МАТЕМАТИКА. Учебное пособие. Часть 1. Е.А. Алашеева

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МАТЕМАТИКА. Учебное пособие. Часть 1. Е.А. Алашеева"

Транскрипт

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ» Кафедра высшей математики Е.А. Алашеева МАТЕМАТИКА Часть Учебное пособие Самара 6

2 УДК 59. Рекомендовано к изданию методическим советом ПГУТИ, протокол, от..6 г. Рецензент: Зав каф.эиа ПГУТИ, д.ф.-м.н, доцент, Клюев Д.С. А Алашеева, Е. А. Математика: учебное пособие / Е. А. Алашеева. Самара: ПГУТИ, с. Учебное пособие «Математика. Часть» содержит такие разделы математики, как комплексные числа, векторная алгебра, аналитическая геометрия, теория пределов, теория исследования функций, разработано в соответствии с ФГОС ВО по направлению подготовки 9.. «Информационные системы и технологии» и предназначено для студентов курса факультета ИСТ для самостоятельной подготовки. ISBN, Алашеева Е.А., 6

3 Содержание Лекция... 8 Комплексные числа. Основные понятия... 8 Основные действия над комплексными числами... Задачи для самостоятельного решения... 4 Контрольные вопросы... 5 Лекция... 6 Матрицы... 6 Определитель второго порядка... 6 Определитель третьего порядка... 7 Определитель квадратной матрицы -го порядка... 7 Свойства определителей... 9 Вычисление определителя Вандермонда... Правило Крамера... Задачи для самостоятельного решения... 4 Контрольные вопросы... 5 Лекция... 6 Основные операции над матрицами... 6 Ранг матрицы... Задачи для самостоятельного решения... 4 Контрольные вопросы... 5 Лекция Решение систем m линейных уравнений с неизвестными... 6 Матричный метод решения систем линейных уравнений... 9 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений... 4 Собственные значения и собственные вектора линейного оператора Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы Лекция Элементы векторной алгебры Линейные операции над векторами Проекция вектора Разложение вектора по базису... 5 Декартовы прямоугольные координаты... 5 Координатное представление векторов... 5 Скалярное произведение векторов Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы... 58

4 Лекция Векторное произведение двух векторов Свойства векторного произведения... 6 Координатная форма записи векторного произведения... 6 Смешанное произведение векторов... 6 Свойства смешанного произведения... 6 Координатная форма записи смешанного произведения Двойное векторное произведение трех векторов Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы Лекция Общее уравнение прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом Уравнение прямой в отрезках... 7 Каноническое уравнение прямой... 7 Уравнение прямой, проходящей через две точки... 7 Параметрическое уравнение прямой... 7 Взаимное расположение двух прямых Нахождение угла между прямыми Нормальное уравнение прямой Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду Нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы... 8 Лекция Два способа задания плоскости в пространстве Второй способ задания плоскости... 8 Исследование общего уравнения плоскости... 8 Взаимное расположение плоскостей в пространстве Нормальное уравнение плоскости Расстояние от точки до плоскости Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы Лекция Общее уравнение прямой в пространстве... 9 Каноническое уравнение прямой в пространстве... 9 Параметрическое уравнение прямой... 9 Уравнение прямой проходящей через две точки

5 Переход от канонического уравнения к общему... 9 Переход от общего уравнения к каноническому... 9 Основные задачи на прямую и плоскость в пространстве Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы Лекция... Эллипс... Гипербола... Парабола... 4 Канонические уравнения поверхностей второго порядка... 7 Задачи для самостоятельного решения... Контрольные вопросы... 4 Лекция... 5 Числовые последовательности... 5 Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности... 6 Предел последовательности... 7 Монотонные последовательности... 9 Предел функции... Бесконечные пределы... Теоремы о пределах. Неопределенные выражения... Задачи для самостоятельного решения... 4 Контрольные вопросы... 5 Лекция... 6 Первый замечательный предел... 6 Второй замечательный предел... 7 Сравнение бесконечно малых... 9 Односторонние пределы... Непрерывность функции. Точки разрыва... Классификация точек разрыва... Задачи для самостоятельного решения... Контрольные вопросы... 4 Лекция... 5 Производная функции... 5 Геометрический смысл производной... 6 Производная суммы, произведения, частного... 8 Производная сложной функции... 9 Производная обратной функции... 4 Производная функции, заданной параметрически

6 Таблица производных... 4 Производная показательно степенной функции Производные высших порядков Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы Лекция Дифференциал функции Геометрическое значение дифференциала Дифференциал суммы, произведения, частного Дифференциалы высоких порядков... 5 Свойства дифференцируемых функций... 5 Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей... 5 Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы Лекция Условия возрастания и убывания функций Необходимые условия экстремума Первое достаточное условие экстремума... 6 Второе достаточное условие экстремума... 6 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке... 6 Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы Лекция Выпуклость и вогнутость кривой Достаточные условия выпуклости Точки перегиба. Условия наличия точек перегиба Асимптоты графика функции... 7 Общая схема исследования функции и построения графиков... 7 Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы Глоссарий К лекции К лекции К лекции... 8 К лекции К лекции К лекции К лекции

7 К лекции К лекции К лекции К лекции К лекции... 9 К лекции... 9 К лекции К лекции К лекции Литература

8 Лекция Комплексные числа. Основные понятия Определение. Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел,. Определение. z i - алгебраическая форма записи комплексного числа. i мнимая единица; i. Определение. Число называется действительной частью комплексного числа. Обозначается: = Re z. Определение.4 Число называется мнимой частью комплексного числа. Обозначается: = Im z. Определение.5 Два комплексных числа z и z называются равными, если у них равны действительные и мнимые части соответственно: z z, если и. Представление комплексного числа на комплексной плоскости Im z r M (,) Re z 8

9 Всякое комплексное число z = +i можно изобразить точкой M(;) на плоскости. На оси абсцисс откладываем действительную часть числа = Rez, на оси ординат мнимую = Imz. Определение.6 Плоскость OXY, на которой изображают комплексные числа называется комплексной плоскостью.(с) Определение.7 Ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат мнимой. Комплексное число на плоскости частππо изображают с помощью r OM ;. радиуса вектора: Определение.8 Длина радиуса вектора, изображающего комплексное число, называется модулем комплексного числа и обозначается z. Справедлива формула для вычисление модуля комплексного числа: z. Определение.9 Величина угла между положительным направлением действительной оси и радиус вектором, изображающем комплексное число, называется аргументом комплексного числа и обозначается Arg z. числа: π,π]. Справедлива формула для Определение. вычисления аргумента комплексного Arg z = rg z +kπ, k=,±,±, rg z =φ главное значение аргумента, φ принадлежит интералу [- Справедлива формула для вычисления главного значения аргумента: rctg, rg z rctg,, rctg,, 9

10 Определение. Запись числа z в виде: z = r (cosφ + i siφ) называется тригонометрической формой комплексного числа. Определение. Запись числа z в виде: комплексного числа. i z re называется показательной формой Определение. Число z=-i называется сопряженным к числу z=+i. Пример. Изобразить на комплексной плоскости выражения: ) - < Rez < ) z i ) Решение: ) rg z 4 4 Imz - Rez ) Imz - Rez

11 ) Imz Rez Пример. Представить в тригонометрической и показательной форме комплексные числа: Imz φ=π/4. Решение: ) z=+i ) z=-+i ) Изобразим комплексное число на комплексной плоскости: +i Из рисунка видно, что аргумент Найдём теперь модуль: φ Rez z. Теперь запишем тригонометрическую форму комплексного числа: z cos i si 4 4 и показательную форму: z e. i 4

12 φ=π/4. ) Изобразим комплексное число на комплексной плоскости: Imz Из рисунка видно, что аргумент Найдём теперь модуль: φ z. - Rez Теперь запишем тригонометрическую форму комплексного числа: z cos i si и показательную форму: z e. Стоит отметить, что показательную и тригонометрическую формы комплексного числа связывают формулы Эйлера: e i cos isi e i cos isi Основные действия над комплексными числами Сложение и вычитание комплексных чисел Пусть z i и z i. Тогда их сумма и разность z z i. определяются по формуле: i Умножение комплексных чисел Пусть z i и z i. Тогда их произведение определяется z z i. по формуле: Деление комплексных чисел Пусть z i и z i. Чтобы найти частное двух комплексных чисел умножим числитель и знаменатель полученной дроби на число сопряженное к знаменателю: z z i i i i i i.

13 Преобразовав полученное выражение получим формулу для вычисления частного двух комплексных чисел: z z i. Пример. Найти сумму, разность, произведение и частное чисел z=5+i и z=-i. Решение Сумма: 5 i 6 i. Разность: 5 i i 4 i. Произведение: 5 i i 5 i 5i i 6 4i 5 i Частное: i. 5 i i i i 5 i 5 i i. Извлечение корня из комплексного числа и возведение комплексного числа в степень Чтобы возвести в степень комплексное число или извлечь корень из комплексного числа нужно данное число представить в тригонометрической форме. Далее возведение в степень и извлечение корня осуществляется по формулам Муавра: z r cos isi. числа z k rcos k i si, k,,..., Пример.4 Возвести в четвертую степень и извлечь корень четвёртой степени из z = +i. Решение Из примера.: z cos i si 4 4 z i cos 4 i si 4 4cos i si 4

14 k k si 4 8 z i cos i 4 4 k=,,,. k cos 4 4 i si k 4 4 z z z cos i si cos i si 6 7 cos i si z 8 5 cos i si Задачи для самостоятельного решения Вычислить: z i4 i ; i Изобразить на комплексной плоскости: z i ; Вычислить: 4 i ; i. 5 4

15 Контрольные вопросы. Дайте определение комплексного числа.. Дайте определение мнимой и действительной части комплексного числа.. Дайте определение модуля и аргумента комплексного числа. 4. Комплексно-сопряженное число. Степень мнимой единицы. 5. Арифметические операции над комплексными числами в алгебраической форме (сложение и вычитание комплексных чисел, умножение и деление комплексных чисел). 6. Приведите тригонометрическую форму записи комплексного числа. 7. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме (умножение и деление комплексных чисел). 8. Приведите показательную форму записи комплексного числа. 9. Операции над комплексными числами в показательной форме (умножение и деление комплексных чисел).. Приведите формулы Муавра ( возведение в степень и извлечение корня).. Приведите формулы Эйлера. 5

16 Лекция Матрицы Определение. Прямоугольную таблицу из чисел, содержащую произвольное число m строк и столбцов называют матрицей. Обозначение: или Кроме того матицы обозначают заглавными латинскими буквами (A, B, M и т.д.) Определение. Если m=, то матрицу называют квадратной. Определитель второго порядка Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка: b b A. Определение. Определителем (детерминантом) второго порядка называется число. b b равное b Обозначение: det A b b. b Для вычисления определителя второго порядка верно правило: из произведения элементов матрицы, стоящих на главной диагонали (левый верхний угол и правый нижний угол) вычитаем произведение элементов, стоящие на побочной диагонали (правый верхний угол и левый нижний угол). Пример

17 Определитель третьего порядка Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка: b b b c c B. c Определение.4 Определителем третьего порядка называется число равное: b c b c b c b c b c b c Рисунок. На рис.. проиллюстрирован закон, по которому составляется определитель матрицы третьего порядка: слева дано правило вычисления положительных членов определителя, справа - отрицательных. Данный закон часто называют «правило треугольника». Пример ( 5)( ) ( 5) 4 ( ) Определитель квадратной матрицы -го порядка Определение.5 Определитель (детерминант) квадратной матрицы A ij - число (обозначение det A ij ij det ) 7

18 r k, k,..., k k k k, k,..., k... k, где перестановкам k, k,..., k Пример. при = : означает, что суммирование производится по всем k,...,, k k чисел,,...,. Определение.6 Квадратная матрица имеющая определитель, отличный от нуля (Δ ) называется невырожденной, в противном случае - матрица называется вырожденной или особой. Замечание. Квадратная матрица - го порядка одно число, а определитель такой матрицы равен единственному элементу этой матрицы. Замечание. Определитель бывает только у квадратных матриц. Определение.7 Определитель вида: 8

19 W называется определителем Вандермонда -го порядка (или степенным определителем). Свойства определителей Величина определителя квадратной матрицы не изменится, если строки матрицы переписать в столбцы. Перестановка двух строк (столбцов) матрицы равносильна умножению определителя данной матрицы на -. Если матрица имеет две одинаковых строки (столбца), то определитель данной матрицы равен нулю. 4 Умножение всех элементов стоки (столбца) матрицы на некоторое число равносильно умножению определителя данной матрицы на это число. 5 Если матрица имеет нулевую строку (столбец), то определитель такой матрицы равен нулю. 6 Если к элементам некоторой строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторое число, то величина определителя такой матрицы не изменится. 7 Если каждый элемент столбца или строки представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, у одного из которых соответствующий столбец составлен из первых слагаемых, а у второго из вторых. b b b b b b 9

20 Определение.8 Минором порядка k матрицы А называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении любых k строк и k столбцов данной матрицы. Определение.9 Минором элемента i строчки и k столбца матрицы А -го порядка называется определитель матрицы - го порядка полученной путем вычеркивания из матрицы A i -ой строчки и k -го столбца. Обозначение: Определение. Минор ik M. ik M взятый со знаком ik называется алгебраическим дополнением этого элемента. Обозначение ik Замечание. ik A ik M A. ik Чередование знаков у алгебраических дополнений начинается с левого верхнего угла с плюса. Например для матрицы знаки перед алгебраическим дополнением будут чередоваться следующим образом:. Пример.4 Дан определитель: Найти M и A. получим: Решение: Вычёркиваем в определителе вторую строчку и третий столбец,

21 6 8 7 M ; A. 9 Разложение определителя по строке (столбцу). Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какойлибо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (столбца). Пример.5 Вычислить определитель путём разложения третей строки: Решение: Вычисление определителя Вандермонда Запишем определитель Вандермонда: W вычтем из каждого столбца, начиная с последнего, предыдущий столбец, умноженный на. Последняя строчка будет иметь вид:,,,, а произвольная строчка будет: i i i i i i i,,,,,. Разлагая полученный определитель по элементам последней строчки, получим:

22 W Вынесем из строчек общий множитель,,, W или W W С определителем W можно поступить также, и тогда: ij j i W Пример.6 Вычислить определитель: Решение: 4. ; ; ;

23 Правило Крамера Определение. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется совместной, если имеет одно единственное решение. В другом случае система называется несовместной. Пусть неизвестными. b cz d b cz d b c z d система из трёх уравнений с тремя Выпишем главный определитель системы: b c. b b c c И выпишем определители: d d d b c ; b b c c d c ; d d c c b d. z b b d d Справедливо следующее правило: Если определитель системы, то система имеет единственное решение, находящееся по формулам Крамера: совместна, или определена. z ; ; z, или Если определитель системы, а один из определителей, или, то система решений не имеет, она противоречива или несовместна. z Если, и все определители равны нулю, а хотя бы один из коэффициентов при неизвестных не равен нулю, то система имеет бесконечное множество решений или неопределена.

24 4 Замечание.4 Правило Крамера остается справедливым и для линейных систем уравнений с неизвестными при любом. Пример.7 Решить систему уравнений: 4 5. Решение: 5 4 ; ; 5. 5, 5 4. Задачи для самостоятельного решения Вычислить: ; 7 6 ; 5 4 Вычислить путём разложения по столбцу: ; 4 4 Вычислить: ; 8 9 9

25 4 Решить систему уравнений методом Крамера: 4. Контрольные вопросы. Дайте определение определителя второго порядка.. Дайте определение определителя третьего порядка.. Дайте определение определителя -го порядка. 4. Перечислите основные свойства определителей. 5. Дайте определение алгебраического дополнения и минора. 6. Приведите формулу разложения определителя по столбцу или строке. 7. Дайте определение определителя Вандермонда. 8. Приведите формулу вычисления определителя Вандермонда. 9. В чём состоит метод Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений. 5

26 Лекция Основные операции над матрицами Сложение матриц Определение. Суммой двух матриц A ik и b ik B одинаковой размерности называется матрица C c ik той же размерности, каждый элемент которой определяется равенством c ik b, где i, m, k, ik ik С A B Пример. Даны матрицы A, B Определить сумму матриц Решение: A B. C A B Свойства A B B A (коммутативный закон) A B C A B C (ассоциативный закон) A A Умножение матриц на число. Определение. Чтобы умножить матрицу на число, нужно все элементы матрицы умножить на это число, т.е. A R A, i, m, k, ik, ik 6

27 Пример. Дана матрица A. Вычислить A 4 Решение: 6 A 9 6, 4 Свойства k A A k k m A k A m A k m A k m A k A B k A k B Умножение матриц Определение. Произведением матрицы каждый элемент которой c mk A на матрицу m строки матрицы A на m j -ый столбец матрицы A m Замечание. k B называется матрица k C, mk, равен сумме произведений элементов i -ой mk B : k B C, т.е. C, где c b mk c mk Произведение матриц определено только для матриц, у которых число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. При этом в произведении получается матрица, число строк которой равно числу строк матрицы A, а число столбцов равно числу столбцов матрицы B. mk j mj jk 7

28 8 Пример. Выполнить действия: 4 4 Решение: Матрица A имеет размер 4, матрица B - размер Результат умножения матрица 7 размер. Свойства A B B A C B A C B A C B C A C B A B k A B A k Нахождение обратной матрицы. Определение.4 Матрица E называется единичной матрицей, если для любой матрицы A имеет место равенство A A E E A

29 E. Определение.5 Матрица A называется обратной по отношению к квадратной матрице A, если выполняется A A A A E, где E -единичная матрица. Определение.6 Матрица t A называется транспонированной по отношению к матрице A, если соответствующие элементы в её строках равны соответствующим элементам в столбцах A Правило нахождения обратной матрицы. Найти определитель матрицы. Если определитель равен нулю, то матрица вырожденная и не имеет обратной.. Если определитель не равен нулю, то найти матрицу из алгебраических дополнений A ~.. Найти транспонированную матрицу 4. Разделить каждый элемент полученной матрицы на опрделитель, полученный в первом пункте. 5. Выполнить проверку A A A A E A ~ t. Пример.4 Дана матрица Решение: A Найти обратную матрицу 4 ) Найдём определитель матрицы: A 9

30 4 8 4 det A. Определитель не равен нулю. ) Находим матрицу из алгебраических дополнений: ~ A. ) Транспонируем данную матрицу: ~ t A. 4) Найдём обратную матрицу: A 5) Делаем проверку: A A. Ранг матрицы Определение.7 Ранг матрицы А - наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. Обозначения: r(a), R(A), Rg A.

31 Замечание. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы принимают равным нулю. Пример.5 B Вычислить ранг матрицы:. Решение: Матрица В содержит единственный ненулевой элемент, являющийся минором -го порядка. Все определители более высоких порядков, составленные из элементов этой матрицы, будут содержать -ю строку и поэтому равны. Следовательно, r(b)=. Пример.6 Вычислить ранг матрицы: 7 5 Решение: Вычеркнув из этой матрицы вторую строку и выбрав первый и четвертый столбцы, получим минор Ранг матрицы равен. Пример.7 Вычислить ранг матрицы

32 С Решение: Единственным минором -го порядка является определитель матрицы С, но он равен, поскольку содержит пропорциональные столбцы. Следовательно, r(c)<. Для того, чтобы доказать, что r(c)=, достаточно указать хотя бы один минор 4. -го порядка, не 4 равный, например, Значит, r(c)=. Определение.8 Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы называется базисным минором матрицы. Определение.9 Преобразования матрицы, от которых ранг её не изменится называют элементарными. К элементарным относятся следующие преобразования: - замены строк столбцами, а столбцов соответствующими строками; - перестановки строк матрицы; - вычеркивания строки, все элементы которой равны нулю; - умножения строки на число, отличное от нуля; - прибавления к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженной на одно и то же число. Замечание. Сама матрица при элементарных преобразованиях меняется, но ранг матрицы не изменится.

33 Определение. Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А ~ В. Определение. Матрицу, у которой в начале по главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю называют канонической. Например: Определение. Пусть A ij - некоторая матрица. Если все элементы, стоящие ниже ii равны нулю, то матрица называется матрицей треугольного вида. Замечание.4 Для матриц большой размерности непосредственное вычисление всех миноров затруднительно. Поэтому в этом случае можно преобразовать матрицу к треугольному виду, воспользовавшись эквивалентными преобразованиями. Пример.8 Вычислить ранг матрицы A 5.

34 4 Решение: Вначале добьемся того, чтобы в первом столбце все элементы, кроме первого, равнялись. Для этого запишем вместо второй строки ее сумму с первой, а вместо третьей разность третьей и удвоенной первой:. Затем из третьей строки вычтем вторую, а к четвертой прибавим вторую:. После вычеркивания нулевых строк получим матрицу размерности два на пять для которой максимальный порядок миноров, а, следовательно, и максимально возможное значение ранга равно :.= Задачи для самостоятельного решения 4 4 A 4 B. Вычислить:. ; ; ; ; ; ; rgb rga B A A B B A B A ~ A 5 ~ A 5 ~ A,. ) ( ) ~ ( A r A r

35 Контрольные вопросы. Перечислите основные операции над матрицами.. Приведите правило нахождения обратной матрицы.. Дайте определение транспонированной матрицы. 4. Дайте определение треугольной матрицы. 5. Дайте определение эквивалентных матриц. 6. Дайте определение базисного минора. 7. Дайте определение ранга матрицы. 8. В чём состоит метод элементарных преобразований отыскания ранга матрицы. 5

36 Лекция 4 Решение систем m линейных уравнений с неизвестными Определение 4. Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида:... b... b, b m m m m где ij и b i (i=,,m; b=,,) некоторые известные числа, а,, неизвестные. Определение 4. Матрицей системы называется матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных: Определение 4. A... m... m m Свободными членами называются числа, стоящие в правых частях уравнений, b,,b m. Определение 4.4 Совокупность чисел c,,c называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c,,c вместо соответствующих неизвестных,,. При решении систем такого вида возможны три следующих случая:. Система имеет единственное решение.. Система имеет бесконечное множество решений.

37 . Система не имеет решения. Определение 4.5 Совместная линейная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Определение 4.6 Расширенной матрицей системы называется матрицу вида:. A... m... m m b b... b m Теорема 4. Теорема Кронекера-Капелли. (условие совместности системы) Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. RgA = RgA *. Доказательство. ) Необходимость: Пусть система совместна и подстановке решения в уравнения получим: c,...,, c cее решение. Тогда при c c... c b c c... c b mc mc... mc b m 7

38 то есть столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы системы и, следовательно, столбцов любого ее базисного минора. Поэтому добавление элементов этого столбца и любой строки расширенной матрицы к базисному минору даст нулевой определитель, поэтому ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы. ) Достаточность: Если A r r, то любой базисный минор матрицы А является и A базисным минором расширенной матрицы. Поэтому столбец свободных членов представляет собой линейную комбинацию столбцов этого базисного минора, и, следовательно, линейную комбинацию всех столбцов матрицы А. Если обозначить коэффициенты этой линейной комбинации c,...,, c c, то эти числа будут решением системы, т.е. эта система совместна. Теорема доказана. Пример 4. Определить совместность системы линейных уравнений: Решение: Выпишем матрицу системы и найдём её ранг методом элементарных преобразований: A

39 Оставим первую и третью строчки без изменений, а вместо второй строчки запишем её сумму с третьей строкой, получим: Разделим вторую строку на три и получим матрицу, у которой первая строчка будет равна первой: Вычеркнем вторую строчку: Вычислим определитель минора данной матрицы: 6 5 Получим, что RgA =. Теперь выпишем расширенную матрицу A* и выполним над ней элементарные преобразования, чтобы создать нулевую строку: ~ RgA* =. Следовательно, система несовместна. Матричный метод решения систем линейных уравнений Замечание 4. Матричным методом могут быть решены только те системы, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля (матрица А невырожденная). 9

40 4 Решение системы матричным способом осуществляется по следующей формуле: L A AX A Используя свойства произведения матриц и свойство обратной матрицы.,,, L A X L A X E L A X A A Т.е., для получения столбца неизвестных нужно обратную матрицу матрицы коэффициентов системы умножить на столбец свободных членов. Пример 4. Решить систему матричным методом: Решение: Найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов системы A Вычислим определитель, раскладывая по первой строке: Поскольку Δ, то A - существует.

41 Обратная матрица найдена верно. Найдем решение системы: Следовательно, =, =, =. Проверка: Система решена верно. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Замечание 4. Данный метод решения систем линейных уравнений подходит для решения систем с любым числом уравнений и неизвестных. Суть метода Гаусса заключается в преобразовании заданной системы уравнений с помощью элементарных преобразований в эквивалентную систему ступенчатого треугольного вида. Метод Гаусса является более универсальным. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. 4

42 Полученная система содержит все неизвестные в первом уравнении. Во втором уравнении отсутствует первое неизвестное, в третьем уравнении отсутствуют первое и второе неизвестные и т. д. Если система совместна и определена (единственное решение), то последнее уравнение содержит одно неизвестное. Найдя последнее неизвестное, из предыдущего уравнения находим еще одно - предпоследнее. Подставляя полученные величины неизвестных, мы последовательно найдем решение системы. Определение 4.7 Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений, используемыми для приведения системы к треугольному виду, являются следующие преобразования: - перестановка местами двух уравнений; - умножение обеих частей одного из уравнений на любое число, отличное от нуля; - прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число. Определение 4.8 Две системы называются эквивалентными, если всякое решение первой системы является решением другой системы и наоборот. Элементарные преобразования переводят данную систему линейных алгебраических уравнений в эквивалентную систему. Пример 4. Решить систему методом Гаусса: Решение: 4

43 Определитель системы не равен нулю. Поэтому система совместна и определена (решение единственно). Выполним преобразования. Первое уравнение оставим без изменения. Для того, чтобы избавиться от первого неизвестного во втором и третьем уравнениях, к ним прибавим первое, умноженное на - в первом случае и на - - во втором Теперь избавимся от второго неизвестного в третьем уравнении. Для этого второе уравнение умножим на - и прибавим к третьему. Получим эквивалентную заданной систему треугольного вида Решаем систему снизу вверх. Из третьего уравнения имеем = и, подставляя его во второе уравнение, находим =. Поставив найденные неизвестные в первое уравнение, получим =. Таким образом, получим решение системы: =, =, =. Проверка: Получили три тождества. Система решена верно. 4

44 Собственные значения и собственные вектора линейного оператора Определение 4.9 Ненулевой вектор X, удовлетворяющий соотношению f ( X ) X называется собственным вектором, а соответствующее число - собственным значением линейного оператора f. В матричном виде это соотношение можно записать в виде: A X X или A E X Однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение при условии: A E Определение 4. Уравнение A E называется характеристическим уравнением матрицы А. Определение 4. Выражение: A E представляет собой полином (многочлен) -ой степени от и называется характеристическим полиномом матрицы А. Пример 4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей 44 A. 4

45 45 Решение: По определению 4 т.е. 4 или 4 - собственный вектор, а это значит, что однородная система уравнений имеет ненулевой решение. Это эквивалентно, определитель системы равен нулю. 4 т.е., - собственные значения матрицы А Подставляя, получим систему,, t, аналогично, получаем систему,. Задачи для самостоятельного решения Найти собственные значения и собственные векторы матрицы , t

46 Решить систему матричным методом и методом Гаусса. 4. Контрольные вопросы. Дайте определение системы линейных алгебраических уравнений.. Дайте определение невырожденной системы линейных алгебраических уравнений.. Дайте определение основной и расширенной матрицы системы. 4. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли. 5. В чём состоит матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений. 6. В чём состоит метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. 7. Дайте определение собственных векторов и собственных чисел матрицы. 46

47 Лекция 5 Элементы векторной алгебры Определение 5. Вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, для которого указано какая точка, является началом и какая концом. В А АВ Рисунок 5. Обозначение: вектор записывается в виде AB или. Длина или модуль вектора обозначается как AB,. Определение 5. Вектор, у которого начало совпадает с концом, называется нулевым. Определение 5. Векторы, расположенные на прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными и обозначаются Определение 5.4 b. Векторы, лежащие на параллельных плоскостях или на одной и той же плоскости, называются компланарными. Линейные операции над векторами Определение 5.5 (правило треугольника) Суммой двух векторов и b называется вектор c, направленный из начала вектора в конец вектора b при условии, что начало b совпадет с концом вектора. 47

48 Рисунок 5. Сложение векторов по правилу параллелограмма: Определение 5.6 Рисунок 5. Произведением вектора на число называется вектор определяемый следующими условиями: ). b ). b ). Векторы и b одинаково направлены, если >, и противоположно - если <. Свойства линейных операций над векторами ). b b. ). ( b c) ( b ) c b c. b, )., где - нулевой вектор. 4). ( ), где ( ) - противоположный вектор, - нулевой. 5). ( ) ( ), где, - числа. 6). ( ). 7). ( b ) b. 8).. 48

49 Проекция вектора Определение 5.7 Проекцией вектора M M на заданную ось l называется число равное длине вектора N N, начало и конец которого являются основаниями перпендикуляров, опущенных из начала и конца вектора M M на ось l. (Рисунок 5.4). Вычисляют данное число по следующей формуле: Пр M M M M cos, где - угол между вектором M M и осью l. Определение 5.8 Проекцией вектора на вектор b называется проекция вектора на ось, проходящую через вектор b и имеющую с ним одинаковое направление. (Рисунок 5.5). M l l M N N b Свойство проекций: Рисунок 5.4 Рисунок 5.5 ) Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций этих векторов, т.е. Пр l ( b) Пр l + Пр l b ; ) проекция произведения вектора на число равна произведению числа на проекцию вектора, т.е. Пр l Пр l. 49

50 Разложение вектора по базису Определение 5.9 Система векторов с, с,..., с называется линейно независимой, если равенство с с... возможно лишь в случае, когда... c. В противном случае система называется линейно независимой. Определение 5. Базисом на плоскости называется система из двух линейно независимых векторов. Определение 5. Базисом в пространстве называется система из трёх линейно независимых векторов. Любой вектор, заданный на плоскости или в пространстве можно представить в виде разложения по базису. Пример 5. Разложит вектор, с по базису из векторов,4, b 5,6. Решение: Будем искать с b. Составим систему уравнений: Решим данную систему: ,

51 Итак: c b. Декартовы прямоугольные координаты Положение точки в пространстве будем определять относительно пространственной декартовой прямоугольной системы координат, состоящей из трех взаимно перпендикулярных осей координат, пересекающихся в одной и той же точке О, называемой началом координат. Ось O называют осью абсцисс, ось O - осью ординат и ось Oz - осью аппликат. Координатные оси O, O, Oz, взятые попарно, определяют три взаимно перпендикулярные плоскости O, Oz, Oz, называемые координатными плоскостями. Декартова система координат позволяет связать с каждой точкой P пространства, в котором выбраны три не лежащие в одной плоскости направленные прямые O, O, Oz (оси координат), пересекающиеся в начале O, три вполне определенных действительных числа (декартовы координаты),, z; при этом пишут P(,, z). Оси O, O, Oz могут образовывать правую (рисунок 5.6) или левую систему (рисунок 5.7). Для правой системы поворот от оси O к оси O на угол, меньший, совершается в направлении против часовой стрелки, если смотреть на плоскость O из какой-либо точки положительной полуоси Oz (положительная сторона плоскости O). Z Z О Y О Y X X Рисунок 5.6 Рисунок 5.7 5

52 Замечание 5. Наряду с декартовой системой координат рассматривается полярная система координат на плоскости, которая задается точкой О (полюсом) и полярной осью - лучом, выходящим из полюса. Связь прямоугольных и полярных координат задается формулами: cos, где si, rctg Координатное представление векторов Определение 5. Ортом называется вектор единичной длины. Обычно орт обозначают e. Определение 5. Единичные векторы (орты ) осей O, O, Oz обозначаются соответственно через i, j, k причем j k i. i, j, k - линейно независимы и образуют базис в пространстве. Разложим произвольный вектор трехмерного пространства по ортам. Для этого построим вектор OM, равный вектору. Из точки М опустим перпендикуляр на плоскость хoу. Из основания этого перпендикуляра (точка А) опустим перпендикуляры на оси координат Ох и Оу и соединим точку А с началом О. На векторах OM и OA построим прямоугольник ОАММ, рисунка 5.8 видно, что OM диагональю которого будет вектор OM. Из OA AM или OM OM OM OM. 5

53 z M i k j M M M A Рисунок 5.8 Векторы OM, OM, OM называются составляющими или компонентами вектора OM. Определение 5.4 Проекции вектора на соответствующие координатные оси называются его координатами. ортам: Обозначения: OM X, Y, Z или в виде разложения по координатным OM Xi Yj Zk. Замечание 5. Равные векторы имеют одинаковые координаты. Замечание 5. Разложение вектора по координатным ортам возможно только единственным способом. Вектор OM, идущий от начала точки О к точке M (,, z) называется радиус - вектором этой точки. Операции над векторами, заданными в координатной форме. Сложение векторов X i Y j Z k, X i Y j Z k, b 5

54 c c b ( X X ) i ( Y Y ) j ( Z Z ) k ( X X, Y Y, Z Z). Умножение вектора на число X i Y Z j k X Y Z. i j k Скалярное произведение векторов Определение 5.5 Скалярным произведением двух векторов и b называется число, (обозначаемое ( b ) ) равное произведению длин векторов на косинус угла между ними: ( b) b cos, где - угол между векторами и b. b A Рисунок 5.9 Свойства скалярного произведения: ). ( b) ( b) ). ( b) и b перпендикулярны; (или, или b ) ). ( b ) Пр b b Пр 4). ( b ) ( b ), где - число 5). ( ), если b 6). ( b c) ( b) ( c) 54

55 Теорема 5. Скалярное произведение векторов, заданных координатами Скалярное произведение двух векторов X, Y Z и b X, Y Z, равно сумме произведений одноименных координат этих векторов:, b X X YY Z Z Доказательство:, Так как единичные векторы (орты) i, j, k осей O, O, Oz прямоугольной системы координат взаимно перпендикулярны, то получим : ( i j) ( ji ), ( j k ) ( kj), ( i k ) ( ki ). Далее, используя свойство скалярного произведения ( ) имеем: ( i i ) ( jj) ( kk ). Пусть, X, Y, ), b X, Y, ). Найдем произведение этих векторов: ( Z ( Z ( b ) ( X i Y j Z k ) ( X k i Y j Z ) X X YY Z Z Следствие Квадрат длины вектора равен сумме его координат. X Y Z координат. Следствие Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его X Y Z 55

56 Следствие Угол между векторами ( b ) cos b Если векторы и b заданы координатами X, Y, ), то формула запишется в виде: и b X, Y, ) ( Z ( Z cos X X X YY Y Z Z Z X Y Z Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов Как известно, необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов и b является равенство: b где скалярный множитель >, если векторы одинаковые направления и < в противном случае. и b имеют Пусть: X, Y, ) и b X, Y, ). ( Z ( Z Следовательно: b; X X ; Y Y ; Z Z, откуда X X Y Y Z Z Если ненулевые векторы и b коллинеарны, то и их одноименные координаты пропорциональны. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов X, Y, ) и b X, Y, ) является равенство: ( b ), ( Z ( Z или в координатной форме данное условие имеет вид: X X YY Z Z. 56

57 Задачи для самостоятельного решения Вычислить направляющие косинусы вектора 4 ; ;. Ответ: cos α =, cos β = 4, cos γ =. Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы: ) = 45, = 6, = ; ) = 45, =5, = 6 ; ) = 9, =5 ; = 6? Ответ: ) Может; ) не может; ) может. Даны три вектора р = {; ; }, q = { ; ; }, r = {; ; }. Найти разложение вектора с = {; Q; 5} по базису р, q, r. Ответ: c = p q + r. 4 Даны векторы а = { 4; ; 4 }, b = { 6; ; }. Вычислить: ) аb; ) ; ) b ; 4) (а b) (а+ b); 5) (а+ b) ; 6)(а b). Ответ: ) ; ) 6; ) 7; 4) ; 5) 9; 6) 4. 57

58 Контрольные вопросы. Дайте определение вектора.. Дайте определение коллинеарных векторов.. Дайте определение нулевого вектора. 4. Дайте определение единичного вектора. 5. Перечислите основные линейные операции над векторами и их свойства. 6. Дайте определение линейно независимой и линейно зависимой системы векторов. 7. Дайте определение базиса. 8. Дайте определение компланарных векторов. 9. Перечислите основные свойства проекции вектора на ось.. Дайте определение координатного представления вектора.. Дайте определение скалярного произведения векторов. Перечислите основные свойства скалярного произведения. 58

59 Лекция 6 Векторное произведение двух векторов Определение 6. Векторным произведением вектора на вектор b называется новый вектор c, обозначаемый символом c b или c b и определяемый следующими тремя условиями: ) Модуль вектора c равен площади параллелограмма, построенного на векторах и b (после совмещения их начал), т.е. c b b si, (6.) где - угол между векторами и b (рисунок 6.). c b b Рисунок 6. ). Вектор c перпендикулярен к плоскости этого параллелограмма (т.е. перпендикулярен обоим векторам и b ). ). Вектор c направлен в ту сторону от этой плоскости, что кратчайший поворот от вектора к вектору b вокруг вектора c (после смещения начал всех трех векторов) кажется происходящим против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора c. Векторы, b, c образуют правую тройку векторов. Замечание 6. 59

60 Правую тройку образуют, например, большой, указательный, и средний пальцы правой руки; при пользовании левой системой координат в определении векторного произведения вместо правой берут левую тройку, b, c. Замечание 6. Если в некоторой точке А приложена сила F, то момент M этой силы относительно определенной точки О есть вектор, который должен быть записан в виде M r F, где r - вектор, идущий из точки О в точку А. Замечание 6. Площадь треугольника, построенного на двух векторах и b вычисляется по формуле: S, b c b b Рисунок 6. Свойства векторного произведения ). ). b b ). c b) c cb, т.е. векторное произведение антикоммутативно. (, т.е. векторное произведение обладает распределительным свойством. 4). ( ) b b 6

61 Координатная форма записи векторного произведения Векторное произведение записывается в виде определителя -го порядка: b i j k (6.) b b b z z где,, - координаты вектора в прямоугольной системе z координат Oz (т.е. проекции вектора на координатные оси O, O, Oz); b, b, b - координаты вектора b. z Координаты векторного произведения в прямоугольной системе координат можно найти разложив определитель (6.) по элементам первой строки с учетом векторного произведения ортов i, j, k : i i i jj kk, ij ji k i k ki j, jk kj i, b ( b b ) i ( b b ) j ( b b k b j b k ) z z z z z b z b b b ; b b ; b b ) (6.) ( z z z z Пример 6. Найти векторное произведение векторов = {,, }, b = {5, -, 9}. Решение: 6

62 Ответ: c = {, -7, -} Пример 6. Даны вершины треугольника A(,,), B(,,-), C(5,,6). Вычислить его площадь. Решение: Треугольник ABC можно рассматривать построенным на векторах и Найдем координаты векторов и. = {-, -, --} = {, -, -}; = {5-, -, 6-} = {4,, 6}. Вычислим векторное произведение этих векторов: Находим длину вектора : Ответ: ед.. Пример 6. Сила F = {, -4, 5} приложена к точке A(4,-,). Найти момент этой силы относительно точки O(,,-). Решение: 6

63 По определению момент силы есть M = F AO. AO = {-4, -(-), --} = {-, 4, -4}. M Ответ. M = {-4,, 4}. Смешанное произведение векторов Определение 6. Смешанным произведением трех векторов, b и c. называется произведение вида: b ) ( c, (6.4) где первых два вектора перемножаются векторно, а их произведение умножается скалярно на третий вектор. Замечание 6.4 Смешанное произведение трех векторов - величина скалярная. Замечание 6.5 Абсолютная величина смешанного произведения некомпланарных векторов, b и c равна объему V параллелепипеда, построенного на этих векторах, а знак его зависит от ориентации этих векторов: если векторы, b и c образуют правую тройку, то их смешанное произведение будет положительно; для левой же тройки произведение - отрицательно. Свойства смешанного произведения. Смешанное произведение не изменяется: а). Если перемножаемые вектора переставлять в круговом порядке: b c) ( b c ) ( c ) ( b б). Если поменять местами знаки векторного и скалярного умножения: 6

64 b c) ( b ) ( c Это позволяет записывать смешанное произведение трех векторов в виде b c без знаков векторного и скалярного умножения.. Перестановка в смешанном произведении любых двух векторов изменяет лишь его знак: cb bc, bc bc, cb bc. Действительно, используя равенства b c) ( bc ) ( c ) ; ( b c) ( b c) ( b имеем: cb b c cb cb ) ( b c) ( b c b c ( ) c ) ( bc ) ( c b b c ( b ) b ) ( cb ) ( b c b c ( c ). Смешанное произведение обращается в нуль, если: а). Хотя бы один из перемножаемых векторов ест нуль - вектор, б). Два из перемножаемых векторов коллинеарны, в). Три перемножаемых вектора компланарны. Координатная форма записи смешанного произведения Коротко смешанное произведение записывается в виде определителя третьего порядка: Замечание 6.6 c c c z z z bc b b b (6.5) При помощи смешанного произведения можно вычислить объем четырехгранной пирамиды, заданной координатами ее вершин: V 6 bc 64

65 Замечание 6.7 Три вектора, b, c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно. bc или b b b Пример 6.4 Доказать, что точки А(5; 7; ), B(; ; -), C(9; 4; -4), D(; 5; ) лежат в одной плоскости. Решение: Найдем координаты векторов: c c c z z z Найдем смешанное произведение полученных векторов:, Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости. Пример 6.5 Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(; ; ), B(; ; 5), C(6; ; ), D(; 7; ). Решение: Найдем координаты векторов: 65

66 Объем пирамиды: Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD. S осн = (ед ) Т.к. V = ; (ед) Двойное векторное произведение трех векторов Определение 6. Двойным векторным произведением трех векторов называется произведение вида: b c (6.6) Так как оно часто используется в приложениях, покажем, что его вычисление можно свести к вычислению более простого выражения, т.е. справедливы следующие равенства: b c (( c) b ) (( b c) ) Прежде всего отметим, что двойное векторное произведение трех векторов b c есть вектор, компланарный с векторами и b. 66

67 Задачи для самостоятельного решения Векторы, b, с, образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная, что а = 4, b =, c =, вычислить bc. Ответ: аbс = 4 Доказать, что четыре точки А(; ; ), В (; ; 5), С ( ; ; ), D (; ; ) лежат в одной плоскости. Даны точки А(; ; ), B(;; ) и C(; ; ). Найти координаты векторных произведений ) [ AB BC ]; ) [( BC CA ) CB ]. Ответ: ) {6; 4; 6}; ) { ; 8; }. 4 Даны точки А(; ; ), В(; ; ) и С(5; ; 6). Вычислить площадь треугольника ABC. Ответ: 4 кв. ед. Контрольные вопросы. Дайте определение векторного произведения.. Перечислите свойства векторного произведения.. Дайте определение правой и левой тройки векторов. 4. Приведите формулу вычисления векторного произведения векторов, заданных в координатной форме. 5. Дайте определение смешанного произведения. 6. Перечислите свойства смешанного произведения. 7. Приведите формулу вычисления смешанного произведения векторов, заданных в координатной форме. 8. Дайте определение двойного векторного произведения. 67

68 Лекция 7 Общее уравнение прямой На прямой известна точка М (, ) и вектор =(A,B) перпендикулярный прямой. Определение 7. Вектор называется нормальным вектором прямой. M ( ; ) =(A;B) M(;) Рисунок 7. Отметим на прямой произвольную точку М (,). Данную точку называют говорят текущей точкой, или точкой с произвольными координатами. Тогда вектор M M =(- ;- ) будет вектору, из условия векторов следует: плоскости. Определение 7. (, M M )=. (7.) Уравнение вида (7.) называется векторным уравнением прямой на Посчитаем по формуле, представленной в пятом параграфе, скалярное произведение в формуле (7.), получим: Раскроем скобки в (7.), получим: А(- ) + В(- )= (7.) 68

69 А-A + В-B = (7.) Обозначим константы одной буквой, получим: A+B+C= (7.4) Определение 7. Уравнение вида (7.4) называется общим уравнением прямой на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом Запишем общее уравнение прямой: А(- ) + В(- )= Перепишем данное уравнение в виде: A - =- (- ). B Уравнение можно переписать в виде: - =k( х-х ) (7.5) Определение 7.4 Уравнение вида (7.5) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, проходящей через данную точку. Раскроем скобки в уравнении (7.5), получим. k k Данное уравнение можно переписать в виде: =kх+b (7.6) Определение 7.5 Уравнение вида (7.6) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Сопоставим вид уравнений (7.4) и (7.6), получим: 69

70 (7.7) k=- A C. b = - B B =k+b b Определение 7.6 Рисунок 7. k= tg - угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси ОХ. Уравнение прямой в отрезках Получим уравнение прямой в отрезках из общего уравнения прямой в форме (7.4). Для этого запишем данное уравнение в виде: A + B= - C. Разделив полученное уравнение на С, получим: A C Представим уравнение в виде:. Уравнение вида (7.8) называется уравнением прямой в отрезках. 7 B C C C A B. Обозначим по-другому константы и получим: Определение 7.6 b (7.8)

71 b b Рисунок 7. Каноническое уравнение прямой Известна точка М ( ; ) и вектор L =(m,). M ( ; ) L =(m;) M (;) Рисунок 7.4 Определение 7.7 Вектор коллинеарный вектору, лежащему на прямой называется направляющим вектором данной прямой. L - направляющий вектор прямой. 7

72 Возьмем точку M (,) на прямой, тогда вектор M M L из условия параллельности векторов при L (m,); и M M =(- ;- ) следует: m (7.9) Определение 7.9 Уравнение вида (7.9) называется каноническим уравнением прямой на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через две точки Выберем на прямой две фиксированные точки и текущую точку. M ( ; ) M ( ; ) M(;) M M =( - ; - ) M M =(- ;- ) Рисунок 7.5 M M M M (7.) Определение 7. Уравнение вида (7.) называется уравнением прямой проходящей через две точки. Параметрическое уравнение прямой Введём в каноническом уравнении прямой (7.9) параметр t: 7

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ (АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ) ЧАСТЬ ПЕРВАЯ Составил

Подробнее

Содержание: Линейная алгебра. Основные определения. Основные действия над матрицами. Транспонированная матрица. Определители. Дополнительный минор.

Содержание: Линейная алгебра. Основные определения. Основные действия над матрицами. Транспонированная матрица. Определители. Дополнительный минор. Содержание: Линейная алгебра. Основные определения. Основные действия над матрицами. Транспонированная матрица. Определители. Дополнительный минор. Элементарные преобразования. Миноры. Алгебраические дополнения.

Подробнее

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ, АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА И В БЕЛОУСОВ МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев: 2006 УДК 519612

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

Лекция 5: Определители

Лекция 5: Определители Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1.

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1. 1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, 2014-2015 учебный

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН, ВИ ИВАНОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебно-методическое пособие

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Первый семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Первый семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» МП Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Первый семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Министерство образования и науки Российской Федерации. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет» МАТЕМАТИКА Методические

Подробнее

Программа вступительного экзамена по математике

Программа вступительного экзамена по математике Программа вступительного экзамена по математике Программа составлена на основе Федерального компонента государственного стандарта основного общего и среднего (полного) общего образования (приказ Минобразования

Подробнее

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного

Подробнее

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ»

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Оглавление Предисловие 9 I Линейная алгебра и геометрия 12 1 Определители Матричные обозначения. Основные определения Определители: опр

Оглавление Предисловие 9 I Линейная алгебра и геометрия 12 1 Определители Матричные обозначения. Основные определения Определители: опр Руководство по высшей математике для проведения практических занятий и самостоятельной работы студентов. 1 семестр. В.С.Куликов, Н.Д.Беклемишев, И.А.Джваршейшвили, М.А.Климова, М.Я.Спиридонов Оглавление

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА ОБУЧЕНИЕ ПО ПРОГРАММАМ БАКАЛАВРИАТА И ПРОГРАММАМ СПЕЦИАЛИТЕТА

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА ОБУЧЕНИЕ ПО ПРОГРАММАМ БАКАЛАВРИАТА И ПРОГРАММАМ СПЕЦИАЛИТЕТА Минобрнауки России Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сыктывкарский государственный университет имени Питирима Сорокина» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Лекция 1: Комплексные числа

Лекция 1: Комплексные числа Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В школьном курсе математики понятие числа постепенно расширяется.

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МА- ТЕМАТИКЕ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МА- ТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ МСХ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8.

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: 16x 10x + 2x = 8, 40x + 25x 5x = 20. Ответ: Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 1 2 + 5 8 x 1 8 x, x, x R; базисное

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ для студентов экономических специальностей I КУРС (МОДУЛЬ 1 2)

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ для студентов экономических специальностей I КУРС (МОДУЛЬ 1 2) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ СН Кузнецова, М В

Подробнее

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj Высшая математика Лекции по курсу Список литературы [] Высшая математика для экономистов Под редакцией НШ Кремера [] СА Минюк, ЕА Ровба Высшая математика [] Сборник задач по высшей математике для экономистов

Подробнее

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Гомель, 2007 Содержание Тема 1. Векторы и линейные операции над ними 5 1.1 Предмет,

Подробнее

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Лекция.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Аннотация: В лекции указывается на необходимость обобщения понятия числа от натурального до комплексного. Вводятся алгебраическая,

Подробнее

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Данная

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ 1. Числовые множества. Арифметические действия над числами. Натуральные числа (N).

Подробнее

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1

высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский институт гостеприимства» Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА Часть 1 Линейная алгебра. Аналитическая

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. И. МАДУНЦ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Тема 1. Множества. Введение в логику. Понятие функции. Кривые второго порядка. Основные понятия о множествах. Символика, ее использование.

Подробнее

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФГБОУ ВПО «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Персиановский

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли

Теорема Кронекера-Капелли Установить совместность и решить систему линейных уравнений 5xx x xx 5x 0 x4x x 0 а) по формулам Крамера, б) матричным способом, в) методом Гаусса Совместность Совместность системы можно установить: а)

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2 А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Векторы в пространстве и метод координат. Задача C Существует два способа решения задач по стереометрии. Первый классический

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты:

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: Содержание программы 1. Числа, корни и степени. Числовые последовательности Натуральные числа. Простые

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины А. В. БУЗЛАНОВ, С. Ф. КАМОРНИКОВ, В. С. МОНАХОВ АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.

Подробнее

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы.

Программа по «Математике» (базовый уровень) Тема 1. Векторы и матрицы. Программа по «Математике» (базовый уровень) РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии Тема 1. Векторы и матрицы. N-мерные векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ» Автономная некоммерческая организация дополнительного образования Учебный Центр при МГТУ им. Н. Э. Баумана «Ориентир» «УТВЕРЖДАЮ» Директор АНО ДО Учебный Центр при МГТУ им. Н.Э.Баумана «Ориентир» ПАНФИЛОВА

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ МИНОБРНАУКИ РОССИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Новосибирский государственный университет экономики и управления «НИНХ» (ФГБОУ ВО «НГУЭУ», НГУЭУ)

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim.

x a x 18. Вычисление пределов lim, lim, lim. Перечень экзаменационных вопросов: 1 семестр 1. Множества и операции над ними. 2. Декартово произведение множеств. 3. Предельные точки. 4. Предел последовательности. 5. Предел функции. 6. Бесконечно малые.

Подробнее

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (на базе

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

1.5. Виды контроля: текущий - выполнение самостоятельных работ промежуточный выполнение контрольных работ, коллоквиумы итоговый зачет

1.5. Виды контроля: текущий - выполнение самостоятельных работ промежуточный выполнение контрольных работ, коллоквиумы итоговый зачет . Пояснительная записка.. Требования к студентам Студент должен обладать следующими исходными компетенциями: базовыми положениями математических и естественных наук владеть навыками самостоятельной ы самостоятельно

Подробнее

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.Ф.01 «МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.Ф.01 «МАТЕМАТИКА» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ТГПУ) ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.Ф.01

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Кафедра высшей математики ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА. Модуль Алгебра и геометрия. Направление подготовки Программная инженерия

Кафедра высшей математики ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА. Модуль Алгебра и геометрия. Направление подготовки Программная инженерия Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и человека «Дубна» (университет «Дубна») Кафедра высшей

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Гольдман М.Л. Сивкова Е.О.

Гольдман М.Л. Сивкова Е.О. Аналитическая геометрия М. Л. Гольдман Е. О. Сивкова Москва 014 ББК М УДК Рецензенты: Научный редактор: Гольдман М. Л., Сивкова Е. О. Аналитическая геометрия. Учебное пособие/ Федеральное государственное

Подробнее

Факультативно. Ковариантная форма физических законов.

Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Ковариантность и контравариантность. Слово "ковариантный" означает "преобразуется так же, как что-то", а слово "контравариантный" означает "преобразуется

Подробнее

Решение задач (по выбору учителя) Контрольная работа (МИЭТ) по разделу БДЗ по разделу (по выбору) Числовые функции.

Решение задач (по выбору учителя) Контрольная работа (МИЭТ) по разделу БДЗ по разделу (по выбору) Числовые функции. Приложение 2.5.2. Примерное планирование курса «Алгебра и начала математического анализа» Учебник. 1. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень). 10 класс

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ (СОБЕСЕДОВАНИЕ)

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ (СОБЕСЕДОВАНИЕ) Министерство образования и науки Российской Федерации НОУ ВО "Институт экономики и правоведения (г. Назрань)" ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ (СОБЕСЕДОВАНИЕ) Назрань 2015 1 1. Арифметика,

Подробнее

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных

Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных Основные умения и навыки. Абитуриент должен уметь: Производить арифметические действия над числами, заданными в виде обыкновенных и десятичных дробей; с требуемой точностью округлять данные числа и результаты

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. для подготовки. к компьютерному тестированию.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. для подготовки. к компьютерному тестированию. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (Первый семестр) Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию.

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений 28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Размерность

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

7. Подпространства линейного пространства Линейные оболочки Ранг матрицы и размерность линейной оболочки ее столбцов.

7. Подпространства линейного пространства Линейные оболочки Ранг матрицы и размерность линейной оболочки ее столбцов. Содержание Гл.. Основные понятия. 3. Что такое линейная алгебра?...................... 3 2. Числовые поля.............................. 3 3. Линейная зависимость столбцов и строк................ 4 4. Ранг

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет среднего профессионального образования УТВЕРЖДЕНО Председатель

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ по МАТЕМАТИКЕ. (часть первая)

КУРС ЛЕКЦИЙ по МАТЕМАТИКЕ. (часть первая) КУРС ЛЕКЦИЙ по МАТЕМАТИКЕ (часть первая Настоящий курс лекций подготовлен в соответствии с Государственном образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальностям экономики и

Подробнее

Методические указания и контрольные задания по математике для обучающихся 2 курса СПО

Методические указания и контрольные задания по математике для обучающихся 2 курса СПО ГАОУ СПО ЛО Киришский политехнический техникум Методические указания и контрольные задания по математике для обучающихся курса СПО Методическая разработка по дисциплине «Математика» Разработала преподаватель

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ Московский городской психолого-педагогический университет Умнов А.Е. ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ Москва, 202 Верс. 3 декабря 202 г. Оглавление Введение 4. Некоторые полезные сведения из курса элементарной математики................................

Подробнее

Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида:

Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида: Лекция 9. Вычисление тройного интеграла. Криволинейные системы координат. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в кратных интегралах. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам

Подробнее

Типовые задачи c решениями.

Типовые задачи c решениями. Типовые задачи c решениями. Формальное суммирование рядов. Формула рекурсии k a k a + a k k Формула умножения λ a k λa k Формула сложения k k k a k + b k a k + k b k k Пример Геометрическая прогрессия.

Подробнее

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Гомель, 2007 Содержание Тема 1. Эллипс 4 1.1 Эллипс и его каноническое уравнение............

Подробнее

применять математические методы при решении профессиональных задач повышенной сложности, решать типовые задачи по основным разделам курса, используя

применять математические методы при решении профессиональных задач повышенной сложности, решать типовые задачи по основным разделам курса, используя Аннотация рабочей программы дисциплины направление подготовки: 23.05.05 Системы обеспечения движения поездов направленность: Телекоммуникационные системы и сети железнодорожного транспорта Дисциплина:

Подробнее

Программа к вступительному испытанию по общеобразовательному предмету «Математика» при поступлении в Сыктывкарский лесной институт в 2016 году

Программа к вступительному испытанию по общеобразовательному предмету «Математика» при поступлении в Сыктывкарский лесной институт в 2016 году Программа к вступительному испытанию по общеобразовательному предмету «Математика» при поступлении в Сыктывкарский лесной институт в 2016 году Программа предназначена для подготовки к массовой письменной

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Т.Е. Воронцова И.Н. Демидова Н.К. Пешкова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

УСРЕДНЕНИЕ ТРЁХМЕРНОГО ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ

УСРЕДНЕНИЕ ТРЁХМЕРНОГО ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ 9 Компьютерная оптика том УСРЕДНЕНИЕ ТРЁХМЕРНОГО ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ АВ Устинов Учреждение Российской академии наук Институт систем обработки изображений РАН Аннотация В данной статье описан метод усреднения

Подробнее

Кафедра «Высшая математика» РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

Кафедра «Высшая математика» РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СЕРВИСА»

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1"

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ. по высшей математике

КУРС ЛЕКЦИЙ. по высшей математике Министерство образования и науки, молодежи и спорта Донецкий национальный технический университет Улитин Г.М., Гончаров А.Н. КУРС ЛЕКЦИЙ по высшей математике Учебное пособие Донецк 2011 УДК 51 (075.8)

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ И ЗАДАЧИ ПО КУРСУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ И ЗАДАЧИ ПО КУРСУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» НП ПУЧКОВ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ И ЗАДАЧИ ПО КУРСУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа вступительного испытания. по математике

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа вступительного испытания. по математике Федеральное государственное автономное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа вступительного испытания по математике

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

НГАВТ - Стр 1 из 57. Е.С. Мироненко ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

НГАВТ - Стр 1 из 57. Е.С. Мироненко ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА НГАВТ - Стр из 7 ЕС Мироненко ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерных специальностей высших учебных заведений МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 998 НГАВТ -

Подробнее