Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности"

Транскрипт

1 Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного сверху множества вещественных чисел ограниченного снизу множества вещественных чисел 4 неограниченного множества вещественных чисел 5 неограниченного сверху множества вещественных чисел 6 неограниченного снизу множества вещественных чисел 7 окрестности данной точки 8 ε - окрестности данной точки 9 проколотой окрестности данной точки предельной точки числового множества верхней грани числового множества нижней грани числового множества точной верхней грани числового множества 4 точной нижней грани числового множества 5 числовой последовательности 6 ограниченной последовательности 7 неограниченной последовательности 8 монотонной последовательности 9 предела последовательности бесконечно малой последовательности бесконечно большой последовательности фундаментальной последовательности подпоследовательности данной последовательности 4 предельной точки последовательности (два определения) 5 верхнего предела последовательности 6 нижнего предела последовательности Основные теоремы (без доказательства) Сформулируйте теорему о пределе суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей теорему о «двух милиционерах» теорему о пределе монотонной ограниченной последовательности 4 теорему о вложенных отрезках 5 теорему Больцано-Вейерштрасса 6 критерий Коши сходимости последовательности Теоремы с доказательством Докажите, что сходящаяся последовательность имеет только один предел Докажите, что сходящаяся последовательность ограничена Сформулируйте и докажите теоремы о пределах суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей 4 Докажите теорему о «двух милиционерах» 5 Пусть = Докажите, что любая подпоследовательность { } сходится к 6 Докажите, что неубывающая ограниченная сверху последовательность имеет предел 7 Докажите, что невозрастающая ограниченная снизу последовательность имеет предел 8 Докажите теорему о вложенных отрезках 9 Докажите теорему Больцано-Вейерштрасса Докажите, что фундаментальная последовательность является ограниченной Докажите, что сходящаяся последовательность является фундаментальной k

2 Докажите, что фундаментальная последовательность является сходящейся 4 Вопросы и задачи 4 Приведите примеры ограниченного и неограниченного множеств вещественных чисел 4 Докажите неравенство Бернулли: ( + ) + при и 4 Сформулируйте отрицание к определению ограниченной последовательности 44 Сформулируйте отрицание к определению "Число называется пределом последовательности" 45 Сформулируйте отрицание к определению бесконечно малой последовательности 46 Сформулируйте отрицание к определению бесконечно большой последовательности 47 Сформулируйте отрицание к определению фундаментальной последовательности 48 Докажите, что последовательность = ( + / ) возрастающая 49 Докажите, что последовательность ( / ) = + + убывающая 4 Докажите, что последовательность = ( + / ) сходится 4 Пусть{ } - бесконечно малая последовательность, последовательность { } - бесконечно большая 4 Пусть{ } Докажите, что - бесконечно большая последовательность Докажите, что последовательность { } определена, начиная с некоторого номера, и является бесконечно малой 4 Пусть =, Докажите, что = 44 Пусть последовательность { } сказать о сходимости последовательности { y} 45 Пусть последовательность { } сходится, а последовательность { } +? Ответ обоснуйте расходится и последовательность { } сказать о сходимости последовательности { + y}? Ответ обоснуйте 46 Пусть последовательность { } сходится, а последовательность { } сказать о сходимости последовательности { y}? Ответ обоснуйте 47 Пусть последовательность { } расходится и последовательность { } сказать о сходимости последовательности { y}? Ответ обоснуйте 48 Пусть последовательность { } сходится, а последовательность { } сказать о сходимости последовательности { } y? Ответ обоснуйте 49 Пусть последовательность { } расходится и последовательность { } сказать о сходимости последовательности { } y? Ответ обоснуйте y расходится Что можно y расходится Что можно y - расходится Что можно y расходится Что можно y расходится Что можно y расходится Что можно 4 Докажите, что если =, то = 4 Известно, что = Докажите, что ( + ) = 4 Известно, что = Докажите, что ( + ) = 4 Известно, что = Докажите, что = 44 Пусть, начиная с некоторого номера, y и y =+ Докажите, что =+ 45 Пользуясь определением предела последовательности, докажите что: ( ) si а) = б) ( 8) = в) = + α 46 Исследуйте вопрос о сходимости последовательности = в зависимости от + + параметра α + ( ) + 47 Найдите: а) б) + в) ( ) + + +

3 48 Докажите, что последовательности являются бесконечно большими: а) = б) ( ) = 49 Докажите, что последовательность {( + ( ) ) } неограниченная, однако не является бесконечно большой 4 Сформулируйте отрицание к определению "Число называется предельной точкой последовательности", используя понятие подпоследовательности 4 Сформулируйте отрицание к определению "Число называется предельной точкой последовательности", используя понятие окрестности 4 Приведите пример последовательности, у которой есть одна предельная точка, но последовательность не является сходящейся 4 Приведите пример последовательности, у которой ровно две предельные точки 44 Докажите, что монотонная неограниченная последовательность не имеет предельной точки 45 Найдите все предельные точки данной последовательности { }, а также, : а) ( ) = ( ) + ( ) б) = + π в) = cos + π г) = cos д) = si ( π/ + / ) 5 Задачи повышенной трудности 5 Докажите, что из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность 5 Докажите сходимость последовательности { } и вычислите ее предел, если а) - произвольное положительное число, + = +, > б) =, + = 5 Найдите все предельные точки последовательности / / / / / / 4 (обоснуйте ответ) 54 Не пользуясь правилом Лопиталя, докажите, что последовательность l = при α > является бесконечно малой 55 Не пользуясь правилом Лопиталя, докажите, что последовательность > является бесконечно малой 56 Докажите, что =!! 57 Докажите, что = 58 Докажите, что последовательность большой α = при любом и = при любом α и при > является бесконечно l 59 Докажите, что = 5 Докажите, что последовательность = является бесконечно малой Пусть =, = Докажите, что = 5 Пусть =, = Докажите, что = 5 Вычислите!

4 54 Докажите, что =! 55 Приведите пример последовательности с бесконечным числом предельных точек Тема Предел и непрерывность функции Определения Сформулируйте определение: ограниченной на множестве X функции ограниченной сверху на множестве X функции ограниченной снизу на множестве X функции 4 неограниченной на множестве X функции 5 неограниченной сверху на множестве X функции 6 неограниченной снизу на множестве X функции 7 верхней грани функции на множестве X 8 нижней грани функции на множестве X 9 точной верхней грани функции на множестве X точной нижней грани функции на множестве X монотонной на промежутке функции предела функции f ( ) в точке = по Коши предела функции f ( ) при + по Коши 4 предела функции f ( ) при по Коши 5 предела функции f ( ) при + по Коши 6 предела функции f ( ) при по Коши 7 предела функции f ( ) в точке = по Гейне 8 предела функции f ( ) при + по Гейне 9 предела функции f ( ) при по Гейне f () + при "по Коши" f () + при "по Коши" f () + при + "по Коши" f () + при "по Коши" 4 f () при "по Коши" 5 f () при "по Коши" 6 f () при + "по Коши" 7 f () при + "по Коши" 8 "Функция f ( ) называется бесконечно малой при "по Коши" 9 "Функция f ( ) называется бесконечно малой при + "по Коши" f () + при "по Гейне" f () + при + "по Гейне" f () + при "по Гейне" функции, непрерывной в точке 4 непрерывной на промежутке функции 5 точки разрыва функции f ( ) 6 точки устранимого разрыва функции f ( ) 7 точки разрыва первого рода функции f ( ) 8 точки разрыва второго рода функции f ( ) 9 обратной функции Основные теоремы (без доказательства) Сформулируйте критерий Коши существования предела функции при Сформулируйте критерий Коши существования предела функции при + 4

5 Сформулируйте теорему: о пределах суммы, разности, произведения и частного двух функций 4 о связи предела функции в данной точке с односторонними пределами в этой точке 5 о первом замечательном пределе 6 о втором замечательном пределе 7 о непрерывности суммы, разности, произведения и частного двух непрерывных функций 8 Сформулируйте теорему о непрерывности сложной функции 9 Сформулируйте теорему о существовании, монотонности и непрерывности обратной функции Теоремы с доказательством Докажите, что сумма двух бесконечно малых функций в точке является бесконечно малой функцией в точке Докажите, что произведение бесконечно малой в точке функции на ограниченную функцию является бесконечно малой функцией в точке Докажите теорему о пределах суммы, разности, произведения и частного двух функций 4 о связи предела функции в данной точке с односторонними пределами в этой точке 5 о пределе монотонной ограниченной функции 6 Докажите эквивалентность определений по Гейне и по Коши предела функции f ( ) при 7 Сформулируйте критерий Коши существования f ( ) Докажите необходимость 8 Сформулируйте критерий Коши существования f ( ) Докажите достаточность Докажите теорему: 9 о непрерывности суммы, разности, произведения и частного двух непрерывных функций о непрерывности сложной функции о прохождении непрерывной на сегменте функции через любое промежуточное значение о существовании, монотонности и непрерывности обратной функции о первом замечательном пределе 4 о втором замечательном пределе 5 4 Вопросы и задачи 4 Сформулируйте определение по Коши того, что функция f ( ) не имеет предела в точке = Сформулируйте "по Коши" отрицание к утверждению 4 " f ( ) при " 4 " f ( ) при " 44 " f ( ) при " 45 " f ( ) + при " 46 " f ( ) при + " 47 " f ( ) при " 48 " f ( ) + при + " 49 Докажите, что сумма бесконечно малой в точке функции и ограниченной в окрестности точки функции является ограниченной функцией в некоторой окрестности точки 4 Пусть функция f ( ) имеет предел в точке, а g( ) не имеет предела в этой точке Что можно сказать о существовании пределов суммы f ( ) + g( ) и разности f ( ) g( ) в точке? Ответ обоснуйте 4 Дайте определение функции, не являющейся непрерывной в точке Приведите пример разрывной функции 4 Пусть функции f ( ) и g( ) разрывны в точке Что можно сказать о непрерывности суммы f ( ) + g( ) в этой точке? Ответ обоснуйте 4 Пусть функции f ( ) и g( ) разрывны в точке Что можно сказать о непрерывности произведения f ( ) g( ) в этой точке? Ответ обоснуйте 44 Пусть существует предел f ( ) в точке и не существует предел g( ) в точке Что можно сказать о пределе отношения f ( ) g( ) в этой точке? Ответ обоснуйте

6 45 Докажите, что если f ( ) непрерывна в точке, то и f ( ) непрерывная функция в точке 46 Можно ли утверждать, что квадрат разрывной в некоторой точке функции есть функция, разрывная в этой точке? Ответ обоснуйте 47 Пусть функция f ( ) непрерывна в точке, g( ) разрывна в точке Что можно сказать о непрерывности суммы f ( ) + g( ) и разности f ( ) g( ) в этой точке? Ответ обоснуйте 48 Пусть функция f ( ) непрерывна в точке, g( ) разрывна в точке Что можно сказать о непрерывности произведения f ( ) g( ) в точке? Ответ обоснуйте Пусть R ( ) =,, Докажите, что m m m, > m, R ( ) =, = m,, < m 4 Докажите, что cos не существует 4 Существует ли sg( )? Обоснуйте ответ si 5 si 4 Вычислите: а) б) l( + ) 4 Докажите, что: а) = б) = l, если > 44 Пусть α () и β () бесконечно малые при функции Докажите справедливость следующих равенств при : o( β) + o( β) = o( β) o ( β ) = o( β ), o( β) o( β) = o( β) β oc ( β) = o( β), c, c= cost co ( β) = o ( β), c, c = cost oo ( ( β) ) = o( β) o( β + o( β) ) = o( β) ( o( β) ) = o( β ), αβ = o( α), αβ = o( β) β o( β) = o( β + если α β, то α β = o ( α) ), и α β = o ( β) 45 Пользуясь свойствами символа " o малое", запишите для функции α () равенство вида α () = o() или (( ) k α () = o ) при (k -натуральное число): 45 α ( ) = o( o( 5 + )), 45 α ( ) = ( ) o(( ) + o( )), 45 α () = o(5 + ), α () = o ( + o( + )), o( ( + ) ) o( 4( + ) ) α() = + 4, ( + ) ( + ) 46 Пользуясь свойствами символа " o малое", запишите для функции α () равенство вида α () = o() или α( ) = o k при (k -натуральное число): 46 () o o α = + 46 α () 46 α() = o o + 6

7 464 α() o o = 465 () 5 o o α = + 47 Напишите асимптотическое разложение функции при c остаточным членом o ( ), где α : а) si (5 + ) б) cos(4 + ) в) l( + ) г) l(cos )д) l( e + ) е) cos si, > 48 Напишите асимптотическое разложение функции при c остаточным членом o(/ α ), где α : а) + б) + в) l cos / e, > 49 Вычислите пределы 4 ( )( + l( + e ) ) + l 4 ( + e ) 4 ( )( + ) π l( tg( 4 + ) ) si 8 + ( si + si ) 4 ( ) ( 5 + ) ( ) 5 ( ) ( > ) si( π / ) π / cos + (, ) > > π ( )tg α β e e m + + si α si β, m, N si ( π ) ( ) l ( cos ( π )) cos cos l( + ) si l ( + ) π + si + при +,, + + ( si ) tg +, c, > π / + c + d l ch cos l cos cos cos π + l( ch) ( ) ( ) + + ( )log + ( ), > si cos + l( + e ) l 4 + e ( ) + ( ) ( + ) tg π ( 4 + ) + h h +, h > h + + l( + + ) + l( ) 7

8 c + +, >, >, c > ( ), > π ( ch ) π ( cos ) ( l( + ) l ) cos cos cos cos 4 Найдите все точки разрыва функции f ( ) и определите их тип: f () = si f () = l e f ( ) = f ( ) = ( + ) 5 Задачи повышенной трудности 5 Докажите, что если f ( ) = "по Гейне", то f ( ) = "по Коши" Докажите, что если f ( ) = "по Коши", то f ( ) = "по Гейне" Докажите, что если f ( ) + при "по Гейне", то f ( ) + при "по Коши" 54 Докажите, что если f ( ) = "по Гейне", то f ( ) = "по Коши" Пусть функция y = f ( ) возрастает и ограничена на промежутке ( ) Докажите, что c ( ) f ( ) c 56 Пусть функция f ( ) возрастает и ограничена на промежутке ( + ) Докажите, что f ( ) 57 Пусть функция f ( ) убывает и ограничена на интервале ( ) Докажите, что f ( ) 58 Сформулируйте критерий Коши существования f ( ) Докажите необходимость + 59 Сформулируйте критерий Коши существования f ( ) Докажите достаточность +, иррац 5 Докажите, что функция Дирихле D () = не имеет предела ни в одной точке, рац 5 Пусть функция f () определена на [, ] f () f () < и уравнение f () = не имеет корней на (, ) Докажите, что функция f () не является непрерывной на [ ] 5 Пусть функция f () определена на [ ] и c ( f() f() ) такое, что уравнение f ( ) = c не имеет корней на (, ) Докажите, что функция f () не является непрерывной на [ ] 5 Докажите, что если функция f () непрерывна в точке =, и в любой окрестности точки найдутся точки и такие, что f ( ) f ( ) <, то f () = 54 Докажите, что если f () > и δ > такое, что < < δ и f ( ) <, то функция f () разрывна в точке = 55 Приведите пример функций f ( ) и g( ), для которых f ( ) ( f ( ) g( ) ) + и g( ), но 56 Пусть функция y = f ( ) определена и монотонна на некотором промежутке и пусть для любой точки c из этого промежутка f ( ), f ( ), причем эти пределы равны друг другу Докажите, c + c что функция f ( ) непрерывна на указанном промежутке Тема Производные и дифференциалы функции Определения Сформулируйте определение: производной функции f () в данной точке 8

9 правой производной функции f () в данной точке левой производной функции f () в данной точке 4 производной вектор-функции в данной точке 5 дифференцируемой в данной точке функции 6 функции f, () дифференцируемой на множестве ( ) 7 касательной к графику функции y = f ( ) в точке, f ( ) и запишите уравнение касательной 8 дифференциала функции в данной точке 9 -ной производной функции f () в данной точке раз дифференцируемой функции f () в данной точке бесконечно дифференцируемой функции f () в данной точке -ной производной вектор-функции в данной точке -ного дифференциала функции в данной точке Основные теоремы и формулы (без доказательства) Сформулируйте: достаточное условие существования касательной к графику функции y = f ( ) в точке, f ( ) теорему о производных суммы, разности, произведения и частного двух функций теорему о производной сложной функции 4 теорему о производной обратной функции Запишите: 5 формулы дифференциалов суммы, разности, произведения и частного двух функций 6 формулу для производной функции, заданной параметрически 7 формулу -ной производной произведения двух функций ( ) Теоремы с доказательством Докажите теорему о производных суммы, разности, произведения и частного двух функций о производной сложной функции о производной обратной функции 4 Выведите формулу производной функции, заданной параметрически 4 Вопросы и задачи 4 Докажите, что если f ( ), то f ( + Δ ) = f ( ) + f ( ) Δ + o( Δ ) при Δ 4 Докажите, что если существует число A такое, что f ( ) f ( ) A o( ) Δ, то ( ) и f ( ) = A + Δ = + Δ + Δ при f 4 Пользуясь определением производной, выведите формулы производных функций: а), б) si в) cos г) log д) 44 Пользуясь теоремой о производных суммы, разности, произведения и частного двух функций выведите формулы для производных функций: а) tg б) ctg в) sh г) ch д) th е) cth 45 Пользуясь теоремой о производной сложной функции, выведите формулу для производной функции α, α 46 Пользуясь определением производной, найдите производную функции в данной точке: а)y = в точке = 4 б) y = в точке = 47 Найдите односторонние производные f ( + ) и f ( ) функции: f =, = = б) f ( ) = sg, = в) f ( ) = sg, = а) ( ) г) ( ) f = e, = 48 Найдите первые производные и первые дифференциалы функций: а)y = + + б) y = si ( cos ) + cos ( si ) 9

10 в) y = e cos si г) y = e e д) y = e + е) y = l l ( l ) ( ) ж) y rctg( ) rcsi з) y = + l + и) l( y e e ) = + + cos к) y = si = + + f ( ), 49 Пусть F( ) =, где функция f ( ) дифференцируема слева в точке = +, > При каком выборе коэффициентов и функция F( ) будет дифференцируемой в точке?, >, 4 При каких значениях и функция f ( ) = является дифференцируемой на +, < всей числовой прямой? 4 Докажите, что если существует дифференциал функции f ( ) в точке, то f ( +Δ) f ( ) = f ( ) + α( Δ) Δ при Δ, где α( Δ ) - бесконечно малая функция при Δ 4 Докажите, что если существует дифференциал функции f ( ) в точке =, то существует f ( +Δ) f ( ) число А такое, что = A+ α( Δ) при Δ, где α( Δ ) - бесконечно малая Δ функция при Δ 4 Найдите дифференциалы -го порядка функции f: ( ) 5 а) f ( ) = l( + ) в) f ( ) = e, = б) f ( ) = si, = г) f ( ) =, = Используя теорему о производной обратной функции, выведите формулу для производной функции ( ) f : а) f ( ) = rcsi б) f ( ) = rctg в) f ( ) = l 45 Найдите производную -го порядка функции f ( ): а) f ( ) = l, = е) f ( ) = e, = б) f ( ) =, = ж) f ( ) = si, = в) f ( ) = e, = з) f ( ) = cos, = 6 г) f ( ) = /, = 4 и) f ( ) = cos, = 7 д) f ( ) = si, = 5 Задачи повышенной трудности 5 Используя теорему о производной сложной функции и тождество f( f ( )) =, выведите формулу производной обратной функции 5 Докажите, что функция ( + ),, f ( ) =, = имеет производную в точке = и найдите её значение 5 Докажите, что функция +, >, f ( ) =, = имеет правую производную в точке = и найдите её значение

11 54 Докажите, что функция ctg ( ),, f ( ) =, = имеет производную в точке = и найдите её значение 55 Докажите, что функция, >, f ( ) =, = имеет правую производную в точке = и найдите её значение 56 Докажите, что функция +, >, f ( ) =, = имеет правую производную в точке = и найдите её значение si,, 57 Пусть f ( ) = Докажите, что f ( ) при, f ( ), но f ( ), = cos,, 58 Пусть f ( ) = Докажите, что f ( ) при, f ( ), но f ( ), = cos,, 59 Пусть f ( ) = Докажите, что f ( ) при, f ( ), но f ( ), = si,, 5 Пусть f ( ) = Докажите, что f ( ) при, f ( ), но f ( ), = si e,, 5 Пусть f ( ) = Докажите, что f ( ), f ( ) Найдите f ( ), = e,, 5 Пусть f ( ) = Найдите f ( ), = e,, 5 Пусть f ( ) = Найдите f ( ), = Тема 4 Неопределенный и определенный интегралы Определения Сформулируйте определение: первообразной данной функции неопределенного интеграла данной функции интегральной суммы для данной функции f () на сегменте [, ] 4 предела интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю 5 определенного интеграла от функции f () по сегменту [, ] 6 нижней суммы (Дарбу) 7 верхней суммы (Дарбу) 8 предела верхних (нижних) сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю 9 верхнего (нижнего) интеграла Дарбу Основные теоремы и формулы (без доказательства) Сформулируйте теорему об интегрировании по частям для неопределенного интеграла Сформулируйте теорему об интегрировании методом замены переменной для неопределенного

12 интеграла Перечислите свойства сумм Дарбу 4 Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии интегрируемости функции f ( ) на сегменте [,] в терминах нижнего и верхнего интегралов Дарбу 5 Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии интегрируемости функции f ( ) на сегменте [,] в терминах нижних и верхних сумм 6 Перечислите известные Вам классы интегрируемых функций 7 Перечислите свойства определенного интеграла 8 Запишите формулу среднего значения для определенного интеграла и сформулируйте достаточные условия ее применимости 9 Запишите формулу Ньютона Лейбница и сформулируйте достаточные условия ее применимости Запишите формулу замены переменной для определенного интеграла и сформулируйте достаточные условия ее применимости Запишите формулу интегрирования по частям для определенного интеграла и сформулируйте достаточные условия ее применимости Теоремы с доказательством Докажите теорему об интегрировании методом замены переменной для неопределенного интеграла Докажите теорему об интегрировании по частям для неопределенного интеграла Докажите, что для данного разбиения отрезка нижняя (верхняя) сумма является точной нижней (верхней) гранью множества интегральных сумм 4 Пусть разбиение T отрезка [ ] получено из разбиения T путем добавления к нему новых точек Докажите, что нижняя сумма функции f () для разбиения T не меньше, чем нижняя сумма для разбиения T Получите оценку разности нижних сумм этих разбиений 5 Пусть разбиение T отрезка [ ] получено из разбиения T путем добавления к нему новых точек Докажите, что верхняя сумма функции f ( ) для разбиения T не больше, чем верхняя сумма для разбиения T Получите оценку разности верхних сумм этих разбиений 6 Докажите, что нижняя сумма функции f ( ) для любого разбиения отрезка [ ] не превосходит верхней суммы той же функции f() для любого другого разбиения T отрезка [ ] 7 Докажите, что множество нижних сумм функции f ( ) для всевозможных разбиений отрезка [ ] ограничено сверху 8 Докажите, что множество верхних сумм функции f ( ) для всевозможных разбиений отрезка [ ] ограничено снизу 9 Докажите, что нижний интеграл Дарбу не превосходит верхнего интеграла Докажите лемму Дарбу Докажите теорему о необходимом и достаточном условии интегрируемости функции f ( ) на сегменте [ ] в терминах нижнего и верхнего интегралов Дарбу Докажите теорему о необходимом и достаточном условии интегрируемости функции f ( ) на сегменте [ ] в терминах нижних и верхних сумм Докажите теорему об интегрируемости непрерывной на сегменте функции 4 Докажите теорему об интегрируемости некоторых разрывных на сегменте функций 5 Докажите теорему об интегрируемости монотонной на сегменте функции 6 Докажите теорему об интегрируемости суммы и разности двух интегрируемых функций 7 Пусть функция fинтегрируема ( ) на сегменте [ ] Докажите, что cf ( ), где c = cost, тоже интегрируема на [, ] причем cf ( ) d = c f ( ) d 8 Пусть функция fинтегрируема () на сегменте [ ] Докажите, что эта функция интегрируема на любом сегменте [ cd, ], содержащемся в сегменте [ ]

13 9 Пусть функция fинтегрируема () на сегментах [ c ] и [ c ], < c < Докажите, что эта c функция интегрируема на сегменте [,, ] причем f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d c Пусть f ( ) интегрируема на [, ] Докажите, что f ( ) тоже интегрируема на [, ] Пусть f ( ) интегрируема на [,, ] < Докажите, что fd ( ) f ( ) d Докажите теорему о формуле среднего значения для определенного интеграла Докажите теорему о существовании первообразной непрерывной функции 4 Докажите теорему о формуле Ньютона Лейбница 5 Докажите теорему об интегрировании методом замены переменной для определенного интеграла 6 Докажите теорему об интегрировании по частям для определенного интеграла 4 Вопросы и задачи 4 Вычислите интегралы: ( + ) d d 5 d + d + 8 e + e d d ( + )( + )( + ) ( ) d + d + + d ( + ) ( ) + d d + ( ) / 4 Вычислите интегралы: + d ( ) d d e d + + si d ( + )cosd e d 5 e d rctg d e cosd l d l d si( l ) d l( ) d ( + ) l d d ( + cos) si d si cos + 5 d ( + + )( ) d 8 d d +

14 d / e ( ) l d d e ( + + ) l d si(l ) d π 4 cos d π d si π / 5 si d π 6 e cos d π cos si d d d + π 8 d 4 4 si + cos 4 Следует ли из интегрируемости суммы двух функций f ( ) + g ( ) (разности двух функций f () g ()) интегрируемость f () и g( )? Ответ обоснуйте 44 Следует ли из интегрируемости произведения двух функций f ( ) g ( ) интегрируемость f () и g( )? Ответ обоснуйте 45 Пусть f () интегрируема, а g( ) неинтегрируема Что можно сказать об интегрируемости f () + g (), f () g (), f ( ) g ( )? Ответы обоснуйте 46 Пусть f () неинтегрируема и g( ) неинтегрируема Что можно сказать об интегрируемости f () + g (), f () g (), f ( ) g ( )? Ответы обоснуйте 47 Вычислите производные: d si( t ) dt d d t l dt + rctg + si 4 d t t d si( ) d d d rcsi tdt d d d d d dt + t cos t e dt rctg d d + tdt 5 Задачи повышенной трудности 5 Вычислите интегралы: π π d cos( l ) d d d 4 ( + ) ( 4 4 ) si + cos,5cos + 5 Докажите, что если функция fинтегрируема () на сегменте [,, ] то функция f ( ) также интегрируема на этом сегменте 4

15 5 Приведите пример функции f, () такой, что f ( ) dсуществует, а fd ( ) не существует 54 Докажите интегрируемость произведения интегрируемых функций 55 Известно, что функция f ( ) интегрируема на [,, ] fd ( ) < и f ( ) Докажите, что 56 Пусть f ( ) и g( ) интегрируемы на [,, ] < и f ( ) g ( ) [, ] Докажите, что fd ( ) > gd ( ) 57 Известно, что fd ( ) и < Следует ли отсюда, что f ()? Ответ обоснуйте 58 Известно, что f ( ) d > g( ) d и < Следует ли отсюда, что f ( ) g ( ) [, ]? Ответ обоснуйте 59 Докажите, что если функция f ( ) интегрируема на сегменте [, ] и / f ( ) также интегрируема на этом сегменте if f ( ) >, то функция [, ] Тема 5 Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях Определения Сформулируйте определение: ограниченной на заданном множестве функции точной верхней (точной нижней) грани функции на заданном множестве равномерно непрерывной на промежутке X функции 4 функции, возрастающей (убывающей) в данной точке Основные теоремы (без доказательства) Сформулируйте: теорему о локальной ограниченности функции, непрерывной в данной точке теорему об устойчивости знака функции, непрерывной в данной точке первую теорему Вейерштрасса 4 вторую теорему Вейерштрасса 5 теорему Кантора 6 достаточное условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции в точке 7 теорему Ролля 8 теорему о формуле конечных приращений Лагранжа 9 необходимое и достаточное условие невозрастания (неубывания) дифференцируемой функции на интервале (, ) достаточное условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции на интервале (, ) теорему о формуле Коши теорему о формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме Запишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано 4 Запишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа 5

16 Теоремы с доказательством Докажите теорему: о локальной ограниченности функции, имеющей предел в точке об устойчивости знака непрерывной функции о непрерывной функции, принимающей значения разных знаков на концах отрезка 4 первую теорему Вейерштрасса 5 вторую теорему Вейерштрасса 6 Кантора 7 о достаточном условии возрастания (убывания) в точке функции f ( ), дифференцируемой в точке 8 Ролля 9 о формуле конечных приращений Лагранжа о необходимом и достаточном условии невозрастания (неубывания) дифференцируемой функции на интервале (, ) о достаточном условии возрастания (убывания) дифференцируемой функции на интервале (, ) о формуле Коши о формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме 4 Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано 5 Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа f ( ) 6 Докажите теорему о правиле Лопиталя вычисления g( ) 4 Вопросы и задачи 4 Найдите точку c в формуле конечных приращений Лагранжа для функции ( ),, f ( ) = на сегменте [ ], 4 Используя правило Лопиталя, вычислите пределы: а) π г) ctg π б) l( si α) д), α >, β > + l( si β) ch cos в) 4 Запишите разложение функции f ( ) по формуле Маклорена с остаточным членом o ( ): а) f ( ) = cos д) f ( ) б) f ( ) = e = в) f ( ) = e е) f ( ) = l( ) г) f ( ) = + ж) f ( ) = l( + ) з) f () = si 44 Разложите функцию f ( ) по формуле Маклорена до члена порядка : а) f ( ) = si( si ), = si г) f ( ) = l, = 4 б) f ( ) = l cos, = 4 д), в) f ( ) = e, = + = 45 Вычислите пределы: si tg cos e а) б) 4 l ( + ) 6

17 + + e + e + г) д) si 5 Задачи повышенной трудности 5 Докажите, что многочлен Тейлора P ( ) дифференцируемой п раз в точке функции f ( ) и все ( ) его производные P k ( ) до п -го порядка включительно в точке равны соответственно f ( ) и в) ( ) ( k f ) ( ), k =,, 5 Докажите, что если f ( ) 5 Докажите, что если f ( ) 54 Пусть ( ) что f ( +Δ ) = P ( ) + o ( Δ ) = при f = f + f + f + f + o при 6, то f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) o( ), то ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P - многочлен Тейлора дифференцируемой п раз в точке функции f ( ) Докажите, ( ) 55 Докажите, что если функции f ( ) и g( ) дифференцируемы в точке, f ( ) f ( ) f ( ) =, g( ) =, g ( ), то = g( ) g ( ) 56 Докажите, что если функции f ( ) и g( ) дважды дифференцируемы в точке, f ( ) f ( ) f ( ) =, g( ) =, f ( ) =, g ( ) =, g ( ), то = g( ) g ( ) 57 Объясните, в каком месте нарушится ход доказательства первой теоремы Вейерштрасса, если в условии теоремы заменить "сегмент" на "интервал" 58 Приведите пример функции f ( ), непрерывной и ограниченной на промежутке [ + ), которая не достигает своей точной верхней грани на этом промежутке 59 Докажите, что функция f ( ) = равномерно непрерывна на полупрямой ( + ) 5 Докажите, что функция ( ) f = rctg равномерно непрерывна на полупрямой ( + ) 5 Докажите, что если функция f ( ) определена и непрерывна на полупрямой [ + ) и f ( ) =, то f ( ) равномерно непрерывна на этой полупрямой 5 Пусть функция f ( ) непрерывна на полупрямой [ + ), f ( ) = и f ( ) что функция достигает своих точных граней на этой полупрямой + = Докажите, Тема 6 Исследование поведения функций и построение их графиков Определения Сформулируйте определение: точки локального максимума (минимума) функции f ( ) направления выпуклости графика функции y = f ( ) точки перегиба графика функции y = f ( ) 4 наклонной асимптоты графика функции y = f ( ) 5 вертикальной асимптоты графика функции y = f ( ) Основные теоремы (без доказательства) Сформулируйте теорему: о необходимом условии локального экстремума дифференцируемой функции в данной точке о достаточных условиях локального экстремума дифференцируемой функции в окрестности данной точки о достаточных условиях локального экстремума дважды дифференцируемой функции в данной точке 7

18 4 о необходимых и достаточных условиях существования наклонной асимптоты графика функции y = f ( ) при + 5 о необходимом условии перегиба графика дважды непрерывно дифференцируемой функции в данной точке 6 о достаточных условиях перегиба графика функции в данной точке, использующих вторую производную функции 7 о достаточных условиях перегиба графика функции в данной точке, использующих третью производную функции Теоремы с доказательством Докажите теорему: о необходимом условии локального экстремума дифференцируемой функции в данной точке о достаточных условиях локального экстремума дифференцируемой функции в окрестности данной точки о достаточных условиях локального экстремума дважды дифференцируемой функции в данной точке 4 Докажите, что если f ( ) < на интервале ( ), то график функции y = f ( ) на этом интервале направлен выпуклостью вверх 5 Докажите, что если f ( ) > на интервале ( ), то график функции y = f ( ) на этом интервале направлен выпуклостью вниз Докажите теорему: 6 о необходимом условии перегиба графика дважды непрерывно дифференцируемой функции в данной точке 7 о достаточных условиях перегиба графика функции в данной точке, использующих вторую производную функции 8 о достаточных условиях перегиба графика функции в данной точке, использующих третью производную функции 4 Вопросы и задачи 4 Найдите промежутки возрастания и убывания функции, точки локального экстремума, промежутки сохранения направления выпуклости, точки перегиба графика функции f ( ), а также нарисуйте эскиз графика функции f ( ): а) f ( ) = б) f ( ) = l в) f ( ) = e г) f ( ) = /( ) 4 Найдите наклонные асимптоты графика функции f ( ): а) f ( ) = rctg б) f ( ) l г) f ( ) = + + = si д) f ( ) = в) f ( ) l + = 4 Для функции y = f ( ), заданной параметрически уравнениями = cos t, y = sit, t π, π запишите уравнения касательной и нормали к графику функции в точке, соответствующей: а) t = 4 π б) t = 44 Для функции y = f ( ), заданной параметрически уравнениями = t si t, y = cost, π t π, запишите уравнения касательной и нормали к графику функции при: а) t = б)t = π 4 5 Задачи повышенной трудности 8

19 5 Докажите, что если функция f ( ) определена и непрерывна на полупрямой [ + ) и её график имеет наклонную асимптоту при +, то f ( ) равномерно непрерывна на этой полупрямой 9


Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

- 1 - Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

- 1 - Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - - Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, 9- Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел Сформулируйте

Подробнее

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1)

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1) 1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения (2006-2007, сем.1 1. Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел. 2. Сформулируйте определение

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

ЗАДАЧИ К ОБЩЕМУ ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, I СЕМЕСТР.

ЗАДАЧИ К ОБЩЕМУ ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, I СЕМЕСТР. МГУ им МВЛомоносова Физический факультет Кафедра математики - ЗАДАЧИ К ОБЩЕМУ ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, I СЕМЕСТР Предел последовательности (-) Пользуясь определением предела последовательности,

Подробнее

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 1 Определения Сформулируйте определение: 2 ноября 2013 г. 1. ограниченного

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Задание 2. Определить ограничена ли последовательность? Снизу? Сверху? Почему? ; ; ; ; в) lim. xlim

Задание 2. Определить ограничена ли последовательность? Снизу? Сверху? Почему? ; ; ; ; в) lim. xlim ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ББ Математический анализ Примеры возможных самостоятельных работ: Тема «Последовательности»:

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА (ИОС «NOMOTEX»)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА (ИОС «NOMOTEX») ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» (ИОС «NOMOTEX») 1 курс 1 семестр для групп ФН-11, Э4, Э9, Э7, АК1, АК2, АК3, АК4 Знание: Физико-математические науки Направление науки: Математические

Подробнее

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР )

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР ) ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР 2007-2008) 1 Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R 2 Сформулируйте определение прямоугольной

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( )

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( ) Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу (2013 2014) 29 августа 2013 г. Тема I. Вещественные числа 1. Определения 1.1. Сформулируйте правило сравнения вещественных чисел. Сформулируйте определение:

Подробнее

НАН ЧОУ ВО Академия маркетинга и социально информационных технологий

НАН ЧОУ ВО Академия маркетинга и социально информационных технологий НАН ЧОУ ВО Академия маркетинга и социально информационных технологий АННОТАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Направление подготовки 10.03.01 «Информационная безопасность» направленность (профиль) программы Организация

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

Детали курса учебного года можно найти здесь:

Детали курса учебного года можно найти здесь: "Математический анализ-1" Составитель: А. Б. Шаповал Аннотация В последнее время математика активно расширяет сферу своих приложений, вторгаясь в смежные науки. Математики стали успешно решать не только

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФАКУЛЬТЕТ УПРАВЛЕНИЯ, 1 семестр, уч. год Направление обучения: Прикладная математика и информатика

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФАКУЛЬТЕТ УПРАВЛЕНИЯ, 1 семестр, уч. год Направление обучения: Прикладная математика и информатика МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФАКУЛЬТЕТ УПРАВЛЕНИЯ, семестр, 07-08 уч. год Направление обучения: Прикладная математика и информатика Оглавление. Содержание курса.... Литература.... Ориентировочный учебный план

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

Подробнее

док.физ.-мат.наук, профессор Карапетян Гарник Альбертович

док.физ.-мат.наук, профессор Карапетян Гарник Альбертович Автор: док.физ.-мат.наук, профессор Карапетян Гарник Альбертович Наименование дисциплины: Математический анализ и дифференциальные уравнения 1. Аннотация Аннотация: в курсе излагаются: теория пределов

Подробнее

причем а bтогда для Пусть Тогда а b = а x n + x n b а x n + x n b <ε+ε=2ε=

причем а bтогда для Пусть Тогда а b = а x n + x n b а x n + x n b <ε+ε=2ε= 1. Сформулируйте и докажите теорему о единственности предела сходящейся последовательности. Теорема (о единственности предела). Последовательность может иметь не более одного предела. Доказательство. Пусть

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНУНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика» ГАПостовалова

Подробнее

(3) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

(3) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (3) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Кафедра Высшей математики ММФ Автор программы: доцент М.П.Вишневский Лектор: 1-й семестр 1. Введение. Множества и операции над ними. Отображения множеств. Счетные множества. Действительные

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

Тема 1. Предел и непрерывность функции

Тема 1. Предел и непрерывность функции Уметь: Тема 1. Предел и непрерывность функции Вычислять пределы функций и числовых последовательностей, используя различные приемы, в том числе, замечательные пределы, проводить сравнение бесконечно малых

Подробнее

4. Структура и содержание дисциплины

4. Структура и содержание дисциплины 1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины «Математика» являются изучение основных понятий математического анализа и приобретение конкретных практических навыков их применения, необходимых

Подробнее

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу 1. Дайте определение конечного предела последовательности. Приведите пример последовательности,

Подробнее

Аннотация рабочей программы дисциплины Б.2.Б.1 математический анализ

Аннотация рабочей программы дисциплины Б.2.Б.1 математический анализ Аннотация рабочей программы дисциплины Б.2.Б.1 математический анализ Направление подготовки: 080100.62 «Экономика» Профиль: «Экономика и информационно-математическое управление» 1. Цели и задачи дисциплины

Подробнее

Математический анализ (наименование дисциплины) Направление подготовки физика

Математический анализ (наименование дисциплины) Направление подготовки физика Аннотация рабочей программы дисциплины Математический анализ (наименование дисциплины) Направление подготовки 03.03.02 физика Профиль подготовки «Фундаментальная физика», «Физика атомного ядра и частиц»

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр)

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) 1. Определения основных операций над множествами. 2. Законы дистрибутивности для операций над множествами. 3. Произведение множеств, простейшие свойства произведений

Подробнее

Новосибирский государственный университет Кафедра математического анализа БИЛЕТ 1

Новосибирский государственный университет Кафедра математического анализа БИЛЕТ 1 «3» Определение графика функции «3» Теорема 8 (о единственности предела) «3» Теорема 17 (критерий Коши) «4» Теорема 43 (о свойствах функции exp(x)) БИЛЕТ 1 «3» Определение производной функции в точке «3»

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

2. Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) не равен + 3. Вычислите предел, не используя правила Лопиталя: lim

2. Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) не равен + 3. Вычислите предел, не используя правила Лопиталя: lim Билет 1 1 Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) равен + при x + Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения двух функций 2 Сформулируйте определение того, что предел

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

1. Модуль 1 (7 лекций, 7 семинаров, 28 часов)

1. Модуль 1 (7 лекций, 7 семинаров, 28 часов) Министерство экономического Министерство развития и торговли образования Российской Федерации Российской Федерации Государственный университет - Высшая школа экономики Факультет бизнес-информатики Рабочий

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Е Б Боронина Эта книга написана для студентов технических вузов желающих подготовиться к экзамену по математическому анализу Содержание данной книги полностью соответствует

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

I. ПРЕДЕЛЫ. lim 1. = a, то lim a n. = a. Вытекает ли из существования. lim

I. ПРЕДЕЛЫ. lim 1. = a, то lim a n. = a. Вытекает ли из существования. lim I ПРЕДЕЛЫ Теоретические вопросы Понятие числовой последовательности и ее предела Теорема об ограниченности сходящейся последовательности Понятие предела функции в точке Понятие функции, ограниченной в

Подробнее

Учебные материалы по математическому анализу в электронном виде, а также примеры экзаменационных билетов прошлых лет вы можете найти на сайте

Учебные материалы по математическому анализу в электронном виде, а также примеры экзаменационных билетов прошлых лет вы можете найти на сайте Перечень тем и вопросов, выносимых на зимнюю сессию 2013-2014 уч. год, 1 курс, 2 поток Дисциплина Математический анализ, лектор к.ф.-м.н., доцент Фроленков И.В. 1. Понятие функции. График функции. Обзор

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УЧЕБНИК В 2 частях Часть 1 3-е издание, переработанное и дополненное Под редакцией

Подробнее

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ «Прикладные математика и физика» для всех факультетов высшей математики I

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ «Прикладные математика и физика» для всех факультетов высшей математики I УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Ю.А. Самарский 10 июня 2010 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ по дисциплине: по направлению подготовки: факультеты: кафедра: курс: Трудоёмкость: семестры: лекции: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

Подробнее

Вопросы и задачи по математическому анализу

Вопросы и задачи по математическому анализу Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СР Свирщевский Вопросы и задачи по математическому

Подробнее

Указывается трудоемкость в зачетных единицах.

Указывается трудоемкость в зачетных единицах. Аннотация рабочей программы дисциплины Б2. Б1 «Математический анализ» Направление подготовки 010500.62 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем, бакалавр 1. Цели и задачи дисциплины

Подробнее

Весенний семестр год. Содержание курса математики. Потоки ИБ, ИС, ПИ.

Весенний семестр год. Содержание курса математики. Потоки ИБ, ИС, ПИ. Весенний семестр. 2016 год. Содержание курса математики. Потоки ИБ, ИС, ПИ. Последовательности. 1. Определение последовательности. 2. Последовательность как функция, область определения последовательности.

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Математический анализ_ уч.год. ТЕМА 1. Пределы последовательностей и функций

Математический анализ_ уч.год. ТЕМА 1. Пределы последовательностей и функций Математический анализ_- уч.год ТЕМА. Пределы последовательностей и функций Если lim ( ), то функция (х) называется бесконечно большой функцией в точке х= бесконечно малой функцией в точке х= постоянной

Подробнее

II. Аннотация 1. Цели и задачи дисциплины Преподавание дисциплины «Математический анализ» имеет следующие цели и задачи: - ознакомить студентов с

II. Аннотация 1. Цели и задачи дисциплины Преподавание дисциплины «Математический анализ» имеет следующие цели и задачи: - ознакомить студентов с II. Аннотация 1. Цели и задачи дисциплины Преподавание дисциплины «Математический анализ» имеет следующие цели и задачи: - ознакомить студентов с теоретическими и практическими основами математического

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра Математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра Математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Математический анализ.

Математический анализ. Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3 Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика»

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

Методические указания к практическим (семинарским) занятиям Практические занятия (семинары) 1-й семестр

Методические указания к практическим (семинарским) занятиям Практические занятия (семинары) 1-й семестр п/п С1 С С3 С4 С5 С6 С7 С8 С9 С10 С11 С1 Методические указания к практическим (семинарским) занятиям Практические занятия (семинары) 1-й семестр раздела дисциплины Раздел 1. Множества и отображения. Вещественные

Подробнее

Тематика контрольных (самостоятельных) работ

Тематика контрольных (самостоятельных) работ Фонды Фонды оценочных средств по дисциплине Б.2.1 «Математический анализ» для проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации студентов по направлению 080100.62 «Экономика» Тематика

Подробнее

10. Исследование функций Основные формулы и определения для решения задач

10. Исследование функций Основные формулы и определения для решения задач 0. Исследование функций 0.. Основные формулы и определения для решения задач Правилом Лопиталя называют теоремы, сводящие вычисление предела отношения двух функций в случае неопределённости 00 или к вычислению

Подробнее

МНОЖЕСТВА. Операции над множествами.

МНОЖЕСТВА. Операции над множествами. МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы объекты данной совокупности можно отличить друг от

Подробнее

Л.В. Липагина, Е.В. Маевский, П.В. Ягодовский. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» (1 семестр)

Л.В. Липагина, Е.В. Маевский, П.В. Ягодовский. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» (1 семестр) Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика-»

Подробнее

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу Министерство образования Российской федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра дискретного анализа Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Подробнее

3. Планируемые результаты обучения дисциплине (учебному курсу) соотнесенные с планируемыми результатами освоения образовательной программы

3. Планируемые результаты обучения дисциплине (учебному курсу) соотнесенные с планируемыми результатами освоения образовательной программы АННОТАЦИЯ дисциплины (учебного курса) Б1.Б.11.1 Математический анализ 1 1. Цель и задачи изучения дисциплины (учебного курса) Цель формирование представлений о понятиях и методах математического анализа,

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

Правительство Российской Федерации

Правительство Российской Федерации Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"

Подробнее

Программа курса "Математический анализ".

Программа курса Математический анализ. Переводной экзамен по математическому анализу (специальность "Экономика") будет проводиться в письменной форме Владение теоретическим материалом (см Программу курса "Математический анализ") требуется в

Подробнее

Числовые функции одной действительной переменной

Числовые функции одной действительной переменной Множества. Числовые множества. Логические символы 1. Какие разделы математики входят в предмет «математический анализ»? Что входит в основы математического анализа? Что изучает математический анализ?.

Подробнее

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Предел. Непрерывность.

Предел. Непрерывность. Функция. 1 1. Какие числа образуют множество действительных чисел? 2. Что называется числовой осью? 3. Что называется интервалом? 4. Определить понятие окрестности точки. 5. Что называется абсолютной величиной?

Подробнее

«Математический анализ»

«Математический анализ» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени НЭ БАУМАНА Билеты для сдачи экзамена по курсу «Математический анализ» МГТУ имени НЭ Баумана МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени

Подробнее

Теоретичеcкие вопроcы и задачи

Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Дифференциальное иcчиcление функции неcкольких переменных. Дайте определение раccтояния (, b ) между точками, b, q докажите cвойcтва функции

Подробнее

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Финансовая академия при правительстве Российской Федерации (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Математика» ОБСУЖДЕНО Протокол

Подробнее

I. Цель и задачи курса

I. Цель и задачи курса Аннотация дисциплины «Математический анализ» Направления подготовки: 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» Профиль подготовки: Системное программирование и компьютерные технологии" Квалификация

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. 0 Определения и формулировки из программы 1-го семестра

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. 0 Определения и формулировки из программы 1-го семестра ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 курс, 2 семестр) Жирным шрифтом ниже выделены (за исключением названий разделов) важнейшие понятия этого семестра 0 Определения и формулировки из программы

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену Содержание

Материалы для подготовки к экзамену Содержание Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство». Дисциплина - «Математика-» Материалы для подготовки к экзамену Содержание Материалы для подготовки к экзамену... Содержание...

Подробнее

Несобственные интегралы, зависящие от параметра Определенный интеграл, зависящий от параметра... 28

Несобственные интегралы, зависящие от параметра Определенный интеграл, зависящий от параметра... 28 Физический факультет, кафедра математики, А.А.Быков boombook@yande.ru План лекций по курсу математического анализа, версия 04 от 30.08.010 Московский государственный университет Физический факультет Кафедра

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Тверской государственный университет» Утверждаю: Руководитель ООП: 015 г Рабочая

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Математический анализ Конспект лекций

Математический анализ Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Математический анализ Конспект лекций для направления

Подробнее

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "Дифференциальное. УЧЕБНЫЙ ПЛАН : Факультет

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины Дифференциальное. УЧЕБНЫЙ ПЛАН : Факультет РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "Дифференциальное УЧЕБНЫЙ ПЛАН : Факультет исчисление и аналитическая геометрия" геофизики. на осенний семестр

Подробнее

8. Сформулируйте определение сходящейся последовательности точек пространства R. Является ли

8. Сформулируйте определение сходящейся последовательности точек пространства R. Является ли Множества и последовательности точек Сформулируйте определение изолированной точки множества D R Приведите пример Сформулируйте определение внутренней точки множества D точек пространства Приведите пример

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Ж Н КУЛЬБАКОВА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ по разделам «ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ» для студентов курса заочного факультета специальности - - «Математика научнопедагогическая

Подробнее

Л.В. Липагина, Е.В. Маевский, П.В. Ягодовский

Л.В. Липагина, Е.В. Маевский, П.В. Ягодовский Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика-»

Подробнее

Новосибирский государственный университет Кафедра математического анализа

Новосибирский государственный университет Кафедра математического анализа БИЛЕТ 1 «3» Определение первообразной «3» Теорема 11 (об интегрируемости кусочно непрерывной функции) «3» Пример (гармонический ряд расходится) «3» Пример ( 1/n 2 сходится) «3» Теорема 6 (интегральный

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

Обновлено 29 декабря 2013 г. Лекция 1 /

Обновлено 29 декабря 2013 г. Лекция 1 / Лекция 1 / 2.09.2013 I. Предел и непрерывность функций одной переменной 1. Общематематические понятия Высказывания Способы построения высказываний Обратное утверждение Предложения с переменными и кванторы

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I Курс математического анализа является первой частью курса математики, который рассчитан на три семестра и является обязательным для студентов экономического бакалавриата. Задача

Подробнее

Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет Кафедра математики

Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет Кафедра математики Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет Кафедра математики Вопросы к экзамену по математике для студентов заочного отделения специальностей 86 «Финансы и кредит»

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ I Курс математического анализа является первой частью курса математики, который рассчитан на три семестра и является обязательным для студентов экономического бакалавриата. Задача

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

П рограмма экзам ен а. Для студентов ГФ. Первый семестр год. Январь 2010 г. Л е к т о р п р о ф. Л и с е е в И. А.

П рограмма экзам ен а. Для студентов ГФ. Первый семестр год. Январь 2010 г. Л е к т о р п р о ф. Л и с е е в И. А. П рограмма экзам ен а. Для студентов ГФ. Первый семестр. 2009 год. Январь 2010 г. Л е к т о р п р о ф. Л и с е е в И. А. В программе экзамена перечислено то, что с вас будут спрашивать на экзамене. Отдельно

Подробнее

Производная Задачи для самостоятельного решения. 1 Найти первую производную функции:

Производная Задачи для самостоятельного решения. 1 Найти первую производную функции: Производная Задачи для самостоятельного решения Найти первую производную функции: 4 cos (7 ) lg( ) e 4 tg arcsin( 4) arctg tg log () 4 log (4 ) 6 7 ln(/ ) arctg ( sin ( )) ( cos( )) 7 7 8 log arctg ctg(

Подробнее

Практикум: «Формула Тейлора». Если функция f (x)

Практикум: «Формула Тейлора». Если функция f (x) Практикум: «Формула Тейлора» Если функция f () имеет производные до (п +)-го порядка включительно в интервале ( 0, 0 ), 0, то для всех х из этого интервала справедлива формула Тейлора (порядка п) ( ) f

Подробнее

ПРОГРАММА. зачет 1-4 семестр. Содержание лекционного материала

ПРОГРАММА. зачет 1-4 семестр. Содержание лекционного материала ПРОГРАММА курсу «Математический анализ» 4 Факультет математический Специальность 010101 Математика Семестр 1 4 Лекции 280 час. Практические занятия 280 час. Самостоятельная работа 250 час. Форма проверки

Подробнее

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ»

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ» Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Математический анализ» Направление 080100 Экономика для подготовки студентов бакалавров

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ Глава 1. МНОЖЕСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ 1.1. Множества Символы Отображения... 7

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ Глава 1. МНОЖЕСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ 1.1. Множества Символы Отображения... 7 http://library.bntu.by/kastrica-o-matematicheskiy-analiz ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ... 3 Глава 1. МНОЖЕСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ 1.1. Множества... 5 1.2. Символы... 6 1.3. Отображения... 7 Глава 2. ЧИСЛА И ЧИСЛОВЫЕ

Подробнее

Математический анализ учебный год (заочное отделение) Тема 1. Элементы аналитической геометрии

Математический анализ учебный год (заочное отделение) Тема 1. Элементы аналитической геометрии Математический анализ - учебный год (заочное отделение Тема. Элементы аналитической геометрии Расстояние между двумя точками на плоскости определяется формулой d d d d Абсцисса точки С, разбивающей отрезок

Подробнее

(1 x) ctg(2x). 4. Метод хорд графического интегрирования (пример). 5. Обоснование правила Крамера.

(1 x) ctg(2x). 4. Метод хорд графического интегрирования (пример). 5. Обоснование правила Крамера. Билет.. Определение матрицы (с примерами квадратной и прямоугольной матриц).. Геометрический смысл многочлена Тейлора первого порядка (формулировка, пример, рисунок). ( x) ctg(x). 4. Метод хорд графического

Подробнее