2 Многочлены. Глава. Тестовые задания. Сложение многочленов

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "2 Многочлены. Глава. Тестовые задания. Сложение многочленов"

Транскрипт

1 Глава Многочлены 37 Тестовые задания Т-3 Сложение многочленов Т-4 Умножение многочленов Т-5 Многочлены с одной буквой Т-6 Квадрат суммы и разности Т-7 Куб суммы и разности Т-8 Разность квадратов Т-9 Сумма и разность кубов Т-0 Разложение на множители Т- Квадратный трехчлен Т- Размещения и перестановки Т-3 Сложение многочленов Приведите многочлены к стандартному виду a b + 3ab + 4b a 3 3( ab + a + b ) (ab a ) 4 ( 4 ) + 5( 4 3 ) Заполните таблицу, сложив каждый многочлен в колонке с каждым многочленом в ряду. 3(a 3 + b 3 ) a b + ab b 3 ab (a 3 a b + ab 3b 3 ) 3a 3 ab 4b 3 3b 3 + ab a b

2 38 Теория: Многочлен с одной буквой в стандартном виде записывается по убывающим степеням буквы. Многочлен с несколькими буквами разбивается на однородные составляющие. Эти составляющие располагаются в стандартной записи по убывающим степеням. Указание: Стандартный вид однородного многочлена с двумя буквами выберите так, чтобы его составляющие шли по убывающим степеням первой буквы. Пример: a 4, a 3 b, a b, ab 3, b 4. Реакция: Посмотрите в указании, в каком порядке надо записывать слагаемые многочлена с двумя буквами. Т-4 Умножение многочленов Перемножьте, сложите подобные члены, запишите ответ в стандартном виде: a(a + b ) b(a + b + 3) (a b + 3)b + (a( + 4b ) a 3 ( y + y ) y( + y y ) 4 ( + y)( y + y ) Заполните таблицу, перемножив каждый многочлен в колонке с каждым многочленом в ряду: a b a ab a a + b a b + a b

3 39 Т-5 Многочлены с одной буквой Выполните вычисления и приведите многочлены к стандартному виду: ( ) + 3 ( + ) 3 ( + )( )( + 4) 3 ( 3)( + 5) + ( ( )( )( + 3) 4 ( + )( + ) ) Заполните таблицу, перемножив каждый многочлен в колонке с каждым многочленом в ряду:

4 40 Т-6 Квадрат суммы и разности Возведите в квадрат: ( + ) ( ) 3 ( a + 3b) 4 (b 0,5c) 5 (y + y ) 6 ( + y + ) 7 (a b 3c) 8 (y + yz + z)

5 4 Подберите слагаемое или коэффициент так, чтобы получился полный квадрат и запишите его: a + 6a a 30ab + 9b y + 6y 5 4a b y 6 7 y + yz + z 8 ab + 4b

6 4 Т-7 Куб суммы и разности Возведите в куб: ( ) 3 (a + ) 3 3 ( a + 3b) (y y ) 3 6 (a 3 b 3 ) 3 7 (a + b ) 3 8 ( y + z) 3

7 43 Подберите слагаемые или коэффициент так, чтобы получился полный куб и запишите его: a 3 + 6a b + + 8b 3 a 3 9a b + 7ab y + + y y + y y 6 6 a 6 5a , y y z + 3yz

8 44 Т-8 Разность квадратов Перемножьте: ( + y)( y) (a a b )(a + a b ) 3 ( 3y )( + 3y3 ) 4 (y + )( )(y ) 5 (a 5b)(a + 5b) 5 6 (6a 3)(a + ) 7 (a + b + )(a b+) 8 ( + y z)( + y + z)

9 45 Автомат А работает следующим образом: когда в него вводят разность двух одночленов, он ее умножает на их сумму. Например, A( ) = ( )( + ) =, A( ) = ( )( + ) = 4, т. е. (A A)( ) = 4 Вычислите (A A A)( ) = Вычислите A(a 3 b 3 ) = 3 Сколько раз надо применить автомат А к выражению, чтобы получить 3? 4 Что нужно вести в автомат и сколько раз его применить, чтобы получить a 8 b 8? 5 Что нужно ввести в автомат, чтобы вычислить,0 0,99?

10 46 Т-9 Сумма и разность кубов Заполните пустые места так, чтобы получались верные равенства: ( )( )( + + 4) = 3 8 ( + )( 3y + 9y ) = 3 + 7y 3 3 (3 y)(9 + y + 4y ) = 7 3 8y 3 4 ( a + )(4a ab + ) = 8a (8 y)(64 + y + y ) = 9 6 (3 + y)( y y) = y 3

11 47 7 (a 6 b 3 )(a 4 + 6a b b 6 ) = a 6 6 b 9 8 ( )( + )( + 4)( + + 4) = 6 64 Укажите (не вычисляя кубы) какие-либо простые делители числа:

12 48 Т-0 Разложение на множители Разложите многочлены на множители: a + ay + b( + y) z + yz t yt 3 a ay b c + cy + by 4 a 4 a 3 + a y + yz + y + z y (a + b + c) 3 a 3 b 3 c 3

13 49 У каких многочленов при разложении на множители появится множитель +y? y + y 3 3 y y + y 5 + y + 3y 6 + 3y y y 3y y + 3 y + y 3

14 50 Т- Квадратный трехчлен Выделите полный квадрат, т. е. представьте квадратный трехчлен в виде ( + a) + b

15 5 Разложите на множители: y 5y 6 + 3y + y 7 + y y y + 7y 4

16 5 Т- Размещения и перестановки Из 30 бочонков лото выбирают последовательно три бочонка и заполняют ими три клетки. Сколько разных расположений может получиться? Из 3 различных карт последовательно выбирают 4 карты и заполняют ими прямоугольник. Сколько разных картинок может получиться? 3 Сколько есть пятизначных чисел с разными цифрами? 4 Коэффициенты многочлена a + b + c двузначные различные числа. Сколько таких многочленов? Сколько анаграмм можно получить из слова пилот? пилот оплит

17 53 6 Каким числом способов можно усадить в ряд 6 человек? Каким числом способов можно усадить в ряд 4 мальчика и 4 девочки так, чтобы рядом с каждым мальчиком была девочка? Какое наименьшее число членов имеет симметричный многочлен, содержащий слагаемое 4 y 3 z t? 4 y 3 z t 3 y 4 z t +

18 54 Лабораторные работы ЛР-05 Деление многочленов с остатком ЛР-06 Треугольник Паскаля ЛР-07 Подсчет числа делителей ЛР-08 Условные тождества ЛР-05 Деление многочленов с остатком Мы умеем делить уголком друг на друга целые числа. Например: _ 4 6 _ 3 6 Неполное частное 5 Проверка Остаток 46 = + 5 = + 5 Деление целых чисел с остатком применяют для выделения целой части неправильной дроби: = = = + = +. Аналогично можно делить многочлены. 3 _ х + х + 4х + 5 х + х + 3 х + х + х х + _ х + 3х + 5 Неполное х + х + частное х + 4 Результат Остаток = ( + ) ( + + ) Особенно важно научиться делить многочлен на двучлен. Приведем еще один пример. 3 _ х + х + 4х + 5 х + 3 х + х х + х + 3 _ х + 4х + 5 Неполное х + х частное _ 3 х х + 3 Остаток Результат = ( + ) ( + + 3) + Если делимое обозначить буквой А, делитель буквой В, неполное частное буквой Q, а остаток буквой R, то получим равенство A = B Q + R. Заметим, что степень остатка R меньше степени делителя Q.

19 55 Разделите многочлен А на многочлен В. А = , В = + А = 3 8, В = 3 А = 3 + 3, В = A = + 3, B = + 5 A = 3 +, B = 6 A = 4 3, B = 3 +

20 56 Чтобы выделить целую часть алгебраической дроби, у которой степень числителя больше или равна степени знаменателя, делят числитель на знаменатель с остатком, а затем преобразуют. = = + ) 3)( ( 3 ) 3)( ( + + = = Выделите целые части дробей

21 57 Вопросы В записи = ( + )( + 8) + 9 выделите делимое, делитель, неполное частное и остаток. Сравните степень остатка и степень делителя. 3 Что можно сказать об остатке от деления многочлена на линейный двучлен? 4 Как выделить целую часть алгебраической дроби?

22 58 ЛР-06 Треугольник Паскаля Мы знаем формулы бинома Ньютона для квадрата и куба суммы: (a + b) = a + ab + b, (a + b) 3 = a 3 + 3a3 b + 3ab3 + b. Вычислите (a + b) 4, умножив (a + b) на (a + b) 3. Вставьте коэффициенты полученного разложения. (a + b) 4 = a 4 + a 3 b + a b + ab 3 + b 4. Запишем коэффициенты разложений (a + b) n при n =,, 3, 4 в виде треугольника. n Это начало треугольника Паскаля, в котором стоят коэффициенты разложения (a + b) n. Заметьте, что каждый коэффициент равен сумме двух, стоящих под ним коэффициентов. Продолжите по этому правилу треугольник Паскаля до 5 строки. n

23 59 Ответьте на следующие вопросы. Подсчитайте сумму чисел, стоящих в каждой строке. Сформулируйте в виде гипотезы общий результат. Найдите сумму чисел каждой строки с чередующимися знаками (например, ). Сформулируйте общую гипотезу. 3 Найдите строки, в которых все члены являются нечетными числами. Сформулируйте общий результат. 4 Подсчитайте в каждой строке сумму членов, стоящих на нечетных местах. Сформулируйте общее правило. Треугольник Паскаля появляется во многих задачах. Рассмотрим задачу о делении частицы. Частица выходит из точки О и движется по стрелкам вниз. Представьте себе, что на каждом «перекрестке» частица раскладывается на две одна идет вправо, другая идет влево.

24 60 O 0-я строка -я строка -я строка я строка Впишите в клетки треугольника число частиц, которое окажется в этом месте в результате деления. Убедитесь в том, что вы получили треугольник Паскаля. м н н н и и и и ц ц ц ц ц а а а а а а Способы чтения слова умница в треугольнике соответствуют делению частиц. Вычислите, сколько способов чтения заканчивается в каждой из шести букв а. Какова общее число способов чтения слова умница? у м т т т т т т у у у у у п п п п и и и ц Каким числом способов можно прочесть слово тупица, записанное по другому? а ц

25 6 Анализ эксперимента Введем общепринятые обозначения. В n-ой строке треугольника Паскаля стоит n + число. Обозначим их так: C, C, C. Тогда получим треугольник: n n n n n n 0 C 0 0 C n, C n, C n,, 0 C 4 0 C 3 0 C C 4 0 C C 3 C C 4 C C 3 C 3 C 4 3 C 3 4 C 4 Проверьте себя, правильно ли вы поняли обозначение В какой строке стоит число C? 3 5 k C n, ответив на следующие вопросы: Каким оно стоит в этой строке по счету слева? k 3 Может ли обозначение C n число k быть больше, чем число n? 4 Определите, чему равны C, C, C, C, C

26 6 k Коэффициенты C n (читается «цэ из эн по ка») называются биномиальными коэффициентами, так как они стоят в разложении бинома Ньютона (a + b) n. Определите, при каком одночлене в этом разложении стоит коэффициент: А сколько частиц приходит в одну конкретную точку n-ой строки, скажем, с номером k? Ясно, что в одну точку придут частицы из двух точек над ней. Применяя обозначения, k получаем = k + k C n Cn Cn. Этому же соотношению удовлетворяют по определению члены треугольника Паскаля. Так как два треугольника начинаются с одного и того же (с единицы) и правила их построения совпадают, то и треугольники будут одинаковыми. Вывод: каждый член треугольника Паскаля равен числу путей, ведущих из вершины треугольника в эту точку. Заключительные вопросы Докажите следующие свойства биномиальных коэффициентов C n, 3 C n, 0 C n, n C n, k C n. 0 n n Cn + Cn Cn = k n k C n = Cn 0 3 C n C = = n n n 4 C = C n n n = k k k k 4 C n + Cn + Cn = Cn

27 63 ЛР-07 Подсчет числа делителей Возьмем число. Его разложение по степеням простых чисел выглядит так: = 3. Каждый его делитель можно тоже разложить на простые множители. Ясно, что если в разложение числа входят только простые числа и 3, то и в разложение любого его делителя могут входить только эти простые числа, то есть его делитель d должен иметь вид: d = 3. При этом степени, с которыми и 3 входят в разложение d, не могут быть больше двух (для двойки) и единицы (для тройки), потому что в разложение двойка входит в квадрате, а тройка в первой степени. Значит, на первое пустое место мы можем поставить 0, или (три варианта), а на второе 0 или (два варианта). Комбинируя эти варианты, мы получим 3 = 6 вариантов. Теперь легко сообразить, что, например, число 00 = 5 имеет делителями число 5, где на пустые места мы ставим показатели 0,, (для двойки) и 0,, (для пятерки). Общее число комбинаций равно 3 3 = 9. Если число p входит в разложение числа n в степени k, т. е. если n = p k, то в делители n число p может входить в степени 0,,, k, что дает (k + ) вариантов. Поэтому число делителей числа n вида n = p k q l равно (k + ) (l + ). Эта формула легко обобщается для случая, когда n имеет более двух простых делителей. Разложите числа в произведение степеней простых множителей, подсчитайте, сколько различных делителей должно быть у каждого из них и проверьте результат перебором, записав все делители. n Разложение на простые множители Число делителей Делители n 5 6 7

28 64 n Разложение на простые множители Число делителей Делители n Древние греки называли число совершенным, если оно равно сумме своих делителей (кроме, конечно, самого этого числа). Например, 6 = первое совершенное число. Найдите среди чисел в таблице (см. задачу ) еще одно совершенное число. 3 У каких чисел всего два делителя?

29 65 4 Посчитайте, сколько делителей у числа: вида p k, где p простое число 4 вида p k, где p простое число, отличное от 5 вида p p p 3, где p, p, p 3 различные простые числа

30 66 5 Подсчитайте, сколько делителей у одночлена: y 4 4 y 3 z 3 y y z 3 3 y 3 z 4 6 Разложите многочлен на множители и подсчитайте число его делителей. При этом единицу тоже будем включать в число делителей. 3 a ( ) 4 a 8 b 8 5 a 6 + b 6

31 67 ЛР-08 Условные тождества Рассмотрим такую задачу. Пусть a и b катеты, c гипотенуза прямоугольного треугольника. Доказать, что a, b и с связаны соотношением a b + c 4 = c 4 a b. Величины a, b, с не являются независимыми они связаны соотношением a + b = c (теорема Пифагора, которую вы будете изучать позже). Поэтому задачу можно сформулировать так: Доказать тождество a b + c 4 = c Такого рода задачи называют условными тождествами. 4 a b, если a, b, с связаны условием a + b = c. Докажите условные тождества. Если p + q =, то. Если a + b = 0, то. 3 Если a + b = 0, то a 3 + b 3 = 0. 4 Если a + b = ab, то. 5 Если a + b =, то a 3 + b 3 = 3ab. 6 Если 4 = +, то a = b. a + b a b

32 68 Докажите следующие тождества, если a, b, c связаны равенством a + b + c = 0: a b c + + = 3 b + c c + a a + b = 0 a + b b + c c + a a b c 3 4 a 3 + b 3 + c 3 = 3abc3 5 a 4 + b 4 + c 4 = 0,5 (a + b + c ) 6 a 5 + b 5 + c 5 =,5abc (a + b + c )

33 69 Самостоятельные работы СР-03 Многочлены СР-04 Разложение многочленов на множители СР-03 Многочлены А А. Дано выражение A B + B C. Подставьте в выражение следующие значения букв A = 3a 3 b, B = a b, C = 3b 3 a. Сколько одночленов получится после раскрытия скобок и до приведения подобных членов? 3 Выполните все действия и запишите многочлен в стандартном виде. А. Запишите выражение в виде B(A + C). Подставьте в выражение следующие значения букв: A = 3 3 +, B = +, C = + 3. Не перемножая многочлены, определите степень d многочлена, его старший коэффициент а и свободный член b. 3 Выполните все действия и запишите многочлен в стандартном виде.

34 70 А А. Дано выражение A B + B C. Подставьте в выражение следующие значения букв A = a 5b, B = a b, C = 4b a. Сколько одночленов получится после раскрытия скобок и до приведения подобных членов? 3 Выполните все действия и запишите многочлен в стандартном виде. А. Запишите выражение в виде B(A + C). Подставьте в выражение следующие значения букв: A = , B =, C = + 3. Не перемножая многочлены, определите степень d многочлена, его старший коэффициент а и свободный член b. 3 Выполните все действия и запишите многочлен в стандартном виде.

35 7 Б Б. Дано выражение A B + B C. Подставьте в выражение следующие значения букв A = a + ab b, B = a b, C = b ab + a. Сколько одночленов получится после раскрытия скобок и до приведения подобных членов? 3 Выполните все действия и запишите многочлен в стандартном виде. Б. Запишите выражение в виде B(A + C). Подставьте в выражение следующие значения букв: A = , B = +, C = Не перемножая многочлены, определите степень d многочлена, его старший коэффициент а и свободный член b. 3 Выполните все действия и запишите многочлен в стандартном виде.

36 7 Б Б. Дано выражение A B + B C. Подставьте в выражение следующие значения букв A = a 3ab b, B = a b, C = b + ab a. Сколько одночленов получится после раскрытия скобок и до приведения подобных членов? 3 Выполните все действия и запишите многочлен в стандартном виде. Б. Запишите выражение в виде B(A + C). Подставьте в выражение следующие значения букв: A = , B = +, C = +. Не перемножая многочлены, определите степень d многочлена, его старший коэффициент а и свободный член b. 3 Выполните все действия и запишите многочлен в стандартном виде.

37 73 СР-04 Разложение многочленов на множители А А. Дано выражение A = a 4b. Разложите А на множители. Подставьте a = y, b = + y и выполните действия. 3 Подставьте a = 0, b = и подсчитайте число делителей получившегося числа. А. Дан многочлен P = 5. Разложите P на множители. Замените на 3 и выполните действия. 3 Вычислите P.

38 74 А А. Дано выражение A = 9a b. Разложите А на множители. Подставьте a = 3 3 y, b = + y и выполните действия. 3 Подставьте a = 5, b = и подсчитайте число делителей получившегося числа. А. Дан многочлен P = 5 4. Разложите P на множители. Замените на 3 и выполните действия. 3 Вычислите P.

39 75 Б Б. Дано выражение A = 8a 3 b 3. Разложите А на множители. Подставьте a = y, b = + y и выполните действия. 3 Подставьте a = 3, b = и подсчитайте число делителей получившегося числа. Б. Дан многочлен P = y 5y. Разложите P на множители. Замените на a b и y на 3a b и выполните действия. 3 Вычислите P.

40 76 Б Б. Дано выражение A = a 3 + 8b 3. Разложите А на множители. Подставьте a = 3 3 y, b = + y и выполните действия. 3 Подставьте a = 5, b = и подсчитайте число делителей получившегося числа. Б. Дан многочлен P = 5y 4y. Разложите P на множители. Замените на a b и y на a 3b и выполните действия. 3 Вычислите P.

41 77 Контрольные тесты КТ-06 Квадрат суммы КТ-07 Куб суммы КТ-08 Полный квадрат КТ-09 Множители квадратного трехчлена КТ-0 Число слагаемых КТ-06 Квадрат суммы Для букв и y укажите запись выражения. квадрат их разности сумма их квадратов квадрат их суммы разность их квадратов квадрат суммы их квадратов y + y + y + y y + y 4 + y + y 4 КТ-07 Куб суммы Для чисел и y сопоставьте символьную и словесную записи выражения. куб их разности куб суммы их квадратов квадрат суммы их кубов куб их суммы сумма их кубов y 3 + y y y 3 + 3y( + y) 3 3 y + 3y y y + 3 y 4 + y 6

42 78 КТ-08 Полный квадрат Определите полный квадрат В, входящий в состав квадратного трехчлена А. А a + 4a + 6 a + 6a + 9 a + 3a + 9 a + a + 3 a + 3a + 6 В 3 a + (a + 6) (a + ) (a + 3) (a + ) КТ-09 Множители квадратного трехчлена На какие множители раскладывается трехчлен? Множитель Трехчлен

43 79 КТ-0 Число слагаемых Даны многочлены A = + y + z, B = a + b, C = m + n. Сколько слагаемых получится в произведении после раскрытия скобок и до приведения подобных членов? A B A C 3 B С 4 A B C 5 A A = A 6 B B B = B 3 7 C C C C = C 4 8 A 3 B

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Подробнее

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (на базе

Подробнее

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения

Планируемые результаты освоения алгебры в 7 классе Алгебраические выражения. Уравнения Программа по алгебре для 7 класса общеобразовательного учреждения. Пояснительная записка Структура программы Программа включает три раздела: 1.Планируемые результаты усвоения алгебры в 7 классе 2.Содержание

Подробнее

Лекция 1. Алгебраическое доказательство. Пусть это не так, т.е.

Лекция 1. Алгебраическое доказательство. Пусть это не так, т.е. Лекция Почему мы не можем обойтись целыми и рациональными числами? Потому что в самых естественных ситуациях нам встречаются числа, не являющиеся ни целыми, ни рациональными. Рассмотрим единичный квадрат.

Подробнее

Лекция 2: перечслительная комбинаторика

Лекция 2: перечслительная комбинаторика Лекция 2: перечслительная комбинаторика Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) Задачи перечислительной кмбинаторики имеют типовой вид: «сколько способов сделать

Подробнее

Календарно-тематический план по геометрии. 7 класс.

Календарно-тематический план по геометрии. 7 класс. Календарно-тематический план по геометрии. 7 класс. Тема раздел Кол-во час. Глава. Начальные геометрические сведения 2,2 Прямая и отрезок, луч и угол. Точка. Плоскость. 2 3 Сравнение отрезков и углов.

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Подробнее

Типовые задачи c решениями.

Типовые задачи c решениями. Типовые задачи c решениями. Формальное суммирование рядов. Формула рекурсии k a k a + a k k Формула умножения λ a k λa k Формула сложения k k k a k + b k a k + k b k k Пример Геометрическая прогрессия.

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

О. А. Иванов, Т. Ю. Иванова, К. М. Столбов. Алгебра в 9 классе Уроки обобщающего повторения

О. А. Иванов, Т. Ю. Иванова, К. М. Столбов. Алгебра в 9 классе Уроки обобщающего повторения О. А. Иванов, Т. Ю. Иванова, К. М. Столбов Алгебра в 9 классе Уроки обобщающего повторения Санкт-Петербург 03 УДК ББК 5(xxx) XX.xxXX X?? Иванов О. А., Иванова Т. Ю., Столбов К. М. X?? Алгебра в 9 классе.

Подробнее

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ Арифметика понимать особенности десятичной системы счисления; использовать понятия, связанные с делимостью натуральных чисел; выражать

Подробнее

Рабочая учебная программа по математике в 5 А классе

Рабочая учебная программа по математике в 5 А классе Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 29 города Чебоксары» Рассмотрено на заседании ШМО Протокол от 20 г. Руководитель ШМО В.В. Морушкина «Утверждаю» Директор

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Г.Г. Литова, Д.Ю. Ханукаева ПРЕДЕЛЫ Пособие для студентов, обучающихся по специальности

Подробнее

Делимость чисел и простые числа. (Спецкурс для 7-8 класса)

Делимость чисел и простые числа. (Спецкурс для 7-8 класса) Делимость чисел и простые числа. (Спецкурс для 7-8 класса) Предисловие для учителей Перед вами курс по делимости чисел и простым числам, предназначенный школьникам 7-8 классов. Большинство заданий взято

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Решение задач по теории чисел

Решение задач по теории чисел Решение задач по теории чисел 1 Сравнения первой степени с одним неизвестным ax b (mod m) Пример 1. Решите сравнение О.В. Митина 1287x 447 (mod 516). (1) Решение: 1) Заменим коэффициенты сравнения (1)

Подробнее

Предмет математика модуль «алгебра», 7 класс. Учитель Анастасия Васильевна Рыбалкина

Предмет математика модуль «алгебра», 7 класс. Учитель Анастасия Васильевна Рыбалкина Предмет математика модуль «алгебра», 7 класс Учитель Анастасия Васильевна Рыбалкина Что предстоит «узнать» = изучить, освоить на уроках математике модуль «алгебра» в 7 классе. 1) ТЕМЫ (по программе) I.

Подробнее

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями

20. Неприводимые многочлены над числовыми полями 20. Неприводимые многочлены над основными числовыми полями Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Основная теорема алгебры В

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Решение. Одно из решений приведено на рисунке справа (серым цветом выделена внутренность ломаной). Есть и много других.

Решение. Одно из решений приведено на рисунке справа (серым цветом выделена внутренность ломаной). Есть и много других. XXXIV Турнир имени М. В. Ломоносова сентября 11 года Конкурс по математике. Ответы и примерные решения В скобках указано, каким классам рекомендуется задача (решать задачи более старших классов также разрешается,

Подробнее

Математика MCA-III. Описания уровней успеваемости. Классы с 3-го по 8-й.

Математика MCA-III. Описания уровней успеваемости. Классы с 3-го по 8-й. Математика MCA-III. Описания уровней успеваемости. Классы с 3-го по 8-й. 3-й класс Не соответствует стандартам (3-й класс) счет и математические операции: называют целые числа; складывают многоразрядные

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

Математика: 3 класс. Математика: 4 класс

Математика: 3 класс. Математика: 4 класс Математика: 3 класс Математика: 4 класс Математика: 3-4 класс Внетабличное умножение в пределах сотни Усвоение навыков устных вычислений одно из основных заданий изучения математики в начальных классах.

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ» Автономная некоммерческая организация дополнительного образования Учебный Центр при МГТУ им. Н. Э. Баумана «Ориентир» «УТВЕРЖДАЮ» Директор АНО ДО Учебный Центр при МГТУ им. Н.Э.Баумана «Ориентир» ПАНФИЛОВА

Подробнее

Простые и составные числа

Простые и составные числа А. Шень Простые и составные числа 183 182 181 180 179 178 177 176 175 174 173 172 171 170 225 184 133 132 131 130 129 128 127 126 125 124 123 122 169 224 185 134 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 121 168 223

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им Н И ЛОБАЧЕВСКОГО Факультет вычислительной математики и кибернетики Кафедра математической логики и высшей алгебры ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ (Пособие для студентов

Подробнее

Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 10 класс)

Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 10 класс) Задача 1 Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 10 класс) Найдите все простые числа p и q такие, что выражение целого числа является квадратом 1 Очевидно, что при q

Подробнее

Тема 49 «Формулы числа сочетаний. Бином Ньютона». Основные формулы комбинаторики.

Тема 49 «Формулы числа сочетаний. Бином Ньютона». Основные формулы комбинаторики. Тема 49 «Формулы числа сочетаний. Бином Ньютона». Основные формулы комбинаторики. Без повторений С повторениями A = n! n k! A = n Порядок важен P = A = n! P = A = n Pk, k,, k = (k + k + + k )! k! k! k!

Подробнее

Целые, рациональные и вещественные числа

Целые, рациональные и вещественные числа Глава 2 Целые, рациональные и вещественные числа 2.. Целые числа Числа, 2, 3,... называются натуральными. Множество всех натуральных чисел обозначается N, т.е. N = {,2,3,...}. Числа..., 3, 2,,0,,2,3,...

Подробнее

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ, АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА И В БЕЛОУСОВ МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев: 2006 УДК 519612

Подробнее

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 6. Комбинаторика.

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 6. Комбинаторика. Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет кафедра геометрии им. А.В. Погорелова Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление 6. Комбинаторика. 6. Основные комбинаторные

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ. Глава. 1. Составление рационального выражения. Примеры и комментарии

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ. Глава. 1. Составление рационального выражения. Примеры и комментарии 3 Глава 3 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ Составление рационального выражения Для построения рационального выражения нам нужны числа, буквы и знаки действий Числа мы используем те, которые знаем, например, 0;,; 5 и

Подробнее

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв

С.А. Лавренченко. Доказательство: Повести самостоятельно. Указание: Применить произведения, взяв Лекция 4 1 СА Лавренченко Вычисление пределов 1 Правила вычисления пределов Пусть действительная константа и целое положительное число При условии, что существуют оба предела и, имеют место следующие десять

Подробнее

Цель курса. Структура курса

Цель курса. Структура курса Название курса Класс Количество часов Составители Цель курса Структура курса Алгебра 7а 7в 0ч ( часа в неделю) Зайцева З.Н. продолжить овладевать системой математических знаний и умений, необходимых для

Подробнее

Т.А.Спасская. Сравнения первой степени

Т.А.Спасская. Сравнения первой степени ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» Математический факультет Кафедра алгебры

Подробнее

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 6. sin x. Ответ: 0,76. Решение. 1) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 6. sin x. Ответ: 0,76. Решение. 1) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов) Сумма трѐх чисел равна нулю Может ли сумма их попарных произведений быть положительной? Ответ: нет, не может Решение Пусть a + b + c = 0 Докажем, что

Подробнее

Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов специальности «Производство летательных аппаратов»

Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов специальности «Производство летательных аппаратов» Государственное бюджетное профессиональное учреждение Московской области «Авиационный техникум имени В.А. Казакова» Рассмотрено на заседании предметной цикловой комиссии «Общеобразовательных, математических

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ МИНОБРНАУКИ РОССИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Новосибирский государственный университет экономики и управления «НИНХ» (ФГБОУ ВО «НГУЭУ», НГУЭУ)

Подробнее

Педагогическим Советом Директор ГБОУ СОШ г. Приказ 70/3 от г.

Педагогическим Советом Директор ГБОУ СОШ г. Приказ 70/3 от г. Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 392 с углубленным изучением французского языка Кировского района Санкт-Петербурга Принята «Утверждаю» Педагогическим

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Задания для подготовки к годовой промежуточной аттестации по информатики.

Задания для подготовки к годовой промежуточной аттестации по информатики. Задания для подготовки к годовой промежуточной аттестации по информатики Представление информации Задание Переводи числа из одной системы счисления в другие: Укажите, как представлено число 78 0 в двоичной

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби. m или ( m ) < n. или ( m) n. Всякую неправильную дробь можно представить в виде

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби. m или ( m ) < n. или ( m) n. Всякую неправильную дробь можно представить в виде РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби Определение Дроби вида, называются обыкновенными дробями Обыкновенные дроби, правильные и неправильные Определение Дробь, правильной, если < при, где Z, N Z, N Z,

Подробнее

Математика. Программа вступительного испытания

Математика. Программа вступительного испытания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «СОЧИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» «Университетский экономико-технологический колледж» Математика Программа вступительного испытания

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

Теория пределов: упражнения и примеры

Теория пределов: упражнения и примеры Теория пределов: упражнения и примеры Методическое пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии П.А.Панов Государственный Университет Высшая школа экономики Январь 00 Что такое предел

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

ОТКРЫТЫЕ УРОКИ АЛГЕБРЫ

ОТКРЫТЫЕ УРОКИ АЛГЕБРЫ Н. Л. БАРСУКОВА ОТКРЫТЫЕ УРОКИ АЛГЕБРЫ 7 8 классы МОСКВА «ВАКО» 2010 УДК 372.851 ББК 74.262.21 Б26 Книга подготовлена совместно с ООО «Парус». Б26 Барсукова Н.Л. Открытые уроки алгебры: 7 8 классы. М.:

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ 1. Числовые множества. Арифметические действия над числами. Натуральные числа (N).

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

61. Числа 11 и 61 не являются цифрами, поэтому искомого числа не существует.

61. Числа 11 и 61 не являются цифрами, поэтому искомого числа не существует. 0. Поезд из 10 вагонов, длина каждого из которых 0 метров въехал на мост, длина которого 00 метров со скоростью 0 метров в секунду. Сколько времени он ехал по мосту? Решение. Длина поезда 00 метров, длина

Подробнее

Лекция 2: Многочлены

Лекция 2: Многочлены Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Подробнее

Летняя школа специализированного учебно-научного центра. Методическое пособие

Летняя школа специализированного учебно-научного центра. Методическое пособие Летняя школа специализированного учебно-научного центра Методическое пособие Екатеринбург 2014 ЛЕТНЯЯ ШКОЛА (2014г) П р о г р а м м а Алгебра 1. Метод интервалов на прямой. 2. Метод областей на плоскости.

Подробнее

Пояснительная записка Рабочая программа составлена с учѐтом примерной программы общеобразовательных учреждений Математик 5-6 классы.

Пояснительная записка Рабочая программа составлена с учѐтом примерной программы общеобразовательных учреждений Математик 5-6 классы. Пояснительная записка Рабочая программа составлена с учѐтом примерной программы общеобразовательных учреждений Математик 5-6 классы. Реализация рабочей программы рассчитана на 20 часа (6 часов в неделю),

Подробнее

Трушин Б.В., 2015 г. Рис. 1:

Трушин Б.В., 2015 г. Рис. 1: Комбинаторика Часть первая. Введение Что такое комбинаторика? Комбинаторикой (или комбинаторным анализом) называется раздел математики, который решает задачи подсчета количества объектов, удовлетворяющих

Подробнее

воспитание упорства, аккуратности, способностей к преодолению трудностей, гражданской ответственности.

воспитание упорства, аккуратности, способностей к преодолению трудностей, гражданской ответственности. Аннотация к рабочей программе по математике Рабочая программа по математике составлена на основе Федерального компонента государственного стандарта основного общего образования. Данная рабочая программа

Подробнее

Рабочая программа по математике 3 класс

Рабочая программа по математике 3 класс Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Евдаковская основная общеобразовательная школа» Каменского муниципального района Воронежской области Рассмотрено на заседании ШМО учителей начальных

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. ТОЧНЫЕ ГРАНИЦЫ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. ТОЧНЫЕ ГРАНИЦЫ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Утверждено научно-методическим советом математического

Подробнее

Рабочая учебная программа по математике в 6 А классе

Рабочая учебная программа по математике в 6 А классе Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 29» города Чебоксары Рассмотрено на заседании ШМО Протокол от 20 г. Руководитель ШМО В.В. Морушкина «Утверждаю»

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра компьютерной топологии и алгебры АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра компьютерной топологии и алгебры АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра компьютерной топологии и алгебры АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА Методические указания для практических занятий по "Теории

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Задания, ответы и критерии оценивания Ответ Решение Критерии проверки

Задания, ответы и критерии оценивания Ответ Решение Критерии проверки ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ. 2016 2017 уч. г. ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 8 КЛАСС Задания, ответы и критерии оценивания 1. (7 баллов) В рамке 8 8 шириной в 2 клетки (см. рисунок) всего 48 клеточек.

Подробнее

Рабочая учебная программа по алгебре в 7 А классе

Рабочая учебная программа по алгебре в 7 А классе Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 29» города Чебоксары Рассмотрено на заседании ШМО Протокол от 20 г. Руководитель ШМО В.В. Морушкина «Утверждаю»

Подробнее

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛГОРОДСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА»

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛГОРОДСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА» АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛГОРОДСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА» Программа и правила проведения вступительного испытания по «Математике»

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

Факультативно. Ковариантная форма физических законов.

Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Ковариантность и контравариантность. Слово "ковариантный" означает "преобразуется так же, как что-то", а слово "контравариантный" означает "преобразуется

Подробнее

Материалы заданий с ответами. олимпиады школьников по математике «САММАТ - 2010» 7 КЛАСС. HOK(x, y) = HOK(201, 209),

Материалы заданий с ответами. олимпиады школьников по математике «САММАТ - 2010» 7 КЛАСС. HOK(x, y) = HOK(201, 209), 7 КЛАСС 1. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение HOK(x, y) = HOK(201, 209), где HOK - наименьшее общее кратное двух чисел? Ответ: 81. 2. В треугольнике ABC известно, что AB = 5, BC = 6,

Подробнее

Уберите ровно 5 спичек так, чтобы равенство стало

Уберите ровно 5 спичек так, чтобы равенство стало Математические шахматы, 6 класс, клеточные задачи Клетка 1. Найдите 2 решения ребуса, в которых не совпадает цифра, зашифрованная под буквой «А» Ш А Х М А Т Ы=2016, где одинаковые цифры заменили одинаковыми

Подробнее

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической

Подробнее

Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ

Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ Рабочая программа по математике 5-6 класс ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ Рациональные числа Ученик научится: В 5-6 КЛАССАХ 1) понимать особенности десятичной системы счисления; 2) владеть понятиями,

Подробнее

ЛЕММА БЕРНСАЙДА И ЗАДАЧИ О РАСКРАСКАХ

ЛЕММА БЕРНСАЙДА И ЗАДАЧИ О РАСКРАСКАХ ЛЕММА БЕРНСАЙДА И ЗАДАЧИ О РАСКРАСКАХ А.В.СТЕПАНОВ Предисловие Комбинаторные задачи о количестве объектов, не совмещаемых друг с другом определенными преобразованиями, которые решаются с помощью Леммы

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

Решения и примерные критерии первой проверки ОММО-2010

Решения и примерные критерии первой проверки ОММО-2010 Решения и примерные критерии первой проверки ОММО-010 Приведённые ниже критерии, конечно, не могут охватить все случаи И если какое-то решение под критерии не подпадает, то стоит оценивать его по здравому

Подробнее

Календарно-тематическое планирование по математике 2 класс (Демидова Т.Е., Козлова С.А.)

Календарно-тематическое планирование по математике 2 класс (Демидова Т.Е., Козлова С.А.) Календарно-тематическое планирование по математике 2 класс (Демидова Т.Е., Козлова С.А.) п/п Тема урока Кол-во часов Характеристика деятельности учащихся Дата проведения Числа от до 0.(5ч) 5 Действия сложения

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИИ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИИ ПО МАТЕМАТИКЕ Данная программа предназначена для абитуриентов тех факультетов, для которых предусмотрены вступительные испытания по математике в форме теста. Программа

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФГБОУ ВПО «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Персиановский

Подробнее

П Р О Г Р А М М А ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

П Р О Г Р А М М А ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Дата проведения урока Тема Примечание

Дата проведения урока Тема Примечание урока Дата проведения урока Тема Примечание 1 четверть (32 ч) 1 Повторение.Числовые и алгебраические выражения. Графики функций 2 Повторение. Линейные уравнения и системы. 3 Срезовая контрольная работа

Подробнее

Задача С6 на ЕГЭ по математике

Задача С6 на ЕГЭ по математике И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Задача С6 на ЕГЭ по математике 1 Необходимая теория 2 1.1 Числовые множества................................... 2 1.2 Делимость.........................................

Подробнее

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Приложение 1 ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Для криптографии алгебра является одним из основных инструментов в теоретических исследованиях и практических построениях криптографических преобразований Поэтому в этом

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных дробей; с требуемой точностью округлять данные числа и результаты

Подробнее

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 2.1. Функция f(x) определена для всех x, кроме 1, и удовлетворяет равенству: x

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 2.1. Функция f(x) определена для всех x, кроме 1, и удовлетворяет равенству: x 10 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). 1.1. Известно. что разность кубов корней квадратного уравнения ax + bx + c = 0 равна 011. Сколько корней имеет уравнение ax + bx + 4c = 0? Ответ:

Подробнее

УСРЕДНЕНИЕ ТРЁХМЕРНОГО ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ

УСРЕДНЕНИЕ ТРЁХМЕРНОГО ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ 9 Компьютерная оптика том УСРЕДНЕНИЕ ТРЁХМЕРНОГО ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ АВ Устинов Учреждение Российской академии наук Институт систем обработки изображений РАН Аннотация В данной статье описан метод усреднения

Подробнее

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I Т В Родина, Е С Трифанова ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ I для напр «Прикладная математика и информатика» Учебное пособие под редакцией проф И Ю Попова Санкт Петербург 0 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

Подробнее

С помощью операторов символьного преобразования (используя палитру инструментов Символы).

С помощью операторов символьного преобразования (используя палитру инструментов Символы). Лабораторная работа. Символьные вычисления Системы компьютерной алгебры снабжаются специальным процессором для выполнения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В пособии не излагается теория чисел а дан минимальный инструментарий из этой теории который в дальнейшем потребуется для изучения криптографических систем используемых

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа составлена к учебнику «Алгебра 8» авторов Ю.Н.Макарычева, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешкова, С.Б.Суворовой. Цель изучения курса алгебры в 8 классе развить интерес к решению

Подробнее

Муниципальный этап республиканской олимпиады школьников по технологии УДЕ академика РАО П. М. Эрдниева в учебном году

Муниципальный этап республиканской олимпиады школьников по технологии УДЕ академика РАО П. М. Эрдниева в учебном году по технологии УДЕ академика РАО П. М. Эрдниева в 2013-2014 учебном году 4 класс 1. Поставьте между цифрами один или несколько знаков арифметических действий и скобки так, чтобы получились верные равенства:

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Задания обязательного уровня

Задания обязательного уровня 1. Выражения, тождества, уравнения 1. Решите уравнение 2,5 3х=х 4,5 2. Решите уравнение 3,6 4х=х 4,4 3. Решите уравнение 2 3(х+2)=5 2х 4. Решите уравнение 3 5(х+1)=6 4х 5. Участок площадью 430 га разделен

Подробнее

Критерии оценивания решений задач заочного этапа Всесибирской олимпиады школьников 2013-14гг по математике Общие принципы оценивания Баллы

Критерии оценивания решений задач заочного этапа Всесибирской олимпиады школьников 2013-14гг по математике Общие принципы оценивания Баллы Критерии оценивания решений задач заочного этапа Всесибирской олимпиады школьников 2013-14гг по математике Общие принципы оценивания Каждая задача оценивается из 7 баллов. Далее, по степени решённости

Подробнее

Лекция 5: Определители

Лекция 5: Определители Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

Подробнее