Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами."

Транскрипт

1 Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством C комплексных чисел z = x + iy и множеством точек M(x, y) на плоскости, а также множеством свободных векторов a =(x, y). Числа x и y называются соответственно действительной и мнимой частью числа z, и обозначаются x = Re z (от слова real) и y = Im z (от слова imaginary). Комплексные числа можно складывать: сумма комплексных чисел z 1 = x 1 + iy 1 и z 2 = x 2 + iy 2 равна z 1 + z 2 =(x 1 + x 2 )+i(y 1 + y 2 ). Комплексные числа можно умножать: произведение комплексных чисел z 1 = x 1 + iy 1 и z 2 = x 2 + iy 2 равно z 1 z 2 =(x 1 x 2 y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ). 103

2 Таким образом, правило умножения получается, если разрешить "раскрывать скобки"и потребовать, чтобы i 2 = 1. Число z = x iy называется комплексно сопряженным к числу z = x + iy. Геометрически операция комплексного сопряжения сводится к отражению относительно оси Ox. Комплексное сопряжение обладает свойствами: 1. z 1 + z 2 = z 1 + z 2 ;2.z 1 z 2 = z 1 z 2 ; 3. z = z; 4. R = {z C z = z}; 5. z z = z 2, где z = x 2 + y 2 называется модулем комплексного числа z. Деление на комплексное число z сводится к умножению на обратное число z 1 = z z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2 z 2 2 = z 1 z 2. z 2 z 2 Таким образом, для того чтобы вычислить z 1 z 2, нужно числитель и знаменатель домножить на комплексно сопряженное к z 2 число z 2. Задача Вычислить (представить в форме x + iy ) следующие выражения: a) (2+3i) (1 + 4i), b) 2 i i 1 g) ( 2+i)(1 3i), h) 1 i = i. c) 1+2i 2 3i =, c) 1+2i 2 3i, d) 5 1+2i ( 1+2i)(2 + 3i) 13 = i. 1+i 2+3i, e) 1 i, f) 1+4i, Ответ: a) 1 i; b) 1 2i; c) i; d) 1 2i; e) i; f) i; g) i; h) 0. Комплексное число z = x + iy, можно представить в тригонометрической форме: z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ), где ρ и ϕ полярные коодинаты точки (x; y). Полярный радиус ρ = x 2 + y 2 = z называется модулем, а полярный угол 104

3 ϕ =Argz аргументом комплексного числа z. Аргумент числа z определен не одназначно, а с точностью до целого числа оборотов, т.е. с точностью до числа, кратного 2π. Значение аргумента, находящееся в пределах от 0 до 2π, называется главным значением аргумента, и обозначается ϕ 0 =argz, 0 arg z < 2π. Получаем соотношение Arg z = argz + 2πk, или сокращенно, ϕ = ϕ 0 +2πk, гдеk Z. Если z 1 = ρ 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ),z 2 = ρ 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ), то z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 (cos (ϕ 1 + ϕ 2 )+i sin (ϕ 1 + ϕ 2 )). Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. В частности, получаем формулу для возведение в степень: если z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ), то z n = ρ n (cos nϕ + i sin nϕ), т.е. при возведении комплексного числа в целую степень n N его модуль возводится в степень n, а аргумент умножается на n. Из комплексных чисел можно извлекать корни. Для каждого комплексного числа z = z (cos ϕ + i sin ϕ) 0существует ровно n корней n-ой степени w 0,w 1,...,w n 1, которые даются формулой n z = wk = n ( z cos ϕ 0 +2πk + i sin ϕ ) 0 +2πk, ( ) n n где ϕ 0 =argz главное значение аргумента, а k =0, 1,...,n 1. Точки w 0,...,w n 1 лежат в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиусом n z с центром в O. Для того, чтобы найти n z корни n-й степени из комплексного числа z = x + iy, нужно воспользоваться правилом: 1) представить число z в тригонометрической форме; 2) затем применить формулу (*). Для того, чтобы представить число в тригонометрической форме полезно рассматривать изображением точки z на комплексной плоскости. Модуль и аргумент комплексно-

4 го числа находятся по формулам z = x 2 + y 2, arg z =arctg y x, если x>0, иarg z =arctg y x + π, если x<0 Задача Следующие комплексные числа изобразить на плоскости и представить в тригонометрической форме: a) 1 i ; b) 1+i ; c) i ; d) 2i ; e) 3; f) 3+i ; g) i 3 2 ; h) 3 4i. a) Изображая число z = 1 i точкой M(1; 1), мыви- дим, что z = 2,аarg z = 2π ( π 4 = 7π 4.Поэтому 1 i = 2 cos ( 7π 4 )+isin ( 7π 4 )). ( Ответ: a) 2 cos 7π 4 + i sin 7π ) ( 4 ; b) 2 cos π 4 + i sin π ) 4 ; c) cos π 2 + i sin π 2 ; d) 2( cos 3π 2 + i sin 3π ) 2 ; e) 3(cosπ + i sin π); f) 2 ( cos π 6 + i sin π ) 6 ; g) cos π 3 + i sin π 3 ; h) 5 ( cos (2π arctg 4 3 )+isin (2π arctg 4 3 )). Задача Извлечь корень n z из числа z, или, что то же самое, решить уравнение w n z =0: a) i ; b) 3 i ; c) 6 1; d) 4 1; e) 1+i ; f) 5 i ; g) w 5 +1+i =0; h) w 3 7+4i =0. g) 1) Представим число z = 1 i в тригонометрической форме. Очевидно, z = 2,ϕ 0 =argz = 5π 4. 2) Применяя формулу (*), получаем 5 1 i = wk = 10 ( ) 2 cos 5π 4 +2πk 5 + i sin 5π 4 +2πk 5, k =0, 1, 2, 3, 4. Ответ: i sin π 2 +2πk 3, k = 0, 1, 2; c) cos πk 3 d) cos π+2πk ( 4 + i sin π+2πk 4, k =0, ) 1, 2, 3; a) cos π 2 +2πk 2 + i sin π +2πk 2, k =0, 1; b) cos π 2 +2πk + i sin πk 3 e) 4 2 cos π 4 +2πk 2 + i sin π 4 +2πk 2, k =0, 1; f) cos 3π 2 +2πk 5 + i sin π 2 +2πk 5, k =0, 1, 2, 3, 4; g) 10 ( ) 2 cos 5π 4 +2πk 5 + i sin 5π 4 +2πk 5,k=0, 1, 2, 3, 4; h) 6 ( 65 cos ϕ+2πk 3 + i sin ϕ+2πk 3 3 +, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5; ), k =0, 1, 2, гдеϕ =2π arctg

5 Имея комплексные числа, мы можем решать любые квадратные уравнения az 2 + bz + c =0, в том числе если коэффициенты a, b, c комплексные числа. Формула для решения квадратного уравнения сохраняется: z 1,2 = b± b 2 4ac 2a.Еслижеa, b, c R и дискриминант D = b 2 4ac < 0, то D = D = D i, и мы получаем два комплексно-сопряженных корня z 1,2 = α ± βi, где α = b 2a,аβ = D 2a. Задача Решить квадратные уравнения: a) x 2 +2x +10=0; b) x 2 6x +13=0. a) По формуле для решения квадратного уравнения получаем: x 1,2 = 1 ± 9= 1 ± 3i, таккак 9= 9 ( 1) = 3 1=±3i. Ответ: a) 1 ± 3i; b) 3± 2i Структура общего решения ЛОДУ Линейным дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида: y (n) + a 1 (x)y (n 1) a n 1 (x)y + a n (x)y = f(x), (1) где a i (x) непрерывные функции на отрезке [a; b] (деля на старший коэффициент a 0 (x), можно считать, a 0 (x) =1). Уравнение y (n) + a 1 (x)y (n 1) a n 1 (x)y + a n (x)y =0, (1 0 ) называется линейным однородным дифференциальным уравнением (сокращенно ЛОДУ) порядка n, соответствующим уравнению (1). Уравнение (1) при этом называют линейным неоднородным дифференциальным уравнением (сокращенно ЛНДУ). Линейное уравнение (1 0 ) называют также уравнением без правой части, а уравнение (1) с првой частью. В частном случае n =2эти уравнения имеют вид 107

6 и y + a 1 (x)y + a 2 (x)y = f(x) (2) y + a 1 (x)y + a 2 (x)y =0. (2 0 ) Для простоты (обозначений) мы обычно будем рассматривать случай n =2. Этот случай наиболее важен с точки зрения приложений. Например, уравнение колебаний относится к этому типу. Решение уравнения (1) начинается с уравнения (1 0 ). Теорема 1. Сумма двух решений ЛОДУ снова есть решение ЛОДУ. При умножении решения ЛОДУ на константу снова получается решение ЛОДУ. Эти два свойства можно объединить: если y 1 (x) и y 2 (x) есть решения уравнения (1 0 ),то y(x) =y 1 (x)+y 2 (x) также является решением уравнения (1 0 ). С точки зрения линейной алгебры эта теорема означает, что множество всех решений ЛОДУ является линейным (=векторным) пространством. При этом функции, являющиеся решениями ЛОДУ, рассматриваются как векторы абстрактного векторного пространства. В линейной алгебре важнейшим понятием, на котором основано понятие размерности пространства, является понятие линейной зависимости (см. [K], Часть 1, гл. 2, 1,2). Для функций это понятие выглядит так. Функции y 1,y 2,...,y n называются линейно зависимыми (сокращенно л.з.) на интервале ( a; b ), если существуют постоянные c 1,c 2,...,c n, не все равные нулю и такие, что c 1 y 1 + c 2 y c n y n =0. Это равносильно тому, что одна из функций y i (x) выражается через остальные в виде линейной комбинации. В противном случае функции y 1,y 2,...,y n называются линейно независимыми (сокращенно л.н.з.). Именно, функции y 1,y 2,...,y n л.н.з. (на интервале ( a; b ) ), если из равенства c 1 y 1 + c 2 y c n y n =0,гдеc i постоянные, вытекает, что 108

7 c 1 = c 1 =... = c n = 0. Для выяснения вопроса о линейной зависимости функций служит их определитель Вронского. Для двух функций y 1 и y 2 (n=2) линейная зависимость означает просто пропорциональность этих функций. Другими словами, функции y 1 и y 2 л.н.з., если их отношение не постоянно, y 1 y 2 const. Теорема 2. ЛОДУ (1 0 ) порядка n имеет n л.н.з. решений y 1,y 2,...,y n.любыеn таких решений называются фундаментальной системой решений. Любое решение y = y(x) ЛОДУ можно и единственным способом выразить через фундаментальную систему решений: y = C 1 y 1 + C 2 y C n y n, (3) где C i,i=1, 2,...,n некоторые постоянные. Таким образом, формула (3), гдеc 1,C 2,...,C n произвольные постоянные, дает общее решение ЛОДУ (1 0 ). С точки зрения линейной алгебры теорема 2 означает, что линейное пространство решений ЛОДУ порядка n имеет размерность n. Фундаментальная система решений это базис этого пространства, а постоянные C i в представлении (3) это координаты решения y(x) в этом базисе ЛОДУ с постоянными коэффициентами Пусть теперь в уравнении (1 0 ) коэффициенты a i (x) =a i =const: y (n) + a 1 y (n 1) a n 1 y + a n y =0. (4 0 ) Показательная функция y = e λx является решением ЛОДУ (4 0 ) тогда и только тогда, когда λ является корнем характеристического уравнения λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n =0 (5) 109

8 (докажите это). Характеристическое уравнение (5) получается из уравнения (4 0 ), если производные y (i) заменить на степени λ i переменной λ. Если λ 0 является корнем кратности k уравнения (5), тоему соответствует k решений y 1 = e λ 0x,y 2 = xe λ 0x,...,y k = x k 1 e λ 0x уравнения (4 0 ).Еслиλ 1,2 = α±iβ пара комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения (5), то им соответствует два решения y 1 = e αx cos βx и y 2 = e αx sin βx уравнения (4 0 ). Рассмотрим детально случай n =2. ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Пусть λ 2 + pλ + q =0 (6) характеристическое уравнение ЛОДУ второго порядка y + py + qy =0. (7 0 ) Возможны три случая. 1. Корни характеристического уравнения действительные и разные (дискриминант D = p 2 4q >0): λ 1 λ 2 R. Тогда два решения y 1 = e λ 1x и y 2 = e λ 2x линейно независимы (образуют фундаментальную систему решений) и общее решение имеет вид: y = C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x. 2. Корни уравнения действительные и равные (D = p 2 4q = 0): λ 1 = λ 2 = λ. Тогдаy 1 = e λx и y 2 = xe λx образуют фундаментальную систему решений и общее решение имеет вид: y = C 1 e λx + C 2 xe λx. 3. Корни уравнения комплексные (D = p 2 4q <0): λ 1,2 = α ± iβ. Тогда функции y 1 = e αx cos βx и y 2 = e αx sin βx образуют фундаментальную систему решений и общее решение имеет вид: 110

9 y = e αx C 1 cos βx + C 2 e αx sin βx). Задача Решить дифференциальное уравнение: a) 2y +5y +2y =0; b) y 3y +2y =0; c) y +2y + y =0; d) y 6y +9y =0; e) y +4y +13=0; f) y +2y +5y =0; g) y +4y =0; h) y +4y =0. a) Составим характеристическое уравнение: 2λ 2 +5λ +2= 0. Его корни λ 1 = 2, λ 2 = 1 2. Общее решение ЛОДУ y = C 1 e 2x + C 2 e x 2. Ответ: a) y = C 1 e 2x + C 2 e x 2 ; b) y = C 1 e x + C 2 e 2x ; c) y = C 1 e x + C 2 xe x ; d) y = C 1 e 3x + C 2 xe 3x ; e) y = C 1 e 2x cos 3x + C 2 e 2x sin 3x; f) y = C 1 e x cos 2x + C 2 e x sin 2x; g) y = C 1 cos 2x + C 2 sin 2x; h) y = C 1 + C 2 e 4x. Задача Решить дифференциальное уравнение: a) y 2y y +2y =0; b) y 3y =0; c) y (5) 4y =0; d) y (5) y =0; e) y (6) 81y 4 =0; f) y (6) y =0. a) Это ЛОДУ третьего порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение: λ 3 2λ 2 λ+2 = 0. Его корни λ 1 =1, λ 2 = 1, λ 3 =2. Функции y 1 = e x,y 2 = e x,y 3 = e 2x образуют фундаментальную систему решений. Общее решение ЛОДУ y = C 1 e x + C 2 e x + C 3 e 2x. c) Это ЛОДУ пятого порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение: λ 5 4λ 3 =0имеет пять корней λ 1 = λ 2 = λ 3 =0, λ 4 =2, λ 5 = 2, причём λ =0 трёхкратный корень. Поэтому функции y 1 = e 0x =1, y 2 = x, y 3 = x 2, y 4 = e 2x, y 5 = e 2x образуют фундаментальную систему решений и общее решение имеет вид: y = C 1 + C 2 x + C 3 x 2 + C 4 e 2x + C 5 e 2x. Ответ: a) y = C 1 e x +C 2 e x +C 3 e 2x ; b) y = C 1 +C 2 e 3 +C 3 e 3 ; c) y = C 1 + C 2 x + C 3 x 2 + C 4 e 2x + C 5 e 2x ; d) y = C 1 + C 2 e x + C 3 e x + C 4 cos x + C 5 sin x; e) y = C 1 + C 2 x + C 3 x 2 + C 4 x 3 + C 5 e 9x + C 6 e 9x ; 111

10 f) y = C 1 + C 2 x + C 3 x 2 + C 4 e x + C 5 e 1 2 x cos C 6e 1 2 x sin 3 2. Задача Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (решить задачу Коши) y(0) = 4, y (0) = 2: a) y 2y + y =0;b) y 12 2y +36y =0. a) Сначала найдем общее решение ЛОДУ. Характеристическое уравнение λ 2 2λ +1 = 0 имеет корни λ 1 = λ 2 =1. Поэтому общее решение есть: y = e x (C 1 + C 2 x). Теперь найдем C 1 и C 2, исходя из начальных условий. Продифференцируем общее решение: y = e x (C 1 + C 2 x + C 2 ). Подставляя x =0в y и y, получим систему: { C1 =4 C 1 + C 2 =2. Решение системы C 1 =4, C 2 = 2 подставим в общее решение дифференциального уравнения. Получим искомое частное решение y = e x (4 2x). Ответ: a) y = e x ( 2x +4); b) y = e 6( 2+1)x e 6( 2 1)x. Контрольные вопросы 1. Что такое комплексные числа? 2. Как перемножить два комплексных числа? 3. Как разделить одно комплексное число на другое? 4. Что такое тригонометрическая форма комплексного числа? 5. Чему равны модуль и аргумент произведения двух комплексных чисел? 6. Как извлечь корень степени n из комплексного числа? 7. Как устроено общее решение ЛОДУ? 9. При каких λ функция e λx является решением ЛОДУ с постоянными коэффициентами? Вывести характеристическое уравнение. 10. Как устроена фундаментальная система решений ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами в трех случаях: 1) D>0, 2) D =0, 3) D<0 (D это дискриминант)? 112

11 Дополнительные вопросы и задачи D1. Показать, что, если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень z = α + iβ, то комплексно-сопряженное число z = α iβ также является его корнем. Вывести отсюда (и из теоремы Безу), что многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители первой и второй степени. D2. Доказать, что два решения ЛОДУ y +a 1 (x)y +a 2 (x)y =0, имеющие экстремум в одной и той же точке, линейно зависимы. D3. Показать, что если λ является корнем кратности 2 характеристического уравнения для ЛОДУ второго порядка, то y = xe λx является решением этого ЛОДУ. D4. Показать, что если λ 1,2 = α ± iβ корни характеристического уравнения для ЛОДУ второго порядка, то y 1 = e αx cos βx и y 2 = e αx sin βx образуют фундаментальную систему решений этого ЛОДУ. D5. Составте ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, имеющее данное (или данные) частное решение: a) y = xe 2x ; b) y = e 3x sin 2x ; c) y 1 = e 2x,y 2 = e 3x, ; d) y 1 = 1,y 2 = x. D6. При каких постоянных p и q каждое решение уравнения y + py + qy =0обращается в нуль на бесконечном множестве точек? D7. При каких постоянных p и q все решения уравнения y + py + qy =0ограничены на всей числовой прямой? 113

12 Занятие 15 ЛНДУ. Метод вариации произвольных постоянных 15.1 Структура общего решения ЛНДУ Пусть имеется ЛНДУ порядка n y (n) + a 1 (x)y (n 1) a n 1 (x)y + a n (x)y = f(x), (1) где a i (x) непрерывные функции на отрезке [a; b], а y (n) + a 1 (x)y (n 1) a n 1 (x)y + a n (x)y =0 (1 0 ) ЛОДУ, соответствующее уравнению (1). Теорема 1) Если y (x) есть решение ЛНДУ (1), y 0 (x) есть решение ЛО- ДУ (1 0 ), то сумма y = y (x)+y 0 (x) есть решение ЛНДУ. 2) Если y (x) есть какое-то одно решение ЛНДУ (1), то любое другое решение y = y(x) ЛНДУ (1) можно представить в виде y = y (x)+y 0 (x), гдеy 0 (x) есть некоторое решение ЛОДУ (1 0 ). Таким образом, общее решение ЛНДУ есть сумма частного (т.е. какого-то одного) решения ЛНДУ и общего решения соответ- 114

13 ствующего ЛОДУ: y = y + y 0, или в других обозначениях, yон = yчн + yоо (где "он"означает "общее неоднородного", "чн "частное неоднородного", "оо "общее однородного"). Если уравнение (1) есть, например, уравнение второго порядка (n =2), то общее решение ЛНДУ имеет вид y = y + C 1 y 1 + C 2 y 2, где y 1 = y 1 (x) и y 2 = y 2 (x) фундаментальная система решений соответствующего ЛОДУ. Таким образом, чтобы найти все решения ЛНДУ достаточно найти одно его решение и два решения соответствующего ЛОДУ. Задача Доказать следующую теорему (принцип суперпозиции). Если правая часть f(x) ЛНДУ (1) есть сумма двух функций, т.е. f(x) = f 1 (x) +f 2 (x), то частное решение y(x) этого уравнения можно получить как сумму y = y 1 (x) +y 2 (x) частных решений аналогичных уравнений с правыми частями соответственно f 1 (x) и f 2 (x) Методвариации произвольных постоянных Это метод нахождения частного решения ЛНДУ. Рассмотрим его на примере уравнений второго порядка y + a 1 (x)y + a 2 (x)y = f(x). (2) Решение неоднородного уравнения (2) начинается с решения соответствующего ЛОДУ y + a 1 (x)y + a 2 (x)y =0. (2 0 ) Пусть y 1 = y 1 (x), y 2 = y 2 (x) его фундаментальная система решений. Тогда общее решение уравнения (2 0 ) имеет вид 115

14 y 0 = C 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x), где C 1 и C 2 произвольные постоянные. Идея состоит в том, чтобы искать (частное) решение y (x) ЛНДУ (2) в таком же виде, но где C 2 и C 2 уженепостоянные, а некоторые неизвестные функции: y = C 1 (x)y 1 (x)+c 2 (x)y 2 (x). (3) Производные C 1 (x) и C 2 (x) неизвестных функций являются решениями системы линейных уравнений: { C 1 (x)y 1 (x)+c 2 (x)y 2(x) = 0, C 1 (x)y 1 (x)+c 2 (x)y 2 (x) = f(x). (4) Определитель этой системы есть определитель Вронского функций y 1 (x) и y 2 (x), неизвестными являются производные C 1, C 2, а в правых частях уравнений стоят 0 и f(x) правая часть ЛН- ДУ. Пусть C 1 (x) =ϕ 1(x), C 2 (x) =ϕ 2(x) решение системы (4). Интегрируя, находим C 1 (x) = ϕ 1 (x) dx, C 2 (x) = ϕ 2 (x) dx, и тем самым находим частное решение ЛНДУ y (x) (3). Если при интегрировании не учитывать произвольные постоянные (считать их равными нулю), то получаем частное решение, а если учитывать, то формула (3) дает общее решение ЛНДУ. Задача Решить дифференциальное уравнение: a) y + y =tg 2 x ; b) y + y =4(sinx) 1 ; c) y +5y +6y = ( 1+e 2x) 3 2, d) y +4y +4y = e 2x (cos x) 2, e) y +4y =tg2x ; f) y 6y +9y = 9x2 +6x+2e 3x. x 3 a) 1) Решаем ЛОДУ y + y =0. Корни характеристического уравнения λ 2 +1 = 0 равны λ 1,2 = ±i; y 1 =cosx, y 2 =sinx 116

15 фундаментальнвя система решений. Общее решение ЛОДУ имеет вид: y 0 = C 1 cos x + C 2 sin x. 2) Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде y = C 1 (x)cosx + C 2 (x)sinx. Составим систему для определения C 1 (x) и C 2 (x): { cos x C +sinx C 2 = 0, sin x C 1 +cosx C 2 = tg 2 x. Из неё найдём C 1 (x) и C 2 (x) (например, по правилу Крамера): C 1 (x) = sin3 x cos 2 x,c 2 (x) x =sin2 cos x. Интегрируя, находим: C 1 (x) = sin 3 x 1 cos 2 cos 2 x dx = x cos 2 x d cos x = 1 cos x cos x+c 1. sin 2 x 1 cos 2 C 2 (x) = cos x dx = x ( x dx =ln tg cos x 2 + π ) sin x+c2. 4 Подставив найденные значения C 1 (x) и C 2 (x) в формулу (3), получим: y = C 1 (x)cosx + C 2 (x)sinx = = ( 1 cos x cos x + C ) ( 1 cos x + ln tg ( x 2 + ) π ) 4 sin x + C 2. Ответ: a) ( 1 cos x cos x + C ( ( 1) cos x+ ln tg x 2 + π ) ) 4 sin x + C2 ; b) y = C 1 cos x+c 2 sin x+4x cos x+4sinx ln sin x; c) ) y = C 1 e 3x + C 2 e 2x + e 2x ( e x (e 2x +1) 3 2 +ln(e x + e 2x +1) d) y = e 2x (C 1 + C 2 x) e 2x ln cos x ; e) y = C 1 cos 2x + C 2 sin 2x cos 2x ln ctg ( π 4 x) ; f) y = C 1 e 3x + C 2 xe 3x +3e 3x ln x (3x 2) 3 x e3x. Задача Решить задачу Коши: a) y y = 1 1+e,y(0) = 1,y =2; x b) y y = 4x+ 1 x x,y(1) = e 4,y (1) = e e 3x ; e 2x +1

16 a) 1) Решаем ЛОДУ y y =0. Корни характеристического уравнения λ 2 λ =0равны λ 1 =0, λ 2 =1; y 1 =1, y 2 = e x фундаментальная система решений. Общее решение ЛОДУ имеет вид: y 0 = C 1 + C 2 e x. 2) Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде: y = C 1 (x) +C 2 (x)e x. Составим систему для определения C 1 (x) и C 2 (x): { 1 C 1 + ex C 2 = 0, 0 C 1 + ex C 2 1 = 1+e x C 1 1 (x) = 1+e,C x 2 (x) = 1 e x (1+e x ) C 1 (x) = dx 1+e = x +ln(1+e x )+C x 1, C 2 (x) = dx e x (1+e x ) = e x x +ln(1+e x )+C 2. Следовательно, общее решение ЛНДУ имеет вид: y = x +ln(1+e x )+C 1 + e x ( e x x +ln(1+e x )+C 2 )= = x + e x (C 2 x) 1+(1+e x )ln(1+e x )+C 1. 3) Ищем частное решение ЛНДУ, удовлетворяющее начальным условиям. Для этого нам нужно найти y : y = 1+e x (C 2 x 1) + e x ln(1 + e x )+e x. Подставляя x = 0 в y и y и пользуясь тем, что y(0) = 1, y (0) = 2, для определения C 1 и C 2 получаем систему линейных уравнений: { C 2 1+C 1 +2ln2 = 1, 1+C 2 1+ln2+1 = 2 { C1 = 1 ln 2 C 2 = 3 ln 2 Подставляя найденные значения C 1 и C 2 в общее решение ЛН- ДУ, находим искомое частное решение:. y = x + e x (3 ln 2 x) 1+(1+e x )ln(1+e x ) 1 ln 2. Ответ: a) y = x+e x (3 ln 2 x) 1+(1+e x )ln(1+e x ) 1 ln 2; b) y = e x 4 x. 118

17 Контрольные вопросы 1. Как устроено общее решение ЛНДУ? 2. В чем состоит идея метода вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения ЛНДУ методом вариации произвольных постоянных? Опишите алгоритм нахождения частного решения ЛНДУ второго порядка этим методом. Дополнительные вопросы и задачи D1. Решить ЛНДУ первого порядка y + a(x)y = f(x) методом вариации произвольной постоянной. Показать, что при этом получается известный уже метод Бернулли. D2. Опишите алгоритм нахождения частного решения ЛНДУ третьего порядка методом вариации произвольных постоянных. D3. Решить дифференциальное уравнение y + y =tgx. Ответ: y = ln cos x sin ln tg ( π 4 + x ) 2 + C1 + C 2 cos x + C 3 sin x. Метод вариации произвольных постоянных показывает, что, если мы умеем решать ЛОДУ, то решение ЛНДУ сводится к интегрированию (к квадратурам). Не существует общего метода решения ЛОДУ. Мы умеем решать ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Приведем один важный тип ЛОДУ с переменными коэффициентами, которые могут быть преобразованы в ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Уравнением Эйлера называется уравнение вида x n y (n) + a 1 x n 1 y (n 1) a n 1 xy + a n y =0, где a i постоянные. D4. Покажите, что замена независимой переменной x = e t (или t =lnx) сводит уравнение Эйлера к ЛОДУ с постоянными коэффициентами. D5. Решить дифференциальное уравнение x 2 y 4xy +6y =0. Ответ: y = C 1 x 2 + C 2 x

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Лекция 2. c + d. c d. c + d 2 =

Лекция 2. c + d. c d. c + d 2 = Лекция. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.. Числовое поле. Числовое поле множество чисел, в котором корректны арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление на ненулевое число. Примеры числовых полей:

Подробнее

Лекция 5. Комплексные числа

Лекция 5. Комплексные числа Лекция 5 Комплексные числа Не все многочлены с вещественными коэффициентами имеют вещественные корни. Например, многочлен x + x + не имеет вещественных корней, т.к. уравнение x + x + = 0 имеет отрицательный

Подробнее

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Основные понятия 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексным числом называется выражение вида i, где и действительные числа, i мнимая единица, удовлетворяющая условию i 1 Число называется действительной частью комплексного

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Лекция 4. МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. и называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:

Лекция 4. МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. и называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: Лекция МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 1 Понятие комплексного числа Алгебраическая форма комплексного числа Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа 1 Понятие комплексного числа Алгебраическая

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» В.В. Конев КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Издательство Томского

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Комплексные числа. , то суммой этих точек мы будем называть точку с абсциссой a c и ординатой c d, т.е. . Если даны точки ( a, b)

Комплексные числа. , то суммой этих точек мы будем называть точку с абсциссой a c и ординатой c d, т.е. . Если даны точки ( a, b) Тема 1 Комплексные числа 1 11 Понятие комплексного числа Комплексные числа вводятся в связи со следующей задачей Известно что действительных чисел недостаточно для того чтобы решить любое квадратное уравнение

Подробнее

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка 1 Дифференциальные уравнения 1 порядка Дифференциальным уравнением (ДУ) 1 порядка, разрешённым относительно производной, называется уравнение d dx = F (x, ), где = (x) искомая функция; функция F задана

Подробнее

Тема 1-8: Комплексные числа

Тема 1-8: Комплексные числа Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Методические указания

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Комплексные числа и действия над н ими

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Комплексные числа и действия над н ими ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Комплексные числа и действия над н ими Определение 6.. Комплексным числом называется выражение = а + ib, где, b любые действительные числа, i мнимая единица.

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Комплексные числа и их свойства.

Комплексные числа и их свойства. «знак действия» a+(-b)=a-b 1) Зачем вводятся отрицательные числа? «знак количества» ) Почему над ними совершаются действия по таким-то правилам, а не по другим? Почему при умножении и делении отрицательного

Подробнее

Комплексные числа. yξ + xη = 0 которая в силу невырожденности (определитель системы x 2 + y 2 0) имеет единственное. 2 x 2 + y. 2

Комплексные числа. yξ + xη = 0 которая в силу невырожденности (определитель системы x 2 + y 2 0) имеет единственное. 2 x 2 + y. 2 Комплексные числа Традиционно под комплексными числами понимают числа z вида x + iy, где x, y R и i мнимая единица число, обладающее свойством i = 1. Множество комплексных чисел принято обозначать C. Число

Подробнее

ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов

ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов Занятие 16 ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов На этом занятии мы будем решать ЛНДУ с постоянными коэффициентами y (n) + a 1 y (n 1) +...+

Подробнее

Лекция 1. Комплексные числа. Система комплексных чисел

Лекция 1. Комплексные числа. Система комплексных чисел Лекция 1. Комплексные числа. Система комплексных чисел Комплексные числа были введены в связи с тем, чтобы расширить имеющуюся систему действительных чисел. Известно, что действительных чисел не достаточно,

Подробнее

Комплексные числа и действия над ними

Комплексные числа и действия над ними Комплексные числа и действия над ними Лекция 1 Л. И. Лазарева, И. А. Цехановский Курс: Ряды и комплексный анализ Семестр 3, 2009 год portal.tpu.ru Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДУ допускающие понижение ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДУ линейные неоднородные (ДУЛН) ДУ линейные однородные

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Лекция 7 Комплексные числа Многочлены

Лекция 7 Комплексные числа Многочлены Лекция 7 Комплексные числа Многочлены. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ Комбинаторика изучает конечные множества и связанные с ними операции. Пусть N конечное множество, состоящее из n элементов; число n называется

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Комплексные числа. 1) Изображение комплексного числа на плоскости. Комплексное число изображается на плоскости O

Комплексные числа. 1) Изображение комплексного числа на плоскости. Комплексное число изображается на плоскости O Комплексные числа I Комплексные числа в алгебраической форме Определение Комплексным числом называется выражение вида где и действительные числа число называется мнимой единицей: Числа и называются соответственно

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Лекция 3 1. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ Формула Эйлера. Рассмотрим функцию. f(ϕ) = cosϕ + i sin ϕ. Она обладает свойством

Лекция 3 1. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ Формула Эйлера. Рассмотрим функцию. f(ϕ) = cosϕ + i sin ϕ. Она обладает свойством Лекция. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ.. Формула Эйлера. Рассмотрим функцию Она обладает свойством Эта функция обозначается e iϕ : это формула Эйлера. fϕ) = cosϕ + i sin ϕ. fϕ ) fϕ ) = fϕ + ϕ ). e

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Определение 3. Комплексное число. называются равными ( ) тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: и.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Определение 3. Комплексное число. называются равными ( ) тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: и. 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексные числа в алгебраической форме 1Основные понятия Определение 1 Комплексным числом в алгебраической форме называется выражение вида, где и действительные числа, а так называемая

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Лекция 3. Комплексные числа, действия с ними

Лекция 3. Комплексные числа, действия с ними ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Комплексные числа, действия с ними СОДЕРЖАНИЕ: Определение Действия с комплексными числами Свойства операций с комплексными числами Геометрическая модель комплексных

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка Занятие 13 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 13.1 Задача и теорема Коши Задачей Коши для дифференциального уравнения порядка n, разрешённого относительно старшей

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

Множество комплексных чисел. Основные понятия Существуют задачи, для решения которых действительных чисел недостаточно. Например, уравнение

Множество комплексных чисел. Основные понятия Существуют задачи, для решения которых действительных чисел недостаточно. Например, уравнение 8 Примеры : ) Пусть A [,5] mifa, MsupA5 ) Пусть A (,) 5 mifa, MsupA5 3) Пусть { } A < 5, R, m if A 5, M supa 5 Множество комплексных чисел Основные понятия Существуют задачи, для решения которых действительных

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

1-е занятие. Комплексные числа: алгебраическая форма Линейная алгебра, прикл. матем., 2-й семестр

1-е занятие. Комплексные числа: алгебраическая форма Линейная алгебра, прикл. матем., 2-й семестр 1-е занятие. Комплексные числа: алгебраическая форма Линейная алгебра, прикл. матем., -й семестр A1 Записать комплексные числа в алгебраической форме и отметить на комплексной плоскости: (3; 4), (7; 5),

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

1. Геометрия комплексных чисел

1. Геометрия комплексных чисел . Геометрия комплексных чисел В первой главе комплексные числа изучались с алгебраической точки зрения. Мы рассмотрели основные алгебраические операции и свойства комплексных чисел. Но комплексные числа

Подробнее

Л.О.Д.У. с постоянными. коэффициентами. Лекция 3

Л.О.Д.У. с постоянными. коэффициентами. Лекция 3 Л.О.Д.У. с постоянными коэффициентами Лекция 3 1 Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка Рассмотрим линейные однородные дифференциальные уравнения с

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

2-е занятие. Комплексные числа: тригонометр. форма Линейная алгебра, прикл. матем., 2-й семестр

2-е занятие. Комплексные числа: тригонометр. форма Линейная алгебра, прикл. матем., 2-й семестр -е занятие Комплексные числа: тригонометр форма Линейная алгебра, прикл матем, -й семестр A1 Перевести комплексные числа из тригонометрической формы в алгебраическую и отметить на комплексной плоскости:

Подробнее

Практическое занятие 1. Комплексные числа

Практическое занятие 1. Комплексные числа С. А. Лавренченко.lareceko.ru Практическое занятие Комплексные числа (Используется типовые расчеты,.). Операции над комплексными числами Пример.. Вычислить ( )( 4). Решение: Надо раскрыть скобки, заменить

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x)

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) Исследование и построение графиков функций Схема исследования графика функции Найти область определения функции множество значений (по возможности точки разрывов вертикальные асимптоты Прямая 0 называется

Подробнее

7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме.

7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен научиться: находить тригонометрическую и показательную формы комплексного числа по

Подробнее

А. А. КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

А. А. КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА А А КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ПСКОВ ББК 57 К45 Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского совета ПГПИ им СМ Кирова Рецензент: Медведева ИН, кандидат физ мат наук, доцент

Подробнее

2-е занятие. Показательная форма комплексного числа Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр

2-е занятие. Показательная форма комплексного числа Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр стр. 1 из 14 2-е занятие. Показательная форма комплексного числа Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр A1 Найти модули и аргументы следующих комплексных чисел и записать эти числа в форме z = ρe iϕ,

Подробнее

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. 1. Определение и различные формы записи комплексного числа

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. 1. Определение и различные формы записи комплексного числа КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексные числа представляют собой расширение множества действительных чисел Впервые с необходимостью их введения математики столкнулись при изучении кубических уравнений В XVI в была

Подробнее

Комплексный анализ Геометрия комплексных чисел

Комплексный анализ Геометрия комплексных чисел Комплексный анализ Геометрия комплексных чисел Никита Александрович Евсеев Физичеcкий факультет Новосибирского государственного университета 2015 Комплексный анализ 1 / 31 Числовая прямая R Комплексный

Подробнее

1 День КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1 День КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексные числа. Все знают, что не существует такого вещественного числа, что его квадрат равен минус единице. А что будет, если придумать такое НЕвещественное число i, которое в квадрате

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. ПОСОБИЕ по выполнению практических работ и контрольных домашних заданий

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. ПОСОБИЕ по выполнению практических работ и контрольных домашних заданий МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- ОГ Илларионова АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Задача 396. Решить уравнение y = t +4. Решение: Заметим, что условие задачи исключает случай t = 4. dy dt = dt t +4 e y =ln t +4 + C 1,C 1 IR

Задача 396. Решить уравнение y = t +4. Решение: Заметим, что условие задачи исключает случай t = 4. dy dt = dt t +4 e y =ln t +4 + C 1,C 1 IR Пояснения к тексту: знак читается как "равносильно" и обозначает, что у уравнений справа от знака и слева от знака множество решений совпадает, знак IR обозначает ммножество вещественных чисел, знак IN

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Лекция.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Аннотация: В лекции указывается на необходимость обобщения понятия числа от натурального до комплексного. Вводятся алгебраическая,

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение)

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) Занятие 12 Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) 12.1 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется

Подробнее

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8.

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: 16x 10x + 2x = 8, 40x + 25x 5x = 20. Ответ: Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 1 2 + 5 8 x 1 8 x, x, x R; базисное

Подробнее

Лекция 1. Комплексные числа

Лекция 1. Комплексные числа С А Лавренченко wwwlawecekou Лекция Комплексные числа Множество действительных чисел, как обычно, обозначается R, а множество комплексных чисел через C Мы увидим на этой лекции, как между множествами C

Подробнее

Функции комплексного переменного

Функции комплексного переменного 1 Основные понятия функций комплексного переменного Основные понятия, связанные с функцией комплексного переменного, находятся так же, как и в действительной области. Пусть заданы два множества комплексных

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

Комплексные числа (факультативный курс для школьников классов)

Комплексные числа (факультативный курс для школьников классов) Лекции Комплексные числа (факультативный курс для школьников 10 11 классов) НОВОПАВЛОВСКАЯ СОШ Г. НОВОПАВЛОВСК СТАВРОПОЛЬСКИЙ КРАЙ 01 Лийка Владимир Владимирович Лекция 1. Комплексные числа и их геометрическая

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР Занятие 1 Основные алгебраические структуры 11 Является ли операция на множестве A ассоциативной если a A = N x y = x y b A = N x y = НОДx y c A = N x y = 2xy d A = Z x y = x 2 + y 2 e A

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3 Дифференциальные уравнения высших порядков Лекции 2-3 Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида F( x, y, y,..., y() n ) 0, () в котором обязательно наличие n-ой производной. Будем

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78 Часть I Конечные поля или поля Галуа. II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 2 / 78 Поля вычетов по модулю

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее