ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ"

Транскрипт

1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ Проф др Авыт АСАНОВ Кыргызско-Турецкий Университет «Манас» Классические понятия производной и дифференциала функции изложены во многих работах Например в [] Здесь мы дадим новые определения этих понятий Эти опредления обобщают понятия производной и дифференциала функции На основе этих определений мы обобщаем известные классические теоремы математического анализа Производная и дифференциал функции по х Пусть функции и х определены на интервале b Будем предполагать что функция х строго возрастающая непрерывная функция всюду на интервале b Возьмем точку х b Зададим х приращение тогда функции и х получат приращение и Определение Производной по х функции в точке х b называется предел отношения приращения функции к приращению функции при стремлении приращения аргумента к нулю если этот предел существует: lim lim Нахождение производной функции по х будем называть дифференцированием по х этой функции Если функция в точке х b имеет конечную производную по х то функция называется дифференцируемой по х в этой точке Функция дифференцируемая по х во всех точках интервала называется дифференцируемой по хна b

2 FEN BİLİMLERİ DERGİSİ 9 Т е о р е м а Если функция дифференцируема по х в точке х b то она в этой точке непрерывна Д о к а з а т е л ь с т в о По условию функция дифференцируема по х в точке х те существует конечный предел где lim постоянная величина не зависящая от Тогда на основании теремы о связи бесконечно малых с пределами функций можно записать где α α бесконечно малая величина при или α Отсюда при на основании свойств бесконечно малых устанавливаем что и следовательно функция в точке х является непрерывной Нетрудно убедиться что непрерывность функции необходимое но не достаточное условие дифференцируемости функции по х Замечание Производная непрерывной функции по х не обязательно непрерывна Если функция имеет непрерывную производную по х на b то функцию будем называть гладкой по х на b Если же производная функции по х допускает конечное число точек разрыва причем первого рода то функция на b называется кусочно гладкой по х Определение Линейная функция c называется дифференциалом функции по х точке если те ~ c при

3 где c R и ТАБИГИЙ ИЛИМДЕР ЖУРНАЛЫ c γ γ при просто Дифференциал функции по х в точке х обозначается или те Из определения вытекает что lim c Определив дифференциал функции х имеем: Тогда из получим 4 Пример Функция не дифференцируема в точке х Если < то функция хстрого возрастающая непрерывная функция на Покажем что функция имеет непрерывную производную по х на Пусть х< тогда по определению имеем:

4 FEN BİLİMLERİ DERGİSİ lim lim lim Если х> то аналогично доказывается Пусть х и > Тогда lim lim Если х и < то lim lim Отсюда вытекает что Таким образом производная функции по х определяется по следующей формуле:

5 ТАБИГИЙ ИЛИМДЕР ЖУРНАЛЫ < Ясно что функция непрерына на интервале гладкая по х на Правила дифференцирования по х Производная постоянной по х равна нулю те C где С произвольная постоянная те функция Производная по х алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций по х равна такой же сумме производных этих функций по х те u v u v Производная по х двух дифференцируемых функций по х равна произведению производной первого сомножителя по х на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго по х те uv u v uv Следствие Постоянный множитель С можно выносить за знак производной по х те Cu Cu 4 Производная по х частного двух дифференцируемых по х функций может быть найдена по формуле u v u vuv v

6 FEN BİLİMLERİ DERGİSİ Доказательство этих правил аналогично доказательствам правил дифференцирования Дифференцирование по х сложной функции Т е о р е м а Пусть функция u дифференцируема по х в точке причем u u u α Далее пусть функция u дифференцируема по u в точке uu причем u β Тогда сложная функция vu дифференцируема по х в точке причем v u u βα Д о к а з а т е л ь с т в о В силу дифференцируемости функции u и дифференцируемости по х функции u имеем: u α α 5 u u β u β u u 6 где приращение аргумента α бесконечно малая при и β u бесконечно малая при u Учитывая формулу 5 из 6 имеем u [ β β u ][ α α ] Отсюда на основании теоремы о связи бесконечно малых с пределами функций имеем v u lim 4 Производные и дифференциалы высших порядков Пусть является дифференцируемой по х в каждой точке интервала b Тогда каждой точке х b можно поставить в соответствие число производную в этой точке Полученная функция называется функцией производной от данной по х и обозначается также Может случиться βα

7 ТАБИГИЙ ИЛИМДЕР ЖУРНАЛЫ 4 что она сама тоже имеет производную по х Тогда эта производная называется второй производной функции по х и обозначается так: Аналогичным образом определяются третья четвертая и все последующие производные: D Методом индукции можно доказать следующие теоремы Т е о р е м а Обобщенная формула Лейбница Пусть имеют -e производные по х Тогда справедлива формула C m m m m Λ где Если функция дважды дифференцируема по х то выражение называется вторым дифференциалом функции по х и обозначается те Аналогично определим третью четвертую и все последующие дифференциалы:

8 FEN BİLİMLERİ DERGİSİ 5 Очевидно в силу такого определения можно записать: 5 Возрастание и убывание функции в точке Пусть внутренняя точка области определения Определение Функция возрастает в точке если существует некоторая окрестность этой точки в которой: > при > ; < при < Определение Функция убывает в точке если существует некоторая окрестность этой точки в которой: < при > ; > при < Определение Функция имеет в точке локальный максимум локальный минимум если в некоторой проколотой окрестности этой точки выполняется неравенство > соответственно < Определение 4 Функция имеет локальный экстремум в точке если в этой точке она имеет или локальный максимум или локальный минимум Т е о р е м а Пусть возрастающая непрерывная функция в области определения функции Если c > то точка - точка возрастания функции ; Если c < то функция убывает в точке Д о к а з а т е л ь с т в о Так как lim

9 6 то существует число ТАБИГИЙ ИЛИМДЕР ЖУРНАЛЫ c > такое что неравенство c < c выполняется для всех точек проколотой δ окрестности точки В этой окрестности имеем c < < < c Так как имеет тот же знак что и то имеет тот же знак что и те точка возрастания Случай сводится к случаю заменой на - 6 Приложения производной по возрастающей функции О б о б щ е н н а я т е о р е м а Ф е р м а Пусть внутренняя точка отрезка [b] на котором определена и непрерывна функция является точкой локального экстремума этой функции и пусть где возрастающая непрерывная функция на [b] Тогда имеем Д о к а з а т е л ь с т в о Точка не может быть точкой возрастания убывания так как тогда в некоторой проколотой δ окрестности этой точки > < соответственно Но тогда неравенство > что и требовалось доказать невозможно Остается принять что

10 FEN BİLİMLERİ DERGİSİ 7 О б о б щ е н н а я т е о р е м а Р о л л я Пусть функция y удовлетворяет следующим условиям: непрерывна на отрезке [b]; дифференцируема по возрастающей функции на интервале b; на концах отрезка принимает равные значения те b Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка ξ b в которой производная функции по равна нулю: ξ Д о к а з а т е л ь с т в о На основании теоремы Вейерштрасса функция непрерывная на отрезке достигает в нем своего наибольшего М и наименьшего m значений Если оба эти значения достигаются на концах отрезка [b] то по условию они равны те Mm а это значит что функция тождественно постоянна на отрезке [b] Тогда производная равна нулю во всех точках этого отрезка Если же хотя бы одно из этих значений максимальное или минимальное достигается внутри отрезка те m<m то производная в соответствующей точке равна нулю в силу обобщенной теоремы Ферма О б о б щ е н н а я т е о р е м а К о ш и Пусть функции и непрерывны на отрезке [b] и дифференцируемы по возрастающей функции внутри него Пусть при всех [b] Тогда на интревале b найдется точка с такая что b c c / b c c Д о к а з а т е л ь с т в о Преобразуя эквивалентным образом требуемое c равенство с учетом того что имеем c

11 8 ТАБИГИЙ ИЛИМДЕР ЖУРНАЛЫ c c b b c c Заметим что слева в последнем равенстве стоит значение производной по функции H в точке c где H b b Таким образом нам достаточно доказать существование точки с в которой H Но функция H дифференцируема во внутренних точках отрезка [b] и H H b b b Поэтому по обобщенной теореме Ролля существует точка c [b] такая что H c что и требовалось доказать С л е д с т в и е Обобщенная теорема Лагранжа Пусть функция непрерывна на отрезке [b] и дифференцируема по возрастающей функции на интервале b Тогда имеет место формула c b b c где с некоторая внутренняя точка этого отрезка Д о к а з а т е л ь с т в о Утверждение следствия является частным случаем обобщенной теоремы Коши при Это следствие называется формулой обобщенных конечных приращений Далее всюду будем предполагать что возрастающая непрерывная функция на [b] Т е о р е м а Пусть b cot при всех b Тогда Д о к а з а т е л ь с т в о По обобщенной теореме Лагранжа имеем

12 b FEN BİLİMLERİ DERGİSİ 9 b b c Отсюда Теорема доказана b b Т е о р е м а Пусть функция дифференцируема по на b Тогда для того чтобы не убывала на b необходимо и достаточно чтобы b Д о к а з а т е л ь с т в о Необходимость Условие неубывания функции эквивалентно тому что Переходя к пределу в неравенстве получим lim Достаточность Если то по обобщенной теореме Лагранжа c при некотором c b те функция не убывает на b Теорема доказана Т е о р е м а Если > на интервале b то функция монотонно возрастает на b Д о к а з а т е л ь с т в о По обобщенной теореме Лагранжа имеем

13 ТАБИГИЙ ИЛИМДЕР ЖУРНАЛЫ c > при > что и требовалось доказать Т е о р е м а 4 Пусть дифференцируема по на интревале b Тогда для того чтобы функция строго возрастала на нем необходимо и достаточно чтобы на интревале b и не обращалась в нуль тождественно ни на каком отрезке [ b ] лежащем внутри интервала b Д о к а з а т е л ь с т в о Необходимость от противного Если условие теоремы не выполнено то < или для некоторой точки b или при всех [ b ] Тогда в первом случае точка убывания функции а во втором - cot на [ b ] Это противоречит условию возрастания функции Достаточность Так как по условию то при любых <b где b b имеем b c b те не убывает Докажем что возрастает Пусть это не так и b при b > Но тогда в силу неубывания на отрезке [ b ] имеем что cot на нем и следовательно на b что противоречит условию теоремы Тем самым теорема 4 доказана полностью 7 Обобщенное правило Лопиталя Т е о р е м а первое обобщенное правило Лопиталя; неопределенность вида при Пусть:

14 FEN BİLİMLERİ DERGİSİ и определены и дифференцируемы по возрастающей функции в некотором интервале вида δ δ > ; δ > ; lim lim ; при всех δ и при некотором 4 существует конечный или бесконечный предел при отношения / те lim / Тогда существует предел отношения и имеет место равенство lim lim / Д о к а з а т е л ь с т в о Можно считать что предел / при является конечным пределом и равен l поскольку если это не так то можно рассмотреть отношение Доопределим и в точке полагая Тогда функции и непрерывны в точке а слева Поскольку / l при для любого ε > существует δ δ ε ε > такое что при всех δ ε имеем Положим mi{ δ δ δ } / < ε l δ Тогда для каждого δ используя обобщенную теорему Коши получим

15 ТАБИГИЙ ИЛИМДЕР ЖУРНАЛЫ / ε < l l l где c δ Таким образом по определению предела l lim что и требовалось доказать Т е о р е м а Пусть: и определены и дифференцируемы по возрастающей функции в некотором интервале вида > δ δ ; lim lim ; при всех δ и при некотором > δ ; 4 существует конечный или бесконечный предел при отношения / те / lim Тогда существует предел отношения и имеет место равенство / lim lim Доказательство аналогично доказательству теоремы Т е о р е м а Пусть:

16 FEN BİLİMLERİ DERGİSİ и определены в некотором интервале > и дифференцируемы по возрастающей функции в этом интервале за исключением быть может точки ; lim lim ; при всех δ δ и при некотором δ > ; 4 существует конечный или бесконечный предел при отношения / те lim / Тогда существует предел отношения и имеет место равенство lim lim / Доказательство непосредственно вытекает из теоремы и Т е о р е м а 4 второе обобщенное правило Лопиталя; неопределенность вида при Пусть: и определены и дифференцируемы по возрастающей функции в интервале h δ h > ; при всех h ; при ; 4 существует конечный или бесконечный предел lim /

17 4 ТАБИГИЙ ИЛИМДЕР ЖУРНАЛЫ Тогда существует предел отношения и имеет место равенство lim lim / Д о к а з а т е л ь с т в о Очевидно что можно считать lim / l R те предел конечен Действительно если lim / то lim / И вместо того чтобы доказывать lim достаточно показать что lim Одновременно это будет означать что lim Будем считать что в некоторой полуокрестности h точки а выполняется неравенство и Это возможно поскольку при Пусть неравенство ε - любое число <ε </ Возьмем δ δ так чтобы / < ε l ε δ mi h h выполнялось для всех х из интервала δ Это возможно так как lim / l R

18 FEN BİLİMLERİ DERGİSİ 5 существует по условию Пусть х некоторая точка из этой окрестности Поскольку lim то найдется > ε δ δ такое что ε > δ Аналогично найдется > ε δ δ ε ε такое что ε > ε δ Пусть { } 4 mi δ δ δ δ { } / 4 4 I δ Тогда для любого I 4 в силу обобщенной теоремы Коши имеем / ε < l c c l где 4 I c Отсюда получим l l l l < / / ε Далее для тех же значений х будем иметь цепочку неравенств: / / ε ε A l l l Но так как α где ε α <

19 6 ТАБИГИЙ ИЛИМДЕР ЖУРНАЛЫ β где β < ε то α β αβ β ε 5 A 4ε Следовательно получаем l l 4ε ε 4 l 5 ε ε Положим ε δ ε δ 4 4 l 5 Тогда для любого ε ; 4 l 5 найдено ε δ δ ε δ 4 такое 4 l 5 что для любого δ выполняется неравенство l ε Это значит что lim l Теорема 4 доказана Т е о р е м а 5 Пусть: и определены и дифференцируемы по возрастающей функции в интервале h h > ; при всех h ; при ;

20 FEN BİLİMLERİ DERGİSİ 7 4 существует конечный или бесконечный предел lim / Тогда существует предел отношения функций и имеет место равенство lim lim / Доказательство аналогично доказательству теоремы 4 Т е о р е м а 6 второе обощенное правило Лопиталя; неопределенность вида при Пусть: и определены и дифференцируемы по возрастающей функции в области h h h > ; при всех h h ; ; при 4 существует предел отношения производных lim / Тогда предел отношения существует и равен lim lim / Доказательство непосредственно вытекает из теоремы 4 и 5 Замечание В теоремах и 4 условие можно заменить условием в теоремах и 5 условие можно заменить условием можно заменить на в теоремах и 6 условие и Пример Найти i lim 5

21 8 ТАБИГИЙ ИЛИМДЕР ЖУРНАЛЫ Решение Выбираем возрастающую функцию на R Тогда / и Лопиталя имеем 5 i lim 6/5 Поэтому по первому обощенному правилу 5 i lim / 6/5 lim 8 Обобщенная формула Тейлора / [ i ] 6/5 [ ] Пусть y дифференцируема - раз по в некоторой окрестности точки и существует Рассмотрим обобщенный многочлен Тейлора степени : q Λ!!! где Т е о р е м а Обобщенная формула Тейлора с оcтаточным членом в форме Пеано Пусть дифференцируема - раз по в некоторой окрестности точки и существует Тогда r ο при Д о к а з а т е л ь с т в о Применим первое обобщенное правило Лопиталя - r раз при к отношению α Получим r lim r lim r q Λ lim lim!! Далее имеем q

22 FEN BİLİMLERİ DERGİSİ 9 Отсюда [ ]! lim! lim lim q r α Другими словами α есть бесконечно малая функция при Следовательно r α те r ο Теорема доказана Т е о р е м а Обобщенная формула Тейлора с оcтаточным членом в общей форме Пусть - раз дифференцируемая функция по на интервале b Пусть и любые две точки из этого интервала Тогда для любого положительного существует точка с лежащая между и такая что! c c c r α α Напомним что!! Λ Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть > Определим число H равенством H Нам надо доказать что на интервале найдется точка с такая что! c c H α α Докажем это опираяь на обобщенную теорему Ролля Равенство определяющее число H можно записать так: α H

23 ТАБИГИЙ ИЛИМДЕР ЖУРНАЛЫ 4 Рассмотрим функцию ψ определенную на [ ] соотношением α ψ H Тогда очевидно ψ Кроме того имеем что ψ дифференцируема по на и непрерывна на [ ] Далее так как справедливо равенство то ψ Следовательно по обобщенной теореме Ролля на интервале производная ψ обращается в нуль в некоторой точке с те ψ при хс с Запишем ψ в развернутой форме:!! α α ψ H Λ Так как при имеем!!! то H! α ψ α Отсюда при c получаем! c c H α α Случай < доказывается аналогичным образом Теорема доказана Частные случаи обобщенной формулы Тейлора

24 FEN BİLİMLERİ DERGİSİ 4 Остаточный член в обобщенной форме Лагранжа α В этом случае r c! Остаток в обобщенной форме Коши α : c r c! c θ < θ < θ c/ Обобщенную формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано удобно использовать для вычисления пределов 9 Экстремумы Наша дальнейшая цель применение построенной теории к решению задач связанных с изучением поведения функций Одна из них задача отыскания локальных и глобальных экстремумов функций Ранее мы уже доказали ряд утверждений подобного типа Напомним их а заодно и некоторые понятия которые потребуются далее Точки в которых называются стационарными по Критерий неубывания на интервале b дифференцируемой функции по : для того чтобы функция не убывала на b необходимо и достаточно чтобы на b Критерий возрастания: для того чтобы функция возрастала на b необходимо и достаточно чтобы на b и кроме того ни на каком интервале b b 4 Для того чтобы функция возрастала достаточно чтобы > при всех b Т е о р е м а Пусть дифференцируема по в некоторой окрестности стационарной точки х те Тогда

25 4 ТАБИГИЙ ИЛИМДЕР ЖУРНАЛЫ если > слева от х j и < справа от х то х точка локального максимума функции ; если < слева от х и > справа от х то х точка локального минимума функции ; если имеет справа и слева от точки х один и тот же знак то х не является точкой экстремума Д о к а з а т е л ь с т в о По обобщенной теореме Лагранжа имеем c где точка с находится на интервале с концами х и х Из условия следует что c < Отсюда получим что < что и требовалось доказать Доказательство проводится аналогично Если > справа и слева от х то c < слева и c > справа Отсюда имеем < < при < < что и требовалось доказать < Случай рассматривается аналогично Т е о р е м а Пусть непрерывна в некоторой окрестности точки х и дифференцируема по в проколотой окрестности этой точки Если меняет знак на знак при переходе точки х слева направо то имеет локальный максимум если знак на знак то локальный минимум и если не меняет знак то локального экстремума нет Доказательство совершенно аналогично доказательству теоремы так как там мы нигде не пользовались существованием производной функции по в точке х х Т е о р е м а Пусть и существует Тогда если < то х точка локального максимума;

26 FEN BİLİMLERİ DERGİSİ 4 если > то х точка локального минимума Д о к а з а т е л ь с т в о Так как < то убывает в точке хх и поскольку то меняет знак с на при переходе через х слева направо Поэтому по теореме точка х является локальным максимумом > поэтому возрастает в точке х х Из теоремы тогда следует что х точка локального минимума Теорема доказана Т е о р е м а 4 Пусть k k Λ Тогда k если < то х точка локального максимума; k если > то х точка локального минимума Д о к а з а т е л ь с т в о При k утверждение следует из теоремы Пусть k> Выразим по обобщенной формуле Тейлора:! k k! Λ k k k! k Отсюда k c k k! k k k Так как < то убывает и следовательно меняет знак на при переходе через точку х а значит и меняет знак на - Поэтому х точка локального максимума Случай рассматривается аналогично Теорема доказана

27 ТАБИГИЙ ИЛИМДЕР ЖУРНАЛЫ 44 Производная по и интеграл Стильтьеса Т е о р е м а Пусть непрерывная функция на сегменте [b] и ] [ b t t F Тогда ] [ b t F где lim F F F lim b b b F b F b F Д о к а з а т е л ь с т в о По определению производной по имеем lim ] /[ lim t F ψ где ] /[ t ψ Отсюда учитывая что возрастающая функция на [b] получим ] /[ ω ω ψ где ω модуль непрерывности функции те up t t δ δ ω

28 FEN BİLİMLERİ DERGİSİ 45 Известно что limω δ Поэтому lim ψ lim ω Следовательно F Теорема доказана Т е о р е м а Обобщенная формула Ньютона-Лейбница Пусть непрерывная функция на [b] Тогда справедлива формула b b Д о к а з а т е л ь с т в о По определению интеграла Стильтьеса данный интеграл определяется как предел сумм S i ξ [ i i i где < < < Κ < b ξ i - произвольное число из [ i- i ] i В силу обобщенной теоремы Лагранжа имеем ] c [ ] i где c i [ i- i ] i Тогда в сумме S числа S i i i i ξ i заменяя c i имеем [ i i ] b i Отсюда переходя к пределу получим требуемую формулу Теорема доказана С л е д с т в и е Пусть - непрерывная функция на [b] Тогда справедлива формула

29 46 ТАБИГИЙ ИЛИМДЕР ЖУРНАЛЫ ò j [ b] Т е о р е м а Обобщенное правило интегрирования по частям Пусть и b - непрерывные функции на [b] Тогда справедлива формула b [ ] b Д о к а з а т е л ь с т в о Интегрируя по Стильтьесу правилу [ ] имеем требуемую формулу Дифференцируемые функции в R Пусть функция определена в некоторой окрестности точки R где Возрастающие непрерывные функции i i i определены в окрестности точки ı ı R Определение Приращением функции в точке называется разность - Разность называется приращением аргумента разность - называется приращением вектор-функции где Длина вектора обозначается через / / и равна ρ i i i Определение Линейная функция от приращения называется дифференциалом функции по в точке если приращение при можно представить в виде

30 FEN BİLİMLERİ DERGİSİ 47 ο Будем говорить что функции дифференцируема по в точке если существует дифференциал функции по в точке Лемма Если функция дифференцируема по в точке то она непрерывна в этой точке Д о к а з а т е л ь с т в о очевидно следует из того что приращение стремится к нулю при Поскольку - линейная функция ее можно записать в виде i A i i i где A ı некоторые вещественные числа и i i i i i i Если i i то ı i i Т е о р е м а Пусть дифференцируема по в точке тогда все координатные функции ψ ı i i дифференцируемы по i i в точках i i i причем ψ Ai i i i Д о к а з а т е л ь с т в о В формуле для приращения в точке через его дифференциал положим r r при r i Получим A i i i ο i i Тогда согласно определению функции ψ ı i будем иметь те - ψ ı i - ψ ı i A ψ ı i ο ψ ı i A ψ i i ψ i i ψ i lim i i i i i i i

31 48 ТАБИГИЙ ИЛИМДЕР ЖУРНАЛЫ Определение Производная ψ i i когда она существует называется i частной производной функции по i i в точке по i -й переменной и обозначается так: ψ i i i Следствие Дифференциал функции по в точке однозначно записывается в виде Доказательство очевидно i i Итакнеобходимым условием дифференцируемости функции по в точке является существование всех ее частных производных по i i в этой точке Теорема Пусть в некоторой окрестности точки существуют все ее частные производные i i непрерывны в точке и эти частные производные Тогда функция является дифференцируемой по в этой точке Д о к а з а т е л ь с т в о Только для краткости записи будем считатьчто Приращение y функции y в точке b можно записать так: y by-b by- by-by-b К каждой из двух разностей в скобках можно применить формулу обобщенных конечных приращений Лагранжа поскольку в рассматриваемой окрестности точки b функции y имеет непрерывные частные производные по и по y где и y возрастающие непрерывные функции Получим

32 FEN BİLİMLERİ DERGİSİ 49 η ξ b y b y где - by- b ξ η - некоторые постоянные <ξ η< Далее в силу непрерывности частных производных при и y имеем следующие соотношения: ο ξ b b ο η b y b Отсюда следует что ο b b y Поскольку Имеем ο ο y b b y те функция y дифференцируема в точке yb Теорема доказана Дифференциал сложной функции Теорема Пусть uu u m есть отображение из R в R m определенное в некоторой окрестности точки и дифференцируемое по в этой точке Пусть далее для всякого ε > при отображении u образ некоторой δ- окрестности δ содержится в ε-окрестности точки bu Пусть наконец для любой точки y bε определена числовая функция y которая является дифференцируемой в точке b

33 5 ТАБИГИЙ ИЛИМДЕР ЖУРНАЛЫ Тогда сложная функция hu является дифференцируемой по в точке причем имеют место равенства h u y y m u m Здесь частные производные по рассматриваются в точке а частные производные по y l l m в точке yb Д о к а з а т е л ь с т в о Ввиду дифференцируемости функции y в точке yb приращение функции при произвольном приращение аргумента yyb можно представить так: где m i o y yi y Но y y y m b b b m u y i u i -u i i ο Тогда учитывая формулу из имеем h m ui ο i y i Отсюда вытекает утверждение теоремы Теорема доказана Следствие Правила дифференцирования Справедливы следующие формулы: Cu C u C R; u±v u ± v;

34 FEN BİLİMLERİ DERGİSİ 5 uvu v v u; 4 u v v uu v v при v Д о к а з а т е л ь с т в о Ограничимся доказательством только свойства Пусть z zuv uv тогда z z z u v vu u u v Свойство доказано v Градиент Частные производные высших порядков Определение Вектор называется градиентом функции по в точке и обозначается так: r Пусть имеет в некоторой окрестности ε все первые частные производные Эти частные производные сами являются i i функциями от переменных и могут иметь частные производные те можно определить следующие величины r r r r Эти величины называются частными производными второго порядка по Если r то они называются смешанными производными Т е о р е м а Обобщенная теорема Шварца Пусть функция в некоторой окрестности точки имеет смешанные частные производные второго порядка u причем они непрерывны в точке эти производные равны между собой те r

35 5 ТАБИГИЙ ИЛИМДЕР ЖУРНАЛЫ Д о к а з а т е л ь с т в о Без ограничения общности можно считать что и Положим h h - h - h u h - Применяя дважды формулу обобщенных конечных приращений получим u h u u θh θ h θ h θ h h θ h где h - h - В силу непрерывности функции в точке х а имеем u h - u o С другой стороны u h - u v h - v где v h - Вновь применяя обобщенную теорему Лагранжа находим v h - v h θ h - θ h θ h θ h o Отсюда o o те получаем справедливость равенства

36 FEN BİLİMLERİ DERGİSİ 5 Теорема доказана Следствие Обобщенная теорема Шварца имеют место при > Д о к а з а т е л ь с т в о Надо зафиксировать все переменные кроме r и применить доказанную теорему к получившимся функциям Определение Функция называется дважды дифференцируемой по х в точке если все первые производные по х дифференцируемы по х Вообще функция называется раз дифференцируема по х если все частные производные -- го порядка по хявляются дифференцируемыми функциями по х Т е о р е м а Для того чтобы функция была m раз дифференцируема по х в точке достаточно чтобы все частные производные порядка m по х были непрерывны в этой точке Д о к а з а т е л ь с т в о проводится по индукции 4 Дифференциалы высших порядков Обобщенная формула Тейлора Пусть функция дважды дифференцируема по х в точке Зафиксируем приращение h h h Тогда получим новую функцию h определяемую выражением h Это дифференцируемая функция по х в точке и ее дифференциал равен те r r r h r r

37 ТАБИГИЙ ИЛИМДЕР ЖУРНАЛЫ 54 Положим теперь h Тогда получим r r r Это выражение называется вторым дифференциалом функции по в точке Аналогично определяется дифференциал k порядка k: r r r k k Очевидно это выражение можно символически записать так: k k где для получения развернутого выражения надо формально возвести выражение в скобках в степень как многочлен считая символы как бы независимыми переменными а затем к числителю выражения r k справа приписать Т е о р е м а Обобщенная формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано Пусть функция дифференцируема k раз по в точке Тогда при х стремящемся к а справедлива следующая формула P k r где! k k i k k r k P ο

38 FEN BİLİMLERİ DERGİSİ 55 Д о к а з а т е л ь с т в о Применим метод математической индукции по k При k утверждение теоремы следует из определения дифференциала функции по Предположим теперь что k> Из условия теоремы вытекает что функция rх в некоторой окрестности V точки имеет все производные до порядка k- включительно по Кроме того в точке ха сама функция rх и все ее частные производные по до k-го порядка включительно равны нулю Далее пусть U и - Тогда имеем rх rх - rа rа - rа D D где при величины D определены равенствами D r r - - Отсюда применяя обобщенную формулу Лагранжа к каждой величине D при некоторых ξ с условием <ξ < получим D ξ r где v - ξ Следовательно ν r r v Заметим что точка v U для каждого Поэтому к частным производным по в правой части последнего равенства можно применить предположение с заменой значения параметра k на k- Тогда при всех от до будем иметь r v Отсюда следует что Теорема доказана k ο k r ο

39 56 ТАБИГИЙ ИЛИМДЕР ЖУРНАЛЫ 5 Экстремум фунции многих переменных Определение Точка R называется точкой строгого локального максимума функции если существует ε-окрестность ε точки а такая что для любой точки х а и х ε имеем неравенство < ; если то точка а точка нестрогого максимума; если > то точка а точка строгого минимума; если то точка нестрогого минимума Строгие локальные максимумы и минимумы локальными экстремумами в точке в точке называются Т е о р е м а Необходимое условие экстремума Если а точка локального экстремума нестрогого функции и существует дифференциал по х ее в этой точке то для любого приращения х имеем или r Д о к а з а т е л ь с т в о Очевидно достаточно доказать что при выполняются равенства Рассмотрим функцию t tl где l направляющий вектор оси х Тогда ясно что t имеет в нуле точку локального экстремума откуда те Но так как t t

40 FEN BİLİMLERİ DERGİSİ 57 то это доказывает утверждение теоремы Определение Точка аа а в которой градиент функции по обращается в называется стационарной точкой функции Заметим что второй дифференциал функции по в точке ха R квадратичной формой от переменных Определение Стационарная точка а функции называется регулярной если в этой точке существует второй дифференциал и он является невырожденной квадратичной формой от переменных те определитель матрицы этой квадратичной формы отличен от нуля Т е о р е м а достаточное условие экстремума Пусть аа а есть регулярная стационарная точка функции те дифференциал этой функции по в точке а обращается в нуль и существует второй дифференциал по в этой точке с невырожденной квадратичной формой от переменных Тогда если в этой точке является положительно определенной квадратичной формой то в точке ха функция имеет локальный минимум; если в этой точке отрицательно определена то а точка локального максимума; если является неопределенной формой то точка а не является точкой локального экстремума Д о к а з а т е л ь с т в о Рассмотрим пункт Обозначим через А матрицу квадратичной формы от переменных А через S точек R с условием где - Множество S ограничено и является замкнутым так как совпадает со своей границей S и поэтому содержит эту границу Следовательно S компакт а потому на множестве Sа второй дифференциал как функция от достигает своего минимума m те найдется вектор e e такой что

41 ТАБИГИЙ ИЛИМДЕР ЖУРНАЛЫ 58 > m e Заметим что для любого вектора e e имеем e По обобщенной формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано получим ο ο m те найдетя ε> такое что для любой точки ε выполняется неравенство -> Первый пункт рассмотрен Пункт рассматривается аналогично Перейдем к третьему пункту В силу неопределенности квадратичной формы получим m < < M где i m u p M причем величина М достигается на векторе e e e а величина m на векторе e e e Тогда для параметра t имеем te M t t M t te te > ο ο ο m t te te < ο при t Здесь учитываются следующие равенства: i te te

42 FEN BİLİMLERİ DERGİSİ 59 Из последних двух неравенств следует что функция в любой окрестности точки принимает значения как большие так и меньшие те точка не является точкой локального экстремума Теорема доказана 6 Неявные функции Пусть заданы точка b - b R некоторая ее ε-окрестность и множество точек принадлежащих этой ε-окрестности и удовлетворяющих уравнению Определение Функция ψ зависящая от --й переменной и заданная в некоторой δ-окрестности точка называется неявной функцией соответствующей уравнению если для любой точки из этой δ-окрестности имеет место равенство Определение Функция называется гладкой по х в области х непрерывны Т е о р е м а теорема о неявной функции Пусть: функция ε-окрестности Ω точки b - b R ; ; ; 4

43 6 ТАБИГИЙ ИЛИМДЕР ЖУРНАЛЫ Тогда существует единственная функция некоторой δ-окрестности точки такая что: δ- ;!" Ω -# Ω b %# % m>! & $ $ h- b!' $!! ' # δ $ & $ % %! & $

44 6 -! % $% * # %! %!! " & #!! -#! * /% &

45 6 "456*78 9:8; - *# # $ # " $! <!># 8 : R R m /% ε-! " $#! /% #!" m $#? > #? k #

46 6 m!8 - m$# #J & $ Jk k m mm # J k k m ##!! &% # Jk k m $#? $ $ * $# # # $ A J %# # $#! /%mp p> %A < : R R m -# ; " A

47 64 ; "456*78 9:8; ; B% ' #? #!!6 # # $ #!8 %?!8$!/ A # " % $ #! $ % % $% m!/m # $ #!/ m-!* C!/ % Ω!A / % m-

48 65 /!*% * -!! > D#!'$%% k m km! * % # > %

49 66 "456*78 9:8; /k m * k m ' $%A *

50 67 " $!!!> %!! " $! "78":8! " I II #"-! $- %&' $ *! " # %- /!!4! " # 5* 67 6!8 %%%

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Подробнее

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1)

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1) 1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения (2006-2007, сем.1 1. Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел. 2. Сформулируйте определение

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Е Б Боронина Эта книга написана для студентов технических вузов желающих подготовиться к экзамену по математическому анализу Содержание данной книги полностью соответствует

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

). Частной производной функции f по переменной x k в точке x. ). Полным дифференциалом функции f

). Частной производной функции f по переменной x k в точке x. ). Полным дифференциалом функции f ГЛАВА 7 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 1 Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных Опр711 Пусть М (, y ), : O(М, ) Рассмотрим функцию 1 = 1 ()=

Подробнее

«Математический анализ»

«Математический анализ» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени НЭ БАУМАНА Билеты для сдачи экзамена по курсу «Математический анализ» МГТУ имени НЭ Баумана МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3 Лекции 56 Глава 6 Производная функции 6 Понятие производной Пусть функция определена и непрерывна на некотором промежутке X Взяв значение X придадим аргументу приращение так что и новое значение не выходит

Подробнее

Тема 1. Предел и непрерывность функции

Тема 1. Предел и непрерывность функции Уметь: Тема 1. Предел и непрерывность функции Вычислять пределы функций и числовых последовательностей, используя различные приемы, в том числе, замечательные пределы, проводить сравнение бесконечно малых

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

{ теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа теорема о среднем значении - геометрическое истолкование теоремы о среднем -

{ теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа теорема о среднем значении - геометрическое истолкование теоремы о среднем - { теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа теорема о среднем значении - геометрическое истолкование теоремы о среднем - теорема Коши - формула конечных приращений - правило Лопиталя

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

1. Производная ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 1. Основные определения

1. Производная ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 1. Основные определения ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Производная. Основные определения Определение. Производной функции y = f (x) в точке x 0 называется предел отношения приращения этой функции y в точке

Подробнее

Лекция Исследование функции и построение ее графика

Лекция Исследование функции и построение ее графика Лекция Исследование функции и построение ее графика Аннотация: Функция исследуется на монотонность, экстремум, выпуклость-вогнутость, на существование асимптот Приводится пример исследования функции, строится

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП

Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП Лектор Рожкова С.В. 1 г. 18. Формула Тейлора для ФНП Если y = раз дифференцируема в окрестности

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания для самостоятельной работы студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу Министерство образования Российской федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра дискретного анализа Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2).

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2). Лекция подготовлена доц Мусиной МВ Непрерывность функции Пусть функция y = f(x) определена в точке x и в некоторой окрестности этой точки Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x, если существует

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Простейшие задачи вариационного исчисления

Простейшие задачи вариационного исчисления Глава VI. Простейшие задачи вариационного исчисления 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве Опр. 6. 1. Функционалом J[y] в линейном нормированном пространстве E называется закон соответствия,

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

lim lim arctg x~ 1 cos x ~ (1 x) ~1 m Лекция ( ) Предел функции (продолжение) lim f(x) = b, то f(x) = b +

lim lim arctg x~ 1 cos x ~ (1 x) ~1 m Лекция ( ) Предел функции (продолжение) lim f(x) = b, то f(x) = b + Предел функции (продолжение) Лекция (..) Теорема (о связи функции, ее предела и бесконечно малой). Если, где б.м. при a. Доказательство. Пусть б.м. при +. f( = b, то f( = b + f ( = b. Рассмотрим функцию

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Лекция 5. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ На практике существуют задачи оптимизации, в которых критерий качества зависит от функции, определить которую необходимо

Подробнее

Тема: Условные экстремумы ФНП

Тема: Условные экстремумы ФНП Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Условные экстремумы ФНП Лектор Рожкова СВ 212 г 21 Условные экстремумы ФНП ОПРЕДЕЛЕНИЕ Условным экстремумом функции n переменных u = 1

Подробнее

13. Частные производные высших порядков

13. Частные производные высших порядков 13. Частные производные высших порядков Пусть = имеет и определенные на D O. Функции и называют также частными производными первого порядка функции или первыми частными производными функции. и в общем

Подробнее

Лекция 13. Выпуклые функции и формула Тейлора 1 Выпуклые и вогнутые C 2 -гладкие функции.

Лекция 13. Выпуклые функции и формула Тейлора 1 Выпуклые и вогнутые C 2 -гладкие функции. Лекция 13. Выпуклые функции и формула Тейлора 1 Выпуклые и вогнутые C -гладкие функции. Определение 1 Функция называется выпуклой (вогнутой), если ее надграфик (подграфик) выпуклая область. Пример 1 x

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Практикум: «Формула Тейлора». Если функция f (x)

Практикум: «Формула Тейлора». Если функция f (x) Практикум: «Формула Тейлора» Если функция f () имеет производные до (п +)-го порядка включительно в интервале ( 0, 0 ), 0, то для всех х из этого интервала справедлива формула Тейлора (порядка п) ( ) f

Подробнее

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 214, том 5, 6, с. 726 744 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УДК 517.925.52+519.218 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УЧЕБНИК В 2 частях Часть 1 3-е издание, переработанное и дополненное Под редакцией

Подробнее

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает.

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает. Лекции 7-9 Глава 7 Исследование функции 7 Возрастание и убывание функции Теорема о монотонности функции Если f ( на промежутке ( a ; b, то на этом промежутке функция f ( возрастает Если f ( на промежутке

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению.

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению. ЛЕКЦИЯ N. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремумы функции многих переменных. Условный экстремум.. Скалярное поле. Производная по

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Лекция 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Тема: Элементарная кривая Касательная Длина кривой План лекции Понятие и способы задания элементарной кривой Вектор-функция одного переменного Касательная к кривой

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

13. Экспонента и логарифм

13. Экспонента и логарифм 13. Экспонента и логарифм Для завершения доказательства предложения 12.8 нам остается дать одно определение и доказать одно предложение. Определение 13.1. Ряд a i называется абсолютно сходящимся, если

Подробнее

Лекция 3. Производная по направлению

Лекция 3. Производная по направлению Лекция 3. Производная по направлению Производная по направлению имеет большое значение в теории математического программирования. Напомним, что производная по направлению согласно определению равна: f

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N21. Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков.

ЛЕКЦИЯ N21. Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков. ЛЕКЦИЯ N Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков Полный дифференциал Частные дифференциалы Частные производные высших порядков Дифференциалы высших порядков 4Производные

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков 1 Лекция 7 Производные и дифференциалы высших порядков Аннотация: Вводится понятие дифференцируемой функции, дается геометрическая интерпретация первого дифференциала и доказывается его инвариантность

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

7. Экстремумы функций нескольких переменных

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n ) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Подробнее

Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. a, монотонно

Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. a, монотонно Функция Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. f на интервале b не убывает, если f f ; не возрастает, если f f ; a, монотонно строго возрастает, если f f

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

9 Дифференцирование неявных функций

9 Дифференцирование неявных функций 80 9 Дифференцирование неявных функций Пусть функция = f задана уравнением F (, )= 0 В этом случае говорят, что функция задана неявно Для нахождения производной считаем, что в уравнении зависит от,иначе

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. называется функцией двух переменных xy,, если каждой паре значений x, Область определения. D - замкнутая область

~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. называется функцией двух переменных xy,, если каждой паре значений x, Область определения. D - замкнутая область ~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3 Функция двух переменных, область определения, способы задания и геометрический смысл. Определение: z f, называется функцией двух переменных,, если каждой паре значений,

Подробнее

Новосибирский государственный университет Кафедра математического анализа

Новосибирский государственный университет Кафедра математического анализа БИЛЕТ 1 «3» Определение первообразной «3» Теорема 11 (об интегрируемости кусочно непрерывной функции) «3» Пример (гармонический ряд расходится) «3» Пример ( 1/n 2 сходится) «3» Теорема 6 (интегральный

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

15. Символы o и O, теорема о среднем, формула Тейлора

15. Символы o и O, теорема о среднем, формула Тейлора 15. Символы o и O, теорема о среднем, формула Тейлора Начнем эту лекцию с того, что введем два часто используемых в анализе обозначения. Именно: пусть f и g две функции переменной x, обе стремящиеся к

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

6.1 Определения, предварительные сведения

6.1 Определения, предварительные сведения 6. Неявные функции 6.1 Определения, предварительные сведения Зависимость одной переменной от другой (или от других) не обязательно может быть выражена при помощи так называемого явного представления, когда

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b Лекция 1 6 Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала [ ] (,, ) V = F x x при условии, что = A, = B Необходимое

Подробнее

Предел. Непрерывность.

Предел. Непрерывность. Функция. 1 1. Какие числа образуют множество действительных чисел? 2. Что называется числовой осью? 3. Что называется интервалом? 4. Определить понятие окрестности точки. 5. Что называется абсолютной величиной?

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Тема: Криволинейный интеграл II рода

Тема: Криволинейный интеграл II рода Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл II рода Лектор Пахомова Е.Г. 2013 г. 10 10. Криволинейный Криволинейный интеграл интеграл II II рода рода по по координатам

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 9. Экстремумы

С.А. Лавренченко. Лекция 9. Экстремумы 1 СА Лавренченко Лекция 9 Экстремумы 1 Определения и примеры Определение 11 Говорят, что функция имеет (или достигает) абсолютный максимум в точке, если для всех из области определения Значение называется

Подробнее

Построение графиков функций

Построение графиков функций Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции:

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. 0 Определения и формулировки из программы 1-го семестра

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. 0 Определения и формулировки из программы 1-го семестра ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 курс, 2 семестр) Жирным шрифтом ниже выделены (за исключением названий разделов) важнейшие понятия этого семестра 0 Определения и формулировки из программы

Подробнее