Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"

Транскрипт

1 Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то дифференциальное уравнение называется обыкновенным если от нескольких то уравнением в частных производных Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка встречается в одном из следующих видов: ) F общем; ) f разрешенном относительно производной; ) M d N d в дифференциалах Для уравнения f справедлива теорема о существовании и единственности решения: если f( ) и f непрерывны в некото- рой области D на плоскости Ох содержащей некоторую точку ( ) то существует единственное решение этого уравнения = () удовлетворяющее условию: = при = Геометрически это значит что существует единственная функция график которой (интегральная кривая) проходит через данную точку Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция = ( ) которая при любых значениях произвольной постоянной является решением этого уравнения т е обращает его в тождество Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых Уравнение Ф( ) = определяющее общее решение неявно называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка Задачей Коши для дифференциального уравнения первого порядка называется задача отыскания частного решения = ( ) удовлетворяющего данному начальному условию: ( ) = Если известно общее решение уравнения = ( ) то чтобы решить задачу Коши следует найти постоянную из условия = ( ) В табл выделены простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка допускающие аналитическое решение и указаны методы их решения В рамках расширения табл сделаем несколько замечаний: 9

2 M N Уравнение вида M ( ) d + N ( ) d = при в некоторых частных случаях удается свести к типу 8 методом интегрирующего множителя Уравнение Лагранжа с помощью введения вспомогательного параметра сводится к типу методами решения указанных дополнительных типов дифференциальных уравнений предлагается ознакомиться самостоятельно (см например Пискунов Н Дифференциальное и интегральное исчисление Т М: Наука ) Таблица п/п Тип Вид Метод решения Результат 5 Уравнение с разделенными переменными Уравнение с разделяющимися переменными Однородное уравнение Уравнение приводящееся к уравнению с разделяющимися переменными 5 Уравнение приводящееся к однородному M()d + N()d = Почленное интегрирование a) M () N ()d + а) почленное + M () N ()d = деление на б) = f () f () N () M () б) почленное умножение на d f Подстановка f U f ab Подстановка z = a + b a b = f a b = +h = + k Общее решение M d N Уравнение типа Уравнение типа Уравнение типа Уравнение типа d 9

3 Окончание табл 5 Линейное уравнение 7 Уравнение Бернулли 8 Уравнение в полных дифференциалах а) +P() = Q() P Q б) +P() = Q() ( ) M()d +N()d = M N а) подстановка =U()V() б) подстановка =U()V() Подстановка z Интегрирование системы вида U M U N истема двух уравнений типа V PV а) UV Q V PV б) UV Q Уравнение типа Общее решение вида U() = Типовые примеры и их решения Пример Решить уравнение и построить семейство интегральных кривых данного уравнения f Решение В данном примере f( ) = ; определены и непрерывны при любых х и и следовательно условия теоремы выпол- нены на всей плоскости О d Поскольку то исходное уравнение равносильно равенству d d d Выполняя почленное интегрирование получаем l l = где произвольная постоянная или l (/) = откуда При = получаем решение = Для всех > имеем семейство монотонно возрастающих функций для < монотонно убывающих (см рис 5) 9

4 Рис 5 Пример Замедляющее действие трения на диск вращающийся в жидкости пропорционально угловой скорости Выразить как функцию времени если известно что за 5 с с начала движения угловая скорость снизилась со до 5 об/с Решение В данной задаче используется физический смысл производной скорость протекания процесса Замедляющее действие трения d на диск угловой скорости есть где и связаны дифференциаль- d ным уравнением d k d или 9 d k d Проинтегрировав обе части получим l k l ; k Это будет общим решением данного дифференциального уравнения Найдем значение отвечающее данным начальным условиям Подставляя в общее решение = и = получим = т е = и k Коэффициент пропорциональности k находим из условия что при = 5 с угловая скорость диска стала равной 5 об/с т е 5 5k 5k или Откуда 5k l l и k l

5 Таким образом угловая скорость зависит от времени по закону l Ответ: l Пример Найти семейство кривых у которых отрезок касательной заключенный между координатными осями делится пополам в точке касания (рис 5) Написать уравнение кривой этого семейства проходящей через точку (; ) Решение Пусть М(х у) произвольная точка кривой указанного типа Так как AM = MB то и ON=NA где ON= MN NA = MNcg(8 ) ; g MN ON g Так как угловой коэффициент касательной (k=g) является произ- Рис 5 водной т е g = то приходим к уравнению или d Поскольку то полученное дифференциальное уравнение равносильно равенству d d d Выполняя почленное интегрирование получаем l = l + l где произвольная постоянная или l l откуда Определим значение соответствующее начальным значениям искомая интегральная кри- т е = следовательно вая Ответ: ; 95

6 Пример оставить дифференциальное уравнение семейства кривых Решение Чтобы построить дифференциальное уравнение которому удовлетворяют кривые заданного семейства следует продифференцировать данное равенство считая что функция независимой переменной х а затем из полученного равенства исключить параметр Дифференцируя заданную функцию находим что Исключая постоянную из этого равенства приходим к уравнению или Ответ: Пример 5 Проинтегрировать уравнение d d Решение Преобразуем левую часть уравнения d d огласно табл п это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными Разделим обе части уравнения на считая d d Интегрируя получим общий интеграл уравнений d d l ; d l d ; l l l Потенцируя полученное равенство находим общий интеграл уравнения в виде 9

7 Замечание При решении дифференциальных уравнений с разделя- M N d M N d следует ющимися переменными помнить что при делении на произведение N ()M () возможна потеря решений N () = и M () = Поэтому наличие или отсутствие интегральных кривых N () = и M () = должно устанавливаться непосредственной проверкой В данном случае + и + Ответ: Пример Проинтегрировать уравнение d d Решение Разделив обе части равенства на d получим уравнение правая часть которого есть функция отношения : d d огласно табл п это уравнение является однородным Положив в нем U т е = U и U U получим уравнение с разделяющимися переменными: du U U U ; ; U d U d U du Интегрируя и подставляя вместо U получим общий интеграл исходного уравнения: s U l ; s l Ответ: s l 97

8 d Пример 7 Проинтегрировать уравнение d Решение огласно табл п 5 чтобы преобразовать данное уравнение в однородное делаем замену: = + h = + k Тогда d d h k h k Решая систему уравнений h k h k находим: h = k = В результате получаем однородное уравнение d или d Положив в нем U т е = U и U U получим уравнение с разделяющимися переменными: U U U U ; Интегрируя и подставляя du U ; d U U l l вместо U находим: U U d du arcgu l arcgu l U ; arcg l или arcg l Возвращаясь к переменным и получаем общий интеграл дифференциального уравнения arcg l Ответ: arcg l 98

9 Пример 8 Решить уравнение d d Решение Представим данное уравнение в виде d или d 99 огласно табл п это уравнение можно свести к уравнению с разделяющимися переменными заменой: z = Тогда z = откуда = z и исходное уравнение приводится к виду z 5z z dz z z d z z 5z Выполним почленное интегрирование данного равенства: z 5z dz d или z l z z dz dz dz 5z 5 z z 5 5 z 5 d z 5 z dz l z 5 z Так как z = то получим окончательно решение исходного уравнения в виде l Или 5 l 5 Ответ: 5 l 5 Пример 9 Проинтегрировать уравнение Решение Разделив левую и правую части уравнения на х приходим к линейному неоднородному уравнению (см табл п )

10 UV U V тогда исходное уравнение при- Пусть = U V т е мет вид или V Положим V или U V U V U V V U V UV () dv d получим частное решение ( = ) l V = l или V dv d откуда Проинтегрировав V V При V равен- U ство () обратится в уравнение или du d откуда U и общим решением данного уравнения будет U V Ответ: Пример Проинтегрировать уравнение d d Решение Простыми преобразованиями уравнение приводится к уравнению Бернулли (табл п 7): d () d Введем новую функцию z тогда dz d d dz d d d d Подставляя эти выражения в уравнение () получим линейное уравнение Полагая dz dz z d z z z d 5

11 dz z d U V будем иметь U V U V или U V UV U V dv V U V U () d dv V Полагая получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными частное решение которого ( = ) d dv d V будет l V l т е V = Подставляя найденную функцию V() du du в уравнение () получим или Разделим переменные и d d проинтегрируем: du d; U ледовательно общий интеграл данного уравнения есть или 5 Ответ: 5 Замечания Уравнение Бернулли можно решить сразу как линейное минуя сведение уравнения к линейному виду Уравнение Бернулли может быть линейным относительно переменной х т е иметь вид P Q U V Решение можно искать в виде Пример Проинтегрировать уравнение s s d d (5)

12 Решение Уравнение (5) уравнение в полных дифференциалах s s В данном случае M и N и так как M s N s s и то левая часть уравнения (5) есть полный дифференциал некоторой функции U( ) (табл п 8) Функцию U( ) = ( произвольная постоянная) найдем из системы уравнений найдем U( ) с точно- U s U s По данной частной производной U s стью до произвольной функции (): s d U U Продифференцируем данную функцию U( ) по : U d d Приравнивая уже к известному выражению U s получим s s d d d d d d

13 Откуда ( произвольная постоянная) Определив функцию () можно записать U и следовательно общим интегралом уравнения будет Ответ: (где = ) Пример Найти интегрирующий множитель и общее решение уравнения d d Решение Здесь М = ху N = у х M N M N ледовательно левая часть уравнения не есть полный дифференциал N M 8 Отношение зависит от х и у N N M 8 Отношение зависит только от у ледовательно уравнение допускает интегрирующий множитель зависящий M d l d только от у Находим его: d l ; отсюда d l l т е После умножения всех членов данного уравнения на найденный интегрирующий множитель получаем уравнение

14 d d в полных дифференциалах Решая это уравнение найдем его общий интеграл: M N N M Замечание Аналогично если выражение не зависит от у а зависит только от х то находится интегрирующий множи- N N M d l тель зависящий только от х N d Ответ: Пример Решить уравнение () Решение Запишем уравнение в виде Это уравнение Лагранжа Положив у = Р будем иметь (7) P P (8) Дифференцируя по х получим dp dp dp P P P P P P P P d d (9) d Найдем особые решения Уравнение (9) обращается в тождество при всяком постоянном значении Р=Р удовлетворяющем условию Р (Р ) = т е при P P P и P Решениями соответствующими каждому значению Р = Р будут линейные функции: P P т е у = х + у = и у = х +

15 Если окажется что эти решения не получаются из общего ни при каком значении произвольной постоянной то они будут особыми решениями Для нахождения общего решения уравнения (9) запишем его в виде d dp P P Решив это линейное (относительно х) уравнение будем иметь P 5 () Исключая Р из уравнений (8) и () получим общее решение уравнения Особым интегралом исходного уравнения будет: у = т к это решение не получается из общего ни при каком значении Функция у = х + является частным решением; она получается из общего решения при = Ответ: ; особое решение у = Дифференциальные уравнения высших порядков допускающие понижение порядка Типовые примеры и их решения Пример Решить уравнение s s Решение Данное уравнение вида ( ) f которое решается d почленным интегрированием Представим в виде тогда d d s d s Делим переменные и интегрируем: d d s s d Далее d d d s s d cg cg d

16 l s cg d d Ответ: s l Пример Решить уравнение Решение Данное уравнение вида ) ( ) ( F не содержащее искомой функции и ее производных до ( )-го порядка которое решается введением новой функции z() = ( ) Положив в уравнении = z = z получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно неизвестной функции z(): z z z z или Интегрируем его Полагая в уравнении z = u z= u + u получим d d u u u u u Определяем положив d d : d d откуда l = l или Определим u(): d du d du откуда u ; следовательно z Учитывая что z = находим откуда d d l d d l l d d

17 d Возьмем l d по частям Если х > то l= l = u du d = d = ; l d l d l Если же < l( ) = u d d = d du = ; l d l Ответ: l если > и l если < Пример Решить задачу Коши для дифференциального уравнения Решение Данное уравнение вида F( ) = которое решается введением новой функции = P() Полагая в этом уравнении = P dp d dp P получим дифференциальное уравнение первого d d d порядка dp d P P P dp d Воспользуемся начальными условиями и найдем : ледовательно поэтому выберем только но Произведя обратную замену d d P получим дифференциальное уравнение снова первого порядка где неизвестной функцией является (): 7

18 d d Разделим переменные и проинтегрируем: d d d d Воспользуемся первым начальным условием ( ) = и найдем : Таким образом частный интеграл имеет вид: Ответ: Линейные однородные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами Уравнение вида a a a a a () называется линейным однородным дифференциальным уравнением -го порядка с постоянными коэффициентами а а а а Решение уравнения () в силу его строения ищут в виде экспоненты = k Результат подстановки () в () приводит к так называемому характеристическому уравнению a k ak ak ak a () ледовательно = k решение исходного дифференциального уравнения тогда и только тогда когда k корень характеристического уравнения В силу основной теоремы алгебры характеристическое уравнение имеет корней k k k среди которых могут встретиться и комплексные Найденным корням отвечают решений: k k k 8

19 Максимальное число линейно-независимых решений называется фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения Частные решения уравнения () зависят от вида корней характеристического уравнения () (см табл 5) Общее решение уравнения () где частных решений уравнения () образующих фундаментальную систему решений Вид корня характеристического уравнения () k простой вещественный корень k вещественный корень кратности r простые комплексные сопряженные корни комплексные сопряженные корни кратности r k k k Частные решения уравнения () k r s k Таблица 5 r s s r s Типовые примеры и их решения Пример Найти общее решение дифференциального уравнения 9 Решение Напишем характеристическое уравнение уравнения 9 и найдем его корни: k + 9k = k (k +9) = k = k = k = Все корни простые следовательно согласно табл (табл 5 п и ) соответствующие частные решения будут: = = = = s и = + + s общее решение исходного дифференциального уравнения Ответ: = + + s Пример Найти общее решение уравнения 9

20 Решение Найдем корни характеристического уравнения k k = и укажем их кратность Методом «подбора» находим корень уравнения k = ледовательно одним из множителей на которые разлагается многочлен будет двучлен k Разделим многочлен k k = на двучлен k : k k k k k k + k + k k k k k k Таким образом имеем k k = (k )(k +k +) = (k )(k + ) = k = r = ; k = r = Первый корень простой вещественный корень второй имеет кратность равную двум следовательно частные решения (см табл 5 п и ): = ; общее решение: = + + Ответ: = + + Пример Найти частное решение уравнения 9 при () = () = 5 Решение Корни характеристического уравнения k + k + 9 = комплексные сопряженные 5 огласно табл п фундаментальная система решений уравнений 5 s5 и общее решение 5 s5 Для определения частного решения в равенства 5 s и s5 подставим начальные условия Получим систему двух уравнений: 5 5 из которой определяем = = Подставив эти значения в общее решение найдем частное: s5 Ответ: s5

21 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами Уравнение вида a a a a f a () называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением -го порядка с постоянными коэффициентами а а а а Для линейных неоднородных уравнений справедливы следующие теоремы с помощью которых отыскиваются их общие решения Теорема труктура общего решения уравнения () имеет вид ~ где фундаментальная система решений соответствующего однородного дифференциального уравнения; ~ какое-либо частное решение неоднородного дифференциального уравнения т е ~ где общее решение соответствующего однородного уравнения Теорема Если ~ частное решение уравнения a a a f a а ~ частное решение уравнения a a a f a то ~ + ~ есть частное решение уравнения a a a f f a Решение однородного уравнения рассмотрено в предыдущем параграфе формулируем теоремы при помощи которых находятся частные решения линейных неоднородных уравнений для специальных правых частей Теорема Если правая часть линейного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид P где P() многочлен -й степени и не является корнем характеристического уравнения то существует частное решение вида ~ M где М(х) многочлен степени с неопределенными коэффициентами: M A A A A

22 Если же является корнем характеристического уравнения кратности r то существует частное решение вида ~ r M В частности при = правая часть многочлен -й степени и если = не является корнем характеристического уравнения то частное решение М(х) также некоторый многочлен той же степени Если же = корень кратности r то частное решение имеет вид r M() Теорема Если правая часть линейного уравнения с постоянными коэффициентами может быть представлена в виде P Qs () где Р(х) и Q() многочлены ( наибольшая из их степеней) и z = + не является корнем характеристического уравнения то существует частное решение вида ~ M N s (5) где и N M A A A A B B B B многочлены с неопределенными коэффициентами степени Если же + является корнем характеристического уравнения кратности r то существует частное решение вида ~ r M N s Типовые примеры и их решения Пример Проинтегрировать уравнение Решение Решим сначала соответствующее однородное уравнение оставим характеристическое уравнение k k + = Корни характеристического уравнения k = r = ; k = r = Общее решение однородного уравнения имеет вид Правая часть (см теорему ) где P() = + многочлен второй степени и = не является корнем характеристического уравнения Поэтому частное решение ~ A A A имеет вид P уравнения ищем в виде

23 ~ ~ A A A A A A A (A A ) A A A (A A ) A A A A A A A A A A A A A (A A ) A ~ Подставим значения ~ ~ ~ в дифференциальное уравнение и сократим обе части на е х : A A A (A A ) A A A (A A ) A + или A A A A A A A Приравняв коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях х получим систему из которой найдем коэффициенты А А А : A A A A А A A ; следовательно ~ Ответ: и общее решение ~ Пример Найти общее решение уравнения s Решение Корни характеристического уравнения k + = мнимые: k = Общее решение уравнения + = будет s Определим частное решение ~ уравнения + = s : s = ( + s ); = ; = ; z = ; P() = ; Q() = ледовательно M() = A N() = B а так как z = k то ~ ищем в виде ~ = (A + B s ) ~ = A + B s + ( A s + B )

24 ~ = A s + B (A + B s ) Из тождества которое получится после подстановки ~ ~ в уравнение + = s сравнивая коэффициенты при синусах и косинусах определим А и В : A B s A B s s A s B s B A A B / ; следовательно ~ Определим частное решение ~ уравнения + = помня что корни характеристического уравнения k = В правой части имеем выражение вида P где Р(х) = (многочлен нулевой степени); = и так как не является корнем характеристического уравнения то частное решение ищем в виде ~ ~ ~ A A A Из тождества полученного после подстановки ~ и ~ в уравнение += определим коэффициент А A A или A откуда А = ; ~ = ледовательно в силу теоремы общее решение данного уравнения будет ~ ~ т е в данном случае s Ответ: s 5 Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) В предыдущем параграфе мы применяли метод подбора частного решения при интегрировании линейных неоднородных уравнений a a a a f a () в случае если функция f() стоящая в правой части может быть представлена в виде P ; P Q s или состоит из суммы такого рода функций Во всех остальных случаях пользуются методом вариации произвольных постоянных

25 5 ущность этого метода заключается в том что для соответствующего однородного уравнения a a a a a записывается общее решение где рассматриваются как функции от х Подбирают их так чтобы было решением уравнения () Неизвестные функции (х) (х) (х) определяются из системы уравнений ) ( f (7) Для уравнения второго порядка f a a a данная система имеет вид f (8) Типовые примеры и их решения Пример Решить уравнение l Решение Корни характеристического уравнения k + k + = : k = r = следовательно общее решение однородного уравнения есть Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде Так как для данного примера то согласно (8) имеем систему

26 l Из этой системы найдем функции (х) (х) предварительно сократив левую и правую части уравнений на : l l l l l l ; ; l l V d dv d du U d l l d l l ; ; l l d V d dv d du U d Подставив найденные функции (х) и (х) получим общее решение данного дифференциального уравнения: l l Ответ: l истемы дифференциальных уравнений Нормальная система -го порядка обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид

27 d f d d f d d f d (9) где независимая переменная; х () () () неизвестные (искомые) функции; f f f заданные функции Метод исключения неизвестных состоит в том что данная система приводится к одному дифференциальному уравнению -го порядка с одной неизвестной функцией Для этого последовательно дифференцируют одно из уравнений системы и исключают все неизвестные функции кроме одной Линейная однородная система -го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: d a a a d d a a a d d a a a d где а j = соs; a j R; () неизвестные функции Эту систему можно записать в виде одного матричного дифференциального уравнения dx d AX Здесь a a A a a a a a a a X dx d d d d d d d 7

28 При решении системы методом Эйлера частные решения системы ищутся в виде k X V где V матрица-столбец k число Если корни k k k характеристического уравнения d(a ke) = действительны и различны общее решение системы k k k V V X V где произвольные постоянные; V j матрица-столбец соответствующая числу k j т е для нее выполняется равенство (A k j E) V j = ; Е единичная матрица Замечание Если k m k m пара простых комплексных сопряженных корней характеристического уравнения то им соответствует два действительных частных решения: m 8 k m R V ; m k m Im V Типовые примеры и их решения Пример Методом исключения найти общее решение системы d d d s d Решение Применяя метод исключения выразим из первого уравнения у через х и : d d После подстановки этого выражения во второе уравнение будем иметь d d s d d ледовательно для нахождения неизвестной функции х получено дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами Используя методы находим его общее решение: А так как у было выражено через х то найдем и вторую функцию системы

29 9 s В результате получено общее решение данной системы Ответ: s Пример Методом Эйлера найти общее решение системы и выделить частное решение удовлетворяющее начальным условиям ; d d d d Решение Применяя метод Эйлера составим характеристическое уравнение матрицы системы k k A или k k + = Его корни k = k = Находим матрицу-столбец V соответствующую корню k = : ; V Отсюда = ( ) Полагая = получим V Аналогично находим матрицустолбец V для корня k = Общее решение системы k k V V X

30 Используя начальные условия получим для определения постоянных и уравнения откуда = = Таким образом решением данной задачи Коши являются функции ; Ответ: общее решение частное решение Пример Найти общее решение системы 5 7 d d d d Решение Характеристическое уравнение k k k k имеет корни k = + k = Находим матрицу-столбец V для k : Два уравнения этой системы сводятся к одному уравнению откуда Полагая = получим

31 = + k V V s s s s огласно замечанию два частных решения исходной системы имеют вид k V R s ; k V Im s s Общее решение системы X s + s s или s s s Ответ: s s


Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) В М Ипатова О А Пыркова В Н Седов ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ второе

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Министерство образования Российской Федерации САРАПУЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ филиал Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Линейные однородные дифференциальные уравнения с. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с

Линейные однородные дифференциальные уравнения с. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения. Свойства общего решения. Теорема Коши. Интегральные кривые. Особое решение. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения вида у fх.

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет» ВИ Фомин ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ)

5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ) 5 ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 5 Программа курса «Ряды и обыкновенные дифференциальные уравнения» Аннотация: Изучаются числовые и степенные ряды а также

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Тема 1. Множества. Введение в логику. Понятие функции. Кривые второго порядка. Основные понятия о множествах. Символика, ее использование.

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ, МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ, МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Киясов С. Н., Шурыгин В. В. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ, МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Казань 2011 УДК 517.9 Печатается по решению Редакционно-издательского

Подробнее

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка

24 4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций Универсальная тригонометрическая подстановка СОДЕРЖАНИЕ Глава Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла Свойства неопределённого интеграла Таблица основных неопределённых

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений dx d ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2004 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 hp://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.su.neva.ru Теория обыкновенных дифференциальных

Подробнее

1.5. Виды контроля: текущий - выполнение самостоятельных работ промежуточный выполнение контрольных работ, коллоквиумы итоговый зачет

1.5. Виды контроля: текущий - выполнение самостоятельных работ промежуточный выполнение контрольных работ, коллоквиумы итоговый зачет . Пояснительная записка.. Требования к студентам Студент должен обладать следующими исходными компетенциями: базовыми положениями математических и естественных наук владеть навыками самостоятельной ы самостоятельно

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

Дифференциальные уравнения: конспект лекций

Дифференциальные уравнения: конспект лекций [DEshrt.te, 09.01.09] Дифференциальные уравнения: конспект лекций В 006 году студент -го курса Д.В. Кальянов набрал в LaTeX'е конспект моих лекций по курсу "Дифференциальные уравнения". Я переписал его

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) А. Е. Умнов, Е. А. Умнов ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Часть 1

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Часть 1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ А.М. ДЕНИСОВ, А.В. РАЗГУЛИН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Часть 1 МОСКВА 2009 г. Пособие

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Программа комплексного экзамена по специальности 6М Математика

Программа комплексного экзамена по специальности 6М Математика Программа комплексного экзамена по специальности 6М060100-Математика Билеты для вступительного экзамена в магистратуру по специальности 6М060100 «Математика» составлены по основным математическим дисциплинам

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" 2 семестр группы АК1,2,4-11 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2 семестр группы АК1,2,4-11 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" 2 семестр группы АК,2,4- ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Неопределенный интеграл. Первообразная функции. Таблица первообразных.

Подробнее

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim.

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim. Перечень экзаменационных вопросов: 1 семестр 1. Множества и операции над ними. 2. Декартово произведение множеств. 3. Предельные точки. 4. Предел последовательности. 5. Предел функции. 6. Бесконечно малые.

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРАКТИЧЕСКОЙ ПОДГО- ТОВКЕ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ К ЭКЗАМЕНУ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ , ,

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ , , МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ 7, 7, СПБ ГУТ Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика

Подробнее

Типовые задачи c решениями.

Типовые задачи c решениями. Типовые задачи c решениями. Формальное суммирование рядов. Формула рекурсии k a k a + a k k Формула умножения λ a k λa k Формула сложения k k k a k + b k a k + k b k k Пример Геометрическая прогрессия.

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

Программа вступительного экзамена на программы магистратуры по направлению Прикладная математика и информатика

Программа вступительного экзамена на программы магистратуры по направлению Прикладная математика и информатика ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ѕсанктпетербургский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТї Программа вступительного экзамена на программы магистратуры

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР)

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) А.В.СТЕПАНОВ Введение Эти заметки не заменяют курс лекций, но для сильных студентов могут

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ. Автор-составитель: доцент каф. ВМ Цапаева С.А. РЯДЫ ФУРЬЕ Автор-составитель: доцент каф ВМ Цапаева СА Великий Новгород ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК Определение Гармониками называются комплекснозначные функции вида iω ( ) e, где действительная переменная,

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Интегральным уравнением Фредгольма рода называется уравнение x ( s, ds f (.

Подробнее

1. Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Понятие решения. Автономные и неавтономные уравнения. Уравнения и системы порядка

1. Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Понятие решения. Автономные и неавтономные уравнения. Уравнения и системы порядка 1. Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Понятие решения. Автономные и неавтономные уравнения. Уравнения и системы порядка выше первого и их сведение к системам первого порядка.

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы.

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы. Программа по «Математике» (базовый уровень) РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии Тема 1. Векторы и матрицы. N-мерные векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость

Подробнее

Аннотация предмета. Математика для экономистов

Аннотация предмета. Математика для экономистов Математика для экономистов Предмет По-немецки Mathematik für die Ökonomen По-английски Mathematics for Economists Форма обучения Доклад/Практикум по математике 2/2 Год изучения 1 (два семестра) ECTS 6

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрические ряды Фурье Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА Глава 3 НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА 3 Число и вектор Фробениуса Число и вектор Фробениуса используются в балансовых экономических моделях и, в частности, в модели международной торговли

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Республики Беларусь "Высший государственный колледж связи" Кафедра Математики и физики КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть Минск 5 г РАЗДЕЛ 4 Функции нескольких переменных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. И. МАДУНЦ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Подробнее

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены Глава III. Теория устойчивости 1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены III.1.1. Устойчивые решения линейных ОДУ Существенную роль в исследовании различных процессов, поведение которых описывается

Подробнее

Содержание. Используемые обозначения Числовые множества и операции с числами... 14

Содержание. Используемые обозначения Числовые множества и операции с числами... 14 Содержание Используемые обозначения... 12 1. Числовые множества и операции с числами... 14 1.1. Числовые множества...............................14 1.2. Числовые промежутки...16 1.3. Признаки делимости...17

Подробнее

«УТВЕРЖДАЮ» Директор АДИ ГВУЗ «ДонНТУ» М. Н. Чальцев 10.07.2012. Кафедра «Высшая математика»

«УТВЕРЖДАЮ» Директор АДИ ГВУЗ «ДонНТУ» М. Н. Чальцев 10.07.2012. Кафедра «Высшая математика» МИНИСТЕРТСВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ВЫСШЕЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ Кафедра «УТВЕРЖДАЮ» Директор

Подробнее

Очная форма обучения. Бакалавры. I курс,2 семестр. Направление «Техносферная безопасность» Дисциплина - «Высшая математика».

Очная форма обучения. Бакалавры. I курс,2 семестр. Направление «Техносферная безопасность» Дисциплина - «Высшая математика». Очная форма обучения. Бакалавры. I курс,2 семестр. Направление 280700 «Техносферная безопасность» Дисциплина - «Высшая математика». Содержание Содержание... 1 Лекции... 1 Практические занятия... 3 Литература...

Подробнее

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. занятия: нет 2 часа в неделю ВСЕГО АУДИТОРНЫХ ЧАСОВ 132

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. занятия: нет 2 часа в неделю ВСЕГО АУДИТОРНЫХ ЧАСОВ 132 УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Ю.А. Самарский 10 июня 2010 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ по дисциплине: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ по направлению подготовки: 010600 факультет: для всех факультетов (кроме

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. Б.2 Б.1 Высшая математика Социология. Экономическая социология

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. Б.2 Б.1 Высшая математика Социология. Экономическая социология К Г Э У МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. ТЕМА 7 Задача Штурма-Лиувилля Собственные значения и собственные функции Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Основные определения и теоремы Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный

Подробнее

применять математические методы при решении профессиональных задач повышенной сложности, решать типовые задачи по основным разделам курса, используя

применять математические методы при решении профессиональных задач повышенной сложности, решать типовые задачи по основным разделам курса, используя Аннотация рабочей программы дисциплины направление подготовки: 23.05.05 Системы обеспечения движения поездов направленность: Телекоммуникационные системы и сети железнодорожного транспорта Дисциплина:

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Рассмотрим задачу на нахождение условного экстремума для случае функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Пусть имеется

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Аннотация рабочей программы дисциплины Б1.Б.4 Математика

Аннотация рабочей программы дисциплины Б1.Б.4 Математика Аннотация рабочей программы дисциплины Б1.Б.4 Математика Цели освоения дисциплины Место дисциплины в учебном плане и трудоемкость в зачетных единицах Формируемые компетенции Знания, умения и навыки, формируемые

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература...

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература... ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 3 Глава. Неопределенный интеграл.......................... 6.. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла........................

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ. по высшей математике

КУРС ЛЕКЦИЙ. по высшей математике Министерство образования и науки, молодежи и спорта Донецкий национальный технический университет Улитин Г.М., Гончаров А.Н. КУРС ЛЕКЦИЙ по высшей математике Учебное пособие Донецк 2011 УДК 51 (075.8)

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Т.Е. Воронцова И.Н. Демидова Н.К. Пешкова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет среднего профессионального образования УТВЕРЖДЕНО Председатель

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН. Высшая математика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН. Высшая математика МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН Западно-Казахстанский государственный университет им. М.Утемисова РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА Высшая математика 5В011200 химия, 5В060600 химия, 5В060800

Подробнее

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj Высшая математика Лекции по курсу Список литературы [] Высшая математика для экономистов Под редакцией НШ Кремера [] СА Минюк, ЕА Ровба Высшая математика [] Сборник задач по высшей математике для экономистов

Подробнее

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.И. Лобачевского. Национальный исследовательский университет

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.И. Лобачевского. Национальный исследовательский университет НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс "Модели, методы и программные средства" Механико-математический

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Основная 1. Бугров Я. С., Никольский С.М. Высшая математика. Т.2. Дифференциальное

Подробнее

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье.

Лекция 14. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда Фурье. Лекция 4. Равенство Парсеваля. Минимальное свойство коэффициентов разложения. Комплексная форма ряда..4. Равенство Парсеваля Пусть система вещественных функций g( ), g( ),..., g ( ),... ортогональна и

Подробнее

Рабочая программа Заочной математической школы. 11 класс. Продвинутая группа. Занятие 1. Текстовые задачи и задачи на целые решения.

Рабочая программа Заочной математической школы. 11 класс. Продвинутая группа. Занятие 1. Текстовые задачи и задачи на целые решения. Рабочая программа Заочной математической школы 11 класс. Продвинутая группа Занятие 1. Текстовые задачи и задачи на целые решения. 1. Постулат Оккама. Принцип минимальности при составлении систем уравнений

Подробнее

Контрольная работа 1.

Контрольная работа 1. Контрольная работа...4. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. Сделать проверку. 4 y y y y y y 4 y y y 4 4 Это уравнение Бернулли. Сделаем замену: y y y 4 4 4 z y ; z y y Тогда

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы.

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ I О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение Преобразованием Фурье функции из L называется функция определяемая равенством d Оператор F : называется

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Факультативно. Ковариантная форма физических законов.

Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Ковариантность и контравариантность. Слово "ковариантный" означает "преобразуется так же, как что-то", а слово "контравариантный" означает "преобразуется

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА ЗАДАЧ. где - текущая угловая координата,,, - сечения ЛП на входе и

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА ЗАДАЧ. где - текущая угловая координата,,, - сечения ЛП на входе и Труды III международной межвузовской научно-практической конференции "Инновационные технологии и передовые решения". - 2015 - С. 43-47 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА ЗАДАЧ

Подробнее

ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО НАПРАВЛЕНИЮ ( ) ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА (бакалавриат)

ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО НАПРАВЛЕНИЮ ( ) ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА (бакалавриат) Версия документа - 1 стр. 1 из 6 Первый экземпляр КОПИЯ УТВЕРЖДЕНО Ученым Советом математического факультета ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» от 26.03.2015 г., протокол 8 ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО НАПРАВЛЕНИЮ

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Подробнее

Т. Н. Матыцина ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ. Практикум

Т. Н. Матыцина ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ. Практикум МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Костромской государственный университет имени Н. А. Некрасова Т. Н. Матыцина ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ Практикум Кострома

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы Международный консорциум «Электронный университет» Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АН Малахов Неопределенный

Подробнее

Глава 2. Определенный интеграл.

Глава 2. Определенный интеграл. Глава. Определенный интеграл... Понятие определенного интеграла. В первой главе мы изучали неопределенный интеграл, представляющий собой множество первообразных заданной функции. Теперь настала пора познакомиться

Подробнее

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( )

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( ) 6 9 Замена переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Общий случай замены переменной в двойном и тройном интегралах. Якобиан. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее