СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ"

Транскрипт

1 Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Т В БОРОДИЧ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое руководство для студентов физических специальностей вуза Гомель ГГУ им Ф Скорины 07

2 УДК 5 : 54076) ББК я7 Б97 Рецензенты: доктор физико-математических наук В М Селькин кандидат физико-математических наук М В Задорожнюк Рекомендовано к изданию научно-методическим советом учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Б97 Бородич Т В Системы линейных уравнений Билинейные и квадратичные формы : практическое руководство / Т В Бородич ; М-во образования Республики Беларусь Гомельский гос ун-т им Ф Скорины Гомель : ГГУ им Ф Скорины с ISBN В практическом руководстве рассматриваются теоретические аспекты систем линейных уравнений и методы их решений а также описаны билинейные и квадратичные формы : квадратные системы линейных уравнений общие методы решения систем линейных уравнений однородные системы линейных уравнений скалярное произведение в линейном пространстве ортонормированный базис в евклидовом пространстве квадратичные функции на линейном пространстве исследование квадратичных функций Даются примеры задания вопросы для самостоятельного изучения и самоконтроля Адресовано студентам физических специальностей вуза УДК 5 : 54076) ББК я7 ISBN Бородич Т В 07 Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» 07

3 Оглавление Предисловие 4 Квадратные системы линейных уравнений 5 Общие методы решения систем линейных уравнений Однородные системы линейных уравнений 6 4 Скалярное произведение в линейном пространстве 5 Ортонормированный базис в евклидовом пространстве 5 6 Квадратичные функции на линейном пространстве 8 7 Исследование квадратичных функций 6 Литература 47

4 Предисловие Курс «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» занимает важное место в математическом образовании студентов физического факультета Математические методы аналитической геометрии и линейной алгебры лежат в основе классической механики теории тяготения теории света физических полей гидро- и аэродинамики акустики и всех других направлений исследования в области физики Математические методы позволяют получить количественные характеристики физических явлений рассчитать с заданной точностью ход реальных процессов проникнуть в суть закономерностей физических явлений предсказать новые эффекты Аналитическая геометрия это способ решения геометрических задач аналитическими то есть алгебраическими методами Это означает что вместо рисования чертежа и изучения составляющих его геометрических объектов пишутся формулы Аналитическая геометрия легко справляется с задачами в пространствах любой размерности в то время как геометрические методы решения в этом случае или очень сложны или просто невозможны Методы аналитической геометрии и линейной алгебры применяются в качестве аппарата и инструмента исследования физических явлений Современный физик должен иметь широкую и глубокую математическую подготовку хорошо владеть новейшими математическими методами исследования которые могут применяться в области его деятельности 4

5 Квадратные системы линейных уравнений Основные понятия теории систем линейных уравнений Совокупность уравнений вида ) m m m m называется системой m линейных уравнений с неизвестными Числа называются коэффициентами системы а числа ij i свободными членами Решением системы ) называется совокупность чисел c c c при подстановке которых в систему ) вместо получаем верные числовые равенства Решить систему значит найти все её решения или доказать что их нет Виды систем линейных уравнений Система линейных алгебраических уравнений называется совместной если она имеет хотя бы одно решение В противном случае система называется несовместной Пример Система является совместной так как она имеет по крайней мере одно решение 0 y y 6 5 y Пример Система является несовместной так как выражения стоящие в левых частях уравнений системы равны но правые части не равны друг другу Ни для каких наборов { y} это не выполняется 5 y 6 5 y Система ) называется определенной если она совместна и имеет единственное решение В противном случае то есть если система совместна и имеет более одного решения) система называется неопределенной Когда уравнений больше чем неизвестных система называется переопределенной Система называется однородной если все правые части свободные члены) уравнений входящие в нее равны нулю одновременно 5

6 Пример Система является однородной так как свободные члены равны нулю y z 4l 0 5 y l 0 Система называется квадратной если количество уравнений равно количеству неизвестных Пример 4 Система является квадратной поскольку в ней две неизвестные и их число совпадает с числом уравнений системы y 6 5 y Матричная форма системы линейных уравнений Матрица составленная из коэффициентов системы ) при неизвестных A называется матрицей системы ) m m m Обозначим через X B соответственно столбец неизвестных и столбец свободных членов тогда систему ) можно записать в виде m матричного уравнения AX B Основная и расширенная матрицы системы Матрица системы A называется основной матрицей системы Если к основной матрице системы A добавить столбец свободных членов то получим матрицу которую называют расширенной матрицей системы ) A A B) 6

7 A m m m m 4 Теорема Крамера для квадратных линейных систем Система линейных уравнений называется крамеровской если число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы системы отличен от нуля Другими словами крамеровская система это квадратная система с ненулевым определителем матрицы системы) Теорема Крамеровская система имеет единственное решение которое находится по формулам: где определитель матрицы системы i определитель полученный из заменой столбца коэффициентов при на столбец свободных членов i Пусть дана крамеровская система Тогда ее определитель отличен от нуля: A 0 ) Так как A 0 то матрица системы А имеет обратную матрицу A Запишем крамеровскую систему ) в матричном виде AX B ) где 7

8 A X B Умножим обе части матричного уравнения ) слева на A AX ) A B Ввиду ассоциативности умножения матриц имеем A AX ) A A) X E X X Таким образом X A B решение системы A : ) Покажем что такое решение единственно Предположим что X и X два решения матричного уравнения ) Тогда AX B и AX B откуда AX AX Умножая обе чисти равенства на A слева имеем A AX ) A AX ) A A) X A A) X E X E X X X Следовательно система ) имеет единственное решение ) Найдём решение системы ) Из равенства X A B имеем: A A A A A A A A A откуда A A A A A ) A ) 8

9 и так далее A A A ) Обозначая определители в правой части равенств соответственно получим формулы 5 Вычислительные процедуры решения квадратных систем линейных уравнений Пусть дана крамеровская система ) Составляем матрицу системы и вычисляем ее определитель: А А Если 0 то система совместна в противном случае несовместна ) Для совместной системы находим дополнительные определители i полученный из заменой столбца коэффициентов при на столбец свободных членов: i ) Находим решение системы по формулам Крамера: и т д 9

10 Пример 5 Решить систему уравнений по правилу Крамера y z 5y z 7 y z 8 Решение ) Запишем матрицу системы и столбец свободных членов: A 5 B Найдем определитель матрицы системы 7 8 A 5 9 Поскольку 9 0 и число уравнений 7 совпадает с числом неизвестных тогда наша система уравнений является крамеровской и к ней применимо правило Крамера ) Найдем определители полученные из определителя заменой i столбца коэффициентов при переменной на столбец свободных членов i ) Находим решение системы по формулам Крамера Ответ: ответ также можно записать тройкой ) 6 Матричный метод решения систем линейных уравнений Матричный метод применяется для решения крамеровских систем Основан он на равенстве X A B которое получили при доказательстве теоремы Пример 6 Решить систему уравнений матричным методом

11 Решение: ) Запишем матрицу системы и столбец свободных членов: 7 A B 9 Найдем определитель матрицы системы 4 A 5 Поскольку A 5 0 и число уравнений совпа- 4 дает с числом неизвестных тогда наша система уравнений является крамеровской и ее можем решить матричным методом ) Найдем обратную матрицу к матрице A с помощью алгебраических A A A дополнений A A A A A где A алгебраические дополнения к элементу которые находятся по формуле A ij ij A A A i j ) M где ij M минор к элементу ij ij A ) A ) A ) A ) 6 A ) A ) A ) 5 A ) 5 A ) 5 Таким образом обратная матрица к матрице A имеет вид: 6 5 A ) Найдем решение системы уравнений по формуле X A B будем иметь ) 9 5 X A B 5 9 ) 7 ) ) ) 75 5 Ответ: 5 или тройка - ) 50 ij

12 Вопросы для самоконтроля Что называется системой линейных уравнений? Что означает решить систему линейных уравнений? Укажите виды систем линейных уравнений 4 Укажите матричную форму системы линейных уравнений 5 Что называется основной матрицей и расширенной матрицей системы линейных уравнений? 6 Сформулируйте теорему Крамера 7 Для каких систем линейных уравнений применяется правило Крамера? 8 Опишите вычислительную процедуру решения квадратных систем 9 В чем заключается матричный метод решения систем линейных уравнений? Общие методы решения систем линейных уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Метод Гаусса применяется для произвольной системы линейных уравнений Систему линейных уравнений будем называть ступенчатой если матрица этой системы ступенчатая При решении системы линейных уравнений применим следующий алгоритм: Записываем расширенную матрицу системы и приводим её к ступенчатому виду определяем ранги матрицы и расширенной матрицы системы Если найденные ранги не равны то система несовместна Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы и равен числу r В этом случае система совместна 4 Используя ступенчатый вид расширенной матрицы системы записываем соответствующую ступенчатую систему 5 Если число r равно числу неизвестных то ступенчатая система имеет вид

13 l c l c c l c c c ) Из системы ) последовательно находим значения для начиная с последнего уравнения В этом случае система уравнений имеет единственное решение 6 Если число r меньше числа неизвестных то ступенчатая система имеет вид r j j i j j i i i i f c c f c c c k k r r ) В системе ) r уравнений и неизвестных Неизвестные j которые первыми встречаются в уравнениях системы ) назовём главными неизвестными остальные свободными неизвестными Из системы ) последовательно выражаем главные неизвестные через свободные начиная с последнего уравнения Свободные неизвестные могут принимать любые значения В этом случае система имеет бесконечно много решений Тем самым получаем общее решение Примеры Приведем примеры систем линейных уравнений которые имеют одно решение не имеют решений и имеют бесконечно много решений ) Ответ: ; -; -) ) Ответ: нет решений ) 5 4 Ответ: бесконечно много решений

14 Исследование систем линейных уравнений Исследовать систему линейных уравнений означает определить какой является эта система совместной или несовместной и в случае её совместности выяснить определённая эта система или неопределённая Критерий совместности системы линейных уравнений даёт теорема Кронекера-Капелли Теорема Кронекера-Капелли) Для того чтобы система линейных уравнений была совместна необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы rga rga ) Пример Исследовать систему на совместность: Решение Приведение матрицы системы и расширенной матрицы системы к ступенчатому виду будем выполнять одновременно: II 5) III I ) II III ) II III Ранг матрицы системы равен а ранг расширенной матрицы системы равен По теореме Кронекера-Капелли система несовместна Для совместной системы линейных уравнений вопрос о её определённости или неопределённости решается с применением следующих теорем Теорема Если ранг основной матрицы совместной системы равен числу неизвестных то система является определённой Теорема Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных то система является неопределённой Таким образом из сформулированных теорем вытекает способ исследования систем линейных алгебраических уравнений Пусть количество неизвестных rga r rg A r Тогда: ) при r r система несовместна; ) при r r система совместна причём если r r система определённая; если же r r < система неопределённая 4

15 Базисным решением неопределённой системы линейных уравнений называют такое её решение в котором все свободные неизвестные равны нулю Пример Исследовать систему линейных уравнений и в случае неопределённости системы найти её базисное решение Решение Вычислим ранги основной A и расширенной матриц A B) данной системы уравнений для чего приведём расширенную а вместе с тем и основную) матрицу системы к ступенчатому виду: 4 4 II ) IV III I I I III ) IV II II ) Удалив третью и четвёртую строки получим ступенчатую матрицу Таким образом rga rg A Следовательно данная система линейных уравнений совместна а поскольку величина ранга меньше числа неизвестных система является неопределённой Полученной в результате элементарных преобразований ступенчатой матрице соответствует система уравнений откуда находим Неизвестные и являются главными а неизвестные и 4 свободными Общее решение 6 7r 7 0r s r s) где r s R Придавая свободным неизвестным нулевые значения получим базисное решение данной системы линейных уравнений:

16 Вопросы для самоконтроля Какая система называется ступенчатой? Сформулируйте алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса Какие переменные в методе Гаусса называются главными неизвестными и свободными неизвестными? В каком случае они появляются? 4 Приведите примеры систем линейных уравнений которые имеют одно решение бесконечно много и не имеют решения 5 Сформулируйте критерий совместности системы линейных уравнений 6 Укажите способ исследования системы линейных уравнений на совместность 7 Какое решение называется базисным? Однородные системы линейных уравнений Определение однородной системы линейных уравнений Система линейных уравнений называется однородной если она имеет вид 0 0 ) m m m 0 Матричный вид однородной системы: AX 0 где A матрица системы X столбец неизвестных Однородная система всегда совместна поскольку любая однородная линейная система имеет по крайней мере одно решение: Если однородная система имеет единственное решение то это единственное решение нулевое и система называется тривиально совместной Если же однородная система имеет более одного решения то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной Пример Нетривиальная совместность однородной системы линейных уравнений с квадратной матрицей 6

17 Применив к матрице системы алгоритм гауссова исключения приведем матрицу системы к ступенчатому виду Ранг матрицы системы равен r rga r) c c r c 0 cr c 0 0 cr Теорема Пусть c c c матрицы-столбцы решение системы k ) Тогда c α c α c α c α R ) решение системы ) k k i Другими словами: если однородная система нетривиально совместна то она имеет бесконечное множество решений причем линейная комбинация любых решений системы тоже является ее решением Критерии существования ненулевых решений Теорема Для того чтобы система ) была нетривиально совместной при m ) необходимо и достаточно чтобы определитель матрицы системы был равен нулю Теорема Для того чтобы система ) имела нетривиальное ненулевое) решение необходимо и достаточно чтобы ранг системы ранг основной матрицы системы) был меньше числа неизвестных Следствие Любая система линейных однородных уравнений в которой число уравнений меньше числа неизвестных имеет нетривиальное решение Следствие Для того чтобы система ) в которой число уравнений равно числу неизвестных имела нетривиальное решение необходимо и достаточно чтобы её определитель был равен нулю Фундаментальная система решений Фундаментальной системой решений ФСР) системы ) называется линейно независимая система решений матриц-столбцов) через которую линейно выражается любое решение ) 7

18 Теорема 4 Пусть r ранг системы ) число её неизвестных и r < Тогда система ) имеет бесконечное множество фундаментальных систем решений причём каждая из них состоит из r) числа решений Другими словами: среди бесконечного множества решений однородной системы можно выделить ровно r) линейно независимых решений Совокупность r) линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений Любое решение системы линейно выражается через фундаментальную систему Таким образом если ранг r матрицы A однородной линейной системы AX 0 меньше числа неизвестных и векторы e e e образуют ее r фундаментальную систему решений Ae 0 i r ) то любое решение системы AX 0 можно записать в i виде c e c e c e r r где c c c произвольные постоянные Записанное выражение r называется общим решением однородной системы Исследовать однородную систему значит установить является ли она нетривиально совместной и если является то найти фундаментальную систему решений и записать выражение для общего решения системы Исследуем однородную систему методом Гаусса Пусть матрица исследуемой однородной системы имеет ранг меньше числа неизвестных то есть r < А m m m Такая матрица приводится Гауссовым исключением к следующему ступенчатому виду: 0 0 cr c 0 0 cr c 0 0 crr cr Соответствующая эквивалентная система имеет вид 8

19 c r r c 0 cr r c 0 r cr r c 0 Отсюда легко получить выражения для переменных r через r r Переменные r называют базисными главными) переменными а переменные свободными переменными r r Перенеся свободные переменные в правую часть получим формулы которые определяют общее решение системы c r r c cr r c r cr r c Положим последовательно значения свободных переменных равными: r r r r r r r r r и вычислим соответствующие значения базисных переменных Полученные -r решений линейно независимы и следовательно образуют фундаментальную систему решений исследуемой однородной системы 4 Вычислительный алгоритм нахождения фундаментальной системы решений Берём любой отличный от нуля определитель d порядка -r) Свободным неизвестным поочерёдно придаются значения равные элементам -го -го и т д столбцов определителя d и каждый раз из общего решения находят соответствующие значения главных неизвестных Полученные -r) решений составляют фундаментальную систему Пример Найти ФСР однородной системы линейных уравнений 9

20 Решение Однородная система линейных алгебраических уравнений с помощью элементарных преобразований может быть приведена к ступенчатому виду: или где главные переменные свободные переменные 4 5 Ранг r матрицы равен число неизвестных равно 5 система нетривиально совместна Размерность пространства решений d этой однородной системы равна : d r 5 Получили три линейно независимые решения системы E E E таблица ) Таблица Или в виде матриц-столбцов: Решение Переменные 4 5 E E 0 0 E E E 0 E которые образуют базис пространства решений системы то есть образуют её фундаментальную систему решений 0

21 Вопросы для самоконтроля Укажите какие системы линейных уравнений называются однородными Сформулируйте критерии существования ненулевых решений однородных систем линейных уравнений Что называется фундаментальной системой решений? 4 Какое решение называется общим решение однородных систем линейных уравнений? 5 Опишите схему исследования однородной системы линейных уравнений 6 Укажите вычислительный алгоритм нахождения фундаментальной системы решений 4 Скалярное произведение в линейном пространстве 4 Аксиоматическое определение скалярного произведения векторов Пусть V действительное линейное пространство Говорят что на V задано скалярное произведение если каждой паре векторов V поставлено в соответствие действительное число ) причем выполняются следующие аксиомы: ) ) ) для любых V ; ) c) c) c) для любых c V ; ) α ) α ) для любых V и любого α R ; 4) ) > 0 для любого ненулевого вектора V Действительное линейное пространство с определенным на нем скалярным произведением называется евклидовым пространством Приведем несколько важных примеров евклидовых пространств Скалярное произведение векторов на V определим как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними Тогда V евкли- дово пространство Для любых двух функций f g C[ положим ] f g) f ) g ) d 4)

22 Формула 4) задает скалярное произведение на C Значит C [ ] [ ] евклидово пространство Скалярное произведение для ) R и y y y ) R определим формулой 4) Тогда R евклидово пространство y y y y 4) i i Теорема 4 Любое конечномерное действительное линейное пространство можно превратить в евклидово пространство Пример Пусть ) R и y y y ) R Является ли функция F y 7 y скалярным произведение в R? Если нет то укажите какие из свойств скалярного произведения нарушаются Решение Проверим выполнение свойств скалярного произведения: Поскольку F y 7 y y 7 y F y ) тогда первая аксиома выполняется Положим z z z ) R Тогда F y z) y ) z 7 y ) z z 7 z y z 7 y z F z) F y z) Значит вторая аксиома скалярного произведения выполняется Пусть α R имеем F α α y 7α y α y 7 y ) αf Следовательно третья аксиома скалярного произведения выполняется 4 Пусть 0 ) Тогда F ) Значит четвертая аксиома скалярного произведения не выполняется Следовательно искомая функция не задает скалярного произведения на R i 4 Основные свойства скалярного произведения Для любых трех векторов c евклидова пространства V со скалярным произведением ) и любого действительного числа α справедливо: α ) α ) ; c) ) c) ; 0) 0; 4 0 ) 0; 5 если ) 0 для любого V то 0

23 4 Понятие нормы вектора Длиной вектора в евклидовом пространстве V называют число ) Введенное определение в пространстве V согласуется с обычным определением длины вектора В пространстве R длина вектора ) выражается формулой i В пространстве C [ ] длина вектора выражается формулой f f ) d Величину f называют нормой функции f Вектор длина которого равна единице называется нормированным Операция умножения ненулевого вектора на число обратное его длине называется нормированием вектора i 44 Неравенство Коши Буняковского Следующая теорема устанавливает связь между скалярным произведением векторов и их длинами Теорема 4 Для любых двух векторов евклидова пространства выполняется неравенство ) 4) Неравенство 4) называется неравенством Коши Буняковского 45 Угол между векторами в евклидовом пространстве В силу неравенства Коши Буняковского ) для любых ненулевых векторов евклидова пространства V Поэтому существует единственный угол ϕ 0 ϕ π такой что

24 ) cos ϕ Этот угол называется углом между векторами и 46 Неравенства треугольника Теорема 4 В евклидовом пространстве V для любых векторов и справедливы следующие утверждения: ) cosϕ где ϕ угол между векторами и ; ) < Первое утверждение теоремы 4 называется теоремой косинусов второе неравенством треугольника Вопросы для самоконтроля Дайте аксиоматическое определение скалярного произведение векторов Какое пространства называется евклидовым? Сформулируйте основные свойства скалярного произведения? 4 Что называется длиной вектора? 5 Какой вектор называется нормированным? Что означает пронормировать вектор? 6 Сформулируйте неравенство Коши Буняковского 7 Как определяется угол между векторами в евклидовом пространстве? 8 В чем заключается неравенство треугольника и теорема косинусов? 5 Ортонормированный базис в евклидовом пространстве 5 Понятие ортонормированного базиса евклидова пространства Векторы евклидова пространства V называются ортогональными если ) 0 Будем писать в этом случае 4

25 Система векторов e e e евклидова пространства V называется k ортогональной если любая пара векторов этой системы ортогональна то есть e e для всех i j i j Будем полагать что система состоящая из одного вектора ортогональна Ортогональная система нормированных векторов евклидова пространства называется ортонормированной Теорема 5 Ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства линейно независима Ввиду теоремы 5 ортогональные системы играют в евклидовых пространствах фундаментальную роль Процесс перехода к ортогональной системе векторов называется процессом ортогонализации В конечномерном евклидовом пространстве со скалярным произведением ) и с ортонормированным базисом e e e справедливы k следующие соотношения: ) для любых векторов V справедливо тождество параллелограмма: ); ) для любых векторов V справедливо тождество косинусов: cos e ) cos e ) cos e ) k Теорема 5 о существовании ортонормированного базиса) В ненулевом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис 5 Построение ортонормированного базиса Процесс ортогонализации описанный ниже называется процессом ортогонализации Грама Шмидта Пусть линейно независимая система векторов евклидова k пространства V По векторам этой системы будем последовательно строить ортогональную систему ненулевых векторов Полагаем k Если векторы l уже построены то вектор находится l по формуле λ λ λ l l l 5) l 5

26 6 λ λ λ ) ) ) ) ) ) l l l l l l l 5) Пример Применяя процесс ортогонализации Грама Шмидта по заданному базису 0 ) 0) ) постройте в R ортонормированный базис Решение Построим сначала ортогональный базис пространства R Положим 0 ) По формулам 5) и 5) имеем α где ) ) α Тогда α 0) 0) По формулам 5) и 5) имеем β β где 0 0 ) 0 ) ) β ) ) ) β Тогда β β 0) ) 0 0) Пронормируем векторы Для этого найдем их длины: 0

27 Теперь векторы y 0) 0 y 6 6 y образуют ортонормированный базис пространства R 5 Вычисление скалярного произведения в ортонормированном базисе Пусть e e e ортонормированная система и e e e k k k и y e y e y e y разложение векторов и y по этому базису k k Тогда скалярное произведение векторов и y вычисляется по формуле i i i y y y y 54 Изоморфизм евклидовых пространств Два линейных пространства V и V над одним и тем же полем P называются изоморфными если существует биективное отображение ϕ: V V такое что: ) ϕ ϕ ) ϕ для всех y V ; ) ϕ α) αϕ ) для любого V и любого α P Отображение ϕ в этом случае называется изоморфизмом линейных пространств V и V Если пространства V и V изоморфны то пишут V V Теорема 5 Отношение изоморфизма линейных пространств над одним и тем же полем есть отношение эквивалентности Теорема 54 Пусть ϕ: V V изоморфизм линейных пространств V и V над полем P Тогда: 7

28 ) если θ нулевой вектор пространства V то ϕ θ) нулевой вектор пространства V ; ) ϕ ) ϕ ) для каждого V ; ) если система векторов пространства V линейно независима то система ϕ ) ϕ ) ϕ ) векторов пространства V линейно независима Пусть евклидовы пространства V и V изоморфны как линейные пространства то есть существует взаимно однозначное линейное отображение f пространства V на пространство V Если при этом отображении сохраняется скалярное произведение то есть f ) f ) для любых y V то отображение f называется евклидовым изоморфизмом пространств V и V Сами пространства V и V называются в этом случае евклидово изоморфными пространствами Теорема 55 Два конечномерных евклидовых пространства евклидово изоморфны тогда и только тогда когда их размерности совпадают Следствие Каждое -мерное евклидово пространство евклидово изоморфно пространству R Вопросы для самоконтроля Какая система векторов называется ортогональной? Какая система векторов называется ортонормированной? Сформулируйте теорему о существовании ортонормированного базиса 4 В чем заключается процесс ортогонализации Грамма Шмидта? 5 Способ вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе 6 Какие линейные пространства называются изоморфными? 7 Какие линейные пространства называются евклидово изоморфными? 8 Сформулируйте критерий евклидовой изоморфности пространств 6 Квадратичные функции на линейном пространстве В этом разделе мы будем изучать простейшие числовые функции от векторов в аффинном пространстве 8

29 Аффинным пространством над полем P называется тройка A L ) состоящая из линейного пространства L над полем P множества A элементы которого называются точками и внешней бинарной операции A L A : l) l удовлетворяющей следующим аксиомам: а) l) m m l) для всех A; l m L ; б) 0 для всех A; в) для любых двух точек A существует единственный вектор l L со свойством l 6 Линейная функция Простейшей функцией в аффинном пространстве является линейная функция Говорят что в аффинном пространстве задана линейная функция линейная форма) если каждому вектору поставлено в соответствие число f) так что при этом выполнены условия: ) f f ) f ) f λ ) λf ) Выберем в -мерном пространстве произвольный базис e e e Так как каждый вектор можно представить в виде e e e то в силу свойств линейной функции имеем f ) f e e e ) f e ) f e ) f e ) Таким образом в -мерном пространстве с заданным базисом линейная функция может быть представлена в виде f ) 6) где i f e i ) постоянные зависящие лишь от выбора базиса а координаты вектора в этом базисе Таким образом данное выше определение линейной функции совпадает по существу с принятым в алгебре определением линейной функции линейной формы); надо лишь иметь в виду что в нашем случае коэффициенты зависят от выбора базиса Переход от одного базиса к другому Выясним как меняются коэффициенты линейной функции при замене одного базиса другим 9

30 Пусть e e e и e e e два базиса в R Пусть далее векторы e выражаются через базис e e e формулами: i e α e α e α e e α e α e α e e α e α e α e Пусть в базисе e e e линейная функция выражается формулой f ) а в базисе e e e формулой f ) Так как f e ) а f e ) то α i i k k f e ) f α e α e α e ) k k k k k e ) α f e ) α f e ) α α α f k k k k k k Мы видим что коэффициенты линейной формы преобразуются при переходе к другому базису так же как векторы базиса или как иногда говорят когредиентно векторам базиса) Пример 6 В пространстве векторами которого являются непрерывные функции ϕ t) заданные на отрезке [] рассмотрим функцию f ϕ) заданную формулой f ϕ) ϕ t) dt Решение Эта функция линейна так как выполняются условия и Действительно первое из них означает что интеграл суммы равен сумме интегралов а второе означает что постоянный множитель можно выносить за знак интеграла Пример 6 В том же пространстве рассмотрим функцию f ϕ) определенную следующим образом Выберем на отрезке [] некоторое значение t t и положим f ϕ ) ϕ t ) 0 0 Проверьте что эта функция f ϕ) также линейна 6 Понятие билинейной и квадратичной формы Мы будем говорить что A ; есть билинейная функция билинейная форма) от векторов и y если: ) при фиксированном y A ; есть линейная функция от ) при фиксированном A ; есть линейная функция от y Иными словами в силу определения линейной функции условия и означают соответственно: 0

31 ) A ; A ; A ; A λ ; λa ; ) A ; y y ) A ; y ) A ; ) A ; µ µ A ; y Примеры 6 Рассмотрим -мерное пространство в котором вектор есть совокупность чисел Положим A ; y y y y y y y y где есть вектор ) y вектор y y y ) Формула 6) определяет билинейную функцию Решение В самом деле если зафиксировать y то есть считать y 6) y y y ) постоянными то A ; y зависит от линейно ij i j i i j то есть есть линейная функция от ) а при постоянных форма A ; линейная функция от y Пример 64 В пространстве в котором векторами являются непрерывные на [] функции f t) и g s) рассмотрим следующий пример билинейной функции Пусть K s t) некоторая непрерывная функция на [] переменных s и t Положим A f ; g) K s t) f s) g t) dsdt A f ; g) есть билинейная функция векторов f и g Решение Действительно условия и проверяются так же как и в примере 6 предыдущего пункта Если K s t) то A f ; g) f s) ds g t) dt f s) g t) dsdt то есть A f ; g) есть произведение линейных функций f s) ds и g t) dt Упражнение 6 Показать что если f ) и g линейные функции то их произведение f ) g есть билинейная функция Билинейная функция форма) называется симметрической если для любых векторов и y имеет место равенство A ; A y; ) В приведенном выше примере 6 определенная формулой 6) билинейная форма A ; симметрична тогда и только тогда когда для любых i и j ij ji

32 Пример 65 Скалярное произведение в евклидовом пространстве является симметрической билинейной формой Решение В самом деле аксиомы 4 скалярного произведения как раз и означают что скалярное произведение есть симметрическая билинейная форма Пусть A ; симметрическая билинейная форма Функция A ; ) которая получается из A ; если положить y называется квадратичной формой A ; называется билинейной формой полярной к квадратичной форме A ; ) Требование симметричности формы A ; в определении квадратичной формы оправдывается следующим предложением которое без этого было бы неверно Теорема 6 Полярная форма A ; однозначно определяется своей квадратичной формой A ; ) Из определения билинейной формы легко следует что A y; A ; ) A ; A y; ) A y; Отсюда в силу симметрии то есть равенства A ; A y; ) ) получаем: A ; [ A y; A ; ) A y; ] В правой части этого равенства стоят значения квадратичной формы; следовательно мы доказали что билинейная форма A ; определяется своей квадратичной формой Выше мы уже показывали что всякая симметрическая билинейная форма A ; записывается через координаты векторов и y в виде Ay ) y ij i j i j где ij ji Следовательно всякая квадратичная форма A ; ) при заданном базисе выражается формулой A ; ) где или ij ji i j ij i j A ; ) 6)

33 где коэффициенты ij P и удовлетворяют условию: ij ji 64) Если в первоначальной записи квадратичной формы коэффициенты при и различны то можно сложить их и разделив сумму на i j j i получить равные значения Из условия 64) следует что матрица квадратичной формы является симметрической матрицей 6 Матрицы билинейной и квадратичной формы Мы определили билинейную форму аксиоматически Выберем теперь в -мерном пространстве какой-либо базис e e e и выразим билинейную форму A ; через координаты ) и y y y ) векторов и y в этом базисе Мы имеем: A ; A e e e ; y e y e y e ) В силу условий и билинейной формы A e e e ; ye ye ye) yae ; e) yae ; e) yae ; e) yae ; e) yae ; e) yae ; e) yae ; e) yae ; e) yae ; e) или в компактном виде: A Ae i; ej) i yj i j Обозначим постоянные A e i ; e ) через Тогда имеем: при заданном j ij базисе e e e всякая билинейная форма в -мерном пространстве мо- жет быть записана в виде i j ij i j A y где ) координаты вектора а y y y ) координаты вектора y в данном базисе Числа зависят от выбора базиса и вычисляются по формулам ij A e ; e ) 65) ij i j Матрица A ij ) составленная из коэффициентов билинейной формы A ; или квадратичной формы A ; ) в базисе e e e записанной

34 в симметричном виде 6) или 6) называется матрицей билинейной формы A ; или квадратичной формы A ; ) Таким образом в каждом базисе билинейная и квадратичная формы определяются своими матрицами Квадратичную форму удобно записывать в матричной форме Для этого введём в рассмотрение строку переменных X ) Тогда T A ; ) XAX где A матрица квадратичной формы A ; ) Напомним T что X транспонированная матрица по отношению к матрице X Пример 66 Пусть R трехмерное пространство векторами которого являются тройки чисел ) Зададим в R билинейную форму A ; формулой A ; y y y Возьмем в R в качестве базиса три вектора e ) ; e ) ; e ) Найдем матрицу A билинейной формы A ; в этом базисе В силу 65) получим: 6 ) 0 ) ) 4 ) ) 6 ) ) ) ) ) ) ) 6 то есть A Таким образом если обозначить через ) и y y y ) координаты векторов и y в базисе e e e то Ay ; ) 6y 4y 6y y 4y y 6 y 64 Преобразование матриц квадратичных функций при переходе к новому базису Линейным преобразованием переменных над полем P называется переход от исходных переменных к переменным y y y по формулам: 4

35 где y y y y y y y y y 66) ij ij P Матрица S ) называется матрицей линейного преобразования 66) Линейное преобразование переменных с невырожденной матрицей называется невырожденным Если X ) Y y y y ) T T то система равенств 66) в матричной форме принимает вид: X SY Если 66) невырожденное линейное преобразование переменных то можно выразить обратное преобразование переменных y y y через T T переменные которое примет вид: Y S X Под произведением двух линейных преобразований переменных понимается их последовательное выполнение Матрица произведения линейных преобразований переменных равна произведению матриц этих преобразований Матрица квадратичной формы при линейной невырожденной замене T переменных следующая: A S AS где A матрица квадратичной формы S линейное преобразование переменных 65 Ранг и канонический вид квадратичных функций Ранг матрицы A называется рангом квадратичной формы A ; ) Квадратичная форма называется канонической если она не содержит произведений различных переменных Каноническим видом квадратичной формы A ; ) называется любая каноническая квадратичная форма A y; в которую превращается форма A ; ) в результате применения к входящим в неё переменным невырожденного линейного преобразования Вопросы для самоконтроля Дайте определение аффинного пространства Какую функцию называют линейной в аффинном пространстве? Дайте определение билинейной формы? 4 Приведите примеры билинейных форм 5 Какую форму называют квадратичной? 6 Какой вид имеют матрицы билинейной и квадратичной форм? 5

36 7 Запишите матричный вид квадратичной формы 8 Что называется линейным преобразованием? 9 Что называется рангом квадратичной формы? 0 Какой вид называется каноническим для квадратичной формы? 7 Исследование квадратичных форм 7 Приведение квадратичных форм к каноническому виду Теорема 7 о приведении квадратичной формы к каноническому виду) Всякую квадратичную форму над полем P можно с помощью некоторого невырожденного линейного преобразования её переменных привести к каноническому виду Конструктивное доказательство этой теоремы составляет содержание метода Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду Нормальным видом комплексной квадратичной формы f ) называется такой её канонический вид в котором все ненулевые коэффициенты равны Теорема 7 Всякая комплексная квадратичная форма может быть приведена с помощью некоторого невырожденного линейного преобразования переменных к нормальному виду Нормальным видом действительной квадратичной формы f ) называется такой её канонический вид в котором все ненулевые коэффициенты равны либо либо ) Теорема 7 Всякая действительная квадратичная форма может быть приведена с помощью некоторого невырожденного линейного преобразования переменных к нормальному виду Следующая теорема показывает что нормальный вид действительной квадратичной формы определён однозначно с точностью до обозначения переменных а число положительных и число отрицательных коэффициентов в нормальном виде являются инвариантами квадратичной формы Теорема 74 Число положительных и число отрицательных коэффициентов в нормальном виде действительной квадратичной формы не зависят от выбора невырожденного линейного преобразования переменных приводящего эту форму к нормальному виду 7 Метод Лагранжа Метод Якоби Главными минорами квадратной матрицы 6

37 A называются миноры: то есть миноры расположенные в левом верхнем углу матрицы A 7 Метод Лагранжа 7 Одним из наиболее простых способов приведения квадратичной формы к каноническому виду является так называемый метод Лагранжа Для приведения квадратичной формы переменных q ) к каноническому виду нужно выполнить следующие действия Выбрать такую переменную ведущую) которая входит в квадратичную форму во второй и в первой степени одновременно если в квадратичной форме есть член с квадратом переменной и с произведением этой переменной на другую переменную) и перейти к пункту Если в квадратичной форме нет ведущих переменных то выбрать пару переменных произведение которых входит в квадратичную форму с отличным от нуля коэффициентом и перейти к пункту Если в квадратичной форме отсутствуют произведения различных переменных то никаких преобразований делать не надо так как она уже имеет канонический вид По ведущей переменной выделить полный квадрат: собрать в квадратичной форме все члены с ведущей переменной дополнить сумму этих членов до полного квадрата разумеется добавленные члены нужно также и вычесть чтобы не изменилась сумма) Получим сумму полного квадрата некоторой линейной формы в которую входит ведущая переменная) и квадратичной формы в которую ведущая переменная не входит Сделать замену переменных: линейную форму содержащую ведущую переменную принять за одну из новых переменных а все старые переменные за исключением ведущей принять за соответствующие новые Продолжить преобразования с пункта

38 Выбранную пару переменных заменить на разность и сумму двух новых переменных а остальные старые переменные принять за соответствующие новые переменные При этом произведение пары выбранных переменных преобразуется к разности квадратов двух новых переменных то есть в новой квадратичной форме q будут квадраты переменных с отличными от нуля коэффициентами Продолжить преобразования новой квадратичной формы с пункта Идея метода Лагранжа состоит в том что прием используемый в пункте выделение полного квадрата) исключает одну переменную из числа ведущих Например если переменная ведущая то есть 0 и хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля) то выделяем полный квадрат по переменной собираем все члены с и дополняем их сумму до полного квадрата): q ) Выражение стоящее в квадратных скобках есть полный квадрат Поэтому q ) q ) где q ) квадратичная форма в которую не входит ведущая переменная а выражение линейная форма содержащая ведущую переменную Обозначим y y y или что то же самое сделаем линейную замену переменных: y y y 7) 8

39 Тогда данная квадратичная форма преобразуется к виду ~ q y y y ) y q y y ) Заметим что в результате этого преобразования все члены содержащие ведущую переменную в первой и второй степени заменены квадратом одной новой переменной y В дальнейших преобразованиях пере- менная х уже никогда не будет встречаться Многократно применяя этот прием исключаем одну за другой все ведущие переменные получая тем самым канонический вид квадратичной формы Однако выделение полного квадрата невозможно если в квадратичной форме вообще отсутствуют члены с квадратами переменных В этом случае применяется способ описанный в пункте который порождает члены с квадратами переменных Например в пункте выделена пара переменных и произведение которых входит в квадратичную форму с отличным от нуля коэффи- циентом 0) Тогда нужно сделать замену переменных y y y y y 7) y При этом получим новую квадратичную форму q ~ y ) в которой появятся квадраты новых переменных с отличными от нуля коэффициентами так как в результате замены член преобразуется к виду y y y ) y y ) y а других членов с y в новой квадратичной форме не будет Заметим что при помощи метода Лагранжа не только находится канонический вид но и определяется искомая невырожденная замена переменных В самом деле замены переменных 7) 7) которые производятся в пунктах алгоритма это линейные замены с матрицами S 0 0 S Определители матриц отличны от нуля det S det S ) Следовательно эти замены переменных невырожденные Выполняя пункты 9

40 алгоритма можно определить матрицы используемых замен переменных В результате их перемножения в порядке нахождения) получается матрица искомой замены согласно свойству линейных замен переменных) Замечание 7 Канонический вид квадратичной формы определен неоднозначно так как зависит от последовательности выбора ведущих переменных Сделав например замену переменных y α z i ) i i i в каноническом виде получим другую квадратичную форму которая тоже имеет канонический вид Замечание 7 Элементы матрицы невырожденной линейной замены переменных приводящей квадратичную форму к каноническому виду вычисляются при помощи арифметических операций по коэффициентам квадратичной формы Поэтому если коэффициенты квадратичной формы рациональные действительные комплексные то и коэффициенты линейной замены рациональные действительные комплексные соответственно Пример 7 Методом Лагранжа приведите квадратичную форму G к каноническому и нормальному виду Укажите невырожденные линейные преобразования переменных приводящие к этим видам: G Решение: а) Приведем квадратичную форму G к каноническому виду Выберем в качестве ведущей переменной поскольку есть квадрат данной переменной и она присутствует в двух смешанных произведениях Выделяя с ведущей переменной полный квадрат будем иметь: G [ ) ) ] ) 4 9 ) 0 Сделаем замену переменных y y y или y y y y y с матрицей линейного преобразования A Получим квадратичную форму G y 0y y Поскольку в квадратичной форме нет квадратов переменных y и y то сделаем линейное преобразование переменных y z y z z y z z или z y z y y ) z y y ) с матрицей линейного преобразования 0 0 A

41 которое приводит квадратичную форму к каноническому виду G z 0 z z ) z z ) z 0z 0z Матрица линейного преобразования будет T A A Невырожденное линейное преобразование переменных приводящее к каноническому виду следующее: z 5z z z z z z Нетрудно проверить что при преобразовании T форма G ) примет вид формы G z z z ) и матрица канонической квадратичной формы Λ T T AT где A матрица квадратичной формы б) Найдем нормальный вид квадратичной формы G Для этого сделаем замену переменных u z u 0z u 0z или z u z u z u в каноническом виде квадратичной формы с матрицей линейного преобразования A Получим нормальный вид квадратичной формы G u u u Матрицей линейного преобразования переменных будет матрица K TA Невырожденное линейное преобразование переменных приводящее к нормальному виду следующее: u 5 u 0 0 u u u u u Нетрудно проверить что при преобразовании K форма G ) примет вид формы G u u u ) и матрица нормальной квадратичной формы Λ K T AK N 4

42 7 Метод Якоби Рассмотрим еще один метод приведения квадратичной формы к каноническому виду который учитывает особенности преобразования матрицы квадратичной формы при линейной замене переменных Две квадратные матрицы A и A одного и того же порядка называются конгруэнтными если существует такая невырожденная матрица S T что A S AS Если A и A конгруентные квадратные матрицы связанные соотношением A S AS где матрица S верхняя треугольная с единицами T на главной диагонали * * 0 * S 7) 0 0 то все главные миноры матриц A и A равны где в 7) звездочкой *) обозначаются любые числа Теорема 75 Якоби о каноническом виде квадратичной формы) Если квадратичная форма i j ij i T q ) A имеет ранг r rga и ее главные миноры отличны от нуля то ее можно привести к каноническому виду q ~ y ) j ) 74) i λ y λ y λ y i λ i r r r 0 при помощи линейной замены переменных Sy с верхней треугольной матрицей S вида 7) Алгоритм нахождения канонического вида квадратичной формы методом Якоби: Составить матрицу A -го порядка) квадратичной формы Найти первые r отличных от нуля угловых миноров матрицы квадратичной формы Если то перейти к пункту положив r Если 0 то процесс закончить так как метод Якоби неприменим Если и 0 где 0 r то r r найти отличный от нуля минор r)-го порядка окаймляющий минор r 0 Если такого минора нет то перейти к пункту иначе процесс закончить так как метод Якоби неприменим Записать искомый канонический вид 74) квадратичной формы i 4

43 Пример 7 Методом Якоби приведите квадратичную форму G к каноническому виду G Решение Приведем квадратичную форму G к каноническому виду Составим матрицу квадратичной формы: A 4 9 Найдем главные миноры: по определению Таким образом матрица квадратичной формы G ) по теореме Якоби имеет следующий канонический вид: G y y y ) y y y y 5y 0y 0 В следующей теореме предлагается другой способ приведения действительной квадратичной формы к каноническому виду Теорема 76 Для любой действительной квадратичной формы f ) существует линейное преобразование переменных с ортогональной матрицей приводящее эту форму к каноническому виду При этом коэффициентами при квадратах переменных будут корни характеристического многочлена матрицы квадратичной формы f ) 7 Закон инерции квадратичных форм Теорема 77 Число ненулевых коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы над полем P не зависит от способа приведения квадратичной формы к этому виду и равно рангу квадратичной формы Последняя теорема позволяет ввести следующее определение Число ненулевых коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы называется индексом инерции этой квадратичной формы Число положительных коэффициентов в каноническом виде действительной квадратичной формы называется положительным индексом 4

44 инерции этой квадратичной формы а число отрицательных коэффициентов её отрицательным индексом инерции Пример 7 Определите индекс инерции квадратичной формы G Решение Канонический вид квадратичной формы следующий G z 0z 0z смотреть пример 7 Следовательно индекс инерции равен трем I ) положительный индекс инерции двум I ) отрицательный одному I ) 74 Классификация квадратичных форм по каноническому виду Действительная квадратичная форма f ) называется: положительно определённой если для любых действительных чисел из которых хотя бы одно не отлично от нуля имеет место неравенство f ) > 0 ; отрицательно определённой если для любых действительных чисел из которых хотя бы одно не отлично от нуля имеет место неравенство f ) < 0 ; знакоопределенной если она является положительно или отрицательно определённой квадратичной формой; квазизнакоопределенной если она принимает либо только неотрицательные либо только неположительные значения при этом обращается в нуль не только при 0; знакопеременной если она принимает как положительные так и отрицательные значения Лемма 7 Если к переменным положительно определённой квадратичной формы применить невырожденное линейное преобразование то полученная квадратичная форма также будет положительно определённой Лемма 7 Если к переменным отрицательно определённой квадратичной формы применить невырожденное линейное преобразование то полученная квадратичная форма также будет отрицательно определённой На следующих двух теоремах основаны способы распознавания характера определённости действительной квадратичной формы путём приведения её к каноническому виду Теорема 78 Для того чтобы действительная квадратичная форма от переменных была положительно определённой необходимо и достаточно 44

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n:

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: Билет 1 Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: расположенных в m строках и n столбцах. Матрица называется квадратной, если m=n (n - порядок

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр М.Ф. Насрутдинов 19 ноября 2010 г. Оглавление 1 Линейные векторные пространства 5 1.1 Векторные пространства. Определение и примеры........... 5 1.1.1

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

14. Евклидовы пространства

14. Евклидовы пространства 9 4 Евклидовы пространства Большое многообразие фактов которыми так богата геометрия в значительной степени объясняется возможностью измерять длины отрезков и углы между прямыми В абстрактном линейном

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Группа АМ-12-06 Вопросы к экзамену 1Векторная алгебра 1 Определение вектора Равенство векторов Свободные вектора Линейные операции над векторами и их свойства

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. 1.Векторная алгебра. Матрицы. Обратная матрица. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ-14-06. Вопросы к экзамену. 1. Определение вектора. Равенство векторов. Свободные вектора. Линейные

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

Е.Е. Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ

Е.Е. Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ ЕЕ Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕЕ Корякина ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ

Подробнее

Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства

Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра»

Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра» Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра» 2 Содержание 1. Матрицы и определители 4 1.1. Матрицы и действия над ними 4 1.2. Определители 7 1.3. Обратная матрица 10 1.4.

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Линейная алгебра с приложениями

Линейная алгебра с приложениями Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий РМ Минькова Линейная алгебра с приложениями Учебно-методическое

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики. А.Д.

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики. А.Д. ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики А.Д.Больбот Задачи по алгебре Часть 2 Последнее изменение: 5 мая

Подробнее

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно.

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно. ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОД ГАУССА Мы разобрали выше два различных способа задания линейных подпространств F n 2 при помощи образующих и как множество решений системы линейных уравнений Для различных приложений нам

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула Важные понятия утверждения формулы и некоторые примеры по высшей алгебре Тема «К о м п л е к с н ы е ч и с л а» Записать заданное комплексное число в алгебраической тригонометрической и показательной форме

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления Прикладная математика и информатика.

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления Прикладная математика и информатика. АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления 01.03.02 Прикладная математика и информатика. 1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины Алгебра и аналитическая

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Финансовая академия при правительстве Российской Федерации (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Математика» ОБСУЖДЕНО Протокол

Подробнее

Квадратичные формы. Закон

Квадратичные формы. Закон Материалы к установочной лекции Вопрос 10. Квадратичные формы. Закон инерции. Условия знакоопределенности квадратичных форм. 1 Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу Лагранжа. Обозначения.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

R. Геометрический смысл

R. Геометрический смысл Рабочий учебно-тематический план изучения дисциплины «Линейная алгебра» для профиля «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 1 триместр, лектор -- профессор, д.ф.м.н. Тищенко А.В. Наименовани е Содержание

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра ВВТиС

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра ВВТиС МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008 Рецензенты: кандидат

Подробнее

Тема 2-15: Ортогональность

Тема 2-15: Ортогональность Тема 2-15: Ортогональность А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Целями освоения дисциплины «Алгебра геометрия» являются:

Целями освоения дисциплины «Алгебра геометрия» являются: Аннотация рабочей программы дисциплины «Алгебра и геометрия» направления подготовки 01.03.02. «Прикладная математика и информатика» по профилю «Математическое и информационное обеспечение экономической

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Методические

Подробнее

АЛГЕБРА модуль 3: Квадратичные и билинейные формы

АЛГЕБРА модуль 3: Квадратичные и билинейные формы АЛГЕБРА модуль 3: Квадратичные и билинейные формы 1 Квадратичные формы Мы рассматриваем конечномерные векторные пространства над полем k, где 0. Определение 1.1 Функция f : V k на векторном пространстве

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

41. Симметрические операторы

41. Симметрические операторы 41 Симметрические операторы Линейные операторы, действующие в евклидовых пространствах, обладают дополнительными свойствами по сравнению с линейными операторами в векторных пространствах без скалярного

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности. Направление

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

Аффинное преобразование Аффинным преобразованием аффинного пространства (V, L) в другое аффинное пространство (V, L ) называется пара отображений

Аффинное преобразование Аффинным преобразованием аффинного пространства (V, L) в другое аффинное пространство (V, L ) называется пара отображений 1 ГОУ ВПО РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ КАФЕДРА НЕЛИНЕЙНОГО АНАЛИЗА И ОПТИМИЗАЦИИ ГЛОССАРИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА" для направления подготовки 080100 "Экономика" Алгебраическое дополнение

Подробнее

Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет. А. М. Сухотин

Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет. А. М. Сухотин Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет «Утверждаю», зав каф высшей математики профессор КП Арефьев А М Сухотин ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее