ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ"

Транскрипт

1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 214, том 5, 6, с ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УДК ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ c 214 г. В. Г. Задорожний, Г. А. Курина Для определения математического ожидания и второй моментной функции решения обыкновенного скалярного линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка, коэффициенты которого являются случайными процессами, получены детерминированные линейные дифференциальные уравнения первого порядка с обычной и вариационной производными и детерминированные начальные условия. Найдены условия существования периодических в среднем решений. В частности, рассмотрены гауссовы и равномерно распределенные случайные коэффициенты. DOI: /S ВВЕДЕНИЕ На вещественной оси рассмотрим задачу Коши dx ε(x + f(, (1 d x( x. (2 Хорошо известны [1, с. 9 98] условия существования периодических решений уравнения (1 при условии, что коэффициенты ε и f являются детерминированными периодическими функциями. Задача существенно усложняется, если ε и f являются случайными процессами. Периодичность и устойчивость решений дифференциальных уравнений со случайной правой частью рассматривались, например, в [2, с. 69 9, ]. Будем считать, что x случайная величина, а ε и f являются независимыми случайными процессами, заданными характеристическими функционалами ( ( ϕ ε (u M i ( ( ε(u( d, ϕ f (v M i f(v( d, где M означает математическое ожидание, вычисленное по функции распределения случайного процесса, функции u, v принадлежат пространству L 1 ( суммируемых на функций. В отличие от [2, с. 238] не предполагается представление коэффициентов в виде суммы детерминированной функции и белого шума. Решение задачи (1, (2 является случайным процессом. Оно называется периодическим в среднем (ср. [2, с. 7], если его математическое ожидание является периодической функцией. В настоящей работе для определения математического ожидания и второй моментной функции решения задачи (1, (2 получены детерминированные линейные дифференциальные уравнения с обычной и вариационной производными и детерминированные начальные условия для этих уравнений. Найдены условия, при которых уравнение (1 имеет периодические в среднем решения и периодические вторые моментные функции. 726

2 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЕ С ОБЫЧНОЙ И ВАРИАЦИОННОЙ ПРОИЗВОДНЫМИ Будем считать, что x не зависит от случайных процессов ε и f. Введем в рассмотрение вспомогательное отображение ( ( y(, u, v M x( i (ε(u( +f(v( d, где математическое ожидание вычисляется по функции распределения x, ε и f. Отметим, что y(,, M(x(. (3 Напомним определение вариационной производной [3, с. 14]. Пусть ϕ функционал на пространстве L 1 ( и h L 1 (. Если ϕ(u + h ϕ(u ψ(, uh( d + o(h, где интеграл понимается в смысле Лебега и является линейным ограниченным относительно h функционалом, то ψ(, u называется вариационной производной функционала ϕ в точке u и обозначается δϕ(u δu(. Умножим уравнение (1 и начальное условие (2 на (i (ε(u(+f(v( d инайдем математическое ожидание для полученных выражений: ( ( dx M d ( i (ε(u( +f(v( d ( ( M ε(x( i ( ( M x( i (ε(u( +f(v( d (ε(u( +f(v( d ( ( + M f( i ( ( M(x M i (ε(u( +f(v( d, (ε(u( +f(v( d. Используя введенное обозначение y(, u, v и легко проверяемое соотношение ( ( δϕ f (v im i f(v( d f(, δv( запишем последние равенства в виде y(, u, v δy(, u, v i iϕ ε (u δϕ f (v δu( δv(, (4 y(,u,vm(x ϕ ε (uϕ f (v. (5 Мы получили детерминированное линейное дифференциальное уравнение первого порядка с обычной и вариационной производными и детерминированное начальное условие для этого уравнения. Отметим важную особенность уравнения: значение входит в числитель и знаменатель выражения. δy(, u, v δu( Решением задачи (4, (5 называется отображение y : L 1 ( L 1 ( C, удовлетворяющее почти всюду уравнению (4 и начальному условию (5, C здесь и далее множество комплексных чисел. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том

3 728 ЗАДОРОЖНИЙ, КУРИНА Естественным (см. равенство (3 является Определение 1. Если y(, u, v решение задачи (4, (5 в некоторой окрестности точки u, v, то y(,, называется математическим ожиданием решения задачи (1, (2 и обозначается через M(x(. 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ (4, (5 Введем в рассмотрение функцию χ(,,τ χ(,(τ, определенную следующим образом: χ(,, τ равна ign(τ при τ, принадлежащем отрезку с концами и, и нулю при τ, не принадлежащем этому отрезку. Лемма 1. Пусть a( непрерывная функция на, а функционал y : L 1 ( C имеет δy(u + aχ(, вариационную производную. Тогда почти при всех существует производная и выполняется равенство a( δu(τ y(u + aχ(, y(u + aχ(, δy(u + aχ(,. δu( Доказательство. Пусть Δ приращение, тогда в силу определения вариационной производной имеем 1 Δ { При этом y(u + aχ(, +Δ y(u + aχ(, Δ δy(u + aχ(, a(τ[χ(, +Δ, τχ(,, τ] dτ +o(a(τ[χ(, +Δ, τχ(,, τ] δu(τ 1 Δ [ } ] δy(u + aχ(, a(τχ(, +Δ, τ dτ + o(a(τχ(, +Δ, τ. (6 δu(τ a(τχ(, +Δ, τ L1 a(τ χ(, +Δ, τ dτ +Δ a(τ dτ O(Δ. Устремим в выражении (6 Δ к нулю.тогда 1 Δ o(a(τχ(, +Δ, τ 1 o(δ, Δ и согласно [4, с. 331] почти всюду на выполняется соотношение 1 Δ [ 1 Δ +Δ ] δy(u + aχ(, a(τχ(, +Δ, τ dτ δu(τ δy(u + aχ(, a(τ dτ δu(τ δy(u + aχ(, a(. δu( Следовательно, левая часть равенства (6 имеет предел при Δ, равный δy(u + aχ(, a(, δu( что и доказывает утверждение леммы. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том

4 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ 729 Теорема 1. Пусть существует вариационная производная δϕ ε(u iχ(,, тогда δu(τ y(, u, v M(x ϕ ε (u iχ(,ϕ f (v i является решением задачи (4, (5. Доказательство. Воспользовавшись леммой 1, находим δϕ f (v ϕ ε (u iχ(, d (7 δv( y(, u, v ( M(x i δϕ ε(u iχ(, ϕ f (v δu( iϕ ε (u δϕ f (v δv( δϕ ε (u iχ(, δϕ f (v δu( δv( d. Подставляя это выражение в уравнение (4, убеждаемся в том, что y(, u, v является решением уравнения (4. Очевидно, выполняется и условие (5. Теорема доказана. Теорема 2. Если существует вариационная производная δϕ ε(u iχ(,, то δu(τ M(x( M(x ϕ ε (iχ(, + ϕ ε (iχ(, M(f( d. (8 Доказательство. Положим в равенстве (7 u v. Учитывая, что ϕ f ( 1 и δϕ f ( im(f( [3, с. 3], получаем требуемое равенство (8. Теорема доказана. δv( 4. ОПЕРАТОР U(, И ЕГО СВОЙСТВА Пусть L 1 ( пространство суммируемых на комплекснозначных функций с нормой u u( d и C(L 1( пространство ограниченных непрерывных на L 1 ( функционалов с нормой ϕ ϕ(u. up u L 1 ( Введем оператор U(, : C(L 1 ( C(L 1 ( следующим образом: U(, ϕ(u ϕ(u iχ(,. Далее I, как обычно, означает тождественный оператор. Лемма 2. Оператор U(, обладает свойствами: 1 U(, I; 2 U(, τu(τ, U(, ; 3 U 1 (, U(,. Доказательство. Действительно, имеем 1 U(, ϕ(u( ϕ(u( iχ(,, ϕ(u(. 2 U(, τ(u(τ,ϕ(u( U(, τϕ(u( iχ(, τ, ϕ(u( iχ(τ,, iχ(, τ, U(, ϕ(u(. 3 U(, U(, ϕ(u( U(, ϕ(u( iχ(,, ϕ(u( iχ(,, iχ(,, ϕ(u(. Лемма доказана. Характеристический функционал гауссова случайного процесса ε имеет вид [3, с. 26] ( ϕ ε (u i M(ε(u( d 1 b( 1, 2 u( 1 u( 2 d 1 d 2, (9 2 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том

5 73 ЗАДОРОЖНИЙ, КУРИНА где M(ε( математическое ожидание, а b( 1, 2 M(ε( 1 ε( 2 M(ε( 1 M(ε( 2 ковариационная функция случайного процесса ε. Характеристический функционал равномерно распределенного случайного процесса ε определяется равенством ϕ ε (u in ( a(u( d 1 ( a(u( d i ξ(u( d, (1 где a( и ξ( M(ε( заданные непрерывные функции. При a( считаем ϕ ε (u (i ξ(u( d. Лемма 3. Если ϕ ε (u имеет вид (9 и функция M(ε( ω-периодическая, b(, ω-периодическая функция по обеим переменным или ϕ ε (u имеет вид (1 и функции a(, ξ( ω -периодические, то 1 U( + ω,ϕ ε (u U(ω, U(, ϕ ε (u U(, U(ω,ϕ ε (u; 2 U(,+ ωϕ ε (u U(,U(,ωϕ ε (u U(,ωU(,ϕ ε (u. Доказательство. Пусть ε имеет характеристический функционал (9. Поскольку для ω -периодической функции a( при любом справедливо равенство a( d ω a( d, то в силу симметричности функции b( 1, 2 и теоремы Фубини имеем ( i + i ( i + i M(ε(u( d + U( + ω,ϕ ε (u ϕ ε (u iχ(,+ ω M(ε( d + b( 1, 2 u( 1 d 2 d 1 + i b( 1, 2 d 1 d M(ε(u( d + M(ε( d + b( 1, 2 u( 1 d 2 d 1 + i ω M(ε( d 1 2 b( 1, 2 u( 1 d 2 d b( 1, 2 d 1 d ω M(ε( d 1 2 b( 1, 2 u( 1 d 2 d b( 1, 2 u( 1 u( 2 d 1 d 2 + b( 1, 2 d 1 d 2 + b( 1, 2 d 1 d 2 b( 1, 2 u( 1 u( 2 d 1 d 2 + b( 1, 2 d 1 d 2 + Далее, ω ω ω ω + 1 b( 1, 2 d 1 d b( 1, 2 d 1 d b( 1, 2 d 1 d U(ω,U(, ϕ ε (u U(ω, ϕ ε (u iχ(, ϕ ε (u iχ(,ω iχ(, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том

6 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ( i + i ( U(, U(ω,ϕ ε (u U(, i b( 1, 2 u( 1 u( 2 d 1 d 2 + i M(ε(u( d ω M(ε( d + b( 1, 2 u( 1 d 2 d 1 + i ω b( 1, 2 d 1 d ω ω M(ε(u( d + b( 1, 2 u( 1 d 2 d ω M(ε( d 1 2 b( 1, 2 u( 1 d 2 d b( 1, 2 d 1 d ω M(ε( d ω ω b( 1, 2 d 1 d 2 b( 1, 2 u( 1 u( 2 d 1 d 2 + ω ω b( 1, 2 d 1 d 2 + b( 1, 2 d 1 d 2. Это совпадает с выражением, полученным выше, что и доказывает первое утверждение леммы. Второе утверждение доказывается аналогично. Пусть ε имеет характеристический функционал (1, тогда ( in ( in a(u( d i a(u( d i ( in a(u( d i a(u( d i U(ω, ( in a(u( d i a(u( d i U( + ω,ϕ ε (u ϕ ε (u iχ(,+ ω a( d i a( d i a( d i a( d i ω ω a( d a( d a( d a( d ( i ( i ξ(u( d+ ξ(u( d + U(ω,U(, ϕ ε (u U(, U(ω, ϕ ε (u a(u( d i a(u( d i a( d i a( d i ω ω a( d a( d a( d a( d ( i ( i ξ(u( d + ξ(u( d + ξ( d+ ξ( d + ω ξ( d ξ( d + ω ξ( d ξ( d, ξ( d. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том

7 732 ЗАДОРОЖНИЙ, КУРИНА Из сравнения полученных результатов вытекает свойство 1. Свойство 2 доказывается аналогично. 5. СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ (4 Доказанные свойства оператора U(, позволяют найти условия существования ω -периодических решений детерминированного уравнения (4. δϕ f (v Теорема 3. Пусть выполнены условия леммы 3, является ω -периодической по δv( и существует (U(,ω I 1, тогда уравнение (4 имеет ω -периодическое решение y(, u, v iu(, (U(,ω I 1 U(,ϕ ε (u δϕ f (v δv( d. (11 Доказательство. Решение (7 задачи (4, (5 запишем с помощью оператора U(, в виде y(, u, v M(x U(, ϕ ε (uϕ f (v i δϕ f (v U(, ϕ ε (u d. (12 δv( Если y(, u, v является ω -периодической по функцией, то y(ω,u,v y(,u,v. Запишем последнее равенство для выражения (12 при : M(x U(ω,ϕ ε (uϕ f (v i Отсюда находим уравнение для начального условия ω U(ω,(U(,ω IM(x ϕ ε (uϕ f (v i U(ω,ϕ ε (u δϕ f (v δv( d M(x ϕ ε (uϕ f (v. ω U(ω,ϕ ε (u δϕ f (v δv( d. Согласно условиям теоремы, существует (U(,ω I 1, поэтому M(x ϕ ε (uϕ f (v i(u(,ω I 1 U(,ω ω U(ω,ϕ ε (u δϕ f (v δv( d. Подставив это выражение в равенство (12 при, с учетом свойств оператора U(, получаем представление i y(, u, v U(, (U(,ω I 1 U(,ωi U(, U(,ϕ ε (u δϕ f (v δv( + ω d iu(, (U(,ω I1 U(,ωU(,ϕ ε (u δϕ f (v δv( d U(ω,ϕ ε (u δϕ f (v δv( d [ ω U(,ϕ ε (u δϕ f (v δv( d + U(,ϕ ε (u δϕ ] f (v δv( d. (13 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том

8 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ 733 Так как δϕ f (v δv( является ω -периодической по функцией, то U(,ωU(,ϕ ε (u δϕ f (v δv( d ω δϕ f (v U(, 1 ϕ ε (u δv( 1 ω d 1 U(,ω+ ϕ ε (u δϕ f (v δv( d ω U(, 1 ϕ ε (u δϕ f (v δv( 1 d 1. Подставив это выражение в равенство (13 и объединяя интегралы, для y(, u, v получим представление (11. Покажем, что y(, u, v является ω -периодической по функцией. При всех имеем Теорема доказана. y( + ω,u,v iu( + ω, (U(,ω I 1 iu(, U(ω,(U(,ω I 1 iu(, (U(,ω I 1 U(ω, iu(, (U(,ω I 1 +2ω U(,ϕ ε (u δϕ f (v δv( d δϕ f (v U(, 1 + ωϕ ε (u δv( 1 + ω d 1 U(,ωU(, 1 ϕ ε (u δϕ f (v δv( 1 d 1 U(, 1 ϕ ε (u δϕ f (v δv( 1 d 1 y(, u, v. 6. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ (1 Из ω -периодичности y(, u, v по следует Теорема 4. Если выполнены условия теоремы 3, то M(x( U(, (U(,ω I 1 ϕ ε (iχ(,m(f( d является ω -периодическим математическим ожиданием решения уравнения (1. Доказательство. Действительно, в силу теоремы 3 математическое ожидание M(x( δϕ f (v y(,, является ω -периодическим, δv( im(f( (см. [3, с. 3]. Тогда из представления (11 и определений оператора U(, и функции χ следует, v что Теорема доказана. M(x( U(, (U(,ω I 1 U(, (U(,ω I 1 ϕ ε (iχ(, M(f( d ϕ ε (iχ(,m(f( d. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том

9 734 ЗАДОРОЖНИЙ, КУРИНА Из ω -периодичности по отображения y(, u, v при некоторых условиях следует ω -периодичность смешанных моментных функций. Теорема 5. Если выполнены условия теоремы 3 и δϕ ε(iχ(, является ω -периодической по τ функцией, то существует вторая смешанная моментная функция M(x(ε(τ, δu(τ являющаяся ω -периодической по переменным и τ, причем M(x(ε(τ iu(, (U(,ω I 1 δϕ ε (iχ(, M(f( d. δu(τ Доказательство. Определим M(x(ε(τ дифференцированием выражения для y(, u, v δy(, u, v im(x(ε(τ δu(τ. uv Тогда из представления (11 находим M(x(ε(τ U(, (U(,ω I 1 iu(, (U(,ω I 1 δϕ ε (u iχ(, δu(τ δϕ ε (iχ(, M(f( d. δu(τ δϕ f (v δv( d uv Поскольку δϕ ε(iχ(, является ω -периодической по τ функцией, то и M(x(ε(τ является ω -периодической по τ. Теорема доказана. δu(τ δ 2 ϕ f (v Теорема 6. Если выполнены условия теоремы 3, существует производная δv(τδv(, ω -периодическая по τ, то существует вторая смешанная моментная функция M(x(f(τ, являющаяся ω -периодической по переменным и τ, причем M(x(f(τ U(, (U(,ω I 1 ϕ ε (iχ(,m(f(τf( d. Доказательство. Поскольку M(x(f(τ можно найти дифференцированием из y(, u, v: δy(, u, v im(x(f(τ δ 2 ϕ f (v δv(τ и uv δv(τδv( M(f(τf( [3, c. 3], то из равенства v (11 получаем M(x(f(τ U(, (U(,ω I 1 Теорема доказана. U(, (U(,ω I 1 U(, (U(,ω I 1 ϕ ε (u iχ(, δ2 ϕ f (v δv(τδv( d uv ϕ ε (iχ(, M(f(τf( d ϕ ε (iχ(,m(f(τf( d. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том

10 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ 735 При использовании формулы (11 вызывает затруднения нахождение оператора (U(,ω I 1. Для изучения ω -периодичности математического ожидания решения уравнения (1 нам понадобится Теорема 7. Пусть выполнены условия леммы 3, существует оператор (U(,ω I 1, математическое ожидание M(f( является ω -периодическим и ϕ ε (iχ(ω, 1, тогда M(x( (ϕ ε (iχ(ω, 1 1 ϕ ε (iχ(, M(f( d является ω -периодическим математическим ожиданием решения уравнения (1. Доказательство. Периодическое математическое ожидание M(x( находим из (11: M(x( y(,, ( iu(, (U(,ω I 1 U(,ϕ ε (u δϕ f (v d. δv( uv Отметим, что (U(,ω I 1 ϕ ε (u u (ϕ ε (iχ(ω, 1 1 ϕ ε (u u. Из леммы 3 следует перестановочность операторов (U(,ω I 1, U(,. Тогда U(, (U(,ω I 1 U(,ϕ ε (u u (ϕ ε (iχ(ω, 1 1 ϕ ε (u iχ(, u, и мы получаем искомое представление для M(x(. Теорема доказана. Теорема 8. Пусть выполнены условия теоремы 2 и ϕ ε (iχ(ω, 1, тогда для существования ω -периодического математического ожидания решения уравнения (1 необходимо, чтобы выполнялось условие ω ϕ ε (iχ(, ωm(f( d. (14 Доказательство. Пусть M(x( является ω -периодическим. Из равенства (8 при ω вытекает условие M(x( M(x(ω : M(x ϕ ε (iχ(ω, + ϕ ε (iχ(, ωm(f( d M(x. Отсюда следует утверждение теоремы. ω 7. СЛУЧАЙ ГАУССОВА СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА ε Пусть случайный процесс ε задан характеристическим функционалом (9. Будем считать, что функции M(ε(, M(f( и b(, ω -периодические по. Теорема 9. Если существует оператор (U(,ω I 1 и то M(x( ( ( ω ω M(ε( d M(ε( d ω ω ω ω b( 1, 2 d 1 d 2, (15 1 b( 1, 2 d 1 d 2 1 b( 1, 2 d 1 d 2 ]M(f( d является ω -периодическим математическим ожиданием решения уравнения (1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том [ M(ε(τ dτ +

11 736 ЗАДОРОЖНИЙ, КУРИНА Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из теоремы 7, если учесть вид характеристического функционала (9. Проверим непосредственно ω -периодичность M(x(. Имеем M(x( ( ( ω M(ε(τ dτ ω ω Сделав замену переменной ξ + ω, будем иметь +2ω [ [ ξ+ω M(ε(τ dτ M(ε(τ dτ [ ξ +2ω 1 b( 1, 2 d 1 d 2 1 [ M(ε(τ dτ + b( 1, 2 d 1 d 2 ]M(f( d. (16 M(ε(τ dτ ξ+ω ξ+ω ξ ξ b( 1, 2 d 1 d 2 ]M(f( d b( 1, 2 d 1 d 2 ]M(f(ξ + ω dξ b( 1, 2 d 1 d 2 ]M(f(ξ dξ. Подставив это выражение в (16, получим равенство M(x( + ω M(x(. Теорема доказана. Пусть теперь условие (15 не выполнено, т.е. ω M(ε( d ω ω b( 1, 2 d 1 d 2. (17 Согласно теореме 8, если существует ω -периодическое математическое ожидание M(x(, то должно выполняться условие (14. В нашем случае оно имеет вид ω ( ω M(ε( d + 1 ω ω b( 1, 2 d 1 d 2 M(f( d. (18 2 Выясним, существуют ли при этом ω -периодические математические ожидания M(x(. Нам понадобится следующая Лемма 4. Пусть f(, является ω -периодической функцией по ипо. Тогда интеграл a f(, d является ω -периодической функцией в том и только в том случае, когда ω f(, d при всех [,ω. Доказательство. Справедливость утверждения вытекает из равенств a f( + ω, d a f(, d + f(, d a f(, d + ω f(, d. Теорема 1. Если выполняется условие (17 и M(f(, то для существования ω -периодического в среднем решения уравнения (1 такого, что M(x(, необходимо и достаточно выполнение условий ω M(ε( d, ω b( 1, 2 d 2. (19 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том

12 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ 737 Привыполненииусловий(19ипривсех [,ω условия ω ( M(ε(τ dτ b( 1, 2 d 1 d 2 + b( 1, 2 d 1 d 2 M(f( d (2 все решения неоднородного уравнения (1 являются ω -периодическими в среднем и M(x( имеют вид M(x( { + [ ( M(x ( M(ε(τ dτ M(ε( d b( 1, 2 d 1 d 2 ] + } b( 1, 2 d 1 d 2 M(f( d. (21 Доказательство. Пусть M(f( и при этом M(x( является ω-периодическим. Тогда из (8 при имеем ( M(x ( M(x( M(x M(ε( d ( M(x M(ε( d M(ε( d [ M(ε( + b( 1, 2 d 1 d 2 b( 1, 2 d 1 d 2 b( 1, d b( 1, 2 d 1 d 2 M(x( + ω при всех. Поэтому, поскольку M(x, выполняется равенство b( 1, d 1 ] d + [ M(ε( + b( 1, d b( 1, d 1 ] d. Дифференцируя это равенство по, получаем M(ε( + ω M(ε( + b( 1,+ ω d 1 b( 1, d b( 1,+ ω d b( 1, d 1 + [b(, d + 12 b( + ω, 12 b(, ] d. Отсюда следует, что b(, d или ω b(, d, тогда ω (17 вытекает равенство ω M(ε( d. Условия (19 получены. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том ω b(, d d, ииз

13 738 ЗАДОРОЖНИЙ, КУРИНА Из равенства (8 получаем требуемое представление (21 для математического ожидания решения задачи (1, (2. Из условий (19 и леммы 4 следует ω -периодичность функции, стоящей в квадратных скобках представления (21 для M(x(. Значит, при M(f( из условий (19 вытекает ω -периодичность математического ожидания M(x( решений уравнения (1. Функцию в фигурных скобках из (21 запишем в виде + ( ( M(ε(τ dτ + b( 1, 2 d 1 d M(ε(τ dτ M(ε(τ dτ b( 1, 2 d 1 d 2 + b( 1, 2 d 1 d 2 + b( 1, 2 d 1 d 2 M(f( d b( 1, 2 d 1 d 2 ( M(ε(τ dτ + b( 1, 2 d 1 d 2 M(f( d. Из условий (19, (2 и леммы 4 следует ω -периодичность последнего выражения. Теорема доказана. Замечание 1. Условие (18 вытекает из ω -периодичности функции M(x(, определяемой равенством (21. Замечание 2. Существуют гауссовы процессы с ненулевыми b( 1, 2, удовлетворяющие условиям (19, например, b( 1, 2 in(2π 1 /ωin(2π 2 /ω. Замечание 3. При b( 1, 2 из теорем 9, 1 вытекают известные результаты для детерминированного уравнения [1, с. 9 94] dx M(ε(x + M(f(. (22 d 8. СЛУЧАЙ ПРОЦЕССА ε, ИМЕЮЩЕГО РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть случайный процесс ε задан характеристическим функционалом (1. Будем считать, что функции a(, ξ(, M(f( являются ω -периодическими. Введем обозначение F (, ( in i i a(τ dτ a(τ dτ ( h ξ(τ dτ ( a(τ dτ a(τ dτ ( При a(τ dτ полагаем F (, ( ξ(τ dτ. Из теоремы 7 следует Теорема 11. Если существует оператор (I U(ω, 1 и F (ω, 1, то M(x( (F (ω, 1 1 F (, M(f( d ξ(τ dτ. является ω -периодическим математическим ожиданием решения уравнения (1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том

14 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ 739 Из теоремы 8 вытекает Теорема 12. Если F (ω, 1, то для существования ω -периодического математического ожидания решения уравнения (1 необходимо, чтобы выполнялось условие ω F (, ωm(f( d. Замечание 4. Если a(, то из теорем 11, 12 вытекают известные результаты для детерминированного уравнения (22 при M(ε( ξ( (см. [1, с. 9 94]. Теорема 13. Если M(f(, F(ω, 1 и уравнение (1 имеет ненулевое ω - периодическое математическое ожидание M(x(, то a(. Доказательство. Пусть a( и полученное из равенства (8 с учетом определения функции F (, математическое ожидание M(x( M(x F (,M(x ( ( (a( +ξ( d 2 a( d (ξ( a( d является ω -периодическим, причем M(x. Тогда оно ограничено на всей числовой оси. Поскольку a(, то ω (ξ( a( d ω (ξ( +a( d. Если ω (ξ(+a( d >, то F (, + при +. Если ω (ξ(+a( d, то F (, + при. Это противоречит ограниченности математического ожидания M(x(. Теорема доказана. 9. ВТОРАЯ МОМЕНТНАЯ ФУНКЦИЯ 9.1. Переход к детерминированной задаче. Будем искать вторую моментную функцию решения задачи (1, (2 при тех же предположениях, что и выше, а именно считаем, что процессы ε и f независимы и заданы характеристическими функционалами ϕ ε (u и ϕ f (v, а x не зависит от ε и f. Введем вспомогательное отображение z(,, u, v M ( x(x( ( i (ε(τu(τ+f(τv(τ dτ. Это отображение симметрично по переменным,, т.е. z(,,u,v z(,,u,v. Отметим, что z(,,, M(x(x(. (23 Умножим равенства (1, (2 на x((i (ε(τu(τ +f(τv(τ dτ и найдем математическое ожидание полученных выражений по функции распределения x, ε и f. Используя определения z(,, u, v и y(, u, v, имеем z(,, u, v δz(,, u, v δy(, u, v i i, (24 δu( δv( z(,,u,vm(x 2 ϕ ε(uϕ f (v. (25 Мы получили детерминированную задачу (24, (25 для нахождения z(,, u, v. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том

15 74 ЗАДОРОЖНИЙ, КУРИНА Определение 2. Если z(,, u, v является симметричным по переменным, решением задачи (24, (25 в некоторой окрестности точки u, v, то z(,,, называем второй моментной функцией решения задачи (1, (2 и обозначаем через M(x(x( Нахождение второй моментной функции. В уравнении (24 переменные, v являются параметрами и уравнение имеет вид (4, однако для задания начального условия нужно знать z(,,u,v, а нам известно только значение z(,,u,v (условие (25. Здесь нам понадобится требование симметричности решения (см. доказательство следующей теоремы. Теорема 14. Пусть ϕ ε : L 1 ( C имеет вариационную производную δϕ ε (u iχ(σ, iχ(ξ, δu(ζ и существуют вариационные производные δϕ f (v δv(, δ 2 ϕ f (v δv(δv(, тогда im(x z(,, u, v M(x 2 ϕ ε (u iχ(, iχ(,ϕ f (v δϕ f (v ϕ ε (u iχ(, iχ(τ, δv(τ dτ im(x δϕ f (v ϕ ε (u iχ(, iχ(σ, δv(σ δ 2 ϕ f (v ϕ ε (u iχ(ξ, iχ(σ, dξ (26 δv(σδv(ξ является симметричным по переменным, решением задачи (24, (25. Доказательство. Положим в уравнении (24. Вместе с условием (25 это уравнение составляет задачу вида (4, (5. Используя формулу из [3, с. 183], ее решение запишем в виде z(,,u,vm(x 2 ϕ ε(u iχ(,ϕ f (v i δy(,u iχ(τ,,v δv(τ где y(, u, v задается равенством (7. Поскольку z должно быть симметричным по переменным,, то z(,,u,vm(x 2 ϕ ε(u iχ(,ϕ f (v i δy(,u iχ(τ,,v δv(τ dτ, dτ. (27 Мы получили задачу (24, (27 для нахождения функции z(,, u, v. Она имеет вид задачи (4, (5. Запишем решение задачи (24, (27, используя формулу из [3, с. 183]: z(,, u, v M(x 2 ϕ ε (u iχ(, iχ(,ϕ f (v i i δy(, u iχ(σ,,v δv(σ δy(,u iχ(τ, iχ(,,v δv(τ Заменив в этом соотношении y выражением (7, получим требуемое равенство (26. Теорема доказана.. dτ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том

16 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ 741 Теорема 15. Пусть выполнены условия теоремы 14, тогда M(x(x( M(x 2 ϕ ε(iχ(, iχ(, + M(x + M(x ϕ ε (iχ(, iχ(σ, M(f(σ + ϕ ε (iχ(, iχ(τ,m(f(τ dτ + ϕ ε (iχ(ξ, iχ(σ, M(f(σf(ξ dξ является второй моментной функцией решения задачи (1, (2. δϕ f (v Доказательство. Действительно, δ 2 ϕ f (v δv(τ im(f(τ, v δv(σδv(ξ M(f(σf(ξ. v Положив в (26 u v, получим доказываемое утверждение Периодические решения уравнения (24. Теорема 16. Пусть выполняются условия леммы 3, существует оператор (U(,ωI 1, δϕ f (v δ 2 ϕ f (v кроме того, является ω -периодической по τ и является ω -периодической по σ и ξ, тогда уравнение (24 имеет ω -периодическое симметричное по, δv(τ δv(σδv(ξ решение z(,, u, v U(, (U(,ω I [im(x 1 Доказательство. Решение (26 при запишем в виде im(x U(, U(,σϕ ε (u δϕ f (v δv(σ ] U(, ξu(,σϕ ε (u δ2 ϕ f (v δv(σδv(ξ dξ. (28 z(,, u, v M(x 2 U(, U(, ϕ ε(uϕ f (v U(, U(, τϕ ε (u δϕ f (v δv(τ dτ im(x U(, U(, σϕ ε (u δϕ f (v δv(σ U(, ξu(, σϕ ε (u δ2 ϕ f (v dξ. (29 δv(σδv(ξ Если решение z(,,u,v ω -периодическое по, то z(ω,,u,v z(,,u,v. Запишем это равенство, используя представление (29, в виде im(x M(x 2 U(ω,U(, ϕ ε(uϕ f (v im(x ω U(, U(ω,σϕ ε (u δϕ f (v δv(σ ω M(x 2 U(, ϕ ε (uϕ f (v im(x ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том U(ω,U(, τϕ ε (u δϕ f (v δv(τ dτ U(, ξu(ω,σϕ ε (u δ2 ϕ f (v δv(σδv(ξ dξ U(, τϕ ε (u δϕ f (v δv(τ dτ

17 742 ЗАДОРОЖНИЙ, КУРИНА или ( U(ω,(U(,ω I M(x 2 U(, ϕ ε(uϕ f (v im(x U(, τϕ ε (u δϕ f (v δv(τ dτ im(x ω U(, U(ω,σϕ ε (u δϕ f (v δv(σ ω Поскольку существует обратный оператор (U(,ω I 1, то M(x 2 U(, ϕ ε(uϕ f (v im(x ( (U(,ω I 1 U(,ω im(x ω ω U(, ξu(ω,σϕ ε (u δ2 ϕ f (v δv(σδv(ξ dξ. U(, τϕ ε (u δϕ f (v δv(τ dτ U(, U(ω,σϕ ε (u δϕ f (v δv(σ U(, ξu(ω,σϕ ε (u δ2 ϕ f (v δv(σδv(ξ dξ Подставив это выражение в равенство (29, получим ω ω ( z(,, u, v U(, (U(,ω I 1 U(,ω im(x U(, ξu(ω,σϕ ε (u δ2 ϕ f (v δv(σδv(ξ dξ U(, (U(,ω I 1 [im(x im(x ω. U(, ξu(, U(,σϕ ε (u δ2 ϕ f (v δv(σδv(ξ dξ U(, ξu(,σϕ ε (u δ2 ϕ f (v δv(σδv(ξ dξ im(x U(,ωU(, ξu(,σϕ ε (u δ2 ϕ f (v δv(σδv(ξ dξ + im(x + ω U(, U(ω,σϕ ε (u δϕ f (v δv(σ U(, U(, U(,σϕ ε (u δϕ f (v δv(σ U(, U(,σϕ ε (u δϕ f (v δv(σ U(,ωU(, U(,σϕ ε (u δϕ f (v δv(σ U(, ξu(,σϕ ε (u δ2 ϕ f (v δv(σδv(ξ dξ U(, U(,σϕ ε (u δϕ f (v δv(σ + ]. (3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том

18 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ 743 Заметим, что im(x ω Аналогично имеем ω 1 im(x im(x U(,ωU(, U(,σϕ ε (u δϕ f (v δv(σ U(, U(,σ+ ωϕ ε (u δϕ f (v δv(σ δϕ f (v U(, U(,σ 1 ϕ ε (u δv(σ 1 ω 1 im(x U(,ωU(, ξu(,σϕ ε (u δ2 ϕ f (v δv(σδv(ξ dξ U(, ξu(,σ+ ωϕ ε (u δ2 ϕ f (v δv(σδv(ξ dξ δ 2 ϕ f (v U(, ξu(,σ 1 ϕ ε (u δv(σ 1 ωδv(ξ dξ ω ω U(, U(,σϕ ε (u δϕ f (v δv(σ. U(, ξu(,σϕ ε (u δ2 ϕ f (v δv(σδv(ξ dξ. Подставляя эти выражения в равенство (3 и объединяя соответствующие интегралы, получаем равенство (28, из которого непосредственно вытекает ω -периодичность z(,, u, v по,, если использовать свойства оператора U(,. Теорема доказана. Теорема 17. Пусть выполняются условия теоремы 16, тогда M(x(x( (U(,ω I [M(x 1 + ϕ ε (iχ(σ, iχ(,m(f(σ + ] ϕ ε (iχ(σ, iχ(ξ,m(f(σf(ξ dξ является ω -периодической по и второй моментной функцией решения уравнения (1. Доказательство. Используя равенство (28 при u v, из теоремы 16 получаем доказываемое утверждение. Теорема 18. Если при условиях теоремы 16 выполняется неравенство то ϕ ε (iχ(ω, 1, M(x(x( (ϕ ε (iχ(ω, 1 [M(x 1 + ϕ ε (iχ(σ, iχ(,m(f(σ + ] ϕ ε (iχ(σ, iχ(ξ,m(f(σf(ξ dξ является ω -периодической по и второй моментной функцией решения уравнения (1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том

19 744 ЗАДОРОЖНИЙ, КУРИНА Замечание 5. Если b( 1, 2 в функционале (9 или a( в функционале (1, то полученная в теореме 18 формула совпадает с соответствующим результатом для детерминированного уравнения (22. Замечание 6. Утверждения теорем 7, 9, 11, 18 остаются справедливыми, если условие обратимости оператора U(,ω I и неравенство ϕ ε (iχ(ω, 1 ( F (ω, 1 для функционалов вида (9 заменить соотношениями ω M(ε( d, ω b( 1, 2 d 2, а для функционалов вида (1 условиями ω ξ( d, ω a( d. В этих случаях для функционала ϕ(u cϕ ε (u v, c, v L 1 (, существует функционал ψ(u такой, что (U(,ω Iψ(u ϕ(u, а именно ψ(u ϕ(u/(ϕ ε (iχ(ω, 1. Замечание 7. Используя теоремы 7 и 18 при, можно найти периодическую дисперсионную функцию M(x 2 ( (M(x( 2 и, следовательно, получить условия существования периодических в широком смысле (ср. с [2, с. 7] решений уравнения (1. Авторы благодарны В.А. Ильину за поддержку темы работы. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М., Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М., Задорожний В.Г. Методы вариационного анализа. Москва; Ижевск, Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Воронежский государственный университет Поступила в редакцию г. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том

УДК РАСЧЕТЫ РИСКОВ В ЗАДАЧЕ О ПОРТФЕЛЕ

УДК РАСЧЕТЫ РИСКОВ В ЗАДАЧЕ О ПОРТФЕЛЕ УДК 57.977 РАСЧЕТЫ РИСКОВ В ЗАДАЧЕ О ПОРТФЕЛЕ В. Г. Задорожний Воронежский государственный университет Поступила в редакцию 6.09.06 г. Аннотация. Рассматривается задача о распределении начального капитала

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

14. Задача Штурма-Лиувилля.

14. Задача Штурма-Лиувилля. Лекция 8 4 Задача Штурма-Лиувилля Рассмотрим начально-краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка описывающего малые поперечные колебания струны Струна рассматривается

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная

Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ. 1. Слабая производная Лекция 7 СЛАБАЯ И СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ 1. Слабая производная Определение 1. Функция v(x) L p loc () называется слабой производной x α функции u(x) L p loc () и пишем v(x) = α u(x), если для всякой функции

Подробнее

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

13. Частные производные высших порядков

13. Частные производные высших порядков 13. Частные производные высших порядков Пусть = имеет и определенные на D O. Функции и называют также частными производными первого порядка функции или первыми частными производными функции. и в общем

Подробнее

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ Проф др Авыт АСАНОВ Кыргызско-Турецкий Университет «Манас» Классические понятия производной и дифференциала функции изложены во многих работах Например в []

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X px ( ) xp( x) dx.

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X + = px ( ) xp( x)

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Элементы дифференциального исчисления векторных функций векторного аргумента

Элементы дифференциального исчисления векторных функций векторного аргумента ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Элементы дифференциального исчисления векторных функций векторного аргумента Учебно-методическое пособие для вузов Составители: С.П. Зубова, И.Н. Гурова, М.И. Каменский,

Подробнее

Простейшие задачи вариационного исчисления

Простейшие задачи вариационного исчисления Глава VI. Простейшие задачи вариационного исчисления 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве Опр. 6. 1. Функционалом J[y] в линейном нормированном пространстве E называется закон соответствия,

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 Простейший случай теоремы Пикара. S 5. Простейший случай теоремы Пикара: автономное уравнение с глобально липшицевой правой частью

ЛЕКЦИЯ 2 Простейший случай теоремы Пикара. S 5. Простейший случай теоремы Пикара: автономное уравнение с глобально липшицевой правой частью ЛЕКЦИЯ 2 Простейший случай теоремы Пикара S 5. Простейший случай теоремы Пикара: автономное уравнение с глобально липшицевой правой частью Теорема 1. Пусть B банахово пространство с нормой.. Пусть функция

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

3. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий.

3. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий. Лекция 4 3 Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий Постановка задачи Простейшим примером параметра, от которого зависит решение задачи Коши = f ( xy, ), yx ( ) = y

Подробнее

Лекция 8. Слабая и сильная производные

Лекция 8. Слабая и сильная производные Лекция 8. Слабая и сильная производные Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 9 апреля 2012 г. Определение слабой производной Определение

Подробнее

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 28.1. Пространства D, D основных и обобщенных функций Понятие обобщенной функции обобщает классическое понятие функции и дает возможность выразить в математической форме такие

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ЛЕКЦИЯ 7 Неограниченные линейные операторы Хотя методами главы I нам удалось исследовать многие задачи математической физики, некоторые вполне классические задачи не

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Операторно-разностные схемы 1.1 Введение Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области G R m, и пусть u(t) абстрактная

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости

2 Дифференцируемость функций многих переменных. точке. Достаточные условия дифференцируемости В.В. Жук, А.М. Камачкин Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцируемость функции в точке. Достаточные условия дифференцируемости в терминах частных производных. Дифференцирование сложной

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

2. Пространства Соболева

2. Пространства Соболева 2. Пространства Соболева В теории дифференциальных уравнений в основном имеют дело с измеримыми функциями. Пусть область в R d. Функция u : R называется измеримой, если она является поточечным пределом

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Устойчивость решения задачи Коши по начальным данным и правой части Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры

О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры Математический сборник т 7(69) 95 А Н Тихонов О системах дифференциальных уравнений содержащих параметры Рассмотрим систему дифференциальных уравнений n и решение этой системы определяемое условиями Это

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Тихоокеанский Государственный Университет Факультет математического моделирования и процессов управления Специальность Программное обеспечение вычислительной техники

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

2 Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом

2 Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом 2 Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом Приведем формулировку и доказательство принципа максимума Понтрягина для следующего частного случая задачи оптимального

Подробнее

6.1 Определения, предварительные сведения

6.1 Определения, предварительные сведения 6. Неявные функции 6.1 Определения, предварительные сведения Зависимость одной переменной от другой (или от других) не обязательно может быть выражена при помощи так называемого явного представления, когда

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

4. Функция Грина краевой задачи

4. Функция Грина краевой задачи Функция Грина краевой задачи 4. Функция Грина краевой задачи I.4.1. Существование функции Грина Опр. 1. 1. Функцией Грина краевой задачи Ly = k)y ) ) q)y = f), 1) Γ y y ) sin α + y) cos α = 0, α 0, π 2,

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы.

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 19 сентября 212 г. Обозначения пусть B это некоторое банахово пространство

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

УДК Решение уравнения Риккати и его применение к линейным уравнениям второго порядка

УДК Решение уравнения Риккати и его применение к линейным уравнениям второго порядка 1 УДК 517 96 1. Решение уравнения Риккати и его применение к линейным уравнениям второго порядка Чочиев Тимофей Захарович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Южный Математический

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Глава 7. Понятие об асимптотических методах

Глава 7. Понятие об асимптотических методах Глава 7 Понятие об асимптотических методах Лекция Регулярно и сингулярно возмущенные задачи При построении математических моделей физических объектов, характеризующихся различными масштабами по пространству,

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Принцип максимума Понтрягина Задача оптимального управления f(t, x, u): [t 0, t 1 ] R n R r R

Подробнее

Лекция 3. Производная по направлению

Лекция 3. Производная по направлению Лекция 3. Производная по направлению Производная по направлению имеет большое значение в теории математического программирования. Напомним, что производная по направлению согласно определению равна: f

Подробнее

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора.

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора. Лекция 4 Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора Пусть линейный оператор действует в линейном пространстве L Число называется собственным значением оператора,

Подробнее

Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава 1 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Лекция 1 1 Введение Уравнение называется интегральным, если неизвестная функция входит в уравнение под знаком интеграла Разумеется, мы не будем рассматривать интегральные

Подробнее

Дельта-функция. Определение дельта-функции

Дельта-функция. Определение дельта-функции Дельта-функция Определение дельта-функции Пусть финитная бесконечно дифференцируемая функция (т. е. основная функция),. Будем писать:. О. Дельта-функцией Дирака называется линейный непрерывный функционал

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 8 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Пусть Х и Y банаховы пространства, F отображение, определенное в окрестности

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды

ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды S 3. Определение и элементарные свойства максимальных монотонных операторов Всюду на протяжении этих двух лекций символом H обозначено гильбертово пространство со скалярным

Подробнее

О МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

О МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ УДК 517.977 О МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Задорожний Владимир Григорьевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой нелинейных колебаний Воронежского государственного

Подробнее

Численные методы вычисления определенного интеграла

Численные методы вычисления определенного интеграла Глава 1 Численные методы вычисления определенного интеграла Цель работы изучение численных методов интегрирования и их практическое применение для приближенного вычисления однократных интегралов. Продолжительность

Подробнее

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ В ПРОСТЕЙШЕЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. В. Н.

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ В ПРОСТЕЙШЕЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. В. Н. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ В ПРОСТЕЙШЕЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В. Н. Малозёмов v.mlozemov@spbu.ru 8 декабря 206 г. Аннотация. Рассматривается простейшая

Подробнее

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции.

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции. Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. Интеграл Лебега, конечно, строиться не для всех функций, а только для так называемых измеримых. В дальнейшем для удобства вместо тройки (, µ,µ ) мы будем

Подробнее

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С НЕЛОКАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ К. Б. Сабитов, Н. В. Мартемьянова

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С НЕЛОКАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ К. Б. Сабитов, Н. В. Мартемьянова Сибирский математический журнал Май июнь, 1. Том 53, 3 УДК 517.95 ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С НЕЛОКАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ К. Б. Сабитов, Н. В. Мартемьянова Аннотация.

Подробнее

Двойственность в линейном программировании

Двойственность в линейном программировании Двойственность в линейном программировании Двойственными называются пары следующих задач: z b b, k k,, r r, w, k k, b, r r, Принципы составления двойственных задач: Если исходная задача на максимум, то

Подробнее

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2).

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2). Лекция подготовлена доц Мусиной МВ Непрерывность функции Пусть функция y = f(x) определена в точке x и в некоторой окрестности этой точки Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x, если существует

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

7. Экстремумы функций нескольких переменных

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n ) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Следствие Функция f на римановой поверхности X является гармонической тогда и только тогда, когда d( df) = 0.

Следствие Функция f на римановой поверхности X является гармонической тогда и только тогда, когда d( df) = 0. 13. Лемма Г. Вейля Начнем с того, что дадим еще одно определение гармонических функций на римановых поверхностях. Пусть X риманова поверхность и p X. Тогда касательное пространство T p X является не просто

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее