13. Билинейные и квадратичные функции

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "13. Билинейные и квадратичные функции"

Транскрипт

1 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих аргументов те для любых элементов ства y z L и любого числа α K выполнены равен- ( y z) ( z) ( y z) ( α y) α( y) ( y z) ( y) ( z) ( y) α( y) α () Примеры Скалярное произведение ( r y r ) векторов r y r L в силу свойств скалярного произведения (п 6 стр 9) есть билинейная функция Пусть r L - фиксированный вектор а r y r L - переменные r r r y в силу свойств сме- векторы Смешанное произведение ( ) шанного произведения векторов (пп 65 и 7) есть билинейная функция Пусть ( ) ϕ и ( y) ψ - линейные функции Их произведение ( y) ϕ( ) ψ( y) f есть билинейная функция так как по первой переменной ( y) ϕ( ) ψ( y) ϕ( ) ψ( y) ϕ( ) ψ( y) f ( y) f ( y) f ( λ y) ϕ( λ) ψ( y) λϕ( ) ψ( y) λf ( y) f

2 Выберем в L базис e и вычислим в этом базисе значение билинейной функции ( y) то 96 с учётом () Так как (с учётом правила суммирования Эйнштейна) j e y e j j j ( y) ( e e ) ( e e ) Введём обозначения: тогда получим () ( e ) j e j j β () j ( y) β () j Формула () выражает билинейную функцию ( y) координатах по данному базису e j в Покажем что множество всех билинейных функций заданных в линейном пространстве L тоже образует линейное пространство Выберем в L базис e и рассмотрим одночленные билинейные функции вида j ( y) j I (5) Подставляя (5) в () получим Если взять m тогда j j ( y) β β I ( y) (6) j j e а y em при любых фиксированных l и l l m ( e ) lm I e l m а все остальные билинейные функции (5) будут равны нулю Отсюда следует что билинейные функции j I из (5) линейно независимы а формула (6) даёт разложение билинейной функции ( y) по базису (5) Этот базис состоит из элементов

3 Следовательно размерность пространства из билинейных функций имеет размерность Определение Билинейная функция ( y) называется симметричной если для любых элементов y L ( y) ( y ) Билинейная функция ( y) если для любых элементов 97 называется кососимметричной y L ( y) ( y ) В случае симметричной билинейной функции коэффициенты определяемые по () симметричны: β j β j В случае кососимметрической билинейной функции для коэффициентов выполняется условие: β j β j и β Рассмотрим произвольную билинейную функцию ( y) построим с её помощью новые билинейные функции и ϕ s ( y) [ ( y) ( y ) ] (7) ϕ ( y) [ ( y) ( y ) ] (8) ϕ - кососимметричная би- Покажем что ϕs - симметричная а линейные функции В самом деле ϕ s ( y) [ ( y) ( y ) ] [ ( y ) ( y) ] ϕ ( y ) ϕ ( y) [ ( y) ( y ) ] [ ( y ) ( y) ] ϕ ( y ) Операции при помощи которых из билинейной функции ( y) получаются билинейные функции ϕ ( y) и ϕ ( y) s s на-

4 зываются соответственно симметрированием и альтернированием билинейной функции ( y) Складывая (7) и (8) получим на симметрич- ( y) ϕs ( y) ϕ ( y) формулу разложения билинейной функции ( y) ную ϕ ( y) и кососимметричную ( y) s (9) 98 ϕ составляющие Покажем что как симметричные так и кососимметричные функции образуют линейные подпространства в пространстве всех билинейных функций с аргументами из L Чтобы найти размерности этих подпространств построим в них базисы Симметричную билинейную функцию ( y) ϕ можно представить в виде ϕ s k k ( y) ϕk ( ) s ϕ () Рассмотрим функции I I k < k k k ( y) при k ( y) () Билинейные функции () линейно независимы и симметричны а любая симметричная билинейная функция ( y) ϕ выражается через них по формуле вида () таким образом функции () составляют базис в подпространстве всех симметричных билинейных функций Их количество в базисе () равно! C ( )!! ( ) s Таким образом размерность подпространства симметрич- ных билинейных функций равна ( ) Это говорит о том что при любом выборе линейно независимых симметричных

5 билинейных функций w ( y) w ( y) wn ( y) 99 в числе N ( ) произвольная симметричная билинейная функция ( y) ϕ может быть представлена в виде где s ( y) λw ( y) ϕ N () s λ числовые коэффициенты Кососимметричную билинейную функцию ( y) представить в виде ϕ k k ( y) ϕ ( ) k k ϕ можно () и в качестве базиса можно взять функции ~ k k k I y () ( ) ~ Общее число этих функций есть N ( ) и при любом выборе линейно независимых кососимметричных билинейных функций w ~ ( y) w~ ( y) w~ ( y) N ~ произвольную кососимметричную билинейную функцию ( y) j ϕ можно представить в виде j ϕ ( y) µ w ~ ( y) ~ j N (5) j где µ - числовые коэффициенты Теорема Пространство билинейных функций является прямой суммой подпространств симметричных и кососимметричных билинейных функций Ясно что билинейная функция является одновременно симметричной и кососимметричной тогда и только тогда когда она нулевая Это говорит о том что пересечение подпространств симметричных и кососимметричных билинейных функций есть подпространство состоящее из нулевой билинейной функции На основании предложения 97 мы можем считать настоящую теорему доказанной

6 С другой стороны всякая билинейная функция ( y) может быть на основании (9) представлена в виде суммы симметричной и кососимметричной билинейной функции именно ( y) ϕs ( y) ϕ ( y) где симметричная билинейная функция ( y) ϕ s принадлежит подпространству симметричных билинейных функций а кососимметричная билинейная функция ( y) ϕ принадлежит подпространству кососимметричных билинейных функций и их прямая сумма совпадает со всем пространством билинейных функций Пусть W - пространство билинейных функций ( y) определённых в линейном пространстве L и dmw ; Ws - подпространство симметричных билинейных функций ( y) ϕ и dm W s ( ) ; W - подпространство кососимметричных би- линейных функций ϕ ( y) и dmw ( ) Тогда dmws dmw ( ) ( ) dmw что соответствует определению 9 прямой суммы подпространств s Матрица билинейной функции (формы) Вновь рассмотрим формулу () Здесь j ( y) β () чисел j ( e e j ) j β называются коэффициентами билинейной функции в базисе e и составляют матрицу

7 β β B β β β β β β β (6) билинейной функции в базисе e Равенство () можно кратко записать в матричном виде: ( y) T B (7) Ранее мы выяснили что если билинейная функция симметрична то её коэффициенты связаны соотношением T B B β j β j или Матрицу которая совпадает со своей транспонированной будем называть симметричной матрицей Обратно пусть билинейная функция ( y) имеет симметричную матрицу Тогда поскольку матрица размера не меняется при транспонировании T T T T T ( y) ( B) B ( y) B Мы доказали Предложение Билинейная функция симметрична тогда и только тогда когда её матрица симметрична Посмотрим теперь как меняется матрица B билинейной функции ( y) и Пусть при переходе от базиса e к базису e e es тогда в соответствии с (96) S и S T T T T ( y) B ( S ) B( S ) ( S BS) Так как матрица B билинейной функции ( y) однозначно определена то в базисе e T B S BS (8)

8 k Обозначив элементы матрицы S через s получим выражения для элементов B j k m j β s s β j k m (9) km Рассмотрим как выглядят приведённые ранее примеры - в матричной записи Скалярное произведение ( r y r ) векторов r y r L в базисе j k в соответствии с (5) есть ( r y r ) и с учётом () матрица коэффициентов билинейной формы выглядит так: B Смешанное произведение векторов ( ) r r r y где r - фиксированный вектор из L в базисе вид r r r j k в соответствии с (57) имеет ( y) Сравнивая полученное выражение с формулой () получим β β β β β β β β β Матрица коэффициентов данной билинейной функции имеет вид B

9 Так как для данной матрицы выполнено условие j j β β мы имеем пример кососимметричной билинейной функции В ортонормированном базисе k j линейные функции ( ) ϕ и ( ) y ψ можно (см ()) записать в виде ( ) ϕ и ( ) j j y ψ Тогда билинейная функция ( ) ( ) ( ) y y f ψ ϕ примет вид ( ) ( ) ( ) j j y y f ψ ϕ а её матрица будет выглядеть так: B Пример В некотором базисе задана билинейная функция ( ) y Записать матрицу этой билинейной функции для L и L Для L B ; для L B

10 Пример 5 Как изменится матрица B в L из примера если перейти к базису e e e e e e e e? Составим матрицу перехода от базиса e к базису e S Её транспонированная матрица T S и 7 8 BS S B T ( ) 7 8 y Квадратичные линейные функции (формы) Определение Квадратичной функцией (формой) на линейном пространстве L называется функция k значение которой на любом векторе L определяется равенством ( ) ( ) k где - симметричная билинейная функция В качестве примера можно рассмотреть скалярное произведение вектора из L сопоставляющее вектору квадрат его длины

11 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k По заданной квадратичной форме k однозначно определяется соответствующая симметричная билинейная функция Пусть y - произвольные векторы Тогда k( y) ( y y) ( ) ( y) ( y ) ( y y) Учитывая что ( y) ( y ) получим ( y) ( k( y) k( ) k( y) ) () Матрицей квадратичной формы в базисе e называется матрица соответствующей билинейной функции и согласно (7) мы имеем следующее выражение значения квадратичной формы через координатный столбец вектора: ( ) T B k () или в развёрнутом виде k j ( ) β j () j Правая часть последней формулы - однородный многочлен второй степени относительно Слово форма и будем понимать как однородный многочлен В формуле () содержатся подобные члены: при j члены j j β и β совпадают Поэтому после приведения подобных членов ( примет вид k ( ) β ( ) β β ( ) β j j () Определение Квадратичная форма k в базисе e имеет диагональный вид если в этом базисе k ( ) λ ( ) () Матрица квадратичной формы в этом случае имеет диагональный вид

12 6 Теорема Для каждой квадратичной формы k существует базис в котором она имеет диагональный вид Так как квадратичная форма есть симметричная билинейная функция она может быть представлена симметричной квадратной матрицей и мы можем установить взаимно однозначное соответствие между квадратичными формами и симметричными линейными преобразованиями Таким образом вопрос о приведении матрицы квадратичной формы можно свести к вопросу (см п 8) о приведении к диагональному виду матрицы симметричного линейного преобразования те к отысканию собственных значений матрицы задающей в некотором базисе квадратичную форму Следует иметь в виду что симметричность матрицы предполагает вещественность собственных значений Диагональный вид квадратичной формы в вещественном пространстве будем называть каноническим видом если все элементы ε на диагонали могут быть равны только - В комплексном пространстве диагональный вид квадратичной формы канонический если числа на диагонали могут принимать значения только и Теорема Для каждой квадратичной формы существует базис в котором она имеет канонический вид Если матрица уже приведена к диагональному виду те на диагонали стоят собственные значения матрицы надо поделить каждую j -ю строку и каждый j -й столбец на λ j в случае комплексного пространства и на λ j в случае вещественного пространства Это равносильно делению j -го базисного (собствен- λ λ ного) вектора на то же число ( ε L λ ε C λ ) Сделав это для всех j таких что λ j мы приведём квадратичную форму к каноническому виду

13 Пример 6 Привести к каноническому виду квадратичную форму ( ) 5( ) 8 5( ) k 7 Составим матрицу квадратичной формы и её характеристическое уравнение или 5 5 λ B 5 5 λ ( 5 λ) 6 Отсюда имеем λ λ 9 Диагональный вид квадратичной формы можно записать сразу: ~ ~ k ~ 9 ( ) ( ) ( ) B 9 Если нас интересует базис в котором квадратичная форма привелась к диагональному виду нам необходимо найти собственные векторы отвечающие собственным значениям λ λ 9 Составим систему уравнений определяющую искомые собственные векторы: ( 5λ) l m l ( 5λ) m λ λ l m l m Система уравнений свелась к уравнению l m ранг которого равен и мы имеем фундаментальное решение (*)

14 8 ( ) f После нормировки мы можем этот вектор принять в качестве первого базисного вектора ~ e Полагая 9 λ λ и подставляя это значение в (*) получим уравнение m l ранг которого равен Фундаментальное решение ( ) f а второй базисный вектор ~ e Матрица линейного преобразования S Получим для проверки диагональный вид данной квадратичной формы используя формулу (8) ~ BS S B T Для приведения данной матрицы к каноническому виду надо в соответствием с теоремой поделить каждую j -ю строку и каждый j -й столбец на j λ В нашем случае нам надо поделить вторую строку и второй столбец 9 Используя п 7 и

15 9 предложение 7 мы добьемся результата если умножим матрицу B ~ справа и слева на матрицу тогда 9 B Это и есть канонический вид матрицы квадратичной формы сама же форма теперь может быть записана так ( ) ( ) ( ) k Рассматривая матрицу S как матрицу перехода от базиса e ~ к каноническому базису e мы можем явно получить канонические базисные векторы по формуле S e e ~ e e Заметим что канонические базисные векторы уже не являются ортонормированными Ранг и индекс квадратичной формы Существует много базисов в которых данная квадратичная форма имеет канонический вид однако оказывается что коэффициенты ε одни и те же с точностью до порядка их расположе-

16 ния как бы мы ни приводили квадратичную форму к каноническому виду Это в частности следует из инвариантности характеристического многочлена (см п 5 теорема ) относительно преобразования координат Терема Ранг матрицы квадратичной формы не зависит от выбора базиса Пусть на линейном пространстве L задана квадратичная форма k ( ) и пусть матрица S - матрица перехода от базиса e к базису e по формуле (9) e es Тогда матрица данной квадратичной формы B в соответствии с формулой (8) перейдёт в новую матрицу T B S BS Так как det S то на основании теоремы 6 получим T RgB RgS BS RgBS RgB Если квадратичная форма приведена к диагональному виду то ранг её матрицы равен числу диагональных элементов отличных от нуля и это число не зависит от выбора базиса Определение Число не равных нулю коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы k ( ) называется рангом квадратичной формы Таким образом ранг квадратичной формы равен рангу представляющей его матрицы В комплексном пространстве все квадратичные формы одного и того же ранга r приводятся к одному и тому же каноническому виду ( ) ( ) r ( ) Определение 5 Квадратичную форму k ( ) будем называть положительно определённой на подпространстве L пространства L если k ( ) > для любого вектора L k ( ) отрицательно определена на L если ( ) < Квадратичная форма k для любого век-

17 тора θ L Квадратичные формы для которых k ( ) или ( ) k при любом называются соответственно полуопределёнными (знакопеременными) Будем считать что на нулевом пространстве квадратичная форма и положительно и отрицательно определена В силу этого соглашения всегда будет существовать подпространство (хотя бы нулевое) на котором квадратичная форма отрицательно определена Определение 6 Пусть ( ) L - подпространство максимальной размерности среди всех подпространств на которых квадратичная форма ( ) k отрицательно определена Число ( ) dm L называется отрицательным индексом s или просто индексом s квадратичной формы Аналогично определяется положительный индекс s квадратичной формы как максимальная из размерностей подпространств на которых квадратичная форма k ( ) положительно определена Теорема 5 (Закон инерции квадратичной формы) Число отрицательных и число положительных коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы не зависит от выбора базиса в котором она приведена к каноническому виду Покажем сначала что если в некотором базисе e пространства L квадратичная форма k ( ) приведена к каноническому виду то число коэффициентов равных - равно отрицательному индексу формы k ( ) Пусть в базисе e форма k ( ) ранга r с индексом s имеет канонический вид j j ( ) ( ) ( ) ( ) r ( ) Обозначим через L линейную оболочку векторов e e e j а через L - линейную оболочку остальных базисных векторов Для

18 любого вектора и если только s j что На L для любого L имеем j r j ( ) ( ) ( ) ( ) < k θ Значит k ( ) отрицательно определена на L и форма ( ) L и k положительно полуопределена потому j j j ( ) ( ) ( ) r ( ) k (форма может равняться нулю на ненулевом векторе если r < ) dm L j Пусть существует подпространство ( ) L размерности s > j на котором k ( ) отрицательно определена Тогда поскольку сумма размерностей подпространств L и ( ) L больше эти подпространства имеют ненулевой вектор z в пересечении Имеем ( z) < k так как ( ) z L и k ( z) так как z L Полученное противоречие показывает что j s (число коэффициентов равных -) равно отрицательному индексу и потому не зависит от выбора базиса Число коэффициентов равных так же не зависит от выбора базиса так как оно равно r s а ранг r и индекс s не зависят от выбора базиса Следствие Число положительных и число отрицательных коэффициентов в любом диагональном виде квадратичной формы не зависят от выбора базиса Положительно определённые квадратичные формы имеют ранг и индекс s ( s ) и приводятся к каноническому виду

19 ( ) ( ) ( ) ( ) k (5) Отрицательно определенные квадратичные формы имеют ранг и индекс s ( s ) и приводятся к каноническому виду k ( ) ( ) ( ) ( ) Положительно и отрицательно полуопределённые квадратичные формы ранга r приводятся соответственно к каноническим видам k ( ) ( ) ( ) r ( ) и ( ) ( ) ( ) r k ( ) В вещественном пространстве квадратичная форма характеризуется двумя числами в том смысле что все квадратичные формы у которых эти пары чисел одинаковы приводятся к одному и тому же каноническому виду В качестве таких чисел можно взять положительный s и отрицательный s s индексы или же ранг который равен их сумме и отрицательный индекс Часто вместе с рангом используют разность положительного и отрицательного индексов которая называется сигнатурой квадратичной формы σ s s Условие положительной определённости квадратичной формы даёт так называемый критерий Сильверста Теорема 6 (Критерий Сильверста) Для положительной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно чтобы миноры её матрицы удовлетворяли неравенствам M k β β k β β k kk > ( k ) (6) Миноры вида (6) называются главными минорами матрицы это миноры β β M β > M > β β и тд

20 Ранее мы установили (теорема ) что для всякой квадратичной формы найдётся базис в котором она примет диагональный вид и её определитель будет λ λ λ Теперь M k λ λ λk > ( k ) (7) Из формулы (7) непосредственно вытекает что для справедливости теоремы необходимо чтобы все λ > На основании (7) мы можем записать что λ M β M λ M M λ M λ M M (8) Формулы (8) позволяют нам найти коэффициенты квадратичной формы в диагональном базисе не вычисляя самого базиса Пример Определить является ли квадратичная форма k ( ) ( ) знакопеременной Решение Составим матрицу квадратичной формы и вычислим все её главные миноры B M M M B В силу критерия Сильверста (теорема 6) данная квадратичная форма не является ни положительно определённой ни отрицательно определённой те она не является знакоопределённой

21 5 Пример Найти все значения параметра при которых квадратичная форма k ( ) ( ) ( ) ( ) является положительно определённой Решение Составим матрицу квадратичной формы и вычислим все её главные миноры M B M > M > ( ) M ( ) Главный минор M ( ) M если > > 5 Полуторалинейные функции В комплексных пространствах квадратичные формы используются сравнительно редко В приложениях чаще встречаются так называемые эрмитовы формы Определение 7 Функция от двух векторов на комплексном линейном пространстве C называется полуторалинейной или эрмитовой билинейной функцией если для любых векторов y z C и любого комплексного числа α C ( y z) ( z) ( y z) ( α y) α( y) ( y z) ( y) ( z)

22 ( y) α( y) 6 α (9) Отличие полуторалинейной функции от билинейной в том что она не линейна по второму аргументу: при его умножении на число α значение функции умножается на комплексно сопряженное число α Перечислим (без доказательств) основные свойства этих функций Если в C выбран базис то значение полуторалинейной функции на паре векторов y C может быть выражено через координаты этих векторов формулой ( y) β j T B () j B называется матрицей полуторалинейной функции Её элементы равны значениям на парах базисных векторов: ( e ) β j e j При замене базиса с матрицей перехода S матрица B заменяется на матрицу T B S BS () Пример Составить матрицу данной полуторалинейной функции ( y) ( ) ( ) Решение Для составления матрицы данной полуторалинейной функции воспользуемся формулой (): B Определение 8 Полуторалинейная функция называется эрмитово симметричной если для любой пары векторов ( y) ( y ) Для этого необходимо и достаточно чтобы в любом базисе

23 элементы матрицы этой функции удовлетворяли условию 7 β j β j Это равносильно условию B T B () на матрицу полуторалинейной функции Определение 9 Матрица B для которой B T B называется эрмитовой матрицей Элементы эрмитовой матрицы симметричные относительно главной диагонали комплексно сопряжены: β j β j в частности элементы на главной диагонали вещественны: β β Определение Функция k на комплексном линейном пространстве C называется эрмитовой формой если k ( ) ( y) для некоторой эрмитовой симметричной полуторалинейной функции Для заданной эрмитовой формы k можно так выбрать базис в C что её матрица будет иметь канонический вид: диагональная матрица с элементами - на диагонали При этом для эрмитовых форм справедлив закон инерции: в матрице канонического вида число элементов на диагонали равных - не зависит от базиса в C в котором форма имеет канонический вид Таким образом эрмитовы формы по свойствам ближе к квадратичным формам в вещественном пространстве чем к квадратичным формам в комплексном пространстве Пример Проверить является ли данная полуторалинейная функция ( y) 6 ( ) ( 5) ( 5)

24 8 эрмитовой формой Решение Составим матрицу данной полуторалинейной функции: B Мы видим что матрица данной полуторалинейной функции является эрмитово симметричной так как B B T поэтому нам задана эрмитова квадратичная форма вида ( ) ( ) ( ) h ( )


1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Евклидовы и унитарные пространства 1. Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного умножения.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Евклидовы и унитарные пространства 1. Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного умножения. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ Евклидовы и унитарные пространства Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного умножения ( xy, ) и ( xy, ) Показать, что для любых чисел λ 0, µ 0, одновременно не равных

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

14. Евклидовы пространства

14. Евклидовы пространства 9 4 Евклидовы пространства Большое многообразие фактов которыми так богата геометрия в значительной степени объясняется возможностью измерять длины отрезков и углы между прямыми В абстрактном линейном

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности. Направление

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Квадратичные формы. Закон

Квадратичные формы. Закон Материалы к установочной лекции Вопрос 10. Квадратичные формы. Закон инерции. Условия знакоопределенности квадратичных форм. 1 Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу Лагранжа. Обозначения.

Подробнее

АЛГЕБРА модуль 3: Квадратичные и билинейные формы

АЛГЕБРА модуль 3: Квадратичные и билинейные формы АЛГЕБРА модуль 3: Квадратичные и билинейные формы 1 Квадратичные формы Мы рассматриваем конечномерные векторные пространства над полем k, где 0. Определение 1.1 Функция f : V k на векторном пространстве

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

В. Д. Кряквин, Е. А. Максименко. Квадратичные формы. Часть I. Приведение к каноническому виду

В. Д. Кряквин, Е. А. Максименко. Квадратичные формы. Часть I. Приведение к каноническому виду ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего и профессионального образования РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ В. Д. Кряквин, Е. А. Максименко Квадратичные

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

2. Дать определение линейно зависимой и линейно независимой систе- мы векторов

2. Дать определение линейно зависимой и линейно независимой систе- мы векторов 1Дать определение линейного (векторного) пространства. Множество R элементов x, y, z,... любой природы называется линейным (или векторным) пространством, если выполнены следующие три требования: 1. z=x+y.

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно.

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно. ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОД ГАУССА Мы разобрали выше два различных способа задания линейных подпространств F n 2 при помощи образующих и как множество решений системы линейных уравнений Для различных приложений нам

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах 1. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР Пусть U УП, A ЛО в U. Оператор A называется сопряженным по отношению к ЛО A, если для любых векторов x, y U выполняется

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства.

2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства. Тема Комплексные числа и многочлены cosϕ + i siϕ Упростить cosψ i siψ ( i 3 ( cosϕ + Вычислить i siϕ ( i( cosϕ i siϕ 3 3 Найти z, если z = ( i 4 Найти комплексные числа, сопряженные своим квадратам 5 Найти

Подробнее

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01 Ne Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в 04-0 уч году, Найдите вектор Ne (6 4 ; 6 8 ) и Ne ДЕМОвариант 0 (x ; y )(у которого Ne и x < 0) такой, чтобы система векторов (x ; y ) образовывала бы ортогональный

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 7 Линейные пространства Базис линейного пространства 7 Линейный оператор: определение действия над линейным оператором

Подробнее

Билинейные и квадратичные формы

Билинейные и квадратичные формы Если вдруг ошибку лектор На доске нарисовал, В знак протеста, хлопнув дверью, Уходи домой скорее, И читай, ища ошибки, Эту книжку на диване. Д.Н.Булгаков, А.М.Попов Билинейные и квадратичные формы Учебное

Подробнее

y = равносильно системе двух равенств: , a обозначают, соответственно, матрицу

y = равносильно системе двух равенств: , a обозначают, соответственно, матрицу Тензоры Тензоры объединяют целый ряд понятий, находящих применение в физике и математике, в частности, в аналитической геометрии Частными случаями тензоров являются векторы, линейные операторы, квадратичные

Подробнее

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n:

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: Билет 1 Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: расположенных в m строках и n столбцах. Матрица называется квадратной, если m=n (n - порядок

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4 Аннотация Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства.

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула Важные понятия утверждения формулы и некоторые примеры по высшей алгебре Тема «К о м п л е к с н ы е ч и с л а» Записать заданное комплексное число в алгебраической тригонометрической и показательной форме

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

Линейная алгебра с приложениями

Линейная алгебра с приложениями Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий РМ Минькова Линейная алгебра с приложениями Учебно-методическое

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.3

Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.3 Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.3 Аннотация Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом ортогонального преобразования.

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы.

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы. ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ Ранг матрицы Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы Указать базисные строки и базисные столбцы 0 0 а) ; б) 0 0 ; в) 0 0 ; г) 0 0 0 ; 0 0 0 д) 0 0 ; е) 3 3 ; ж) 0 0

Подробнее

Квадратичные формы. Линейная алгебра (лекция 9) / 30

Квадратичные формы. Линейная алгебра (лекция 9) / 30 Линейная алгебра (лекция 9) 10.11.2012 2 / 30 Определение Квадратичной формой F (x 1, x 2,..., x n ) от n неизвестных x 1, x 2,..., x n называется сумма, каждое слагаемое которой является либо квадратом

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О.В. Якунина МНОГОМЕРНАЯ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ Введение Представляю Вашему вниманию лекционный курс основ линейной алгебры, который впервые был прочитан в 2004 году на бизнес факультете НГТУ для специальности

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ 1 Геометрическое строение линейных операторов 11 Введение Мы знаем, что линейное преобразование ϕ : R n R n (линейный оператор) в каноническом базисе E пространства

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 2.3

Линейная алгебра. Лекция 2.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве.квадратичные

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Пусть на проективной плоскости дана кривая второго порядка уравнением. невырожденного линейного преобразования над : (2)

Пусть на проективной плоскости дана кривая второго порядка уравнением. невырожденного линейного преобразования над : (2) Лекция 7 Тема: Классификация кривых второго порядка на проективной плоскости Теоремы Штейнера План лекции 1 Классификация кривых второго порядка на проективной плоскости 2 Прямая теорема Штейнера Следствие

Подробнее

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора. Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.. Матричное представление линейных операторов Будем обозначатьчерез

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности. Направление

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

«Линейные отображения и операторы» 1. Убедиться, что отображение пространства R на себя, сопоставляющее строке, ) является линейным оператором.

«Линейные отображения и операторы» 1. Убедиться, что отображение пространства R на себя, сопоставляющее строке, ) является линейным оператором. «Линейные отображения и операторы» 1. Убедиться, что отображение пространства R на себя, сопоставляющее строке ( x 1, x2, x, x ) строку ( x1 2x2 x x, x1 x2 x, x1 2x2 x 2x,, x x 2x ) является линейным оператором.

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1.

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1. Пусть ε первообразный корень нечетной степени n из 1. Доказать, что ε первообразный корень степени 2n из 1. 2. Пусть α первообразный корень степени 2n из 1. Вычислить 1+α+...+α n 1.

Подробнее

Тема 2-5: Ранг матрицы

Тема 2-5: Ранг матрицы Тема 2-5: Ранг матрицы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр) В

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.2

Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.2 Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.2 Аннотация Квадратичные формы. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра. Квадратичная

Подробнее

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора.

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора. Построение базисов в ядре и образе линейного оператора 1 Речь пойдёт о построении базисов в ядре и образе линейного оператора Будут рассмотрены два примера: первый пример с пояснениями; второй как образец

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Е.Е. Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ

Е.Е. Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ ЕЕ Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕЕ Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ

Подробнее

Лекция 1. Работа с матрицами. ( ) Количество строк и столбцов матрицы называется размерностью. ( )

Лекция 1. Работа с матрицами. ( ) Количество строк и столбцов матрицы называется размерностью. ( ) Лекция 1 Работа с матрицами. 1. Основные понятия. Определение. Матрицей размерности чисел, содержащая строк и столбцов. называется таблица пронумерованных Исходя из такого определения матрицы, можно сделать

Подробнее

По дисциплине «Линейная алгебра»

По дисциплине «Линейная алгебра» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНО УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет вычислительной

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 2.2

Линейная алгебра. Лекция 2.2 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве.квадратичные

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

всевозможные решения заданной системы линейных однородных уравнений:

всевозможные решения заданной системы линейных однородных уравнений: . ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Ранее мы охарактеризовали подпространство конечномерного пространства как линейную оболочку. Но возможны и другие истолкования подпространства. Пусть, e, e2, K, en какой-либо

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра»

Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра» Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра» 2 Содержание 1. Матрицы и определители 4 1.1. Матрицы и действия над ними 4 1.2. Определители 7 1.3. Обратная матрица 10 1.4.

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев

МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В пособии изложены необходимые теоретические сведения из линейной алгебры и многомерной геометрии базовые примеры с подробными решениями и задачи для самостоятельного

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

Билинейные и полуторалинейные функции

Билинейные и полуторалинейные функции Глава 13 Билинейные и полуторалинейные функции 13.1. Вещественные билинейные функции 1. Какие из следующих функций являются билинейными функциями в указанном линейном пространстве, какие из них являются

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости.

. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости. Тема. Комплексные числа и многочлены. Вычислить ( ) 0 + i. Вычислить ( ) 6 i i. Вычислить i + 70 00 i. Вычислить i 5. Вычислить 6. Вычислить 7i 7. Решить уравнение z + i 0 8. Решить уравнение z + 6 0 9.

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.4

Линейная алгебра. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая.

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая. sin cos R Z cos ImZ cos sin sin Найденные таким образом решения образуют фундаментальную систему решений и следовательно общее решение системы имеет вид или подробнее sin cos cos sin cos cos cos sin sin

Подробнее