Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности"

Транскрипт

1 Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного сверху множества вещественных чисел ограниченного снизу множества вещественных чисел 4 неограниченного множества вещественных чисел 5 неограниченного сверху множества вещественных чисел 6 неограниченного снизу множества вещественных чисел 7 окрестности данной точки 8 ε - окрестности данной точки 9 проколотой окрестности данной точки предельной точки числового множества верхней грани числового множества нижней грани числового множества точной верхней грани числового множества 4 точной нижней грани числового множества 5 числовой последовательности 6 ограниченной последовательности 7 неограниченной последовательности 8 монотонной последовательности 9 предела последовательности бесконечно малой последовательности бесконечно большой последовательности фундаментальной последовательности подпоследовательности данной последовательности 4 предельной точки последовательности (два определения) 5 верхнего предела последовательности 6 нижнего предела последовательности Основные теоремы (без доказательства) Сформулируйте теорему о пределе суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей теорему о «двух милиционерах» теорему о пределе монотонной ограниченной последовательности 4 теорему о вложенных отрезках 5 теорему Больцано-Вейерштрасса 6 критерий Коши сходимости последовательности Теоремы с доказательством Докажите, что сходящаяся последовательность имеет только один предел Докажите, что сходящаяся последовательность ограничена Сформулируйте и докажите теоремы о пределах суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей 4 Докажите теорему о «двух милиционерах» 5 Пусть = Докажите, что любая подпоследовательность { } сходится к 6 Докажите, что неубывающая ограниченная сверху последовательность имеет предел 7 Докажите, что невозрастающая ограниченная снизу последовательность имеет предел 8 Докажите теорему о вложенных отрезках 9 Докажите теорему Больцано-Вейерштрасса Докажите, что фундаментальная последовательность является ограниченной Докажите, что сходящаяся последовательность является фундаментальной k

2 Докажите, что фундаментальная последовательность является сходящейся 4 Вопросы и задачи 4 Приведите примеры ограниченного и неограниченного множеств вещественных чисел 4 Докажите неравенство Бернулли: ( + ) + при и 4 Сформулируйте отрицание к определению ограниченной последовательности 44 Сформулируйте отрицание к определению "Число называется пределом последовательности" 45 Сформулируйте отрицание к определению бесконечно малой последовательности 46 Сформулируйте отрицание к определению бесконечно большой последовательности 47 Сформулируйте отрицание к определению фундаментальной последовательности 48 Докажите, что последовательность = ( + / ) возрастающая 49 Докажите, что последовательность ( / ) = + + убывающая 4 Докажите, что последовательность = ( + / ) сходится 4 Пусть{ } - бесконечно малая последовательность, последовательность { } - бесконечно большая 4 Пусть{ } Докажите, что - бесконечно большая последовательность Докажите, что последовательность { } определена, начиная с некоторого номера, и является бесконечно малой 4 Пусть =, Докажите, что = 44 Пусть последовательность { } сказать о сходимости последовательности { y} 45 Пусть последовательность { } сходится, а последовательность { } +? Ответ обоснуйте расходится и последовательность { } сказать о сходимости последовательности { + y}? Ответ обоснуйте 46 Пусть последовательность { } сходится, а последовательность { } сказать о сходимости последовательности { y}? Ответ обоснуйте 47 Пусть последовательность { } расходится и последовательность { } сказать о сходимости последовательности { y}? Ответ обоснуйте 48 Пусть последовательность { } сходится, а последовательность { } сказать о сходимости последовательности { } y? Ответ обоснуйте 49 Пусть последовательность { } расходится и последовательность { } сказать о сходимости последовательности { } y? Ответ обоснуйте y расходится Что можно y расходится Что можно y - расходится Что можно y расходится Что можно y расходится Что можно y расходится Что можно 4 Докажите, что если =, то = 4 Известно, что = Докажите, что ( + ) = 4 Известно, что = Докажите, что ( + ) = 4 Известно, что = Докажите, что = 44 Пусть, начиная с некоторого номера, y и y =+ Докажите, что =+ 45 Пользуясь определением предела последовательности, докажите что: ( ) si а) = б) ( 8) = в) = + α 46 Исследуйте вопрос о сходимости последовательности = в зависимости от + + параметра α + ( ) + 47 Найдите: а) б) + в) ( ) + + +

3 48 Докажите, что последовательности являются бесконечно большими: а) = б) ( ) = 49 Докажите, что последовательность {( + ( ) ) } неограниченная, однако не является бесконечно большой 4 Сформулируйте отрицание к определению "Число называется предельной точкой последовательности", используя понятие подпоследовательности 4 Сформулируйте отрицание к определению "Число называется предельной точкой последовательности", используя понятие окрестности 4 Приведите пример последовательности, у которой есть одна предельная точка, но последовательность не является сходящейся 4 Приведите пример последовательности, у которой ровно две предельные точки 44 Докажите, что монотонная неограниченная последовательность не имеет предельной точки 45 Найдите все предельные точки данной последовательности { }, а также, : а) ( ) = ( ) + ( ) б) = + π в) = cos + π г) = cos д) = si ( π/ + / ) 5 Задачи повышенной трудности 5 Докажите, что из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность 5 Докажите сходимость последовательности { } и вычислите ее предел, если а) - произвольное положительное число, + = +, > б) =, + = 5 Найдите все предельные точки последовательности / / / / / / 4 (обоснуйте ответ) 54 Не пользуясь правилом Лопиталя, докажите, что последовательность l = при α > является бесконечно малой 55 Не пользуясь правилом Лопиталя, докажите, что последовательность > является бесконечно малой 56 Докажите, что =!! 57 Докажите, что = 58 Докажите, что последовательность большой α = при любом и = при любом α и при > является бесконечно l 59 Докажите, что = 5 Докажите, что последовательность = является бесконечно малой Пусть =, = Докажите, что = 5 Пусть =, = Докажите, что = 5 Вычислите!

4 54 Докажите, что =! 55 Приведите пример последовательности с бесконечным числом предельных точек Тема Предел и непрерывность функции Определения Сформулируйте определение: ограниченной на множестве X функции ограниченной сверху на множестве X функции ограниченной снизу на множестве X функции 4 неограниченной на множестве X функции 5 неограниченной сверху на множестве X функции 6 неограниченной снизу на множестве X функции 7 верхней грани функции на множестве X 8 нижней грани функции на множестве X 9 точной верхней грани функции на множестве X точной нижней грани функции на множестве X монотонной на промежутке функции предела функции f ( ) в точке = по Коши предела функции f ( ) при + по Коши 4 предела функции f ( ) при по Коши 5 предела функции f ( ) при + по Коши 6 предела функции f ( ) при по Коши 7 предела функции f ( ) в точке = по Гейне 8 предела функции f ( ) при + по Гейне 9 предела функции f ( ) при по Гейне f () + при "по Коши" f () + при "по Коши" f () + при + "по Коши" f () + при "по Коши" 4 f () при "по Коши" 5 f () при "по Коши" 6 f () при + "по Коши" 7 f () при + "по Коши" 8 "Функция f ( ) называется бесконечно малой при "по Коши" 9 "Функция f ( ) называется бесконечно малой при + "по Коши" f () + при "по Гейне" f () + при + "по Гейне" f () + при "по Гейне" функции, непрерывной в точке 4 непрерывной на промежутке функции 5 точки разрыва функции f ( ) 6 точки устранимого разрыва функции f ( ) 7 точки разрыва первого рода функции f ( ) 8 точки разрыва второго рода функции f ( ) 9 обратной функции Основные теоремы (без доказательства) Сформулируйте критерий Коши существования предела функции при Сформулируйте критерий Коши существования предела функции при + 4

5 Сформулируйте теорему: о пределах суммы, разности, произведения и частного двух функций 4 о связи предела функции в данной точке с односторонними пределами в этой точке 5 о первом замечательном пределе 6 о втором замечательном пределе 7 о непрерывности суммы, разности, произведения и частного двух непрерывных функций 8 Сформулируйте теорему о непрерывности сложной функции 9 Сформулируйте теорему о существовании, монотонности и непрерывности обратной функции Теоремы с доказательством Докажите, что сумма двух бесконечно малых функций в точке является бесконечно малой функцией в точке Докажите, что произведение бесконечно малой в точке функции на ограниченную функцию является бесконечно малой функцией в точке Докажите теорему о пределах суммы, разности, произведения и частного двух функций 4 о связи предела функции в данной точке с односторонними пределами в этой точке 5 о пределе монотонной ограниченной функции 6 Докажите эквивалентность определений по Гейне и по Коши предела функции f ( ) при 7 Сформулируйте критерий Коши существования f ( ) Докажите необходимость 8 Сформулируйте критерий Коши существования f ( ) Докажите достаточность Докажите теорему: 9 о непрерывности суммы, разности, произведения и частного двух непрерывных функций о непрерывности сложной функции о прохождении непрерывной на сегменте функции через любое промежуточное значение о существовании, монотонности и непрерывности обратной функции о первом замечательном пределе 4 о втором замечательном пределе 5 4 Вопросы и задачи 4 Сформулируйте определение по Коши того, что функция f ( ) не имеет предела в точке = Сформулируйте "по Коши" отрицание к утверждению 4 " f ( ) при " 4 " f ( ) при " 44 " f ( ) при " 45 " f ( ) + при " 46 " f ( ) при + " 47 " f ( ) при " 48 " f ( ) + при + " 49 Докажите, что сумма бесконечно малой в точке функции и ограниченной в окрестности точки функции является ограниченной функцией в некоторой окрестности точки 4 Пусть функция f ( ) имеет предел в точке, а g( ) не имеет предела в этой точке Что можно сказать о существовании пределов суммы f ( ) + g( ) и разности f ( ) g( ) в точке? Ответ обоснуйте 4 Дайте определение функции, не являющейся непрерывной в точке Приведите пример разрывной функции 4 Пусть функции f ( ) и g( ) разрывны в точке Что можно сказать о непрерывности суммы f ( ) + g( ) в этой точке? Ответ обоснуйте 4 Пусть функции f ( ) и g( ) разрывны в точке Что можно сказать о непрерывности произведения f ( ) g( ) в этой точке? Ответ обоснуйте 44 Пусть существует предел f ( ) в точке и не существует предел g( ) в точке Что можно сказать о пределе отношения f ( ) g( ) в этой точке? Ответ обоснуйте

6 45 Докажите, что если f ( ) непрерывна в точке, то и f ( ) непрерывная функция в точке 46 Можно ли утверждать, что квадрат разрывной в некоторой точке функции есть функция, разрывная в этой точке? Ответ обоснуйте 47 Пусть функция f ( ) непрерывна в точке, g( ) разрывна в точке Что можно сказать о непрерывности суммы f ( ) + g( ) и разности f ( ) g( ) в этой точке? Ответ обоснуйте 48 Пусть функция f ( ) непрерывна в точке, g( ) разрывна в точке Что можно сказать о непрерывности произведения f ( ) g( ) в точке? Ответ обоснуйте Пусть R ( ) =,, Докажите, что m m m, > m, R ( ) =, = m,, < m 4 Докажите, что cos не существует 4 Существует ли sg( )? Обоснуйте ответ si 5 si 4 Вычислите: а) б) l( + ) 4 Докажите, что: а) = б) = l, если > 44 Пусть α () и β () бесконечно малые при функции Докажите справедливость следующих равенств при : o( β) + o( β) = o( β) o ( β ) = o( β ), o( β) o( β) = o( β) β oc ( β) = o( β), c, c= cost co ( β) = o ( β), c, c = cost oo ( ( β) ) = o( β) o( β + o( β) ) = o( β) ( o( β) ) = o( β ), αβ = o( α), αβ = o( β) β o( β) = o( β + если α β, то α β = o ( α) ), и α β = o ( β) 45 Пользуясь свойствами символа " o малое", запишите для функции α () равенство вида α () = o() или (( ) k α () = o ) при (k -натуральное число): 45 α ( ) = o( o( 5 + )), 45 α ( ) = ( ) o(( ) + o( )), 45 α () = o(5 + ), α () = o ( + o( + )), o( ( + ) ) o( 4( + ) ) α() = + 4, ( + ) ( + ) 46 Пользуясь свойствами символа " o малое", запишите для функции α () равенство вида α () = o() или α( ) = o k при (k -натуральное число): 46 () o o α = + 46 α () 46 α() = o o + 6

7 464 α() o o = 465 () 5 o o α = + 47 Напишите асимптотическое разложение функции при c остаточным членом o ( ), где α : а) si (5 + ) б) cos(4 + ) в) l( + ) г) l(cos )д) l( e + ) е) cos si, > 48 Напишите асимптотическое разложение функции при c остаточным членом o(/ α ), где α : а) + б) + в) l cos / e, > 49 Вычислите пределы 4 ( )( + l( + e ) ) + l 4 ( + e ) 4 ( )( + ) π l( tg( 4 + ) ) si 8 + ( si + si ) 4 ( ) ( 5 + ) ( ) 5 ( ) ( > ) si( π / ) π / cos + (, ) > > π ( )tg α β e e m + + si α si β, m, N si ( π ) ( ) l ( cos ( π )) cos cos l( + ) si l ( + ) π + si + при +,, + + ( si ) tg +, c, > π / + c + d l ch cos l cos cos cos π + l( ch) ( ) ( ) + + ( )log + ( ), > si cos + l( + e ) l 4 + e ( ) + ( ) ( + ) tg π ( 4 + ) + h h +, h > h + + l( + + ) + l( ) 7

8 c + +, >, >, c > ( ), > π ( ch ) π ( cos ) ( l( + ) l ) cos cos cos cos 4 Найдите все точки разрыва функции f ( ) и определите их тип: f () = si f () = l e f ( ) = f ( ) = ( + ) 5 Задачи повышенной трудности 5 Докажите, что если f ( ) = "по Гейне", то f ( ) = "по Коши" Докажите, что если f ( ) = "по Коши", то f ( ) = "по Гейне" Докажите, что если f ( ) + при "по Гейне", то f ( ) + при "по Коши" 54 Докажите, что если f ( ) = "по Гейне", то f ( ) = "по Коши" Пусть функция y = f ( ) возрастает и ограничена на промежутке ( ) Докажите, что c ( ) f ( ) c 56 Пусть функция f ( ) возрастает и ограничена на промежутке ( + ) Докажите, что f ( ) 57 Пусть функция f ( ) убывает и ограничена на интервале ( ) Докажите, что f ( ) 58 Сформулируйте критерий Коши существования f ( ) Докажите необходимость + 59 Сформулируйте критерий Коши существования f ( ) Докажите достаточность +, иррац 5 Докажите, что функция Дирихле D () = не имеет предела ни в одной точке, рац 5 Пусть функция f () определена на [, ] f () f () < и уравнение f () = не имеет корней на (, ) Докажите, что функция f () не является непрерывной на [ ] 5 Пусть функция f () определена на [ ] и c ( f() f() ) такое, что уравнение f ( ) = c не имеет корней на (, ) Докажите, что функция f () не является непрерывной на [ ] 5 Докажите, что если функция f () непрерывна в точке =, и в любой окрестности точки найдутся точки и такие, что f ( ) f ( ) <, то f () = 54 Докажите, что если f () > и δ > такое, что < < δ и f ( ) <, то функция f () разрывна в точке = 55 Приведите пример функций f ( ) и g( ), для которых f ( ) ( f ( ) g( ) ) + и g( ), но 56 Пусть функция y = f ( ) определена и монотонна на некотором промежутке и пусть для любой точки c из этого промежутка f ( ), f ( ), причем эти пределы равны друг другу Докажите, c + c что функция f ( ) непрерывна на указанном промежутке Тема Производные и дифференциалы функции Определения Сформулируйте определение: производной функции f () в данной точке 8

9 правой производной функции f () в данной точке левой производной функции f () в данной точке 4 производной вектор-функции в данной точке 5 дифференцируемой в данной точке функции 6 функции f, () дифференцируемой на множестве ( ) 7 касательной к графику функции y = f ( ) в точке, f ( ) и запишите уравнение касательной 8 дифференциала функции в данной точке 9 -ной производной функции f () в данной точке раз дифференцируемой функции f () в данной точке бесконечно дифференцируемой функции f () в данной точке -ной производной вектор-функции в данной точке -ного дифференциала функции в данной точке Основные теоремы и формулы (без доказательства) Сформулируйте: достаточное условие существования касательной к графику функции y = f ( ) в точке, f ( ) теорему о производных суммы, разности, произведения и частного двух функций теорему о производной сложной функции 4 теорему о производной обратной функции Запишите: 5 формулы дифференциалов суммы, разности, произведения и частного двух функций 6 формулу для производной функции, заданной параметрически 7 формулу -ной производной произведения двух функций ( ) Теоремы с доказательством Докажите теорему о производных суммы, разности, произведения и частного двух функций о производной сложной функции о производной обратной функции 4 Выведите формулу производной функции, заданной параметрически 4 Вопросы и задачи 4 Докажите, что если f ( ), то f ( + Δ ) = f ( ) + f ( ) Δ + o( Δ ) при Δ 4 Докажите, что если существует число A такое, что f ( ) f ( ) A o( ) Δ, то ( ) и f ( ) = A + Δ = + Δ + Δ при f 4 Пользуясь определением производной, выведите формулы производных функций: а), б) si в) cos г) log д) 44 Пользуясь теоремой о производных суммы, разности, произведения и частного двух функций выведите формулы для производных функций: а) tg б) ctg в) sh г) ch д) th е) cth 45 Пользуясь теоремой о производной сложной функции, выведите формулу для производной функции α, α 46 Пользуясь определением производной, найдите производную функции в данной точке: а)y = в точке = 4 б) y = в точке = 47 Найдите односторонние производные f ( + ) и f ( ) функции: f =, = = б) f ( ) = sg, = в) f ( ) = sg, = а) ( ) г) ( ) f = e, = 48 Найдите первые производные и первые дифференциалы функций: а)y = + + б) y = si ( cos ) + cos ( si ) 9

10 в) y = e cos si г) y = e e д) y = e + е) y = l l ( l ) ( ) ж) y rctg( ) rcsi з) y = + l + и) l( y e e ) = + + cos к) y = si = + + f ( ), 49 Пусть F( ) =, где функция f ( ) дифференцируема слева в точке = +, > При каком выборе коэффициентов и функция F( ) будет дифференцируемой в точке?, >, 4 При каких значениях и функция f ( ) = является дифференцируемой на +, < всей числовой прямой? 4 Докажите, что если существует дифференциал функции f ( ) в точке, то f ( +Δ) f ( ) = f ( ) + α( Δ) Δ при Δ, где α( Δ ) - бесконечно малая функция при Δ 4 Докажите, что если существует дифференциал функции f ( ) в точке =, то существует f ( +Δ) f ( ) число А такое, что = A+ α( Δ) при Δ, где α( Δ ) - бесконечно малая Δ функция при Δ 4 Найдите дифференциалы -го порядка функции f: ( ) 5 а) f ( ) = l( + ) в) f ( ) = e, = б) f ( ) = si, = г) f ( ) =, = Используя теорему о производной обратной функции, выведите формулу для производной функции ( ) f : а) f ( ) = rcsi б) f ( ) = rctg в) f ( ) = l 45 Найдите производную -го порядка функции f ( ): а) f ( ) = l, = е) f ( ) = e, = б) f ( ) =, = ж) f ( ) = si, = в) f ( ) = e, = з) f ( ) = cos, = 6 г) f ( ) = /, = 4 и) f ( ) = cos, = 7 д) f ( ) = si, = 5 Задачи повышенной трудности 5 Используя теорему о производной сложной функции и тождество f( f ( )) =, выведите формулу производной обратной функции 5 Докажите, что функция ( + ),, f ( ) =, = имеет производную в точке = и найдите её значение 5 Докажите, что функция +, >, f ( ) =, = имеет правую производную в точке = и найдите её значение

11 54 Докажите, что функция ctg ( ),, f ( ) =, = имеет производную в точке = и найдите её значение 55 Докажите, что функция, >, f ( ) =, = имеет правую производную в точке = и найдите её значение 56 Докажите, что функция +, >, f ( ) =, = имеет правую производную в точке = и найдите её значение si,, 57 Пусть f ( ) = Докажите, что f ( ) при, f ( ), но f ( ), = cos,, 58 Пусть f ( ) = Докажите, что f ( ) при, f ( ), но f ( ), = cos,, 59 Пусть f ( ) = Докажите, что f ( ) при, f ( ), но f ( ), = si,, 5 Пусть f ( ) = Докажите, что f ( ) при, f ( ), но f ( ), = si e,, 5 Пусть f ( ) = Докажите, что f ( ), f ( ) Найдите f ( ), = e,, 5 Пусть f ( ) = Найдите f ( ), = e,, 5 Пусть f ( ) = Найдите f ( ), = Тема 4 Неопределенный и определенный интегралы Определения Сформулируйте определение: первообразной данной функции неопределенного интеграла данной функции интегральной суммы для данной функции f () на сегменте [, ] 4 предела интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю 5 определенного интеграла от функции f () по сегменту [, ] 6 нижней суммы (Дарбу) 7 верхней суммы (Дарбу) 8 предела верхних (нижних) сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю 9 верхнего (нижнего) интеграла Дарбу Основные теоремы и формулы (без доказательства) Сформулируйте теорему об интегрировании по частям для неопределенного интеграла Сформулируйте теорему об интегрировании методом замены переменной для неопределенного

12 интеграла Перечислите свойства сумм Дарбу 4 Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии интегрируемости функции f ( ) на сегменте [,] в терминах нижнего и верхнего интегралов Дарбу 5 Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии интегрируемости функции f ( ) на сегменте [,] в терминах нижних и верхних сумм 6 Перечислите известные Вам классы интегрируемых функций 7 Перечислите свойства определенного интеграла 8 Запишите формулу среднего значения для определенного интеграла и сформулируйте достаточные условия ее применимости 9 Запишите формулу Ньютона Лейбница и сформулируйте достаточные условия ее применимости Запишите формулу замены переменной для определенного интеграла и сформулируйте достаточные условия ее применимости Запишите формулу интегрирования по частям для определенного интеграла и сформулируйте достаточные условия ее применимости Теоремы с доказательством Докажите теорему об интегрировании методом замены переменной для неопределенного интеграла Докажите теорему об интегрировании по частям для неопределенного интеграла Докажите, что для данного разбиения отрезка нижняя (верхняя) сумма является точной нижней (верхней) гранью множества интегральных сумм 4 Пусть разбиение T отрезка [ ] получено из разбиения T путем добавления к нему новых точек Докажите, что нижняя сумма функции f () для разбиения T не меньше, чем нижняя сумма для разбиения T Получите оценку разности нижних сумм этих разбиений 5 Пусть разбиение T отрезка [ ] получено из разбиения T путем добавления к нему новых точек Докажите, что верхняя сумма функции f ( ) для разбиения T не больше, чем верхняя сумма для разбиения T Получите оценку разности верхних сумм этих разбиений 6 Докажите, что нижняя сумма функции f ( ) для любого разбиения отрезка [ ] не превосходит верхней суммы той же функции f() для любого другого разбиения T отрезка [ ] 7 Докажите, что множество нижних сумм функции f ( ) для всевозможных разбиений отрезка [ ] ограничено сверху 8 Докажите, что множество верхних сумм функции f ( ) для всевозможных разбиений отрезка [ ] ограничено снизу 9 Докажите, что нижний интеграл Дарбу не превосходит верхнего интеграла Докажите лемму Дарбу Докажите теорему о необходимом и достаточном условии интегрируемости функции f ( ) на сегменте [ ] в терминах нижнего и верхнего интегралов Дарбу Докажите теорему о необходимом и достаточном условии интегрируемости функции f ( ) на сегменте [ ] в терминах нижних и верхних сумм Докажите теорему об интегрируемости непрерывной на сегменте функции 4 Докажите теорему об интегрируемости некоторых разрывных на сегменте функций 5 Докажите теорему об интегрируемости монотонной на сегменте функции 6 Докажите теорему об интегрируемости суммы и разности двух интегрируемых функций 7 Пусть функция fинтегрируема ( ) на сегменте [ ] Докажите, что cf ( ), где c = cost, тоже интегрируема на [, ] причем cf ( ) d = c f ( ) d 8 Пусть функция fинтегрируема () на сегменте [ ] Докажите, что эта функция интегрируема на любом сегменте [ cd, ], содержащемся в сегменте [ ]

13 9 Пусть функция fинтегрируема () на сегментах [ c ] и [ c ], < c < Докажите, что эта c функция интегрируема на сегменте [,, ] причем f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d c Пусть f ( ) интегрируема на [, ] Докажите, что f ( ) тоже интегрируема на [, ] Пусть f ( ) интегрируема на [,, ] < Докажите, что fd ( ) f ( ) d Докажите теорему о формуле среднего значения для определенного интеграла Докажите теорему о существовании первообразной непрерывной функции 4 Докажите теорему о формуле Ньютона Лейбница 5 Докажите теорему об интегрировании методом замены переменной для определенного интеграла 6 Докажите теорему об интегрировании по частям для определенного интеграла 4 Вопросы и задачи 4 Вычислите интегралы: ( + ) d d 5 d + d + 8 e + e d d ( + )( + )( + ) ( ) d + d + + d ( + ) ( ) + d d + ( ) / 4 Вычислите интегралы: + d ( ) d d e d + + si d ( + )cosd e d 5 e d rctg d e cosd l d l d si( l ) d l( ) d ( + ) l d d ( + cos) si d si cos + 5 d ( + + )( ) d 8 d d +

14 d / e ( ) l d d e ( + + ) l d si(l ) d π 4 cos d π d si π / 5 si d π 6 e cos d π cos si d d d + π 8 d 4 4 si + cos 4 Следует ли из интегрируемости суммы двух функций f ( ) + g ( ) (разности двух функций f () g ()) интегрируемость f () и g( )? Ответ обоснуйте 44 Следует ли из интегрируемости произведения двух функций f ( ) g ( ) интегрируемость f () и g( )? Ответ обоснуйте 45 Пусть f () интегрируема, а g( ) неинтегрируема Что можно сказать об интегрируемости f () + g (), f () g (), f ( ) g ( )? Ответы обоснуйте 46 Пусть f () неинтегрируема и g( ) неинтегрируема Что можно сказать об интегрируемости f () + g (), f () g (), f ( ) g ( )? Ответы обоснуйте 47 Вычислите производные: d si( t ) dt d d t l dt + rctg + si 4 d t t d si( ) d d d rcsi tdt d d d d d dt + t cos t e dt rctg d d + tdt 5 Задачи повышенной трудности 5 Вычислите интегралы: π π d cos( l ) d d d 4 ( + ) ( 4 4 ) si + cos,5cos + 5 Докажите, что если функция fинтегрируема () на сегменте [,, ] то функция f ( ) также интегрируема на этом сегменте 4

15 5 Приведите пример функции f, () такой, что f ( ) dсуществует, а fd ( ) не существует 54 Докажите интегрируемость произведения интегрируемых функций 55 Известно, что функция f ( ) интегрируема на [,, ] fd ( ) < и f ( ) Докажите, что 56 Пусть f ( ) и g( ) интегрируемы на [,, ] < и f ( ) g ( ) [, ] Докажите, что fd ( ) > gd ( ) 57 Известно, что fd ( ) и < Следует ли отсюда, что f ()? Ответ обоснуйте 58 Известно, что f ( ) d > g( ) d и < Следует ли отсюда, что f ( ) g ( ) [, ]? Ответ обоснуйте 59 Докажите, что если функция f ( ) интегрируема на сегменте [, ] и / f ( ) также интегрируема на этом сегменте if f ( ) >, то функция [, ] Тема 5 Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях Определения Сформулируйте определение: ограниченной на заданном множестве функции точной верхней (точной нижней) грани функции на заданном множестве равномерно непрерывной на промежутке X функции 4 функции, возрастающей (убывающей) в данной точке Основные теоремы (без доказательства) Сформулируйте: теорему о локальной ограниченности функции, непрерывной в данной точке теорему об устойчивости знака функции, непрерывной в данной точке первую теорему Вейерштрасса 4 вторую теорему Вейерштрасса 5 теорему Кантора 6 достаточное условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции в точке 7 теорему Ролля 8 теорему о формуле конечных приращений Лагранжа 9 необходимое и достаточное условие невозрастания (неубывания) дифференцируемой функции на интервале (, ) достаточное условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции на интервале (, ) теорему о формуле Коши теорему о формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме Запишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано 4 Запишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа 5

16 Теоремы с доказательством Докажите теорему: о локальной ограниченности функции, имеющей предел в точке об устойчивости знака непрерывной функции о непрерывной функции, принимающей значения разных знаков на концах отрезка 4 первую теорему Вейерштрасса 5 вторую теорему Вейерштрасса 6 Кантора 7 о достаточном условии возрастания (убывания) в точке функции f ( ), дифференцируемой в точке 8 Ролля 9 о формуле конечных приращений Лагранжа о необходимом и достаточном условии невозрастания (неубывания) дифференцируемой функции на интервале (, ) о достаточном условии возрастания (убывания) дифференцируемой функции на интервале (, ) о формуле Коши о формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме 4 Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано 5 Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа f ( ) 6 Докажите теорему о правиле Лопиталя вычисления g( ) 4 Вопросы и задачи 4 Найдите точку c в формуле конечных приращений Лагранжа для функции ( ),, f ( ) = на сегменте [ ], 4 Используя правило Лопиталя, вычислите пределы: а) π г) ctg π б) l( si α) д), α >, β > + l( si β) ch cos в) 4 Запишите разложение функции f ( ) по формуле Маклорена с остаточным членом o ( ): а) f ( ) = cos д) f ( ) б) f ( ) = e = в) f ( ) = e е) f ( ) = l( ) г) f ( ) = + ж) f ( ) = l( + ) з) f () = si 44 Разложите функцию f ( ) по формуле Маклорена до члена порядка : а) f ( ) = si( si ), = si г) f ( ) = l, = 4 б) f ( ) = l cos, = 4 д), в) f ( ) = e, = + = 45 Вычислите пределы: si tg cos e а) б) 4 l ( + ) 6

17 + + e + e + г) д) si 5 Задачи повышенной трудности 5 Докажите, что многочлен Тейлора P ( ) дифференцируемой п раз в точке функции f ( ) и все ( ) его производные P k ( ) до п -го порядка включительно в точке равны соответственно f ( ) и в) ( ) ( k f ) ( ), k =,, 5 Докажите, что если f ( ) 5 Докажите, что если f ( ) 54 Пусть ( ) что f ( +Δ ) = P ( ) + o ( Δ ) = при f = f + f + f + f + o при 6, то f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) o( ), то ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P - многочлен Тейлора дифференцируемой п раз в точке функции f ( ) Докажите, ( ) 55 Докажите, что если функции f ( ) и g( ) дифференцируемы в точке, f ( ) f ( ) f ( ) =, g( ) =, g ( ), то = g( ) g ( ) 56 Докажите, что если функции f ( ) и g( ) дважды дифференцируемы в точке, f ( ) f ( ) f ( ) =, g( ) =, f ( ) =, g ( ) =, g ( ), то = g( ) g ( ) 57 Объясните, в каком месте нарушится ход доказательства первой теоремы Вейерштрасса, если в условии теоремы заменить "сегмент" на "интервал" 58 Приведите пример функции f ( ), непрерывной и ограниченной на промежутке [ + ), которая не достигает своей точной верхней грани на этом промежутке 59 Докажите, что функция f ( ) = равномерно непрерывна на полупрямой ( + ) 5 Докажите, что функция ( ) f = rctg равномерно непрерывна на полупрямой ( + ) 5 Докажите, что если функция f ( ) определена и непрерывна на полупрямой [ + ) и f ( ) =, то f ( ) равномерно непрерывна на этой полупрямой 5 Пусть функция f ( ) непрерывна на полупрямой [ + ), f ( ) = и f ( ) что функция достигает своих точных граней на этой полупрямой + = Докажите, Тема 6 Исследование поведения функций и построение их графиков Определения Сформулируйте определение: точки локального максимума (минимума) функции f ( ) направления выпуклости графика функции y = f ( ) точки перегиба графика функции y = f ( ) 4 наклонной асимптоты графика функции y = f ( ) 5 вертикальной асимптоты графика функции y = f ( ) Основные теоремы (без доказательства) Сформулируйте теорему: о необходимом условии локального экстремума дифференцируемой функции в данной точке о достаточных условиях локального экстремума дифференцируемой функции в окрестности данной точки о достаточных условиях локального экстремума дважды дифференцируемой функции в данной точке 7

18 4 о необходимых и достаточных условиях существования наклонной асимптоты графика функции y = f ( ) при + 5 о необходимом условии перегиба графика дважды непрерывно дифференцируемой функции в данной точке 6 о достаточных условиях перегиба графика функции в данной точке, использующих вторую производную функции 7 о достаточных условиях перегиба графика функции в данной точке, использующих третью производную функции Теоремы с доказательством Докажите теорему: о необходимом условии локального экстремума дифференцируемой функции в данной точке о достаточных условиях локального экстремума дифференцируемой функции в окрестности данной точки о достаточных условиях локального экстремума дважды дифференцируемой функции в данной точке 4 Докажите, что если f ( ) < на интервале ( ), то график функции y = f ( ) на этом интервале направлен выпуклостью вверх 5 Докажите, что если f ( ) > на интервале ( ), то график функции y = f ( ) на этом интервале направлен выпуклостью вниз Докажите теорему: 6 о необходимом условии перегиба графика дважды непрерывно дифференцируемой функции в данной точке 7 о достаточных условиях перегиба графика функции в данной точке, использующих вторую производную функции 8 о достаточных условиях перегиба графика функции в данной точке, использующих третью производную функции 4 Вопросы и задачи 4 Найдите промежутки возрастания и убывания функции, точки локального экстремума, промежутки сохранения направления выпуклости, точки перегиба графика функции f ( ), а также нарисуйте эскиз графика функции f ( ): а) f ( ) = б) f ( ) = l в) f ( ) = e г) f ( ) = /( ) 4 Найдите наклонные асимптоты графика функции f ( ): а) f ( ) = rctg б) f ( ) l г) f ( ) = + + = si д) f ( ) = в) f ( ) l + = 4 Для функции y = f ( ), заданной параметрически уравнениями = cos t, y = sit, t π, π запишите уравнения касательной и нормали к графику функции в точке, соответствующей: а) t = 4 π б) t = 44 Для функции y = f ( ), заданной параметрически уравнениями = t si t, y = cost, π t π, запишите уравнения касательной и нормали к графику функции при: а) t = б)t = π 4 5 Задачи повышенной трудности 8

19 5 Докажите, что если функция f ( ) определена и непрерывна на полупрямой [ + ) и её график имеет наклонную асимптоту при +, то f ( ) равномерно непрерывна на этой полупрямой 9

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ»

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ» Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Математический анализ» Направление 080100 Экономика для подготовки студентов бакалавров

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Лекции по математическому анализу

Лекции по математическому анализу В.Ф. Бутузов Лекции по математическому анализу Часть I Москва 2012 Б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I. Учебное пособие содержит первую часть курса лекций по математическому

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел множество целых чисел N = {0, 1, 2, 3,..., }, Z = {0, ±1, ±2, ±3,..., } множество рациональных чисел { m }

Подробнее

Интеграл Римана Лекция k1-s1-21. Определенный интеграл... 17

Интеграл Римана Лекция k1-s1-21. Определенный интеграл... 17 Физический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yande.ru Московский государственный университет Физический факультет Кафедра математики План лекций по курсу «Математический анализ» Версия

Подробнее

Задачи по высшей математике для биологов

Задачи по высшей математике для биологов МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ БИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Бобров А.Н. Радославова Т.В. Задачи по высшей математике для биологов МОСКВА 03 УДК

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР) ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ( СЕМЕСТР) А. А. Пожарский Занятие. Принцип математической индукции. Задачи по []: 0. Задачи по [2]: 27. Занятие 2. Основные понятия комбинаторики: факториал,

Подробнее

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Основная 1. Бугров Я. С., Никольский С.М. Высшая математика. Т.2. Дифференциальное

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 1 Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

Ю.Ж. Пчелкина. Курс лекций по математическому анализу

Ю.Ж. Пчелкина. Курс лекций по математическому анализу МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim.

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim. Перечень экзаменационных вопросов: 1 семестр 1. Множества и операции над ними. 2. Декартово произведение множеств. 3. Предельные точки. 4. Предел последовательности. 5. Предел функции. 6. Бесконечно малые.

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Республики Беларусь "Высший государственный колледж связи" Кафедра Математики и физики КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть Минск 5 г РАЗДЕЛ 4 Функции нескольких переменных

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет»

Подробнее

Аннотация рабочей программы дисциплины Б1.Б.4 Математика

Аннотация рабочей программы дисциплины Б1.Б.4 Математика Аннотация рабочей программы дисциплины Б1.Б.4 Математика Цели освоения дисциплины Место дисциплины в учебном плане и трудоемкость в зачетных единицах Формируемые компетенции Знания, умения и навыки, формируемые

Подробнее

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы.

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы. Программа по «Математике» (базовый уровень) РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии Тема 1. Векторы и матрицы. N-мерные векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Глава. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Определенный интеграл f ( d ) в главе был введен для случая ко нечного промежутка [, ] и ограниченной функции f (). Теперь это понятие

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Санкт-Петербургский государственный университет А. В. О С И П О В К О Н С П Е К Т Л Е К Ц И Й П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Часть II (-й курс, -й семестр) Санкт-Петеpбуpг 0 0 Конспект лекций по высшей

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1"

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Учебная программа по дисциплине «Математический анализ» разработана для специальности «Прикладная информатика» шифр 1-31 03 07-03 высших учебных заведений. Целью изучения дисциплины

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Тема 1. Множества. Введение в логику. Понятие функции. Кривые второго порядка. Основные понятия о множествах. Символика, ее использование.

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр 1, часть I

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр 1, часть I МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр, часть I Аксиоматический подход к описанию множества действительных чисел.. Сформулировать группу аксиом сложения.

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Министерство образования Российской Федерации САРАПУЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ филиал Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования Российской Федерации Московский физико-технический институт Кафедра высшей математики РАЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Методические указания и оптимальные

Подробнее

Лекции по математическому анализу

Лекции по математическому анализу Математический анализ 1 Математический анализ и компьютерные методы Содержание А.А.Быков Лекции по математическому анализу 2014-2015 1 А.А.Быков, boombook@yandex.ru, abkov.ru Математический анализ 2 Математический

Подробнее

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011 Chir of Mth. Anlysis, SPb. Stte University. A.V.Poteun, Исследование сходимости несобственных интегралов Методические указания для решения задач А. В. Потепун Как известно (см. [], глава III, 7), если

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС Академия труда и социальных отношений Кафедра высшей и прикладной математики Геворкян Павел Самвелович «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для подготовки бакалавров по направлению 080100

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1.

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1. 1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, 2014-2015 учебный

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ)

5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ) 5 ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 5 Программа курса «Ряды и обыкновенные дифференциальные уравнения» Аннотация: Изучаются числовые и степенные ряды а также

Подробнее

Программа курса математики для двухгодичного потока СУНЦ НГУ. Лекции. I семестр

Программа курса математики для двухгодичного потока СУНЦ НГУ. Лекции. I семестр Программа курса математики для двухгодичного потока СУНЦ НГУ 2004-2006 уч. гг. Лектор: к.ф.-м.н. А. В. Васильев Лекции I семестр 1. Метод математической индукции (2 часа). Описание метода. Примеры применения:

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Глава 7. Определенный интеграл

Глава 7. Определенный интеграл 68 Глава 7 Определенный интеграл 7 Определение и свойства К понятию определенного интеграла приводят разнообразные задачи вычисления площадей, объемов, работы, объема производства, денежных потоков и тп

Подробнее

Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам 1 и 2 по математическому анализу

Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам 1 и 2 по математическому анализу Т.Л. Сурин Ж.В. Иванова С.В. Шерегов Методические рекомендации и задания к контрольным работам и по математическому анализу (для студентов I курса математического факультета заочного отделения ) Витебск

Подробнее

1.3. Связь с другими дисциплинами Учебного плана Перечень действующих и предшествующих дисциплин Линейная алгебра

1.3. Связь с другими дисциплинами Учебного плана Перечень действующих и предшествующих дисциплин Линейная алгебра 3 1. Цели и задачи дисциплины 1.1. Цель, задачи дисциплины, ее место в подготовке бакалавра, специалиста (с учетом требований ФГОС) Дисциплина «Математический анализ» является базовой дисциплиной математического

Подробнее

УДК (072)(075.8)

УДК (072)(075.8) БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики

Подробнее

8. Определенный интеграл

8. Определенный интеграл 8. Определенный интеграл 8.. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x,..., x n, x n } [, b], что = x < x < < x n < x n =

Подробнее

Ларин Александр Александрович Курс высшей математики. Часть 2.

Ларин Александр Александрович Курс высшей математики. Часть 2. Содержание: Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой. Односторонние производные функции

Подробнее

3568 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

3568 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ 568 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Методические указания

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество, -алгебра подмножеств множества X и на задана -аддитивная полная

Подробнее

ПРОГРАММЫ ЛЕКЦИОННЫХ И ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

ПРОГРАММЫ ЛЕКЦИОННЫХ И ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ПРОГРАММЫ ЛЕКЦИОННЫХ И ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Казань Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский)

Подробнее

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики».

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики». МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ «ДОНСКОЙ БАНКОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Методические

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

7. Общий план исследования функции и построение её графика

7. Общий план исследования функции и построение её графика 7 Общий план исследования функции и построение её графика Нижеследующий план-схема исследования функции обобщает результаты, изложенные в предыдущих параграфах Исследование функции по этому плану позволит

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" 2 семестр группы АК1,2,4-11 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2 семестр группы АК1,2,4-11 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" 2 семестр группы АК,2,4- ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Неопределенный интеграл. Первообразная функции. Таблица первообразных.

Подробнее

1.Свойства определенного интеграла. 1.Если подынтегральная функция равна единице, то

1.Свойства определенного интеграла. 1.Если подынтегральная функция равна единице, то ЛЕКЦИЯ N4. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема о среднем..свойства определенного интеграла.....теорема о среднем значении.....производная интеграла по переменной верхней

Подробнее

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj Высшая математика Лекции по курсу Список литературы [] Высшая математика для экономистов Под редакцией НШ Кремера [] СА Минюк, ЕА Ровба Высшая математика [] Сборник задач по высшей математике для экономистов

Подробнее

Аннотация предмета. Математика для экономистов

Аннотация предмета. Математика для экономистов Математика для экономистов Предмет По-немецки Mathematik für die Ökonomen По-английски Mathematics for Economists Форма обучения Доклад/Практикум по математике 2/2 Год изучения 1 (два семестра) ECTS 6

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Равномерная непрерывность функций одной переменной. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. Шапкина Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8.

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: 16x 10x + 2x = 8, 40x + 25x 5x = 20. Ответ: Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 1 2 + 5 8 x 1 8 x, x, x R; базисное

Подробнее

Методические указания к решению задач на интегралы с параметром. Учебно-методическое пособие

Методические указания к решению задач на интегралы с параметром. Учебно-методическое пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Методические указания к решению задач на интегралы с параметром Учебно-методическое пособие

Подробнее

Определенный интеграл. Несобственный интеграл.

Определенный интеграл. Несобственный интеграл. министерство образования и науки российской федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Б.П.Демидович СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ В сборник (11-е изд. 1995 г.) включено свыше 4000 задач и упражнений по важнейшим разделам математического анализа: введение в анализ:

Подробнее

VII. Определенный интеграл и его приложения. 1. Некоторые задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

VII. Определенный интеграл и его приложения. 1. Некоторые задачи, приводящие к понятию определенного интеграла VII Определенный интеграл и его приложения Некоторые задачи приводящие к понятию определенного интеграла Задача Вычисление пройденного пути при неравномерном движении Пусть точка движется по прямолинейной

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

Д. Г. Орловский. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть 1

Д. Г. Орловский. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ Д. Г. Орловский ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть Рекомендовано УМО Ядерные физика и технологии

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ. по высшей математике

КУРС ЛЕКЦИЙ. по высшей математике Министерство образования и науки, молодежи и спорта Донецкий национальный технический университет Улитин Г.М., Гончаров А.Н. КУРС ЛЕКЦИЙ по высшей математике Учебное пособие Донецк 2011 УДК 51 (075.8)

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

Программа вступительного экзамена на программы магистратуры по направлению Прикладная математика и информатика

Программа вступительного экзамена на программы магистратуры по направлению Прикладная математика и информатика ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ѕсанктпетербургский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТї Программа вступительного экзамена на программы магистратуры

Подробнее

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя

Лекция 14. Неопределенности и правило Лопиталя СА Лавренченко 1 wwwlawrencenkoru Лекция 14 Неопределенности и правило Лопиталя Правило Лопитáля применяется при вычислении пределов для раскрытия неопределенностей типа или Раскрытие неопределенности

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

4 Определенный интеграл Римана. Определение,

4 Определенный интеграл Римана. Определение, 4 Определенный интеграл Римана. Определение, обобщенная теорема о среднем значении, интеграл с переменным верхним пределом, формула замены переменной, интегрирование по частям, некоторые неравенства. 4.1

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

Программа дисциплины. Математический анализ. для направления Экономика подготовки бакалавра

Программа дисциплины. Математический анализ. для направления Экономика подготовки бакалавра Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации Государственный университет - Высшая школа экономики Факультет экономики Программа дисциплины Математический анализ для направления

Подробнее

вид 1, 1/2, 1/3,..., 1/n,... ).

вид 1, 1/2, 1/3,..., 1/n,... ). Казанское математическое общество В.Б. Живетин Вводные лекции по курсу Высшая математика Г Р А Ф Казань 998 3 УДК 57 ББК.6 Ж 66 Вводные лекции по курсу Высшая математика /В.Б.Живетин; Казанское математическое

Подробнее

(x p 1. dx q n dx

(x p 1. dx q n dx Одесский национальный университет имени И. И. Мечникова Институт математики, экономики и механики В. И. Коляда, А. А. Кореновский К У Р С Л Е К Ц И Й по МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ В двух частях Часть 1 Одесса

Подробнее

непрерывной на отрезке a; b и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, Эту фигуру будем называть криволинейной трапец ией.

непрерывной на отрезке a; b и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, Эту фигуру будем называть криволинейной трапец ией. Лекция: Определенный интеграл. Введение. Рассмотрим график функции y f () непрерывной на отрезке ; и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, y f ( ),,. Эту фигуру будем называть криволинейной

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС учебной дисциплины

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС учебной дисциплины ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ѕюжный ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТї Факультет математики, механики

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

Лист переутверждения

Лист переутверждения Лист переутверждения Дополнения и изменения к рабочей программе на 2015 / 2016 учебный год Рабочая программа принята без изменений и одобрена на заседании кафедры математического анализа и прикладной математики

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

применять математические методы при решении профессиональных задач повышенной сложности, решать типовые задачи по основным разделам курса, используя

применять математические методы при решении профессиональных задач повышенной сложности, решать типовые задачи по основным разделам курса, используя Аннотация рабочей программы дисциплины направление подготовки: 23.05.05 Системы обеспечения движения поездов направленность: Телекоммуникационные системы и сети железнодорожного транспорта Дисциплина:

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО РАЗДЕЛУ «РЯДЫ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ

Подробнее

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия :

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия : 57 Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ Определение 1 Функция = f ( ) называется непрерывной в точке, если выполняются следующие три условия : 1) функция = f (

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент.

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка СОДЕРЖАНИЕ Глава Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла Свойства неопределённого интеграла Таблица основных неопределённых

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

Методические указания и контрольные задания по математике для обучающихся 2 курса СПО

Методические указания и контрольные задания по математике для обучающихся 2 курса СПО ГАОУ СПО ЛО Киришский политехнический техникум Методические указания и контрольные задания по математике для обучающихся курса СПО Методическая разработка по дисциплине «Математика» Разработала преподаватель

Подробнее