k,,,, то, если k, k нечётное; k k k!! 5 5! 7 k 7! k k! 9 Следует отметить, что в полученных рядах присутствуют только нечетные степени, что естественно, так как функция функция Найдем радиус сходимости f si нечетная k! k!k R lim lim lim k k k!! k limk k R Следовательно, ряд сходится на всей числовой прямой

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

Лекция 2. Степенные ряды

Лекция 2. Степенные ряды С А Лавренченко wwwlwreekoru Лекция Степенные ряды Понятие степенного ряда Степенной ряд можно рассматривать как многочлен с бесконечным числом членов Определение (степенного ряда) Степенным рядом называется

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ)

5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ) 5 ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 5 Программа курса «Ряды и обыкновенные дифференциальные уравнения» Аннотация: Изучаются числовые и степенные ряды а также

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО РАЗДЕЛУ «РЯДЫ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и варианты заданий к контрольной

Подробнее

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент.

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

Методические указания

Методические указания Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Методические указания В.Я. Томашпольский, М.Н. Шевченко, И.О. Янов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана Московский государственный

Подробнее

4 Основные свойства определенного интеграла

4 Основные свойства определенного интеграла 178 4 Основные свойства определенного интеграла Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. 1) Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (=), то интеграл равен нулю f ( ) d = 0 Данное

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел множество целых чисел N = {0, 1, 2, 3,..., }, Z = {0, ±1, ±2, ±3,..., } множество рациональных чисел { m }

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Министерство образования Российской Федерации САРАПУЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ филиал Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

А. П. Г О Р Я Ч Е В СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА. Функциональные ряды. М о с к в а

А. П. Г О Р Я Ч Е В СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА. Функциональные ряды. М о с к в а А. П. Г О Р Я Ч Е В СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Функциональные ряды М о с к в а 2 0 1 3 Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Старков В.Н. Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Разложение аналитических функций в степенные ряды Определение. Функциональный ряд вида ( ( (... (..., где комплексные постоянные (коэффициенты ряда

Подробнее

Методические указания к решению задач на интегралы с параметром. Учебно-методическое пособие

Методические указания к решению задач на интегралы с параметром. Учебно-методическое пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Методические указания к решению задач на интегралы с параметром Учебно-методическое пособие

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр 1, часть I

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр 1, часть I МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр, часть I Аксиоматический подход к описанию множества действительных чисел.. Сформулировать группу аксиом сложения.

Подробнее

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РА- БОТА

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РА- БОТА В И МАТЯШ РЯДЫ КУРС ЛЕКЦИЙ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РА- БОТА Учебное пособие Издание третье, исправленное и дополненное МОСКВА Кафедра «Высшая математика» МГТУ «МАМИ» Автор и составитель Матяш ВИ В школе нас

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ. ЕН. 01 Математика г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ. ЕН. 01 Математика г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ЕН. 01 Математика 013 г. 1 Рабочая программа учебной дисциплины разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта (далее ФГОС) по специальности

Подробнее

{тригонометрический ряд тригонометрическая система примеры - разложение на интервале [ -l; l ] для функций произвольного периода - неполные ряды

{тригонометрический ряд тригонометрическая система примеры - разложение на интервале [ -l; l ] для функций произвольного периода - неполные ряды {тригонометрический ряд тригонометрическая система примеры - разложение на интервале [ -l; l ] для функций произвольного периода - неполные ряды разложение по синусам и косинусам четные и нечетные продолжения}

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

8. Определенный интеграл

8. Определенный интеграл 8. Определенный интеграл 8.. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x,..., x n, x n } [, b], что = x < x < < x n < x n =

Подробнее

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Санкт-Петербургский государственный университет А. В. О С И П О В К О Н С П Е К Т Л Е К Ц И Й П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Часть II (-й курс, -й семестр) Санкт-Петеpбуpг 0 0 Конспект лекций по высшей

Подробнее

Типовые задачи c решениями.

Типовые задачи c решениями. Типовые задачи c решениями. Формальное суммирование рядов. Формула рекурсии k a k a + a k k Формула умножения λ a k λa k Формула сложения k k k a k + b k a k + k b k k Пример Геометрическая прогрессия.

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

3 Операция деления комплексных чисел. Как связаны модуль и аргумент частного с модулями и аргументами делимого и делителя?

3 Операция деления комплексных чисел. Как связаны модуль и аргумент частного с модулями и аргументами делимого и делителя? Экзаменационные вопросы по ТФКП. Вопрос 1. Элементарные операции с комплексными числами. Элементарные функции комплексной переменной. 1 Операция сложения комплексных чисел. Ее геометрическая интерпретация.

Подробнее

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы.

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ I О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение Преобразованием Фурье функции из L называется функция определяемая равенством d Оператор F : называется

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

12. Числовые ряды. 12.1. Пусть дана числовая последовательность x n. Если эту последовательность

12. Числовые ряды. 12.1. Пусть дана числовая последовательность x n. Если эту последовательность . Числовые ряды.. Пусть дана числовая последовательность x. Если эту последовательность рассматривают с точки зрения нахождения «суммы» всех ее членов, то говорят, что рассматривают числовой ряд x, а члены

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

1.Свойства определенного интеграла. 1.Если подынтегральная функция равна единице, то

1.Свойства определенного интеграла. 1.Если подынтегральная функция равна единице, то ЛЕКЦИЯ N4. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема о среднем..свойства определенного интеграла.....теорема о среднем значении.....производная интеграла по переменной верхней

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Основная 1. Бугров Я. С., Никольский С.М. Высшая математика. Т.2. Дифференциальное

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество, -алгебра подмножеств множества X и на задана -аддитивная полная

Подробнее

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ»

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ» Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Математический анализ» Направление 080100 Экономика для подготовки студентов бакалавров

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее

Задачи по высшей математике для биологов

Задачи по высшей математике для биологов МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ БИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Бобров А.Н. Радославова Т.В. Задачи по высшей математике для биологов МОСКВА 03 УДК

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1.

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1. 1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, 2014-2015 учебный

Подробнее

Основы функционального анализа и теории функций

Основы функционального анализа и теории функций Основы функционального анализа и теории функций Лектор Сергей Андреевич Тресков 3 семестр. Ряды Фурье. Постановка задачи о разложении периодической функции по простейшим гармоникам. Коэффициенты Фурье

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Интегральным уравнением Фредгольма рода называется уравнение x ( s, ds f (.

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1"

Подробнее

1. Цели и задачи дисциплины Цели: Задачи: Место дисциплины в структуре ООП 3. Требования к результатам освоения дисциплины 3.1. ПК-1 ПК

1. Цели и задачи дисциплины Цели: Задачи: Место дисциплины в структуре ООП 3. Требования к результатам освоения дисциплины 3.1. ПК-1 ПК 1. Цели и задачи дисциплины Цели: целью математического образования являются: - воспитание достаточно высокой математической культуры для восприятия инфокоммуникационных технологий; - привитие навыков

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim.

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim. Перечень экзаменационных вопросов: 1 семестр 1. Множества и операции над ними. 2. Декартово произведение множеств. 3. Предельные точки. 4. Предел последовательности. 5. Предел функции. 6. Бесконечно малые.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

4 Определенный интеграл Римана. Определение,

4 Определенный интеграл Римана. Определение, 4 Определенный интеграл Римана. Определение, обобщенная теорема о среднем значении, интеграл с переменным верхним пределом, формула замены переменной, интегрирование по частям, некоторые неравенства. 4.1

Подробнее

Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Равномерная непрерывность функций одной переменной. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. Шапкина Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Подробнее

вид 1, 1/2, 1/3,..., 1/n,... ).

вид 1, 1/2, 1/3,..., 1/n,... ). Казанское математическое общество В.Б. Живетин Вводные лекции по курсу Высшая математика Г Р А Ф Казань 998 3 УДК 57 ББК.6 Ж 66 Вводные лекции по курсу Высшая математика /В.Б.Живетин; Казанское математическое

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ , ,

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ , , МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ 7, 7, СПБ ГУТ Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

УДК (072)(075.8)

УДК (072)(075.8) БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Необходимые и достаточные условия второго порядка в простейшей вариационной задаче Необходимые

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС Академия труда и социальных отношений Кафедра высшей и прикладной математики Геворкян Павел Самвелович «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для подготовки бакалавров по направлению 080100

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Г.Г. Литова, Д.Ю. Ханукаева ПРЕДЕЛЫ Пособие для студентов, обучающихся по специальности

Подробнее

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Учебная программа по дисциплине «Математический анализ» разработана для специальности «Прикладная информатика» шифр 1-31 03 07-03 высших учебных заведений. Целью изучения дисциплины

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Министерство образования и науки Троицкий филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы.

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы. Программа по «Математике» (базовый уровень) РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии Тема 1. Векторы и матрицы. N-мерные векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА)

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Постановка задачи. Рассматривается задача о вычислении однократного интеграла J(F ) = F (x) dx. ()

Подробнее

Лист переутверждения

Лист переутверждения Лист переутверждения Дополнения и изменения к рабочей программе на 2015 / 2016 учебный год Рабочая программа принята без изменений и одобрена на заседании кафедры математического анализа и прикладной математики

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Тема 1. Множества. Введение в логику. Понятие функции. Кривые второго порядка. Основные понятия о множествах. Символика, ее использование.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ. по высшей математике

КУРС ЛЕКЦИЙ. по высшей математике Министерство образования и науки, молодежи и спорта Донецкий национальный технический университет Улитин Г.М., Гончаров А.Н. КУРС ЛЕКЦИЙ по высшей математике Учебное пособие Донецк 2011 УДК 51 (075.8)

Подробнее

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011 Chir of Mth. Anlysis, SPb. Stte University. A.V.Poteun, Исследование сходимости несобственных интегралов Методические указания для решения задач А. В. Потепун Как известно (см. [], глава III, 7), если

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Белорусский национальный технический университет. Кафедра высшей математики 1 МАТЕМАТИКА

Министерство образования Республики Беларусь Белорусский национальный технический университет. Кафедра высшей математики 1 МАТЕМАТИКА Министерство образования Республики Беларусь Белорусский национальный технический университет Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Контрольная работа для студентов инженерно-технических специальностей

Подробнее

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Глава. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Определенный интеграл f ( d ) в главе был введен для случая ко нечного промежутка [, ] и ограниченной функции f (). Теперь это понятие

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

применять математические методы при решении профессиональных задач повышенной сложности, решать типовые задачи по основным разделам курса, используя

применять математические методы при решении профессиональных задач повышенной сложности, решать типовые задачи по основным разделам курса, используя Аннотация рабочей программы дисциплины направление подготовки: 23.05.05 Системы обеспечения движения поездов направленность: Телекоммуникационные системы и сети железнодорожного транспорта Дисциплина:

Подробнее

Лекции по математическому анализу

Лекции по математическому анализу В.Ф. Бутузов Лекции по математическому анализу Часть I Москва 2012 Б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I. Учебное пособие содержит первую часть курса лекций по математическому

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Республики Беларусь "Высший государственный колледж связи" Кафедра Математики и физики КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть Минск 5 г РАЗДЕЛ 4 Функции нескольких переменных

Подробнее

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций Михаил Александрович Солдатов Светлана Серафимовна Круглова Евгений Валентинович Круглов

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Предел. Непрерывность. Производная. Интеграл Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия :

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия : 57 Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ Определение 1 Функция = f ( ) называется непрерывной в точке, если выполняются следующие три условия : 1) функция = f (

Подробнее

Ряды Фурье повышенной сложности. Каждая задача снабжена кратким содержательным комментарием.

Ряды Фурье повышенной сложности. Каждая задача снабжена кратким содержательным комментарием. Ряды Фурье повышенной сложности В данном файле содержатся дополнительные примеры с решениями, которые не вошли в основной урок http://mthproi.r/rydy_rie_primery_resheij.htm Каждая задача снабжена кратким

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Б.П.Демидович СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ В сборник (11-е изд. 1995 г.) включено свыше 4000 задач и упражнений по важнейшим разделам математического анализа: введение в анализ:

Подробнее