Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"

Транскрипт

1 Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то дифференциальное уравнение называется обыкновенным если от нескольких то уравнением в частных производных Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка встречается в одном из следующих видов: ) F общем; ) f разрешенном относительно производной; ) M d N d в дифференциалах Для уравнения f справедлива теорема о существовании и единственности решения: если f( ) и f непрерывны в некото- рой области D на плоскости Ох содержащей некоторую точку ( ) то существует единственное решение этого уравнения = () удовлетворяющее условию: = при = Геометрически это значит что существует единственная функция график которой (интегральная кривая) проходит через данную точку Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция = ( ) которая при любых значениях произвольной постоянной является решением этого уравнения т е обращает его в тождество Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых Уравнение Ф( ) = определяющее общее решение неявно называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка Задачей Коши для дифференциального уравнения первого порядка называется задача отыскания частного решения = ( ) удовлетворяющего данному начальному условию: ( ) = Если известно общее решение уравнения = ( ) то чтобы решить задачу Коши следует найти постоянную из условия = ( ) В табл выделены простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка допускающие аналитическое решение и указаны методы их решения В рамках расширения табл сделаем несколько замечаний: 9

2 M N Уравнение вида M ( ) d + N ( ) d = при в некоторых частных случаях удается свести к типу 8 методом интегрирующего множителя Уравнение Лагранжа с помощью введения вспомогательного параметра сводится к типу методами решения указанных дополнительных типов дифференциальных уравнений предлагается ознакомиться самостоятельно (см например Пискунов Н Дифференциальное и интегральное исчисление Т М: Наука ) Таблица п/п Тип Вид Метод решения Результат 5 Уравнение с разделенными переменными Уравнение с разделяющимися переменными Однородное уравнение Уравнение приводящееся к уравнению с разделяющимися переменными 5 Уравнение приводящееся к однородному M()d + N()d = Почленное интегрирование a) M () N ()d + а) почленное + M () N ()d = деление на б) = f () f () N () M () б) почленное умножение на d f Подстановка f U f ab Подстановка z = a + b a b = f a b = +h = + k Общее решение M d N Уравнение типа Уравнение типа Уравнение типа Уравнение типа d 9

3 Окончание табл 5 Линейное уравнение 7 Уравнение Бернулли 8 Уравнение в полных дифференциалах а) +P() = Q() P Q б) +P() = Q() ( ) M()d +N()d = M N а) подстановка =U()V() б) подстановка =U()V() Подстановка z Интегрирование системы вида U M U N истема двух уравнений типа V PV а) UV Q V PV б) UV Q Уравнение типа Общее решение вида U() = Типовые примеры и их решения Пример Решить уравнение и построить семейство интегральных кривых данного уравнения f Решение В данном примере f( ) = ; определены и непрерывны при любых х и и следовательно условия теоремы выпол- нены на всей плоскости О d Поскольку то исходное уравнение равносильно равенству d d d Выполняя почленное интегрирование получаем l l = где произвольная постоянная или l (/) = откуда При = получаем решение = Для всех > имеем семейство монотонно возрастающих функций для < монотонно убывающих (см рис 5) 9

4 Рис 5 Пример Замедляющее действие трения на диск вращающийся в жидкости пропорционально угловой скорости Выразить как функцию времени если известно что за 5 с с начала движения угловая скорость снизилась со до 5 об/с Решение В данной задаче используется физический смысл производной скорость протекания процесса Замедляющее действие трения d на диск угловой скорости есть где и связаны дифференциаль- d ным уравнением d k d или 9 d k d Проинтегрировав обе части получим l k l ; k Это будет общим решением данного дифференциального уравнения Найдем значение отвечающее данным начальным условиям Подставляя в общее решение = и = получим = т е = и k Коэффициент пропорциональности k находим из условия что при = 5 с угловая скорость диска стала равной 5 об/с т е 5 5k 5k или Откуда 5k l l и k l

5 Таким образом угловая скорость зависит от времени по закону l Ответ: l Пример Найти семейство кривых у которых отрезок касательной заключенный между координатными осями делится пополам в точке касания (рис 5) Написать уравнение кривой этого семейства проходящей через точку (; ) Решение Пусть М(х у) произвольная точка кривой указанного типа Так как AM = MB то и ON=NA где ON= MN NA = MNcg(8 ) ; g MN ON g Так как угловой коэффициент касательной (k=g) является произ- Рис 5 водной т е g = то приходим к уравнению или d Поскольку то полученное дифференциальное уравнение равносильно равенству d d d Выполняя почленное интегрирование получаем l = l + l где произвольная постоянная или l l откуда Определим значение соответствующее начальным значениям искомая интегральная кри- т е = следовательно вая Ответ: ; 95

6 Пример оставить дифференциальное уравнение семейства кривых Решение Чтобы построить дифференциальное уравнение которому удовлетворяют кривые заданного семейства следует продифференцировать данное равенство считая что функция независимой переменной х а затем из полученного равенства исключить параметр Дифференцируя заданную функцию находим что Исключая постоянную из этого равенства приходим к уравнению или Ответ: Пример 5 Проинтегрировать уравнение d d Решение Преобразуем левую часть уравнения d d огласно табл п это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными Разделим обе части уравнения на считая d d Интегрируя получим общий интеграл уравнений d d l ; d l d ; l l l Потенцируя полученное равенство находим общий интеграл уравнения в виде 9

7 Замечание При решении дифференциальных уравнений с разделя- M N d M N d следует ющимися переменными помнить что при делении на произведение N ()M () возможна потеря решений N () = и M () = Поэтому наличие или отсутствие интегральных кривых N () = и M () = должно устанавливаться непосредственной проверкой В данном случае + и + Ответ: Пример Проинтегрировать уравнение d d Решение Разделив обе части равенства на d получим уравнение правая часть которого есть функция отношения : d d огласно табл п это уравнение является однородным Положив в нем U т е = U и U U получим уравнение с разделяющимися переменными: du U U U ; ; U d U d U du Интегрируя и подставляя вместо U получим общий интеграл исходного уравнения: s U l ; s l Ответ: s l 97

8 d Пример 7 Проинтегрировать уравнение d Решение огласно табл п 5 чтобы преобразовать данное уравнение в однородное делаем замену: = + h = + k Тогда d d h k h k Решая систему уравнений h k h k находим: h = k = В результате получаем однородное уравнение d или d Положив в нем U т е = U и U U получим уравнение с разделяющимися переменными: U U U U ; Интегрируя и подставляя du U ; d U U l l вместо U находим: U U d du arcgu l arcgu l U ; arcg l или arcg l Возвращаясь к переменным и получаем общий интеграл дифференциального уравнения arcg l Ответ: arcg l 98

9 Пример 8 Решить уравнение d d Решение Представим данное уравнение в виде d или d 99 огласно табл п это уравнение можно свести к уравнению с разделяющимися переменными заменой: z = Тогда z = откуда = z и исходное уравнение приводится к виду z 5z z dz z z d z z 5z Выполним почленное интегрирование данного равенства: z 5z dz d или z l z z dz dz dz 5z 5 z z 5 5 z 5 d z 5 z dz l z 5 z Так как z = то получим окончательно решение исходного уравнения в виде l Или 5 l 5 Ответ: 5 l 5 Пример 9 Проинтегрировать уравнение Решение Разделив левую и правую части уравнения на х приходим к линейному неоднородному уравнению (см табл п )

10 UV U V тогда исходное уравнение при- Пусть = U V т е мет вид или V Положим V или U V U V U V V U V UV () dv d получим частное решение ( = ) l V = l или V dv d откуда Проинтегрировав V V При V равен- U ство () обратится в уравнение или du d откуда U и общим решением данного уравнения будет U V Ответ: Пример Проинтегрировать уравнение d d Решение Простыми преобразованиями уравнение приводится к уравнению Бернулли (табл п 7): d () d Введем новую функцию z тогда dz d d dz d d d d Подставляя эти выражения в уравнение () получим линейное уравнение Полагая dz dz z d z z z d 5

11 dz z d U V будем иметь U V U V или U V UV U V dv V U V U () d dv V Полагая получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными частное решение которого ( = ) d dv d V будет l V l т е V = Подставляя найденную функцию V() du du в уравнение () получим или Разделим переменные и d d проинтегрируем: du d; U ледовательно общий интеграл данного уравнения есть или 5 Ответ: 5 Замечания Уравнение Бернулли можно решить сразу как линейное минуя сведение уравнения к линейному виду Уравнение Бернулли может быть линейным относительно переменной х т е иметь вид P Q U V Решение можно искать в виде Пример Проинтегрировать уравнение s s d d (5)

12 Решение Уравнение (5) уравнение в полных дифференциалах s s В данном случае M и N и так как M s N s s и то левая часть уравнения (5) есть полный дифференциал некоторой функции U( ) (табл п 8) Функцию U( ) = ( произвольная постоянная) найдем из системы уравнений найдем U( ) с точно- U s U s По данной частной производной U s стью до произвольной функции (): s d U U Продифференцируем данную функцию U( ) по : U d d Приравнивая уже к известному выражению U s получим s s d d d d d d

13 Откуда ( произвольная постоянная) Определив функцию () можно записать U и следовательно общим интегралом уравнения будет Ответ: (где = ) Пример Найти интегрирующий множитель и общее решение уравнения d d Решение Здесь М = ху N = у х M N M N ледовательно левая часть уравнения не есть полный дифференциал N M 8 Отношение зависит от х и у N N M 8 Отношение зависит только от у ледовательно уравнение допускает интегрирующий множитель зависящий M d l d только от у Находим его: d l ; отсюда d l l т е После умножения всех членов данного уравнения на найденный интегрирующий множитель получаем уравнение

14 d d в полных дифференциалах Решая это уравнение найдем его общий интеграл: M N N M Замечание Аналогично если выражение не зависит от у а зависит только от х то находится интегрирующий множи- N N M d l тель зависящий только от х N d Ответ: Пример Решить уравнение () Решение Запишем уравнение в виде Это уравнение Лагранжа Положив у = Р будем иметь (7) P P (8) Дифференцируя по х получим dp dp dp P P P P P P P P d d (9) d Найдем особые решения Уравнение (9) обращается в тождество при всяком постоянном значении Р=Р удовлетворяющем условию Р (Р ) = т е при P P P и P Решениями соответствующими каждому значению Р = Р будут линейные функции: P P т е у = х + у = и у = х +

15 Если окажется что эти решения не получаются из общего ни при каком значении произвольной постоянной то они будут особыми решениями Для нахождения общего решения уравнения (9) запишем его в виде d dp P P Решив это линейное (относительно х) уравнение будем иметь P 5 () Исключая Р из уравнений (8) и () получим общее решение уравнения Особым интегралом исходного уравнения будет: у = т к это решение не получается из общего ни при каком значении Функция у = х + является частным решением; она получается из общего решения при = Ответ: ; особое решение у = Дифференциальные уравнения высших порядков допускающие понижение порядка Типовые примеры и их решения Пример Решить уравнение s s Решение Данное уравнение вида ( ) f которое решается d почленным интегрированием Представим в виде тогда d d s d s Делим переменные и интегрируем: d d s s d Далее d d d s s d cg cg d

16 l s cg d d Ответ: s l Пример Решить уравнение Решение Данное уравнение вида ) ( ) ( F не содержащее искомой функции и ее производных до ( )-го порядка которое решается введением новой функции z() = ( ) Положив в уравнении = z = z получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно неизвестной функции z(): z z z z или Интегрируем его Полагая в уравнении z = u z= u + u получим d d u u u u u Определяем положив d d : d d откуда l = l или Определим u(): d du d du откуда u ; следовательно z Учитывая что z = находим откуда d d l d d l l d d

17 d Возьмем l d по частям Если х > то l= l = u du d = d = ; l d l d l Если же < l( ) = u d d = d du = ; l d l Ответ: l если > и l если < Пример Решить задачу Коши для дифференциального уравнения Решение Данное уравнение вида F( ) = которое решается введением новой функции = P() Полагая в этом уравнении = P dp d dp P получим дифференциальное уравнение первого d d d порядка dp d P P P dp d Воспользуемся начальными условиями и найдем : ледовательно поэтому выберем только но Произведя обратную замену d d P получим дифференциальное уравнение снова первого порядка где неизвестной функцией является (): 7

18 d d Разделим переменные и проинтегрируем: d d d d Воспользуемся первым начальным условием ( ) = и найдем : Таким образом частный интеграл имеет вид: Ответ: Линейные однородные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами Уравнение вида a a a a a () называется линейным однородным дифференциальным уравнением -го порядка с постоянными коэффициентами а а а а Решение уравнения () в силу его строения ищут в виде экспоненты = k Результат подстановки () в () приводит к так называемому характеристическому уравнению a k ak ak ak a () ледовательно = k решение исходного дифференциального уравнения тогда и только тогда когда k корень характеристического уравнения В силу основной теоремы алгебры характеристическое уравнение имеет корней k k k среди которых могут встретиться и комплексные Найденным корням отвечают решений: k k k 8

19 Максимальное число линейно-независимых решений называется фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения Частные решения уравнения () зависят от вида корней характеристического уравнения () (см табл 5) Общее решение уравнения () где частных решений уравнения () образующих фундаментальную систему решений Вид корня характеристического уравнения () k простой вещественный корень k вещественный корень кратности r простые комплексные сопряженные корни комплексные сопряженные корни кратности r k k k Частные решения уравнения () k r s k Таблица 5 r s s r s Типовые примеры и их решения Пример Найти общее решение дифференциального уравнения 9 Решение Напишем характеристическое уравнение уравнения 9 и найдем его корни: k + 9k = k (k +9) = k = k = k = Все корни простые следовательно согласно табл (табл 5 п и ) соответствующие частные решения будут: = = = = s и = + + s общее решение исходного дифференциального уравнения Ответ: = + + s Пример Найти общее решение уравнения 9

20 Решение Найдем корни характеристического уравнения k k = и укажем их кратность Методом «подбора» находим корень уравнения k = ледовательно одним из множителей на которые разлагается многочлен будет двучлен k Разделим многочлен k k = на двучлен k : k k k k k k + k + k k k k k k Таким образом имеем k k = (k )(k +k +) = (k )(k + ) = k = r = ; k = r = Первый корень простой вещественный корень второй имеет кратность равную двум следовательно частные решения (см табл 5 п и ): = ; общее решение: = + + Ответ: = + + Пример Найти частное решение уравнения 9 при () = () = 5 Решение Корни характеристического уравнения k + k + 9 = комплексные сопряженные 5 огласно табл п фундаментальная система решений уравнений 5 s5 и общее решение 5 s5 Для определения частного решения в равенства 5 s и s5 подставим начальные условия Получим систему двух уравнений: 5 5 из которой определяем = = Подставив эти значения в общее решение найдем частное: s5 Ответ: s5

21 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами Уравнение вида a a a a f a () называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением -го порядка с постоянными коэффициентами а а а а Для линейных неоднородных уравнений справедливы следующие теоремы с помощью которых отыскиваются их общие решения Теорема труктура общего решения уравнения () имеет вид ~ где фундаментальная система решений соответствующего однородного дифференциального уравнения; ~ какое-либо частное решение неоднородного дифференциального уравнения т е ~ где общее решение соответствующего однородного уравнения Теорема Если ~ частное решение уравнения a a a f a а ~ частное решение уравнения a a a f a то ~ + ~ есть частное решение уравнения a a a f f a Решение однородного уравнения рассмотрено в предыдущем параграфе формулируем теоремы при помощи которых находятся частные решения линейных неоднородных уравнений для специальных правых частей Теорема Если правая часть линейного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид P где P() многочлен -й степени и не является корнем характеристического уравнения то существует частное решение вида ~ M где М(х) многочлен степени с неопределенными коэффициентами: M A A A A

22 Если же является корнем характеристического уравнения кратности r то существует частное решение вида ~ r M В частности при = правая часть многочлен -й степени и если = не является корнем характеристического уравнения то частное решение М(х) также некоторый многочлен той же степени Если же = корень кратности r то частное решение имеет вид r M() Теорема Если правая часть линейного уравнения с постоянными коэффициентами может быть представлена в виде P Qs () где Р(х) и Q() многочлены ( наибольшая из их степеней) и z = + не является корнем характеристического уравнения то существует частное решение вида ~ M N s (5) где и N M A A A A B B B B многочлены с неопределенными коэффициентами степени Если же + является корнем характеристического уравнения кратности r то существует частное решение вида ~ r M N s Типовые примеры и их решения Пример Проинтегрировать уравнение Решение Решим сначала соответствующее однородное уравнение оставим характеристическое уравнение k k + = Корни характеристического уравнения k = r = ; k = r = Общее решение однородного уравнения имеет вид Правая часть (см теорему ) где P() = + многочлен второй степени и = не является корнем характеристического уравнения Поэтому частное решение ~ A A A имеет вид P уравнения ищем в виде

23 ~ ~ A A A A A A A (A A ) A A A (A A ) A A A A A A A A A A A A A (A A ) A ~ Подставим значения ~ ~ ~ в дифференциальное уравнение и сократим обе части на е х : A A A (A A ) A A A (A A ) A + или A A A A A A A Приравняв коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях х получим систему из которой найдем коэффициенты А А А : A A A A А A A ; следовательно ~ Ответ: и общее решение ~ Пример Найти общее решение уравнения s Решение Корни характеристического уравнения k + = мнимые: k = Общее решение уравнения + = будет s Определим частное решение ~ уравнения + = s : s = ( + s ); = ; = ; z = ; P() = ; Q() = ледовательно M() = A N() = B а так как z = k то ~ ищем в виде ~ = (A + B s ) ~ = A + B s + ( A s + B )

24 ~ = A s + B (A + B s ) Из тождества которое получится после подстановки ~ ~ в уравнение + = s сравнивая коэффициенты при синусах и косинусах определим А и В : A B s A B s s A s B s B A A B / ; следовательно ~ Определим частное решение ~ уравнения + = помня что корни характеристического уравнения k = В правой части имеем выражение вида P где Р(х) = (многочлен нулевой степени); = и так как не является корнем характеристического уравнения то частное решение ищем в виде ~ ~ ~ A A A Из тождества полученного после подстановки ~ и ~ в уравнение += определим коэффициент А A A или A откуда А = ; ~ = ледовательно в силу теоремы общее решение данного уравнения будет ~ ~ т е в данном случае s Ответ: s 5 Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) В предыдущем параграфе мы применяли метод подбора частного решения при интегрировании линейных неоднородных уравнений a a a a f a () в случае если функция f() стоящая в правой части может быть представлена в виде P ; P Q s или состоит из суммы такого рода функций Во всех остальных случаях пользуются методом вариации произвольных постоянных

25 5 ущность этого метода заключается в том что для соответствующего однородного уравнения a a a a a записывается общее решение где рассматриваются как функции от х Подбирают их так чтобы было решением уравнения () Неизвестные функции (х) (х) (х) определяются из системы уравнений ) ( f (7) Для уравнения второго порядка f a a a данная система имеет вид f (8) Типовые примеры и их решения Пример Решить уравнение l Решение Корни характеристического уравнения k + k + = : k = r = следовательно общее решение однородного уравнения есть Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде Так как для данного примера то согласно (8) имеем систему

26 l Из этой системы найдем функции (х) (х) предварительно сократив левую и правую части уравнений на : l l l l l l ; ; l l V d dv d du U d l l d l l ; ; l l d V d dv d du U d Подставив найденные функции (х) и (х) получим общее решение данного дифференциального уравнения: l l Ответ: l истемы дифференциальных уравнений Нормальная система -го порядка обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид

27 d f d d f d d f d (9) где независимая переменная; х () () () неизвестные (искомые) функции; f f f заданные функции Метод исключения неизвестных состоит в том что данная система приводится к одному дифференциальному уравнению -го порядка с одной неизвестной функцией Для этого последовательно дифференцируют одно из уравнений системы и исключают все неизвестные функции кроме одной Линейная однородная система -го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: d a a a d d a a a d d a a a d где а j = соs; a j R; () неизвестные функции Эту систему можно записать в виде одного матричного дифференциального уравнения dx d AX Здесь a a A a a a a a a a X dx d d d d d d d 7

28 При решении системы методом Эйлера частные решения системы ищутся в виде k X V где V матрица-столбец k число Если корни k k k характеристического уравнения d(a ke) = действительны и различны общее решение системы k k k V V X V где произвольные постоянные; V j матрица-столбец соответствующая числу k j т е для нее выполняется равенство (A k j E) V j = ; Е единичная матрица Замечание Если k m k m пара простых комплексных сопряженных корней характеристического уравнения то им соответствует два действительных частных решения: m 8 k m R V ; m k m Im V Типовые примеры и их решения Пример Методом исключения найти общее решение системы d d d s d Решение Применяя метод исключения выразим из первого уравнения у через х и : d d После подстановки этого выражения во второе уравнение будем иметь d d s d d ледовательно для нахождения неизвестной функции х получено дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами Используя методы находим его общее решение: А так как у было выражено через х то найдем и вторую функцию системы

29 9 s В результате получено общее решение данной системы Ответ: s Пример Методом Эйлера найти общее решение системы и выделить частное решение удовлетворяющее начальным условиям ; d d d d Решение Применяя метод Эйлера составим характеристическое уравнение матрицы системы k k A или k k + = Его корни k = k = Находим матрицу-столбец V соответствующую корню k = : ; V Отсюда = ( ) Полагая = получим V Аналогично находим матрицустолбец V для корня k = Общее решение системы k k V V X

30 Используя начальные условия получим для определения постоянных и уравнения откуда = = Таким образом решением данной задачи Коши являются функции ; Ответ: общее решение частное решение Пример Найти общее решение системы 5 7 d d d d Решение Характеристическое уравнение k k k k имеет корни k = + k = Находим матрицу-столбец V для k : Два уравнения этой системы сводятся к одному уравнению откуда Полагая = получим

31 = + k V V s s s s огласно замечанию два частных решения исходной системы имеют вид k V R s ; k V Im s s Общее решение системы X s + s s или s s s Ответ: s s


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра

Подробнее

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2 МГАПИ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Задание на домашнюю контрольную работу Раздел «Дифференциальные уравнения» Вариант 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения ' = + 4 + Решение Разделяем переменные:

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ФИЛИАЛ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин,

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Методическая разработка Составитель: проф АН Саламатин На основе: АФ Филиппов Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск НИЦ "Регулярная

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Содержание Конев В.В. 1. Рабочая программа (выписка) 2 2. Введение 3 3. Основные понятия 3 3.1. Начальные условия 5 3.2. Составление дифференциальных

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

dz dx получим линейное уравнение, решая которое найдем z и подставив вместо z выражение y -n+1 получим общий интеграл уравнения Бернулли.

dz dx получим линейное уравнение, решая которое найдем z и подставив вместо z выражение y -n+1 получим общий интеграл уравнения Бернулли. Уравнение Бернулли Уравнение вида: n + P( x) y Q( x) y, (3126) называется уравнением Бернулли Решение этого уравнения при n 0 и n 1 (в противном случае получается линейное уравнение) находится следующим

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt =

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt = 57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа ( M N ) d ( ) p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M ( p q) p

Подробнее

ISBN ISBN

ISBN ISBN Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет имени А. Д. Сахарова» Факультет мониторинга окружающей среды Кафедра физики

Подробнее

x - заданные непрерывные функции от х (или

x - заданные непрерывные функции от х (или ЛЕКЦИЯ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Определение: Линейным уравнением -го порядка называет уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:

Подробнее

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Пять лекций по неопределенному интегралу Лекция Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием f д и ф ф е р и н т

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно функции y и её производных y..., y (n) т. е. имеет вид a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +... + a ny = f (x), где

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ

Министерство общего и профессионального образования РФ Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет Министерство общего и профессионального образования РФ Назарова Л.И. Дифференциальные

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 43 Аннотация Нормальные системы ДУ Задача и теорема Коши Частные и общее решения Системы линейных ДУ первого

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И CВЯЗИ Кафедра высшей математики ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ

Подробнее

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г.

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г. Дифференциальные уравнения Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка Лектор Янущик О.В. 2012 г. Глава II. Дифференциальные уравнения высших порядков 12. Основные понятия и определения

Подробнее