Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Финальный тур класс

Save this PDF as:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Финальный тур класс"

Транскрипт

1 Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика Финальный тур класс 7 На контрольной в 7 а было мальчиков на три человека больше, чем девочек По результатам контрольной оказалось, что четверок было на две больше, чем пятерок, а троек вдвое больше, чем четверок Докажите, что кто-то получил двойку или единицу Решение Пусть x число пятерок, тогда всего положительных оценок x ( x ( x 4x 6 С другой стороны, на контрольной было + человека, где число девочек Поскольку числа 4x + 6 и + разной четности, они не совпадают, и значит, в классе были и плохие оценки 7 Какое наименьшее количество цифр можно приписать справа к числу 0, чтобы полученное число делилось на все натуральные числа, меньшие 0? Ответ: три цифры Решение Наименьшее общее кратное чисел (,,,9 равно 50 Если к 0 приписать две цифры, то получится число не больше 099 Разделив 099 на 50 с остатком, получим в остатке 9 Поскольку 9 > 99, то между числами 000 и 099 нет целого кратного 50 Значит, приписать две цифры к 0 нельзя Очевидно, одну цифру тоже нельзя приписать (иначе можно было бы дописать справа еще ноль Трех цифр будет достаточно; действительно, при делении 0999 на 50 в остатке получится 59, и поскольку 59<999, находим нужное число = 0480, кратное 50 7 Имеется 0 палочек длиной (см, (см, (см,, 9 (см Можно ли из этих палочек, используя не обязательно все, сложить равнобедренный треугольник? Ответ: нельзя Решение Предположим, от противного, что треугольник можно сложить, и пусть,,, длины палочек, составляющих одну боковую сторону, а,,, l другую Тогда имеем равенство = l Пусть, для определенности, наименьшая из длин всех этих палочек Тогда, сократив равенство на, получим противоречие ( в левой части стоит нечетное число, а в правой четное Другой способ получить противоречие состоит в рассмотрении наибольшей из длин этих палочек, тк для любого п выполняется 74 В ряд записано 00 чисел Обязательно ли сумма всех данных чисел положительна, если известно, что а сумма любых семи чисел положительна? б сумма любых семи подряд идущих чисел положительна? Ответ: а обязательно; б нет Решение а Пусть a, a a00 данные числа Вычислим 00 положительных сумм S a a a7, S a a a8,, S00 a00 a a6 (складываются семерки подряд идущих чисел в циклическом расположении Тогда S S S00 7S, где S сумма всех чисел (тк каждое число засчитывается в семи семерках Поэтому S>0 б Возьмем такие числа a = a 8 = a 5 = = a 9 = a 99 = 6 (каждое седьмое число равно 6 и пусть остальные числа равны 0 Тогда в любой семерке подряд идущих чисел сумма равна , а сумма всех 00 чисел ( 6 5 ( На шахматную доску Коля поставил 7 королей Петя должен убрать с доски королей так, чтобы оставшиеся 5 королей не били друг друга Всегда ли он сможет это сделать? (Король бьет все клетки, соседние с его клеткой по стороне или вершине Ответ: да Решение Раскрасим доску в 4 цвета следующим образом: разобьем доску на 6 квадратиков и каждый такой квадратик раскрасим так (можно раскрасить угловой квад- 4 рат, а потом параллельно переносить раскраску на другие квадраты:

2 Очевидно, любые два короля, поставленные на клетки одного цвета, не бьют друг друга У нас 7 королей и всего 4 цвета 4 4 Значит (по принципу Дирихле или рассуждая от противного, найдутся 5 королей на клетках одного цвета Этих коро- 4 4 лей Петя и оставит на доске

3 8 класс 9 8 Докажите, что для любого натурального п число 7 5 составное Решение Представим выражение в виде ( ( 5 ( ( 4 ( 5( 4 7, и каждый множитель, очевидно, больше единицы = Имеет ли решение в натуральных числах х, у уравнение x 0 y? Ответ: да Решение Будем искать решение в виде степеней числа 0, те х=0 т, у=0 п То- 9 0 гда 0 0, те 9 0 Можно взять т=9 (наименьшее натуральное т, для которого последняя цифра числа 9т равна, тогда п=8 8 Внутри данного треугольника АВС постройте (с помощью циркуля и линейки точку М так, чтобы площади треугольников АВМ, ВСМ и САМ совпадали Решение Пусть ВК медиана и О точка пересечения медиан в треугольнике АВС Тогда по свойству медиан, OK BK Поэтому высота в треугольнике АОС, опущенная на АС, втрое меньше высоты треугольника АВС (это следует из подобия соответствующих прямоугольных треугольников Значит, S AOC S ABC Аналогично, S AOB S BOC = S ABC Итак, искомая точка это точка пересечения медиан Заметим, что такая точка единственна: действительно, если взять другую точку М, то она попадет в какой-то из треугольников АОВ, ВОС или АОС пусть, для определенности, в треугольник АОС и тогда S AM C S AOC S ABC Построение с помощью циркуля и линейки точки пересечения медиан сводится к нахождению середин сторон это стандартная задача 84 В ряд записано 00 чисел Обязательно ли сумма всех данных чисел положительна, если известно, что а сумма любых семи чисел положительна? б сумма любых семи подряд идущих чисел положительна? Ответ: а обязательно; б нет См задачу На шахматную доску Коля поставил 7 королей Петя должен убрать с доски королей так, чтобы оставшиеся 5 королей не били друг друга Всегда ли он сможет это сделать? (Король бьет все клетки, соседние с его клеткой по стороне или вершине Ответ: да См задачу 75

4 9 класс Докажите, что уравнение x 0 y имеет решения в натуральных числах х, у Решение См аналогичное решение задачи 8 В данном уравнении можно взять х=0 99, у= Число a является корнем квадратного уравнения x x 50 0 Найдите значение a 5a Ответ: 50 Решение Имеем a a 50, поэтому a a 50a a 50 50a 5a 50 Отсюда a 5a 50 9 Из 60 чисел,,, 60 выбрали 5 чисел Известно, что сумма любых двух из выбранных чисел не равна 60 Докажите, что среди выбранных чисел есть кратные пяти Решение Предположим противное, тогда выбранные числа находятся среди первых 48 натуральных чисел, не кратных пяти Заметим, что среди выбранных чисел не может оказаться пара вида (а, 60 а, те в каждой такой паре имеется не более одного числа среди выбранных Поскольку таких пар всего 48:=4<5, получаем противоречие 94 В треугольнике АВС со сторонами AB = c, BC = a, AC = b проведена медиана ВМ В треугольники АВМ и ВСМ вписаны окружности Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с медианой ВМ a c Ответ: Решение Пусть P, Q, L точки касания окружности, вписанной в треугольник АВМ со сторонами АВ, АМ и ВМ соответственно Аналогично, точки касания второй ок- ружности со сторонами ВС, МС и ВМ, обозначим P, Q, L Требуется найти L L Обозначим (используя свойство касательной AP AQ x, MQ ML y, BP BL z, CP CQ x, MQ ML y, BP BL z Имеем два равенства y z y z (= ВМ и x y x y (тк М середина АС Складывая эти равенства, получим a c y ( x z y ( x z, те y c y a Значит, L L y y 95 Сколько решений в натуральных числах х, у имеет система уравнений НОД( 0! (где!? НОК( 0! Ответ: 8 Решение Если для данных двух чисел х, у набор их простых делителей обозначить p, p,, p и записать x p p p, y p p p (где i, i неотрицательные целые числа, то НОД( p НОК( p i(, ax(, p p i(, ax(, p p i(, ax(, Задача стоит так: для данных А, В найти х, у из уравнений НОД ( A, НОК ( B Если p разложения А и В имеют вид A p p, B p p p и, то Если же, то либо,, либо наоборот:, Аналогичное рассуждение справедливо для остальных индексов Таким образом, различные решения (х, у определяются указанным выбором для показателей i, i в случае i i (в каждом таком случае есть выбор из двух вариантов: кому иксу или игреку «отдать» показатель i или i В данной задаче для числа В=0! имеем 8 простых делителей, для которых i i, а именно,, 5, 7,,,, 9 (все простые числа, меньшие 0, кроме 7 и 9 Поэтому количество различных вариантов выбора упорядоченных наборов, равно 8 =56 i i

5 0 класс 0 Найдите все значения параметра а, для которых уравнение x ax a имеет три корня Ответ: 5 a Решение Очевидно, a 0 (поскольку левая часть уравнения неотрицательна Если дискриминант квадратного трехчлена D 4( a отрицателен, то имеем квадратное уравнение x ax a, и, значит, у него не более двух корней Поэтому 0 D, те a, и три корня наше уравнение будет иметь, когда прямая у=а касается графика y x ax в "отраженной" вершине параболы (те касается графика y ( x ax, полученного после симметричного отражения относительно оси Ох Вершина параболы имеет абсциссу х=а, значит a ( a a 5 a (тк a 0 Число a является корнем квадратного уравнения x x 50 0 Найдите значение a 4 0a Ответ: 550 Решение Имеем a a 50, поэтому a ( a 50 a 00a 500 a 50 00a 500 0a 550 Отсюда a 0 a Дан прямоугольный треугольник АВС На гипотенузе АС взята точка М Пусть K, L центры окружностей, вписанных в треугольники АВМ и СВМ соответственно Найдите расстояние от точки М до середины KL, если известен радиус R окружности, описанной около треугольника BKL Ответ: R Решение Заметим, что угол KML прямой, тк KML KMB LMB = ( AMB CMB 90 Аналогично получаем, что KBL Тогда в треугольнике BKL имеем KL R si 45 R Гипотенуза KL в прямоугольном треугольнике KML вдвое больше искомой медианы, откуда следует результат 4 R 04 Сколько решений в натуральных числах х, у имеет система уравнений НОД( 0! (где!? НОК( 0! Ответ: 8 Решение См задачу Имеется 00 палочек длины, 09, (09,, (09 99 Можно ли из этих палочек, используя не обязательно все, сложить равнобедренный треугольник? Ответ: нельзя Решение Предположим, от противного, что можно сложить треугольник, и пусть 09, 09,, 0 9 длины палочек, составляющих одну боковую сторону, а 09, 09 l,, 9 0 другую Тогда имеем равенство = l Пусть, для определенности, наименьший из показателей, входящих в равенство Тогда, со- кратив равенство на 09, получим, что число 09 является корнем многочлена, у которого старший коэффициент и свободный член равны, а остальные коэффициенты или 0 Но это противоречит тому факту, что рациональными корнями многочлена с целыми коэффициентами могут быть лишь такие числа q p, у которых р делитель свободного члена, а q делитель старшего коэффициента

6 класс Решите уравнение si x cos( x Ответ: х=0 Решение Левая часть уравнения, а правая Значит, уравнение равносильно системе: si x 0, cos x Имеем: x, x (, целые Отсюда Поскольку число иррациональное, последнее равенство возможно лишь при = = 0 Дано квадратное уравнение a x b x c 0, имеющее два корня Докажите, что уравнение a x b x c 0 тоже имеет два корня 6 Решение Имеем b 4a c, тк квадратное уравнение имеет положительный дискриминант Требуется доказать, что b 4a c Если ас < 0, то последнее неравенство очевидно Если же ас 0, то из / неравенства ( b 4( ac в силу монотонного возрастания функции y x получим (b / ( ac 4( ac Дана окружность единичного радиуса, АВ ее диаметр Точка М движется по окружности, M ее проекция на АВ Обозначим f ( M AB MM AM BM Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(m Ответ: наименьшее значение 0; наибольшее Решение Пусть MAB, 0, Тогда f (M cossi cos si Обозначим это выражение через g( Имеем g ( (cos si si cos = (cos si (cos si Вторая скобка неотрицательна при всех 0,, тк для данных это неравенство следует из неравенства (si cos, те si cos 0 Таким образом, g ( 0 при 0, и ( единственный корень первой скоб- 4 4 ки Учитывая знак производной, получаем, что g ( 0 g 0 наименьшее значение, а g наибольшее 4 4 Сколько существует пифагоровых треугольников, у которых один из катетов равен 0? (Пифагоров треугольник это прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами Равные треугольники засчитываются за один Ответ: Решение Из теоремы Пифагора получаем уравнение в целых числах 0 x y ( y x( y x 0 6 Это уравнение равносильно системе y x d 0, где d, d натуральные делители числа 0 Решение системы y x d d d d x d, d y будет целочисленным, тк d и d нечетные числа Чтобы число х было натуральным, делитель d должен быть больше d, те d 0, d 0 Количество всех натуральных делителей числа 0 равно (+(+(+=7, как следует из указанного разложения 0 7 Из этих делителей только удовлетворяют условию d 0 (выкидываем "центральный" делитель d=0, а остальные делители делятся на пары ( d, d, где d d 0, и из каждой пары выбираем d >d

7 5 Имеется 00 палочек длины, 09, (09,, (09 99 Можно ли из этих палочек, используя не обязательно все, сложить равнобедренный треугольник? Ответ: нельзя Решение См задачу 05


Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Отборочный тур

Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Отборочный тур Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Отборочный тур 4.0.0 ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ 8 9 класс 8-9.. Какое число больше: 0 0 0 0 или 0 0 0 0? Ответ. Первое число больше второго. Решение. Обозначим

Подробнее

a v 5 1 (час). Итак, время обратного пути a 3 v Решения задач муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике уч.

a v 5 1 (час). Итак, время обратного пути a 3 v Решения задач муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике уч. Решения задач муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике 07-8 уч года 7 класс 7 Угол, образованный биссектрисой угла АВС с его сторонами, в 6 раз меньше угла, смежного к углу

Подробнее

Олимпиада "Будущие исследователи будущее науки" по математике (финальный тур) 9 класс.

Олимпиада Будущие исследователи будущее науки по математике (финальный тур) 9 класс. Олимпиада "Будущие исследователи будущее науки" по математике (финальный тур) 9 класс.. Квадратный трѐхчлен ax bx c не имеет корней. Докажите, что если a+c

Подробнее

Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» I тур. 1 вариант ( )

Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» I тур. 1 вариант ( ) Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» I тур вариант (905) 7 класс 7 Средний рост футболистов команды равен 8 см Во время матча судья удалил с поля одного футболиста, и средний

Подробнее

«Будущие исследователи будущее науки» Математика (1 тур) и вариант. 7 класс

«Будущие исследователи будущее науки» Математика (1 тур) и вариант. 7 класс «Будущие исследователи будущее науки» Математика (1 тур) 01014 и 1114 1 вариант 7 класс 71 Вася и Толя обменялись значками До обмена у Васи было на 5 значков больше, чем у Толи После того, как Вася обменял

Подробнее

Задания и решения заочного тура олимпиады «Будущие исследователи будущее науки» по математике

Задания и решения заочного тура олимпиады «Будущие исследователи будущее науки» по математике Задания и решения заочного тура олимпиады «Будущие исследователи будущее науки» по математике Найдите площадь фигуры заданной на координатной плоскости соотношением y y 5 Ответ: 8 Решение: Рассматривая

Подробнее

8 К Л А С С. 4. У Маши есть 45 гирек, веса которых все натуральные числа от 1 до 45.

8 К Л А С С. 4. У Маши есть 45 гирек, веса которых все натуральные числа от 1 до 45. ОЛИМПИАДА «ПУТЬ К ОЛИМПУ», 8 К Л А С С 1. К чётному числу n прибавили его наибольший делитель, отличный от n. Может ли полученная сумма равняться 018?. Собранный мёд заполняет несколько 50-литровых бидонов.

Подробнее

Квадратичная функция в различных задачах Дихтярь М.Б. Основные сведения 1. Квадратичной функцией (квадратным трёхчленом) называется

Квадратичная функция в различных задачах Дихтярь М.Б. Основные сведения 1. Квадратичной функцией (квадратным трёхчленом) называется Квадратичная функция в различных задачах Дихтярь МБ Основные сведения Квадратичной функцией (квадратным трёхчленом) называется функция вида у ax bx c, где abc,, заданные числа и Квадратичные функции у

Подробнее

9 класс Сократите дробь: Ответ: Найдем область определения данного выражения: 1. Используя тождество xy x y, получим:

9 класс Сократите дробь: Ответ: Найдем область определения данного выражения: 1. Используя тождество xy x y, получим: .. Сократите дробь: a a a a. 9 класс Ответ: a a. Найдем область определения данного выражения: a a a 0 0 a 0. Используя тождество xy x y, получим: a( a ) 0 ( a )( a ) 0 a a a a a a = a( a ) ( a )( a )

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур

Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» 0. Финальный тур Решения 7 класс 7.. Дано число N 0 0 0 04. Каким является это число: простым или составным? Ответ. Составным. Решение. Последняя

Подробнее

Математическая олимпиада школьников Республики Татарстан.

Математическая олимпиада школьников Республики Татарстан. 8 класс. март 017 года. 8-1. Пусть A множество целых чисел, имеющих при делении на 3 остаток ; B множество целых, имеющих при делении на 8 остаток 6. Найти все числа, входящие одновременно в A и в B. Ответ.

Подробнее

Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур

Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур 9.03.015 Задания с решениями 7 класс 7.1. Перед соревнованиями по бегу Петя планировал бежать всю дистанцию с постоянной скоростью

Подробнее

Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур

Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур 9.03.04 7 класс 7.. Колонна автомобилей движется по шоссе со скоростью 80 км/ч и дистанцией 0 м между автомобилями. Проезжая

Подробнее

Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур

Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур. 6.03.06 7 класс 7.. Имеется кг крупы. Можно ли с помощью трех взвешиваний на чашечных весах отмерить кг, если есть одна трехкилограммовая

Подробнее

Y. Найдите координаты точки А. Ответ: А(0; 2). Решение. Так как графиком является прямая, то 2. a 1.

Y. Найдите координаты точки А. Ответ: А(0; 2). Решение. Так как графиком является прямая, то 2. a 1. 9 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... На рисунке изображен график функции Y у ( а )( х ) ( а )( х ). Найдите координаты точки А. Ответ: А(0; ). Решение. Так как графиком является прямая,

Подробнее

Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)

Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ) Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ) Олимпиада по математике «Паруса Надежды» 0 год. Отборочный тур Вариант. Петя, Володя и Коля совершили дерзкий набег на чужой сад, так что у

Подробнее

1.2. Каждая из высот параллелограмма не меньше той стороны, которой она перпендикулярна. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ: 90.

1.2. Каждая из высот параллелограмма не меньше той стороны, которой она перпендикулярна. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ: 90. Математическая регата. 9 класс. 18 октября 003 года 1.1. Даны два квадратных трехчлена, сумма коэффициентов каждого из которых равна 1. Эти трехчлены перемножили и получили многочлен. Найдите сумму его

Подробнее

Решение задач (11 класс)

Решение задач (11 класс) Критерии определения победителей (призеров) олимпиады 11 класс: - за I место не менее 16 баллов; - за II место не менее 1 баллов; - за III место не менее 9 баллов. 10 класс: - за I место не менее 15 баллов;

Подробнее

Вариант класс. . Отсюда, решая 3 уравнение, получим у = 1,05х. p q. . Докажем, что любая другая дробь имеет больший знаменатель.

Вариант класс. . Отсюда, решая 3 уравнение, получим у = 1,05х. p q. . Докажем, что любая другая дробь имеет больший знаменатель. «Будущие исследователи будущее науки» Математика ( тур) 8, 9 января 04 Вариант 8004 7 класс 7 В начале каждого летнего месяца цена товара увеличивалась В августе цена оказалась на % больше, чем в июне

Подробнее

Межрегиональная олимпиада школьников «Будущие исследователи будущее науки». Математика. Финальный тур 2016/17

Межрегиональная олимпиада школьников «Будущие исследователи будущее науки». Математика. Финальный тур 2016/17 Межрегиональная олимпиада школьников «Будущие исследователи будущее науки» Математика Финальный тур 06/7 7 класс 7 Ученикам 7а класса объявили, что для них будет организован драмкружок, если в него запишется

Подробнее

Решение задач заочного тура 2011

Решение задач заочного тура 2011 Решение задач заочного тура 0 I Математический блок Задача Найдите число натуральных корней уравнения Ответ: 00 0 решений Решение задачи Представим число в виде Тогда правая часть данного уравнения равна

Подробнее

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1 Условия задач 1 Муниципальный этап 8 класс 1. На доске написаны два числа. Одно из них увеличили в 6 раз, а другое уменьшили на 2015, при этом сумма чисел не изменилась. Найдите хотя бы одну пару таких

Подробнее

XIX Всеармейская олимпиада по математике обучающихся довузовских образовательных учреждений. Решения задач. 8 класс., Петя за время t 2 = 1 v 2

XIX Всеармейская олимпиада по математике обучающихся довузовских образовательных учреждений. Решения задач. 8 класс., Петя за время t 2 = 1 v 2 Решения задач 8 класс 1. Ответ: 38 или 137. При сложении двух цифр разряда единиц возможны две ситуации: либо их сумма не больше 9, либо не меньше 10. В первом случае переноса единицы в разряд десятков

Подробнее

Всероссийская олимпиада школьников по математике, муниципальный этап, 2016 г, 10 класс

Всероссийская олимпиада школьников по математике, муниципальный этап, 2016 г, 10 класс Всероссийская олимпиада школьников по математике, муниципальный этап, 2016 г, 10 класс 1. Назовём натуральное двузначное число интересным, если оно делится без остатка на произведение своих цифр. Найдите

Подробнее

ОЛИМПИАДА "ФИЗТЕХ" ПО МАТЕМАТИКЕ. 9 класс

ОЛИМПИАДА ФИЗТЕХ ПО МАТЕМАТИКЕ. 9 класс МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ОЛИМПИАДА "ФИЗТЕХ" ПО МАТЕМАТИКЕ 9 класс БИЛЕТ 9 ШИФР Заполняется ответственным секретарём 1. Дана линейная функция f(x). Известно, что расстояние между точками пересечения

Подробнее

Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных организаций 11 КЛАСС. a 2018

Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных организаций 11 КЛАСС. a 2018 11 КЛАСС Вариант 1 1. Решите уравнение x x si(x y) + 1 = 0. Решение. Левую часть уравнения будем интерпретировать как квадратный трехчлен относительно x. Чтобы корни существовали, дискриминант должен быть

Подробнее

БИЛЕТ = 13, 13. Тогда по теореме синусов радиус окружности R равен

БИЛЕТ = 13, 13. Тогда по теореме синусов радиус окружности R равен БИЛЕТ 1 1. Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция f(x) принимает соответственно значения 6, 5 и 5. Найдите наименьшее возможное значение f(x). Ответ.

Подробнее

Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Первый тур. Вариант

Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Первый тур. Вариант Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Первый тур. Вариант.0.0. В каждой параллели предлагалось 5 задач, максимальная оценка каждой задачи 0 баллов 9 класс. К числу 0 припишите

Подробнее

Математика. 9 класс. Математика. 9 класс. Вариант 13. Вариант 15. Решение задания 18. Вариант 16. Вариант 14. МИОО, 2012 г.

Математика. 9 класс. Математика. 9 класс. Вариант 13. Вариант 15. Решение задания 18. Вариант 16. Вариант 14. МИОО, 2012 г. Математика. 9 класс. Математика. 9 класс. Вариант 1 Решение задания 18 Вариант 15 Решение задания 18 Вариант 14 Решение задания 18 Вариант 16 Решение задания 18 Математика. 9 класс. Вариант 1 1 Критерии

Подробнее

Математика. 9 класс. Математика. 9 класс. Вариант 9. Вариант 11. Решение задания 18. Вариант 12. Вариант 10. МИОО, 2012 г. МИОО, 2012 г.

Математика. 9 класс. Математика. 9 класс. Вариант 9. Вариант 11. Решение задания 18. Вариант 12. Вариант 10. МИОО, 2012 г. МИОО, 2012 г. Математика. 9 класс. Математика. 9 класс. Вариант 9 Решение задания 18 Вариант 11 Решение задания 18 Вариант 10 Решение задания 18 Вариант 1 Решение задания 18 Математика. 9 класс. Вариант 9 1 Критерии

Подробнее

b и c b находится в интервале ( 0,9; 0,8). В b Решение. Запишем заданные условия в виде неравенств: 0,9 a b

b и c b находится в интервале ( 0,9; 0,8). В b Решение. Запишем заданные условия в виде неравенств: 0,9 a b 9 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов).. Известно, что значения выражений a и c находится в интервале ( 0,9; 0,8). В каком интервале лежат значения выражения a c? Ответ: в интервале 8 9 ;.

Подробнее

Билет 9. (и тогда u = 6). Возвращаемся к исходным переменным. { x 2 3x = 0. Значит, x = 5 2 (при этом y = 1) или x = 1 2.

Билет 9. (и тогда u = 6). Возвращаемся к исходным переменным. { x 2 3x = 0. Значит, x = 5 2 (при этом y = 1) или x = 1 2. 1 Билеты 9 10. Решения Билет 9 1. Дана линейная функция f(x). Известно, что расстояние между точками пересечения графиков y = x и y = f(x) равно 10, а расстояние между точками пересечения графиков y =

Подробнее

1 Физтех Билеты Решение БИЛЕТ 13

1 Физтех Билеты Решение БИЛЕТ 13 1 Физтех 018 Билеты 13 14 Решение БИЛЕТ 13 1 Даны 11 карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 11 (на каждой карточке написано ровно одно число, притом числа не повторяются) Требуется выбрать

Подробнее

2.1. Докажите, что при всех x > 0, y > 0 выполняется неравенство. Если x > 0, y > 0, то. 0. Последнее неравенство выполняется

2.1. Докажите, что при всех x > 0, y > 0 выполняется неравенство. Если x > 0, y > 0, то. 0. Последнее неравенство выполняется 1.1. К простому числу прибавили 400 и получили квадрат натурального числа. Каким могло быть исходное простое число? Ответ: 41. Пусть р искомое простое число, тогда р + 400 = n, где n натуральное. Следовательно,

Подробнее

ОЛИМПИАДА "ФИЗТЕХ" ПО МАТЕМАТИКЕ. 9 класс

ОЛИМПИАДА ФИЗТЕХ ПО МАТЕМАТИКЕ. 9 класс МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ОЛИМПИАДА "ФИЗТЕХ" ПО МАТЕМАТИКЕ 9 класс БИЛЕТ 1 ШИФР Заполняется ответственным секретарём 1. Даны квадратные трёхчлены f 1 (x) = x 2 ax 3, f 2 (x) = x 2 + 2x b,

Подробнее

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) (y + 1) 4 + (y 1) 4 = 82.

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) (y + 1) 4 + (y 1) 4 = 82. Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год Задача 1. Найти решения уравнения 9 КЛАСС (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) Решение. После замены переменной x = y 1 уравнение (1) можно записать в виде

Подробнее

7 класс Первый тур ( 10 минут; каждая задача 6 баллов Второй тур ( 15 минут; каждая задача 7 баллов

7 класс Первый тур ( 10 минут; каждая задача 6 баллов Второй тур ( 15 минут; каждая задача 7 баллов класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Графики функций у = kx + b и у = bx + k пересекаются. Найдите абсциссу точки пересечения. Ответ: x =. Первый способ. Искомая абсцисса является решением

Подробнее

Задачи о касательных к параболам

Задачи о касательных к параболам potential_print09qxp 09007 :49 Page Потенциал 09 () 09007 Мирошин Владимир Васильевич Учитель гимназии 5 г Москва, старший преподаватель кафедры математического анализа Московского городского педагогического

Подробнее

Билет x. Метод интервалов, применённый к последнему неравенству, даёт x ( ; 6) [ 4; 2) ( 2; 2) (2; 4] (6; + ).

Билет x. Метод интервалов, применённый к последнему неравенству, даёт x ( ; 6) [ 4; 2) ( 2; 2) (2; 4] (6; + ). 1 Билеты 11 1 Решения Билет 11 1 Дана линейная функция f(x) Известно, что расстояние между точками пересечения графиков y = x 1 и y = f(x) равно 30, а расстояние между точками пересечения графиков y =

Подробнее

Образовательный центр «Сириус» Январская математическая смена Предварительный тур класс. Решения

Образовательный центр «Сириус» Январская математическая смена Предварительный тур класс. Решения Образовательный центр «Сириус» Январская математическая смена Предварительный тур. 19.11.2015 7 8 класс. Решения 1. Расставьте в клетках квадрата 3 3 числа от 1 до 9 так, чтобы каждое число было использовано

Подробнее

Второй способ. t. переменных p и q. Пусть р q, тогда, так как p и q простые числа, то или 1 1

Второй способ. t. переменных p и q. Пусть р q, тогда, так как p и q простые числа, то или 1 1 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Решите уравнение: х 6 + х 4 + х =. Ответ:. Пусть х = t 0, тогда уравнение примет вид: t + t + t =. Далее возможны различные способы решения. Первый

Подробнее

Задача 11. Деление с остатком

Задача 11. Деление с остатком XVIII Республиканский Турнир Юных Математиков Задача 11. Деление с остатком Лицей БГУ - 1 Автор: Пчелинцев Илья Научный руководитель: Шабан Светлана Аннотация Полностью решены пункты 1-3, 5 исходной постановки

Подробнее

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ)

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Югорский физико-математический лицей ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 0 ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ): Учебнометодическое пособие, - Ханты-Мансийск,

Подробнее

математике класс 1. Что больше: 15% от числа 240 или число, 75% которого равны 27. 2) Найдем число, 75% которого равны 27: 36.

математике класс 1. Что больше: 15% от числа 240 или число, 75% которого равны 27. 2) Найдем число, 75% которого равны 27: 36. Решение муниципального этапа Республиканской ученической олимпиады по 606 математике 6 класс Что больше: 5% от числа 40 или число, 75% которого равны 7 Решение 405 00 ) Найдем 5% от числа 40: 36 ; 700

Подробнее

3 тур интернет-олимпиады СУНЦ МГУ Решения задач

3 тур интернет-олимпиады СУНЦ МГУ Решения задач 3 тур интернет-олимпиады СУНЦ МГУ Решения задач 10 класс 1. На клетчатой доске 20 17 расставлены несколько шахматных коней. Каждую секунду какой-нибудь один из коней делает ход на свободное поле. Через

Подробнее

Задачи для подготовки к экзамену по геометрии в 8 классе,

Задачи для подготовки к экзамену по геометрии в 8 классе, Задачи для подготовки к экзамену по геометрии в 8 классе, 2018-2019 1 Вычисление элементов треугольника В треугольнике ABC обозначим: O и I центры описанной и вписанной окружностей соответственно, высота

Подробнее

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5.

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5. Решения А Изобразим все данные числа на числовой оси То из них которое расположено левее всех и является наименьшим Это число 4 Ответ: 5 А Проанализируем неравенство На числовой оси множество чисел удовлетворяющих

Подробнее

Вариант x x 2 (2x 6) 2. Найдите сумму натуральных решений неравенства: (x + 5)6 + 6 (x + 7) 6.

Вариант x x 2 (2x 6) 2. Найдите сумму натуральных решений неравенства: (x + 5)6 + 6 (x + 7) 6. 1 1. Решите неравенство: Вариант 1 5 2x x 2 (2x 6) 0. 2. Найдите сумму натуральных решений неравенства: x 4 2x 9. 3. Найдите значение выражения при x = 35: 6 (x + 5)6 + 6 (x + 7) 6. 4. Найдите наибольшее

Подробнее

Олимпиадные задания дистанционной олимпиады «Созвездие талантов» по математике для учащихся х классов ( учебный год) I тур

Олимпиадные задания дистанционной олимпиады «Созвездие талантов» по математике для учащихся х классов ( учебный год) I тур Олимпиадные задания дистанционной олимпиады «Созвездие талантов» по математике для учащихся 10-11-х классов (2013-2014 учебный год) I тур Параллелограмм двумя парами прямых, параллельных его сторонам,

Подробнее

7 класс Ответ. указательный.

7 класс Ответ. указательный. 7 класс. Ответ. Одна красная бабочка. Первое решение. Устроим перебор пар бабочек так, чтобы одна бабочка была красной (упомянутой в условии), а другая как придется. Из условия следует, что все бабочки,

Подробнее

10 класс. в целых неотрицательных числах x, y, z.

10 класс. в целых неотрицательных числах x, y, z. 0 Решите уравнение 0 класс x y 9z в целых неотрицательных числах x, y, z Из уравнения видно, что число x делится на : x = x, где x целое неотрицательное число Получаем: 7x = y + 9z, 9x = y + z Из последнего

Подробнее

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/11 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 8-1 Найти все натуральные числа n от 1 до 100 такие, что если перемножить

Подробнее

Рассмотрим куб ABCDA ' B' теореме о трех перпендикулярах). Рис. 1б A B

Рассмотрим куб ABCDA ' B' теореме о трех перпендикулярах). Рис. 1б A B класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Пусть 0 < x < и 0 < y

Подробнее

Сайт олимпиады 9 класс. Вариант 1

Сайт олимпиады  9 класс. Вариант 1 .0.06 Сайт олимпиады http://v-olymp.ru класс Вариант. Лыжник спускается с вершины горы к её подножию за 0 минут, а сноубордист за 5 минут. Спустившись, они тут же поднимаются вверх на подъёмнике, а затем

Подробнее

БИЛЕТ 15. (записано отношение высоты к основанию), откуда BH = 9+BH 2, BH = 3.

БИЛЕТ 15. (записано отношение высоты к основанию), откуда BH = 9+BH 2, BH = 3. БИЛЕТ 15 Физтех 017. Билеты 15 16. Решение 1. Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция f(x) принимает значения 1, 1 и 5 соответственно. Найдите наименьшее

Подробнее

XL ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ РЕШЕНИЯ

XL ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ РЕШЕНИЯ XL ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ РЕШЕНИЯ 7класс ГОРОД 1. В строку выписано 5 последовательных натуральных чисел. Возможно ли, что сумма цифр первого числа равна 5, а пятого 0? Решение:

Подробнее

50 (напомним:!

50 (напомним:! Второй (заключительный) этап олимпиады школьников «Шаг в будущее» для 8-10 классов по общеобразовательному предмету «Математика», 10 класс, весна 018 г. Вариант 1 Задача 1. (10 баллов) Сравните числа:

Подробнее

Математическая олимпиада школьников Республики Татарстан Муниципальный тур года

Математическая олимпиада школьников Республики Татарстан Муниципальный тур года Математическая олимпиада школьников Республики Татарстан Муниципальный тур 2012 13 года 7 класс 1. Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком (чашки одинаковые), причем Катя выпила 1/4 всего молока

Подробнее

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ Школьный этап 5 класс

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ Школьный этап 5 класс ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ 018-019 Школьный этап 5 класс 1. Малыш может съесть 600 г. варенья за 6 минут, а Карлсон в два раза быстрее. За сколько минут они съедят это варенье вместе?

Подробнее

ОЛИМПИАДА "ФИЗТЕХ" ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс

ОЛИМПИАДА ФИЗТЕХ ПО МАТЕМАТИКЕ. 11 класс МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ОЛИМПИАДА "ФИЗТЕХ" ПО МАТЕМАТИКЕ 11 класс БИЛЕТ 1 ШИФР Заполняется ответственным секретарём 1 Дана линейная функция f(x) Известно, что расстояние между точками пересечения

Подробнее

( ) ( ) ( ) k делятся на 9. Значит, число N ( a a... a ) Объединенная межвузовская математическая олимпиада

( ) ( ) ( ) k делятся на 9. Значит, число N ( a a... a ) Объединенная межвузовская математическая олимпиада Объединенная межвузовская математическая олимпиада 0004 I вариант (ответы и краткие решения) x + x + x+ Задача Из x = следует, что x+ x = x x для всех Это значит, что последовательность арифметическая

Подробнее

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 2002 год 9 КЛАСС

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 2002 год 9 КЛАСС Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 00 год 9 КЛАСС Задача 1. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит ее на отрезки, разность которых равна одному из катетов треугольника.

Подробнее

БИЛЕТ 9. . Это равенство на ОДЗ равносильно следующему:

БИЛЕТ 9. . Это равенство на ОДЗ равносильно следующему: Физтех 017. Билеты 9 1. Решение БИЛЕТ 9 1. Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция f(x) принимает соответственно значения 6, 5 и 5. Найдите наименьшее

Подробнее

Таким образом, корнями данного уравнения являются числа: 1,5; 0,5; 0,5; 1,5; 2.

Таким образом, корнями данного уравнения являются числа: 1,5; 0,5; 0,5; 1,5; 2. 1.1. (6 баллов) Сколько корней имеет уравнение x 6 x cos( x) 0? Ответ: пять. x 6 x x x 6 0, x 6 x 0, x или x 15, cos( x) 0 cos( x) 0, x k, k Z x 0, 5 k, k Z. x 6 x 0 x x x 6 0 1, 5 Таким образом, корнями

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2006 год. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2006 год. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 6 год Часть Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmthnetspbru A Упростите выражение,8,,, Решение Поскольку y y =, получаем: Правильный ответ: A Найдите

Подробнее

Часть I(Вариант 609) 3) 2 3) 3 4)

Часть I(Вариант 609) 3) 2 3) 3 4) Часть I(Вариант 609) A Внесите множитель под знак корня 8 q A ) q 8 ) q 8 ) q 8 ) q 8 8 8 q q Верный ответ ) Найдите значение выражения ),5 ) Верный ответ ) 9 при a = a a ) ) 8 A log 8 Найдите значение

Подробнее

Решение олимпиадных задач по геометрии для 10 класса

Решение олимпиадных задач по геометрии для 10 класса Решение олимпиадных задач по геометрии для 10 класса (ноябрь 011 года, заочный тур) Задача 1 Докажите, что если две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне, одного треугольника равны соответственно

Подробнее

Первый способ. Из данного неравенства следует, что b a c

Первый способ. Из данного неравенства следует, что b a c 9 класс Первый тур (0 минут; каждая задача баллов)... Верно ли, что если b > a + c > 0, то квадратное уравнение a + b + c = 0 имеет два корня? Ответ: да, верно. Первый способ. Из данного неравенства следует,

Подробнее

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Разложите на множители: 3 11 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) b 3 + 1 Найдите числа A, B, C, при которых справедливо

Подробнее

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы.

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы. Подготовка к С4 Треугольник, основные теоремы. Материал разработан преподавателем математики подготовительных курсов Учебного центра «Азъ» Трубецким Алексеем Петровичем Учебный центр «Азъ»,. Две прямые

Подробнее

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 6. sin x. Ответ: 0,76. Решение. 1) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента

Второй тур (15 минут; каждая задача 7 баллов). 6. sin x. Ответ: 0,76. Решение. 1) Преобразуем, используя формулы тройного аргумента 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов) Сумма трѐх чисел равна нулю Может ли сумма их попарных произведений быть положительной? Ответ: нет, не может Решение Пусть a + b + c = 0 Докажем, что

Подробнее

19 марта 2017 г. Заключительный тур Олимпиады 85 из Перечня на учебный год. Конкурс по астрономии и наукам о Земле. Решения.

19 марта 2017 г. Заключительный тур Олимпиады 85 из Перечня на учебный год. Конкурс по астрономии и наукам о Земле. Решения. лист 1 из 5 Задача 1. В пятиэтажном доме квартиры находятся одна над другой, а на каждом из этажей расположены следующим образом (см. рисунок). Соседними квартирами считаются квартиры, имеющие общую стену

Подробнее

ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ «БУДУЩЕЕ С НАМИ» Комплект заданий по математике Заключительный (очный) этап уч. г.

ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ «БУДУЩЕЕ С НАМИ» Комплект заданий по математике Заключительный (очный) этап уч. г. Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Балтийский федеральный университет имени Иммануила Канта» ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ «БУДУЩЕЕ С НАМИ»

Подробнее

Часть 1 К каждому заданию приведите только ответ (впишите его в таблицу)

Часть 1 К каждому заданию приведите только ответ (впишите его в таблицу) ВСТУПИТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ для поступающих в 10 физ-мат, мат-эк, мат-инф и физ-тех классы мая 019 года Вариант 1 Часть 1 К каждому заданию приведите только ответ (впишите его в таблицу) 1. Решите

Подробнее

[ ] x 2x. МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее» 2 тур, 9 класс, 15 февраля 2015 года ВАРИАНТ 1

[ ] x 2x. МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее» 2 тур, 9 класс, 15 февраля 2015 года ВАРИАНТ 1 МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее» тур, 9 класс, 15 февраля 015 года ВАРИАНТ 1 1. Десятичная запись натурального числа N содержит 1580 цифр. Среди этих цифр есть тройки, пятёрки

Подробнее

Старшая лига классика. 2. Автомат над числом, записанным на дисплее, может выполнить одно из двух действий:

Старшая лига классика. 2. Автомат над числом, записанным на дисплее, может выполнить одно из двух действий: Старшая лига классика 1. Найдите все простые p такие, что число p 2 +11 имеет ровно 6 различных делителей (включая 1 и само число). Ответ: 3. Решение. Заметим, что p 2 +11 = (p 1)(p+1)+12. Если p 5, то

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Подробнее

Методическое пособие по математике для учащихся НПО

Методическое пособие по математике для учащихся НПО ФГОУ СПО ЛТК Методическое пособие по математике для учащися НПО. 011 г. Решение линейны уравнений Правило 1: Слагаемые с собираем в левой части уравнения, а числа в правой. Через знак равенства «=», слагаемые

Подробнее

Решения задач районного тура олимпиады Юношеской Математической Школы 11 класс

Решения задач районного тура олимпиады Юношеской Математической Школы 11 класс Решения задач районного тура олимпиады Юношеской Математической Школы 11 класс Сюжет 1 Задача 1 Вася может придумать такие числа, которые в сумме будут давать 0 (например, сто единиц и 100). Единица является

Подробнее

Т е м а 1. Практика 1. В классе (5 номеров)

Т е м а 1. Практика 1. В классе (5 номеров) Т е м а 1 ПОВТОРЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИИ Практика 1 В классе (5 номеров) 1. Основания трапеции равны a и b (a > b). Найдите длину отрезка MN, концы которого делят боковые стороны AB и CD в отношении AM : MB =

Подробнее

1.2. (6 баллов) Прямая проходит через центр квадрата со стороной 1. Найдите сумму

1.2. (6 баллов) Прямая проходит через центр квадрата со стороной 1. Найдите сумму 1.1. (6 баллов) Квадратный трехчлен ax + bx + c имеет действительные корни. Верно ли, что трехчлен a 3 x + b 3 x + c 3 также имеет действительные корни? Ответ: верно. Дискриминант второго трехчлена: D

Подробнее

11 класс. Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). Первый способ. Перепишем данное неравенство в виде: x + 1 y 2.

11 класс. Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). Первый способ. Перепишем данное неравенство в виде: x + 1 y 2. 11 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). 1.1. Решите неравенство: x + y 2 + 1. Ответ: (1; 0). Первый способ. Перепишем данное неравенство в виде: x + 1 y 2. Так как x y 2 1 0, то x y 2 +

Подробнее

Решения для 9 класса подготовительного варианта

Решения для 9 класса подготовительного варианта Решения для 9 класса подготовительного варианта. Тема Действия с дробями 7 4 0,5 :, 5 : 5 7 Выполните действия:.,5 :8 4 Решение. Выполним действия в следующем порядке: 5 4 ) 0,5 :,5 : :. 4 4 5 5 7 4 7

Подробнее

7 класс. 4. Разрежьте фигуру на 4 равные части по площади и по форме. Ответ.

7 класс. 4. Разрежьте фигуру на 4 равные части по площади и по форме. Ответ. 6 класс. Олег написал на доске трехзначное число, Егор приписал к нему слева цифру 5, в результате чего число Егора оказалось в 9 раз больше, чем число Олега. Какое число написал Олег? Ответ: 65 Указание:

Подробнее

Решения задач заочного тура третьей олимпиады Эйлера

Решения задач заочного тура третьей олимпиады Эйлера Решения задач заочного тура третьей олимпиады Эйлера Решите уравнение ( x+ )( x ) + ( x ) x + = x О т в е т: { + ; 5} Решение Найдем область определения уравнения (ОДЗ): x ; x> Далее воспользовавшись свойствами

Подробнее

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Средняя линия треугольника Средняя линия треугольника это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Говоря о средней линии, третью сторону

Подробнее

Решения задач муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике 2017 год

Решения задач муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике 2017 год Решения задач муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике 017 год 8 класс Задача 1. Красная Шапочка решила сходить к бабушке, домик которой находился в 1 км ходьбы от ее дома.

Подробнее

Объединенная межвузовская математическая олимпиада Общие критерии оценивания

Объединенная межвузовская математическая олимпиада Общие критерии оценивания Объединенная межвузовская математическая олимпиада 000 Общие критерии оценивания По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания): задача решена

Подробнее

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады

Решения и критерии оценивания заданий олимпиады Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/9 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 9-1 Каждый член партии доверяет пяти однопартийцам, но никакие двое

Подробнее

РЕШЕНИЯ. Вариант 13 (Решения тестовых заданий) 1. Если число 75 составляет 100%, то число 57 составит 76%. Поэтому число

РЕШЕНИЯ. Вариант 13 (Решения тестовых заданий) 1. Если число 75 составляет 100%, то число 57 составит 76%. Поэтому число РЕШЕНИЯ Вариант (Решения тестовых заданий) 57 00 75 Если число 75 составляет 00%, то число 57 составит 76% Поэтому число 57 меньше числа 75 на 00 76 % Ответ: 5) Для четвертой и пятой функций точка является

Подробнее

(2cos 2 x 1) +0,5= cos 2 x

(2cos 2 x 1) +0,5= cos 2 x С1 cos +0,5= cos а) решить уравнение ЕГЭ от 7 ИЮНЯ 01 г. РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ С1-С ПО МАТЕМАТИКЕ б) найти корни на промежутке [ π; π ] Решение. UMS Team, 01, http://www.umsolver.com cos +0,5= cos (cos 1) +0,5=

Подробнее

. Возведя в квадрат обе части неравенства. 2, получим требуемое неравенство. Рис. 1

. Возведя в квадрат обе части неравенства. 2, получим требуемое неравенство. Рис. 1 9 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). 1.1. Прямые у = k + b, у = k + b и у = b + k различны и пересекаются в одной точке. Какими могут быть ее координаты? Ответ: (1; 0). Из уравнения первой

Подробнее

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1.

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1. 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Известно, что tg + tg = p, ctg + ctg = q. Найдите tg( + ). pq Ответ: tg. q p Из условия p tg q tg tg tg tg p и равенства ctg ctg q, получим, что

Подробнее

Межрегиональная научная универсиада по математике (г. Елабуга, 27 января 2012 г.)

Межрегиональная научная универсиада по математике (г. Елабуга, 27 января 2012 г.) Межрегиональная научная универсиада по математике г. Елабуга, 7 января 01 г.) Задачи для 9 класса 1. Доказать, что если α и β острые углы и α < β, то tg α α < tg β β.. Пароход от Казани до Астрахани идёт

Подробнее

Десятая олимпиада Эйлера для учителей математики

Десятая олимпиада Эйлера для учителей математики Десятая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура. Изобразите на координатной плоскости O множество точек, задаваемое уравнением. Решение. Область определения уравнения задается

Подробнее

Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике, 2016/2017 учебный год Задания отборочного этапа для классов c ответами и решениями (1-й тур)

Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике, 2016/2017 учебный год Задания отборочного этапа для классов c ответами и решениями (1-й тур) Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике, 01/017 учебный год Задания отборочного этапа для 10 11 классов c ответами и решениями (1-й тур) Задания для разминки 1. Найдите сумму квадратов корней уравнения

Подробнее

7 класс. 4. Внутри треугольника AOC произвольным образом отмечена точка X. Доказать, что угол AOC меньше угла AXC.

7 класс. 4. Внутри треугольника AOC произвольным образом отмечена точка X. Доказать, что угол AOC меньше угла AXC. Межрегиональная олимпиада школьников 08/09 7 класс Решить уравнение: ( )( + ) ( )( + ) = Среди прямых на плоскости, заданных уравнениями -6, указать пары параллельных прямых: y y y ) y = +, ) y = 3+ 4,

Подробнее