Линейная алгебра

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Линейная алгебра"

Транскрипт

1 Линейная алгебра

2 Линейные модели в экономике Линейное программирование Теория двойственности Линейная алгебра (лекция 15) / 28

3 Линейное программирование Каждой задаче линейного программирования соответствует другая задача, называемая двойственной или сопряженной по отношению к исходной. Линейная алгебра (лекция 15) / 28

4 Линейное программирование Рассмотрим две задачи линейного программирования: Задача I F (x 1, x 2,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n max, a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2, a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m, x i 0, i = 1, n. Линейная алгебра (лекция 15) / 28

5 Линейное программирование Задача II Φ(y 1, y 2,..., y m ) = b 1 y 1 + b 2 y b m y m min, a 11 y 1 + a 21 y a m1 y m c 1, a 12 y 1 + a 22 y a m2 y m c 2, a 1n y 1 + a 2n y a mn y m c m, y i 0, i = 1, m. Линейная алгебра (лекция 15) / 28

6 Линейное программирование Задачи I и II обладают следующими свойствами: В одной задаче производится поиск максимума целевой функции, в другой минимума. Коэффициенты при переменных в целевой функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений другой задачи. Каждая из задач задана в стандартной форме, причем в задаче максимизации все неравенства вида " ", а в задаче минимизации все неравенства вида " ". Линейная алгебра (лекция 15) / 28

7 Линейное программирование Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обеих задач являются транспонированными по отношению друг к другу. Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных в другой задаче. Условия неотрицательности переменных имеются в обеих задачах. Линейная алгебра (лекция 15) / 28

8 Линейное программирование Определение Две задачи I и II линейного программирования, обладающие указанными свойствами, называются симметричными взаимно двойственными задачами. Линейная алгебра (лекция 15) / 28

9 Линейное программирование Основное неравенство теории двойственности Пусть x любое допустимое решение задачи I, а ȳ любое допустимое решение задачи II. Тогда имеет место неравенство F ( x) Φ(ȳ). Линейная алгебра (лекция 15) / 28

10 Линейное программирование Следствие Если допустимое множество одной из задач I, II не пусто, то целевая функция другой задачи ограничена в направлении экстремума на своем допустимом множестве. Линейная алгебра (лекция 15) / 28

11 Линейное программирование Первая (основная) теорема двойственности Если одна из взаимно двойственных задач I или II имеет оптимальное решение, то и другая задача имеет оптимальное решение, причем экстремальные значения их целевых функций равны: F max = Φ min. Если одна из пары взаимно двойственных задач не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции, то другая не имеет решения ввиду несовместности системы ограничений. Линейная алгебра (лекция 15) / 28

12 Линейное программирование Следствие (критерий оптимальности допустимых решений) Пусть x и ȳ допустимые решения взаимно двойственных задач I и II. Для того, чтобы эти решения были оптимальными, необходимо и достаточно выполнения равенства F ( x) = Φ(ȳ). Линейная алгебра (лекция 15) / 28

13 Линейное программирование Вторая теорема двойственности (теорема равновесия) Для того чтобы допустимые решения x и ȳ являлись оптимальными решениями взаимно двойственных задач I и II, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие равенства: ( m ) x j a ij y i c j = 0, j = 1, n; i=1 y i ( n j=1 a ij x j b i ) = 0, i = 1, m. Линейная алгебра (лекция 15) / 28

14 Линейное программирование Другими словами, если при подстановке оптимального решения в систему ограничений i-е ограничение задачи I выполняется как строгое неравенство, то i-я координата оптимального решения двойственной задачи II равна нулю, и, наоборот, если i-я координата оптимального решения двойственной задачи II отлична от нуля, то i-е ограничение задачи I при подстановке подстановке оптимального решения обращается в равенство. Линейная алгебра (лекция 15) / 28

15 Линейные модели в экономике Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ) Линейная алгебра (лекция 15) / 28

16 Модель Леонтьева Определение Уравнения x i = n x ij + y i, i = 1, n j=1 называются соотношениями баланса. Здесь x i общий объем продукции i-ой отрасли (валовый выпуск), x ij объем продукции i-ой отрасли, расходуемый j-ой отраслью в процессе производства, y i объем продукции i-ой отрасли, предназначенный для непроизводственного потребления (объем конечного потребления). Линейная алгебра (лекция 15) / 28

17 Модель Леонтьева Гипотеза линейности: для выпуска продукции j-ой отрасли объема x j необходимо затратить продукцию i-ой отрасли в объеме a ij x j, где a ij постоянный коэффициент. Коэффициенты a ij = x ij x j (i = 1, n) называются коэффициентами прямых затрат. Линейная алгебра (лекция 15) / 28

18 Модель Леонтьева В предположении линейности зависимости материальных затрат от валового выпуска (гипотеза линейности) соотношения баланса имеют вид: x i = n a ij x j + y i, i = 1, n j=1 или (в матричной форме): x = A x + ȳ, (1) Линейная алгебра (лекция 15) / 28

19 Модель Леонтьева где x = A = ȳ = x 1 x 2... x n вектор валового выпуска, a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn y 1 y 2... y n продукта). матрица прямых затрат, вектор конечного потребления (конечного Линейная алгебра (лекция 15) / 28

20 Модель Леонтьева Основная задача межотраслевого баланса: найти такой вектор валового выпуска x, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного потребления ȳ. Линейная алгебра (лекция 15) / 28

21 Модель Леонтьева Если матрица E A невырожденная, то существует единственное решение уравнения (1): x = (E A) 1 ȳ. Матрица S = (E A) 1 называется матрицей полных затрат. Элемент s ij (i, j = 1, n) матрицы S есть величина валового выпуска продукции i-ой отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-ой отрасли. В соответствии с экономическим смыслом задачи x i 0, y i 0, a ij 0 (i, j = 1, n). Для краткости будем писать: x 0, ȳ 0, A 0. Линейная алгебра (лекция 15) / 28

22 Модель Леонтьева Определение Квадратная матрица A 0 называется продуктивной, если для любого вектора ȳ 0 существует решение x 0 уравнения (1). В этом случае модель Леонтьева называется продуктивной. Линейная алгебра (лекция 15) / 28

23 Модель Леонтьева Теорема Квадратная матрица A 0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (E A) 1 существует и ее элементы неотрицательны. Линейная алгебра (лекция 15) / 28

24 Модель Леонтьева Теорема Фробениуса-Перрона Для любой квадратной матрицы A 0 существует собственное значение λ A 0, называемое числом Фробениуса, такое, что λ A λ для любого собственного значения λ матрицы A. Кроме того, существует собственный вектор ē A 0, соответствующий собственному значению λ A и называемый вектором Фробениуса. Линейная алгебра (лекция 15) / 28

25 Модель Леонтьева Теорема Квадратная матрица A 0 продуктивна тогда и только тогда, когда ее число Фробениуса меньше единицы. Линейная алгебра (лекция 15) / 28

26 Модель Леонтьева Теорема Если для A 0 и для некоторого вектора ȳ 0 существует решение x 0 уравнения (1), то матрица A продуктивна. Линейная алгебра (лекция 15) / 28

27 Модель Леонтьева Теорема Квадратная матрица A 0 продуктивна, если max j=1,n n и j: a ij < 1. i=1 n a ij 1 i=1 Линейная алгебра (лекция 15) / 28

28 Модель Леонтьева Двойственной к модели Леонтьева является модель равновесных цен, описываемая равенством где где p = p 1 p 2... p n продукции i-ой отрасли), ν = добавленной стоимости. p = A T p + ν, вектор цен (p i цена единицы ν 1 ν 2... ν n вектор норм Линейная алгебра (лекция 15) / 28

Введение. 1. Задача линейного программирования. Основные понятия

Введение. 1. Задача линейного программирования. Основные понятия Введение Данные методические указания адресованы студентам заочной формы обучения всех специальностей, которые будут выполнять контрольную работу т 4 по высшей математике, и охватывают раздел математического

Подробнее

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА Глава 3 НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА 3 Число и вектор Фробениуса Число и вектор Фробениуса используются в балансовых экономических моделях и, в частности, в модели международной торговли

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ Н.К. ОБРОСОВА, Н.Н. ОЛЕНЕВ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ Н.К. ОБРОСОВА, Н.Н. ОЛЕНЕВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ Н.К. ОБРОСОВА, Н.Н. ОЛЕНЕВ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ: МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ. РОССИЙСКИЙ

Подробнее

Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования

Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Цель: познакомить читателя с симплекс-методом решения задачи линейного программирования и основными понятиями и теоремами теории двойственности

Подробнее

ОПТИМИЗАЦИИ: ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ

ОПТИМИЗАЦИИ: ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ Г. И. Просветов МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ: ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ Учебно-практическое пособие Москва 009 УДК 59.8(075.8) ББК.8я7 П 8 Предисловие Никогда не ставьте задачу, решение которой вам неизвестно. Правило Берке

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

Элементы линейного и выпуклого программирования

Элементы линейного и выпуклого программирования Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Кафедра «Прикладная математика» В.М. Гончаренко Элементы

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ к практической подготовке по дисциплине «Высшая математика: Математическое программирование» для студентов заочного

Подробнее

ПолесГУ П.А. ПАВЛОВ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ПолесГУ П.А. ПАВЛОВ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Национальный банк Республики Беларусь УО «Полесский государственный университет» П.А. ПАВЛОВ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Учебно-методическое пособие для студентов нематематических

Подробнее

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj

3A = A = A = 1 7 A + B = A = c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj = a is b sj Высшая математика Лекции по курсу Список литературы [] Высшая математика для экономистов Под редакцией НШ Кремера [] СА Минюк, ЕА Ровба Высшая математика [] Сборник задач по высшей математике для экономистов

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 8. Линейное программирование (ЛП)

ЛЕКЦИЯ 8. Линейное программирование (ЛП) ЛЕКЦИЯ 8 Линейное программирование (ЛП) 1. Симплекс-метод 2. Теория двойственности -1- Содержательное описание с.-м. x(t), t 0 : x σ(i) (t) = x σ(i) z is t, x s (t) = t, (4) x j (t) = 0, j S \s -2- Содержательное

Подробнее

Методы принятия оптимальных решений

Методы принятия оптимальных решений Агишева Д. К., Зотова С. А., Светличная В. Б., Матвеева Т. А. Методы принятия оптимальных решений Часть Волгоград г. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ методические указания к организации самостоятельной работы для студентов ВО всех форм обучения

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ методические указания к организации самостоятельной работы для студентов ВО всех форм обучения Автономная образовательная некоммерческая организация высшего образования «Институт менеджмента, маркетинга и финансов» Борисоглебский филиал Учебное издание МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ методические

Подробнее

ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ТРАНСПОРТНОГО ТИПА Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ТРАНСПОРТНОГО ТИПА Учебно-методическое пособие по курсу Методы Оптимизации Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Дальневосточный государственный университет ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ТРАНСПОРТНОГО ТИПА Учебно-методическое пособие по курсу

Подробнее

ВАРИАНТ 5 0,2 0,3 0,0 A 0,3 0,1 0, 2, 0,1 0, 0 0,3

ВАРИАНТ 5 0,2 0,3 0,0 A 0,3 0,1 0, 2, 0,1 0, 0 0,3 ВАРИАНТ 5 Задание 1. Рассмотрим три отрасли промышленности: I, II, III, каждая из которых производит свой однородный продукт и для обеспечения производства нуждается в продукции других отраслей. Процесс

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Банк заданий для промежуточного контроля

Банк заданий для промежуточного контроля Банк заданий для промежуточного контроля Тест. Тема «Линейное программирование» Состоит из - 3 теоретических вопроса по теме и 4 6 практических заданий, предусматривающих умения и навыки: составлять математические

Подробнее

А. В. Овчинников. Линейная алгебра

А. В. Овчинников. Линейная алгебра Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Кафедра «Прикладная математика» А В Овчинников

Подробнее

I. Организационно - методический раздел

I. Организационно - методический раздел Содержание I. Организационно-методический раздел 5 Цель дисциплины 5 Учебные задачи дисциплины 5 Методы преподавания дисциплины.5. Место дисциплины в структуре ООП ВПО 5 Требования к результатам освоения

Подробнее

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая:

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: К теме Теория игр На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют

Подробнее

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу Методы Оптимизации Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Дальневосточный государственный университет Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Подробнее

К. В. Григорьева. Методические указания Тема 3. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г.

К. В. Григорьева. Методические указания Тема 3. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г. К. В. Григорьева Методические указания Тема. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 7 г. ОГЛАВЛЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ.... МЕТОДЫ СПУСКА

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ) Э.В. Киселева С.И. Соловьева. Э.В. Киселева С.И.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ) Э.В. Киселева С.И. Соловьева. Э.В. Киселева С.И. ЭВ Киселева СИ Соловьева ЭВ Киселева СИ Соловьева МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ) МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ) НОВОСИБИРСК НОВОСИБИРСК ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (4 семестр)

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (4 семестр) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» Т.А. Бородина ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (4 семестр) Учебно-методическое пособие для организации самостоятельной

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

ЭКОНОМИКО- МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИ- РОВАНИЕ

ЭКОНОМИКО- МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИ- РОВАНИЕ Министерство образования и науки Украины Донбасская государственная машиностроительная академия Авторы: И. В. Левандовская И. С. Дмитренко О. Н. Кузнецова Н. С. Грудкина. ЭКОНОМИКО- МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИ-

Подробнее

Однокритериальные и многокритериальные задачи в управленческой деятельности. 1. Задачи однокритериальной оптимизации

Однокритериальные и многокритериальные задачи в управленческой деятельности. 1. Задачи однокритериальной оптимизации Однокритериальные и многокритериальные задачи в управленческой деятельности. Задачи однокритериальной оптимизации Существует значительное число экономических систем, в частности из области управленческой

Подробнее

Методы оптимальных решений

Методы оптимальных решений МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ 1 Методы оптимальных решений Лектор: Григорий Гельмутович Канторович Преподаватели семинарских занятий: Кирилл Александрович Букин, Джеффри Лен Локшин, Борис Борисович Демешев

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Б.Ф. Харчистов МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Б.Ф. Харчистов МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТАГАНРОГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Б.Ф. Харчистов МЕТОДЫ

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ

ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (Финансовый университет) Кафедра «Прикладная

Подробнее

1 n. 1 m ( )0, x = ( ) 1984.

1 n. 1 m ( )0, x = ( ) 1984. Пакет прикладных программ FinPlus (версия.0) РУКОВОДСТВО ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ В. В. Бухвалова, А. В. Ковальчук, 007 ОГЛАВЛЕНИЕ 1. ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ... 3 1.1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ... 3 1. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Рабочая программа дисциплины

Рабочая программа дисциплины Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» Кафедра «Математика» С.Е. Степанов Г.А. Постовалова

Подробнее

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ, АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА И В БЕЛОУСОВ МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев: 2006 УДК 519612

Подробнее

В.П. Василенков, И.Б. Болотин МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

В.П. Василенков, И.Б. Болотин МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В.П. Василенков, И.Б. Болотин МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ Федеральное агентство по образованию Смоленский государственный университет В.П. Василенков, И.Б. Болотин МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

Подробнее

5. Линейные коды (продолжение)

5. Линейные коды (продолжение) 17 5. Линейные коды (продолжение) Проверочная матрица кода. Другой способ задания линейного подпространства C F n размерности k состоит в указании n k линейных уравнений, которым удовлетворяют координаты

Подробнее

научить находить оптимальное решение задачи ЛП геометрическим методом; дать представление об анализе оптимального решения ЛП на чувствительность.

научить находить оптимальное решение задачи ЛП геометрическим методом; дать представление об анализе оптимального решения ЛП на чувствительность. Тема. Введение в линейное программирование (ЛП) Цель: научить распознавать основные проблемные ситуации, которые могут быть формализованы в виде задачи линейного программирования, познакомить с геометрическим

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Основы линейного программирования. Коротков М. Гаврилов М. 24 апреля 2003 г.

Основы линейного программирования. Коротков М. Гаврилов М. 24 апреля 2003 г. Основы линейного программирования Коротков М. Гаврилов М. 24 апреля 2003 г. СОДЕРЖАНИЕ 2 Содержание 1 Линейное программирование. 3 1.1 Задача............................... 3 1.2 Графический метод.......................

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3. Симплекс-метод. 1. Алгоритм симплекс-метода. 2. Модифицированный симплекс-метод. 3. Лексикографический симплекс-метод

ЛЕКЦИЯ 3. Симплекс-метод. 1. Алгоритм симплекс-метода. 2. Модифицированный симплекс-метод. 3. Лексикографический симплекс-метод ЛЕКЦИЯ 3 Симплекс-метод 1. Алгоритм симплекс-метода 2. Модифицированный симплекс-метод 3. Лексикографический симплекс-метод 4. Метод искусственного базиса 5. Теория двойственности ЛП. Теоремы двойственности

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ для студентов экономических специальностей I КУРС (МОДУЛЬ 1 2)

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ для студентов экономических специальностей I КУРС (МОДУЛЬ 1 2) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ СН Кузнецова, М В

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Рассмотрим задачу на нахождение условного экстремума для случае функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Пусть имеется

Подробнее

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены Глава III. Теория устойчивости 1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены III.1.1. Устойчивые решения линейных ОДУ Существенную роль в исследовании различных процессов, поведение которых описывается

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Ткачев С.Б. каф. Математического моделирования МГТУ им. Н.Э. Баумана ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ИУ5 4 семестр, 2015 г. Лекция 10. АЛГЕБРЫ: ПОЛУКОЛЬЦА Определение 10.1. Полукольцо это алгебра с двумя бинарными

Подробнее

оптимального портфеля В предьщущих главах основное внимание уделено структуре критериальных множеств, минимальных и эффективных границ в моделях

оптимального портфеля В предьщущих главах основное внимание уделено структуре критериальных множеств, минимальных и эффективных границ в моделях Глава 9. Проблема выбора оптимального портфеля В предьщущих главах основное внимание уделено структуре критериальных множеств минимальных и эффективных границ в моделях Блека и Марковица. Во всех случаях

Подробнее

ОПТИМИЗАЦИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

ОПТИМИЗАЦИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ФГБ ОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» Кафедра «Экономическая информатика» А.И.Сеславин Е.А. Сеславина ОПТИМИЗАЦИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса Учебное издание Пивоварова Ирина Викторовна ТЕОРИЯ ИГР Практикум ИВ ПИВОВАРОВА ТЕОРИЯ

Подробнее

«Смоленский промышленно-экономический колледж»

«Смоленский промышленно-экономический колледж» «Смоленский промышленно-экономический колледж» Планы семинарских занятий Дисциплина Математика Курс: 5 Семестр: 1 Специальность: 151001 Технология машиностроения и все специальности технического профиля

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Сибирский математический журнал Январь февраль, 2010. Том 51, 1 УДК 519.233.5+519.654 О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Кафедра математики

ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Кафедра математики ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Кафедра математики ИГШАНДРА МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МАКРО И МИКРОЭКОНОМИКИ (тексты лекций спецкурса ) МОСКВА 998 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Лекция 3. МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Лекция 3. МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ 6 Лекция. МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ План. Метод узловых напряжений.. Алгоритм формирования узловых уравнений.. Формирование узловых уравнений для схем с ИТУН.. Модифицированный метод узловых напряжений.

Подробнее

ИНСТИТУТ ЗАКОНОВЕДЕНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ ВПА МЕТОДИЧЕСКИЕ И ИНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ»

ИНСТИТУТ ЗАКОНОВЕДЕНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ ВПА МЕТОДИЧЕСКИЕ И ИНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ» ИНСТИТУТ ЗАКОНОВЕДЕНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ ВПА КАФЕДРА ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ И ИНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ» Направление

Подробнее

Теорема: для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие баланса:

Теорема: для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие баланса: Решить транспортную задачу методом потенциалов поставщик потребитель B B2 B B запасы груза A 8 A2 6 6 A 6 2 потребность 7 7 Сведём данные задачи в стандартную таблицу: A\B 7 7 8 6 6 6 2 Решение транспортной

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

БИБЛИОТЕКА СТУДЕНТА ЭКОНОМИСТА Главный редактор серии доктор экономических наук, профессор В. А. Колемаев ПРАКТИКУМ

БИБЛИОТЕКА СТУДЕНТА ЭКОНОМИСТА Главный редактор серии доктор экономических наук, профессор В. А. Колемаев ПРАКТИКУМ БИБЛИОТЕКА СТУДЕНТА ЭКОНОМИСТА Главный редактор серии доктор экономических наук, профессор В. А. Колемаев ПРАКТИКУМ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ ОПЕРАЦИЙ В ЭКОНОМИКЕ Учебное пособие Под редакцией доктора экономических

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Математические модели в экономике

Математические модели в экономике Математические модели в экономике Лектор: проф. Шананин А.А. Москва, 1999 год. Оглавление 1 Модели межотраслевого баланса и теория неотрицательных матриц 2 1.1 Эмпирическая модель межотраслевого баланса

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ Часть 1 Линейное программирование Учебное пособие

ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ Часть 1 Линейное программирование Учебное пособие Федеральное агентство по образованию и Российской Федерации ГОУВПО «Пермский государственный университет» С.В. Лутманов ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ Часть Линейное программирование Учебное пособие ПЕРМЬ

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. Федеральное агентство по образованию. Рыбинская государственная авиационная. технологическая академия им. П. А.

ТЕОРИЯ ИГР. Федеральное агентство по образованию. Рыбинская государственная авиационная. технологическая академия им. П. А. Федеральное агентство по образованию Рыбинская государственная авиационная технологическая академия им. П. А. Соловьева ЗАОЧНАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ ТЕОРИЯ ИГР Программа учебной дисциплины и методические указания

Подробнее

Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность*

Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность* Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность* В. Н. РАЗЖЕВАЙКИН Аннотация. Доказывается теорема о положительной определенности ленточных матриц широко используемых в задачах математической

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Иркутский государственный университет» В.И. Зоркальцев, М.А. Киселева СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ Учебное пособие Иркутск 007 УДК 59.6 ББК З 86 Печатается

Подробнее

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Казань, 213 УДК 519.6, 517.97 ББК Печатается по решению методической комиссии Института математики и механики им. Н.И.

Подробнее

Факультативно. Ковариантная форма физических законов.

Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Ковариантность и контравариантность. Слово "ковариантный" означает "преобразуется так же, как что-то", а слово "контравариантный" означает "преобразуется

Подробнее

1. Задача финансирования инвестиционных проектов

1. Задача финансирования инвестиционных проектов ' В.Н.Бурков, Л.А.Цитович МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ ФИНАНСИРОВАНИЯ В УСЛОВИЯХ РЫНОЧНОЙ ЭКОНОМИКИ Введение В статье рассматриваются механизмы финансирования инвестиционных проектов и программ в рыночной

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ТОЧНОСТИ ДВОЙСТВЕННЫХ ОЦЕНОК В КВАДРАТИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ *

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ТОЧНОСТИ ДВОЙСТВЕННЫХ ОЦЕНОК В КВАДРАТИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ * НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ТОЧНОСТИ ДВОЙСТВЕННЫХ ОЦЕНОК В КВАДРАТИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ О.А. БЕРЕЗОВСКИЙ, Институт кибернетики НАН Украины, Киев, Украина berezovsky@al.ru Приводится необходимое

Подробнее

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ» Филиал в г Тольятти ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ

Подробнее

НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП ЛЕКЦИЯ 17 ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 1 ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА Предложение 1. В ассоциативной алгебре A с единицей размерности n над полем

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8.

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: 16x 10x + 2x = 8, 40x + 25x 5x = 20. Ответ: Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 1 2 + 5 8 x 1 8 x, x, x R; базисное

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли

Теорема Кронекера-Капелли Установить совместность и решить систему линейных уравнений 5xx x xx 5x 0 x4x x 0 а) по формулам Крамера, б) матричным способом, в) методом Гаусса Совместность Совместность системы можно установить: а)

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П.Королева Ю.М.Заболотнов ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

И.А. Гетьман, Л.В. Васильева, Донбасская государственная машиностроительная

И.А. Гетьман, Л.В. Васильева, Донбасская государственная машиностроительная УДК 004.64 И.А. Гетьман, Л.В. Васильева, Донбасская государственная машиностроительная академія (г. Краматорск) МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА В ПОСЛЕДИПЛОМНОМ ОБРАЗОВАНИИ Гетьман

Подробнее

МОДЕЛЬ ДЕЗАГРЕГИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

МОДЕЛЬ ДЕЗАГРЕГИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ Бывшев В.А. Доктор технических наук, профессор кафедры системного анализа и моделирования экономических процессов, Финансовый университет при Правительстве РФ Пахомов Е.В. Кандидат экономических наук,

Подробнее

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский физико-технический

Подробнее

В. Г. Демиденко ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ОДНОРОДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ ГЕННЫХ СЕТЕЙ

В. Г. Демиденко ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ОДНОРОДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ ГЕННЫХ СЕТЕЙ УДК 579 В Г Демиденко ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ОДНОРОДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ ГЕННЫХ СЕТЕЙ В работе исследуется задача восстановления параметров линейных моделей, возникающих при дискретном моделировании

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

А. И. ЖДАНОВ ВВЕДЕНИЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ

А. И. ЖДАНОВ ВВЕДЕНИЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика

Подробнее

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики Технический университет) Л.А. МАНИТА УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ

Подробнее

u ik λ k v kj + c ij, (1) u 2 ik =

u ik λ k v kj + c ij, (1) u 2 ik = В. В. Стрижов. «Информационное моделирование». Конспект лекций. Сингулярное разложение Сингулярное разложение (Singular Values Decomposition, SVD) является удобным методом при работе с матрицами. Cингулярное

Подробнее

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. 1.1 Общая задача линейного программирования

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. 1.1 Общая задача линейного программирования ВВЕДЕНИЕ Под названием транспортная задача объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Классическая транспортная задача задача о наиболее экономном плане перевозок однородного продукта

Подробнее

a a b b 1) Даны линейные подпространства U и W, порождённые системами векторов: Найти базисы подпространств U а) Базис подпространства U W.

a a b b 1) Даны линейные подпространства U и W, порождённые системами векторов: Найти базисы подпространств U а) Базис подпространства U W. и ) Даны линейные подпространства U и W, порождённые системами векторов: a ; ; 3; a a b b 3 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 3; 3; ; Найти базисы подпространств U а) Базис подпространства U W. W и U W. Множество всех

Подробнее

Рабочая программа учебной дисциплины

Рабочая программа учебной дисциплины Государственное автономное образовательное учреждение Высшего профессионального образования «Московский городской университет управления Правительства Москвы» Институт высшего профессионального образования

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского А.Т. Козинова Н.Н. Ошарина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II Учебное пособие Рекомендовано

Подробнее

ЗЛП. Подробно рассматривается основной метод решения ЗЛП симплекс-метод.

ЗЛП. Подробно рассматривается основной метод решения ЗЛП симплекс-метод. Предисловие В самых разных областях практической деятельности организации производства и снабжения, эксплуатации транспорта, планировании боевых действий и выборе вооружений, расстановке кадров, в бытовом

Подробнее

Методы оптимальных решений для экономического бакалавриата

Методы оптимальных решений для экономического бакалавриата МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) И. И. Волкова, О. М.

Подробнее

Лекция 5: Определители

Лекция 5: Определители Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В пособии не излагается теория чисел а дан минимальный инструментарий из этой теории который в дальнейшем потребуется для изучения криптографических систем используемых

Подробнее