2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

Save this PDF as:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11"

Транскрипт

1 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно сходящиеся функциональные последовательности и ряды Геометрический смысл равномерной сходимости функциональной сходимости 4 Необходимый и достаточный признак равномерной сходимости функциональных последовательностей Критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей 5 Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда

2 Определения функциональной последовательности и функционального ряда Опр Пусть дана последовательность функций:,,,,, причем функции являются функциями одной переменной и определены в некоторой области X Такая последовательность называется функциональной и обозначается: Пусть для каждого X эта последовательность имеет конечный предел Величина этого предела зависит от значения Поэтому функциональная последовательность своим пределом будет также иметь функцию, зависящую от, те lim Опр Функция называется предельной функцией последовательности Теперь нас будут интересовать не только существование предела при каждом отдельном значении, но и функциональные свойства предельной функции [4] Опр Рассмотрим ряд, элементами которого являются функции одной и той же переменной, заданной в области X : U U U Такой ряд называется функциональным рядом Сходимость этого ряда определяется следующим образом: при каждом фиксированном значении функция при каждом из X функциональный ряд U о сходимости числовых рядов подробно описано в [] U принимает числовое значение Поэтому превращается в числовой ряд, а

3 Пусть дан функциональный ряд U и он сходится при каждом фиксированном из X, тогда сумма такого ряда представляет собой некоторую функцию от переменной : U определяется также как и для числового: Сумма для функционального ряда lim частичная сумма функционального ряда -го порядка Здесь U U U U k k - Опр4 Множество всех значений, при которых заданный функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда [4] Пример Найти область сходимости ряда Решение Применим признак Д`Аламбера абсолютной сходимости функционального ряда Имеем: U ; U lim U U lim Следовательно, при расходится ; данный ряд сходится абсолютно, а при Рассмотрим теперь поведение исследуемого функционального ряда при и При этих значениях получаются соответствующие числовые ряды:

4 ;, которые, сходятся по интегральному признаку сходимости числового положительного ряда и признаку сходимости знакочередующегося ряда соответственно Окончательно получаем, что на отрезке [-,] заданный функциональный ряд абсолютно сходится [] Определения равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов Опр5 Последовательность функций равномерно сходится на множестве Х к предельной функции, если N, N, X : Опр6 Функциональная последовательность называется равномерно сходящейся на множестве X, если существует функция равномерно сходится на множестве X Обозначение:, X [4], в которой она ряда Определения равномерной сходимости функциональных рядов Опр7 Если последовательность частичных сумм U равномерно сходится к функции равномерно сходится на множестве X [4] функционального на множестве X, то ряд Рассмотрим определение равномерной сходимости функционального ряда на некотором отрезке [, b ]

5 Пусть функциональный ряд U сходится на отрезке [, b] и - какое-нибудь значение из области сходимости, причем Тогда числовой ряд U U U U U 4 сходится и его сумма равна, те f = U U U U 4 U Представим это равенство в виде = R, где U U U U 4 U сумма; R U U U Тогда, lim R, lim - остаток ряда к функции b - -я частичная Как и в случае функциональной последовательности, для функционального ряда номер N также зависит как от, так и от значения из области сходимости: N N, Однако, для функционального ряда число N может и не зависеть от, те это число N будет одно и тоже для каждого значения, принадлежащего области сходимости Опр8 Функциональный ряд U, сходящийся на отрезке [, b ], называется равномерно сходящимся, если для любого существует такой номер N, не зависящий от, что [, b] [7] R при N, каково бы ни было Пример Исследовать на сходимость функциональный ряд

6 Решение При сумма ряда равна нулю; при ряд, являясь суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеет сумму сумма ряда равна единице При При и ряд представляет собой сумму бесконечно возрастающей геометрической прогрессии,следовательно, расходится [,] R Таким образом, данный ряд сходится на отрезке [,] и имеет сумму f, если ;, если Выясним теперь, будет ли данный ряд равномерно сходящимся на отрезке Остаток ряда имеет вид R Очевидно, что R R геометрической прогрессии, поэтому Ряд в правой части равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей R Для того чтобы выполнялось неравенство, откуда l l или / l l / Пусть l натуральное число R l, нужно положить N- ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом Тогда для любого положительного числа существует такое N, зависящее от, что заданного, можно найти соответствующее N отношением l / l l также будет приближаться к нулю, а число N R при N Для каждого, определяемое Однако если, меняясь, приближается к нулю, то - неограниченно

7 возрастать Это обстоятельство показывает, что, хотя данный ряд и сходится на отрезке [,], все же для любого положительного числа нельзя найти такой не зависящий от значения номер N, что R при N Это говорит о том, что ряд не всюду на отрезке [,] сходится равномерно Данный ряд, однако, будет равномерно сходящимся на [,], где - положительное постоянное число, меньшее В качестве номера N не зависящего от можно взять ближайшее из натуральных чисел, следующих за числом l / l [] Геометрический смысл равномерной сходимости функциональной последовательности Перепишем неравенство опр5 в виде двойного неравенства: Это означает, что график функций шириной, и функции и вверх и вниз на величину [4] целиком располагается в полосе получены смещением функции Рис Понятие равномерной сходимости естественным образом переносится и на функциональные ряды

8 Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности Теорема Для того чтобы функциональная последовательность х равномерно сходилась на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы для N, N, p, Доказательство необходимости p N и х Х p выполнялось неравенство: Пусть последовательность функций равномерно сходится на множестве Х, где Х область определения этих функций Требуется доказать, что для N N, N, p p, p N и х Х : Согласно определению равномерной сходимости функциональной последовательности, существует такая предельная функция, к которой эта последовательность сходится, те, N N, N, х Х : При тех же условиях существует такой номер N, что при p будет выполняться неравенство: 4 Сложим два неравенства одинакового смысла: + p p N 5 В левой части слагаемые поменяем местами и воспользуемся свойством модуля разности двух действительных чисел: y y p p + Следовательно, p, N, p, p N

9 Доказательство достаточности Пусть N N, N p, p N: p Требуется доказать, что равномерно сходится к предельной функции на X Так как по условию достаточности выполняется неравенство p, то какое бы х из Х не было взято, функциональная последовательность будет числовой последовательностью, а для числовой последовательности выполняется критерий Коши сходимости числовой последовательности последовательность p { }, который утверждает, что эта сходится Значит, х Х у функциональной последовательности существует конечный предел, а это доказывает существование предельной функции для функциональной последовательности: lim Кроме того, lim p p А это означает, что функциональная последовательность будет сходиться на множестве Х, так как будет выполняться неравенство: p, перейдем к пределу при р, а cost, получим: - условие равномерной сходимости функциональной последовательности по определению Теорема доказана [4] Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда U Теорема Для того чтобы функциональный ряд равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы, N N, N, p, p N и х Х выполнялось неравенство:

10 U U U p Доказательство p U k k Составим разность частичных сумм функционального ряда p U U U p U : Если будут выполняться неравенства: p, то это означает, что последовательность частичных сумм функционального ряда U равномерно сходится на множестве Х А по определению равномерной сходимости функционального ряда, исследуемый функциональный ряд будет сходиться на множестве Х Теорема доказана [4]

11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Достаточный признак равномерной и абсолютной сходимости функциональных рядов теорема Вейерштрасса Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов Почленное интегрирование функциональных рядов на R

12 Достаточный признак равномерной и абсолютной сходимости функционального ряда признак Вейерштрасса Теорема Пусть даны два ряда: функциональный которого являются функции U, элемен-тами U, определенные на множестве Х, и числовой положительный сходящийся ряд А Тогда, если для всех х Х выполняется неравенство U A U, то функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на множестве Х Доказательство Пусть выполняются все условия теоремы А Так как по условию теоремы числовой ряд сходится, то в соответствии со свойством числового ряда, его остаток должен стремится к нулю, те А k k или A A A p A p Так как это положительный числовой ряд, то неравенство примет вид: A A A p A p По условию теоремы х Х выполняется неравенство: U A Поэтому, при p выполняется и такое неравенство: 4 Если p, то неравенство примет вид: учетом пункта По свойству транзитивности p p Uk Ak k k U k A k k k U k k положительного функционального ряда, стремящегося к нулю при - это остаток с k Значит,

13 функциональный ряд U будет сходиться по свойству рядов Известно, что если ряд абсолютно сходится, то он просто сходится Значит, функциональный ряд U сходится 5 Докажем равномерность сходимости функционального ряда Из неравенства p U k k и, используя свойства модуля суммы двух y действительных чисел p p U k Uk k k 6 По свойству транзитивности: y можно переписать это неравенство так: p U k k сходимости функционального ряда на множестве Х Теорема доказана [] - условие равномерности Замечание Положительный сходящийся числовой ряд, связанный с функциональным рядом, называется мажорантным или мажорирующим [4] Пример : Доказать, что функциональный ряд равномерно сходится на всей числовой прямой Решение Так как выберем при х R si абсолютно и si, N, х R, то в качестве мажорантного ряда Cравним общие элементы функционального и числового рядов: si, при х R Следовательно, si сходится абсолютно и

14 равномерно на R, так как, [4] - положительный сходящийся ряд ряд Дирихле с Замечание Признак Вейерштрасса является лишь достаточным условием равномерной сходимости функционального ряда [4] Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов Теорема 4 Если функции U непрерывны в точке х Х и функциональный ряд U равномерно сходится на множестве Х, то его сумма х тоже непрерывна в точке х Доказательство Пусть - частичная сумма функционального ряда В соответствии с условиями теоремы, функциональный ряд равномерно сходится, значит, выполняется и равномерная сходимость последовательности частичных сумм На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать:, N N, N : 4 Так как функции условию теоремы, то частичная сумма или U исследуемого ряда непрерывны в точке х по будет непрерывна в точке х, как сумма состоящая из конечного числа непрерывных функций по теореме о непрерывности функции полученной в результате алгебраического сложения и умножения двух непрерывных функций: = U + U + + U

15 5 На основании определения непрерывности функции языке можно записать: х Х, х х : 6 Так как последовательность функций сходиться к предельной функции будет тоже равномерно сходиться к в точке на будет существовать такое, будет равномерно, то и последовательность функций 7 На основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать:, N N, N : 8 Сложим три неравенства одинакового смысла пунктов,5,7: + + модуля суммы действительных чисел Воспользуемся свойством y y, получим: Следовательно, - условие непрерывности функции Теорема доказана [4] Замечание в точке х Полученное утверждение теоремы можно переписать в следующем виде: lim или lim U, так как U, его сумма U, следовательно, lim U U

16 Так как каждая функция U непрерывна в точке х, то для любой функции можно написать утверждение: lim U lim lim U U, следовательно, U Таким образом, предел от функционального U ряда равен сумме пределов его элементов [4] ряда Известно, что если последовательность частичных сумм функционального U равномерно сходится, то этот функциональный ряд тоже равномерно сходится на указанном множестве Это обстоятельство позволяет переформулировать теорему 4 для функциональных рядов в соответствующую теорему для функциональных последовательностей Теорема 5 Если функции равномерно сходятся к функции, N непрерывны в точке х непрерывна в точке х и выполняется равенство: предельные переходы по х и по перестановочны Доказательство Так как функции на множестве Х, то и функция lim lim X и lim lim равномерно сходятся в предельной функции на множестве Х, на основании теоремы 4, то можно записать равенство: lim Функция основании теоремы 4Так как является непрерывной в точке множества Х на непрерывна в точке х, то можно записать lim следующее утверждение: определение непрерывности функции в точке

17 Используя равенство пункта, подставим вместо левую часть утверждения lim lim 4 Так как по условию теоремы функции непрерывны в точке х X, то на основании определения непрерывности функции в точке можно записать lim 5 Перейдем к пределу при в последнем равенстве: lim lim lim 6 Так как последовательность функций сходиться к предельной функции lim будет равномерно, то верно следующее утверждение: 7 С учетом записанного равенства, равенство пункта 5 примет вид: lim lim 8 Сравним равенства пункта и пункта 7 Правые части равны, значит, равны и левые: lim [ lim ] lim [ lim Теорема доказана [4] ] Почленное интегрирование функциональных рядов Теорема 6 Если последовательность непрерывных на сходится равномерно на указанном отрезке к предельной функции, функций, [, b] последовательность определенных интегралов с переменным верхним пределом { t dt} b будет сходиться равномерно на [, b ] к, то

18 определенному интегралу формула: lim t dt Доказательство t dt, причем будет справедлива следующая [ lim t ] dt t Так как по условию теоремы последовательность функций { } равномерно сходится к пределу функции функция на [, b ] те, то будет непрерывна на [, b] на основании теоремы 5 Известна теорема, что если функция непрерывна на [, b ], то она интегрируема на указанном отрезке, те существует определенный интеграл tdt,,, b В силу равномерной сходимости последовательности функции { } к пределу функции на основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать:,, N, N, t [, b] : b t t b 4 Рассмотрим разность двух определенных интегралов с переменным верхним пределом под знаком модуля: t dt t dt = t t dt t t на основании dt свойства определенного интеграла 5 С учетом неравенства пункта можно написать:

19 t dt t dt dt b b 6 Если правую часть последнего неравенства заменить на, то получим неравенство: t dt t dt, что равносильно выражению lim t dt t dt, но t lim t, поэтому lim t dt [lim Теорема доказана [4] t ] dt,, [, b] Следствие Пусть функции U, непрерывны на [, b ] и функциональный ряд U равномерно сходится на указанном отрезке, тогда, [, b] функциональный ряд вида сходиться на отрезке [, b ] к формула: U tdt U U t U t dt dt t dt или к будет равномерно t dt, т е справедлива Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, те U t d U t dt t Доказательство dt

20 Так как по условию следствия функциональный ряд U равномерно сходится на [, b ], то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции Причем и основа-нии только что доказанной теоремы: t dt [, b] t, те [, b] непрерывны в каждой точке отрезка [, b] на dt,, [, b] Но t dt представляет собой частичную сумму такого ряда: U t dt 4 А t dt является суммой ряда U t На основании доказанной теоремы можно записать: lim t dt t dt 5 Последнее равенство можно переписать следующим образом: U t dt Теорема доказана U t dt,, [, b] Замечание Условие равномерной сходимости ряда на [, b ] является лишь достаточным, но не необходимым, поэтому некоторые функциональные ряды, которые равномерно не сходятся, могут быть почленно проинтегрированы [] dt

21 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Почленное дифференцирование функциональных рядов и последовательностей Понятие степенного ряда Теорема Абеля 4 Геометрическая интерпретация теоремы Абеля

22 Почленное дифференцирование функциональных рядов Теорема 7 Пусть последовательность функций дифференцируемых на [, b ], непрерывно, и последовательность их производных равномерно сходятся на [, b ], тогда предел последовательности непрерывно дифференцируемых функций указанном отрезке и верно равенство: lim lim ' или, т е d lim d lim, [, b] d d Доказательство, непрерывно дифференцируем на Обозначим через предельную функцию последовательностей lim функций на [, b ] { } : По условию теоремы { } равномерно сходится к предельной функции На основании ранее доказанных теорем функция непрерывна на [, b], следовательно, она будет интегрируема на [, b], т е существует t dt, он будет равен [ lim t ] dt lim t dt интегрировании функциональных последовательностей на основании теоремы о почленном df F b F 4 По свойству определенного интеграла:, правую часть записанного выражения можно записать в виде следующего равенства: b

23 lim[ t dt] lim[ ] lim lim на основании теоремы о предельной сумме сходящихся последовательностей и видно, что функция дифференцируема для, [, b] 5 Известна теорема, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке Значит, функция непрерывна, [, b] 6 В соответствии с теоремой, если функция непрерывна на [, b ], то она на нем интегрируема, те существует непрерывна в каждой точке [, b ] tdt Следовательно, функция 7 Из пунктов 4, 5, и 6 следует, что функция непрерывно дифференцируема на указанном отрезке Теорема доказана [4] Следствие Пусть функции U непрерывно дифференцируемы на [, b] и функциональные ряды: U, U равномерно сходятся на [, b ] Тогда сумма функционального ряда U дифференцируема на указанном отрезке и верно равенство: ряда U U / = непрерывно те допустимо почленное дифференцирование у такого функционального Доказательство

24 Обозначим предел частичных сумм { }, т е lim для функционального ряда U По условию следствия должны равномерно сходиться последовательности функций, [,b ] [,b ] На основании только что доказанной теоремы и функция непрерыв но дифференцируема, те lim lim 4 Последнее равенство можно переписать по-другому: U U Теорема доказана [4] Понятие степенного ряда Определение Ряды, членами которых являются целые положительные степени независимой переменной или двучлена, где cost, умноженные на числовые коэффициенты называются степенными рядами: или b b b b b b Члены степенных рядов являются непрерывными и дифференцируемыми функциями на всей действительной оси Все последующие рассуждения будут проводиться для рядов вида так как ряды вида переменной y b приводятся к рядам вида заменой,

25 Итак, для ряда числа,,,,, называются коэффициентами степенного ряда Нумерация членов степенного ряда начинается с нуля Придавая различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися и расходящимися Определение Множество тех значений, при которых ряд сходится, называется областью его сходимости Это множество не пусто, так как любой степенной ряд сходится при Очевидно, что частичная сумма степенного ряда является функцией переменной Поэтому и сумма ряда является некоторой функцией от, определенной в области сходимости ряда: Теорема Абеля Абель Нильс Хенрик 8 87 норвежский математик Теорема Дан степенной ряд Ι Если он сходится для некоторого значения, то он сходится и притом абсолютно для всех значений, удовлетворяющих неравенству: ΙΙ Если он расходится для некоторого значения, то он расходится и для всех, удовлетворяющих условию: Доказательство Ι часть Пусть степенной ряд сходится для Требуется доказать, что он сходится и притом абсолютно, удовлетворяющих неравенству

26 Так как ряд в точке сходится, то на основании теоремы о сходимости ряда общий член ряда стремится к нулю при, т е при На основании теоремы, если последовательность сходится, то она ограничена, последовательность будет ограничена Значит, существует такое число M, что выполняется неравенство: M 4 Перепишем ряд в следующем виде: 5 Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин элементов этого ряда: 6 Члены последнего ряда в силу неравенства M меньше соответствующих членов такого ряда: M M M M 7 Если, то ряд M M M M представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q и M b Следовательно, ряд M сходится

27 8 Так как члены ряда меньше соответствующих членов ряда M : M, то по признаку сравнения положительных рядов ряд сходится при 9 Тогда сходится и ряд и притом абсолютно при на основании теоремы: если ряд абсолютно сходится, то он просто сходится ΙΙ часть Докажем теперь вторую часть теоремы По условию теоремы ряд в точке расходится Требуется доказать, что он расходится для всех, удовлетворяющих условию Предположим обратное, т е, допустим, что при некотором, таком, что ряд сходится 4 Тогда по только что доказанной первой части теоремы ряд сходиться и в точке, так как, а в точке он сходится 5 Но это противоречит тому, что в точке ряд будет расходится Это противоречие и доказывает -ую часть теоремы ч т д Геометрическая интерпретация теоремы Абеля Если ряд сходится в точке, то он сходится абсолютно во всех точках, расположенных на интервале ;

28 Если ряд расходится в точке, то он расходится вне интервала ; ; ] [ ;

29 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция 4 Интервал и радиус сходимости степенного ряда Способ определения радиуса сходимости степенного ряда Свойства степенных рядов

30 Интервал и радиус сходимости степенного ряда Теорема Если степенной ряд сходится не на всей числовой прямой и не только при, то существует число R такое, что: а ряд абсолютно сходится при R ; б ряд расходится при R Доказательство Пусть и ряд Обозначим множество всех таких через X сходится Если множество X неограниченно, то по теореме Абеля ряд будет всюду сходиться 4 Если множество X пусто, то есть X Ш, то ряд расходится всюду 5 Если же множество X не пусто, то есть X Ш, то, значит, оно ограничено 6 Обозначим через R sup X точную верхнюю грань множества X X 7 Если R, то, очевидно, что X R расходится, и, значит, ряд 8 Если R, то X, что R ряд при любом будет сходиться абсолютно на основании теоремы Абеля ч т д Определение Интервал R;R называется интервалом сходимости степенного ряда Определение Число R называется радиусом сходимости степенного ряда Замечание Интервал сходимости некоторых рядов охватывает всю числовую прямую В этом случае пишут R У других рядов интервал сходимости вырождается в одну точку R

31 Всякий степенной ряд имеет свой радиус сходимости R 4 При R ряд может, как сходиться, так и расходиться Это вопрос решается для каждого конкретного случая Для нахождения радиуса сходимости можно использовать признак Даламбера Способ определения радиуса сходимости степенного ряда Теорема Если существует предел lim, то радиус сходимости степенного ряда равен R lim Доказательство Рассмотрим ряд По условию теоремы существует предел lim Обозначим этот предел через R 4 Найдем отношение элемента ряда к -ому элементу lim U lim lim U lim lim R R 5 При каждом значении степенной ряд становится числовым рядом 6 По признаку Даламбера ряд сходится, если, т е R R 7 Тогда по теореме о сходимости знакопеременных рядов если ряд, состоящий из абсолютных величин членов заданного ряда сходится, то он просто

32 сходится ряд также будет сходиться при R, причем будет сходиться абсолютно 8 При R ряд расходится, т е lim R 9 И, следовательно, общий член ряда не стремится к нулю при Таким образом, данный ряд сходится внутри интервала R;R и расходится вне его, т е радиус сходимости равен R lim ч т д Пример Найти радиус сходимости ряда! Решение R lim lim!! lim! lim! Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на всей числовой прямой, т е его радиус сходимости равен бесконечности Свойства степенных рядов Свойство Если R - радиус сходимости степенного ряда r R, то этот ряд сходится равномерно на отрезке r;r Доказательство Пусть r; r Тогда для r; r выполняется неравенство и r Но числовой ряд r сходится, так как r R, а R радиус сходимости степенного ряда 4 Ряд r числовой положительный ряд, т е мажорантный ряд

33 5 Следовательно, по признаку Вейерштрасса ряд сходится равномерно и абсолютно на отрезке r;r ч т д Свойство Сумма степенного ряда непрерывна на интервале сходимости Доказательство Пусть r R, где R радиус сходимости ряда Так как ряд сходится равномерно и абсолютно на отрезке r;r по свойству, то его сумма непрерывна на этом интервале в силу теоремы о непрерывности суммы функционального ряда Так как число r выбиралось произвольно, то сумма степенного ряда непрерывна на интервале сходимости R;R ч т д Свойство Степенной ряд интегрировать, т е, R; R t dt верно равенство: Доказательство Пусть r таково, что, r; r Следовательно, степенной ряд на отрезке r;r следует: на интервале R;R можно почленно и r R равномерно абсолютно сходится Тогда по теореме о почленном интегрировании функциональных рядов t t dt t dt Свойство 4 Степенной ряд можно почленно дифференцировать, т е R; R на интервале сходимости R;R верно утверждение: ч т д

34 R и интервал сходимости ряда, причем, интервал сходимости последнего ряда равен Доказательство Пусть, R; R Тогда числовой ряд интервале R;R r тоже равен R и r r R сходится, так как Поэтому числовая последовательность r сходится на, являясь сходящейся, будет ограничена на основании теоремы если последовательность сходится, то она ограничена 4Следовательно, можно записать, что неравенство: r M 5 Тогда r ;r верно неравенство: M выполняется r r r M q r r, где q r 6 Но ряд M q числовой положительный ряд, сходящийся как сумма убывающей геометрической прогрессии с q 7 Тогда ряд, составленный из производных ряда, т е, сходится равномерно и абсолютно на отрезке r ;r по признаку Вейерштрасса 8 Значит, ряд можно почленно дифференцировать в точке, так как r, на основании теоремы о почленном дифференцировании функционального ряда

35 9 Так как точка выбиралась произвольно, то ряд дифференцировать на интервале R;R можно Теперь покажем, что радиусы сходимости рядов, и совпадают Обозначим их радиусы сходимости соответственно R, R, R Из свойства и предыдущих рассуждений следует, что ряды t dt и сходятся во всякой точке интервала сходимости R;R ряда Поэтому, очевидно, что R R и R R, т е действия почленного интегрирования и дифференцирования степенного ряда не уменьшают его результат сходимости 4 Но, в свою очередь, ряд почленного дифференцирования ряда интегрирования ряда 5 Значит R R ; R R можно рассматривать как результат или как результат почленного 6 Сопоставление полученных неравенств и дает R R R ч т д

36 модуль Тема 4 Формула и ряд Тейлора Разложение в степенной ряд основных элементарных функций Тригонометрические ряды Ряд Тейлора Фурье Лекция 5 Разложение функций в ряд Тейлора Необходимые и достаточные условия представимости функции рядом Тейлора 4 Достаточные условия представимости функции рядом Тейлора 5 Разложение функции e в ряд Тейлора 6 Разложение функций Тейлора si, х R, в ряд

37 Ряд Тейлора Определение Пусть функция f определена и бесконечно дифференцируема на интервале, h h, тогда ряд f! называется рядом Тейлора функции f в точке Теорема Пусть R радиус сходимости степенного ряда, и f его сумма на интервале ; R R Тогда этот степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы Доказательство Так как степенные ряды можно почленно дифференцировать, и в результате дифференцирования снова получается степенной ряд с тем же радиусом сходимости, то это значит, что степенные ряды можно бесконечно дифференцировать Следовательно, f сумма ряда бесконечно дифференцируема Продифференцируем степенной ряд k раз в точке, получим: ; f f ; f ; f 4 4

38 ; f k k k! k k k k 4 Вычислим значения производных в точке : f ; f ; k f,, f k! k 5 Таким образом, все коэффициенты ряда такого вида f k определяются единственным образом по формуле: f! k f k или k! 6 Это означает, что данный степенной ряд Тейлора для своей суммы f в точке является рядом ч т д Теорема единственности Если ряды такого вида, b сходятся на некотором интервале h; и на этом интервале их h суммы совпадают, то будут равны и коэффициенты степенных рядов, те,,, Доказательство Так как по условию теоремы суммы степенных рядов совпадают, то обозначим сумму рядов f b, Из предыдущей теоремы следует, что коэффициенты степенного ряда

39 определяются по формуле ч т д f! Значит, f b!, т е b Определение Если функция f определена и бесконечно дифференцируема на интервале h; h, то ее ряд Тейлора в точке называется рядом Маклорена функции f и этот ряд имеет вид: f! Разложение функций в ряд Тейлора Возникает вопрос, при каких условиях ряд Тейлора для бесконечно дифференцируемой на интервале h; функции f сходится на h этом интервале и сходится именно к функции f Решать эту задачу будем, используя известную формулу Тейлора для функции f В разделе Дифференциальное исчисление функции одной переменной выведена формула Тейлора для любой бесконечно дифференцируемой функции: f f f f f R,!!! где h;, и h R остаточный член формулы Тейлора Причем, остаточный член в форме Лагранжа имеет вид: R f! Остаточный член в форме Коши имеет вид: R f!, где, где

40 Необходимое и достаточное условия представимости функции рядом Тейлора Теорема Функция f разлагается в ряд Тейлора на интервале h h; тогда и только тогда, когда остаточный член формулы Тейлора стремится к нулю при Доказательство необходимости: на этом интервале Пусть функция f разлагается в ряд Тейлора на интервале f h;, те f, h; h! h Требуется доказать, что R при на указанном промежутке Так как функция f является суммой ряда Тейлора, то предел частичных сумм данного ряда существует, конечен и равен f, те lim f, h; h Тогда из равенства f R следует, что lim R, h; h ч т д Доказательство достаточности: Пусть lim R, h; h Требуется доказать, что функция f разлагается в ряд Тейлора на указанном интервале Допустим, что функция разлагается в ряд Тейлора, тогда f R R f Перейдем к пределу в последнем неравенстве: lim R lim[ f ], так как lim R, то lim[ f ] f lim 4 Значит, ряд Тейлора сходится на интервале h; и его сумма h равна f, те функция f разлагается в ряд Тейлора на интервале h h;

41 чтд Замечание Из теоремы следует, что вопрос о разложении функции в ряд Тейлора сводится к исследованию поведения остаточного элемента Достаточные условия представимости функции рядом Тейлора Часто бывает неудобно пользоваться необходимым и достаточным признаком представимости функции рядом Тейлора Это объясняется тем, что выражение для R может быть громоздким, и трудно установить, стремится ли остаточный член к нулю при признак для проверки или нет В таких случаях применяют достаточный Теорема 4 Пусть функция f бесконечно дифференцируема на интервале h; и все ее производные на указанном интервале h ограничены одной и той же константой M, те f M,,,, Тогда функция f разлагается в ряд Тейлора на интервале h; : h f f, h; h или :! Доказательство h Для того чтобы доказать эту теорему, необходимо убедиться, что остаточный член формулы Тейлора стремится к нулю при при модулю и для h; h, те Оценим остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа по R R f! M! M h,! M h а при Известно, что lim!,, и h; h h

42 h Действительно, ряд! сходится по признаку д Аламбера h! h h! h lim lim lim lim h lim h!! h h Так как,, то ряд h! сходится h 4 А тогда общий элемент ряда при по необходимому! признаку сходимости ряда 5 Значит, R при для h; Таким образом, h выполнены необходимое и достаточное условия разложения функции f в ряд Тейлора на интервале h; ч т д h Разложение функции e, R, в ряд Тейлора Рассмотрим показательную функцию f e, R R : Данная функция бесконечно дифференцируема, причем при любом f e, N, и значение f, f,,,, Зафиксируем числа h и R 4 Тогда для h; будет верно h f e и f h e e 5 Значит, в соответствии с теоремой о достаточном условии представимости функции рядом Тейлора-Маклорена, функция разлагается в ряд Тейлора на интервале h; h f e 6 Так как величина h выбрана произвольно, то функция f e разлагается в ряд Тейлора на всей прямой, те f! или f,!

43 e e разложение функции e в ряд Тейлора! e e e Или e e e!!! 7 Если, то разложение примет вид e! разложение функции или e!!!! e в ряд Маклорена, 8 Ряды Тейлора и Маклорена разложения функции e сходятся на всей числовой прямой 9 Найдем радиус сходимости этого ряда по формуле: R lim!! lim lim!! Это означает, что ряд сходится на всей числовой прямой Разложение функции Рассмотрим функцию f si, R si, R, в ряд Тейлора Данная функция бесконечно дифференцируема, и при любом R : si si, где N Зафиксируем h, R 4 Тогда для h; h будет верно f si в силу ограниченности тригонометрической функции 5 Значит, в соответствии с теоремой о достаточном условии представимости функции рядом Тейлора функция Тейлора на интервале h; h f si разлагается в ряд 6 Но так как h было выбрано произвольно, то функция f si разлагается в ряд Тейлора и Маклорена на всей числовой прямой, те

44 так как si si! f! 7 При имеем ряд Маклорена 8 Так как si k si разложение функции si в ряд Тейлора, si! разложение функции si в, если k; si, если k, kчётное, k,,,, то, если k, k нечётное; k k k!! 5 5! 7 k 7! k k! 9 Следует отметить, что в полученных рядах присутствуют только нечетные степени, что естественно, так как функция функция Найдем радиус сходимости f si нечетная k! k!k R lim lim lim k k k!! k limk k R Следовательно, ряд сходится на всей числовой прямой


Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Комплексные числовые ряды

Комплексные числовые ряды Тема Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд k ak с комплексными числами вида Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность S его частичных сумм S a k k. При этом предел S последовательности

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n Тема 9 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида при этом числа... коэффициентами ряда, а точка разложения ряда.,,...,,... R... называются центром Степенные ряды Общий член степенного

Подробнее

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X 4 Функциональные ряды 4 Основные определения Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X u ), u ( ), K, u ( ),K ( ОПРЕДЕЛЕНИЕ Выражение u ) + u ( ) + K + u ( ) +

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Лекция 1. Функциональные ряды

Лекция 1. Функциональные ряды С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Функциональные ряды Понятие функционального ряда Ранее мы изучали числовые ряды, т е членами ряда были числа Сейчас мы переходим к изучению функциональных рядов, т

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд.

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд. ЛЕКЦИЯ N37. Ряды аналитических функций. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Лорана..Разложение аналитической функции в степенной ряд.....ряд Тейлора.... 3.Разложение аналитической

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

1.8. Общие функциональные ряды

1.8. Общие функциональные ряды Лекция. Степенные ряды. Гармонический анализ; ряды и преобразование Фурье. Свойство ортогональности.8. Общие функциональные ряды.8.. Уклонение функций Ряд U + U + U называется функциональным, если его

Подробнее

2. Степенные ряды. 1. Определения, теоремы и формулы для решения задач. Теорема. (теорема Абеля). Если степенной ряд

2. Степенные ряды. 1. Определения, теоремы и формулы для решения задач. Теорема. (теорема Абеля). Если степенной ряд Степенные ряды Определения, теоремы и формулы для решения задач Определение Функциональный ряд ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 называется степенным рядом, числа R,,, называются коэффициентами степенного ряда

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

Лекция 3. Представление функций степенными рядами

Лекция 3. Представление функций степенными рядами С А Лавренченко wwwlawrecekoru Лекция Представление функций степенными рядами Введение Представление функций степенными рядами оказывается полезным при решении следующих задач: - интегрирование функций

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

{функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры }

{функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры } {функциональные ряды степенные ряды область сходимости порядок нахождения интервала сходимости - пример радиус интервала сходимости примеры } Пусть задана бесконечная последовательность функций, Функциональные

Подробнее

Лекция Представление функций рядами Тейлора

Лекция Представление функций рядами Тейлора С А Лавренченко wwwlawreceoru Лекция Представление функций рядами Тейлора Один полезный предел На прошлой лекции была разработана следующая стратегия: по достаточному условию представимости функции рядом

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет.

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет. Московский Государственный Университет им МВЛомоносова Химический факультет Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока Третий семестр Числовые ряды Дифференциальные

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия»

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для практически

Подробнее

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г.

ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для подготовки к коллоквиуму Лектор: Пахомова Е.Г. Замечание. 1) вопросы, не содержащие доказательства; ) вопросы, с серьезным доказательством; 3) вопросы с небольшим

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

Тема: Ряды в комплексной плоскости

Тема: Ряды в комплексной плоскости Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Ряды в комплексной плоскости Лектор Янущик О.В. 217 г. 9. Ряды в комплексной плоскости 1. Числовые ряды Пусть задана последовательность

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является вторым томом учебника «Математика для инженеров»в данном томе излагаются основы числовых и функциональных рядов; кратных и поверхностных интегралов; теории поля; основы

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Механико-математический факультет Кафедра теории функций Михаил Александрович Солдатов Светлана Серафимовна Круглова Евгений Валентинович Круглов

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида:

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: Тема 9 Числовые ряды Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: a a2 a3... a... a Если предел последовательности последовательностью частичных сумм ряда. lim S S Необходимое условие

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Учебное пособие Москва 05 Предисловие

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ. О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЯДОВ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Ряды Тейлора и Лорана

Ряды Тейлора и Лорана Лекция 7 Ряды Тейлора и Лорана 7. Ряд Тейлора В этой части мы увидим, что понятия степенного ряда и аналитической функции определяют один и тот же объект: любой степенной ряд с положительным радиусом сходимости

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

Вопросы и задачи по математическому анализу

Вопросы и задачи по математическому анализу Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СР Свирщевский Вопросы и задачи по математическому

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Функциональные комплексные ряды

Функциональные комплексные ряды Тема Функциональные комплексные ряды Определение. Если выполняется сразу k, N, N U k G сходящимся в области G., то ряд называется равномерно Достаточным признаком равномерной сходимости ряда является признак

Подробнее

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида

ХVIII. Ряды. 1. Понятие о числовом ряде. Числовым рядом называется выражение вида ХVIII Ряды Понятие о числовом ряде Числовым рядом называется выражение вида (8) где,, 3, некоторые числа, называемые членами ряда Если п произвольный (текущий) номер, то число а п называют общим членом

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Лекция 7. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость несобственного интеграла -го рода. Критерий Коши. Признаки

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

Лекция 2. Степенные ряды

Лекция 2. Степенные ряды С А Лавренченко wwwlwreekoru Лекция Степенные ряды Понятие степенного ряда Степенной ряд можно рассматривать как многочлен с бесконечным числом членов Определение (степенного ряда) Степенным рядом называется

Подробнее