Однородные разностные схемы. Консервативность.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Однородные разностные схемы. Консервативность."

Транскрипт

1 Однородные разностные схемы. Консервативность. Достаточно часто на практике встречаются задачи, которые содержат дифференциальные операторы с переменными коэффициентами. При построении разностных схем для таких задач нужно быть особенно внимательным при исследовании аппроксимации. Если коэффициенты в уравнении негладкие или даже разрывные, то решение уравнения будет обобщенным. Разностные операторы, обладающие определенным порядком аппроксимации на гладкой функции, допускающей разложение в ряд Тейлора, на обобщенном решении могут этого порядка аппроксимации и не иметь. Поэтому одна и та же схема для задачи определенного класса может аппроксимировать задачу в случае гладкого решения и не аппроксимировать в случае обобщенного решения. При решении задач с разрывными коэффициентами конечно-разностными методами возможно несколько подходов. Один из них заключается в том, чтобы явным образом прописать на сетке условия сопряжения. При этом узлы сетки должны попадать на линии разрывов коэффициентов. Второй подход состоит в написании так называемых однородных разностных схем или схем сквозного счета, вид которых остается неизменным для задач рассматриваемого класса независимо от того, являются ли коэффициенты в уравнениях непрерывными гладкими функциями или нет. При этом особую роль играет консервативность схемы. Схема называется консервативной, если она отражает на сетке те же законы сохранения, которые присутствовали в исходной дифференциальной задаче. Стационарное уравнение теплопроводности на отрезке В качестве первого примера рассмотрим краевую задачу для стационарного уравнения теплопроводности на отрезке: (u (x)) q(x)u(x) = f(x), u(0) = g, u(l) = g 2, x (0, l), (.)

2 > 0, q(x) 0, f(x) известные функции, g 0, g 2 0 заданные числа. Если функция является непрерывно-дифференцируемой, а функции q(x) и f(x) непрерывными на [0, l], то задача (.) имеет классическое решение. В противном случае можно говорить только об обобщенном решении задачи. Если функция имеет разрыв первого рода в точке x 0 (0, l), то в этой точке должны выполняться условия сопряжения [u] x=x0 = 0, [ku ] x=x0 = 0, квадратными скобками обозначен скачок функции: [u] x=x0 = lim u lim u. x x 0 +0 x x 0 0 Если функция непрерывно-дифференцируема, то задачу (.) можно переписать в следующем эквивалентном виде: ku + k u qu = f, x (0, l), u(0) = g, u(l) = g 2. Введем на отрезке [0, l] равномерную сетку: x n = nh, n = 0,,..., N, h = l N, и построим для задачи (.2) следующую разностную схему: k n y n+ 2y n + y n h 2 y 0 = g, y N = g 2. + k n+ k n 2h y n+ y n 2h q n y n = f n, n =, 2,..., N, (.2) (.3) На гладком решении схема (.3) аппроксимирует задачу (.) со вторым порядком погрешности аппроксимации. Переписывая схему (.3) в виде y 0 = g, ( kn h k ) ( ) ( n+ k n 2kn y 2 h 2 n h + q kn 2 n y n + h + k ) n+ k n y 2 h 2 n+ = f n, n =,..., N y N = g 2, мы получаем систему с трехдиагональной матрицей, которая может быть решена методом прогонки. Рассмотрим частный случай задачи (.). Пусть = +x 2, q(x) 0, f(x) = 2x. При этом точное решение задачи имеет вид: u(x) = g x + (g 2 g + l) arctg(x) arctg(l) 2

3 График аналитического решения, а также результаты численного решения задачи по схеме (.3) в случае g =, g 2 = 0.5, l = при N = 00 и N = 000 приведены на рис. -3. Рис. : Аналитическое решение задачи (.) при = + x 2, q(x) 0, f(x) = 2x, g =, g 2 = 0.5, l = Рис. 2: Численное решение задачи (.) по схеме (.3) и его погрешность при N = 00 Рис. 3: Численное решение задачи (.) по схеме (.3) и его погрешность при N = 000 С уменьшением шага сетки численное решение стремится к аналитическому. 3

4 Рассмотрим теперь случай, когда функция имеет разрыв первого рода в точке x 0 : k (x), x [0, x 0 ), = k 2 (x), x (x 0, l], k (x) и k 2 (x) непрерывно-дифференцируемые функции при x [0, x 0 ] и x [x 0, l] соответственно, причем k (x 0 ) k 2 (x 0 ). Задачу (.) в этом случае можно записать в следующем эквивалентном виде: k u + k u qu = f, x (0, x 0 ), k 2 u 2 + k 2u 2 qu 2 = f, x (x 0, l), u (0) = g, u 2 (l) = g 2, u (x 0 ) = u 2 (x 0 ), k 2 (x 0 )u 2(x 0 ) = k (x 0 )u (x 0 ). (.) Построим для задачи (.) разностную схему с учетом условий сопряжения. Введем сетку, один из узлов которой обязательно попадает в точку x 0 : x n = nh, n = 0,,..., N, N h = x 0 h = x 0 N, x n = x 0 + (n N )h 2, n = N +,..., N, x 0 + (N N )h 2 = l h 2 = l x 0 N N. Если мы хотим, чтобы при x x 0 и при x > x 0 шаги сетки были приблизительно равны, то можно потребовать выполнения условия: откуда получаем x 0 N l x 0 N N, ( ) (l x0 )N N = N + round. (.5) Следовательно, число N интервалов сетки на отрезке [0, x 0 ] можно задавать произвольно, а полное число N интервалов сетки на отрезке [0, l] находить по формуле (.5). вид: Простейшая разностная схема, учитывающая условия сопряжения в точке x 0, имеет kn y n+ 2y n + y n + k n+ kn y n+ y n q h 2 n y n = f n, n =, 2,..., N, 2h 2h x 0 k N y N y N h = k 2 N y N + y N h 2, kn 2 y n+ 2y n + y n + k2 n+ kn 2 y n+ y n q h 2 n y n = f n, N +,..., N, 2 2h 2 2h 2 y 0 = g, y N = g 2, (.6)

5 k n = k (x n ) и k 2 n = k 2 (x n ). Система (.6) является системой с трехдиагональной матрицей: y 0 = g, A n y n C n y n + B n y n+ = F n, n =,..., N, y N = g 2, (.7) A n = B n = kn h 2 k n+ kn, n =, 2,..., N h 2, k n h, n = N, kn 2 h 2 2 kn h 2 k2 n+ kn 2, n = N h 2 +,..., N, 2 + k n+ kn, n =, 2,..., N h 2, k 2 n h 2, n = N, C n = 2k n h 2 kn 2 h q n, n =, 2,..., N, k n h + k2 n h 2, n = N, + k2 n+ kn 2, n = N h 2 +,..., N, 2 f n, n =, 2,..., N, F n = 0, n = N, 2k 2 n h q n, n = N +,..., N, f n, n = N +,..., N. Систему (.7) можно решить методом прогонки. Рассмотрим частный случай: f(x) 0, q(x) 0, k k 2 константы, g =, g 0 = 0, l =. Задача (.) принимает в этом простейшем случае вид u = 0, x (0, x 0 ) (x 0, ), u(0) =, u() = 0, [u] x0 = 0, k 2 u x0 +0 = k u x0 0. Ее решением является кусочно-линейная функция α 0 x, x [0, x 0 ], u(x) = β 0 ( x), x [x 0, ], (.8) 5

6 коэффициенты α 0 и β 0 которой можно найти из условий сопряжения: α 0 x 0 = β 0 ( x 0 ) k α 0 = k 2 β 0 β 0 = κα 0 α 0 = κ( x 0 ) + x 0 = κ + ( κ)x 0, κ = k k 2. График аналитического решения задачи, а также результаты расчетов по схеме (.6) для x 0 = приведены на рис Рис. : Аналитическое решение задачи (.8) Рис. 5: Численное решение задачи (.8) по схеме (.) и его погрешность при N = 0, N = 30 Попробуем теперь построить для рассматриваемой задачи схему сквозного счета без явного учета условий сопряжения в точке x 0. Результаты расчетов по схеме (.3), сходящейся в случае задачи с непрерывно-дифференцируемыми коэффициентами, приведены на рис С уменьшением шага сетки погрешность численного решения не уменьшается. Это означает, что в случае использования схемы (.3) для задачи с разрывным коэффициентом численное решение не сходится к аналитическому. Причина этого заключается 6

7 Рис. 6: Численное решение задачи (.8) по схеме (.3) и его погрешность при N = 00 Рис. 7: Численное решение задачи (.8) по схеме (.3) и его погрешность при N = 000 в том, что схема (.3) нарушает закон сохранения тепла, то есть является неконсервативной. Можно показать (см. приложение), что функция ũ(x), к которой стремится решение системы (.3) при h 0, удовлетворяет краевой задаче: ũ = 0, x (0, x 0 ) (x 0, ), ũ(0) =, ũ() = 0, [ũ] x0 = 0, k 2 ũ x0 +0 k ũ x0 0 = ξ, ξ 0 мощность источника или стока тепла при x = x 0. Мощность этого фиктивного источника или стока тепла обращается в 0 только при k = k 2. 2 Интегро-интерполяционный метод (метод баланса) построения консервативных разностных схем Рассмотрим один из методов построения консервативных схем на примере краевой 7

8 задачи для стационарного уравнения теплопроводности: (u (x)) q(x)u(x) = f(x), u(0) = g, u(l) = g 2. x (0, l), (2.) Уравнение (2.) может быть получено из интегрального уравнения баланса, которое на любом отрезке [a, b], 0 < a < b < l, имеет вид: b b W (a) W (b) q(x)u(x) + f(x) = 0. (2.2) a a Здесь W (x) = u (x) плотность потока тепла. Введем на равномерной сетке x n = nh, n = 0,,..., N, Nh = l промежуточные, так называемые потоковые, узлы x n±0.5 = x n ±0.5h и запишем уравнение баланса (2.2) на отрезке [x n 0.5, x n+0.5 ]: W n 0.5 W n+0.5 n+0.5 x n 0.5 q(x)u(x) + n+0.5 Предположим, что u(x) y n = const при x n 0.5 x x n+0.5. Тогда x n 0.5 f(x) = 0. (2.3) n+0.5 x n 0.5 q(x)u(x) hy n d n, (2.) d n = h x n+0.5 q(x). x n 0.5 Найдем значения W n 0.5 и W n+0.5. Для этого проинтегрируем равенство u (x) = W (x) на отрезке [x n, x n ]: u n u n = Предполагая, что W (x) W n 0.5 при x n x n 0.5 x x n+0.5, получим: x n W (x). x x n, и учитывая, что u(x) y n при y n y n W n 0.5 x n y n y n W n 0.5 a n, (2.5) h 8

9 Аналогично получаем a n = h x n. y n+ y n W n+0.5 b n, (2.6) h b n = h n+ x n Подставляя выражения (2.), (2.5) и (2.6) в уравнение (2.3) и вводя обозначение:. ϕ n = h x n+0.5 f(x), x n 0.5 получим консервативную разностную схему, выражающую на сетке закон сохранения тепла: ( ) y n+ y n y n y n b n a n d n y n = ϕ n, n =, 2,..., N, h h h y 0 = g, y N = g 2. (2.7) Интегралы, с помощью которых вычисляются коэффициенты a, b, d и ϕ, представляют собой так называемые шаблонные функционалы. Их вид не меняется в зависимости от того, являются функции, q(x) и f(x) непрерывными или нет. Разностная схема (2.7) аппроксимирует уравнение (2.) при достаточной гладкости решения u(x) с порядком O(h 2 ). Если коэффициенты уравнения (2.) являются гладкими функциями, то с точностью до O(h 2 ). a n = k(x n 0.5 ), b n = k(x n+0.5 ), d n = q(x n ), ϕ n = f(x n ). Интегро-интерполяционный метод можно использовать для аппроксимации нестационарных уравнений, а также граничных условий. Также его можно использовать для построения консервативных разностных схем на неравномерных сетках. 9

10 3 Пример использования метода баланса Проиллюстрируем схему (2.7) на примере задачи (ku ) = 0, x (0, x 0 ) (x 0, ), u(0) =, u() = 0, [u] x0 = 0, k 2 u x0 +0 = k u x0 0, (3.) k, x [0, x 0 ), = k 2, x (x 0, ], k = const, k 2 = const, k k 2. Введем в области [0, ] произвольную равномерную сетку с шагом h, не заботясь о том, чтобы какой-то ее узел обязательно попал в точку x 0. Коэффициенты d n и правые части ϕ n уравнений системы (2.7) в данном случае равны нулю при всех n, то есть схема принимает вид: ( ) y n+ y n y n y n b n a n = 0, n =, 2,..., N, h h h y 0 =, y N = 0. Найдем коэффициенты a n и b n. Если x n+ x 0, то a n = x n = h h Если x n x 0, то Если x 0 [x n, x n+ ], то b n = h a n = h b n = h a n = h x n n+ x n x n n+ x n x n = h = h = h = h 0 x n n+ x n x n n+ x n x n k k k 2 k 2 k = k, = k. = k 2, = k 2. = k,

11 b n = h n+ x n Если x 0 [x n, x n ], то a n = h x n = h = h x 0 x n x 0 x n k + b n = h n+ x 0 k + x 0 n+ x n k 2 k 2 ( x0 x n = h + x ) n+ x 0. k k 2 ( x0 x n = h + x ) n x 0, k k 2 = k 2. Результаты расчетов по схеме (2.7) с указанными выше коэффициентами приведены на рис. 8. Рис. 8: Численное решение задачи (3.) по консервативной схеме (2.7) и его погрешность при N = 00 Задания для самостоятельного решения Поставьте начально-краевую задачу о малых продольных колебаниях упругого стержня длины l (x [0, l]) постоянного поперечного сечения, считая деформацию поперечных сечений пренебрежимо малой. Плотность массы стержня равна ρ(x), модуль упругости равен E(x), концы стержня закреплены неподвижно. Пусть колебания стержня вызваны начальным продольным смещением u(x, 0) = ϕ(x), а начальная скорость равна нулю. Реализуйте численное решение задачи с помощью неконсервативной схемы и консервативной схемы, построенной методом баланса, и сравните результаты с точным решением задачи.

12 ) Стержень состоит из двух состыкованных в точке x 0 (0, l) стержней со следующими параметрами: ρ, x [0, x 0 ), ρ(x) = ρ 2, x (x 0, l], E, x [0, x 0 ), E(x) = E 2, x (x 0, l], ρ i, E i константы, а начальное отклонение стержня имеет вид: sin(λ () x/a ) sin(λ () x 0 /a ), x [0, x 0], ϕ(x) = sin(λ () (l x)/a 2 ) sin(λ () (l x 0 )/a 2 ), x [x 0, l], a 2 i = E i ρ i, а λ () первый положительный корень уравнения: ( ) λ ρ E tg (x 0 l) = ( ) λ ρ 2 E 2 tg x 0. a 2 a 2) Плотность стержня и модуль упругости имеют вид: а начальное отклонение равно: ρ(x) = ρ 0 (L x) 2, E(x) = E 0 (L x) 2, L > l, ϕ(x) = πx sin L x l. 2

13 5 Приложение Покажем, что решение разностной схемы в случае, когда k n y n+ 2y n + y n h 2 y 0 =, y N = 0 + k n+ k n 2h y n+ y n 2h k, x [0, x 0 ), = k 2, x (x 0, ], = 0, n =, 2,..., N, (5.) k и k 2 константы, а точка x 0 не попадает ни в один из узлов сетки, сходится к кусочно-линейной функции ũ(x), удовлетворяющей задаче ũ = 0, x (0, x 0 ) (x 0, ), ũ(0) =, ũ() = 0, [ũ] x0 = 0, k 2 ũ x0 +0 k ũ x0 0 = ξ. Если x 0 не попадает ни в один из узлов сетки, то найдется такой внутренний узел x n0, что x 0 = x n0 + θh, θ (0, ). При n =, 2,..., n 0 справедливы равенства k n = k n = k n+ = k, и разностное уравнение (5.) принимает вид: y n+ 2y n + y n = 0. Аналогичный вид уравнение (5.) имеет при n = n 0 + 2,..., N, так как при этом k n = k n = k n+ = k 2. Следовательно, y n является кусочно-линейной функцией: αx n, n = 0,,..., n 0, y n = β( x n ), n = n 0 +,..., N. (5.2) Коэффициенты α и β найдем, подставляя выражение (5.2) в уравнение (5.) при n = n 0 и n = n 0 +. Уравнение (5.) при этом удобно переписать в виде b n = k n + k n+ k n b n y x a n y x = 0,, a n = k n k n+ k n. Учитывая, что x n0 = x 0 θh и x n0 + = x 0 + ( θ)h, при n = n 0 получаем: 0 = b n0 (y n0 + y n0 ) a n0 (y n0 y n0 ) = 3

14 = b n0 [β( x n0 +) ( αx n0 )] a n0 (( αx n0 ) ( αx n0 )) = = b n0 [β( (x 0 + ( θ)h)) ( α(x 0 θh))] + a n0 αh = = βb n0 ( x 0 ( θ)h) + α(a n0 h + b n0 (x 0 θh)) b n0. b n0 = k n0 + k n 0 + k n0 a n0 = k n0 k n 0 + k n0 При n = n 0 + имеет место равенство: = k + k2 k = k k2 k = 3k + k 2, = 5k k 2. 0 = b n0 +(y n0 +2 y n0 +) a n0 +(y n0 + y n0 ) = b n0 + [β( x n0 +2) β( x n0 +)] a n0 + [β( x n0 +) ( αx n0 )] = βb n0 +h a n0 + [β( x 0 ( θ)h) ( α(x 0 θh))] = = β [b n0 +h + a n0 +( x 0 ( θ)h)] αa n0 +(x 0 θh) + a n0 +, b n0 + = k n0 + + k n 0 +2 k n0 a n0 + = k n0 + k n 0 +2 k n0 = k 2 + k2 k = k 2 k2 k = 5k2 k, = 3k2 + k. Решим систему для коэффициентов α и β: βb n0 ( x 0 ( θ)h) + α(a n0 h + b n0 (x 0 θh)) = b n0, β [b n0 +h + a n0 +( x 0 ( θ)h)] + αa n0 +(x 0 θh) = a n0 +. (5.3) Пусть κ = k k 2. Тогда a n 0 b n0 = 5κ 3κ + и b n 0 + a n0 + = 5 κ, и система (5.3) упрощается: 3 + κ β( x 0 ( θ)h) + α(λh + x 0 θh) =, β [ ] 5 κ 3 + κ h + x 0 ( θ)h + α(x 0 θh) =, λ = 5κ. Вычитая из первого уравнения второе, получаем: 3κ + αλh β 5 κ 3 + κ h = 0 β = µα, µ = λ 3 + κ. Подставляя найденное β, например, в первое уравнение системы, получаем: 5 κ α = (µ + ( µ)x 0 + h(λ θ ( θ)µ)).

15 С помощью интерполяции доопределим функцию y n, заданную выражением (5.2) в узлах сетки, на всем отрезке 0 x. В результате получим функцию ỹ(x, h) непрерывно меняющегося аргумента x, заданную при x [0, ], причем: ỹ(x n, h) = y n. Перейдем к пределу при h 0: lim ỹ(x, h) = ũ(x) = h 0 Точное решение задачи имеет вид ᾱ 0 = lim h 0 α = (µ + ( µ)x 0 ), ᾱ 0 x, x [0, x 0 ], β 0 ( x), x [x 0, ], β0 = lim h 0 β = µᾱ 0. (u (x)) = 0, x (0, x 0 ) (x 0, ), u(0) =, u() = 0, [u] x=x0 = 0, [ku ] x=x0 = 0 α 0 x, x [0, x 0 ], u(x) = β 0 ( x), x [x 0, ], α 0 = κ + ( κ)x 0, β 0 = κα 0. (5.) (5.5) Функция ũ(x) совпадает с решением задачи (5.5) тогда и только тогда, когда ᾱ 0 = α 0 и β 0 = β 0. Следовательно, схема (5.) сходится к решению задачи (5.5), если выполнены равенства: κ + ( κ)x 0 = µ + ( µ)x 0 (µ κ)( x 0 ) = 0 µ = κ, так как x 0 <. Пользуясь выражением для µ, получаем: 0 = κ 5κ 3κ κ ( κ) 3 = 3 }{{ 5 κ } (3κ + )(5 κ), µ откуда следует, что ũ(x) и u(x) совпадают лишь при κ =, то есть при k = k 2. Причина этого заключается в неконсервативности схемы (5.), нарушающей закон баланса тепла. В самом деле, функция ũ(x), к которой сходится решение схемы (5.) при стремлении шага сетки к нулю, представляет собой решение задачи: (ũ (x)) = 0, x (0, x 0 ) (x 0, ), ũ(0) =, ũ() = 0, [ũ] x=x0 = 0, [kũ ] x=x0 = k 2 β0 + k ᾱ 0 = ᾱ 0 (µ κ)k 2 = ξ, 5

16 ξ мощность точечного источника или стока тепла при x = x 0, причем ξ ± при κ 5 ± 0. 6

1) Схема переменных направлений

1) Схема переменных направлений 4. Экономичные разностные схемы Схемы применяемые для решения многомерных задач и сочетающие в себе достоинства явных и неявных схем называются экономичными. Экономичная разностная схема: )является безусловно

Подробнее

4. Экономичные разностные схемы.

4. Экономичные разностные схемы. 4. Экономичные разностные схемы. Схема переменных направлений. Схемы применяемые для решения многомерных задач и сочетающие в себе достоинства явных и неявных схем называются экономичными. Экономичная

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы. Рассмотрим несколько вариантов разностной аппроксимации линейного уравнения колебаний:

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. 1 Разностная аппроксимация уравнения теплопроводности Рассмотрим различные варианты разностной

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы.

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. 1 Разностная аппроксимация уравнения теплопроводности Рассмотрим различные варианты разностной

Подробнее

Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае

Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае Для многомерных уравнений колебаний можно составить аналог схемы «крест» и неявной схемы. При этом явная схема «крест» так же, как и в одномерном

Подробнее

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса.

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Для численного решения нелинейных задач в различных ситуациях используют как линейные, так и нелинейные схемы. Устойчивость соответствующих

Подробнее

1 Метод переменных направлений для уравнения теплопроводности

1 Метод переменных направлений для уравнения теплопроводности Экономичные разностные схемы для многомерных задач математической физики. Схема переменных направлений для начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в прямоугольнике. Как уже было показано

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

Экономичные разностные схемы для многомерных задач математической физики

Экономичные разностные схемы для многомерных задач математической физики Экономичные разностные схемы для многомерных задач математической физики Как известно, явные схемы, в которых оператор, содержащий производные по пространственным координатам, аппроксимируется на слое,

Подробнее

Численные методы Тема 2. Интерполяция

Численные методы Тема 2. Интерполяция Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Подробнее

Понятие разностной схемы. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость.

Понятие разностной схемы. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость. Понятие разностной схемы. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений

Подробнее

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход.

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход. Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Устойчивость решения задачи Коши по начальным данным и правой части Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области

Подробнее

Методы решения сеточных уравнений

Методы решения сеточных уравнений Методы решения сеточных уравнений 1 Прямые и итерационные методы В результате разностной аппроксимации краевых задач математической физики получаются СЛАУ, матрицы которых обладают следующими свойствами:

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 10 ПОСТРОЕНИЕ СПЛАЙНОВ

ЛЕКЦИЯ 10 ПОСТРОЕНИЕ СПЛАЙНОВ ЛЕКЦИЯ 10 ПОСТРОЕНИЕ СПЛАЙНОВ На прошлой лекции было доказано, что интерполяционные многочлены в форме Лагранжа и Ньютона эквивалентны. Были введены функция Лебега и константа Лебега. Было показано, что

Подробнее

Об однородных разностных схемах

Об однородных разностных схемах Доклады Академии наук СССР Том 4 958 А Н Тихонов А А Самарский Об однородных разностных схемах В статье [] была поставлена задача об отыскании разностных схем пригодных для единообразного решения дифференциальных

Подробнее

Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода

Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода Метод разделения переменных применяется для решения линейных однородных уравнений с линейными однородными граничными условиями вида α 0, β0, 0,

Подробнее

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧИСЛЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ В настоящем разделе рассмотрены задачи приближения функций с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона с использованием сплайн интерполяции

Подробнее

Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè

Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Задача о нагреве стержня, вывод уравнения теплопроводности. Краевые условия. Метод Фурье решения уравнения теплопроводности для бесконечного стержня.

Подробнее

1. Основные уравнения математической физики

1. Основные уравнения математической физики 1. Основные уравнения математической физики В математической физике возникают самые разнообразные дифференциальные уравнения, описывающие различные физические процессы. Целью нашего курса является изучение

Подробнее

20. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений

20. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений Варианты заданий 0. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений 0.1. Постановка задачи Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения Lu

Подробнее

Об устойчивости разностных схем

Об устойчивости разностных схем Доклады Академии наук СССР 963 Том 9 3 А Н Тихонов А А Самарский Об устойчивости разностных схем Неоднократно высказывалась гипотеза что если разностная схема устойчива в классе постоянных коэффициентов

Подробнее

Гипергеометрические функции

Гипергеометрические функции Гипергеометрические функции 1 Канонический вид уравнения гипергеометрического типа Уравнение гипергеометрического типа σy + τy + λy =, (1.1) где σ(z) полином не старше второй степени, τ(z) полином не старше

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения»

Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» ВАРИАНТ 5 Выполнил: студент -го курса, гр. АК3-3 Ягубов Роман Борисович

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

Уравнение Лапласа в декартовой системе координат.

Уравнение Лапласа в декартовой системе координат. Линейные и нелинейные уравнения физики Уравнение Лапласа в декартовой системе координат. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич 25. Разделение переменных в уравнении Лапласа 511

Подробнее

Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток. Методическая разработка по курсу Численные методы

Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток. Методическая разработка по курсу Численные методы Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток Методическая разработка по курсу Численные методы. Постановка задачи Г.К. Измайлов Решить методом сеток смешанную краевую задачу для дифференциального

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ. ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ (конспект лекций) Преподаватель: Игнатьев Михаил Юрьевич

ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ. ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ (конспект лекций) Преподаватель: Игнатьев Михаил Юрьевич ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ. ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ конспект лекций) Преподаватель: Игнатьев Михаил Юрьевич Саратов, 203 205 Уравнения в частных производных Решение одномерного уравнения теплопроводности с постоянными

Подробнее

Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван

Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Задача Коши Задача Коши для ОДУ Дано обыкновенное дифференциальное уравнение 1го порядка и начальное условие

Подробнее

5 Методы приближения функций. Интерполяция табличных функций.

5 Методы приближения функций. Интерполяция табличных функций. 5 Методы приближения функций. Интерполяция табличных функций. 5.1 Постановка задачи приближения функций. Аппроксимация функций заключается в приближенной замене заданной функции f(x некоторой функцией

Подробнее

Простейшие способы исследования разностных схем на устойчивость

Простейшие способы исследования разностных схем на устойчивость Простейшие способы исследования разностных схем на устойчивость Напомним, что разностная схема L h y h = ϕ h (x), x ω h, l h y h = χ h (x), x γ h, аппроксимирующая краевую или начально-краевую задачу Lu

Подробнее

19. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Итерационные методы решений сеточных уравнений

19. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Итерационные методы решений сеточных уравнений Варианты заданий 9. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Итерационные методы решений сеточных уравнений 9.. Постановка задачи Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения:

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА)

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Постановка задачи. Рассматривается задача о вычислении однократного интеграла J(F ) = F (x) dx. ()

Подробнее

Спектральный анализ разностных схем

Спектральный анализ разностных схем Спектральный анализ разностных схем 1 Исследование схем на устойчивость по начальным данным методом гармоник Одним из достаточно простых и эффективных способов исследования линейных разностных схем на

Подробнее

x 1 x 2 x 3 x k y 1 y 2 y 3 y k

x 1 x 2 x 3 x k y 1 y 2 y 3 y k ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ Е. С. Тверская МГТУ им. Н.Э. Баумана Москва Методы аппроксимации функции. Постановка задачи приближения функции. Задачи, приводящие к задаче приближения функций. Функция

Подробнее

А.А. Дегтярев ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. Тесты для самоконтроля знаний студентов

А.А. Дегтярев ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. Тесты для самоконтроля знаний студентов МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА

Подробнее

Интерполирование функций

Интерполирование функций Постановка задачи, основные понятия Конечные разности и их свойства Интерполяционные многочлены Оценка остаточного члена интерполяционных многочленов Постановка задачи, основные понятия Пусть, то есть

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Бережной Д.В. Тазюков Б.Ф. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие

Подробнее

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Инженеру часто приходится иметь дело с техническими системами и технологическими процессами, характеристики которых непрерывно меняются со временем t Эти

Подробнее

Сплайн интерполяция. к.ф.-м.н. Уткин Павел Сергеевич (926)

Сплайн интерполяция. к.ф.-м.н. Уткин Павел Сергеевич    (926) Сплайн интерполяция к.ф.-м.н. Уткин Павел Сергеевич e-mail: utkin@icad.org.ru, pavel_utk@mail.ru (926) 2766560 Данная лекция доступна по адресу http://mipt.ru/education/chair/computational_mathematics/study/materials/compmath/lectures/

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Семинар Дифференциальное уравнение первого порядка. Фазовое пространство. Фазовые переменные. Стационарное состояние. Устойчивость стационарного состояния по Ляпунову. Линеаризация системы в окрестности

Подробнее

Способы учета граничных условий I рода при решении задач методом конечных элементов

Способы учета граничных условий I рода при решении задач методом конечных элементов УДК 519.624.1 Способы учета граничных условий I рода при решении задач методом конечных элементов Введение Корчагова В.Н., студент Россия, 105005, г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана кафедра «Прикладная математика»

Подробнее

Уравнения переноса. Схемы «бегущего» счета

Уравнения переноса. Схемы «бегущего» счета Уравнения переноса. Схемы «бегущего» счета Рассмотрим ряд наиболее часто используемых разностных схем, аппроксимирующих начально-краевые задачи для линейного уравнения переноса: u t + c(x, t) u x = f(x,

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ , (1) Простейшая прямая задача состоит в нахождении функции, удовлетворяющей уравнению (1) и условиям

ВВЕДЕНИЕ , (1) Простейшая прямая задача состоит в нахождении функции, удовлетворяющей уравнению (1) и условиям РЕФЕРАТ Выпускная квалификационная работа по теме «Численная идентификация правой части параболического уравнения» содержит 45 страниц текста 4 приложения 6 использованных источников 4 таблицы ОБРАТНАЯ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ

Подробнее

Глава 3. Методы исследования математических моделей

Глава 3. Методы исследования математических моделей Глава 3. Методы исследования математических моделей Методы исследования и реализации математических моделей можно подразделить на два больших класса: аналитические и численные. Из численных методов в настоящее

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Тема 3. Численные методы решения задачи аппроксимации

Тема 3. Численные методы решения задачи аппроксимации Тема. Численные методы решения задачи аппроксимации Будем считать, что является функцией аргумента. Это означает, что любому значению из области определения поставлено в соответствие значение. На практике

Подробнее

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. f f(x, y 1,..., y n ), (x, y) D. y(x 0 ) = y 0. (1.

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. f f(x, y 1,..., y n ), (x, y) D. y(x 0 ) = y 0. (1. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1. Постановка задачи Пусть в области D = {a x b, y i y i 0 b i } R n+1 Необходимо найти решение удовлетворяющее начальному

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n)

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n) Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( ( ) ) - обыкновенное (зависимость только от ) Общий интеграл - зависимость между независимой переменной зависимой

Подробнее

Воронежская государственная технологическая академия, Воронеж

Воронежская государственная технологическая академия, Воронеж ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 009. Т. 50, N- 6 19 УДК 59.; 5; 517.946 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КРУЧЕНИИ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ s-угольного СЕЧЕНИЯ МЕТОДОМ РАСШИРЕНИЯ ГРАНИЦ А. Д. Чернышов Воронежская государственная

Подробнее

Уравнение Лапласа в полярной системе координат.

Уравнение Лапласа в полярной системе координат. Линейные и нелинейные уравнения физики Уравнение Лапласа в полярной системе координат. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич 518 Глава 5. Уравнения эллиптического типа 25.2. Разделение

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Математика и теоретическая механика» Методические рекомендации

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г.

В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В. Ф. Апельцин МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ AKF3.RU г. В курсовой работе предполагается построить приближенное решение краевой задачи для обыкновенного

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Лабораторные работы по дисциплине «Численные методы» для группы АК3 Лектор: доцент кафедры ФН-11, Кутыркин В.А.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Лабораторные работы по дисциплине «Численные методы» для группы АК3 Лектор: доцент кафедры ФН-11, Кутыркин В.А. Оглавление Введение... Лабораторная работа Погрешности при решении СЛАУ... 3 Лабораторная работа Метод наименьших квадратов и модели регрессии... 7 Лабораторная работа 3 Методы простой итерации и Зейделя...

Подробнее

I = b I = f(x) dx I = f(x) dx = f(x) dx I T = 0, 5(f n + f n+1 )h. = h(0, 5f 0 + f 1 + f f N 1 + 0, 5f N ), (2.1) N 1. n=0

I = b I = f(x) dx I = f(x) dx = f(x) dx I T = 0, 5(f n + f n+1 )h. = h(0, 5f 0 + f 1 + f f N 1 + 0, 5f N ), (2.1) N 1. n=0 Глава Вычисление определенных интегралов! " #%$&' %(" # )* +,- "#' dx. В общем виде задача решается путем аппроксимации функции другой функцией, для которой интеграл вычисляется аналитически. При этом

Подробнее

Дельта-функция. Определение дельта-функции

Дельта-функция. Определение дельта-функции Дельта-функция Определение дельта-функции Пусть финитная бесконечно дифференцируемая функция (т. е. основная функция),. Будем писать:. О. Дельта-функцией Дирака называется линейный непрерывный функционал

Подробнее

du/dx=f(x, u), 0<x 1, u(0)=u 0, (1)

du/dx=f(x, u), 0<x 1, u(0)=u 0, (1) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Дальневосточный государственный университет Л.А. МОЛЧАНОВА "Разностные методы решения дифференциальных уравнений"

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Триангуляция и метод конечных элементов АВТОРЕФЕРАТ МАГИСТЕРСКОЙ РАБОТЫ. Ромзаевой Анастасии Сергеевны

Триангуляция и метод конечных элементов АВТОРЕФЕРАТ МАГИСТЕРСКОЙ РАБОТЫ. Ромзаевой Анастасии Сергеевны Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных ди ф- ференциальных уравнений общего вида: dx dt dy dt

Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных ди ф- ференциальных уравнений общего вида: dx dt dy dt Семинар 4 Система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Кинетические кривые. Особые точки. Устойчивость стационарного состояния. Линеаризация системы в

Подробнее

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 28.1. Пространства D, D основных и обобщенных функций Понятие обобщенной функции обобщает классическое понятие функции и дает возможность выразить в математической форме такие

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В.В.Поддубный ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Введение и основные определения Многие задачи естествознания и техники связаны с решением уравнений, содержащих неизвестные функции некоторых независимых

Подробнее

u i + u i (x x i ) + 1 ] = u i + h2

u i + u i (x x i ) + 1 ] = u i + h2 Основные способы пространственной дискретизации Метод конечных разностей. Искомые величины значения переменных в некоторых точках, узлах конечноразностной сетки. Ошибка уменьшается как N, где шаг сетки

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3. Методы обработки экспериментальных данных

ЛЕКЦИЯ 3. Методы обработки экспериментальных данных ЛЕКЦИЯ 3 Методы обработки экспериментальных данных Интерполирование В инженерных расчетах часто требуется установить функцию f(x) для всех значений х отрезка [a,b], если известны ее значения в некотором

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ПОЛНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Лектор: Батяев Евгений Александрович

Подробнее

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1. Дифференциальные уравнения с частными производными Уравнение, связывающее неизвестную функцию u (x 1, x 2,..., x n ), независимые переменные x 1, x 2,..., x n и частные

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

Волновое уравнение. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Шевченко Александр

Волновое уравнение. Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Шевченко Александр Скалько Юрий Иванович Цыбулин Иван Шевченко Александр Волновое уравнение второго порядка Волновое уравнение в форме уравнения второго порядка записаывается как 2 u t 2 = c2 2 u x 2 + f Дополним уравнение

Подробнее

14. Задача Штурма-Лиувилля.

14. Задача Штурма-Лиувилля. Лекция 8 4 Задача Штурма-Лиувилля Рассмотрим начально-краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка описывающего малые поперечные колебания струны Струна рассматривается

Подробнее

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ... Задача Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматривается задача Коши

Подробнее

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации

Курс лекций. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАЦИОНАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. В. Н. Русак, Н. В. Гриб

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАЦИОНАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. В. Н. Русак, Н. В. Гриб ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 212, том 48, 2, с. 266 273 УДК 519.642 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАЦИОНАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ c 212 г. В. Н. Русак, Н. В. Гриб В пространстве

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Ижевский государственный технический университет" УТВЕРЖДАЮ Ректор И.В. Абрамов

Подробнее

называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций

называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций 345 4 Ряды Фурье по ортогональным системам функций Пусть ( ( x - ортогональная система функций в L [ ; ] Выражение c ( x + c1 ( x + 1 c ( x + + ( c ( x = c ( x (41 = называется обобщенным рядом Фурье по

Подробнее

5. Метод Эйлера: явные разностные схемы

5. Метод Эйлера: явные разностные схемы 5. Метод Эйлера: явные разностные схемы 5. Метод Эйлера: явные разностные схемы Вернемся к модели взаимодействия световых пучков (см. 2) и рассмотрим наиболее универсальный метод решения краевых задач

Подробнее

4. Непрерывность функции 1. Основные определения

4. Непрерывность функции 1. Основные определения 4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x если справедливо равенство f ( x). (1)

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Лекции по уравнениям математической физики

Лекции по уравнениям математической физики Лекции по уравнениям математической физики Соловьев Вячеслав Викторович черновая версия 31 декабря 5 г. Оглавление 1 Уравнения с частными производными -го порядка и их классификация 3 1.1 Понятие уравнения

Подробнее

Численное решение задач с уравнениями параболического типа

Численное решение задач с уравнениями параболического типа Численное решение задач с уравнениями параболического типа. Постановка задачи в общем виде.. Разностные схемы для одномерного линейного параболического уравнения. 3. Схема для уравнения теплопроводности

Подробнее

Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.»

Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.» Министерство образования Республики Беларусь Министерство образования Республики Беларусь Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.» Кафедра теоретичской и прикладной математики.

Подробнее

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение.

6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение. 6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение. Рассмотренные в прошлой главе методы приближения требуют строгой принадлежности узлов сеточной функции результирующему интерполянту. Если не требовать

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО КУРСУ «ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ». ЧАСТЬ 2

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО КУРСУ «ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ». ЧАСТЬ 2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Национальный исследовательский университет СБОРНИК ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя.

Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя. Линейные и нелинейные уравнения физики Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Основные свойства гипергеометрических функций

Основные свойства гипергеометрических функций Основные свойства гипергеометрических функций Рекуррентные соотношения и аналитические продолжения. Функция fα, β,, z Как было показано в предыдущем разделе, частным решением гипергеометрического уравнения

Подробнее