В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина"

Транскрипт

1 Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов всех специальностей) Москва 0

2 Введение Настоящие методические указания посвящены изучению одного из основных разделов математического анализа теории обыкновенных дифференциальных уравнений Рассмотрены все типы обыкновенных дифференциальных уравнений, изучаемых в курсе высшей математики Для каждого типа приведены основные теоретические сведения, рассмотрены примеры решения дифференциальных уравнений, даны задачи для аудиторной и самостоятельной работ Общие замечания Определение Дифференциальным называется уравнение, связывающее независимую переменную (переменные), неизвестную функцию и ее производные Если неизвестная функция - это функция одной переменной, то уравнение называется обыкновенным, если нескольких переменных - то уравнением в частных производных ( n) F (,,,,, ) 0 Порядок уравнения определяется порядком его старшей производной В настоящих методических указаниях рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения, которые изучаются в курсе высшей математики для всех специальностей дневного и вечернего форм обучения Нужно отметить, что многие технологические и экономические процессы, механические задачи описываются с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений, тк в описании таких проблем чаще всего присутствует скорость процесса как один из основных параметров системы Определение Решением дифференциального уравнения называется функция ( ) которая, будучи подставленной в уравнение, превращает его в тождество

3 Дифференциальные уравнения первого порядка Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка F (,, ) 0 Выразим производную: f (, ) (*) Дифференциальное уравнение может быть записано через дифференциалы M (, ) d N (, ) d 0 Теорема о существовании и единственности решения уравнения (*) некоторой области D функция f (, ) и ее частная производная непрерывны, то для любой точки M o Если в (, ) D существует единственное решение (), проходящее через эту точку (те удовлетворяющее условию 0 ( 0 ) ) Определение Условие равенства 0 при 0 называется начальным условием Определение Общим решением уравнения (*) называется функция (, C), зависящая от произвольной постоянной C o o и удовлетворяющая условиям: при любом значении С * функция, C ) является решением (*); ( * для любой точки M (, ) D существует значение постоянной С=С 0, что 0 ( 0 C0, ) o o o Общее решение, когда переменная не выражается через переменную, называется общим интегралом (,, C) 0 Определение Частным называется решение, которое получается из общего при конкретном значении постоянной интеграл (,, C0 ) 0 C=C 0 Аналогично получается частный Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши Замечание Не любое частное решение может быть получено из общего решения Если есть такое решение уравнения, то его будем называть особым f

4 Типы уравнений первого порядка и способы их решений I Уравнения с разделяющимися переменными Уравнение с разделяющимися переменными может быть представлено в следующих видах: g( ) h( ) или () M ) M ( ) d N ( ) N ( ) d 0 ( ) ( Для решения уравнения с разделяющимися переменными необходимо представить производную как отношение дифференциалов и разделить переменные, те с одной стороны от знака равенства собрать выражение содержащее только, с другой - только : g( ) h( ); M ) M ( ) d N ( ) N ( ) d 0 ; ( d d g( ) h( ) ; M ) M ( ) d N ( ) N ( ) d ; ( d h( ) M ( ) N ( ) g( ) d ; d d ; N ( ) M ( ) d M ( ) N g d C h ( ) ( ) d C N ( ) M ( ) ( ) d Решения записаны с помощью интегралов, полученных при интегрировании уравнения Эти решения содержат произвольную константу интегрирования и являются общими А особые решения можно получить, решая алгебраические уравнения h( ) 0; N( ) 0; M ( ) 0 Пример Решить уравнение ln 5 4 ln Решение Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными Действительно, после преобразования получим 5 4 ln ln Интегрируем полученное уравнение: d 5 4ln d ln 4

5 Рассмотрим два случая: 0 Легко убедиться, что данная функция является решением уравнения d ln 5 4ln d ; ln 5 d ln d 4ln d ; ln 5 4ln d ; ln ln 5 ln ln 4 ln ln C ; C 5 ln 4 Здесь постоянная интегрирования представлена для удобства в виде логарифма, а модули отброшены, тк постоянная C может принимать и положительные и отрицательные значения Функция, полученная в случае, является общим решением и включает в себя также решение случая, получаемое при C 0 Решить уравнения: e 4 6, (0) log, () 0 5 sin cos , () ln 5 6 e e, (0) d ( 7)( 9) d 5 4 d 5 d 5 4 8, () sin cos e, (0) ln 4 7 tg( 5 ), () 4 sin cos d cos sin d 6 4 d d II Однородные уравнения первого порядка Определение Функция z f (, ) называется однородной функцией порядка k, k если f (, ) f (, ) Определение Уравнение f (, ) называется однородным, если f (, ) является однородной функцией порядка 0 Тогда, принимая /, получаем f (, ) f, f, q 5

6 Таким образом, уравнение первого порядка является однородным, если его правая часть представима в виде функции, зависящей только от отношения переменных и q () Однородное уравнение решается с помощью замены t( ) При этом t, t t В новых переменных уравнение разрешает разделение переменных: d t d t d d t t t q( t); q( t) t; ; ln C d q( t) t q( t) t Пример Найти частное решение уравнения e / 5 4 ; () 0 Решение Покажем, что это уравнение однородное Выразим производную / 5 e 4 / Правая часть уравнения зависит только от отношения переменных и, следовательно, уравнение однородное Введя замену t( ), получим: t t 5 e 4 d t d d t d t t 5 e 4 t; t ; ; t t 5 e 4 5 e 4 Вычислим интеграл слева: t e t t 5 e 4e t e t t d t e d t d e t 4 e t d e /5 t t e 7 / 5 e 7 /5 ln ln 0 t t 0 /5 e / 5 8 e /5 t e / 5 5 Общий интеграл уравнения может быть записан в следующем виде: / / e 7/5 e 7 /5 ln ln ln ; / / 8 e /5 8 e /5 8 C C 6

7 Подставим полученное решение в начальное условие Таким образом, получим частный интеграл уравнения 7/5 C; C /5 7 e e / / 7 /5 /5 7 8 Решить уравнения: 7 sin / / 9 5 7, () 4 ln ln 4 / 5 5 e /, () / 7 / 0 9, () 4 log / /6 6 8 /, ( / 6) 0 8 III Линейные уравнения Определение Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение следующего вида: p( ) q () Отметим, что в уравнение неизвестная функция () и ее производная входят только в первой степени, и нет их перекрестных произведений Линейное уравнение решается с помощью подстановки u( ) v( ) Тогда u v u v Подставляя замену в уравнение, получим u v u v p( ) uv q( ) Выберем функцию v( ) таким образом, чтобы выделенные фигурной скобкой слагаемые в сумме давали ноль ) u v p v ( ) 0 Но u не может равняться тождественно нулю, тк в этом случае и, и будут тождественно равны нулю, а этого не может быть при ненулевом q( ) Следовательно, 7

8 d v d v v p( ) v 0; p( ) d ; p( ) d ; v v p( ) d ln v p( ) d ; v e Тк функцию v() можем выбирать произвольной, примем константу интегрирования равной нулю Оставшиеся части уравнения также представляют собой уравнение с разделяющимися переменными: p( ) d p( ) d p( ) d uv q( ); u e q( ); u q( ) e ; u q( ) e d C Запишем общее решение: q e d C e p( ) d p( ) d ( ) Пример Решить уравнение Решение Перепишем уравнение в удобном для нас виде: 5 Применив подстановку u( ) v( ), получим 5uv 4 u v u v Решаем два уравнения с разделяющимися переменными: 5v ) u v 0; d v 5v 0; d d v 5d ; v d v 5d ; v ln v 5ln ; v 5 4 ) u v ; 5 4 u ; u / 4 ; 8 u d C 9 / 9/ 4 Запишем общее решение уравнения 8 u v C 9 5 8

9 IV Уравнения Бернулли Уравнение Бернулли отличается от линейного уравнения тем, что в правой части есть множитель в виде степени неизвестной функции n p( ) q (4) Будем считать, что n 0; тк в этих случаях мы получаем линейное уравнение Уравнение Бернулли решается по той же схеме, что и линейное уравнение / Пример 4 Решить уравнение e 4 Решение Применив подстановку u( ) v( ), получим uv u v / 4 uv uv e Опять же выберем функцию v() так, чтобы выделенные слагаемые в левой части уравнения в сумме давали ноль ) v u v 0 Рассмотрим два подслучая: a) u 0 0 Легко проверить, что данная функция является решением уравнения б) ) v d v d d v d v 0; ; ; ln v ln ; v v v u v u d u e uv e ; u e ; d ; e C; u u u e C Общее решение уравнения может быть записано в следующем виде e / C Но, из данного решения ни при каком значении константы С нельзя получить решение из подпункта а), которое, следовательно, будет являться особым решением Ответ: e / C - общее решения уравнения; 0 - особое решение 9

10 4 9 e 5, (0) / cos 5 / e 7 / 7/, () 5 9 / /, () 4 /( ) ( 5) Решить уравнения: 0 e 7e e, (0) 4 / /( 5) 6 / 5/ 8 tg / cos, (0) 4 40 ctg cos 4 /( ) / ( ), () V Уравнения в полных дифференциалах Определение Уравнение вида M (, ) d N(, ) d 0 (5) называется уравнением в полных дифференциалах, если существует функция U (, ), полный дифференциал которой равен левой части уравнения: du (, ) M (, ) d N(, ) d Теорема Если в некоторой области D функции M (, ), N(, ) и их частные производные непрерывны, то уравнение (5) является уравнением в полных M N дифференциалах при выполнении условия Соотношение U (, ) C будет являться общим интегралом уравнения в полных дифференциалах, и он может быть найден из системы: U M (, ); U N (, ) Пример 5 Решить уравнение e 4 5 d sin 4 d 0 Решение В данном случае имеем следующие коэффициенты при дифференциалах: M (, ) e 4 5; N(, ) sin 4 Проверим 0

11 M N выполнение условия : M 8 ; N 8 ; M N Следовательно, уравнение является уравнением в полных дифференциалах Ищем функцию U (, ) : U e 4 5; U sin 4 Решим первое уравнение (при интегрировании принимаем, что является величиной постоянной относительно переменной интегрирования х): U e 4 5d e 5 ( ) const Здесь константа интегрирования зависит от переменной у, тк интегрирование ведется по переменной х Подставим полученную функцию во второе уравнение: 4 ( ) sin 4 ; ( ) sin ; ( ) cos Получим общий интеграл уравнения e 5 cos C Решить уравнения: 47 4 d d 0 48 sin sin d cos cos 4 d 0 49 e d cos e d 0, (0) d arctg e d d 5ln( 4 d 4) 6 ln d 8 5 d 0, ()

12 Дифференциальные уравнения второго порядка В дифференциальном уравнении второго порядка F(,,, ) 0 выразим вторую производную: f (,, ) (**) Теорема о существовании и единственности решения уравнения (**) Если в некоторой области D функция f (,, ) и ее частные производные f f, непрерывны, то для любой точки M o( o, o, o ) D существует единственное решение ( ), удовлетворяющее начальным условиям: 0 ( 0 ); o ( o ) Определение Общим решением уравнения (**) называется функция (, C, C), зависящая от произвольных постоянных C, С и удовлетворяющая условиям: при любых значениях постоянных C * C, C * C функция * * (, C, C ), является решением уравнения (**); для любой точки M (,, ) D существуют значения постоянных o o o o * * * * * * C C, C C, что o ( o, C, C ), o ( o, C, C) Рассмотрим типы уравнений второго порядка I Уравнение, не содержащее явно переменную у F(,, ) 0 (6) Решение этого уравнения сводится к решению двух уравнений первого порядка Для этого сделаем замену g( ), g( ) Получим систему из двух (,, ) 0; уравнений F g g g( ) В первую очередь решаем первое уравнение, и, подставляя полученное решение во второе уравнение, определяем искомую функцию Пример 6 Решить уравнение Решение В уравнение явно не входит переменная у, поэтому сделаем замену d g g( ); g( ); g g ; g ; d d g d d g d a) 0 не является решением; б) ; ; g g C g / ; C решение; ln g ln ln C ; g После обратной замены получим

13 C ; C d C C Данное решение является общим решением, тк содержит две произвольные константы, полученные во время интегрирования Полученное в подпункте а) решение не является особым, потому что получается из общего при С 0 II Уравнение, не содержащее явно переменную х F(,, ) 0 (7) d p В этом случае вводим новую функцию, зависящую от у: p( ), p d Пример 7 Найти частное решение уравнения 5, (0), (0) 5/ d p Решение После замены p( ), p мы получим: d d p d p p p p p p d d p 0 0 C решение 5 ; 5 0; d p p 5 0 d Данное уравнение является и линейным, и однородным уравнением, мы будем решать как однородное уравнение d p p 5; p t( ); p t ; d p d t t; d d d d t d t t t 5; t 5; d d а t t p Ce 5 / ) 5 0; 5/; 5/ ; 5/ ; ln 5/ ; ; d t d d t d б) ; ; t 5 t 5 C C C ln t 5 ln ln C ; t 5 ; p 5 / ; 5 / Подставляя в начальные условия, получим: C 5/ 5/ C 0, тогда 5 /; 5 /; d 5 d / d ; d ; ln ln C ; C e Еще раз воспользуемся начальными условиями и получим искомое частное решение d d

14 0 5 / C e C, следовательно, e Следует заметить, что в некоторых случаях частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, нельзя получить из общего решения В этих случаях необходимо проверить, не является ли особое решение искомым решением Решить уравнения: , (0) 6, (0) 57 8, (), () , () 4, () 6 0, ( / ), ( / ) 0 6 5, (), () , (0) (0) 58, () 0, () 60 e, (0) (0) 0 6, (0) (0) 64, (), () 4

15 III Линейное дифференциальное уравнение второго порядка Рассуждения данного раздела могут быть применены и для подобных уравнений более высокого порядка В общем случае линейное дифференциальное уравнение второго порядка может быть записано в следующем виде: a( ) b( ) f ( ) (***) В случае равенства правой части тождественно нулю уравнение называется однородным, в противном случае неоднородным Рассмотрим в начале однородные уравнения Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка Как уже было сказано, однородное уравнение может быть представлено в следующем виде: a( ) b( ) 0 (8) Рассмотрим некоторые свойства уравнения (8) Теорема Если функции ( ), ( ) два решения уравнения (8), то их линейная комбинация ( ) ( ) тоже является решением этого уравнения Определение Функции ( ), ( ),, n( ) называются линейно независимыми на отрезке a, b, если их линейная комбинация ( ) ( ) n n( ) ни при каких значениях i, кроме случая 0, i a, b ), не обращается тождественно в ноль (для всех значений i В противном случае функции называются линейно зависимыми, и в этом случае одну из функций можно выразить через другие (для примера пусть это будет j( ) ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j j n n В случае двух функций они будут линейно зависимыми, если их отношение есть ( ) постоянная величина k на отрезке ( ) a, b Определение Для функций ( ), ( ),, n( ) определитель, составленный из них и их производных определителем Вронского 5 n W (,,, n), называется ( n) ( n) ( n) n n

16 линейно зависимы на отрезке, Теорема Если функции ( ), ( ) то определитель Вронского для этих функций тождественно равен 0 a b, Теорема Если ( ), ( ) - два линейно независимых решения уравнения (8) на отрезке a, b, то определитель Вронского для этих функций не обращается в 0 ни в одной точке данного отрезка Теорема 4 Если ( ), ( ) - два линейно независимых решения уравнения (8), то общее решение представимо в виде линейной комбинации данных частных решений C ( ) C ( ) Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка Теорема о структуре общего решения неоднородного уравнения Общее решение неоднородного уравнения (***) может быть представлено в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения (8) и некоторого частного решения неоднородного уравнения он оо чн Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами p q 0 (9) Решение уравнения будем искать в следующем виде данную функцию в уравнение (9), будем иметь e k k k k k e p k e q e Подставив 0 или k p k q 0, тк экспонента никогда не может обратиться в ноль Уравнение k p k q 0 (0) называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (9) При решении характеристического уравнения (0) возможны три случая: ) D 0; k k, k, k R В этом случае функции k k e, e - два линейно независимых решения уравнения (9), следовательно, общим решением будет следующая функция k k C e C e () оо k ) D 0; k k k, k R Одно решение уравнения (9) это функция e Вместо второго решения (это можно проверить, подставив данную функцию в k уравнение) надо взять функцию e Эти функции будут линейно независимыми В этом случае получим общее решение k k C e C e () оо 6

17 D 0; k i В этом случае можно рассмотреть два линейно независимых ), решения e cos, e sin И общее решение примет вид C e cos C e sin () оо Пример 8 Решить уравнение 7 0 Решение Составим характеристическое уравнение k 7k 0 Корнями уравнения будут два действительных числа k ; k, следовательно, общее решение в этом случае запишется так оо C e C e Пример 9 Найти решение уравнения 8 0, удовлетворяющее начальным условиям (0) 4; (0) 0 Решение В начале найдем общее решение уравнения Составим характеристическое уравнение k k 8 0 Дискриминант равен нулю имеем два одинаковых корня k,, и общее решение дифференциального C C e оо уравнения Подставим полученное решение в начальные условия: 0 C C 0 e 4; C 4; C 4; 0 C C C 0 e 0 C C 0 C Частное решение, удовлетворяющее задаче Коши, будет иметь вид e чо 4 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Как было отмечено выше, для решения неоднородного уравнения достаточно знать общее решение однородного уравнения (что просто сделать) и любое частное решение неоднородного Рассмотрим два особых случая правой части неоднородного уравнения и способы нахождения частных решений Первый случай особой правой части произведение многочлена и показательной функции: 7

18 a p q P ( ) e (4) n Частное решение в этом случае будем искать в следующем виде: a r ч Sn( ) e, где S ( ) n - многочлен степени n с неопределенными коэффициентами; a e - та же экспонента, что и в правой части уравнения (4); r - усиление, параметр r определяется следующим образом: 0, если a k, a k, те a не является корнем характеристического уравнения; r, если a k, a k, те число a равно одному из корней;, если a k k k, те корни одинаковые и равны a Пример 0 Решить уравнение e Решение Найдем общее решение однородного уравнения 4 0 Составим характеристическое уравнение k k 4 0, корнями которого будут k ; k 4 Следовательно, общее решение однородного уравнения будет иметь 4 вид oo Ce Ce Выпишем параметры, необходимые для составления частного решения неоднородного уравнения: P ( ) 0 8 n ; a r n Следовательно, частное решение будем искать в следующем виде: A B e ч н Общий вид частного решения содержит неизвестные коэффициенты А и В Их мы определим, подставляя данное частное решение в исходное уравнение Для удобства вычислений слева от искомой функции и ее производных выпишем соответствующие коэффициенты из уравнения, а выражение в сумме разложим по степеням переменной х 4 A B e A B e A B e ч ч A B e A B e Ae ч B B A e e A A A B B A B A (0 8) Левая и правая части уравнения содержат множитель e 0 После сокращения на этот множитель и упрощения получим: 8

19 0A A 5B 0 8; 0 A 0; A ; A 5B 8 B Таким образом, частное решение неоднородного уравнения равно ч e Запишем общее решение неоднородного уравнения 4 C e C e e он Рассмотрим второй случай особой правой части: a p q e P ( ) cos b Q ( ) sin( b ) (5) n Частное решение в этом случае будем искать в следующем виде: a r ч e Sl ( ) cos b Tl ( ) sin( b ), где Sl ( ), Tl ( ) - многочлены степени l с неопределенными коэффициентами, а l ma( n, m); 0, если a bi k, i, те числа a bi не являются корнями характеристического уравнения; r, если a bi k, i, те числа a bi есть корни характеристического уравнения Пример Найти частное решение уравнения 5 6 e cos, удовлетворяющее начальному условию (0) 0; (0) 4 Решение Найдем общее решение однородного уравнения 5 0 Корнями характеристического уравнения k k 5 0 будут комплексные числа k, i, поэтому общее решение однородного уравнения примет вид: oo e C cos C sin Правую часть уравнения можно представить в таком же виде, что и в уравнении (5): 5 e 6 cos 0 sin Выпишем параметры, необходимые для составления произвольного частного решения неоднородного уравнения: P ( ) 6 ; Q ( ) 0 n ; m 0; l ; n m a bi i i r 0 Следовательно, частное решение будем искать в следующем виде: 0 чн e A Bcos C Dsin Подставим данное частное решение в исходное уравнение: m 9

20 5 cos A B sin C D cos A sin C cos (6 0) cos (0 0)sin ч н e A B C D sin e A B cos C D sin Acos C sin ч н e A B sin C D cos Acos C sin ч н e cos (5A A C C) 5B B A D D A C sin (5C C A A) 5D D C B B C A e Коэффициентами при cos, sin в левой и правой частях равенства являются многочлены первой степени, приравняем коэффициенты при степенях х: A 6; A ; B C 0; B 0; C 0; C 0; D A 0 D 4 / e cos 4 / sin При этом частное решение примет вид Общее решение неоднородного уравнения: e C cos C sin e cos 4 / sin oн ч н Определим коэффициенты C, C, для этого подставим полученное общее решение в начальные условия: e C cos C sin cos 4/ sin C sin oн C cos cos sin 4/ cos C 0; C 0; C C 4 / 4 C / Окончательное решение задачи Коши следующее: 4 e sin e cos sin Метод суперпозиции решений Метод суперпозиции ( сложения) решений заключается в следующем: если правая часть линейного неоднородного уравнения (***) представляется в виде суммы двух функций, то и частное решение этого уравнения можно представить в виде суммы двух частных решений так, что первое из них является частным решением уравнения, в правой части которого стоит первое слагаемое, а второе когда второе слагаемое 0

21 Пример Решить уравнение 9 5 sin Решение Однородному уравнению 0 соответствует характеристическое уравнение k 0; k Тогда общее решение будет следующее: k k 0, имеющее действительные корни: C C e oo Правую часть уравнения можно представить как сумму двух функций f( ) 9 5; f( ) sin, причем, каждое из слагаемых является функцией вида правой части особого типа Рассмотрим уравнение с первой правой частью 9 5; 0 P n a r ( ) 9 5 ; 0 n ч A B С A B С A B C ч 6A B ч 9A 6B 6A C B 9 5 9A 9; A ; 6A 6B 0; B ; B C 5 C Таким образом, получаем первое частное решение: ч sin P ( ) 0; Q ( ) n 0; m 0; l 0; n m a bi 0 i r 0 0 A cos B sin ч A sin B cos ч 9A cos 9B sin ч cos 9B 9A sin 9A 9B sin 9A 9B 0; A B; A / ; 9A 9B 8B B / Второе частное решение: / cos / sin ч Общее частное решение исходного неоднородного уравнения равно сумме полученных частных решений

22 ч н ч ч / cos / sin Тогда общее решение примет вид o н o o ч н C C e / cos / sin Метод вариации постоянных Рассмотрим общий метод решения неоднородного уравнения p q f ( ) Как было показано ранее, общее решение однородного уравнения p q 0 можно представить в виде линейной комбинации двух линейно независимых решений oo C C Будем искать общее решение неоднородного уравнения в следующем виде: C ( ) C ( ) (6) oн В данном случае принимается, что коэффициенты при частных решениях, есть некоторые неизвестные функции, те вместо постоянных величин будем рассматривать переменные или будем варьировать постоянные величины Определим их, подставляя данную функцию в исходное уравнение Для этого вычислим производную C C( ) C C ( ) oн Представление (6) достаточно общее, и поэтому можно принять, что сумма первых двух слагаемых в производной равна 0 C C ( ) 0 (7) Вычислим вторую производную C C( ) C C ( ) oн Подставим вычисленные производные в исходное уравнение C C C p q C ( p q ) f ( ) 0 Учтем, что, являются решениями однородного уравнения Тогда для определения искомых функций получим систему условий C C ( ) 0; (8) C C ( ) f ( ) Полученная система является системой линейных алгебраических уравнений относительно производных искомых функций C, C Определитель матрицы коэффициентов является определителем Вронского для функций, : W (, ) Тк функции, линейно независимы, определитель Вронского не равен нулю, следовательно, система имеет единственное решение, которое можно получить, например, методом Крамера 0

23 f ( ) f ( ) C ; C d D; Отсюда f ( ) ( ) C f C d D При этом общее решение неоднородного уравнения примет вид f ( ) f ( ) он d d D D Отметим, что общее решение неоднородного уравнения представляется (как должно и быть) в виде суммы общего решения однородного уравнения и некоторого частного решения неоднородного Пример Решить уравнение 4 7 / cos Решение Решением соответствующего однородного уравнения 4 0 является функция oo C C C cos C sin Здесь cos ; sin Будем искать решение в виде выражения (6) Тогда система (8) представится так: C cos C sin 0; C sin C cos 7 / cos Умножим первое уравнение на cos, а второе на sin и сложим: 7 sin C cos Умножив первое уравнение на sin, а второе наcos, и сложив, получим 7 C cos Проинтегрируем полученные выражения: 7 sin 7 d cos 7 C ; d D cos cos 8cos 7 d 7 C tg D cos 4 Общее решение неоднородного уравнения примет вид: 7 7 он tg sin D cos D sin 8cos 4 Решить уравнения: , , (0) 6, (0) () 0, ()

24 e, (0), (0) cos sin 77 e 4sin e 9 4cos e 6sin 8 / e e / 74 8 e, (0), (0) cos cos 4 0 e e 8 6 e cos 84 9 / e sin Список литературы НС Пискунов Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов Т М Наука 985 БП Демидович Задачи и упражнения по математическому анализу Для втузов М ИГ Петровский Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений М Изд-во МГУ АФ Филиппов Сборник задач по дифференциальным уравнениям М Наука 979 Содержание Введение Общие замечания Дифференциальные уравнения первого порядка Типы уравнений первого порядка и способы их решений 4 I Уравнения с разделяющимися переменными 4 II Однородные уравнения первого порядка 5 III Линейные уравнения 7 IV Уравнения Бернулли 9 V Уравнения в полных дифференциалах 0 Дифференциальные уравнения второго порядка I Уравнение, не содержащее явно переменную у II Уравнение, не содержащее явно переменную х III Линейное дифференциальное уравнение второго порядка 5 Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка 5 Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка 6 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка 6 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго 7 Метод суперпозиции решений 0 Метод вариации постоянных Список литературы 4 4

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальные уравнения Методические указания

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Направления подготовки бакалавров: 60600; 605050;60500; 60006 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

Дифференциальные и разностные уравнения

Дифференциальные и разностные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра Прикладная математика Дифференциальные и разностные уравнения Методические указания к

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2 Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Методические указания и задания по выполнению расчетно-графической работы для студентов

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Стр. 1 из 17 26.10.2012 11:39 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 010300.62 Математика. Компьютерные науки Дисциплина: Дифференциальные уравнения Время выполнения

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua matmorgua Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ С П ПРЕОБРАЖЕНСКИЙ, СР ТИХОМИРОВ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 987 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Формулировка задания 3 Варианты задания 3 Пример выполнения задания и комментарии

Подробнее

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: Однородные уравнения Линейные уравнения Уравнения Бернулли Лектор Рожкова СВ 07 год 8 Однородные уравнения Функция M, называется однородной

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Тематика и расписание 3-х тестов по дифференциальным уравнениям. (ориентировочные сроки 05 марта, 10 апреля, 15 мая)

Тематика и расписание 3-х тестов по дифференциальным уравнениям. (ориентировочные сроки 05 марта, 10 апреля, 15 мая) Тематика и расписание 3-х тестов по дифференциальным м (ориентировочные сроки 05 марта, 10 апреля, 15 мая) Тест по интегральным м и вариационному исчислению предполагается один - в конце семестра (ориентировочно,

Подробнее

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 14.1 Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к типовому расчету Составители: П.А. Вельмисов Т.Б. Распутько

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее