, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download ", и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек"

Транскрипт

1 ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской линии, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ней. Если, в частности, F( x, y) f ( x) y, уравнение линии принимает вид y f ( x), и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек A( ; 3) и B (; 5). Решение. Пусть искомая точка M( x ; 0). Из условия ( A M ) ( M B) ( x ) 9 ( x ) 5 получим уравнение, откуда x 9. 6 Пример 5.. На отрезке прямой, соединяющем точки A( 3; ) и B (4; 3) найти точку, лежащую на оси Ox. Решение. Точка M ( x; y ), делящая расстояние между точками A и B в отношении будет иметь координаты x 3 4 3, y. Для того, чтобы эта точка лежала на оси Ox, необходимо: y 3 0, Следовательно, искомая точка M ; y откуда Координаты двух противоположных вершин квадрата ABCD находятся в точках A( ; 3), C(; ). Найти координаты остальных вершин. 5.. На оси Ox найти точку, равноудаленную от начала координат и от точки M (; 4) На оси Oy найти точку, расстояние которой до точки M (3; ) равно В треугольнике с вершинами A(7; 5), B(3; ), C (5; 4) найти длину медианы AM Найти координаты концов A и D отрезка, который точками B( ;) и C (; 3) разделен на три равные части Даны вершины A(6; 6), B(; 3), C(8; 5) треугольника АВС. Найти длину биссектрисы, проведенной из вершины В Найти длины сторон треугольника с вершинами A(; ), B( 3; 4), C(; ). Пример 5.3. Составить уравнение окружности радиуса R с центром в точке C( a; b )

2 Решение. Расстояние от произвольной точки окружности M ( x; y ) до центра C( a; b ) равно радиусу окружности, CM R. С другой стороны, CM x a y b 06 ( ) ( ). Следовательно, ( x a) ( y b) R. ( x a) ( y b) R, или Пусть заданы функции xt () и yt (), непрерывные на некотором промежутке числовой оси. Уравнения x x( t), y y( t) называются параметрическими уравнениями линии, если для всякого допустимого значения параметра t точка M ( x( t); y( t )) принадлежит этой линии, и, обратно, для каждой точки M ( x y), принадлежащей линии, существует такое значение параметра t, что x x() t и y y() t. Пример 5.4. Записать параметрические уравнения окружности радиуса R с центром в точке C( a; b ). Решение. Пусть M ( x; y ) произвольная точка окружности. Обозначим через t угол, образуемый отрезком CM с положительным направлением оси Ox (рис. 5.). Имеем: x a CM CL R cos t, y b CM CN R sin t. Таким образом, параметрические уравнения данной окружности имеют вид x a R cos t, y b R sin t. Рис. 5. Уравнение линии в полярных координатах имеет вид Fr (, ) 0 или r f( ). Оно может быть получено или непосредственно, исходя из свойств линии, или переходом к полярным координатам в уравнении этой линии, заданном в декартовых координатах. Пример 5.5. Составить уравнение окружности радиуса R, касающейся полярной оси в полюсе, центр которой расположен выше полярной оси (рис. 5.). Решение. Пусть M( r; ) произвольная точка окружности, OA R диаметр окружности. Так как в треугольнике OAM угол при вершине M прямой, а угол при вершине O равен, то R cos r, или Рис. 5. r Rsin.

3 5.8. Составить уравнение множества точек, равноудаленных от двух данных точек A( ; ), B(; 3) Составить уравнение множества точек, удаленных от точки C( ; ) на 5 единиц Найти точки пересечения линий x y 5, x 7y Вывести уравнение множества точек, равноудаленных от точек пересечения линий x y 5 и 4x3y Вывести уравнение множества точек, для которых расстояние до точки A (; 0) вдвое меньше расстояния до точки B (4; 0) Прямая перпендикулярна к полярной оси и отсекает на ней отрезок, равный 5. Составить уравнение прямой в полярных координатах В полярных координатах составить уравнение множества точек, расстояние от которых до полярной оси равно 5. Построить линии, заданные уравнениями в полярных координатах r r sin. Записать в полярных координатах уравнения линий x y R x y a x y y 3 a. Записать в декартовых координатах уравнения линий. 5.. rcos a r acos. a r r a( cos ). cos 3. Построить линии, заданные параметрическими уравнениями x t, y t x cos t 3, y sin t x t y t 5.9. x t y t t,. 5.. Прямая линия на плоскости,. В декартовой прямоугольной системе координат прямая на плоскости может быть задана уравнением одного из приведенных ниже видов. Уравнение прямой, проходящей через точку M( x; y ) перпендикулярно нормальному вектору n ( A; B), записанное в векторной форме где n ( r r ) 0, (5.) r ( x; y ) и r ( x; y) радиус-векторы точки M и произвольной точки 07

4 прямой M ( x; y ). В координатной форме уравнение (5.) имеет вид 08 Общее уравнение прямой A( x x ) B( y y ) 0. Ax By C 0. (5.) Если прямая пересекает координатные оси Ox и Oy в точках Aa ( ; 0) и B(0; b), ab 0, то ее уравнение можно записать в виде уравнения прямой в отрезках, a b В этом случае говорят, что прямая отсекает отрезок a на оси Ox и отрезок b на оси Oy. Уравнение прямой с угловым коэффициентом y kx b, где угловой коэффициент k равен тангенсу угла, образованного прямой с положительным направлением оси Ox, а b представляет собой ординату точки пересечения прямой с осью Oy. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку M( x; y ) y y k( x x ). Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M( x; y ) и M ( x ; y ) y y x x y y x x Нормальное уравнение прямой на плоскости. xcos ysin p, (5.3) где p расстояние от начала координат до прямой, а угол между осью абсцисс и нормальным вектором n, направленным из начала координат в сторону прямой. Общее уравнение прямой (5.) можно привести к нормальному виду (5.3), умножив обе части уравнения (5.) на нормирующий множитель. A B При C 0 и C имеют противоположные знаки. Векторно-параметрическое уравнение прямой на плоскости r r ts,

5 где s ( m; n) направляющий вектор прямой, проходящей через точку M( x; y ). Координатная форма этого уравнения дает параметрические уравнения прямой на плоскости x x tm y y tn. Каноническое уравнение прямой на плоскости x y m n, представляющее собой уравнение прямой, проходящей через точку с координатами ( x; y ) параллельно направляющему вектору s ( m; n). Пример 5.6. Привести к нормальному виду уравнение прямой 4x3y0 0. Решение. В данном случае C 0, поэтому нормирующий множитель. Нормальное уравнение прямой имеет вид 4 x 3 y В полярных координатах r уравнение прямой на плоскости имеет вид p r, cos( ) где угол между нормальным вектором прямой и осью абсцисс. Если на плоскости даны две прямые, заданные уравнениями A x B y C 0, A x B y C 0, то угол между прямыми можно найти из соотношения n n A A B B cos. n n A B A B (5.4) (5.5) Признаком перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями (5.4), является соотношение A A B B 0, а признаком их параллельности соотношение A B A B. Пример 5.7. Найти угол между прямыми 5 0 и 3 0. Решение. Имеем A B ; A 3 B. По формуле (5.5) находим 3 cos, 5 0 откуда 45. Если прямые заданы уравнениями y kx b y kx b, то угол между прямыми можно найти из соотношения k k tg, kk. kk 09

6 Для параллельных прямых k k, а для перпендикулярных kk. Расстояние d от точки M( x; y ) до прямой, заданной уравнением Ax By C 0, находится по формуле Ax By C d. A B Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку A(; 3) Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси Oy для каждой из прямых: а) 0; б) 3x 4y 0; в) y 5 0; г) x t, y t Найти отрезки a и b, отсекаемые прямыми на осях координат. а) x 3y 6 0; б) 3x 4y Найти значения параметра b, при котором прямая y x b отсекает на оси Ох отрезок a Составить уравнения прямых, проходящих через точки: а) A(; 3), B(4; 3); б) A(;), B(; 3) Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(; 3) параллельно прямой: а) x 3y 4 0; б) 3x 5y Составить уравнение прямой, проходящей через точку A( ; 4) и перпендикулярной к прямой x 5y Через точку пересечения прямых x3y5 0 и 3x 4y 7 0 провести прямую, перпендикулярную к прямой 5x6y Найти угол между прямыми: а) 3x y 0, x y 6 0; б) 3x 4y 0, 8x 6y 5 0; в) y x 3, y 3x 5; г) 5x y 0, x 3y Найти точку, симметричную точке N (4; 5) относительно прямой 8x 6y Найти точку C пересечения прямой, проходящей через точки A (4; 3) и B( ; 6), с осью Oy Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами в точках A(3; ), B(5; ), C(; 0) Найти расстояние от начала координат до прямой 4x3y Найти расстояние от точки A( ; 4) до прямой 4x3y3 0. 0

7 5.44. На оси ординат найти точку A, находящуюся на одинаковом расстоянии от начала координат и от прямой 4x3y Составить уравнение биссектрисы угла, образованного прямыми x 3y 7 0 и x6y5 0, внутри которого находится точка M (; ) Для треугольника с вершинами в точках A(3; 5), B( ; ), C( 3; 3) составить уравнения медианы, биссектрисы и высоты, проведенных из вершины A Найти площадь квадрата, если одна из его вершин A(9; ), а уравнение противоположной стороны 7x5y Составить каноническое, параметрическое, общее и нормальное уравнения прямой, проходящей через точки A(7; 0), B (3;) Привести к нормальному виду уравнения прямых: а) 3x 4y5 0; б) y 5 0; в) 5xy 6 0; г) Найти уравнение прямой, проходящей через точку A( ; ) на расстоянии d 5 от точки B (6;) Найти расстояние между параллельными прямыми: а) 3x 4y 0 0, 6x 8y 5 0; б) 5 6 0, 0x 4y Составить общее уравнение прямой x 3 t, y 4 t Плоскость и прямая в пространстве В декартовой прямоугольной системе координат в пространстве положение плоскости вполне определяется заданием точки M( x; y; z ) этой плоскости и ненулевым вектором n ( A; B; C), перпендикулярным к плоскости. Вектор n ( A; B; C) называется нормальным вектором плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку M( x; y; z) перпендикулярно вектору n ( A; B; C) в векторной форме имеет вид n ( r r ) 0, где r ( x; y; z) радиус-вектор точки M( x; y; z ), r ( x; y; z) радиусвектор произвольной точки плоскости. В координатной форме оно записывается в виде A( x x ) B( y y ) C( z z ) 0. (5.6) Общее уравнение плоскости Ax By Cz D 0. (5.7) Уравнение плоскости, проходящей через три точки M( x; y; z ), M( x; y; z ), M3( x3; y3; z 3), не лежащие на одной прямой, записывается в виде

8 x y zz x y z z 0. x y z z Уравнение плоскости в отрезках z, abc 0. a b c (5.8) В этом случае, A( a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c ) точки пересечения плоскости с координатными осями Ox, Oy и Oz соответственно. Нормальное уравнение плоскости xcos ycos zcos p 0, (5.9) где p расстояние от плоскости до начала координат, а углы, которые образует с осями координат нормальный вектор n, направленный из начала координат в сторону плоскости. Общее уравнение плоскости (5.7) можно привести к нормальному виду (5.9), умножив обе его части на нормирующий множитель, A B C взяв перед корнем знак, противоположный знаку числа D. Пример 5.8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(; ; ) перпендикулярно вектору AB, где B (; 5;). Решение. В данном случае нормальный вектор плоскости равен n AB (; 3; ). Следовательно, уравнение плоскости имеет вид (см. (5.6)) ( x ) 3( y ) ( z ) 0, или x 3y z 5 0. Пример 5.9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(; ; ) и ось Ox. Решение. Возьмем на оси Ox две точки: O (0; 0; 0) и B (; 0; 0) и составим уравнение плоскости, проходящей через точки O, B и A. В соответствии с (5.8) оно имеет вид z 0 0 0, или yz 0. Пример 5.0. Привести к нормальному виду уравнение плоскости x y z 5 0. Решение. Умножая обе части уравнения на нормирующий множитель, получим нормальное уравнение плоскости 4 4 3

9 x y z Косинус угла между двумя плоскостями A x B y Cz D 0, A x B y C z D определяется формулой 0 n n A A B B C C cos. n n A B C A B C (5.0) Условие параллельности плоскостей: A A B B C C. Условие перпендикулярности плоскостей имеет вид A A BB CC 0. Пример 5.. Найти угол между плоскостями x 8y7z 3 0, 4x 0y z 0. Решение. Имеем n ( A ; B; C) (; 8; 7), n ( A ; B; C) (4; 0;). По формуле (5.0) находим 4 ( 8) ( 0) ( 7) 7 cos Следовательно, острый угол между плоскостями 4 Пример 5.. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M (; 0; ) и M (4; ; ) перпендикулярно к плоскости x y 3 z 4 0. Решение. Нормальный вектор n искомой плоскости перпендикулярен нормальному вектору заданной плоскости n (; ; 3) и вектору MM (; ; 3). Поэтому в качестве вектора n можно взять вектор i j k n n MM 3 i 9 j k. 3 Таким образом, уравнение плоскости можно записать в виде (см. (5.6)) ( x ) 9y ( z ) 0 или x 9y z 6 0. Расстояние от точки M( x; y; z ) до плоскости, заданной уравнением Ax By Cz D 0, находится по формуле Ax By Cz D d. (5.) A B C Пример 5.3. Найти расстояние от точки A (3; 4; 0) до плоскости x y z 4 0. Решение. По формуле (5.) находим d Составить уравнения плоскостей, проходящих через точку 3

10 A(; 3; ) параллельно координатным плоскостям Oxy, Oyz, Oxz Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и точку A(3; 4; 5) Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ox и точку A(9; 4; 7) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(; ; 4) перпендикулярно вектору n ( ;; 3). 5.57*. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A (7; 0; 3) и B(; ; 3) параллельно оси Oz Найти отрезки, отсекаемые плоскостью x y 3z 6 0 на осях координат Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(; ; 5) параллельно плоскости x 3y 5z Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(; 3; ) параллельно плоскости 7x 3y 8z Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Oz перпендикулярно к плоскости 9x y 5z *. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(; 3;) и B(; 0; ) перпендикулярно к плоскости 4x 5y 3z Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A (;; 0), B (0;;) и C(0;; ) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(; ; ) и B (4;;) параллельно вектору s (5; 3; 4) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(; 3;) параллельно векторам a (; ; 4) и b ( 5;; 3) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(; 5; 4) и отсекающей на осях координат равные отрезки Найти углы между двумя плоскостями: а) 3x y 5z 0, x 4y z 6 0; б) x 4y 8z 0, x 0y 7z *. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M ( 3;; ) перпендикулярно к плоскостям 6x y 5z 3 0 и z Привести к нормальному виду уравнения плоскостей: а) x y 4z 3 0; б) x y z 5 0; в) 3x y 6z 3 0; г) 0z Найти расстояние от точки до плоскости в каждом из следующих случаев: а) M (; ; 5), x y z 5 0; б) M (; 3; 5), x 3y 6z 7 0; 4

11 в) M (; ; ), 6x y 5z Найти расстояние между параллельными плоскостями: а) 3x y 6z 4 0, 3x y 6z 35 0; б) x 6y 5z 50 0, x 6y 5z На оси Ox найти точку, отстоящую от плоскости 6x y 3z 0 на расстоянии d Составить уравнение плоскости, параллельной плоскости 6x3yz3 0 и отстоящей от нее на 7 единиц Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(7; 0; ), B (0; 0; 8) и отстоящей от начала координат на 4 единицы Даны вершины пирамиды A(3; 5; 3), B( ;; 5), C(; ; 4), D (0; 6; 4). Найти высоту, опущенную из вершины D. Прямая в пространстве может быть задана уравнением одного из приведенных ниже видов. Векторно-параметрическое уравнение прямой в пространстве r r ts, (5.) где r радиус-вектор произвольной точки прямой, r радиус-вектор некоторой точки M( x; y; z ), принадлежащей прямой, а s ( l; m; n) направляющий вектор прямой. Координатная форма уравнения (5.) дает параметрические уравнения прямой в пространстве x x tl, y y tm, z z tn. Канонические уравнения прямой в пространстве x y z z, (5.3) l m n представляющие собой уравнения прямой, проходящей через точку с координатами ( x; y; z ) параллельно направляющему вектору s ( l; m; n). Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки M( x; y; z ) и M ( x ; y ; z ) x y z z x y z z Общие уравнения прямой в пространстве A x B y C z D 0, A x B y Cz D. 0, (5.4) 5

12 задающие прямую, как линию пересечения двух плоскостей. Пример 5.4. Составить уравнения прямой, проходящей через точку A(; ; ) параллельно вектору s ( ; 0; ). Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид x y z. 0 Эти уравнения эквивалентны системе двух уравнений y 0, x z 0. Пример 5.5. Прямая задана общими уравнениями x y 5z 0, 3x 4y z 3 0. (5.5) Составить канонические уравнения прямой. Решение. Положим в уравнениях (5.5) z 0, тогда получим систему уравнений x y 0, 3x 4y 3 0, из которой находим 0. Таким образом, точка M (; 0; 0) лежит на рассматриваемой прямой. Так как n (; ; 5), n (3; 4; ), то направляющий вектор прямой равен i j k s n n 5 9i 7 j k. 3 4 Следовательно, канонические уравнения прямой имеют вид x y z. 9 7 Угол между прямыми в пространстве можно определить с помощью формулы s s l l m m n n cos, s s l m n l m n (5.6) где s ( l; m; n ) s ( l; m; n) направляющие векторы данных прямых. Если две прямые параллельны, то их направляющие векторы коллинеарны, т. е. выполняется условие l l m m n n. Если две прямые взаимно перпендикулярны, то l l m m n n 0. Пример 5.6. Найти угол между прямыми x y z и x 5 y z Решение. Направляющими векторами прямых являются векторы s (; 3; 8) и s (3; 4; 7). По формуле (5.6) находим 6

13 7 3 ( 3) cos Следовательно, острый угол между прямыми 3. Пример 5.7. Написать уравнения прямой, проходящей через точку M ( 4; 5; 3) и перпендикулярной к прямым x y 3 z, x y z. 3 Решение. Искомая прямая перпендикулярна к направляющим векторам данных прямых s (3; ; ) и s (;; ). Поэтому в качестве ее направляющего вектора можно взять векторное произведение i j k s s s 3 5i 4 j 7 k. Таким образом, уравнения искомой прямой имеют вид x 4 y 5 z Если прямая задана каноническими уравнениями (5.3), а плоскость общим уравнением (5.7), то синус угла между прямой и плоскостью определяется формулой s n Al Bm Cn sin. s n A B C l m n Если прямая параллельна плоскости, то Al Bm Cn 0. Если прямая перпендикулярна к плоскости, то A l B m C n. Пример 5.8. Найти значение m, при котором прямая z3 3 m параллельна плоскости x 3y 6z 3 0. Решение. Направляющий вектор прямой s (3; m; ), а нормальный вектор плоскости n (; 3; 6). Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид: n s 3m 9 0, откуда m 3. Расстояние от точки M0( x0; y0; z 0) до прямой (5.3), проходящей через точку M( x; y; z ), равно r r ( x x ; y y ; z z ). где d 0 r r s s Пример 5.9. Найти расстояние от точки M0 (; 3; ) до прямой, 7

14 Решение. Точка s (; ; ). Далее находим 8 x y 3 z. M (; 3;) лежит на прямой. Поэтому r0 r (0; 6; 3), i j k r r s i 3 j 6 k, r r s 9, s 3, 0 0 и искомое расстояние d Составить параметрические и канонические уравнения прямой, проходящей через точку M (4; ; 3) параллельно вектору a (4; 5; 7) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M (9; 8; 5) перпендикулярно: а) плоскости x 3y 4z 6 0; б) плоскости Oxy Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M (; 5; 8) параллельно прямой x 3 4 t, y 7 9 t, z 6t Составить параметрические уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника с вершинами A(4; 5; 7), B(3; ; ), C( 6; 8;0) Написать канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями x y 3z 4 0, 3x y 5z Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку A( 3;; 0) параллельно прямой 4x y 3z 0, x 3y 5z Найти косинус угла между прямыми x 8 t, y 5 4 t, z t и x t, y t, z 3 t Найти угол между прямой x y z и плоскостью x y z Найти расстояние от начала координат до прямой x6 3 t, y 5 5 t, z t Найти расстояние от точки M (; ; ) до прямых: а) x 5 3 t, y t, z 5 t; 3 б) y z Найти точку пересечения прямой x y z 3 и плоскости x y z *. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A (;; 4) x 3 y 5 z и прямую. 3

15 5.88. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A( ;; ) и прямую x 5 t, y t, z t. 5.89*. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x 3 y 7 z перпендикулярно к плоскости x 5y z *. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x y z перпендикулярно к плоскости x 3y z Проверить, лежит ли прямая x 5 t, y 4 t, z 7t в плоскости x 3y z *. Составить уравнения прямой, проходящей через точку A( ;; ) x y z 5 z 3 и пересекающей прямые и x 3 y z Точка А лежит на прямой и равноудалена от точек 3 B (3; 0; ) и C( ;; 5). Найти координаты точки А Линии второго порядка Линия второго порядка на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением второй степени a x a xy a y a x a y a Примерами линий второго порядка являются окружность, эллипс, гипербола, парабола. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке C( a; b ) имеет вид (см. пример 5.3) ( x a) ( y b) R Найти координаты центра и радиус окружности x x y 4y Составить уравнение окружности, касающейся оси Оу и проходящей через точки M (; 6) и N(5; ). 5.96*. Составить уравнение окружности, имеющей центр в точке C (5; 5) и касающейся прямой 3x 4y5 0. Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами. Каноническое уравнение эллипса x a y (5.7) b. где a большая, b малая полуоси. Фокусами эллипса, определяемого уравнением (5.7), являются точки F( c; 0) и F ( c ; 0) (см. рис. 5.3), где c a b. 9

16 Точки A ( a; 0) A ( a; 0) B ( b; 0) B (0; b) называются вершинами эллипса. Отношение расстояния между фокусами к длине большой оси эллипса называется эксцентриситетом эллипса, ca. Отрезки FM r и FM r, где M ( x; y ) произвольная точка эллипса, называются фокальными радиусами этой точки. Их можно вычислить по формулам: r a x r a x. Прямые x a и xa называются директрисами эллипса. Рис. 5.3 Отношение расстояния r от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию d от той же точки до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса, rd. Пример Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса 9x 6y 44. Решение. Разделив данное уравнение на 44, приведем его к каноническому виду, Отсюда находим, что большая полуось a 4, малая по- 6 9 луось b 3. Так как эллипса находятся в точках c a b, то c Следовательно, фокусы F( 5;0), F ( 5;0) соответственно. Эксцентриситет ca Составить уравнение эллипса, фокусы которого находятся на оси Ох, симметрично относительно начала координат, если: а) большая ось равна 0, а расстояние между фокусами 8; б) малая полуось равна 5, а расстояние между фокусами 4; в) расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением 4x 9y Найти расстояние между директрисами эллипса 9x 8y Построить линии, определяемые уравнениями: а) 3 6 x ; y б) Определить точки эллипса правого фокуса равно 4. 9 x ; y в) y ; x 7, расстояние от которых до 0

17 5.0. Определить точки эллипса, расстояние от которых до правого фокуса в четыре раза больше расстояния до левого фокуса Составить каноническое уравнение эллипса, если: а) фокусы эллипса находятся в точках ( ; 0), а директрисами являются прямые x 8; б) расстояние от директрисы до ближайшей вершины равно 4, а до вершины, лежащей на оси Оу равно 8; в) директрисами эллипса являются прямые x 4, а четырехугольник с вершинами в фокусах и концах малой оси квадрат Фокусы эллипса делят расстояние между директрисами на три части. Найти его эксцентриситет Определить эксцентриситет эллипса, если его малая ось видна из фокусов под прямым углом Составить уравнения сторон квадрата, вписанного в эллипс На эллипсе x 4y 4 найти точки, из которых отрезок, соединяющий фокусы, виден: а) под прямым углом; б) под углом *. Орбита Земли относительно Солнца эллипс с полуосью a 50 млн. км и эксцентриситетом 0,07. Найти разность максимального и минимального расстояний от Земли до Солнца, которое находится в одном из фокусов орбиты Земли. Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами. Каноническое уравнение гиперболы x a y (5.8) b, где a действительная, b мнимая полуоси. Фокусами гиперболы, определяемой уравнением (5.8), являются точки F( c; 0) и F ( ; 0) c (см. рис. 5.4), где c a b. Точки A( a; 0), A ( ; 0) a называются вершинами гиперболы. Прямые y b a x являются асимптотами гиперболы. Отношение расстояния между фокусами к длине действительной оси Рис. 5.4

18 гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы, ca. Отрезки FM r и FM r, где M ( x; y ) произвольная точка гиперболы, называются фокальными радиусами этой точки. Фокальные радиусы равны: r a x, r a x, если точка M лежит на правой ветви гиперболы, и r a x, r a x, если эта точка лежит на левой ветви гиперболы. Прямые x a называются директрисами гиперболы. Как и для эллипса, отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы. Пример 5.. Составить каноническое уравнение гиперболы, если ее 3 асимптоты заданы уравнениями y x, а расстояние между фокусами равно 4 0. b Решение. Из условия задачи следует, что 3, c a b 0 a 4. Отсюда находим, что a8, b 6. Следовательно, каноническое уравнение гипер- болы Составить уравнение гиперболы, центр которой совпадает с началом координат, а действительная ось с осью Ох, если: а) действительная полуось равна 3, а расстояние между фокусами равно 0; б) действительная ось гиперболы равна 8 и гипербола проходит через точку M 8; 3; в) расстояние между директрисами равно 83 и эксцентриситет равен Дана гипербола. Найти координаты фокусов и эксцентриситет Определить угол между асимптотами гиперболы, если ее эксцентриситет равен. 5.. Найти эксцентриситет гиперболы, если угол между ее асимптотами равен На гиперболе найти точки, расстояние от которых до 6 9 правого фокуса равно На гиперболе найти точки, для которых расстояние от 9 6 левого фокуса вдвое больше, чем от правого.

19 5.5. Найти расстояние от фокуса гиперболы x 8y 8 до ее асимптоты Найти точки пересечения гиперболы и прямой Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса. Составить 5 9 уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет Написать уравнение гиперболы, проходящей через фокусы эллипса и имеющей фокусы в вершинах этого эллипса Директрисы гиперболы делят расстояние между ее фокусами на три равные части. Найти эксцентриситет гиперболы Эксцентриситет гиперболы 3, фокальный радиус ее точки M, проведенный из правого фокуса, равен 6. Найти расстояние от точки M до правой директрисы. 5.*. Доказать, что вершины гиперболы и четыре точки пересечения ее директрис с асимптотами лежат на одной окружности. Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой директрисой. Каноническое уравнение параболы y px, (5.9) где p параметр параболы. Парабола, определяемая уравнением (5.9), проходит через начало координат и симметрична относительно оси Ox (рис. 5.5). Уравнение директрисы параболы имеет вид x p, а ее Рис.5.5 фокусом является точка F( p 0). Отрезок FM r, где M ( x; y ) произвольная точка параболы, называется фокальным радиусом этой точки. Он равен r x p. Уравнение параболы, проходящей через начало координат, симметричной относительно оси Oy и лежащей в верхней полуплоскости, имеет вид x py. Пример 5.. Написать уравнение касательной к параболе y 8x, параллельной прямой 3 0. Решение. Уравнение касательной к кривой y f ( x) в точке M0( x0; y 0) имеет вид y y0 f ( x0)( x x0). Функция y f ( x) задается уравнением пара- 3

20 болы y px как неявная функция. Дифференцируя это уравнение, получим y y p, y0y( x0) p. Отсюда находим, что y0 y y0 y0 y 0( x x0), y0 y px0 p( x x0), y0 y p( x x0). В данном примере p 4. По условию, угловой коэффициент касательной k p y0. Отсюда получаем, что y0 4, x0. Таким образом, уравнение искомой касательной имеет вид Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, а ось симметрии совпадает с осью Ох, если: а) расстояние от вершины до фокуса равно 3; б) расстояние от фокуса до директрисы равно 8; в) парабола проходит через точку M (; ) На параболе y 4x найти точки, расстояние от которых до фокуса равно Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, а ось симметрии совпадает с осью Oy, если парабола проходит через точку M (4; 8). 5.5*. Камень, брошенный под углом к горизонту, описал дугу параболы и упал на расстоянии 6 м от начальной точки. Найти параметр p параболы, если наибольшая высота, достигнутая камнем, равна м. 5.6*. Найти, под каким углом к горизонту должна быть направлена струя воды, вылетающая из пожарного рукава со скоростью v 0 м/с, чтобы попасть в окно, находящееся на высоте h 6м в стене, расположенной на расстоянии d 0 м от наконечника рукава Определить точки пересечения прямой 3 0 и параболы y 4x Составить уравнение прямой, которая касается параболы y x и параллельна прямой *. Найти наибольший радиус окружности, лежащей внутри параболы y px и касающейся этой параболы в ее вершине. Общее по форме уравнение для эллипса, правой ветви гиперболы и параболы в полярных координатах имеет вид p r. (5.0) cos При этом полюс совпадает с фокусом, а полярная ось направлена в сторону, противоположную ближайшей к этому полюсу директрисе. Уравнение (5.0) при описывает эллипс, при параболу, при правую ветвь гиперболы. Входящее в это уравнение число p для параболы совпадает с ее параметром. Для эллипса и гиперболы p b a. Пример 5.3. Написать каноническое уравнение линии, заданной в полярных координатах уравнением r. 5 3 cos 4

21 Решение. Преобразуя уравнение линии к виду 5 r 3 cos 3 найдем p 5 3, 3. Таким образом, данная линия эллипс. Далее имеем: откуда находим a 3, 5 b 5 c a b b 5,, a 3 a a 3 a 9 b и каноническое уравнение линии Составить уравнение эллипса в полярных координатах, если дано его каноническое уравнение, полярная ось совпадает с осью Ох, а 5 9 полюс с левым фокусом Составить уравнение правой ветви гиперболы в полярных координатах, считая, что полярная ось совпадает с осью Ох, а полюс с 6 9 левым фокусом. Составить канонические уравнения следующих линий, заданных уравнениями в полярных координатах: r cos 8 r cos r. cos 44 r 3 5cos r 3cos r. cos r cos 6 r cos r 5.5. Исследование общего уравнения линии второго порядка Общее уравнение алгебраической линии второго порядка имеет вид Числа cos. a x a xy a y a x a y a 0. (5.) a a a a a s a a a a a 3,, 3 a a a3 a3 a33 называются инвариантами уравнения линии второго порядка. При 0 урав- 5

22 нение (5.) описывает центральную линию. Центр линии точка O ( x0, y 0), координаты которой удовлетворяют системе уравнений 6 a x a y a a x a y a и могут быть определены по формулам x x 0 0 y, y, где , a a a a x,. a a a a 3 3 y 3 3 (5.) (5.3) Преобразование координат x x x0, y y y0, которое соответствует переносу начала координат в точку O ( x0; y 0), приводит уравнение центральной линии к виду ax a a y c 0, где c. Дальнейшее упрощение уравнения достигается при помощи преобразования координат x X cos Y sin, y X sin Y cos, соответствующего повороту осей координат на угол. Если определить угол поворота из соотношения a a tg, (5.4) где одно из решений характеристического уравнения то уравнение центральной линии принимает вид (5.5) s 0, X Y 0. (5.6) Это уравнение может определять различные линии на плоскости в зависимости от значений, принимаемых инвариантами уравнения s, и. Если 0 s 0, то корни характеристического уравнения и имеют одинаковый знак, противоположный знаку. В этом случае уравнение X Y (5.6) можно переписать в виде, где a 0, b 0. a b Следовательно, уравнение (5.6) описывает эллипс, в частности, при окружность. Если при выбрать в качестве меньший корень характеристического уравнения (5.5), то a b. Если 0, s 0, то уравнению (5.6) не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости. Если 0 0, то уравнению (5.6) удовлетворяют координаты лишь одной точки плоскости с координатами x 0 y 0. Если 0 0, то и имеют разные знаки. Обозначая через тот

23 корень характеристического уравнения, знак которого совпадает со знаком, X Y уравнение (5.6) можно представить в виде, где a 0, a b b 0. Таким образом, в данном случае уравнение (5.6) описывает гиперболу. Если 0, 0, то уравнение (5.6) задает пару пересекающихся прямых. Пример 5.4. Построить линию 5x 6xy 5y 4x y 5 0. Решение. В данном примере a 5, a 3, a 5, a3 7, a3, a33 5. Найдем инварианты уравнения линии: s 0, 6, Поскольку 0, то уравнение определяет центральную линию. Координаты центра можно найти, решив систему уравнений (см. (5.)) 5x0 3y0 7, 3x0 5y Так как x 3, y 6, то x0, y0. Преобразова- 5 3 ние координат x x, y y приводит уравнение линии к виду 5x 6 5y 8 0. Характеристическое уравнение имеет вид 8. Угловой коэффициент оси ( 5) 3, следовательно, , откуда OX равен tg В системе координат O XY уравнение линии примет вид k a a x 8y 8 0, или. Таким образом, линия представляет собой эллипс с центром в 4 точке O (; ), большая полуось которого повернута на угол 45 по отношению к оси Ox (см. рис. 5.6). Пример 5.5. Построить линию 3x 4xy y x 0. Решение. Находим инварианты уравнения линии: 3 3 s 4,, Поскольку 0, 0, то уравнение определяет пару пересекающихся 7

24 прямых. Разрешая уравнение относительно y, получим y x ( x ), откуда находим уравнения прямых y x, y 3x. Центром линии является точка пересечения прямых O ( ; ) (рис. 5.7). 8 Рис Рис Если aa a 0, то линия не имеет единственного центра. В этом случае преобразование координат x x cos y sin, y x sin y cos, соответствующее повороту системы координат Oxy на угол, приводит уравнение (5.) к виду x y b x b y a33 0, где b a3 cos a3 sin, (5.7) b a3 sin a3 cos, а и являются корнями характеристического уравнения (5.5). Поскольку 0, то один из корней этого уравнения равен нулю. Пусть 0, тогда tg a a, а уравнение линии принимает вид y b x b y a 0. (5.8) 33 Если 0, то и b 0, причем угол можно выбрать так, что b 0. В этом случае, выделяя в уравнении (5.8) полный квадрат и вводя новые координаты X Y по формулам X x a33 b b, Y y, b b получим каноническое уравнение параболы b Y px, p. 3 s Если 0, то 0 Y b c 0, где c a33 b. При c 0 это уравнение описывает пару параллельных прямых, при c 0 пару совпадающих прямых, при c 0 нет точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. b, и уравнение линии примет вид

25 Пример 5.6. Построить линию 9x 4xy 6y 40x 30y Решение. Инварианты уравнения линии равны s 9 6 5, 0, Поскольку 0, 0, то уравнение описывает параболу. Характеристи- ческое уравнение имеет вид 5 0, а его корни равны 0, 5. Найдем угол поворота осей координат. Имеем a tg, cos, sin. a Далее по формулам (5.7) находим tg b a cos a sin 0 (4 5) 5 ( 3 5) 5, b a sin a cos 0 ( 3 5) 5 (4 5) 0. Таким образом, после поворота осей координат на угол arctg 3, при 4 x 4x 3y 5, y котором происходит преобразование координат 3x 4y 5, уравнение примет вид 5y 50x 00 0, или y ( x ) 0. Перенося начало координат в точку O (рис. 5.8), так что y Y, x X, получаем каноническое уравнение параболы Y X в системе координат O XY. Рис. 5.8 Рис. 5.9 Пример 5.7. Построить линию 4x 0xy 5y 4x 0y 3 0. Решение. Имеем a 4, a 0, a 5, a3, a3 5, a33 3. Найдем инварианты уравнения линии: s 9, 0,

26 30 Поскольку 0, 0, то уравнение описывает пару параллельных пря- мых. Действительно, его можно представить в виде (x 5 y) (x 5 y) 3 0, откуда x5y. В данном случае линия имеет бесконечное множество центров, координаты которых удовлетворяют уравнению (см. (5.)) x5y (рис. 5.9). Найти центры следующих линий x xy y x 4xy y x 0y x 4xy y 0x 0y x 6xy y x x 4xy y 8x 4y 0. x 6xy 5y x 36y 0. Построить линии, приведя их уравнения к каноническому виду и определив координаты центра и угол поворота системы координат x xy y x 4xy 5y 64x 64 y x 4xy 36y 8x 96y x 4xy y 64x 4 y 5 0. Проверить, что каждое из следующих уравнений определяет пару пересекающихся прямых, и найти их уравнения x xy y x 5xy 3y x 9y x 4xy 8y 5x 8y 9 0. Построить линии, приведя их уравнения к каноническому виду и указав соответствующие преобразования координат x 4xy 6y 8 0. x xy y x 4xy 6y 0x 0 y Проверить, что каждое из следующих уравнений определяет пару парал-

27 лельных прямых, и найти их уравнения x 4xy y x 6y x 0xy y x 4xy y x 6y Поверхности второго порядка Общее уравнение поверхности второго порядка в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz имеет вид a x a y a z a xy a yz a xz a4 x a4 y a34z a44 0. Так же как и в случае линии второго порядка, с помощью преобразований координат это уравнение можно привести к наиболее простому (каноническому) виду. Приведем уравнения для основных типов получаемых при этом поверхностей. z a b c ; z a b c z a b c ; ; z p q ( p q 0) ; Эллипсоид (рис. 5.0) однополостный гиперболоид (рис. 5.) двуполостный гиперболоид (рис. 5.) эллиптический параболоид (рис. 5.3) гиперболический параболоид (рис. 5.4) эллиптический цилиндр (рис. 5.5) гиперболический цилиндр (рис. 5.6) параболический цилиндр (рис. 5.7) конус второго порядка x p y z ( p q 0) ; q ; a b ; a b y px ; z 0 (рис. 5.8). a b c 3

28 Рис. 5.0 Рис. 5. Рис. 5. Рис. 5.3 Рис. 5.4 Рис

29 Рис. 5.6 Рис. 5.7 Рис Записать уравнение сферы, проходящей через точку A(; ; ) и имеющей центр в точке O (; 0; 3). Привести уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду и определить вид поверхности z z x 4y 36z 36x 4y x 3y 6z 8x 6y z 0. 4 z y 4z 0. 4x 4y 9z 6x 36z 0 0. z x 3y z x 4y 54x 8y

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие.

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие. КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики УДК 57 Рецензенты: д-р физ-мат наук, профессор ТМ Иманалиев, канд физ-мат наук, доцент КИ Ишмахаметов ЖР Джаналиева, СБ Доулбекова

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016 Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам 01-03 к экзамену в январе 2016 1. Операции сложения векторов и умножения вектора на число, их свойства. 2. Линейно зависимые и линейно независимые системы

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Казань 008 0 Казанский государственный университет Кафедра общей математики Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка»

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Математика и финансовые приложения Е.С. Волкова Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» Москва 00 Аннотация Курс лекций содержит

Подробнее

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса;

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса; эллипса КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная,

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Д.Ю. ВОЛКОВ, К. В. ГАЛУНОВА, В. В. КРАСНОЩЕКОВ МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ СБОРНИК

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Лекция 11 M L G K M C

Лекция 11 M L G K M C Лекция 11 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики НЛ Воронцова АВ Маргулян НК Орехова ЕС Филимонова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a.

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a. Занятие 12 Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F 1 и F 2, называемых

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Контрольная работа 3

Контрольная работа 3 Контрольная работа 3 ВАРИАНТ 1 Составить уравнение прямой, перпендикулярной и проходящей через точку пересечения прямых и.. Записать уравнение прямой проходящей через точки и и найти расстояние от точки

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс. 1.1. Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические рекомендации к практическим занятиям

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка 1 Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка Аннотация: Из определений выводятся канонические уравнения кривых: эллипса, гиперболы и параболы. Даются параметрические уравнения эллипса и гиперболы.

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Классификация поверхностей второго порядка

Классификация поверхностей второго порядка Классификация поверхностей второго порядка Основные понятия Поверхностью второго порядка называется множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Практическое занятие 14 Тема: Парабола

Практическое занятие 14 Тема: Парабола Практическое занятие 14 Тема: Парабола План 1. Определение и каноническое уравнение параболы.. Геометрические свойства параболы. Взаимное расположение параболы и прямой, проходящей через ее центр. Основные

Подробнее

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL.

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL. Лекция 9 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Кривые второго порядка.

Кривые второго порядка. Кривые второго порядка. Определение : Линией кривой) второго порядка называется множество {М} точек плоскости, декартовы координаты X, Y) которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:,

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4 ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность... 1.Эллипс... 1 3.Гипербола.... 4.Парабола.... 4 1.Окружность Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 2. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Гомель, 2007 Содержание Тема 1. Эллипс 4 1.1 Эллипс и его каноническое уравнение............

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Уравнения кривых второго порядка Окружность Определение Окружность это геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности, на расстоянии r

Подробнее

Лекция 6 Поверхности второго порядка. Эллиптический тип

Лекция 6 Поверхности второго порядка. Эллиптический тип Лекция 6 Поверхности второго порядка Пространственным аналогом кривых второго порядка являются поверхности второго порядка, имеющие уравнение вида F(x,y,z) =, где F(x,y,z) многочлен второй степени от x,y,z.

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кривые второго порядка Индивидуальные

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость»,

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», «Кривые и поверхности второго порядка». Под индивидуальными

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

- параболический цилиндр.

- параболический цилиндр. Поверхности второго порядка. Определение. Поверхностью в пространстве называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x, y, z) =. Самый простой вид поверхности, изученный

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

49. Цилиндрические и конические поверхности

49. Цилиндрические и конические поверхности 49. Цилиндрические и конические поверхности 1. Цилиндрические поверхности Определение. Пусть в пространстве заданы линия l и ненулевой вектор a. Поверхность, образованная прямыми, проходящими через всевозможные

Подробнее

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Методические указания и задания по аналитической геометрии для студентов 1-го курса Агапова Елена Григорьевна Битехтина Екатерина Андреевна 3 Введение

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Т.Е. Воронцова И.Н. Демидова Н.К. Пешкова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

Аналитическая геометрия в пространстве. Содержание. 1 Общие сведения 1

Аналитическая геометрия в пространстве. Содержание. 1 Общие сведения 1 Аналитическая геометрия в пространстве Содержание 1 Общие сведения 1 2 Плоскость в пространстве 2 2.1 Уравнение в отрезках................ 3 2.2 Нормальное уравнение плоскости......... 4 2.3 Расстояние

Подробнее

Лекция 13. Эллиптический тип

Лекция 13. Эллиптический тип Лекция 13 Поверхности второго порядка Пространственным аналогом кривых второго порядка являются поверхности второго порядка, имеющие уравнение вида F(x,y,z) =, где F(x,y,z) многочлен второй степени от,y,z.

Подробнее

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ»

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» Составитель кпн Пекельник НМ НМ Пекельник - 1 - Указания по выполнению

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Министерство образования РФ Уральский государственный технический университет УПИ Нижнетагильский технологический институт С.Е.Демин, Е.Л.Демина ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ (конспект лекций) г. Нижний

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 9 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 1. Каноническое уравнение эллипса Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, сумма расстояний от каждой

Подробнее

Е.А. Гонжа. векторная алгебра и аналитическая геометрия

Е.А. Гонжа. векторная алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) ЕА Гонжа векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АКАДЕМИЯ АРХИТЕКТУРЫ И ИСКУССТВ В.В. ТРОФИМОВ, С.П.

Подробнее

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратовский государственный университет им.н.г.чернышевского Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратов 2001 Контрольная работа 1 по теме Основные формулы аналитической

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю Б Мельников Кривые и поверхности второго порядка Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд 3-е,

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее