КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга» О. В. Шереметьева КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I Учебно-методическое пособие Петропавловск-Камчатский 2013

2 УДК 513(075.8) ББК Я73 Ш49 Издание осуществлено при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках программы стратегического развития ФГБОУ ВПО «Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга» на гг. Рецензенты: А.П.Горюшкин, кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математики и физики КамГУ им. Витуса Беринга; А.Е.Рязанцев, кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой информатики КамГУ им. Витуса Беринга Шереметьева О.В. Ш49 Краткий курс геометрии. Часть I: учеб.-метод. пособие О. В. Шереметьева; КамГУ им. Витуса Беринга. Петропавловск-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга, с. ISBN В учебно-методическом пособии систематизирован материал по дисциплине геометрия, читаемой для студентов I-II курсов физикоматематического факультета. Материал систематизируется и обобщается так, чтобы глава или параграф главы являлся полным ответом на один из вопросов государственного экзамена, а также может быть использован студентами I-II курсов физико-математических специальностей при подготовке к семестровым экзаменам по базовому курсу геометрии. Рекомендовано учебно-методическим советом ФГБОУ ВПО «Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга» в качестве учебно-методического пособия для студентов, обучающихся по направлению подготовки «Прикладная математика». УДК 513(075.8) ББК Я73 c О. В. Шереметьева, 2013 ISBN c КамГУ им. Витуса Беринга, 2013

3 Оглавление 1. Векторная алгебра Скалярное произведение векторов Векторное произведение векторов Смешанное произведение векторов Метод координат Cистемы координат на плоскости Преобразование систем координат Простейшие задачи в координатах Прямая линия на плоскости Алгебраическая линия Способы задания и виды уравнений прямой на плоскости Взаимное расположение прямых на плоскости Метрические задачи Линии второго порядка Эллипс и его свойства Гипербола и её свойства Парабола и её свойства Классификация линий второго порядка Метрические задачи

4 Оглавление 5. Плоскость и прямая в пространстве Способы задания и уравнения плоскости Основные теоремы Положение плоскости относительно системы координат Взаимное расположение плоскостей Способы задания и уравнения прямой Взаимное расположение прямых Взаимное расположение прямой и плоскости Метрические задачи Преобразования плоскости Линейные преобразования векторов плоскости Ортогональные преобразования плоскости Векторные преобразования подобия Аффинные преобразования плоскости Преобразования подобия плоскости Движения плоскости Основания геометрии Пятый постулат Евклида Непротиворечивость системы аксиом Независимость и полнота системы аксиом Длина отрезка Существование длины отрезка Единственность длины отрезка Площадь многоугольника Измерение площадей многоугольников Квадрируемые фигуры. Площадь круга Система аксиом плоскости Лобачевского Пучки прямых на плоскости Лобачевского

5 Глава 1. Векторная алгебра Умножение векторов. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их свойства, вычисление и приложения к решению геометрических задач Скалярное произведение векторов Определение: Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: a b = a b cos( a, b) (1.1) Определение: Проекцией вектора a на вектор b называется число равное произведению длины вектора a на косинус угла между векторами a и b: pr b a = a cos( a, b) (1.2) Следствие: На основании выражений (1.1) и (1.2) можно скалярное произведение определить через проекции: a b = a pr a b = b pr b a

6 1 Векторная алгебра Свойства: 1) Скалярное произведение векторов коммутативно: a b = b a 2) Скалярное произведение векторов ассоциативно относительно умножения на число: (λ a) b = a (λ b) = λ ( a b) 3) Скалярное произведение векторов обладает свойством дистрибутивности относительно сложения векторов: c ( a + b) = c a + c b 4) Скалярный квадрат ненулевого вектора равен квадрату длины этого вектора: a 2 = a 2 5) Скалярное произведение векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда векторы a и b ортогональны. Следствие: Если базис ( e 1, e 2, e 3 ) ортонормированный, то выполняются следующие равенства для базисных векторов: e 1 = e 2 = e 3 = 1, e 1 e 2 = 0, e 1 e 3 = 0, e 2 e 3 = 0. Обозначается такой базис ( i, j, k). 6) Если векторы a и b заданы в ортонормированном базисе ( i, j, k) своими координатами, то скалярное произведение векторов a и b равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов: a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (1.3) 6 Доказательство: Векторы a и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе ( i, j, k), а значит могут быть

7 1.1 Скалярное произведение векторов представлены как линейная комбинация базисных векторов: a = a 1 i + a 2 j + a 3 k b = b1 i + b 2 j + b 3 k Рассмотрим скалярное произведение этих векторов a b = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) (b1 i + b 2 j + b 3 k) = = (a 1 i) (b 1 i) + (a 2 j) (b 2 j) + (a 3 k) (b3 k) = = (a 1 b 1 ) ( i) 2 + (a 2 b 2 ) ( j) 2 + (a 3 b 3 ) ( k) 2 = = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 Таким образом, получили формулу (1.3). Свойство доказано. Следствие: Из определения скалярного произведения векторов (1.1) и свойств 4 и 6 следует cos( a, b) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (a a a2 3 ) (b b2 2 + b2 3 ). Рассмотрим вектор a в базисе ( i, j, k): a = a 1 i + a 2 j + a 3 k. Умножим вектор a скалярно на базисный вектор i: a i = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) i = a 1 i i + a 2 j i + a 3 k i. Откуда на основании свойства 4 и следствия из свойства 5: a i = a 1. С другой стороны, по определению скалярного произведения через проекции: a i = a i cos( i, a) = a cos( i, a) = pr i a. (1.4) 7

8 1 Векторная алгебра В результате получаем: pr i a = a 1. Рассуждая аналогичным образом, получим, что pr j a = a 2 и pr k a = a 3. Определение: Углы, образованные вектором a с базисными векторами ( i, j, k), называются направляющими углами, а их косинусы: cos( i, a) = cos(α), cos( j, a) = cos(β), cos( k, a) = cos(γ) называются направляющими косинусами вектора. Замечание: Координатами единичного вектора являются направляющие косинусы e (cos(α), cos(β), cos(γ)) Векторное произведение векторов Определение: Пара ненулевых линейно независимых векторов имеет правую ориентацию, если: 1) либо кратчайший поворот от первого ко второму вектору, которые отложены от общей точки, будет осуществляться против часовой стрелки; 2) либо векторы расположены как большой и указательный пальцы правой руки соответственно, если смотреть со стороны ладони. Определение: Упорядоченная тройка ненулевых линейно независимых векторов имеет правую ориентацию, если: 1) либо обход векторов производится против часовой стрелки; 8 2) либо векторы расположены как большой, указательный и средний пальцы правой руки соответственно, если смотреть со стороны ладони;

9 1.2 Векторное произведение векторов 3) либо поворот от первого вектора ко второму вектору будет производиться против часовой стрелки, если смотреть из конца третьего вектора. Определение: Векторным произведением неколлинеарных векторов a и b называется вектор c, обозначаемый a b или [ a, b] и удовлетворяющий условиям: 1) c = a b sin( a, b); 2) c a, c b; 3) упорядоченная тройка векторов ( a, b, c) имеет правую ориентацию, т. е. одинаково ориентирована с базисом ( i, j, k). Свойства: 1) Геометрический смысл векторного произведения: Модуль векторного произведения неколлинеарных векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах. 2) Векторное произведение двух векторов равно нульвектору, тогда и только тогда, когда эти два вектора коллинеарны. Доказательство: 1. Необходимость. Пусть векторное произведение c = a b = 0, тогда на основании условия 1 определения векторного произведения векторов c = 0. Так как векторы a и b не нулевые, то sin( a, b) = 0. Следовательно, векторы a и b составляют либо угол 0, либо 180. Значит, векторы a и b коллинеарны. 9

10 1 Векторная алгебра 2. Достаточность. Пусть ненулевые векторы a и b коллинеарны, тогда на основании условия 1 определения векторного произведения векторов c = 0. Следовательно, по определению нульвектора векторное произведение c = a b = 0. Свойство доказано. 3) Векторное произведение векторов антикоммутативно: a b = ( b a) 4) Векторное произведение векторов ассоциативно относительно умножения на число: (λ a) b = a (λ b) = λ ( a b). Следствие: (λ a) (µ b) = (λ µ) ( a b). 5) Векторное произведение векторов дистрибутивно относительно сложения векторов: c ( a+ b) = c a+ c b. 6) Пусть задан ортонормированный базис ( i, j, k), тогда выполняются следующие равенства для базисных векторов: i i = 0, j j = 0, k k = 0, i j = k, i k = j, j k = i, которые могут быть представлены в виде таблицы: i j k i 0 k j j k 0 i k j i ) Пусть векторы a и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе ( i, j, k). Тогда векторное

11 1.2 Векторное произведение векторов произведение этих векторов c = a b определяется в том же базисе следующим образом c = a 2 a 3 b 2 b 3 i a 1 a 3 b 1 b 3 j + a 1 a 2 b 1 b 2 k. (1.5) Доказательство: Векторы a и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе ( i, j, k), а значит могут быть представлены как линейная комбинация базисных векторов: a = a 1 i + a 2 j + a 3 k b = b1 i + b 2 j + b 3 k Рассмотрим векторное произведение векторов a и b c = a b = = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) (b1 i + b 2 j + b 3 k) = = (a 1 i) (b 1 i) + (a 1 i) (b 2 j) + (a 1 i) (b 3 k)+ +(a 2 j) (b 1 i) + (a 2 j) (b 2 j) + (a 2 j) (b 3 k)+ +(a 3 k) (b1 i) + (a 3 k) (b2 j) + (a 3 k) (b3 k) = = (a 1 b 2 ) ( i j) + (a 1 b 3 ) ( i k) + (a 2 b 1 ) ( j i)+ +(a 2 b 3 ) ( j k) + (a 3 b 1 ) ( k i) + (a 3 b 2 ) ( k j) = = (a 1 b 2 ) ( i j) (a 1 b 3 ) ( k i) (a 2 b 1 ) ( i j)+ +(a 2 b 3 ) ( j k) + (a 3 b 1 ) ( k i) (a 3 b 2 ) ( j k) = = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) i (a 1 b 3 a 3 b 1 ) j + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) k = = a 2 a 3 b 2 b 3 i a 1 a 3 b 1 b 3 j + a 1 a 2 b 1 b 2 k. Таким образом, пришли к выражению (1.5). Свойство доказано. 11

12 1 Векторная алгебра 1.3. Смешанное произведение векторов Определение: Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов a, b и c называется скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c и обозначается a ( b c). Свойства: 1) Геометрический смысл смешанного произведения векторов: Абсолютная величина смешанного произведения трех некомпланарных векторов a, b и c численно равна объему параллелепипеда, построенного на заданных векторах как на сторонах. 2) Пусть в ортонормированом базисе ( i, j, k) векторы заданы своими координатами: a = a 1 i + a 2 j + a 3 k, b = b1 i + b 2 j + b 3 k, c = c 1 i + c 2 j + c 3 k, тогда смешанное произведение векторов a, b и c равно определителю матрицы, составленной из координат этих векторов a ( b c) = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3. (1.6) Доказательство: 12 Найдем смешанное произведение векторов, используя свойство 6 скалярного произведения и свойство 7 векторного произведения векторов получим следующее

13 1.3 Смешанное произведение векторов выражение: = a 1 b 2 b 3 c 2 c 3 a ( b c) = a 2 b 1 b 3 c 1 c 3 + a 3 b 1 b 2 c 1 c 2 a 1 a 2 a 3 = b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3. = Свойство доказано. 3) Смешанное произведение векторов a, b и c равно нулю тогда и только тогда, когда векторы - компланарны. 4) Если тройка векторов a, b и c имеет правую ориентацию, то смешанное произведение векторов больше нуля. 5) Если тройка векторов a, b и c имеет левую ориентацию, то смешанное произведение векторов меньше нуля. 6) При перестановке двух сомножителей в смешанном произведении векторов a, b и c абсолютная величина смешанного произведения не меняется, а знак меняется на противоположный: a ( b c) = b ( a c), a ( b c) = a ( c b), a ( b c) = c ( b a). 7) При циклической перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется: a ( b c) = c ( a c) = b ( c a). 13

14 1 Векторная алгебра Следствие: Для любых векторов a, b и c верно: a ( b c) = ( a b) c = a b c Смешанное произведение обозначается также ( a, b, c). 8) Для любого действительного числа α и любых векторов a, b и c верно: α ( a, b, c) = (α a, b, c) = ( a, α b, c) = ( a, b, α c). 9) Для любых векторов a, b, c и d верно: (( a + b), c, d) = ( a, c, d) + ( b, c, d), ( a, ( b + c), d) = ( a, b, d) + ( a, c, d), ( a, b, ( c + d)) = ( a, b, c) + ( a, b, d). 14

15 Глава 2. Метод координат Аффинная и декартова системы координат на плоскости и в пространстве, их преобразования. Метод координат на плоскости и в пространстве, его приложения к решению задач. Суть метода координат состоит в том, что в пространстве произвольной размерности задаётся система координат, в которой каждой точке однозначно сопоставляется упорядаченный набор действительных чисел координат точки. Тогда задание любого геометрического объекта сводится к аналитическому заданию условий (в виде уравнений, неравенств, их систем), которым удовлетворяют точки, принадлежащие рассматриваемому геометрическому объекту. Метод координат в значительной мере упрощает решение позиционных и метрических задач, которые сводятся к нахождению решения систем уравнений и неравенств.

16 2 Метод координат 2.1. Cистемы координат на плоскости Рассмотрим множество векторов, параллельных некоторой плоскости. Они определяют двумерное векторное пространство, обозначаемое V 2. Определение. Базисом векторного пространства V 2 называется упорядоченная пара линейно независимых векторов, через которые линейно выражается любой другой вектор этого пространства. Говорят, что двумерное векторное пространство V 2 натянуто на базисные векторы. Определение: Аффинной системой координат или аффинным репером на плоскости называется упорядоченная пара, состоящая из начальной точки О и базиса ( e 1, e 2 ), обозначается R = (O, e 1, e 2 ). Точка О называется началом координат, векторы e 1 и e 2 первым и вторым базисными векторами соответственно. Оси, определяемые началом координат O и базисными векторами e 1 и e 2 обозначаются Ох и Оу и называются осью абсцисс и осью ординат соответственно. Определение: Вектор OM, проведённый из начала координат точки О в произвольную точку М плоскости называется радиусом-вектором точки М в данной системе координат R. Определение: Координатами точки М в аффинной системе координат R называются координаты ее радиуса-вектора OM в базисе ( e 1, e 2 ). Таким образом, если радиусвектор OM в базисе ( e 1, e 2 ) задаётся координатами (x, y) или OM = x e 1 + y e 2, то точка М в системе координат R задаётся этими же координатами, т. е. М R (x, y) или М(x, y). Определение: Прямоугольной декартовой системой координат на плоскости называется упорядоченная пара, состоящая из начальной точки О и ортонормированного базиса ( i, j). Обозначается R = (O, i, j). Точка О называет- 16

17 2.1 Cистемы координат на плоскости ся началом координат, векторы i и j первым и вторым базисными векторами соответственно. Оси, определяемые началом координат O и ортогональными единичными базисными векторами i и j обозначаются Ох и Оу и называются осью абсцисс и осью ординат соответственно. Теорема. Задание на плоскости аффинной системы координат R = (O, e 1, e 2 ) устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством точек плоскости и множеством упорядоченных пар действительных чисел. Доказательство: Рассмотрим точку М на плоскости. Зададим на плоскости аффинную систему координат R = (O, e 1, e 2 ). По определению координат точки, точка M в системе координат R определяется координатами своего радиуса-вектора OM в базисе ( e 1, e 2 ), т. е. М R (x, y). Так как координаты вектора в заданном базисе определены однозначно, то вектору OM поставлена в соответствие единственным образом упорядоченная пара действительных чисел (x, y) и обратно, каждой упорядоченной паре действительных чисел (x, y) ставится в соответствие единственный вектор OM. А это значит, что и точка М будет однозначно определяться этой упорядоченной парой. Таким образом, определено взаимно однозначное отображение между множеством точек плоскости и множеством упорядоченных пар действительных чисел. Теорема доказана. Рассмотрим точку М R (x, y) в аффинной системе координат R = (O, e 1, e 2 ). Точка М определяется координатами своего радиуса-вектора OM в базисе ( e 1, e 2 ), т. е. OM = x e 1 + y e 2 = OM 1 + OM 2. Получим параллелограмм OM 2 MM 1. Тогда OM = OM 2 + M 2 M = OM 1 + M 1 M. Определение: Ломаные OM 2 M и OM 1 M называются координатными ломаными точки М. 17

18 2 Метод координат Чтобы построить точку М в аффинной системе координат необходимо построить координатную ломаную OM 2 M, либо OM 1 M, где точка M 1 называется проекцией точки М на ось Ох, а точка M 2 проекцией точки М на ось Оу. Аналогичным образом определяется аффинная система координат и координаты точки в пространстве. Определение: Аффинной системой координат или аффинным репером в пространстве называется упорядоченная пара, состоящая из начальной точки О и базиса ( e 1, e 2, e 3 ), обозначается R = (O, e 1, e 2, e 3 ). Точка О называется началом координат, векторы e 1, e 2, e 3 первым, вторым и третьим базисными векторами соответственно. Оси, определяемые началом координат O и базисными векторами e 1, e 2, e 3 обозначаются Ох, Оу и Оz и называются осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат соответственно. Определение: Вектор OM, проведённый из начала координат точки О в произвольную точку М плоскости называется радиусом-вектором точки М в данной системе координат R. Определение: Координатами точки М в аффинной системе координат R называются координаты ее радиусавектора OM в базисе ( e 1, e 2, e 3 ). Таким образом, если радиус-вектор OM в базисе ( e 1, e 2, e 3 ) задаётся координатами (x, y, z) или OM = x e 1 + y e 2 + z e 3, то точка М в системе координат R задаётся этими же координатами, т. е. М R (x, y, z) или М(x, y. z). Определение: Прямоугольной декартовой системой координат на плоскости называется упорядоченная пара, состоящая из начальной точки О и ортонормированного базиса ( i, j, k). Обозначается R = (O, i, j. k). Точка О называется началом координат, векторы i, j и k первым, вторым и третьим базисными векторами соответственно. Оси, определяемые началом координат O 18

19 2.2 Преобразование систем координат и ортогональными единичными базисными векторами i, j и k обозначаются Ох, Оу и Оz и называются осью абсцисс, осью ординат и осью апликат соответственно Преобразование систем координат Пусть даны аффинные системы координат R = (O, e 1, e 2 ) и R = (O, e 1, e 2 ). Возьмем произвольную точку М, которая в системе координат R имеет координаты M(x, y), а в системе координат R M(x, y ). Пусть базисные векторы ( e 1, e 2 ) и начало координат O системы координат R в системе координат R определяются следующими координатами: e 1 = c 11 e 1 + c 12 e 2, (2.1) e 2 = c 21 e 1 + c 22 e 2, (2.2) OO = x 0 e 1 + y 0 e 2. (2.3) Выведем формулы преобразования координат произвольной точки М при переходе из одной аффинной системы координат в другую, т. е. выразим координаты точки М в системе R через координаты точки М в системе R. Точка М определяется координатами радиуса-вектора OM в аффинной системе координат R: OM = x e 1 + y e 2, (2.4) координатами радиуса-вектора O M в аффинной системе координат R : O M = x e 1 + y e 2. (2.5) Для векторов OO, O M и OM выполняется правило треугольника: OM = OO + O M. 19

20 2 Метод координат Используя равенства (2.4), (2.3) и (2.5), запишем векторное равенство в координатном виде: x e 1 + y e 2 = (x 0 e 1 + y 0 e 2 ) + (x e 1 + y e 2). Применим разложения (2.1) и (2.2) векторов e 1 и e 2 в базисе ( e 1, e 2 ) и сгруппируем слагаемые, содержащие одинаковые базисные векторы: x e 1 + y e 2 = (x 0 e 1 + y 0 e 2 ) + (x (c 11 e 1 + c 12 e 2 )+ +y (c 21 e 1 + c 22 e 2 )) = x 0 e 1 + y 0 e 2 + x c 11 e 1 + +x c 12 e 2 + y c 21 e 1 + y c 22 e 2 = = (x 0 + x c 11 + y c 21 ) e 1 + (y 0 + x c 12 + y c 22 ) e 2. Разложение вектора в заданном базисе определено единственным образом, поэтому { x = x0 + x c 11 + y c 21, y = y 0 + x c 12 + y (2.6) c 22. В результате получены формулы (2.6) преобразования координат точек при преобразовании аффинной системы координат. Так как базисные векторы ( e 1, e 2 ) линейно независимы, то определитель матрицы, составленный из их координат, c 11 c 12 c 21 c 22 0, т. е. система (2.6) имеет единственное решение и координаты точки М в старой системе координат R можно выразить через координаты точки М в новой системе R и наоборот. Определение: Матрица ( ) c11 c C = 21 c 12 c 22 называется матрицей перехода от системы R к системе R. Рассмотрим частные случаи преобразования аффинной системы координат: 20

21 2.2 Преобразование систем координат 1) Параллельный перенос системы координат из точки O в точку O. В этом случае рассматриваем переход от старой системы координат R = (O, e 1, e 2 ) к новой системе координат R = (O, e 1, e 2 ). Тогда матрица перехода единичная ( ) 1 0 C = 0 1 и система (2.6) принимает вид { x = x0 + x, y = y 0 + y. (2.7) 2) Поворот системы координат вокруг точки О. Рассматриваем переход от старой системы координат R = (O, e 1, e 2 ) к новой системе координат R = (O, e 1, e 2 ). Тогда система (2.6) принимает вид { x = x c 11 + y c 21, y = x c 12 + y (2.8) c 22. Рассмотрим формулы преобразования координат точки для прямоугольных декартовых систем координат, где R = (O, i, j) старая система координат, R = (O, i, j) новая система координат. Пусть угол α = ( i, i ). Рассмотрим два случая: 1) Векторы ( i, j) образуют правый базис. Тогда координаты новых базисных векторов ( i, j ) могут быть выражены следующим образом: { i = cos α i + sin α j, j (2.9) = sin α i + cos α j. 21

22 2 Метод координат 2) Векторы ( i, j) образуют левый базис, тогда координаты новых базисных векторов( i, j ) могут быть выражены следующим образом: { i = cos α i + sin α j, j (2.10) = sin α i + ( cos α) j. Системы (2.9) и (2.10) можно записать как одну систему: { i = cos α i + sin α j, j (2.11) = ε sin α i + ε cos α j, где ε = { 1, если ( i, j ) правой ориентации, 1, если ( i, j ) левой ориентации. (2.12) Тогда формулы преобразования координат (2.6) примут вид { x = x0 + x cos α ε y sin α, y = y 0 + x sin α + ε y (2.13) cos α, где ε удовлетворяет условию (2.12). Частные случаи преобразования прямоугольных систем координат: 22 1) Параллельный перенос системы координат из точки O в точку O. В этом случае рассматриваем переход от старой системы координат R = (O, i, j) к новой системе координат R = (O, i, j). Тогда матрица перехода единичная ( ) 1 0 C = 0 1

23 2.3 Простейшие задачи в координатах и система (2.6) принимает вид { x = x0 + x, y = y 0 + y. (2.14) 2) Поворот системы координат вокруг точки О. Рассматриваем переход от старой системы координат R = (O, i, j) к новой системе координат R = (O, i, j ). Тогда система (2.6) принимает вид { x = x cos α ε y sin α, y = x sin α + ε y (2.15) cos α, где ε удовлетворяет условию (2.12) Простейшие задачи в координатах 1. Определить координаты вектора по заданным координатам его начала и конца. Решение: Рассмотрим аффинную систему координат R = (O, e 1, e 2 ), в которой задан вектор p = AB и координаты точек А(x 1, y 1 ) и В(x 2, y 2 ). Найдём координаты вектора p = AB. OB радиус-вектор точки В, OA радиус-вектор точки А. Тогда вектор AB = OB OA в базисе ( e1, e 2 ) по правилу треугольника для разности векторов, т. е. по свойству координат линейной комбинации векторов вектор AB = (x2 x 1 ) e 1 + (y 2 y 1 ) e 2. Таким образом, чтобы найти координаты вектора AB необходимо из координат конца вектора вычесть координаты начала: AB(x 2 x 1, y 2 y 1 ) 23

24 2 Метод координат Определить длину отрезка по заданным координатам его концов. Решение: Пусть задана прямоугольная система координат R = (O, i, j), в которой концы отрезка АВ имеют координаты А(x 1, y 1 ) и В(x 2, y 2 ). Найдём длину отрезка АВ. Длина отрезка АВ равна длине вектора AB с координатами (x 2 x 1, y 2 y 1 ) (см. задачу 1). Тогда AB = AB = (x2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) Определить координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении. Определение: Точка М делит направленный отрезок AB в отношении λ, если AM = λ MB, (2.16) причём если λ > 0, то точка М лежит на отрезке АВ, если λ < 0, то точка М лежит вне отрезка АВ. Обозначается λ = (AB, M), где λ 1. Замечание: Если λ > 0, то AM MB и говорят, что точка М делит отрезок АВ внутренним образом. Если λ < 0, то AM MB и говорят, что точка М делит отрезок АВ внешним образом. Определение: Если одна из трех точек А, В, М делит направленный отрезок между двумя другими точками в отношении λ, то говорят, что задано простое отношение точек А, В, М. Решение: Рассмотрим аффинную систему координат R = (O, e 1, e 2 ). Пусть даны три точки, принадлежащие прямой l, которые в заданной системе R

25 2.3 Простейшие задачи в координатах определяются координатами А (x 1, y 1 ), В (x 2, y 2 ). Неизвестные координаты точки М обозначим (x, y). Пусть точка М делит направленный отрезок AB в отношении λ, т. е. λ = (AB, M). Выразим координаты точки М через координаты точек А и В. Координаты радиус-векторов заданных точек OA (x 1, y 1 ), OB (x2, y 2 ), OM (x, y). Используя определение (2.16) простого отношения трёх точек и свойства векторов, выразим радиусвектор точки М через радиусы-векторы точек А и В: AM = λ MB, OM OA = λ ( OB OM), OM + λ OM = OA + λ OB, (1 + λ) OM = OA + λ OB, OM = OA + λ OB. 1 + λ Используя свойства векторов в координатах получим выражение координат радиуса-вектора точки М через координаты радиусов-векторов точек А и В: OM ( x1 + λ x 2, y 1 + λ y λ 1 + λ ). (2.17) Тогда координаты точки М определяются по формулам (2.17). Следствие: Если точка М середина отрезка АВ, то AM λ = (AB, M) = 1 > 0 и λ = MB = AM. MB 25

26 2 Метод координат Тогда точка M определяется координатами ( x1 + x 2, y ) 1 + y Лемма. Если известно в каком отношении точка М делит отрезок АВ, то по данному λ, точка М определяется однозначно. Доказательство: Рассмотрим как связаны векторы AM и AB. По правилу треугольника для суммы векторов AB = AM + MB и из определения простого отношения трёх точек (2.16) получим: AB = AM + 1 λ AM, AM = λ 1 + λ AB. Отложим из точки А вектор AM. Из теоремы о единственности откладывания векторов следует, что точка М единственная. Лемма доказана. Замечание: Если λ = 1, то из равенства (1 + λ) AM = λ AB, имеем 0 AM = AB, т. е. вектор AB = 0. Это означает, что такого отрезка нет и на отрезке АВ нет точки, которая делит отрезок АВ в отношении λ = 1. 26

27 Глава 3. Прямая линия на плоскости Различные уравнения прямой на плоскости. Исследование взаимного расположения двух прямых на плоскости. Основные теоремы. Метрические задачи Алгебраическая линия Условием, определяющим фигуру F в аффинной системе координат R = (O, e 1, e 2 ) называется уравнение, неравенство или их система, которым удовлетворяют координаты всех точек фигуры F, и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих этой фигуре. Определение: Линия γ называется алгебраической, если в некоторой системе координат R = (O, e 1, e 2 ) она имеет уравнение F (x, y) = 0, где F (x, y) = k i=1 a i x s i y t i многочлен степени n = max(s i + t i ).

28 3 Прямая линия на плоскости Если n степень многочлена F (x, y), то говорят, что линия γ алгебраическая линия порядка n. Теорема. Свойство линии быть алгебраической и ее порядок не зависят от выбора системы координат. Доказательство: Пусть заданы две системы координат R = (O, e 1, e 2 ) и R = (O, e 1, e 2 ) и алгебраическая линия γ порядка n. Алгебраическая линия γ в системе R определяется уравнением: k γ : a i x si y t i = 0, (3.1) i=1 где порядок линии n = max(s i + t i ). Подставим формулы преобразования координат (2.6) при переходе от системы R к системе R в уравнение (3.1) и получим уравнение линии γ в системе координат R : k a i (x 0 + x c 11 + y c 21 ) s i (y 0 + x c 12 + y c 22 ) t i = 0. (3.2) i=1 Левая часть уравнения (3.2) представляет из себя многочлен степени n = max(s i + t i ), значит γ алгебраическая линия. Уравнение (3.2) после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых принимает вид: γ : k a i (x ) si (y ) t i = 0, i=1 где порядок линии n = max(s i + t i ), причем n n. Рассуждая аналогично, теперь будем рассматривать систему R как старую, и перейдём к системе координат R, считая её новой. Получим, что порядок n в новой системе координат R будет удовлетворять неравенству n n. Сравнивая n n и n n, делаем вывод, что n = n. Теорема доказана. 28

29 3.2 Способы задания и виды уравнений прямой на плоскости 3.2. Способы задания и виды уравнений прямой на плоскости Определение: Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой l называется ее направляющим вектором. На основании определения прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов. Способы задания прямой на плоскости 1. Положение прямой l на плоскости однозначно определяется начальной точкой М и направляющим вектором p : l = [M, p ]. 2. Положение прямой l на плоскости однозначно определяется двумя точками A и В: l = [A, B ]. Замечание: Способ задания (3.2) всегда может быть сведён к способу задания (3.2) следующим образом: l = [A, B ] = [A, AB ] = [B, AB ] Виды уравнений прямой 1) Каноническое уравнение прямой. Пусть задана система координат R = (O, e 1, e 2 ) и прямая l = [M, p ]. В системе координат R своими координатами заданы начальная точка прямой M(x 0, y 0 ) и направляющий вектор прямой p (p 1, p 2 ). Возьмем произвольную точку T (x, y) принадлежащую прямой l. Составим вектор MT (x x 0, y y 0 ), который по построению коллинеарен направляющему вектору p, а значит координаты векторов пропорциональны: l : x x 0 p 1 = y y 0 p 2 (3.3) 29

30 3 Прямая линия на плоскости Этому соотношению удовлетворяют координаты любой точки T прямой l, поэтому оно является уравнением прямой l и называется каноническим. Следствие: 1. Если p 1 = 0, то уравнение прямой l имеет вид: x x 0 = Если p 2 = 0, то уравнение прямой l имеет вид: y y 0 = 0. 2) Уравнение прямой в «отрезках». Пусть в системе координат R = (O, e 1, e 2 ) заданы точки пересечения прямой l с осями координат: l Ox = A(a, 0), l Oy = B(0, b). В этом случае, говорят, что прямая l отсекает на оси абсцисс Ох отрезок a, а на оси ординат Оу отрезок b. Пусть прямая l задана двумя точками l = [A(a, 0), B(0, b)] = [A(a, 0), AB( a, b)], тогда каноническое уравнение (3.3) примет вид: l : x a a = y b Преобразуем это уравнение к виду в «отрезках»: 30 (x a) b = y ( a), bx ab = ay, bx + ay = ab, x a + y = 1. (3.4) b

31 3.2 Способы задания и виды уравнений прямой на плоскости 3) Параметрические уравнения прямой. Пусть задана система координат R = (O, e 1, e 2 ) и прямая l = [M, p ]. В системе координат R своими координатами заданы начальная точка прямой M(x 0, y 0 ) и направляющий вектор прямой p (p 1, p 2 ). Возьмем произвольную точку T (x, y) принадлежащую прямой l. Составим вектор MT (x x 0, y y 0 ), который по построению коллинеарен направляющему вектору p. Тогда вектор MT линейно выражается через вектор p: MT = t p, где t параметр. Запием это равенство в координатной форме: { x x0 = t p 1 y y 0 = t p 2 после элементарных преобразований получим параметрические уравнения прямой l: { x = x0 + t p 1 y = y 0 + t p 2 (3.5) 4) Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Определение: Пусть задан направляющий вектор прямой p не параллельный базисному вектору e 2, т. е. p 1 0. Тогда число k = p 2 p 1 называется угловым коэффициентом прямой l. Лемма 1. Угловой коэффициент прямой не зависит от выбора направляющего вектора (направления). 31

32 3 Прямая линия на плоскости Доказательство: Пусть задана система координат R = (O, e 1, e 2 ), векторы p (p 1, p 2 ) и q (q 1, q 2 ) направляющие векторы прямой l. По определению направляющего вектора следует, что векторы коллинеарны, а по свойству коллинеарных векторов их координаты пропорциональны: q 2 = p 2 = k. q 1 p 1 Лемма доказана. Лемма 2. В прямоугольной декартовой системе координат угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс. Доказательство: Пусть задана система координат R = (O, i, j), вектор p (p 1, p 2 ) направляющий вектор прямой l. Координаты вектора являются его проекциями на соответствующие оси координат (см. (1.4)): p 1 = p cos( i, p), p 2 = p cos( j, p) = p sin( i, p). Выразим угловой коэффициент: k = p 2 = p sin( i, p) = p 1 p cos( i, p) Лемма доказана. p sin α = tg α. p cos α Пусть в системе координат R = (O, e 1, e 2 ) заданы начальная точка M(x 0, y 0 ) прямой l и направляющий вектор прямой p (p 1, p 2 ), тогда для прямой может быть записано каноническое уравнение (3.3): 32 l : x x 0 p 1 = y y 0 p 2.

33 3.2 Способы задания и виды уравнений прямой на плоскости Преобразуем его: y y 0 = p 2 p 1 (x x 0 ), y = p 2 (x x 0 ) + y 0, p }{{} 1 k y = k (x x 0 ) + y 0, y = k x + ( k x 0 + y 0 ), }{{} b y = k x + b. (3.6) Получили уравнение прямой l с угловым коэффициентом, где b отрезок, отсекаемый прямой l на оси ординат. 5) Общее уравнение прямой. Пусть в системе координат R = (O, e 1, e 2 ) заданы начальная точка M(x 0, y 0 ) прямой l и направляющий вектор прямой p (p 1, p 2 ), тогда для прямой может быть записано каноническое уравнение (3.3): Преобразуем его: l : x x 0 p 1 = y y 0 p 2. p 2 (x x 0 ) + p 1 (y y 0 ) = 0, p }{{} 2 x + p 1 y + (p }{{} 2 x 0 p 1 y 0 ) }{{} A B C Получим общее уравнение прямой l: = 0. Ax + By + C = 0. (3.7) Теорема 1. Линейное уравнение (3.7) определяет на плоскости прямую, для которой вектор p ( B, A) является направляющим вектором. 33

34 3 Прямая линия на плоскости 34 Лемма 3. Если в аффинной системе координат прямая имеет общее уравнение (3.7), то вектор n (A, B) не параллелен этой прямой. Доказательство: Пусть заданы вектор n (A, B) и направляющий вектор p ( B, A). Предположим, что векторы коллинеарны, тогда их координаты пропорциональны: A B = B A, A 2 + B 2 = 0. Полученное равенство выполняется, если A = B = 0. Пришли к противоречию, так как при условии выполнения предположения направляюший вектор будет нулевой. А значит вектор n (A, B) не параллелен прямой l. Лемма доказана. Определение. Ненулевой вектор называется перпендикулярным к заданной прямой, если он перпендикулярен любому направляющему вектору этой прямой. Лемма 4. Если в прямоугольной декартовой системе координат прямая задаётся общим уравнением (3.7), то вектор n (A, B) перпендикулярен этой прямой. Доказательство: Пусть вектор p ( B, A) - направляющий вектор прямой l. По свойству (6) найдем скалярное произведение векторов p и n в координатах: p n = B A + A B = 0, (3.8) тогда по свойству (5) скалярного произведения векторы ортогональны, а значит по определению вектор n перпендикулярен прямой l. Лемма доказана.

35 3.3 Взаимное расположение прямых на плоскости 3.3. Взаимное расположение прямых на плоскости Пусть в аффинной системе координат R = (O, e 1, e 2 ) прямая l задана общим уравнением (3.7). Расположение прямой относительно системы координат 1) Прямая проходит через начало координат тогда и только тогда, когда свободный член уравнения C = 0. Пусть прямая l проходит через начало координат точку O(0, 0). Тогда верно равенство A 0 + B 0 + C = 0 и C = 0 и уравнение прямой l в этом случае принимает вид Ax + By = 0. 2) Прямая параллельна оси абсцисс тогда и только тогда, когда коэффициент A = 0. Пусть прямая параллельна оси абсцисс Ох, тогда направляющий вектор прямой коллинеарен первому базисному вектору p e 1. Направляющий вектор прямой имеет координаты p ( B, A), а базисный вектор e 1 (1, 0), следовательно, исходя из пропорциональности A = 0 и уравнение прямой l в этом случае принимает вид By + C = 0. 3) Прямая параллельна оси ординат тогда и только тогда, когда коэффициент B = 0. Пусть прямая параллельна оси ординат Оy, тогда направляющий вектор прямой коллинеарен первому базисному вектору p e 2. Направляющий вектор прямой имеет координаты p ( B, A), а базисный вектор e 2 (0, 1), следовательно, исходя из 35

36 3 Прямая линия на плоскости пропорциональности B = 0 и уравнение прямой l в этом случае принимает вид Ax + C = 0. 4) Прямая совпадает с осью абсцисс тогда и только тогда, когда коэффициенты A = C = 0. 5) Прямая совпадает с осью ординат тогда и только тогда, когда коэффициенты B = C = 0. Теорема 1. Прямая l в некоторой аффинной системе координат разбивает плоскость на две полуплоскости, которые определяются неравенствами: Ax + By + C > 0 и Ax + By + C < 0. Доказательство: По лемме 3 для прямой l существует вектор n (A, B) не коллинеарный этой прямой. Возьмем на прямой точку K и отложим вектор KM = n. Обозначим ту полуплоскость, которая содержит точку M через α 1. Возьмем любую точку N(x, y) в полуплоскости α 1 и проведём прямую параллельно вектору n. Эта прямая пересечёт заданную прямую l в точке M 0 (x 0, y 0 ). Рассмотрим векторы KM (A, B) и M 0 N (x x 0, y y 0 ). По построению они сонаправленны, следовательно их скалярное произведение положительно: ( M 0 M, KN) > 0. Запишем это скалярное произведение в координатах: A(x x 0 ) + B(y y 0 ) > 0, Ax + By Ax 0 By 0 > 0. Так как точка M 0 принадлежит прямой l, то координаты точки удовлетворяют уравнению прямой и 36 C = Ax 0 By 0, Ax + By + C > 0. (3.9)

37 3.3 Взаимное расположение прямых на плоскости Неравенству (3.9) удовлетворяют координаты любой точки рассматриваемой полуплоскости, следовательно оно задаёт полуплосксоть. Аналогично доказывается неравенство, определяющее вторую полуплоскость. Теорема доказана. Взаимное расположение двух прямых на плоскости Пусть прямые l 1 и l 2 заданны своими общими уравнениями: l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (3.10) l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. (3.11) Теорема 2. Прямые l 1 и l 2, совпадают тогда и только тогда, когда в уравнениях (3.10) и (3.11) коэффициенты при соответствующих неизвестных и свободные члены пропорциональны, т. е. Доказательство: A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 = k (3.12) 1. Необходимость. Пусть прямые l 1 и l 2 совпадают, тогда их направляющие векторы p( B 1, A 1 ) и q( B 2, A 2 ) коллинеарны, а, следовательно, их координаты пропорциональны: A 1 A 2 = B 1 B 2 = k или после преобразования: A 1 A 2 = B 1 B 2 = k. (3.13) 37

38 3 Прямая линия на плоскости Возьмем произвольную точку M(x, y) принадлежащую прямым l 1 и l 2, тогда её координаты удовлетворяют уравнениям (3.10) и (3.11) этих прямых. Используя доказанное равенство (3.13) преобразуем уравнение (3.10): ka 2 x + kb 2 y + C 1 = 0, k(a 2 x + B 2 y) + C 1 = 0. (3.14) Выразим из уравнения (3.11) свободный член C 2, подставим в уравнение (3.14) и в результате получим доказываемое равенство k( C 2 ) + C 1 = 0, C 1 C 2 = k. 2. Достаточность. Пусть выполняются соотношения (3.12). Преобразуем с помощью этих соотношений уравнение (3.10) прямой l 1 : ka 2 x + kb 2 y + kc 2 = 0, k(a 2 x + B 2 y + C 2 ) = 0. (3.15) Так как коэффициент k не равен нулю, полученное равенство можно сократить на k. В результате получим уравнение (3.11) прямой l 2. Таким образом, равносильные уравнения определяют прямые l 1 и l 2, значит эти прямые совпадают. Теорема доказана. Теорема 3. Прямые l 1 и l 2, заданные своими уравнениями (3.10) и (3.11) пересекаются тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных не пропорциональны, т. е. A 1 B 1. A 2 B 2 38

39 3.4 Метрические задачи Теорема 4. Прямые l 1 и l 2, заданные своими уравнениями (3.10) и (3.11) параллельны тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных не пропорциональны, а свободные члены не пропорциональны, т. е. A 1 A 2 = B 1 B 2 C 1 C Метрические задачи 1. Пусть в прямоугольной системе координат R = (O, i, j) заданы прямая общим уравнением l : Ax + By + C = 0 и точка M 0 (x 0, y 0 ) не принадлежащая прямой l, тогда расстояние от точки M 0 до прямой l вычисляется по формуле ρ(m 0, l) = Ax 0 + By 0 + C A 2 + B 2. (3.16) Решение: Опустим перпендикуляр из точки М 0 на прямую l. Основание перпендикуляра обозначим M 1. Тогда ρ(m 0, l) = M 1 M 0, причём по построению векторы M 1 M 0 и n коллинеарны. Cледовательно, угол между векторами M 1 M 0 и n равен либо 0, либо π. Рассмотрим модуль скалярного произведения векторов M 1 M 0 и n: n M 1 M 0 = n M 1 M 0 cos( n, M 1 M }{{} 0 ) = 0 или π = n M 1 M 0 = n ρ(m 0, l). 39

40 3 Прямая линия на плоскости Тогда искомое расстояние n M 1 M 0 ρ(m 0, l) = = A(x 0 x 1 ) + B(y 0 y 1 ) = n A 2 + B 2 = Ax 0 + By 0 + ( Ax 1 By 1 ). A 2 + B 2 Точка M 1 (x 1, y 1 ) принадлежит прямой l, следовательно, её координаты удовлетворяют уравнению прямой: Ax 1 + By 1 + C = 0, откуда C = Ax 1 By 1. Таким образом, ρ(m 0, l) = Ax 0 + By 0 + C A 2 + B 2. Определение. Углом между прямыми l 1 и l 2 называется меньший из углов, образованных при пересечении этих прямых. Определение. Направленным углом φ между прямыми l 1 и l 2 называется угол между направляющими векторами этих прямых, причем такой, что π 2 φ π В прямоугольной системе координат заданы прямые a и b. Найти угол между прямыми. Решение: Найдем направленный угол между прямыми a и b. Пусть векторы a и b направляющие векторы прямых a и b соответственно. Тогда угол между прямыми равен по определению острому углу между направляющими векторами этих прямых. Из определения скалярного произведения векторов следует, что 40 cos( a, b) = a b a b,

41 3.4 Метрические задачи однако, выбор направляющих векторов произволен и угол может быть как острым, так и тупым, т. е. косинус угла может быть и положительным, и отрицательным. Поэтому для определения угла между прямыми рассматривается модуль косинуса угла между направляющими векторами: cos(â, b) = cos( a, b) = a b a b. Получена формула для нахождения угла между прямыми ( ) (â, b) = arccos( cos( a, a b b) ) = arccos a. b Условие перпендикулярности прямых. Если прямые перпендикулярны, то направляющие векторы ортогональны, а следовательно скалярное произведение веторов равно нулю: cos(â, b) = cos( a, b) = 0, a b = Найти расстояние между параллельными прямыми a и b, если прямые заданы своими общими уравнениями a : Ax + By + C 1 = 0 и b : Ax + By + C 2 = 0 Решение: Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки, лежащей на одной прямой, до другой прямой, т. е. из задачи 1 следует: ρ(a, b) = ρ(m 0 (x 0, y 0 ) a, b) = = Ax 0 + By 0 + C 2 A 2 + B 2. (3.17) 41

42 3 Прямая линия на плоскости Точка M 0 a, значит ее координаты удовлетворяют уравнению прямой a, т. е. Ax 0 + By 0 + C 1 = 0. Используя это равенство, заменим в формуле (3.17) выражение Ax 0 + By 0 на ( C 1 ) и получим: ρ(a, b) = C 2 C 1 A 2 + B 2. 42

43 Глава 4. Линии второго порядка Эллипс, гипербола, парабола и их свойства. Классификация линий второго порядка. Определение: Линия γ, имеющая в системе координат R = (O, e 1, e 2 ) уравнение вида a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 10 x + 2a 20 y + a 00 = 0, (4.1) где коэффициенты при старших членах одновременно не обращаются в ноль, называется линией второго порядка Эллипс и его свойства Определение: Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных фиксированных точек F 1 и F 2, есть величина постоянная и равная длине заданного отрезка PQ, причем P Q > F 1 F 2. Точки F 1 и F 2 называются фокусами эллипса, расстояние F 1 F 2 фокальным расстоянием.

44 4 Линии второго порядка Вывод канонического уравнения эллипса Выберем прямоугольную систему координат R = (O, i, j) следующим образом: начало координат О поместим в середину отрезка F 1 F 2, вектор i направим вдоль луча OF 1. Пусть длины отрезков P Q = 2a, F 1 F 2 = 2c, и по определению P Q > F 1 F 2 следовательно a > c. На основании принятых предположений в заданной системе координат R фокусы имеют координаты F 1 (c, 0) и F 2 ( c, 0). Возьмем произвольную точку M(x, y) эллипса γ, тогда по определению эллипса Преобразуем равенство (4.2): F 1 M + F 2 M = P Q = 2a. (4.2) (x c) 2 + y 2 + (x + c) 2 + y 2 = 2a, ( (x c) 2 + y 2 ) 2 = (2a (x + c) 2 + y 2 ) 2, (a (x + c) 2 + y 2 ) 2 = (xc + a 2 ) 2, x 2 (a 2 c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ). Так как из определения следует, что a > c, то a 2 c 2 > 0 и можно переобозначить a 2 c 2 = b 2, тогда получим уравнение: x 2 b 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2, x 2 a 2 + y2 b 2 = 1. (4.3) Вывод: Если точка М принадлежит эллипсу, то её координаты удовлетворяют уравнению (4.3). Докажем обратное, если координаты точки М удовлетворяют уравнению (4.3), то точка принадлежит эллипсу, т. е. выполняется равенство F 1 M + F 2 M = 2a. 44

45 4.1 Эллипс и его свойства Пусть точка задана координатами M(x, y) в системе координат R, которые удовлетворяют уравнению (4.3), тогда y 2 = b 2( 1 x2 a 2 ). Рассмотрим сумму расстояний F 1 M + F 2 M = (x c) 2 + y 2 + (x + c) 2 + y 2 = ( = (x c) 2 + b 2 1 x2 ) ( a 2 + (x + c) 2 + b 2 1 x2 ) a 2 = ( = a xc ) 2 ( + a + xc ) 2 a xc = + a + xc a a a a Определим какие значения принимают выражения, стоящие под знаком модуля, при всех допустимых значениях переменной х. Из уравнения (4.3) следует, что x2 1 и a x a. a2 Кроме того, из определения следует, что a > c и эти значения положительные, следовательно 0 < c a < 1. Тогда c xc c и c xc c. В результате получим a a следующие неравенства 0 < a c a + xc a a + c и 0 < a c a xc a a + c. Таким образом, выражения под модуями при всех значениях переменной х положительны, следовательно после раскрытия модулей получим F 1 M + F 2 M = 2a и это доказывает, что точка М лежит на эллипсе γ, а уравнение (4.3) называется каноническим уравнением эллипса. Свойства: 1) Эллипс, заданный уравнением (4.3) симметричен относительно начала координат и координатных осей. 45

46 4 Линии второго порядка Определение: Начало координат называется центром симметрии эллипса, оси координат Ох и Оу называются первой и второй осями симметрии эллипса соответственно. Ось Ох также называют фокальной осью. 2) Эллипс пересекается с осью Ох в точках A 1 (a, 0) и A 1 (a, 0), с осью Оу в точках B 1 (0, b) и B 1 (0, b). Определение: Точки пересечения эллипса с координатными осями называются вершинами эллипса. Отрезки A 1 A 2 = 2a и B 1 B 2 = 2b называются большой и малой осями эллипса соответственно. 3) Эллипс заключён внутри прямоугольника со сторонами 2а и 2b, т. е. это ограниченная линия, координаты точек которой изменяются в пределах a x a и b y b. 4) Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокального расстояния 2с к большой оси эллипса 2а, т. е. ε = c a. Эксцентриситет эллипса меньше единицы 0 ε < 1, причём если эксцентриситет стремится к нулю, то эллипс растягивается относительно оси Ох и при ε = 0 является окружностью, если эксцентриситет стремится к единице, то эллипс сжимается к оси Ох Гипербола и её свойства Определение: Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных фиксированных точек F 1 и F 2, есть величина постоянная и равная длине заданного отрезка PQ, причем P Q < F 1 F 2. Точки F 1 и F 2 называются 46

47 4.2 Гипербола и её свойства фокусами гиперболы, расстояние F 1 F 2 фокальным расстоянием. Вывод канонического уравнения гиперболы. Выберем прямоугольную систему координат R = (O, i, j) следующим образом: начало координат О поместим в середину отрезка F 1 F 2, вектор i направим вдоль луча OF 1. Пусть длины отрезков P Q = 2a, F 1 F 2 = 2c, и по определению P Q < F 1 F 2 следовательно a < c. На основании принятых предположений в заданной системе координат R фокусы имеют координаты F 1 (c, 0) и F 2 ( c, 0). Возьмем произвольную точку M(x, y) гиперболы γ, тогда по определению гиперболы Преобразуем равенство (4.4): F 1 M F 2 M = P Q = 2a. (4.4) (x c) 2 + y 2 (x + c) 2 + y 2 = 2a, (x c) 2 + y 2 (x + c) 2 + y 2 = ±2a, ( (x c) 2 + y 2 ) 2 = (±2a + (x + c) 2 + y 2 ) 2, (±a (x + c) 2 + y 2 ) 2 = ( xc a 2 ) 2, x 2 (a 2 c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ). Так как из определения следует, что a < c, то c 2 a 2 > 0 и можно переобозначить c 2 a 2 = b 2, тогда получим уравнение: x 2 b 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2, x 2 a 2 y2 b 2 = 1. (4.5) Вывод: Если точка М принадлежит гиперболе, то её координаты удовлетворяют уравнению (4.5). 47

48 4 Линии второго порядка Докажем обратное, если координаты точки М удовлетворяют уравнению (4.5), то точка принадлежит гиперболе, т. е. выполняется равенство F 1 M F 2 M = 2a. Пусть точка задана координатами M(x, y) в системе координат R, которые удовлетворяют уравнению (4.5), тогда y 2 = b 2( x 2 a 2 1 ). Рассмотрим расстояния F 1 M = ( x 2 ) (x c) 2 + y 2 = (x c) 2 + b 2 a 2 1 = ( = a xc ) 2 a xc = a a F 2 M = ( x 2 ) (x + c) 2 + y 2 = (x + c) 2 + b 2 a 2 1 = ( a + xc ) 2 a xc = + a a Определим какие значения принимают выражения, стоящие под знаком модуля, при всех допустимых значениях переменной х. Из уравнения (4.5) следует, что x2 a 2 1, следовательно x a и x a. На каждом из промежутков выражения a xc a и a + xc a имеют одинаковый знак, а следовательно их разность равна ±2a. Тогда F 1 M F 2 M = 2a и это доказывает, что точка М лежит на гиперболе γ, а уравнение (4.5) называется каноническим уравнением гиперболы. 48 Свойства: 1) Гипербола, заданная уравнением (4.5) симметрична относительно начала координат и координатных осей. Определение: Начало координат называется центром симметрии гиперболы, оси координат Ох и Оу называются осями симметрии.

49 4.2 Гипербола и её свойства 2) Гипербола пересекается с осью Ох в точках A 1 (a, 0) и A 2 ( a, 0), с осью Оу действительных пересечений не имеет. Определение: Точки пересечения гиперболы с координатными осями называются вершинами гиперболы. Отрезки A 1 A 2 = 2a и B 1 B 2 = 2b называются действительной и мнимой осями гиперболы соответственно. 3) Внутри полосы a x a нет действительных точек гиперболы. 4) Асимптоты гиперболы. Определение: Асимптотой называется прямая к которой кривая приближается сколь угодно близко, но не пересекает, или при стремлении точки кривой в бесконечность расстояние от этой точки до данной прямой стремится к нулю. Рассмотрим пересечение гиперболы γ с прямой l, проходящей через начало координат с произвольным угловым коэффициентом: x 2 a 2 y2 b 2 = 1 (4.6) y = kx После подстановки получим уравнение: x 2 (b 2 k 2 a 2 ) = a 2 b 2 Найдём решения этого уравнения, учитывая, что x 2, a 2 b 2 положительны: а) b 2 k 2 a 2 > 0 k 2 < b2 a 2 b a < k < b a В этом случае уравнение имеет два действительных решения, а значит прямая пересекает гиперболу в двух точках, симметричных относительно начала координат. 49

50 4 Линии второго порядка б) b 2 k 2 a 2 < 0 k 2 > b2 a 2 k < b a, k > b a В этом случае уравнение не имеет действительных решений, а значит прямая не пересекает гиперболу в действительных точках. в) b 2 k 2 a 2 = 0 k 2 = b2 a 2 k = ± b a В этом случае уравнение не имеет решений ни действительных, ни мнимых, а значит прямая не имеет общих точек с гиперболой. Покажем, что эти прямые с уравнениями l 1 : y = b a x и l 2 : y = b a x являются асимптотами гиперболы. Возьмем любую точку M(x, y) принадлежащую гиперболе. Так как гипербола симметрична относительно начала координат, то достаточно рассмотреть случай, когда точка лежит в первой четверти. Найдем расстояние от точки М до прямой l 1 : ρ(m, l 1 ) = b a x y ( b ) (4.7) a 50 Точка М принадлежит гиперболе γ, следовательно ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы и учитывая, что в первой четверти ординаты точек положительны: y = b a x 2 a 2. Кроме того, из пункта (4а) следует, что точка М расположена ниже прямой l 1.

51 4.2 Гипербола и её свойства Преобразуем выражение (4.7): b ρ(m, l 1 ) = a x a b x 2 a 2 ( b ) = a b = a x b x a 2 a 2 ( b ) = a b 2 = ( b a x + b ) ( b ) 2 x a 2 a a Тогда предел этого выражения стремится к нулю при стремлении точки М, а значит и абсциссы х, в бесконечность. Следовательно, l 1 асимптота гиперболы в первой четверти. Аналогично доказательство проводится и для остальных четвертей. Вывод: l 1 : y = b a x и l 2 : y = b a x асимптоты гиперболы. 5) Эксцентриситет гиперболы Определение: Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокального расстояния 2c к действительной оси гиперболы 2a, т. е. ε = c a. Эксцентриситет гиперболы больше единицы: ε > 1. Выясним, как зависит форма гиперболы от значения эксцентриситета ε = c a 2 a = + b 2 a 2 = 1 + b2 a 2. 51

52 4 Линии второго порядка Если эксцентриситет стремится к единице, то отношение b стремится к нулю и гипербола сжимается a к оси Ох, если эксцентриситет стремится в бесконечность, то отношение b увеличивается до бесконечности и гипербола растягивается относительно оси a Ох Парабола и её свойства Определение: Параболой называется множество всех точек плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до прямой d. Точка F называется фокусом параболы. Прямая d называется директрисой параболы. Вывод канонического уравнения параболы. Выберем прямоугольную систему координат R = (O, i, j) следующим образом: ось Ох проходит через фокус F и перпендикулярно директрисе d, точку пересечения директрисы d и оси Ох обозначим D, начало координат О середина отрезка FD. Пусть длина отрезка F D = p, тогда уравнение директрисы параболы d : x = p, а координаты фокуса параболы F ( p 2, 2 0). Возьмем произвольную точку M(x, y) параболы γ, тогда по определению параболы 52 F M = ρ(m, d). (4.8)

53 4.3 Парабола и её свойства Запишем равенство (4.8) в координатной форме: ( x p ) 2 + y 2 = x + p, 2 2 ( ) ( x p ) 2 2 ( + y 2 = x + p 2, 2 2) ( x p ) 2 ( + y 2 = x + p 2, 2 2) y 2 = 2px. (4.9) таким образом, если точка М принадлежит параболе, то её координаты удовлетворяют уравнению (4.9). Докажем обратное, если координаты точки М удовлетворяют уравнению (4.9), то точка принадлежит параболе, т. е. выполняется равенство (4.8). Пусть точка задана координатами M(x, y) в системе координат R, которые удовлетворяют уравнению (4.9), тогда ( F M = x p ) 2 ( + y 2 2 = x p ) 2 + 2px = 2 ( = x + p ) 2 = x + p, 2 2 ρ(m, d) = x + p, 2 ρ(m, d) = F M. Это доказывает, что точка М лежит на параболе γ, а уравнение (4.9) называется каноническим уравнением параболы. Свойства: 1) Парабола, заданная уравнением (4.9), симметрична относительно координатной оси Ох. Определение: Ось координат Ох называется осью симметрии параболы. 53

54 4 Линии второго порядка 2) Парабола имеет с координатными осями одну общую точку начало координат O(0, 0), которая называется вершиной параболы. 3) Все точки параболы принадлежат полуплоскости, заданной неравенством: x 0. 4) Все параболы подобны с коэффициентом подобия равным отношению их параметров. Директрисы эллипса и гиперболы и их свойства. Определение: Директрисами эллипса (гиперболы) называются две прямые, параллельные второй оси и отстоящие от нее на расстоянии a, где ε - эксцентриситет. Окружность ε не имеет директрис (ε = 0). Уравнения директрис: x = ± a ε. 54 Свойства директрис: 1) Директрисы гиперболы пересекают её действительную ось, расположены между ветвями гиперболы и не пересекают эти ветви. 2) Директрисы эллипса пересекают её первую ось и не пересекают эллипс. 3) Эллипс (гипербола, парабола) есть множество точек плоскости, таких что, отношение расстояния от этих точек, до фокуса к расстоянию от этих точек до соответствующей директрисы постоянно и F M равно эксцентриситету, т. е., где для эллипса 0 ε < 1, для гиперболы ε > 1, для парабо- ρ(m, d) = ε лы ε = 1.

55 4.3 Парабола и её свойства Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах Введём полярную систему координат следующим образом: в качестве полюса выберем фокус F, точку пересечения соответствующей директрисы d с осью абсцисс обозначим D, направление полярной оси совпадает с направлением вектора DF. Рассмотрим линию второго порядка γ: эллипс, правую ветвь гиперболы или параболу, выбранный в качестве полюса фокус F и соответствующую ему директрису d. Рассматриваемые линии второго порядка лежат в одной полуплоскости c границей d, а именно в той полуплоскости, в которой находится полюс F. Для любой точки M(r, φ) γ верно: 1) по свойству (3) F M = ερ(m, d), 2) FM=r, 3) ρ(m, d) = DF + r cos(φ). Тогда r = ε(df + r cos(φ)) = εdf + εr cos(φ). Обозначим p = ε DF, который называется фокальным параметром, и выразим r: r = p 1 ε cos(φ), (4.10) это уравнение, которому удовлетворяют все точки, принадлежащие γ. Выясним, при каких значениях φ уравнение (4.10) определяет все точки линии γ: 1) линия γ эллипс, тогда 0 ε < 1. В этом случае знаменатель 1 ε cos(φ) > 0 при любых значениях переменной φ [0, 2π] 55

56 4 Линии второго порядка 2) линия γ правая ветвь гиперболы, тогда ε > 1. Знаменатель в уравнеии (4.10) должен быть положительным 1 ε cos(φ) > 0, cos(φ) < 1 ε, 1 cos 2 (φ) 1 cos 2 (φ) 1 cos 2 (φ) 1 cos 2 (φ) > c2 a 2, > a2 + b 2 a 2, > 1 + k 2, k = a b = tg(φ 0) > 1 + tg 2 (φ 0 ) = cos 2 (φ 0 ) < cos 2 (φ), cos(φ) > cos(φ 0 ), 1 cos 2 (φ 0 ), тогда угол φ может изменяться в пределах [φ 0, π φ 0 ]. 3) линия γ парабола, тогда ε = 1. Знаменатель 1 cos(φ) > 0, т. е. cos(φ) < 1 и φ 2πn, при этих значениях угла φ луч совпадает с полярной осью, а на оси симметрии парболы справа от фокуса нет точек параболы, поэтому φ (0, 2π) Классификация линий второго порядка Пусть линия второго порядка γ задана в системе координат R = (O, i, j) общим уравнением (4.1). Чтобы упростить уравнение линии γ применим два преобразования: 56 1) Поворот координатных осей. От системы координат R = (O, i, j) перейдём к новой

57 4.4 Классификация линий второго порядка системе координат R = (O, i, j ), где базисные векторы ( i, j ) определяют главные направления линии второго порядка. Причём вектор j должен иметь не асимптотическое направление. Определение: Направление (вектор) p (p 1, p 2 ) называется главным, если сопряжено с перпендикулярным направлением, т. е. выполняется равенство (a 22 a 11 )p 1 p 2 + a 12 p 2 1 a 21 p 2 2 = 0 (4.11) Определение: Направление (вектор) p (p 1, p 2 ) называется асимптотическим относительно линии γ, если выполняется равенство a 11 p a 12 p 1 p 2 + a 22 p 2 2 = 0 (4.12) В системе координат R = (O, i, j ) вектор j (0, 1) и, исходя из условия (4.11), a 21 = a 12 = 0, а из условия (4.12) a 22 0, кроме того, при преобразовании поворота свободный член уравнения не изменяется a 00 = a 00, тогда уравнение линии γ примет вид: a 11x 2 + a 22y 2 + 2a 10x + 2a 20y + a 00 = 0. (4.13) В результате этого преобразования упростилась главная часть уравнения (4.1). 2) Параллельный перенос начала координат. Для упрощения линейной части воспользуемся преобразованием параллельного переноса начала координат O в подходящую точку, т. е. перейдём к системе координат R = (O, i, j ). Рассмотрим различные случаи преобразования в зависимости от наличия центров у линии второго порядка γ. 57

58 4 Линии второго порядка а) Центральные линии второго порядка. Теорема 1. Точка C(x 0, y 0 ) центр линии второго порядка γ тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют системе уравнений: { a 11 x 0 + a 12 y 0 + a 10 = 0 a 12 x 0 + a 22 y 0 + a 20 = 0 (4.14) Определение: Линия второго порядка γ называется центральной, если она имеет один центр симметрии. Теорема 2. Линия второго порядка γ центральная тогда и только тогда, когда определитель системы уравнений (4.14) ненулевой, т. е. = a 11 a 12 a 12 a 0. (4.15) 22 Тогда при переносе начала координат в центр a 11 a 22 O ( a 10, a 20 ), координаты которого определены из (4.14), и учитывая, что из теоремы 2 следует a 11 a 22 0, получим уравнение линии γ в системе координат R : a 11x 2 + a 22y 2 + a 00 = 0. (4.16) 58 Возможны случаи: a 00 0 Если = a 11 a 22 > 0: коэффициенты a 11 и a 00 разного знака, то линия γ действительный эллипс; коэффициенты a 11 и a 00 одного знака, то линия γ мнимый эллипс. Если = a 11 a 22 < 0, то γ гипербола.

59 4.4 Классификация линий второго порядка a 00 = 0 Если = a 11 a 22 > 0, то линия γ пара мнимых пересекающихся прямых. Если = a 11 a 22 < 0, то γ пара действительных пересекающихся прямых. б) Нецентральные линии второго порядка, имеющие центры. В этом случае линия второго порядка имеет прямую центров симметрии и система уравнений (4.14) имеет бесконечное множество решений, т. е. = a 11 a 22 = 0. Значит один из коэффициентов равен нулю. Так как вектор j имеет неасимптотическое направление (a 22 0), то a 11 = 0. Переносим начало координат в один из цетров симметрии и получаем уравнение линии γ в системе координат R : Возможны случаи: Если a 00 a 22 a 22y 2 + a 00 = 0, 00 a 22 y 2 = a параллельных прямых.. (4.17) < 0, то линия γ пара мнимых Если a 00 a 22 = 0, то линия γ пара совпавших действительных параллельных прямых. Если a 00 a 22 > 0, то линия γ пара различных действительных параллельных прямых. 59

60 4 Линии второго порядка в) Нецентральные линии второго порядка, не имеющие центров. В этом случае линия второго порядка не имеет центров симметрии и система уравнений (4.14) не имеет решений, т. е. = a 11 a 22 = 0 и a Тогда один из коэффициентов равен нулю. Так как вектор j имеет неасимптотическое направление (a 22 0), то вектор i имеет асимптотическое направление и a 11 = 0. Данному асимптотическому направлению соответствует единственный главный диаметр линии γ ось O i. Переносим начало координат в точку, лежащую на пересечении главного диаметра с линией γ, и получаем уравнение линии в системе координат R : a 22y 2 + a 10x = 0, 10 a 22 y 2 = a Это уравнение параболы. x. (4.18) Классификация линий второго порядка Существует девять типов линий второго порядка: 60 1) Центральные: эллипс мнимый эллипс гипербола пара пересекающихся мнимых прямых пара пересекающихся действительных прямых 2) Нецентральные, имеющие центры: пара параллельных мнимых прямых

61 4.4 Классификация линий второго порядка пара параллельных действительных прямых пара совпавших действительных прямых 3) Нецентральные, не имеющие центров: парабола Приведение линии второго порядка к каноническому виду. Пусть линия второго порядка γ задана общим уравнением (4.14) в системе координат R = (O, i, j). 1) Упростим главную часть уравнения (4.14) с помощью преобразования поворота, т. е. найдём главные направления i и j. Пусть i (cos α, sin α), где α = ( i, i ) Составим характеристическое уравнение, используя равенство (4.11): a 11 λ a 12 a 22 λ = 0 (4.19) a 12 и найдём его корни λ 1 λ 2. Вектору i соответствует корень λ 1, тогда tg α = λ 1 a 11, a 12 tg α sin α = 1 + tg 2 α, cos α = tg 2 α Формулы преобразования поворота имеют вид: { x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α, после подстановки которых в (4.14) получим уравнение в системе координат R = (O, i, j ) в следующем виде: λ 1 x 2 + λ 1 y 2 + 2a 10x + 2a 20y + a 00 = 0. (4.20) 61

62 4 Линии второго порядка 2) Преобразуем линейную часть уравнения. Методом выделения полных квадратов находятся формулы преобразования параллельного переноса и определяются координаты нового начала координат O. Уравнение записывается в каноническом виде в системе координат R = (O, i, j ) Метрические задачи 1. В прямоугольной декартовой системе координат найти уравнение эллипса, если задана точка M 0 (x 0, y 0 ), принадлежащая эллипсу и его эксцентриситет ε. Решение: Каноническое уравнение эллипса γ : x2 a 2 + y2 b 2 = 1. Чтобы записать уравнение необходимо найти полуоси a и b. Если точка M 0 γ, то координаты точки удовлетворяют уравннеию эллипса x2 0 a 2 + y2 0 b 2 = 1. Эксцентриситет можно представить в виде отношения ε = c a a = 2 b 2 ( b ) 2. = 1 Решая систему a a уравнений: x 2 0 a 2 + y2 0 ( 2 = 1, b ) 2 1 = ε 2, a найдём значения полуосей a 2 = x2 0 (1 ε2 ) + y0 2 (1 ε 2 ) b 2 = (1 ε 2 )a 2., 62

63 4.5 Метрические задачи 2. В прямоугольной декартовой системе координат найти уравнение гиперболы, если заданы уравнения асимптот и расстояние между директрисами. Решение: Каноническое уравнение гиперболы γ : x2 a 2 y2 b 2 = 1. Чтобы записать уравнение необходимо найти полуоси a и b. Если заданы уравнения асимптот y = ± b x, то извест- a но отношение b a = λ 0. Расстояние между директрисами равно ρ(d 1, d 2 ) = 2a ε = 2a2 2a 2 = c a 2 + b = µ 0. 2 Решая систему уравнений относительно a и b: b a = λ 0, 2a 2 a 2 + b 2 = µ 0, найдём значения полуосей { b = aλ0, a = µ λ В прямоугольной декартовой системе координат найти уравнение гиперболы, софокусной с данной гиперболой и проходящей через заданную точку. Решение: Каноническое уравнение искомой гиперболы γ 2 : x2 a 2 y2 2 b 2 2 = 1 Чтобы записать уравнение необходимо найти полуоси a 2 и b 2. 63

64 4 Линии второго порядка Если задано уравнение гиперболы γ 1 : x2 a 2 1 y2 b 2 1 = 1, точка M 0 ( x 0, y 0 ) γ 2 и с 1 = c 2, то координаты точки x 2 0 удовлетворяют уравнению гиперболы γ 2 a 2 y2 0 2 b 2 2 и известно значение c 2 2 = с2 1 = a2 1 + b2 1. Решая систему уравнений относительно a 2 и b 2 : x 2 0 a 2 y2 0 2 b 2 = 1, 2 c 2 2 = a2 2 + b2 2, которая после преобразования принимает вид { b 2 2 = c 2 2 a2 2, a 4 2 a2 2 (x2 0 + y2 0 + c2 2 ) + x2 0 c2 2 = 0, найдём значения полуосей. = 1 64

65 Глава 5. Плоскость и прямая в пространстве Плоскость и прямая в пространстве, взаимное расположение прямых и плоскостей. Основные теоремы. Метрические задачи в пространстве Способы задания и уравнения плоскости Пусть в трёхмерном пространстве задана плоскость α и аффинная система координат R = (O, e 1, e 2, e 3 ). Векторное пространство V 2 всех векторов параллельных этой плоскости называется направляющим подпространством плоскости α. Замечание: Если задано направляющее подпространство V 2, то оно определяет бесконечное множество параллельных плоскостей.

66 5 Плоскость и прямая в пространстве 66 Способы задания плоскости. 1) На основании аксиомы евклидова пространства, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Следовательно, плоскость может быть задана тремя точками общего положения: α = [M 0, M 1, M 2 ]. 2) Пусть задано направляющее подпространство V 2 в пространстве E 3. Зафиксируем точку M 0. Тогда через точку M 0, которая называется начальной, будет проходить единственная плоскость α с направляющим подпространством V 2 : α = [M 0, V 2 ] = [M 0, a, b], где a, b неколлинеарные векторы пространства V 2, называются направляющими векторами плоскости. Замечание: Первый способ задания может быть сведен ко второму следующим образом: α = [M 0, M 1, M 2 ] = [M 0, M 0 M 1, M 0 M 2 ]. 3) Рассмотрим Евклидово пространство E 3, в котором задана прямоугольная система координат R = (O, i, j, k). Как известно, для любых двух векторов a, b из пространства V 2 однозначно определяется вектор им перпендикулярный n = a b из пространства V 1, являющегося ортогональным дополнением пространства V 2. Тогда, т. к. пространство V 2 определяет плоскость α, то и пространство V 1 также полностью определяет эту плоскость. Следовательно, плоскость α может быть задана начальной точкой M 0 и подпространством V 1 : α = [M 0, V 1 ] = [M 0, n], где n вектор пространства V 1, перпендикулярен плоскости и называется вектором нормали.

67 5.1 Способы задания и уравнения плоскости Уравнения плоскости. 1) Вектороное уравнение плоскости. Пусть задана плоскость α = [M 0, a, b]. Возьмем любую точку М, принадлежащую плоскости, и составим вектор M 0 M, который по построению параллеллен плоскости. Тогда векторы M 0 M, a, b компланарны и по свойству (3) смешанного произведения: ( M 0 M, a, b) = 0. (5.1) Уравнение (5.1) называется векторным уравнением плоскости α. Запишем векторное уравнение (5.1) в координатах. Пусть в аффинной системе координат R начальная точка и направляющие векторы задаются координатами M 0 (x 0, y 0, z 0 ), a(a 1, a 2, a 3 ), b(b 1, b 2, b 3 ), произвольная точка плоскости M(x, y, z), тогда координаты вектора M 0 M(x x 0, y y 0, z z 0 ). Векторное уравнение (5.1) примет вид: x x 0 y y 0 z z 0 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = 0. (5.2) 2) Параметрические уравнения плоскости. Из компланарности векторов M 0 M, a, b следует их линейная зависимость, а это значит, что один из векторов является линейной комбинацией остальных, т. е. M 0 M = u a + v b, где u, v параметры. Запишем это векторное равенство в координатах: x x 0 = ua 1 + vb 1 y y 0 = ua 2 + vb 2. z z 0 = ua 3 + vb 3 67

68 5 Плоскость и прямая в пространстве 68 После преобразований получим параметрические уравнения плоскости: где u и v параметры. x = x 0 + ua 1 + vb 1 y = y 0 + ua 2 + vb 2, (5.3) z = z 0 + ua 3 + vb 3 3) Общее уравнение плоскости. Раскроем уравнение (5.2): a ( 2 a 3 b 2 b 3 (x x 0 ) + a ) 1 a 3 b 1 b 3 (y y 0 )+ }{{}}{{} A B + a 1 a 2 b 1 b 2 (z z 0 ) = 0 }{{} C Ax + By + Cz + ( Ax 0 By 0 Cz 0 ) = 0 }{{} D Ax + By + Cz + D = 0 Вывод: Плоскость в пространстве задаётся уравнением первого порядка (5.4). Верно и обратное утверждение, любое уравнение первой степени задаёт плоскость в пространстве E 3. 4) Пусть задана прямоугольная система координат R и плоскость определена α = [M 0 (x 0, y 0, z 0 ), n(n 1, n 2, n 3 )]. Возьмем произвольную точку M(x, y, z) α и составим вектор M 0 M(x x 0, y y 0, z z 0 ) по построению ортогональный вектору нормали n. Тогда скалярное произведение M 0 M n = 0, а в координатной форме записи получим уравнение плоскости α: n 1 (x x 0 ) + n 2 (y y 0 ) + n 3 (z z 0 ) = 0 (5.4)

69 5.2 Основные теоремы 5.2. Основные теоремы Теорема 1 (О параллельности вектора плоскости). Для того чтобы вектор p (p 1, p 2, p 3 ) был параллелен плоскости α, заданной общим уравнением (5.4) в аффинной системе координат, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Ap 1 + Bp 2 + Cp 3 = 0. Доказательство: 1. Необходимость. Пусть вектор p параллелен плоскости α. Возьмём точку M 0 α и отложим вектор M 0 M 1, равный вектору p. Тогда по построению точка M 1 α. Таким образом, координаты точек удовлетворяют уравнению плоскости α: Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0, Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0. Вычтем почленно из второго равенства первое и получим равенство A(x 1 x 0 ) + B(y 1 y 0 ) + C(z 1 z 0 ) = 0, 2. Достаточность. Пусть выполняется равенство A(p 1 + Bp 2 + Cp 3 = 0. Ap 1 + Bp 2 + Cp 3 = 0. Возьмём точку M 0 α и отложим вектор M 0 M 1, равный вектору p. Тогда верно равенство Ap 1 + Bp 2 + Cp 3 = = A(x 1 x 0 ) + B(y 1 y 0 ) + C(z 1 z 0 ) = 0. 69

70 5 Плоскость и прямая в пространстве Так как точка M 0 α, то её координаты удовлетворяют уравнению плоскости (5.4), а значит D = (Ax 0 + By 0 + Cz 0 ). Тогда A(x 1 x 0 ) + B(y 1 y 0 ) + C(z 1 z 0 ) = 0, Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, что означает M 1 α и p параллелен плоскости α. Теорема доказана. Теорема 2. В аффинной системе координат ненулевой вектор n(a, B, C) не параллелен плоскости α, заданной общим уравнением (5.4). Теорема 3. В прямоугольной системе координат вектор n(a, B, C) перпендикулярен плоскости α, заданной общим уравнением (5.4). Теорема 4. Любая плоскость разбивает пространтсво на два полупространства, каждое из которых определяется одним из неравенств: Ax + By + Cz + D > 0, (5.5) Ax + By + Cz + D < 0. (5.6) 5.3. Положение плоскости относительно системы координат Пусть задана аффинная система координат, в которой плоскость α имеет общее уравнение (5.4). Рассмотрим как изменяются значения коэффициентов в уравнении плоскости в зависимости от её расположения относительно системы координат. 70 1) Пусть плоскость α проходит через начало координат точку О. Тогда координаты точки O удовлетворяет уравнению (5.4) и D = 0.

71 5.4 Взаимное расположение плоскостей 2) Пусть плоскость α параллельна оси Ox. Тогда вектор e 1 (1, 0, 0) параллелен плоскости и выполняется условие теоремы 1, откуда следует, что A = 0. 3) Плоскость α параллельна оси Oy тогда и только тогда, когда B = 0. 4) Плоскость α параллельна оси Oz тогда и только тогда, когда C = 0. 5) Плоскость α параллельна плоскости Oxy тогда и только тогда, когда A = B = 0. 6) Плоскость α параллельна плоскости Oxz тогда и только тогда, когда A = C = 0. 7) Плоскость α параллельна плоскости Oyz тогда и только тогда, когда B = C = 0. Вывод: Уравнения координатных плоскостей имеют следующий вид: плоскости Oxy: z = 0, плоскости Oxz: y = 0, плоскости Oyz: x = Взаимное расположение плоскостей Пусть в аффинной системе координат плоскости заданы общими уравнениями α : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, (5.7) β : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. (5.8) 71

72 5 Плоскость и прямая в пространстве Теорема 1. Плоскости α и β, заданные уравнениями (5.7) и (5.8), пересекаются тогда и только тогда, когда коэффициентов при соответствующих переменных не пропорциональны. Теорема 2. Плоскости α и β, заданные уравнениями (5.7) и (5.8), параллельны тогда и только тогда, когда отношения коэффициентов при соответствующих переменных равны и не равны отношению свободных членов, т. е. A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 D 1 D 2 (5.9) Теорема 3. Плоскости α и β, заданные уравнениями (5.7) и (5.8), совпадают тогда и только тогда, когда равны отношения коэффициентов при соответствующих переменных и свободных членов, т. е. A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 = D 1 D 2 (5.10) 5.5. Способы задания и уравнения прямой Пусть в пространстве задана аффинная система координат R = (O, e 1, e 2, e 3 ). Рассмотрим прямую l и множество векторов ей параллельных. Эти векторы образуют векторное подпространство V 1, которое называется направляющим подпространством прямой l, а любой не нулевой вектор параллельный прямой l называется направляющим вектором этой прямой. 72 Способы задания прямой 1) Положение прямой l в пространстве однозначно определяется начальной точкой и направляющим вектором (векторным подпространством) l = [M 0, p].

73 5.5 Способы задания и уравнения прямой 2) Положение прямой l в пространстве однозначно определяется двумя точками лежащими на этой прямой l = [M 0, M 1 ]. Этот способ задания может быть сведен к предыдущему следующим образом l = [M 0, M 0 M 1 ]. 3) Положение прямой l в пространстве однозначно определяется пересечением двух плоскостей l = α β. Виды уравнений прямой 1) Каноническое уравнение прямой. Пусть прямая l задана способом 1. В системе R заданы координаты начальной точки M 0 (x 0, y 0, z 0 ) и направляющего вектора p (p 1, p 2, p 3 ). Возьмем произвольную точку прямой M(x, y, z), составим вектор M 0 M(x x 0, y y 0, z z 0 ) по построению коллинеарный направляющему вектору p, тогда координаты этих векторов пропорциональны x x 0 p 1 = y y 0 p 2 = z z 0 p 3 (5.11) Получено каноническое уравнение прямой. Замечание: Если одна из координат вектора p нулевая, например p 3 = 0, то каноническое уравнение записывется в виде системы x x 0 = y y 0 p 1 p 2 z z 0 = 0. 2) Параметрические уравнения прямой. В предыдущем пункте было показано, что векторы M 0 M(x x 0, y y 0, z z 0 ) и p коллинеарны, тогда один из векторов можно выразить через другой M 0 M = p t, где t параметр. 73

74 5 Плоскость и прямая в пространстве Запишем векторное равенство в координатной форме и получим параметрические уравнения прямой x = x 0 + p 1 t y = y 0 + p 2 t, где t параметр. z = z 0 + p 3 t (5.12) 3) Пусть прямая l определена как пересечение двух плоскостей l = α β, где α : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и β : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Тогда каждая точка прямой M(x, y, z) принадлежит обеим плоскостям и её координаты удовлетворяют уравнениям плоскостей.следовательно, прямая задается системой уравнений: { A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 (5.13) A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 Лемма. Если в аффинной системе координат прямая l задана уравнениями (5.13), то вектор ( p B ) 1 C 1 B 2 C 2, A 1 C 1 A 2 C 2, A 1 B 1 A 2 B 2 является направляющим вектором этой прямой Взаимное расположение прямых Возможны следующие расположения прямых в пространстве: 74 1) прямые пересекаются; 2) прямые параллельны; 3) прямые скрещивающиеся.

75 5.7 Взаимное расположение прямой и плоскости Пусть каждая из двух прямых задана начальной точкой и направляющим вектором a = [A, a] и b = [B, b]. Выведем условия для определения взаимного расположения прямых: 1) Пусть прямые пересекаются, тогда они лежат в одной плоскости, а значит векторы AB, a, b компланарны, т. е. смешанное произведение векторов равно нулю: ( AB, a, b) = 0. Кроме того, прямые пересекаются, следовательно направляющие векторы не коллинеарны a b, т. е. их координаты не пропорциональны. 2) Пусть прямые параллельны, тогда они лежат в одной плоскости, а значит векторы AB, a, b компланарны, т. е. смешанное произведение векторов равно нулю: ( AB, a, b) = 0. Кроме того, направляющие векторы прямых коллинеарны a b, т. е. их координаты пропорциональны: a 1 b 1 = a 2 b 2 = a 3 b 3. 3) Пусть прямые скрещивающиеся, тогда они лежат в разных плоскостях, а значит векторы AB, a, b не компланарны, т. е. ( AB, a, b) Взаимное расположение прямой и плоскости Возможны следующие расположения прямой и плоскости в пространстве: 75

76 5 Плоскость и прямая в пространстве 1) прямая пересекает плоскость; 2) прямые параллельна плоскости; 3) прямые лежит на плоскости. Пусть прямая задана начальной точкой и направляющим вектором a = [M 0, a] и плоскость общим уравнением α : A x + B y + C z + D = 0, где n (A, B, C) вектор нормали плоскости. Выведем условия для определения взаимного расположения прямой и плоскости: 1) Пусть прямая a и плоскость α пересекаются, тогда направляющий вектор прямой a не перпендикулярен вектору нормали плоскости n, а значит скалярное произведение векторов не равно нулю: ( a, b) 0. 2) Пусть прямая параллельна плоскости, тогда направляющий вектор прямой a перпендикулярен вектору нормали плоскости n, а значит скалярное произведение векторов равно нулю: ( a, b) = 0. Так как прямая параллельна плоскости, то любая точка прямой (в том числе и начальная) не принадлежит плоскости, т. е. координаты не удовлетворяют уравнению плоскости: A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ) Пусть прямая a лежит в плоскости α, тогда направляющий вектор прямой a перпендикулярен вектору

77 5.8 Метрические задачи нормали плоскости n, а значит скалярное произведение векторов равно нулю: ( a, b) = 0. Так как прямая лежит в плоскости, то любая точка прямой (в том числе и начальная) принадлежит плоскости, т. е. координаты удовлетворяют уравнению плоскости: A x 0 + B y 0 + C z 0 + D = Метрические задачи 1. В прямоугольной декартовой системе координат найти расстояние от точки M 0 (x 0, y 0, z 0 ) до плоскости α : Ax + By + Cz + D = 0. Решение: Из точки M 0 опустим перпендикуляр M 0 M 1 на плоскость α, где по построению точка M 1 (x 1, y 1, z 1 ) α, а значит координаты точки удовлетворяют уравнению плоскости, откуда следует D = (Ax 1 + By 1 + Cz 1 ). Определим вектор M 0 M 1 (x 1 x 0, y 1 y 0, z 1 z 0 ), который по построению коллинеарен вектору нормали плоскости α. По теореме 3 пункта 5.2 вектор нормали плоскости имеет координаты n (A, B, C). Рассмотрим модуль скалярного произведения векторов M 0 M 1 n = M 0 M 1 n, M 0 M 1 n = A(x 1 x 0 ) + B(y 1 y 0 ) + C(z 1 z 0 ) = = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D, n = A 2 + B 2 + C 2, M 0 M 1 = M 0 M 1 = ρ(m 0, α) 77

78 5 Плоскость и прямая в пространстве Тогда искомое расстояние определяется следующим образом ρ(m 0, α) = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A 2 + B 2 + C Найти расстояние между параллельными плоскостями, заданными своими обшими уравнениями в прямоугольной декартовой системе координат. Решение: Используя результат задачи 1, получим, что расстояние между двумя параллельными плоскостями, заданными общими уравнениями α : Ax + By + Cz + D 1 = 0 и β : Ax + By + Cz + D 2 = 0 равно ρ(m 0, α) = D 1 D 2 A 2 + B 2 + C Найти угол между плоскостями, заданными своими обшими уравнениями в прямоугольной декартовой системе координат. Решение: Пусть плоскости заданы общими уравнениями α : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и β : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. По теореме 3 пункта 5.2 векторы нормалей имеют координаты n 1 (A 1, B 1, C 1 ) и n 2 (A 2, B 2, C 2 ) соответственно. Острый угол между плоскостями и будет равен острому углу между их векторами нормалей. Тогда используя скалярное произведение векторов, найдем косинус угла между плоскостями: cos( α, β) = cos( n 1, n 2 ) = n 1 n 2 n 1 n 2 = = A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 A B1 2 + C2 1 A B C2 2 78

79 5.8 Метрические задачи 4. Найти угол между прямыми, заданными в прямоугольной декартовой системе координат. Решение: Под углом между прямыми понимаем острый угол, образованный этими прямыми. Пусть каждая из двух прямых a и b задана начальной точкой и направляющим вектором, тогда острый угол между направляющими векторами будет равен острому углу между прямыми. Используя скалярное произведение векторов, найдем косинус угла между прямыми: cos(â, b) = cos( a, b) = a b a b. (5.14) 5. Найти угол между прямой и плоскостью, заданными в прямоугольной декартовой сиситеме координат. Решение: Пусть в прямоугольной декартовой системе координат прямая d задана начальной точкой и направляющим вектором p и плоскость α своим общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0. Под углом φ между прямой d и плоскостью α понимаем острый угол, образованный этой прямой и ее проекцией на плоскость, т. е. 0 φ π. Для нахождения угла φ используем тот факт, что искомый угол φ в сумме с острым углом между направляющим вектором p прямой d и вектором нормали n к плоскости α составляет прямой угол: φ + ( p, n) = π 2. Найдём косинус угла между векторами p и n cos( p, n) = cos( π φ) = sin φ = sin φ, 2 cos( p, n) = p n p n. 79

80 5 Плоскость и прямая в пространстве 80 В результате искомый угол равен sin( d, α) = sin φ = p n p n. 6. Найти расстояние от точки до прямой в прямоугольной декартовой сиситеме координат. Решение: Пусть в прямоугольной системе координат заданы точка M 1 / d и прямая d начальной точкой и направляющим вектором d = [M 0 (x 0, y 0, z 0 ), p]. Опустим перпендикуляр M 1 H из точки M 1 на прямую d. Длина перпендикуляра M 1 H искомое расстояние от точки M 1 до прямой d. На прямой от точки M 0 отложим вектор M 0 A равный вектору p и проведём вектор M 0 M 1. На этих векторах как на сторонах построим параллелограмм M 0 M 1 BA, высотой которого будет перпендикуляр M 1 H и основанием M 0 A = p. Выразим высоту из формулы для нахождения площади параллелограмма M 1 H = S M 0 M 1 BA M 0 A, S M0 M 1 BA = M 0 M 1 M 0 A. Тогда искомое расстояние можно найти из выражения ρ(m 1, d) = M 0 M 1 p (5.15) p 7. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми в прямоугольной декартовой сиситеме координат. Решение: Пусть в прямоугольной декартовой системе координат каждая из скрещивающихся прямых задана начальной точкой и направляющим вектором:

81 5.8 Метрические задачи a = [M 0 (x 0, y 0, z 0 ), a], b = [M 1 (x 1, y 1, z 1 ), b]. Расстояние между скрещивающимися прямыми это длина их общего перпендикуляра. Скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях α и β, расстояние между которыми и является искомым расстоянием между прямыми. Направляющее подпространство параллельных плоскостей определяется векторами a и b. Начальная точка M 0 вместе со всей прямой a принадлежит плоскости α, начальная точка M 1 вместе со всей прямой b принадлежит плоскости β. Составим вектор M 0 M 1. На векторах M 0 M 1, a, b как на сторонах построим параллелепипед M 0 ACBM 1 A 1 C 1 B 1, тогда высота параллелепипеда будет равна расстоянию между параллельными плоскостями, а значит между скрещивающимися прямыми: ρ(a, b) = V M 0 ACBM 1 A 1 C 1 B 1 S M0 ACB = ( M 0 M 1, a, b) a. b 8. Найти расстояние от точки до плоскости. Решение: Пусть задана точка M 0 ( x 0, y 0, z 0 ) / α и общим уравнением плоскость α : Ax + By + Cz + D = 0. Запишем уравнение прямой d, проходящей через точку M 0 и перпендикулярную плоскости α: x = x 0 + A t y = y 0 + B t, z = z 0 + C t. Точка M 1 = d α называется проекцией точки M 0 на плосксоть α. Найдём координаты точки пересечения 81

82 5 Плоскость и прямая в пространстве M 1, решая систему уравнений: x = x 0 + A t y = y 0 + B t, z = z 0 + C t, Ax + By + Cz + D = 0. Искомое расстояние равно длине отрезка M 0 M Найти координаты точки симметричной данной относительно заданной плоскости. Решение: Пусть задана точка M 0 ( x 0, y 0, z 0 ) / α и общим уравнением плоскость α : Ax + By + Cz + D = 0. Решая задачу 8, мы нашли координаты точки M 1 проекции точки M 0 на плоскость α. Тогда точка M 2, симметричная точке M 0 относительно плоскости α, также лежит на прямой d и точка M 0 является серединой отрезка M 1 M 2. Таким образом координаты точки M 2 находим, используя формулы координат середины отрезка. 82

83 Глава 6. Преобразования плоскости Линейные преобразования, их свойства. Аффинные преобразования плоскости и их свойства. Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Аффинная эквивалентность геометрических фигур. Теоретико-групповой принцип построения геометрии. Векторные преобразования подобия, их свойства и виды. Преобразования подобия плоскости, их виды и свойства. Группа подобий плоскости и ее подгруппы. Подобие геометрических фигур. Ортогональные преобразования плоскости, их свойства и виды. Движения плоскости, их виды, свойства и классификация. Группа движений плоскости. Равенство геометрических фигур.

84 6 Преобразования плоскости 6.1. Линейные преобразования векторов плоскости Пусть дано векторное пространство V 2 и задано преобразование F векторов пространства V 2 : x = F ( x), где x прообраз вектора x, x образ вектора x. Определение: Преобразование векторов F называется линейным, если для любых векторов x, y V 2 и любого числа λ R имеют место следующие соотношения: 1) F ( x + y) = F ( x) + F ( y), 2) F (λ x) = λ F ( x). Свойства: 1) Пусть на плоскости даны две системы векторов: a 1, a 2 и b 1, b 2, причём первая система независима, а другая произвольна. Существует одно и только одно линейное преобразование x = F ( x), удовлетворяющее условиям: a 1 = F ( e 1 ), a 2 = F ( e 2 ) 2) Пусть на плоскости дан базис e 1, e 2. Линейное преобразование F переводит базисные векторы соответственно в векторы { a1 = a 11 e 1 + a 12 e 2, a 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2, 84 а произвольный вектор x (x 1, x 2 ) в x (x 1, x 2 ). Тогда координаты векторов связаны соотношениями { x 1 = a 11 x 1 + a 21 x 2, x 2 = a (6.1) 12 x 1 + a 22 x 2.

85 6.1 Линейные преобразования векторов плоскости Соотношения (6.1) называются координатным заданием линейного преобразования в базисе e 1, e 2. Матрица ( ) a11 a A = 21 a 12 a 22 называется матрицей линейного преобразования F. 3) Для того, чтобы линейное преобразование F векторов плоскости было взаимнооднозначным необходимо и достаточно, чтобы оно было невырожденным, т. е. матрица A в любом базисе имела ранг равный двум или определеитель deta 0. 4) Произведение двух линейных преобразований есть линейное преобразование. 5) Произведение двух невырожденных линейных преобразований есть невырожденное линейное преобразование. Классификация линейных преобразований, основаная на наличии собственных направлений. 1) Линейные преобразования, имеющие только два собственных направления. 2) Линейные преобразования, имеющие единственное собственное направление. 3) Линейные преобразования, для которых любое направление собственное. 4) Линейные преобразования, не имеющие собственных направлений. 85

86 6 Преобразования плоскости 6.2. Ортогональные преобразования плоскости Определение: Линейное преобразование D( x) называется ортогональным преобразованием, если для любого вектора x имеем: D( x) = x. (6.2) Замечание: Верно равенство D( x) D( x) = x x. Определение: Два базиса e 1, e 2 и a 1, a 2 называются эквивалентными, если выполняются равенства e 1 = a 1, e 2 = a 2 и ( e 1, e 2 ) = ( a 1, a 2 ). Свойства: 86 1) Ортогональное преобразование сохраняет скалярное произведение между ненулевыми векторами, т. е. для любых векторов x и y верно равенство D( x) D( y) = x y. 2) Ортогональное преобразование сохраняет углы между ненулевыми векторами: (D( x), D( y)) = ( x, y). 3) Ортогональное преобразование любой базис переводит в эквивалентный ему базис. 4) Ортогональное преобразование является невырожденным преобразованием. 5) Если e 1, e 2 и a 1, a 2 два произвольных эквивалентных базиса, то существует единственное ортогональное преобразование D, для которого D( e 1 ) = a 1, D( e 2 ) = a 2.

87 6.2 Ортогональные преобразования плоскости 6) Пусть в прямоугольном декартовом базисе i, j линейное преобразование F задано матрицей ( a11 a F = 21 a 12 a 22 ). Для того, чтобы преобразование F было ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы матрица F была ортогональной. Классификация ортогональных преобразований Так как матрица любого ортогонального преобразования ортогональна, то её можно представить в виде: ( ) cos ϕ sin ϕ D = sin ϕ cos ϕ (6.3) или ( cos ϕ sin ϕ D = sin ϕ cos ϕ ). (6.4) Матрицей (6.3) задаётся ортогональное преобразование первого рода, т. е. преобразование, которое не меняет ориентацию векторов. Матрицей (6.4) задаётся ортогональное преобразование второго рода, т. е. преобразование, которое меняет ориентацию векторов. 1) Ортогональные преобразования первого рода. Матрица общего вида (6.3) задаёт преобразование вращения на угол ϕ, обозначается V ϕ, однако есть два частных случая, которые рассмотрим ниже. 87

88 6 Преобразования плоскости 88 Если угол поворота ϕ = 0, то матрица (6.3) принимает вид ( ), т. е. базисные векторы переходят при этом преобразовании в себя, а значит все векторы плоскости тоже переходят в себя. Такое преобразование называется тождественным и обозначается E. Если угол поворота ϕ = π, то матрица (6.3) принимает вид ( ), т. е. базисные векторы переходят при этом преобразовании в противоположные им векторы. Такое преобразование называется гомотетией с коэффициентом k = 1 или преобразованием отражения и обозначается H 1. 2) Ортогональные преобразования второго рода. Матрица общего вида (6.4) в собственном базисе имеет вид ( ), т. е. первый базисный вектор переходит при этом преобразовании в себя, а второй базисный вектор переходит при этом преобразовании в противоположный. Такое преобразование называется симметрией относительно вектора e, где e первый собственный вектор, и обозначается преобразование S e.

89 6.2 Ортогональные преобразования плоскости Вывод: Существую только четыре вида ортогональных преобразований векторов плоскости тождественное E, отражение H 1, вращение V ϕ и симметрия S e. Теорема. Произведение любых двух ортогональных преобразований есть орогональное преобразование. Доказательство: Пусть D 1 и D 2 ортогональные преобразовния, тогда для любого вектора x верно x = D 1 D 2 ( x) = D 1 ( y), где y = D 2 ( x). По определению ортогонального преобразования x = D 1 ( y) = y = D 2 ( x) = x, т. е. D 1 D 2 ортогональное преобразовние. Теорема доказана. Составим таблицу умножения ортогональных преобразований: E H 1 V ϕ2 S p E H 1 V ϕ2 S p H 1 H 1 E V ϕ2 π S p0 V ϕ1 V ϕ1 V ϕ1 π V ϕ1 +ϕ 2 S ϕ p( 1 2 ) S e S e S e0 S ϕ e( 2 2 ) V ϕ Обозначения: e 0 вектор ортогональный вектору e, p 0 вектор ортогональный вектору p, S ϕ p( 1 2 ) симметрия относительно вектора, который получен из вектора p поворотом на угол ( ϕ 1 2 ), S ϕ e( 2 2 ) симметрия относительно вектора, который получен из вектора e поворотом на угол ( ϕ 2 2 ). 89

90 6 Преобразования плоскости 6.3. Векторные преобразования подобия Определение: Линейное преобразование P ( x) называется преобразованием подобия, если для любого вектора x имеем: P ( x) = k x, (6.5) где k положительное число, которое называется коэффициентом подобия данного преобразования. Замечание: При k = 1 получим определение ортогонального преобразования, т. е. ортогональное преобразование является частным случаем преобразования подобия. Свойства: 1) Для любого преобразования подобия P ( x) с коэффициентом подобия k существует ортогональное преобразование D( x), удовлетворяющее условию D( x) = 1 P ( x). (6.6) k Если P ( x) задано, то k и D( x) определяются из соотношения однозначно. Преобразование D, удовлетворяющее равенству (6.6) называется ортогональным преобразованием данного преобразования подобия P. 2) Преобразование подобия не сохраняет скалярное произведение векторов. 3) Преобразование подобия сохраняет угол между векторами. 90

91 6.3 Векторные преобразования подобия Классификация преобразований подобия Матрицу преобразования подобия в любом прямоугольном декартовом базисе можно представить в виде: ( ) k cos ϕ k sin ϕ P = (6.7) k sin ϕ k cos ϕ или ( k cos ϕ k sin ϕ P = k sin ϕ k cos ϕ ). (6.8) Матрицей (6.7) задаётся преобразование подобия первого рода, т. е. преобразование, которое не меняет ориентацию векторов. Матрицей (6.8) задаётся преобразование подобия второго рода, т. е. преобразование, которое меняет ориентацию векторов. Используя свойство (1) будем проводить классификацию преобразований подобия на основании классификации ортогональных преобразований. 1) Преобразования подобия первого рода. Любое преобразование подобия первого рода есть k V ϕ или k E или k H 1. а) Матрица общего вида (6.7) задаёт преобразование центрально-подобного вращения на угол ϕ с коэффициентом подобия k, которое обозначается k V ϕ. При k = 1 получим частный случай этого преобразования вращение V ϕ. б) Преобразование подобия k E каждый вектор x переводит в вектор k x. Таким образом, при k = 1 имеем тождественное преобразование Е, 91

92 6 Преобразования плоскости при k 1 гомотетию H k с положительным коэффициентом k. в) Преобразование подобия k H 1 каждый вектор x переводит в вектор ( k x). Таким образом, имеем гомотетию H k с отрицательным коэффициентом ( k). 2) Ортогональные преобразования второго рода. Любое преобразование подобия второго рода есть k S e. Таким образом, при k = 1 получаем преобразование симметрии S e, при k 1 преобразование центральноподобной симметрии относительно вектора e с коэффициентом подобия k, которое задаёт матрица общего вида (6.8). Вывод: Существую только пять видов векторных преобразований подобия векторов плоскости тождественное E, гомотетия H ±k, центрально-подобное вращение k V ϕ, симметрия S e и центрально-подобная симметрия k S e. Теорема. Произведение любых двух преобразований подобия есть преобразование подобия Аффинные преобразования плоскости Определение: Точечным отображением называется функция, где аргумент и значение функции являются точками. Определение: Точечное отображение называется взаимно однозначным, если различным прообразам соответствуют различные образы и у любой точки существует прообраз. 92

93 6.4 Аффинные преобразования плоскости Определение: Взимно однозначное отображение, для которого множество прообразов совпадает с множеством образов, называется преобразованием точек. Определение: Пусть заданы преобразование векторов плоскости x = F ( x) и преобразование точек плоскости M = Φ(M). (6.9) Эти преобразования ассоциированы, если выполняется условие: каковы бы ни были две точки плоскости M 1, M 2 и их образы M 1 и M 2 при преобразовании (6.9) выполняется условие: M 1M 2 = F ( M 1 M 2 ). (6.10) Определение: Точечное преобразование (6.9) сохраняет равенство векторов, если для любых четырёх точек плоскости M 1, M 2, M 3, M 4, удовлетворяющих условию M 1 M 2 = M 3 M 4, их образы M 1, M 2, M 3, M 4 удовлетворяют условию M 1 M 2 = M 3 M 4. Теорема 1. Для того, чтобы точечное преобразование Φ допускало ассоциированное векторное преобразование F необходимо и достаточно, чтобы преобразование F сохраняло равенство векторов. Теорема 2. Для того, чтобы векторное преобразование F допускало ассоциированное точечное преобразование Φ необходимо и достаточно, чтобы преобразование F было взаимно однозначным и удовлетворяло условию аддитивности F ( x + y) = F ( x) + F ( y). Определение: Преобразование точек плоскости называется аффинным, если любые три коллинеарные точки (M 1, M 2, M 3 ) l (т. е. точки, лежащие на 93

94 6 Преобразования плоскости одной прямой) переходят в три коллинеарные точки (M 1, M 2, M 3 ) l, причём сохраняется простое отношение этих точек (M 1 M 2, M 3 ) = (M 1 M 2, M 3 ). Свойства аффинного преобразования: 1) Аффинное преобразование прямую преобразует в прямую. 2) Аффинное преобразование параллельные прямые преобразует в параллельные прямые. 3) При аффинном преобразование три точки общего положения (неколлинеарные) переходят в три точки общего положения. 4) Любое аффинное преобразование точек сохраняет равенство векторов. 5) При аффинном преобразовании луч переходит в луч, угол в угол, многоугольник в многоугольник. Теорема 3. Любое аффинное преобразование допускает ассоциированное векторное преобразование, которое является невырожденным линейным преобразованием. Доказательство: Из свойства (4) и теоремы 1 следует, что аффинное преобразование допускает ассоциированное векторное преобразование. Докажем, что это векторное преобразование невырожденное линейное. По определению ассоциированных преобразований следует, что векторное преобразование невырожденное и удовлетворяет условию аддитивности. Условие аддитивности это условие (1) из определения линейного векторного преобразования. 94

95 6.4 Аффинные преобразования плоскости Докажем условие (2) из определения линейного векторного преобразования. Если λ = 0 или x = 0, то условие выполняется. При λ = 1 условие очевидно. Рассмотрим случай, когда λ 0, λ 1, x 0. Пусть M 1 произвольная точка плоскости, а M 2 и M 3 выбраны так, что M 3 M 2 = x, M 1 M 3 = λ x. Таким образом, точки M 1, M 2, M 3 лежат на одной прямой и связаны простым отношением (M 1 M 2, M 3 ) = λ. Рассмотрим образы M 1, M 2, M 3 точек M 1, M 2, M 3, тогда по определению ассоциированных преобразований имеем F ( M 1 M 3 ) = M 1M 3, F ( M 3 M 2 ) = M 3M 2. Следовательно, F (λ x) = M 1M 3, F ( x) = M 3M 2, и по определению аффинного преобразования сохраняется простое отношение трёх точек (M 1M 2, M 3) = (M 1 M 2, M 3 ) = λ = откуда получаем M 1M 3 = λ M 3M 2, F (λ x) = λ F ( x). M 1 M 3 M 3 M 2 95

96 6 Преобразования плоскости Теорема 4. Любое точечное отображение, ассоциированное с линейным невырожденным преобразованием векторов, является аффинным преобразованием точек. Теорема 5. Если в общей декартовой сиситеме R = (O, e 1, e 2 ) аффинное преобразование плоскости Φ задано точкой O(0, 0), которая переходит в M 0 (x 0, y 0 ) и векторным преобразованием F с матрицей ( ) a11 a A = 21, a 12 a 22 то координаты точки M(x, y) и её образа M (x, y ) связаны соотношениями: { x = x 0 + a 11 x + a 21 y, y (6.11) = y 0 + a 12 x + a 22 y. Соотношение (6.11) называется аналитическим заданием аффинного преобразования Φ, матрица A называется матрицей аффинного преобразования Φ. Доказательство: По условию теоремы точки O и M при данном аффинном преобразовании переходят соответственно в точки M 0 и M, поэтому M 0 M = F ( OM). Если r, r 0, r радиусы-векторы соответственно точек M, M 0 и M, то из предыдущего соотношения имеем: r r 0 = F ( r). Откуда получаем r = r 0 + F ( r). (6.12) Векторы имеют координаты r (x, y ), r 0 (x 0, y 0 ) и из соотношения (6.1) F ( r)(a 11 x + a 21 y, a 12 x + a 22 y). Записав равенство (6.12) в координатной форме получим искомые соотношения (6.11). Теорема доказана. 96

97 6.4 Аффинные преобразования плоскости Инвариантые образы аффинных преобразований Определение: Неподвижной точкой преобразования называется точка образ которой совпадает с прообразом. Найдём неподвижные точки аффинного преобразования. Для этого используем аналитическое задание (6.11) аффинного преобразования. По определению точка M(x, y) неподвижна, если её координаты удовлетворяют системе { x = x0 + a 11 x + a 21 y, y = y 0 + a 12 x + a 22 y, { (a11 1) x + a 21 + x 0 y = 0, a 12 x + (a 22 1) y + y 0 = 0. (6.13) Следствие: Точка М является неподвижной точкой аффинного преобразования Φ тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют системе (6.13). Исследуем систему уравнений (6.13): 1) Пусть ранги основной и расширенной матриц сиситемы равны и равны двум, тогда система совместна и имеет единственное решение. Следовательно, преобразование имеет единственную неподвижную точку и называется центро-аффинным преобразованием. 2) Пусть ранги основной и расширенной матриц сиситемы равны и равны единице, тогда система совместна и имеет бесконечное множество решений. Следовательно, преобразование имеет прямую неподвижных точек, причём уравнение этой прямой задаётся одним из уравнений системы (6.13). Такая прямая называется неподвижной прямой аффинного перобразования и преобразование называется перспективноаффинным. 97

98 6 Преобразования плоскости 3) Пусть ранги основной и расширенной матриц сиситемы не равны, тогда система несовместна и не имеет решений. Следовательно, преобразование не имеет неподвижных точек. Если собственный вектор аффинного преобразования является направляющим вектором прямой, то прямая при аффинном преобразовании может переходить: в параллельную прямую; в саму себя: каждая точка прямой переходит в себя и прямая будет неподвижной, каждая точка прямой переходит в некоторую точку этой же прямой и прямая в этом случае называется инвариантной. Классификация аффинных преобразований Аффинные преобразования классифицируем на основании классификации ассоциированных им линейных преобразований, т. е. на основании наличия собственных направлений у этих преобразований. Таким образом, получается четыре типа аффинных преобразований: 98 1) аффинные преобразования, имеющие два собственных направления, 2) аффинные преобразования, имеющие единственное собственное направление, 3) аффинные преобразования, для которых любое направление является собственным, 4) аффинные преобразования, не имеющие ни одного собственного направления.

99 6.4 Аффинные преобразования плоскости Внутри каждого типа можно провести дополнительную классификацию в зависимости от количества неподвижных точек и инвариантных прямых и получим четыре вида: 1) аффинные преобразования, не имеющие неподвижных точек, 2) центро-аффинные преобразования, т. е. аффинные преобразования, имеющие единственную неподвижную точку, 3) перспективно-аффинные преобразования, т. е. аффинные преобразования, имеющие единственную неподвижную прямую, 4) тождественное преобразование, т. е. аффинное преобразование все точки котрого неподвижные. Группа аффинных преобразований и ее подгруппы Теорема 6. Множество всех преобразований точек плоскости образует группу относительно операции произведения преобразований. Теорема 7. Множество всех аффинных преобразований точек плоскости образует группу относительно операции произведения преобразований. Эта группа называется аффинной группой плоскости. Так как точечные преобразования подобия также образуют группу, которая называется группой преобразований подобия или главной группой, и каждое преобразование подобия является аффинным преобразованием, то главная группа является подгруппой аффинной группы. Преобразования движения тоже образуют группу группу движений, которая является подгруппой и главной группы, и аффинной группы, т. к. любое движение это частный случай точечного преобразования подобия. 99

100 6 Преобразования плоскости Аффинная эквивалентность геометрических фигур. Теоретико-групповой принцип построения геометрии Теория геометрических преобразований лежит в основе общего определения геометрии. Геометрия это наука, изучающая такие свойства фигур, которые остаются неизменными при всех перобразованиях некоторой группы преобразований. Определение: Две фигуры называются аффинноэквивалентными, если существует аффинное преобразование, переводящее одну фигуру в другую. Геометрия, изучающая свойства фигур, которые остаются неизменными при всех преобразованиях аффинной группы, называется аффинной геометрией. Понятиями аффинной геометрии являются точка, прямая, многоугольник, параллелограмм, трапеция, эллипс, гипербола, парабола. Аффинная геометрия изучает взаимное расположение точек и прямых на плоскости, расположение точек на прямой (можем говорить о простом отношении трёх точек). С точки зрения общего определения геометрии в школьном курсе в основном изучают геометрию главной группы, хотя некоторые вопросы, рассматриваемые в школе, относятся к аффинной геометрии и геометрии группы движений (например, задачи на построение) Преобразования подобия плоскости Определение: Отображение точек плоскости M = P (M), (6.14) области значений и определений которого совпадают, называется отображением подобия, если для любых точек M 1 100

101 6.5 Преобразования подобия плоскости и M 2, таких что M 1 = P (M 1) и M 2 = P (M 2), выполняется равенство M 1M 2 = k M 1 M 2, где k > 0. (6.15) Число k называется коэффициентом подобия. Свойства: 1) Отношение трёх точек «лежать между» сохраняется при отображении подобия. 2) При подобии сохраняется коллинеарность точек. 3) три точки общего положения переходят в три точки общего положения при отображении подобия. 4) Отображение подобия сохраняет простое отношение трёх точек. 5) Отображение подобия есть аффинное преобразование плочкости. 6) Для того, чтобы данное точечное отображение было преобразованием подобия плоскости, необходимо и достаточно, чтобы оно допускало ассоциированное векторное преобразование подобия. 7) Подобие сохраняет углы между прямыми. 8) Для того, чтобы данное точечное преобразование было преобразованием подобия, необходимо и достаточно, чтобы в прямоугольной декартовой системе координат оно имело следующее аналитическое задание: { x = x 0 + (k cos ϕ) x (k sin ϕ) y, y (6.16) = y 0 + (k sin ϕ) x + (k cos ϕ) y. или { x = x 0 + (k cos ϕ) x + (k sin ϕ) y, y = y 0 + (k sin ϕ) x (k cos ϕ) y. (6.17) 101

102 6 Преобразования плоскости Классификация точечных преобразование подобия Преобразования подобия классифицируем на основании классификации ассоциированных им векторных преобразований подобия: 102 1) Тождественное векторное преобразование E. Тогда аналитическое задание (6.16) будет иметь вид { x = x 0 + x y = y 0 + y. если x 0 0, y 0 0, то система определяет преобразование параллельного переноса на вектор a(x 0, y 0 ) (T a ); если x 0 = 0, y 0 = 0, то система определяет тождественное (Е) преобразование. 2) Гомотетия H ±k = H λ. Тогда аналитическое задание (6.16) будет иметь вид { x = x 0 + λx y = y 0 + λy. Система определяет гомотетию (H λ ). 3) Центрально-подобное вращение k V ϕ. Точечное преобразование, определяемое аналитическим заданием (6.16), называется центрально-подобным вращением k V ϕ 4) Симметрия S e. Тогда аналитическое задание (6.17) будет иметь вид { x = x 0 + x y = y 0 y.

103 6.5 Преобразования подобия плоскости если x 0 = 0, y 0 = 0, то система определяет осевую симметрию (S l ); если x 0 0, y 0 0, то система определяет скользящую симметрию (S l, a = S l T a ), которая представляет собой композицию преобразований осевой симметрии и параллельного переноса на вектор a(x 0, y 0 ). 5) Центрально-подобная симметрия k S e. Данное векторное преобразование определяет точечное преобразование центрально-подобной симметрии k S l с аналитическим заданием (6.17). Вывод: Существую только семь видов точечных преобразований подобия плоскости тождественное E, параллельный перенос T a, гомотетия H λ, центрально-подобное вращение k V ϕ, осевая симметрия S l, скользящая симметрия S l, a и центрально-подобная симметрия k S e. Группа подобий плоскости и её подгруппа. Подобие геометрических фигур. Теорема. Множество всех преобразований подобия плоскости образует группу относительно операции произведения преобразований. Эта группа называется группой преобразований подобия или главной группой. Каждое преобразование подобия является аффинным преобразованием, поэтому главная группа является подгруппой аффинной группы. Теория геометрических преобразований лежит в основе общего определения геометрии. Геометрия это наука, изучающая такие свойства фигур, которые остаются неизменными при всех перобразованиях некоторой группы преобразований. 103

104 6 Преобразования плоскости Определение: Две фигуры называются подобными, если существует преобразование подобия, переводящее одну фигуру в другую. Геометрия, изучающая свойства фигур, которые остаются неизменными при всех преобразованиях главной группы, называется евклидовой геометрией Движения плоскости Определение: Отображение точек плоскости M = D(M), области значений и определений которого совпадают, называется движением, если для любых точек M 1 и M 2, таких что M 1 = D(M 1) и M 2 = D(M 2), выполняется равенство M 1M 2 = M 1 M 2, (6.18) т. е. отображение сохраняет расстояние между точками. Свойства: 104 1) Движение является частным случаем отображения подобия. 2) Движение сохраняет отношение трёх точек «лежать между». 3) Движение сохраняет коллинеарность точек. 4) Три точки общего положения переходят в три точки общего положения при движении. 5) Движение сохраняет простое отношение трёх точек. 6) Движение есть аффинное преобразование плочкости. 7) Для того, чтобы данное точечное отображение было движением плоскости, необходимо и достаточно,

105 6.6 Движения плоскости чтобы оно допускало ассоциированное ортогональное преобразование векторов. 8) Движение сохраняет углы между прямыми. 9) Для того, чтобы данное точечное преобразование было движением, необходимо и достаточно, чтобы в прямоугольной декартовой системе координат оно имело следующее аналитическое задание: { x = x 0 + (cos ϕ) x (sin ϕ) y, y = y 0 + (sin ϕ) x + (cos ϕ) y. (6.19) или { x = x 0 + (cos ϕ) x + (sin ϕ) y, y = y 0 + (sin ϕ) x (cos ϕ) y. (6.20) Классификация точечных преобразований движения Преобразования движения классифицируем на основании классификации ассоциированных им ортогональных преобразований векторов: 1) Тождественное векторное преобразование E. Тогда аналитическое задание (6.19) будет иметь вид { x = x 0 + x y = y 0 + y. если x 0 0, y 0 0, то система определяет преобразование параллельного переноса на вектор a(x 0, y 0 ) (T a ); если x 0 = 0, y 0 = 0, то система определяет тождественное (Е) преобразование. 105

106 6 Преобразования плоскости 2) Преобразование отражения H 1. Тогда аналитическое задание (6.19) будет иметь вид { x = x 0 x y = y 0 y. Система определяет центральную симметрию (S C ). 3) Вращение V ϕ. Точечное преобразование, определяемое аналитическим заданием (6.19), называется вращением вокруг точки С на угол ϕ (V C,ϕ ) 4) Симметрия S e. Тогда аналитическое задание (6.20) будет иметь вид { x = x 0 + x y = y 0 y. если x 0 = 0, y 0 = 0, то система определяет осевую симметрию (S l ); если x 0 0, y 0 0, то система определяет скользящую симметрию (S l, a = S l T a ), которая представляет собой композицию преобразований осевой симметрии и параллельного переноса на вектор a(x 0, y 0 ). Вывод: Существует только шесть видов точечных преобразований движения плоскости тождественное E, параллельный перенос T a, центральная симметрия S C, вращение V C,ϕ, осевая симметрия S l и скользящая симметрия S l, a. Группа движений плоскости. Равенство геометрических фигур Теорема. Множество всех преобразований движения плоскости образует группу относительно операции произведения преобразований. Эта группа называется группой движений плоскости. 106

107 6.6 Движения плоскости Каждое преобразование движения является и аффинным преобразованием, и частным случаем точечного преобразования подобия, то группа движений является подгруппой аффинной группы и подгруппой главной группы. Теория геометрических преобразований лежит в основе общего определения геометрии. Геометрия это наука, изучающая такие свойства фигур, которые остаются неизменными при всех перобразованиях некоторой группы преобразований. Определение: Две фигуры называются равными, если существует преобразование движения, переводящее одну фигуру в другую. Геометрия, изучающая свойства фигур, которые остаются неизменными при всех преобразованиях группы движений, называется метрической геометрией. С точки зрения общего определения геометрии в школьном курсе в основном изучают геометрию главной группы, хотя некоторые вопросы, рассматриваемые в школе, относятся к аффинной геометрии и геометрии группы движений (например, задачи на построение). 107

108

109 Глава 7. Основания геометрии Проблема пятого постулата Евклида. Эквиваленты пятого постулата. Абсолютная геометрия. Проблемы непротиворечивости, независимости и полноты системы аксиом Гильберта евклидова пространства. Длина отрезка. Система аксиом измерения отрезков. Теорема о существовании и единственности длины отрезка. Площадь многоугольника. Равновеликость и равносоставленность многоугольников. Квадрируемые фигуры. Площадь круга. Система аксиом плоскости Лобачевского. Прямые на плоскости Лобачевского. Модели Пуанкаре и Кэлли- Клейна плоскости Лобачевского. Плоскость Лобачевского. Пучки прямых на плоскости Лобачевского. Окружность, эквидистанта и орицикл. Четырёхугольники и треугольники на плоскости Лобачевского Пятый постулат Евклида В теории Гильберта евклидовой геометрии рассматривается некоторое непустое множество объектов точек. Мно-

110 7 Основания геометрии жество всех точек E 3 евклидово пространство. Во множестве E 3 выделяются два специальных типа подмножеств: прямые и плоскости. Таким образом, первичными понятиями являются: точка, прямая, плоскость. Фигура это любое множество точек. Проблема пятого постулата Евклида. Сформулируем V постулат Евклида: И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых. Исследования на независимость этого постулата, сформулированного Евклидом, от остальных постулатов и аксиом геометрии Евклида проводились математиками вплоть до конца 19 века. Большинство сочинений, относящихся к основаниям геометрии, сводилось к попытке исключить из числа основных положений V постулат Евклида, который казался слишком сложным, чтобы его можно было причислять к постулатам. В современной геометрии ясна фундаментальная роль пятого постулата. На нём основаны теория параллельных прямых и связанные с ней разделы: подобие фигур, тригонометрия и т. д. Последовательность начальных утверждений планиметрии имеет следующую логическую структуру: 110 вводится сравнение геометрических образов: отрезков, углов, треугольников, на основании понятия движения; доказывается теорема о равенстве треугольников;

111 7.1 Пятый постулат Евклида доказывается теорема о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника; доказывается теорема, что внешний угол треугольника больше каждого внутреннего не смежного с ним; доказывается теорема о том, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол (и обратная); доказывается теорема о перпендикулярах и наклонных; доказывается неравенство треугольника; Далее вводится определение параллельных прямых: Две прямые параллельны (на плоскости), если они не имеют общих точек. Чтобы определение имело силу, необходимо доказать существование таких прямых. Теорема 1. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. Доказательство: проводится от противного с опорой на теорему о внешнем угле треугольника. Далее необходимо установить факт о единственности прямой, параллельной данной. Теорема 2. Через каждую точку, лежащую вне данной прямой, проходит точно одна прямая, параллельная данной. Доказательство: Пусть a произвольная прямая и для точек М и N выполнены условия M / a, MN a, N a. Проведём перпендикуляр b к прямой MN через точку M. По теореме 1 построенные прямые паралелльны: a b. Предположим, что существует ещё одна прямая b b, проходящая через точку M и параллельная прямой a. 111

112 7 Основания геометрии Так как прямые b, b не совпадают, то прямая b составляет с прямой MN смежные углы, каждый из которых не равен 90. Тогда на основании V постулата делаем вывод, что прямая b пересечёт прямую a с той стороны, где сумма внутренних односторонних углов, образованных этими прямыми с прямой MN, будет меньше 180. Теорема доказана. Вывод: Без использования V постулата теорему 2 о единственности прямой параллельной данной доказать невозможно! Заметим также, что, если теорему 2 взять в качестве аксиомы, то V постулат из неё выводится как теорема, т. е. теорема 2 является одним из утверждений, эквивалентных V постулату. Эквиваленты пятого постулата Как было сказано выше, на решение проблемы пятого постулата было затрачено много веков. За этот период было предложено много способов доказательства V постулата, однако все они были ошибочны! Ошибка авторов доказательств V постулата состояла в том, что они незаметно для себя вводили в рассуждения утверждение наглядно очевидное, но являющееся одним из эквивалентов V постулата. Суть исследований состояла в следующем: Доказать V постулат, исходя из остальных постулатов геометрии Евклида. Попытки доказательства V постулата, хотя и ошибочные, были не безрезультатны. Благодаря этим исследованиям был открыт ряд эквивалентов V постулата: 112 1) Через каждую точку, лежащую вне данной прямой, проходит точно одна прямая, параллельная данной.

113 7.1 Пятый постулат Евклида 2) Две параллельные прямые при пересечении их третьей прямой образуют равные соответственные углы. 3) Сумма внутренних углов треугольника равна ) Точки, расположенные по одну сторону от данной прямой на одном и том же расстоянии, образуют прямую. 5) Расстояния от точек одной из двух параллельных прямых до второй ограничены в своей совокупности. 6) Существуют треугольники с произвольно большой площадью. 7) Существуют подобные треугольники. Любое из этих утверждений можно положить в основу теории параллельных и вывести все теоремы геомтрии Евклида, т. е. получить евклидову геометрию. Остановимся подробнее на работах Саккери, Ламберта, Лобачевского. Доказательство Саккери. Саккери проводит доказательство от противного. Вводит в рассмотрение четырёхугольник AA B B, A = B = 90, AA = BB, проводит через точку H AB срединный перпендикуляр HH к основанию AB. Из симметрии четырёхугольника относительно перпендикуляра HH делает вывод, что A = B. Саккери доказывает: если принять V постулат, то следует A = B = 90 и выводятся все теоремы евклидовой геометрии. Если принять утверждение A = B = 90, то можно доказать V постулат и также получить евклидову геометрию. Следовательно, эти утверждения эквивалентны. 113

114 7 Основания геометрии Саккери принимает три гипотезы: гипотеза тупого угла A = B > 90 ; гипотеза острого угла A = B < 90 ; гипотеза прямого угла A = B = 90. Таким образом, если считать, что V постулат можно доказать из остальных аксиом Евклида (первые четыре группы аксиом), т. е. он выводим из них, то, дополняя аксиомы первых четырёх групп гипотезой тупого или острого угла, мы непременно должны прийти к противоречию, т. к. полученная нами система аксиом будет содержать два противоречивых утверждения: утверждение, из которго выводится V постулат, и утверждение, являющееся отрицанием V постулата. Сначала Саккери к первым четырём группам аксиом добавляет гипотезу тупого угла и приходит к противоречию. Затем к первым четырём группам аксиом он добавляет гипотезу острого угла. Однако в этом случае, он получает далеко идущие логически непротиворечивые, хотя и противоречащие наглядным представлениям, выводы. Саккери усматривает ложность принятия гипотезы острого угла в том, что полученные им непересекающиеся асимптотически сближающиеся прямые должны в бесконечно удалённой точке иметь общий перпендикуляр, что, как он сформулировал, «противоречит природе прямой». Сочтя доказательство доведённым до конца, Саккери делает вывод о том, что единственно верной явялется гипотеза прямого угла и тем доказан V постулат. Доказательство Ламберта. Ламберт рассматривает четырёхугольник ABCD, A = B = C. Доказывает эквивалентность V постулата и утверждения, что все углы в четырёхугольнике прямые. 114

115 7.1 Пятый постулат Евклида Рассуждая, аналогично Саккери, он делает три предположения: гипотеза тупого угла D > 90 ; гипотеза острого угла D < 90 ; гипотеза прямого угла D = 90. Ламберт, также как и Саккери, к первым четырём группам аксиом добавляет гипотезу тупого угла и быстро приходит к противоречию. Затем к первым четырём группам аксиом он добавляет гипотезу острого угла и опять гипотеза острого угла приводит к сложной геометрической системе, в которой Ламберт не находит противоречий. Ламберт не сделал ошибки Саккери и нигде в своих сочинениях не упоминает о ложности гипотезы острого угла, что привело бы к утверждению о доказуемости V постулата из аксиом первых четырёх групп. Ламберт же указывает на то, что доказать пятый постулат скорее всего не удастся и указывает аналогии, полученных им утверждений с применением гипотезы острого угла, с утверждениями сферической геометрии. Доказательство Лобачевского. Решение проблемы было получено Лобачевским Н.И. в 1826 г. Однако к такому решению не был подготовлен математический мир в то время и работа Лобачевского не нашла признания. Надо отметить, что тремя годами позднее Лобачевского и независимо от него аналогичный труд опубликовал Я. Больяй и также не нашёл признания в научных кругах. Лобачевский утверждал, что V постулат не может быть выведен из остальных аксиом евклидовой геометрии. 115

116 7 Основания геометрии Для доказательства этого он сохраняет первые четыре группы аксиом и добавляет к ним отрицание пятого постулата, так называетмую аксиому Лобачевского. На основании этой системы аксиом Лобачевский выстраивает непротиворечивую теорию, получая среди прочих и те утверждения, которые были получены Саккери и Ламбертом. Эту геометрию он развил настолько, насколько была развита на тот момент геомтерия Евклида, и назал «воображаемой». Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского на современном уровне строгости было проведено в конце 19 века после установления общих принципов логического обоснования геометрии. Основными результатами работ Лобачевского являются: 1) V постулат логически не зависит от остальных постулатов. 2) V постулат потому не зависит от остальных постулатов, что наряду с геометрие Евклида существет другая геометрия, в которой V постулат не имеет места. Значение работ Лобачевского исключительно важно для развития математики. Открытие Лобачевского уничтожило точку зрения о единственности учения о пространстве и привело к появлению неевклидовой геометрии и обобщению взглядов на геометрию и её предмет. Абсолютная геометрия. Абсолютная геометрия это геометрия, построенная на первых четырёх группах аксиом, т. е. исключается только аксиома параллельных прямых. 116

117 7.1 Пятый постулат Евклида I. Первая группа аксиом аксиомы соединения (принадлежности). Первичные отношения: принадлежать. Принадлежность точек прямым и плоскостям понимается в теоретико-множественном смысле. Принадлежность прямых плоскостям понимается в смысле отношения включения. Аксиомы: I,1. Через две точки проходит одна прямая. I,2. На каждой прямой лежит хотя бы две точки. I,3. Существует три точки, лежащие на одной прямой. I,4. На каждой плоскости лежит хотя бы одна точка. I,5. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют еще одну общую точку. I,6. Если две точки прямой лежат на плоскости, то вся прямая лежит на плоскости. I,7. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость. I,8. Существует четыре точки, не лежащие на одной плоскости. На основе первой группы аксиом доказывается: а) две неравные прямые имеют не более одной общей точки; б) через две пересекающиеся прямые проходит одна плоскость; в) через три точки, лежащие на одной прямой, проходит одна плоскость; г) если две плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой; 117

118 7 Основания геометрии 118 д) на каждой плоскости лежит хотя бы три точки; е) существуют непересекающиеся прямые. II. Вторая группа аксиом аксиомы порядка. Первичные отношения: лежать между. Утверждение: точка B «лежит между» A и C, будем обозначать A B C. Аксиомы: II,1. I2: Если A B C, то A, B, C три различные точки одной прямой и B C A. II,2. Из трех различных точек одной прямой одна и только одна лежит между двумя другими. II,3. Для любых двух точек A и B существует точка C, такая что A B C. II,4. (аксиома Паша): Если в некоторой плоскости лежат три точки A, B, C и прямая a проходит через точку отрезка AB, то она проходит и через точку отрезка AC или BC. Введение данных аксиом позволяет ввести новые понятия: отрезок, луч, полуплоскость, угол, полупространство. Определение: Луч AB фигура, состоящая из точек A и B, а также всех точек, лежащих между ними и всех таких M, что A B M. Определение: Полуплоскость с границей a и точкой A множество точек плоскости, содержащее прямую a, а также все M, такие что AM a. Аналогично определяется полупространство. На основе данных аксиом можно доказать: а) Между двумя точками лежит хотя бы одна точка, а значит бесконечно много;

119 7.1 Пятый постулат Евклида б) Любая точка A разбивает прямую на два луча с единственной общей точкой A; в) Любая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости с единственной общей прямой; г) любая плоскость разбивает пространство на два полупространства с единственной общей плоскостью. III. Третья группа аксиом аксиомы конгруэнтности (равенства). Первичные отношения: отношение конгруэнтности. Конгруэнтность двуместное отношение геометрического равенства. Аксиомы: III,1. Для любого отрезка AB на луче CD существует единственная точка M, такая что CM = AB. III,2. Если AB = CD и CD = MN, то AB = MN. Каждый отрезок конгруэнтен сам себе. III,3. Пусть A B C и P Q R, причем AB = P Q и BC = QR, тогда AC = P R. III,4. Пусть фиксирована полуплоскость и на ее границе взят луч AB и дан угол M. Тогда в данной полуплоскости существует единственный луч AC такой, что CAB = M. III,5. Пусть даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой, и пусть есть еще три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой, причем AB = A B, AC = A C, BAC = B A C, тогда ABC = A B C. На основе третьей группы аксиом можно ввести понятия: равенства треугольников, равнобедренного тре- 119

120 7 Основания геометрии 120 угольника, медианы, биссектрисы, высоты, прямоугольного треугольника, правильного многоугольника. На основе данных аксиом можно доказать: а) Три признака равенства треугольников. б) У любого отрезка существует единственная середина. в) У любого угла существует единственная биссектриса. г) Свойства равнобедренного треугольника. д) Неравенство треугольника. е) Против большего угла треугольника лежит большая сторона и наоборот. ж) Сумма углов треугольника равна 180. з) Внешний угол треугольника равен сумме двух с ним не смежных. и) В плоскости существуют непересекающиеся прямые или через точку, не лежащей на данной прямой, в данной плоскости можно провести прямую, не пересекающую данную. Доказательство: Пусть дана прямая a. Через точку A не лежащую на данной прямой можно провести прямую p, перпендикулярную данной, и только одну и в точке A единственным образом может быть восстановлен перпендикуляр b к прямой p. Допустим, что a b = C, тогда сумма углов ABC будет больше 180, что противоречит аксиоме параллельности (V постулату). Теорема доказана.

121 7.1 Пятый постулат Евклида IV. Четвертая группа аксиом аксиомы непрерывности. Первичные отношения: отношение непрерывности. Аксиомы: IV,1. (аксиома Архимеда): Пусть даны два отрезка AB и CD, тогда на прямой AB существует конечное число точек A 1, A 2, A 3,..., A n, расположенныхтак, что A A 1 A 2, A 1 A 2 A 3 и т. д., причём конгруэнтны отрезки AA 1 = A1 A 2 = = = A n 1 A n = CD и A B An. IV,2. (аксиома Кантора): Пусть на произвольной прямой дана бесконечная последовательность отрезков A 1 B 1, A 2 B 2,... такая, что каждый следующий отрезок лежит внутри предыдущего; каким бы ни был заранее заданный отрезок, найдётся номер n, для которого A n B n меньше этого отрезка. Тогда на заданной прямой существует точка, лежащая внутри всех отрезков A 1 B 1, A 2 B 2,.... На основе данных аксиом можно доказать: а) Точка, о которой идет речь в аксиоме Кантора, существует, при чем только одна. Доказательство: Пусть существует не единственная точка, а две: P и Q. Тогда отрезок PQ принадлежит всем отрезкам системы, и значит, меньше всех отрезков системы, что противоречит аксиоме. Теорема доказана. б) Теория измерения длин, измерения углов. в) Обоснование метода координат на прямой. г) Континуальность основных геометрических фигур (прямая, отрезок, луч как множество точек имеют площадь континуума). 121

122 7 Основания геометрии 7.2. Непротиворечивость системы аксиом Любая математическая теория имеет следующую структуру: основные объекты; основные отношения; аксиомы утверждения, устанавливающие свойства взаимных отношений объектов; теоремы утверждения, логически выводимые из аксиом. При исследовании любой системы аксиом возникают три проблемы: 1) непротиворечивости, 2) независимости, 3) полноты. Данный и следующий разделы будут посвящены рассмотрению сформулированных проблем аксиоматики и методов их решения. Пусть дана система аксиом Σ = {A 1, A 2,, A n }, устанавливающая свойства взаимных отношений некоторых объектов. Тогда каждая теорема, логически выведенная из аксиом, будет выражать свойства объектов, которые упоминаются в аксиомах. Определение: Система аксиом Σ непротиворечива, если из неё нельзя вывести утверждение и его отрицание. 122

123 7.2 Непротиворечивость системы аксиом Определение: Всякий конкретный выбор предметов, которым приписывается роль объектов данной системы аксиом Σ, называется реализацией или интерпретацией этой системы аксиом Σ. Определение: Множество объектов, на котором реализуется система аксиом Σ, называется моделью математической структуры, определяемой данной системой Σ. Если аксиомы реализуются на модели, то из них нельзя логически вывести уверждение и его отрицание. Поэтому, чтобы доказать непротиворечивость системы аксиом Σ, достаточно найти одну из её возможных реализаций. Пример: Докажем непротиворечивость I группы аксиом системы аксиом Гильберта. Для этого построим модели этой группы аксиом. В качестве первой модели рассмотрим тетраэдр. Объекты данной системы аксиом: точки, прямые, плоскости, реализуем следующим образом: точки вершины тетраэдра, прямые рёбра тетраэдра, плоскости грани тетраэдра. Требования всех аксиом I группы выполняются на этой модели, причём данная модель является минимальной из всех возможных моделей, т. е. реализует ровно столько объектов, сколько указано в аксиомах. Исключение составляет только четвёртая аксиома, которая требует, чтобы на плоскости лежала хотя бы одна точка, а в данной реализации их три, однако, из аксиом выводится теорема, что каждая плоскость содержит по крайней мере три точки (это число является минимальным) и реализуется на данной модели. В качестве второй модели рассмотрим четырехэлементное множество: {a,b,c,d}. 123

124 7 Основания геометрии Объекты данной системы аксиом: точки, прямые, плоскости, реализуем следующим образом: точки одноэлементные подмножества: {a}, {b}, {c}, {d}, прямые двухэлементные подмножества: {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}, плоскости трехэлементные подмножества: {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}. Любое свойство, не выполняющееся в данной модели, не может быть доказано на основе первой группы аксиом, например: существуют непересекающиеся плоскости; существуют принадлежащие одной плоскости непересекающиеся прямые; на прямой существует больше двух точек; на плоскости существует больше трех прямых. Доказательство непротиворечивости может быть условным. Пример: Построение модели Пуанкаре планиметрии Лобачевского доказывает непротиворечивость этой геометрии при условии, что непротиворечива планиметрия Евклида, т. к. модель строилась на евклидовой плоскости. В то же время, справедливо утверждение геомтерия Евклида непротиворечива, если напротиворечива арифметика. Теорема о непротиворечивости арифметики доказывается в алгебре и теории чисел Независимость и полнота системы аксиом Вторая проблема аксиоматики проблема независимости системы аксиом Σ, заключающаяся в установлении 124

125 7.3 Независимость и полнота системы аксиом необходимости всех требований, сформулированных в данной системе аксиом. Таким образом, чтобы система аксиом Σ была независима необходимо и достаточно, чтобы каждая аксиома не зависела от остальных аксиом системы Σ. Решение проблемы независимости системы аксиом: 1) в системе аксиом Σ выбираем аксиому A i, 2) в системе аксиом Σ заменяем аксиому A i её отрицанием A i и получаем новую систему аксиом Σ, 3) полученную систему аксиом Σ проверяем на непротиворечивость: если система аксиом Σ противоречива, то аксиома A i зависит от остальных аксиом системы Σ; если система аксиом Σ непротиворечива, то аксиома A i не зависит от остальных аксиом системы Σ. Вывод: Чтобы доказать, что аксиома A i не зависит от остальных аксиом системы Σ, достаточно найти реализацию системы аксиом Σ. Пример: Этим методом Лобачевским Н.И. было установлено, что V постулат не зависит от остальных аксиом Евклида. Третья проблема аксиоматики проблема полноты системы аксиом. Определение: Система аксиом Σ называется неполной если существует аксиома А, удовлетворяющая условиям: 1) аксиома А сформулирована в терминах математической теории, построенной на заданной системе аксиом Σ и не вводит новых отношений, 2) аксиома А независима от аксиом системы Σ, 125

126 7 Основания геометрии 3) система аксиом Σ в объединении с аксиомой A образуют непротиворечивую систему аксиом. Если же такой аксиомы A не существует, то система аксиом Σ называется полной. Определение: Две реализации на множествах M 1 и M 2 системы аксиом Σ изоморфны, если существует биективное отбражение f : M 1 M 2, сохраняющее основные отношения между основными объектами. Пусть система аксиом Σ неполна. Тогда существует аксиома А, удовлетворяющая условиям определения и следовательно система аксиом Σ 1 = Σ {A} непротиворечива. С другой стороны, т. к. аксиома А не зависит от аксиом системы Σ, то система аксиом Σ 2 = Σ {A} непротиворечива. У полученных систем аксиом Σ 1 и Σ 2 имеются интерпретации. Обозначим соответственно I 1 и I 2 какие-либо интерпертации систем аксиом Σ 1 и Σ 2. Эти интерпретации являются также и интерпретациями сиситемы аксиом Σ. В одной интерпретации выполнена аксиома А, а в другой её отрицание, поэтому эти интерпретации не изоморфны. Вывод: Если система аксиом неполная, то для неё существуют неизоморфные интерпретации или реализации. Следовательно, чтобы доказать, что система аксиом Σ полная, достаточно доказать, что все её интерпертации изоморфны. Пример: Рассмотрим систему аксиом абсолютной геометрии, состоящую из первых четырёх групп аксиом. Эта система аксиом не полна по определению, т. к. к ней может быть добавлен V постулат, сформулированный в тех же терминах и не вводящий новых отношений, независимый от аксиом абсолютной геометрии и полученная система аксиом непротиворечива. С другой стороны, к системе аксиом абсолютной геометрии может быть добавлено отрицание пятого постулата. 126

127 7.4 Длина отрезка В результате мы получим, что система аксиом абсолютной геометрии допускает две неизоморфные реализации: евклидову геометрию и геметрию Лобачевского, что опять таки говорит о неполноте системы аксиом абсолютной геометрии Длина отрезка Обозначим L множество всех отрезков, а через R + множество положительных чисел. Определение: На множестве L установлено измерение отрезков, если определено отображение l : L R +, удовлетворяющее следующим аксиомам: A1. если AB = CD, то l(ab) = l(cd), A2. если A B C, то l(ab) + l(bc) = l(ac), A3. существует отрезок P Q, такой что l(p Q) = 1. Определение: Отрезок P Q называется линейной единицей или единичным отрезком. Отображение l называется длиной. Докажем, что в абсолютной геометрии или в любой другой теории, где выполняются аксиомы абсолютной геометрии, если определены аксиомы A1 A3 измерения длины отрезка, то длина каждого отрезка существует и определена единственным образом Существование длины отрезка Определим процесс измерения отрезков. Рассмотрим произвольный отрезок AB и выберем единичный отрезок PQ. 127

128 7 Основания геометрии По аксиоме Архимеда на луче AB существует последовательность точек A 1, A 2,..., A n, удовлетворяющая следующим условиям: 1) A A 1 A 2, A 1 A 2 A 3,..., A n 2 A n 1 A n, 2) AA 1 = A 1 A 2 = = A n 1 A n = P Q, 3) A B A n. Опишем процесс измеренния отрезка АВ, т. е. процесс сопоставления отрезку АВ положительного числа l, которое будем записывать в виде двоичной дроби l = n, n 1 n 2..., где n целое неотрицательное число, n i число 0 или 1 в зависимости от результата процесса измерения. Процесс измерения: Используем единичный отрезок PQ и условия (1)-(2), чтобы построить последовательность отрезков. Рассмотрим подробно условие (3): 128 1) если A B = A n, то будем считать l(ab) = n и процесс измерения закончен; 2) если A A n 1 B A n, то будем считать, что целая часть двоичной дроби равна l(ab) = n 1,... и продолжим процесс измерения. Пусть P 1 середина отрезка A n 1 A n, тогда возможны три случая расположения этой точки на отрезке A n 1 A n : если A n 1 P 1 = B A n, то будем считать l(ab) = n 1, 1 и процесс измерения закончен; если A n 1 P 1 B A n, то будем считать l(ab) = n 1, 1... и продолжим процесс измерения; если A n 1 B P 1 A n, то будем считать l(ab) = n 1, 0... и продолжим процесс измерения.

129 7.4 Длина отрезка Этот процесс либо остановится на p ом шаге и отрезку AB будет поставлена в соответствие дробь с р знаками после запятой, либо будет бесконечен и отрезку AB будет поставлена в соответствие бесконечная двоичная дробь. Вывод: На множестве L построено отображение f : L R +, при котором каждому отрезку АВ ставится в соответсвие двоичная дробь f(ab), полученная в результате процесса измерения. Докажем, что отображение измерения длины отрезка удовлетворяет аксиомам измерения отрезков. Чтобы утверждать, что отображение f действительно определяет измерение отрезков, надо проверить, что для вышеописанного процесса измерения выполняются аксиомы A1 A3. 1) Выполнение аксиомы A3 очевидно: выполняя процесс измерения отрезка PQ получим f(p Q) = 1. 2) Выполнение аксиомы A1 тоже очевидно: на лучах, содержащих конгруэнтные отрезки AB и CD, будут выстраиваться системы попарно конгруэнтных отрезков и процессы измерения будут полностью дублировать друг друга, что даст одинаковый результат f(ab) = f(cd). 3) Докажем выполнение аксиомы A2. Лемма 1. Если AB < CD, то f(ab) < f(cd). Доказательство: На луче CD отложим отрезок CQ, такой что CQ = AB. Тогда из процесса измерения отрезков следует, что f(cq) < f(cd), а так как CQ = AB, то f(cq) = f(ab) и f(ab) = f(cq) < f(cd). 129

130 7 Основания геометрии 130 Лемма 2. Пусть PQ единичный отрезок, AB отрезок, в котором 1 ая часть отрезка PQ укладывается 2n ровно k раз, где k произвольное натуральное число. Тогда f(ab) = k 2 n. Доказательство: Рассмотрим отрезок PQ. Пусть P S n 1 -ая часть 2n отрезка PQ, т. е. f(p S n ) = f(p Q) 2 n = 1 2 n. а) Пусть AB < P Q. По условию отрезок P S n укладывается в отрезке AB ровно k раз, тогда, выстраивая процесс измерения отрезка AB, получим последовательность точек A 1 A 2... A k = B и f(aa 1 ) = 0, 0 }.{{.. 0} 1, n 1 f(aa 2 ) = 0, 0 }.{{.. 0} 11, n 2..., f(aa k ) = 0, } 0.{{.. 0}} 1.{{.. 11}. n k k Запишем результаты измерения виде обыкновенных дробей f(aa 1 ) = 1 2 n, f(aa 2 ) = 2 2 n,..., f(aa k ) = k 2 n.

131 Получили f(ab) = f(aa k ) = k 2 n. 7.4 Длина отрезка б) Пусть AB > P Q. В результате процесса измерения получим также f(ab) = k 2 n. Если k целое число, то отрезок PQ уклады- 2n вается k раз в отрезок AB. 2n Если k не является целым числом, то представим его в виде k 2 n = p + s, где p целая часть 2n 2n числа k 2 n и s N, s < 2n. Тогда на отрезке АВ существует точка С, такая что в отрезке АС единичный отрезок PQ укладывается m раз и в отрезке СВ отрезок P S n укладывается s раз. Лемма доказана. Теорема 1. Построенный процесс измерения удовлетворяет аксиоме A2 измерения длин отрезков. Доказательство: Пусть A B C, f(ab) = a, f(bc) = b, f(ac) = c. Докажем, что f(ab) + f(bc) = f(ac), т. е. a + b = c. Допустим, что a+b c, т. е. a+b c > 0. Это значит, что существует натуральное n такое, что a + b c > 1 2 n. На каждом из лучей BC и BA отложим последовательность точек. На луче BA: A 1, A 2,..., A t так, чтобы BA 1 = A 1 A 2 = = A t 1 A t = P S n, где f(p S n ) = 1 2 n. По аксиоме Архимеда существуют точки A t 1, A t такие, что BA t 1 BA < BA t. 131

132 7 Основания геометрии 132 Аналогично на луче ВС построим последовательность: C 1, C 2,..., C r так, чтобы BC 1 = C 1 C 2 = = C r 1 C r = P S n. По аксиоме Архимеда существуют точки C r 1, C r такие, что BC r 1 BC < BC r. Тогда очевидно, что выполняется неравенство A t 1 C r 1 AC < A t C r. По лемме 1 получаем: f(ba t 1 ) f(ba) < f(ba t ), (7.1) f(bc r 1 ) f(bc) < f(bc r ), (7.2) f(a t 1 C r 1 ) f(ac) < f(a t C r ). (7.3) Преобразуем полученные неравенства (7.1) и (7.2): Следовательно, t 1 2 n a < t 2 n, r 1 2 n b < r 2 n. t 1 + r 1 2 n a + b < t + r 2 n, t + r 2 2 n a + b < t + r 2 n. (7.4) Преобразуем неравенство (7.3): Из (7.4) и (7.5) следует, t + r 2 2 n c < t + r 2 n. (7.5) a + b c < 1 2 n. Пришли к противоречию с предположением. Теорема доказана.

133 Единственность длины отрезка 7.4 Длина отрезка Докажем, что в абсолютной геометрии при заданном выборе единичного отрезка существует единственное отображение f : L R +, удовлетворяющее аксиомам измерения A1 A3. Лемма 1. Если в отрезке AB единичный отрезок PQ укладывается ровно n раз, то f(ab) = n. Доказательство следует из аксиомы А2. Лемма 2. Если установлено измерение длин отрезков, то из AB < CD следует f(ab) < f(cd). Доказательство следует из аксиом А1 и А2. Лемма 3. Если установлено измерение длин отрезков и M середина отрезка AB, то f(am) = f(mb) = 1 2 f(ab). Доказательство: По условию AM = M B, тогда по аксиоме А1 f(am) = f(mb) и по аксиоме А2 f(am) + f(mb) = f(ab). Следовательно, f(am)+f(mb) = 2f(AM) = 2f(MB) = f(ab) и f(am) = f(mb) = 1 2f(AB). Лемма доказана. Теорема 1. Если выбран единичный отрезок P Q, то существует единственное отображение f : L R +, удовлетворяющее аксиомам A1 A3 измерения отрезков. Доказательство: Допустим, что существуют два отображения f f, удовлетворяющих аксиомам A1 A3 измерения отрезков. Из аксиомы А3 следует f(p Q) = f (P Q) = 1. Так как f f, то существует хотя бы один отрезок AB такой, что f(ab) f (AB). 133

134 7 Основания геометрии Пусть f(ab) = a, f (AB) = b, a b, для определённости примем b > a, т. е. существует такое натуральное k, что b a > 1 2 k. На луче AB по аксиоме Архимеда можно отложить последовательность отрезков AA 1, A 1 A 2,..., A n 1 A n, которые конгруэнтны отрезку PQ, тогда либо A n = B, либо A n 1 B A n. По лемме 2 на основании предположения b > a случай A n = B невозможен. Рассмотрим второй случай A n 1 B A n. Тогда по лемме 1 в силу равенства f(p Q) = f (P Q) следует f(aa n 1 ) = f (AA n 1 ) = n 1, f(aa n ) = f (AA n ) = n и по лемме 2 f(aa n 1 ) < f(ab) < f(aa n ), n 1 < a < n, f (AA n 1 ) < f (AB) < f (AA n ), n 1 < b < n. Таким образом, b a < 1. Разделим отрезок A n 1 A n пополам точкой P 1. Тогда аксиоме А2 f(ap 1 ) = f(aa n 1 ) + f(a n 1 P 1 ) = (n 1) = n 1 2 и аналогично f (AP 1 ) = n

135 7.5 Площадь многоугольника Следовательно, либо A n 1 B P 1, либо P 1 B A n. В каждом из двух полученных случаев проведём рассуждения, аналогичные изложенным выше, и в обоих случаях прийдём к неравенству b a < 1 2. Продолжая многократно этот процесс деления пополам на k ом шаге получим b a < 1, где k натуральное число. Пришли к противоречию с допущением. Теорема дока- 2k зана. Теорема 2. Существует отрезок наперед заданной длины Площадь многоугольника Площадь многоугольника. Равновеликость и равносоставленность многоугольников. Квадрируемые фигуры. Площадь круга Измерение площадей многоугольников Рассмотрим множество многоугольников М на евклидовой плоскости. Определение: Многоугольник F есть сумма многоугольников F 1 и F 2, обозначается F = F 1 + F 2, если: 1) F = F 1 F 2, 2) пересечение внутренностей многоугольников F 1 и F 2 пусто. Определение: Установлено измерение площадей многоугольников, если определено отображение S : M R +, удовлетворяющее следующим аксиомам: 135

136 7 Основания геометрии A1. если многоугольники F, F равны, то S(F ) = S(F ), A2. если F = F 1 + F 2, то S(F ) = S(F 1 ) + S(F 2 ), A3. S(F 0 ) = 1, где F 0 квадрат, построенный на единичном отрезке как на стороне. Определение: Отображение S называется площадью, положительное число S(F ) называется площадью или мерой многоугольника F. Определим числовую характеристику многоугольника F следующим образом: Пусть F = A 1 A 2... A n ориентированный многоугольник, т. е. многоугольник, в котором задан обход вершин. Возьмём вектор нормали k к плоскости многоугольника F, и рассмотрим число, равное сумме смешанных произведений радиус-векторов соседних вершин многоугольника и вектора нормали: [F ] = r 1 r 2 k + r2 r 3 k + + rn r 1 k. (7.6) Числовая характеристика (7.6) обладает свойствами: 1) Характеристика (7.6) не зависит от выбора начала координат. 2) Для произвольного многоугольника характеристика (7.6) ненулевая. 3) Если F = F 1 + F 2, то [F ] > [F 1 ], [F ] > [F 2 ]. 4) Любой многоугольник можно ориентировать так, чтобы характеристика (7.6) была положительной. 136

137 7.5 Площадь многоугольника Существование измерения площадей многоугольников Теорема 1. Отображение S, определённое на множестве многоугольников по закону S(F ) = 1 2 [F ] (7.7) удовлетворяет всем аксиомам измерения площадей A1 A3. Доказательство: Отображение S удовлетворяет аксиоме A1 измерения площадей. Пусть F = F. Докажем, что S(F ) = S(F ). Если F = F, то существует движение плоскости D, переводящее фигуру F в фигуру F. Тогда прямоугольная декартова система координат R, в которой рассматривается фигура F, при заданном движении D перейдёт в прямоугольную декартову систему координат R, а фигура F в в фигуру F. В результате ортогонального преобразования, ассоциированого движению, смешанные произведения векторов не изменятся, а значит не изменится и числовая характеристика фигуры [F ] = [F ]. Следовательно, S(F ) = S(F ). Отображение S удовлетворяет аксиоме A2 измерения площадей. Пусть F = F 1 + F 2. Докажем, что S(F ) = S(F 1 ) + S(F 2 ). Введём для всех трёх многоугольников F, F 1 и F 2 одинаковую ориентацию либо положительную, либо отрицательную. Пусть ломаная B 1 B 2... B k граница многоугольников F 1 и F 2, а R 1, R 2,..., R k радиусы-векторы вершин ломаной. Обохначим r 1, r 2,..., r k радиусы-векторы вершин многоугольника F. 137

138 7 Основания геометрии Составим числовые характеристики [F ], [F 2 ], [F 1 ] многоугольников F, F 1 и F 2. В результате простых преобразований получим [F ] = [F 2 ] + [F 1 ], откуда следует S(F ) = S(F 1 ) + S(F 2 ). Отображение S удовлетворяет аксиоме A3 измерения площадей. Пусть F 0 = OA 1 A 2 A 3 ориентированный квадрат со стороной единичной длины. Введем прямоугольную декартову систему координат на плоскости (O, OA 1, OA 2 ), тогда радиусы-векторы вершин будут иметь координаты r 0 (o, 0), r 1 (1, 0), r 2 (0, 1), r 3 (1, 1) и [F 0 ] = 2. Отсюда получаем S(F 0 ) = 1. Теорема доказана. Единственность измерения площадей многоугольников Теорема 2. Если S отображение, удовлетворяющее аксиомам измерения площадей A1 A3, то S(F ) = xy, (7.8) где F прямоугольник со сторонами, длины которых x и y. Доказательство: Два прямоугольника равны, если равны длины соответствующих сторон этих прямоугольников. Отображение S, определённое по закону (7.9), выполняется для всех положительных x и y, а значит определено для каждого прямоугольника. 138 Проверим выполнимость аксиомы А1: если F 1 прямоугольник со сторонами, длины которых x и y, и F 2 прямоугольник со сторонами, длины

139 7.5 Площадь многоугольника которых y и x, то прямоугольники можно совместить подходящим движением и F 1 = F 2. Следовательно S(F 1 ) = xy = yx = S(F 2 ). Проверим выполнимость аксиомы А2: если F = F 1 + F 2 F 1 прямоугольник со сторонами, длины которых x 1 и y, F 2 прямоугольник со сторонами, длины которых x 2 и y, F прямоугольник со сторонами, длины которых x и y, причём x = x 1 + x 2, то S(F 1 ) + S(F 2 ) = x 1 y + x 2 y = x y = S(F ). Aналогичные рассуждения можнопровести и для второй стороны прямоугольника F. Проверим выполнимость аксиомы А3: так как F 0 квадрат со стороной x единичной длины, то для закона (7.9) получим S(F 0 ) = x x = 1 1 = 1. Теорема доказана. Теорема 3. Если S отображение, удовлетворяющее аксиомам измерения площадей A1 A3, то S(F ) = 1 xy, (7.9) 2 где F треугольник, x длина основания и y длина высоты. Доказательство: 1) Пусть ABC прямоугольный, AB = x и AC = y катеты. Достроим этот треугольник до прямоугольника ABCD, тогда по теореме 2 S(ABCD) = xy. 139

140 7 Основания геометрии По аксиоме А2 S(ABCD) = S(ABC) + S(BCD), так как ABC = BCD, то по аксиоме А1 S(ABC) = S(BCD) и в результате S(ABC) = 1 2 S(ABCD) = 1 2 xy. 2) Пусть ABC остроугольный, AC = x основание и BH = y высота. По аксиоме А2 S(ABC) = S(ABH) + S(CBH). Треугольники ABH, CBH прямоугольные и по доказанному в пункте (1) S(ABH) = 1 AH BH = AH y и S(CBH) = 1 2 CH BH = 1 CH y. 2 В результате S(ABC) = S(ABH) + S(CBH) = 1 2 (AH + CH) y = 1 2 AC y = 1 2 xy. 3) Пусть ABC тупоугольный, AC = x основание, BH = y высота и A C H. По аксиоме А2 S(ABH) = S(ABC) + S(CBH). Треугольники ABH, CBH прямоугольные и по доказанному в пункте (1) S(ABH) = 1 AH BH = AH y и S(CBH) = 1 2 CH BH = 1 CH y. 2 В результате S(ABC) = S(ABH) S(CBH) = 1 2 (AH CH) y = 1 2 AC y = 1 2 xy. Теорема доказана. Теорема 4. Если выбран единичный отрезок, то существует не более одного отображения S, удовлетворяющего аксиомам А1 А3 измерения площадей. 140

141 7.5 Площадь многоугольника Доказательство: Пусть существует два отображения S S, удовлетворяющие аксиомам А1 А3 измерения площадейи при одном и том же выборе единичного отрезка. Возьмём произвольный многоугольник F и разложим его на конечное множество треугольников F = n. По аксиоме А2 получим S(F ) = S( 1 ) + S( 2 ) + + S( n ), S (F ) = S ( 1 ) + S ( 2 ) + + S ( n ) Из теоремы 3 следует, что S( i ) = S ( i ), откуда следует, что S(F ) = S (F ). Теорема доказана. Равновеликость и равносоставленность многоугольников. Определение: Два многоугольника называются равновеликими, если они имеют одинаковую площадь. Определение: Два многоугольника называются равносоставленными, если их можно представить в виде суммы попарно конгруэнтных многоугольников. Очевидно, что равносоставленные многоугольники будут равновеликими. Справедливо и обратное утверждение. Теорема Бояи Гервина. Если два треугольника равновелики, то они равносоставленны Квадрируемые фигуры. Площадь круга Рассмотрим на плоскости замкнутую связанную фигуру F. Определение: Множество площадей внешних многоугольников, т. е. описанных около фигуры F, ограничено 141

142 7 Основания геометрии снизу, и значит имеет точную нижнюю грань множества, которая называется внешней Жордановой мерой фигуры. Определение: Множество площадей внутренних многоугольников, т. е. вписанных в фигуру F, ограничено сверху, и значит имеет точную верхнюю грань множества, которая называется внутренней Жордановой мерой фигуры. Из свойств точных граней следует, что внутренняя мера не больше внешней меры. Определение: Если внутренняя и внешняя меры совпадают, тогда фигура F называется квадрируемой, а совпадающие меры называются мерой Жордана или площадью фигуры. Теорема 1 (необходимое и достаточное условие существования площади). Фигура F является квадрируемой тогда и только тогда, когда ее граница является квадрируемой и имеет нулевую площадь. Теорема 2 (достаточное условие квадрируемости). Если граница фигуры является кусочно-гладкой линией, то фигура F квадрируема. Теорема 3. Круг квадрируемая фигура, площадь которой равна π r 2, где r радиус круга. Доказательство: Впишем и и опишем около круга правильные n- угольники. Увеличивая количество сторон n-угольников получим последовательности вписанных и описанных многоугольников. Покажем, что внутренняя и внешняя меры круга совпадают. Площадь вписанного n-угольника равна 142 S (n) = nr2 2 sin 2π n.

143 7.6 Система аксиом плоскости Лобачевского Площадь oписанного n-угольника равна S (n) = nr 2 tg π n. Найдём пределы последовательностей {S (n)} и {S (n)}: S = lim S nr 2 (n) = lim n n 2 sin 2π n sin 2π r2 = 2π 2 lim n n 2π n = πr 2 S = lim n S (n) = lim n nr2 tg π tg π n = πr2 lim n n π n = πr 2 Следовательно, S = S = S и круг квадрируемая фигура, площадь которой равна πr 2. Теорема доказана Система аксиом плоскости Лобачевского Геометрия Лобачевского основывается на тех же понятиях и отношениях, что и Евклидова, т. е. к аксиомам абсолютной геометрии добавляется лишь одна новая аксиома отрицание аксиомы параллельности Евклида (отрицание пятого постулата), которая называется аксиомой Лобачевского: Через точку M, не лежащую на данной прямой a, в данной плоскости можно провести не менее двух прямых b и c, не пересекающих данную прямую a. Теорема 1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести бесконечно много прямых, не пересекающих данную. 143

144 7 Основания геометрии Доказательство: Возьмем любую точку T, лежащую внутри угла, образованного прямыми b c = M, не пересекающими данную прямую a. Опустим перпендикуляр из точки M на прямую a, точка H основание перпендикляра. Допустим, что MT a = L. Рассмотрим MLH. По теореме Паша прямая b (или c), проходящая через точку M, должна пересекать одну из сторон полученного треугольника. Стороны ML и MH она пересечь не может так как уже имеет с ними общую точку, следовательно прямая b (или c) должна пересекать прямую LH = a, а это противоречит условию теоремы. Допущение неверно и теорема доказана. Прямые на плоскости Лобачевского. Пусть Ω множество углов, которые образуют с перпендикуляром MH все прямые, проходящие через точку M и не пересекающие прямую a, тогда из данного нами определения множества Ω следует, что 0 / Ω. Более того, для любого угла α Ω, α > 0. Таким образом, множество Ω ограничено снизу, т. е. имеет точную нижнюю грань: inf Ω = α 0, α 0 0. Докажем, что α 0 > 0: рассмотрим треугольник MP H, такой что HMP / Ω, т. е. прямая MP пересекает прямую a, тогда 0 < HMP < α 0. Кроме того, по определению множества Ω угол π 2 Ω и α 0 π 2. Докажем, что α 0 < π 2 : по аксиоме Лобачевского кроме прямой, образующей с перпендикуляром MH угол π 2, существует еще одна прямая, не пересекающая прямую a. Эта прямая образует с перпендикуляром MH острый угол β, α 0 β < π 2, следовательно α 0 < π 2. Определение: Пограничные прямые, образующие с перпендикуляром MH острый угол α 0 называются прямыми, 144

145 7.6 Система аксиом плоскости Лобачевского параллельными к прямой a в заданном направлении. Угол α 0 называется углом параллельности. Определение: Прямые, не пересекающие прямую a и не параллельные ей называются сверхпараллельными или расходящимися прямыми. Теорема 2. Величина угла α 0 не зависит от выбора прямой a и точки M, а зависит лишь от расстояния между ними. Зависимость угла α 0 от расстояния ρ(m, a) = x называется функцией Лобачевского: α 0 = Π(x) = 2 arctg e kx, где k некоторая отрицательная постоянная, определяемая раз и навсегда при установлении измерения длин, которая называется кривизной плоскости Лобачевского и характеризует насколько плоскость Лобачевского отличается от Евклидовой. При фиксированной кривизне k верны cвойства функции Лобачевского: lim x 0 = π 2, Π(x) = 0, lim x Π(x) монотонно убывающая функция. Можно сказать, что Евклидова геометрия геометрия бесконечно малых участков пространства Лобачевского, т. е. при k 0 геометрия плоскости Лобачевского переходит в геометрию Евклидовой плоскости, следовательно можно рассматривать Евклидову геометрию как геометрию Лобачевского для пространств сколь угодно малой кривизны k. 145

146 7 Основания геометрии Свойства прямых: 1) Две прямые, перпендикулярные к третьей, являются расходящимися. 2) Две расходящиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр. Доказательство: Допустим, что существует еще один общий перпендикуляр, тогда получим четырёхугольник, образованный расходящимися прямыми и двумя их общими перпендикулярами, откуда следует, что сумма углов этого четырёхугольника равна 360, что противоречит аксиоме Лобачевского. Свойство доказано. 3) У параллельных прямых существует ось симметрии. 4) Если прямая a параллельна прямой b в заданном направлении, то прямая b параллельна прямой a в том же направлении. 5) Если прямая a параллельна прямой b и прямая b параллельна прямой c в заданном направлении, то прямая a параллельна прямой c в том же направлении. 6) На плоскости Лобачевского параллельные прямые не имеют общего перпендикуляра. Модель Кэлли-Клейна плоскости Лобачевского. Построим из объектов евклидовой плоскости модель плоскости Лобачевского, которая называется евклидовой моделью Келли-Клейна. Рассмотрим на евклидовой плоскости окружность ω радиуса 1 и назовём её абсолютом. Обозначим Ω множество точек круга с границей ω, и Ω 0 множество внутренних точек круга Ω. 146

147 7.6 Система аксиом плоскости Лобачевского Неевклидовой плоскостью назвается множество точек Ω 0. Неевклидовой точкой назовём любую точку M Ω 0, неевклидовой прямой любую хорду (без концов) окружности ω. Прямые будем обозначать АВ, где точки А и В лежат на окружности ω. Отношения «принадлежать», «лежать между», простое отношение трёх точек прямой и сложное отношение трёх точек прямой понимаем в обычном смысле. На данной модели выполняются аксиомы Гильберта I и II групп. Неевклидовым лучом называется любая полухорда МВ окружности ω, где M Ω 0, B ω. Неевклидовой полуплоскостью называется множество всех внутренних точек сегмента круга Ω. Определение: Λ-преобразованием называется любое взаимно однозначное отбражение Λ : Ω Ω, удовлетворяющее условиям: 1) внутренние точки круга Ω переходят во внутренние точки, граничные точки круга Ω в граничные; 2) любая хорда окружности переходит в хорду этой же окружности, причём сохраняется сложное отношение четырёх точек. Пример: Λ-преобразованиями являются тождественное, вращение вокруг центра абсолюта, осевая симметрия относительно диаметра абсолюта. Определение: Неевклидовы отрезки АВ и CD называются равными, если существует Λ-преобразование, переводящее отрезок АВ в отрезок CD. Определение: Два неевклидовых угла называются равными, если существует Λ-преобразование, переводящее один угол в другой. 147

148 7 Основания геометрии Исходя из этих определений, на данной модели выполняются аксиомы Гильберта III группы. IV группа аксиом эквивалентна утверждению Дедекинда, а оно выполняется на множестве Ω 0, поэтому на постоенной модели будут выполняться аксиомы IV группы. Покажем, что на этой модели выполняется аксиома Лобачевского. Рассмотрим неевклидову прямую AB, возьмём неевклидову точку M / AB и проведём через эту точку прямые AМ и BМ. Прямые AМ и BМ не имеют общих неевклидовых точек с прямой AB, следовательно, выполняется требование аксиомы Лобачевского. Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского. Построим из объектов евклидовой плоскости модель плоскости Лобачевского, которая называется евклидовой моделью Пуанкаре. Рассмотрим на евклидовой плоскости горизонтальную прямую x. Она разбивает плоскость на две полуплоскости, одну из полуплосксотей назовём «верхней». Неевклидовой плоскостью назвается множество всех точек «верхней» полуплоскости за исключением точек прямой x. Неевклидовой точкой назовём любую точку «верхней» полуплоскости за исключением точек прямой x, неевклидовой прямой любую евклидову полуокружность с центром на прямой x, а также евклидовы полупрямые «верхней» полуплосксоти, перпендикулярные прямой x. Определим отношение «принадлежать»: неевклидова точка принадлежит неевклидовой прямой, если евклидова точка «верхней» полкплоскости принадлежит евклидовой полуокружности или евклидовой полупрямой. В смысле определённого отношения «принадлежать» на данной модели выполняются аксиомы Гильберта I группы. 148

149 7.6 Система аксиом плоскости Лобачевского Определим отношение «лежать между»: неевклидова точка A лежит между неевклидовыми точками B и C, если евклидова точка A лежит между евклидовыми точками B и C, где A, B, C евклидовы проекции евклидовых точек A, B, C полуокружности на прямую x. В смысле определённого отношения «лежать между» на данной модели выполняются аксиомы Гильберта II группы. Замечание: Исходя из введённого определения отношения «лежать между», на упорядоченном множестве точек неевклидовой прямой выполняется принцип Дедекинда. Определение: Неевклидовым углом называется совокупность двух неевклидовых прямых. Прежде, чем перейти к определению равенства, определим преобразования, переводящие неевклидову плоскость в саму себя. В качестве таких преобразований будем рассматривать инверсии, которые производятся относительно окружностей с центрами на прямой x Определение: Неевклидовы отрезки АВ и CD называются равными, если существует такая последовательность инверсий, что их произведение отображает евклидову круговую дугу АВ на евклидову круговую дугу CD. Определение: Неевклидовы углы равны, если существует такая последовательность инверсий, что их произведение отображает стороны первого угла на стороны второго. Замечание: Равные неевклидовы углы равны и в евклидовом смысле, тогда как равные неевклидовы отрезки в смысле евклидова определения не являются равными, т. е. искажаются евклидовы линейные размеры фигур. Инверсия с неевклидовой точки зрения является симметрией относительно неевклидовой прямой. В силу данных определений на модели выполняются все аксиомы аксиомы Гильберта III группы. 149

150 7 Основания геометрии Выполнение на модели аксиом III группы и принципа Дедекинда влечёт выполнимость требований аксиом IV группы. Покажем, что на этой модели выполняется аксиома Лобачевского. Рассмотрим неевклидову прямую ω и неевклидову точку M / ω. Тогда на евклидовой «верхней» полуплоскости всегда можно построить евклидову полуокружность с центром на прямой x, проходящую через точку М и одну из диаметрально противоположных точек евклидовой полуокружности ω лежащих на евклидовой прямой x. Следовательно, всегда существуют две неевклидовы прямые, проходящие через неевклидову точку М и не имеющие общих неевклидовых точек с неевклидовой прямой ω. А это значит, что выполняется требование аксиомы Лобачевского Пучки прямых на плоскости Лобачевского На плоскости Лобачевского существуют три вида взаимного расположения прямых: 150 1) пересекающиеся прямые, имеющие единственную общую точку; 2) параллельные (в заданном направлении) прямые не имеющие общих точек, причём каковы бы ни были точки A и B, лежащие соответственно на этих прямых, любой внутренний луч угла, образованного одной из прямых и прямой AB, пересекает вторую прямую; 3) расходящиеся прямые не имеющие общих точек и имеющие единственный общий перпендикуляр.

151 7.7 Пучки прямых на плоскости Лобачевского Окружность, эквидистанта и орицикл. Пучок пересекающихся прямых с центром O. Каждую прямую пучка можно перевести в любую другую прямую этого же пучка поворотом вокруг центра O на соответствующий угол. Это первый вид движения, определённый на плоскости Лобачевского. Определение: Линию, которая при некотором движении плоскости, сохраняет своё положение, называют инвариантной относительно этого движения. Зафиксируем на одной из прямых пучка на заданном расстоянии от центра O точку A. При повороте вокруг центра O точка A опишет окружность. Таким образом, концентрические окружности с центром O являются инвариантными линиями преобразования вращения пучка пересекающихся прямых. Определение: Прямая называется секущей равного наклона к двум заданным прямым, если отрезок, образованный при пересечении секущей этих прямых, составляет с прямыми равные внутренние односторонние углы. Свойства: 1) Каждая прямая пучка является осью симметрии окружности. 2) В каждой точке окружности существует касательная, которая перпендикулярна к оси, проходящей через точку касания. Замечание: окружность пересекает свои оси под прямым углом, т. е. окружность есть ортогональная траектория пучка пересекающихся прямых. 151

152 7 Основания геометрии 3) Прямая, содержащая хорду окружности, отличную от диаметра, является секущей равного наклона к осям, проходящим через концы хорды. 4) Срединный перпендикуляр к любой хорде окружности является её осью. 5) Угол, опирающийся на диаметр окружности меньше прямого. 6) Две окружности равны, если равны их радиусы. Пучок расходящихся прямых. Каждую прямую пучка можно перевести в любую другую прямую этого же пучка сдвигом вдоль их общего перпендикуляра u. Это второй вид движения, определённый на плоскости Лобачевского. Инвариантными линиями преобразования сдвига пучка расходящихся прямых являются эквидистанты. Определение: Эквидистантой с базой u и высотой h называется множество точек полуплоскости с границей u, удаленных от прямой u на расстояние h. 152 Свойства: 1) Каждая прямая пучка является осью симметрии эквидистанты. 2) В каждой точке эквидистанты существует касательная, которая перпендикулярна к оси, проходящей через точку касания. Замечание: эквидистанта пересекает свои оси под прямым углом, т. е. эквидистанта есть ортогональная траектория пучка расходящихся прямых.

153 7.7 Пучки прямых на плоскости Лобачевского 3) Любая прямая пересекает эквидистанту не более, чем в двух точках. Доказательство: Пусть прямая пересекает эквидистанту в трёх точках A, B, C. Обозначим их проекции на базу эквидистанты A, B, C. Полученные четырёхугольники A ABB, B BCC четырёхугольники Саккери, следовательно углы ABB и B BC острые. С другой стороны, по предположению это смежные углы. Пришли к противоречию с теоремой о смежных углах. Допущение неверно. Свойство доказано. Замечание: эквидистанта не является прямой линией. 4) Прямая, содержащая хорду эквидистанты, является секущей равного наклона к осям, проходящим через концы хорды. 5) Срединный перпендикуляр к любой хорде эквидистанты является её осью. 6) Две эквидистанты равны, если равны их высоты. Пучок параллельных прямых. Каждую прямую пучка можно перевести в любую другую прямую этого же пучка поворотом вокруг бесконечно удалённой точки. Это третий вид движения, определённый на плоскости Лобачевского. Инвариантными линиями преобразования поворота пучка параллельных прямых являются орициклы или предельные окружности. Теорема 1. Каковы бы ни были две параллельные прямые, через каждую точку любой из них можно провести к ним точно одну секущую равного наклона. Теорема 2. Пусть на плоскости даны три параллельные между собой прямые в заданном направлении a, b, c, проходящие через точки A, B, C сщщтветственно. Тогда, если 153

154 7 Основания геометрии AB секущая равного наклона к прямым a и b и BC секущая равного наклона к прямым b и c, то AC секущая равного наклона к прямым a и c. Таким образом, вращением вокруг бесконечно удалённо точки будем называть такое движение плоскости, при котором прямая a пучка параллельных прямых совмещается с прямой a этого пучка и некоторая точка A прямой a перемещается в точку A прямой a так, что прямая AA секущая равного наклона к прямым a и a. Множество точек, удовлетворяющих данному условию, называются орициклом. 154 Свойства: 1) Каждая прямая пучка является осью симметрии орицикла. 2) В каждой точке орициклом существует касательная, которая перпендикулярна к оси, проходящей через точку касания. Замечание: орицикл пересекает свои оси под прямым углом, т. е. орицикл есть ортогональная траектория пучка параллельных прямых. 3) Любая прямая пересекает орицикл не более, чем в двух точках. Замечание: орицикл не является прямой линией. 4) Прямая, содержащая хорду орицикла, является секущей равного наклона к осям, проходящим через концы хорды. 5) Срединный перпендикуляр к любой хорде орицикла является её осью. 6) Любые два орицикла равны.

155 7.7 Пучки прямых на плоскости Лобачевского Четырёхугольники и треугольники на плоскости Лобачевского. Все теоремы о треугольниках и четырёхугольниках, которые в евклидовой геомтерии доказываются без помощи аксиомы параллельности Евклида, имеют место также и в геометрии Лобачевского, например, теоремы о равенстве треугольников, о равнобедренных треугольниках, о внешнем угле треугольника, теоремы о соотношениях между сторонами треугольника, теоремы о пересечении биссектрис и медиан внутренних углов в одной точке. Остановимся подоробнее на специфических свойствах треугольников и четырёхугольников на плоскости Лобачевского. Определение: Двупрямоугольником называется четырёхугольник, у которого два угла, прилежащих к одной стороне, равны по 90. Определение: Четырёхугольником Саккери называется двупрямоугольник с равными боковыми сторонами. Свойства: 1) Сумма углов треугольника меньше 180. Доказательство: На основе первых трех групп аксиом можно доказать, что сумма углов треугольника не больше 180. Утверждение о том, что сумма равна 180 эквивалетна пятому постулату и не может выполняться в геометрии Лобачевского, следовательно, сумма углов треугольника меньше 180. Свойство доказано. 2) Сумма углов треугольника непостоянна, т. е. не одна и та же для всех треугольников. 3) Если углы одного треугольника соответственно равны углам другого, то треугольники равны. 155

156 7 Основания геометрии Замечание: На плоскости Лобачевского не существует подобия как самостоятельного отношения. 4) Сумма углов четырёхугольника меньше ) Четырёхугольник Саккери симметричен относительно серединного перпендикуляра к основанию. 6) Не прилежащие к основанию углы четырёхугольника Саккери равны между собой, и оба острые. 7) Если у двупрямоугольника не прилежащие к основанию углы равны, то этот двупрямоугольник является четырёхугольником Саккери, т.е. боковые стороны равны. 8) В двупрямоугольнике против большей боковой стороны лежит больший острый угол. 9) В двупрямоугольнике против большего острого угла лежит большая боковая сторона. 156

157 Литература [1] Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, c. [2] Атанасян Л.С. Геометрия. Ч.I. М.: Просвещение, с. [3] Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Учеб свещение, с. [4] Бахвалов С.В., Иваницкая В.П. Основания геометрии. Аксиоматическое изложение геометрии Евклида. Учеб. пособие для вузов. М.: «Высшая школа», с. [5] Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Элементы топологии и дифференциальной геометрии. М.: Наука, c. [6] Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, с. [7] Гильберт Д. Основания геометрии. Пер. И. С. Градштейна. Под ред. П.К. Рашевского. М.-Л с. [8] Глаголев Н.А. Проективная геометрия. [Учеб. пособ. Для ун-тов]. Под ред. Проф. Глаголева А. А. Изд. 2-е. М.: Высшая школа, с. [9] Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, с. [10] Егоров И.П. Основания геометрии: Учеб. пособие для студентов-заочников физ.-мат. фак. пед. ин-тов. М.: Просвещение, с. 157

158 Литература [11] Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М.: Наука, c. [12] Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, c. [13] Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. М.: Наука, c. [14] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука, с. [15] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, с. [16] Каган В.Ф. Основания геометрии. Учение об основании геометрии в ходе его исторического развития. Под ред. Я.С. Дубнова. М.-Л с. [17] Костин В.И. Основания геометрии. М.: Просвещение, с. [18] Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Лань, с. [19] Лелон-Ферран Ж. Основания геометрии. Пер с франц. В.В. Рыжкова. М.: Мир, с. [20] Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Ч. I- II. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. инс. М.: Просвещение, с., 383 с. [21] Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии. М.: Наука, c. [22] Норден А.П. Краткий курс дифференциальной геометрии. М.: Физматгиз, с. [23] Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. М.: Наука, c. [24] Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, с. 158

159 Литература [25] Погорелов А.В. Основания геометрии. М.: Наука, с. [26] Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, c. [27] Розендорн Э.Р. Теория поверхностей. М.: изд-во МГУ, с. [28] Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии. М.: Гостехиздат, c. [29] Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. М.: Наука, с. [30] Семенович А.Ф. Учебное пособие по проективной геометрии. М.: Учпедгиз, с. [31] Хартсхери Р. Основы проективной геометрии. Пер. с англ. Е.Б. Шабат. Под ред. И.М. Яглема. М.: «Мир», 1970, 160 с. [32] Юнг Дж.В. Проективная геометрия. Пер. с англ. Под ред. Проф. В.Ф. Кагана. М.: Гос. Изд-во иностранной литературы, с. 159

160 Учебное издание Шереметьева Ольга Владимировна КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I Учебно-методическое пособие В авторской редакции Издание осуществлено при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках программы стратегического развития ФГБОУ ВПО «Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга» на гг. ФГБОУ ВПО «Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга» , Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, Технический редактор, верстка: Т.А. Абаимова Подписано в печать Формат / 16 Бумага офсетная. Печать цифровая Гарнитура «Times New Roman» Уч.-изд. л. 7,00. Усл. печ. л. 9,1 Отпечатано с готового оригинал-макета. Индивидуальный предприниматель Романенко М.И , Петропавловск-Камчатский, ул. Ленинская, 46 «Оперативная полиграфия» ISBN


8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Связь

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков.

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Введение: Рассмотрим систему уравнений вида: { a 11 x 1+a 12 x 2+...+a 1n x n=b 1... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m} Обозначим систему

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX»)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») 1 курс 1 семестр для групп ФН11, Э4, Э9, Э7, АК1,АК2, АК3, АК4, Знание: Физико-математические науки Направление науки: Математические

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Лекция 6. Прямая на плоскости

Лекция 6. Прямая на плоскости Лекция 6 Прямая на плоскости Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный вектор нормали l O b y На плоскости, где введена прямоугольная система координат, рассмотрим прямую l.

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Лекция 13. Тема: Кривые второго порядка. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола.

Лекция 13. Тема: Кривые второго порядка. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Лекция 13 Тема: Кривые второго порядка Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Вывод уравнений кривых второго порядка исходя из их геометрических свойств. Исследование формы эллипса,

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 9 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 1. Каноническое уравнение эллипса Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, сумма расстояний от каждой

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 7 Аннотация Линии второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Определение, общие характеристики.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Учебно-методическое пособие

Учебно-методическое пособие САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ "ОБРАЗОВАНИЕ" Проект «Инновационная образовательная среда в классическом университете» Пилотный проект «Разработка и внедрение

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее