n = или k = k n называется единичным вектором

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "n = или k = k n называется единичным вектором"

Транскрипт

1 Лекция 5 Тема: Кривизна и кручение кривой Репер Френе План лекции Кривизна кривой Кручение кривой Репер Френе Формулы Френе Натуральные уравнения кривой Кривизна кривой Соприкасающаяся плоскость Пусть C - гладкая кривая и пусть задана ее естественная параметризация g( ( Рассмотрим произвольную точку P = g на кривой C и вектор g второй ( производной функции g в этой точке Этот вектор называется вектором кривизны кривойc в точке P и обозначается через : ( = g Его длина κ = κ называется кривизной кривой C в точке P ( Поскольку g (, то вектор = g ортогонален вектору g и, следовательно, лежит нормальной плоскости Если, то ( и прямая, проходящая через точку P в направлении вектора, называется главной нормалью кривой C в точке P В этом случае единичный вектор главной нормали и обозначается через n = g = ( g = Таким образом имеет место равенство n = или = n называется единичным вектором = n Это так называется «первая формула Френе» Кривизна позволяет определить, насколько данная кривая отличается от прямой Так, кривизна прямой во всех точках равна нулю Верно и обратное: если кривизна кривой равна нулю во всех точках, то кривая является отрезком прямой Пример: Кривизна окружности в каждой точке одинакова и R = R В общем случае кривизна в каждой точке кривой различна Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны кривой в данной точке Пусть f ( - произвольная параметризация кривой C Пусть она связана с естественной параметризацией g ( при помощи замены параметра: = ψ ( = τ dτ, причем = ψ Вектор f может не быть коллинеарным вектору кривизны ( ( ( = g, но его проекция [ f ] на нормальную плоскость коллинеарна вектору ( ( = g ( ( Действительно, f ψ Следовательно, 47

2 f = g ( ( ψ ( + g ( ψ ( ( Так как первое слагаемое лежит в нормальной плоскости, а второе- на касательной прямой, то первое слагаемое и равняется нормальной составляющей вектора f : ( f ( = (Механический смысл этой формулы заключается в том, что нормальное ускорение материальной точки, движущейся по кривой C, зависит только от скорости: оно прямо пропорционально квадрату скорости, а коэффициент пропорциональности служит вектор кривизны В нашем определении кривизна является функцией точки P, но часто удобно считать, что она зависит от естественного параметра или от того же параметра, что и функция f Найдем выражение кривизны через первую и вторую производные функции ( f ( f Ясно, что ( = Обозначим через α угол между векторами f ( и f ( Тогда Окончательно получаем или, короче, f ( ( f ( = f ( inα = ( f ( =, = f Замечание: Кривизна плоской кривой, заданной уравнением в явном виде y = f (x, f вычисляется по формуле = Отметим, что в тех точках, где первая ( + f / производная обращается в нуль, кривизна просто равна модулю второй производной: = f Соприкасающаяся плоскость Вектор бинормали Репер Френе Пусть в точке P кривая C имеет ненулевую кривизну Как мы видели, векторы f и f всегда лежат в плоскости, натянутой на векторы и n Эта плоскость ( ( называется соприкасающейся плоскостью кривой C в точке P В качестве нормального вектора к ней можно взять единичный вектор b = n, который называется вектором бинормали в точке P, а прямую, проходящую через этот вектор называют бинормалью кривой C в точке P Вектор бинормали для произвольной параметризации может быть вычислен по формуле: b = ( 48

3 Векторы, n, b в точке P образуют ортонормированный базис(они единичны и взаимно перпендикулярны Этот базис называется базисом или репером Френе К реперу Френе можно присоединить так называемый трехгранник Френе Он состоит из трех плоскостей: плоскость натянутая на векторы (, -соприкасающаяся b плоскость; на векторы ( n, -нормальная плоскость; на векторы, -спрямляющая плоскость Соприкасающаяся плоскость плоской кривой всегда совпадает с той плоскостью, в которой лежит кривая Соприкасающаяся плоскость обладает одним важным свойством, которое можно взять за основу при геометрическом ее определении: Теорема Пусть P -некоторая точка кривой C и пусть Q -точка кривой C, близкая к точке P При стремлении точки Q к точке P отношение расстояния δ от точки Q до соприкасающейся плоскости в точке P к квадрату расстояния d от Q до P стремится к нулю: δ lim = QP d Если кривизна кривой С в точке P отлична от нуля, то единственной плоскостью, обладающей таким свойством, будет соприкасающаяся плоскость(сформулированная теорема означает, что в каждой точке кривая с точностью до величин второго порядка малости приближается плоской кривой - своей проекцией на соприкасающуюся плоскость в этой точкеэтот факт мы оставим без доказательства, тем более что нигде не будем его использовать n ( b Кручение кривой Формулы Френе Натуральные уравнения кривой Пусть С -гладкая кривая, а g( -ее естественная параметризация Предположим, что в каждой точки кривая C имеет ненулевую кривизну В частности, в любой ее точке P = g( определены соприкасающаяся плоскость и вектор бинормали b( = ( n( = g ( g ( Рассмотрим вектор b первой производной от функции b ( Он ортогонален вектору, поскольку ( ( ( ( b = ( n = n+ n = ( n n+ n = ( n + n = + n = n (Поясним третье равенство Первое слагаемое в левой его части равно нулю, поскольку векторы и n коллинеарны (первая формула ФренеДалее, вектор b ортогонален b вектору ( ввиду постоянства модуля вектор-функции b( Следовательно Вектор n b ( коллинеарен вектору ( Поэтому выполняется равенство вида b ( = x n( Число x называется кручением кривой С в точке P Описанное равенство носит название «третьей формулы Френе» Абсолютным кручением x в точке P называется абсолютная величина вектора b ( ( 49

4 x = b ( Геометрический смысл кручения состоит в том, что оно показывает на сколько пространственная кривая отличается от плоской кривой Кручение кривой в каждой ее точке различно, то есть x = x( Кручение характеризует отличие пространственной кривой от плоской, поскольку, очевидно, кручение плоской кривой в каждой точке равно нулю Нетрудно видеть, что если кручение кривой в каждой точке равно нулю, то эта кривая лежит в некоторой плоскости Абсолютное кручение можно определить более геометрически Теорема Пусть C - данная кривая и P - некоторая точка на ней, а Q -близкая к P точка кривой C и θ - угол между соприкасающимися плоскостями кривой C в точках P и Q Тогда при стремлении точки Q к точке P отношение угла θ к расстоянию между Q и P стремится к определенному пределу, который и равен абсолютному кручению кривой C в точке P : θ lim = x QP QP Кручение допускает и несложное кинематическое истолкование Представим себе, что некоторая плоскость перемещается в пространстве, причем ее фиксированная точка с единичной скоростью движется по кривой, фиксированная прямая в каждый момент времени касается кривой в этой точке, а сама плоскость все время является соприкасающейся плоскостью кривой Тогда такое перемещение будет результатом поступательного движения и двух вращений- вращения этой плоскости вокруг бинормали и ее вращения вокруг касательной Угловая скорость первого вращения равна кривизне кривой, а второго- абсолютному кручению кривой в точке соприкосновения Знак кручения связан с направлением вращения: в случае, когда вращение происходит против часовой стрелки, если смотреть из конца касательного вектора, то это плюс, а если по часовой стрелке- то минус Полученные нами ранее выражении для производных по естественному параметру вектор - функций и b представляют собой две из трех формул Френе (называемых также формулами Френе - Серре Эти формулы дают разложение по базису Френе {, n, b} производных от входящих в него векторов: = ( n(, n = ( ( + x( b(, b = x( n( Первая и третья формулы нам уже известны Вторая формулы из них следует: n = ( b = b + b = x( + ( b n = x b Замечание Иногда, имея в виду уравнение кривой r g(, к числу формул Френе относят и формулу = r 5 = Вычисление кручения Пусть кривая C заданная естественной параметризацией g( и имеет в каждой точки ненулевую кривизну Для вычисления кручения кривой C воспользуемся формулами Френе: g = g = n, g = n+ n = n+ ( x b

5 Рассмотрим теперь смешанное произведение ( g, g, g Так как смешанное произведение не изменится, если прибавить к одному сомножителю или вычесть из него линейную комбинацию двух других, то ( g, g, g = g ( g g = ( ( n+ x b ( x + b = x + ( b = x = x 5 = ( n+ x b = = Получилось, что ( g, g, g = x Окончательно получаем формулу вычисления кручения в естественной параметризации ( g, g, g x = В этой формуле к и x являются функциями параметра Мы нашли короткую формулу для вычисления кручения кривой, но ею можно пользоваться, только если кривая снабжена естественной параметризацией, а это бывает на практике крайне редко Выведем формулу для кручения при произвольной параметризации Пусть f ( - произвольная, а g( - естественная параметризация кривой C, связанные заменой параметра = ψ ( = τ dτ Тогда непосредственным вычислением убеждаемся в том, что = g ψ (, f ( = g [ ψ ( ] f ( = g Отсюда следует, что + g ψ (, [ ψ ( ] + g ψ ( ψ ( + g ψ ( ( f, f, f = ( g, g, g ψ 6, при этом ψ = τ Пользуясь этим и тем, что =, из формулы для кручения в f естественной параметризации получаем окончательно a ( f, f, f x = f f Это формула для вычисления кручения в произвольной параметризации Натуральные уравнения кривой С каждой гладкой кривой, кривизна которой во всех точках отлична от нуля, мы связали три функции: (, (, x(, которые могут быть найдены по произвольной параметризации f ( этой кривой Спрашивается: определяют ли эти функции полностью кривую и нет ли между ними каких-либо соотношений? Мы можем наложить на них только тривиальные ограничения Функции эти непрерывны, кроме того, ( >, ( > при любом Легко видеть, что от трех функций можно перейти к двум, взяв за параметр длину дуги Тогда ( и x ( будут функциями, связанными непосредственно с кривой (и направлением на ней Нам остается узнать, определяют ли они кривую однозначно и нет ли между ними каких-либо соотношений (таких, как i n = co и in + co =

6 Теорема Пусть С и С - две гладкие кривые, имеющие одинаковую длину, и g, g -их естественные параметризации Если в соответствующих точках эти кривые имеют одинаковые кривизну и кручение:, x( x, то существует наложение, переводящее кривую С в кривую С Другими словами, кривизну и кручение определяют кривую с точностью до положения в пространстве Доказательство Совместим наложением реперы Френе обеих кривых в начальных точках, соответствующих значению параметра = : пусть g ( = g (, ( = (, n ( = n (, b ( = b ( В этих условиях требуется доказать, что кривые совпадают: g g Мы будем рассматривать,, n, n, b, b,,, x, x как функции параметра, но для краткости всюду опустим аргумент Рассмотрим функцию ξ (, определенную по формуле ξ = + n n + b b Докажем, что эта функция - постоянная Для этого продифференцируем ξ (, пользуясь формулами Френе, и приведем подобные: ξ = n n n n b b b b = n + n ( xb n ( xb n xnb xbn = Следовательно, ξ ( ξ ( = Это означает, что, то есть g g Поскольку у вектор- функций g ( и g в каждой точке равны производные и совпадают их начальные значения ( g ( = g (, то эти функции равны: g g Теорема доказана Теорема Для любых непрерывных функций h > и η (, определенных на отрезке [, S], существует гладкая кривая С, кривизна и кручение которой определяются этими функциями: = h, x = η( = h( Соотношения называются натуральными уравнениями кривой С Их x = η( достоинство заключается в том, что они никак не зависят от выбора координат Как мы уже знаем, кривая С ими определена однозначно с точностью до положения в пространстве 5


Структурно логическая схема. b -бинормальный в-р Кривизна ния кривой. Френе

Структурно логическая схема. b -бинормальный в-р Кривизна ния кривой. Френе Практическое занятие 5 Тема: Репер Френе Кривизна и кручение кривой Формулы Френе План занятия Кривизна кривой Кручение кривой Репер Френе Сопровождающий трехгранник кривой 4 Формулы Френе Натуральные

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Лекция 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Тема: Элементарная кривая Касательная Длина кривой План лекции Понятие и способы задания элементарной кривой Вектор-функция одного переменного Касательная к кривой

Подробнее

2 Сопровождающий трёхгранник кривой

2 Сопровождающий трёхгранник кривой Сопровождающий трёхгранник кривой Тема 4 Касательная и нормальная плоскости Ранее мы показали, что при данном значении параметра, произвольная функция (), если она существует и не равна нулю, параллельна

Подробнее

Теория поверхностей в дифференциальной геометрии

Теория поверхностей в дифференциальной геометрии Теория поверхностей в дифференциальной геометрии Элементарная поверхность Определение Область на плоскости называется элементарной областью, если она является образом открытого круга при гомеоморфизме,

Подробнее

МОДУЛЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

МОДУЛЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ МОДУЛЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Микроцели изучения модуля В результате изучения данного раздела студенты должны знать понятие линии, гладких и плоских линий, естественной параметризации понятие

Подробнее

Лекция К1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Лекция К1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ Лекция К1. 1 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ 1. Способы задания движения точки в заданной системе отсчета 2. Скорость и ускорение точки 3. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения

Подробнее

k связности (в данном случае кватернионной, или Q-связности, 12 кроме того собственной). (2-56)

k связности (в данном случае кватернионной, или Q-связности, 12 кроме того собственной). (2-56) Дифференцирование Q-базиса и кватернионная связность Кватернионные величины могут быть достаточно гладкими функциями параметров от которых зависят векторные кватернионые единицы В частности по отношению

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 1.02 Кинематика точки

Лекция 1.02 Кинематика точки Лекция 0 Кинематика точки Кинематика точки Векторный метод определения движения точки Далее всегда будем предполагать что существует неподвижная система отсчета - декартова система координат выбор которой

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Теоретическая механика наука об общих законах движения и равновесия материальных тел и о возникающих при этом механических взаимодействиях между телами Движение (механическое движение)

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Лекция 9 Введение в кинематику, динамику и статику абсолютно твердого тела

Лекция 9 Введение в кинематику, динамику и статику абсолютно твердого тела Лекция 9 Введение в кинематику, динамику и статику абсолютно твердого тела Момент силы и момент импульса частицы относительно оси Рассмотрим произвольную прямую a. Пусть на частицу, находящуюся в некоторой

Подробнее

достаточно близко, то участок BB

достаточно близко, то участок BB Лекция 3 Криволинейное движение. Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения. Движение точки по окружности. Угловое перемещение, векторы угловой скорости и углового ускорения. Связь между векторами

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Кинематика материальной точки.

Кинематика материальной точки. Кинематика материальной точки. : Скорость материальной точки.... Ускорение материальной точки.... 3 Тангенциальное и нормальное ускорение.... 4 Проекции скорости и ускорения... 5 График скорости... 6 Вращательное

Подробнее

Лекция 2. Инварианты плоских кривых

Лекция 2. Инварианты плоских кривых Лекция 2. Инварианты плоских кривых План лекции. Гладкие кривые на плоскости, число вращения, классификация кривых с точностью до гладкой гомотопии, точки самопересечения, число Уитни, теорема Уитни..1

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Лекция Дифференцирование сложной функции

Лекция Дифференцирование сложной функции Лекция 8 Дифференцирование сложной функции Рассмотрим сложную функцию t t t f где ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t Теорема Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке N t t t а функция f дифференцируема

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ):

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ): Функции нескольких переменных Во многих вопросах геометрии естествознания и пр дисциплин приходится иметь дело с функциями двух трех и более переменных Примеры: Площадь треугольника S a h где a основание

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА

ЛЕКЦИЯ 3 УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА ЛЕКЦИЯ 3 УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА 1. Ускорения точек при плоском движении На прошлой лекции были освещены почти

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

[ вектор-функция скалярного аргумента дифференцирование вектор-функции годограф соприкасающаяся плоскость главная нормаль и бинормаль кривизна линии

[ вектор-функция скалярного аргумента дифференцирование вектор-функции годограф соприкасающаяся плоскость главная нормаль и бинормаль кривизна линии [ вектор-функция скалярного аргумента дифференцирование вектор-функции годограф соприкасающаяся плоскость главная нормаль и бинормаль кривизна линии кручение линии основные формулы дифференциальной геометрии

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ (КРИВЫЕ)

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ (КРИВЫЕ) ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ (КРИВЫЕ) 1 Исследовать и построить кривые: а) = y= 1+ 1+ б) sin+ cos cos = y= в) sin sin 9 + = y= 1 Прямая OL вращается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью ω Точка М движется по

Подробнее

13. Частные производные высших порядков

13. Частные производные высших порядков 13. Частные производные высших порядков Пусть = имеет и определенные на D O. Функции и называют также частными производными первого порядка функции или первыми частными производными функции. и в общем

Подробнее

Геометрия в компьютерных приложениях

Геометрия в компьютерных приложениях Геометрия в компьютерных приложениях Лекция 2: Геометрия пространственных кривых и поверхностей Богачев Николай Владимирович Московский физико-технический институт, Кафедра дискретной математики, Лаборатория

Подробнее

Лекция 2. Относительность движения. Формула сложения скоростей

Лекция 2. Относительность движения. Формула сложения скоростей Лекция 2 Относительность движения. Формулы сложение скоростей и ускорений. Естественный способ описания движения частицы. Сопровождающая система координат. Физический смысл тангенциальной компоненты ускорения.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Лекция 6 Тема: Элементарные поверхности. Вектор-функции двух переменных. Кривые на гладкой поверхности

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Лекция 6 Тема: Элементарные поверхности. Вектор-функции двух переменных. Кривые на гладкой поверхности ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Лекция 6 Тема: Элементарные поверхности. Вектор-функции двух переменных. Кривые на гладкой поверхности План лекции. Понятие элементарной поверхности и способы ее

Подробнее

Элементарная поверхность. Гладкая поверхность. Кривые на поверхности. Касательная плоскость. поверхности

Элементарная поверхность. Гладкая поверхность. Кривые на поверхности. Касательная плоскость. поверхности МОДУЛЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Структурно логическая схема модуля Явное задание Способы задания Элементарная поверхность Квадратичные формы Векторная параметризация Параметризация Регулярная

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 КИНЕМАТИКА. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ И ТВЁРДОГО ТЕЛА. УГЛЫ ЭЙЛЕРА

ЛЕКЦИЯ 1 КИНЕМАТИКА. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ И ТВЁРДОГО ТЕЛА. УГЛЫ ЭЙЛЕРА ЛЕКЦИЯ 1 КИНЕМАТИКА. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ И ТВЁРДОГО ТЕЛА. УГЛЫ ЭЙЛЕРА Данный курс посвящён теоретической механике. Определение 1: Механика это наука, которая изучает движение и взаимодействие

Подробнее

ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА Плоским движением твердого тела называют такое его движение, при котором каждая его точка все время движется в одной и той же плоскости. Плоскости, в которых движутся отдельные

Подробнее

Дисциплина «Алгебра и геометрия»

Дисциплина «Алгебра и геометрия» Методические материалы для преподавателей. Примерные планы лекционных занятий. Раздел «Алгебра: основные алгебраические структуры, линейные пространства и линейные отображения» Лекция 1 по теме «Комплексные

Подробнее

1.1. Элементы кинематики Механическое движение. Предмет механики.

1.1. Элементы кинематики Механическое движение. Предмет механики. 11 Элементы кинематики 111 Механическое движение Предмет механики 11 Представление о свойствах пространства и времени в классической механике 113 Кинематическое описание движения 114 Скорость и ускорение

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 2 КРИВОЛИНЕЙНАЯ ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ ЕСТЕСТВЕННОЕ ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 2 КРИВОЛИНЕЙНАЯ ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ ЕСТЕСТВЕННОЕ ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 2 КРИВОЛИНЕЙНАЯ ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ ЕСТЕСТВЕННОЕ ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ Лектор: Батяев Евгений Александрович Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 2 Новосибирск,

Подробнее

Лекции по линейной алгебре и дифференциальной геометрии Н. С. Даирбеков

Лекции по линейной алгебре и дифференциальной геометрии Н. С. Даирбеков Лекции по линейной алгебре и дифференциальной геометрии Н. С. Даирбеков 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ 1.1. Плоскость и пространство. Векторы. Далее R n обозначает арифметическое евклидово пространство

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1 ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА Вектором называется направленный прямолинейный отрезок Длину отрезка в установленном масштабе называют модулем вектора Векторы считаются

Подробнее

Дифференциальная геометрия

Дифференциальная геометрия Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики ЕГ Романова Дифференциальная геометрия Краткий конспект лекций 009 Конспект лекций содержит

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ

ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Подробнее

1 Задачи механики. 2 Материальная точка и абсолютно твердое тело. 3 Способы описания движения материальной точки. 4 Тангенциальное, нормальное и

1 Задачи механики. 2 Материальная точка и абсолютно твердое тело. 3 Способы описания движения материальной точки. 4 Тангенциальное, нормальное и 1 Задачи механики. Материальная точка и абсолютно твердое тело. 3 Способы описания движения материальной точки. 4 Тангенциальное, нормальное и полное ускорения. Структура механики Механика Механика Кинематика

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА

ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА Рис. 2.1 Имеется неподвижная система координат OXY Z. Обозначим её как S Рассмотрим твёрдое тело, имеющее жёстко привязанные

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА. Лектор: Батяев Евгений Александрович

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА. Лектор: Батяев Евгений Александрович ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 5 КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА Лектор: Батяев Евгений Александрович Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 5 Новосибирск, 2016 г. 1 / 19 Задача кинематики твёрдого тела состоит в

Подробнее

Лекция 10. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ

Лекция 10. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ Лекция 1 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ 1 Понятие векторной функции Годограф Предел и непрерывность векторной функции Производная и дифференциал векторной функции 4 Геометрический и физический смысл производной векторфункции

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

2. КИНЕМАТИКА НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2. КИНЕМАТИКА

2. КИНЕМАТИКА НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2. КИНЕМАТИКА . КИНЕМАТИКА.1. Кинематика точки.1.1. Скорость точки.1.. Ускорение точки.1.3. Равнопеременное движение точки.. Основные движения твѐрдого..1. Поступательное движение твердого... Вращение твѐрдого вокруг

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Теоретическая механика наука об общих законах движения и равновесия материальных тел и о возникающих при этом механических взаимодействиях между телами Движение (механическое движение)

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ

КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 2.1. Понятие механики, модели в механике 2.2. Система отсчета, тело отсчета 2.3. Кинематика материальной точки 2.3.1. Путь, перемещение 2.3.2. Скорость 2.3.3. Проекция

Подробнее

Лекция 4: Векторное произведение векторов

Лекция 4: Векторное произведение векторов Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн.

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Если величина однозначно определяется заданием значений величин и, независимых друг от друга,

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

Кинематика материальной точки

Кинематика материальной точки Кинематика материальной точки Виды механических движений. Скорость и ускорение Прямолинейное движение Криволинейное движение Вращательное движение Преобразование Галилея. Инерциальные системы отсчета .

Подробнее

uv ( ψ ψ ) - точка на кривой С. Лекция 8 Тема: Вторая квадратичная форма поверхности и ее приложения

uv ( ψ ψ ) - точка на кривой С. Лекция 8 Тема: Вторая квадратичная форма поверхности и ее приложения Лекция 8 Тема: Вторая квадратичная форма поверхности и ее приложения План лекции Вторая квадратичная форма поверхности Нормальная кривизна поверхности Теорема Менье 3 Главные кривизны поверхности Формула

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

I. Введение. 1. Введение в механику. Разделы теоретической механики. Предмет теоретической механики

I. Введение. 1. Введение в механику. Разделы теоретической механики. Предмет теоретической механики I. Введение. Введение в механику. Разделы теоретической механики. Предмет теоретической механики Современная техника ставит перед инженерами множество задач, решение которых связано с исследованием так

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

, соединяющий начальное положение точки с конечным. Скорость точки равна производной от радиуса-вектора по времени:

, соединяющий начальное положение точки с конечным. Скорость точки равна производной от радиуса-вектора по времени: Механика Механическим движением называется изменение положения тела по отношению к другим телам Как видно из определения механическое движение относительно Для описания движения необходимо определить систему

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ. 1. Относительное, переносное и абсолютное движения точки

СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ. 1. Относительное, переносное и абсолютное движения точки СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ 1. Относительное, переносное и абсолютное движения точки Сложное движение точки это такое движение, при котором точка (тело) одновременно участвует в двух или нескольких движениях.

Подробнее

Векторный и тензорный анализ

Векторный и тензорный анализ С.Н. Зиненко Векторный и тензорный анализ Элементы дифференциальной геометрии и их приложения к механике (теория к задачам) 014 1. Естественный трехгранник кривой Теория 1 о Трехгранник кривой. На параметрическое

Подробнее

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков 1 Лекция 7 Производные и дифференциалы высших порядков Аннотация: Вводится понятие дифференцируемой функции, дается геометрическая интерпретация первого дифференциала и доказывается его инвариантность

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

3 УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ ПРЯМОЙ И НОРМАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ К ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ

3 УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ ПРЯМОЙ И НОРМАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ К ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ 1 УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЙ ПРЯМЙ И НРМАЛЬНЙ ПЛСКСТИ К ПРСТРАНСТВЕННЙ КРИВЙ Из аналитической геометрии известно, что всякому уравнению с тремя неизвестными Fz (,, ) ( или в явной форме z f(, ) ) соответствует

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Тема 4. ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ. Задание 4

Тема 4. ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ. Задание 4 Тема 4. ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ Задание 4 По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 определить скорость, а также касательное, нормальное и полное ускорения

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

2. ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН Кинематическое исследование плоских механизмов. Определение положений и перемещений звеньев графическим методом

2. ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН Кинематическое исследование плоских механизмов. Определение положений и перемещений звеньев графическим методом 2. ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН 2.2. Кинематическое исследование плоских механизмов Определение положений и перемещений звеньев графическим методом Графическое изображение взаимного расположения звеньев в

Подробнее

КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА. Теорема о распределении скоростей в твердом теле

КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА. Теорема о распределении скоростей в твердом теле Лекция 6 1 КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Теорема о распределении скоростей в твердом теле Матрица поворота твердого тела Рассмотрим два положения твердого тела: в начальный момент времени t=0, и в текущий k

Подробнее

и AC компланарны, а векторы AB, AD и AA не компланарны.

и AC компланарны, а векторы AB, AD и AA не компланарны. Лекция 3 Тема: Линейная зависимость векторов Базис векторного пространства План лекции Компланарные векторы Линейная зависимость/независимость системы векторов: определение свойства геометрический смысл

Подробнее

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе: Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

УДК О.В. Васильева СФЕРИЧЕСКИЕ НЕГОЛОНОМНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ В E 4

УДК О.В. Васильева СФЕРИЧЕСКИЕ НЕГОЛОНОМНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ В E 4 УДК 575 ОВ Васильева СФЕРИЧЕСКИЕ НЕГОЛОНОМНЫЕ В E Введены понятия сферической неголономной поверхности вращения ее меридианов и параллелей и изучены их свойства Неголономной поверхностью в четырехмерном

Подробнее

В отличие от вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, y вектора мгновенной угловой скорости w r с течением времени изменяется не

В отличие от вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, y вектора мгновенной угловой скорости w r с течением времени изменяется не ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ИМЕЮЩЕГО ОДНУ НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ 1. Уравнения сферического движения твердого тела. Мгновенная ось ащения и мгновенная угловая скорость Рассмотрим движение твердого тела, одна из

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

7. Понятие линейного пространства

7. Понятие линейного пространства 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,

Подробнее

Коллоквиум по аналитической геометрии

Коллоквиум по аналитической геометрии Коллоквиум по аналитической геометрии Решения 07/11/2013 Напоминание некоторых обозначений. f : A B: f функция с областью определения A и областью значений B. Z, Q, R множества целых, рациональных, и действительных

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее