И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"

Транскрипт

1 ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

2 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ФИЛИАЛ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина Дифференциальные уравнения Учебное пособие РПК Политехник Волгоград 006

3 УДК 59 Рецензенты: доктор пед наук, профессор Сахарчук ЕИ, кандидат физ-мат наук, Капля ЕВ Ребро ИВ, Кузьмин СЮ, Короткова НН, Мустафина ДА Дифференциальные уравнения: Учеб пособие / ВолгГТУ Волгоград, с ISBN Содержит необходимый теоретический материал и примеры, иллюстрирующие основные понятия по учебной дисциплине Дифференциальные уравнения Разработаны варианты контрольных семестровых работ Рассчитано на студентов дневной и вечерней форм обучения высших технических заведений всех специальностей и направлений Табл Библиогр: названий Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного политехнического университета ISBN Волгоградский государственный технический университет, 006

4 ОГЛАВЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия 4 Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений 5 Уравнения с разделяющимися переменными 7 4 Однородные уравнения 8 5 Уравнения, приводящиеся к однородным 9 6 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 7 Уравнение Бернулли 4 8 Уравнения в полных дифференциалах тотальные 4 9 Уравнения первого порядка не разрешенные относительно производной 6 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Основные понятия 8 Уравнения, допускающие понижение порядка 9 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков 4 Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 5 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами 5 6 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида 6 НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Семестровые работы 5 Приложение логическая схема: Дифференциальные уравнения первого порядка 6 Список литературы 6

5 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия Уравнение вида F ; ; ;; 0, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию и ее производные, называется дифференциальным уравнением Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения Интегралом или решением дифференциального уравнения называется всякая функция, обращающая уравнение в функциональное тождество при подстановке в него этой функции и ее производных взамен неизвестной функции и ее производных Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F,, 0, или уравнение вида f,, разрешенное относительно производной, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную В простейшем случае дифференциальное уравнение имеет вид f Решение этого дифференциального уравнения определяется формулой: f d C, где С произвольная постоянная Начальным условием дифференциального уравнения первого порядка называют пару соответствующих друг другу значений независимой переменной х 0 и функции у 0 Записывается в виде: у 0 ух 0 Функция ϕ, C, где С произвольная постоянная, называется общим решением дифференциального уравнения f,, если: она является решением этого дифференциального уравнения при любом значении произвольной постоянной С; существует такое единственное значение СС 0, что функция f, C удовлетворяет начальному условию у 0 ух 0, каково бы оно ни было 0

6 Частным решением дифференциального уравнения f, называется решение, которое получается из общего решения при конкретном значении произвольной постоянной С Задачей Коши называется нахождение частного решения уϕх, С 0 дифференциального уравнения f,, удовлетворяющее заданному начальному условию: ух 0 у 0 Теорема Коши теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения - го порядка Если функция f, и ее частные производные, f, и f,, непрерывны в области, содержащей точку M 0 ;, то существует, и при том единственное, решение 0 уравнения f, такое, что у обращается в у 0 при хх 0 Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений Геометрически общее решение ϕ, C представляет собой множество интегральных кривых, то есть совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной С Если задать точку M ; 0 0, через которую должна проходить интегральная кривая, то из бесконечного множества интегральных кривых выделяется некоторая определенная интегральная кривая, которая соответствует частному решению дифференциального уравнения В каждой точке M 0; области плоскости Оху, в которой справедлива 0 теорема существования и единственности решения, уравнение f, определяет величину углового коэффициента касательной к интегральной кривой, проходящей через точку M 0 ; Эту величину графически 0 изображают линией, проходящей через точку M 0 ; и имеющей угловой 0 коэффициент f, Таким образом, уравнение f, устанавливает поле направлений на плоскости Оху Геометрическое место точек с одинаковым направлением поля C cost называется изоклиной дифференциального уравнения линией

7 равных наклонов Во всех точках одной изоклины, соответствующей одному С, касательные к интегральным кривым имеют одинаковое направление Геометрический метод решения дифференциальных уравнений состоит в том, чтобы найти линии, удовлетворяющие тому условию, что касательные к ним имеют направления, совпадающие с направлением поля в точках касания Пример Имеется дифференциальное уравнение Требуется изобразить поле направлений Методом изоклин построить приближенно графики интегральных кривых Сравнить их с точными интегральными кривыми Имеем f ;, f ; 0 При х0 и любом ; имеем 0, то есть во всех точках оси Оу поле горизонтально При х и любом ; имеем, то есть поле образует угол 45 0 с осью Ох Так как дана функция f ;, то поле симметрично относительно оси Оу, и через каждую точку проходит единственная интегральная кривая, а различные интегральные кривые не пересекаются, то получаем рисунок Поле направлений Интегральные кривые Рис Точные интегральные кривые имеют вид: C

8 Уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение f, называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде: P d Q d 0 Общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными получается после нахождения соответствующих интегралов, то есть P d Q d C Если уравнение с разделяющимися переменными имеет вид: P Q d P Q d 0, то путем почленного деления его, на P Q Q P 0, оно сводится к уравнению d d 0 P Q Замечания При проведении почленного деления дифференциального уравнения на Q P, следует отдельно решить уравнение P 0 Q и установить те решения дифференциального уравнения, которые не могут быть получены из общего решения Уравнение f f также сводится к уравнению с разделенными переменными Для этого достаточно положить переменные: d d f f d d и разделить Уравнение f a b c, где a,b,c числа, сводится к уравнению с разделенными переменными путем замены a b c u Дифференцируя du du a b c u по х, получаем: a b a bf u d d d d a bf u Интегрируя это уравнение и заменяя u a b c, получим общий интеграл исходного уравнения Пример Требуется найти все решения уравнения d d 0 d du Разделяем переменные: d d Интегрируем: d d

9 Получаем: C или C В полученном выражении содержатся не все решения данного уравнения При делении на потеряны решения ± Таким образом, множество интегральных кривых данного уравнения состоит из семейства окружностей радиусом с центром в точке С; 0 и прямых ± у Рис 4 Однородные уравнения Однородной функцией f, нулевого измерения, или, просто, однородной функцией, называется функция только от отношения f, ϕ Однородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида: f При решении однородных дифференциальных уравнений, сохраняя прежнюю независимую переменную х, вводят вспомогательную неизвестную функцию t по формуле: уравнение f 0 х - t Таким образом, t t dt d Преобразуя, получаем: f t t Найдя отсюда выражение для t, как функции от возвращаются к переменной t, получая при этом решение однородного дифференциального уравнения Замечание: Иногда целесообразно вместо постановки t использовать подстановку t Пример Решить уравнение l Делаем замену: t ; t; t t Подставляем в исходное уравнение: t t tlt ; t t t l t t; t t lt

10 Разделяем переменные: Интегрируя: dt t lt d dt t l t d, получаем: l lt l C; lt C; t Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем C общее решение: 5 Уравнения, приводящиеся к однородным Дифференциальное уравнение вида: C a b c f приводится a b c к однородному дифференциальному уравнению или к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными случай Уравнение, приводящиеся к однородному дифференциальному уравнению Если определитель 0, a a b b то совершается замена: u и v, где и - решения системы уравнений a b c 0 Подставляя замену, a b 0 c получим однородное дифференциальное уравнение вида: Пример Решить уравнение d d 0 d d Получаем ; Находим значение определителя d d dv du v a b f u v a b u / 5 7 / 5 Решаем систему уравнений ; ; Применяем подстановку u /5; v 7 / 5 Подставляя в исходное уравнение, имеем: u / 5 v 4 / 5 dv u / 5 v 7 / 5 du 0; dv u v v / u u v dv u v du 0; du v u v / u

11 Это однородное уравнение Делаем замену Подставляем в однородное уравнение: v u t; v ut; v t u t t t u t t dt t t t t t t Разделяем переменные: u t ; du t t t du u t du t dt dt; ; t t u t t l t t l u l C; C C l t t l Cu ; l t t l ; t t u u Вернемся к первоначальной функции у и независимой переменной х C 5 ; C ; C C 49 7 ; 55 C С 5 ; Получаем выражение C, которое является общим интегралом исходного дифференциального уравнения случай Уравнение, приводящиеся к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными a b Если определитель 0, a b то совершается замена: a b t, где a b λ a b Отсюда, t a b Подставляя замену, получим дифференциальное уравнение вида: t c t bf a t c λ Пример Решить уравнение d d 0 Получаем d d ; d d

12 Находим значение определителя Делаем замену: d t, тогда t d Подставляем это выражение в исходное уравнение: t t ; t t t 9t 9; tt 6t 9t 9; t t Разделяем переменные: dt d; dt d; t 9 t dt d; t t l t C tt t 9 Возвращаемся к первоначальной функции у и независимой переменной х l C; l l C; l C получили общий интеграл исходного дифференциального уравнения 6 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде: P Q При этом, если правая часть Q равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением P и Q функции, непрерывные на некотором промежутке a < < b Метод Бернулли Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций uu и vv неизвестные функции от х Таким образом, Подставляя у и в исходное уравнение, получаем: dv du dv du u v P uv Q u v P u Q d d d d uv, где u v v u

13 du В качестве u берут частное решение уравнения: P u 0 Решая это d дифференциальное уравнение, определяем u: l C du u du P d; P d; l u P d; u P d l u P d; u C ; C / Для нахождения второй неизвестной функции v подставим полученное выражение для функции u в исходное уравнение u v P u Q учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю С P d dv P d Q Cdv Q ; d d P d Интегрируя, получаем функцию v: v Q d C C Делая замену u и v на uv, получаем: Окончательно имеем формулу: C P d C Q C dv du с d d P d P d P d Q d C d C Это уравнение является решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли Метод Лагранжа Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной Первый шаг: приравниваем правую часть дифференциального уравнения P Q к нулю: P 0 Находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения: C P d Второй шаг: находим решение неоднородного дифференциального уравнения Для этого считаем постоянную С некоторой функцией от х Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:

14 d d dc P d P d C P d Подставляем полученное равенство в исходное уравнение: dc P d C P P d P P C d d Q P d Упрощаем, преобразуем и получаем: dc Q d Отсюда: C Q P d d C Подставляя это значение в исходное P d P d уравнение: Q d C Пример Решить уравнение Метод Бернулли Полагаем uvи u v v u Тогда u v uv vu, u v u v v dv v v 0, d, v l v, v u u0, те du, u c d Итак, uv c Метод Лагранжа Решаем уравнение 0 Имеем d d c Заменяем с сх: c Тогда c c Подставляем c c c c c d c c Получаем c 7 Уравнение Бернулли Уравнения вида p q, где p, q - функции от х, которые предполагаются определенными и непрерывными в интервале ; b вещественное число, отличное от 0 и, называются уравнением a ;

15 Бернулли Уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению делением обеих его частей на и заменой z Пример: Делим обе части уравнения на : z Получаем z z линейное уравнение Решим его методом Бернулли Заменим Подставляем: Заменим z z u v, тогда z u v v u u v v u v v u u v u v v dv d 4 v 0 l v l v v 4 u 4 d 4 du u C 4 Получаем z 4 C 4 C 8 Уравнения в полных дифференциалах Дифференциальное выражение P d Q, d 4, тогда, является полным дифференциалом, если существует такая функция u,, полный дифференциал которой равен данному выражению: du P, d Q, d Теорема Для того чтобы выражение P d Q, d, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество: P Q Если левая часть уравнения, d Q, d 0 P является полным дифференциалом некоторой функции u,, то это уравнение называется уравнением в полных дифференциалах Таким образом, имеем равенство du, 0, которое означает, что между переменными х и у существует зависимость вида u C,, где С

16 произвольная постоянная Функция u P, d Q, d 0 0 u, определяется по формуле Пример Найти общий интеграл уравнения d 4 d 0 Проверим выполнение теоремы: 4 левая часть дифференциального уравнения есть полный дифференциал некоторой функции u d 4 d u, Найдем ее: u d 4 d Так как C Замечания Если условие P Q u, C, получим не выполняется, то дифференциальное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах Его приводят к уравнению в полных дифференциалах путем умножения его на некоторую функцию t;, называемую интегрирующим множителем, где M N d N t или N M d M t Общий интеграл уравнения M, d N, d 0 в полных дифференциалах записывается в виде ; ; 0 0 Md Nd C, где левая часть есть криволинейный интеграл второго рода по любому пути, соединяющему фиксированную точку х 0 ;у 0 с точкой х; у Пример Решить уравнение d d 0

17 Здесь P ; Q, то есть P Q Однако P Q Q Таким образом, интегрирующий множитель d l зависит от х, имеем: t Умножаем исходное уравнение на t, получаем: 0 d d - это уравнение в P Q полных дифференциалах Теорема выполняется: левая часть дифференциального уравнения есть полный дифференциал некоторой функции u, Решим уравнение: d d C C Получаем: c 9 Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной а Уравнения вида f и f Для уравнения первого типа получаем: f p; f p Совершаем замену, получаем: dp p f p d уравнение с разделяющимися переменными: f p dp C p dp d Имеем дифференциальное d f p dp p Находим Общий интеграл записывается системой уравнений: f p dp C p f p Для дифференциального уравнения вида f с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат:

18 pf p dp C f p б Уравнения Лагранжа и Клеро Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение, линейное относительно х и у, коэффициенты которого являются функциями от : P Q R 0 Для нахождения общего решение применяется подстановка p f p ϕ p, P f p, Q R ϕ p Q Дифференцируя это уравнение, c учетом того, что pd f p d f p dp ϕ p dp d pd, получаем: F p, C, виде: Если решение этого линейного относительно х уравнения есть то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в F p, C f p ϕ p F p, C f p ϕ p Уравнением Клеро называется уравнение первой степени линейное относительно функции и аргумента вида: ϕ Уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа С учетом замены p, уравнение принимает вид: p ϕ p dp dp dp dp p ϕ p p p p d d d d dp ϕ - это d ϕ [ p ] 0 уравнение имеет два возможных решения: dp 0 или ϕ p 0 В первом случае: p c; тогда c ϕc Во втором случае решение выражается системой уравнений: p ϕ p Исключая р, получаем второе решение F, 0 Это ϕ p 0 решение не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно, является частным решением Примеры

19 Решите уравнение Это уравнение разрешено относительно х Поэтому полагаем, тогда p p p p Находим d dp и так как d d p, имеем d d p dp p p p p dp C p C Получаем: p p, p p p C Решите уравнение Это уравнение Лагранжа Поэтому полагаем, получаем: p p p Находим d pd dp pdp и так как d pd p dp pd pd p dp 0 dp p d d, имеем Если p 0, то C p, p C p p Если 0 p, то 0 это частное решение ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Основные понятия Дифференциальным уравнением порядка называется уравнение вида: F,,,, 0, или, решенное относительно старшей производной : f,,,, Начальным условием дифференциального уравнения порядка называют соответствующие друг другу значения независимой переменной х 0, функции у 0 и ее производные,, Записывается в виде: 0 0 f 0 0, f 0, 0, f 0 0 Нахождение решения уравнения F,,,, 0, удовлетворяющего начальным условиям,,, называется решением задачи Коши 0 0 0,, 0

20 Теорема Коши Теорема о необходимых и достаточных условиях существования решения задачи Коши Если функция вида f,,,, в некоторой области непрерывна и имеет непрерывные частные производные по,,,, то какова бы не была точка 0, 0, 0,, 0 в этой области, существует единственное решение ϕ уравнения f,,,,, определенного в некотором интервале, содержащем точку х 0, удовлетворяющее начальным условиям,, 0 0 0,, Дифференциальные уравнения высших порядков, решение которых может быть найдено аналитически, можно разделить на несколько основных типов Уравнения, допускающие понижение порядка Понижение порядка дифференциального уравнения основной метод решения уравнений высших порядков Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, но он применим далеко не ко всем уравнениям Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка Уравнения вида f Решение находится с помощью последовательного интегрирования f d C ; f d C d C d f d C C ; d d f d C C C!! 0 Пример Решить уравнение с начальными условиями 0 0; 0 ; ; Решаем с помощью понижения прядка: ; d C C C d C C; C C C C C ; 4 8 4

21 Подставим начальные условия: С ; C; 0 C; C ; C ; C 4 8 Получаем частное решение решение задачи Коши: Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k включительно k k Это уравнения вида: F,,,, 0 В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц Для этого производят замену переменной: z; k z ; z Тогда получаем: F, z, z,, z 0 k k k Теперь допустим, что полученное дифференциальное уравнение проинтегрировано, тогда совокупность его решений выражается соотношением: z ψ, C, C,, C k k Делая обратную подстановку, имеем: ψ, C, C,, C k Интегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем окончательный ответ: ϕ, C, C,, C Пример Найти общее решение уравнения Применяем подстановку: Получаем: z ; z z dz z dz d dz d z ; ; ; ; l z l lc ; z C d z z Произведя обратную замену, получаем: C ; C Cd C ; C C C d C C Общее решение исходного 6 дифференциального уравнения: C C C Отметим, что это 7 8

22 равенство является решением для всех значений переменной х, кроме значения х 0, так как в этом случае Уравнения, не содержащие явно независимой переменной Это уравнения вида F,,, 0 Порядок таких уравнений может быть понижен на единицу с помощью замены переменных p, dp d p d d d dp d d d d d p dp p; p p p p d d d d d d d d d d и тд Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, dp d p F, d d получаем: p,,, 0 Пример Найти общее решение уравнения 4 0 Замена переменной: dp p ; p d dp dp p d d Тогда p 4p 0 p p 4 0 dp dp p p d d Произведем замену переменной: p dp d du d u Отсюда, u Подставляем: du d d u 4 u du 4 d du 4 u 4l 4lC u 4l C p d d 4 l C С учетом того, что d l C d 4 l C d p, получаем: d dl C 4 l l C C 4 l C 4 Таким образом, общий интеграл имеет вид: l l C 4 C; p 0 0 C Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейным дифференциальным уравнением порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных

23 ,,, вида: p p p p p0 f, где p 0, p,,p функции от х или постоянные величины, причем p 0 0 Левую часть уравнения обозначим L: p p p p p L 0 Если f 0, то уравнение L 0 называется линейным однородным уравнением, если f 0, то уравнение L f называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p 0, p, p, p постоянные числа, то уравнение L f называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка на интервале a, b называется всякая система линейно независимых на этом интервале решений уравнения Определитель порядка составленный из функций i и ее производных W, то этот определитель называется определителем Вронского Система функций,,, называется линейно зависимой, если существует такая линейная комбинация k k k 0, при не равных нулю одновременно k i Если же только при k i 0 выполняется k k k 0 Теорема Если функции, то векторы называются линейно независимыми,, них определитель Вронского равен нулю Теорема Если функции, линейно зависимы, то составленный для,,, линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала

24 Теорема Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения,,, была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю Теорема 4 Если,,, - фундаментальная система решений на интервале a,b, то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений: C C C, где C i постоянные коэффициенты 4 Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Решением дифференциального уравнения вида a a 0 является фундаментальная система решений,,,, представляемая в виде общего решения C C C Решения фундаментальной системы определяется по методу Эйлера, в котором частное решение уравнения ищется в виде k k k k, где k cost k Тогда k ; k ; k, то k a k a 0 При этом многочлен F k k a k a называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения, а k a k a 0 характеристическим уравнением Структура фундаментальной системы уравнения зависит от вида корней характеристического уравнения Различают три случая: Все корни характеристического уравнения различны: вещественны - k, k,, k, тогда C имеются комплексные - k, a ± bi, тогда C b C si a cos b k k C k C Среди корней характеристического уравнения имеются кратные:

25 k- вещественный корень кратности s, тогда k C C C s s C k s k a ± bi - комплексный корень кратности s, тогда k s C C C cos b s s Cs Cs Cs si b, где C i постоянные коэффициенты В частности для линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка p q 0 Если k и k корни характеристического уравнения k pk q 0, то общее решение записывается в одном из следующих трех видов см табл : Таблица D p 4q Корни k и k Общее решение ЛОДУ k k D > 0 действительные и различные k k C C D 0 действительные и равные k k k D < 0 комплексные k a ± bi, а и b действительные числа k k C C Пример Найти общее решение уравнения a C b C si cos b Характеристическое уравнение имеет вид k 5k 6 0 Его корни: k ; k Так как k и k действительные и различные числа, то общее решение записывается в виде: C C Пример Найти общее решение уравнения 9 0 Характеристическое уравнение имеет вид: k 9 0, k 9, корни k 0 i комплексно-сопряженные корни, a 0, b Общее решение, ± 0 имеет вид C cos C si, отсюда C cos C si

26 5 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с произвольными коэффициентами: p f Теорема Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения p p f в некоторой области есть сумма любого его решения и общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения применяют метод вариации произвольных постоянных Суть метода заключается в следующем: находят общее решение соответствующего однородного уравнения в виде: C C C Ci ; затем, i полагая коэффициенты C i функциями от х, ищется решение неоднородного уравнения: уравнений: i i i p C, где функции C i находятся из системы C i i 0 i C i i 0 i C f i i i Пример Решить уравнение si Решаем линейное однородное уравнение 0 k 0; k i; k i Следовательно решение линейного неоднородного дифференциального уравнения есть Acos Bsi, где 0, Таким образом, имеем: Acos Bsi i

27 Решение неоднородного уравнения будет иметь вид: A cos B si Составляем систему уравнений: Решим эту систему: A cos B si 0 A si B cos si cos B A A si si si cos A si A si B cos si si Из соотношения A si cos si найдем функцию Ах si cos si d si cos d si d si si d A u ; dv si d; si cos cos d du d; v cos Теперь находим Вх: B cos d cos si d si cos si cos C cos si C Подставляем полученные значения в формулу общего решения неоднородного уравнения: si cos cos si cos C cos si cos si si cos C si si cos si cos si cos C cos C si Окончательный ответ: si C cos C si 6 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида Теорема Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного и частного решения данного неоднородного дифференциального уравнения

28 Частное решение определяется методом неопределенных коэффициентов, который представлен в виде таблицы

29

30 Таблица Правая часть дифференциального уравнения Корни характеристического уравнения Вид частного решения P A a f B A C B A b a f Число 0 не является корнем характеристического уравнения R D B A A r c b a f B A r C B A r d b a f Число 0 корень кратности r характеристического уравнения R r D B A r P A a f B A C B A b a f Число 0 не является корнем характеристического уравнения R D B A

31 Приложение таблицы r A c b a f r B A r C B A d a f Число 0 корень кратности r характеристического уравнения r R r D A si cos Q P si cos B A si cos b a f Число i ± не является корнем характеристического уравнения si cos S R si cos B A B A si cos B A r si cos b a b a f Число i ± корень кратности r характеристического уравнения si cos S R r si cos B A B A r si cos Q P si cos B A si cos b a f Число i ± не является корнем характеристического уравнения si cos S R si cos B A B A

32 Приложение таблицы si cos B A r si cos b a b a f Число i ± корень кратности r характеристического уравнения si cos S R r si cos B A B A r si cos Q P m si cos B A B A si cos d c b a f Число i ± не является корнем характеристического уравнения ; ma si cos m v S R v v si cos P D C P D C si cos B A B A r si cos p d c b a f Число i ± корень кратности r характеристического уравнения ; ma si cos m v S R v v r si cos P D C P D C r

33

34

35 Пример Решить уравнение 4 Решим соответствующее однородное уравнение: 4 0 k 4k 0; k k 4 0; k 0; k ; k ; C C C Найдем частное решение исходного неоднородного уравнения Правая часть уравнения f, где 0 - корень кратности характеристического уравнения Частное решение ищем в виде: A B A B Имеем: A B; A; 0 Определим неизвестные коэффициенты А и В Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение: 0 8A 4B ; 8A ; A ; 8 B 0 Следовательно, частное решение: 8 Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения: 8 C C C Пример Решить уравнение si Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f f -si Составим и решим характеристическое уравнение: k 0; k ± i, Для функции f ab число 0 не является корнем характеристического уравнения тогда, A B Имеем: A, 0 A B A, B 0 Получаем: Для функции f Q cos Q si, где Число ± i не является корнем характеристического уравнения, тогда C cos Dsi; si cos ; C D 4C cos 4Dsi Подставляем: 4C cos 4Dsi C cos Dsi si;

36 C cos Dsi si A 0, B Получаем si Следовательно, искомое частное решение имеет вид: si Общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: si C cos C si НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ F,,,,,,,, 0 F,,,,,,,, 0 Система уравнений: F,,,,,,,, 0 где х - независимая переменная, у, у,,у искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений d f,,,, d d f,,,, Такая система имеет вид: d d f,,,, d Теорема Теорема Коши: Если в некоторой области функции f,,,,, f,,,,,,,,, непрерывные частные производные по , f непрерывны и имеют,,,, то для любой точки,,,, этой области существует единственное решение

37 ϕ, ϕ, ϕ системы дифференциальных уравнений вида, определенное в некоторой окрестности точки х 0 и удовлетворяющее начальным условиям,,, 0, Общим решением системы дифференциальных уравнений вида будет совокупность функций ϕ, C, C,, C, ϕ, C, C,, C, ϕ, C, C,, C, которые при подстановке в исходную систему обращают уравнения в верные тождества При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами называется линейной однородной, если они записана в виде: d a d dz a d du a d a a a z a z a z a Решение системы ищется с помощью метода Эйлера, путем k k k k k k подстановки:, z, u γ и k, k, γk, где,, γ, k cost Заменив, перенесем все элементы в одну сторону и сократим на k, d d u u u dz d a k a aγ 0 получаем: a a k aγ 0 a a a k γ 0 Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, то есть: a a a k a a a k a a 0 a k du d

38 Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет три корня k, k, k Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы:,,, k k k u z γ,,, k k k u z γ,, k k k u z γ Тогда общее решение данной системы запишется в виде: ; k k k C C C ; k k k C C C z k k k C C C u γ γ γ В случае комплексно сопряженных корней характеристического уравнения bi a k ± действительные решения имеют вид: cosb a и sib a В этом случае сразу записывают cos b a, si b a, и находят функции z, z, u и u, выражая их через функции и и их производные Пример Найти общее решение системы уравнений: 5 Составим характеристическое уравнение: 0; ; 4 5 0; 5 k k k k k k k 6 ; 0; 6 7 k k k k Решим систему уравнений: 0 0 k a a a k a Для k : Полагая, получаем:

39 Для k : Полагая, получаем: t 6t C C Общее решение системы: t C C Этот пример может быть решен другим способом: Продифференцируем первое уравнение: 5 ; подставим в это выражение производную у из второго уравнения: Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения: ; k ; k t 6t t 6t 6t 6 6t t 6t A B ; A 6B ; 5 A 6B 5A 5B ; t 6t A B Обозначив A C; B C, получаем решение t 6t C C системы: t C C 6t t

40 С е м е с т р о в ы е р а б о т ы Вариант Часть А Найти общее решение 5 Найти общее решение дифференциального уравнения -го дифференциального уравнения порядка с разделяющимися допускающее понижение порядка: переменными: ''' si '' a ', b ' ctg 6 Найти решение задачи Коши: Найти общее решение ' ' 64 0, 0 4, ' 0 однородного дифференциального 7 Найти общее решение однородного уравнения -го порядка: дифференциального уравнения -го d d 0 порядка: ''' 6'' ' 8 0 Найти общее решение линейного 8 Найти общее решение дифференциального уравнения -го неоднородного дифференциального порядка: ' уравнения -го 4 Найти общее решение порядка: '' ' дифференциального уравнения в 9 Решить систему полных дифференциалах: дифференциальных уравнений: 4 4 d d 0 ' 5 4 ' Часть В Решить уравнения: t ' ' ' ' 5 si 6 t ' 5 d d '' 4' 0 cos 6 8 ' ' 5' 6 cos, если 0, 0' 0,5 ''' '' 9 5 l l Часть С Найти линию, проходящую через точку М 05, и обладающую тем свойством, что в любой ее точке М нормальный вектор MNс концом на оси Оу имеет длину, равную 5, и образует острый угол с положительным направлением оси Оу Решить уравнения: Решить систему, записанную в а d хd 0 векторной форме: ' A, где вектор, A данная матрица, в ' '' ' cos π A 0 с ' ' π, если 0, '0 0 cos π

41 Вариант Часть А Найти общее решение 5 Найти общее решение дифференциального уравнения -го дифференциального уравнения порядка с разделяющимися допускающее понижение порядка: переменными: ''' l '' a ', 6 Найти решение задачи Коши: б cos d si d '' 8, 0, ' 0 8 Найти общее решение однородного 7 Найти общее решение дифференциального уравнения -го однородного дифференциального / порядка: ' уравнения -го порядка: ''' '' ' 0 Найти общее решение линейного дифференциального уравнения -го 8 Найти общее решение неоднородного дифференциального порядка: уравнения -го порядка: 4 Найти общее решение ' ' ' 6 дифференциального уравнения в полных дифференциалах: 9 Решить систему 4 дифференциальных уравнений: d d 0 ' 8 ' 4 Часть В Решить уравнения: ' 5, если 0 0, ' 0, если 0 d d 0 ' ' ' ' 4 5 ' '' ' si 4 '' ' 5, если 8 ' 8t 9 '' ' 0, 0' 0,5 ' 5 Часть С Найти линию, проходящую через точку М 0, и обладающую тем свойством, что в любой ее точке М нормальный вектор MNс концом на оси Оу имеет длину, равную 0, и образует острый угол с положительным направлением оси Оу Решить уравнения: Решить систему, записанную в а d d 0 векторной форме: ' A, где вектор, A данная матрица, в ' ' 6cos si 9 A 0 с '' ', 0 l 4, '0 l 6

42 Вариант Часть А а Найти общее решение 5 Найти общее решение дифференциального уравнения -го порядка с разделяющимися дифференциального уравнения допускающее понижение порядка: переменными: ' ' ' 0 ' 6 Найти решение задачи Коши: b Найти решение задачи Коши: ' 0, 0 ' ' 49 0, 7, ' 7 Найти общее решение Найти общее решение однородного однородного дифференциального дифференциального уравнения -го уравнения 4-го порядка: порядка: ' Найти общее решение линейного дифференциального уравнения -го 4 порядка: ' 4 Найти общее решение 8 Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения -го порядка: 6 ' ' ' 6 5 дифференциального уравнения в 9 Решить систему полных дифференциалах: дифференциальных уравнений: d d 0 ' ' Часть В Решить уравнения: d 4 d 0 5 d d d d 0 6 cos ' ' ' l ' ' 7 4 cos 4 '' 4 ' 4,если 4 8 ' 8t 9 '' ctg 0, 0' ' 5 Часть С Найти линию, проходящую через точку М 09, и обладающую тем свойством, что в любой ее точке М нормальный вектор MNс концом на оси Оу имеет длину, равную 5, и образует острый угол с положительным направлением оси Оу Решить уравнения: Решить систему, записанную в а d d 0 векторной форме: ' A, где вектор, A данная матрица, в 6 ' ' ' 6' 6 7cos 6 si 6 A 4 π π с '' 4 8ctg, 5, '

43 Вариант 4 Часть А а Найти общее решение 5 Найти общее решение дифференциального уравнения -го дифференциального уравнения порядка с разделяющимися допускающее понижение порядка: переменными: 5 ' ' ' 0 d d d ; 6 Найти решение задачи Коши: b ' l, 0, 0 '' 98,, ' 7 Найти общее решение 7 Найти общее решение однородного однородного дифференциального дифференциального уравнения 4-го порядка: 4 '' ' 0 уравнения -го порядка: ' 0 8 Найти общее решение Найти решение задачи Коши неоднородного дифференциального линейного дифференциального уравнения -го порядка: t уравнения -го порядка: '' 6' 8 t ' 0, 0, 0 9 Решить систему 4 Найти общее решение дифференциальных уравнений: дифференциального уравнения в ' 8 полных дифференциалах: ' d d 0 Часть В Решить уравнения: d d 0 5 ''' 4 ' ' 0 l l d d 0 6 ' ' ' d d 0 7 ' 0 4 ' ' ' 0 si, 8 9 ' ' 9 si ' 8t 0 0, '0 4 ' 5 Часть С Найти линию, проходящую через точку М 06,4 и обладающую тем свойством, что в любой ее точке М нормальный вектор MNс концом на оси Оу имеет длину, равную 0, и образует острый угол с положительным направлением оси Оу Решить уравнения: а d d 0 Решить систему, записанную в векторной форме: ' A, где в ''' ' 0si 6cos 4 4 с ' ' 6' 8, 0 l, '0 6l вектор, A данная матрица, A 0

44 Вариант 5 Часть А а Найти общее решение 5 Найти общее решение дифференциального уравнения -го дифференциального уравнения порядка с разделяющимися допускающее понижение порядка: переменными: '' ' l ' ' ; 6 Найти решение задачи Коши: b Найти решение задачи Коши: ' ' 6 0,, ' ' si l, если 0, 0 7 Найти общее решение однородного Найти общее решение дифференциального уравнения -го однородного дифференциального порядка: ''' '' 4' 0 уравнения -го порядка: 8 Найти общее решение ' неоднородного дифференциального Найти общее решение линейного уравнения -го порядка: дифференциального уравнения -го порядка: ' 4 '' 9 Решить систему дифференциальных уравнений: 4 Найти общее решение дифференциального уравнения в ' полных дифференциалах: ' d d 0 Часть В Решить уравнения: 4 d 5d ' 0 d d 0 6 ' ' 9 si ' ' ' 6, 0, 0' 7 '' 4 ctg 4 0, 0 8 ' 9 ''' ' ' 0 ' 8t Часть С Найти линию, проходящую через точку М 0,, если отрезок любой ее нормали, заключенный между осями координат, делится точкой линии в отношении : считая от оси Оу Решить уравнения: Решить систему, записанную в а d d 0 векторной форме: ' A, где в вектор, A данная матрица, ' ' 4 4 cos 8si 9 с ' ' 9' 8, A 0 0 0, '0 0

45 Вариант 6 Часть А а Найти общее решение 5 Найти общее решение дифференциального уравнения - дифференциального уравнения го порядка с разделяющимися допускающее понижение порядка: переменными: ' ' ' ' si ; 6 Найти решение задачи Коши: b Найти решение задачи Коши: ' l, 0, 0 ' ' ' 0,, ' Найти общее решение 7 Найти общее решение однородного однородного дифференциального дифференциального уравнения 4-го уравнения -го порядка: / порядка: 4 ''' '' ' 0 ' 8 Найти общее решение неоднородного Найти общее решение дифференциального уравнения -го линейного дифференциального порядка: уравнения -го порядка: ' ' ' ' 9 Решить систему дифференциальных 4 Найти общее решение уравнений: дифференциального уравнения в ' 8 полных дифференциалах: ' 4 d d 0 Часть В Решить уравнения: d 4 4 d 0 5 si d 4 cos d 0 d d 6 5 cos 5 ' ' 4' 5 cos, , ' ' '' ' 4 ' ' ' ' ' 5si t Часть С Найти линию, проходящую через точку М 00,, если отрезок любой ее нормали, заключенный между осями координат, делится точкой линии в отношении :считая от оси Оу Решить уравнения: Решить систему, записанную в векторной форме: ' A, где а d d 0 вектор, A данная матрица, в ''' ' 0 si 6cos 4 A π с '' π, si π

46 , ' π

47 Вариант 7 Часть А а Найти общее решение 5 Найти общее решение дифференциального уравнения -го порядка с разделяющимися переменными: 4 ' дифференциального уравнения допускающее понижение порядка: ''' tg '' 0 6 Найти решение задачи Коши: b Найти решение задачи Коши: 4 ' ' 4, 0, '0 d tgd 0, 0 π, 0 7 Найти общее решение Найти общее решение однородного однородного дифференциального дифференциального уравнения -го уравнения 4-го порядка: 4 '' ' 0 порядка: ' l 8 Найти общее решение Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального дифференциального уравнения -го уравнения -го порядка: ' ' cos порядка: ' 9 Решить систему 4 Найти общее решение дифференциальных уравнений: дифференциального уравнения в ' 5 полных дифференциалах: ' 7 d d 0 Часть В Решить уравнения: d d 0 5 d d 0 d d 0 6 ' '' 6' ' ' 8 ' ' ' 6,если 0, 0' 7 '' ' ' ' ' si t ' Часть С Найти линию, проходящую через точку М 0,, если отрезок любой ее нормали, заключенный между осями координат, делится точкой линии в отношении :считая от оси Оу Решить уравнения: Решить систему, записанную в а d cos d si d векторной форме: ' A, где 8 вектор, A данная матрица, в ' '' 64' 64 8cos 8 0 с '', A π π cos π 0, '0 0 '

48 Вариант 8 Часть А а Найти общее решение 5 Найти общее решение дифференциального уравнения -го дифференциального уравнения порядка с разделяющимися допускающее понижение порядка: переменными: '' ' tg d ; 6 Найти решение задачи Коши: d π ' ' 8si cos,, ' b Найти решение задачи Коши: ' 0, 0 4, 0 7 Найти общее решение однородного дифференциального уравнения 4-го Найти общее решение однородного дифференциального порядка: 4 ''' ' ' 0 уравнения -го порядка: 8 Найти общее решение неоднородного d d 0 дифференциального уравнения -го Найти общее решение линейного порядка: ' ' ' cos t дифференциального уравнения -го 9 Решить систему дифференциальных порядка: ' уравнений: 4 Найти общее решение ' дифференциального уравнения в ' 4 полных дифференциалах: 4 d 4 d 0 Часть В Решить уравнения: 4 d d 5 l si d cos d 0 6 ' ' ' d d 0 ' ' 6' 9 9, 0, 0' 7 ' ' ' cos t 4 ', если 0, 0 8 ' 4 9 ' '' 4' ' t ' Часть С Найти линию, проходящую через точку М 0,, если отрезок любой ее нормали, заключенный между осями координат, делится точкой линии в отношении :считая от оси Оу Решить уравнения: Решить систему, записанную в а l l d d векторной форме: ' A, где в ''' ' 0 si 6cos 4 вектор, A данная матрица, π с '' π, A 5 si π 4 π, '

49 Вариант 9 Часть А а Найти общее решение 5 Найти общее решение дифференциального уравнения -го дифференциального уравнения порядка с разделяющимися допускающее понижение порядка: переменными: ' ' ' 0 ' 9 0 ; 6 Найти решение задачи Коши: b Найти решение задачи Коши: ' ' 5 0, 5, ' d d, 0, 0 7 Найти общее решение однородного Найти общее решение однородного дифференциального дифференциального уравнения 4-го порядка: уравнения -го порядка: 4 4''' 7'' 4' 8 0 ' si 8 Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения -го Найти общее решение линейного порядка: ' ' ' дифференциального уравнения -го 9 Решить систему дифференциальных порядка: ' уравнений: 4 Найти общее решение ' дифференциального уравнения в полных дифференциалах: ' 4 d d 0 Часть В Решить уравнения: d d 0 5 d d 0 d d 0 6 ' ' 4' 0 cos '' 9 6, если 0 0, 0' 0 4 d si d 0 ' '' 7 '' 8 ' 4 ' 5t 9 ' ' 4 si Часть С Найти линию, проходящую через точку М 0,, если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью Оу делится в точке пересечения с осью абсцисс в отношении :считая от оси Оу Решить уравнения: Решить систему, записанную в а si d si d 0 векторной форме: ' A, где 5 вектор, A данная матрица, в ' ' 0' 75 cos 5 0 π π с '' 4ctg, 4, ' 4 A 0

50 Вариант 0 Часть А а Найти общее решение 5 Найти общее решение дифференциального уравнения -го дифференциального уравнения порядка с разделяющимися допускающее понижение порядка: переменными: ' ' ' ' ; 6 Найти решение задачи Коши: b Найти решение задачи Коши: π ' ' 8si cos,, ' ', Найти общее решение однородного 7 Найти общее решение дифференциального уравнения -го однородного дифференциального порядка: ' l l уравнения 4-го порядка: Найти общее решение линейного у 4 4' ' ' 4' ' 0 дифференциального уравнения -го 8 Найти общее решение порядка: ' неоднородного дифференциального уравнения -го порядка: 4 Найти общее решение '' 4' 4 дифференциального уравнения в 9 Решить систему полных дифференциалах: дифференциальных уравнений: d 4 d 0 ' 7 ' 5 Часть В Решить уравнения: d d 0 5 d d 0 d d 0 6 d d ' ' ' 0 si, если 7 ' ' 4' 4 0 0, '0 4 4 ' ' 6' cos 8 9 ' ' ' ' 0 5t ' 4 ' Часть С Найти линию, проходящую через точку М 0,, если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью Оу делится в точке пересечения с осью абсцисс в отношении :считая от оси Оу Решить уравнения: Решить систему, записанную в а d d 0 векторной форме: ' A, где вектор, A данная матрица, в ' '' 9' 8si 9cos с '' 9, если A 0 si 0

51 π 6 4, ' π 6 π

52 Вариант Часть А Найти общее решение 5 Найти общее решение дифференциального уравнения -го дифференциального уравнения порядка с разделяющимися допускающее понижение порядка: переменными: ''' ' ' 0 а ' ; 6 Найти решение задачи Коши: b ' ctg, если 0 ' ' ' 0, 0 0, '0 Найти общее решение 7 Найти общее решение однородного однородного дифференциального дифференциального уравнения -го d порядка: ''' '' у 0 уравнения -го порядка: d 8 Найти общее решение неоднородного Найти общее решение линейного дифференциального уравнения -го дифференциального уравнения -го порядка: '' 4' 4 9 Решить систему дифференциальных порядка: ' уравнений: 4 Найти общее решение ' 7 дифференциального уравнения в ' 5 полных дифференциалах: 4 d d 0 Часть В Решить уравнения: d d 0 5 ' 4, ' 6 ' ' ' 4' 4, если 4 0, 0' 4 '' ' 9 ' 5 7 t ' 5 8 ' ' ' t 9 ' '' ' ' ctg Часть С Найти линию, проходящую через точку М 0,, если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью Оу делится в точке пересечения с осью абсцисс в отношении :считая от оси Оу Решить уравнения: Решить систему, записанную в а d d 0 векторной форме: ' A, где 4 вектор, A данная матрица, в ' ' 6 6 6cos 4 4 с '' 6 ' 8у A 0 0

53 Вариант Часть А а Найти общее решение дифференциального уравнения -го 5 Найти общее решение дифференциального уравнения порядка с разделяющимися допускающее понижение порядка: переменными: '' ' ' arcsi l 6 Найти решение задачи Коши: b Найти решение задачи Коши: 4 4у '' у 6,если ' 0, если 0, ' 0 Найти общее решение однородного дифференциального уравнения -го 7 Найти общее решение однородного дифференциального уравнения 4-го порядка: ' tg порядка: у 4 ' ' ' ' ' 0 Найти общее решение линейного дифференциального уравнения -го 8 Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения -го порядка: порядка: ' ' ' Найти общее решение 9 Решить систему дифференциального уравнения в полных дифференциальных уравнений: дифференциалах: ' d d 0 ' Часть В Решить уравнения: d 4 d 0 5 ',, d d 4 d 6 ' ' 4' 5 cos 6 si ' ' ' 5, 0, 0' 0, 5 l 7 ' ' 6' 9 4 ' 8 ' 5cost 9 ''' ' ' 0 ' Часть С Найти линию, проходящую через точку М 0,, если отрезок любой ее нормали, заключенный между осями координат, делится точкой линии в отношении :считая от оси Оу Решить уравнения: Решить систему, записанную в а d d 0 векторной форме: ' A, где 4 вектор, A данная матрица, в 6у 4 cos 8 si 4 с '' 6 ' 8у, если A 0 0 l, '0 0l

54 Вариант Часть А Найти общее решение 5 Найти общее решение дифференциального уравнения -го порядка с разделяющимися дифференциального уравнения допускающее понижение порядка: переменными: ' ' ' a ', b ' 4cos 6 Найти решение задачи Коши: Найти общее решение однородного дифференциального уравнения -го π π '' ', 0, ' 4 4 порядка: 7 Найти общее решение ' l l однородного дифференциального Найти общее решение линейного дифференциального уравнения -го уравнения -го порядка: ''' 7' 6 0 порядка: ' 8 Найти общее решение неоднородного дифференциального 4 Найти общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах: уравнения -го порядка: ' ' 4' 5 si 9 Решить систему d d 0 дифференциальных уравнений: ' ' 4 Часть В Решить уравнения: d 4 5 d ', если 6 ' ' ' 4' 8 8 4, 9 7 ' 9 0, 0' 5 si 4 ''' '' ' ''' ' ' t 5' ' 4 t ' 8 5 Часть С Найти линию, проходящую через точку М 0,, если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью Оу делится в точке пересечения с осью абсцисс в отношении :считая от оси Оу Решить уравнения: Решить систему, записанную в а d d d d векторной форме: ' A, где вектор, A данная матрица, в '' 4 4 cos 8si 9 с '' 9, 0, '0 0 A 0 cos 0

55 Вариант 4 Часть А а Найти общее решение дифференциального уравнения -го порядка с разделяющимися 5 Найти частное решение дифференциального уравнения допускающее понижение порядка: переменными: ' ',, ' 0 d d 0; b Найти решение задачи Коши: 6 Найти решение задачи Коши: ', если 4 ' '',если, ' Найти общее решение однородного 7 Найти общее решение дифференциального уравнения -го однородного дифференциального уравнения -го порядка: порядка: ' 0 ''' '' 8' 6 0 Найти общее решение линейного 8 Найти общее решение дифференциального уравнения -го неоднородного дифференциального порядка: ' уравнения -го порядка: '' ' 6 4 Найти общее решение 9 Решить систему дифференциального уравнения в дифференциальных уравнений: полных дифференциалах: ' 5 d d 0 ' 8 Часть В Решить уравнения: d d 0 5 ' 4 4 d d 0 6 ' ' ' cos '' ' 5, 7 '' 5 8ctg 0, ' d l d 8 9 ''' ctg ' ' t ' t ' Часть С Найти линию, проходящую через точку М 0,, если отрезок любой ее нормали, заключенный между осями координат, делится точкой линии в отношении :считая от оси Оу Решить уравнения: Решить систему, записанную в а d d векторной форме: ' A, где 4 вектор, A данная матрица, в 6у 4 cos 8 si 0 4 с '' 6 ' 8у, если A 0 0 l, '0 0l

56 Вариант 5 Часть А а Найти общее решение 5Найти частное решение дифференциального уравнения -го дифференциального уравнения порядка с разделяющимися допускающее понижение порядка: переменными: ' ; '' ' 0, b Найти решение задачи Коши: 6Найти решение задачи Коши: d d, если 0 0 ' '' si, ''0, '0 0, 0 0 Найти общее решение 7Найти общее решение однородного однородного дифференциального дифференциального уравнения 4-го уравнения -го порядка: порядка: d d 0 4 4''' 7'' 4' 8 0 Найти общее решение линейного 8Найти общее решение дифференциального уравнения -го неоднородного дифференциального 4 порядка: ' уравнения -го порядка: '' 4' 8 si 4Найти общее решение дифференциального уравнения в 9Решить систему полных дифференциалах: дифференциальных уравнений: cos d si d 0 ' 4 ' Часть В Решить уравнения: d d 0 5 '' 5 8ctg d d d, 0 6 '' ', 0, 0' 7 ' ' ' cos ' ' t 8 t d d d ' 9 Часть С Найти линию, проходящую через точку М 0,, если отрезок любой ее касательной, заключенный между осями координат, делится в точке касания в отношении :считая от оси Оу Решить уравнения: Решить систему, записанную в а d d 0 векторной форме: ' A, где в вектор, A данная матрица, 4 ''' 6' 48 64cos4 64si4 0 с '' 4 4ctg, если A 0 π π, ' 0 4 4

57 Вариант 6 Часть А а Найти общее решение 5Найти частное решение дифференциального уравнения -го дифференциального уравнения порядка с разделяющимися переменными: d d 0 ; b Найти решение задачи Коши: допускающее понижение порядка: '' ' 0, 6Найти решение задачи Коши: ' '' si, ''0, '0 0, 0 0 7Найти общее решение однородного ' 0, если 0 дифференциального уравнения 4-го Найти общее решение порядка: однородного дифференциального 4 4''' 7'' 4' 8 0 уравнения -го порядка: 8Найти общее решение неоднородного ' дифференциального уравнения -го Найти общее решение линейного порядка: '' 4' 8 si дифференциального уравнения -го 9Решить систему дифференциальных порядка: ' уравнений: 4Найти общее решение ' 4 дифференциального уравнения в полных дифференциалах: ' 9 d 4 6 d 0 Часть В Решить уравнения: 4 d d 0 5 '' 5 8ctg d d d 6 '' 4' si 0,5 '' ' 4,5 4,5 6, 7 cost sit 0, 0' 4 l d d 0 ' 9 ''' ' ' 0 8 t t ' Часть С Найти линию, проходящую через точку М 0,, если отрезок любой ее касательной, заключенный между осями координат, делится в точке касания в отношении :считая от оси Оу Решить уравнения: Решить систему, записанную в d векторной форме: ' A, где а d 0 вектор, A данная матрица в ' ' 6 si 6 A 0 0 с ' ' ', если 0 8l, '0 4l


И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ФИЛИАЛ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Методические указания для выполнения семестровой работы по теме «Дифференциальные уравнения»

Методические указания для выполнения семестровой работы по теме «Дифференциальные уравнения» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Содержание Конев В.В. 1. Рабочая программа (выписка) 2 2. Введение 3 3. Основные понятия 3 3.1. Начальные условия 5 3.2. Составление дифференциальных

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И CВЯЗИ Кафедра высшей математики ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДУ допускающие понижение ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДУ линейные неоднородные (ДУЛН) ДУ линейные однородные

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ЕАКОГАН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие по дисциплине математика для студентов обучающихся по специальности Автомобиле-и тракторостроение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Методическая разработка Составитель: проф АН Саламатин На основе: АФ Филиппов Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск НИЦ "Регулярная

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный машиностроительный

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2 МГАПИ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Задание на домашнюю контрольную работу Раздел «Дифференциальные уравнения» Вариант 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения ' = + 4 + Решение Разделяем переменные:

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Часть 1. Основные понятия. 1.1. Введение 2 1.2. Начальные условия 4 1.3. Составление дифференциальных уравнений 5 1.4.

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Стр. 1 из 17 26.10.2012 11:39 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 010300.62 Математика. Компьютерные науки Дисциплина: Дифференциальные уравнения Время выполнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

dz dx получим линейное уравнение, решая которое найдем z и подставив вместо z выражение y -n+1 получим общий интеграл уравнения Бернулли.

dz dx получим линейное уравнение, решая которое найдем z и подставив вместо z выражение y -n+1 получим общий интеграл уравнения Бернулли. Уравнение Бернулли Уравнение вида: n + P( x) y Q( x) y, (3126) называется уравнением Бернулли Решение этого уравнения при n 0 и n 1 (в противном случае получается линейное уравнение) находится следующим

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее