БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики"

Транскрипт

1 БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики МИНСК 008

2 УДК 57.5(07) ББК.6р.я73 Ф94 Авторы: О. А. Кастрица, С. А. Мазаник, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович Рекомендовано Ученым советом факультета прикладной математики и информатики 3 сентября 008 г., протокол Рецензент кандидат физико-математических наук С. Г. Красовский Ф94 Функциональные ряды и последовательности: учеб.-метод. пособие для студентов фак. прикладной математики и информатики / О. А. Кастрица, С. А. Мазаник, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович. Минск: БГУ, с. Пособие содержит необходимые теоретические сведения и основные приемы исследования равномерной сходимости функциональных рядов и последовательностей, а также функциональных свойств суммы ряда и предельной функции последовательности. Изложение материала иллюстрируется подробно разобранными примерами. В пособие включены задания для лабораторных работ и упражнения для самостоятельного решения, снабженные указаниями и ответами. Пособие предназначено для студентов факультета прикладной математики и информатики; оно также будет полезным для всех студентов, изучающих математический анализ в объеме университетского курса. УДК 57.5(07) ББК.6р.я73 Кастрица О. А., Мазаник С. А., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф., 008 БГУ, 008

3 . Поточечная сходимость функциональных последовательностей и рядов Функциональная последовательность (f (x)), f : E R, N, E R, (.) называется сходящейся в точке x 0 E, если сходится числовая последовательность (f (x 0 )). Множество X E всех точек, в которых последовательность (.) сходится, называется множеством поточечной сходимости (.) (коротко множество сходимости). В силу единственности предела для каждого значения x из X определено единственное значение lim f (x), и тем самым на множестве X определена функция f : X R, f(x) = lim f (x), которую будем называть предельной функцией или пределом последовательности (.). Таким образом, D(f) = X, т. е. множество задания предельной функции есть множество (поточечной) сходимости функциональной последовательности. Другими словами, сходимость функциональной последовательности (.) на множестве X означает, что x X ε > 0 ν(x, ε) ν(x, ε) = f (x) f(x) ε. Будем также говорить, что функциональная последовательность (f (x)) сходится на X к f(x) при, и записывать это в виде f (x) X f(x), или в виде f (x) f(x). X Мы также будем использовать запись f (x) X для обозначения того факта, что последовательность (.) сходится на X, но предельная функция нам не известна (или не интересует нас). Функциональный ряд u k (x), u k : E R, k N, E R, (.) называется сходящимся в точке x 0 E, если сходится числовой ряд u k (x 0 ). Множеством поточечной сходимости функционального ряда (.) называется множество всех точек X E, в которых сходится 3

4 ряд (.). Сумма S(x) сходящегося функционального ряда есть предел функциональной последовательности его частных сумм (S (x)), S (x) = u k (x). Факт сходимости ряда (.) на множестве X будем записывать в виде u k (x) X S(x), или в виде u k (x), X если сумма ряда нам не известна (или не интересует нас). Если S(x) является суммой ряда (.) на множестве X, то используют запись S(x) = u k (x), x X. Поскольку при каждом фиксированном значении x 0 E функциональный ряд (.) является обычным числовым рядом u k (x 0 ), то для исследования его сходимости применимы все признаки сходимости числовых рядов. Пример.. Пусть f (x) = x, N. Найти предел последовательности (f (x)). Р е ш е н и е. Здесь E = R, { 0, если x ( ; ), lim f (x) = lim x =, если x =, при остальных же x E функциональная последовательность расходится. Таким образом, f(x) = { 0, если x ( ; ),, если x =, X = ( ; ]. Пример.. Найти множество X сходимости ряда (x + ). Р е ш е н и е. Все члены ряда определены на R \ { }. При фиксированном x применим признак Коши абсолютной сходимости ряда. Поскольку то при x + x + lim u (x) = lim = x + x +, <, т. е. при x (, 3) (, + ), ряд сходится абсолютно. При > ряд расходится, т. к. u (x) 0. При 4 x + =, т. е. при x = 3 и

5 x =, получаем, соответственно, числовые ряды ( ), сходящийся согласно признаку Лейбница, и расходящийся ряд. Итак, X = (, 3] (, + ).. Равномерная сходимость функциональных последовательностей Пусть f предельная функция функциональной последовательности (.) на множестве G, т.е. f(x) = lim f (x), x G E R. Функциональная последовательность (f (x)) называется равномерно сходящейся к предельной функции f на множестве X, X G, если ε > 0 ν(ε) ν(ε) x X = f (x) f(x) ε. Для обозначения факта равномерной сходимости функциональной последовательности на множестве X используют запись f (x) X f(x) при, или даже запись f (x) X (если, например, предельная функция неизвестна). Из равномерной сходимости последовательности (.) на множестве X вытекает ее поточечная сходимость на X. Обратное утверждение не верно. Отметим, что: ) если f (x) X, то f (x) X, X X; ) если f (x) X и f (x) X, то f (x) X X. Супремальный критерий равномерной сходимости функциональной последовательности: f (x) X f(x) ρ 0, где ρ = sup f (x) f(x). Следствие.. Если существует такая бесконечно малая последовательность (α ), что N x X f (x) f(x) = r (x) α, то функциональная последовательность (.) сходится равномерно на X. 5 X

6 Следствие.. Если ρ 0, то функциональная последовательность (.) сходится к f неравномерно на X. Следствие.3. (Метод "плохой точки".) Если для каждого натурального существует такое x X, что r ( x ) 0, где r (x) = f (x) f(x), то функциональная последовательность (.) сходится неравномерно на X. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности на X. Для равномерной сходимости последовательности (.) на X необходимо и достаточно выполнение равномерного условия Коши: ε > 0 ν(ε) ν(ε) p 0 x X = f +p (x) f (x) ε. Следствие.4. Если равномерное условие Коши не имеет места, т.е. ε 0 > 0 ν ν p 0 x X = f +p (x) f (x) > ε 0, то последовательность (.) не является равномерно сходящейся на множестве X. Заметим, что при использовании критерия Коши ничего не известно о функции f(x) (может быть ее вообще нет!). Поэтому использовать здесь выражение "сходится неравномерно" неуместно. Пример.. Исследовать на равномерную сходимость функциональную последовательность (f (x)), f (x) =, на множестве X = [ ; ]. + 3x Р е ш е н и е. Находим предельную функцию: f(x) = lim + 3x = x X. Рассмотрим r (x) = f (x) f(x): r (x) = + 3x = 3x ( + 3x ) 3 = 3 N x X. 4 Поскольку 3 0 при, то X на основании следствия.. + 3x Пример.. Исследовать на равномерную сходимость функциональную последовательность (f (x)), f (x) =, на множестве X = [ 0, + ). x + x3 x Р е ш е н и е. Предельная функция f(x) = lim = 0 x X. При + x 3 фиксированном имеем sup f (x) f(x) = sup x X [0,+ ) 6 x + x 3.

7 Пусть ϕ(x) = x + x. Поскольку 3 ϕ (x) = x x 4 ( + x 3 ), то x = 3 4 стационарная точка функции ϕ(x). Так как ϕ(x ) = 3 x то sup [0,+ ) + x = при x 3, ϕ(0) = 0, ϕ(+ ) = 0, 4 [ 0,+ ) Согласно супремальному критерию x Пример.3. Исследовать на равномерную сходимость функциональную последовательность (f (x)), f (x) = x +, на множестве ее сходимости. Р е ш е н и е. Находим предельную функцию: f(x) = lim x + = lim x + = x = x, x R. Так как при любом действительном x имеем f (x) f(x) = x + x = x + x = x + x x + + x и / 0 при, то x + R x согласно следствию.. Пример.4. Исследовать на равномерную сходимость функциональную последовательность (f (x)), f (x) = 3 + x l x, на множестве X = [, + ). ( Р е ш е н и е. Имеем f(x) = lim 3 + x l x ) = 3 при всех x X. Поэтому r (x) = f (x) f(x) = x l x. Поскольку для каждого натурального существует такое x = X, что r ( x ) = 4 l 0 то, согласно следствию.3, сходимость на множестве X неравномерная. 3. Равномерная сходимость функциональных рядов Пусть ряд u k (x) (3.) сходится (поточечно) на G R и S(x) = u k (x) сумма ряда. Ряд называется равномерно сходящимся на множестве X G, если 7

8 последовательность его частных сумм (S (x)) сходится равномерно на X, S (x) X S(x). Это означает, что ε > 0 ν ε ν ε x X = S (x) S(x) ε. При этом мы будем использовать обозначения: u k (x) X S(x) или u k (x) X. Если r (x) = k=+ u k (x) = S(x) S (x) -ый остаток ряда, то u k (x) X r (x) X 0. Сходящийся числовой ряд c k можно трактовать как равномерно сходящийся на R ряд из постоянных на R функций c k. Критерий Коши равномерной сходимости. Для равномерной сходимости на X функционального ряда (3.) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равномерное условие Коши: +p ε > 0 ν(ε) ν(ε) p 0 x X = u k (x) ε. Следствие 3.. (Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда.) Если ряд (3.) сходится равномерно на множестве X, то на этом множестве равномерно сходится к нулю последовательность членов ряда: u k (x) X = u k (x) X 0. k Следствие 3.. Если ε 0 > 0 ν ν p 0 x X = k= +p u k (x) > ε 0, то ряд (3.) не является равномерно сходящимся на множествеx. ( ) Пример 3.. Исследовать на равномерную сходимость ряд x k k xk на k + множестве X = [ ; ]. 8 k=

9 Р е ш е н и е. Найдем частные суммы ряда: S (x) = ( ) x k k xk = k + ( x ) ( ) ( ) x + x x x = x + +. ) Тогда сумма ряда S(x) = lim S (x) = lim ( x = x [ ; ]. + Исследуем последовательность (S (x)) на равномерную сходимость на промежутке [ ; ]. Поскольку ) S (x) S(x) = ( x + = x + + 0, то согласно следствию. S (x) [ ;] S(x), что, в свою очередь, означает равномерную ( ) сходимость ряда x k xk на множестве [ ; ]. k k + Пример 3.. Исследовать ряд =0 x! на равномерную сходимость на R. Р е ш е н и е. Последовательность u (x) =! 0 при всех x R. Но для каждого N существует x =! ("плохая точка") такое, что u ( x ) = 0. Значит, u (x) сходится к 0 неравномерно. На основании следствия 3. равномерной сходимости ряда на R нет. Пример 3.3. Исследовать ряд x x на равномерную сходимость на мно- + x жестве X = [0; ]. Р е ш е н и е. Используем следствие 3. критерия Коши. Рассмотрим +p и положим здесь p = и x =. Получим +p k= x = + k x p=,x=/ k= + k = ( + ) ( + ) + 4 Таким образом, ряд не является равномерно сходящимся на [0; ]. = k= x + k x = + 5 > 5. 9

10 4. Признаки равномерной сходимости функциональных рядов Признак Вейерштрасса (мажорантный). Если u k (x) c k для всех x X и всех k N, и числовой ряд c k сходится, то ряд u k (x) сходится равномерно (и абсолютно) на множестве X. Ряд c k называется в этом случае числовой мажорантой для ряда (3.) на X. Отсутствие сходящейся мажоранты еще не означает, что на X нет равномерной сходимости. Если u k (x) v k (x) для всех x X и v k (x) X, то u k (x) X. Признак Абеля. Если: ) b k (x) X, ) функциональная последовательность (a (x)) ограничена в совокупности, т. е. существует такое постоянное число A, что a k (x) A при всех k N и всех x X, 3) последовательность (a k (x)) монотонна при каждом фиксированном x X, то a k (x)b k (x) X. Замечание. В роли ряда числовой ряд. b k может выступать и сходящийся Признак Дирихле. Если: ) суммы b k (x) ограничены в совокупности, т. е. существует такое постоянное число M, что b k (x) M при всех N и всех x X, ) последовательность (a k (x)) монотонна при каждом фиксированном x X, 0

11 3) a k (x) X 0, то a k (x)b k (x) X. Как следствие признака Дирихле имеем Признак Лейбница. Если: ) a k (x) > 0 при всех k N и всех x X, ) последовательность (a k (x)) монотонна при каждом фиксированном x X, то 3) a k (x) X 0, ( ) k a k (x) X. Пример 4.. Исследовать на равномерную сходимость ряд Р е ш е н и е. Так как ) arctg x + x ) числовой ряд π при всех N и всех x R, arctg x на R. + x π сходится, то исследуемый ряд сходится равномерно на R на основании признака Вейерштрасса. Пример 4.. Исследовать на равномерную сходимость ряд x на множестве R. + 4 x Р е ш е н и е. Опять применим признак Вейерштрасса. Для оценки -го члена ряда воспользуемся известным неравенством a b. Получим a + b x + 4 x = x ( + 4 x ) N x R. Ряд является сходящейся числовой мажорантой для исходного ряда, следовательно,. x R + 4 x Пример 4.3. Исследовать на равномерную сходимость ряд множестве R. Р е ш е н и е. Попробуем построить числовую мажоранту для этого ряда: u (x) e 6 x si x [ ] si α α x e 6 x. e 6 x si x на

12 При фиксированном рассмотрим функцию ϕ(x) = x e 6 x и найдем ее супремум на R. Поскольку функция ϕ четная, то достаточно провести исследование для x 0. Тогда ϕ(x) = xe 6 x, ϕ (x) = (e 6 x 6 x e 6 x ) = e 6 x ( 6 x ). Стационарная точка x = 3 то sup ϕ(x) = R e Числовая мажоранта [0; + ). Так как ϕ(x ) = e, ϕ(0) = 0, ϕ(+ ) = 0, и, значит, u (x) e / e / сходимость рассматриваемого функционального ряда. при всех x R и всех N. сходится, что гарантирует равномерную на R Пример 4.4. Исследовать на равномерную сходимость ряд X = [π/3, 3π/]. Р е ш е н и е. Воспользуемся признаком Дирихле, приняв Имеем: ) суммы b k (x) = si kx, a k (x) = k + l k. si kx ограничены в совокупности на основании оценки si kx si x si π = x [π/3, 3π/] N; 6 ( ) ) последовательность (a ) = монотонна, поскольку + l si kx на отрезке k + l k a = + l > + + l( + ) = a +; ( ) 3) последовательность стремится к нулю при, а так как она не + l X 0. + l Условия признака Дирихле выполнены, и поэтому зависит от x, то si kx k + l k Пример 4.5. Исследовать на равномерную сходимость ряд ( ) на R. + si 3x Р е ш е н и е. Применим признак Лейбница равномерной сходимости: X.

13 ) > 0 при всех N и всех x R, + si 3x ( ) ) последовательность при каждом фиксированном x R монотонна, 3) поскольку + si 3x + si 3x 0, то R 0. + si 3x ( ) Условия признака Лейбница выполнены, следовательно, R. + si 3x Пример 4.6. Исследовать на равномерную сходимость ряд ( ) arctg + x x на множестве X = [, + ). Р е ш е н и е. Воспользуемся признаком Абеля: ) ряд ( ) X согласно признаку Лейбница, так как последовательность монотонна при каждом фиксированном x X, и из неравенства + x + x ( ) следует, что + x + x X 0. ) последовательность (arctg x ) ограничена в совокупности: arctg x π при всех N и всех x [, + ); 3) числовая последовательность (arctg x ) монотонна при каждом фиксированном x [, + ). Заключаем, что по признаку Абеля ( ) [,+ ) arctg x. + x Пример 4.7. Рассмотрим ряды При каждом фиксированном x X имеем ряд x (x + ) x (x + ) и X согласно признаку Вейерштрасса, так как x (x + ) = x на множестве X = [, + ). 3 x (x + ) x при. При этом 3 [ ] x ab (x + ) a + b, и ряд сходится. В то же время, ряд x сходится на X неравномерно, так 3 как для него не выполнено необходимое условие равномерной сходимости: x [ ] = x 3 = 3 = 0, откуда x 3 X 0. Пример 4.7 показывает, что нельзя использовать замену функции на эквивалентную ей функцию при исследовании равномерной сходимости. 3

14 5. Функциональные свойства рядов и последовательностей Теорема Стокса-Зейделя. Если члены u k функционального ряда u k (x) непрерывны на множестве X и ряд сходится равномерно на X, то сумма ряда S(x) = u k (x) является функцией непрерывной на X. Теорема Стокса-Зейделя для функциональной последовательности. Если члены функциональной последовательности (f (x)) непрерывны на множестве X и функциональная последовательность сходится равномерно на X, то предельная функция f(x) = lim f (x) является функцией непрерывной на X. Теорема о почленном переходе к пределу под знаком суммы. Пусть x 0 предельная точка множества X. Если: ) для любого натурального существует конечный предел lim u (x) = b R; x x 0 ) ряд u k (x) сходится равномерно на X, u k (x) X S(x), то: 0 ) ряд b k сходится; 0 ) существует конечный предел lim x x0 S(x) R; 3 0 ) lim S(x) = b k, т. е. допустим почленный переход к пределу под знаком суммы: lim u k (x) = lim u k (x). x x0 x x0 x x 0 Теорема о почленном переходе к пределу для функциональной последовательности. Пусть x 0 предельная точка множества X сходимости функциональной последовательности (f (x)). Если: ) для любого натурального существует конечный предел lim x x 0 f (x) R; 4

15 ) функциональная последовательность сходится равномерно на X, f (x) X f(x), то существует конечный предел lim f(x) = lim lim f (x) = lim lim f (x), x x 0 x x0 x x0 т. е. допустима перестановка предельных переходов. Теорема о почленном интегрировании ряда. Если: ) при всех натуральных k функции u k интегрируемы по Риману на отрезке [a, b]; ) u k (x) [a,b], то b a ( ) u k (x) dx = b a u k (x)dx, т. е. на отрезке [a, b] допустимо почленное интегрирование ряда. Теорема о почленном интегрировании функциональной последовательности. Если: ) при всех натуральных функции f интегрируемы по Риману на отрезке [a, b]; ) f (x) [a,b], то ( ) b a lim f (x) dx = lim b a f (x)dx, т. е. допустим предельный переход под знаком интеграла. Заметим, что почленное интегрирование ряда или переход к пределу под знаком интеграла в ряде случаев возможны и при отсутствии равномерной сходимости на [a, b]. Теорема о почленном дифференцировании ряда. Если: ) при всех натуральных k функции u k непрерывно дифференцируемы на X, u k C (X); ) u k (x) X ; 5

16 3) u k (x) X, то функция S(x) = u k (x) дифференцируема на X и ее производную S (x) можно вычислить путем почленного дифференцирования функционального ряда, т. е. ( u k (x)) = u k(x). Теорема о почленном дифференцировании функциональной последовательности. Если: ) для любого натурального функции f C (X), ) f (x) X, 3) f (x), X то предельная функция f(x) = lim f (x) дифференцируема на X и f (x) = lim f (x). Локальная равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов. Функциональная последовательность (f (x)) называется локально равномерно сходящейся на множестве X, если для любого x 0 X существует окрестность U(x 0 ) точки x 0 такая, что f (x) U(x 0) X, или, что равносильно, f (x) [a,b] для любого отрезка [a, b] X. Функциональный ряд u k (x) называется локально равномерно сходящимся на множестве X, если для любого x 0 X существует окрестность U(x 0 ) точки x 0 такая, что u k (x) U(x 0) X, или, что равносильно, u k (x) [a,b] для любого отрезка [a, b] X. Замечание. Теоремы Стокса-Зейделя, теоремы о почленном дифференцировании остаются справедливыми, если в них условия равномерной сходимости заменить более слабым условием локальной равномерной сходимости. 6

17 Пример 5.. Исследовать на равномерную сходимость последовательность (f ), x f (x) =, на множестве X = [0; ]. + x Р е ш е н и е. Найдем предельную функцию: f(x) = lim x + x = 0, если x [0; ), 0, 5, если x =,, если x (, ]. Поскольку члены последовательности непрерывны на множестве X, а предельная функция разрывна, то сходимость на X неравномерная (следует из теоремы Стокса- Зейделя). Пример 5.. Исследовать на равномерную сходимость ряд x на мно- ( + x ) жестве его сходимости. Р е ш е н и е. При x = 0 ряд сходится, как ряд из нулей. При x 0 имеем сумму геометрической прогрессии со знаменателем q = <. Поэтому S(x) = + x x +x = =, если x 0,. Итак, S(x) = x Поскольку члены ряда непрерывны x +x 0, если x = 0. на R, а его сумма разрывна, то ряд сходится на R неравномерно. ( Пример 5.3. Исследовать ряд x + ) на равномерную сходимость на множестве X = (0, ). Р е ш е н и е. Поточечная сходимость ряда на указанном множестве следует из признака Коши (x + ) x. Точка x = является предельной точкой множества ( X = (0, ). Имеем b = lim x + ( = + x 0 ) ) ( ; так как + ) 0, то ряд ( + ) ( расходится. Поэтому ряд x + на множестве (0; ) сходится ) неравномерно (см. теорему о почленном предельном переходе). Пример 5.4. Исследовать на непрерывность функцию (x + ) ( + cos x) f(x) = 3 + x 4 на множестве ее задания. Р е ш е н и е. Поскольку u (x) = (x + ) ( + cos x) 3 + x 4 3 x + 3/, то ряд заведомо сходится при x +, т. е. на отрезке [ 3; ]. При остальных x ряд расходится, так как u (x) 0. Следовательно, D(f) = [ 3; ]. Ряд 3 3/ 7

18 является сходящейся числовой мажорантой для заданного ряда и обеспечивает его равномерную сходимость на [ 3; ]. Так как члены функционального ряда непрерывны на [ 3; ], то его сумма f(x) непрерывна на D(f) (см. теорему Стокса- Зейделя). Пример 5.5. Исследовать на непрерывность функцию f(x) = множестве ее задания. Р е ш е н и е. Представим f(x) в виде суммы рядов f(x) = x x + + ( ) x +, x + ( ) x + каждый из которых очевидно сходится на R. Для первого ряда x +, что гарантирует равномерную сходимость этого ряда на R, а также непрерывность функции f (x) = на R в силу теоремы Стокса-Зейделя. Второй ряд также x + сходится равномерно на R согласно признаку Лейбница, и его сумма f (x) непрерывна на R. Поэтому функция f(x) = x f (x) + f (x) непрерывна на R. Пример 5.6. На отрезке [0; ] исследовать на непрерывность функцию Р е ш е н и е. Так как f(x) = (xe x ( )xe ( )x ). S (x) = (xe x 0) + (x e x xe x ) (xe x ( )xe ( )x ) = xe x, то f(x) = lim S (x) = 0 при x [0; ]. Следовательно, рассматриваемая сумма ряда является непрерывной функцией на отрезке [0; ]. Вместе с тем ряд на [0; ] сходится неравномерно. Действительно, S (x) f(x) = xe x x= x = [ x = ] [0; ] = e 0 при. Согласно следствию.3 последовательность (S (x)), а, значит, и ряд, сходятся неравномерно на [0; ]. Это пример показывает, что теорема Стокса-Зейделя дает лишь достаточные условия непрерывности суммы ряда. 3x + Пример 5.7. Найти предел lim x 0 + x. Р е ш е н и е. Рассмотрим ряд на множестве X = [ ; ]. Поскольку 3x + + x 4 при всех N и всех x X, то ряд сходится равномерно 8 на

19 на [ ; ] по признаку Вейерштрасса. На основании теоремы о почленном переходе к пределу имеем: lim x 0 3x + + x = lim x 0 3x + + x = =. x > 0. Пример 5.8. Исследовать дифференцируемость функции f(x) = Р е ш е н и е. Представим сумму ряда в виде f(x) = x функцию g(x) = Ряд ( ) + x ( ) + x. ( ) x + x при ( ) + x и исследуем сходится при каждом фиксированном x (0, + ) согласно признаку Лейбница. Функции u (x) = ( ) + x и u (x) = ( ) непрерывны на (0; ) ( + x) при каждом N. Ряд u (x) = ( ) сходится равномерно на (0; + ) согласно признаку ( + x) Вейерштрасса, так как ( ) ( + x) и ряд сходится. По теореме о почленном дифференцировании функция g(x) дифференцируема на (0; + ), а, значит, дифференцируема на (0; + ) и функция f(x) = xg(x). π si x Пример 5.9. Вычислить 0 ( + ). Р е ш е н и е. Члены ряда непрерывные на [0; π] функции, ряд сходится на [0; π] f(x)dx, где f(x) = равномерно (признак Вейерштрасса), поэтому допустимо почленное интегрирование π ряда. Учитывая, что si xdx = π ( cos x)dx = π, получаем π 0 f(x)dx = π 0 0 ( 0 si ) x dx = ( + ) = π π 0 ( ) + si x ( + ) dx = π ( + ) = = π. Пример 5.0. Исследовать возможность перехода к пределу под знаком интеграла x для 0 x + dx. 9

20 = 0, x [0; ]. Непосред- x Р е ш е н и е. Предельная функция f(x) = lim x + ственной проверкой убеждаемся 0 f (x)dx = 0 xdx x + = d( x + ) x + 0 l( + ) поэтому lim f (x) = lim 0 С другой стороны, Таким образом, lim 0 lim f (x)dx = 0 f (x)dx = = dx = 0. ( lim f (x) = l( x + ) 0 = l( + ), ) dx, т. е. переход к пределу под знаком интеграла возможен. Заметим, однако, что последовательность (f (x)) сходится на [0; ] к f(x) неравномерно, так как f (x) f(x) = x x + = [ x = ] [0; ] = x= x 0. Пример 5.. Исследовать на равномерную и локальную равномерную сходимость последовательность (f ), f (x) = x, на множестве X = (0; ). + x x Р е ш е н и е. Находим предельную функцию f(x) = lim f (x) = lim + x = 0. Поскольку sup x (0;) ( x + x = sup ) x (0;) + x = 0, то последовательность не является равномерно сходящейся на X. Исследуем ее теперь на локальную равномерную сходимость. Пусть [α; β] произвольный отрезок, [α; β] (0; ). Тогда sup x [α;β] x + x = sup x [α;β] ( + x ) = + β 0. Следовательно, f (x) [α;β], что и означает локальную равномерную сходимость последовательности (f (x)) на (0; ). Пример 5.. Исследовать на непрерывность функцию f(x) = k si 3 k x на множестве ее задания. Р е ш е н и е. При x = 0 члены ряда не определены. Если же x 0, то k si 3 k x ( ) k ( ) 3 x при k. Ряд k сходится, поэтому f определена на R \ {0}. 3 x 0

21 Исследуем f на непрерывность. Для любого отрезка [α, β] (0, + ) справедлива оценка k si 3 k x ( ) k k 3 k x 3 α k N. ( ) Ряд k 3 α сходится, поэтому ряд k si сходится на [α, β] равномерно, 3 k x что означает его локальную равномерную сходимость на (0, + ). Так как члены ряда непрерывны на (0, + ), то f непрерывна на (0, + ) (см. замечание на c. 6). Функция f является нечетной, а поэтому она непрерывна и на интервале (, 0). Таким образом, функция f непрерывна на множестве задания, т. е. на R \ {0}. Заметим, однако, что ряд k si сходится неравномерно на (0, + ), так как 3 k x u (x) = [ x = 3 ] x= x = si +, (0,+ ) т. е. u (x) 0. Поэтому применить теорему Стокса-Зейделя в основной формулировке (см. с. 4) на (0, + ) невозможно. Пример 5.3. Доказать, что функция f(x) = ( ) дифференцируема на = l + x множестве ее задания. Р е ш е н и е. При каждом фиксированном x R ряд сходится согласно признаку Лейбница, следовательно, функция определена на R. При каждом фиксированном > функции u (x) = ( ) l + x и u (x) = ( ) x ( l + x ) непрерывны на R. Ряд ( ) x сходится равномерно на любом отрезке [α, β] R согласно = ( l + x ) признаку Вейерштрасса, так как ( ) x l + x ) max{ α, β } l = max{ α, β } l, = а ряд = l сходится согласно интегральному признаку. Следовательно, ряд u (x) сходится локально равномерно на R. Таким образом, функция f дифференцируема на R и ее производная может быть вычислена путем почленного дифференцирования исходного ряда, т. е. f (x) = ( ) x ( l + x ). =

22 6. Некоторые рекомендации при исследовании функционального ряда на равномерную сходимость 0. Удостовериться, что ряд u k (x) действительно сходится на X. 0. Попытаться использовать признак Вейерштрасса: а) если нетрудно установить оценку u k (x) b k x N x X, и ряд b k сходится, то u k (x) X ; б) вычислить sup u k (x) = a k (можно использовать методы поиска x X глобального максимума (супремума) методами дифференциального исчисления). Если a k сходится, то u k (x) X. Если же окажется, что ряд a k расходится, то придется продолжить исследование другими методами Возможно, для любого N существует такое x X, что X u ( x ) 0 при. Тогда u (x) 0, что, в свою очередь, влечет неравномерную на X сходимость ряда. Если же u (x) X 0, то исследование ряда на равномерную сходимость следует продолжить Если частные суммы S (x) ряда u k (x) легко преобразуются, и возможно найти сумму ряда S(x) = lim S (x), то можно исследовать на равномерную сходимость функциональную последовательность (S (x)) методами раздела. Если S (x) X S(x), то ряд сходится на X равномерно, если же S (x) X, то и ряд сходится на X неравномерно Если удается оценить остатки ряда r (x) : r (x) α N x X, α не зависит от x и lim α = 0, то ряд сходится равномерно на X Если исследуемый ряд имеет вид ( ) k v k (x), где v k (x) > 0 при всех k N и всех x X, то можно попытаться воспользоваться

23 признаком Лейбница Представить ряд в виде a k (x)b k (x) и попытаться проверить выполнение условий признака Абеля либо признака Дирихле Если функции u (x) непрерывны на X, а сумма ряда функция разрывная на X, то ряд сходится неравномерно на X Если x 0 предельная точка множества X и существует конечный предел lim u (x) = b, а ряд b расходится, то ряд u (x) x x0 сходится неравномерно на R Использовать критерий Коши равномерной сходимости. Если на X выполнено равномерное условие Коши, то ряд сходится равномерно на X, если же имеет место его отрицание, то сходимость неравномерная на X. 3

24 7. Вариант контрольной работы Основные задачи. Исследовать на равномерную сходимость функциональную последовательность (f ), f (x) = ( x + ) x, на множестве E = (0; + ). ( Р е ш е н и е. Предельная функция f(x) = lim x + ) x = = lim x + + = 0. Рассмотрим f (x) f(x) = ( x + x ) x. ( Поскольку lim x + x +0 ) x =, то sup f (x) f(x) и, следовательно, sup f (x) f(x) 0. Поэтому сходимость на множестве (0; + ) x (0;+ ) x (0;+ ) неравномерная.. Исследовать на равномерную сходимость последовательность (f ), f (x) = 4 + 3x, на множестве E = [0; ]. + 3x + 4 Р е ш е н и е. Предельная функция f(x) = lim f (x) f(x) = 4 + 3x + 3x x 4 + 3x + 3x + 4 = 3 x. Имеем 4 = 6 3x 9x 4( + 3x + 4) 6 4( + 4) 0. На основании следствия. последовательность (f ) сходится равномерно к f на отрезке [0; ]. 3. Исследовать на равномерную сходимость ряд на множестве E = [ ; + ). (x + ) + 3 (x + ) (x + ) (x + ) Р е ш е н и е. u (x) = = для всех x и + 3 (x + ) 3 (x + ) 3 всех N. При x = справедливость такой оценки проверяется непосредственно: 0. Следовательно, u (x) для всех N и всех x E. Поскольку ряд 3 3 сходится, то по признаку Вейерштрасса (x + ) [ ;+ ). 3 + (x + ) 3 4

25 4. Исследовать ряд x + 3x + si на равномерную сходимость на множестве E = [; 4x + + ). Р е ш е н и е. Ряд сходится на множестве [; + ) по теореме сравнения: u (x) = x + 3x + si 4x + x +, а ряд x + сходится при любом фиксированном x. Поскольку u (x) = [ x = ] = + x= x 3 + si si 4 0, то на основании следствия.3 u (x) [;+ ) 0. Не выполнено необходимое условие равномерной сходимости ряда, следовательно, ряд сходится неравномерно на [; + ). 5. Исследовать на непрерывность функцию f(x) = множестве ее задания. x cos x + 4 x 6 на Р е ш е н и е. Легко видеть, что ряд сходится при любом фиксированном значении x x R. Поэтому D(f) = R. Рассмотрим функцию ϕ(x) = + 4 x, x R: 6 ϕ (x) = x 44 x 7 ( + 4 x 6 ), ϕ (x) = 0 = x = ± 6 4. Поскольку ϕ(0) = 0, ϕ(± ) = 0, то ( ) u (x) = x cos x + 4 x 6 ϕ 6 = x R. 4/3 Так как 4/3 сходится, то заданный ряд по признаку Вейерштрасса сходится абсолютно и равномерно на R. Поскольку члены ряда непрерывны на R, то f(x) непрерывна на R в силу теоремы Стокса-Зейделя. 6. Исследовать на дифференцируемость функцию f(x) = на множестве ее задания. Р е ш е н и е. Для исследования сходимости ряда применим признак Коши: lim u (x) = lim e x = 0, если x > 0,, если x = 0, если x < 0. e x Следовательно, при x > 0 ряд сходится, при x 0 расходится. Таким образом, множество задания функции f это интервал (0; + ). На любом отрезке [α; β] (0; + ) имеем u (x) = e x e α при всех x [α, β] 5

26 и всех N. Числовой ряд e α сходится по признаку Коши, поэтому, ряд u [α,β] k (x), т. е. сходится локально равномерно на (0; + ). Следовательно, функция f дифференцируема на (0; + ). Дополнительные задачи. Исследовать на равномерную сходимость последовательность (f ), f (x) = x arctg 3 x, на множестве E = [0; + ). Р е ш е н и е. Предельная функция f(x) = Имеем lim f (x) = lim x arctg 3 x = πx. ( ) r (x) = f (x) f(x) = π x x arctg 3 x π = x arctg 3 x = = [воспользуемся равенством π arctg x = arctg x ], x > 0 = = x arctg 3 x [arctg x x] 3. Для x = 0 справедливость этой оценки проверяется непосредственно. Таким образом, r (x) для всех N и всех x [0; + ). Поскольку 0 при, 3 3 то по следствию. сходимость рассматриваемой последовательности равномерная, т. е. x arctg 3 x [0,+ ) πx. ( ) (+). Исследовать ряд на равномерную сходимость на множестве E = [0; + ). + x l( + x ) Р е ш е н и е. Воспользуемся признаком Дирихле, положив Имеем a (x) = b k (x) = + x l( + x ), ( ) k(k+) b (x) = ( ) (+). N, x [0; + ). Последовательность (a (x)) монотонна при каждом фиксированном x 0. Кроме того для всех x 0 и всех натуральных a (x) = x x ( + x )( + x l( + x 3 )) = (x ) + ( + x )( + x l( + x )) 0. Значит, при каждом фиксированном функция a (x) убывает на промежутке [0, + ), и поэтому sup a (x) = a (0) = x [0;+ ) 6 l 0,

27 что в силу следствия. означает равномерную сходимость последовательности E (a (x)) к нулю, a (x) 0. На основании признака Дирихле ряд сходится равномерно на множестве E. ( 3. Исследовать на равномерную сходимость ряд x e x ) 3 на + x 3 множестве E = [0; + ). Р е ш е н и е. Попробуем применить признак Вейерштрасса. Имеем [ x e x + x 3 ab a + b, x x + x = 3 ] x 3 x xe x + x 3. Рассмотрим функцию ϕ(x) = xe x : ϕ (x) = x e x xe x = 0 = x =. ( ) Так как ϕ(0) = 0, ϕ =, ϕ(+ ) = 0, то ϕ(x) для всех x E. Поэтому e e x e x + x 3 для всех N и всех x E, и, следовательно, e Поскольку ряд ( ) 3 ( ) 3 u (x) = e e. 3/ сходится, то по признаку Вейерштрасса исходный ряд сходит- 3/ ся равномерно на E. 4. Найти все значения α, при которых последовательность (f ), f (x) = α xe x, сходится равномерно на множестве E = [0; + ). Р е ш е н и е. Предельная функция f(x) = lim α xe x = 0 α R, x E. Рассмотрим функцию ϕ (x) = f (x) f(x) = α xe x. Найдем супремум этой функции на E : ϕ (x) = α e x ( x ), поэтому x = стационарная точка. ( ) Так как ϕ (0) = 0, ϕ (+ ) = 0, ϕ sup ϕ (x) = x E f (x) = α e = x / α. Поэтому, если α > 0, т. е. α < E f(x) в силу супремального критерия. Если же α 0, т. е. α, то sup x E e / α α, то, то sup ϕ (x) 0 и x E ϕ (x) 0 и, следовательно, f (x) 7 E f(x).

28 5. Исследовать на непрерывность функцию f(x) = ( + x )( + 4x )... ( + x ) на множестве ее задания. Р е ш е н и е. Если x 0, то u (x) = ( + x )( + 4x )(... ( + x ) ( + x ), и так как lim ( + x ) = <, то на основании признака Коши и + x признака сравнения ряд сходится. Поскольку u (0) = 0, то при x = 0 ряд расходится. Таким образом, функция f(x) определена на R \ {0}. Исследуем непрерывность функции на интервале (0; + ). На этом множестве члены ряда u (x) непрерывны. Для любого отрезка [α; β] (0; + ) справедлива оценка u (x) ( + x ) x [α, β], N, ( + α ) и ряд ( + α ) сходится (по признаку Коши). Значит ряд u (x) сходится на (0; + ) локально равномерно и, следовательно, f(x) непрерывна на (0; + ) в силу замечания на с. 6. Поскольку функция f четная, то f непрерывна и на R \ {0}, т. е. на всем множестве своего задания. 6. На интервале (0; ) исследовать на дифференцируемость функцию ( ) f(x) = l( + x) ( ) Р е ш е н и е. Имеем u (x) = l( + x). ) ряд u (x) сходится при каждом x из интервала (0; ) по признаку Лейбница; ) функции u (x) и u ( ) (x) = непрерывны на (0; ); ( l( + x)) ( + x) 3) u (x) = ( l( + x)) ( + x) ( l( + )). Ряд ( l( + )) сходится, так как ( l( + )) 4, и ряд сходится. Поэтому u (x) (0;). Таким образом, выполнены все условия теоремы о почленном дифференцировании ряда, и, следовательно, функция f дифференцируема на интервале (0; ). 8

29 8. Упражнения I. Найти предельные функции последовательностей (f (x)).. f (x) = x x.. f (x) = (x ) arctg x. 3. f (x) = l( + x ), x f (x) = + e (x+). 5. f (x) = ( + x). 6. f (x) = x arctg x. 7. f (x) = x +, x x 8. f (x) = x + ex + xe x. ( ) x 9. f (x) = + x +. II. Найти множества, на которых определены функции, являющиеся суммами рядов ( ) 3 ( x x + ).. x + x. 4. x ( + e x ) (x 4x + 6). x 3 x ( ) + x. x 7. ( ) x+ x. x 9. ( ) + (3x + 4x + ) x.. ( + 5 ) e ( ) + x.. e. si x l (x + ). (x) arctg x +. 3 tg x (x 3 ) si x. 6. l (x + ) x e. (3x) tg x 3. 9

30 III. Исследовать последовательности (f (x)) на равномерную сходимость на указанных множествах E.. f (x) = x + 4, E = [; 5].. f (x) = x x +, E = R. 3. f (x) = e x + x + x, E = (0; + ). 4. f (x) = x x + x + 5. f (x) = xe x, E = [0; ]. 6. f (x) = 7. f (x) = x ( + l x ), E = [; + ). 8. f (x) = 9. f (x) =, E = [0; + ). 6x + l, E = R. 4x, E = [; + ). + 4 x e x +, E = [0; + ). 0. f (x) = x + x, E = [0; ].. f (x) = x x 3, E = [0; ].. f (x) = 3. f (x) = 4x, E = [0; 0, 5]. + 4x + arctg x + x +, E = (0; ). 4. f (x) = 7x, E = [0; 3]. + 3 x3 5. f (x) = x + + x, E = [0; 00]. 6. f (x) = e x + 4, E = [0; + ). + x + 7. f (x) = 4x + x, E = (0; 4]. 8. f (x) = x, E = ( ; ). 9. f (x) = x x, E = (; + ). 0. f (x) = x, E = [0; ]. 4 + x. f (x) = si x + 4, E = R.. f (x) = si x, E = [0; + ). + x + 3. f (x) = x + + x, E = [0; ]. 4. f x + (x) = x +, E = [0; 4]. + x + 5. f (x) = 4x 4 + x, E = [0; ]. 6. f (x) = 4x, E = [0; 0, 5). + x 7. f (x) = ( + x) (x + 3), E = ( ; 0). 8. f (x) =, E = ( 4; ). 9. f (x) = si x +, E = R. 30. f (x) = cos( + )x, E = R f (x) = cos x, E = R. 3. f (x) = arctg x + e, E = [0; + ). si x 33. f (x) = l, E = R. 34. f (x) = 3 arctg x x, E = [0; + ). 35. f (x) = arctg( + x ) + si x, E = R. 36. f (x) = e (x+), E = R. 37. f (x) = cos x, E = (π/3; π/3). 38. f (x) = 4x + 3, E = R. 39. f (x) = si( + x) + cos( + x ) + x + + x, E = R. 30

31 IV. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость рядов на множествах E ( ) si x + +, E = R x + x, E = [0; + ). 4. x + x x x + 4, E = [; 8]. 6. cos( x + x 3 ) 3 + x 4, E = R. 8. si 3 ( + x) + cos( x) x 6, E=R. 0. x + x, E = [0; + ).. 3 x + 8 x, E = [0; + ) x + 3 x, E = R x + 4 x, E = [0; + ) x 7 + x, E = R (. l + x3 + x + 3 ( 3. l + x + 3 x ( l + x x + 3 ), E = [0; e].. ), E = [; 0]. 4. ), E = R. 6. arctg(x 6 e x ), E = R. 8. l( + x 8 e x ), E = R. 30. si π e x, E = [0; + ). 3 cos x e x + e, E = R. 3 + ( ) arctg(x + x ) + 4, E = R. + x x 3, E = [; + ). 3 x + x3 si x + cos x 3 + x, E = R. si x cos x 4 + x + x 4, E = R. x + 4 x 4, E = R. 3 x x 4, E = R. x, E = [0; + ). + 7 x3 x, E = [0; + ). + 3 x5 x + 4 x 6, E = R. x si, E = [0; 4]. + 4 x + 3 arctg + x, E = R. x si x 4 +, E = R. 3 si(x 0 3 e x ), E = R. arctg(x 7 e x ), E = R.

32 V. Пользуясь признаками Абеля и Дирихле, доказать равномерную сходимость рядов на множествах E ( ) e x l, E = [0; + ).. ( ) ( + 3) e x, E = [0; + ). + 8 ( ) e x, E = [0; + ). 4. ( ) + 30 e x, E = [0; + ). = ( ) e x +, E = [0; + ) ( ) + 4 e x, E = [0; + ). 8. = ( ) + e x, E = [0; + ). 0. ( ) ( + ) e x, E = [0; + ). ( ) e x, E = [0; + ). cos x 3 +, E = [π/94; 37π/9].. = cos x l, E = [π/8; 5π/6] cos x + +, E = [π/0; 9π/5]. 6. cos x 00 +, E = [π/3; 3π/7]. 8. cos x, E = [π/7; 7π/4] si x, E = [π/; 5π/3]. + 4 si x, E = [π/8; 7π/4]. l si x, E = [π/36; π/6]. l l ( + ) si x, E = [π/4; 39π/40]. + 4 ( + ) si x, E = [π/6; 9π/6]. + VI. Пользуясь определением, доказать равномерную сходимость рядов на множествах E ( x x + 4 x ( + ) x + 4 ( x x3 + x + x3 + ( x 3 x x 3 ( + )x ( x 3 x x ( + ) 3 x ( x x 3 + x ( + ) x 3 + ( x x x ( + ) x ), E = (0; + ). ), E = (0; + ). ), E = (0; + ). ), E = (0; + ). ), E = (0; + ). ), E = (0; + ). 3

33 ( x 7. x 3 + x ( + )x 3 + ( x 3 8. x 4 + x 3 ( + ) x 4 + ( x 9. 3 x 3 + x ( + ) 3 x 3 + ( x 0. 3 x + x ( + ) 3 x + ), E = (0; + ). ), E = (0; + ). ), E = (0; + ). ), E = (0; + ). VII. Исследовать ряды на равномерную сходимость на указанных множествах E ( ) + x, E = R.. ( ) x + l x e x, E = [; 0]. 4. ( ) ( + ) l + x, E = (0; + ). 6. x, E = (0; ). 8. e x +, E = (0; ). 0. ( ) 3 + x, E = (0; + ).. x( + ) 3 +, E = (0; + ) x si x, E = [0; ]. 6. cos πx 3 x +, E = R si x + cos x ( + x ) l ( + ), E = R. 0. si x 5 00 (x + 00 ), E = [0; + ).. x 3 + x + x 3, E = [; 3] =3 ( ) e x, E = [0; + )., E = (0; ]. + x ( ) ( + 4), E = (0; + ). + 3x ( ) l, E = (0; + ). x 3 + ( ) ( + ) + x 4, E = R. ( ), E = (0; + ). x + l( + ) ( ) 4, E = [0; π]. + si x si x, E = ( /4; /4). (x + ) arctgx + x, E = R. e x, E = (0; + ). e x cos x, E = (0; π/). ( ) ( + x), E = ( 5; 5). + x

34 x e x, E = (0; + ). 6. si x + + x +, E = R x + + x x + x +, E = [0; ] ( ) x + + x, E = R. 3. si x + cos x + + x, E = [; 4]. 34. ( ) + cos x, E = (0; + ). 36. cos π + x +, E = ( /; + ). 38. cos π 3, E = [0; 6]. 40. x + arctgx, E = [0; π/4]. 3 + x + l x, E = (0; + ). + x cos x, E = ( ; ). (x + 5) cos x, E = (0; ). + x ( ) e x, E = [0; + ). si x + x +, E = (π/; 3π/). arctg x, E = (0; ). + ex si π, E = [; + ). + x ( ) +, E = [0; ]. x + 43 VIII. Исследовать на непрерывность функции f(x) на их множествах задания.. f(x) = =0 3. f(x) = 5. f(x) = = 7. f(x) = 9. f(x) = x 3 ( + x ).. f(x) = l x 3/ + l x.. f(x) = e x. 3. f(x) = si x l + si x. 4. f(x) = xe x. =0 6. f(x) = x ( + x ). 8. f(x) = si x cos x + si x + sh x. =0 si(x + 3) + x. arctg + arctgx. 5 + ch x si x ( + x ). 0. f(x) = x + (x + x ).. f(x) = arctgx!. 4. f(x) = 34 si 3 πx 3. (l x).

35 5. f(x) = 7. f(x) = 9. f(x) =. f(x) = si x + cos x si x x + sh x ch x + ch. arctgx x 6. ( ) 3 x + x. 3. f(x) = ( ) arctg + x. 5. f(x) = l si 3 x f(x) = l x + e x. 8. f(x) = + 3 = si x +. 4 ( 0. f(x) = x + ).. f(x) = 4. f(x) = x +. x ( + e x ). IX. Вычислить пределы.. lim x 0 3. lim x + 5. lim x 0 7. lim x 0 9. lim x 0. lim ( ) + x + x lim x π x. 4. lim + 3 x x + x lim 5 + x + 4x 3 x 0 x π =0 3. lim ( ) 3 x + (x ). 8. lim (x ) + x 0 =0 cos x. 0. lim (x + 3) x +0 x 0 x si + x.. lim 3 + x (x + )(x + + ). si x x + (x + x + 4). x + 3. x + x + x 0. si x x + x + 3 x 4 3. x x 3. X. Доказать законность почленного дифференцирования рядов на указанных множествах E.. f(x) = 3. f(x) = ( ), E = (0; + ). + x. f(x) = e x si π, E = [0; + ). 4. f(x) = 35 cos x 9, E = [π/; 3π/]. + ( ) e x, E = [0; + )

36 5. f(x) = 7. f(x) = = 9. f(x) =. f(x) = si x + x, E = [0; 0]. 6. f(x) = si x, E = [π/6; π/6]. l 8. ( ) + l x, E = (; + ). cos x + cos, E = (0; π). x. f(x) = 0. f(x) = f(x) = si x + cos x, E = R. + ( ) ( + 4), E = [0; + ). + 3x arctgx!, E = R. cos x, E = (0; + ). + + x XI. Доказать законность почленного интегрирования рядов на указанных множествах E.. f(x) =. f(x) = 3. f(x) = 4. f(x) = 5. f(x) = 6. f(x) = 7. f(x) = 8. f(x) = 9. f(x) = 0. f(x) = ( ) si( + x), E = [0; 3]. + + x x, E = [0; 4]. + x3 + ( ), E = [ 4; 8]. arctg( + x) + 5 x + x + 3, E = [; 5]. x + si x + cos( + x) x + x, E = [4; 8]. si(x ) cos(x + ) x + x + x, E = [3; ]. l( + x) (l + l, E = [5; 8]. x) e x +, E = [0; 45]. + x sh x + ch x e, E = [0; ]. arctg( + x), E = [; 0]. x + 36

37 . f(x) = x + x +, E = [ 8; 0]. x 4 + x + 4. f(x) = ( ) x l x, E = (0; ].! XII. Выяснить, можно ли вычислять предел lim переходя к пределу под знаком интеграла. b a f (x)dx, [a, b] = E,. f (x) = arctgx + x, E = [0; ].. f (x) = x +, E = [0; 4]. + x + 3. f (x) = x 5. f (x) = ( + 3 l x ), E = [; e]. 4. f (x) = xe x, E = [0; ]. x + x 4, E = [0; ]. 6. f (x) = 7. f (x) = x si x, E = [0; π]. 8. f (x) = 3x, E = [0; ]. + 8 x, E = [0; ]. + x 9. f (x) = x cos x, E = [0; π]. 0. f (x) = si x cos x, E = [0; π/].. f (x) = x 3 x +, E = [0; ].. f (x) = x, E = [0; ]. + 3 x6 3. f (x) = x + (e x + ), E = [0; ]. 4. f (x) = x( x ), E = [0; ]. 5. f (x) = x x, E = [0; ]. 37

38 9. Задания для лабораторных работ Лабораторная. Пусть f (x) = α xe x, N.. Найти множество D сходимости последовательности (f ) и ее предельную функцию f.. Пусть α = 0. Будет ли сходимость последовательности (f ) к функции f равномерной на D? 3. Найти все значения α R, при которых последовательность (f ) сходится к предельной функции f равномерно на множестве D. 4. Для значений α, при которых сходимость последовательности (f ) к функции f не является равномерной на D, указать какое-либо подмножество D D, для которого f (x) D f(x). 5. Пусть α = 0. Найти множество сходимости и сумму ряда =0 f (x). 6. Используя теорему Стокса-Зейделя, исследовать при α = 0 равномерную сходимость ряда f (x) на его множестве сходимости. Лабораторная. =0 Пусть u (x) = xe x, N.. Найти множество D сходимости последовательности (u ) и ее предельную функцию.. Будет ли сходимость последовательности (u ) равномерной на D? 3. Найти множество D сходимости ряда u (x). 4. Показать, что сумма s этого ряда разрывна в точке x = Является ли ряд u (x) равномерно сходящимся на [0, + )? 6. Исследовать на непрерывность функцию s на (0, + ). 38

39 Лабораторная 3. Пусть f (x) = ex + xe x, x [0, + ), N. + x. Указать множество D [0, + ), на котором последовательность (f ) сходится, и найти ее предел f.. Будет ли сходимость последоваетльности (f ) к функции f равномерной на D? 3. Найти множество D сходимости последовательности производных (f ) и ее предел. 4. Показать, что сходимость последовательности (f ) не будет равномерной на D. 5. Указать какое-либо подмножество D D, на котором последовательность (f ) сходится равномерно. 6. Вычислить lim Лабораторная 4. 0 ( + x )f (x)dx. Пусть f (x) = e (x ), N.. Найти множество D сходимости последовательности (f ) и ее предельную функцию f.. Показать, что последовательность (f ) сходится к функции f равномерно на [ l, l], при любом l (0, + ). 3. Будет ли сходимость последовательности (f ) к функции f равномерной на R? 4. Доказать теорему: если функциональный ряд u (x) сходится равномерно на X, то u (x) X Сходится ли равномерно на R ряд f (x)? 6. Указать какое-либо множество, на котором ряд f (x) будет равномерно сходящимся. 7. Доказать непрерывность суммы ряда f (x) на R. 39

40 Лабораторная 5. Пусть u (x) = xα e x, α > 0, N.. Найти множество D сходимости ряда u (x).. Найти sup u (x) и доказать равномерную сходимость ряда u (x) [0,+ ) на промежутке [0, + ). 3. Показать, что сумма ряда s(x) = u (x) непрерывна на [0, + ). 4. Показать, что ряд x α u (x) не является равномерно сходящимся на интервале (0, + ). 5. Доказать, что функция m(x) = x α s(x) непрерывна на (0, + ). Найти lim x + m(x). 6. Показать, что функция m(x) непрерывно дифференцируема на интервале (0, + ). 7. Вычислить производную m (x), а затем найти функции m(x) и s(x). Лабораторная 6. Пусть u (x) = p e x, p R, N.. Показать, что при p = последовательность (u ) сходится равномерно на [0, + ).. Найти все значения p, при которых последовательность (u ) сходится равномерно на [0, + ). 3. Показать, что функция u(x) = lim u (x) непрерывна на (0, + ) при любом p R. 4. Найти все p, при которых ряд p e x имеет сходящуюся числовую мажоранту на [0, + ). 5. Показать, что функция s(x) = любом p R. 6. Для каких p функция s непрерывна на [0, + )? p e x непрерывна на (0, + ) при 7. Показать, что функция s имеет на (0, + ) производные любого порядка. 40

41 Лабораторная 7. Пусть f (x) = l( + x ), N.. Найти множество D сходимости последовательности (f ) и ее предельную функцию f.. Будет ли сходимость последовательности (f ) к функции f равномерной на D? 3. Показать, что lim b a f (x)dx = 0 для любого отрезка [a, b] R. 4. Найти множество D сходимости последовательности (f ) и ее предельную функцию. 5. Будет ли сходимость последовательности (f ) равномерной на D? 6. Можно ли к последовательности (f ) на D применить теорему о почленном дифференцировании? 7. Справедливо ли равенство lim f (x) = ( lim f (x))?(сравнить с заданиями 5 и 6.) Лабораторная 8. Пусть f (x) = α x ( x ), N, α R.. Для каждого значения α найти множество сходимости D α последовательности (f ) и предельную функцию f.. Показать, что при α = 0 сходимость последовательности (f ) к функции f не будет равномерной на D Изучить равномерную сходимость последовательности (f ) к функции f на D α при каждом α R. 4. Для значений α, для которых сходимость последовательности (f ) к предельной функции f не является равномерной на D α, найти какоелибо подмножество D α D α такое, что f (x) D α f(x). 5. Пусть α = 0 и u (x) = x ( x ). Найти множество сходимости D ряда u (x) и его сумму. 6. Используя теорему Стокса-Зейделя, изучить равномерную сходимость ряда u (x) на D. 4

42 Лабораторная 9. Пусть u (x) = xe x, N.. Найти множество сходимости D и предел u последовательности (u ).. Будет ли сходимость последовательности (u ) к функции u равномерной на D? 3. Найти множество сходимости D ряда u (x). 4. Доказать теорему: если функциональный ряд u (x) сходится равномерно на X, то u (x) X Показать, что сходимость ряда множестве D. 6. Найти множество сходимости ряда u (x). u (x) не является равномерной на 7. Показать, что функция s(x)= u (x) имеет производную на (0, + ). Лабораторная 0. Пусть f (x) = x +, N.. Найти множество D сходимости последовательности (f ) и ее предельную функцию f.. Будет ли сходимость последовательности (f ) к функции f равномерной на D? 3. Показать, что все функции f, N, дифференцируемы на D. Найти предел последовательности (f ). 4. Изучить дифференцируемость f на D. Используя теорему о почленном дифференцировании последовательности, изучить равномерную сходимость на D последовательности (f ). 5. Пусть u (x) = f (x) x, N. Изучить сходимость ряда u (x). 6. Используя теорему о почленном переходе к пределу в рядах, изучить равномерную сходимость ряда u (x) на D. 7. Найти какое-либо подмножество D D, на котором ряд u (x) сходится равномерно. 4

43 Лабораторная. Пусть f (x) = p si x cos x, x [0, π/], N.. При каждом p R найти f(x) = lim f (x), x [0, π/].. Вычислить интегралы I = π/ π/ 0 f (x)dx и найти lim I. 3. Сравнить lim I и f(x)dx. Отсюда найти те значения параметра p, 0 при которых сходимость (f ) на [0, π/] заведомо неравномерная. 4. Показать, что для p < 0 сходимость последовательности (f ) к функции f равномерная на [0, π/]. 5. Выяснить, для каких p сходимость последовательности (f ) к функции f равномерная на [0, π/]. 6. Указать какое-либо множество D [0, π/], на котором сходимость последовательности (f ) к функции f будет равномерной при любом действительном p. 7. Показать, что при p < 0, 5 сумма ряда f (x) является непрерывной на промежутке [0, π/] функцией. 43

44 0. Ответы и указания { 0, x <, I.. f(x) =, x =. { l, 0 < x, 3. f(x) = l x, x >. {, < x < 0, 5. f(x) = 0, x = 0. 0, 0 x <, 7. f(x) = x, x >,, x =. 9. f(x) =, < x >, x, x, x, x >, x <. { 0, < x,. f(x) = π(x )/, x >. {, x, 4. f(x) = e x+, x >. 6. f(x) = π x /. x, x < 0, 8. f(x) = x, x > 0,, x = 0. II.. [ /3; 3].. (; 3]. 3. {0}. 4. [0; + [. 5. R. 6. ( ; 0). 7. (/4; + ). 8. (; + ). 9. ( ; ) ( /3; + ) R\{0}.. (kπ; (k +)π), k Z. 3. ( ; + e ) ( + e; + ). 4. [ / 3 ; / 3 ). 5. [ /; /) ( π/6 + πk; π/6 + πk), k Z. 8. [ /3; /3). III. Здесь r (x) = f (x) f(x), A некоторое число, A 0.. Равномерно, r (x) Равномерно, r (x). ( ) 3. Неравномерно, r Неравномерно, r () 0. ( ) 5. Неравномерно, r Равномерно, r (x). l 7. Неравномерно, r () Равномерно, r (x) r () Равномерно, r (x). 0. Равномерно, sup r 3/4 (x) 0. E ( ).Неравномерно, r 0.. Равномерно, r (x) A 3. ( ) 3. Равномерно, r (x) π/. 4. Неравномерно, r 0. 5.Равномерно, r (x) A. 6. Равномерно, r (x) 5. 44

45 ( ) 7. Неравномерно, r Неравномерно, sup r (x) Равномерно, r (x). 0. Равномерно, r (x).. Равномерно, r (x).. Равномерно, r (x). 3. Равномерно, r. 4. Равномерно, r (x) A. ( ) 5. Неравномерно, r Равномерно, r (x) A. 7. Неравномерно, sup r (x) 0. E 8. Равномерно, r (x) 9. Равномерно, r (x). 30. Равномерно, r (x) Неравномерно, r () Равномерно, r (x) e /. 33. Равномерно, r (x) l. 34. Неравномерно, r () Равномерно, r (x) A (. 36. Неравномерно, r ) Равномерно, r (x). 38. Равномерно, r (x) A. 39. Равномерно, r (x) +. 4 IV. В заданиях, 3 0, 6, 3 найти sup u (x) = c и рассмотреть ряд c. E v (x) = c. 7. arctg(x 6 e x ) x 6 e x = v (x). Найти sup E 8. si(x 0 3 e x ) x 0 3 e x = v (x). Найти sup E 9. l( + x 8 e x ) x 8 e x = v (x). Найти sup E 30. arctg(x 7 e x ) x 7 e x = v (x). Найти sup E v (x) = c. v (x) = c. v (x) = c. VII. 3, 5, 6, 8, 0, 4, 3, 3, 35 сходятся равномерно по( признаку ) Лейбница. 4. Неравномерно; u (x) не сходится равномерно к 0 на E, u =. 7. Неравномерно; sup u (x) = Неравномерно; lim u (x) = E x 0 + и ряд расходится (см. теорему о почленном предельном переходе c. 4). + ( ) 3. Неравномерно; sup u (x) = Неравномерно; sup u (x) u E E. 6 9,, 3, 4, 7 9, 40, 4 сходятся равномерно по признаку Вейерштрасса. 45


Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Поточечная и равномерная сходимость. Действия над рядами, связанные с предельным переходом методические

Подробнее

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 8-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Исследовать следующие ряды на равномерную сходимость с помощью определения: Д 767

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Учебное пособие Москва 05 Предисловие

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида:

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: Тема 9 Числовые ряды Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: a a2 a3... a... a Если предел последовательности последовательностью частичных сумм ряда. lim S S Необходимое условие

Подробнее

Лекция 1. Функциональные ряды

Лекция 1. Функциональные ряды С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Функциональные ряды Понятие функционального ряда Ранее мы изучали числовые ряды, т е членами ряда были числа Сейчас мы переходим к изучению функциональных рядов, т

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество, -алгебра подмножеств множества X и на задана -аддитивная полная

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям)

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т. И. Коршикова,

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

Функциональные последовательности и ряды

Функциональные последовательности и ряды Функциональные последовательности и ряды В пособии рассматриваются понятия функциональной последовательности и функционального ряда. Приведены основные определения и теоретические факты связанные с поточечной,

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1)

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1) 8. Степенные ряды 8.. Функциональный ряд вида c n (z ) n, (8.) n= где c n числовая последовательность, R фиксированное число, а z R, называют степенным рядом с коэффициентами c n. Выполнив замену переменных

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по математическому анализу Часть 2 Числовые ряды М. Г. Голузина,

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

Р о д и н а Т. В., Т р и ф а н о в а Е. С., Б о й ц е в А. А.

Р о д и н а Т. В., Т р и ф а н о в а Е. С., Б о й ц е в А. А. К а ф е д р а в ы с ш е й м а т е м а т и к и Р о д и н а Т. В., Т р и ф а н о в а Е. С., Б о й ц е в А. А. Т И П О В О Й Р А С Ч Е Т П О М А Т Е М А Т И Ч Е С К О М У А Н А Л И З У д л я н а п р а в л

Подробнее

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике

РЯДЫ А.А. ЗЛЕНКО, C.А. ИЗОТОВА, Л.А. МАЛЫШЕВА. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) АА ЗЛЕНКО, CА ИЗОТОВА, ЛА МАЛЫШЕВА РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1

sin n 100. n=1 sin k sin 1 k=1 Разберите предложенные ниже задачи с решениями Найдите принципиальные ошибки Для ошибочно решенных задач объясните, почему используемые методы не работают или работают неправильно, и предложите собственное

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу Министерство образования Российской федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра дискретного анализа Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Подробнее

Первая студенческая олимпиада по математическому анализу Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова 28 апреля 2016 года.

Первая студенческая олимпиада по математическому анализу Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова 28 апреля 2016 года. Первая студенческая олимпиада по математическому анализу Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова 28 апреля 2016 года Задача 1 Докажите, что функции f(x) = arctg x и g(x) = arctg 1+x отличаются на

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. 1. Числовой ряд и его сумма ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является вторым томом учебника «Математика для инженеров»в данном томе излагаются основы числовых и функциональных рядов; кратных и поверхностных интегралов; теории поля; основы

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

ТЕМА 1. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. 3 0, n. Ряд сходится. В). Применим признак сравнения с гармоническим рядом: 1!!

ТЕМА 1. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. 3 0, n. Ряд сходится. В). Применим признак сравнения с гармоническим рядом: 1!! ТЕМА РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ Выяснить, какие из указанных рядов сходятся, а какие нет А) cos - расходится не выполнено необходимое условие cos, Б) arctg Применим признак Даламбера:! arctg! arctg

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

Интегралы, зависящие от параметра

Интегралы, зависящие от параметра ПРИДНЕСТРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ТГШЕВЧЕНКО Физико-математический факультет Кафедра математического анализа и приложений Интегралы зависящие от параметра Учебно-методическое пособие г Тирасполь

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Лекция 1 ( ) Числовые ряды и последовательности

Лекция 1 ( ) Числовые ряды и последовательности Часть I Лекция (4.09.5) Числовые ряды и последовательности Информация о семестре. Темы: (a) Ряды (b) Теория функций комплексных переменных. Литература: (a) Воробъев Н.Н. - Теория рядов (b) Вся высшая математика

Подробнее

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих Лекция НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Подробнее

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n Тема 9 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида при этом числа... коэффициентами ряда, а точка разложения ряда.,,...,,... R... называются центром Степенные ряды Общий член степенного

Подробнее

e (x α)2 dx (1) Решение. Заметим, что при фиксированном α R данный интеграл сходится e (x α)2 dx ε

e (x α)2 dx (1) Решение. Заметим, что при фиксированном α R данный интеграл сходится e (x α)2 dx ε МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Ориентировочный план семинаров, 4 семестр, 213 1. Интегралы, зависящие от параметра. 1.1. Понятие равномерной интегрируемости параметризованного семейства функций. Критерий Коши Больцано

Подробнее

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет.

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет. Московский Государственный Университет им МВЛомоносова Химический факультет Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока Третий семестр Числовые ряды Дифференциальные

Подробнее

УДК (072)(075.8)

УДК (072)(075.8) БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики

Подробнее

Задачи по высшей математике для биологов

Задачи по высшей математике для биологов МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ БИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Бобров А.Н. Радославова Т.В. Задачи по высшей математике для биологов МОСКВА 03 УДК

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ АДЫГЕЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК ЗАМЯТИН ВН ШАОВА СМ ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие Майкоп УДК 7(78) ББК 6Я7-6 Печатается по решению

Подробнее

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Кафедра инженерной математики. И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики И В Прусова Н А Кондратьева Н К Прихач ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Методические указания к решению задач на интегралы с параметром. Учебно-методическое пособие

Методические указания к решению задач на интегралы с параметром. Учебно-методическое пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Методические указания к решению задач на интегралы с параметром Учебно-методическое пособие

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

9. Формула Ньютона Лейбница. Формула замены переменной в определённом интеграле и интегрирование по частям. f(t) dt = Φ(x) Φ(a). f(t) dt = Φ(x) + C.

9. Формула Ньютона Лейбница. Формула замены переменной в определённом интеграле и интегрирование по частям. f(t) dt = Φ(x) Φ(a). f(t) dt = Φ(x) + C. ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие является продолжением [7]. Оно создано на базе хорошо известных учебных пособий по математическому анализу [ 6]. В его основу положены лекции В. В. Жука, которые неоднократно читались

Подробнее

Решение типовика выполнено на сайте Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу

Решение типовика выполнено на сайте   Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу МИРЭА. Типовой расчет по математическому анализу Контрольные задания по теме Ряды Задание. Найти сумму числового ряда ) ) = + + ( )( 5) + ) ( ) = 5 = Решение ) 5 ( ) + + = = = = + + 5 + + 5 + + 5 + + 5

Подробнее

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1 Глава 3. Числовые ряды 3.. Занятие 0 3... Сумма ряда Рассмотрим числовую последовательность {a k } k=. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3... Рядом называется выражение вида a + a 2 +...+ a k +...= a k. k= Величина a k называется

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши Лекция. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши.. Некоторые сведения о последовательностях Пусть каждому значению N поставлено в соответствие

Подробнее

4. Непрерывность функции 1. Основные определения

4. Непрерывность функции 1. Основные определения 4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x если справедливо равенство f ( x). (1)

Подробнее

Задача Первая теорема сравнения

Задача Первая теорема сравнения Первая теорема сравнения Постановка задачи: Исследовать сходимость ряда с неотрицательными членами где = f(, u (), u 2 (),...) и u (), u 2 (),...- функции с известными наименьшими и наибольшими значениями,

Подробнее

Вопросы и задачи по математическому анализу

Вопросы и задачи по математическому анализу Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СР Свирщевский Вопросы и задачи по математическому

Подробнее

Лекция 1 (12 января 2015)

Лекция 1 (12 января 2015) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА, интеграл Лебега математический анализ, 2 курс, 3 модуль, 2015 А.М. Красносельский Лекция 1 (12 января 2015) Буду рассматривать скалярные функции, заданные на пространстве с мерой, то

Подробнее

В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебное пособие Москва 6 Предисловие Учебное пособие

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Рецензенты Доктор ф.-м. наук, профессор Т.Г. Сукачёва Канд. ф.-м. наук, доцент А.В. Ласунский

Рецензенты Доктор ф.-м. наук, профессор Т.Г. Сукачёва Канд. ф.-м. наук, доцент А.В. Ласунский Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ Учебное пособие Москва 6 Предисловие Учебное

Подробнее

Лекция 2. Последовательности

Лекция 2. Последовательности Лекция 2 Последовательности Определение. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x, то множество занумерованных чисел x, x2,..., x,...

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

Комплексные числовые ряды

Комплексные числовые ряды Тема Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд k ak с комплексными числами вида Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность S его частичных сумм S a k k. При этом предел S последовательности

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида:

Числовые ряды. lim. S n. Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: Тема 9 Определение Числовым рядом называется выражение следующего вида: a 1 a2 a3... a... a Если предел последовательности последовательностью частичных сумм ряда. lim S S 1 Необходимое условие сходимости:

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Демина ЕЛ, Демин СЕ РЯДЫ г Нижний Тагил 00 Предисловие В настоящем

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее