БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики"

Транскрипт

1 БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики МИНСК 008

2 УДК 57.5(07) ББК.6р.я73 Ф94 Авторы: О. А. Кастрица, С. А. Мазаник, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович Рекомендовано Ученым советом факультета прикладной математики и информатики 3 сентября 008 г., протокол Рецензент кандидат физико-математических наук С. Г. Красовский Ф94 Функциональные ряды и последовательности: учеб.-метод. пособие для студентов фак. прикладной математики и информатики / О. А. Кастрица, С. А. Мазаник, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович. Минск: БГУ, с. Пособие содержит необходимые теоретические сведения и основные приемы исследования равномерной сходимости функциональных рядов и последовательностей, а также функциональных свойств суммы ряда и предельной функции последовательности. Изложение материала иллюстрируется подробно разобранными примерами. В пособие включены задания для лабораторных работ и упражнения для самостоятельного решения, снабженные указаниями и ответами. Пособие предназначено для студентов факультета прикладной математики и информатики; оно также будет полезным для всех студентов, изучающих математический анализ в объеме университетского курса. УДК 57.5(07) ББК.6р.я73 Кастрица О. А., Мазаник С. А., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф., 008 БГУ, 008

3 . Поточечная сходимость функциональных последовательностей и рядов Функциональная последовательность (f (x)), f : E R, N, E R, (.) называется сходящейся в точке x 0 E, если сходится числовая последовательность (f (x 0 )). Множество X E всех точек, в которых последовательность (.) сходится, называется множеством поточечной сходимости (.) (коротко множество сходимости). В силу единственности предела для каждого значения x из X определено единственное значение lim f (x), и тем самым на множестве X определена функция f : X R, f(x) = lim f (x), которую будем называть предельной функцией или пределом последовательности (.). Таким образом, D(f) = X, т. е. множество задания предельной функции есть множество (поточечной) сходимости функциональной последовательности. Другими словами, сходимость функциональной последовательности (.) на множестве X означает, что x X ε > 0 ν(x, ε) ν(x, ε) = f (x) f(x) ε. Будем также говорить, что функциональная последовательность (f (x)) сходится на X к f(x) при, и записывать это в виде f (x) X f(x), или в виде f (x) f(x). X Мы также будем использовать запись f (x) X для обозначения того факта, что последовательность (.) сходится на X, но предельная функция нам не известна (или не интересует нас). Функциональный ряд u k (x), u k : E R, k N, E R, (.) называется сходящимся в точке x 0 E, если сходится числовой ряд u k (x 0 ). Множеством поточечной сходимости функционального ряда (.) называется множество всех точек X E, в которых сходится 3

4 ряд (.). Сумма S(x) сходящегося функционального ряда есть предел функциональной последовательности его частных сумм (S (x)), S (x) = u k (x). Факт сходимости ряда (.) на множестве X будем записывать в виде u k (x) X S(x), или в виде u k (x), X если сумма ряда нам не известна (или не интересует нас). Если S(x) является суммой ряда (.) на множестве X, то используют запись S(x) = u k (x), x X. Поскольку при каждом фиксированном значении x 0 E функциональный ряд (.) является обычным числовым рядом u k (x 0 ), то для исследования его сходимости применимы все признаки сходимости числовых рядов. Пример.. Пусть f (x) = x, N. Найти предел последовательности (f (x)). Р е ш е н и е. Здесь E = R, { 0, если x ( ; ), lim f (x) = lim x =, если x =, при остальных же x E функциональная последовательность расходится. Таким образом, f(x) = { 0, если x ( ; ),, если x =, X = ( ; ]. Пример.. Найти множество X сходимости ряда (x + ). Р е ш е н и е. Все члены ряда определены на R \ { }. При фиксированном x применим признак Коши абсолютной сходимости ряда. Поскольку то при x + x + lim u (x) = lim = x + x +, <, т. е. при x (, 3) (, + ), ряд сходится абсолютно. При > ряд расходится, т. к. u (x) 0. При 4 x + =, т. е. при x = 3 и

5 x =, получаем, соответственно, числовые ряды ( ), сходящийся согласно признаку Лейбница, и расходящийся ряд. Итак, X = (, 3] (, + ).. Равномерная сходимость функциональных последовательностей Пусть f предельная функция функциональной последовательности (.) на множестве G, т.е. f(x) = lim f (x), x G E R. Функциональная последовательность (f (x)) называется равномерно сходящейся к предельной функции f на множестве X, X G, если ε > 0 ν(ε) ν(ε) x X = f (x) f(x) ε. Для обозначения факта равномерной сходимости функциональной последовательности на множестве X используют запись f (x) X f(x) при, или даже запись f (x) X (если, например, предельная функция неизвестна). Из равномерной сходимости последовательности (.) на множестве X вытекает ее поточечная сходимость на X. Обратное утверждение не верно. Отметим, что: ) если f (x) X, то f (x) X, X X; ) если f (x) X и f (x) X, то f (x) X X. Супремальный критерий равномерной сходимости функциональной последовательности: f (x) X f(x) ρ 0, где ρ = sup f (x) f(x). Следствие.. Если существует такая бесконечно малая последовательность (α ), что N x X f (x) f(x) = r (x) α, то функциональная последовательность (.) сходится равномерно на X. 5 X

6 Следствие.. Если ρ 0, то функциональная последовательность (.) сходится к f неравномерно на X. Следствие.3. (Метод "плохой точки".) Если для каждого натурального существует такое x X, что r ( x ) 0, где r (x) = f (x) f(x), то функциональная последовательность (.) сходится неравномерно на X. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности на X. Для равномерной сходимости последовательности (.) на X необходимо и достаточно выполнение равномерного условия Коши: ε > 0 ν(ε) ν(ε) p 0 x X = f +p (x) f (x) ε. Следствие.4. Если равномерное условие Коши не имеет места, т.е. ε 0 > 0 ν ν p 0 x X = f +p (x) f (x) > ε 0, то последовательность (.) не является равномерно сходящейся на множестве X. Заметим, что при использовании критерия Коши ничего не известно о функции f(x) (может быть ее вообще нет!). Поэтому использовать здесь выражение "сходится неравномерно" неуместно. Пример.. Исследовать на равномерную сходимость функциональную последовательность (f (x)), f (x) =, на множестве X = [ ; ]. + 3x Р е ш е н и е. Находим предельную функцию: f(x) = lim + 3x = x X. Рассмотрим r (x) = f (x) f(x): r (x) = + 3x = 3x ( + 3x ) 3 = 3 N x X. 4 Поскольку 3 0 при, то X на основании следствия.. + 3x Пример.. Исследовать на равномерную сходимость функциональную последовательность (f (x)), f (x) =, на множестве X = [ 0, + ). x + x3 x Р е ш е н и е. Предельная функция f(x) = lim = 0 x X. При + x 3 фиксированном имеем sup f (x) f(x) = sup x X [0,+ ) 6 x + x 3.

7 Пусть ϕ(x) = x + x. Поскольку 3 ϕ (x) = x x 4 ( + x 3 ), то x = 3 4 стационарная точка функции ϕ(x). Так как ϕ(x ) = 3 x то sup [0,+ ) + x = при x 3, ϕ(0) = 0, ϕ(+ ) = 0, 4 [ 0,+ ) Согласно супремальному критерию x Пример.3. Исследовать на равномерную сходимость функциональную последовательность (f (x)), f (x) = x +, на множестве ее сходимости. Р е ш е н и е. Находим предельную функцию: f(x) = lim x + = lim x + = x = x, x R. Так как при любом действительном x имеем f (x) f(x) = x + x = x + x = x + x x + + x и / 0 при, то x + R x согласно следствию.. Пример.4. Исследовать на равномерную сходимость функциональную последовательность (f (x)), f (x) = 3 + x l x, на множестве X = [, + ). ( Р е ш е н и е. Имеем f(x) = lim 3 + x l x ) = 3 при всех x X. Поэтому r (x) = f (x) f(x) = x l x. Поскольку для каждого натурального существует такое x = X, что r ( x ) = 4 l 0 то, согласно следствию.3, сходимость на множестве X неравномерная. 3. Равномерная сходимость функциональных рядов Пусть ряд u k (x) (3.) сходится (поточечно) на G R и S(x) = u k (x) сумма ряда. Ряд называется равномерно сходящимся на множестве X G, если 7

8 последовательность его частных сумм (S (x)) сходится равномерно на X, S (x) X S(x). Это означает, что ε > 0 ν ε ν ε x X = S (x) S(x) ε. При этом мы будем использовать обозначения: u k (x) X S(x) или u k (x) X. Если r (x) = k=+ u k (x) = S(x) S (x) -ый остаток ряда, то u k (x) X r (x) X 0. Сходящийся числовой ряд c k можно трактовать как равномерно сходящийся на R ряд из постоянных на R функций c k. Критерий Коши равномерной сходимости. Для равномерной сходимости на X функционального ряда (3.) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равномерное условие Коши: +p ε > 0 ν(ε) ν(ε) p 0 x X = u k (x) ε. Следствие 3.. (Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда.) Если ряд (3.) сходится равномерно на множестве X, то на этом множестве равномерно сходится к нулю последовательность членов ряда: u k (x) X = u k (x) X 0. k Следствие 3.. Если ε 0 > 0 ν ν p 0 x X = k= +p u k (x) > ε 0, то ряд (3.) не является равномерно сходящимся на множествеx. ( ) Пример 3.. Исследовать на равномерную сходимость ряд x k k xk на k + множестве X = [ ; ]. 8 k=

9 Р е ш е н и е. Найдем частные суммы ряда: S (x) = ( ) x k k xk = k + ( x ) ( ) ( ) x + x x x = x + +. ) Тогда сумма ряда S(x) = lim S (x) = lim ( x = x [ ; ]. + Исследуем последовательность (S (x)) на равномерную сходимость на промежутке [ ; ]. Поскольку ) S (x) S(x) = ( x + = x + + 0, то согласно следствию. S (x) [ ;] S(x), что, в свою очередь, означает равномерную ( ) сходимость ряда x k xk на множестве [ ; ]. k k + Пример 3.. Исследовать ряд =0 x! на равномерную сходимость на R. Р е ш е н и е. Последовательность u (x) =! 0 при всех x R. Но для каждого N существует x =! ("плохая точка") такое, что u ( x ) = 0. Значит, u (x) сходится к 0 неравномерно. На основании следствия 3. равномерной сходимости ряда на R нет. Пример 3.3. Исследовать ряд x x на равномерную сходимость на мно- + x жестве X = [0; ]. Р е ш е н и е. Используем следствие 3. критерия Коши. Рассмотрим +p и положим здесь p = и x =. Получим +p k= x = + k x p=,x=/ k= + k = ( + ) ( + ) + 4 Таким образом, ряд не является равномерно сходящимся на [0; ]. = k= x + k x = + 5 > 5. 9

10 4. Признаки равномерной сходимости функциональных рядов Признак Вейерштрасса (мажорантный). Если u k (x) c k для всех x X и всех k N, и числовой ряд c k сходится, то ряд u k (x) сходится равномерно (и абсолютно) на множестве X. Ряд c k называется в этом случае числовой мажорантой для ряда (3.) на X. Отсутствие сходящейся мажоранты еще не означает, что на X нет равномерной сходимости. Если u k (x) v k (x) для всех x X и v k (x) X, то u k (x) X. Признак Абеля. Если: ) b k (x) X, ) функциональная последовательность (a (x)) ограничена в совокупности, т. е. существует такое постоянное число A, что a k (x) A при всех k N и всех x X, 3) последовательность (a k (x)) монотонна при каждом фиксированном x X, то a k (x)b k (x) X. Замечание. В роли ряда числовой ряд. b k может выступать и сходящийся Признак Дирихле. Если: ) суммы b k (x) ограничены в совокупности, т. е. существует такое постоянное число M, что b k (x) M при всех N и всех x X, ) последовательность (a k (x)) монотонна при каждом фиксированном x X, 0

11 3) a k (x) X 0, то a k (x)b k (x) X. Как следствие признака Дирихле имеем Признак Лейбница. Если: ) a k (x) > 0 при всех k N и всех x X, ) последовательность (a k (x)) монотонна при каждом фиксированном x X, то 3) a k (x) X 0, ( ) k a k (x) X. Пример 4.. Исследовать на равномерную сходимость ряд Р е ш е н и е. Так как ) arctg x + x ) числовой ряд π при всех N и всех x R, arctg x на R. + x π сходится, то исследуемый ряд сходится равномерно на R на основании признака Вейерштрасса. Пример 4.. Исследовать на равномерную сходимость ряд x на множестве R. + 4 x Р е ш е н и е. Опять применим признак Вейерштрасса. Для оценки -го члена ряда воспользуемся известным неравенством a b. Получим a + b x + 4 x = x ( + 4 x ) N x R. Ряд является сходящейся числовой мажорантой для исходного ряда, следовательно,. x R + 4 x Пример 4.3. Исследовать на равномерную сходимость ряд множестве R. Р е ш е н и е. Попробуем построить числовую мажоранту для этого ряда: u (x) e 6 x si x [ ] si α α x e 6 x. e 6 x si x на

12 При фиксированном рассмотрим функцию ϕ(x) = x e 6 x и найдем ее супремум на R. Поскольку функция ϕ четная, то достаточно провести исследование для x 0. Тогда ϕ(x) = xe 6 x, ϕ (x) = (e 6 x 6 x e 6 x ) = e 6 x ( 6 x ). Стационарная точка x = 3 то sup ϕ(x) = R e Числовая мажоранта [0; + ). Так как ϕ(x ) = e, ϕ(0) = 0, ϕ(+ ) = 0, и, значит, u (x) e / e / сходимость рассматриваемого функционального ряда. при всех x R и всех N. сходится, что гарантирует равномерную на R Пример 4.4. Исследовать на равномерную сходимость ряд X = [π/3, 3π/]. Р е ш е н и е. Воспользуемся признаком Дирихле, приняв Имеем: ) суммы b k (x) = si kx, a k (x) = k + l k. si kx ограничены в совокупности на основании оценки si kx si x si π = x [π/3, 3π/] N; 6 ( ) ) последовательность (a ) = монотонна, поскольку + l si kx на отрезке k + l k a = + l > + + l( + ) = a +; ( ) 3) последовательность стремится к нулю при, а так как она не + l X 0. + l Условия признака Дирихле выполнены, и поэтому зависит от x, то si kx k + l k Пример 4.5. Исследовать на равномерную сходимость ряд ( ) на R. + si 3x Р е ш е н и е. Применим признак Лейбница равномерной сходимости: X.

13 ) > 0 при всех N и всех x R, + si 3x ( ) ) последовательность при каждом фиксированном x R монотонна, 3) поскольку + si 3x + si 3x 0, то R 0. + si 3x ( ) Условия признака Лейбница выполнены, следовательно, R. + si 3x Пример 4.6. Исследовать на равномерную сходимость ряд ( ) arctg + x x на множестве X = [, + ). Р е ш е н и е. Воспользуемся признаком Абеля: ) ряд ( ) X согласно признаку Лейбница, так как последовательность монотонна при каждом фиксированном x X, и из неравенства + x + x ( ) следует, что + x + x X 0. ) последовательность (arctg x ) ограничена в совокупности: arctg x π при всех N и всех x [, + ); 3) числовая последовательность (arctg x ) монотонна при каждом фиксированном x [, + ). Заключаем, что по признаку Абеля ( ) [,+ ) arctg x. + x Пример 4.7. Рассмотрим ряды При каждом фиксированном x X имеем ряд x (x + ) x (x + ) и X согласно признаку Вейерштрасса, так как x (x + ) = x на множестве X = [, + ). 3 x (x + ) x при. При этом 3 [ ] x ab (x + ) a + b, и ряд сходится. В то же время, ряд x сходится на X неравномерно, так 3 как для него не выполнено необходимое условие равномерной сходимости: x [ ] = x 3 = 3 = 0, откуда x 3 X 0. Пример 4.7 показывает, что нельзя использовать замену функции на эквивалентную ей функцию при исследовании равномерной сходимости. 3

14 5. Функциональные свойства рядов и последовательностей Теорема Стокса-Зейделя. Если члены u k функционального ряда u k (x) непрерывны на множестве X и ряд сходится равномерно на X, то сумма ряда S(x) = u k (x) является функцией непрерывной на X. Теорема Стокса-Зейделя для функциональной последовательности. Если члены функциональной последовательности (f (x)) непрерывны на множестве X и функциональная последовательность сходится равномерно на X, то предельная функция f(x) = lim f (x) является функцией непрерывной на X. Теорема о почленном переходе к пределу под знаком суммы. Пусть x 0 предельная точка множества X. Если: ) для любого натурального существует конечный предел lim u (x) = b R; x x 0 ) ряд u k (x) сходится равномерно на X, u k (x) X S(x), то: 0 ) ряд b k сходится; 0 ) существует конечный предел lim x x0 S(x) R; 3 0 ) lim S(x) = b k, т. е. допустим почленный переход к пределу под знаком суммы: lim u k (x) = lim u k (x). x x0 x x0 x x 0 Теорема о почленном переходе к пределу для функциональной последовательности. Пусть x 0 предельная точка множества X сходимости функциональной последовательности (f (x)). Если: ) для любого натурального существует конечный предел lim x x 0 f (x) R; 4

15 ) функциональная последовательность сходится равномерно на X, f (x) X f(x), то существует конечный предел lim f(x) = lim lim f (x) = lim lim f (x), x x 0 x x0 x x0 т. е. допустима перестановка предельных переходов. Теорема о почленном интегрировании ряда. Если: ) при всех натуральных k функции u k интегрируемы по Риману на отрезке [a, b]; ) u k (x) [a,b], то b a ( ) u k (x) dx = b a u k (x)dx, т. е. на отрезке [a, b] допустимо почленное интегрирование ряда. Теорема о почленном интегрировании функциональной последовательности. Если: ) при всех натуральных функции f интегрируемы по Риману на отрезке [a, b]; ) f (x) [a,b], то ( ) b a lim f (x) dx = lim b a f (x)dx, т. е. допустим предельный переход под знаком интеграла. Заметим, что почленное интегрирование ряда или переход к пределу под знаком интеграла в ряде случаев возможны и при отсутствии равномерной сходимости на [a, b]. Теорема о почленном дифференцировании ряда. Если: ) при всех натуральных k функции u k непрерывно дифференцируемы на X, u k C (X); ) u k (x) X ; 5

16 3) u k (x) X, то функция S(x) = u k (x) дифференцируема на X и ее производную S (x) можно вычислить путем почленного дифференцирования функционального ряда, т. е. ( u k (x)) = u k(x). Теорема о почленном дифференцировании функциональной последовательности. Если: ) для любого натурального функции f C (X), ) f (x) X, 3) f (x), X то предельная функция f(x) = lim f (x) дифференцируема на X и f (x) = lim f (x). Локальная равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов. Функциональная последовательность (f (x)) называется локально равномерно сходящейся на множестве X, если для любого x 0 X существует окрестность U(x 0 ) точки x 0 такая, что f (x) U(x 0) X, или, что равносильно, f (x) [a,b] для любого отрезка [a, b] X. Функциональный ряд u k (x) называется локально равномерно сходящимся на множестве X, если для любого x 0 X существует окрестность U(x 0 ) точки x 0 такая, что u k (x) U(x 0) X, или, что равносильно, u k (x) [a,b] для любого отрезка [a, b] X. Замечание. Теоремы Стокса-Зейделя, теоремы о почленном дифференцировании остаются справедливыми, если в них условия равномерной сходимости заменить более слабым условием локальной равномерной сходимости. 6

17 Пример 5.. Исследовать на равномерную сходимость последовательность (f ), x f (x) =, на множестве X = [0; ]. + x Р е ш е н и е. Найдем предельную функцию: f(x) = lim x + x = 0, если x [0; ), 0, 5, если x =,, если x (, ]. Поскольку члены последовательности непрерывны на множестве X, а предельная функция разрывна, то сходимость на X неравномерная (следует из теоремы Стокса- Зейделя). Пример 5.. Исследовать на равномерную сходимость ряд x на мно- ( + x ) жестве его сходимости. Р е ш е н и е. При x = 0 ряд сходится, как ряд из нулей. При x 0 имеем сумму геометрической прогрессии со знаменателем q = <. Поэтому S(x) = + x x +x = =, если x 0,. Итак, S(x) = x Поскольку члены ряда непрерывны x +x 0, если x = 0. на R, а его сумма разрывна, то ряд сходится на R неравномерно. ( Пример 5.3. Исследовать ряд x + ) на равномерную сходимость на множестве X = (0, ). Р е ш е н и е. Поточечная сходимость ряда на указанном множестве следует из признака Коши (x + ) x. Точка x = является предельной точкой множества ( X = (0, ). Имеем b = lim x + ( = + x 0 ) ) ( ; так как + ) 0, то ряд ( + ) ( расходится. Поэтому ряд x + на множестве (0; ) сходится ) неравномерно (см. теорему о почленном предельном переходе). Пример 5.4. Исследовать на непрерывность функцию (x + ) ( + cos x) f(x) = 3 + x 4 на множестве ее задания. Р е ш е н и е. Поскольку u (x) = (x + ) ( + cos x) 3 + x 4 3 x + 3/, то ряд заведомо сходится при x +, т. е. на отрезке [ 3; ]. При остальных x ряд расходится, так как u (x) 0. Следовательно, D(f) = [ 3; ]. Ряд 3 3/ 7

18 является сходящейся числовой мажорантой для заданного ряда и обеспечивает его равномерную сходимость на [ 3; ]. Так как члены функционального ряда непрерывны на [ 3; ], то его сумма f(x) непрерывна на D(f) (см. теорему Стокса- Зейделя). Пример 5.5. Исследовать на непрерывность функцию f(x) = множестве ее задания. Р е ш е н и е. Представим f(x) в виде суммы рядов f(x) = x x + + ( ) x +, x + ( ) x + каждый из которых очевидно сходится на R. Для первого ряда x +, что гарантирует равномерную сходимость этого ряда на R, а также непрерывность функции f (x) = на R в силу теоремы Стокса-Зейделя. Второй ряд также x + сходится равномерно на R согласно признаку Лейбница, и его сумма f (x) непрерывна на R. Поэтому функция f(x) = x f (x) + f (x) непрерывна на R. Пример 5.6. На отрезке [0; ] исследовать на непрерывность функцию Р е ш е н и е. Так как f(x) = (xe x ( )xe ( )x ). S (x) = (xe x 0) + (x e x xe x ) (xe x ( )xe ( )x ) = xe x, то f(x) = lim S (x) = 0 при x [0; ]. Следовательно, рассматриваемая сумма ряда является непрерывной функцией на отрезке [0; ]. Вместе с тем ряд на [0; ] сходится неравномерно. Действительно, S (x) f(x) = xe x x= x = [ x = ] [0; ] = e 0 при. Согласно следствию.3 последовательность (S (x)), а, значит, и ряд, сходятся неравномерно на [0; ]. Это пример показывает, что теорема Стокса-Зейделя дает лишь достаточные условия непрерывности суммы ряда. 3x + Пример 5.7. Найти предел lim x 0 + x. Р е ш е н и е. Рассмотрим ряд на множестве X = [ ; ]. Поскольку 3x + + x 4 при всех N и всех x X, то ряд сходится равномерно 8 на

19 на [ ; ] по признаку Вейерштрасса. На основании теоремы о почленном переходе к пределу имеем: lim x 0 3x + + x = lim x 0 3x + + x = =. x > 0. Пример 5.8. Исследовать дифференцируемость функции f(x) = Р е ш е н и е. Представим сумму ряда в виде f(x) = x функцию g(x) = Ряд ( ) + x ( ) + x. ( ) x + x при ( ) + x и исследуем сходится при каждом фиксированном x (0, + ) согласно признаку Лейбница. Функции u (x) = ( ) + x и u (x) = ( ) непрерывны на (0; ) ( + x) при каждом N. Ряд u (x) = ( ) сходится равномерно на (0; + ) согласно признаку ( + x) Вейерштрасса, так как ( ) ( + x) и ряд сходится. По теореме о почленном дифференцировании функция g(x) дифференцируема на (0; + ), а, значит, дифференцируема на (0; + ) и функция f(x) = xg(x). π si x Пример 5.9. Вычислить 0 ( + ). Р е ш е н и е. Члены ряда непрерывные на [0; π] функции, ряд сходится на [0; π] f(x)dx, где f(x) = равномерно (признак Вейерштрасса), поэтому допустимо почленное интегрирование π ряда. Учитывая, что si xdx = π ( cos x)dx = π, получаем π 0 f(x)dx = π 0 0 ( 0 si ) x dx = ( + ) = π π 0 ( ) + si x ( + ) dx = π ( + ) = = π. Пример 5.0. Исследовать возможность перехода к пределу под знаком интеграла x для 0 x + dx. 9

20 = 0, x [0; ]. Непосред- x Р е ш е н и е. Предельная функция f(x) = lim x + ственной проверкой убеждаемся 0 f (x)dx = 0 xdx x + = d( x + ) x + 0 l( + ) поэтому lim f (x) = lim 0 С другой стороны, Таким образом, lim 0 lim f (x)dx = 0 f (x)dx = = dx = 0. ( lim f (x) = l( x + ) 0 = l( + ), ) dx, т. е. переход к пределу под знаком интеграла возможен. Заметим, однако, что последовательность (f (x)) сходится на [0; ] к f(x) неравномерно, так как f (x) f(x) = x x + = [ x = ] [0; ] = x= x 0. Пример 5.. Исследовать на равномерную и локальную равномерную сходимость последовательность (f ), f (x) = x, на множестве X = (0; ). + x x Р е ш е н и е. Находим предельную функцию f(x) = lim f (x) = lim + x = 0. Поскольку sup x (0;) ( x + x = sup ) x (0;) + x = 0, то последовательность не является равномерно сходящейся на X. Исследуем ее теперь на локальную равномерную сходимость. Пусть [α; β] произвольный отрезок, [α; β] (0; ). Тогда sup x [α;β] x + x = sup x [α;β] ( + x ) = + β 0. Следовательно, f (x) [α;β], что и означает локальную равномерную сходимость последовательности (f (x)) на (0; ). Пример 5.. Исследовать на непрерывность функцию f(x) = k si 3 k x на множестве ее задания. Р е ш е н и е. При x = 0 члены ряда не определены. Если же x 0, то k si 3 k x ( ) k ( ) 3 x при k. Ряд k сходится, поэтому f определена на R \ {0}. 3 x 0

21 Исследуем f на непрерывность. Для любого отрезка [α, β] (0, + ) справедлива оценка k si 3 k x ( ) k k 3 k x 3 α k N. ( ) Ряд k 3 α сходится, поэтому ряд k si сходится на [α, β] равномерно, 3 k x что означает его локальную равномерную сходимость на (0, + ). Так как члены ряда непрерывны на (0, + ), то f непрерывна на (0, + ) (см. замечание на c. 6). Функция f является нечетной, а поэтому она непрерывна и на интервале (, 0). Таким образом, функция f непрерывна на множестве задания, т. е. на R \ {0}. Заметим, однако, что ряд k si сходится неравномерно на (0, + ), так как 3 k x u (x) = [ x = 3 ] x= x = si +, (0,+ ) т. е. u (x) 0. Поэтому применить теорему Стокса-Зейделя в основной формулировке (см. с. 4) на (0, + ) невозможно. Пример 5.3. Доказать, что функция f(x) = ( ) дифференцируема на = l + x множестве ее задания. Р е ш е н и е. При каждом фиксированном x R ряд сходится согласно признаку Лейбница, следовательно, функция определена на R. При каждом фиксированном > функции u (x) = ( ) l + x и u (x) = ( ) x ( l + x ) непрерывны на R. Ряд ( ) x сходится равномерно на любом отрезке [α, β] R согласно = ( l + x ) признаку Вейерштрасса, так как ( ) x l + x ) max{ α, β } l = max{ α, β } l, = а ряд = l сходится согласно интегральному признаку. Следовательно, ряд u (x) сходится локально равномерно на R. Таким образом, функция f дифференцируема на R и ее производная может быть вычислена путем почленного дифференцирования исходного ряда, т. е. f (x) = ( ) x ( l + x ). =

22 6. Некоторые рекомендации при исследовании функционального ряда на равномерную сходимость 0. Удостовериться, что ряд u k (x) действительно сходится на X. 0. Попытаться использовать признак Вейерштрасса: а) если нетрудно установить оценку u k (x) b k x N x X, и ряд b k сходится, то u k (x) X ; б) вычислить sup u k (x) = a k (можно использовать методы поиска x X глобального максимума (супремума) методами дифференциального исчисления). Если a k сходится, то u k (x) X. Если же окажется, что ряд a k расходится, то придется продолжить исследование другими методами Возможно, для любого N существует такое x X, что X u ( x ) 0 при. Тогда u (x) 0, что, в свою очередь, влечет неравномерную на X сходимость ряда. Если же u (x) X 0, то исследование ряда на равномерную сходимость следует продолжить Если частные суммы S (x) ряда u k (x) легко преобразуются, и возможно найти сумму ряда S(x) = lim S (x), то можно исследовать на равномерную сходимость функциональную последовательность (S (x)) методами раздела. Если S (x) X S(x), то ряд сходится на X равномерно, если же S (x) X, то и ряд сходится на X неравномерно Если удается оценить остатки ряда r (x) : r (x) α N x X, α не зависит от x и lim α = 0, то ряд сходится равномерно на X Если исследуемый ряд имеет вид ( ) k v k (x), где v k (x) > 0 при всех k N и всех x X, то можно попытаться воспользоваться

23 признаком Лейбница Представить ряд в виде a k (x)b k (x) и попытаться проверить выполнение условий признака Абеля либо признака Дирихле Если функции u (x) непрерывны на X, а сумма ряда функция разрывная на X, то ряд сходится неравномерно на X Если x 0 предельная точка множества X и существует конечный предел lim u (x) = b, а ряд b расходится, то ряд u (x) x x0 сходится неравномерно на R Использовать критерий Коши равномерной сходимости. Если на X выполнено равномерное условие Коши, то ряд сходится равномерно на X, если же имеет место его отрицание, то сходимость неравномерная на X. 3

24 7. Вариант контрольной работы Основные задачи. Исследовать на равномерную сходимость функциональную последовательность (f ), f (x) = ( x + ) x, на множестве E = (0; + ). ( Р е ш е н и е. Предельная функция f(x) = lim x + ) x = = lim x + + = 0. Рассмотрим f (x) f(x) = ( x + x ) x. ( Поскольку lim x + x +0 ) x =, то sup f (x) f(x) и, следовательно, sup f (x) f(x) 0. Поэтому сходимость на множестве (0; + ) x (0;+ ) x (0;+ ) неравномерная.. Исследовать на равномерную сходимость последовательность (f ), f (x) = 4 + 3x, на множестве E = [0; ]. + 3x + 4 Р е ш е н и е. Предельная функция f(x) = lim f (x) f(x) = 4 + 3x + 3x x 4 + 3x + 3x + 4 = 3 x. Имеем 4 = 6 3x 9x 4( + 3x + 4) 6 4( + 4) 0. На основании следствия. последовательность (f ) сходится равномерно к f на отрезке [0; ]. 3. Исследовать на равномерную сходимость ряд на множестве E = [ ; + ). (x + ) + 3 (x + ) (x + ) (x + ) Р е ш е н и е. u (x) = = для всех x и + 3 (x + ) 3 (x + ) 3 всех N. При x = справедливость такой оценки проверяется непосредственно: 0. Следовательно, u (x) для всех N и всех x E. Поскольку ряд 3 3 сходится, то по признаку Вейерштрасса (x + ) [ ;+ ). 3 + (x + ) 3 4

25 4. Исследовать ряд x + 3x + si на равномерную сходимость на множестве E = [; 4x + + ). Р е ш е н и е. Ряд сходится на множестве [; + ) по теореме сравнения: u (x) = x + 3x + si 4x + x +, а ряд x + сходится при любом фиксированном x. Поскольку u (x) = [ x = ] = + x= x 3 + si si 4 0, то на основании следствия.3 u (x) [;+ ) 0. Не выполнено необходимое условие равномерной сходимости ряда, следовательно, ряд сходится неравномерно на [; + ). 5. Исследовать на непрерывность функцию f(x) = множестве ее задания. x cos x + 4 x 6 на Р е ш е н и е. Легко видеть, что ряд сходится при любом фиксированном значении x x R. Поэтому D(f) = R. Рассмотрим функцию ϕ(x) = + 4 x, x R: 6 ϕ (x) = x 44 x 7 ( + 4 x 6 ), ϕ (x) = 0 = x = ± 6 4. Поскольку ϕ(0) = 0, ϕ(± ) = 0, то ( ) u (x) = x cos x + 4 x 6 ϕ 6 = x R. 4/3 Так как 4/3 сходится, то заданный ряд по признаку Вейерштрасса сходится абсолютно и равномерно на R. Поскольку члены ряда непрерывны на R, то f(x) непрерывна на R в силу теоремы Стокса-Зейделя. 6. Исследовать на дифференцируемость функцию f(x) = на множестве ее задания. Р е ш е н и е. Для исследования сходимости ряда применим признак Коши: lim u (x) = lim e x = 0, если x > 0,, если x = 0, если x < 0. e x Следовательно, при x > 0 ряд сходится, при x 0 расходится. Таким образом, множество задания функции f это интервал (0; + ). На любом отрезке [α; β] (0; + ) имеем u (x) = e x e α при всех x [α, β] 5

26 и всех N. Числовой ряд e α сходится по признаку Коши, поэтому, ряд u [α,β] k (x), т. е. сходится локально равномерно на (0; + ). Следовательно, функция f дифференцируема на (0; + ). Дополнительные задачи. Исследовать на равномерную сходимость последовательность (f ), f (x) = x arctg 3 x, на множестве E = [0; + ). Р е ш е н и е. Предельная функция f(x) = Имеем lim f (x) = lim x arctg 3 x = πx. ( ) r (x) = f (x) f(x) = π x x arctg 3 x π = x arctg 3 x = = [воспользуемся равенством π arctg x = arctg x ], x > 0 = = x arctg 3 x [arctg x x] 3. Для x = 0 справедливость этой оценки проверяется непосредственно. Таким образом, r (x) для всех N и всех x [0; + ). Поскольку 0 при, 3 3 то по следствию. сходимость рассматриваемой последовательности равномерная, т. е. x arctg 3 x [0,+ ) πx. ( ) (+). Исследовать ряд на равномерную сходимость на множестве E = [0; + ). + x l( + x ) Р е ш е н и е. Воспользуемся признаком Дирихле, положив Имеем a (x) = b k (x) = + x l( + x ), ( ) k(k+) b (x) = ( ) (+). N, x [0; + ). Последовательность (a (x)) монотонна при каждом фиксированном x 0. Кроме того для всех x 0 и всех натуральных a (x) = x x ( + x )( + x l( + x 3 )) = (x ) + ( + x )( + x l( + x )) 0. Значит, при каждом фиксированном функция a (x) убывает на промежутке [0, + ), и поэтому sup a (x) = a (0) = x [0;+ ) 6 l 0,

27 что в силу следствия. означает равномерную сходимость последовательности E (a (x)) к нулю, a (x) 0. На основании признака Дирихле ряд сходится равномерно на множестве E. ( 3. Исследовать на равномерную сходимость ряд x e x ) 3 на + x 3 множестве E = [0; + ). Р е ш е н и е. Попробуем применить признак Вейерштрасса. Имеем [ x e x + x 3 ab a + b, x x + x = 3 ] x 3 x xe x + x 3. Рассмотрим функцию ϕ(x) = xe x : ϕ (x) = x e x xe x = 0 = x =. ( ) Так как ϕ(0) = 0, ϕ =, ϕ(+ ) = 0, то ϕ(x) для всех x E. Поэтому e e x e x + x 3 для всех N и всех x E, и, следовательно, e Поскольку ряд ( ) 3 ( ) 3 u (x) = e e. 3/ сходится, то по признаку Вейерштрасса исходный ряд сходит- 3/ ся равномерно на E. 4. Найти все значения α, при которых последовательность (f ), f (x) = α xe x, сходится равномерно на множестве E = [0; + ). Р е ш е н и е. Предельная функция f(x) = lim α xe x = 0 α R, x E. Рассмотрим функцию ϕ (x) = f (x) f(x) = α xe x. Найдем супремум этой функции на E : ϕ (x) = α e x ( x ), поэтому x = стационарная точка. ( ) Так как ϕ (0) = 0, ϕ (+ ) = 0, ϕ sup ϕ (x) = x E f (x) = α e = x / α. Поэтому, если α > 0, т. е. α < E f(x) в силу супремального критерия. Если же α 0, т. е. α, то sup x E e / α α, то, то sup ϕ (x) 0 и x E ϕ (x) 0 и, следовательно, f (x) 7 E f(x).

28 5. Исследовать на непрерывность функцию f(x) = ( + x )( + 4x )... ( + x ) на множестве ее задания. Р е ш е н и е. Если x 0, то u (x) = ( + x )( + 4x )(... ( + x ) ( + x ), и так как lim ( + x ) = <, то на основании признака Коши и + x признака сравнения ряд сходится. Поскольку u (0) = 0, то при x = 0 ряд расходится. Таким образом, функция f(x) определена на R \ {0}. Исследуем непрерывность функции на интервале (0; + ). На этом множестве члены ряда u (x) непрерывны. Для любого отрезка [α; β] (0; + ) справедлива оценка u (x) ( + x ) x [α, β], N, ( + α ) и ряд ( + α ) сходится (по признаку Коши). Значит ряд u (x) сходится на (0; + ) локально равномерно и, следовательно, f(x) непрерывна на (0; + ) в силу замечания на с. 6. Поскольку функция f четная, то f непрерывна и на R \ {0}, т. е. на всем множестве своего задания. 6. На интервале (0; ) исследовать на дифференцируемость функцию ( ) f(x) = l( + x) ( ) Р е ш е н и е. Имеем u (x) = l( + x). ) ряд u (x) сходится при каждом x из интервала (0; ) по признаку Лейбница; ) функции u (x) и u ( ) (x) = непрерывны на (0; ); ( l( + x)) ( + x) 3) u (x) = ( l( + x)) ( + x) ( l( + )). Ряд ( l( + )) сходится, так как ( l( + )) 4, и ряд сходится. Поэтому u (x) (0;). Таким образом, выполнены все условия теоремы о почленном дифференцировании ряда, и, следовательно, функция f дифференцируема на интервале (0; ). 8

29 8. Упражнения I. Найти предельные функции последовательностей (f (x)).. f (x) = x x.. f (x) = (x ) arctg x. 3. f (x) = l( + x ), x f (x) = + e (x+). 5. f (x) = ( + x). 6. f (x) = x arctg x. 7. f (x) = x +, x x 8. f (x) = x + ex + xe x. ( ) x 9. f (x) = + x +. II. Найти множества, на которых определены функции, являющиеся суммами рядов ( ) 3 ( x x + ).. x + x. 4. x ( + e x ) (x 4x + 6). x 3 x ( ) + x. x 7. ( ) x+ x. x 9. ( ) + (3x + 4x + ) x.. ( + 5 ) e ( ) + x.. e. si x l (x + ). (x) arctg x +. 3 tg x (x 3 ) si x. 6. l (x + ) x e. (3x) tg x 3. 9

30 III. Исследовать последовательности (f (x)) на равномерную сходимость на указанных множествах E.. f (x) = x + 4, E = [; 5].. f (x) = x x +, E = R. 3. f (x) = e x + x + x, E = (0; + ). 4. f (x) = x x + x + 5. f (x) = xe x, E = [0; ]. 6. f (x) = 7. f (x) = x ( + l x ), E = [; + ). 8. f (x) = 9. f (x) =, E = [0; + ). 6x + l, E = R. 4x, E = [; + ). + 4 x e x +, E = [0; + ). 0. f (x) = x + x, E = [0; ].. f (x) = x x 3, E = [0; ].. f (x) = 3. f (x) = 4x, E = [0; 0, 5]. + 4x + arctg x + x +, E = (0; ). 4. f (x) = 7x, E = [0; 3]. + 3 x3 5. f (x) = x + + x, E = [0; 00]. 6. f (x) = e x + 4, E = [0; + ). + x + 7. f (x) = 4x + x, E = (0; 4]. 8. f (x) = x, E = ( ; ). 9. f (x) = x x, E = (; + ). 0. f (x) = x, E = [0; ]. 4 + x. f (x) = si x + 4, E = R.. f (x) = si x, E = [0; + ). + x + 3. f (x) = x + + x, E = [0; ]. 4. f x + (x) = x +, E = [0; 4]. + x + 5. f (x) = 4x 4 + x, E = [0; ]. 6. f (x) = 4x, E = [0; 0, 5). + x 7. f (x) = ( + x) (x + 3), E = ( ; 0). 8. f (x) =, E = ( 4; ). 9. f (x) = si x +, E = R. 30. f (x) = cos( + )x, E = R f (x) = cos x, E = R. 3. f (x) = arctg x + e, E = [0; + ). si x 33. f (x) = l, E = R. 34. f (x) = 3 arctg x x, E = [0; + ). 35. f (x) = arctg( + x ) + si x, E = R. 36. f (x) = e (x+), E = R. 37. f (x) = cos x, E = (π/3; π/3). 38. f (x) = 4x + 3, E = R. 39. f (x) = si( + x) + cos( + x ) + x + + x, E = R. 30

31 IV. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость рядов на множествах E ( ) si x + +, E = R x + x, E = [0; + ). 4. x + x x x + 4, E = [; 8]. 6. cos( x + x 3 ) 3 + x 4, E = R. 8. si 3 ( + x) + cos( x) x 6, E=R. 0. x + x, E = [0; + ).. 3 x + 8 x, E = [0; + ) x + 3 x, E = R x + 4 x, E = [0; + ) x 7 + x, E = R (. l + x3 + x + 3 ( 3. l + x + 3 x ( l + x x + 3 ), E = [0; e].. ), E = [; 0]. 4. ), E = R. 6. arctg(x 6 e x ), E = R. 8. l( + x 8 e x ), E = R. 30. si π e x, E = [0; + ). 3 cos x e x + e, E = R. 3 + ( ) arctg(x + x ) + 4, E = R. + x x 3, E = [; + ). 3 x + x3 si x + cos x 3 + x, E = R. si x cos x 4 + x + x 4, E = R. x + 4 x 4, E = R. 3 x x 4, E = R. x, E = [0; + ). + 7 x3 x, E = [0; + ). + 3 x5 x + 4 x 6, E = R. x si, E = [0; 4]. + 4 x + 3 arctg + x, E = R. x si x 4 +, E = R. 3 si(x 0 3 e x ), E = R. arctg(x 7 e x ), E = R.

32 V. Пользуясь признаками Абеля и Дирихле, доказать равномерную сходимость рядов на множествах E ( ) e x l, E = [0; + ).. ( ) ( + 3) e x, E = [0; + ). + 8 ( ) e x, E = [0; + ). 4. ( ) + 30 e x, E = [0; + ). = ( ) e x +, E = [0; + ) ( ) + 4 e x, E = [0; + ). 8. = ( ) + e x, E = [0; + ). 0. ( ) ( + ) e x, E = [0; + ). ( ) e x, E = [0; + ). cos x 3 +, E = [π/94; 37π/9].. = cos x l, E = [π/8; 5π/6] cos x + +, E = [π/0; 9π/5]. 6. cos x 00 +, E = [π/3; 3π/7]. 8. cos x, E = [π/7; 7π/4] si x, E = [π/; 5π/3]. + 4 si x, E = [π/8; 7π/4]. l si x, E = [π/36; π/6]. l l ( + ) si x, E = [π/4; 39π/40]. + 4 ( + ) si x, E = [π/6; 9π/6]. + VI. Пользуясь определением, доказать равномерную сходимость рядов на множествах E ( x x + 4 x ( + ) x + 4 ( x x3 + x + x3 + ( x 3 x x 3 ( + )x ( x 3 x x ( + ) 3 x ( x x 3 + x ( + ) x 3 + ( x x x ( + ) x ), E = (0; + ). ), E = (0; + ). ), E = (0; + ). ), E = (0; + ). ), E = (0; + ). ), E = (0; + ). 3

33 ( x 7. x 3 + x ( + )x 3 + ( x 3 8. x 4 + x 3 ( + ) x 4 + ( x 9. 3 x 3 + x ( + ) 3 x 3 + ( x 0. 3 x + x ( + ) 3 x + ), E = (0; + ). ), E = (0; + ). ), E = (0; + ). ), E = (0; + ). VII. Исследовать ряды на равномерную сходимость на указанных множествах E ( ) + x, E = R.. ( ) x + l x e x, E = [; 0]. 4. ( ) ( + ) l + x, E = (0; + ). 6. x, E = (0; ). 8. e x +, E = (0; ). 0. ( ) 3 + x, E = (0; + ).. x( + ) 3 +, E = (0; + ) x si x, E = [0; ]. 6. cos πx 3 x +, E = R si x + cos x ( + x ) l ( + ), E = R. 0. si x 5 00 (x + 00 ), E = [0; + ).. x 3 + x + x 3, E = [; 3] =3 ( ) e x, E = [0; + )., E = (0; ]. + x ( ) ( + 4), E = (0; + ). + 3x ( ) l, E = (0; + ). x 3 + ( ) ( + ) + x 4, E = R. ( ), E = (0; + ). x + l( + ) ( ) 4, E = [0; π]. + si x si x, E = ( /4; /4). (x + ) arctgx + x, E = R. e x, E = (0; + ). e x cos x, E = (0; π/). ( ) ( + x), E = ( 5; 5). + x

34 x e x, E = (0; + ). 6. si x + + x +, E = R x + + x x + x +, E = [0; ] ( ) x + + x, E = R. 3. si x + cos x + + x, E = [; 4]. 34. ( ) + cos x, E = (0; + ). 36. cos π + x +, E = ( /; + ). 38. cos π 3, E = [0; 6]. 40. x + arctgx, E = [0; π/4]. 3 + x + l x, E = (0; + ). + x cos x, E = ( ; ). (x + 5) cos x, E = (0; ). + x ( ) e x, E = [0; + ). si x + x +, E = (π/; 3π/). arctg x, E = (0; ). + ex si π, E = [; + ). + x ( ) +, E = [0; ]. x + 43 VIII. Исследовать на непрерывность функции f(x) на их множествах задания.. f(x) = =0 3. f(x) = 5. f(x) = = 7. f(x) = 9. f(x) = x 3 ( + x ).. f(x) = l x 3/ + l x.. f(x) = e x. 3. f(x) = si x l + si x. 4. f(x) = xe x. =0 6. f(x) = x ( + x ). 8. f(x) = si x cos x + si x + sh x. =0 si(x + 3) + x. arctg + arctgx. 5 + ch x si x ( + x ). 0. f(x) = x + (x + x ).. f(x) = arctgx!. 4. f(x) = 34 si 3 πx 3. (l x).

35 5. f(x) = 7. f(x) = 9. f(x) =. f(x) = si x + cos x si x x + sh x ch x + ch. arctgx x 6. ( ) 3 x + x. 3. f(x) = ( ) arctg + x. 5. f(x) = l si 3 x f(x) = l x + e x. 8. f(x) = + 3 = si x +. 4 ( 0. f(x) = x + ).. f(x) = 4. f(x) = x +. x ( + e x ). IX. Вычислить пределы.. lim x 0 3. lim x + 5. lim x 0 7. lim x 0 9. lim x 0. lim ( ) + x + x lim x π x. 4. lim + 3 x x + x lim 5 + x + 4x 3 x 0 x π =0 3. lim ( ) 3 x + (x ). 8. lim (x ) + x 0 =0 cos x. 0. lim (x + 3) x +0 x 0 x si + x.. lim 3 + x (x + )(x + + ). si x x + (x + x + 4). x + 3. x + x + x 0. si x x + x + 3 x 4 3. x x 3. X. Доказать законность почленного дифференцирования рядов на указанных множествах E.. f(x) = 3. f(x) = ( ), E = (0; + ). + x. f(x) = e x si π, E = [0; + ). 4. f(x) = 35 cos x 9, E = [π/; 3π/]. + ( ) e x, E = [0; + )

36 5. f(x) = 7. f(x) = = 9. f(x) =. f(x) = si x + x, E = [0; 0]. 6. f(x) = si x, E = [π/6; π/6]. l 8. ( ) + l x, E = (; + ). cos x + cos, E = (0; π). x. f(x) = 0. f(x) = f(x) = si x + cos x, E = R. + ( ) ( + 4), E = [0; + ). + 3x arctgx!, E = R. cos x, E = (0; + ). + + x XI. Доказать законность почленного интегрирования рядов на указанных множествах E.. f(x) =. f(x) = 3. f(x) = 4. f(x) = 5. f(x) = 6. f(x) = 7. f(x) = 8. f(x) = 9. f(x) = 0. f(x) = ( ) si( + x), E = [0; 3]. + + x x, E = [0; 4]. + x3 + ( ), E = [ 4; 8]. arctg( + x) + 5 x + x + 3, E = [; 5]. x + si x + cos( + x) x + x, E = [4; 8]. si(x ) cos(x + ) x + x + x, E = [3; ]. l( + x) (l + l, E = [5; 8]. x) e x +, E = [0; 45]. + x sh x + ch x e, E = [0; ]. arctg( + x), E = [; 0]. x + 36

37 . f(x) = x + x +, E = [ 8; 0]. x 4 + x + 4. f(x) = ( ) x l x, E = (0; ].! XII. Выяснить, можно ли вычислять предел lim переходя к пределу под знаком интеграла. b a f (x)dx, [a, b] = E,. f (x) = arctgx + x, E = [0; ].. f (x) = x +, E = [0; 4]. + x + 3. f (x) = x 5. f (x) = ( + 3 l x ), E = [; e]. 4. f (x) = xe x, E = [0; ]. x + x 4, E = [0; ]. 6. f (x) = 7. f (x) = x si x, E = [0; π]. 8. f (x) = 3x, E = [0; ]. + 8 x, E = [0; ]. + x 9. f (x) = x cos x, E = [0; π]. 0. f (x) = si x cos x, E = [0; π/].. f (x) = x 3 x +, E = [0; ].. f (x) = x, E = [0; ]. + 3 x6 3. f (x) = x + (e x + ), E = [0; ]. 4. f (x) = x( x ), E = [0; ]. 5. f (x) = x x, E = [0; ]. 37

38 9. Задания для лабораторных работ Лабораторная. Пусть f (x) = α xe x, N.. Найти множество D сходимости последовательности (f ) и ее предельную функцию f.. Пусть α = 0. Будет ли сходимость последовательности (f ) к функции f равномерной на D? 3. Найти все значения α R, при которых последовательность (f ) сходится к предельной функции f равномерно на множестве D. 4. Для значений α, при которых сходимость последовательности (f ) к функции f не является равномерной на D, указать какое-либо подмножество D D, для которого f (x) D f(x). 5. Пусть α = 0. Найти множество сходимости и сумму ряда =0 f (x). 6. Используя теорему Стокса-Зейделя, исследовать при α = 0 равномерную сходимость ряда f (x) на его множестве сходимости. Лабораторная. =0 Пусть u (x) = xe x, N.. Найти множество D сходимости последовательности (u ) и ее предельную функцию.. Будет ли сходимость последовательности (u ) равномерной на D? 3. Найти множество D сходимости ряда u (x). 4. Показать, что сумма s этого ряда разрывна в точке x = Является ли ряд u (x) равномерно сходящимся на [0, + )? 6. Исследовать на непрерывность функцию s на (0, + ). 38

39 Лабораторная 3. Пусть f (x) = ex + xe x, x [0, + ), N. + x. Указать множество D [0, + ), на котором последовательность (f ) сходится, и найти ее предел f.. Будет ли сходимость последоваетльности (f ) к функции f равномерной на D? 3. Найти множество D сходимости последовательности производных (f ) и ее предел. 4. Показать, что сходимость последовательности (f ) не будет равномерной на D. 5. Указать какое-либо подмножество D D, на котором последовательность (f ) сходится равномерно. 6. Вычислить lim Лабораторная 4. 0 ( + x )f (x)dx. Пусть f (x) = e (x ), N.. Найти множество D сходимости последовательности (f ) и ее предельную функцию f.. Показать, что последовательность (f ) сходится к функции f равномерно на [ l, l], при любом l (0, + ). 3. Будет ли сходимость последовательности (f ) к функции f равномерной на R? 4. Доказать теорему: если функциональный ряд u (x) сходится равномерно на X, то u (x) X Сходится ли равномерно на R ряд f (x)? 6. Указать какое-либо множество, на котором ряд f (x) будет равномерно сходящимся. 7. Доказать непрерывность суммы ряда f (x) на R. 39

40 Лабораторная 5. Пусть u (x) = xα e x, α > 0, N.. Найти множество D сходимости ряда u (x).. Найти sup u (x) и доказать равномерную сходимость ряда u (x) [0,+ ) на промежутке [0, + ). 3. Показать, что сумма ряда s(x) = u (x) непрерывна на [0, + ). 4. Показать, что ряд x α u (x) не является равномерно сходящимся на интервале (0, + ). 5. Доказать, что функция m(x) = x α s(x) непрерывна на (0, + ). Найти lim x + m(x). 6. Показать, что функция m(x) непрерывно дифференцируема на интервале (0, + ). 7. Вычислить производную m (x), а затем найти функции m(x) и s(x). Лабораторная 6. Пусть u (x) = p e x, p R, N.. Показать, что при p = последовательность (u ) сходится равномерно на [0, + ).. Найти все значения p, при которых последовательность (u ) сходится равномерно на [0, + ). 3. Показать, что функция u(x) = lim u (x) непрерывна на (0, + ) при любом p R. 4. Найти все p, при которых ряд p e x имеет сходящуюся числовую мажоранту на [0, + ). 5. Показать, что функция s(x) = любом p R. 6. Для каких p функция s непрерывна на [0, + )? p e x непрерывна на (0, + ) при 7. Показать, что функция s имеет на (0, + ) производные любого порядка. 40

41 Лабораторная 7. Пусть f (x) = l( + x ), N.. Найти множество D сходимости последовательности (f ) и ее предельную функцию f.. Будет ли сходимость последовательности (f ) к функции f равномерной на D? 3. Показать, что lim b a f (x)dx = 0 для любого отрезка [a, b] R. 4. Найти множество D сходимости последовательности (f ) и ее предельную функцию. 5. Будет ли сходимость последовательности (f ) равномерной на D? 6. Можно ли к последовательности (f ) на D применить теорему о почленном дифференцировании? 7. Справедливо ли равенство lim f (x) = ( lim f (x))?(сравнить с заданиями 5 и 6.) Лабораторная 8. Пусть f (x) = α x ( x ), N, α R.. Для каждого значения α найти множество сходимости D α последовательности (f ) и предельную функцию f.. Показать, что при α = 0 сходимость последовательности (f ) к функции f не будет равномерной на D Изучить равномерную сходимость последовательности (f ) к функции f на D α при каждом α R. 4. Для значений α, для которых сходимость последовательности (f ) к предельной функции f не является равномерной на D α, найти какоелибо подмножество D α D α такое, что f (x) D α f(x). 5. Пусть α = 0 и u (x) = x ( x ). Найти множество сходимости D ряда u (x) и его сумму. 6. Используя теорему Стокса-Зейделя, изучить равномерную сходимость ряда u (x) на D. 4

42 Лабораторная 9. Пусть u (x) = xe x, N.. Найти множество сходимости D и предел u последовательности (u ).. Будет ли сходимость последовательности (u ) к функции u равномерной на D? 3. Найти множество сходимости D ряда u (x). 4. Доказать теорему: если функциональный ряд u (x) сходится равномерно на X, то u (x) X Показать, что сходимость ряда множестве D. 6. Найти множество сходимости ряда u (x). u (x) не является равномерной на 7. Показать, что функция s(x)= u (x) имеет производную на (0, + ). Лабораторная 0. Пусть f (x) = x +, N.. Найти множество D сходимости последовательности (f ) и ее предельную функцию f.. Будет ли сходимость последовательности (f ) к функции f равномерной на D? 3. Показать, что все функции f, N, дифференцируемы на D. Найти предел последовательности (f ). 4. Изучить дифференцируемость f на D. Используя теорему о почленном дифференцировании последовательности, изучить равномерную сходимость на D последовательности (f ). 5. Пусть u (x) = f (x) x, N. Изучить сходимость ряда u (x). 6. Используя теорему о почленном переходе к пределу в рядах, изучить равномерную сходимость ряда u (x) на D. 7. Найти какое-либо подмножество D D, на котором ряд u (x) сходится равномерно. 4

43 Лабораторная. Пусть f (x) = p si x cos x, x [0, π/], N.. При каждом p R найти f(x) = lim f (x), x [0, π/].. Вычислить интегралы I = π/ π/ 0 f (x)dx и найти lim I. 3. Сравнить lim I и f(x)dx. Отсюда найти те значения параметра p, 0 при которых сходимость (f ) на [0, π/] заведомо неравномерная. 4. Показать, что для p < 0 сходимость последовательности (f ) к функции f равномерная на [0, π/]. 5. Выяснить, для каких p сходимость последовательности (f ) к функции f равномерная на [0, π/]. 6. Указать какое-либо множество D [0, π/], на котором сходимость последовательности (f ) к функции f будет равномерной при любом действительном p. 7. Показать, что при p < 0, 5 сумма ряда f (x) является непрерывной на промежутке [0, π/] функцией. 43

44 0. Ответы и указания { 0, x <, I.. f(x) =, x =. { l, 0 < x, 3. f(x) = l x, x >. {, < x < 0, 5. f(x) = 0, x = 0. 0, 0 x <, 7. f(x) = x, x >,, x =. 9. f(x) =, < x >, x, x, x, x >, x <. { 0, < x,. f(x) = π(x )/, x >. {, x, 4. f(x) = e x+, x >. 6. f(x) = π x /. x, x < 0, 8. f(x) = x, x > 0,, x = 0. II.. [ /3; 3].. (; 3]. 3. {0}. 4. [0; + [. 5. R. 6. ( ; 0). 7. (/4; + ). 8. (; + ). 9. ( ; ) ( /3; + ) R\{0}.. (kπ; (k +)π), k Z. 3. ( ; + e ) ( + e; + ). 4. [ / 3 ; / 3 ). 5. [ /; /) ( π/6 + πk; π/6 + πk), k Z. 8. [ /3; /3). III. Здесь r (x) = f (x) f(x), A некоторое число, A 0.. Равномерно, r (x) Равномерно, r (x). ( ) 3. Неравномерно, r Неравномерно, r () 0. ( ) 5. Неравномерно, r Равномерно, r (x). l 7. Неравномерно, r () Равномерно, r (x) r () Равномерно, r (x). 0. Равномерно, sup r 3/4 (x) 0. E ( ).Неравномерно, r 0.. Равномерно, r (x) A 3. ( ) 3. Равномерно, r (x) π/. 4. Неравномерно, r 0. 5.Равномерно, r (x) A. 6. Равномерно, r (x) 5. 44

45 ( ) 7. Неравномерно, r Неравномерно, sup r (x) Равномерно, r (x). 0. Равномерно, r (x).. Равномерно, r (x).. Равномерно, r (x). 3. Равномерно, r. 4. Равномерно, r (x) A. ( ) 5. Неравномерно, r Равномерно, r (x) A. 7. Неравномерно, sup r (x) 0. E 8. Равномерно, r (x) 9. Равномерно, r (x). 30. Равномерно, r (x) Неравномерно, r () Равномерно, r (x) e /. 33. Равномерно, r (x) l. 34. Неравномерно, r () Равномерно, r (x) A (. 36. Неравномерно, r ) Равномерно, r (x). 38. Равномерно, r (x) A. 39. Равномерно, r (x) +. 4 IV. В заданиях, 3 0, 6, 3 найти sup u (x) = c и рассмотреть ряд c. E v (x) = c. 7. arctg(x 6 e x ) x 6 e x = v (x). Найти sup E 8. si(x 0 3 e x ) x 0 3 e x = v (x). Найти sup E 9. l( + x 8 e x ) x 8 e x = v (x). Найти sup E 30. arctg(x 7 e x ) x 7 e x = v (x). Найти sup E v (x) = c. v (x) = c. v (x) = c. VII. 3, 5, 6, 8, 0, 4, 3, 3, 35 сходятся равномерно по( признаку ) Лейбница. 4. Неравномерно; u (x) не сходится равномерно к 0 на E, u =. 7. Неравномерно; sup u (x) = Неравномерно; lim u (x) = E x 0 + и ряд расходится (см. теорему о почленном предельном переходе c. 4). + ( ) 3. Неравномерно; sup u (x) = Неравномерно; sup u (x) u E E. 6 9,, 3, 4, 7 9, 40, 4 сходятся равномерно по признаку Вейерштрасса. 45

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество, -алгебра подмножеств множества X и на задана -аддитивная полная

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Задачи по высшей математике для биологов

Задачи по высшей математике для биологов МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ БИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Бобров А.Н. Радославова Т.В. Задачи по высшей математике для биологов МОСКВА 03 УДК

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Московский физико-технический институт государственный университет) О.В. Бесов ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ Учебно-методическое пособие Москва, 004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Тригонометрические ряды

Подробнее

УДК (072)(075.8)

УДК (072)(075.8) БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Методические указания к решению задач на интегралы с параметром. Учебно-методическое пособие

Методические указания к решению задач на интегралы с параметром. Учебно-методическое пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Методические указания к решению задач на интегралы с параметром Учебно-методическое пособие

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и варианты заданий к контрольной

Подробнее

Методические указания

Методические указания Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Методические указания В.Я. Томашпольский, М.Н. Шевченко, И.О. Янов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана Московский государственный

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент.

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Определенный интеграл. Несобственный интеграл.

Определенный интеграл. Несобственный интеграл. министерство образования и науки российской федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

Список задач. для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2. x x dx;

Список задач. для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2. x x dx; Список задач для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2 I. Неопределённый интеграл. Вычислить интеграл: 1. 1 sin 2x (0 x π); 2. 3. x 2 + 1 x 4 + 1 ; 3 sin 2 x 8 sin

Подробнее

8. Определенный интеграл

8. Определенный интеграл 8. Определенный интеграл 8.. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x,..., x n, x n } [, b], что = x < x < < x n < x n =

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Тема 5. Оценка интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций

Тема 5. Оценка интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций Тема 5. Оценка интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций На этом занятии рассматривается вычисление интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций. Обсуждаются случаи

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр 1, часть I

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр 1, часть I МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Основные вопросы для подготовки к коллоквиуму 30 октября, семестр, часть I Аксиоматический подход к описанию множества действительных чисел.. Сформулировать группу аксиом сложения.

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы.

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ I О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение Преобразованием Фурье функции из L называется функция определяемая равенством d Оператор F : называется

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Современная математика и ее приложения. Том 68 (211). С. 4 5 УДК 517.95 НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА c 211 г. К. Б. САБИТОВ, Н. В. МАРТЕМЬЯНОВА АННОТАЦИЯ. Доказывается

Подробнее

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B).

множества Z = X Y называют произведением полуколец S X и S Y и обозначают S X S Y. Для A S X, B S Y положим A B)= X(A) Y(B). ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ТЕОРЕМА ФУБИНИ. ПРОСТРАНСТВА Lp, I. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Определение. Пусть и Y множества, и Y меры, заданные на полукольцах S и S Y подмножеств множеств и

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Равномерная непрерывность функций одной переменной. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, Н.Т. Левашова, Н.Е. Шапкина Равномерная непрерывность функций одной переменной.

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механико-математический факультет А. В. Грешнов, С. А. Малюгин, В. Н. Потапов СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Необходимые и достаточные условия второго порядка в простейшей вариационной задаче Необходимые

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ)

5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ) 5 ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 5 Программа курса «Ряды и обыкновенные дифференциальные уравнения» Аннотация: Изучаются числовые и степенные ряды а также

Подробнее

(a k cos nx + b k sin nx) (5.1.1) k=1

(a k cos nx + b k sin nx) (5.1.1) k=1 Глава 5. Ряды Фурье 5.. Занятие 5 5... Основные определения Функциональный ряд вида a 2 + (a k cos x + b k si x) (5..) называется тригонометрическим рядом, числа a и b коэффициентами тригонометрического

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО РАЗДЕЛУ «РЯДЫ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр. 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 семестр 1. Числа 1.1. Числовые множества. Множество натуральных чисел множество целых чисел N = {0, 1, 2, 3,..., }, Z = {0, ±1, ±2, ±3,..., } множество рациональных чисел { m }

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Основы функционального анализа и теории функций

Основы функционального анализа и теории функций Основы функционального анализа и теории функций Лектор Сергей Андреевич Тресков 3 семестр. Ряды Фурье. Постановка задачи о разложении периодической функции по простейшим гармоникам. Коэффициенты Фурье

Подробнее

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Глава. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Определенный интеграл f ( d ) в главе был введен для случая ко нечного промежутка [, ] и ограниченной функции f (). Теперь это понятие

Подробнее

+ z A1A 2. z A1A 4 A 1 A 2 A 1 A = 9

+ z A1A 2. z A1A 4 A 1 A 2 A 1 A = 9 Математика. Задание 1. По координатам вершин пирамиды A 1 A A 3 A 4 найти: 1. Длины рјбер A 1 A и A 1 A 3 ;. Угол между рјбрами A 1 A и A 1 A 3 ; 3. площадь грани A 1 A A 3 ; 4. объјм пирамиды; 5. уравнения

Подробнее

Типовые задачи c решениями.

Типовые задачи c решениями. Типовые задачи c решениями. Формальное суммирование рядов. Формула рекурсии k a k a + a k k Формула умножения λ a k λa k Формула сложения k k k a k + b k a k + k b k k Пример Геометрическая прогрессия.

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. РЯДЫ ФУРЬЕ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. РЯДЫ ФУРЬЕ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Д.П. ЮЩЕНКО, О.В. ЯКУБОВИЧ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. РЯДЫ ФУРЬЕ ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Предел. Непрерывность. Производная. Интеграл Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

12. Числовые ряды. 12.1. Пусть дана числовая последовательность x n. Если эту последовательность

12. Числовые ряды. 12.1. Пусть дана числовая последовательность x n. Если эту последовательность . Числовые ряды.. Пусть дана числовая последовательность x. Если эту последовательность рассматривают с точки зрения нахождения «суммы» всех ее членов, то говорят, что рассматривают числовой ряд x, а члены

Подробнее

Д. Г. Орловский. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть 1

Д. Г. Орловский. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ Д. Г. Орловский ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРАКТИКУМ Часть Рекомендовано УМО Ядерные физика и технологии

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

А. П. Г О Р Я Ч Е В СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА. Функциональные ряды. М о с к в а

А. П. Г О Р Я Ч Е В СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА. Функциональные ряды. М о с к в а А. П. Г О Р Я Ч Е В СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Функциональные ряды М о с к в а 2 0 1 3 Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ»

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Математический анализ» Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Математический анализ» Направление 080100 Экономика для подготовки студентов бакалавров

Подробнее

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е

П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Санкт-Петербургский государственный университет А. В. О С И П О В К О Н С П Е К Т Л Е К Ц И Й П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е Часть II (-й курс, -й семестр) Санкт-Петеpбуpг 0 0 Конспект лекций по высшей

Подробнее

Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрические ряды Фурье Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

РЯДЫ ФУРЬЕ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Р. К. Бельхеева РЯДЫ ФУРЬЕ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Учебное пособие Новосибирск 211 УДК 517.52 ББК В161 Б44

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 СЕМЕСТР) ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ( СЕМЕСТР) А. А. Пожарский Занятие. Принцип математической индукции. Задачи по []: 0. Задачи по [2]: 27. Занятие 2. Основные понятия комбинаторики: факториал,

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Министерство образования и науки Троицкий филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» Кафедра

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РА- БОТА

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РА- БОТА В И МАТЯШ РЯДЫ КУРС ЛЕКЦИЙ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РА- БОТА Учебное пособие Издание третье, исправленное и дополненное МОСКВА Кафедра «Высшая математика» МГТУ «МАМИ» Автор и составитель Матяш ВИ В школе нас

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ (6 СЕМЕСТР)

ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ (6 СЕМЕСТР) ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 6 СЕМЕСТР А. А. Пожарский Содержание,, 3 лекции. Обобщенные функции одной переменной 4.. Пространство обобщенных функций 4.. Регулярные обобщенные функции 5.3. Сингулярные

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. К а ф е д р а Прикладной математики и информатики. Практикум по математическому анализу

РЯДЫ ФУРЬЕ. К а ф е д р а Прикладной математики и информатики. Практикум по математическому анализу МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а Прикладной математики

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Министерство образования Российской Федерации САРАПУЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ филиал Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011 Chir of Mth. Anlysis, SPb. Stte University. A.V.Poteun, Исследование сходимости несобственных интегралов Методические указания для решения задач А. В. Потепун Как известно (см. [], глава III, 7), если

Подробнее

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики».

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине «Элементы высшей математики». МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ «ДОНСКОЙ БАНКОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Методические

Подробнее

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Учебная программа по дисциплине «Математический анализ» разработана для специальности «Прикладная информатика» шифр 1-31 03 07-03 высших учебных заведений. Целью изучения дисциплины

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

3 Операция деления комплексных чисел. Как связаны модуль и аргумент частного с модулями и аргументами делимого и делителя?

3 Операция деления комплексных чисел. Как связаны модуль и аргумент частного с модулями и аргументами делимого и делителя? Экзаменационные вопросы по ТФКП. Вопрос 1. Элементарные операции с комплексными числами. Элементарные функции комплексной переменной. 1 Операция сложения комплексных чисел. Ее геометрическая интерпретация.

Подробнее

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения С А Бутерин обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения МАТЕМАТИКА УДК 517984 ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ВОЛЬТЕРРОВА ОПЕРАТОРА

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет»

Подробнее

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия :

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия : 57 Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ Определение 1 Функция = f ( ) называется непрерывной в точке, если выполняются следующие три условия : 1) функция = f (

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Московский физико-технический институт (государственный университет) О.В. Бесов ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 1 Москва, 2004 Составитель О.В.Бесов УДК 517. Методические указания по математическому

Подробнее

Лекция 2. Степенные ряды

Лекция 2. Степенные ряды С А Лавренченко wwwlwreekoru Лекция Степенные ряды Понятие степенного ряда Степенной ряд можно рассматривать как многочлен с бесконечным числом членов Определение (степенного ряда) Степенным рядом называется

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1"

Подробнее

2. Запишите с помощью { логических символов утверждение: последовательность x n не имеет предела. a cos x, для x <

2. Запишите с помощью { логических символов утверждение: последовательность x n не имеет предела. a cos x, для x < Вычислите предел lim ИМИТиФ, Аттестационная работа, 6 год Прикладная математика и информатика, Второй курс, Вариант первый +si xcos x x si x+cos x Запишите с помощью { логических символов утверждение:

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

Министерство высшего образования РФ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В.Д. НОГИН ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Министерство высшего образования РФ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В.Д. НОГИН ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Министерство высшего образования РФ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В.Д. НОГИН ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Учебное пособие Санкт-Петербург 1994 УДК 517.2 Введение в

Подробнее

Лекции по математическому анализу

Лекции по математическому анализу В.Ф. Бутузов Лекции по математическому анализу Часть I Москва 2012 Б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I. Учебное пособие содержит первую часть курса лекций по математическому

Подробнее

Лекции по рядам и кратным интегралам ФН, II курс, 3 семестр

Лекции по рядам и кратным интегралам ФН, II курс, 3 семестр Лекции по рядам и кратным интегралам ФН, II курс, 3 семестр Пугач ев О.В. осень 6 РЯДЫ. Сходимость числовых рядов. Признаки сходимости знакоположительных рядов 3. Признаки сходимости знакопеременных рядов

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана

Лекция 2.1.6. Определенный интеграл Римана Лекция 6 Определенный интеграл Римана Аннотация: Отмечается что кроме интеграла Римана существуют и другие интегралы Рассматриваются свойства определенного интеграла Понятие определенного интеграла настолько

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. ТОЧНЫЕ ГРАНИЦЫ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. ТОЧНЫЕ ГРАНИЦЫ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Утверждено научно-методическим советом математического

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Практикум по дифференциальному исчислению

Практикум по дифференциальному исчислению Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников А.Л. Магазинников Практикум по дифференциальному исчислению Учебное пособие

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Определение. Интегральным уравнением Фредгольма рода называется уравнение x ( s, ds f (.

Подробнее

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА)

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Постановка задачи. Рассматривается задача о вычислении однократного интеграла J(F ) = F (x) dx. ()

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС Академия труда и социальных отношений Кафедра высшей и прикладной математики Геворкян Павел Самвелович «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для подготовки бакалавров по направлению 080100

Подробнее

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Казань, 213 УДК 519.6, 517.97 ББК Печатается по решению методической комиссии Института математики и механики им. Н.И.

Подробнее

Интегралы Определенные и Неопределенные

Интегралы Определенные и Неопределенные 1 Интегралы Определенные и Неопределенные Опр. Интеграл функции это естественный аналог суммы последовательности. Опр. Интегрирование процесс нахождения интеграла. Зам. Интегрирование это операция обратная

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

BASES IN EUCLIDEAN SPACES AND FOURIER SERIES. Ç. Ä. àãúàç åóòíó ÒÍËÈ ÓÒÛ appleòú ÂÌÌ È ÛÌË ÂappleÒËÚÂÚ ËÏ. å.ç. ãóïóìóòó V. A.

BASES IN EUCLIDEAN SPACES AND FOURIER SERIES. Ç. Ä. àãúàç åóòíó ÒÍËÈ ÓÒÛ appleòú ÂÌÌ È ÛÌË ÂappleÒËÚÂÚ ËÏ. å.ç. ãóïóìóòó V. A. àî ËÌ ÇÄ, 1998 BASES IN EUCLIDEAN SPACES AND FOURIER SERIES V A IL'IN A ide of costructig bsis, with respect to which oe c expd y vector of fiitedimesiol (eg, threedimesiol) spce, is pplied i the cse of

Подробнее

2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости

2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости В.В. Жук, А.М. Камачкин Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцируемость функции в точке. Достаточные условия дифференцируемости в терминах частных производных. Дифференцирование сложной

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт математики А.М.Кытманов, Е.К. Лейнартас, В.Н.Лукин, О.В.Ходос, О.Н.Черепанова, Т.Н.Шипина МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ с элементами

Подробнее