Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12"

Транскрипт

1 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) A = 3 9 7, B =, D = Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов c c c 3 C = c c c 3. c 3 c 3 c 33 По правилу умножения имеем: c =< -я строка A >< -й столбец B >= ( 4 7 ) ( ) 3 = = 4 ( 3) + 7 ( ) = 5; c =< -я строка A >< -й столбец B >= ( 4 7 ) ( ) 9 = 3 = ( 3) = 57; c 3 =< -я строка A >< 3-й столбец B >= ( 4 7 ) ( ) 7 = 7 = = ; c = ( 3) + ( ) ( ) = ; c 3 = 7 ( 3) + ( 3) ( ) = 8; c = 9 + ( ) ( 3) = ; c 3 = ( 3) ( 3) = 7; c 3 = 7 + ( ) 7 = 0; c 33 = ( 3) 7 = Таким образом, получаем: C = Далее, умножим матрицу D на число 9: D = =

2 В результате, имеем: AB 9D = = ( 54) 57 ( 8) ( 54) = 7 ( 7) 0 ( 7) = Решить систему уравнений: а) по формулам Крамера; б) матричным способом; в) методом Гаусса. x x + x 3 = 0, 3x +5x x 3 =, 5x +5x x 3 =. а) По формулам Крамера где = = x =, x =, x 3 = 3, = 5 ( ) + ( ) ( ) ( 5) + ( 3) 5 ( ) 5 ( 5) + ( ) 5 + ( ) ( 3) ( ) =. Последовательно заменив в первый, второй и третий столбцы столбцом из правых частей, получим: 0 = 5 5 =, 0 = 3 5 = 0, 0 3 = =. Находим: x = =, x = 0 = 0, x 3 = =. б) Для нахождения решения системы матричным способом запишем систему уравнений в матричной форме AX = B, где 0 A = , X = x x x 3 =, B =.

3 Решение матричного уравнения имеет вид X = A B. Найдем A. Имеем = det A = 0. Вычислим алгебраические дополнения: A = 5 5 = 5 ( ) ( ) 5 = 5, A = 3 ) 5 (( 3) = ( ) ( ) ( 5) =, A 3 = = ( 3) 5 5 ( 5) = 0, A = 5 = 3, A 3 = 5 = 4, A = 5 =, A 3 = 3 =, A 3 = 5 5 = 5, A 33 = 3 5 = 7. Таким образом, Откуда, решение системы: A = x X = x = = 0. x Следовательно, x =, x = 0, x 3 =. в) методом Гаусса. Составим расширенную матрицу и проведем необходимые элементарные преобразования строк: складываем первую строку со второй предварительно умножив её на 3, и с 3

4 третьей, умножив её на (умножим -ю и 3-ю строки на ) ( 0 7 ( умножив -ю строку на 5 ) прибавляем к 3-й) (мы умножили на 7 последнюю строку и разделили на ). Последней матрице соответствует система, эквивалентная исходной: x x +x 3 = 0, 7x +x 3 =, x 3 =. Из нее, «двигаясь снизу вверх», последовательно находим: x 3 =, x = 0, x =. 3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. x + y 9 z=, 3 x + y 7 z=8, x y + 3 z=4. Составим расширенную матрицу и проведем необходимые элементарные преобразования строк: складываем первую строку со второй предварительно умножив её на 3, и с третьей, умножив её на. 4

5 ( умножив -ю строку на прибавляем к 3-й) Последней матрице соответствует система, эквивалентная исходной: { x+y 9z=, y 4z=, Неизвестные x, y являются главными, а неизвестная z свободной. Выразим из второго уравнения системы главную неизвестную y через свободную неизвестную z. y = + 4z Используя полученное равенство, из первого уравнения системы получим следующее выражение главной неизвестной x: x = y + 9z = ( + 4z) + 9z = 3 + z. Общее решение данной системы линейных уравнений запишем в виде: (3 + x, + 4y, z), где z любое действительное число. 4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Составим расширенную матрицу x + y 6 z=, x y + 3 z= 8, x y + 3 z= и проведем необходимые элементарные преобразования строк:

6 Последнее уравнение приняло вид 0 =, из этого следует, что система несовместна, то есть не имеет решений. 5. Вычислить определитель: а) получив предварительно нули в строке; б) получив предварительно нули в столбце Вычислим определитель, получив предварительно нули в четвертом столбце. Умножим первую строку определителя на 3 и прибавим ко второй затем умножим на и прибавим к третьей далее, умножим на и прибавим к четвертой , , Тогда в четвертом столбце все элементы, кроме одного, будут нулями. Разложим полученный таким образом определитель по элементам чет- 6

7 вертого столбца и вычислим его: = = ( )( ) = 90. 7

8 8

9 9

10 Контрольная работа Векторы a, b и c, определяются координатами a = (a x, a y, a z ), b = (bx, b y, b z ), c = (c x, c y, c z ) Сумма векторов a и b a + b = (a x + b x, a y + b y, a z + b z ) Произведением вектора a и числа λ λ a = (λa x, λa y, λa z ) Скалярное произведение двух векторов a и b ( a, b) = a b cos ϕ, ( a, b) = a x b x + a y b y + a z b z Длиной или модулем вектора a = ( a, a), a = Векторное произведение векторов a и b [ a, i j k b] = a x a y a z b x b y b z a x + a y + a z Площадь треугольника, построенного на векторах a и b S = [ a, b] Смешанное произведением векторов a, b, c ( a, a x a y a z b, c) = b x b y b z c x c y c z Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах a, b и c V пир = ( a, 6 b, c) 0

11 a b ( a, b) = 0 a b λ a = λ b [ a, b] = 0 a, b, c компланарны ( a, b, c) = 0 a, b, c правая ( a, b, c) > 0 a, b, c левая ( a, b, c) < 0 Уравнения прямой на плоскости: Параметрические уравнения { x=ax t + x 0 y=a y t + y 0, где a = (a x ; a y ) направляющий вектор прямой, а точка M(x 0 ; y 0 ) лежит на прямой. Каноническое уравнение прямой Общее уравнением прямой x x 0 a x = y y 0 a y Ax + By + C = 0 Вектор n = (A; B) перпендикулярен к прямой и называется нормальным вектором прямой, а вектор l = ( B; A) направляющий вектор прямой. Расстояние ρ от точки M(x 0, y 0 ) до прямой Ax+By+C = 0 вычисляется по формуле ρ = Ax 0 + By 0 + C A + B Пусть прямая проходит через точку M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) параллельно вектору a = (a x ; a y ; a z ). Параметрические уравнения прямой x=a x t + x 0 y=a y t + y 0 z= a z t + z 0 Канонические уравнения прямой x x 0 a x = y y 0 a y = z z 0 a z

12 Уравнение плоскости проходящую через точку M(x 0, y 0, z 0 ) параллельно двум векторам a = (a x, a y, a z ) и b = (b x, b y, b z ) x x 0 y y 0 z z 0 a x a y a z b x b y b = 0 z b M a Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Если плоскость проходит через точку M(x 0, y 0, z 0 ) и перпендикулярна к вектору n = (A, B, C), то ее уравнение записывается в виде A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 n M Расстояние от точки M(x 0, y 0, z 0 ) до плоскости, заданной в прямоугольной системе координат уравнением Ax + By + Cz + D = 0, равно ρ = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A + B + C Направляющий вектор a прямой, заданной уравнениями { A x + B y + C z + D =0, n = (A, B, C ) A x + B y + C z + D =0, n = (A, B, C ),

13 n a n определяется по формуле Величина угла ψ между прямой a = [ n, n ]. и плоскостью x x 0 a x = y y 0 a y = z z 0 a z, a = (a x, a y, a z ) Ax + By + Cz + D = 0, n = (A, B, C) вычисляется по формуле sin ψ = ( n, a) n a. n a ψ 3

14 Тема: Векторы.. (**) Найти проекцию вектора AB на вектор AC, если A(3; 6; 4), B(; 7; 3), C(4; 6; 5). AB = ( 3; 7 6; 3 4) = ( ; ; ) AC = (4 3; 6 6; 5 4) = (; 0; ) ( AB, AC) = ( ) = AC = () + (0) + () =. Окончательно получаем Пр AC AB = ( AB, AC) = AC. (**) Найти косинус угла между векторами AB и AC, где A(3; 6; 4), B(; 7; 3), C(4; 6; 5). Так как cos ϕ = ( AB, AC) AB AC AB = (,, ), AC = (, 0, ) Находим: ( AB, AC) = ( ) =, AB = ( ) + () + ( ) = 3, AC = () + (0) + () =. Следовательно, cos ϕ = ( ) и ϕ = arccos, (**) Выяснить, какой является тройка векторов a, b, c (правой или левой), если a = (0; ; ), b = ( ; ; 0), c = ( ; ; ). Вычисляем ( a, 0 b, c) = 0 = 4 > 0, т. е. тройка векторов a, b, c правая. 4

15 4. (**) Найти площадь ABC, если известны координаты его вершин: A(3; 6; 4), B(; 7; 3), C(4; 6; 5). Известно, что S = [ AB, AC] Находим: AB = ( 3; 7 6; 3 4) = ( ; ; ), AC = (4 3; 6 6; 5 4) = (; 0; ), [ AB, AC] = Окончательно имеем: i j k = 0 = 0 i j + 0 k = S = () + (0) + ( ) = = i k = (; 0; ) 5. (**) Найти объем пирамиды ABCD, если известны координаты ее вершин: A(3; 7; ), B(; 8; ), C(; 8; ), D(4; 7; 0). Найдем векторы AB, AB и AB, совпадающие с ребрами пирамиды, сходящимися в вершине A: AB = ( ; ; 0), AC = ( ; ; ), AD = (; 0; ). Находим смешанное произведение этих векторов: ( 0 AB, AC, AD) = 0 =, Так как объем пирамиды равен (, AB, AC, AD) то V = (**) Показать, что векторы a = ( ; ; ), b = (0; ; ), c = ( ; ; ) образуют базис. Разложить вектор d = (0; 5; ) по этому базису. 5

16 Если определитель составленный из координат векторов a, b, c, не равен 0, то векторы a, b, c линейно независимы и, следовательно, образуют базис. Убеждаемся, что 0 = 0. Таким образом, тройка a, b, c базис. Обозначим координаты вектора d в базисе a, b, c через x, y, z. Тогда d = x a + y b + z c. Следовательно, x a = ( x; x; x), y b = (0; y; y), z c = ( z; z; z) и (0; 5; ) = ( x z; x y + z; x y + z), а это возможно только в случае равенства их соответствующих координат. Отсюда получаем систему для нахождения неизвестных x, y, z: x z= 0, x y + z= 5, x y + z=. Ее решение: x = 3, y =, z = 3. Итак, d = ( 3; ; 3). 7. (**) Найти вектор c, зная, что он перпендикулярен векторам a = (; ; ) и b = ( 3; 6; 6) и удовлетворяет условию ( c, d) = 9, если вектор d = (0; ; 0). Пусть c = (x; y; z), тогда ( c, a) = 0, x + y + z = 0, ( c, b) = 0, 3x + 6y + 6z = 0, ( c, d) = 9, y = 9. Получаем систему для нахождения неизвестных x, y, z. Ее решение: x = 0, y = 9, z = 9. Тема: Прямая на плоскости. 8. (**) Найти направляющий вектор прямой 5 x + 7 y + = 0. Сделать чертеж. 6

17 Поскольку, A = 5, B = 7, то l = ( 7, 5) 9. (**) В треугольнике ABC найти уравнение медианы, проведенной из вершины A, если A( ; ), B( 7; ), C( 6; 5). Сделать чертеж. B A x M = x B + x C y M = y B + y C M( 3, 3 ) AM = = + ( 5) = ( 3 ) +, 3 = x ( ) = y 5 x + = y 5 C = ( 6) ( ) ; 5 = 3, 0. (**) В треугольнике ABC найти уравнение высоты, проведенной из вершины A, если A( 7; ), B( 5; 4), C( 5; 3). Сделать чертеж. 7

18 B A C BC = (0; 7), 0 (x ( 7)) 7 (y ( )) = 0 7 (y ( )) = 0 y + = 0. (**) В треугольнике ABC найти уравнение биссектрисы, проведенной из вершины A, если A( 4; 7), B(0; 7), C( 7; 4). Сделать чертеж. C A B AB = (4; 0), AC = ( 3; ), AB = = 4 AC = ( 3) + () = 30 8

19 a = AB AB + AC AC = (4; 0) + ( 3; ) = 4 30 = (; 0) + ( 3 30 ; x ( 4) 3 = y ( 7) x + 4 = y ) ( = 3 ; ) 30. (**) Точка A(3; 3) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой 4 x y + 5 = 0. Вычислить площадь этого квадрата. Сделать чертеж. ρ = ( 4) + ( ) = 0 7 S = ρ = ( 0 7 ) = (**) Найти общее уравнение прямой, проходящей через точку B параллельно прямой, проходящей через точки A и C, если A( 5; 7), B(; ), C( 3; ). x AC = (; 6) = y 6, x = y 3, 3 (x ) = (y ), 3x 3 = y, 3x y = 0 Тема: Плоскость в пространстве. 4. (**) Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку A(5; 3; 6) и имеет нормальный вектор n = ( 3; ; 0). 9

20 3 (x 5) (y ( 3)) + 0 (z 6) = 0 3x + 5 y 6 = 0 3x y + 9 = 0 5. (**) Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку A(3; ; 4) параллельно плоскости 4 x 7 y + 6 z + 6 = 0. Нормальный вектор искомой плоскости совпадает с нормальным вектором данной плоскости; следовательно, уравнение искомой плоскости примет вид 4 (x 3) 7 (y + ) + 6 (z 4) = 0, или 4 x 7 y + 6 z 50 = 0 6. (**) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A( 7; 0; 4) перпендикулярно плоскостям 3 x + 5 y 6 z + 7 = 0 и 4 x 3 y 5 z + 3 = 0. x ( 7) y 0 z = 0 x + 7 y z = (x+7) y (z 4) = 43(x + 7) + 39y + (z 4) = 43x + 39y + z x + 39y + z 345 = 0 7. (**) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A( 5; 4; ) и B( 4; ; 4) перпендикулярно плоскости x + 5 y 5 z 4 = 0. 0

21 AB = (; ; ) x ( 5) y ( 4) z ( ) 5 5 = 0, y + z + 6 = (**) Определить двугранный угол, образованный пересечением плоскостей 5 x y + 3 z = 0 и 5 x + 5 y + 6 z 5 = 0. n = ( 5; ; 3) n = ( 5; 5; 6) ( n, n ) = 5 ( 5) + ( ) = 33 n = ( 5) + ( ) + (3) = 38, n = ( 5) + (5) + (6) = 86. cos ϕ = , ( ) 33 ϕ = arccos (**) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(7; 3; 7), B(7; 4; 7), C(7; ; 9). AB = (0; ; 0) AC = (0; ; ) x 7 y 3 z ( 7) = 0 x 4 = 0, x 7 = (**) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A( ; 3; 3) и B( ; ; ) параллельно вектору d = (; 0; 0).

22 AB = (0; ; ) x ( ) y ( 3) z ( 3) = 0 x + y + 3 z = 0 0 (x + ) 0 0 (y + 3) (z + 3) y z = 0.. (**) Вычислить расстояние от точки O до плоскости, проходящей через точки A(7; 3; 7), B(7; 4; 7), C(8; ; 9). AB = (0; ; 0) AC = (; ; ) x (7) y (3) z ( 7) 0 0 = 0 ρ = x z = () + ( ) = 5 Тема: Прямая в пространстве.. (**) Найти направляющий вектор прямой 7 x 4 y + z = 0, 4 x 7 z 4 = 0. n = ( 7; 4; ), n = (4; 0; 7) i j k l = [ n, n ] = 7 4 = 8 i 4 j + 6 k = (8; 4; 6) (**) Найти угол между прямыми, заданными параметрическими уравнениями: x = 7 t + 4, y = 3 t + 6, z = 5, x = 4 t 6, y = t 7, z = t + 3.

23 l = (7; 3; 0), l = ( 4; ; ) ( l, l ) = 7 ( 4) + (3) + 0 ( ) = 5 l = (7) + (3) + (0) = 58, l = ( 4) + () + ( ) =. cos ϕ = 5 58 ( ) 5 ϕ = arccos (**) Составить общие уравнения прямой, проходящей через точки A(3; ; 6) и B(5; 3; 4). AB = (; 4; ), x 3 = y, y = z + 6, x 3 x 3 = y 4 = z ( 6), = y = z + 6, { (x 3) = y, y = (z + 6), { x y + 7 = 0, y + z + = 0 5. (**) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку C( 3; 4; 6) параллельно прямой x + 5 y + 3 z + 6 = 0, 7 x 5 y 6 z + 6 = 0. n = (; 5; 3), n = ( 7; 5; 6) i j k l = [ n, n ] = 5 3 = ( 5, 9, 5) x ( 3) 5 = y ( 4) 9 = z (6) 5 x = y = z 6 5 3

24 6. (**) Доказать, что две прямые x y 3 z+ = 0, x+y+7 z = 0 и x = t +, y = t +, z = 4 t + перпендикулярны. n = (; ; 3), n = ( ; ; 7) i j k l = [ n, n ] = 3 = ( ; ; 3) 7 l = ( ; ; 4) Находим скалярное произведение этих векторов; так как ( l, l ) = 0, то l l. 7. (**) Доказать, что две прямые x y z 7 = 0, 3 x + y + z + = 0 и x =, y = t 3, z = t + параллельны. n = ( ; ; ), n = (3; ; ) i j k l = [ n, n ] = = (0; ; ) 3 l = (0; ; ) l = l Тема: Прямая и плоскость в пространстве. 8. (**) Определить угол между плоскостью x+y +z +5 = 0 и прямой x = t, y = t +, z = t + 7. n = (; ; ), l = ( ; ; ) ( n, l) = ( ) + + = n = () + () + () = 6, l = ( ) + () + () = 9 = 3. sin ψ = ( n, l) n l, ( ) ϕ = arcsin

25 9. (**) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(; 0; ) перпендикулярно прямой x = t + 3, y = 4 t + 4, z = 7 t 5. n = (; 4; 7) (x ) 4y + 7(z ) = 0 x 4y + 7z 7 = 0 x 4y + 7z 9 = (**) Составить уравнения прямой, проходящей через точку A(4; 7; 6) перпендикулярно к плоскости 3 x y + z 5 = 0. x= 3t + 4, y= t 7, z=t 6 3. (**) Найти точку B, симметричную точке B( 4; 3; ) относительно плоскости 3 x 3 y + 7 z + 3 = 0. x= 3t 4 y= 3t 3 z= 7t Подставляя эти выражения для x, y и z в уравнение плоскости 3(3t 4) 3( 3t 3) + 7(7t ) + 3 = 0 9t + 9t t = 0, 67t = 7, найдем t = 7 67, откуда x P = 3( 7 67 ) 4 = 89/67, y P = 3( 7 67 ) 3 = 80/67, z P = 7( 7 67 ) = 6/67. Координаты симметричной точки найдутся из формул т. е x P = x B + x B, y P = y B + y B, z P = z B + z B, x B = x P x B, y B = y P y B, z B = z P z B. 5

26 Таким образом, x B = 30/67, y B = 59/67, z B = 65/ (**) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(5; ; 4) перпендикулярно прямой 4 x 7 y 3 z + 4 = 0, 4 x 7 y + 6 z + 4 = 0. x 5 y z ( 4) = 0, 63x y 56z + 03 = 0. 6

27 Эллипс имеет каноническое уравнение x a + y b =, где a b > 0. При a = b эллипс есть окружность. Число a, называется большой полуосью, число b, называется малой полуосью. Точка O(0, 0), называется центром, точки (±a, 0) и (0, ±b), называются вершинами. Точки F ( c, 0) и F (c, 0), где c = a b, называются фокусами. Число ε = c называется эксцентриситетом (очевидно, что 0 ε < ), a при ε 0 прямые x = ± a, называются директрисами. Фокус (c, 0) и ε директриса x = a называются правыми, а фокус ( c, 0) и директриса x = a левыми. Фокус и директриса называются одноименными, ε ε если они оба правые или оба левые. y b a F O F a x b a ε 33. Выделением полных квадратов и переноса начала координат упростить уравнение линии, определить тип, размеры и расположение на плоскости (сделать рисунок): 4x + 9y + 3x 54y + 09 = 0. Перепишем уравнение так: 4(x + 8x) + 9(y 6y) = 09. Дополняя выражения в скобках до полных квадратов, получим 4(x + 8x + 6) + 9(y 6y + 9) =

28 или, после преобразований, (x + 4) + 9 (y 3) 4 =. Перенесем начало координат в точку O ( 4, 3) полагая x = x + 4, y = y 3 будем иметь x 9 + y 4 =. Это есть уравнение эллипса. Центр его лежит в точке (-4,3), а полуоси равны a = 3 и b =. y y F O F x O x Гипербола имеет каноническое уравнение x a y b =, где a > 0, b > 0. Число a, называется действительной полуосью, число b, называется мнимой полуосью. Точка O(0, 0), называется центром, точки (±a, 0) и (0, ±b), называются вершинами. Точки F ( c, 0) и F (c, 0), где c = a + b, называются фокусами. Число ε = c a называется эксцентриситетом (очевидно, что ε > ). Прямые x = ± a ε, 8

29 называются директрисами. Фокус (c, 0) и директриса x = a ε называются правыми, а фокус ( c, 0) и директриса x = a левыми. Фокус и ε директриса называются одноименными, если они оба правые или оба левые. Прямые y = ± b x являются асимптотами гиперболы. a y b F a O a F x b 34. Выделением полных квадратов и переноса начала координат упростить уравнение линии, определить тип, размеры и расположение на плоскости (сделать рисунок): a ε 4x 9y + 3x + 54y 53 = 0. Перепишем уравнение так: 4(x + 8x) 9(y 6y) = 53. Дополняя выражения в скобках до полных квадратов, получим 4(x + 8x + 6) 9(y 6y + 9) = или, после преобразований, (x + 4) 9 (y 3) 4 =. Перенесем начало координат в точку O ( 4, 3) полагая x = x + 4, y = y 3 будем иметь x 9 y 4 =. Это уравнение гиперболы с центром в точке (-4,3). Действительная полуось ее равна a = 3, а мнимая равна b =. 9

30 y y F O F x O x Парабола имеет каноническое уравнение y = px, где p > 0. Число p называют параметром параболы. Вершиной параболы является начало координат, фокусом точка F (p/, 0). Директрисой параболы является прямая x = p/, Эксцентриситет параболы равен. y p O F p x 30

31 35. Выделением полных квадратов и переноса начала координат упростить уравнение линии, определить тип, размеры и расположение на плоскости (сделать рисунок): y 4x y + 9 = 0. Перепишем уравнение так: или, после преобразований, y y + = 4x 8 (y ) = 4(x ). Вершина параболы находится в точке O (, ), параметр p =, а ветвь параболы направлена в положительную сторону оси Ox. Перенесем начало координат в точку O (, ) полагая x = x, y = y будем иметь y = 4x. y y O F x O x 3

32 3

33 33

34 34

35 Первый замечательный предел: Второй замечательный предел: Контрольная работа 3 lim x Правила дифференцирования: sin x lim x 0 x = ( + x) x = e. c = 0. x = 3. (u ± v) = u ± v 4. (u v) = u v + u v ( u ) u v u v 5. = v v 6. y x = y u u x если y = f(u) и u = h(x) 7. y x = x y x = g(y) если y = f(u) и Формулы дифференцирования:. (u n ) = nu n ;. ( u) = u ; ( ) 3. = u u ; 4. (a u ) = a u ln a; 5. (e u ) = e u ; 6. (log a u) = u ln a ; 7. (ln u) = u ; 8. (sin u) = cos u; 9. (cos u) = sin u; 0. (tg u) = cos u ;. (ctg u) = sin u ;. (arcsin u) = u ; 3. (arccos u) = ; u 4. (arctg u) = + u ; 5. (arcctg u) = + u ; 35

36 4. Найти производную функции y, если y = tg(7 x + 5) lg(3 x + ) y = tg (7 x + 5) lg(3 x + ) + tg(7 x + 5) lg (3 x + ) = = cos (7 x + 5) (7 x+5) lg(3 x+)+tg(7 x+5) (3 x + ) ln 0 (3 x+) = = 7 cos (7 x + 5) lg(3 x + ) + tg(7 x + 5) 3 (3 x + ) ln 0 5. Найти производную функции y, если y = ctg x 5 + ctg(3 x ) arcsin x y = ctg x 5 + ( ) ctg(3 x ) = arcsin x = sin x 5 (x5 ) + ctg (3 x ) arcsin x ctg(3 x ) arcsin x arcsin = x = sin (3 x ) (3 x ) arcsin x ctg(3 x ) x sin x 5 5x4 + arcsin x 3 = 5x4 sin x 5 + sin (3 x ) arcsin x ctg(3 x ) x arcsin x 6. Найти производную функции y, если y = arccos 5 (x + 7 x 4) = y = (arccos 5 (x +7 x 4)) = 5 arccos 4 (x +7 x 4) arccos (x +7 x 4) = ( ) = 5 arccos 4 (x + 7 x 4) (x + 7 x 4) = (x + 7 x 4) = 5 arccos 4 (x x x 4) (x + 7 x 4) 7. Найти производную функции y, если y = (sin( x 7)) 7 x 7 x 6 y = (e ln sin( x 7) ) 7 x 7 x 6 = e (7 x 7 x 6) ln sin( x 7) 36

37 ( y =e (7 x 7 x 6) ln sin( x 7) (7 x 7 x 6) ln sin( x 7)+ + (7 x 7 x 6)(ln sin( x 7)) ) = ( e (7 x 7 x 6) ln sin( x 7) (4 x 7) ln sin( x 7)+ + (7 x ) 7 x 6) sin( x 7) sin ( x 7) = ( e (7 x 7 x 6) ln sin( x 7) (4 x 7) ln sin( x 7)+ + (7 x 7 x 6) sin( x 7) cos( x 7) ( x 7) ) = ( e (7 x 7 x 6) ln sin( x 7) (4 x 7) ln sin( x 7)+ + (7 x ) 7 x 6) sin( x 7) cos( x 7) = ( ) (sin( x 7)) 7 x 7 x 6 (4 x 7) ln sin( x 7) + (7 x 7 x 6) ctg( x 7) 7. Найти производную функции y x, если x = arcctg(arctg y ln y) y x = x y x y = + (arctg y ln y) (arctg y ln y) = = + (arctg y ln y) (arctg y ln y + arctg y ln y) = ( ) = + (arctg y ln y) ln y + arctg y + y y y x = ( ) + (arctg y ln y) ln y + arctg y + y y { x = 5 t 7 + arctg t, 7. Найти производную функции y x, если y = 3 t + 4 t 8 + log 3 t y x = y t x t 37

38 x t = t y t = 6t t ln 3 y x = 6t t ln t 38

39 Найти указанные пределы.. lim x + 6 x 3 5 x + x + 3. x 6 x 3 5 x lim + x + 3 x + x 6 x 3 x lim x + x 5 + x + 3 x 6 x 3 x (5 + x = lim + 3 x ) x + x 6 x 3 x = lim x + x x(6 3 x 5 lim + x + 3 x ) 6 3 x 5 x + x( x ) = lim + x + 3 x x + x. lim x 6 x 3 5 x + x + 3. x 6 x 3 5 x lim + x + 3 x x 6 x 3 x lim x x 5 + x + 3 x 5 + x + 3 x = = = x 3 x (5 + x = lim + 3 x ) x x 6 x 3 + x = lim x x x(6 3 x 5 lim + + x + 3 x ) 6 3 x 5 x x( x ) = lim + + x + 3 x x x 3. lim x + ( 5 x + x x 3 x ). lim ( 5 x + x x 3 x ) = x x + 3 x = = = ( 5 x lim + x x 3 x )( 5 x + x x 3 x ) x + 5 x + x = 5 x 3 x lim x + 4x x + x x 3 x = 39

40 lim x x 5 + x + 4x + 5 3x x = 4 = x + x Найти lim x 3 x + x + 5. Здесь имеет место неопределенность вида 0 0. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби: lim x 3 3 x + x + 9 x + x + 5 = lim 3(x + 3)(x + ) 3(x + ) x 3 (x + 3)(x + 5 = lim ) x 3 (x + 5 = ) 3( 3 + ) ( ) = Найти lim x x 3x x Переведем иррациональность из числителя в знаменатель. lim x lim x x 3x x x 3x (x )( x 3x ) = lim x lim x (x )(x ) (x )( x 3x ) = lim x sin(3 x + 3) 6. Найти lim x x 4x 5. Так как x под знаком предела, то lim x sin(3(x + )) (x + )(x 5) = lim sin(3(x + )) x (x + ) ( ) 3x+ x + 7. Найти lim x x Имеем: lim x ( ) 3x+ x + = lim x x ( x 3x + 8 6)( x = lim 3x ) x (x )( x 3x = 6) x 3x + (x )( x 3x ) = x x 3x = 6 x 5 = sin(3(x + )) 3 lim x 3(x + ) x 5 = 3 5 =. ( ) 3x+ x + = x 40

41 lim x ( = lim + x [ ( + x ) 3x+ ( = lim x x ) x ] x (3x+) = lim x + x [ ( + x ) 3x+ = ) x ] 6x+ x = e 3 4


Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Н.П. ПУЧКОВ, В.В. СКОМОРОХОВ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Н.П. ПУЧКОВ, В.В. СКОМОРОХОВ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством Определители Определитель второго порядка задается равенством Определитель третьего порядка задается равенством Свойства определителей Определитель равен нулю если он содержит две одинаковые или пропорциональные

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.Г.ШУХОВА ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2

БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.Г.ШУХОВА ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 Поток: ТВГТ -I ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 1Определители -го и -го порядка Правила вычисления Общий алгоритм исследования графика функций с помощью производных Нахождение наибольшего и наименьшего значений

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Практические задания к теме «Аналитическая геометрия»

Практические задания к теме «Аналитическая геометрия» Практические задания к теме «Аналитическая геометрия» Вариант 0 Задача Привести к каноническому виду уравнение кривой порядка, найти все ее параметры, построить кривую 4x +y -6x-6y+=0 Решение Приведем

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия: МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖД ЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВМ Смоленцев Линейная алгебра

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Примеры к выполнению контрольной работы 1 Линейная алгебра. Задача 1. Найти значения неизвестных x, y, z из системы уравнений:

Примеры к выполнению контрольной работы 1 Линейная алгебра. Задача 1. Найти значения неизвестных x, y, z из системы уравнений: Примеры к выполнению контрольной работы Линейная алгебра Задача Найти значения неизвестных,, z из системы уравнений: (a b ) (b a) bz ( a b)(a c ) (c ) (c ) c z a b c ( a c) c z a c а) по формулам Крамера

Подробнее

РГР по высшей математике Алгебра

РГР по высшей математике Алгебра РГР по высшей математике Алгебра Задача Даны координаты трех точек A, B и C Проверьте, что эти точки не лежат на одной прямой и найдите: А) уравнение прямой AB ; Б) уравнение высоты CK треугольника ABC

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Линейная алгебра (лекция 11) 24.11.2012 2 / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 )

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр План практических занятий по линейной алгебре1 семестр Занятие 1 Алгебра матриц 1 (±) 276 = 2 1 1 0 1 4, = 2 1 0 3 2 2 2 = 3 4, = 2 4 5 6 Найти A+B+AT +B T Найти 3A+2B 0 0 3 (±) =, = + 0 Доказать, что

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Вопросы и задания для студентов 1-го курса специальности «Издательское дело» в зимнюю экзаменационную сессию.

Вопросы и задания для студентов 1-го курса специальности «Издательское дело» в зимнюю экзаменационную сессию. Вопросы и задания для студентов -го курса специальности «Издательское дело» в зимнюю экзаменационную сессию Теоретические вопросы Функции Способы задания функций Классификация функций Основные элементарные

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

ЭКЗАМЕН ПО МАТЕМАТИКЕ, 1 СЕМЕСТР

ЭКЗАМЕН ПО МАТЕМАТИКЕ, 1 СЕМЕСТР ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ

Подробнее

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ Экзаменационный билет 1 по курсу: 1. Дать определение скалярного произведения векторов. Доказать свойства скалярного произведения. Вывести формулу скалярного произведения в ортонормированном базисе. Приложения

Подробнее

ГОУВПО ВГАСУ. Кафедра высшей математики

ГОУВПО ВГАСУ. Кафедра высшей математики ГОУВПО ВГАСУ Строительно-технологический факультет Кафедра высшей математики МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для проведения практических занятий Воронеж Практическое занятие Матрицы и действия над ними Пример Даны

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики АВ Капусто Минск 016 016 Кафедра высшей

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые ВАРИАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) и M (6 ) проведена прямая Найти точки пересечения этой прямой с осями координат Составить уравнения сторон треугольника для которого точки A ( 1 ) B ( 3 1) C (0 4) являются

Подробнее

Решение типовика выполнено на сайте Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу

Решение типовика выполнено на сайте   Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу МИРЭА Типовой расчет по алгебре и геометрии Вариант 7 Задача Для пирамиды с вершинами в точках A, A,, A4 найти: А) длину ребра A A ; Б) угол между ребрами AA и A A4 ; В) уравнение плоскости A A : Г) площадь

Подробнее

Ю. Г. ГАЛИЧ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ 1

Ю. Г. ГАЛИЧ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ 1 Ю Г ГАЛИЧ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ ОМСК 06 Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта Омский государственный университет путей сообщения Ю Г Галич МАТЕМАТИКА

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Ответы. Ответы к задаче 1

Ответы. Ответы к задаче 1 Ответы Ответы к задаче Три Три x, x, x ; ; ; свободные члены системы не содержат неизвестных и записываются обычно в правых частях уравнений 5 Уравнения называют линейными, если они представляют собой

Подробнее

ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики

ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики УДК 57. Математика: программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы / Сост. Л. В. Березина; РГАТУ имени П. А. Соловьева. Рыбинск, 0. 7 с. (Заочная форма обучения/ РГАТУ

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра высшей математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра высшей математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики Задания для практических занятий по темам «Векторная и линейная

Подробнее

Кривые второго порядка.

Кривые второго порядка. Кривые второго порядка. Определение : Линией кривой) второго порядка называется множество {М} точек плоскости, декартовы координаты X, Y) которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:,

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Хакимова А.А. МАТЕМАТИКА. Контрольная работа 1 семестр

Хакимова А.А. МАТЕМАТИКА. Контрольная работа 1 семестр МИНОБРНАУКИ РОССИИ Бугульминский филиал Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский национальный исследовательский технологический

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (I семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр

Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности «Теплоэнергетика и теплотехника» 1 семестр Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Подробнее

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры: матрицы определители системы линейных уравнений Условия задач Составить две матрицы

Подробнее

Контрольная работа T=3. Задание 1. [1, стр. 2]

Контрольная работа T=3. Задание 1. [1, стр. 2] Дана матрица Контрольная работа A 0 T= Задание [, стр ] Определите ее размерность Выпишите характеристики этой матрицы: прямоугольная, квадратная, симметричная, единичная, нулевая, треугольная, диагональная,

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

3 (3, 2, -7) A A (3, 4, -7) Задачи для контрольной работы 1 1(3, 4, 2) A 2 (1, 2, 1) A 3 (-2, -3, 4) A 4 (3, -6, -3) 1(1, 3, 1) A 2 (-1, 4, 6) A

3 (3, 2, -7) A A (3, 4, -7) Задачи для контрольной работы 1 1(3, 4, 2) A 2 (1, 2, 1) A 3 (-2, -3, 4) A 4 (3, -6, -3) 1(1, 3, 1) A 2 (-1, 4, 6) A Задачи для контрольной работы Задание. Дана система линейных уравнений a a a a a a a a a b b b Решить систему: а) методом Гаусса; по правилу Крамера; средствами матричного исчисления (зад. )... 5. 7. 9.

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТАМ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ ПРИ РАБОТЕ НАД КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТОЙ

ВВЕДЕНИЕ ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТАМ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ ПРИ РАБОТЕ НАД КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТОЙ ВВЕДЕНИЕ Настоящие учебно-методические материалы предназначены для студентов заочной формы обучения и являются руководством для изучения дисциплины Высшая математика Они содержат в себе основные рекомендации

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Лекция 13. Тема: Кривые второго порядка. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола.

Лекция 13. Тема: Кривые второго порядка. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Лекция 13 Тема: Кривые второго порядка Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Вывод уравнений кривых второго порядка исходя из их геометрических свойств. Исследование формы эллипса,

Подробнее

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Московский государственный технический университет «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Проф, дф-мн Кадымов ВА Доц, кф-мн Соловьев ГХ Тесты по контролю промежуточных

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ!УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Методические указания к контрольной работе 1. Тема: «Линейная алгебра. Аналитическая геометрия»

Методические указания к контрольной работе 1. Тема: «Линейная алгебра. Аналитическая геометрия» Методические указания к контрольной работе Тема: «Линейная алгебра. Аналитическая геометрия». Даны векторы a {0}, b { }, c { 0}, d {} в некотором базисе. Показать, что векторы abc,, образуют базис и найти

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» направление «Экология и природопользование» 1 семестр

ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» направление «Экология и природопользование» 1 семестр ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» направление «Экология и природопользование» семестр. Разложить вектор X по векторам P, Q, R. Систему решить ) методом Крамера, ) матричным методом,

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее