МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛИ Самочернова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть II Рекомендовано в качестве учебного пособия Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета -е издание, исправленное Издательство Томского политехнического университета 5

2 УДК 54 C7 C7 Самочернова ЛИ Высшая математика Часть II: учебное пособие / ЛИ Самочернова; Томский политехнический университет -е изд, испр Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 5 64 с Учебное пособие включает три раздела высшей математики: ) введение в математический анализ (предел последовательности и функции, бесконечно малые и бесконечно большие величины, сравнение бесконечно малых, непрерывность функции, точки разрыва); ) дифференциальное исчисление функции одной переменной (производная и дифференциал функции, применения дифференциального исчисления к исследованию функций); ) интегральное исчисление (неопределенный интеграл, определенный интеграл, геометрические приложения определенного интеграла) Пособие подготовлено на кафедре прикладной математики и предназначено для студентов ИДО, обучающихся по направлениям 84 «Управление персоналом», 8 «Менеджмент», 8 «Экономика», 7 «Торговое дело» УДК 54 Рецензенты Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры ТГУ СЯ Гриншпон Кандидат технических наук, доцент факультета систем управления ТУСУРа АИ Кочегуров Томский политехнический университет, 5 Самочернова ЛИ, 5 Оформление Издательство Томского политехнического университета, 5

3 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Числовая последовательность и её предел Определение Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число, то говорят, что задана числовая последовательность { }:,,,, (), Другими словами, числовая последовательность это функция натурального аргумента: f() Числа, составляющие последовательность, называются её членами, а общим или -м членом последовательности Пример числовой последовательности:, 4, 6, 8,,, Для этой последовательности, 4, 6,, общий член последовательности чётных чисел Пример Зная общий член последовательности, написать её первые пять членов Решение Давая значения,,, 4, 5, получим 4 5 ; ; ; 4 ; Вообще же последовательность с общим членом запишется так: 4,,,,,, Отметим, что поскольку f() есть функция, то есть, вообще говоря, переменная величина, то для удобства будем в дальнейшем часто называть функцию переменной величиной, или просто переменной Ограниченные и неограниченные последовательности Определение Последовательность { } называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое вещественное число М (число m), что каждый элемент последовательности { } удовлетворяет неравенству M ( m) При этом число М (число m) называется верхней гранью (нижней гранью) последовательности { }, а неравенство M ( m) называется условием ограниченности последовательности сверху (снизу)

4 Определение Последовательность называется ограниченной с обеих сторон, или просто ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, то есть, если существуют числа m и М такие, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенствам: m M Если последовательность { } ограничена и М и m её верхняя и нижняя грани, то все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству A, () где А максимальное из двух чисел М и m Обратно, если все элементы последовательности { } удовлетворяют неравенству (), то выполняются также неравенства A A и, следовательно, последовательность { } ограничена Таким образом, неравенство () представляет собой другую форму условия ограниченности последовательности Уточним понятие неограниченной последовательности Последовательность { } называется неограниченной, если для любого положительного числа А найдется элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству > A Примеры: Последовательность с общим членом ( ) si ограничена, т к при всех выполняется неравенство ( ) si < (A ) Последовательность,,, 4,,,, общий член которой, очевидно, неограниченная В самом деле, каково бы ни было положительное число А, среди элементов этой последовательности найдутся элементы, превосходящие А Монотонные последовательности Определение 4 Последовательность { } называется неубывающей (невозрастающей), если каждый последующий член этой последовательности не меньше (не больше) предыдущего, то есть для всех номеров справедливо неравенство ( ) Неубывающие и невозрастающие последовательности объединяются общим наименованием монотонные последовательности Если элементы монотонной последовательности { } для всех номеров удовлетворяют неравенству < ( > ), то последовательность { } называется возрастающей (убывающей) Возрастающие и убывающие последовательности называются также строго монотонными Пример Последовательность нечётных чисел,, 5, 7,,,, где, монотонно возрастающая 4

5 Действительно, [ ( ) ] ( ) т е > при всех, так что > Предел последовательности, Определим одно из важнейших понятий математического анализа предел последовательности, или, что то же самое, предел переменной величины, пробегающей последовательность,,,, Определение 5 Постоянное число а называется пределом последовательности,,,, или пределом переменной, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε можно указать такое натуральное число N, что для всех членов последовательности с номерами >N выполняется неравенство < ε () Тот факт, что последовательность () имеет своим пределом число а, обозначается так: lim или ; (lim есть сокращённое обозначение латинского слова limes, означающего «предел») Последовательность, имеющую пределом число а, иначе называют последовательностью, сходящейся к а Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся Замечание Величина N зависит от ε, которое мы выбираем произвольным образом (NN(ε)) Чем меньше ε, тем N, вообще говоря, будет больше Исключением является случай, когда последовательность состоит из одинаковых членов Пример Доказать, что последовательность,,, L,, L 4 имеет предел, равный Решение Выберем произвольно положительное число ε и покажем, с общим членом что для него можно найти такое натуральное число N, что для всех номеров > N будет выполняться неравенство (), в котором надо взять а ;, то есть неравенство < ε (4) После приведения к общему знаменателю в левой части неравенства (4) получим 5

6 < ε или < ε Но если /( ) < ε, то и /( ) < ε Из последнего неравенства следует, что > /ε, > /ε Следовательно, за N можно взять наибольшее целое число, содержащееся в (/ε ), то есть Е(/ε ) Тогда неравенство (4) будет выполняться при всех >N Если окажется, что Е(/ε ), то N можно взять равным Поскольку ε брали произвольно, то этим и доказано, что есть предел последовательности с общим членом /( ) В частности, если ε,, то N Е( /, ) Е( )99; если ε/, то NЕ( /,5 ) и т д Выбранные таким образом N для различных значений ε будут наименьшими из возможных Геометрическая интерпретация предела числовой последовательности Числовую последовательность () можно рассматривать как последовательность точек прямой Точно так же и о пределе можно говорить как о точке на прямой Так как неравенство < ε равносильно неравенству ε < < ε, которое, в свою очередь, равносильно такому ε < < ε, то определение предела числовой последовательности можно сформулировать и так Определение 6 Точка а называется пределом последовательности точек (), если, какую бы окрестность ( ε, ε) точки а мы ни задали, найдётся такое число N, что все точки последовательности () с номерами > N попадут в заданную окрестность Изобразим числа, ε, ε и значения переменной точками на числовой оси (рис ) Выполнение неравенства () при условии > N геометрически означает, что все точки, начиная с точки N, то есть с точки, индекс которой превосходит некоторое натуральное число N, будут непременно лежать в ε-окрестности точки а Вне этой окрестности, если и будут находиться точки, то их окажется лишь конечное число Рис 6 Признак сходимости монотонной последовательности Теорема Всякая невозрастающая (неубывающая) ограниченная снизу или переменная величина имеет предел (сверху) последовательность { }

7 Бесконечно малые и бесконечно большие величины Определение Переменная величина называется бесконечно малой, если она имеет предел, равный нулю Следуя определению предела, можно сказать, что будет бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого ε > найдется такое N, что для всех > N выполняется неравенство < ε Иначе говоря, бесконечно малой называется такая переменная величина, которая при своём изменении, начиная с некоторого номера, становится и остаётся по абсолютной величине меньше любого наперёд заданного числа ε > Примерами бесконечно малой могут служить переменные ( ),,, q при q < и другие Пример Доказать, что Решение ( ) есть бесконечно малая Возьмем произвольное ε > Из неравенства ( ) <ε полу- чаем >/ε Если взять N E(/ε), то для > N будет ε <ε При получим N E(), при ε 4 / 5 получим N E ( 5 / 4 ) и т д ( ) А это и значит, что есть бесконечно малая Замечание Нельзя смешивать постоянное очень малое число с бесконечно малой величиной Единственным числом, которое рассматривается в качестве бесконечно малой величины, служит нуль (в силу того, что предел постоянной равен ей самой) Определение Переменная величина называется бесконечно большой величиной, если для любого наперед заданного сколь угодно большого числа M > можно указать такое натуральное число N, что для всех номеров > N выполняется неравенство > М Иначе говоря, переменная величина называется бесконечно большой, если, начиная с некоторого номера, она становится и остаётся при всех последующих номерах по абсолютной величине больше любого наперед заданного положительного числа М О бесконечно большой переменной говорят, что она стремится к бесконечности или имеет бесконечный предел, и пишут: или lim 7

8 В связи с введением нового понятия «бесконечный предел» условимся предел в ранее определенном смысле называть конечным пределом Пример Величина ( ), принимающая последовательно значения -,, -, 4, -5,, ( ), K бесконечно большая Действительно, ( ) Отсюда ясно, что, каково бы ни было число М, для всех, начиная с некоторого, будет lim > М, то есть Определение Переменная величина называется положительной бесконечно большой величиной, если для любого числа М можно указать такое натуральное число N, что для всех номеров > N выполняется неравенство > М В этом случае говорят, что переменная величина стремится к плюс бесконечности и символически записывают это так: или lim Определение 4 Переменная величина называется отрицательной бесконечно большой величиной, если для любого числа М можно указать такое натуральное число N, что при всех > N выполняется неравенство <М В этом случае говорят, что переменная величина стремится к минус бесконечности и записывают это так: или lim Так, например, будет положительной, а отрицательной бесконечно большой величиной Переводя предыдущие определения на геометрический язык, мы можем сказать: если бесконечно большая величина, то, как бы ни был велик сегмент длины М (М > ) с центром в начале координат, точка, изображающая значения бесконечно большой величины, при достаточно большом номере окажется вне указанного сегмента и при дальнейшем увеличении будет оставаться вне его (рис ) При этом, если положительная (отрицательная) бесконечно большая величина, то точка, изображающая её значения, окажется для достаточно больших номеров вне указанного сегмента с правой (левой) стороны от начала координат Рис 8

9 Замечание Символы,, не являются числами, а вводятся только для упрощения записи и для сокращенного словесного выражения того факта, что переменная величина является бесконечно большой, положительной бесконечно большой и отрицательной бесконечно большой Следует твердо запомнить, что никаких арифметических действий над этими символами производить нельзя! Нельзя смешивать постоянное очень большое число с бесконечно большой величиной Связь между бесконечно большой и бесконечно малой величинами Теорема Пусть (при любом ) Если бесконечно большая, то y / бесконечно малая; если бесконечно малая, то y / бесконечно большая Арифметические действия над переменными величинами Основные теоремы о пределах переменных (последовательностей) Введём понятие об арифметических операциях над переменными величинами Пусть имеем две переменные величины и y, принимающие соответственно значения:,,,,,, y, y, y,, y, Под суммой двух данных переменных и y понимают переменную, каждое значение которой равно сумме соответствующих (с одними и теми же номерами) значений переменных и y, то есть переменную, принимающую последовательность значений y, y, K, y,k Мы будем обозначать эту переменную через y Аналогично определяется сумма любого числа переменных, их произведение, а также разность двух переменных и их частное Таким образом, возникают новые переменные: y, y, y и / y (В последнем случае предполагается, что, хотя бы с некоторого номера y, и частное / y рассматривается только для таких номеров) Аналогичным образом эти определения формулируются в терминах последовательностей 9

10 Теоремы о пределах переменных Теорема Переменная может иметь только один предел Между переменными величинами, имеющими предел, и бесконечно малыми величинами существует связь Теорема Переменную величину, имеющую предел, можно представить в виде суммы своего предела и некоторой бесконечно малой величины Теорема (обратная к теореме ) Если переменную величину можно представить в виде суммы двух слагаемых α, (5) где а есть некоторое число, а α бесконечно малая, то а есть предел переменной величины Теорема 4 Если переменная имеет конечный предел, то она ограничена Следствие Бесконечно малая переменная ограничена Лемма Алгебраическая сумма любого (но ограниченного) числа бесконечно малых величин есть также величина бесконечно малая Лемма Произведение ограниченной переменной величины на бесконечно малую α есть величина бесконечно малая Следствие Произведение любого конечного числа бесконечно малых величин представляет собой бесконечно малую величину Следствие Произведение постоянной величины на бесконечно малую есть величина бесконечно малая Следствие Произведение переменной величины, стремящейся к пределу, на бесконечно малую есть величина бесконечно малая Пользуясь леммами и можно доказать следующие теоремы о пределах Теорема 5 Если переменные и y имеют конечные пределы, то их сумма, разность, произведение также имеют конечные пределы, причем: lim ± y lim ± lim y, ) ( ) ) ( y ) lim lim y lim Замечание Эта теорема верна для любого фиксированного числа слагаемых и сомножителей Следствие Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т е ( c ) c lim lim, где с какая-либо постоянная Теорема 6 Если переменные и y имеют конечные пределы и y, то и частное этих переменных также имеет предел, причем lim y,

11 lim lim y lim y Теорема 7 Если переменная имеет конечный предел, то для любого действительного числа α имеет место равенство lim α ( ) lim α α в предположении, что степени и lim имеют смысл Замечание Во всех теоремах п условие существования конечных пределов у переменных и y является существенным Без этого условия теоремы неверны Леммы и теоремы, установленные в этом пункте, имеют очень большое не только теоретическое, но и практическое значение Если до сих пор мы могли лишь проверять, пользуясь определением предела, будет ли то или иное заранее угаданное число пределом данной переменной величины, то теперь открывается возможность и для вычисления предела переменной Пример Переменная величина имеет предел - Найти предел переменной y 4 Решение Пользуясь теоремой 5 и следствием теоремы 5, находим lim ( ) ; lim ( ) lim ( ) ; lim lim α ( 4 ) lim 4 lim ( ) lim 4 ( ) 6 ( ) lim lim ( ) Применяя далее теорему 6, получим 4 lim ( 4 ) 6 lim y lim lim ( ) 4 Особые случаи пределов и неопределенности В теоремах предыдущего пункта указаны способы нахождения пределов суммы, разности, произведения и частного двух переменных и y, имеющих соответственно конечные пределы и b Остановимся теперь на рассмотрении отдельных возможных случаев вычисления пределов, которые не охватываются указанными выше способами ;

12 Рассмотрим сначала частное ( y ) y ) Пусть, а y бесконечно большая Тогда частное / y будет бесконечно малая, так как его можно представить в виде ( / y), где / y бесконечно малая, а ограниченная величина Следовательно, lim y ) Пусть, а y бесконечно малая, не принимающая нулевых значений Тогда / y будет бесконечно большой, так как обратная величина y / ( / ) y есть бесконечно малая ( / / ) ) Пусть бесконечно большая, а y бесконечно малая ( y ) Тогда / y будет бесконечно большая, так как обратная величина y / может быть представлена в виде произведения двух бесконечно малых y / ( / ) y и является, следовательно, бесконечно малой 4) Пусть бесконечно большая, а y b Тогда / y будет бесконечно большая, так как обратная ей величина по установленному в ) есть бесконечно малая 5) Пусть и y бесконечно малые величины В этом случае о пределе отношения / y никакого общего заключения сделать нельзя, так как в зависимости от характера изменения переменных и y возможны различные ответы Так, например, а) если, y, то ; y б) если, y, то ; y в) если, y, то ; ( ) г) если, y, то ( ) предела вовсе не имеет y Таким образом, отношение двух бесконечно малых может быть величиной бесконечно малой, бесконечно большой, может иметь пределом число, отличное от нуля, а может и вовсе не иметь предела Следовательно, на вопрос о том, чему равен предел отношения бесконечно малых, можно ответить только тогда, когда известны законы изменения этих бесконечно малых, то есть если бесконечно малые заданы В связи с этим говорят, что отношение бесконечно малых в общем случае представляет собой неопределённость вида Когда на основании исследования законов изменения данных беско- y

13 нечно малых предел их отношения найден или установлено, что его нет, то говорят, что неопределённость раскрыта 6) Пусть и y бесконечно большие величины В этом случае о пределе отношения / y также никакого общего заключения сделать нельзя Так, например, а) если, y, то ; y б) если, y, то ; y в) если, y, то ; y г) если ( ), y, то ( ) предела не имеет y Из этих примеров следует, что отношение двух бесконечно больших может быть величиной бесконечно большой, бесконечно малой, может иметь пределом число, отличное от нуля, а также может вовсе не иметь предела Поэтому говорят, что отношение двух бесконечно больших в общем случае представляет собой также неопределённость, но уже вида Если бесконечно большие и y конкретно заданы и нам удалось найти предел их отношения или доказать, что он не существует, то мы будем говорить, что неопределённость раскрыта Рассмотрим сумму двух переменных y ) Пусть, y b Тогда ( y ) В частности, если, то и ( y ) ; если, то ( y ) ) Пусть и y Тогда y Если, y, то y, так как сумма бесконечно больших одного знака есть величина бесконечно большая ) Пусть и y есть бесконечно большие разных знаков Тогда о пределе суммы y ничего определённого сказать нельзя до тех пор, пока не будут известны законы изменения и y Этот предел может быть равен нулю, бесконечности, числу, отличному от нуля, а также может и вовсе не существовать Например: а) если ( / ), y, то y / ; б) если, y, то y ; в) если ( ), y, то y ; имеет г) если ( ), y, то ( ) предела не y

14 Таким образом, сумма двух бесконечно больших разных знаков представляет собой в общем случае неопределённость вида Рассмотрим произведение двух переменных y ) Пусть и y являются бесконечно большими Тогда их произведение будет также величиной бесконечно большой, так как в данном случае / и / y, а значит, и /( y) будут величинами бесконечно малыми ) Пусть одна из переменных имеет конечный предел, отличный от нуля, а другая бесконечно большая Тогда их произведение будет величиной бесконечно большой Действительно, если, а y бесконечно большая, то / y будет бесконечно малой, а / величиной ограниченной ( / / ) Следовательно, их произведение /( y) будет бесконечно малой, а тогда y будет бесконечно большой ) Пусть бесконечно малая, а y бесконечно большая Тогда имеем случай неопределённости, которая обозначается символом Например: а) если /, y, то y ; ; б) если /, y, то y / в) если /, y, то y ; г) если ( ) /, y, то ( ) предела не имеет y Кроме рассмотренных нами неопределённостей вида,,, и, существуют еще другие случаи неопределённостей, связанные с рассмотрением степеней:,, С ними мы познакомимся в п Раскрытие неопределённостей в некоторых случаях представляет собой значительную трудность В каждом отдельном случае приходится использовать особый приём, позволяющий преобразовать выражение к такому виду, когда о пределе возможно дать определённый ответ Рассмотрим на примерах некоторые типичные приёмы раскрытия неопределённостей Пример Пусть есть многочлен степени k относительно : k k k k k ( ) Как ведёт себя этот многочлен при? Решение Если бы все коэффициенты были одного знака, то, очевидно, была бы бесконечно большой такого же знака При разных знаках коэффициентов имеем неопределённость вида Для раскрытия этой неопределённости вынесем за скобки высшую степень : k k k k k 4

15 В скобках все слагаемые, кроме первого, являются бесконечно малыми Следовательно, предел выражения, стоящего в скобках, равен Множитель k есть величина бесконечно большая Отсюда заключаем, что lim, если > и lim, если < Пример Найти предел переменной Решение Как уже установлено в примере, числитель и знаменатель являются величинами бесконечно большими Следовательно, имеем случай неопределённости вида Для раскрытия этой неопределённости вынесем за скобки в числителе и в знаменателе: Замечая, что lim, lim, lim, lim, и применяя теоремы 5 и 6 п о пределах, найдём lim lim lim lim lim lim lim lim lim Пример Пусть представляет собой частное двух многочленов: k k k k k ( m m m, b ) b b b bm bm Рассмотреть все возможные случаи поведения частного при Решение Как показано в примере, числитель и знаменатель являются величинами бесконечно большими Следовательно, имеем неопределённость вида Вынося за скобки в числителе k, а в знаменателе m, получим k k k k k m b b bm bm b m m Предел второго множителя равен / b Что же касается предела первого множителя, то он будет зависеть от соотношения чисел k и m Если k m k>m, то и, следовательно, ± (знак совпадает со зна- 5

16 ком / b ) Если же k m, то k m и / b Наконец, если k m mk k < m, то / и Пример 4 Найти предел переменной Решение Выражение переменной представляет собой неопределённость вида Если правую часть умножить и разделить на сумму, то мы придём к неопределённости вида, которая рас- крывается приемом, изложенным в примерах и : ( ) ( )( ) lim lim lim lim lim 4 4 lim lim lim lim lim lim 4 4 lim lim 4 4 В этом примере мы использовали теоремы 5, 6, 7 п и теорему п о связи между бесконечно большой и бесконечно малой величинами 5 Предел функции В п мы рассмотрели понятие предела применительно к числовой последовательности, то есть к функции натурального аргумента Перейдём теперь к выяснению этого понятия для функций произвольного действительного аргумента Введём понятие предельной точки числового множества Определение Точка называется предельной точкой или точкой сгущения числового множества Е, если в любой окрестности ( ε, ε) этой точки содержится хотя бы одна точка из Е, отличная от Замечания: Сама предельная точка при этом может принадлежать, а может и не принадлежать множеству Е Если в любой левой (правой) полуокрестности точки содержится хотя бы одна точка данного множества Е, то точка называется левосторонней (правосторонней) предельной точкой множества Е Если при этом точка окажется только левосторонней (правосторонней) предельной точ- 6

17 кой множества Е, то она называется односторонней предельной точкой множества Е; в противном случае она называется двусторонней предельной точкой Пусть функция y f ( ) определена на некотором числовом множестве D{}, имеющем предельную точку Точка может принадлежать множеству D, а может и не принадлежать ему Определение Число А называется пределом функции f ( ) в точке, если для любой последовательности значений :,,,,, входящих в область определения функции и сходящихся к, но отличных от, соответствующая последовательность значений функции f ( ) : f ( ), f ( ),, f ( ), сходится и притом всегда к одному и тому же числу А Тот факт, что А предел функции f ( ) в точке записывается так: lim f А ( ) или ещё так: f ( ) А при Данное определение предела функции часто называют определением предела функции по Гейне Оно основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его иногда называют также определением «на языке последовательностей» Дадим другое, часто применяемое определение предела функции по Коши (снова считая, что предельная точка области D определения функции f ( ) ) Определение Число А называется пределом функции f ( ) в точке, если для любого сколь угодно малого числа ε > найдётся такое число δ>, что для всех, D, удовлетворяющих неравенству < δ, выполняется неравенство f ( ) А < ε Это определение использует понятие ε-окрестности и δ-окрестности и потому его называют ещё определением «на языке ε δ» Если lim f ( ) A, то на графике функции yf() это иллюстрируется следующим образом (см рис ): так как из неравенства < δ следует неравенство f() А < ε, то это значит, что для всех точек х, отстоящих от точки не далее, чем на δ, точки М графика функции yf() лежат внутри полосы шириной ε, ограниченной прямыми yа ε и yа ε 7

18 Рис Теорема Определения и предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны, то есть если функция имеет предел в точке согласно одному из определений, то этот же предел функция будет иметь и по другому определению Пример Исходя из определения предела функции по Коши, доказать, что функция f ( ) 5 имеет в точке предел, равный Каково должно быть δ, если ε равно,/ и /? Решение Возьмём любое ε > Задача состоит в том, чтобы по этому ε найти такое δ >, при котором из неравенства < δ следовало бы неравенство ( 5) < ε Последнее преобразуется к виду ( ) < ε или < ε/ Отсюда видно, что можно взять δ ε/ В частности, если ε, то δ / ; если ε /, то δ / 6 ; если ε /, то δ / Пример Пользуясь определением предела функции «на языке последовательностей», доказать, что функция f ( ) имеет в точке предел, равный -, то есть lim( ) Решение Пусть { } произвольная последовательность значений, сходящихся к, то есть Тогда, применив теорему 5 п о пределе произведения, получим lim lim ( ) 4, lim 6 По теореме о пределе суммы и разности получим lim f lim 4 6 ( ) ( ) 8

19 предполагалась произвольной (с одним лишь требованием, чтобы ), то на основании определения предела Поскольку последовательность { } функции по Гейне заключаем, что ( ) lim Таким образом, решение свелось к тому, что в выражение данной функции мы подставили Замечание Рассуждение, приведённое в примере, применимо к любому многочлену, и мы можем сделать следующий общий вывод: для того, чтобы найти предел многочлена при стремлении к некоторому числу α, достаточно подставить в выражение этого многочлена вместо число α, то есть α ( ) α α α lim Односторонние пределы Кроме рассмотренного нами понятия предела функции в точке, существуют также понятия предела в точке слева и предела в точке справа Пусть функция f ( ) определена на числовом множестве D и левая (правая) предельная точка этого множества (она может быть и двусторонней) Если в определении предела функции потребовать, чтобы стремилось к не любым способом, а только слева (оставаясь все время меньше ), то получим определение предела слева в точке Определение 4 Число А называется пределом функции f ( ) в точке слева или левосторонним пределом, если для любого сколь угодно малого числа ε> найдётся такое число δ>, что для всех D, удовлетворяющих неравенству δ< <, выполняется неравенство: f ( ) А <ε Тот факт, что А предел функции f ( ) в точке слева записывается так: lim f А или lim f А или f ( ) А ( ) ( ) ( < ) Определение 5 Число А называется пределом функции f ( ) в точке справа или правосторонним пределом, если для любого ε > можно найти такое δ >, что для всех D, удовлетворяющих неравенству < < δ, выполняется неравенство f ( ) А < ε Предел справа обозначается так: lim f А или lim f А или f ( ) А ( ) ( > ) ( ) 9

20 В случае вместо lim f ( ) пишут lim f ( ), а вместо lim f ( ) пишут f ( ) lim Правый и левый пределы функции называются односторонними пределами функции в точке Связь между односторонними пределами функции устанавливает следующая теорема f в точке имела предел А, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела левый и правый пределы и чтобы оба этих предела были равны А: lim f lim f А Теорема Для того, чтобы функция ( ) ( ) ( ) Из этой теоремы следует, что если односторонние пределы функции существуют, но не равны, то предела функции в рассматриваемой точке не существует Пример Пусть при, f ( ) при > В точке эта функция не имеет предела, но имеет предел слева f (рис 4) f ( ) и предел справа ( ) Рис 4 На «языке последовательностей» определения 4 и 5 сформулируйте самостоятельно Бесконечно большие предельные значения функции Обобщим понятие предела функции на случай, когда функция по абсолютной величине неограниченно возрастает Пусть предельная точка множества D-области определения функ- f ции ( )

21 f имеет в точке бесконечный предел, если для любого сколь угодно большого положительного числа М найдётся такое число δ >, что для всех значений D ( ), удовлетворяющих неравенству < δ, выполняется неравенство f ( ) >М Определение 6 Функция ( ) Бесконечный предел функции f ( ) в точке записывается так: lim f ( ) или ( ) f при Частными случаями определения 6 являются определения 7 и 8 Определение 7 Функция f ( ) имеет в точке пределом плюс беско-, если для любого числа М > можно найти такое число δ>,, удовлетворяющих неравенству < δ, f > М Записывают это так: lim f ( ) нечность ( ) что для всех значений D ( ) выполняется неравенство ( ) Геометрически определение 7 означает, что все точки графика функции y f ( ), для которых ( δ, δ), лежат выше прямой y М, где М > произвольно, а δ подобрано в зависимости от М (рис 5) Рис 5 Определение 8 Функция f ( ) имеет в точке пределом минус бесконечность ( ), если для любого наперёд заданного числа М< можно найти такое число δ >, что для всех значений D ( ), удовлетворяющих неравенству Пишут: lim f ( ) < δ, выполняется неравенство f ( ) <М

22 Геометрически определение 8 означает, что все точки графика функции y f ( ), для которых ( δ, δ), лежат ниже прямой y М, где М < произвольно, а δ подобрано в зависимости от М (рис 6) Рис 6 получается при стремлении к, то в этом случае имеем дело с односторонними бесконечными пределами Если бесконечный предел функции f ( ) в точке только слева ( ) или только справа ( ) Предел функции на бесконечности Выше введено определение предела функции в данной точке Введём теперь понятие предела функции на бесконечности Пусть функция f ( ) задана на неограниченном множестве D Определение 9 Число А называется пределом функции f ( ) при стремящемся к бесконечности ( ), если для любого ε > найдётся такое вещественное число Р, что для всех > Р, принадлежащих области определения функции, выполняется неравенство f ( ) А < ε Если А есть предел функции f() при, стремящемся к бесконечности, то пишут lim f А ( ) Число А при этом часто называют пределом функции ( ) f на бесконечности Неравенство f ( ) А < ε равносильно неравенству А ε < f ( ) < Аε Учитывая последнее, можно дать следующее геометрическое истолкование предела функции на бесконечности: lim f ( ) А геометрически означает, что какое бы ε > мы ни взяли, найдётся такое Р, что для всех значений

23 > Р кривая y f ( ) будет находиться между прямыми y А ε и y А ε (рис 7) Рис 7 Если известно, что множество D не ограничено сверху (снизу), то можно говорить о пределе функции при ( или ) Определение Число А называется пределом функции f ( ) при ( ), если для любого ε > найдётся такое число Р, что для всех >Р ( <Р), принадлежащих области определения функции, выполняется неравенство f ( ) А <ε Пишут: lim f ( ) А (соответственно lim f ( ) А) Геометрическую интерпретацию пределов: lim f ( ) А и lim f ( ) А рекомендуем читателю дать самостоятельно Бесконечно малые и бесконечно большие функции Ограниченные функции Аналогично понятию бесконечно малой и бесконечно большой переменной вводится понятие бесконечно малой и бесконечно большой функции Определение Функция α( ) называется бесконечно малой функцией при (или в окрестности точки а), если Определение Функция α( ) функцией при равенств: lim α( ) называется бесконечно большой (или в окрестности точки а), если имеет место одно из lim α( ) ; lim α( ) ; lim α( ) - В определениях и а может быть как числом, так и одним из символов,, -

24 так как Пример 4 Функция α( ) ( ) lim α( ) lim ( ) Пример 5 Функция β( ) / есть бесконечно малая при, есть бесконечно большая при и бесконечно малая при, так как lim β( ) lim /, а lim β( ) lim / Определение Функция y f ( ) называется ограниченной в области D (в которой функция определена), если существует такое положительное число К, что для всех значений аргумента, взятых из области D, имеет место неравенство f ( ) < К (6) Если нельзя найти такое число К, чтобы неравенство (6) выполнялось одновременно для всех значений D, то функция f ( ) называется неограниченной в этой области В частности, можно говорить о функциях, ограниченных на сегменте, в интервале и т д Если функция ограничена в интервале (, ), то говорят, что она ограничена на всей прямой, или просто ограничена Так как неравенство (6) равносильно неравенствам -К< y< К, то ограниченность функции f ( ) в области D геометрически означает, что точки графика функции y f ( ), соответствующие всем абсциссам D, лежат между двумя прямыми: y -К и y К, параллельными оси OX (рис 8) Для предела функции ( ) Рис 8 Распространение теорем о пределах на случай произвольных функций f при остаются верными все теоремы о пределах, сформулированные в п В качестве примера рассмотрим теорему о пределе суммы, разности, произведения и частного Прежде всего заметим, что арифметические действия над функциями можно производить только в общей части их областей определения 4

25 Теорема Пусть функции f ( ) и g( ), определённые на некотором числовом множестве D, в точке, предельной для этого множества, имеют конечные пределы lim f ( ) А и lim g( ) В Тогда функции, представляющие собой сумму, разность, произведение и частное этих функций (последнее при условии В ), имеют в точке также конечные пределы, причём lim [ ( ) lim [ ( ) lim f ± g( ) f g( ) ]А ± В; ]А В; f ( ) / g( ) А / В Пример 6 Найти lim( 6 5) Решение Применяя теоремы о пределах функций, найдём lim ( 6 5) lim lim 6 lim 5 lim 6 lim Пример 7 Найти lim 6 7 Решение Применяя теоремы о пределе суммы и произведения функций, находим ( ) 7, lim lim ( 6 7) 7 Таким образом, пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя отличен от нуля Теперь, пользуясь теоремой о пределе частного, получаем: 7 lim Теорема 4 Функция Первый замечательный предел si при имеет предел, равный : si lim Доказательство этой теоремы приведено, например, в [ ] 5

26 Рассмотренный предел часто называют первым замечательным пределом Он находит большое применение при отыскании пределов величин, в выражении которых участвуют тригонометрические функции si k Пример 8 Найти lim ( k cost) y Решение Сделаем замену: k y При y, тогда k si k si y k si y si y lim lim lim k lim k k y y y y y y k si k Пример 9 Найти lim ( k, l cost) si l si k si k lim si k k Решение lim lim si l si l si l lim l tgk Пример Найти lim ( k cost) tgk si k si k Решение lim lim lim lim k k cos k cos k cos cos m Пример Найти lim ( m cost) Решение m m m si si si cos m lim lim lim lim m m m Второй замечательный предел В математическом анализе встречается несколько важных пределов переменных величин Одним из таких является предел переменной, (7) где,,, Теорема 5 Переменная величина (7) при имеет предел, заключенный между и Определение Предел переменной величины ( / ) при называется числом e : ( ) e lim / 6

27 Число e иррациональное и поэтому не может быть точно выражено какой-нибудь конечной дробью С точностью до 5-го десятичного знака число e, При практических вычислениях обычно ограничиваются первыми двумя тремя десятичными знаками этого числа Число e играет очень важную роль в математическом анализе Теорема 6 Функция ( / ) стремится при к пределу e : ( / ) e lim (8) Этот предел часто называют вторым замечательным пределом Замечание 4 Наряду с (8) имеют место равенства [ 6 ]: ( / ) e lim, ( / ) e lim, α / ( α) e lim Последнее равенство получается из (8) следующим образом: сделаем замену / При α, / / α Тогда lim ( α) lim ( / ) e α Рассмотрим примеры на вычисление предела функций, сходящихся к числу e нуля Пример Найти lim Решение Сделаем замену k, где k некоторое число, отличное от k y При, y k y, ky Тогда ky y y k k lim lim lim lim e y y y y y y Пример Найти lim ( k) k, где k число, отличное от нуля Решение Сделаем замену ky При, y k y k Тогда k k k y k ) lim ( y) lim y y y y k ( y) y lim ( y) e lim ( 7

28 Пример 4 Найти Решение t lim t t t t t lim lim t t t t e t Замечание 5 Все изложенное в п 4 об особых случаях пределов и неопределенностях верно и для произвольной функции f () Как уже отмечалось выше, для раскрытия неопределенностей даже одного какого-нибудь вида нельзя указать единого способа В зависимости от конкретного примера неопределенность раскрывается тем или иным способом В п с помощью дифференциального исчисления будут получены некоторые общие способы раскрытия неопределенностей Здесь же продолжим рассмотрение некоторых наиболее употребляемых способов и приемов раскрытия неопределенностей, начатое в конце п 4 Пример 5 Найти предел многочлена -й степени при : lim ( K ) ( ) Решение В данном случае можно повторить все рассуждения, проведенные нами при решении примера в 4 В случае коэффициентов с разными знаками имеем неопределенность вида Для раскрытия этой неопределенности вынесем за скобки высшую степень х, получим lim L Предел выражения в скобках, очевидно, будет равен первому слагаемому (так как остальные слагаемые являются бесконечно малыми), а предел бесконечности Следовательно, все выражение будет иметь своим пределом или, в зависимости от знака Пример 6 Найти предел lim Решение Имеем неопределенность вида Такие неопределенности, как уже показано в примере в п 4, раскрываются делением числителя и знаменателя на высшую степень, в данном случае на : lim 5 4 lim lim lim 8

29 Пример 7 Найти предел lim ( 4) Решение Имеем неопределенность вида Решаем аналогично примеру 4 в п 4 Разделив и умножив на 4, получим ( ) ( 4)( 4) 4 4 lim lim lim 4 4 Пример 8 Найти предел lim 4 Решение Здесь имеем неопределенность вида Произведём вычитание дробей lim lim lim Замечание 6 Для того чтобы определить предел дробно-рациональной функции lim ( ) m m m, b b b b bm в случае, когда при числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные нулю, надо числитель и знаменатель дроби разделить на ( ) и перейти к пределу Пример 9 Найти предел lim 4 4 Решение Имеем неопределенность вида / Воспользуемся приемом, изложенным в замечании Разделив числитель и знаменатель дроби на, получим lim lim Замечание 7 Чтобы найти предел дроби, содержащей иррациональное выражение в случае, когда предел и числителя, и знаменателя дроби равны нулю, надо перенести иррациональность из числителя в знаменатель или наоборот После чего сделать упрощения и перейти к пределу 9

30 Пример Найти предел lim Решение Имеем неопределенность вида Перенесем иррациональность из числителя в знаменатель и перейдем к пределу: ( )( ) 4 lim lim ( )( ) lim ( )( ) ( )( )( ) lim lim Замечание 8 При отыскании пределов вида ( )( ) 8 ϕ [ f ( ) ] ( ) lim (9) в случае, когда существуют конечные пределы lim f ( ) и lim ϕ ( ) место формула [ 6 ]:, имеет [ ( )] ( ) lim ϕ( ) ϕ lim f lim f ( ) () В формуле (9) может обозначать и число, и один из символов,, - 5 Пример Найти предел lim Решение На основании формулы () lim 5 ( ) lim lim 5 Если в (9) lim f ( ), а ϕ( ) ± lim, то формула () неприменима В этом случае имеем неопределенность вида Рассмотрим общий прием для раскрытия этой неопределенности Функцию f ( ) представим в f ϕ запишем в виде виде f ( ) [ ( ) ], а показатель степени ( ) Тогда lim ϕ( ) f ( ) [ f ( ) ] ϕ( ) ϕ lim [ f ( ) ] ϕ( ) f f ϕ [ ( )] ( f ) lim[ ( f ( ) ) ] f ( ) lim [ ( ( ) )] ( ) [ f ( ) ] ( )

31 Сделаем подстановку f ( ) z f ( ), то lim [ f ( ) ] lim ϕ Так как по предположению при, то есть z, когда На основании предыдущего равенства [ ( )] ( ) ( ) ( ) [ f ] ϕ ( ) [ f ( ) ] ( ) ϕ ϕ lim lim lim f z z e lim () z Пример Найти предел Решение lim 5 8 ; 5 5 Имеем неопределенность вида Воспользуемся Обозначим f ( ) ; ϕ( ) 8 lim f ( ) lim ( ) lim( 8 ) формулой (): Здесь lim 8 lim ϕ e 5 f ( ) ; lim ϕ( ) f ( ) Поэтому 5 lim e 5 ( ) [ f ( ) ] 8 [ ] ( ) lim Сравнение бесконечно малых Пусть функции α α( ) и β( ), то есть lim α( ) и lim β( ) β являются бесконечно малыми при, причем может быть как числом, так и одним из символов, -, Определение Две бесконечно малые α и β называются бесконечно малыми одного порядка, если предел их отношения равен некоторому числу, отличному от нуля, то есть если lim ( α / β) A Бесконечно малые одного порядка характеризуются как бы «одинаковой скоростью» стремления к нулю

32 Пример Функции si и si 5 являются при бесконечно si малыми одного порядка, так как lim (См пример 9 в п 5) si 5 5 Среди бесконечно малых одного порядка особое место занимают бесконечно малые, называемые эквивалентными Определение Две бесконечно малые α и β называются эквивалентными, если предел их отношения при существует и равен единице, то есть если lim ( α / β) В этом случае пишут α β Пример Функции si и являются при эквивалентными si бесконечно малыми, так как lim Определение Если lim ( α / β) (а lim( β / α) ), то α называется бесконечно малой высшего порядка малости по сравнению с бесконечно малой β, напротив, β называется при этом бесконечно малой низшего порядка малости по сравнению с α Основное содержание этого определения состоит в том, что если порядок бесконечно малой α выше порядка бесконечно малой β, то α стремится к нулю как бы «быстрее», чем β 4 Пример При функция ( ) 5 высшего порядка по сравнению с бесконечно малой ( ) α 5 lim lim β 4 α является бесконечно малой lim 5 Пример 4 При функция ( ) 4 / более высокого порядка, чем бесконечно малая β ( ) β, так как α будет бесконечно малой /, так как α 4 / 4 lim lim lim β / В отдельных случаях оказывается недостаточно знать, что из двух данных бесконечно малых одна является бесконечно малой высшего порядка, чем другая Нужно еще оценить количественно числом, насколько выше или как высок этот порядок Последнее имеет важное значение при изучении характера изменения бесконечно малых Определение 4 Бесконечно малая α называется бесконечно малой k k-го порядка по отношению к бесконечно малой β, если α и β будут бесконечно малыми одного порядка, то есть если lim A α k β

33 α, то при бесконечно малая α является бесконечно малой третьего порядка по отношению к бесконечно малой β, так как Пример 5 Если β ( ), ( ) α lim lim β ( ) Желая сравнить скорость стремления к нулю двух бесконечно малых α и β, мы должны составить их отношение α / β (или β / α ) и заняться отысканием его предела Но может оказаться, что такого предела вовсе нет (ни конечного, ни бесконечного) Определение 5 Если отношение α / β при не стремится ни к какому пределу: ни к конечному, ни к бесконечному, то говорят, что бесконечно малые α и β несравнимы между собой Пример 6 Функции α ( ) si(/ ) и ( ) β бесконечно малые при несравнимы между собой, так как их отношение α( ) si(/ ) si при не стремится ни к конечному пределу, ни β( ) к бесконечности Теорема (О замене бесконечно малых функций им эквивалентными) Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую из них или какую-либо одну заменить эквивалентными им, то есть γ бес-, то если α ( ) и β ( ) бесконечно малые при и если α( ) ( ) β( ) β ( ), то α( ) α( ) α( ) α( ) lim lim lim lim β( ) β( ) β( ) β( ) Используя теорему, легко показать, что если α ( ), β ( ) и ( ) конечно малые функции при и если α( ) γ ( ), β( ) γ ( ) α( ) β ( ) α и si Пример 7 Найти lim Решение Так как si, то имеем si lim lim lim Таким образом, теорема в ряде случаев облегчает задачу раскрытия неопределенности вида

34 Таблица эквивалентных бесконечно малых функций [ 8-9 ] α бесконечно малая при ) ( ( ) ) si α ( ) α ( ) ; ) tg α ( ) α ( ) ; ) cosα ( ) [ α ( ) ] α ; α ; α ; ; 4) rcsiα ( ) ( ) 5) rctg α ( ) ( ) 6) l[ α[ ] ( ) α 7) ( ) α( ) α ( ) l ( > ), в частности e ( ) P 8) [ α ( )] Pα ( ), в частности, α ( ) α ; α Существует простой признак эквивалентности двух бесконечно малых Теорема Для того, чтобы бесконечно малые α и β были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы их разность β α являлась бесконечно малой высшего порядка, чем каждая из бесконечно малых α и β Следствие Если при бесконечно малая α низшего порядка малости, чем каждая из бесконечно малых β, β,, β, то бесконечно малая γ α β β β, представляющая собой сумму бесконечно малых α, β, β,, β, эквивалентна бесконечно малой α Это следствие бывает полезно при вычислении предела дроби, числитель или знаменатель которой есть сумма бесконечно малых Если в сумме, стоящей в числителе (знаменателе), имеется одно слагаемое, представляющее бесконечно малую низшего порядка, то можно отбросить под знаком предела все остальные слагаемые, ибо сумма эквивалентна только этому одному слагаемому 4 cos si si Пример 8 Найти предел lim tg 6si 5 Решение Так как при cos /, si, tg, то в силу следствия имеем: cos si si ; 4 tg 6si 5 Поэтому по теореме получаем, что 4 cos si si lim lim tg 6si 5 4

35 7 Непрерывность функции Точки разрыва и их классификация С понятием предела функции тесно связано другое важное понятие математического анализа понятие непрерывности функции Различные определения непрерывности Пусть функция y f ( ) определена на множестве D {} и предельная точка этого множества Говоря в п 5 о пределе функции A lim f, мы совершенно не интересовались тем, определена ли данная ( ) функция ( ) f в самой точке, а если определена, то каково именно её значение в этой точке Тем самым мы допускали возможность существования следующих случаев: ) Предел А существует, в то время как f ( ) в точке не определена ) Предел А существует, существует и f ( ), но А f ( ) ) Предел А существует и f ( ) существует, причем А f ( ) Среди функций, имеющих пределы, в особый класс выделяются функции, отмеченные в случае, то есть функции, для которых выполняется равенство lim Определение Функция f ( ) f ( ) f ( ) () y называется непрерывной при или в точке, если ) функция f ( ) определена в точке и в некоторой её окрестности; ) функция f ( ) имеет конечный предел при ; ) предел функции f ( ) при равен значению функции f ( ) в точке, то есть выполняется равенство () Если в точке функция непрерывна, то точка называется точкой непрерывности данной функции Замечание Равенство (), определяющее понятие непрерывности функции в точке, можно представить в виде (так как ( ) f lim lim f () lim ) и словами можно сказать так: функция f ( ) непрерывна в точке, если предел функции в этой точке равен значению функции от предела аргумента, то есть если возможен предельный переход под знаком функции Таким образом, если функция f ( ) непрерывна и нужно вычислить её предел при, то достаточно в выражение функции вместо подста- 5

36 и подсчитать соответствующее значение ( ) вить f Это и будет искомый предел Соответственно двум определениям предела функции можно дать два определения непрерывности функции: «на языке последовательностей» и «на языке ε δ» Определение Функция f ( ) называется непрерывной в точке (предельной для области определения функции), если какова бы ни была последовательность значений :,,,,, из области определения f ( ), имеющая пределом ( lim ), соответствующая последовательность значений функции ( ) f ( ) f ( ),, f ( ),,, f : сходится, и притом к f ( ) (то есть f ( ) f lim lim ) Эту форму определения непрерывности функции будем называть определением непрерывности функции на «языке последовательностей» или определением непрерывности по Гейне f называется непрерывной в точке, предельной для области определения этой функции, если для любого наперед заданного числа ε> существует такое δ>, что для всех значений из области определения f ( ), для которых <δ, выполняется неравенство Определение Функция ( ) ( ) f ( ) f < ε Определение называется определением непрерывности на «языке ε δ», или определением по Коши Пример Используя определение непрерывности на «языке ε-δ» доказать, что функция f ( ) 4 7 непрерывна при Решение Возьмем любое ε> Задача состоит в том, чтобы по этому ε найти такое δ>, при котором из неравенства <δ следовало бы неравенство ( 4 7) 5 <ε (поскольку f ( ) f ( ) 5 ) Последнее неравенство пре- ε ε образуется к виду 4 <ε, или < Отсюда видно, что, выбрав δ, 4 4 мы получим, что при неравенство <δ влечёт за собой неравенст- f f непрерывна в точке во f ( ) ( ) <ε, так что действительно ( ) Обозначим через Δ приращение аргумента Приращением функции y f ( ) в данной точке называется разность Δ y f Δ f (см рис 9) ( ) ( ) 6

37 Рис 9 Определение 4 Функция f ( ) Δ y называется непрерывной в точке, если эта функция определена в какой-нибудь окрестности точки и если lim Δy, то есть если бесконечно малому приращению аргумента соответ- ствует бесконечно малое приращение функции Пример Пользуясь определением 4 непрерывности функции, доказать, что функция f ( ) 5 6 непрерывна в произвольной точке (, ) Решение f Δ 5 Δ 6 Δ ; ( ) ( ) ( ) ( Δ) f ( ) Δ 6Δ 5Δ ( 6) Δ 5Δ Δy f Найдем теперь предел lim Δ Δy Δ y при Δ : lim Δ [( 6) Δ 5Δ ] при любом значении, что и доказывает непрерывность заданной функции при любом значении (, ) Иногда приходится пользоваться понятием односторонней непрерывности Определение 5 Функция f ( ) называется непрерывной в точке lim f f lim f f ) справа (слева), если ( ) ( ) Замечание Если функция ( ) ( ( ) ( ) f непрерывна в точке и слева и справа, то она непрерывна в этой точке Определение 6 Функция f ( ) называется непрерывной на множестве D {}, если она непрерывна в каждой точке этого множества 7

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос

ограниченные последовательности сходящиеся последовательности ательнос ограниченные последовательности Вычисление пределов числовых последовательностей Рассмотренные нами вопросы о числовых последовательностях содержат основные понятия и некоторые сведения о структуре множества

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Тема: Числовые последовательности

Тема: Числовые последовательности Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности, свойства сходящихся последовательностей) Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г.

Подробнее

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Знакочередующийся ряд. Признак сходимости Лейбница. Знакопеременный ряд. Абсолютная и условная сходимости. Общий комплексный ряд. Теорема

Подробнее

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Типовой расчёт 1 Пределы числовых последовательностей и функций.

Типовой расчёт 1 Пределы числовых последовательностей и функций. Типовой расчёт Пределы числовых последовательностей и функций Образец выполнения типового расчѐта Задание Найти пределы числовых последовательностей, или установить их ( ) ( a ) : ; ; ; ; ; ; 8 Данную

Подробнее

3 1 Последовательности и их свойства

3 1 Последовательности и их свойства Глава 3 Предел 3 1 ПОНЯТИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ последовательности Последовательности представляют собой особый класс функций, для которых областью определения является множество натуральных чисел. В этой

Подробнее

Глава 2. Пределы функций одной переменной.

Глава 2. Пределы функций одной переменной. Глава Пределы функций одной переменной Предел переменной величины Определение Постоянное число а называется пределом переменной величины х, если для каждого наперед заданного числа ε > можно указать такое

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Е Б Боронина Эта книга написана для студентов технических вузов желающих подготовиться к экзамену по математическому анализу Содержание данной книги полностью соответствует

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности Математический анализ (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности 1 Предварительные сведения о действительных (вещественных) числах Рациональное число m Q, m, -целые числа.

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

{ предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и

{ предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и { предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и второй бесконечно малые величины и их свойства - сравнение

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов

ПРЕДЕЛЫ Методическое пособие для студентов вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики и кибернетики Кафедра теории вероятностей и математической статистики ПРЕДЕЛЫ Методическое

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ 09.03.2013 Предел функции Математический анализ (лекция 4) 09.03.2013 2 / 49 Предел функции Определение Число A называется пределом функции y = f (x) при x, стремящемся к бесконечности,

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПОДГОТОВКА К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ РОСЖЕЛДОР Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» ФГБОУ ВО РГУПС ЕВ Пиневич, ВА Липович, ИС Стасюк

Подробнее

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

( ) f сходится к A. Лекция 6. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

( ) f сходится к A. Лекция 6. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Лекция 6. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. Определение предела функции по Гейне и по Коши.. Односторонние пределы функции. 3. Бесконечные пределы. 4. Критерий Коши существования предела.. Определение предела функции по

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

9. Некоторые следствия из свойств полноты

9. Некоторые следствия из свойств полноты 9. Некоторые следствия из свойств полноты Начнем с понятия, которое нам уже знакомо (как минимум в примерах). Речь идет о понятии подпоследовтаельности. Именно, пусть у нас есть последовательность {x n

Подробнее

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных 1.4. Предел функции 4.1. Нахождение предела функции с использованием замечательных пределов. ТЕОРИЯ Определение предельной точки. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел 1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (1) следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так:

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так: 5. Предел функции Определение. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X R, для любого r > 0 существует отличная от p точка x X такая, что x p < r. Говорят, что + (соответственно

Подробнее

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова, В.М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее