Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна"

Транскрипт

1 Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна Показательным называется уравнение, содержащее переменную только в показателе степени. Рассмотрим несколько типов показательных уравнений, решаемых методами элементарной математики. Показательные уравнения рассматриваются в множестве действительных чисел. Уравнение вида α х = b называется простейшим показательным. Решение простейших показательных уравнений. Решение показательных уравнений основано на свойстве степеней: две степени с одним и тем же положительным и отличным от единицы основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели. Используя это свойство, уравнение α х = b, где α 0, α 1 и b > 0, следует решать следующим образом: α х = b <=> α х = α log α b <=> x = log α b. Пример 1. Решить уравнение 7 0,5х х 8 = 7. 8 Решение. Поскольку 7 D = 1 1 = ; х 1, = ± Пример. Решить уравнение х = 8 х 5. = 7 8; 0,5х х = 8 ; х 8х + = 0. ; х 1 = 0,5, х = 1,5. Ответ: 0,5; 1,5. Решение. Поскольку х = ( ) х = х, 8 х 5 = ( ) х-5 = х 15, х = х 15 <=> х = х 15 <=> х = Ответ: Пример. Найти корни уравнения 1 х = х. Решение. Используя определение логарифма, запишем 1 1 х = log х = 1 х log Тогда данное уравнение примет вид 1 х log = х. Следовательно, можно записать 1 х log = х <=> х = log, а так как log > 0, то х = ± log. Ответ. ± log. Приложение 1. Решение показательных уравнений введением новой переменной. Пример 1. Решить уравнение х +х + 1 = 1. Решение. Поскольку х = (8 х ), +х = 8 8 х, введем новую переменную р = 8 х. Получим уравнение р 8р + 1 = 0, из которого находим р 1 =, р =. Поэтому исходное уравнение равносильно совокупности простейших показательных уравнений 8 х =, 8 х =. Корнем первого уравнения является х = 1, а второго х = log 8. Ответ: 1 ; log 8.. 1

2 Пример. Решить уравнение ( 7 + 8) х + 7 8) х = 1. Решение. Используя равенство 7 8) х = ) х, введем новую переменную р = ( 7 + 8) х. В этом случае получим уравнение р + 1 = 1, решая которое, находим р его корни, р -1р + 1 = 0, р = 7 ± 9 1 = 7 ± 8. Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений ( 7 + 8) х = 7 + 8; ( 7 + 8) х = 7 8. Корень первого уравнения х =, второго х = -. Ответ: -;. Пример. Решить уравнение 7 х 1 18 х 1 х х = 0. Решение. Запишем уравнение в виде х 1 х х х х + 1 х = 0. Оно является однородным третьей степени относительно степеней х и х. Разделим все члены уравнения на х 0 и получим ( )х 1 ( )х ( )х + 1= 0. Введем новую переменную р = ( )х, уравнение примет вид кубического уравнения р 1р р +1 = 0. Разложим методом группировки левую часть уравнения на множители и найдем его корни: р р 1(р 1) = 0, р(р -1) 1(р 1) = 0, (р -1)(р 1) = 0, р 1 = -1, р = 1, р = 1. Исходное уравнение равносильно совокупности трех простейших показательных уравнений ( )х = 1, ( )х = 1, ( )х = 1. Первое уравнение корней не имеет, корень второго х = 0, третьего уравнения х = log 1. Ответ: 0, log 1. Аналогично уравнениям, которые были рассмотрены в примерах 1,,, введением новой переменной р = α х решение уравнения вида f(α х ) = 0 сводится к нахождению всех положительных корней р k уравнения f(р) = 0 и решению простейших показательных уравнений α х = р k. Пример. Решить уравнение х+ х 5 х х + 1 = 0. Решение. Так как х+ х = х +х+ = (х х), то уравнение можно записать так: (х х ) 5 х х + 1 = 0. Введем новую переменную р = х х. Получим квадратное уравнение р 5р +1 = 0, которое имеет корни р 1 = 1, р = 1. Исходное уравнение равносильно совокупности двух показательных уравнений х х = 1, х х = 1. Решая первое уравнение, получаем х х = 0, х = 0, х =. Решая второе уравнение, находим ещё два корня: х х =, х = 1 ±. Ответ: 1 ; 0; ; 1 +. Пример. Решить уравнение cos х + cos x =.

3 Решение. Так как cos x = 1 + cos x, то данное уравнение перепишем в следующем виде cos х + 1+cos х =. Сделаем замену у = cos х, тогда получим квадратное уравнение у + у - = 0, из которого найдем корни у 1 =, у = 1. Значение у 1 =, очевидно, постороннее. Поэтому исходное уравнение равносильно уравнению cos х = 1, откуда cos х = 0, х = π + πn, n Z. Ответ: π + πn, n Z. Приложение. Метод вынесения общего множителя за скобки. Пример 1. Решить уравнение х + х х 1 = 19 5 х х. Решение. Преобразуем данное уравнение, перенеся члены с одинаковыми основаниями в одну и ту же уравнения и вынося за скобки степень с наименьшим показателем, к виду: х + х 1 + х = 19 5 х 5 х 1 => х (9 + + ) = 5 х (19 5) => => х 5 = 5 х 9. Запишем последнее равенство в виде пропорции и получим: х 5 х = 9 5 <=> ( 5 )х = ( 5 ). Это уравнение равносильно уравнению х =, откуда х =. Ответ:. Пример. Решить уравнение х х 1 = х+1 х 1. Решение. Сгруппируем члены, содержащие степени с одинаковыми основаниями с разных сторон равенства: х + 1 х = х+1 + х 1. Выносим общие множители за скобки: х (1 + 1 ) = х 1 (1 + ). Разделим это уравнение на выражение, стоящее в правой части, получим ( )х = 1. Таким образом, находим х = 0; следовательно, х = единственный корень исходного уравнения. Ответ:. Метод использования монотонности показательной функции. Пример 1. Решить уравнение х + х + х = 9. Решение. Можно заметить, что х = 1 корень данного уравнения. Покажем, что других корней уравнение не имеет. Рассмотрим функцию f(x) = х + х + х. Она монотонно возрастает на всем множестве действительных чисел и f(1) = 9. Свойством монотонной функции является то, что она принимает каждое свое значение только один раз. Поэтому, х = 1 единственный корень данного уравнения. Ответ: 1. Пример. Решить уравнение х + 5 х =. Решение. Заметим, что корнем уравнения является число х = ( + 5 = ). Докажем, что других корней уравнение не имеет. Каждая из функций у = х и у = 5 х является возрастающей, следовательно, их сумма тоже возрастающая функция. При х = левая часть равна, при х < она, следовательно, меньше, при х > больше. Итак, уравнение имеет единственный корень. Ответ:. Пример. Решить уравнение ( )х + = х.

4 Решение. Убеждаемся, что х = 1 корень уравнения. Можно доказать, что других корней уравнение не имеет. Для этого оценим его левую и правую части уравнения. Если х > 1, то вследствие убывания функции у = ( )х имеем ( )х + < + =, а вследствие возрастания функции у = х имеем х >. Поэтому, при х > 1 левая часть уравнения строго меньше, а правая строго больше. Следовательно, при х > 1 уравнение корней не имеет. Аналогично, при х < 1 левая часть уравнения строго больше, а правая строго меньше. Поэтому при х < 1 уравнение также не имеет корней. Таким образом, х = 1 единственный корень уравнения. Ответ: 1. Метод логарифмирования для решения показательных уравнений. В основе этого метода лежит следующее утверждение: если выражения f(x) и h(x) положительны на множестве D, то уравнение f(x) = h(x) равносильно уравнению log α f(x) = log α h(x) на множестве D, где α>0 и α 1. Пример1. Решите уравнение х = х. Решение. Область допустимых значений уравнения х R. Так как обе части уравнения положительные, то, прологарифмировав уравнение, например, по основанию, получим равносильное ему уравнение: х = ( х) log. Решая это уравнение с помощью равносильных переходов, имеем: х = log х log <=> х + х log = log + <=> х( + log ) = log + <=> х = log +. Ответ: log +. + log + log Пример. Решить уравнение 5 х 8 х 1 х = 500. Решение. Прологарифмируем это уравнение по основанию 5 или. (Можно логарифмировать по любому основанию, но не совсем удачный выбор основания может привести к громоздким преобразованиям). Тогда имеем следующее уравнение х + х 1 log х 5 = + log 5 ; х + х(log 5 ) log 5 = 0. Дискриминант D = (log 5 ) + 1log 5 = (log 5 + ), следовательно, корни уравнения будут х 1, = [( log 5 )±(log 5 +)], отсюда х 1 =, х = log 5. Ответ: log 5 ;. Пример. Решить уравнение 5 ( 5 )х-1 = 5х. 5 Решение. Обе части данного уравнения положительны. Прологарифмируем обе части этого уравнения по основанию 5: (х 1)log 5 ( ) + 1 log 5 5( ) = х 1, т.е. уравнение 5 х(log 5 1) log log 5 = х 1 1, равносильное исходному уравнению. Отсюда получаем х log 5 7 = + log 5, т.е. х = (log 5 ). Ответ: (log 5 ). log 5 7 log 5 7 Пример. Решить уравнение х log х = 9. Решение. Область допустимых значений уравнения: х > 0.

5 Поскольку обе части уравнений положительны, то прологарифмируем по основанию : (log х)log х =, (log + log х) log х = log 9, log = 1 и log 9 =, следовательно, (1 + log х) log х =, log x + log х = 0. Сделаем замену log х = у, тогда у + у = 0, корнями которого являются числа у 1 = и у = 1. Возвращаемся к нашей замене и получаем: log х = или log х = 1. Тогда х 1 = 1 9 и х =. Ответ: 1 9 ;. Пример 5. Решить уравнение х х 10х+ = 1. Решение. Понятно, что х,следовательно, х > 0. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10, тогда (х 10х + )lg х = 0, откуда х 10х + = 0 или lg х = 0. Корнями квадратного уравнения х 10х + = 0 будут х 1 = 1 и х =. Из уравнения lg х = 0 находим х =1 => х = 1 или х = 1. Поэтому х =, х = ; х = не подходит по ОДЗ логарифма. Ответ: 1 ; ;. Нестандартные методы решений показательных уравнений. Пример 1. Решите уравнение х + (х 10) х + х = 0. Решение. Данное уравнение кроме показательных функций содержит линейные функции у = х 10 и у = х. Можно заметить, что относительно р = х оно является квадратным: р + (х 10)р + х = 0 и поэтому р = х = 10 х ± (10 х) 1( х) 10 х ± (х 8) 10 х ±(х 8) = 10 х ± 9х 8х+ =, откуда р = 1, р = х. Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений: х = 1, х = х. Корень первого уравнения х = log ( 1 ). Второе уравнение имеет корень х = 1, а других корней не имеет, т. к. его левая часть всюду возрастающая функция, а правая всюду убывающая. Ответ: 1; log ( 1 ). Пример. Решить уравнение log (х х 1) + х =. Решение. Применив формулу основного логарифмического тождества, получим уравнение х х 1 + х = (*), корни которого х 1 = 1+ 1 и х = 1 1. Теперь достаточно проверить, какое из полученных чисел удовлетворяет неравенству: х х 1 > 0 (**). Это можно сделать проще (не подставляя в неравенство полученные числа). Перепишем уравнение (*) в виде х х 1 = х, тогда видим, что выражение х х 1 положительно тогда и только тогда, когда х <. Таким образом, вместо Дубова Мария Игоревна проверки неравенства (**) можно проверить условие х <. Теперь видно, что только х = 1 1 является корнем данного уравнения. Ответ: 1 1. = Пример. Решить уравнение 5 х + х 5 х х = 5 х 1 5 х х+1. 5

6 Решение. В данном уравнении удобно применить следующий прием: разделив числители и знаменатели в обеих частях уравнения на 5 х > 0, получим равносильное исходному уравнение: 1+( 5 )х 1 ( = 5 5 )х (. Далее сделаем замену ( 5 )х 5 )х = у, у>0 и получаем 1+у 1 у = 5 у. (*) Можно заметить, что у 1, у. Таким образом, получаем равносильное (*) уравнение (5 + 5у)( у) = у; 10 5у 15у + у = 0; 15у + у = 0; D = = 1; у 1 = 1+19 ; у = 1 19 ; у 1 =, у < 0. Вернемся к нашей замене, получим уравнение ( 5, откуда х = 1. Ответ: 1. Пример. Решить уравнение ( + ) (х+1) + ( ) (х 1) = ( + ) х Решение. Перепишем данное уравнение в виде: ( + ) х +1 ( + ) х + (+ ) х (+ ) х +1 = ( + )х Сделаем замену ( + ) х +1 = α; ( + ) х = b, тогда αb + bα -1 α 1 = 0; α b + b α α = 0; α (b α) + (b α) = 0; (b α)(α + 1) = 0, откуда b = α, поскольку уравнение α + 1 = 0 корней не имеет. Таким образом, ( + ) х = ( + ) х +1 и х + 1 = х. Очевидно, что х = 1. Ответ: 1. Пример 5. Решить уравнение х + х + 8 х 1 + х 1 = 8. Решение. Разделим обе части уравнения на, получим уравнение х + х + х 1 + х =. Применяя неравенство α b α + b (его легко доказать возведением обеих частей в квадрат), получим х + х х (х ) = и х 1 + х = х 1 (х ) =, поэтому х + х 1 и х 1 + х 1. Знак равенства возможен, если имеет решение система уравнений: х + х =, [; ] { <=> {х <=> [; ]. Ответ: [; ] х 1 + х = х [1; ] Пример 5. Решить уравнение х х + = х 1 х 1. Решение. Представим уравнение в виде ( х 1 1) + (х 1) = 0. Это уравнение равносильно системе: { х 1 = 1, х 1 = 0, откуда х = 1. Ответ: 1. Приложение. 5 ) х =

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Логарифмические уравнения и неравенства Логарифмические уравнения и неравенства это уравнения и неравенства, в которых переменная величина находится под знаком

Подробнее

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач.

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Московский физико-технический институт Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Методическое пособие по подготовке к олимпиадам.

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ ЕГЭ. Математика. Показательные и логарифмические уравнения

МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ ЕГЭ. Математика. Показательные и логарифмические уравнения МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ ЕГЭ Математика Показательные и логарифмические уравнения Москва 010 1 Показательные уравнения g f Заметим сначала, что 1 = 1 f если f ( ) > 0. при любых f ( ) и g ( ) в ОДЗ;

Подробнее

10.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:

10.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература: 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения 7 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Комментарий При решении логарифмических уравнений также как в случае иррациональных уравнений возможно появление посторонних корней Причина их появления

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Показательные уравнения и неравенства Показательные уравнения и неравенства это уравнения и неравенства, в которых переменная величина входит в аргумент

Подробнее

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Гущин Д. Д. http://www.mthnet.spb.ru ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Основные факты. Показательными уравнениями (неравенствами) называются уравнения (неравенства), содержащие переменную в показателе

Подробнее

Дистанционная подготовка Abitu.ru МАТЕМАТИКА. Статья 14. Логарифмические уравнения.

Дистанционная подготовка Abitu.ru МАТЕМАТИКА. Статья 14. Логарифмические уравнения. Дистанционная подготовка Abituru МАТЕМАТИКА Статья 4 Логарифмические уравнения Теоретический материал Логарифмической функцией y называется функция вида y( ) log, где 0 и Её областью определения является

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства Вопрос. Неравенства, система линейных неравенств Рассмотрим выражения, которые содержат знак неравенства и переменную:. >, - +х -это линейные неравенств с одной переменной х.. 0 - квадратное неравенство.

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 2

Иррациональные уравнения и неравенства 2 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» Ю.Ю. Гнездовский, В. Н. Горбузов, П.Ф. Проневич ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ

Подробнее

ПРАВИТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГА КОМИТЕТ ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ ГБОУНПО ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

ПРАВИТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГА КОМИТЕТ ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ ГБОУНПО ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА ПРАВИТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГА КОМИТЕТ ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ ГБОУНПО ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА МЕТОДИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ: «ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3.

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3. И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Минимаксные задачи Начнём с примера. Пусть требуется решить уравнение 3 x +1 = cos x + 1. 1) Одновременное присутствие показательной и тригонометрической

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

МАТЕМАТИКА ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль для класса Учебно-методическая часть/ Сост:

Подробнее

Математика. Собрание заданий (09 апреля 2013).

Математика. Собрание заданий (09 апреля 2013). Математика Собрание заданий (09 апреля 013) Задачи с параметром-1 Задача 1 (006 г, Тихов МС, Авдонин АА) Найти все значения параметра a, при каждом из которых система 3 x + ( a 4) x + (5 3 a) x + a 0 (1)

Подробнее

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения Тишин В И Логарифмические уравнения год Предисловие к книге «Логарифмические уравнения» Методика изложения решений логарифмических уравнений выдержана в таком же стиле как и решение показательных уравнений

Подробнее

Тема 5 Рациональные системы уравнений

Тема 5 Рациональные системы уравнений Тема 5 Рациональные системы уравнений F ( x, x,..., ) 0, F ( x, x,..., ) 0, Система уравнений вида где... Fk ( x, x,..., ) 0, F i( x, x,..., ), i,..., k, некоторые многочлены, называется системой рациональных

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Молодечненский государственный политехнический техникум

Министерство образования Республики Беларусь Молодечненский государственный политехнический техникум Министерство образования Республики Беларусь Молодечненский государственный политехнический техникум Практическая работа: Показательные, логарифмические уравнения и неравенства Разработчик: И. А. Кочеткова

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент С. С. САМАРОВА РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ Учебно-методическое

Подробнее

Пособие для подготовки к олимпиаде школьников по математике «Паруса надежды». В.Н. Деснянский, А.И. Камзолов

Пособие для подготовки к олимпиаде школьников по математике «Паруса надежды». В.Н. Деснянский, А.И. Камзолов ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

; ctg α = 1 sin 2 α = 1 + ctg2 α

; ctg α = 1 sin 2 α = 1 + ctg2 α Министерство науки и образования Российской Федерации Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Т. М. Королёва, Е. Г. Маркарян, Ю. М. Нейман ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В

Подробнее

10.4 Показательные уравнения и неравенства (10 класс). Пояснительная записка для родителей.

10.4 Показательные уравнения и неравенства (10 класс). Пояснительная записка для родителей. . Показательные уравнения и неравенства ( класс). Используемая литература:. Учебник «Алгебра и начала анализа - класс» под редакцией Ш.А.Алимова.. Учебник «Алгебра и начала анализа - класс» под редакцией

Подробнее

Экзаменационный билет 2

Экзаменационный билет 2 Экзаменационный билет 1 1. Преобразование обычных дробей в десятичные и наоборот. Действия с дробями. 2. Определение функции. Способы задания, область определения, область значений функции. 2 x 1 x x 1

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений».

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений». Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений» Многочленом степени n называется многочлен вида P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, где a 0, a 1,, a n-1, a n заданные числа, a 0,

Подробнее

Захаров В.С. Неравенства и системы неравенств. Задание С3.

Захаров В.С. Неравенства и системы неравенств. Задание С3. Захаров В.С. Неравенства и системы неравенств. Задание С3. 1 Введение Книга «Неравенства и системы неравенств. Задание С3» является логическим продолжением «Вводного курса по алгебре. Подготовка к ЕГЭ»

Подробнее

( ( ) ( )) ( ( ) + ( ) ( )) ( ) =

( ( ) ( )) ( ( ) + ( ) ( )) ( ) = В школьном курсе математики иррациональные уравнения решают методом возведения обеих частей в соответствующую степень сведением с помощью замены переменной к системе уравнений или используют монотонность

Подробнее

Тема 8. Показательная и логарифмическая функции. 1. Показательная функция, ее график и свойства

Тема 8. Показательная и логарифмическая функции. 1. Показательная функция, ее график и свойства Тема 8. Показательная и логарифмическая функции. 1. Показательная функция, ее график и свойства В практике часто используются функции y=2 x,y=10 x,y=( 1 2x ),y=(0,1) x и т. д., т. е. функция вида y=a x,

Подробнее

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Доклад по теме: задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Выполнила Яценко Ирина Алексеевна Учитель математики МОУ СОШ 16 г. Щелково Щелково 2011 г. Содержание Знакомство с параметрами...

Подробнее

x принимает значение f a

x принимает значение f a Практическое занятие Тема: Функция Область определения и множество значений функции Цель: Формирование навыков нахождения области определения функций, и вычисления частных значений функций На выполнение

Подробнее

Практическое занятие: «Решение иррациональных уравнений, неравенств. Метод интервалов. Степени».

Практическое занятие: «Решение иррациональных уравнений, неравенств. Метод интервалов. Степени». Практическое занятие: «Решение иррациональных уравнений, неравенств. Метод интервалов. Степени». Цель работы: Повторить для подготовки к экзамену следующие темы: 1. определение степени с рациональным показателем,

Подробнее

71 Тригонометрические уравнения и неравенства

71 Тригонометрические уравнения и неравенства 7 Тригонометрические уравнения и неравенства Комментарий Устойчивым является заблуждение абитуриентов о том что при решении тригонометрических уравнений не нужна проверка Это так далеко не всегда При решении

Подробнее

Захаров В.С. Неравенства и системы неравенств. Задание С3.

Захаров В.С. Неравенства и системы неравенств. Задание С3. Захаров В.С. Неравенства и системы неравенств. Задание С3. Введение Книга «Неравенства и системы неравенств. Задание С3» является логическим продолжением «Вводного курса по алгебре. Подготовка к ЕГЭ»

Подробнее

URSS. Содержание. От автора... 4 Раздел 1. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел 2. Метод тригонометрической подстановки...

URSS. Содержание. От автора... 4 Раздел 1. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел 2. Метод тригонометрической подстановки... Содержание От автора... Раздел. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел. Метод тригонометрической подстановки... Раздел. Методы, основанные на использовании численных неравенств... 6 Раздел. Методы,

Подробнее

Показательные и логарифмические неравенства. 2

Показательные и логарифмические неравенства. 2 А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Показательные и логарифмические неравенства. 2 Продолжим рассказ о решении показательных и логарифмических неравенств. В этой

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Подробнее

1. Метод решения уравнений «высоких» степеней

1. Метод решения уравнений «высоких» степеней 1. Метод решения уравнений «высоких» степеней В школьном курсе в основном решают линейные или квадратные уравнения, а как быть, если степень больше 2? Наиболее часто употребляются два метода, замена или

Подробнее

Логарифмические уравнения и методы их решения

Логарифмические уравнения и методы их решения Логарифмические уравнения и методы их решения Текст методических указаний 1.Логарифм и его свойства 2. Стандартные типы логарифмических уравнений и методы их решения 2.1. Уравнения вида, (где ). 2.2. Уравнения

Подробнее

Логарифмическим уравнением, называется уравнение вот такого вида:

Логарифмическим уравнением, называется уравнение вот такого вида: Ребята, мы продолжаем изучать большую тему логарифмов, сегодня мы с вами посмотрим, как решать различные уравнения, в которых есть логарифмы. Логарифмическим уравнением, называется уравнение вот такого

Подробнее

квадрат обеих частей уравнения и последующей проверкой. Задача 1 (ИМБО, 2004) Решить уравнение

квадрат обеих частей уравнения и последующей проверкой. Задача 1 (ИМБО, 2004) Решить уравнение Основные методы решения смешанных уравнений Преподаватели математики: Белов А.И. Фадеичева Т.П.. Стандартные методы В вариантах ЕГЭ довольно часто встречаются стандартные иррациональные уравнения f g,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике Орлова О.А. МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике «Решение показательных и логарифмических уравнений» 0 г. Оглавление Введение... Логарифмические уравнения... Способы решения:...9 Показательные уравнения...

Подробнее

Тема 1. Действительные числа и действия над ними

Тема 1. Действительные числа и действия над ними Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» А А Г О Л У Б Е В, Т А С П А С С К А Я ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

Тема 41 «Задания с параметром»

Тема 41 «Задания с параметром» Тема 41 «Задания с параметром» Основные формулировки заданий с параметром: 1) Найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется определенное условие. ) Решить уравнение или неравенство с

Подробнее

Тригонометрические уравнения. 1

Тригонометрические уравнения. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения. 1 В данной статье рассматриваются самые простые виды тригонометрических уравнений. Методы решения таких уравнений стандартны

Подробнее

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

Подробнее

60 3x= x=36 20 x=12 x=12 20 x=8 x 20 x=8 Следующее уравнение эквивалентно предыдущей системе. x=8. x 8. sin 2 A + cos 2 A =1

60 3x= x=36 20 x=12 x=12 20 x=8 x 20 x=8 Следующее уравнение эквивалентно предыдущей системе. x=8. x 8. sin 2 A + cos 2 A =1 B3 (2011) 60 3x =6 Ниже приведено решение уравнения программой UMS online 10.0 (www.umsolver.com) Отметим ОДЗ. 60 3x 0 60 3x =6 Преобразуем неравенство. x 20 60 3x =6 Воспользуемся свойством радикалов.

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

Урок алгебры по теме: "Логарифмические уравнения".

Урок алгебры по теме: Логарифмические уравнения. Урок алгебры по теме: "Логарифмические уравнения". Тип урока: урок формирования новых знаний и умений Класс: 11 Предмет : Алгебра Цель урока: 1)формировать умение решать логарифмические уравнения; 2)ввести

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Иррациональные уравнения и неравенства Мы называем уравнение или неравенство иррациональным, если оно содержит переменную под радикалами, то есть под знаками

Подробнее

Решения для 9 класса подготовительного варианта

Решения для 9 класса подготовительного варианта Решения для 9 класса подготовительного варианта. Тема Действия с дробями 7 4 0,5 :, 5 : 5 7 Выполните действия:.,5 :8 4 Решение. Выполним действия в следующем порядке: 5 4 ) 0,5 :,5 : :. 4 4 5 5 7 4 7

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

уч. год. 3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства

уч. год. 3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства 008-009 уч. год. 3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства 3. Методы решений некоторых уравнений 3.1. Уравнение вида sin k ± cos m = 0 Также уравнения решаются сведением

Подробнее

Инструкция к практическому занятию: «Решение иррациональных неравенств»

Инструкция к практическому занятию: «Решение иррациональных неравенств» Инструкция к практическому занятию: «Решение иррациональных неравенств» Преподаватель И. А. Кочеткова Цель работы: 1. Повторить определение арифметического квадратного корня; 2. Закрепить решение линейных

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ"

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ" В. В. Гарбарук, В. И. Родин, И. М. Соловьева, М. А. Шварц МАТЕМАТИКА

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

3x x 2 + x = 0.

3x x 2 + x = 0. 4.. Метод замены переменной при решении алгебраических уравнений. В предыдущем пункте метод замены переменной был использован для разложения многочлена на множители. Данный метод широко применяется для

Подробнее

Показательная и логарифмическая функции в задачах и примерах

Показательная и логарифмическая функции в задачах и примерах Московский Государственный технический Университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр Лицей 80 при МГТУ имени Н.Э. Баумана А.П. Власова Н.И. Латанова Н.В. Евсеева Показательная и

Подробнее

Тесты для подготовки к Единому государственному экзамену по математике по теме «Логарифмы» для учащихся классов

Тесты для подготовки к Единому государственному экзамену по математике по теме «Логарифмы» для учащихся классов Тесты для подготовки к Единому государственному экзамену по математике по теме «Логарифмы» для учащихся 0- классов Выполнил: преподаватель математики Тараброва О.М. Москва 0 Данные методической разработки

Подробнее

( 3) log 3 ( 125) = ( 5 3 ) = x=53. = log 5 = 3

( 3) log 3 ( 125) = ( 5 3 ) = x=53. = log 5 = 3 Решение некоторых заданий одного из вариантов досрочного экзамена ЭГЭ по математике в 2012 году, полученное с помощью программы UMS B5 x+28 =9 Отметим ОДЗ. x+28 0 x+28 =9 Воспользуемся свойством радикалов.

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 3

Иррациональные уравнения и неравенства 3 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление 4 Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении умножением на сопряженный множитель Задание 7 4 5 Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Подробнее

Методическое пособие по математике для студентов 1-2 курсов по теме «Степенная, показательная и логарифмическая функции»

Методическое пособие по математике для студентов 1-2 курсов по теме «Степенная, показательная и логарифмическая функции» КОМИТЕТ ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ «ВОЛХОВСКИЙ АЛЮМИНИЕВЫЙ КОЛЛЕДЖ» Методическое

Подробнее

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы»

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы» 0 класс, Математика (профиль) 0-08 учгод Тема модуля «Корни, степени, логарифмы» Знать Понятия действительного числа, множества чисел, свойства действительных чисел, делимость целых чисел****, свойства

Подробнее

тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1))

тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1)) тригонометрические уравнения (типовые задания 13(С1)) Отбор корней в тригонометрических уравнениях. (типовые задания С1) СОДЕРЖАНИЕ 1. Способы отбора корней в тригонометрических ур-ях. 1 2. Отбор общих

Подробнее

Рабочая программа элективного курса по математике

Рабочая программа элективного курса по математике Муниципальное общеобразовательное учреждение гимназия 9 Рабочая программа элективного курса по математике СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ НЕСТАНДАРТНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ (Элективный курс по математике для учащихся

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Рациональные Рациональное уравнение с неизвестным x - это уравнение, левая и правая части которого есть рациональные выражения относительно переменной x. Пример. Целое

Подробнее

Минимаксные задачи в тригонометрии

Минимаксные задачи в тригонометрии И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Минимаксные задачи в тригонометрии В настоящем листке рассматриваются уравнения, для решения которых используются оценки правой и левой частей. Чтобы стало

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Логарифм. Определение логарифма

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Логарифм. Определение логарифма И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Логарифм В настоящей статье мы даём определение логарифма, выводим основные логарифмические формулы, приводим примеры вычислений с логарифмами, а также рассматриваем

Подробнее

Математика ЕГЭ 2014 (система задач из открытого банка заданий)

Математика ЕГЭ 2014 (система задач из открытого банка заданий) Корянов АГ, Надежкина НВ Задания В Простейшие уравнения Математика ЕГЭ 0 (система задач из открытого банка заданий) Задания В Простейшие уравнения Материалы подготовили: Корянов А Г (г Брянск); e-mail:

Подробнее

Решение уравнений Содержание

Решение уравнений Содержание Решение уравнений В этом разделе будут помещены сведения о значительном количестве достаточно разных методов решения различных уравнений. Как правило, метод «заточен» для небольшого количества видов уравнений.

Подробнее

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Разложите на множители: 3 11 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) b 3 + 1 Найдите числа A, B, C, при которых справедливо

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Логарифм. Определение логарифма

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Логарифм. Определение логарифма И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Логарифм В настоящей статье мы даём определение логарифма, выводим основные логарифмические формулы, приводим примеры вычислений с логарифмами, а также рассматриваем

Подробнее

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания

Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Действия с дробями: Электронное методическое пособие для выполнения домашнего задания Домашнее задание. «Преобразования степенны и иррациональны выражений. Вычисление значений числовы выражений» Формулы

Подробнее

Алгебраические уравнения

Алгебраические уравнения Алгебраические уравнения где Определение. Алгебраическим называется уравнение вида 0, P () 0,,, некоторые действительные числа. 0 0 При этом переменная величина называется неизвестным, а числа 0,,, коэффициентами

Подробнее

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем».

Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем». Модуль действительного числа это абсолютная величина этого числа. Проще говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. Обозначается a. Например,

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ АГЕНТСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ КРАСНОЯРСКОГО КРАЯ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЗАОЧНАЯ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНАЯ ШКОЛА при КрасГУ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ 10 класс Модуль 4 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Подробнее

Тригонометрические уравнения. 2

Тригонометрические уравнения. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения. В статье «Тригонометрические уравнения. 1» мы рассмотрели стандартные методы решения весьма простых тригонометрических уравнений.

Подробнее

Галеев Э. М. Подготовка к вступительным экзаменам

Галеев Э. М. Подготовка к вступительным экзаменам МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени МВ Ломоносова Галеев Э М Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений) Часть Иррациональные уравнения и неравенства

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Два выражения, числовые или буквенные, соединенные знаком равенства (=), образуют равенство (числовое или буквенное).

Два выражения, числовые или буквенные, соединенные знаком равенства (=), образуют равенство (числовое или буквенное). Уравнения Общие сведения об уравнениях Два выражения, числовые или буквенные, соединенные знаком равенства (=), образуют равенство (числовое или буквенное). Всякое верное числовое равенство, а также всякое

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

Перечень вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине Математика

Перечень вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине Математика Перечень вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине Математика Курс I Семестр Профессия.0.0. Автомеханик. Иррациональные уравнения. х х. х х. х х. х 7 7 х. х х 0. х х. х х. х 8 х. х х. 7 х х. х х

Подробнее

Из опыта работы по изучению темы «Логарифмические уравнения и неравенства»

Из опыта работы по изучению темы «Логарифмические уравнения и неравенства» Отдел образования администрации МО Тепло-Огаревский район Районный методический кабинет непрерывного образования взрослых Районное методическое объединение учителей математики Из опыта работы по изучению

Подробнее

иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические и т.д. Главное одинаковые степени! 0, то

иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические и т.д. Главное одинаковые степени! 0, то IV. Метод решения однородных уравнений Уравнение вида P(xy)=0 называется однородным, если P(xy) однородный многочлен. Многочлен от двух переменных х и у называют однородным, если степень каждого его члена

Подробнее

4 Разложите рациональную дробь на простейшие дроби

4 Разложите рациональную дробь на простейшие дроби Разложите рациональную дробь на простейшие дроби Выполните упражнение согласно выбранным вариантам. Сравните результат с ОТВЕТОМ. Протокол работы поместите в отчет. Рациональная дробь 7 6 67 87 7 ) ( )

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Единый государственный экзамен по математике, год Часть A A Найдите значение выражения 8 6 6,5 Решение Используя свойства степени получаем: 8

Подробнее

Тема 1. Уравнения и методы их решения

Тема 1. Уравнения и методы их решения Тема. Уравнения и методы их решения Содержание.0. Общие сведения о уравнениях. Линейные уравнения. Квадратные уравнения.0. Уравнения, сводящиеся к квадратным.0. Использование группировки при решении уравнений.04.

Подробнее

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0.

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0. Вариант Найти область определения функции : lg 5 + Область определения данной функции определяется неравенством > 5+ Найдём корни знаменателя:, Так как ветви параболы 5+ направлены вверх, то 5+ 6< при

Подробнее

Камчатский государственный технический университет. Л.И. Страх МАТЕМАТИКА

Камчатский государственный технический университет. Л.И. Страх МАТЕМАТИКА Камчатский государственный технический университет Л.И. Страх МАТЕМАТИКА Методические рекомендации к контрольным работам для слушателей заочных подготовительных курсов Петропавловск-Камчатский 7 УДК ББК.

Подробнее