О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова. Нахождение частного решения неоднородного линейного уравнения методом неопределенных коэффициентов

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова. Нахождение частного решения неоднородного линейного уравнения методом неопределенных коэффициентов"

Транскрипт

1 Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет Физический факультет Кафедра высшей математики и математической физики О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова Нахождение частного решения неоднородного линейного уравнения методом неопределенных коэффициентов учебно-методическая разработка Минск 06

2 УДК (075.8) К 67 Решение о депонировании вынесено: Советом физического факультета 7 октября 06 г., протокол Авторы: кандидат физико-математических наук, доцент О. А. Кононова; кандидат физико-математических наук, доцент Н. И. Ильинкова; кандидат физико-математических наук, доцент Н. К. Филиппова. Рецензенты: кандидат физико-математических наук, доцент Л.А. Альсевич; кандидат физико-математических наук, доцент С.С. Белявский. Кононова, О. А. Нахождение частного решения неоднородного линейного уравнения методом неопределенных коэффициентов : учебнометодическая разработка / О. А. Кононова, Н. И. Ильинкова, Н. К. Филиппова ; БГУ, Физический фак., Каф. высшей математики и математической физики. Минск : БГУ, 06. с. Библтогр.: с. В учебно-методической разработке рассматриваются случаи нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами, когда правая часть этого уравнения представляет собой произведение полинома на показательную функцию. В этом случае частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов, что существенно облегчает нахождение частного в отличие от универсального метода вариации произвольных постоянных.

3 Рассмотрим линейное неоднородное уравнение n го порядка с постоянными коэффициентами n n n y ay ay an f () Обозначим левую часть уравнения () как линейный оператор L y, тогда уравнение запишется в виде L y f () Если L y 0, то это уравнение называется соответствующим однородным. Общее решение уравнения () является суммой общего решения соответствующего однородного и некоторого частного решения исходного уравнения. Если правая часть уравнения () является квазиполиномом, тогда частное решение неоднородного уравнения можно найти методом неопределенных коэффициентов. Рассмотрим различные частные случаи квазиполиномов и соответствующие им виды частных решений. Случай. Пусть f P, где P полином от степени (который может быть постоянным числом, если 0). Тогда если число 0 не является корнем характеристического уравнения, частное решение уравнения () можно найти в виде y Q, где Q полином той же степени, что и P с неопределенными коэффициентами. Если же число 0 является корнем характеристического уравнения кратности k, то частное решение уравнения () представимо в k виде y Q. Случай. Пусть f P e. (если 0, то получаем случай, т.е. правая часть уравнения полином) Вид частного решения существенно зависит от того является ли характеристическим числом (случай резонанса). Если число не является корнем характеристического уравнения, тогда частное решение уравнения () можно найти в виде y Q e, где Q полином той же степени, что и P с неопределенными коэффициентами. Если же число является корнем характеристического уравнения кратности k, то частное решение уравнения () представимо в виде k y Q e Случай. Пусть f e P cos P sin, где P и P полиномы от степеней соответственно и (эти полиномы могут быть постоянными числами, и один из них может обращаться в нуль). Пусть a,. Тогда если число i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения () можно найти в виде

4 y e Q cos R sin, где Q и R полиномы степени с неопределенными коэффициентами. Если же число i является корнем характеристического уравнения кратности k, то частное решение уравнения () представимо в виде k y e Q cos R sin. Случай. Пусть f f f f, где fi, i, функции, являющиеся квазиполиномами рассмотренными в пунктах (-). Тогда если yi, i, частные решения уравнений L y f i,, то в силу принципа суперпозиций решение i i ч y y i является частым решением для уравнения вида i L y f () Пример. Найти общее решение уравнения y y. Решаем соответствующее однородное уравнение y y 0. корни: 0,,. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: y0 ce ce. Правая часть неоднородного уравнения относится к случаю, поэтому частное решение ищем в виде y a b c, так как число ноль не является корнем характеристического уравнения. Подставляем y в исходное уравнение a ( a b c). Прирав- нивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем a, i b, a, b, c. Следовательно a c i y. Таким образом, y y0 y ce ce является общим решением исходного уравнения. Пример. Найти общее решение уравнения y y 6. Решаем соответствующее однородное уравнение y y 0. корни: 0, 0,. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: y c c e. 0

5 Правая часть неоднородного уравнения относится к случаю, поэтому частное решение ищем в виде y a b c, так как число ноль является простым корнем характеристического уравнения. Подставляем y в исходное уравнение 6a b a b c 6. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем a, 6a 8b 6, a, b 0, c. Следовательно b c y. Таким образом, y y0 y c ce является общим решением исходного уравнения. Пример. Найти общее решение уравнения y y e. Решаем соответствующее однородное уравнение y y 0. корни: 0,,. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: y0 ce ce. Правая часть неоднородного уравнения относится к случаю, поэтому частное решение ищем в виде y ae, так как число является простым корнем характеристического уравнения. Подставляем y в исходное уравнение ae ae ae e a. Следовательно y e. Таким образом, y y0 y ce ce e является общим решением исходного уравнения. Пример. Найти общее решение уравнения y y e 8. Решаем соответствующее однородное уравнение y y 0. корни: 0,, 0. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: y0 ce c. Правая часть неоднородного уравнения относится к случаю,т.е. функция f представляет собой сумму функций f e и f 8, которые относятся к случаю и соответственно. Частное решение для f e ищем в виде y ae, так как число является простым корнем характеристического уравнения. Подставляем y в уравнение y y e 6ae 9ae ae 9ae e a. 5

6 Следовательно y e. Частное решение для f 8 ищем в виде y b c, так как число 0 является простым корнем характеристического уравнения. Подставляем y в уравнение y y 8 6b 6b c 8. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем 6b 8 b, c. Следовательно y b c 0. Таким образом, y y0 y y ce c e Пример 5. Найти общее решение уравнения y 6y y 8y e. Решаем соответствующее однородное уравнение y 6y y 8y 0. Для этого записываем характеристический многочлен и находим его корни: , корень кратности. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: y0 ce ce c e. Правая часть неоднородного уравнения относится к случаю, поэтому частное решение ищем в виде y ae, так как число является корнем характеристического уравнения кратности. Подставляем y в исходное уравнение 6ae 6ae 6 ae 8 ae 6 6ae ae ae ae ae 8 ae e a Следовательно y e Таким образом, y y0 y ce ce c e e Пример 6. Найти общее решение уравнения y y. Решаем соответствующее однородное уравнение y y 0. корни: 0,, и 0 корень кратности. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: y c e c c. 0 6.

7 Правая часть неоднородного уравнения относится к случаю, поэтому частное решение ищем в виде y a b, так как число ноль является корнем характеристического уравнения кратности. Подставляем y в исходное уравнение 6a 6a b. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем 6a,. a b Следовательно y. 6a b Таким образом, y y0 y ce c c является общим решением исходного уравнения. Пример 7. Найти общее решение уравнения y y sin cos. Решаем соответствующее однородное уравнение y y 0. корни: 0,,. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: y0 ce ce. Правая часть неоднородного уравнения относится к случаю, поэтому частное решение ищем в виде y asin bcos, так как число i не является корнем характеристического уравнения. Подставляем y в исходное уравнение asin bcos asin bcos sin cos. Приравнивая коэффициенты при sin и cos соответственно получаем a, b. Следовательно y sin cos. Таким образом, y y0 y ce ce sin cos Пример 8. Найти общее решение уравнения y y e cos. Решаем соответствующее однородное уравнение y y 0. корни: 0, i, i. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: y0 c sin c cos. Правая часть неоднородного уравнения относится к случаю, т.е. функция f представляет собой сумму функций f e и f cos, которые относятся к случаю и соответственно. Частное решение для f e ищем в виде y ae, так как число не является корнем характеристического уравнения. Подставляем y в уравнение y y e Получим ae 9ae e a.следовательно y e. Частное решение для f cos ищем в виде y csin bcos, так как число i является простым кор- 7

8 нем характеристического уравнения. Подставляем y в уравнение y y cos bcos csin ccos bsin bcos csin cos. Приравнивая коэффициенты при sin и cos соответственно получаем b 0, c. Следовательно y sin. Таким образом, y y0 y y c sin c cos e sin Пример 9. Найти общее решение уравнения y y sin. Решаем соответствующее однородное уравнение y y 0. корни: 0, i, i. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: y0 c cos c sin. Правая часть неоднородного уравнения относится к случаю, поэтому частное решение ищем в виде y acos bsin, так как число i является простым корнем характеристического уравнения. Подставляем y в исходное уравнение acos bsin bcos asin a cos b sin sin. Приравнивая коэффициенты при sin и cos соответственно получаем a, b 0. Следовательно y cos. Таким образом, y y0 y c cos c sin cos Пример 0. Найти общее решение уравнения y y e sin. Решаем соответствующее однородное уравнение y y 0. корни: 0,,. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: y0 ce ce. Правая часть неоднородного уравнения относится к случаю, поэтому частное решение ищем в виде y e a b cos c d sin, так как число i не является корнем характеристического уравнения. Подставляем y в исходное уравнение e c a d c cos a a b c sin e a b cos c d sin e sin. 8

9 , cos, sin и cos соответ- Приравнивая коэффициенты при sin ственно получаем a c, c a 0 a, c, b, d. a d c b a b c d 0 Следовательно y e cos sin. Таким образом, y y0 y ce ce e cos sin Пример. Найти общее решение уравнения y y sin cos. Решаем соответствующее однородное уравнение y y 0. корни: 0, i, i. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: y0 c sin c cos. Правая часть неоднородного уравнения относится к случаю, поэтому частное решение ищем в виде y a b cos c d sin, так как число i является простым корнем характеристического уравнения. Подставляем y в исходное уравнение asin ccos a b cos c d sin acos csin a b sin c d cos a b cos c d sin sin cos., cos, sin и cos соответ- Приравнивая коэффициенты при: sin ственно получаем a a 0, c c, c b, a d 0 a 0, c, b 0, d 0. Следовательно y sin. Таким образом, y y0 y c sin c cos sin является общим решением исходного уравнения. Пример. Найти общее решение уравнения y y y cos. Решаем соответствующее однородное уравнение y y y 0. Для этого записываем характеристический многочлен и находим его корни: 0 0, i, i 9

10 корни кратности. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: y0 c sin c cos csin ccos. Правая часть неоднородного уравнения относится к случаю, поэтому частное решение ищем в виде y a cos bsin, так как число i является корнем характеристического уравнения кратности. Подставляем y в исходное уравнение acos bsin 8 bcos asin acos bsin cos sin cos sin cos sin a b b a a b acos bsin cos. После приведения подобных, приравниваем коэффициенты при: sin и cos соответственно, получаем a, b 0. Следовательно 8 y cos. 8 Таким образом, y y0 y c sin c cos csin ccos cos 8 Пример. Найти общее решение уравнения y y y e cos sin. Решаем соответствующее однородное уравнение y y y 0. Для этого записываем характеристический много- член и находим его корни: 0, i, i. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: y0 e c sin c cos. Правая часть неоднородного уравнения относится к случаю, поэтому частное решение ищем в виде y e a b cos c d sin, так как число i является простым корнем характеристического уравнения. Подставляем y в исходное уравнение e cos c a c d b a d e sin a c b a c b d cos e a c a b d b sin e c a c d b d e a b cos c d sin e cos sin 0

11 После приведения подобных, приравниваем коэффициенты при: cos, sin,cos,sin соответственно. Получаем c 0, a, a d, b 0. a, b 0, c 0, d 0. Следовательно y e cos. Таким образом, y y0 y e c sin c cos e cos Пример. Найти общее решение уравнения y y sin 8e. Решаем соответствующее однородное уравнение y y 0. корни: 0,,, i, i. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: y0 c sin c cos ce ce. Правая часть неоднородного уравнения относится к случаю,т.е. функция f представляет собой сумму функций f sin, f 8e и f которые относятся к случаю,, соответственно. Частное решение для f sin ищем в виде y acos bsin, так как число i является простым корнем характеристического уравнения. Подставляем y в уравнение y y sin acos bsin bcos asin acos bsin sin. Приравнивая коэффициенты при sin и cos соответственно получаем a, b 0. Следовательно y cos. Частное решение для f 8e ищем в виде y ce, так как число является простым корнем характеристического уравнения. Подставляем y в уравнение y y 8e Следовательно y e. ce ce ce 8e c. Частное решение для f ищем в виде y d, так как число 0 не является корнем характеристического уравнения. Подставляем y в уравнение y y. Получим d. Следовательно y. Таким образом, y y y y y 0 c sin c cos c e c e cos e

12 Пример 5. Найти общее решение уравнения y y y y e sin. Решаем соответствующее однородное уравнение y y y y 0. корни: 0,, i, i. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: y0 c sin c cos ce. Правая часть неоднородного уравнения относится к случаю,т.е. функция f представляет собой сумму функций f e, f sin которые относятся к случаю, соответственно. Частное решение для f e ищем в виде y ae, так как число не является корнем характеристического уравнения. Подставляем y в уравнение y y y y e 8ae ae 8ae ae e a. 8 Следовательно y e. 8 Частное решение для f sin ищем в виде y bcos csin, так как число i является простым корнем характеристического уравнения. Подставляем y в уравнение y y y y sin 8 ccos bsin bcos csin bcos csin ccos bsin 8 ccos bsin bcos csin bcos csin sin. Приравнивая коэффициенты при cos и sin соответственно получаем b c b 0, b, c. c b c Следовательно y cos sin. 5 5 Таким образом, y y y y 0 c sin c cos ce e cos sin 8 5 5

13 Список используемой литературы. Матвеев, Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Н.М. Матвеев. СПб: Лань, с.. Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. Москва: Наука, с.. Матвеев, Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Н.М. Матвеев. СПб: Лань, 00. с.. Филиппов, А.Ф. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям / А.Ф. Филиппов. Москва Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», с. 5. Шилин, А.П. Дифференциальные уравнения. Задачи и примеры/ А.П. Шилин. Минск :РИВШ, с. 6. Тихонов, А.Н. Дифференциальные уравнения / А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников Москва: Наука, 985..

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

1.5. Виды контроля: текущий - выполнение самостоятельных работ промежуточный выполнение контрольных работ, коллоквиумы итоговый зачет

1.5. Виды контроля: текущий - выполнение самостоятельных работ промежуточный выполнение контрольных работ, коллоквиумы итоговый зачет . Пояснительная записка.. Требования к студентам Студент должен обладать следующими исходными компетенциями: базовыми положениями математических и естественных наук владеть навыками самостоятельной ы самостоятельно

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) В М Ипатова О А Пыркова В Н Седов ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ второе

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ , ,

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ , , МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ 7, 7, СПБ ГУТ Методические указания и контрольные задания по курсу «Высшая математика

Подробнее

АВТОР: доц. Даишев А.Ю.

АВТОР: доц. Даишев А.Ю. Рабочая программа дисциплины «Интегральные уравнения и вариационное исчисление» предназначена для студентов 2 курса по специальности: 010701.65 - Физика АВТОР: доц. Даишев А.Ю. КРАТКАЯ АННОТАЦИЯ: Курс

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. занятия: нет 2 часа в неделю ВСЕГО АУДИТОРНЫХ ЧАСОВ 132

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. занятия: нет 2 часа в неделю ВСЕГО АУДИТОРНЫХ ЧАСОВ 132 УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Ю.А. Самарский 10 июня 2010 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ по дисциплине: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ по направлению подготовки: 010600 факультет: для всех факультетов (кроме

Подробнее

Программа вступительного экзамена на программы магистратуры по направлению Прикладная математика и информатика

Программа вступительного экзамена на программы магистратуры по направлению Прикладная математика и информатика ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ѕсанктпетербургский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТї Программа вступительного экзамена на программы магистратуры

Подробнее

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены Глава III. Теория устойчивости 1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены III.1.1. Устойчивые решения линейных ОДУ Существенную роль в исследовании различных процессов, поведение которых описывается

Подробнее

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА Глава 3 НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА 3 Число и вектор Фробениуса Число и вектор Фробениуса используются в балансовых экономических моделях и, в частности, в модели международной торговли

Подробнее

Т. Н. Матыцина ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ. Практикум

Т. Н. Матыцина ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ. Практикум МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Костромской государственный университет имени Н. А. Некрасова Т. Н. Матыцина ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ Практикум Кострома

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР)

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) А.В.СТЕПАНОВ Введение Эти заметки не заменяют курс лекций, но для сильных студентов могут

Подробнее

Дифференциальное и интегральное исчисления, аналитическая геометрия, элементы линейной алгебры.

Дифференциальное и интегральное исчисления, аналитическая геометрия, элементы линейной алгебры. Дифференциальное и интегральное исчисления, аналитическая геометрия, элементы линейной алгебры. 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и Т.1-1184 интегральное исчисления Т.2-1168 2. Бугров Я.С Дифференциальное

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРАКТИЧЕСКОЙ ПОДГО- ТОВКЕ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ К ЭКЗАМЕНУ

Подробнее

Программа комплексного экзамена по специальности 6М Математика

Программа комплексного экзамена по специальности 6М Математика Программа комплексного экзамена по специальности 6М060100-Математика Билеты для вступительного экзамена в магистратуру по специальности 6М060100 «Математика» составлены по основным математическим дисциплинам

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" 2 семестр группы АК1,2,4-11 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2 семестр группы АК1,2,4-11 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" 2 семестр группы АК,2,4- ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Неопределенный интеграл. Первообразная функции. Таблица первообразных.

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

РЯДЫ ФУРЬЕ. К а ф е д р а Прикладной математики и информатики. Практикум по математическому анализу

РЯДЫ ФУРЬЕ. К а ф е д р а Прикладной математики и информатики. Практикум по математическому анализу МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а Прикладной математики

Подробнее

Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрические ряды Фурье Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее

«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА»

«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА» Программа междисциплинарного экзамена для проведения вступительного испытания в магистратуру Российского университета дружбы народов по направлению «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА» специализация «Математическое

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

Рабочая программа дисциплины ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рабочая программа дисциплины ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НОВОСИБИРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Математика и механика шифр

Математика и механика шифр ПРОГРАММА вступительного испытания по специальной дисциплине, соответствующей направленности программы аспирантуры 01.06.01 Математика и механика шифр наименование направления подготовки, утвержденное

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН. Высшая математика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН. Высшая математика МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН Западно-Казахстанский государственный университет им. М.Утемисова РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА Высшая математика 5В011200 химия, 5В060600 химия, 5В060800

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

2016 г. г. Новокуйбышевск

2016 г. г. Новокуйбышевск Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Самарской области «Новокуйбышевский нефтехимический техникум» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Дисциплины ЕН. 01 Математика Профиль профессионального

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Тема 1. Множества. Введение в логику. Понятие функции. Кривые второго порядка. Основные понятия о множествах. Символика, ее использование.

Подробнее

ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА К ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ ПРОГРАММЫ. Наименование дисциплины и ее основные разделы

ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА К ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ ПРОГРАММЫ. Наименование дисциплины и ее основные разделы Рабочая программа дисциплины «Теория функций комплексного переменного» предназначена для студентов 2 курса 4 семестр по специальности: 010801.65 Радиофизика и элктроника АВТОР: Даишев А.Ю. КРАТКАЯ АННОТАЦИЯ:

Подробнее

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101

ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 ПЛАН УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА СПЕЦИАЛЬНОСТИ 230101 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Основная 1. Бугров Я. С., Никольский С.М. Высшая математика. Т.2. Дифференциальное

Подробнее

Очная форма обучения. Бакалавры. I курс,2 семестр. Направление «Техносферная безопасность» Дисциплина - «Высшая математика».

Очная форма обучения. Бакалавры. I курс,2 семестр. Направление «Техносферная безопасность» Дисциплина - «Высшая математика». Очная форма обучения. Бакалавры. I курс,2 семестр. Направление 280700 «Техносферная безопасность» Дисциплина - «Высшая математика». Содержание Содержание... 1 Лекции... 1 Практические занятия... 3 Литература...

Подробнее

Дифференциальные уравнения: конспект лекций

Дифференциальные уравнения: конспект лекций [DEshrt.te, 09.01.09] Дифференциальные уравнения: конспект лекций В 006 году студент -го курса Д.В. Кальянов набрал в LaTeX'е конспект моих лекций по курсу "Дифференциальные уравнения". Я переписал его

Подробнее

Б1.В.ОД.1 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Б1.В.ОД.1 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ФГБОУ ВПО «ВГУ») УТВЕРЖДАЮ Заведующий

Подробнее

ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА. В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников

ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА. В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников 2. Основные понятия и теоремы.. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения. Пусть линейный оператор

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. ТЕМА 7 Задача Штурма-Лиувилля Собственные значения и собственные функции Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Основные определения и теоремы Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный

Подробнее

Список задач. для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2. x x dx;

Список задач. для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2. x x dx; Список задач для итогового контроля знаний по математическому анализу Группа НМ-101 Семестр 2 I. Неопределённый интеграл. Вычислить интеграл: 1. 1 sin 2x (0 x π); 2. 3. x 2 + 1 x 4 + 1 ; 3 sin 2 x 8 sin

Подробнее

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Казань, 213 УДК 519.6, 517.97 ББК Печатается по решению методической комиссии Института математики и механики им. Н.И.

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2012 Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней (типовые задания С1)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2012 Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней (типовые задания С1) Корянов АГ, Прокофьев АА Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней (типовые задания С) Прокофьев АА, Корянов

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Министерство образования Российской Федерации САРАПУЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ филиал Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

1. Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Понятие решения. Автономные и неавтономные уравнения. Уравнения и системы порядка

1. Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Понятие решения. Автономные и неавтономные уравнения. Уравнения и системы порядка 1. Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Понятие решения. Автономные и неавтономные уравнения. Уравнения и системы порядка выше первого и их сведение к системам первого порядка.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет» ВИ Фомин ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Методологические аспекты выделения главных частей бесконечно больших функций

Методологические аспекты выделения главных частей бесконечно больших функций Методологические аспекты выделения главных частей бесконечно больших функций # 04, апрель 2015 Ахметова Ф. Х. 1,*, Ласковая Т. А. 1, Пелевина И. Н. 1 УДК: 517 1 Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана Введение Классический

Подробнее

Линейные однородные дифференциальные уравнения с. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с

Линейные однородные дифференциальные уравнения с. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения. Свойства общего решения. Теорема Коши. Интегральные кривые. Особое решение. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения вида у fх.

Подробнее

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Приложение 2 к приказу 661-1 от 16 ноября 2015 г. МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО МЕЖДИСЦИПЛИНАРНОГО ЭКЗАМЕНА В МАГИСТРАТУРУ ПО НАПРАВЛЕНИЮ

Подробнее

Методические указания к выполнению лабораторной работы ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА ПРИ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ

Методические указания к выполнению лабораторной работы ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА ПРИ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ Методические указания к выполнению лабораторной работы 1.1.5 ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА ПРИ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1.1.5 ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА ПРИ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ Теоретические

Подробнее

ПРОСТЕЙШИЕ ТЕОРЕМЫ НЕПРЕРЫВНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ С БИНАРНО УПРАВЛЯЕМЫМ ОБЪЕКТОМ А. М. Фрумкин

ПРОСТЕЙШИЕ ТЕОРЕМЫ НЕПРЕРЫВНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ С БИНАРНО УПРАВЛЯЕМЫМ ОБЪЕКТОМ А. М. Фрумкин УДК 5179354 ПРОСТЕЙШИЕ ТЕОРЕМЫ НЕПРЕРЫВНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ С БИНАРНО УПРАВЛЯЕМЫМ ОБЪЕКТОМ 015 А М Фрумкин ст науч сотрудник кафедры математического анализа и прикладной математики,

Подробнее

Основы функционального анализа и теории функций

Основы функционального анализа и теории функций Основы функционального анализа и теории функций Лектор Сергей Андреевич Тресков 3 семестр. Ряды Фурье. Постановка задачи о разложении периодической функции по простейшим гармоникам. Коэффициенты Фурье

Подробнее

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы.

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы. Программа по «Математике» (базовый уровень) РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии Тема 1. Векторы и матрицы. N-мерные векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Д.А. Зубцов. 3 июня 2014 г. П Р О Г Р А М М А

УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Д.А. Зубцов. 3 июня 2014 г. П Р О Г Р А М М А УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Д.А. Зубцов П Р О Г Р А М М А 3 июня 2014 г. по дисциплине: Теоретическая механика по направлению подготовки 010900 «Прикладные математика и физика» факультет: ФОПФ

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет среднего профессионального образования УТВЕРЖДЕНО Председатель

Подробнее

"Спецфункции". Лекция 9. Гипергеометрическая функция. ) n. (1 + 1 )(1 + b 1

Спецфункции. Лекция 9. Гипергеометрическая функция. ) n. (1 + 1 )(1 + b 1 "Спецфункции". Лекция 9. Гипергеометрическая функция 1. Гипергеометрический ряд F p,q a 1,..., a p ; b 1,..., b q ; z определяется как степенной ряд вида F p,q a 1,..., a p ; b 1,..., b q ; z = 1 + a 1

Подробнее

Решение задач (по выбору учителя) Контрольная работа (МИЭТ) по разделу БДЗ по разделу (по выбору) Числовые функции.

Решение задач (по выбору учителя) Контрольная работа (МИЭТ) по разделу БДЗ по разделу (по выбору) Числовые функции. Приложение 2.5.2. Примерное планирование курса «Алгебра и начала математического анализа» Учебник. 1. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень). 10 класс

Подробнее

ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ ÄËß ÏÅÄÀÃÎÃÈ ÅÑÊÈÕ ÂÓÇÎÂ

ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ ÄËß ÏÅÄÀÃÎÃÈ ÅÑÊÈÕ ÂÓÇÎÂ МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ È. È. Áàâðèí ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ ÄËß ÏÅÄÀÃÎÃÈ ÅÑÊÈÕ ÂÓÇÎÂ Ó ÅÁÍÈÊ È ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÄËß ÏÐÈÊËÀÄÍÎÃÎ ÁÀÊÀËÀÂÐÈÀÒÀ 2-å èçäàíèå, èñïðàâëåííîå è äîïîëíåííîå

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебной дисциплины Математика

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебной дисциплины Математика Департамент внутренней и кадровой политики Белгородской области Областное государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования ГУБКИНСКИЙ ГОРОНО-ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

РЕШЕНИЯ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ 2014 II курс. Задача 1 (5 баллов) Решение

РЕШЕНИЯ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ 2014 II курс. Задача 1 (5 баллов) Решение РЕШЕНИЯ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ II курс Задача ( баллов) Вычислить определитель -го порядка Сложим все строки определителя и запишем в первую строку, получим Вычтем из каждой строки первую строку: ( ) Ответ:

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. стр. 1. ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 4

СОДЕРЖАНИЕ. стр. 1. ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 4 СОДЕРЖАНИЕ стр. 1. ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 5 3. УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ. КОНТРОЛЬ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА ЗАДАЧ. где - текущая угловая координата,,, - сечения ЛП на входе и

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА ЗАДАЧ. где - текущая угловая координата,,, - сечения ЛП на входе и Труды III международной межвузовской научно-практической конференции "Инновационные технологии и передовые решения". - 2015 - С. 43-47 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА ЗАДАЧ

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования. Программа дисциплины

Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования. Программа дисциплины Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Государственный университет - Высшая школа экономики» Факультет Бизнес-информатики

Подробнее

Бондаренко Н.П., Федосеев А.Е. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Бондаренко Н.П., Федосеев А.Е. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Бондаренко Н.П., Федосеев А.Е. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ УДК 517.968.2 Бондаренко Н.П., Федосеев А.Е. Методы решения интегральных уравнений: Учеб. пособие для студ. матем. спец. Саратов, 214.

Подробнее

О.Д. Ростова, Т.М. Тушкина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

О.Д. Ростова, Т.М. Тушкина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Бийский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Алтайский государственный

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература...

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература... ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 3 Глава. Неопределенный интеграл.......................... 6.. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла........................

Подробнее

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической

Подробнее

Лекция 1 Доцент Ильич Г.К. ( кафедра мед. и биол. физики ) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Лекция 1 Доцент Ильич Г.К. ( кафедра мед. и биол. физики ) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Лекция 1 Доцент Ильич Г.К. ( кафедра мед. и биол. физики ) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ 1. Производная функции Количественное описание сложных изменяющихся процессов жизнедеятельности с помощью элементарной

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений dx d ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2004 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 hp://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.su.neva.ru Теория обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Методика преподавания математического анализа в Санкт- Петербургском государственном университете

Методика преподавания математического анализа в Санкт- Петербургском государственном университете ЛА Свиркина кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, директор Центра дополнительных образовательных программ, Санкт-Петербургский государственный университет Методика преподавания

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы Международный консорциум «Электронный университет» Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АН Малахов Неопределенный

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Факультет математики и информационных технологий

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Факультет математики и информационных технологий МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет математики и информационных технологий УТВЕРЖДЕНО: на заседании Ученого совета факультета математики

Подробнее

Правило Лопиталя. Методические указания для практических занятий. Министерство образования и науки Российской Федерации

Правило Лопиталя. Методические указания для практических занятий. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Министерство образования Республики Беларусь Учебно-методическое объединение вузов Республики Беларусь по естественнонаучному образованию УТВЕРЖДАЮ. Первый заместитель Министра образования Республ*г й

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 27. Том 48, 6 УДК 517.53/.57 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. И. МАДУНЦ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Подробнее

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЧИСЛА «E» В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА А. М. Фрумкин

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЧИСЛА «E» В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА А. М. Фрумкин УДК: 5171 К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЧИСЛА «E» В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 2010 А М Фрумкин канд тех наук, доцент каф электротехники, электроники и автоматики, e-mail: frumkinam@mailru Курский государственный технический

Подробнее

ТЕМА 2. Цепи переменного тока. П.3. Комплексное сопротивление (импеданс) П.4. Импедансы основных элементов цепи. П.5. Свободные колебания в контуре

ТЕМА 2. Цепи переменного тока. П.3. Комплексное сопротивление (импеданс) П.4. Импедансы основных элементов цепи. П.5. Свободные колебания в контуре ТЕМА 2. Цепи переменного тока П.1. Гармонический ток П.2. Комплексный ток. Комплексное напряжение. П.3. Комплексное сопротивление (импеданс) П.4. Импедансы основных элементов цепи. П.5. Свободные колебания

Подробнее

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim.

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim. Перечень экзаменационных вопросов: 1 семестр 1. Множества и операции над ними. 2. Декартово произведение множеств. 3. Предельные точки. 4. Предел последовательности. 5. Предел функции. 6. Бесконечно малые.

Подробнее

квалификации), профильная направленность «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

квалификации), профильная направленность «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» 1. Аннотация Программа вступительных испытаний в аспирантуру по направлению подготовки 09.06.01 «Информатика и вычислительная техника» (уровень подготовки кадров высшей квалификации), профильная направленность

Подробнее

Функция Грина и ее применение

Функция Грина и ее применение Министерство образования и науки Украины Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина А. В. Луценко, В. А. Скорик Функция Грина и ее применение Методическое пособие по курсу Дифференциальные

Подробнее

Лист переутверждения

Лист переутверждения Лист переутверждения Дополнения и изменения к рабочей программе на 2015 / 2016 учебный год Рабочая программа принята без изменений и одобрена на заседании кафедры математического анализа и прикладной математики

Подробнее

СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Методические указания по курсовому проектированию Ульяновск Министерство

Подробнее

Лекция 2: Многочлены

Лекция 2: Многочлены Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Подробнее

Блинова И.В., Попов И.Ю. Простейшие уравнения математической физики Учебное пособие

Блинова И.В., Попов И.Ю. Простейшие уравнения математической физики Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ Блинова И.В., Попов

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины А. В. БУЗЛАНОВ, С. Ф. КАМОРНИКОВ, В. С. МОНАХОВ АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Современная математика и ее приложения. Том 68 (211). С. 4 5 УДК 517.95 НЕЛОКАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА c 211 г. К. Б. САБИТОВ, Н. В. МАРТЕМЬЯНОВА АННОТАЦИЯ. Доказывается

Подробнее

Факультативно. Ковариантная форма физических законов.

Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Ковариантность и контравариантность. Слово "ковариантный" означает "преобразуется так же, как что-то", а слово "контравариантный" означает "преобразуется

Подробнее