А.И. Руппель КРАТКИЙ КУРС МЕХАНИКИ. Учебное пособие для студентов немашиностроительных специальностей вузов

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "А.И. Руппель КРАТКИЙ КУРС МЕХАНИКИ. Учебное пособие для студентов немашиностроительных специальностей вузов"

Транскрипт

1 Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) А.И. Руппель КРАТКИЙ КУРС МЕХАНИКИ Учебное пособие для студентов немашиностроительных специальностей вузов Омск Издательство СибАДИ 00

2 УДК ББК 30.1 Р 86 Рецензенты: д-р техн. наук, проф.в.д. Белый д-р техн. наук, проф. В.Н. Тарасов Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве учебного пособия по дисциплине «Механика» для специальностей «Производственный менеджмент», «Организация дорожного движения», «Экономика и управление на предприятиях транспорта». Руппель А.И. КРАТКИЙ КУРС МЕХАНИКИ: учеб. пособие. Омск: Изд-во СибАДИ, с. В настоящем пособии кратко изложены основы теоретической механики, теории механизмов и машин, сопротивления материалов и деталей машин. Теоретические положения и выводы формул даны в единой методической системе, которая дает наглядность и раскрывает физическую сущность явлений. Приводятся примеры решения задач. Пособие предназначено для студентов немеханический специальностей стационарной и заочной форм обучения. Табл. 1. Ил.15. Библ. 14 назв. ISBN Руппель А.И., 00 Издательство СибАДИ, 00

3 3 В В Е Д Е Н И Е Необходимость в создании учебного пособия, в котором отражены все разделы механики: теоретическая механика, сопротивление материалов, теория механизмов и машин и детали машин, возникла в связи с тем, что вузовские учебники по перечисленным дисциплинам очень объемные и не соответствуют программе подготовки менеджера, инженера-экономиста и т. д. Учебное пособие написано в соответствии с рабочей программой по «Основам механики», рассмотренной на заседании кафедры деталей машин и утвержденной на методическом совете факультета «Технологические и транспортные» машины. Оно состоит из четырех разделов: 1. Основы теоретической механики.. Основы теории механизмов и машин. 3. Основы сопротивления материалов. 4. Детали машин. Главное назначение курса «Основы механики» ознакомить с основными понятиями и методами анализа, присущими машиностроению, чтобы в дальнейшей практической деятельности будущие менеджеры и экономисты нашли общий язык с механиками. Объем учебника краток и определен малым временем, отводимым на данный курс, поэтому неизбежно неполное изложение разделов. Теоретический материал в учебном пособии иллюстрируется рисунками и примерами решения задач. В пособии принята международная система единиц физических величин (СИ). Учебное пособие по механике предназначается для немашиностроительных вузов, у которых на изучение механики отводится сравнительно небольшое количество часов. Современное человечество вооружено техникой, которая окружает нас повсюду и выполняет самую разнообразную полезную работу. Техника это машины и приборы, которые используют различные явления природы и заставляют их служить человеку. Каждое устройство состоит из разных частей, выполняющих свои функции. Основу всех машин и многих аппаратов составляет механическая часть, которая состоит из корпуса и движущихся тел, связанных между собой. Кроме механической части, в машине имеются электрическая, гидравлическая, пневматическая и другие части. Бывают немеханические машины, например, ЭВМ, которые не содержат механической части. В большинстве современных машин происходит преобразование электрической, тепловой, химической энергии в механическую. Для этого служат электродвигатели (электромоторы), двигатели внутреннего сгорания, электрохимические аккумуляторы и др. Механическая часть машины, состоящая из твердых тел (деталей) и предназначенная для выполнения полезной работы, называется

4 4 механизмом. Эта часть машины является объектом изучения в нашем курсе. Если из твердых тел (деталей) построить механизм, то нужно их соединить друг с другом, чтобы обеспечить их заданные относительные движения. Подвижные соединения соприкасающихся деталей называют кинематическими парами, а соединяемые ими детали - звеньями. Система звеньев, подвижно связанных между собой, образует кинематическую цепь. Механизм представляет собой кинематическую цепь, используемую для выполнения полезной механической работы. Примерами могут служить подъемные краны, автомобили, тракторы, дорожные машины, станки, прессы, молоты, насосы, вентиляторы и многое другое. Несмотря на большое разнообразие механизмов и машин, они состоят из сравнительно небольшого числа однотипных деталей: корпусов, валов, зубчатых колес, рычагов и т.д., для которых применяют одни и те же методы расчета и анализа в казалось бы далеких друг от друга отраслях техники. Это делает механику с ее разделами универсальной общеобразовательной технической дисциплиной, необходимой каждому инженеру. В нашем курсе мы будем изучать не специальные, а универсальные наиболее распространенные механизмы и их детали. Изучение данного курса позволяет обоснованно выбирать и эксплуатировать различные технические средства, применяемые в различных промышленных и транспортных предприятиях, а также иметь представление о расчете и проектировании этих средств. Задачами дисциплины являются: Получение основ знаний общих законов движения и равновесия материальных тел. Освоение основных методов расчета элементов конструкций и машин на прочность и жесткость. Ознакомление с устройством простых механизмов и машин. Краткий курс механики базируется на общенаучных дисциплинах: математике, физике, инженерной графике и др. Знания, полученные в данном курсе, могут быть использованы в специальных дисциплинах, изучающих оборудование, с которым будут сталкиваться студенты в своей практической работе.

5 5 Часть I. ОСНОВЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 1. СТАТИКА 1.1.Основные понятия статики Статика и ее задачи Статика это раздел механики, изучающий равновесие тела под действием сил. Силы бывают статические и динамические. Статические силы постоянны во времени, к ним относят силу пружины, силу постоянного давления жидкости или газа, силу электромагнитного поля и т.д. Инерционные или динамические силы возникают в результате ускоренного или криволинейного движения. (Вспомним торможение автобуса или его крутой поворот.) Эти силы изучаются в динамике. Статика решает две основные задачи: Замену приложенных к телу сил одной равнодействующей силой (сложение и разложение сил)..определение условия равновесия тел под действием сил (определение величины и направления уравновешивающей силы). Прикладные задачи статики: Определение реакций в опорах строительных конструкций. Определение усилий в элементах конструкций. 3.Определение равновесия и устойчивости конструкций и т.д Абсолютно твердое тело и материальная точка Все тела в статике рассматриваются абсолютно твердыми, не изменяющими свою форму и размеры под действием сил. Дело в том, что изменения эти настолько малы, что ими можно пренебречь, т.к. они не влияют на условия равновесия тел. В том случае, когда размеры тела не имеют значения в задаче, для удобства изучения в механике тело можно рассматривать как материальную точку, в которой сосредоточена вся масса тела. Так, например, при изучении движения планет, полета снаряда, движения автобуса по дороге и т.д. их считают материальными точками, так как их размеры малы по сравнению с траекторией движения Сила и ее векторное изображение Сила, действующая на тело, возникает в результате действия какого-либо поля (например, сила веса) или при взаимодействии одного

6 6 тела на другое (например, электровоз тащит вагоны, человек тащит санки, молоток бьет по гвоздю, газ давит на поршень и т.д.). Эффект действия силы характеризуется тремя элементами: численным значением силы (модулем), направлением силы и точкой приложения силы. Рис.1.1. Векторное изображение сил Сила - векторная величина. Вектор силы изображается отрезком, на конце которого ставится стрелка. Длина отрезка выражает численное значение силы. Чем сила больше, тем отрезок длиннее. Направление стрелки указывает направление вектора. Вектор как силу обозначают заглавной буквой латинского алфавита P, F, Q, G и т.д. В тексте вектор выделяют жирным шрифтом P, F, Q, G и т.д. Линией действия силы (рис. 1.1, б) называют прямую, проведенную как продолжение вектора в обе стороны неограниченно. Точкой приложения силы называют точку, в которой сила действует на тело (см. рис. 1.1, а точка О, рис. 1.1, б точка C, рис. 1.1, в точка О). Модуль, или численное значение силы, в Международной системе СИ измеряется в ньютонах (Н). Кроме этого применяют более крупные единицы: 1 килоньютон 1 кн, 1 меганьютон 1 МН. Наиболее простой пример силы сила тяжести, которую принято обозначать заглавной буквой G. Это хорошо согласуется с тем, что она порождена ускорением свободного падения, которое обозначается строчной буквой g латинского алфавита. На рис. 1.1, а изображен шар, подвешенный на нити 1. Сила тяжести G приложена в точке О и направлена вертикально вниз. На рис. 1.1, б изображен груз 3, лежащий на плоскости 4. К грузу в точке С приложена сила F, направленная под углом к горизонту и плоскости 4. На рис.1.1, в изображен молоток 5, бьющий по наковальне 6. Сила F приложена к наковальне в точке О и направлена вертикально вниз.

7 7 Если несколько сил приложены к телу в разных плоскостях в разные стороны, то такая система сил называется пространственной. Если линии действия сил лежат в одной плоскости, то система называется плоской. Если линии действия сил, приложенных к телу, пересекаются в одной точке, то такая система сил называется сходящейся, или системой сходящихся сил. Если линии действия всех сил параллельны друг другу, то такая система называется системой параллельных сил. Одна сила, эквивалентная всей системе приложенных к телу сил, называется равнодействующей. Эквивалентная - значит, оказывающая одинаковое действие на тело. Силу, равную по величине равнодействующей, но направленную по той же линии действия в обратную сторону, называют уравновешивающей силой. Если на тело действует система сил, то тело движется в направлении действия равнодействующей. Если к телу приложена система сил и к нему приложить уравновешивающую силу, то система сил будет находиться в равновесии, а тело в покое Аксиомы статики Аксиомы статики устанавливают основные свойства сил, приложенных к абсолютно твердому телу. Аксиомы это теоремы, принятые без доказательства, которые основаны на опыте, накопленном человечеством в течение длительного периода времени. Аксиома 1 (закон инерции Галилея). Под действием взаимно уравновешивающихся сил материальная точка (тело) находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно. Такое движение называют движением по инерции ( от латинского слова inertia бездеятельность). Вывести материальную точку из этого состояния могут неуравновешенные силы (или сила), которые нужно приложить к материальной точке. Состояние покоя или движение по инерции называют равновесием. При этом сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю. Все мы ощущаем комфортно движение по инерции, когда автобус или троллейбус движется равномерно и прямолинейно. В этом случае сила тяги мотора уравновешивает силы сопротивления движения. На нее не действуют никакие силы, а за окном проплывают пейзажи. Как только водитель затормозит автобус или троллейбус, уравновешенная сила тяги заменится противоположно направленной силой трения тормозов, состояние покоя нарушится. В случае разгона автобуса или троллейбуса сила тяги мотора превышает силу сопротивления и состояния покоя также не наблюдается.

8 8 Эта аксиома фундаментальная, т.к. она лежит в основе всей статики. Аксиомы, 3 и 4 оперативные, т.к. ими пользуются при решении задач. Аксиома (условие равновесия двух сил). Две силы, приложенные к твердому телу, взаимно уравновешиваются, если их модули равны и они направлены по одной прямой в противоположные стороны. На рис. 1. изображено тело, к которому приложены две уравновешенные силы F 1 и F. Рис.1. Аксиома 3 (принцип присоединения или исключения уравновешенных сил). Равновесие твердого тела не нарушится, если к действующей системе сил прибавить или отнять от нее уравновешенную систему сил. Рис.1.3 Пусть тело (рис. 1.3) находится в равновесии. Если к нему приложить уравновешенные силы F 1 и F, то тело останется в равновесии. Примером могут служить весы. Если на противоположные чашки весов положить одинаковые гири, то весы останутся в равновесии. Если к телу попарно прикладывать уравновешенные силы F 3 и F 4, F 5 и F 6 и т.д., то равновесие тела не нарушится. Если от тела отбрасывать попарно уравновешенные силы (вспомните весы и одинаковые гири), то тело также останется в равновесии. Из аксиом и 3 вытекает следствие: силу, действующую на тело, можно переносить вдоль линии ее действия в любую точку тела, равновесие при этом не нарушится. На рис. 1.4, а изображено тело с приложенной в точке А силой F. Мы хотим перенести силу из точки А в точку В вдоль линии действия силы F. В точке В приложим две уравновешенные силы F, равные по модулю силе F и направленные вдоль ее линии действия в разные стороны (см. рис. 1.4, б), равновесие тела при этом не нарушится. Рассмотрим полученную систему сил. Силы F, перечеркнутые двумя черточками, уравновешивают друг друга и могут быть отброшены. Останется одна сила F (рис. 1.4, в), приложенная в точке В, равная исходной силе F и направленная в ту же сторону по линии ее действия.

9 9 Аксиома 4 (правило параллелограмма). Равнодействующая двух сил, приложенная в одной точке, изображается диагональю параллелограмма, построенного на векторах этих сил. Эта аксиома является основной для сложения сил. Равнодействующей двух сил F 1 и F (рис. 1.5, а), приложенных в точке А, будет сила R, которая является диагональю параллелограмма ABDC, построенного на векторах сил F 1 и F. Определение равнодействующей двух сил по правилу параллелограмма называется векторным или геометрическим сложением и выражается векторным уравнением Рис. 1.4 Рис.1.5 F 1 + F = R. (1.1) При графическом определении равнодействующей двух сил можно пользоваться правилом треугольника, которое вытекает из правила параллелограмма. К концу вектора F, приложенному в точке А (рис. 1.5, б), пристраиваем вектор F 1 в точке C, т.е. переносим вектор F 1 из положения AB в положение CD. От этого параллелограмм не изменится и его диагональ останется на месте. Равнодействующая R также будет диагональю параллелограмма, но одновременно она будет стороной

10 10 треугольника ACD. На основании аксиомы 4 одну силу R можно заменить двумя силами F 1 и F. Такая замена называется разложением силы на две составляющие и часто используется при решении задач механики. Аксиома 5 (закон действия и противодействия). Силы взаимодействия двух твердых тел друг на друга равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Эта аксиома фундаментальная. Она объясняет происхождение механических сил вообще. Силы возникают при взаимодействии твердых тел друг на друга. Тело 1 (рис. 1.6) действует на тело силой F 1, а тело действует на тело 1 силой F. При этом F 1 = F. Обе силы действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны. Действие (сила F 1 ) и противодействие (сила F ) всегда приложены к различным телам (телу и телу 1). Рис Связи и их реакции Свободными телами называют тела, которые не соприкасаются с другими телами и могут свободно двигаться в пространстве в любом направлении. Примерами могут служить снаряд, выпущенный из пушки, планер, запущенный в небо, гладкое тело, скользящее по плоскости, и т.д. Несвободные тела соприкасаются с другими телами и могут двигаться только в свободном направлении. Например, вагонетка, которая свободно передвигается по рельсам, но только вдоль рельсового пути, а поперек пути ее не пускают реборды на колесах; маятник, который свободно качается на оси; поршень насоса и т.д. Твердые или гибкие тела, ограничивающие свободу движения несвободного тела, называют связями. Свободное тело в пространстве обладает шестью степенями свободы (рис. 1.7): x вдоль оси X; y вдоль оси Y; z вдоль оси Z; вокруг оси X; вокруг оси Y; вокруг оси Z. Если тело ограничено движением в одной плоскости (рис. 1.8), то оно обладает тремя степенями свободы: x, y и z. Если свободному телу на плоскости поставить преграду на пути X, т.е. поставить связь по оси X, то останется только две степени свободы, если поставить две связи, то останется одна степень свободы, если три связи, то тело становится неподвижным и будет находиться в покое.

11 11 Рис.1.7 Рис 1.8 При взаимодействии между телом и связями возникают силы противодействия согласно аксиоме 4, которые препятствуют возможности движения тела. Тело действует на связи, т.е. преграды, а связи действуют на тело. Сила действия связи, т.е. преграды на тело, называется реакцией связи. Связь ограничивает движение тела, поэтому реакция связи всегда направлена в сторону, противоположную тому движению, которому она препятствует. На рис. 1.9 нить 1 препятствует движению тела и реакция связи R направлена противоположно движению. Тело 4 упирается в преграду (связь) 5, поэтому реакция R препятствует движению. Определение реакций связей является одной из наиболее важных задач статики. Рис. 1.9 В статике изучают несвободные неподвижные тела. Рассмотрим реакции различных связей. Гибкие связи (рис. 1.10, а), осуществляемые нитями, канатами или тросами, удерживают тело А, не давая ему двигаться вниз под действием веса G. Реакции R гибких связей направлены вдоль нитей в

12 1 противоположную сторону, т.е. вверх. Нужно помнить, что гибкая связь может сопротивляться только растяжению (толкать нить не может, только тянуть). Рис.1.10 На рис. 1.10, б изображено подъемное устройство. Блок 1 подвижный, к его оси подвешен груз G. Блок неподвижный, его ось закреплена в кронштейне 3. Через блоки 1 и переброшен канат 4, один конец которого закреплен в точке А, а за другой свободный конец в точке D его тянут вниз. При этом канат вращает блоки 1 и, блок 1 поднимается вверх, поднимая груз G. Трением каната о блоки пренебрегаем. Поскольку канат- единое целое, то как любая нить он может иметь одну единственную растягивающую силу. F = R, (1.) где F внешняя сила, приложенная к канату, а R реакция нити. Если рассмотреть блок 1, то он вместе с грузом G удерживается двумя канатами (как в предыдущем примере). Реакция R гибких связей направлена вверх. Три катка 5, 6 и 7 сложены штабелем на гладкой плоскости 8. Нижние катки 5 и 6, чтобы они не раскатились под весом верхнего катка 7, стянуты тросом AC. Вес трех катков воздействует на плоскость 8, которая согласно аксиоме 4 создает противодействие, т.е. реакции в точках касания катков 5 и 6. Силы реакции в точках касания двух тел всегда направлены по нормали в точке касания. Нормалью к плоскости является перпендикуляр, восстановленный из точки касания. Нормалью к кривой является перпендикуляр, восстановленный из точки касания к касательной этой кривой. На основании этого правила реакции R 1 и R перпендикулярны к плоскости 8. Линии действия реакций R 3 и R 4 в точке касания катка 7 с катками 5 и 6 направлены по нормали и проходят через центры этих

13 13 катков. Реакции T троса AC направлены вдоль него и удерживают катки 5 и 6. Рама 1 установлена шарнирно (рис.1.11) на кронштейне и может поворачиваться вокруг оси А. Свободным концом рама опирается на опору в точке В. Вес рамы G приложен в ее центре тяжести C. Шарнир А у тела (рамы 1) отнимает две степени свободы X и Y, следовательно, в шарнире возникают две реакции R x и R y. В опоре B возникает реакция R B, которая направлена по нормали к поверхности, то есть перпендикулярно к плоскости рамы. Балка, поставленная наклонно (рис. 1.1), нижним концом опирается на гладкий пол в точке B, а верхним - на стенку в точке A. В точке B балка нитью BD привязана к стенке в точке D. Вес балки G приложен в центре тяжести C. В точке А угол стены создает реакцию R A, которая перпендикулярна к балке. В точке B гладкий пол создает реакцию R B, перпендикулярную к полу. Нить BD создает реакцию T, которая удерживает балку от сползания по гладкому полу вправо. Рис.1.11 Рис.1.1 Существование реакций обосновывается аксиомой 4 о действии и противодействии Плоская система сходящихся сил Графический метод сложения сил Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называют системой сходящихся сил. Другими словами это система сил, приложенных к телу в одной точке.

14 14 Рис.1.13 Пусть дана система сил, приложенных к точке А (рис. 1.13, а). Для определения равнодействующей сил F 1, F, и F 3 сложим последовательно попарно силы, используя правило треугольника. Сложим сначала силы F 1 и F (рис. 1.13, б). Из произвольной точки О проведем вектор F 1. Из конца вектора F 1 (точка B) проведем вектор F. Соединив точку О с концом вектора F ( точкой C), получим их равнодействующую R 1, теперь сложим силу R 1 с силой F 3. Для этого из конца вектора R 1 (точка C) проведем вектор F 3, соединив точку О с концом вектора F 3 (точка D), получим силу R, которая и есть равнодействующая заданных сил F 1, F и F 3. Промежуточный вектор R 1 можно не строить, а последовательно (рис. 1.13, в) в указанном выше порядке один вектор за другим откладывать все заданные силы, а начало первого вектора соединить с концом последнего. Это и будет равнодействующий вектор. Фигура OBCD называется силовым многоугольником. Замыкающая сторона силового многоугольника является равнодействующей системы сил. Равнодействующая R всегда направлена от начала первого вектора к концу последнего вектора. Другими словами, стрелка равнодействующей всегда направлена навстречу последовательного потока слагаемых векторов. Если при сложении сил вектор последней силы совместится с началом первой силы, то равнодействующая системы сходящихся сил будет равна нулю. В этом случае система сходящихся сил будет находиться в равновесии. Это и будет являться геометрическим условием равновесия системы сходящихся сил Проекция силы на оси координат Многие задачи статики решают аналитическим методом, при котором используют не сами силы, а их проекции на оси координат. Проекцией вектора на ось называется отрезок оси между основаниями перпендикуляров, опущенных из начала и конца вектора на ось.

15 15 Например, проекцией вектора силы F на ось X будет отрезок ab оси X, где a и b есть основания перпендикуляров, опущенных из начала А и конца В вектора F. Проекцией силы F на ось Y будет отрезок аb оси Y. Проекция вектора положительна, если она совпадает с направлением оси и, наоборот, отрицательна, Рис.1.14 если направлена в сторону, противоположную оси. В приведенном примере на рис.1.14 обе проекции - положительны. Чтобы найти величину проекции вектора силы F на ось X, опускаем перпендикуляры Aa и Bb (рис. 1.14) на эту ось. Длина проекции вектора определится из треугольника ABC: F x = ab = AC = F cos. (1.3) Аналогично определяем величину проекции вектора силы F на ось Y: F y = а ' b ' = BC = F sin. (1.4) Если сила F перпендикулярна оси X, то F x = F cos90 0 = 0 ; F y = F sin90 0 = F. (1.5) Если сила F перпендикулярна оси Y, то F x = F cos0 0 = F ; (1.6) F y = F sin0 0 = 0. Если известна величина проекций силы F на оси X и Y, то применяя теорему Пифагора к треугольнику ABC, стороны которого равны векторам F, F x и F y, можно записать F F x F y, (1.7) где F модуль (численное значение) вектора F; F x модуль вектора F x ; F y модуль вектора F y.

16 Разложение сил на две составляющие Рис.1.15 Зачастую при решении задач требуется одну силу F разложить на две составляющие. Например, требуется определить силу, которая растягивает нить BC (рис. 1.15, а), и силу, которая действует на стержень AB. Между стержнем и стеной установлен шарнир А. Стержень может воспринимать только силу, которая направлена вдоль его оси AB. Он может либо растягиваться, либо сжиматься. Итак, сила растягивающая нить, направлена вдоль BC в сторону BD, а сила действующая на стержень направлена вдоль AB. Задача сводится к тому, чтобы разложить силу F на две составляющие, параллельные AB и BC. Для этого из точки B (рис. 1.15, б) проводим вектор F. Из концов вектора F точек B и K проводим прямые BM, KD, BD и KM, которые параллельны AB и BC. В результате получим параллелограмм BDKM с диагональю BK. Из аксиомы 4 известно, что диагональю параллелограмма изображается равнодействующая сил, которые изображают стороны параллелограмма, т.е. F = F 1 + F. (1.8) Силы F 1 и F приложены в точке B. Сила F 1 растягивает нить BC, сила F сжимает стержень AB. Применяя метод треугольника, из точки В (рис. 1.15, а) проводим продолжение линии CB, а из точки K проводим линию KD AB до пересечения с продолжением линии CB в точке D. Отрезок BD соответствует силе F 1, отрезок KD соответствует силе F. Рис.1.16

17 17 Направление сил показано стрелками. При этом необходимо, чтобы равнодействующая F всегда была направлена от начала первого вектора F 1 к концу второго вектора F. Разложение силы веса тела, лежащего на наклонной плоскости (рис. 1.16), на направление осей X и Y производится аналогичным образом. Силы F и N построены на сторонах прямоугольника, диагональю которого является сила веса G Аналитический метод сложения сил Рис Пусть дана система сходящихся сил F 1 ; F и F 3 (рис. 1.17, б), которые приложены к точке A. Требуется определить величину и направление равнодействующей аналитическим методом. Произведем вначале графическое сложение сил методом силового многоугольника. Из точки A (рис. 1.17, а) откладываем последовательно векторы F 1 ; F и F 3 методом их параллельного переноса с рис. 1.17, б. Получим разомкнутый многоугольник ACDB. Равнодействующая F является замыкающим отрезком AB этого многоугольника. Спроектируем все силы на ось X, которые будут изображаться отрезками: F 1x = ас; F x = сd; F 3x = db. (1.9) Сумму проекций можно представить в следующем виде: n F ix i1 = F 1x + F x + F 3x = -ac + cd + db = ab = F x. По аналогии для оси Y можно записать n F iy i1 = F 1y + F y + F 3y = a c + c d d b = a b = F y.

18 18 Для упрощения обозначений в дальнейшем будем суммы проекций обозначать n Fix i1 X и n i1 F y Y. (1.10) Проекция векторной суммы на ось координат равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось и равна проекции равнодействующего вектора. Итак, проекция равнодействующего вектора равна алгебраической сумме проекций всех сил, т.е. F x X ; F y Y. (1.11) Модуль равнодействующей силы F через ее проекции (см. уравнение (1.7)) определяется по формуле F F x F y. (1.1) Направление равнодействующего вектора, т.е. угол, определим, пользуясь формулой (1.3): cos=f x /F ; sin=f y /F. (1.13) Если при сложении сходящихся сил равнодействующая будет равна нулю, то тело, к которому приложены силы, находится в покое. Это возможно, если F x X 0 ; F y Y 0 ; F F x F y 0. (1.14) Таким образом, необходимым и достаточным условием равновесия плоской системы сходящихся сил является равенство нулю алгебраической суммы проекции всех сил на каждую координационную ось: X 0 ; Y 0. (1.15) Формулы (1.15) называют уравнениями равновесия плоской системы сходящихся сил и используют при аналитическом решении задач Примеры решения задач Аналитический метод решения задач является универсальным и применяется чаще всего. Решение задач на равновесие плоской системы имеет следующую последовательность:

19 19 1.Выделяют тело или точку, где пересекаются линии действия сил, к этой точке прикладывают заданные силы..освобождают тело или точку от связей (принцип освобождаемости от связей) и заменяют их действие реакциями. 3.Выбирают координатные оси X и Y и относительно них составляют два уравнения равновесия (см. формулы (1.14)). Число неизвестных не должно быть более двух. 4.Решают систему уравнений (1.14) с двумя (или одним) неизвестными. Линия действия реакций определяется сравнительно просто (см. 1.). Нить имеет только одно направление. Опора (стена, пол, угол, другое тело и т.д.) тоже по закону противодействия имеет одно направление, а вот стержень, закрепленный по концам шарнирами, линию действия реакции имеет вдоль оси, но при этом он может как растягиваться, так и сжиматься. В этом случае направление реакции можно выбирать в ту или другую сторону. При определении модуля данной реакции может получиться знак плюс или минус. Если знак плюс, то направление реакции на схеме выбрано правильно. Если знак минус, то направление реакции нужно изменить на обратное и внести исправления в расчет и в схему. Пример. Груз G = 5 кн подвешен на канате в точке B. Определить усилия в растяжке AB и стержне BC (рис. 1.18). Р е ш е н и е 1. В точке B пересекутся линии действия заданной силы G и искомых реакций в растяжке AB и стержне BC. Точку B выделяем как материальную точку, к которой приложены все силы. Рис.1.18.Освобождаем точку B от связей: растяжки AB и стержня BC и заменяем их реакциями T и R соответственно. Направление реакции R выбрано произвольно (рис. 1.19). 3.Выбираем координатные оси X и Y и составляем уравнение равновесия. X T R cos 40 = 0 ;

20 0 Y G R sin 40 = 0. Число неизвестных в двух уравнениях равно двум, поэтому уравнения эти решаются, а система является статически определимой. 4.Решаем систему уравнений. Из второго уравнения R = - G/sin 40 = - 5/0.643 = кн. Подставив значение R в первое уравнение, получим T = - R cos 40 = 7,78 0,766 = 5,96 кн. Рис.1.19 Реакция R получилась с отрицательным знаком, поэтому нужно направление силы R исправить на обратное (пунктирное изображение). После этого уравнение перепишется в виде и тогда X T R cos 40 = 0 ; Y G R sin 40. G R 7,78 0 sin 40 кн ; T Rcos40 0 5, 96кН. Задачи на эту тему приводятся в задачнике [8,, с. 10 3]. 1.4.Пара сил. Момент силы. Равновесие плоской системы сил Две равные по величине параллельные силы, приложенные к телу и направленные в противоположные стороны, называются парой сил. Плоскость, в которой расположена пара, называют плоскостью действия пары сил. Сумма проекций пары сил на оси X и Y равна нулю: X 0 ; Y 0. (1.16) Из этого можно сделать вывод: под действием пары сил тело не движется ни вдоль оси X, ни вдоль оси Y. Пара сил характеризуется моментом, который вращает тело в плоскости XOY, то есть относительно оси Z, перпендикулярной плоскости XOY. Момент пары сил относительно оси Z равен произведению M z F a, (1.17) где F - одна из сил пары; а - плечо пары сил.

21 1 Из сказанного выше можно сделать вывод: пара сил может только вращать тело, не передвигая его в сторону ( на рис. 1.0 тело вращается по часовой стрелке). Кратчайшее расстояние между линиями действия пары сил называют плечом пары. Формула (1.17) показывает, что вращательное действие пары сил зависит как от величины силы F, так и от расстояния между ними а. Момент пары условимся считать положительным, если он стремится повернуть тело против часовой стрелки и отрицательным, если - по часовой стрелке. Пусть рычаг AB может вращаться вокруг точки A (рис. 1.1, а). Что будет происходить с рычагом, если к нему приложить силу F в точке B? На основании третьей аксиомы, не нарушая механического равновесия твердого тела, приложим к нему две уравновешенные силы F в точке А, которые параллельны заданной силе F (рис. 1.1, б). В результате мы получим пару сил F (силы перечеркнуты двумя черточками), у которых момент равен M = F (AB) = F a, и силу F, перенесенную параллельно самой себе из точки B в точку A. Рис.1.0 Рис.1.1 В механике пользуются понятием момент силы относительно точки. Момент силы относительно точки определяется произведением модуля силы на длину перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы. Точка А (рис. 1.1), относительно которой берется момент, называется центром момента, а длина перпендикуляра a- плечом силы относительно центра момента.

22 Момент силы F относительно центра А обозначается M A (F) = F a. (1.18) Момент силы измеряют в ньютонометрах (Нм). Знак момента такой же, как у пары сил, т. е. плюс, если против часовой стрелки и, минус, если по часовой стрелке. Таким образом, на основании выше изложенного можно сформулировать правило переноса силы в другую точку (рис. 1.): Чтобы перенести силу F из Рис.1. точки B в точку А, нужно приложить в точке А силу F, не меняя направления и модуля, и момент силы F относительно точки А, M A (F). Такой перенос силы называется приведением силы к другой точке. Этим правилом широко пользуются в статике. Рис.1.3 Когда линия действия силы проходит через центр (точку А), ее момент относительно этой точки равен нулю, так как в данном случае плечо a = 0. Колодезный ворот (рис. 1.3) состоит из барабана 1, оси, установленной в опорах A и B, и рукоятки 3. При подъеме груза G момент, создаваемый грузом G, равен моменту, создаваемому силой F, приложенной к рукоятке. При равномерном движении барабан является рассматриваемым нами телом, и при его остановке, согласно аксиоме 1, он должен находиться в равновесии. Поскольку в данном случае движение вращательное, его силовым фактором является момент. Вращение происходит вокруг оси n-n (правая проекция рис. 1.3), которая на левой проекции проектируется в точку B. Рассмотрим равновесие барабана на

23 3 левой проекции. Центром вращения и центром моментов служит точка B. Момент, создаваемый грузом G относительно точки B, M B (G) = G r (1.19) имеет положительный знак (плюс). Момент, создаваемый силой руки F, приложенной к рукоятке в точке С, относительно точки B M B (F) = F a (1.0) имеет отрицательный знак (минус). Сумма моментов относительно точки В M B M B ( G) M B ( F) G r F a 0 (1.1) равна нулю, т.к. система находится в равновесии. Уравнение (1.1) является третьим уравнением равновесия плоской системы, когда силы приложены к телу произвольно. Часто бывает необходимо привести несколько сил к одной точке. Пусть даны силы F 1 ; F и F 3, приложенные в точках A, B и C. Требуется перенести эти силы в точку О. Пользуясь правилом (рис. 1.), переносим силу F 1 из точки A в точку O и прикладываем момент M 1 = F 1 a. Затем переносим из точки B в точку O силу F и прикладываем момент M = F b. И, наконец, переносим силу F 3 из точки С в точку О и прикладываем момент M 3 = F 3 c. Рис.1.4 Силы F 1, F и F 3 приложены к одной точке O, поэтому их можно сложить графическим методом. Сложив геометрически силы, получим равнодействующую F, называемую главным вектором: n F= i1 F i. (1.) Складывая алгебраически моменты составляющих сил относительно центра O, получим главный момент

24 4 n M i i1 M 0. (1.3) Плоская система сил в результате приведения к данной точке O заменяется главным вектором и главным моментом. Поскольку плоская система сил приводится к главному вектору и главному моменту, для обеспечения равновесия системы необходимо, чтобы главный вектор и главный момент равнялись нулю: F n F i i1 n 0 ; M 0 M i 0. (1.4) i1 Эти уравнения называются векторными уравнениями равновесия. Рассмотрим данную выше систему сил F 1, F и F 3 в координатных осях XOY (рис. 1.4). Равнодействующая проекций сил на ось X определяется по формуле F x F xi n i1. (1.5) Равнодействующая проекций сил на ось Y определится по формуле F y F yi n i1. (1.6) Величина главного вектора F. (1.7) F x F y Для обеспечения равновесия системы необходимо: F x x xi n i1 0; F y y yi n i1 0; M 0 M i 0. (1.8) n i1 Уравнения (1.8) называются уравнениями равновесия плоской системы, выраженные в аналитической форме. В дальнейшем для упрощения записей будем писать: 1. Сумма проекций на ось X равна нулю:. Сумма проекций на ось Y равна нулю: X 0. (1.9) Y 0. (1.30)

25 5 3. Сумма моментов относительно точки А равна нулю: M A 0. (1.31) Уравнения ( ) в дальнейшем будем называть уравнениями равновесия плоской системы сил..5. Составление уравнений равновесия Встречается много задач, в которых тело представляет собой балку, установленную по концам на две опоры. В приведен порядок решения задач, воспользуемся им. Пусть на балку AB (рис. 1.5, a), которая опирается на опоры A и B, действуют силы F 1 и F, приложенные в точке C жестко связанной с балкой AB. Все три точки AB и С принадлежат одному телу. Требуется определить реакции опор A и B. Рис.1.5 Р е ш е н и е 1. Выделяем тело (балку ABC) и прикладываем к ней известные силы F 1 и F (рис. 1.5, б).. Освобождаем тело от связей и заменяем их действие реакциями. В точке А на балку (см. рис. 1.11) действуют две реакции R x и R y. Опора B может воспринимать только силу, которая действует вертикально, т.е. вдоль оси Y, а сила вдоль оси X может свободно, без сопротивления двигать точку В влево и вправо. Поэтому в точке В на балку действует реакция R B (рис. 1.5, б). 3. Выбираем координатную систему XOY и составляем три уравнения равновесия: M X F R 0; x Y R R 0 y B F 1 ; A F1 h RB a b 0.

26 6 Примечание. Сумму моментов выгодно составлять относительно точки, в которой пересекаются или приложены две неизвестные реакции (или силы), тогда моменты этих сил относительно выбранной точки равны нулю и мы избавляемся в одном уравнении сразу от двух неизвестных. Общее число неизвестных не должно быть более числа уравнений статики, то есть трех. 4. Решение системы уравнений следует начинать с уравнения моментов, так как в нем содержится одна неизвестная. Решаем его относительно неизвестной R B : R B Подставив значение R B относительно Ry, получим F a F h a b 1. во второе уравнение и решив его R y F1 a F h F a b 1. Решаем первое уравнение относительно R x : R x F.. КИНЕМАТИКА.1 Основные понятия Механическим движением называется перемещение одних тел относительно других в пространстве и во времени. При решении задач кинематики используются понятия о материальной точке и абсолютно твердом теле. Материальная точка как объект исследования используется в том случае, когда форма тела и его размеры не влияют на изучение движения. Например, движение планет, движение самолета, поезда, автомобиля и т.д. В этих примерах используется кинематика точки. Абсолютно твердое тело как объект исследования рассматривают в том случае, когда требуется исследовать относительное движение точек данного тела. Например, качение колеса по дороге, вращение маховика, движение шатуна двигателя внутреннего сгорания. В этих примерах используется кинематика твердого тела, которая лежит в основе изучения вращательного и плоскопараллельного движений. К основным понятиям кинематики относятся: направление движения, траектория движения, путь, пройденный материальной точкой,

27 7 время, затраченное на движение, скорость движения материальной точки, ускорение, то есть интенсивность изменения скорости. Направление движения определяет, в какую сторону движется точка (от А к В или от В к А). Более строго, направление определяет вектор скорости, куда он направлен: вверх, вниз, влево, вправо. Траектория движения это линия, которую описывает движущаяся точка в пространстве, Рис..1 т.е. след материальной точки. Длина траектории при движении точки - это пройденный путь. При движении по прямой путь равен расстоянию между начальной и конечной точками. При движении по кривой путь больше расстояния между точками Скорость это быстрота перемещения тел от одной точки пространства к другой. Она определяется величиной пути, проходимого точкой за единицу времени. Движение тела с постоянной скоростью называется равномерным, а с изменяющейся скоростью - переменным. Величина, определяющая изменение скорости с течением времени, называется ускорением. Изучение движения точки может начинаться от начала траектории (точка А на рис..1) или из произвольного положения О, в котором включается секундомер, т.е. отсчет времени. В этом случае вводится понятие начального пути s 0 для определения исходного положения точки. Полный пройденный путь s будет определяться как алгебраическая сумма начального пути s 0 и пройденного пути : s s, (.1) 0 где s путь, пройденный от начала отсчета А по кривой АМ; s 0 начальный путь, который пройден к моменту включения секундомера, измеряемый кривой АО; - пройденный путь за время t от точки О по кривой до точки М. При движении точки по траектории путь s является функцией времени. s = s(t). (.) Уравнение (.) выражает закон движения точки в общем виде. Материальная точка из положения О (рис..1) может двигаться как в сторону положения В, так и в сторону положения А.

28 8 Движение точки в сторону В будем называть положительным, а пройденный путь будет иметь знак плюс +. Движение в обратном направлении в сторону А будет отрицательным, а путь будет иметь знак минус. Движение, при котором материальная точка за равные промежутки времени проходит одинаковые отрезки пути, называется равномерным движением. Например, поезд каждый километр пути проходит за одинаковое время, следовательно, он движется равномерно. Скорость равномерного движения определяется отношением пройденного пути ко времени. Рис.. v s t. (.3) Скорость равномерного движения всегда направлена в сторону движения. Скорость векторная величина. Вектор скорости направлен по касательной к кривой в рассматриваемой точке (например, в точке М). Путь, пройденный точкой с постоянной скоростью, пропорционален времени движения: = v t. (.4) Это основной закон равномерного движения. В общем случае, когда движение изучается с момента включения секундомера t 0 = 0 в положении О (рис..1), основной закон записывается в виде s = s 0 + v t, (.5) где v t = пройденный путь; v скорость равномерного движения; t время пройденного пути. На рис..3 приведен график пути и скорости в функции времени для равномерного движения. Скорость измеряется в единицах пути, деленных на единицу времени 1 м/с. Движение поезда измеряют в 1 км/ч = 0,78 м/с. В общем случае материальная точка за равные промежутки времени проходит неравные отрезки пути, поэтому такое движение называют неравномерным. Пусть материальная точка перемещается из положения А по дуге. За время t точка из положения А переместится в положение А 1. Если дугу

29 9 Рис..3 АА 1 заменить хордой s, то можно с некоторой погрешностью определить среднюю скорость v ср, которая по величине и по направлению отличается от скорости v. v ср s t. Переходя к пределу при t 0, т.е. приближая бесконечно точку А 1 к точке А, найдем истинную скорость материальной точки в положении А: v lim t 0 s t. Рис..4 (.6) При стремлении t к нулю направление v ср в пределе совпадает с направлением касательной к дуге в точке А. Поэтому направление скорости материальной точки в любой момент времени совпадает с направлением касательной в этой точке, а величина ее равна пределу отношения приращения пути к приращению времени. При неравномерном движении скорость изменяется по величине непрерывно, в каждый момент времени. Такую скорость можно измерить только в какое-то одно мгновение, поэтому ее называют мгновенной. Движение, при котором скорость возрастает, называют ускоренным, а приращение скорости за единицу времени ускорением. Если скорость убывает, то происходит замедление, ускорение при этом отрицательное.

30 30 Скорость и ускорение являются векторными величинами и с ними можно производить операцию геометрического сложения, как с векторами сил. Пусть (рис..5) материальная точка движется по дуге а а с ускорением. В положении А скорость точки v, а в положении А 1 скорость v 1. Перенесем вектор скорости v 1 в точку А. Поскольку скорость точки постоянно растет, в положении А 1 скорость точки больше, чем в положении А, поэтому учитывая, что скорость векторная величина, запишем v 1 = v + v. Из точки А по касательной Рис..5 к траектории а а отложен вектор v, к концу которого пристроен вектор v. Вектор v 1 является замыкающим или суммирующим. Вектор приращения скорости v направлен под углом и к вектору v, и к вектору v 1. Это говорит о том, что на участке АА 1 происходит изменение скорости как по величине, так и по направлению. Разложим вектор v на направление вектора v (составляющая тангенциальная v t ) и направление радиуса дуги, перпендикулярного к вектору v (составляющая нормальная v n ): v = v t + v n, где v t - вектор тангенциального приращения скорости, которое увеличивает численное значение скорости v; v n вектор нормального (радиального ) приращения скорости, которое изменяет направление скорости v, то есть поворачивает вектор от направления v до направления v 1. Ускорение точки это отношение приращения скорости к приращению времени. Вектор среднего ускорения можно найти, если разделить вектор приращения скорости v на приращение времени t. a cp v t.

31 31 Переходя к пределу при t 0, т.е. приближая бесконечно точку А 1 к точке А, найдем вектор истинного ускорения a v lim. t t 0 (.7) Вектор ускорения а характеризует как изменение численного значения скорости, так и изменение ее направления. По аналогии можно записать a a t n vt lim ; t 0 t vn lim, t 0 t (.8) (.9) где а t вектор касательного или тангенциального ускорения, которое изменяет численное значение скорости; а n вектор нормального или центростремительного ускорения, которое всегда направлено по радиусу к центру дуги и оно изменяет направление скорости. В дифференциальной форме уравнения (.6) и (.8) запишутся в виде v ds dt ; a t dv dt. (.10) Если кривую а а на рис..5 и.6 выпрямить, то тогда тангенциальные сос-тавляющие v = v t ; а = а t, а нормальные состав-ляющие v n = 0; а n = 0. Рис..6

32 3.. Равнопеременное движение..1. Прямолинейное движение Неравномерное движение с постоянным ускорением называется равнопеременным. Пусть материальная точка движется прямолинейно вдоль оси ОX от точки А, которая соответствует начальному положению t 0 = 0. Путь в этом положении равен s 0 ; скорость v 0 и ускорение а, которое является величиной постоянной. Через промежуток времени t точка займет положение М, в котором путь равен s, скорость v, а ускорение Рис..7 останется прежним. Путь, скорость и ускорение - величины алгебраические. Они могут иметь положительное и отрицательное значения. Отрицательное значение пути показывает, что он отмеряется влево по рис..7. Отрицательная скорость означает, что она направлена влево по рис..7. Отрицательное ускорение означает, что движение материальной точки равнозамедленное. Если v = 0, то точка останавливается. Если а = 0, то движение равномерное. Ускорение точки в дифференциальной форме имеет вид Откуда приращение скорости a dv dt. dv = a d t. Интегрируя в пределах от t 0 до t, получим Откуда v dv v v0 t adt a t dt at. v t t v = v 0 + аt. (.11) Скорость точки в дифференциальной форме имеет вид v ds dt. (.1) Подставив значение v в уравнение (.11), получим

33 33 ds = v 0 dt + at dt. Проинтегрируем s υ0 dt a s 0 t ds t dt. 0 t 0 Получим at s s0 υ0t. (.13) Уравнения (.11) и (.13) являются основными уравнениями равнопеременного прямолинейного движения. Из уравнения (.11) можно определить ускорение v v0 a. (.13, а) t v v 0 at. (.13, б) Средняя скорость определяется как среднее арифметическое между начальной и конечной скоростями v v v 0. ср Она играет ту же роль, что скорость равномерного движения. Умножая v 0 на t, получим длину пути от точки А до точки М: v v 0 ) t s v t v at cp 0t. (.13, в) t ( Пример. Задан закон движения материальной точки. Заданное уравнение имеет вид s = 5 9t + 3t. Определить скорость и ускорение материальной точки и проанализировать уравнения. Проанализируем заданное уравнение. В начальный момент t 0 = 0. Подставив значение t 0 в заданное уравнение, получим s = s 0 = 5. Продифференцировав заданное уравнение, получим

34 ds dt t v. (.14) Проанализируем уравнение (.14). В начальный момент при t 0 = 0 скорость v 0 = 9, т.е. скорость отрицательна. Это говорит о том, что в начальный момент точка двигалась назад в отрицательном направлении. Приращение скорости 6t = v положительное, поэтому должен наступить момент, когда скорость станет равной нулю, т.к. сравняются отрицательная начальная скорость v 0 и приращение скорости v. Если в уравнении (.14) скорость приравнять нулю, то получим откуда v = v 0 + v = t = 0 ; 9 t c 1,5. 6 (.15) Во время движения t с материальная точка остановится в положении С, т.к. ее скорость станет равной нулю, а затем начнет двигаться в положительном направлении, т.к. в уравнении (.14) положительное приращение скорости v = 6t будет больше по величине отрицательной начальной скорости v 0 = 9. Например, в момент, когда t = c, скорость v = = + 3. Чтобы определить ускорение, нужно продифференцировать уравнение (.14) dv a 6. dt (.16) Построим графики пути, скорости и ускорения в координатах tos; tov и toa в соответствии с уравнениями s = 5 9t + 3t ; v = 9 + 6t ; (.13,.14,.16) a = 6. Построение начинаем с определения опорных точек. В начальный момент времени (рис..8): путь s 0 = 5 соответствует точке А; скорость v 0 = 9 соответствует точке А' ; ускорение а = 6 соответствует точке А''. На графике пути видно, что материальная точка из положения А (ордината Os) начинает двигаться в отрицательном направлении до точки С 1. При этом скорость благодаря положительному ускорению возрастает

35 35 от положения А' до положения С', в котором скорость v с = 0 и материальная точка остановится. Время, соответствующее этой точке, равно t с = 1,5. Подставив это время в уравнение (.13), получим s c = 5 9 1, ,5 = 1,75. Откладываем расстояния t с и s с на графике пути и получаем точку C, а на графике скорости для времени t c = 1,5 намечаем точку С', соответствующую скорости v с = 0. Уравнение (.14) первой степени, поэтому график скорости прямая линия, для проведения которой достаточно иметь две точки А' и С'. Уравнение (.16) есть константа, поэтому график параллелен оси абсцисс и для его построения достаточно иметь одну точку А". Уравнение (.13) второй степени описывается параболой, для построения которой нужно больше точек. При движении из начального положения А (s 0 = 5) материальная точка проходит через начало координат и из положительной области заходит в отрицательную область, т.е. проходит через положение О. Приравняв нулю уравнение (.13), получим s = 5 9t + 3t = 0. Решив это квадратное уравнение, получим Рис t ; 3 t B = 0,74; t D =,6; s B = s D = 0. На графике пути отмечаем точки В и D.

36 36 Плавно соединяя точки, получаем график пути - параболу ABCD. С помощью приведенных графиков удобно анализировать движение материальной точки и его параметры.... Криволинейное движение При криволинейном движении скорость и ее вектор величины переменные, которые изменяются по численной величине (модулю) и по направлению. Вектор скорости в любой момент времени направлен по касательной к траектории движения материальной точки и перпендикулярен к радиусу дуги траектории. Поэтому скорость материальной точки всегда касательная или тангенциальная к траектории v = v t. Ранее было показано (рис..5 и.6), что касательное ускорение at нормальное ускорение v 1 lim t 0 t dv dt ; (.17) a n lim t 0 v n t v r, (.18) где r- радиус кривизны в данной точке. Из рис..6 видно, что модуль полного ускорения можно определить по теореме Пифагора a. (.19) Путь при равнопеременном криволинейном движении определяется по формуле s s 0 v. (.0) От уравнения (.13) формула (.0) отличается ускорением. Дело в том, что при прямолинейном движении a n = 0 и a = a t. Если продифференцировать уравнение (.0), то получим формулу для скорости ds v v0 at t. dt (.1) Видим, что уравнения (.11) и (.1) идентичны. 0 a t a n t a t t

37 37 Уравнения ( ) являются основными уравнениями неравномерного криволинейного движения материальной точки..3. Вращение тела вокруг неподвижной оси Когда тело вращается вокруг неподвижной оси, все его точки (например, точка С на рис..9) вращаются вокруг этой оси и описывают окружности, которые являются траекториями этих точек. Вращательное движение твердого тела характеризуется углом поворота (рис..9). Пусть в начальном положении t 0 = 0 вертикальная плоскость ACB занимала положение, соответствующее точке С 0. При вращении тела плоскость ACB займет новое положение, повернувшись вокруг оси Z на угол. Угол называется углом поворота тела. Он измеряется в радианах. Угол поворота играет ту же роль при вращении тела, что пройденный путь s при движении материальной точки. Чтобы изучить вращательное движение тела, нужно задать угол поворота как функцию времени = (t). (.) Это уравнение называют законом вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. Проводя аналогию между движением материальной точки и вращением твердого тела, можем записать 0 0 t t. Это уравнение является законом вращательного движения, и к нему мы вернемся немного позже. Угловая скорость вращательного движения равна первой производной от угла поворота Рис..9 d lim. t0 t dt Средняя скорость равномерного вращения (.3)

38 38 ср. t (.4) равна отношению приращения угла поворота к приращению времени t. Измеряется угловая скорость в радианах в секунду (1 рад/с или 1c -1 ), так как радиан безразмерная величина. Угол поворота в технике измеряют количеством оборотов N тела вокруг оси Z, поэтому, учитывая, что 1об.=, N. (.5) Угловую скорость в технике задают числом оборотов в минуту, т. е. частотой вращения n. Следовательно, если умножим на n, то получим n рад/мин, а чтобы перейти к секундам, нужно еще разделить на 60. Тогда получим n n При грубых и прикидочных расчетах допускается (.6) 0.1n. (.7) С помощью формулы (.6) заданную частоту вращения тела можно перевести в угловую скорость, и наоборот. При равномерном вращении = const угол поворота определяют по формуле = t. (.8) При равнопеременном вращении угловая скорость в единицу времени изменяется на одинаковую величину. Быстрота изменения угловой скорости во времени характеризуется угловым ускорением. Угловое ускорение вращательного движения тела равно первой производной от угловой скорости по времени d lim. t t dt 0 (.9) Угловое ускорение измеряют в радианах в секунду в квадрате (1 рад/с или 1 с - ). При равнопеременном вращении const. Уравнения равнопеременного вращения тела аналогичны уравнениям (.11) и (.13) равнопеременного движения материальной точки

39 39 t 0 0t ; (.30) 0 t, (.31) где 0 начальный угол поворота, который предшествовал начальному положению тела при t 0 0; 0 начальная угловая скорость при t 0 0. Угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение величины алгебраические. Они могут иметь положительное и отрицательное значения. Угол поворота считают положительным (рис..9) при вращении тела против часовой стрелки, если смотреть на тело с конца оси вращения Z, то есть со стороны стрелки оси. При вращении тела по часовой стрелке угол поворота считают отрицательным. Угловая скорость будет положительной, если тело при этом вращается против часовой стрелки, и отрицательной, если по часовой. Угловое ускорение будет положительно, если оно сообщает ускоренное вращение телу, и отрицательно, если оно сообщает замедленное вращение телу. Рассмотрим движение любой точки С тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Z (рис..9). Рис..10 Твердое тело состоит из множества материальных точек. Каждая точка движется вместе с телом, поэтому для всех точек тела общими характеристиками вращательного движения являются угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение. Траектории всех точек тела при вращении вокруг неподвижной оси являются окружностями, расположенными в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения Z. Взаимосвязь (рис..10) между углом поворота, радиусом окружности r и длиной пути материальной точки по окружности s выражается формулой s r. (.3)

40 40 Таким образом, зная угол поворота и радиус окружности, определяют путь материальной точки. Скорость точки тела, вращающегося вокруг оси, называется линейной, в отличие от угловой скорости тела. Дифференцируя уравнение (.3) по времени и учитывая формулы (.1) и (.3), получим ds d v r r. dt dt (.33) Линейная скорость материальной точки, движущейся по окружности, равна произведению угловой скорости тела на радиус окружности. Касательное, или тангенциальное, ускорение точки тела, вращающегося вокруг оси, изменяет линейную скорость точки и определяется по формулам (.17), (.9) и (.33): dv d a t r r. dt dt (.34) Нормальное, или центростремительное, ускорение точки вращающегося тела изменяет направление линейной скорости точки и находится по формулам (.18) и (.33): v r a n r. r r Полное ускорение определим, используя формулу (.19): (.35) a a t an r. (.36) Направление вектора полного ускорения можно определить по углу, образованному вектором a и радиусом r: a tg a t n r r. (.37) Круг ABED радиусом r катится по прямой N N (рис..11) с угловой скоростью. Аналогом может быть колесо велосипеда, автомобиля и т.д. Круг касается прямой N N в точке А, которая принадлежит одновременно неподвижной прямой N N и кругу. Эта точка касания А в данный момент является неподвижной, а весь круг вращается относительно точки А с угловой скоростью, поэтому все точки круга вращаются также относительно точки А.

41 41 Точка тела, скорость которой в данный момент равна нулю, называется мгновенным центром скоростей, или мгновенным центром вращения. Линейная скорость любой точки тела (круга) в каждый момент времени равна произведению угловой скорости тела (круга) на радиус данной точки от центра вращения и направлена перпендикулярно этому радиусу в сторону вращения тела (круга): v C r ; v E r ; v M AM и т.д. Скорости точек, принадлежащих прямой AE (диаметру), вписываются в треугольник AEK, т.к. на основании подобия треугольников vc vm ve tg. r AM r Пример 1. Колесо радиуса r = 1 м катится по прямому рельсу. Скорость центра С колеса v C = 1 м/с. Рис ). Определить угловую скорость колеса и скорости точек B, D, E (рис. Р е ш е н и е Угловую скорость определим по формуле (.33) v с рад/с. r 1 Радиус точки Е относительно точки А равен диаметру колеса, то есть r, поэтому линейная скорость точки Е v E r 1 4 м/с. Радиусы точек B и D определятся из прямоугольных равнобедренных треугольников ABC и ACD: AB AD r 1,41 м. Теперь найдём линейные скорости точек B и D vb vd AB r,8. Пример. Определить (рис..1) скорость подъема груза G, если скорость подъема каната 1, поднимающего блок v E 16 м/мин, а радиус блока r 0,1 м.

42 4 Р е ш е н и е Канат 1 переброшен через блок и закреплен другим концом в точке В. Ветвь каната АВ неподвижна, поэтому блок катится по неподвижной ветви каната АВ как по рельсу, аналогично кругу на рис..11. Радиус точки Е относительно точки А равен диаметру блока r. Определим угловую скорость блока (v E 16 м/мин,67 м/с).,6 v E 1,33 рад/с. r 0,1 Точка С будет подниматься вместе с грузом G. Скорость точки С, то есть скорость подъема груза, равна v C r 1,33 0,1 0,133 м/с 8 м/мин. Рис ДИНАМИКА 3.1.Основные понятия и аксиомы динамики Раздел теоретической механики, в котором устанавливается и изучается связь между движением тел и действующими на них силами, называется динамикой. В динамике решаются две основные задачи: 1. Прямая задача. По известным действующим на тело силам определяются параметры движения тела.. Обратная задача. По известному закону движения тела определяются силы, действующие на него. Примеры. 1. Полет снаряда. Даны силы F и G. Определяются траектория, скорость, ускорения (прямая задача).. Движение поезда. Заданы путь, скорость, ускорение. Определяются силы (обратная задача). В основе динамики лежат законы Ньютона, опубликованные в его Математических началах натуральной философии в 1687 г.

43 43 Эти законы являются аксиомами динамики и объективными законами природы, которые были установлены на основании многочисленных опытов и наблюдений Ньютона и его предшественников. Первая аксиома (I закон Ньютона) закон инерции: материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие других тел не изменит этого состояния. Свойство материальной точки или тела сохраняет постоянство скорости v const (v 0) и называется инертностью или инерцией. Движение материальной точки или тела, не подвергающихся воздействию сил, называется движением по инерции. Если скорость тела v 0, то это состояние покоя или статического равновесия. Если скорость тела v 0, но v const, то это состояние динамического равновесия. Вторая аксиома (II закон Ньютона) основной закон динамики: ускорение, сообщаемое материальной точке (или телу), приложенной к ней силой, пропорционально модулю силы и совпадает с ней по направлению. Основное уравнение динамики имеет вид F m a. (3.1) Все физические величины, входящие в формулу (3.1), имеют самостоятельное определение. Определение силы F описано в статике, определение ускорения а в кинематике. Опишем массу материальной точки m. Анализируя формулу (3.1), мы видим, что при увеличении массы нужно для разгона тела до одного и того же ускорения приложить большую силу. Чем больше масса, тем труднее вывести ее из состояния покоя или движения по инерции, например остановить катящийся по инерции вагон. Поэтому массу определяют как меру инертности тела. Частный случай основного уравнения динамики: из которого определяют массу G mg, (3.) m G g, (3.3) где m масса тела; G вес тела; g = 9,81 м/с ускорение свободного падения тел в пустоте. За единицу массы в СИ принят килограмм (1 кг), который согласно формуле (3.3) равен 1Н Н с 1кг 1. 1м c м

44 44 Третья аксиома (III закон Ньютона) закон равенства действия и противодействия: действию одного тела всегда соответствует равное ему и противоположно направленное противодействие другого тела, то есть действие двух тел друг на друга всегда равны и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Эта аксиома соответствует 5 аксиоме статики. Четвертая аксиома принцип (закон) независимости действия сил: при одновременном действии на материальную точку нескольких сил они сообщают ей ускорение, равное геометрической сумме тех ускорений, которые точка получила бы при действии каждой из этих сил в отдельности. m a 3 F1 F F... Fn P. (3.4) В самом деле, F 1 m a 1 ; F m a и т.д. Тогда ma=ma 1 +ma +ma 3 + +ma n. (3.5) Формула (3.5) показывает, что равнодействующее ускорение, если сократить формулу (3.5) на m, равно геометрической сумме ускорений a=a 1 +a +a 3 + +a n. (3.6) Ускорения a 1, a и т. д. материальная точка получает от действия сил F 1 и F и т.д. Сравнивая уравнения (3.4), (3.5) и (3.6), видим: равнодействующее ускорение a (формулы (3.5) и (3.6)) то же самое ускорение, что ускорение a, которое создает равнодействующая сил P (формула (3.4)). На рис. 3.1 показано, что вектор равнодействующего ускорения а, полученный геометрическим сложением ускорений a 1 + а + a 3 + a n, совпадает по направлению с равнодействующей Р, которая является геометрической суммой сил F 1 + F + F 3 + F 4 = Р. Основной закон динамики, при условии действия на материальную точку нескольких сил, можно записать в общем Рис.3.1 виде n i1 F i ma. (3.7)

45 45 Если материальная точка несвободна и имеет связи, то освободив ее от связей и заменив их реакциями, движение точки можно считать как свободное, а уравнение (3.7) примет вид n F k i i1 i1 R i ma, (3.8) где F i внешние силы ; R i реакции связей. Пример 1. Груз G поднимают с ускорением а. Определить натяжение каната R. Р е ш е н и е Поднимаемый груз G примем за материальную точку О. Выберем систему координат XOY, ось Y которой совпадает с ускорением а. Освобождая материальную точку (груз) от связей (каната), заменим канат (связь) реакцией R. Рис.3. Запишем основной закон динамики для несвободной материальной точки: R G = m a, где R реакция каната; G = m g вес груза; m масса тела (груза); а ускорение. Подставив значение груза G в уравнение и решив его относительно R, получим R = ma + mg = m ( a + g). Пример. Какова должна быть скорость велосипедиста, чтобы пройти мертвую петлю радиусом r? Р е ш е н и е Принимаем велосипедиста с велосипедом за материальную точку. Систему координат XOY располагаем таким образом, чтобы ось OY совместилась с ускорением a n. При равномерном движении материальной точки по окружности тангенциальное (касательное) ускорение a t = 0. Поэтому полное ускорение а равно нормальному (центростремительному) ускорению, то есть а = а n.

46 46 Рис.3.3 Согласно основному закону динамики G = m a = m a n. Именно сила веса в данном случае является движущей силой, которая вызывает ускорение а, но в свою очередь G = mg. Подставив значение G и a n v r в основное уравнение и решив его относительно скорости, получим g a v r ; g v r ; v g r. n Из полученного уравнения видно, что если нормальное ускорение равно ускорению свободного падения, то наступает равновесие, которому соответствует скорость v g r. На этом задача окончена. Вернемся к рис Равнодействующая сила Р = F 1 + F F n сообщает материальной точке ускорение а. Расположим систему координат таким образом, чтобы ось OX совпала с ускорением а (рис. 3.4). Среди действующих сил могут быть активные силы F i и реакции связей R i, т.е. Рис.3.4 P n i1 k F i R i1 Согласно основному закону динамики P = m a. Перенесем вектор ma в левую часть уравнения, получим i. P m a 0. (3.9)

47 47 Вектор m a имеет размерность силы. Что же представляет собой эта сила? Во- первых, наличие этой силы уравновешивает систему сил F 1 + F F n = Р. Во- вторых, сила m a имеет знак минус, поэтому она направлена в сторону, обратную равнодействующей Р и ускорению а. В - третьих, по величине (модулю) эта сила равна равнодействующей Р. Сила, равная по величине произведению массы материальной точки на ее ускорение, но направленная в сторону, противоположную ускорению, называют силой инерции. F u = m a. (3.10) На основании сказанного можно сделать вывод, который называется принципом Даламбера: Силы, приложенные к материальной точке, уравновешиваются силой инерции P F u n F k i i1 i1 R i F u 0. (3.11) Полученную систему сил можно рассматривать как находящуюся в равновесии, а уравнение (3.11) уравнением равновесия. Такое равновесие называют динамическим. Силы инерции действительно существуют. Достаточно вспомнить поездку в автобусе или троллейбусе. При трогании с места в период разгона ускорение направлено вперед, но нас сила инерции тянет назад. При резком торможении ускорение направлено назад, но нас сила инерции толкает вперед. Принцип Даламбера позволяет при решении задач динамики использовать уравнение равновесия статики. Такой метод носит название кинетостатики. Решим примеры 1 и (рис. 3. и 3.3) методом кинетостатики. Пример 1. Чтобы уравновесить силу G и реакцию R, приложим силу инерции F u = m a (рис. 3.5). Уравнение равновесия будет иметь вид R G + F u = 0, (3.1) или R m g m a = 0, (3.13) где G = mg, т.к. ускорение g и сила G направлены в сторону, обратную оси OY; F u = ma сила инерции, которая направлена в сторону, противоположную оси OY.

48 48 Рис.3.5 Из уравнения (3.13) находим R = m g + m a = m (g + a). Рис.3.6 Нужно помнить, что сила веса G движущая сила и всегда совпадает по направлению с вызванным ускорением g, согласно основному закону динамики. Сила инерции реактивная сила, которая порождается ускорением а и всегда направлена в сторону, обратную ускорению. Пример. Чтобы уравновесить силу G (рис. 3.3), приложим силу инерции F u = m a (рис. 3.6). Уравнение равновесия будет иметь вид или G + F и = 0, m g m a g a 0, где G = m g, так как ускорение g и сила G направлены в сторону оси OY; F и = ma сила инерции, которая направлена в сторону, противоположную оси OY. При равномерном движении по окружности a a После подстановки получим n v r. v g r. 3.. Работа и мощность

49 Работа постоянной силы при прямолинейном движении Для оценки и характеристики действия силы, которая перемещает тело или материальную точку с постоянной скоростью, вводят понятие о мере этого действия работа силы. Пусть на тело (рис. 3.7) действует сила F, которая, преодолевая сопротивление трения Т, двигает тело по плоскости со скоростью v из положения M 0 в положение M. Разложим силу F на две составляющие. Вдоль оси X будет действовать составляющая F x = F cos, а вдоль оси Y будет действовать составляющая F y = F sin. Рис.3.7 Составим два уравнения равновесия X F cos T = 0 ; Y F sin G+R = 0. Из этих уравнений определяются реакция плоскости на тело R и сила трения Т при заданных F и G. Реакция R вызывает силу трения T f R, а составляющая F x =Fcos движет тело, преодолевая трение Т. На это перемещение затрачивается энергия, которая называется работой. Это понятие вводится для оценки действия силы. Мерой этого действия является работа силы, величина которой равна произведению силы на пройденный путь. Величина работы определяется по формуле A=Fcos s, (3.14) где А работа силы; F сила, действующая на тело; угол между направлением силы и скорости тела. Если 0, то формула (3.14) примет вид A F s. (3.15) Работа скалярная величина. Она измеряется в джоулях: 1 Дж =

50 50 1 Нм. Сила, направленная против движения, называется силой сопротивления (трение, сопротивление воздуха, сила сопротивления при вспашке земли и т.д.). Различают силы полезного и вредного сопротивлений. Сила полезного сопротивления сила технологического сопротивления рабочего органа машины: сила подъема груза, сила сопротивления плуга, сила забивания сваи и т.д. Сила вредного сопротивления это сила трения, сила сопротивления воздуха или воды и т.д Мощность и коэффициент полезного действия Два человека копают огороды по 500 м каждый. Один вскопал огород за полдня, а другой за день. Кто из них более работоспособен, более мощный? То же можно сказать о тракторах. Следовательно, знание только величины работы для оценки работоспособности недостаточно. Для характеристики быстроты совершения работы вводится понятие мощности. Мощностью называется величина, выражающая работу, произведенную в единицу времени. N A t. (3.16) Если сила совпадает с направлением движения (3.15), то мощность можно определить по формуле F s N F v. t Единицей мощности в системе СИ является ватт: (3.17) Дж Н м 1Вт 1 1. с с В технике применяется единица мощности, именуемая лошадиной силой, 1 л.с. = 75 кгс м/с. 1 л. с. = 736 Вт = 0,736 квт. 1 квт = 1,36 л. с. Если машина работает с постоянной мощностью, то работа, совершаемая за время t, равна A = N t.

51 51 Эта работа является затраченной электрической энергией, которую принято исчислять в киловатт-часах. 6 1кВт ч 3,610 Дж. Трактор при вспашке помимо переворачивания земли вынужден затрачивать работу и мощность на вращение коробки скоростей, перемещение самого себя, излучение тепловой энергии и т.д. Как видно, кроме полезной работы совершается работа, не затрачиваемая непосредственно на переворачивание земли, то есть вредная работа. Затраты энергии принято делить на полезную работу или мощность и потери. Для оценки полезной работы или мощности введено понятие коэффициент полезного действия. Коэффициентом полезного действия (КПД) называется отношение полезной работы (мощности) ко всей затраченной. Полезную мощность принято называть эффективной и обозначать N, тогда КПД определяется по формуле e N. (3.18) N e Если мощность от двигателя передается через несколько механизмов к рабочему органу, КПД которых известны, то общий КПД машины n (3.19) равен произведению отдельных КПД. КПД всегда меньше 1 и тем больше, чем меньше мощность N N, затрачиваемая на преодоление вредных сопротивлений. N e Работа и мощность при вращательном движении При движении по окружности сила F совершает работу А F AB F s F r. (3.0) Произведение F r называют вращающим моментом M = F r. (3.1) Тогда работа будет равна A = M. (3.)

52 5 Мощность движения вращательного A N M M. t t В технике угловую скорость принято измерять в об/мин (см. формулу (.6)). n n. 30 9,55 (3.3) (3.4) Рис.3.8 Зная N и n, можно определить момент M N n, (3.5) где N в Вт; М в Н м; в с -1 ; n в об/мин. 3.3.Динамика материальной точки Закон количества движения Если на материальную точку массой m, находящуюся в покое, начинает действовать сила F, то через t(с) ее скорость будет равна v a t, откуда a v t. Подставив значения ускорения в основное уравнение динамики, получим mv F ma. t Откуда F t m v. (3.6) Произведение вектора постоянной силы F на время действия силы t есть величина векторная, называется импульсом силы и обозначается S: S F t. (3.7) Произведение массы материальной точки на вектор скорости mv есть величина векторная и называется количеством движения. Физический смысл: импульс силы это толчок, создаваемый силой за время t; количество движения это мера механического движения.

53 53 Количество движения, отнесенное ко времени, представляет собой силу. Рассмотрим движение материальной точки из положения А в положение В, которое она проходит за время t. В начальном положении А время t 0 = 0; скорость v 0. Ускорение на участке АВ определяется как отношение приращения скорости t, деленной на время t: v ( v v0 ) a. t t Если это значение скорости подставим в основное уравнение динамики, то получим Ft m( v v0 ), или Ft mv mv 0, (3.8) или S mv mv 0. (3.9) Алгебраическое приращение количества движения материальной точки за время t равно импульсу действующей силы за тот же промежуток времени. Это есть закон изменения количества движения. Пользуясь им, можно решать задачи по определению силы, времени ее действия, массы, начальной и конечной скорости при условии, что только одна из этих величин неизвестна. При решении задач, если в условиях задается масса, скорость и время движения, нужно пользоваться законом об изменении количества движения, а не кинетической энергии. Рис Потенциальная и кинетическая энергия Энергией называется способность тела совершать механическую работу. Существует два вида энергии: потенциальная и кинетическая. Потенциальная энергия представляет собой запас работы, которую может совершать тело. Название «потенциальная» происходит от латинского «потенция», т.е. возможность.

54 54 Например, тело весом G подняли на высоту h и удерживают его на этой высоте. На подъем тела затратили работу A = G h, которая и равна потенциальной энергии П G h. (3.30) Если теперь отпустить тело, соединив его с механизмом, то оно может совершить работу. Так работает кузнечный молот или молот для забивания свай при подготовке фундамента дома. Аналогично обладает потенциальной энергией сжатая пружина, электрическое, магнитное, гравитационное поля и т.д. Во всех перечисленных случаях можно заметить два момента: вопервых, потенциальная энергия не возникает из ничего, а является продуктом проделанной работы (поднятие тела на высоту h, сжатие пружины, создание магнитного поля и т.д.); во- вторых, потенциальная энергия зависит от положения тела в силовом поле. Потенциальная энергия может совершать статическую работу или переходить из одного вида энергии в другой. Например, пневмоцилиндр закрывает двери в троллейбусе (статическая работа); сжатый воздух в пневматическом ружье, применяемом в тире, сообщает пуле кинетическую энергию (переходит из потенциальной в кинетическую энергию). Кинетическая энергия это энергия движущегося тела. Кинетическая энергия определяется способностью движущегося тела или материальной точки совершать работу. Например, если пневматическое ружье поднять вверх и выстрелить, то кинетическая энергия, сообщенная пуле, будет совершать работу по поднятию пули на высоту h. Величина кинетической энергии численно равна полупроизведению массы материальной точки на квадрат скорости E mv. (3.31) Закон об изменении кинетической энергии материальной точки Воспользуемся рис Сила F на участке АВ совершает работу A F s ma s. (3.3) При равноускоренном движении ускорение равно приращению скорости, деленному на время (.13, а): v v0 a. t Путь, пройденный материальной точкой при равноускоренном движении, равен произведению средней скорости на время (.13, б):

55 или 55 v v0 s vcp t t. Подставив значения a и s в уравнение (3.3), получим v v0 v v0 v v0 mv mv0 A m t m, t mv mv0 A E E0, (3.33) где E кинетическая энергия в положении В; Е 0 кинетическая энергия в положении А. Изменение кинетической энергии материальной точки равно работе силы, действующей на точку. Это есть закон об изменении кинетической энергии. При движении материальной точки под действием силы F сила совершает работу, которая затрачивается на создание ускорения, то есть изменение скорости точки. Потенциальная работа силы F переходит в кинетическую энергию движущейся точки. Кинетическая энергия увеличивается за счет увеличения скорости. Если скорость v в положении В больше скорости v 0 в положении А, то работа, совершаемая силой F, положительная, а кинетическая энергия Е и скорость v возрастают. Потенциальная работа силы F переходит в кинетическую энергию. Если v v 0, то работа А отрицательная, а Е и v убывают. При этом часть кинетической энергии, которая «высвобождается», совершает механическую работу, то есть материальная точка, преодолевая какое-то сопротивление (сила F), совершает работу. Например, молоток под действием силы F 1 руки человека на некотором пути s 1 получает запас кинетической энергии до встречи со шляпкой гвоздя: mv A F1 s1. При встрече со шляпкой гвоздя молоток испытывает сопротивление F, которое он преодолевает, забивая гвоздь на глубину s. При этом скорость v убывает до нуля, а кинетическая энергия молотка переходит в работу, которая затрачивается на сопротивление гвоздя F на пути s.

56 56 mv F s A. mv В первом случае начальная скорость v 0 = 0 и v v 0, а положительная и А положительная, т.к. сила F 1 направлена в сторону движения. Во втором случае начальная скорость v 0 v, а конечная скорость равнялась нулю, поэтому кинетическая энергия отрицательная. Работа А тоже отрицательная, т.к. сила F направлена в сторону, противоположную движению. Знак кинетической энергии определяется разностью v v 0. Поэтому при разгоне приращение кинетической энергии Е Е Е 0 0, т.е. положительно, а при вынужденном торможении Е Е Е 0 0, т.е. отрицательно. Поэтому говорят, что кинетическая энергия при разгоне возрастает (Е > Е 0 ), а при торможении убывает (E < E 0 ). При решении задач, если задается масса, скорость и путь материальной точки, нужно пользоваться законом об изменении кинетической энергии Основное уравнение динамики для вращательного движения Пусть ось N N под действием момента М вращается с ускорением. На расстоянии ОА = r от оси прикреплена материальная точка массой m. При равноускоренном вращении материальной точки возникают ускорения: тангенциальное а t = r ; нормальное а n = которые вызывают силы инерции: тангенциальную F a нормальную F a r, m mr t t, n nm mr.

57 57 Касательная сила инерции F t уравновешивает внешний момент М. На основании принципа Даламбера составим уравнение равновесия моментов M M Ft r M mr 0, (3.34) откуда M ( mr ). Величина I = mr называется моментом инерции материальной точки относительно оси и является мерой инертности при вращательном движении. С учетом момента инерции основной закон динамики для вращательного движения примет вид M= I. (3.35) Для вращающегося тела момент инерции определяется как n I= m i r i i1 Рис.3.10, (3.36) где m i масса i-го элемента; r i расстояние центра тяжести i-го элемента тела от оси N N. Если к телу приложено много внешних моментов от внешних сил, то равнодействующий момент M n i1 M i n i1 F r. i i (3.37) Произведение момента инерции тела I на его угловое ускорение равно сумме моментов всех сил относительно оси вращения n M n i i1 i1 F r i i I. (3.38) При решении задач наиболее часто встречаются тела в виде цилиндра или шара. Момент инерции сплошного цилиндра радиусом r и массой m, вращающегося относительно своей оси,

58 58 mr md I, (3.39) 8 где d диаметр цилиндра. Момент инерции шара радиусом r, вращающегося относительно оси симметрии, mr I 0, 4mr 0, 1md., 5 (3.40) или Кинетическая энергия вращающегося тела Кинетическая энергия материальной точки (рис. 3.10) m v m ( r) I E m r, E=I. (3.41) Закон изменения кинетической энергии вращающегося тела по аналогии с поступательным движением запишется в следующем виде: I I A. 0 (3.4) Изменение кинетической энергии вращающегося тела равно работе сил, приложенных к телу. Работа при вращательном движении по аналогии с поступательным движением определяется как произведение «силы», т.е. момента М, на «путь», т.е. угол поворота : А = М. (3.43) Движущиеся машины обладают двумя видами кинетической энергии: кинетической энергией поступательно движущейся машины E mv и кинетической энергией вращающихся частей E I, поэтому полная кинетическая энергия машины равна их сумме: E E 1 E mv I. (3.44)

59 59 Часть II. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН 4.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О МЕХАНИЗМАХ И МАШИНАХ 4.1.Общие сведения о машинах Машиной называется (механическое) устройство, выполняющее полезную работу. Работа может быть связана с производственным процессом, транспортированием, преобразованием энергии, преобразованием информации и т.д. Например, экскаватор, подъёмный кран, автомобиль, воздушный компрессор, насосная установка, ЭВМ и т.д. Машина состоит из трёх основных частей: приводного двигателя 1; передачи ; рабочего органа 3. Рабочий орган машины совершает полезную работу. Для этого ему нужно сообщать энергию и заданные скорость движения и траекторию. Примеры : ковш экскаватора, крюк крана, колёса автомобиля, поршень компрессора, рабочее колесо насоса и т.д. Рис.4.1 Передача предназначена для преобразования движения, согласования скорости двигателя и рабочего органа и передачи энергии от двигателя к рабочему органу. У автомобиля это коробка передач и трансмиссия, у крана редуктор и канатная передача. Передача механической машины представляет собой чаще всего механизм вращательного движения, состоящий из отдельных двухваловых механизмов, которые тоже называются передачами: ременная передача, цепная передача, зубчатая передача, червячная передача, канатная передача и т.д. Эти передачи вращательного движения состоят из двух звеньев: ведущего звена, получающего вращательное движение от двигателя, и ведомого звена, приводимого в движение от ведущего. По характеру выполняемой работы различают машины: 1.Технологические для выполнения производственных процессов и выпуска готовой продукции: станки, текстильные, полиграфические, сельскохозяйственные машины и т.д..транспортные для перемещения грузов и перевозки пассажиров: поезда, автомобили, транспортёры, конвейеры, насосы для перекачки жидкостей и т.д. 3.Грузоподъёмные для подъёма грузов и тяжёлых предметов: краны, тали, домкраты и др.

60 60 4.Энергетические для преобразования механической энергии в другие виды энергии, и наоборот. Первые называют генераторами, а другие двигателями: электрогенераторы, компрессоры, электродвигатели, двигатели внутреннего сгорания и т.д. 5.Электронно-вычислительные машины (ЭВМ) для преобразования и накопления информации. 4.. Кинематические пары и кинематические цепи Механизм это совокупность, которая состоит из неподвижных и подвижных деталей, которые называют звеньями. Два звена, которые соединены между собой подвижно с помощью шарнира, поступательной направляющей или другим способом, образуют кинематическую пару. Примеры. Ножницы образуют вращательную кинематическую пару. Шприц, состоящий из поршня и цилиндра, образует поступательную кинематическую пару, винт и гайка винтовую кинематическую пару. Последовательное соединение звеньев, которые образуют между собой кинематические пары, называют кинематической цепью. Рассмотрим кинематическую цепь кривошипно-шатунного механизма (рис. 4.). Неподвижные звенья 1 соединены между собой в единый корпус, который называется стойкой, станиной. Кинематические цепи, крайние звенья которых соединены вместе, называются замкнутыми. Рис.4. Схема последовательного соединения звеньев кинематической цепи: стойка с шарниром 1 кривошип шатун 3 ползун 4

61 61 направляющая со стойкой 1. Шарнир А и направляющая жёстко соединены со стойкой (станиной), на которой смонтирован весь механизм. Неподвижную стойку принято обозначать цифрой 1. Кинематическая цепь, в которой при заданном движении одного из звеньев все остальные звенья получают вполне определённые движения, называется механизмом. В механизме выделяют ведущее звено и ведомое звено. Ведущим называется звено, которому сообщают заданное движение. Ведомым называется звено, которое воспринимает преобразованное механизмом движение ведущего звена. На рис. 4. ведущее звено, ведомое 4. На рис. 4.3 изображён механизм электрической тали. Ведущим звеном механизма является шестерня z 1. Ведомым звеном является крюк 5, удерживающий груз 4. Кинематические пары. Звенья z 1 (шестерня) и z (зубчатое колесо) соединяются между собой посредством зубьев. Шестерня z 1 соединяется со стойкой 1 посредством подшипника. Зубчатое колесо z и шестерня z 3 посажены жёстко на вал II, который вращается в подшипниках 1. Звенья z 3 (шестерня) и z 4 (зубчатое колесо) соединяются между собой посредством зубьев. Зубчатое колесо z 4 и барабан жёстко посажены на вал III, который вращается в подшипниках 1. На барабан намотан канат 3, на конце которого имеется крюк 5, с помощью которого подвешен груз 4. Рис.4.3 Ведущая шестерня z 1 приводится во вращение электромотором 7, мощность которого N 1 и частота вращения n 1. С помощью двух пар звеньев z 1 z и z 3 z4 частота вращения вала I n 1 понижается до частоты n 3, с которой вращается вал III. На барабан диаметром D наматывается канат, поднимая груз 4, равный G, со скоростью v. Как определить скорость подъёма груза v, зная геометрические параметры механизма и частоту вращения ведущего звена z 1? Ниже будут рассмотрены понятия «передаточное отношение» и

62 6 «передаточное число». Мы воспользуемся этими понятиями для определения частоты вращения ведомого вала. Между I и II валами существует зависимость n n z. 1 1 z Между II и III валами существует зависимость n 3 n z3 z4, или n3 n1 z1 z z3 z4. За 1 оборот барабана канат 3 наматывается на длину окружности, равную D. Следовательно, за n 3 оборотов канат будет наматываться за каждую минуту на длину z1 z3 n3 D n1 D v, z z 4 n z z z z D v. 4 (4.1) Уравнение (4.1) называется уравнением кинематического баланса, которое связывает между собой движения ведущего и ведомого звеньев. Уравнение кинематического баланса применяется для кинематического расчёта и анализа кинематических цепей механизмов. Полезная или эффективная мощность N e определяется как произведение веса груза G на скорость его подъёма v: N e G v (4.) Коэффициент полезного действия определится как отношение полезной мощности к затраченной двигателем, т.е. N: = N e N. Откуда определяется затраченная двигателем мощность N: N N. e (4.3) (4.4) Кривошипно-шатунный механизм (см. рис.4.) имеет в качестве ведущего звена кривошип, который обозначен на схеме как рычаг с двумя шарнирами на концах А и В. Чаще его выполняют в виде кривошипного диска 5, в центре которого (точка А) и в точке В выполнены шарниры, с помощью которых кривошипный диск (или кривошип ) подсоединяется к стойке и к шатуну 3.

63 63 Кривошип вращается с угловой скоростью. За время t кривошип поворачивается из положения B 0 на угол, который определится через угловую скорость = t. (4.5) В начальный момент времени кривошип занимает положение AB 0, а шатун 3 положение B 0 C 0. Поршень 4 находился в положении C 0. За время t поршень из положения C 0 переместился в положение С на расстояние s. Это и есть путь поршня. Поршень 4 является ведомым звеном, двигающимся со скоростью v c, которая является абсолютной, т.к. измеряется относительно неподвижной стойки 1. Шатун 3 связан шарниром С с поршнем 4, следовательно, точка С шатуна движется с абсолютной скоростью v c, т.к. она отсчитывается от неподвижной стойки. С другой стороны шатун связан шарниром В с кривошипом. Скорость v B точки В кривошипа и шатуна тоже абсолютна, т.к. измеряется относительно неподвижной точки А. Выберем систему координат XAY. Скорость v c совпадает с осью AX. Разложим скорость v B на две составляющие v x и v y. Если теперь рассматривать движение точки В шатуна относительно точки С, то можно прийти к выводу, что точка В движется поступательно вместе с точкой С со скоростью v x = v y, а также вращается вокруг точки С со скоростью v y. Между скоростями и v c можно установить зависимость: или v B = r; v x = v B sin = r sin( t) = v c r sin( t) = v c. (4.6) Если к поршню приложена сила сопротивления F, то можно определить полезную мощность Ne F v c. (4.7) Если известен коэффициент полезного действия, то затраченную двигателем мощность определяют по формуле N = N. (4.8) e 4.3. Простейшие механизмы Наклонная плоскость Наклонная плоскость простейший и древнейший механизм, применяемый для поднятия тяжёлых предметов на высоту при ручной

64 64 загрузке и выгрузке вагонов, грузовых автомобилей, в винтовых парах, клиновых механизмах и т.д. Сила F (рис. 4.4), с которой затаскивают груз 1 по наклонной плоскости в транспортную машину, зависит от величины груза G, угла подъёма. Разложим силу веса G на две составляющие: силу N перпендикулярно к наклонной плоскости, т.е. по нормали к ней, и параллельно наклонной плоскости силу S. Рис.4.4 Сила N прижимает груз 1 к наклонной плоскости (вспомните ледяную горку), а сила S стремится двигать груз 1 вниз по наклонной плоскости. Наклонная плоскость в ответ на силу N создаёт реакцию плоскости R, которая уравновешивает силу N. Чтобы груз не поехал вниз, нужно приложить силу F, которая уравновесит силу S. Выберем систему координат XOY.Ось X направим вдоль наклонной плоскости, а ось Y перпендикулярно к ней. Сила S является проекцией силы G на ось X. S = G sin. (4.9) Сила F уравновешивает силу S, следовательно, F = S = G sin. (4.10) Чтобы поднять груз вертикально от уровня точки А до уровня точки В, т.е. на высоту h, нужно совершить работу A = G h. (4.11) Если поднимать груз по наклонной плоскости от точки А до точки В, то, пренебрегая трением, работа будет равна A = F e. (4.1) Нетрудно увидеть, что работа в формуле (4.11) равна работе в формуле (4.1), т.к. в обоих случаях груз был поднят на одну и ту же высоту h. Только в первом случае путь был меньше и равнялся h, а сила была больше и равнялась G. Во втором случае путь был длиннее и равнялся e, а сила была меньше и равнялась F.

65 65 Во сколько же раз сила F меньше силы веса G? Приравняем правые части уравнений (4.11) и (4.1): G h = F e. Это уравнение выражает закон равенства работ для наклонной плоскости, откуда F h sin. G e (4.13) Во сколько раз путь по наклонной плоскости e больше высоты подъёма h, во столько раз сила F меньше силы веса G. Когда мы не в состоянии вертикально поднять груз, применяется наклонная плоскость, которая позволяет поднять тяжёлый груз малой силой. При этом мы совершаем больший путь. В работе механизмов выигрыш в силе всегда равен проигрышу в пути. Это золотое правило механики. На основе этого правила действуют многие машины. Из уравнения (4.13) находим F = G sin, что соответствует равенству (4.10), следовательно, наши рассуждения правильные. Мужчина-рабочий в течение дня может нагружаться силой не более 0 кгс 00 Н. Под каким углом нужно поставить наклонную плоскость и какой длины выбрать направляющие, если вес груза G = 1000 Н = 1кН, а высота подъема h = 1,5 м? Р е ш е н и е Из формулы (4.13) F 00 sin = =1000 = 0,; G угол = arcsin 0, = 11,5. Из формулы (4.13) h 1,5 e= = 7,5 м, sin 0, следовательно, длина наклонной плоскости должна быть равной 7,5 м Рычаги Если нужно приподнять тяжёлый предмет весом G малой силой F, то применяют рычаг. Распространённым рычагом, с помощью которого приподнимают тяжёлые предметы, является лом. Рычагом называется длинное твёрдое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси.

66 66 Различают рычаги одноплечные и двуплечные. У одноплечного рычага ось вращения расположена на одном из концов, а силы, действующие на рычаг, антипараллельны, т.е. параллельны и направлены в разные стороны (рис. 4.5). У двуплечного рычага ось расположена между точками приложения сил и силы параллельны (рис. 4.6). На рисунках обозначены:g нагрузка; F сила, уравновешивающая нагрузку; 1 - плечо нагрузки G; - плечо силы F. Чтобы рычаг находился в покое, т.е. был уравновешен, сумма моментов относительно оси вращения А должна быть равна нулю: Рис.4.5 Рис.4.6 откуда или M A G e F 0, 1 e G1 G F F (4.14) 1. (4.15) Сила F, приложенная к рычагу, во столько раз меньше нагрузки G, во сколько раз плечо силы больше плеча нагрузки 1. Для получения большого выигрыша в силе применяют систему рычагов (рис. 4.7). Двуплечный рычаг нагружен силой F. Точка В двуплечного рычага соединена канатом с точкой С одноплечного рычага. Через канат на одноплечный рычаг передаётся сила Т, которая поднимает нагрузку G. Сила Т определится по формуле Т = F 1. Нагрузка G находится по формуле G = T 4 3. Если в эту формулу подставить значение Т, то получим

67 Если 1 3, а 4, то G = F (4.16) G = F. (4.17) 1 Выбрав рычаги с отношением плеч 1 = 3, получим для одного рычага выигрыш в силе в 3 раза и для системы двух рычагов - в 3 = 9 раз! А если применить три рычага, то выигрыш получим в 3 3 = 7 раз!! Сложные системы рычагов дают значительный выигрыш в силе. Одну из таких систем используют для взвешивания больших грузов: автомобилей, вагонов и др. Рис.4.7 В этом случае огромный вес G автомобиля или вагона уравновешивается маленьким весом гири F: G F 1 n 1 3, (4.18) где n показатель степени, указывающей число рычагов в системе. Пусть вес автомобиля с грузом составляет 6 т, что в системе СИ составляет 60 кн. Какую гирю нужно положить, чтобы уравновесить вес l автомобиля, если отношение длин рычагов 5, а число рычагов 4? l1 G F 96 Н = 9,6 кгс. n Отношение плеч рычагов выбирают таким, чтобы 1 n было кратно 10, 100 или Например, если выбрать 5,6, то Тогда 1 1 4

68 68 при взвешивании автомобиля весом 6 т на весы нужно будет положить гирю массой 6 кг Ворот, блоки и полиспасты К разновидностям рычагов относятся ворот, блоки и полиспасты. Рис.4.8 Ворот это цилиндрический барабан 1, установленный на подшипниках и снабженный рычагом 3 для вращения барабана. Примером может служить колодезный ворот. При вращении рычага 3 канат 4 наматывается на ворот 1 (барабан) и груз 5 поднимается. Плечо рычага R делает больше радиуса ворота r, чтобы получить выигрыш в силе. Из равенства моментов, приложенных к вороту и рычагу G r F R, находим G F R r. (4.19) Сила F 1, приложенная к рычагу ворота, во столько раз меньше поднимаемого груза G, во сколько раз плечо рычага R больше радиуса ворота r. Блок 1 представляет собой колесо (рис. 4.9), на ободе которого имеется желобок, в котором помещается канат, огибающий блок. К одному концу каната крепят груз G, а к другому прикладывают силу F. Так как ось закреплена, блок называют неподвижным. Он может только вращаться вокруг своей оси. Условие равновесия блока G r F r,или G = F. Выигрыша в силе у неподвижного блока нет. Канат растягивается одной и той же силой. Это правило присуще для всех схем с блоками и канатами.

69 69 Рассмотрим схему подвижного блока с неподвижным (рис. 4.10, а). Подвижный блок отличается от неподвижного тем, что ось его не закреплена и он может перемещаться вместе с осью. Подвижный блок 1 висит на двух ветвях каната, который огибает его снизу. Далее канат огибает неподвижный блок 3, установленный на неподвижной оси 4. Один конец каната прикреплен к опоре 5, а за другой конец тянут его силой F. Груз 6 крепится к крюку 7, который прикреплен к оси Рис.4.9 подвижного блока 1. Из рисунка видно, что груз 6 вместе с блоком 1 висит на двух ветвях каната. Составим расчетную схему (рис. 4.10, б). Для этого освободим блоки (тела) от связей, т.е. канатов, и заменим связи реакциями. Так как сила натяжения всего каната едина и равна силе F, то реакции связей будут равны силе F. Рассмотрим равновесие блока 1 (рис. 4.10, б). Все силы действуют вертикально, поэтому на горизонтальную ось они проектируются в нуль. Груз G обычно задан, поэтому количество неизвестных равно одному, т.е. силе F. Достаточно составить уравнение равновесия F = G, или F G. (4.0) Выигрыш в силе получается в два раза. Полиспаст состоит из группы неподвижных блоков 1 и группы подвижных блоков. Канат 3 закрепляют одним своим концом к неподвижной группе блоков в точке А. Затем он пропускается через первый блок подвижной группы, через первый блок неподвижной группы и т.д. Второй конец каната, переброшенный через последний блок неподвижной группы, опускается вниз и к нему в точке В прикладывается сила F. Груз подвешен к группе подвижных блоков, которая висит на 3 = 6, т.е. шести канатах: три блока по два каната получается шесть. Уравнение равновесия будет иметь вид G = 3 F. (4.1) Если число подвижных блоков в полиспасте обозначить буквой n, число канатов будет равно n, тогда уравнение примет вид G = n F (4.)

70 70 Рис.4.10 или F G n. (4.3) Итак, если число подвижных блоков равно 3, то выигрыш в силе равен 6. Рис.4.11

71 Клин Клин применяют для выигрыша в силе при необходимости приподнять тяжелый груз в твердой оболочке. На рис. 4.1 изображен тяжелый ящик 1, который приподнимается клином от поверхности 3. Примем все поверхности твердыми и гладкими. Применим принцип освобождения от связей. Отбросим от клина ящик 1 и поверхность 3, заменяя их Рис.4.1 реакциями N и R соответственно. Клин находится в равновесии под действием трех сил N, R и F. Составим уравнение равновесия клина X P F N sin - F = 0; Y R G N cos R 0, откуда N sin F ; N cos G. Клин вбивается силой F, приподнимая груз G. Их отношение F N sin tg. G N cos (4.4) Найдем силу F: F = G tg. (4.5) Чем меньше угол, тем меньше сила F, тем больше выигрыш в силе. Обычно угол клина выбирают до Большой угол применять нельзя, так как груз будет сползать. Чтобы этого не произошло, угол выбирают меньше, чем угол трения, т.е. tg f tg, где f коэффициент трения; угол трения. При таком условии клин становится самотормозящим. Самотормозящие клинья используются для различных стопорящих устройств Винт Винт (рис.4.13) можно представить как наклонную плоскость, навитую на цилиндрическую поверхность.

72 7 Если вращать винт вокруг своей оси, то винтовая линия будет играть ту же роль, что наклонная плоскость. Обозначим: r средний радиус резьбы; t шаг резьбы, который показывает, насколько переместится виток резьбы за 1 оборот винта; угол подъема резьбы (угол наклонной плоскости); Р сила, действующая в направлении оси винта; F сила, действующая на виток на расстоянии r от оси винта и необходимая для поворота винта; R плечо рукоятки. Для наклонной плоскости (см. уравнение (4.13)) можно записать на основании равенства работ Рис.4.13 F P t R 1. F P t в t r tg, откуда Pt F = R tg =. r (4.6) В этой формуле сила F приложена к витку резьбы радиусом r. Если рукоятку сделать с большим радиусом R, то тогда сила F 1, приложенная к рукоятке, будет действовать на виток во столько раз большей силой, во сколько радиус R больше радиуса r, т.е. F F 1 R r. Подставив в (4.6) и решив относительно F 1, получим (4.7) Пример. Требуется поднять груз Р = 3 кн с помощью винтового домкрата, у которого шаг резьбы t = 6 мм; длина рукоятки R = 50 мм. Применив формулу (4.7), получим P t F1 1 Н. r Выигрыш в силе равен 50 раз!!! 1

73 73 5. ПЕРЕДАЧИ 5.1. Общие понятия Наибольшее распространение получили механические передачи вращательного движения. Механизмы с возвратно-поступательным движением имеют два существенных недостатка: потери времени на холостые ходы и большие динамические нагрузки при перемене направления движения. Вращательные механизмы движутся плавно, без рывков в одну сторону и с постоянной скоростью. Одноступенчатая передача вращательного движения состоит из двухвалового механизма. Между двумя валами О 1 и О (рис. 5.1) может быть только одна вращательная кинематическая пара, которую принято называть передачей. По принципу действия передачи можно разделить на две группы: осуществляемые силой трения и работающие на принципе зацепления двух звеньев. К первой группе относятся ременная, канатная и фрикционная передачи. Ко второй группе зубчатая, цепная, червячная и другие передачи. Рис.5.1 Валы в передаче могут располагаться параллельно и непараллельно. Передачи, понижающие угловую скорость или частоту вращения, называются редукторами. Передачи, повышающие частоту вращения, называются мультипликаторами. Для ступенчатого регулирования скорости применяют передачи, называемые коробками скоростей или передач. Зубчатые редукторы применяют в транспортных и грузоподъёмных машинах, конвейерах и транспортерах, станках, сельхозмашинах и т.д.

74 74 Мультипликаторы применяют в турбокомпрессорах, насосах высокого давления (центробежных) и др. В автомобилях, станках, дорожных машинах применяют коробки передач (скоростей). В передаче различают ведущий О 1 и ведомый О валы. Передача, состоящая только из ведущего и ведомого валов, называется одноступенчатой. Если валов больше двух, то передача многоступенчатая. 5.. Кинематические и силовые соотношения в передачах В каждой двухваловой передаче различают: ведущий вал I; ведомый или выходной вал II; зубчатые колеса z 1 и z или фрикционные колеса d 1 и d. Такая передача называется одноступенчатой. Основные параметры передачи: мощности на ведущем валу N 1 и на ведомом валу N ; угловые скорости 1 и или частоты вращения n 1 и n на ведущем и ведомом валах соответственно. Этих параметров достаточно для расчета любой передачи. Зубчатое колесо с меньшим числом зубьев z 1 называется шестерней, а с большим числом зубьев z зубчатым коленом или просто колесом. Рассмотрим производные параметры передачи. Между угловыми скоростями на ведущем и ведомом валах существует взаимосвязь. Величина, которая показывает во сколько раз передача изменяет скорость вращения, называется передаточным отношением u 1 1 n1 z d. n z d 1 1 (5.1) Эта величина определяется отношением угловых скоростей ведущего 1 и ведомого звеньев по ходу движения или отношением зубьев или диаметров против хода движения. Частным случаем передаточного отношения является передаточное число, величина которого обратная передаточному отношению: Рис.5. 1 z1 d1 n i 1. u z d d (5.) 1 Передаточное число применяется в уравнениях кинематического баланса (см.4.1), т.к. числа зубьев z 1 ; z ; z 3 ; z 4 и т.д. или диаметры d 1 ; d ; d 3 ; d 4 и т.д. идут в этих уравнениях (УКБ) по ходу движения. 1 1

75 75 Рис.5. Зубчатая передача (рис.5.1, а) изменяет направление вращения ведомого вала. Ременная передача (рис.5.1, б) не изменяет направления вращения. Коэффициентом полезного действия двухваловой передачи согласно определению есть отношение полезной мощности к затраченной. Полезная мощность измеряется на выходе механизма, следовательно, это мощность N. Затраченная мощность измеряется на входе механизма, следовательно, это мощность N 1. Тогда КПД. (5.3) 1 N1 N Окружная скорость зубчатых колес, т.е. скорость точки, лежащей на окружности колеса, (рис.5.) определится по заданной угловой скорости (частоте вращения) и диаметру ведущего звена по формуле v. (5.4) 1 1d1 Окружная скорость ведомого звена определится аналогично: v. (5.5) d Точка касания А (см. рис. 5.) принадлежит одновременно и колесу z 1, и колесу z, следовательно, v v v 1. Если в это равенство подставить значение v 1 и v, то получим

76 откуда 1 d d n n 1 d d 1, z z 1, т.к. n прямо пропорциональна, а z прямо пропорционально d, где угловая скорость; n частота вращения; z число зубьев колеса; d начальный диаметр колеса. Ведущее колесо z 1 воздействует на ведомое колесо z в точке А (см. рис. 5.). Сила, с которой колесо z 1 действует на колесо z, называется окружной и обозначается F t. Произведение силы на скорость есть мощность F t v N, (5.6) d 1 произведение окружной силы на плечо АО 1, т.е. радиус, есть крутящий момент Аналогично M M 1 d1 Ft. d Ft, (5.7) (5.8) где М 1 крутящий или вращающий момент на 1-м валу; М крутящий или вращающий момент на -м валу. Обратите внимание, что момент М на ведомом валу (см. рис. 5.) направлен навстречу моменту М 1. Дело в том, что момент М 1 движущий (действие), а момент М момент сопротивления (противодействие). На самом деле действием является сила F t, а противодействием сила (-F t ). Сила F t действует со стороны зубчатого колеса z 1, а сила (-F t ) со стороны колеса z. Если известна мощность на 1-м ведущем валу (см. 3.3) N 1 = M 1 1, (5.9) то мощность N i на любом последующем валу вплоть до выходного вала включительно будет равна N i N 1 1i, (5.10) где 1i КПД передачи от первого до i-го вала. Учитывая, что N i = M i i и (5.9), можно переписать уравнение (5.10)

77 77 Откуда M i i M i i 1i. 1 M i M1 1i M1 u1i 1i i (5.11) Момент на любом i-м валу равен моменту на первом валу, помноженному на передаточное отношение передачи и КПД от первого до i- го вала. В многоступенчатой передаче общее передаточное отношение равно произведению отдельных передаточных отношений передач u 1 n u1 u3 u34 un. (5.1) Общий КПД многоступенчатой передачи равен произведению КПД отдельных передач 1 n 1 3 n. (5.13) 5.3. Общие сведения о редукторах Передачи многоваловые, предназначенные для понижения частоты вращения и увеличения крутящего момента, называются редукторами. Разберем первое определение: понижение частоты вращения или угловой скорости. Подставив в формулу (5.1) значения передаточных отношений, получим n. 1 4 n1 1 1 u1n 3 5 n n nn (5.14) Так как все двухваловые передачи понижающие, передаточные отношения каждой передачи больше единицы. Следовательно, общее передаточное отношение u 1n 1, а частота вращения первого вала n 1 n n (значительно больше n n ). Увеличение крутящего момента видно из формулы (5.11) Так как u 1n 1, то M 1 M n M1 u1n 1n. (5.15) M n 1, поэтому М n M 1, т.е. момент на выходном валу значительно больше момента на входном или ведущем валу. В редукторах также используется принцип выигрыша в силе. Быстроходный двигатель с маленьким крутящим моментом вращает рабочий орган машины (но медленно), требующий большого крутящего момента. Так в принципе выглядит большинство машин.

78 78 Многоваловые передачи, предназначенные для повышения частоты вращения, называются мультипликаторами. Частота вращения двигателей внутреннего сгорания (ДВС) и электродвигателей измеряется в сотнях и тысячах об/мин, а скорость исполнительного механизма, который непосредственно двигает рабочий орган, значительно меньше, поэтому наибольшее распространение в машинах получили редукторы. Двухваловая или одноступенчатая передача может обеспечить передаточное отношение n max = 4 7, т.е. понизить частоту вращения в 4 7 раз, а потребность бывает понизить в десятки или даже сотни раз, поэтому обычно применяют многоступенчатые передачи (редукторы), которые, как правило, выделяют в отдельный узел. Пример. Выполнить кинематический и силовой расчеты двухступенчатого привода (рис. 5.3), состоящего из электродвигателя 1, ременной передачи и одноступенчатого цилиндрического редуктора 3. Мощность на ведомом валу III N 3 = 6,6 квт, частота вращения n 3 = 10 об/мин, КПД ременной передачи рп = 0,95, КПД зубчатой передачи зп = 0,97. Р е ш е н и е 1.Определяем общий КПД привода рп зп 0,95 0,97 0,9..Определяем мощность электродвигателя 3 6,6 N 1 N 7, квт. 0,9 3.Выбираем электродвигатель, у которого N = 7,5 квт; n 1 = 1455 об/мин. 4.Выбираем передаточное отношение зубчатой передачи u 3 = 4. 5.Определяем общее передаточное отношение n u 13 1,13. n Определяем передаточное отношение ременной передачи u13 1,13 u 1 3,03. u Определяем частоту вращения II- го вала n = n 3 u = 480 об/мин.

79 79 Рис Определяем крутящие моменты на валах N1 N1 7,5 M 1 9,55 9,55 49, Нм; 1 n M M u 49,3,030,95 141,75 Нм; 1 1 рп M 3 M1 u13 рп зп 49,1,13 0,95 0,97 6. ПРОСТЫЕ МАШИНЫ И МЕХАНИЗМЫ 6.1. Лебедка и таль 550 Нм. Лебедка это грузоподъемная машина (рис. 6.1), предназначенная для перемещения груза с помощью каната, которая состоит из барабана 1 для наматывания каната и передачи от двигателя 3 к барабану 1. Лебедки бывают с ручным и электрическим приводами. На подвижных машинах автокранах и экскаваторах лебедка приводится во вращение от ДВС. Лебедки применяются как самостоятельные механизмы, так и специальные, входящие в состав кранов и экскаваторов. Лебедки выпускают с тяговым усилением F = 4 50 кн, диаметром барабана d б = мм, длиной каната м, скоростью навивки каната v = м/мин. Кинематический и силовой расчеты лебедки разберем на примере (см. рис. 6.1). Для привода электрической лебедки нужно подобрать электродвигатель, разбить передаточное отношение по ступеням передач и определить моменты на валах, если сила, действующая на канат, F = 1 кн,

80 80 диаметр барабана d б = 50 мм, угловая скорость барабана 3 = 4 рад/с, рп = 0,95; зп = 0,97. Р е ш е н и е 1.Определяем общий КПД привода лебедки, состоящего из ременной передачи (d 1 и d ) и зубчатой передачи (z 1 и z ): 0,950,97 0,9 рп зп..определяем мощность электродвигателя (см. решение примера рис. 5.3). Полезная мощность на валу III барабана dб N3 F vk F 3, dб где vк 3 скорость навивки каната; d б = 50 мм = 0,5 м. Подставив значения входящих величин в формулу, получим Мощность на валу электродвигателя 0,5 N кВт. 3 6 N 1 N 6,5 квт. 0,9 По таблицам выбираем асинхронный электродвигатель мощностью N э = 7,5 квт и частотой вращения n э = 1455 об/мин. 3. Определяем общее передаточное отношение привода u, 13 n1 n3 где n 1 = n э = 75 об/мин; n 3 = 9.55, 3 = = 38, об/мин. Подставив полученные значения в формулу, получим Рис u 13 18,98. 38,

81 81 4. Выбираем передаточное отношение зубчатой передачи u 3 = 4 и определяем передаточное отношение ременной передачи u13 18,98 u 1 4,75. u Определяем частоту вращения - го вала: n n3 n3 38, 4 15,8 об/мин. 6. Находим крутящие моменты на валах: N1 9, 55N1 9,557,5 M 1 0,099 кнм = 99 Нм; 1 n1 75 M M u 99 4,75 0,95 447Нм = 0,45 кнм; 1 1 рп 3 M1 u ,98 0,9 M 179 Нм = 1,73 кнм. Тали представляют собой простые по устройству и небольшие по размерам грузоподъёмные машины. Их используют для подъёма грузов, от 0,5 до 8 т, при монтаже и ремонте автомобилей, станков, других машин и оборудования, а также на различных вспомогательных работах, сопровождаемых подъёмом грузов, узлов машин, при складских работах и т.д. В зависимости от привода тали разделяют на ручные и электрические. Ручные тали бывают: подвесные с червячным подъёмным механизмом и передвижные тали, которые могут передвигаться по монорельсу. Электрические тали изготавливают в виде самостоятельных машин, предназначенных для подъёма или подъёма и горизонтального перемещения, или в виде механизмов в составе однобалочных мостовых, козловых, консольных кранов. Электрическая таль (рис. 4.3) состоит из барабана, на который навивается канат 3 для подъёма груза 4 (груз зацепляется с помощью крюка 5), барабан приводится во вращение от электродвигателя 7 через зубчатую передачу Z 1... Z 4. В электрических талях для согласования высокой скорости электродвигателя с низкой частотой вращения барабана ( n э= 1460 об/мин; n 6 = 8 об/мин), а также с целью обеспечения самоторможения, т.е. удерживания поднимаемого груза при остановке электродвигателя, кроме зубчатых передач вводится червячная передача. Для горизонтального перемещения барабан с электрическим приводом монтируется на тележке, которая с помощью колёс перемещается по монорельсу, т.е. по нижнему поясу двутавровой балки. Для повышения грузоподъёмности и снижения скорости подъёма в два раза крюк не прицепляют к концу каната, а подвешивают на подвижном блоке (рис. 4.10). Расчёт тали аналогичен расчёту лебёдки.

82 8 6.. Ленточный транспортёр Ленточный транспортёр, или конвейер, это транспортная машина, которая предназначена для непрерывного перемещения твёрдых и сыпучих тел на сравнительно небольшое расстояние. Например, сыпучий груз (зерно) доставляют на погрузочно-разгрузочную площадку, а затем с помощью ленточного конвейера транспортируют его внутрь склада. С помощью ленточного конвейера можно транспортировать сыпучий груз в мешках, овощи в ящиках и т.д. Обладая малыми габаритными размерами, небольшой мощностью приводного двигателя и высокой надёжностью, ленточные конвейеры получили широкое применение в сельском хозяйстве, промышленности, горнодобывающей сфере, в складском хозяйстве и т.д. Рис.6. Ленточный транспортёр состоит из следующих основных частей: 1 ведущий барабан; ведомый барабан; 3 прорезиненная лента; 4 поддерживающие ролики; 5 ременная или цепная передача; 6 червячная передача; 7 приводной электродвигатель; 8 транспортируемый груз. Ведущий барабан 1 получает вращение от приводного двигателя 7 через передачи 5 и 6. Прорезиненная широкая лента 3 охватывает ведущий 1 и ведомый барабаны. Верхняя ветвь ленты поддерживается роликами 4 по всей длине. Ролики 4 могут быть горизонтальными 9 и V - образными 10. Груз 8 кладут на верхнюю ветвь ленты 3, которая непрерывно движется со скоростью v. В конце транспортёра груз 8 либо подхватывается рабочим, либо падает в приёмник, а если это сыпучая масса (песок), то она сыплется в приёмную тару или на пол в кучу. Ленточные стационарные конвейеры и переносные конвейеры изготавливают в виде самостоятельных машин. Основные технические данные ленточных стационарных конвейеров общего назначения с

83 83 прорезиненной лентой: ширина ленты b = мм, диаметр приводного барабана d b= мм, скорость движения ленты v= 0,6...3 м/с, расчётная производительность конвейера при горизонтальных поддерживающих роликах 9 (рис. 6.) и плоской ленте Q = м 3 /ч, при V-образных поддерживающих роликах и желобчатой ленте Q = м 3 /ч. Кинематический и силовой расчёты ленточного транспортёра разберём на примере. Окружное усилие на ведущем барабане (тяговая сила ленты) F=5 кн, окружная скорость барабана или скорость ленты v =0.5 м/с, диаметр барабана D 6 =50 мм. Произвести кинематический и силовой расчёты. Р е ш е н и е 1. Определяем общий КПД привода транспортёра, если КПД ременной передачи =0,95, а КПД червячной передачи чп = 0,6. р n 0, 95 0, 6 0, 57. р n чп. Определяем мощность электродвигателя. Полезная мощность транспортёра (на III валу барабана) N3 F v кВт. Мощность на валу электродвигателя N3 1, 5 N1 19, квт. 0, По таблицам выбираем асинхронный электродвигатель мощностью N э, квт, частотой вращения nэ 145об/мин. 4. Определяем общее передаточное отношение привода u n, 13 1 n3 где v 30 0,5 n3 19,1об/мин. D6 0,5 После подстановки получим 145 u13 74, , 5. Выбираем передаточное отношение ременной передачи u 3 3 и определяем передаточное отношение червячной передачи u13 74, 6 u 1 4,8. u Определяем частоту вращения II-го вала n n u 19,1 3 = 57,3об/мин. 3 3

84 7. Находим крутящие моменты на валах: N1 N1, M 1 9,55 9,55 0,015 кнм; 1 n1 145 M M u 0,015 4,8 0,6 = 0,кНм; M чп 3 M1 u13 0,01574,6 0,57 = 0, Шнековый транспортёр кнм. Шнековый, или винтовой, транспортёр (конвейер) это транспортная машина, предназначенная для перемещения сыпучих, кусковых и полужидких вязких тел. Например, шнековый транспортёр применяется для погрузки угля (или песка) в вагоны, для транспортировки металлической стружки, отходов литейного производства, для выдавливания сырой резины сквозь кольцо при изготовлении резиновых шлангов, для перемещения и выдавливания массы теста при изготовлении макарон и вермишели, кускового мяса при его рубке и при производстве колбас и т.д. В домашних условиях примером шнекового транспортёра может служить мясорубка. Шнековый транспортёр, или винтовой конвейер, состоит из следующих основных частей: цилиндрического корпуса 1, внутри которого расположен винт или шнек, состоящий из цилиндрического стержня диаметром d и винтовой ленты 5, приваренной к стержню; в корпусе 1 имеется горловина 3 для загрузки перемещаемой массы и горловина 4 для удаления перемещаемой массы; если транспортёр предназначен для выдавливания массы, то горловина 4 отсутствует, а масса выдавливается винтом через отверстия, сделанные в торце 6 корпуса; для сообщения винту вращательного движения имеется передача от электродвигателя 7, состоящая из четырёх валов и шести зубчатых колёс Z 1... Z6. Перемещаемую массу вводят через горловину 3 внутрь транспортёра. Вращающийся винт захватывает своей винтовой лентой 5 поступающую массу и перемещает её вдоль оси винта со скоростью v. Если транспортер применяется для сыпучих тел, то в конце корпуса делают горловину 4, через которую уголь или песок высыпаются. Если транспортёр предназначен для выдавливания вязкой массы в резиновой или пищевой промышленности, то масса выдавливается через специальные отверстия в торце корпуса 1, принимая форму, соответствующую отверстию (или отверстиям). Шнековые или винтовые транспортёры могут изготавливаться в виде самостоятельных машин или входить в состав машин по переработке массы. Основные технические данные шнековых транспортёров для транспортировки сыпучих грузов: диаметр шнека D= мм; длина

85 85 транспортёра...5 м; скорость перемещения груза v = м/мин; расчётная производительность Q...15 м 3 /мин. Кинематический и силовой расчёты шнекового транспортёра разберём на примере. Требуется определить кинематические параметры и расчётные нагрузки шнекового транспортёра, производительность которого Q 1м 3 /мин; наружный диаметр винта D=400 мм; внутренний диаметр винта d=00 мм; шаг винта t=300 мм; транспортируемый материал уголь, плотность которого 1500 кг/м 3 ; длина винта (шнека) l=5м, общий КПД 0,7; КПД передач зп 0,97. Р е ш е н и е Прежде всего, нужно установить зависимость между производительностью Q и частотой вращения винта n 4 (т.к. винт является IV-м валом). Уголь транспортируется в кольцевом пространстве между жёлобом-корпусом 1 и цилиндрическим стержнем диаметром d. Для транспортирования сыпучих тел обычно корпус делают открытым, а сыпучее тело транспортируют в полдиаметра. Объём угля между соседними витками винта, расстояние между которыми равно шагу t, можно определить, если помножить площадь кольца S ( D d ) на 4 длину шага t, а с учётом половины площади получим Рис.6.3

86 86 1 V t S t ( D d ) t. 8 За 1 оборот винта транспортируется объём минуту объём Q, м 3 /мин. Q ( D d ) t n. 8 V t, а за n оборотов в (6.1) Скорость транспортирования груза v (м 3 /мин) можно определить из следующих соображений. Производительность это объём сыпучего тела 1 за 1 минуту. Если площадь полукольца S помножить на путь, который проходит сыпучее тело в транспортёре за 1 минуту, т.е. скорость v, то получим искомый объём, т.е. производительность за 1 минуту 1 Q S v ( D d ) v. 8 (6.) Если сравнить формулы (6.1) и (6.), то нетрудно заметить, что скорость v (м/мин). v t n. (6.3) По корпусу шнека постоянно перемещается объём угля, равный площади полукольца на длину винта, 1 V S. (6.4) Вес этой массы угля равен G mg V g, (6.5) где - плотность. Для угля плотность 1500 кг/м 3. Сила трения (сила сопротивления движению) определяется по формуле F f G f V g, (6.6) где f коэффициент трения. Для угля по стали f = 0,4. Мощность, затрачиваемая на транспортирование, N F v, (6.7) где F сила сопротивления, Н; v скорость транспортирования, м/с; N мощность, Вт. В формуле (6.3) скорость измеряется в м/мин, поэтому для подстановки в формулу (6.7) нужно значение скорости (м/с) разделить на 60, т.е. n v t. 60 (6.8)

87 87 С учётом формулы (6.8) определим мощность (Вт) n N F t. 60 (6.9) 1.По заданной производительности Q и геометрическим параметрам по формуле (6.1) определим частоту вращения винта 8Q 8 n 4 141,5 D d t (0,4 0, ) 0,3 об/мин..определим минутную и секундную скорости движения груза в жёлобе v t n4 0,3141,5 = 4,4 м/мин, n , v t 0,3 0, м/с. 3.Определим силу трения по формуле 1 F f V g f S g f ( D d ) g 8 0,4 (0,4 0, ) ,81 = 1387 H. 8 4.Определим полезную мощность, затрачиваемую на перемещение груза (угля) по шнековому транспортёру, и выберем электродвигатель N 4 F v ,7 = 970 Вт=0,97 квт. Определим мощность электродвигателя N4 0, 97 N1 1,4 квт. 0, 7 По таблицам выбираем электродвигатель мощностью N э 1,5 квт и частотой вращения nэ 140 об/мин. 5.Определим общее передаточное отношение привода транспортёра, учитывая, что n1 nэ : n1 140 u n4 1415, 6.Принимая передаточные отношения первой и второй передач, равными, т.е. u 1 u3, определим передаточное отношение конической передачи u14 10 u 34 u3,5. u1 7. Определим угловые скорости на валах: n , 7 c -1 ; 30 30

88 n1 140 n 710 об/мин; u 1 n , 3 с -1 ; n 710 n об/мин; u 3 n , об/мин; n4 1415, 4 14, 8 с Определим крутящие моменты на валах: N M 1 10 Нм; 1 148, 7 M M u зп 10 0, Нм; , 3 M1 u1 u3 10 0, M 4 M1 u14 зп , 97, M зп 37 Нм; 913 Нм Кинематический и силовой расчёты машин Кинематический и силовой расчёты машин предназначены для определения расчётных нагрузок, воспринимаемых машинами и их элементами в процессе эксплуатации, и являются основной задачей теории механизмов и машин. Результаты расчётов служат основой для дальнейших расчётов на прочность, жёсткость и долговечность деталей машин. Расчёты деталей машин обычно проводят для установившегося движения машины при постоянной скорости приводного двигателя. Такие расчёты называются статическими. Динамику нагрузок при расчётах деталей учитывают с помощью коэффициентов. Приведённые в предыдущих параграфах расчёты кинематические и силовые есть статические. Большинство статических нагрузок определяется просто, т.к. они пропорциональны определяющим их величинам. Вес тела пропорционален его объёму, сила трения пропорциональна нормальному давлению и т.д. Несмотря на некоторую погрешность, статические методы расчёта преобладают в машиностроении.

89 89 Часть III. ОСНОВЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 7. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 7.1. Деформация тела под действием внешних сил В статике под действием внешних сил мы рассматриваем условие равновесия тела. Рычаги, стержни и другие тела принимались абсолютно жесткими. В действительности внешние силы вызывают изменение формы и размеров тела: при растяжении стержня длина его увеличивается, а диаметр уменьшается; при действии поперечной силы рычаг изгибается и т.д. Изменения формы и размеров тел под действием внешних сил называются деформациями. Степень деформации определяется величиной и направлением сил, размерами тела и механическими свойствами материала. Малые силы вызывают малые деформации, которыми пренебрегают. Большие силы вызывают опасные деформации и разрушения. Для безопасной и долговечной работы машин нагрузки не должны превышать допустимых значений. Сопротивление материалов это раздел механики, изучающий методы расчета на прочность, жесткость и устойчивость машин и сооружений. Эти методы основываются не только на общеизвестных положениях механики, но и на экспериментальных материалах, полученных в результате испытаний материалов на прочность, упругость, пластичность и т.д. 7.. Основные виды деформаций При действии сил детали, изготовленные из металлов и пластмассы, могут временно деформироваться, а при снятии нагрузок принимать первоначальную форму: изогнутый рычаг выпрямляется, а растянутый стержень сжимается и т.д. Деформации, которые исчезают после прекращения действия внешних сил, называются упругими. Упругие деформации в металлах имеют малую величину. Если кусок стальной проволоки сильно изогнуть, то он не восстановит свою первоначальную форму. Деформации, остающиеся в телах после прекращения действия нагрузок, называются остаточными или пластическими. В зависимости от направления действия сил различают деформации: растяжение, сжатие, сдвиг, кручение и изгиб. Растяжению подвергаются

90 90 тросы подъемных машин, стержни и болты; сжимаются материалы зданий, фундаменты машин; сдвиг возникает в заклепках и сварных швах; кручению подвержены валы, сверла; изгибаются балки грузоподъемных устройств, валы, рессоры и другие детали. Прикладываемые к деталям нагрузки различают: а) по характеру приложения на сосредоточенные нагрузки, которые прикладываются в точке (груз, подвешенный к балке, зубчатое колесо давит на вал, опора на балку и т.д.), и на распределенные нагрузки, которые действуют на сравнительно большой площади или длине (трактор на землю, крыша на стропила и т.д.); б) по характеру действия на статические нагрузки, величина которых не изменяется в течение всего времени работы конструкции, и на динамические нагрузки, величина которых носит переменный циклический характер, при котором нагрузка изменяется от нуля до максимума и обратно (детали насосов, компрессоров, зубья шестерен и т.д.) Внешние и внутренние силы Все материалы состоят из молекул. При действии на тело внешних сил силы сцепления молекул, или молекулярные силы, оказывают сопротивление. Это сопротивление определяет механические свойства материалов: упругость, прочность, твердость. Если внешние силы растягивают стержень, то увеличивается расстояние между молекулами, а силы притяжения молекул стремятся вернуть все тело в исходное положение, т.е. молекулярные силы в поперечном сечении стержня оказывают сопротивление, а их сумма равна равнодействующей внешних сил. Если внешние силы скручивают стержень или изгибают его, то внутренние силы, т.е. молекулярные силы, в каждом сечении стержня создают момент, который уравновешивает Рис.7.1 внешний крутящий или изгибаю- щий момент. Величина внутренних сил, приходящихся на единицу площади внутреннего сечения детали, называется напряжением. Рассмотрим напряжения к конкретным двум случаям. Если внешними силами F (рис.7.1) растягивать стержень, то в сечении 1-1 возникают внутренние силы, которые препятствуют растяжению.

91 91 Сечение, которое перпендикулярно направлению действия сил, называется нормальным. Внутренние силы или напряжения, которые перпендикулярны к площади сечения, называются нормальными. Сечение 1-1 проведено мысленно и мысленно раздвинуто, чтобы показать действие внутренних сил. Таким образом, рассматривается сплошная деталь (стержень), а сечение мысленное. Рассмотрим одну половинку стержня. С одной стороны действует сила F, а с другой стороны внутренние силы, т.е. напряжения. Если напряжение умножить на площадь поперечного сечения S, то получим силу N. Эта внутренняя сила N уравновешивает внешнюю силу F, т.е. N = S = F. (7.1) Если известна площадь поперечного сечения и внешняя сила F, то нормальное напряжение в стержне будет равно F S. (7.) Рис.7. При деформации сдвига и кручения происходит смещение двух соседних слоев материала в плоскости сечения 1-1. Напряжения, возникающие при этом, лежат в плоскости сечения и называются касательными (рис.7.). Они действуют вдоль плоскости сечения и обозначаются буквой. Их величина определяется по формуле F S. (7.3) Напряжения в материале в системе СИ измеряются в Н/м или в Н/мм (МПа) Рабочие, предельные и допускаемые напряжения Напряжения, которые соответствуют нормальной рабочей нагрузке, называются рабочими напряжениями и обозначаются они или. При рабочих напряжениях в материале возникают только упругие деформации. Напряжения, после превышения которых возникают остаточные (пластические) деформации или опасность разрушения детали, называются предельными напряжениями и обозначаются пр или пр. Для пластических материалов (стали) опасным будет напряжение, при котором возникает пластическая или остаточная деформация. Это напряжение называется

92 9 пределом текучести и обозначается т. Для хрупких материалов (чугун) предельным считают напряжение, при котором наступает разрушение. Оно называется пределом прочности и обозначается пч. Для безопасной работы машин нужно, чтобы < т или ч < пч. (7.4) Напряжение, которое допускается для безопасной работы машин, исключающее опасность появления остаточных деформаций или разрушения, называется допускаемым напряжением. Оно меньше предельного в несколько раз и обозначается [] или []. Отношение предельного напряжения к допускаемому называется коэффициентом запаса прочности и обозначается буквой n. Для пластичных материалов n, (7.5) T а для хрупких материалов n. (7.6) пч При статических нагрузках коэффициент запаса прочности назначают n = 1,5... 3, а при динамических нагрузках - n = Статические испытания материалов Физико механические свойства материалов, из которых изготавливают детали, оказывают значительное, если не главное, влияние на безопасность работы машин. Поэтому свойства материалов изучают в лабораториях, а результаты исследований используют для расчетов на прочность, жесткость, пластичность и др. По механическим свойствам материалы разделяют на пластичные и хрупкие. Образцы из хрупких материалов (например, серого чугуна) разрушаются при весьма малых деформациях, а из пластичных материалов (например, низкоуглеродистой стали) разрушаются при больших деформациях. То есть серый чугун до разрушения почти не меняет форму и размеры, а разрушение наступает молниеносно и может быть не в одном сечении (вспомните уголь, который бьют молотком, или камень, который бьют кувалдой). Стержень из малоуглеродистой стали утончается в одном месте, и это место тянется, как "тесто", прежде чем наступит разрыв. К пластичным материалам относят малоуглеродистую сталь, алюминий, медь, бронзу; к хрупким высокоуглеродистую сталь, чугун, камни, стекло, кирпич. Важнейшими механическими свойствами материалов являются:

93 93 Прочность детали это способность, не разрушаясь, сопротивляться действию внешних сил. Детали считаются равнопрочными, если они выдерживают равные предельные нагрузки. Упругость способность материала восстанавливать свою форму и размеры после снятия нагрузки. Пластичность способность материала под действием нагрузки давать большие остаточные деформации(вытягивание) без разрушения. Твердость способность материала сопротивляться проникновению в него твердого тела. Прочность материала оценивается его механическими характеристиками. Основные механические характеристики материала определяются при испытании образцов на растяжение и сжатие, а также на кручение. Для испытания на растяжение применяются стандартные образцы (стержни) круглого сечения диаметром d = 0 мм и длиной l = 10d = 00 мм. Образец закрепляют в разрывную машину, которая постепенно увеличивает растягивающую силу, доводя образец до разрыва. Самописец записывает диаграмму разрыва, которая представлена на рис.7.1. По оси абсцисс на диаграмме откладывают относительное удлинение, определяемое по формуле l l, (7.7) где относительное удлинение; l удлинение образца, мм; l длина образца, мм (00 мм). По оси ординат откладывают нормальное напряжение, возникающее в образце под действием растягивающей силы, определяемое по формуле (7.). Рис.7.3

94 94 На рис.7.3 изображена диаграмма растяжения образца из малоуглеродистой стали. На участке 0А образец растягивается, как пружина, деформации чисто упругие. Если в точке А убрать нагрузку, то образец вернется в исходное состояние. Деформация на этом участке прямо пропорциональна силе. Точка А соответствует пределу пропорциональности п наибольшему напряжению, при котором имеет место линейная зависимость между напряжением и деформацией. На участке АВ появляются пластические деформации. Если в точке В снять нагрузку, то образец не вернется к своей первоначальной длине. На горизонтальном участке ВС удлинение происходит практически без возрастания силы, материал, как говорят, "течет", как тесто. Напряжения T называют пределом текучести. Когда напряжения в материале достигают T, полированная поверхность образца становится матовой. На участке CD материал снова начинает сопротивляться росту деформаций, хотя процент упругих деформаций меньше, чем на участке АВ. Точка D соответствует максимальному значению напряжения B, которое называют пределом прочности. На образце при этом образуется местное сужение, так называемая "шейка", в котором при дальнейшем нагружении произойдет разрыв в точке Е диаграммы. При испытании на растяжение определяются также модуль упругости первого рода Е (Мпа) и коэффициент Пуассона. 8. РАСТЯЖЕНИЕ 8.1. Деформации при растяжении. Закон Гука Ранее было указано, что при допускаемых, т.е. нормальных, нагрузках в деталях возникают только упругие деформации. Пластические деформации недопустимы, т.к. влекут за собой изменения формы и размеров деталей. Рассмотрим стержень, растягиваемый продольной силой F. Под действием этой силы стержень удлиняется, а в поперечном сечении сжимается (рис.8.1). Увеличение длины стержня на l под действием силы F называется абсолютным удлинением. Опыт показывает, что стержни разной длины, но одинакового сечения под действием одной и той же силы F получают разные абсолютные удлинения. Отсюда вывод: абсолютное удлинение не может характеризовать деформацию в целом. Поскольку деформации упругие, абсолютное удлинение будет пропорционально длине стержня.

95 95 Для обобщения понятия растяжения вводят отношение абсолютного удлинения l к первоначальной длине стержня l, которое называют относительным удлинением и обозначают l l. (8.1) При растяжении стержень удлиняется от l до l'. В поперечном сечении его размер, наоборот, уменьшается от а до а' на величину поперечного сужения а. Относительное поперечное сужение обозначается п и равно n a a. (8.) Английским физиком Робертом Гуком в 1660 г. был установлен закон: линейная деформация прямо пропорциональна соответствующему нормальному напряжению. Рис.8.1 Этот закон является основным законом сопротивления материалов и записывается в следующем виде: Е (8.3) или E, (8.4) где = F / S нормальное напряжение в поперечном сечении стержня; = l / l относительное удлинение стержня; Е модуль упругости первого рода. Напряжение измеряется в Н/м или Н/мм ; относительное удлинение безразмерно; модуль упругости при растяжении Е измеряется в Н/м или Н/мм, как напряжение. Модуль Е = const, т.е. величина постоянная для данного материала и является коэффициентом пропорциональности между и. Модуль Е определяется опытным путем при испытании на растяжение. Он характеризует упругие свойства материалов при растяжении и сжатии. Чем больше Е, тем меньше деформация, тем более жесткий материал. Для стали Е = 10 5 МПа (Н/мм ), для чугуна Е = МПа. При опытном определении модуля закон Гука (8.3) решают относительно Е, т.е. Fl E. (8.5) Sl Жесткостью называют способность материала сопротивляться упругому деформированию.

96 96 Если в закон Гука подставить значения = F / S и = l / l, а затем решить его относительно l, то получим l Fl SE. (8.6) По этой формуле проводят расчеты на жесткость. Произведение ES называют жесткостью сечения. Жесткость стержня, как и жесткость пружины, выражается отношением силы к величине деформации; если обозначить жесткость стержня буквой j, то получим F ES j. (8.7) l l Из формулы (8.7) видно, что жесткость стержня это отношение жесткости сечения к длине стержня. Жесткость это мера упругости тела. Она выражается конкретным числом, поэтому упругость количественно определяется (оценивается) жесткостью. Чем больше j, тем меньше l. Для сравнения жесткости двух стержней, имеющих разные размеры и изготовленных из разных материалов, их сравнивают по величине жесткости j. Условием равной жесткости является равенство E1S1 E S. (8.8) l1 l Из опытов установлено, что отношение относительной поперечной деформации п к относительной продольной деформации при растяжении (сжатии) в пределах упругих деформаций величина постоянная, т.е. n. (8.9) Величина называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона. 8.. Расчеты на прочность при растяжении и сжатии Если известны внешняя сила F и площадь поперечного сечения S, то напряжение в стержне определяется по формуле (7.). Затем это напряжение сравнивают с допускаемым. При этом должно выполняться неравенство F. (8.10) S

97 97 Смысл условия прочности заключается в том, что расчетное (рабочее) напряжение не должно превосходить допускаемого напряжения []. С помощью формулы (8.10) можно производить три вида расчетов. 1. Проверочный расчет, который подразумевает проверку условия прочности детали по формуле (8.10) []. Проверочный расчет выполняют, когда машина или узел спроектирована и известны размеры деталей и силы, действующие на них. Цель расчета убедиться в прочности деталей.. Проектный расчет. Когда проектируется машина или узел, то встает вопрос определения размеров деталей в зависимости от величины действующих на них сил. В этом случае в формуле (8.10) известны сила F и допускаемое напряжение []. Требуется определить размеры поперечного сечения детали. Решив неравенство (8.10) относительно S, получим S F. (8.11) Если стержень круглого сечения, то S d 4. (8.1) Подставив значение площади в формулу (8.11) и решив его относительно диаметра d, получим 4F d. (8.13) По этой формуле определяют диаметр растянутого стержня. 3. Определение предельной силы. Для сравнения прочности стержней разного диаметра и изготовленных из разных материалов или для определения наибольшей нагрузки, которую может выдержать стержень, рассчитывают предельную силу по формуле F пр = [] S. (8.14) Прочность детали это способность не разрушаясь, сопротивляться действию внешних сил. Детали считаются равнопрочными, если они выдерживают равные предельные силы, т.е. или F пр1 = F пр (8.15) [] 1 S 1 = [] S, (8.16) где F пр1 и F пр предельные силы 1-го и -го стержней; [] 1 и [] допускаемые напряжения 1-го и -го стержней; S 1 и S площади поперечного сечения 1-го и -го стержней.

98 Расчеты на жесткость при растяжении Много задач посвящено растяжению стержней. При этом нужно сравнивать их деформации. Рассмотрим три типа задач, где сравниваются прямо или косвенно два стержня изготовленных из различных материалов. Рис.8. В этих задачах два стержня имеют одинаковое удлинение l = l 1 = l. Задачи первого типа, в которых l 1 = l ; F 1 = F ; l 1 = l. Применив формулу (8.6), запишем F1 l1 Fl, (8.17) S1E1 SE где F 1 и F силы, растягивающие стержни 1 и, Н; l 1 и l - длина стержней 1 и, мм; S 1 и S площади поперечного сечения, мм ; E 1 и E модули упругости стержней, МПа (Н/мм ). Поскольку числители этих дробей равны, их можно переписать в виде S 1 E 1 = S E, (8.18) т.е. два стержня имеют равную жесткость сечений. Если из четырех параметров формулы (8.18) известны любые три, то можно определить четвертый. Задачи второго типа, в которых l 1 = l ; F 1 = F. Сократив в формуле (8.17) силы F 1 = F, получим l1 l S1E1 SE, или, (8.19) S E S E l l 1 1 т.е. два стержня имеют равную жесткость. Если из шести параметров определены пять, то шестой можно вычислить по формуле (8.19). Например, если в системе (рис.8.) сила F приложена посередине, т.е. a =l/, то сила в стержне 1 равна силе в стержне (F 1 = F ) и задача решается по формуле (8.19). Задачи третьего типа, в которых l 1 = l. Эти задачи решаются по формуле (8.17). Нужно отметить, что в задачах силы могут быть не заданы в явном виде. Тогда задачу нужно решать вначале методом статики, составляя одно 1

99 99 или два уравнения статики в дополнение к уравнению (8.18), а затем решать систему уравнений. Например, сила F (см. рис.8.) растягивает стержни 1 и. При этом после растяжения стержней абсолютно жесткий брус АВ остается горизонтальным. В этой задаче нужно силы F 1 и F в стержнях 1 и выразить через силу F, применяя уравнения моментов M A = F l - Fa = 0 ; (8.0) M B = Fa - F 1 l = 0. (8.1) Если сила F задана, то определяются силы F 1 и F. Если сила F не задана, то после подстановки в формулу (8.17) сил F 1 и F, рассчитанных по формулам (8.0) и (8.1), сила F сократится и останутся геометрические параметры l и a. Разные задачи на растяжение с применением формулы (8.6) предполагают применение уравнений статики. Вариантов этих задач много. Поэтому для их решения необходима элементарная смекалка студента. 9. СДВИГ И СМЯТИЕ 9.1. Понятие о сдвиге и смятии Рис.9.1 Пусть листы 1 и (рис.9.1, а) стянуты заклепкой 3. К листам приложены силы F, которые сдвигают их в разные стороны. Вместе с листами силы стремятся сдвинуть верхнюю половинку заклепки относительно нижней (рис.9.1, б). Листы давят на заклепки, и в местах контакта возникают напряжения смятия см. В плоскости ав заклепок, которая соответствует стыку листов, создается деформация сдвига. Если мысленно разделить две половинки заклепки (см. рис.9.1, б), то на разделенных торцах заклепок по линии ав будут действовать касательные напряжения. Так как каждая половинка находится в равновесии под действием сил, то должно соблюдаться равенство

100 100 см =. (9.1) Соединительные детали: заклепки, болты, шпонки и другие работают в таких условиях, когда внешние силы действуют на материал в параллельных плоскостях, в противоположных направлениях, на весьма малом расстоянии одна от другой. Под действием сил F верхняя половинка заклепки сдвигается относительно нижней. В очень тонком слое металла ав (рис.9.,а) при сдвиге частицы металла плоскости 1-1 сдвигаются относительно плоскости -. При этом на границах слоев 1-1 и - возникают касательные напряжения. Вырежем из тонкого слоя ав элемент cdef и рассмотрим его. Сдвиг, при котором материал равномерно смещается в поперечном слое ав и при котором возникают только касательные напряжения, называется чистым сдвигом. Величину ее' наибольшего смещения частиц материала по отношению к их первоначальному положению называют абсолютным сдвигом (рис.9., б). Это есть абсолютная деформация сдвига. Отношение абсолютного сдвига ee' к грани fe' называется относи-тельным сдвигом, т.е. ee fe tg =. (9.) Рис.9. Ввиду малости угла тангенс угла и угол в радианах равны. Поэтому относительный сдвиг называется также углом сдвига. Толщина слоя ав (см. рис.9., а) очень мала, поэтому можно считать, что сдвиг происходит в одной плоскости. Рис.9.3

101 101 Сдвиг материала в одной плоскости, при котором происходит разрушение, называется срезом. Наглядным примером среза является резание бумаги с помощью ножниц. Лист 1 (см. рис.9.1, а) под действием силы F давит посредством стенок отверстия на стержень заклепки, вызывая на поверхности заклепки напряжение смятия см (см. рис.9.1, б). То же явление можно наблюдать и между листом и нижней половиной заклепки. Смятием называется местная деформация сжатия по площадкам передачи давления одним элементом конструкции другому. При сжатии двух тел, которые давят друг на друга по ограниченным поверхностям, происходит смятие поверхностного слоя. Смятие это остаточная деформация на поверхности материала, которая получается в результате действия большой силы на малой площади. 9.. Расчеты на прочность при срезе и смятии Вернемся к рис.9.1. Лист 1 под действием силы F давит на верхнюю половину заклепки. В результате этого на поверхности заклепки возникают напряжения смятия см. Это нормальные напряжения. Если просуммировать эти напряжения, то их сумма будет равна силе F: см = F. (9.3) Вспомним, что напряжение это сила, приходящаяся на единицу площади. Если известна площадь смятия, то тогда сила F будет равна произведению напряжения на площадь, т.е. F = см S см. (9.4) На цилиндрическую поверхность заклепки со стороны отверстия в листе давление передается по боковой поверхности полуцилиндра afbcde (рис.9.3, а и б). Напряжения смятия распределены неравномерно по поверхности полуцилиндра. Для упрощения расчетов принимают площадь смятия, равной площади прямоугольника abce (рис.9.3, в): S см = d t. (9.5) Используя уравнение (9.4), можно записать условие прочности заклепки на смятие F см = [см ], (9.6) S см где [ см ] допускаемое напряжение на смятие.

102 10 Для заклепок из малоуглеродистой стали марок Ст. и Ст.3 допускаемое напряжение на смятие можно принимать равным [ см ] = =300 МПа(Н/мм ). Сдвигающим силам F на срез (см. рис.9.1 и 9.) противодействуют напряжения, сумма которых, используя равенства (9.1) и (9.3), равна = F, (9.7) или F = S ср. (9.8) Площадь среза изображена на рис. 9.3, а. Ее величина равна площади поперечного сечения заклепки S cp d 4. (9.9) Условие прочности на срез имеет вид F, (9.10) S cp где [ ср ] допускаемое напряжение на срез. Для заклепок из малоуглеродистых сталей можно принимать [ ср ] = = 140 МПа (Н/мм ) Расчет заклепочных соединений Пусть листы 1 и соединены заклепками 3. Каждая заклепка в таком соединении испытывает напряжение среза на площади S ср = d /4 и напряжение смятия см на площади S см = dt. Будем считать, что в этом соединении установлено n заклепок. cp Рис.9.4 Условия прочности на смятие и срез для одной заклепки определяются формулами (9.6) и (9.10). Для n заклепок условия прочности примут вид: F, (9.11) на срез на смятие ns cp cp

103 103 F см cv. (9.1) ns С помощью формул (9.11) и (9.1) можно проводить три вида расчетов. 1. Проверочный расчет, который проводится с целью проверки прочности конструкции. Он выполняется по формулам (9.11) и (9.1). При этом рабочее (действующее) напряжение в заклепках сравнивается с допускаемым.. Проектный расчет, при котором известны диаметры заклепок d, толщина листов t и силы F. Требуется определить число заклепок, если заданы [ ср ] и [ см ]. Для этого формулы (9.11) и (9.1) решают относительно числа заклепок n: на срез F n, (9.13) на смятие cp S cp cp F n. (9.14) S cм Может решаться иная задача, когда задано число заклепок и нужно определить их диаметр. Тогда, учитывая, что S ср = d /4, а S см = dt, подставляя эти значения в формулы (9.11) и (9.1) и решая их относительно диаметра d, получаем: на срез 4F d, (9.15) n на смятие d cм cp 4F n cм. (9.16) 3. Определение предельной силы соединения производится с целью установить допускаемую нагрузку, которую может выдержать соединение. Для этого формулы (9.11) и (9.1) решают относительно F: на срез cp d Fnp nscp cp n cp, (9.17) 4 на смятие

104 F cp np 104 cp ndt ns. (9.18) cp cp В этом случае безопасной нагрузкой соединения будет меньшая из двух. Обычно заклепочное соединение и листы стараются делать равнопрочными в целях экономии металла. Слабое сечение листа будет проходить через отверстие, например а-а (рис.9.5). Площадь этого сечения листа S л = t(b-d). Предельная сила для листа определится по формуле F л np Рис.9.5 л tb d S, (9.19) p p где [ р ] допускаемое напряжение на растяжение. Иногда склепывают лист толщиной t с двумя листами толщиной t, которые накладываются на толстый лист сверху и снизу. Получается "слоеный пирог". Толстый лист сила F тянет в одну сторону, а тонкие листы в другую. Здесь каждая заклепка срезается по двум плоскостям, т.к. получаются двойные ножницы. Площадь среза будет равна удвоенной площади поперечного сечения S ср =d /4, т.к. имеется два среза. Такие заклепки называют двухсрезными. Площадь смятия под тонкими листами S см = (t d), а под средним (толстым) листом S см = (t) d Расчет шпоночного соединения Шпоночные соединения применяют в том случае, когда требуется передавать крутящий момент от вала к колесу или наоборот. Роль колеса могут выполнять зубчатые колеса, шкивы, звездочки, муфты и т.п. Шпонка является наиболее слабой деталью соединения. В машине одну из шпонок рассчитывают таким образом, чтобы она срезалась, если нагрузка превысит допустимую. Такая шпонка выполняет роль слабого звена и предохраняет машину от перегрузок.

105 105 Размеры стандартных шпонок подобраны из условия равной прочности на срез и на смятие. Основным расчетом принят проверочный расчет на смятие. Размеры шпоночного соединения выбирают по ГОСТ в зависимости от диаметра вала d. Расчет призматической шпонки производят по формуле см M dl h p см, (9.0) Рис.9.6 где M крутящий момент, Н мм; d диаметр вала, мм; l р = l-b расчетная длина шпонки, мм; b ширина шпонки, мм; l длина шпонки, мм; h высота шпонки, мм; см и [ cм ] действующее и допускаемое напряжения смятия на боковой поверхности шпонки, МПа (Н/мм ) Расчет сварных соединений Сварные соединения выполняют электродуговой сваркой. На рис. 9.7 представлены типичные сварные соединения. Сварка более совершенное соединение и менее трудоемкое, чем клепаное соединение. Кроме того, в сварных соединениях отсутствуют отверстия, которые ослабляют листы. Сварное соединение листов встык (рис. 9.7, а) более совершенно, т.к. отсутствует ступенька, но требует специальной обработки кромок листов. Высота шва в этом соединении принимается равной толщине листа. Прочность сварного шва ниже прочности листов. Сварной шов работает на растяжение. Условие прочности имеет вид tl F, (9.1)

106 106 где ['] допускаемое напряжение на растяжение сварного шва. Сварное соединение (рис.9.7, б) удобно в изготовлении, т.к. не требует подготовки кромок. Оно носит название соединения внахлестку. Сварные швы при этом называют валиковыми. Швы, которые расположены вдоль (параллельно) действия силы, называются фланговыми (обозначены цифрой 1), расположенные перпендикулярно действию силы называются лобовыми (обозначен цифрой ). Рис.9.7 Валиковые швы рассчитывают на прочность по срезу. Срез шва (рис.9.8) проходит по линии ав, поэтому расчетная ширина шва равна 0,7h, где h = t высота шва, равная толщине листа (рис. 9.7, б). Условие прочности сварного шва имеет вид F F cp, (9.) 0,7hl 0,7tl где [' ср ] допускаемое напряжение на срез для сварного шва. Рис.9.8 В соединении, изображенном на рис. 9.7, б, листы сварены 4-мя швами: -мя лобовыми и -мя фланговыми. Касательное напряжение среза всего сварного соединения определяется по формуле

107 107 F 0,7tl л l ф сp. (9.3) Допускаемое напряжение для материала сварного шва выбирают равным 0, 6, (9.4) cp p где [ р ] допускаемое напряжение на растяжение для основного материала листов. 10. КРУЧЕНИЕ Напряжения и деформации при кручении круглого вала Рис.10.1 Если круглый вал вращать за торцы в разные стороны, то он будет скручиваться (рис.10.1). При этом продольная линия (образующая) АВ на цилиндрической поверхности вала поворачивается на угол max, а правый торец вала поворачивается относительно левого на угол. Если взять поперечное сечение в средине вала с центром в точке О', то угол поворота сечения ' будет меньше, чем на правом торце. Чем ближе к точке А, тем угол будет еще меньше. На левом торце угол равен нулю. Если вал порезать мысленно, как колбасу, на узкие дольки, то его можно представить как систему жестких кружков, насаженных на общую ось, которые не меняют ни форму, ни размеров, а только поворачиваются один относительно другого. Таким образом, все поперечные сечения остаются плоскими, радиусы кружков прямыми, расстояние между сечениями постоянными. Каждый тонкий кружок можно рассматривать как слой металла. Если слои металла сдвигаются друг относительно друга, то мы имеем деформацию сдвига.

108 108 Степень смещения слоев металла определяется углами: закручивания и сдвига. Угол закручивания характеризует величину поворота рассматриваемого сечения (тонкого кружка) относительно неподвижного сечения ОА (левого торца вала) и определяет абсолютную величину закручивания вала или его участка. Отношение угла закручивания вала к его длине l называют относительным углом закручивания. l. (10.1) Относительный угол закручивания характеризует жесткость вала, чем меньше, тем вал более жесткий. Угол сдвига образуется между первоначальным положением образующей АВ и после деформации АВ'. Наибольший угол сдвига max образуется на поверхности вала, а по мере приближения к оси вала ОО 1 он уменьшается до нуля. Это показывает, что сердцевина вала мало подвержена деформации, а наибольшую деформацию воспринимают внешние слои вала. На оси вала деформация равна нулю. В целях экономии металла валы делают полыми, т.к. вынутая сердцевина вала незначительно снижает его прочность, но значительно снижает его массу. Выразим угол сдвига max на поверхности вала через угол закручивания на правом торце. Для обоих углов дуга ВВ' единая, поэтому BB' = r = l max, (10.) откуда r max. (10.3) l Если рассмотреть цилиндр радиусом внутри вала, который изображен пунктирными линиями, то угол сдвига на поверхности этого внутреннего цилиндра и угол закручивания будут связаны соотношением. (10.4) l Решив уравнение (10.3) относительно и подставив в уравнение (10.4), получим max. (10.5) r Формула (10.5) показывает, что угол сдвига металла прямо пропорционален радиусу. Чем ближе к оси вала, тем деформация кручения (сдвига) меньше.

109 109 Рассмотрим тонкий кружок (диск) толщиной dx (рис.10.). Правый его торец под действием крутящего момента М к поворачивается относительно левого против часовой стрелки. На цилиндрической поверхности кружка выделим квадрат abcd. После деформации квадрат превращается в параллелограмм ab'c'd. Частицы металла, принадлежащие правому торцу, смещаются относительно левого торца. При этом сторона квадрата bc смещается относительно стороны ad. Сдвиг, при котором материал равномерно смещается в поперечном сечении и при котором возникают только касательные напряжения, называется чистым сдвигом. Величина bb' наибольшего смещения частиц материала по отношению к их первоначальному положению называется абсолютным сдвигом. Отношение абсолютного сдвига к длине участка ab, на котором происходит сдвиг, называется Рис.10. относительным сдвигом. bb tg =. (10.6) ab Угол малая величина, поэтому тангенс угла сдвига равен углу сдвига. Материал оказывает сопротивление. Способность упругих материалов оказывать сопротивление сдвигу характеризует модуль упругости второго рода или модуль сдвига G. Модуль сдвига находится в зависимости от модуля упругости первого рода E при растяжении E G, (10.7) (1 ) где = п/ коэффициент поперечного сжатия (Пуассона). Для стали = 0,5. Подставив в формулу (10.7), получим G = 0,4E. (10.8) Модуль упругости при сдвиге меньше модуля упругости при растяжении, поэтому сдвигу материал оказывает меньшее сопротивление, чем растяжению. Для деформации сдвига справедлив закон Гука: касательные напряжения пропорциональны относительному сдвигу в пределах упругих деформаций = G. (10.9) Подставив значение из уравнения (10.5) в уравнение (10.4), получим

110 110 Gmax max, (10.10) r r где max = G max максимальные касательные напряжения на поверхности вала. Формула (10.10) показывает, что касательные напряжения в поперечном сечении вала возрастают прямо пропорционально радиусу от центра до поверхности вала (рис.10.1, б). Выберем произвольно на правом торце вала (рис.10.1, б) элементарную площадку ds на расстоянии от центра О 1. Касательное напряжение на элементарной площадке ds равно. Элементарный крутящий момент относительно центра О 1 равен max dm ds max ds ds. (10.11) r r Если взять интеграл по площади круга S, то получим max max M k ds ds. (10.1) S r r S Интеграл ds I p (10.13) s называется полярным моментом инерции. Подставив значение I p в формулу (10.1), получим I p M k max, (10.14) r где I r W называется полярным моментом сопротивления. Подставив p p значение W р в формулу (10.14), получим max G max. (10.15) Это есть основное уравнение при расчете на прочность. Закон Гука для поверхностного слоя вала max = G max. (10.16) Подставив в уравнение (10.16) значение max из (10.15) и max из (10.3), получим M k r G W l или p M kl. (10.17) GI Это есть основное уравнение при расчете на жесткость при кручении. p

111 Расчет валов на прочность и жесткость В предыдущем параграфе было показано, что наибольшие касательные напряжения располагаются на поверхности вала. Они являются опасными напряжениями и не должны превосходить допускаемых, т.е. M k max k. (10.18) W Это уравнение является условием прочности при кручении. С помощью формулы (10.18) можно проводить три вида расчетов, аналогичных деформации растяжения (см. 8.). 1. Проверочный расчет проводится по формуле (10.18), чтобы убедиться в прочности детали после того, как узел спроектирован.. Проектный расчет. Для этого уравнение (10.18) нужно решить относительно W р : M k Wp. (10.19) k Момент инерции для круглого сечения определяется по формуле 4 d I p, (10.0) 3 где d диаметр вала. Момент сопротивления для круглого сечения определяется по формуле 3 d W p. (10.1) 16 Подставив значение W р в формулу (10.19) и решив ее относительно диаметра d, получим d p M k. (10.) 16 3 k Проектный расчет предусматривает определение диаметра вала по известным крутящему моменту М к и допускаемому напряжению [ к ]. 3. Расчет предельного момента проводят с целью определения наибольшей нагрузки на вал по формуле, полученной из формулы (10.18), М пр = [ k ] W p. (10.3) Два вала разных диаметров и изготовленных из разных материалов называются равнопрочными, если М пр1 = М пр (10.4) или

112 11 [ k1 ] W p1 = [ k ] W p. (10.5) Это уравнение называется условием равнопрочности. Соблюдение условия прочности (10.18) часто бывает недостаточным. Длинные валы при допускаемом крутящем моменте, т.е. при обеспеченной прочности, закручиваются на большой угол, а если момент М к не постоянен, то они "играют", как пружина, вызывая колебания (вибрации). Это очень вредно для работы машины. Поэтому установлены допускаемые значения угла закрутки, точнее относительного угла закрутки, определяемого по формуле (10.1) и являющегося характеристикой жесткости вала. Требование достаточной жесткости вала определяется по условию M l GI k p, (10.6) где допускаемый относительный угол закрутки вала [] = (0,5... 1) град/м = (0, ,0175) рад/м. (10.7) Проверочный расчет на жесткость проводят по формуле (10.6). Проектный расчет на жесткость по формуле 3 M d 4 G k. (10.8) Предельный момент по жесткости рассчитывают по формуле М пр = GJ р []. (10.9) Произведение GJ р называется жесткостью сечения вала при кручении. Аналогом при растяжении является произведение ES (см. 8.3). Жесткостью вала при кручении называется отношение крутящего момента к углу закручивания, т.е. M GI k p jk. (10.30) l Это выражение получено из формулы (10.17). Валы разных размеров и изготовленные из разных материалов имеют равную жесткость, если M 1 M k k (10.31) 1 или G1I p 1 GI p, (10.3) l1 l где параметры, имеющие индекс 1, относятся к первому валу, а индекс ко второму.

113 Полярные моменты инерции и сопротивления В 10.1 полярным моментом инерции был назван интеграл ds I Рассмотрим круг радиусом r, в котором все элементарные площадки ds, удаленные от центра O (рис.10.1, б) на расстояние, объединены в элементарное кольцо шириной d (рис.10.3). Элементарная площадь этого кольца равна площади прямой полосы шириной d и длиной, т.е. ds = d. (10.34) Подставив значение ds в формулу (10.33), получим J p r 0 r d d. (10.35) 0 3 s p Рис.10.3 (10.33) Интегрирование проводят в пределах изменения текущего радиуса от 0 до r. После интегрирования имеем 4 4 r d J p. (10.36) 3 Мы получили формулу (10.36), где d диаметр круга. Из уравнения (10.14) явствует, что полярный момент сопротивления J p r r d Wp. (10.37) r r 16 В 10.1 отмечалось, что напряжения в сечении вала согласно формуле (10.10) и рис. 10.1, б распределяются прямо пропорционально радиусу и сердцевина вала слабо нагружена. Для уменьшения массы вала его делают полым, удаляя внутреннюю часть и получая кольцевое сечение (рис. 10.4). Момент инерции для кольцевого сечения рассчитывается по формуле (10.35), в которой изменяются пределы интегрирования J p rh d. (10.38) rв 3

114 114 rh rв 4 4 После интегрирования получим J p ( dн dв ). (10.39) 3 Если обозначить отношение диаметров d в d н (10.40) и подставить в формулу (10.39), то получим 4 dн 4 J p (1 ). 3 (10.41) 4 4 Рис.10.4 Если уравнение (10.41) разделить на r н = d н /, то получим 3 d н 4 W p (1 ). (10.4) Примеры расчетов Пример 1. Стальной вал сплошного сечения передает мощность N = 60 квт. Частота вращения вала n = 40 об/мин. Определить диаметр вала d из условий прочности и жесткости, если [ k ] = 40 МПа, допускаемый угол закручивания [ 0 ] = 1 град/м, модуль сдвига G = МПа. Р е ш е н и е. Определяем крутящий момент, приложенный к валу, N M k 9,55 9,55 387Нм =, Н мм. n 40 Из расчета на прочность по формуле (10.) определяем диаметр вала 16М 16,4 10 d к ,3мм. 40 к Определяем диаметр вала из расчета на жесткость по формуле (10.8) d 6 3, к М G , где 1 1, ,3 мм, рад/мм.

115 115 Выбираем диаметр вала из расчета на прочность d = 70 мм. Пример. От сплошного вала к полому через кулачковую муфту передается мощность N = 10 квт при частоте вращения n = 100 об/мин. Подобрать диаметр d сплошного вала и наружный диаметр d н полого вала при коэффициенте полости = 0,7, приняв допускаемое касательное напряжение [ k ] = 60 МПа. Р е ш е н и е Определяем крутящий момент, передаваемый валами, N M k 9,55 9,55 955Нм = 0, Н мм. n 100 Подбираем диаметр сплошного вала по формуле (10.) d М к 16 0, к 43 мм. Для полого вала в формулу (10.19) подставляем значение W р из формулы (10.4) и решаем в отношении диаметра d н, получаем 16М к d 3 (1 4. (10.41) ) В формулу (10.4) подставляем числовые значения и находим диаметр полого вала dн , мм. (1 0,7 )60 6 Расчет показывает, что диаметр полого вала всего лишь на 10 % больше сплошного. Пример 3. Сравнить массы и углы закручивания двух сплошных круглых валов длиной l = м каждый, воспринимающих одинаковые крутящие моменты М к = 1кНм. Один вал стальной, другой из алюминиевого сплава. Диаметры валов подобрать по условию прочности. Дано: для стального вала [ k ] = 80 МПа, = 7, кг/м 3, G = МПа, для вала из алюминиевого сплава [ k ] = 50 МПа, =, кг/м 3, G = МПа. Р е ш е н и е Подбираем диаметр валов из условия прочности: для стального вала d ст для алюминиевого вала М к к к 40 мм;

116 d 16М к к 46,7 мм. Определяем полярные моменты инерции: для стального вала 4 4 d 40 5 J р. ст,5 10 мм 4 ; 3 3 для алюминиевого вала 4 4 d 46,7 5 J р. ал 4,7 10 мм Отношение углов закручивания (см. формулу (10.17)) GстI ал р. ст 1,43. G I ст ал р. ал Масса вала определяется по формуле d m V l, (10.4) 4 а отношение масс 3 mал стd р. ст 7, , 3. mст алd р. ал, ,7 Пример 4. Подобрать диаметр вала, нагруженного моментами М 1 = кн м; М =10 кн м; М 3 =1 кн м; М 4 =9 кн м. Допускаемое касательное напряжение для материала вала [ k ] = 50 МПа. Построить эпюры крутящих моментов. Р е ш е н и е Если смотреть на торец вала, то момент, вращающий вал против часовой стрелки, будет Рис.10.5 положительным, а по часовой стрелке отрицательным. Будем смотреть на вал с торца А. На участке длиной a будет действовать крутящий момент М 1 = кн м, он будет положительным. На участке длиной b будет действовать два момента: положительный М 1 и отрицательный М =10 кн м. Их алгебраическая сумма будет равна 8 кн м. На участке длиной c будет действовать три момента: + М 1 ; - М и М 3 =-1кНм. Их алгебраическая сумма равна - 9к Н м. Перенесем все на график (эпюру) рис

117 117 Если начинать суммирования с торца B, то на участке c будет действовать крутящий момент (см. на торец B), который вращает вал по часовой стрелке, значит, он имеет отрицательный знак, т.е. М 4 = -9 кн м, что соответствует эпюре, изображенной на рис Итак, согласно эпюре наибольший крутящий момент будет на участке длиной c. По наибольшему моменту подберем диаметр вала из условия прочности d М к к 97 мм. 11. ИЗГИБ Основные понятия Рис.10.6 Изгибу подвергаются длинные детали типа стержней, у которых поперечные размеры малы по сравнению с длиной (балки, валы и др.). Изгиб появляется под действием поперечных внешних сил и реакций опор, вызывающих изгибающие моменты. Такой изгиб называют поперечным. Если на стержень действуют только продольные силы, под действием которых стержень теряет устойчивость и прогибается, то такой изгиб называют продольным. Рассмотрим балку на двух опорах (рис.11.1), нагруженную силой F. В опорах А и В на балку будут действовать реакции опор R А и R В. Под действием силы F и реакций опор балка будет прогибаться, что отмечено пунктирной линией. Мысленно рассечем балку сечением 1-1 в произвольной точке Ê на расстоянии х от начала координат (точки А). Теперь отбросим опоры и правую часть балки КСВ и рассмотрим равновесие оставшейся части АК(рис.11.1,б). Чтобы оставшаяся часть балки находилась в равновесии, нужно соблюдение нулю суммы проекций сил на ось Y и суммы моментов относительно точки К, т.е. Y= 0; (11.1) M K = 0. (11.) В сечении 1-1 действуют внутренние напряжения. Касательные напряжения в сумме равны внутренней поперечной силе Q, т.е. S = Q, (11.3)

118 118 где S площадь поперечного сечения балки. Нормальные напряжения, о которых подробно будет рассмотрено ниже, создают внутренний изгибающий момент М и. Проектируя силы на ось Y, получим, учитывая, что отсеченная часть балки АК находится в равновесии (покое), R A - Q = 0, (11.4) что соответствует требованию (11.1) и из которого находим Q = R A. (11.5) Составляя уравнение моментов относительно точки К и учитывая, что часть балки АК находится в равновесии, получаем - R A х + М и = 0, (11.6) откуда М и = R A x. (11.7) Поперечная сила Q и изгибающий момент М и называются внутренними силовыми факторами, которые являются результатом действия внутренних молекулярных сил. Знаки внутренних силовых факторов определяются следую- Рис.11.1 щим образом. Рис.11. Если моменты М от внешних сил изгибают балку выпуклостью вниз (рис.11.,а), когда растянутые волокна расположены снизу, а сжатые сверху, то изгибающий (внутренний) момент М и имеет знак плюс (+). Если моменты М от внешних сил изгибают балку выпуклостью вверх, когда растянутые волокна находятся сверху, то изгибающий момент М и имеет знак минус (-) (рис.11.,б). Если внешние силы Р поднимают левую

119 119 и опускают правую часть балки, то поперечная сила Q имеет знак плюс (+) (рис.11.,в). Если внешние силы Р стремятся опустить левую и приподнять правую часть балки, то поперечная сила Q имеет знак минус (-) Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил Законы изменения внутренних силовых факторов: изгибающих моментов и поперечных сил, которые определяются уравнениями, где функциями являются Q и М и, а аргументом абсцисса Х, удобно представлять в виде графиков, ординаты которых для любого значения абсциссы Х дают соответствующие значения изгибающего момента М или поперечной силы Q. Такие графики называются эпюрами. При построении эпюр положительные значения М и Q откладывают вверх от оси абсцисс, а отрицательные вниз. Построение эпюр имеет целью определить опасное сечение, где внутренние силовые факторы достигают своего максимума. Рассмотрим несколько примеров построения эпюр изгибающих моментов и перерезывающих сил. Рис.11.3 Для определения опорных реакций R А и R В составим уравнения равновесия, приравняв нулю сумму моментов всех внешних сил относительно точек А и В. М А = R B l - Fa = 0; M B = -R A l +Fb = 0. Затем найдем опорные реакции a R B F ; (11.8) l b R A F. (11.9) l

120 10 Для проверки составим уравнение равновесия проекций всех сил на ось Y Y = R A +R B - F = 0. (11.10) Если после подстановки в уравнение (11.10) значений всех сил оно не обращается в нуль, то нужно искать ошибку в расчетах реакций опор. Разбиваем балку на два участка: I-й участок АС; II-й участок СВ. На I-м участке сделаем произвольное сечение балки 1-1 на расстоянии х 1 от точки А, а затем мысленно отбросим часть балки справа от сечения. На оставшейся части балки АК 1 длиной х 1 действует внешняя сила R A (см. рис.11.1,в), а в сечении балки действуют внутренние силовые факторы: поперечная сила Q 1 и изгибающий момент М и1. Знак изгибающего момента будет положительный (рис.11.,а) и перерезывающией силы тоже положительный (рис.11.,в). Поперечная сила в любом сечении на участке I от х 1 =0 до х 1 =а равна реакции R A согласно уравнению (11.4) и (11.5), b Q1 RA F. (11.11) l Поперечная сила постоянна по всей длине участка. На эпюре (рис.11.3,б) от оси 0-х откладываем ординату Q 1 =R A на I-м участке и проводим прямую, параллельную оси 0-х. Получаем эпюру поперечных сил на участке I. Площадь, занимаемая эпюрой, заштрихована вертикальными линиями и в кружочке поставлен знак (+). Найдем выражение изгибающего момента в любом сечении на первом участке при изменении х 1 в пределах от х 1 =0 до х 1 =а. Составим уравнение моментов относительно точки К 1 (11.6), откуда получим Fb M u1 RA x1 x1. (11.1) l Согласно принятому правилу знаков изгибающий момент положителен, т.к. сила R A изгибает балку выпуклостью вниз (рис.11.,а). Изгибающий момент является функцией аргумента х 1, поэтому график будет иметь вид прямой линии. При х 1 =0; М и1 =0. При х 1 =а; М и1 =R A ; а = Fab/l. Откладываем на эпюре (рис.11.3,в) эти ординаты и их концы соединяем прямой линией. Получаем эпюру изгибающих моментов на участке I. На участке II сделаем произвольное сечение балки - на расстоянии х от точки А, а затем мысленно отбросим часть балки справа от сечения. На оставшейся части балки АК длиной х действуют силы R A и F, а в сечении балки действуют внутренние силовые факторы: поперечная сила Q и изгибающий момент М и. Поперечная сила в любом сечении на участке II от х =а до х =l определится из уравнения равновесия (с использованием уравнения (11.10)):

121 11 a Q RA F RB F. (11.13) l Знак поперечной силы отрицательный. Откладываем на эпюре (рис.11.3,б) от оси 0-х ординату Q =-R B на участке II и проводим прямую, параллельную оси 0=х. Получаем эпюру поперечных сил на участке II. Вся эпюра поперечных сил представлена ступенчатой линией. Для I- го участка эпюра положительная, для II-го участка отрицательная. Запишем уравнение равновесия моментов относительно точки К F(x - a) - R A x + М и = 0, (11.14) откуда М и = R A x - F(x -a) (11.15) или М F b l x F ( x a ). (11.16) и При х =а; М F ab и ; при х l =l; М и =0. Координата х=а соответствует точке С. Здесь в конце участка I и начале участка II изгибающий момент М и = Fab/l. В конце участка II, соответствующем точке В, изгибающий момент равен нулю. Соединяем эти точки прямой и получаем эпюру на участке II (рис.11.3,в). Полная эпюра изгибающих моментов представляется треугольником, изгибающий момент во всех сечениях балки положителен. В сечении С, где приложена сила F, поперечная сила Q меняет свой знак, т.е. претерпевает разрыв на величину F, мгновенно переходя от +Q 1 до -Q. Опасным сечением балки АВ будет точка С приложения силы F, где М max = Fab/l и Q max = RA= =Fb/l. Построим эпюры для балки (рис.11.4,а), лежащей на двух опорах А и В и нагруженной силой F и парой сил с моментом М. Отбросим опоры А и В, заменив их реакциями R А и R В. Составим уравнения равновесия. Приравняв нулю сумму моментов от внешних сил относительно точки А, получим М А =М+R B l-fa=0, откуда F a M R B. (11.17) l Если Fa > M, то R B имеет знак (+). Если Fa < М, то R B имеет знак (-). Приравняв нулю сумму моментов от внешних сил относительно точки В, получим М В =М+F b-r A l=0,

122 1 откуда F b M RA. l (11.18) Для проверки приравняем нулю сумму проекций всех сил на ось Y Y=R A -F+R B =0, (11.19) где знак силы R B. Поперечная сила на участке I равна Fb M Q1 RA. l (11.0) Изгибающий момент на участке I равен Fb M М u1 RAx1 x1 l. (11.1) Fb M При х 1 =0; М и1 =0. При х 1 =а; Ми1 RAa a. l Поперечная сила на участке II с использованием уравнения (11.19) Q = R A - F. (11.) Если R A < F, то Q = -R B. Если R A > F, то Q = +R B. Решив уравнение (11.19) относительно F, получим F = R A R B. (11.3) Знак реакции R B, как указывалось выше, зависит от соотношения внешнего момента М и момента Fa. Построив эпюру поперечных сил, получим следующую картину: Если Fa > M, то реакция +R B положительна, реакция R A < F, поперечная сила Q = R A - F = - R B ; если Fa < M, то реакция R B отрицательна (пунктирная стрелка), реакция R A > F, поперечная сила Рис.11.4

123 13 Q = R A - F = + R B (эпюра обозначена на рис. 11.4,б пунктирной линией). Изгибающий момент на участке II: М и = -М - F(x - a) + R A x. (11.4) Подставив значение R A из формулы (11.18), получит Fb M М u M F( x a) x. (11.5) l При х = а Fb M М u a M. l Если M Fb M, то изгибающий момент +М l и положителен. Если M Fb M, то изгибающий момент -М l и отрицателен. При х = l изгибающий момент, так как l - a = b, l M Fb ( Fb M ) 0. М u l На рис. 11.4,б и 11.4,в приведены эпюры поперечных сил и изгибающих моментов Нормальные напряжения при изгибе В поперечных сечениях балки кроме касательных (см. рис.11.1) возникают нормальные напряжения. При поперечном изгибе внутренние силы приводятся к поперечной силе Q и изгибающему моменту Ми. Поперечная сила определяется касательными напряжениями (см. рис.11.1,б), а изгибающий момент, как будет показано ниже, определяется нормальными напряжениями. Вырежем из балки, испытывающей поперечный изгиб, участок длиной l=оо (рис.11.5). Участок балки изгибается двумя изгибающими моментами М и. Рис.11.5

124 14 При таком нагружении участок балки деформируется изгибается выпуклостью вниз. Форма деформации показывает, что на выпуклой стороне материал растягивается (зона напряжения обозначена знаком +), а на вогнутой стороне материал сжимается ( зона сжатия обозначена знаком -). Между зонами растяжения и сжатия имеется нейтральный слой О-О. Продольные волокна на выпуклой стороне растянуты, на вогнутой стороне сжаты, а волокна нейтрального слоя О-О сохраняют первоначальную длину. Рассмотрим растяжение волокна а-а, длину которого обозначим l 1, а длину волокна О-О нейтрального слоя обозначим l. До деформации длина всех волокон равнялась длине волокна нейтрального слоя l. Удлинение волокна а-а равно l = l 1 -l, а относительное удлинение l l l. (11.6) l l Выразим длины дуг l и l 1 через радиус и угол : l ; l1 z. Подставив значения l и l 1 в уравнение (11.6), получим z z. (11.7) Относительное удлинение материала при изгибе прямо пропорционально расстоянию Z волокна от нейтрального слоя. Если рассмотреть зону сжатия, то формула (11.7) примет вид ( z) z. (11.8) Следствие. Наибольшее растяжение материала находится на выпуклой поверхности балки, а сжатие на вогнутой поверхности. В результате удлинения и сжатия материала по обе стороны от нейтрального слоя возникают внутренние силы, которые противодействуют растяжению F p и сжатию F c (рис.11.6). Они создают внутренний изгибающий Рис.11.6 момент М и, который равен М и = F p Z o, (11.9)

125 15 где F p = F c пара сил с плечом Z o, создающая изгибающий момент М и, который уравновешивает внешний изгибающий момент (см. рис.11.1 и формулу (11.7)) М и = R a x. Изогнутый стержень находится в напряженном состоянии. В каждой точке его поперечного сечения возникают нормальные напряжения, которые согласно закону Гука прямо пропорциональны относительному удлинению, т.е. z E E. (11.30) Из этого уравнения следует, что нормальные напряжения в сечении 1-1 (рис.11.6) изменяются по линейному закону вдоль оси Z: когда Z = 0; =0, когда Z = +h/; = + max, когда Z = - h/; = - max. Знак (+) означает растяжение, знак (-) - сжатие. На рис изображена эпюра нормальных напряжений по сечению балки. В нейтральном слое напряжения равны нулю, а к поверхности балки они линейно возрастают до + max в нижнем поверхностном слое и до - max в верхнем поверхностном слое. Рис.11.7 Определим величину изгибающего момента от внутренних сил. Элементарный момент от действия напряжения на элементарной площадке ds относительно оси х-х (рис.11.7) равен dm ds z (11.31) Подставив значение из формулы (11.30), получим z dm E ds. (11.3) Если проинтегрировать элементарные моменты по всей площади поперечного сечения S, то получим величину изгибающего момента E М u dm z ds. (11.33) S S Сумма произведений (интеграл по площади S) элементарных площадок на квадрат их расстояния до нейтрального слоя х-х называется осевым моментом инерции

126 I x 16 z ds. (11.34) S Подставив уравнение (11.34) в (11.33), получим E М u I x или 1 М u, (11.35) EI x где 1 называется кривизной (величина, обратная радиусу) балки, чем меньше, тем кривизна больше. Произведение EI х называется жесткостью сечения, которое характеризует сопротивление искривлению. С увеличением EI х кривизна уменьшается. Если подставить значение 1 в уравнение (11.30), то получим М u М u z М u Ez. (11.36) EI x I x I x / z Когда z = h/, нормальное напряжение достигает максимума: hм u М u max. (11.37) I x I x / h Отношение осевого момента инерции I x к расстоянию до наиболее удаленных от нейтрального слоя волокон (h/) симметричного сечения называется осевым моментом сопротивления и обозначается W x : I x Wx. (11.38) h / Этот момент сопротивления позволяет определить максимальное напряжение в материале изогнутого стержня М u max. (11.39) Wx Момент сопротивления при изгибе играет такую же роль, как площадь поперечного сечения при растяжении и сжатии. Вычислим значение момента сопротивления для простейших сечений. Для валов круглого сечения осевой момент инерции равен 4 d I x, (11.40) 64 h d осевой момент сопротивления ( )

127 17 I x d d Wx. (11.41) h/ 64d / 3 Для прямоугольного сечения (рис.11.7) осевой момент инерции равен 3 bh I x 1, (11.4) осевой момент сопротивления 3 I x bh bh Wx. (11.43) h / 1 h 6 Для рационального использования материала форму поперечного сечения балок делают такого профиля, когда основная масса материала находится на возможно большем расстоянии от нейтрального слоя. Примером таких балок являются железнодорожные рельсы. В машиностроении и строительстве применяют балки таких профилей, как швеллер и двутавр. Геометрические характеристики таких сечений приводятся в справочной литературе Расчеты на прочность при изгибе При изгибе балок сплошных поперечных сечений касательные напряжения по поперечному сечению не оказывают влияния на прочность. Поэтому прочность таких балок в условиях поперечного изгиба определяется максимальной величиной нормальных напряжений. Опасное сечение балки находится максимальной величиной изгибающего момента. Для определения положения опасного сечения балки строится эпюра изгибающих моментов. Проверка прочности и подбор сечений балок производится исходя из условия, чтобы наибольшие нормальные напряжения max не превосходили допускаемых [] на растяжение и сжатие для материала балки. Для балок из материалов, которые одинаково сопротивляются растяжению и сжатию (сталь, древесина), применяются симметричные сечения, чтобы максимальные растягивающие и сжимающие напряжения были равны [+ max ] = [- max ]. Условие прочности имеет вид 4 3 M max max. (11.44) W x Это условие позволяет решать следующие три задачи. 1. Проверочный расчет или проверка прочности, когда известны размеры поперечного сечения балки, т.е. W х, максимальный изгибающий момент, который будем для простоты расчетов впредь обозначать М и, и

128 18 допускаемое напряжение []. Напряжение max будем обозначать и. Для расчета используем условие (11.44), переписав его в виде M u u. (11.45) Wx. Проектный расчет или подбор сечения балки, когда известны внешние силы, определен наибольший изгибающий момент М и =М max и известно допускаемое напряжение []. Решив неравенство (11.45) относительно W x, получим M u W x. (11.46) Если сечение балки сложного профиля, то по таблицам, приведенным в справочниках, подбирают нужные размеры сечения, чтобы табличное значение W x табл не превосходило расчетное значение W x. Если это вал круглого сечения, то подставив значение W x из формулы (11.41) в формулу (11.46), получим 3 М 3 u d. (11.47) 3. Расчет предельного изгибающего момента, когда для готовой конструкции требуется определить максимальную нагрузку. Решив неравенство (11.45) относительно М и, получим значение предельного момента M W. (11.48) unp Балку одинаковой длины, нагруженную одними и теми же внешними силами, можно изготовить: 1) из разных материалов ([] и []); ) с поперечным сечением разных размеров и разной формы (W x1 и W x ). Задача состоит в сравнении прочности этих балок. Критерием прочности выступает предельный момент М ипр. Если М ипр1 больше М ипр, то балка 1 прочнее балки. Если предельные моменты у двух балок равны, т.е. М ипр1 = М ипр, (11.49) то такие балки называют равнопрочными. Подставив в равенство (11.49) значение моментов, получим W x1 1 Wx. (11.50) Если это вал круглого сечения, то подставив значение W x из формулы (11.41), получим 3 3 d1 d x

129 19 или 3 d d. (11.51) Из этого уравнения можно получить различные вариации: 3 d1 ; d1 3 ; 1 d. d 1 d 3 1 d (11.5) 1 1. ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ 1.1. Совместное действие изгиба и кручения Валы одновременно с кручением испытывают изгиб под действием внешних сил и реакций опор. Разберем на примере совместное действие кручения и изгиба вала. На рис. 1.1 изображен вал 3, установленный на опоры (подшипники) Н и К. На вал посажены шкивы 1 и, к которым в точках А и В приложены силы F 1 и F. Под действием этих сил вал находится в равновесии. Перенесем силы F 1 и F на ось х- Рис.1.1 х в точки С и Е. В результате переноса получим: силу F 1 (пунктирный вектор), приложенную в точке С, и момент крутящий М к (пунктирный вектор), вращающий шкив 1 вокруг точки С; силу F (пунктирный вектор), приложенную в точке Е, и момент М к (пунктирный вектор), вращающий шкив вокруг точки Е. Так как вал находится в равновесии, крутящие моменты равны, поэтому можно записать M k F1 r1 F r. (1.1) Если в задаче задан крутящий момент, а силы не заданы, то их можно определить по формуле (1.1). Составляем (рис.1.) расчетную схему 1 (балка, нагруженная поперечными силами), определяем реакции опор R н и R к и строим эпюру изгибающих моментов М и. Анализ эпюры показывает, что максимальный изгибающий момент М и = М max находится в сечении под шкивом 1, т.е. в точке С, которая соответствует опасному сечению. Составляем расчетную схему и строим эпюру крутящих моментов М к.

130 130 При совместном действии изгиба и кручения в сечении вала (рис.1.3) возникают нормальные и касательные напряжения. Когда в каждой точке поперечного сечения действуют два разных напряжения ( и ), такое состояние материала называют сложным напряженным состоянием. Максимальные нормальные напряжения, возникающие от изгиба, расположены в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси, определяются по формуле u Mu Wx. (1.) Максимальные касательные напряжения расположены на наружной поверхности вала и определяются по формуле k M k Wp. (1.3) В этих формулах моменты сопротивления для круглого сплошного вала определяются по формулам: осевой момент сопротивления 3 d W x ; 3 (1.4) полярный момент сопротивления 3 d W p. 16 (1.5) Из формул (1.4) и (1.5) видно, что W p = W x. Если обозначить момент сопротивления Рис.1. W = W x = W p /, то тогда формулы (1.) и (1.3) примут вид u M u W. (1.6) Максимальные касательные напряжения расположены на наружной поверхности вала и определяются по формуле k M k W. (1.7) Рис.1.3

131 131 Валы изготавливают из пластичных материалов сталей, поэтому проверку их прочности производят по третьей теории прочности, согласно которой эквивалентное, т.е. равнозначащее, нормальное напряжение определяется по формуле э u 4 k. (1.8) Подставив в формулу (1.8) значения и и к из формулы (1.6) и (1.7), получим или Если обозначить М u М k э 4, (1.9) W W М u М k э. (1.10) W М э М М, (1.11) то получим э M э W. (1.1) Используя эту формулу, условие прочности при изгибе с кручением запишем в таком виде М э э. (1.13) W При пространственном нагружении вала поперечными силами в вертикальной и горизонтальной плоскостях в сечениях вала кроме крутящего момента М к будут действовать два изгибающих момента: под действием вертикальных сил М х, а под действием горизонтальных сил М у. Полный изгибающий момент определится по теореме Пифагора: M u M x M y. (1.14) Если это значение подставить в формулу (1.11), то получим M э M x M y M k. (1.15) По формуле (1.13) производится проверочный расчет вала. Для определения требуемого диаметра вала нужно неравенство (1.13) решить относительно W = d 3 /3, 3 3 M d э. (1.16) u k

132 Примеры расчетов на прочность Пример 1. Вал подвержен совместному действию изгиба и кручения. В опасном сечении вала возникает изгибающий момент М и =8 кн м и крутящий момент М к =10 кн м. Допускаемое нормальное напряжение []=80 МПа. Определить диаметр вала. Р е ш е н и е Согласно третьей теории прочности определяем эквивалентный момент по формуле (1.11) M э Mu M k ,8 кн м. По формуле (1.16) вычисляем необходимый диаметр вала 3M 3 3 1,8 10 d 3 э 118мм, 80 где М э =1,8 кн м = 1, Н мм; [] = 80 МПа = 80 Н/мм. Пример. Вал с кривошипом подвергается действию силы F=3,5 кн. Определить диаметр вала d по третьей теории прочности при []=160 МПа, l=50 см, а=10 см. Р е ш е н и е Переносим силу F из точки С в точку В. В результате получим силу F, приложенную в точке В и крутящий момент М к относительно Рис.1.4 точки В (рис.1.4): Рис.1.5 М к = Fa = 3,5 100 = 350 кн мм = 3, Н мм. Вал АВ будет скручиваться моментом М к и изгибаться силой F. На рис. 1.5 приведена расчетная схема и эпюра изгибающих моментов М и. Опасное сечение будет в точке А, где М и = М max и действует крутящий момент М к. Максимальный изгибающий момент равен М и =Fl=3,5 500=1750кН мм= =1, Н мм. Определяем эквивалентный момент по формуле (1.11)

133 , ,5 10 1,8 10 M э M u M k Н мм. По формуле (1.16) вычисляем необходимый диаметр вала 3M ,8 10 d 3 э 48,6 мм. 160 Пример 3. На вал насажены два шкива, диаметры которых d 1 =15 см, d =30 см. Усиления приводов F 1 и F направлены соответственно вертикально и горизонтально. Определить по третьей теории прочности диаметр вала d, если []=100 МПа, l=60 см, а=15 см, М к =0,7кН м. Р е ш е н и е Крутящие моменты на шкивах 1 и уравновешивают друг друга, поэтому F1 d1 F d М k. (1.17) Из формулы (1.17) находим 6 М k 0,7 10 F1 9333Н, d 150 F 1 6 М k 0,7 10 d где М к =0,7кН м = 0, Н мм; d =30 см= 300 мм; d 1 =15 см=150 мм. Определяем реакции опор в вертикальной плоскости, где сила F =0 по формулам (11.8) и (11.10): a 150 R b B F Н; l 600 B B R a F1 R b Н. Максимальный изгибающий момент в вертикальной плоскости соответствует точке С и определяется по формуле (11.1) B B 5 M1 Ra a ,5 10 Н мм. Рис.1.6

134 134 Определяем реакции опор в горизонтальной плоскости, где сила F 1 =0. a 150 Ra г F Н; l 600 г г R b F Ra Н. Изгибающий момент в точке С (так как М Г < М В 1) г г 5 M1 Raa ,75 10 Н мм. Расчетный изгибающий момент в опасном сечении С М u B г ) ( М1 ) 10,5 10 1, ,6 10 ( М Эквивалентный момент определяем по формуле (1.11) u k Н мм. М э М М ,7 10 Н мм. По формуле (1.16) вычисляем необходимый диаметр вала 3M ,7 10 d 3 э 50,6 мм. 100 Часть IV. ДЕТАЛИ МАШИН 13. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Детали машин наука, посвященная изучению конструкции, расчета и проектирования деталей машин и их узлов. Курс деталей машин завершает общетехническую подготовку студентов и создает базу для изучения специальных дисциплин. Машина состоит из деталей, которые объединены в узлы. Деталь это элементарная, неразъемная часть машины, которая изготовлена из одного материала (корпус, вал, зубчатое колесо, винт, гайка и т. д.). Узел, или сборочная единица, это составная часть машины, которая изготавливается отдельно в другом цехе или на другом заводе. К ним относятся: двигатели внутреннего сгорания (ДВС), электродвигатели, редукторы, узлы гидравлической и пневматической системы, муфты, подшипники качения и др. Детали и узлы общего назначения: валы, зубчатые колеса, муфты, подшипники, болты, винты, гайки и т. д. встречаются во всех машинах и изучаются в курсе «Детали машин». Их конструкции и расчету будут посвящены все последующие главы. Специальные детали и узлы: шнеки, роторы, коленчатые валы и т. д. имеют специфическую конструкцию, относятся к отдельным классам

135 135 машин и в данном курсе не изучаются. Коленвалы изучаются в специальном курсе «Двигатели внутреннего сгорания», шнеки в курсе «Транспортные устройства», роторы в курсе «Турбины и компрессоры» и т. д. Детали и узлы общего назначения в зависимости от выполняемых функций входят в состав нескольких групп: 1. Соединения детали, которые связывают между собой части машин: заклепочные, сварные, болтовые, шпоночные, шлицевые и т. д.. Передачи детали и узлы, которые предназначены для преобразования и передачи движения и энергии от двигателя к рабочему органу. К ним относятся ременные, цепные, зубчатые, червячные и др. 3. Детали и узлы, которые входят в состав передач: валы, подшипники, муфты, детали и узлы системы смазки. Корпусные детали, резервуары, несущие системы, трубопроводы, направляющие и многое другое рассматривается в специальных курсах Основные требования к деталям машин К основным требованиям, которые предъявляются к деталям машин, относятся: прочность и жесткость, надежность и долговечность, рациональные формы, которые обеспечивают компактность узлов и простую технологию изготовления, стоимость и экономичность. Прочность деталей зависит от выбора материалов, подбора формы и размеров деталей, рационального выбора и расположения опор и т. д. Жесткость деталей зависит от правильного выбора формы детали, ее длины, вида и количества опор. Технологичность деталей определяется затратами труда на изготовление деталей. Если обеспечивается качество деталей при минимальной трудоемкости, то такая деталь называется технологичной Критерии работоспособности и расчета деталей Работоспособность способность машин выполнять заданные функции. Критерии работоспособности деталей машин: прочность, жесткость, износостойкость, теплостойкость, виброустойчивость, надежность. Первые три критерия являются основными при расчете машин. Прочность главный критерий работоспособности, который обеспечивает сопротивляемость разрушению или возникновению пластических деформаций под действием нагрузок. Прочностью гарантируется надежная работа машины в течение заданного срока. Основы расчета на прочность изучают в сопротивлении материалов, а в

136 136 деталях машин рассматривают общие законы расчета на прочность применительно к конкретной детали. Жесткость способность деталей сопротивляться изменению их формы и размеров под действием нагрузок. Например, недостаточная жесткость вала вызывает его прогиб, перекос зубчатых колес, поломку зубьев и подшипников и другие неприятности. Оценка жесткости производится сравнением расчетных прогибов, углов поворота сечений, углов закручивания и др. с допускаемыми значениями. Износостойкость способность трущихся поверхностей деталей сопротивляться истиранию, т. е. изнашиванию. Износ приводит к изменению размеров деталей, стертая поверхность имеет другое состояние, увеличиваются зазоры, снижается прочность, возникают динамические нагрузки и вибрации. Из-за износа выходят из строя до 80 % деталей машин. Расчет деталей на износ заключается в определении для трущихся поверхностей давлений и сравнении их с допускаемыми. Износ снижается с увеличением твердости поверхностей, которые делают гладкими и обильно их смазывают. Теплостойкость способность деталей машины сохранять работоспособность при высоких температурах. При нагреве стальных деталей до º значительно снижаются их механические свойства, ухудшаются свойства смазочных масел, увеличивается износ и др. Тепловые расчеты в настоящем курсе не рассматриваются. Надежность свойство машин сохранять работоспособность в течение промежутка времени до отказа. При работе машин возникают перебои, нарушающие работоспособность. Они называются отказами. Чем реже отказы тем выше надежность машины. Отказ это выход из строя машины, который требует вмешательства человека для устранения неисправности или ремонта. Долговечность свойство машины сохранять работоспособность в течение времени с перерывами на техническое обслуживание и ремонт до полного износа. Этот промежуток времени называется ресурсом. Когда машина износилась до предельного состояния, говорят, что она выработала свой ресурс Особенности расчета деталей В соответствии с критериями работоспособности производят расчет деталей на прочность, износостойкость и жесткость. Расчеты эти приближенные, поэтому неточность расчетов компенсируют коэффициентом запаса прочности, который показывает, во сколько раз допускаемое напряжение меньше критического или предельного

137 137 n = пр / [], (13.1) а при известном коэффициенте запаса прочности [] = пр / n, (13.) где [] допускаемое напряжение; пр предельное напряжение (критическое); n коэффициент запаса прочности. Критерием прочности является неравенство [], (13.3) показывающее, что напряжение, действующее в сечении детали, должно быть меньше или равно, но не превышать допускаемого напряжения. Проектирование машин проводят методом постепенного приближения. Отсюда появились два вида расчетов: проектировочный и проверочный или уточненный. Проектировочный расчет необходим для приближенного определения размеров деталей и узла в целом и создания конструктивного наброска, т. е. эскиза узла или машины. Появляется эскизная картина узла пусть с приближенными, но конкретными размерами деталей. После этого проводят уточненный или проверочный расчет с использованием конкретных размеров деталей, составлением расчетных схем и увеличением или уменьшением размеров. Например, при проектировочном расчете валы рассчитывают не на изгиб с кручением, а просто на кручение по приближенной формуле M d 3 k, (13.4) 0, k где d диаметр вала; М к крутящий момент на валу; k допускаемое касательное напряжение. Как видно, в формуле (13.4) не содержится длины вала, места расположения на нем подшипников, зубчатых колес или шкивов и другие сведения, которые к началу проектирования неизвестны. Затем по формуле, которая содержит передаточное отношение передачи, крутящий момент, допускаемое напряжение и коэффициенты, определяют модуль зубчатого колеса и его размеры, т. к. они являются функцией модуля. Далее вычерчивается зубчатое колесо, вал и его опоры. Появляются конкретная длина вала, расстояние между опорами и положение зубчатого колеса относительно опор. Теперь вычерчивается расчетная схема, строятся эпюры крутящих и изгибающих моментов, определяются опасное сечение и эквивалентное напряжение в опасном сечении. По формуле (13.3) проверяется прочность. Если > [], то диаметр вала нужно увеличить. Если << [], то диаметр вала нужно уменьшить. Наилучший результат, если [] или чуть меньше.

138 Основные материалы деталей Наибольшее применение в качестве конструкционных материалов получили сталь и чугун. Из чугуна изготавливают корпусные детали, станины и другие несущие конструкции. Из сталей разных марок изготавливается большинство деталей машин. Реже применяют цветные металлы и пластмассы. Сталь это сплав железа с углеродом, содержание которого по отношению к железу менее %. Низкоуглеродистые стали обладают хорошей пластичностью, т.к. они сравнительно мягкие, но меньшей прочностью и твердостью. Высокоуглеродистые стали имеют большую твердость и прочность, но они хрупкие, т.к. имеют низкую пластичность. Для улучшения качественных показателей стали в нее добавляют хром, титан, кремний, ванадий, никель и другие добавки в небольшом количестве. Такие стали называют легированными. Широкое распространение сталь получила благодаря своим уникальным свойствам: высокой прочности, пластичности и гибкости; возможности получения заготовок деталей из поковок, отливок, проката; хорошей обрабатываемости на станках; способности к термической обработке с целью получения высокой твердости и поверхностных покрытий и т. д. Чугун это тоже железоуглеродистый сплав с содержанием углерода свыше %. Наибольшее распространение получил серый чугун, содержащий,5...3,5 % углерода. В сером чугуне сталь имеет форму губки, в ячейках которой помещается графит, который ослабляет металлическую основу чугуна, а с другой стороны графит, размазываясь по трущейся поверхности, уменьшает трение и износ. Серый чугун прекрасно обрабатывается на станках, хорошо заливается в любую сложную форму. Серый чугун хрупкий материал, имеет среднюю прочность, хорошо работает на сжатие, плохо на растяжение, изгиб и кручение, но он является дешевым литейным материалом и хорошим гасителем вибраций. Из цветных металлов в машинах наиболее часто применяются сплавы меди и алюминия. Алюминиевые сплавы применяют для изготовления небольших корпусных деталей. Бронзы сплавы меди с оловом, свинцом, алюминием, железом обладают антифрикционными свойствами и применяются для изготовления подшипников скольжения, гаек и червячных колес. Пластмассы применяют для изготовления сравнительно мелких деталей прессованием в металлические пресс формы.

139 СОЕДИНЕНИЯ ДЕТАЛЕЙ Каждая машина состоит из отдельных деталей, которые соединяются между собой, образуя неразъемные и разъемные соединения. Неразъемные соединения невозможно разобрать, т.к. детали соединены между собой с помощью заклепок, сварки, клея и др. Разъемные соединения можно разобрать и вновь собрать, т.к. детали соединяются между собой с помощью винтов, болтов, шпонок, штифтов и т. д Заклепочные, сварные и клеевые соединения Заклепочные соединения в настоящее время почти полностью вытеснены сваркой. Они сохранились для соединения мелких деталей, тонких листовых материалов, плоских пружин и т. д. в приборостроении. Рис На рис приведено заклепочное соединение, которое состоит из заклепки 1, листа и листа 3. Заклепка является основным элементом соединения, т.к. она скрепляет листы и 3. Заклепка представляет собой круглый стержень, который с одного конца имеет головку (рис. 14.1, б). Для образования заклепочного соединения листы и 3 накладывают друг на друга и прижимают. Затем сверлят в них отверстие (рис. 14.1, а). В отверстие снизу вставляют заклепку (рис. 14.1, б). После этого листы с заклепкой кладут на жесткую опору 4 (рис. 14.1, в), а сверху молотком расклепывают верхний конец заклепки до образования круглой головки. Сваркой называют технологический процесс соединения деталей с помощью разогрева стыка до высокой температуры с последующим расплавлением стыка и электрода и образованием жидкого шва, который быстро застывает и прочно скрепляет две детали. Для надежного соединения детали листы (рис. 9.7) должны быть изготовлены из низкоуглеродистой стали. В машиностроении, строительстве сварка является основным видом сборки неразъемных соединений, к которым относятся корпусные детали, строительные фермы для перекрытия зданий, котлы, резервуары, трубы и т. д.

140 140 Клеевые соединения известны давно. С помощью клея склеивали бумагу, наклеивали обои на стены, склеивали стыки в деревянных стульях, столах, другой мебели. Соединение деталей осуществляется за счет сил сцепления затвердевшего клея. Склеивать между собой можно детали из различных материалов: дерева, металла, пластмассы, кожи, резины, войлока, стекла, керамики, фарфора. Например, на цилиндрическую поверхность стального круга можно наклеить ткань, кожу, резину или войлок; склеить разбитую вазу или плафон; приклеить металлический номер на деревянную дверь и т. д. К достоинствам клеевых соединений можно отнести возможность соединения деталей из разнородных материалов, не поддающихся сварке и даже склепыванию, например хрупкая керамика и ткани; герметичность соединения, например склеенные емкости. К недостаткам нужно отнести сравнительно низкую прочность и потерю ее со временем. Рис Болтовые и винтовые соединения Болтовые и винтовые соединения применяют для соединения листовых деталей, соединения корпусных деталей с помощью лапок, пружин, присоединения мелких деталей к корпусу и т. д. Основой этого соединения являются болт (винт) и гайка. Болтовые и винтовые соединения в общем случае называют резьбовыми соединениями. Резьбовые соединения в отличие от заклепочных можно при надобности разъединить. Они относятся к разъемным соединениям. На рис. 14. изображены два примера резьбовых соединений. К цилиндру 1 прикрепляется крышка. Они соединяются между собой болтом 3 и гайкой 4. Второй пример. Корпус 1 соединен с крышкой с помощью шпильки 3, гайки 4 и шайбы 5. Болты имеют шестигранную головку для

141 141 вращения ключом и применяются для средних и больших деталей. Диаметр резьбы болтов от 6 до 50 мм. Винты выполняют с круглой головкой со шлицем, которую вращают отверткой. Винт состоит из стержня 1 с резьбовой частью, головки 4 и шлица 3 (рис. 14.3). В зависимости от типа головки винты бывают с цилиндрической головкой (рис. 14.3, а), с полукруглой головкой (рис. 14.3, б) и с потайной головкой (рис. 14.3, в). Винты с шестигранной головкой называют болтами (рис. 14., а). Гайка это деталь с резьбовым отверстием. По Рис.14.3 форме гайки бывают шестигранные (рис. 14., поз. 4), круглые, гайкибарашки и др. Наибольшее распространение получили шестигранные гайки. Шпилькой называют цилиндрический стержень, у которого с двух концов нарезана резьба. Тот конец шпильки, который вворачивается в корпус 1 (рис. 14., б), делают с тугой резьбой, чтобы при отворачивании гайки 4 шпилька 3 не выворачивалась из корпуса 1. Шайба это круглая деталь кольцо, которую подкладывают под гайку, чтобы не задирать крышку или корпус. Зачастую шайбу используют для предотвращения самоотвинчивания гаек и винтов. На рис. 14., б изображена пружинная шайба 5. Ее действие основано на создании большого трения на опорных поверхностях гаек или головок болтов и поверхностью деталей, которые они прижимают. Угол подъема резьбы винтовых соединений 3, что обеспечивает самоторможение резьбового соединения. После затяжки резьбового соединения ни гайка, ни болт сами отвернуться не могут. При динамических и вибрационных нагрузках может произойти самоотвинчивание гаек и болтов. В этом случае применяют различные способы стопорения, один из которых пружинная шайба. Достоинства резьбовых соединений: 1. Простота конструкции соединения.. Удобство разборки и сборки соединения.

142 14 3. Высокая прочность соединения. 4. Широкий круг использования. Недостаток самоотвинчивание гаек и винтов от вибраций и ударных нагрузок. Основным элементом винтовых соединений является резьба. Основными параметрами резьбы являются (рис. 14.4): d наружный диаметр резьбы. Он равняется номинальному диаметру и используется для обозначения резьбы; d средний диаметр резьбы; d 1 внутренний диаметр резьбы; t шаг резьбы, расстояние между соседними гребнями резьбы; угол профиля резьбы, угол Рис между боковыми сторонами профиля; у метрической резьбы = 60, у дюймовой = 55; l длина нарезанной части стержня болта. Метрическая резьба с углом профиля = 60 обозначается буквой М и числами. Первое число обозначает наружный диаметр резьбы d, а второе шаг резьбы t. Пример обозначения: М 16х, М 1х1,75, М 6х1 и т. д. Дюймовая резьба применяется для соединения труб, имеет = 55. Шаг резьбы измеряется числом ниток на 1 дюйм. Например, трубная резьба труб 3/4 имеет внутренний диаметр трубы d у = 3/4; наружный диаметр резьбы d = 6,44 мм; шаг 14 ниток на Расчеты на прочность Расчеты на прочность заклепочных и сварных соединений приведены в Расчеты на прочность резьбовых соединений приводятся ниже. Все стандартные болты, винты, шпильки и гайки изготовляют равнопрочными на разрыв стержня по резьбе, на срез резьбы и на отрыв головки. Поэтому их рассчитывают по прочности нарезанной части стержня, которая является основным критерием работоспособности резьбового соединения Болт нагружен растягивающей силой Дано: сила F = 30 кн; материал грузового крюка сталь Cm 3; допускаемое

143 143 напряжение на растяжение [ р ] = 144 МПа = 144 Н/мм. Р е ш е н и е Опасным является сечение болта, которое ослаблено резьбой. Расчетным диаметром является внутренний диаметр резьбы d 1 : d 1 = d - t, (14.1) где d наружный диаметр резьбы, мм; t шаг резьбы, мм. Расчет сводится к определению расчетного диаметра d 1 из условия прочности резьбы на растяжение F 4F = [ ] з, (14.) S d 1 откуда 4F F d1 1,13. (14.3) [ p ] [ p ] Рис.14.5 Подставляя числовые значения из условия задачи, получим d1 1,13 16,3мм. 144 По таблицам подбираем резьбу М0 с шагом t =,5 мм, внутренний диаметр которой d 1 = d - t = 0 -,5 = 17,5 > 16,3. Расчет удовлетворяет условие прочности Болт нагружен силой затяжки Такие резьбовые соединения применяются для крепления крышек сосудов, когда необходимо соблюдение герметичности. Пусть в цилиндрическом сосуде 1 удерживается давление р, которое давит на крышку, стремясь раскрыть ее. Крышка удерживается болтовыми соединениями 3. Давление газа или жидкости под крышкой стремится раскрыть соединение. Это означает, что давление на крышку стремится растянуть болты как элементарные пружины в пределах упругости (закон Гука), чтобы отодвинуть крышку и образовать зазор между крышкой и цилиндром 1, через который газ или жидкость будут вытекать наружу. Такое явление называют раскрытием или расгерметизацией стыка. Оно

144 144 Рис.14.6 недопустимо. Чтобы его предотвратить, нужно создать такую суммарную силу давления с внешней стороны крышки, которая бы превосходила силу давления газа или жидкости. На рис изображена крышка, на которую изнутри действует сила давления газа или жидкости D P p Skp р, (14.4) 4 а снаружи на крышку действуют силы F i растянутых болтов. Условие отсутствия раскрытия стыка или расгерметизации n Fi >Р, (14.5) 1 или n Fi = k Р, (14.6) 1 где F i сила затяжки одного болта; n число болтов, стягивающих крышку; Р сила давления газа или жидкости внутри сосуда; k коэффициент запаса герметичности или коэффициент затяжки: k = 1,3...,5 для мягких прокладок; k =...3,5 для металлических плоских прокладок. Рис.14.7 Так как болты выбирают одинакового диаметра, формулу (14.6) можно переписать в виде n Fi n Fi kp. (14.7) 1 Если обозначить силу затяжки на 1 болт F = F i и решить уравнение (14.7) относительно F, то получим k k D F P р. (14.8) n n 4 Рассмотрим пример. Пусть дано: давление сжатого воздуха в цилиндре р = 0,5 МПа = 0,5 Н/мм ; внутренний диаметр цилиндра D = 450 мм, число болтов n = 16, материал сталь Сm 3. Определить силу затяжки одного болта и его диаметр, если допускаемое напряжение [ р ] = (0,4...0,7) T. (14.9)

145 145 Р е ш е н и е 1. Силу затяжки одного болта определим по формуле (14.8) k p D 0,5 450 F 3164 Н. 4n Определим допускаемое напряжение, которое находится по формуле (14.9). Меньшие допускаемые напряжения относятся к болтам диаметром d<18 мм, а также к соединениям с мягкими прокладками. Предел текучести для стали Cm 3 T = 40 МПа. Коэффициент запаса выберем 0,5. Тогда допускаемое напряжение [ р ] = 0,5 T = 0,5 40 = 10 МПа. 3. Определим внутренний диаметр резьбы болта по формуле (14.3) F 3164 d1 1,13 1,13 5,8 мм. [ p ] По таблицам выбираем резьбу М8 с шагом t = 1,5 мм, внутренний диаметр которой d 1 = d - t = 8-1,5 = 6,75 > 5,8 мм. Расчет удовлетворяет условию прочности. Приведенный выше расчет является приближенным. Дело в том, что при затяжке болта стержень испытывает совместное действие растяжения и кручения. Кручение создают две силы: сила трения между витками резьбы (сила Т) и сила, предназначенная для преодоления подъема резьбы (угол ). На рис. 14.8, а показана развертка витка резьбы. Виток гайки представляет собой наклонную плоскость с углом подъема. По нему скользит виток винта. Сила F прижимает виток винта к витку гайки. На поверхности витка гайки возникает нормальная реакция R, которая создает силу трения Т = R tg ; где угол трения. Силу Р, необходимую для вращения винта или болта, найдем из прямоугольника, составленного силами F и P. P = F tg (. (14.10) Чтобы вращать болт или гайку, необходимо преодолевать силы трения между витками резьбы и подъема по резьбе, которые в сумме равны силе Р. К болту должен быть приложен момент d M1 P, (14.11) который скручивает стержень болта. Таким образом, при затяжке стержень болта испытывает совместное действие растяжения и кручения. Нормальное напряжение от осевой силы F определяется по формуле (14.) 4F d 1.

146 146 Рис.14.8 Касательное напряжение, вызванное кручением, определяется по формуле (10.3) из раздела «Сопротивление материалов». M1 16M1. W 3 p d1 Эквивалентное напряжение по третьей теории прочности э 4. (14.1) Для стандартных метрических резьб после подстановки всех данных в формулу (14.1) получим 4F э 1,3 1,3 [ ] p. d 1 (14.13) Если сопоставить формулы (14.) и (14.13), то видно, что эквивалентное напряжение на 30 % больше нормального, а приближенный расчет, который не учитывает кручения, вносит погрешность 30 %: 0,3 э %, где погрешность расчета. Если формулу (14.13) решить относительно внутреннего диаметра резьбы d 1, то получим 1,3 4F F d1 1,3. (14.14) [ p ] [ p ] Теперь решим заново пп. 3 и 4 приведенного выше примера. 3. Определим внутренний диаметр резьбы болта по формуле (14.14) F 3164 d1 1,3 1,3 6,7 мм. [ p ] 10 Сравнив с п. 3 примера, приведенного выше, определим погрешность 6,7 5,8 = %. 5,8 Таким образом, диаметр, подсчитанный без учета кручения, меньше на 15 %.

147 По таблицам выбираем резьбу М8 с шагом t = 1,5, внутренний диаметр которой d 1 = d - t = 8-1,5 = 6,75 > 6,7 мм. В этом случае при данных исходных величинах выбран один и тот же диаметр болта М8. Но это не говорит о том, что нужно пренебрегать кручением. Например, получив в первом случае d 1 = 4,9 мм, был бы выбран болт М6, у которого d 1 = 6-1 = 5 мм > 4,9 мм. А во втором случае на 14 % больше, т. е. d 1 = 1,14 4,9 = 5,6 мм. Для него нужно выбирать болт М8, у которого d 1 = 6,75 > 5,6 мм. Для того чтобы правильно производить затяжку болтов резьбового соединения, нужно знать момент, который нужно приложить к гайке или болту, чтобы получить заданную силу затяжки F. Вернемся к рис Момент, вращающий гайку или болт, должен преодолевать кроме момента М 1 еще момент трения М, предназначенный для преодоления силы трения между гайкой (или головкой винта) и поверхностью крышки или корпуса, которая равна ff, где f коэффициент трения. Момент трения d cp М ff, (14.15) где d cp средний диаметр, который равен среднему арифметическому между размером гайки или головки болта под ключ S и наружным диаметром резьбы d: S d d cp. (14.16) Учитывая изложенное выше, определим момент затяжки болта d d cp М М1 М P F f. (14.17) Болтовое соединение нагружено поперечной силой Листы 1 и стянуты болтом 3 и гайкой 4 силой F 0, которая растягивает болт, а болт с гайкой в свою очередь стягивают (сжимают) листы 1 и. Осевые силы F 0 это реакции листов, которые отжимают от себя головку болта и гайку, растягивая болт. Поверхностные силы F 0 это силы, которыми головка болта и гайка сжимают листы. Силы Q стремятся сдвинуть листы. Между болтом и отверстием в листах имеется зазор, поэтому болт не может, как заклейка, заполняющая отверстие без зазора, удерживать листы своим стержнем. Для того чтобы листы не сдвинулись, нужна сила трения Т между листами, которая была бы больше Q. Т = f F 0 Q, (14.18) где f коэффициент трения.

148 148 F 0 : Из уравнения (14.18) определим необходимую силу затяжки болта Рис.14.9 F 0 Q / f. (14.19) Для надежности болт нужно затянуть с запасом до силы F: F = F 0 = Q / f. (14.0) Уравнение (14.0) удовлетворяет неравенство (14. 19), так как F 0 всегда больше Q/f. При затяжке болт будет испытывать совместное действие растяжения и кручения, поэтому аналогично предыдущему параграфу эквивалентное напряжение и условие прочности будут определяться определяться по формуле 4F э 1,3 1,3 [ ] p, (14.1) d1 из которой можно определить диаметр болта 1,3 4F d1. (14.) [ ] 15. РЕМЕННЫЕ ПЕРЕДАЧИ Общие положения Ременная передача предназначена для передачи энергии от двигателя к другим передачам с преобразованием скорости и крутящего момента. Ременную передачу применяют в том случае, когда вал двигателя расположен на некотором расстоянии от вала следующей передачи. Ременная передача состоит (рис. 15.1) из ведущего шкива 1, ведомого шкива и ремня 3. При движении ремень передает силу от ведущего шкива к ведомому за счет трения, возникающего между ремнем и шкивами. Ремень подбирают из гибкого материала, имеющего большой коэффициент трения с материалом шкивов. Наибольшее распространение получили резинотканевые ремни. Ремни выполняют в виде кольца, длина которого L стандартизирована. По форме поперечного сечения ремни p

149 149 различают: плоские (рис. 15.), у которых ширина в значительно больше толщины, клиновые 3, круглые 5, поликлиновые, зубчатые. Рис.15.1 Достоинства ременных передач: плавность и бесшумность работы, возможность передачи вращения на большие расстояния, простота конструкции и эксплуатации, гашение вибраций, предохранение от перегрузок и поломок за счет проскальзывания ремня, низкая стоимость передачи. Недостатки ременных передач: большие габариты, непостоянство передаточного отношения из-за проскальзывания ремня, низкая долговечность ремня. Мощность, передаваемая ременной передачей, не превышает 50 квт. Скорость ремня v = м/с. Ременные передачи применяют в быстроходной ступени привода машины, где скорость велика, передаваемые крутящие моменты малы, а габариты передачи в результате этого невелики. Наибольшее передаточное отношение ременной передачи u 7 у передач с большим межосевым расстоянием, а обычно выбирают u 3. Распространенной и простой является плоскоременная передача (рис. 15., а). Ее применяют при высоких скоростях (полиамидные ремни позволяют двигаться со скоростью v = 100 м/с) и больших расстояниях между валами. Клиноременная передача (рис. 15., б) отличается от плоскоременной тем, что ремень 3 размещается в клиновой канавке шкива 4. Ременная передача передает силу через ремень, который натягивается и заклинивается в канавке, угол которой 40, на боковых поверхностях ремня вследствие сдавливания возникают большие силы трения, которые исключают проскальзывание и повышают тяговую способность ремня.

150 150 Тяговая способность клинового ремня в три раза больше, чем плоского. Поэтому в силовых приводах применяют клиноременную передачу. Диаметры шкивов d 1 и d определяют передаточное отношение между валами I и II (рис. 15.1) u 1 = d / d 1 = 1 /. (15.1) Несмотря на стремление проектировщика уменьшать габариты передачи, диаметры шкивов не следует выбирать минимальные. Чем больше диаметры, тем больше скорость ремня, тем меньше его тяговая сила и выше КПД передачи. Для предварительного выбора диаметра меньшего (ведущего) шкива применяют эмпирическую формулу Рис.15. d M 1, (15.) где d 1 диаметр ведущего шкива, мм; М 1 крутящий момент, Н м. Полученное значение d 1 нужно округлить до ближайшего стандартного. Диаметр большого шкива определяют по формуле d = d 1 u 1, (15.3) а полученный результат округляют до стандартного из ряда стандартных чисел: 63, 71, 80, 90, 100, 11, 15, 140, 160, 180, 00, 4, 50, 80, 315, 355, 400, 450, 500, 560, 630, 710, 800, 900, 1000 мм. Межосевое расстояние (см. рис. 15.1) ременной передачи определяется по формуле = с d, где с коэффициент, зависящий от передаточного отношения u 1. Значение коэффициента с (ГОСТ ) Таблица 15.1 u с 1,5 1, 1 0,95 0,9 0,85 По выбранному ориентировочному межосевому расстоянию и диаметрам d 1 и d определяют расчетную длину ремня по формуле y L а w, (15.4) а

151 151 где w = 0,5 (d 1 +d ); у = 05 (d - d 1 ). (15.5) Вычисленную расчетную длину ремня L округляют до ближайшей стандартной по ГОСТ из ряда чисел: 500, 560, 630, 710, 800, 900, 1000, 110, 150, 1400, 1600, 1800, 000, 40, 500, 800, 3150, 3550, 4000, 4500, 5000, 5600, мм. Окончательно межосевое расстояние определяют по формуле a 0, 5 [ L w ( L w) 8у ]. (15.6) Угол обхвата d 1 малого шкива (см. рис. 15.1) это угол дуги шкива, на которой ремень прилегает к шкиву. Так как ведомый шкив больше, угол обхвата малого шкива меньше 180, т. е При d 1 = d угол 1 = 180. Чем больше передаточное отношение u 1, тем больше диаметр ведомого шкива и тем меньше угол обхвата. С уменьшением угла обхвата сцепление ремня с меньшим шкивом уменьшается и тяговая способность передачи понижается. Угол обхвата ремнем малого шкива определяют по формуле 0 0 d d (15.7) a Для того, чтобы создать нормальное сцепление между ремнем и шкивом, когда силы трения будут способны передавать тяговую силу ремня, последний должен быть прижат к шкиву нормальными силами (силами, перпендикулярными поверхности шкива). Эти силы можно создать, если вал I (см. рис и 15.3) толкать влево штангой 1, поджимаемой пружиной, силой Р. Тогда шкив 3 (см. рис. 15.3) будет двигаться влево и натянет ветви ремня 4 и 5, в которых возникнут силы натяжения F O, а ремень будет прижат к шкиву. Чем больше F O, тем выше тяговая способность передачи. В состоянии покоя и на холостом ходу, т. е. при отсутствии нагрузки, ведущая 5 и ведомая 4 ветви ремня натянуты одинаково силами F O (рис. 15.3, а). Когда ведомый шкив (см. рис. 15.1) нагружен, на нем возникает момент М, который препятствует движению. Движущий момент М 1 и момент сопротивления М растягивают ведущую (нижнюю) ветвь ремня силой F. Эта сила F называется тяговой силой. Именно с этой силой ведущий шкив 1 тянет ведомый шкив, заставляя его вращаться. При появлении нагрузки (момента М ) и возникновении силы F в ведущей ветви ремня силы натяжения в ремне перераспределяются. В ведущей ветви (рис. 15.3, б) натяжение увеличивается до силы F 1, а в ведомой ветви уменьшается до величины F. Но сумма сил остается постоянной, т. е. F 0 = F 1 + F. (15.8)

152 15 Рис.15.3 Это объясняется тем, что ремень это упругая замкнутая нить. На холостом ходу она одинаково растянута сверху и снизу. Силы F 0 это силы упругости, которые прямо пропорциональны удлинению. Под нагрузкой нижняя (ведущая) ветвь получает дополнительное удлинение и сила упругости увеличивается: F 1 = F 0 + F, (15.9) а верхняя (ведомая) ветвь укорачивается и сила упругости уменьшается F = F 0 - F. (15.10) Удлинение + L ведущей ветви компенсируется укорочением - L ведомой ветви, а геометрическая длина ремня до нагрузки и после нагрузки неизменна. То же происходит и с силами. Если сложить левые части уравнения (15.9) и (15.10), то получим F 1 + F (см. правую часть уравнения (15.8). Если сложить правые части уравнений (15.9) и (15.10), то получим F 0 (см. левую часть уравнения (15.8). Начальное напряжение в ремне от сил натяжения 0 F 0 S, (15.11) где F 0 начальное натяжение в ремне, Н; S площадь поперечного сечения ремня, мм (табл. 15.). Для клиновых ремней нормального сечения о = 1, МПа. Скорость ремня одновременно является окружной скоростью малого (ведущего) шкива и окружной скоростью большого (ведомого) шкива d1n1 dn v, (15.1) где v скорость ремня, м/с; d 1 и d диаметры шкивов, мм; n 1 и n частоты вращения шкивов, об/мин.

153 153 Крутящий момент на ведущем шкиве М 1 определяют по мощности N 1 и частоте вращения n 1 N 1 М 9, 55. (15.13) 1 n 15.. Расчет ременной передачи Расчет ременной передачи производят по критериям тяговой способности и долговечности. Расчет по тяговой способности является основным, а расчет на долговечность проверочным. Для силовых передач применяют в основном клиноременные передачи, поэтому расчет будет посвящен этой передаче. Расчет клиноременной передачи по тяговой способности. Клиновые ремни бывают четырех основных поперечных сечений, которые обозначаются буквами О, А, Б, В. Ремень сечения О самый тонкий, а В самый толстый. Стандарт предусматривает более толстые ремни сечений Г, Д и Е, которые в данном курсе не рассматриваются. Таблица 15. Размеры клиновых ремней и диаметры шкивов согласно ГОСТ Обозначение сечения b, мм Размеры (см. рис и 15.) h, мм S, мм Расчетная длина ремня L, мм 1 Минимальный диаметр d 1, мм Допустимый крутящий момент М 1, Н м О <5 А Б 17 10, В 13, В табл. 15. приведены размеры клиновых ремней согласно ГОСТ Клиновые ремни изготовляют семи типоразмеров: О, А, Б, В, Г, Д и Е. Наибольшее применение имеют первые четыре (основные). Меньший шкив диаметром d 1 устанавливают обычно на валу электродвигателя, поэтому угловая скорость 1 и момент М 1 относятся к электродвигателю. Нужное сечение или типоразмер ремня выбирают в зависимости от мощности электродвигателя и скорости ремня v по табл Допускаемая скорость для клиновых ремней составляет 5-30 м/с. Когда выбрано сечение ремня, выбирают в зависимости от типоразмера ремня, его скорости и диаметра меньшего шкива допускаемую мощность на один ремень N 0 по табл Клиновые передачи делают, как правило, многоременные. Число ремней z выбирают от -х и более. Требуемое число ремней z определяют по формуле

154 154 z N 1 N 0, (15.14) где N 1 передаваемая мощность ременной передачи. Если меньший шкив установлен на электродвигатель, то N 1 = N э ; N 0 допустимая мощность на 1 ремень. Таблица 15.3 Сечение клинового ремня в зависимости от мощности и скорости Передаваемая Сечение ремня при скорости, м/с мощность N 1, КВт О, А О, А О - 4 О, А, Б О, А О, А 4-7,5 А, Б О, А, Б О, А 7,5-15 Б, В А, Б А, Б В Б, В Б, В В В, Г Таблица 15.4 Мощность N 0, передаваемая одним клиновым ремнем при натяжении, соответствующем 0 = 1, МПа, угле обхвата = и спокойной односменной работе Сечение меньшего Диаметр Номинальная мощность, квт, при скорости ремня v, м/c ремня шкива d 1, мм ,1 0, 0,49 0,8 1,03 1,11 1,18 О 71 0,1 0,4 0,56 0,95 1, 1,37 1,4 80 0,14 0,7 0,6 1,07 1,41 1,6 1, ,1 0,4 0,84 1,39 1,75 1,88 1,75 А 100 0,1 0,43 0,95 1,6,07,31,9 11 0, 0,48 1,05 1,8,39,74, ,75 1,39,6,88,94,5 Б 140-0,85 1,61,7 3,45 3,83 3, ,97 1,83 3,15 4,13 4,73 4, ,33,77 4,59 5,8 6,33 5,9 В 4-1,43 3,15 5,36 6,95 7,86 7, ,63 3,45 6,03 7,65 8,65 8,75 При проектном расчете по заданной мощности N 1, частоте вращения вала n 1 и условиям работы передачи, определяемым коэффициентом С, определяют сечение и число ремней z, основные размеры шкивов d 1 ; d и ширину b. При проверочном расчете определяют допускаемую мощность.

155 155 В табл приведены мощность N 0, передаваемая одним ремнем при натяжении, соответствующем напряжению 0 = 1, МПа, угле обхвата = 180 0, что соответствует u = 1 и d 1 = d, спокойной односменной работе. Мощность, передаваемая клинопеременной передачей, состоящей из z ремней, равна N 1 = N 0 z С 1 С С 3, (15.15) где С 1 коэффициент угла обхвата, С коэффициент режима работы; С 3 скоростной коэффициент. Коэффициент угла обхвата С 1 определяется по табл Коэффициент угла обхвата С 1 Таблица 15.5 Угол обхвата Коэффициент С 1 1 0,98 0,96 0,93 0,9 0,87 0,83 0,79 0,74 0,68 При односменной работе значения коэффициента С следующие: при спокойной нагрузке С = 1,0; при умеренных колебаниях С = 0,9; при значительных колебаниях С = 0,83. При двухсменной работе значение коэффициента умножают на 0,9, получая соответственно значение С : 0,9; 0,81 и 0,75. При трехсменной работе значение коэффициента умножают на 0,71, получая соответственно значение С : 0,64; 0,57; 0,53. Скоростной коэффициент, учитывающий ослабление сцепления ремня со шкивом под действием центробежной силы С 3, определяется по табл в зависимости от величины скорости ремня v. Таблица 15.6 Значение коэффициента С 3 Скорость ремня v, м/с Коэффициент С 3 1,05 1,04 1 0,94 0,85 0,74 0,60 Число ремней в передаче берут до 8. Силы, действующие на валы Р, определяют по формуле т F 0 z sin, (15.16)

156 156 где F 0 силы предварительного натяжения ремней, соответствующие напряжению в ремнях 0 = 1, МПа. Если по условиям работы передачи предварительное натяжение уменьшается до величины 0 = 0,9 МПа, то силы F 0 и Р понижаются на 5 %, мощность, передаваемая одним ремнем N 0 понижается на 0 %, а число необходимых ремней возрастает на 5 % по сравнению с теми же величинами при 0 = 1, МПа. Если натяжение увеличить до 0 = 1,5 МПа, то силы F 0 и F в возрастают на 5 %, мощность N 0 возрастает на 10 %, а число ремней z уменьшается на 10 %. Долговечность ремня это способность сопротивляться усталостному разрушению (трещины, надрывы, расклеивание и др.), которое зависит от характера и частоты циклов изменения напряжений, т. е. числа изгибов и разгибов ремня в единицу времени. Критерием усталости является допускаемая частота пробегов ремня, которая обеспечивает долговечность ч. Условие долговечности выражается формулой v w [w], (15.17) L где w частота пробегов ремня, с -1 : чем больше, тем больше частота циклов и тем меньше срок службы ремня; v скорость ремня, м/с; L длина ремня, м; [w] допускаемая частота пробегов ремня в секунду для клиновых ремней [w] = 10 с - 1. КПД ременной передачи определяется потерями на трение ремня о шкив, на упругое трение ремня при изгибах. Для клиноременных передач при нормальных условиях работы = 0,95. Порядок расчета клиноременной передачи разберем на примере (рис. 15.4) ленточного транспортера. Дано: тяговая сила ленты транспортера F t = 3,3 кн; скорость движения Рис.15.4

157 157 ленты транспортера v = 80 м/мин; диаметр барабана d б = 300 мм; КПД транспортера = 0,87, КПД ременной передачи рп = 0,87, КПД зубчатой передачи зп = 0,87 (с учетом подшипников). Выполнить кинематический расчет передачи, если нагрузка спокойная, работа двухсменная. Р е ш е н и е 1. Определяем мощность электродвигателя N э = N 1 = N / = F t v/ = 3,3 1,33/0,87 = 5,05 квт; т.к. скорость v = 80 м/мин =1,33 м/с.. Определяем частоту вращения вала III 1000v n3 10об/мин. d б Выбираем электродвигатель с синхронной частотой вращения 1500 об/мин, тип двигателя 4А11МЧ, мощность N э =5,5 квт, асинхронная частота вращения n э = 1445 об/мин. 4. Определяем передаточное отношение передачи транспортера u 13 = n э / n з = 1445 / 10 = 14,, где n з частота вращения вала III; u 13 передаточное отношение между валами I и III. Принимаем передаточное отношение зубчатой передачи u 1 = 4, тогда передаточное отношение ременной (между валами II и III) u 3 = u 13 / u 1 = 14, / 4 = 3, Определяем частоты вращения и угловые скорости валов и уточняем скорость движения ленты транспортера: n 1 = n э = 1445 об/мин; 1 = n 1 / 30 = 1445/30 = 151,3 c -1 ; n = n 1 / u 1 = 1445 /4 = 361, об/мин; = 1 / 4 = 151,3 / 4 = 37,8 c -1 ; n 3 = n 1 / u 13 = 1445 /14, = 101,8; 3 = 1 / 14, = 151,3 / 14, = 10,65 c -1. v = d б n 3 / 1000 = ,8 об/мин / 1000 = 79,95 м/мин. 6. Определяем вращающие моменты на валах М 1 = М э = N э / э = N 1 / 1 = 5, / 151,3 = 36,35 Н м; М = М 1 u 1 зп = 36,35 4 0,97 = 141 Н м; М 3 = М 1 u 13 зп рп = 36,35 14, 0,97 0,95 = 475 Н м. Уточняем тяговую силу транспортера F t = М 3 лт / d б = 475 0,94/ 0,5 = 3570 Н = 3,57 кн, где ЛТ КПД механизма барабана-ленты транспортера. 7. По мощности N э = 5,5 квт и крутящему моменту на ведущем (малом) шкиве ременной передачи М 1 = 36,35 Н м выбираем сечения ремня по табл. 15. и Это два сечения Б и В. Для уточнения выбора определяем диаметр меньшего шкива по формуле (15.) d M1 36, мм. Округляем до ближайшего стандартного d 1 = 160 мм.

158 Определяем скорость ремня v = d 1 n / = / = 3 м/с, где d 1 диаметр меньшего шкива, мм. 9. Окончательно по табл выбираем сечение ремня Б, для которого при скорости 3 м/с интерполированием определяем мощность N 0, передаваемую одним ремнем, N 0 = 1,6 квт. 10. Определяем диаметр ведомого (большего) шкива по формуле (15.3) d = d 1 u 3 = 160 3,54 = 566 мм. Округляем до ближайшего стандарта d = 560 мм. 11. Определяем межосевое расстояние (рис. 15.1) по формуле = с d = 0, = 543 мм, где с коэффициент, выбираемый по табл Находим расчетную длину ремня по формуле (15.4), где по формуле (15.5) определяем величины w = 0,5(d 1 + d ) = 0,5 ( ) = 1131 мм; у = 0,5(d - d 1 ) = 0,5( ) = мм. Подставив значения и у в формулу (15.4), получим L = а + w + у/а = /543 = 90 мм. Округляем до ближайшей стандартной L = 40 мм. 13. Уточняем межосевое расстояние по формуле (15.6) a 0,5[ L w ( L w) 8 ] 0,5[ (401131) =588 мм. 14. Определяем угол обхвата ремнем малого шкива по формуле (15.7) 0 0 d d a Определяем число ремней по формуле (15.15), где с 1 коэффициент угла обхвата по табл. 15.5, с 1 = 0,9; с коэффициент режима работы при спокойной нагрузке и двухсменной работе (см. текст под табл. 15.5) с = 0,9; с 3 скоростной коэффициент по табл. 15.6, с 3 = 1,04: N 5,5 z 1 5, шт. N0 c1 c c3 1,6 0,9 0,9 1,04 Округляем число ремней до целого числа z = 6 шт. 16. Проверяем долговечность ремня по формуле (15.17) v 3 w 1,3c 1 [ w] 10с -1. L,4 16. ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ Общие сведения Зубчатая передача состоит из двух колес, на поверхности которых сделаны зубья. Зубья колес сцепляются друг с другом. С помощью зубьев ведущее колесо двигает ведомое колесо. Меньшее зубчатое колесо

159 159 называется шестерней, а большее колесом. Их общее название «зубчатые колеса». Зубчатая передача предназначена для передачи вращательного движения между близко расположенными валами. Применяют зубчатые передачи во всех отраслях машиностроения и приборостроения. Достоинства: постоянство передаточного отношения, компактность, высокая нагрузочная способность, высокая надежность и долговечность (40000 ч), простота в эксплуатации, широкий диапазон мощностей до 10 0 тысяч киловатт, высокий КПД ( = 0,97 0,98). Недостатки: шум во время работы, высокие требования к точности изготовления и монтажа, вибрации. Зубчатые передачи различают: цилиндрические, конические, винтовые, червячные и реечные. Кроме этого бывают открытые передачи и закрытые, т. е. помещенные в корпус или кожух. Передачи бывают прямозубые, косозубые, с шевронным и круговым зубом. На рис изображена упрощенная модель зубчатой передачи. Шестерня и колесо изображены как два диска диаметрами d 1 и d. Окружности дисков касаются друг друга и называются начальными. Точка касания П начальных окружностей называется полюсом зацепления. Вращающаяся шестерня увлекает за собой колесо, причем катятся они друг по другу без скольжения. Поскольку точка касания (полюс П) принадлежит и шестерне и колесу, ее окружная скорость v едина для колеса и для шестерни. Из теоретической механики известно, что d1 n1 d n v r 1 r. (16.1) Передаточным отношением называют отношение угловых скоростей шестерни и колеса: 1 n1 d u 1. (16.) n d1 При вращении зубчатые колеса катятся друг по другу по начальным (см. рис. 16.1) окружностям. Если по дуге начальной окружности измерить расстояние между одноименными сторонами соседних зубьев колеса (рис. 16.), то это расстояние называется шагом и обозначается буквой t. Начальная окружность делится на z шагов, где z это число зубьев зубчатого колеса. Таким образом, если умножить шаг t на число зубьев z, то получим длину начальной окружности. С другой стороны, длина начальной окружности равна произведению ее диаметра d на число. Обозначив длину окружности буквой С, получим С= d = t z. (16.)

160 160 где Решая уравнение (16.) относительно t, имеем d t m, (16.3) z m d z. (16.4) Отношение диаметра начальной окружности к числу зубьев шестерни или колеса называется модулем и обозначается буквой m. Модуль это часть диаметра начальной окружности, приходящаяся на 1 зуб. Рис.16.1 Рис.16. Модуль m измеряется в миллиметрах, а его значения стандартизированы. Стандартный ряд модулей: 1; 1,5; 1,5; ;,5; 3; 4; 5; 6; 8; 10 и т. д. до 100 мм. Модуль основной параметр зубчатых колес. Через него определяются все геометрические параметры. Начальная окружность делит все зубья на две части: головку зуба и ножку зуба (рис. 16.). Высота головки зуба принята равной модулю и обозначается h а : h а = m. (16.5)

161 161 Высота ножки h f зуба принята равной h f = 1,5 m. (16.6) Полная высота зуба h будет равна сумме высот головки и ножки h = h а + h f = m+ 1,5 m =,5 m. (16.7) Диаметр начальной окружности определяется из формулы (16.4) d = m z. (16.8) Окружность, которая описывает вершины головок зубьев, называется окружностью вершин. Ее диаметр складывается из диаметра начальной окружности, к которому с каждой стороны прибавлено по высоте головки зуба, т. е d a = d + h a = mz + m = m (z+). (16.9) Окружность, которая описывает впадины зубьев, называется окружностью впадин. Ее диаметр является разностью между диаметром делительной окружности и двумя высотами ножек зубьев (с каждой стороны по одной ножке), т. е. d f = d h f = m z x1,5 m = m (z,5). (16.10) Для того чтобы вершина головки зуба одного колеса не задевала донышко, впадины между зубьями другого колеса, между вершиной и впадиной делают зазор c (рис. 16.3). Нужно, чтобы впадина была глубже вершины зуба. Вот для этого высоту ножки зуба делают больше, чем головки. Из чертежа (см. рис. 16.3) видно, что величина зазора c является разностью между высотами ножки и головки зуба, т. е. c = h f h a = 1,5m m = 0,5 m. (16.11) Межосевое расстояние двух сопряженных зубчатых колес (см. рис и 16.3) складывается из двух радиусов начальных окружностей О 1 П = r 1 = d 1 / и O П = r = d /: d1 d mz1 mz z1 z a r 1 r m. (16.1) Ширина зубчатого колеса b (см. рис. 16.) определяется по формуле b = m, (16.13) где коэффициент ширины зуба. Боковые поверхности зубьев очерчены кривыми, которые называются «эвольвента» (см. рис ), поэтому изучаемый нами вид зацепления называется эвольвентным. При вращении зубчатых колес зуб шестерни перекатывается по зубу колеса. Точка касания зубьев при вращении колес движется по прямой АВ, которая называется общей нормалью. Зуб шестерни встречается с зубом колеса в точке D, далее перекатывается по зубу колеса таким образом, что точка касания (контакта) зубьев движется по прямой АВ, затем в точке С зуб шестерни расцепляется с зубом колеса. Отрезок СD называют длиной зацепления, а отрезок АВ линией зацепления.

162 16 Если провести линию NN через точку П перпендикулярно к линии центров О 1 О, то линия NN будет касательной к начальным окружностям зубчатых колес. Угол, образованный касательной NN и линией зацепления АВ, называют углом зацепления. Его значение согласно стандарту = 0 0. Опустим перпендикуляры из центров О 1 и О на общую нормаль АВ. Окружности, описанные радиусами О 1 А и О В, называют основными. Скорость точки А находим по формуле v = 1 АО 1. (16.14) При вращении колес линия АВ остается перпендикулярной к О 1 А, следовательно, скорость точки вдоль линии АВ будет определяться формулой (16.14), т. е. будет величиной постоянной. Скорость точки В, определенная через параметры колеса, v = О В. (16.15) Так как скорость в точке А равна скорости в точке В, уравнение (16.14) и (16.15) можно приравнять. v = 1 О 1 А = О В = const (16.16) или с учетом формулы (16.) O B u 1 1 const. (16.17) O1 A Из подобия треугольников О 1 АП и О ВП находим OB Oп d d. (16.18) O1 A O1п d1 d1 Из формулы (16.8) мы можем получить d 1 = mz 1 ; d = mz. (16.19) Решив совместно уравнения (16., и 16.19), получим 1 d z u1. (16.0) d1 z1 Из вышесказанного следует важный вывод: передаточное отношение зубчатой передачи есть величина постоянная. Шестерня (рис. 16.4) приводится в движение моментом М 1. Зуб шестерни толкает зуб колеса и, преодолевая момент сопротивления М, вращает колесо. Силы взаимодействия F согласно законам статики направлены «перпендикулярно» к поверхностям в точке касания, а точнее по нормали n-n, которая называется общей нормалью.

163 163 Рис.16.3

164 164 Разложим силу F для удобства расчетов на две составляющие: окружную, или тангенциальную силу F t, и радиальную F r. Окружную силу можно определить через момент и диаметр по формуле F t M d, (16.1) где М крутящий момент на зубчатом колесе; d диаметр начальной окружности или начальный диаметр. Радиальную силу определяют через окружную. F r = F t tg. (16.) Силу нормального давления между зубьями находят либо по теореме Пифагора, либо через окружную силу F F t F p ;F=F t / cos,(16.3) где угол зацепления. Момент М 1 = F t d 1 / является движущим моментом, а момент М = F t d / является моментом сопро-тивления. Рис.16.4 В точке С сила F приложена к вершине зуба шестерни, а в точке D сила F приложена к вершине зуба колеса Расчет зубьев цилиндрических колес Для изготовления зубчатых колес принимают, главным образом, конструкционную сталь. Шестерня имеет меньшее число зубьев, вращается быстрее, каждый ее зуб чаще входит в зацепление, поэтому интенсивнее изнашивается. Чтобы выровнять долговечность шестерни и колеса, шестерню делают тверже, чем колесо, примерно в 1,5 раза. Есть вторая причина. В начальный период работы зубчатого зацепления зубья должны притираться (прирабатываться) друг к другу, чтобы получился правильный эвольвентный профиль зубьев. Для этого шестерню делают

165 165 тверже, точнее и шире, чем колесо. Шестерня как более твердая является притиром для зубьев колеса. Изнашивается и притирается колесо, а шестерня не изменяет ни форму, ни размеры. Поэтому шестерня должна изготавливаться точнее. Чтобы зуб колеса равномерно притирался по всей ширине, зуб шестерни должен быть шире колеса. Для повышения долговечности зубчатые колеса делают тверже «сырых» сталей. Для этого применяют метод термической обработки. Зубчатое колесо нагревают до высокой температуры, а затем быстро охлаждают в воде или масле. Этот метод называют закалкой. Закалка повышает не только твердость, но и прочность стали. По твердости зубьев стальные колеса делят на две группы: с твердостью НВ 350 и с твердостью НВ 350. Зубчатые колеса первой группы вначале начерно изготавливают и закаливают до твердости НВ 350. Затем производят чистовое нарезание зубьев, т. к. такая твердость позволяет это делать фрезами, резцами, долбяками. Зубчатые колеса хорошо прирабатываются и имеют достаточную вязкость, чтобы хорошо сопротивляться изгибу и излому от ударной нагрузки. Зубчатые колеса второй группы имеют другую технологию изготовления. Подавляющее большинство зубчатых передач в настоящее время делают закрытыми, помещенными в специальный корпус. Внутри корпуса обеспечивается хорошая смазка и туда не попадает пыль и другие виды загрязнений, частицы которых твердые и, попадая между зубьями, царапают и изнашивают их. Критерием работоспособности и долговечности закрытых передач является контактная прочность зубьев, для повышения которой применяется закалка до твердости НВ 350. Такая твердость зубьев не позволяет нарезать их после закалки, поэтому нарезание зубьев делают до закалки, а после их шлифуют до высокой точности. Вместо приработки, исправляющей форму зубьев, применяют шлифовку. Этот метод дорогой, но он используется для повышения нагрузочной способности передачи, уменьшения ее габаритов и повышения долговечности. Рис.16.5

166 166 Зубчатые колеса повреждаются, главным образом, по трем причинам: абразивным износом боковых поверхностей зубьев (рис. 16.5, а), усталостным выкрашиванием боковых поверхностей зубьев (рис. 16.5, б) и поломкой зубьев (рис. 16.5, в). Абразивный износ возникает в открытых передачах, где на зубья оседает пыль и другие абразивные частицы. Когда они попадают между зубьями, то царапают боковые поверхности, постепенно изнашивая их. Износ боковых поверхностей уменьшает толщину зуба и нарушает зацепление зубьев, их эвольвентный профиль. Чем зуб тоньше, тем напряжения от изгиба в нем больше. Возрастание напряжений ведет к поломке зубьев. В закрытых зубчатых передачах при обильной смазке наблюдается усталостное выкрашивание рабочих поверхностей зубьев. Суть его заключается в следующем. Каждый зуб за один оборот встречается с зубом сопряженного колеса. Зубья давят друг на друга, а затем расстаются до следующей встречи. Вот эти надавливания напоминают удары молотка, в результате которых поверхностный слой зубьев уплотняется, а затем начинает растрескиваться. Образуются отдельные чешуйки, которые потом отслаиваются и выкрашиваются. На их месте образуются язвочки, которые в дальнейшем разрастаются, как оспа. Боковая поверхность зуба выходит из строя. Периодическое нагружение и разгружение зубьев приводят к тому, что у корня зуба возникают растягивающие и сжимающие переменные напряжения изгиба, которые с течением времени приводят к появлению трещин, а затем и к поломке зуба. Этим видом разрушения пользуются в быту, когда нужно отломить кусок стального провода. Его начинают перегибать взад вперед до появления сначала трещин, а потом и поломки. Такой вид разрушения присущ и открытым и закрытым передачам. Расчет зубьев на изгиб предназначен для определения модуля зубчатого зацепления. При расчете (рис. 16.6) зуб рассматривают как консольную балку АВ равного сопроти-вления, силу F прикладывают к вершине зуба шестерни в точке С (см. рис. 16.4). Вершина зуба наиболее удалена от основания, и изгибающий момент от силы F получается наибольший. Опасным принимают сечение 1-1 у корня зуба. Силу F переносим по линии ее действия в точку В, а затем раскладываем на две составляющие F t и F r [см. формулы (16.1); (16.) и (16.3)]. Окружная сила F t изгибает зуб, а радиальная сила F r сжимает его. Наибольший изгибающий момент М u = F t h p, (16.4) где h p расчетная длина консоли или плечо силы F t относительно сечения 1-1.

167 167 Сечение 1-1 имеет прямоугольную форму. Ширина зубчатого колеса (длина зуба) b = m (см. рис. 16. и формулу (16.13)). Толщину зуба у основания обозначим буквой l. Величины h p и l пропорциональны модулю: h p = km; l = qm, где k и q коэффициенты, зависящие от формы зуба, от угла и числа зубьев z. Осевой момент сопротивления в сечении 1-1 Рис.16.6 b l W x. (16.5) 6 Если пренебречь напряжениями от сжатия, которые сравнительно малы по отношению к напряжениям от изгиба, то условие прочности зуба на изгиб имеет вид M u [ u ]. (16.6) Wx Предельный момент из формулы (16.6) M u F t h p W x [ u ]. (16.7) Подставив в формулу (16.7) значения h p ; W х ; в и l, получим bq m Ft km [ u ], 6 или bmq Ft [ u ], 6k q где y называется коэффициентом формы зуба и определяется 6k по табл С учетом этого

168 168 F t bmy[ u ]. (16.8) Таблица 16.1 Значение коэффициента У при угле = 0 0 Число зубьев У 0,9 0,304 0,34 0,33 0,339 0,354 0,37 0,398 Число зубьев Рейка У 0,416 0,48 0,44 0,457 0,478 0,481 0,496 0,53 По формуле (16.8) можно проверять допускаемую величину окружной силы. Для проектировочного расчета необходимо определить главный параметр зубчатого зацепления модуль. Подставив в формулу (16.8) значение длины зуба b [см. формулу (16.13)], силы F t из формулы (16.1), начального диаметра d из формулы (16.8), получим M M Ft m m y[ u ] ym [ u ]. d mz Решив это уравнение относительно крутящего момента, получим 3 M ym z[ u ]. (16.9) По формуле (16.9)можно проверять допускаемый крутящий момент. Формулу (16.9) можно переписать в виде (m = b) M [ ] u. (16.30) yzbm По формуле (16.9) делают проверочный расчет зубьев на изгиб. Если формулу (16.9) решить относительно модуля m, то получим M m 3. (16.31) yz[ u ] По данной формуле проводится проектировочный расчет модуля цилиндрической зубчатой передачи. При расчете зубьев на прочность нужно учитывать динамический характер приложения нагрузки F и возможный перекос зубьев. Поэтому рассчитанный по формулам N M 9, ; M 1 1 N ; M M1 u11 и т. д. крутящий n1 1 момент М 1 нужно умножать на коэффициент нагрузки k = 1,3 при

169 169 симметричном относительно опор расположении зубчатого колеса и k = 1,5 при несимметричном. Обычно рассчитывают шестерню, тогда окончательно M 3 1 k m, (16.3) yz1[ u ] где m модуль, мм; М 1 крутящий момент на шестерне, Н мм; У коэффициент формы зуба; z число зубьев шестерни; = 10-0 коэффициент ширины зуба; k коэффициент нагрузки; [ u ] допускаемое напряжение при изгибе, Н/мм. Допускаемые напряжения при изгибе определяются по формуле np N [ ] 9 0 u, (16.33) S N где пр предельное напряжение, МПа; S коэффициент запаса прочности; N 0 базовое число циклов нагружения, для стали N 0 = ; N заданное число циклов нагружения зуба; 9 показатель степени корня. Для нормализованных конструкционных углеродистых сталей при НВ предельное напряжение пр = 1,8 НВ, а коэффициент S = 1,75. Подставив эти данные в формулу (16.33), получим 6 6 1,8НВ u 9 НВ. 1,75 N N По этой формуле можно определить допускаемое напряжение для конструкционных углеродистых сталей с НВ 350. Зачастую выбирают стали твердостью НВ = 80 для шестерни и НВ = 50 для колеса. Выбирая меньшее значение, получим при неограниченном сроке службы 4 10 и НВ МПа. N В приближенных расчетах можно принимать для конструкционных 9 сталей с НВ 350 значение корня N 0 / N 1, а формулу (16.33) переписать в виде [ u ] НВ. (16.34) Расчет зубьев на контактную прочность предназначен для закрытых зубчатых передач, которые работают с обильной смазкой. В них процесс выкрашивания протекает гораздо интенсивнее, чем процесс истирания (изнашивания) зубьев, который характерен для открытых передач. На рис показаны два зубчатых колеса: 1 шестерня и колесо. Их зубья находятся в контакте и прижимаются друг к другу силами F, которые возникают под действием моментов М 1 и М. Зубья 6

170 170 представляют собой два цилиндра с радиусами r 1 и r и длиной b. Силы F равномерно распределяются по длине, в результате получается равномерно распределенная нагрузка q. q = F/b (16.35) На контактирующей поверхности каждого зуба возникают контактные напряжения сжатия, которые в центре контакта на полюсе P максимальные и равны н, удаляясь от центра контакта они убывают, а на краю контакта равны нулю. В районе полюса в первую очередь наблюдается усталостное выкрашивание, поэтому расчет на контактную прочность ведут для этого положения. Расчет заключается в определении наибольших контактных напряжений н и сопоставлении их с допускаемыми [ н ]. Наибольшее контактное напряжение определяется по формуле Герца: Рис.16.7 Н E (1 ) q r, (16.36) E E где E 1 E1 E приведенный модуль упругости; Е 1 и Е модули упругости шестерни и колеса соответственно; если оба колеса стальные, то Е = Е 1 = Е ; q равномерно распределенная или погонная нагрузка на единицу длины зуба; r r r 1 приведенный r1 r радиус кривизны профилей зубьев; r 1, r радиусы кривизны зубьев шестерни и колеса соответственно; коэффициент поперечного сжатия, или коэффициент Пуассона. Еcли коэффициент Пуассона в среднем

171 171 принять равным = 0,3, а действующее напряжение сопоставить с допускаемым, то формула (16.36) примет вид q E Н 0,418 Н, (16.37) r Выразим погонную нагрузку через окружную силу F t и угол зацепления. Из формулы (16.3) имеем F = F t / cos. Подставив это значение F в формулу (16.35), получим q = F t / b cos. (16.38) Если выразить приведенный радиус r через начальный диаметр шестерни d 1 и передаточное отношение u 1, то получим 1 u1 1. (16.39) r d1 sin u1 После подстановки в формулу (16.37) и преобразований получим 0,7E Ft u1 1 H. (16.40) sin bd1 u1 Возведем в квадрат уравнение (16.40) и преобразуем sin F u 1 t 1 H. 0, 7E bd u 1 1 С учетом того, что = 0 0, обозначим sin H CH, (16.41) 0,7 E тогда Ft u1 1 CH [ CH ], (16.4) bd1 u1 где С н коэффициент контактных напряжений, размерность которого такая же, как напряжения; [С н ] допускаемое значение контактных напряжений. Допускаемое значение коэффициента определяют по формуле 0 3 N0 [ CH ] CH N, (16.43) где для стальных колес из стали НВ 350 базовое число циклов N 0 = и при = 0 0 базовый коэффициент контактных напряжений 0 HB 100 C H, (16.44) 100 где НВ число единиц твердости по Бринелю. Если в формуле (16.43) значение корня получается больше,6, то корень нужно брать равным,6. Если N 0 / N 1, то его нужно принимать

172 17 равным единице. В приближенных расчетах можно принимать 3 N / N 1, т. к. при этом [С н ] минимально, тогда 0 HB 100 C H. (16.45) 100 В этой формуле размерность [С н ] в МПа (Н/мм ). Зачастую выбирают твердость шестерни НВ = 80, а твердость колеса НВ = 50. Подставив твердость колеса в формулу (16.45), получим [ CH ] 1,5 МПа. 100 Это значение [С н ] можно закладывать в расчеты при решении задач, если твердость в них не задана. Если в формулу (16.4) подставить F t = М 1 / d 1 ; d 1 = mz 1 ; b= m и решить ее относительно m, то получим (с учетом коэффициента нагрузки) M1 k u1 1 m 3. (16.46) [ C ] z u H 1 1 где m модуль зубчатого зацепления, мм; k= 1,3 коэффициент нагрузки; [С н ] допускаемый коэффициент контактных напряжений, МПа; = 10 0 коэффициент ширины зуба; z 1 число зубьев шестерни; u 1 передаточное отношение зубчатой передачи Конические передачи Конические зубчатые передачи применяют между валами, оси которых пересекаются. Каждое коническое колесо представляет собой усеченный конус, на боковой поверхности которого нарезаны зубья. Зубья имеют большой размер у основания конуса, а к вершине они уменьшаются. Размеры и форму конических колес определяют следующие элементы: углы начальных конусов 1 шестерни и колеса; конусное расстояние R, представляющее собой длину образующей конуса; максимальный или внешний модуль m, который измеряется на зубе у основания зубчатого колеса. При вращении зубчатых Рис.16.8

173 173 колес начальный или делительный конус шестерни с углом 1 катится без скольжения по поверхности начального или делительного конуса колеса с углом. За 1 оборот шестерни колесо повернется на часть оборота. Отношение частоты вращения шестерни к частоте вращения колеса есть передаточное отношение, которое определяется аналогично цилиндрической передаче: n 1 d 1 z u 1 ctg 1. (16.47) n d z1 Конусное расстояние (внешнее) d R 1. (16.48) sin 1 Профилирование эвольвентных зубьев конических колес выполняют на поверхностях внешних дополнительных конусов с вершинами О 1 и О (рис. 16.9), образующие которых перпендикулярны образующим делительных конусов. Образующие делительных конусов О 1 П и О П являются радиусами делительных (начальных) окружностей эквивалентных цилиндрических зубчатых колес, профили зубьев которых используют в качестве профилей зубьев конических колес. Профилем зуба называют его контур в поперечном сечении. Рис.16.9

174 174 Основные геометрические размеры прямозубой конической передачи являются функцией модуля и числа зубьев. Внешние делительные (начальные) диаметры определяются по формулам d 1 = mz 1 ; d = mz. (16.49) Внешнее конусное расстояние вместо формулы (16.48) можно определить по теореме Пифагора: R 0,5 d1 d 0, 5m z1 z. (16.50) Расчеты на прочность зуба проводят для среднего его сечения а а (см. рис. 16.9), для которого среднее конусное расстояние R m равно R m = R - 0,5b. (16.51) В конических зубчатых колесах кроме стандартного модуля m существует средний модуль m m (индекс m от английского middle средний). Средний модуль можно определить через внешний по формуле m m = m (1 b / R), (16.5) где b = m ширина зубчатого венца; коэффициент ширины зуба; m внешний модуль. При проектных расчетах определяют вначале средний модуль m m, а по его величине внешний модуль и все остальные размеры: m m (1 m m ). (16.53) z 1 1 u 1 Сила давления зуба шестерни на зуб колеса F раскладывается на три составляющие F t, F r и F a, которые направлены соответственно по осям Z, Y и X. Ось Х направлена (см. рис. 16.9) параллельно оси ОО. Ось Y параллельно оси ОО 1, ось Z перпендикулярно осям ОО 1 и ОО. Силы F t и F r расположены в плоскости, перпендикулярной оси ОО. Их равнодействующую определяют по теореме Пифагора: 1 F F t F r, где F t окружная сила, вращающая колесо вокруг оси ОО ; F r радиальная сила, направленная по радиусу начальной окружности колеса, которая давит на вал колеса (ОО ). Окружная сила F t (см. рис и 16.9) рассчитывается по формуле (16.1) F t = М 1 / d m1, (16.54) где М 1 крутящий момент на шестерне; d m1 средний начальный диаметр шестерни. Средний начальный диаметр d m1 соответствует среднему сечению зуба в точке П и определяется по формуле d m1 = d 1 (1 0,5b / R). (16.55) Радиальная сила F r рассчитывается по формуле

175 175 F r = F t tg sin 1, (16.56) где = 0 0 угол зацепления; 1 угол конуса шестерни, определяемый по формуле r tg 1 d1 z (16.57) r d z u1 Осевая сила F a определяется по формуле F a = F t tg cos 1. (16.58) Равнодействующая всех сил 1 F ( F ) Fa. (16.59) Конические зубчатые колеса изготавливают из тех же материалов, что и цилиндрические. Повреждения конических колес те же: абразивный износ в открытых передачах, усталостное выкрашивание в закрытых передачах и излом от изгиба открытых и закрытых передач. Закрытые конические передачи рассчитывают на изгиб и контактную прочность. Расчет конических передач на прочность проводят по формулам, аналогичным для цилиндрических передач. Силы, действующие на шестерню, уравновешиваются силами, действующими на колесо по закону равенства действия и противодействия. Поэтому F r = F a1 ; F a = Fr 1. (16.60) Силы F t = F t = F t ; F 1 = F = F, но направлены в противоположные стороны. Осевые силы F a1 и F a всегда направлены от вершины конусов к основанию. Эти силы стремятся раздвинуть зубчатые колеса и сместить их вместе с валами вдоль осей. Для восприятия осевых сил устанавливают на валах радиально-упорные или упорные подшипники. Радиальные силы F r1 и F r направлены к центру конических колес и давят на вал и его опоры в радиальном направлении, как на балку. Для проверочного расчета на изгиб применяют формулу M 1 [ ] u, (16.61) y z1 bm m где М 1 крутящий момент на шестерне, Н мм; у коэффициент формы зуба, определяемый по табл. 16.1; z 1 число зубьев шестерни; b = m m ширина зуба, мм; m m средний модуль, мм, определяемый по формуле (16.5); [ u ] допускаемое напряжение изгиба, МПа. Для проектного расчета конических колес на изгиб применяют формулу

176 176 M1 k mm, (16.6) y z1 m [ u ] где m m модуль в среднем сечении зуба, мм; М 1 крутящий момент на шестерне, Н мм; k = 1,5 коэффициент нагрузки; у коэффициент формы зуба (см. табл. 16.1); z 1 число зубьев шестерни; m = 6 8 коэффициент ширины зуба; [ u ] допускаемое напряжение на изгиб, МПа, определяется по формуле (16.33) или (16.34). Внешний окружной модуль m определяют по формуле (16.53) и округляют в большую сторону до стандартного значения. Затем уточняют средний модуль по формуле (16.5). Для проверочного расчета на контактную прочность применяют уточненное уравнение (16.4). При определении контактного напряжения н в конической передаче переходят к зацеплению эквивалентных зубчатых колес. После преобразования для прямозубого конического колеса получают Ft u1 1 CH [ CH ], (16.63) b dm1 u1 где С Н коэффициент контактных напряжений, МПа; F t окружная сила, Н; b = m m m ширина зубчатого венца, мм; d m1 = m m z 1 начальный диаметр в среднем сечении зуба, мм; u 1 передаточное отношение; [С Н ] допускаемый коэффициент контактных напряжений, МПа, определяется по формуле (16.43) или (16.45). Для проектного расчета на контактную прочность конических прямозубых колес применяют уточненную формулу (16.46). Модуль конической передачи в среднем сечении зуба определяют по формуле m m 3 [ C M H ] 1 k u1 1 z u m ПРОЧИЕ ПЕРЕДАЧИ Винтовые механизмы. (16.64) Винтовые механизмы широко используются в машинах и механизмах для передачи движения поступательно движущемуся рабочему органу. Передачи в машинах имеют вращательное движение. Это быстроходные электродвигатели и двигатели внутреннего сгорания, редукторы, понижающие частоту вращения двигателей, и др. Чтобы вращательное движение преобразовать в поступательное движение рабочего органа, применяют передачу «винт гайка». Передача «винт

177 177 гайка» используется в винтовых домкратах, прессах, станках, приборах и других машинах. На рис.17.1,а приведена схема винтового погрузчика, или штабелёра. Рабочим органом является платформа 1, на которую укладывается груз или контейнер. Заодно с платформой выполнена гайка, в которую ввинчен винт 3. Винт получает вращение от конического колеса z 4, которое, в свою очередь, получает вращение от электродвигателя 4 через передачу z 1 z 4. Рис.17.1 Платформа 1 с гайкой могут двигаться только вертикально по специальным направляющим. Когда винт 3 вращается, гайка с платформой вынуждены двигаться вверх или вниз в зависимости от направления вращения винта. Чтобы не было самопроизвольного опускания платформы с грузом, винтовая пара должна быть самотормозящей.

178 178 Достоинства винтовой передачи: простое получение медленного плавного поступательного движения, выигрыш в силе, большая грузоподъемность, простота конструкции и точность перемещения. Недостаток большие потери на трение в винтовой передаче и, как следствие, низкий КПД. В механизмах, которые передают усилие, например в грузовых и ходовых винтах, применяют трапецеидальную резьбу (рис.17.1,б). Угол профиля резьбы α = Основными параметрами резьбы являются наружный диаметр винта d и шаг резьбы t. Грузовые винты предназначены для подъема грузов или передачи усилий это домкраты, прессы, натяжные устройства и др. Ходовые винты предназначены для преобразования вращательного движения в точное поступательное это металлорежущие станки, штабелеры, хлеборезки и др. Установочные винты для точных установок и регулировок в приборах. Совокупность выступов и впадин на поверхности винта называется резьбой. Контур поверхности резьбы, рассеченной плоскостью, проходящей через ось, называется профилем резьбы (см. рис. 17.1,б). Расстояние между сходными точками профиля, например вершинами выступов, называется шагом резьбы и обозначается буквой t. Если прокатить винт по чистому листу бумаги, то винтовая линия оставит след (рис.17.). Каждая линия следа будет представлять собой наклонную прямую. Угол наклона прямой обозначают буквой λ. Этот угол является углом подъема винтовой линии. Он измеряется по среднему диаметру резьбы d. t tg. (17.1) d Чем меньше шаг винта t и чем больше диаметр винта, тем меньше угол подъема λ. Трение в винтовой паре оценивается углом трения φ, тангенс которого равен T tg f, (17.) N где f коэффициент трения, который при слабой смазке для стального винта и бронзовой гайки равен f = 0,1, а для стального винта и чугунной гайки f = 0,15, следовательно, угол трения φ = 5,7 8,5 0 ; Т сила трения между винтом и гайкой; N нормальная сила давления между витками винта и гайки (см. рис.17.).

179 179 Если угол подъема резьбы λ меньше угла трения φ, то такая резьба называется самотормозящей. Для трапецеидальной пары сталь по бронзе самотормозящий угол λ < 5 0. Если λ > φ, то при действии осевой силы на гайку винт будет вращаться. У грузоподъемных механизмов угол λ должен быть самотормозящим (лучше с запасом λ 3 0 ). То же должно быть у крепежных болтовых соединений. Материал винта должен иметь высокую прочность и износостойкость, поэтому винты изготавливают из конструкционных сталей марок 40, 45, 50 с последующей закалкой. Для уменьшения трения гайку изготавливают из антифрикционных материалов чугуна или бронзы. Основным кинематическим параметром винтовой передачи является шаг винта. Винт представляет собой цилиндр, на который «намотана проволока», имеющая форму треугольника или трапеции. С каждым витком нитка резьбы поднимается на один шаг. Рис.17. За 1 оборот винт передвигает гайку на один шаг t. За n в оборотов винт переместит гайку на расстояние n в t. Поскольку n в оборотов совершается за единицу времени (1 мин), произведение n в t представляет собой путь, пройденный в единицу времени, т.е. скорость v = n в t, (17.3) где v осевая скорость гайки, м/мин; n в частота вращения винта, об/мин; t шаг винта, м. Переходя теперь к схеме (см. рис. 17.1, а), можно определить скорость подъема платформы в зависимости от частоты вращения электродвигателя (n 7 = n 1 ). Частота вращения II-го вала

180 180 z1 n n1, (17.4) z где n частота вращения II-го вала, об/мин; n 1 частота вращения I-го вала, об/мин; z 1 и z числа зубьев шестерни и колеса соответственно. Частота вращения винта (III-го вала) n в = n 3 равна z3 z1 z3 n в n n1, (17.5) z4 z z4 где z 3 и z 4 числа зубьев шестерни и конического колеса. Скорость подъема платформы с гайкой z1 z3 v nв t n1 t. (17.6) z z4 Уравнение (17.6) называется уравнением кинематического баланса. Оно позволяет определить любой входящий в него элемент, если известны другие. Если один виток резьбы винта развернуть (распрямить) по окружности среднего диаметра d, то получится своего рода балка 1 с углом подъема λ (рис.17.). Изобразим гайку в виде прямоугольника, который опирается на балку 1. На гайку действует сила Q, равная весу груза и платформы. Сила Q вызывает нормальную реакцию N и порождаемую ей силу трения Т. Момент относительно оси винта, который нужно приложить к винту, чтобы поднимать груз, М к = 0,5Qd tg(λ+f'), (17.7) где М к = F r = F d / крутящий момент, Н м; d средний диаметр резьбы, м (см. рис.17.1,б); F окружная сила, приложенная по касательной к окружности среднего диаметра резьбы, Н; r = d / средний радиус резьбы, м; λ угол подъема винтовой линии; φ' = arctg f приведенный угол трения в резьбе; f приведенный коэффициент трения. Для винта с трапецеидальной резьбой приведенный коэффициент трения f f, (17.8) cos где f=0,1 0,15 коэффициент трения в винтовой паре; α = 30 0 угол профиля трапецеидальной резьбы. Для трапецеидальной резьбы cos α / = cos 15 0 = 0,966 1, поэтому можно допустить, что f' = f и φ' = φ. Угол подъема резьбы λ можно определить из рис.17. по формуле t = arctg, (17.9) d

181 181 где d средний диаметр резьбы определяют по формуле t d d, (17.10) где d наружный диаметр винта; t шаг. Для обеспечения износостойкости передачи «винт-гайка» нужно, чтобы давление р между гайкой и винтом не превышало допускаемого [р], т.е. Q Q p p, (17.11) dhz d H где р давление от силы Q, распределенное по площади всех витков гайки, МПа; h = 0,5t рабочая высота профиля трапецеидальной резьбы, мм; z = H/t число витков резьбы гайки; Н высота гайки, мм; [р] допускаемое давление, МПа (Н/мм ). Эту формулу применяют для проверочного расчета передачи. При проектном расчете нужно определить диаметр резьбы. Введем обозначение ψ = Н/d, откуда Н = ψd. Сделав эту подстановку в формулу (17.9) и решив ее относительно d, получим Q d, (17.1) p где ψ = 1,,5; допускаемое давление [р] выбирают для пары «стальчугун» [р] = 4 6 МПа; для пары «сталь-бронза» [р] = 8 15 МПа. КПД винтовой пары рассчитывают по формуле tg. (17.13) tg При увеличении угла подъема резьбы λ КПД винтовой пары повышается, но при λ>φ исчезает свойство самоторможения. Максимум КПД наступает при λ Если φ=5 0, то η = 0,84. В самотормозящих винтовых механизмах, если λ<φ = 5 0, КПД будет иметь величину η < 0,5. При λ = 3 0 и φ = 5 0 КПД будет равен η = 0,37. Этот КПД можно закладывать в расчетах винтовых механизмов. Для уменьшения потерь на трение и повышения КПД применяют многозаходные резьбы с углом подъема до 0 5 0, для изготовления гаек используют антифрикционные материалы, а также применяют шариковые передачи «винт-гайка», КПД которых равен 0, Червячные передачи Зубчатые передачи имеют много достоинств (в том числе высокий КПД, высокая надежность и долговечность, простая конструкцию), но им

182 18 присущи и недостатки малое передаточное отношение и 4 5 и сравнительно большой шум при работе. Рис.17.3 Этими недостатками не страдает червячная передача, которая к тому же благодаря большому передаточному отношению (и 00) имеет гораздо меньшие размеры по сравнению с зубчатой. Червячная передача предназначена для передачи вращательного движения с большим передаточным отношением между двумя скрещивающимися валами. Угол скрещивания равен 90 0.

183 183 Червячные передачи применяются в грузоподъемных машинах, в станках, транспортерах, приборах и т.д. К достоинствам червячных передач кроме указанных выше относятся плавность хода, бесшумность работы и возможность получения самоторможения. К недостаткам нужно отнести низкий КПД: для однозаходного червяка η=0,7 0,75, для двухзаходного η=0,75 0,8; повышенный нагрев передачи; применение дорогих антифрикционных материалов. Червячная передача относится к числу зубчато-винтовых передач, имеющих признаки, характерные для зубчатых и винтовых передач. Она состоит (рис.17.3) из червяка 1, представляющего собой винт, и червячного колеса, которое является разновидностью косозубого колеса. Червяк, изготовленный заодно с валом, вращает червячное колесо, расположенное на другом валу. Движение осуществляется по принципу винтовой пары: винтом является червяк, а червячное колесо это длинная полоска гайки, которую свернули в кольцо резьбой наружу. В силовых передачах применяют диапазон передаточных отношений и = 10 80, реже 10. Передаточное отношение и = 10 можно получить только в четырехступенчатом редукторе с четырьмя парами зубчатых колес и пятью валами. Из этого видно, что червячная передача с большим передаточным числом значительно компактнее зубчатой передачи. Червячная передача имеет только одно направление движения от червяка к колесу, поэтому эта передача необратимая. Если угол подъема винтовой линии большой (многозаходные червяки) λ>10 0, то при вращении колеса червяк с большим трудом, но будет вращаться. Силы трения при этом настолько велики, что ни о какой передаче вращательного движения и думать не приходится. Если угол подъема винтовой линии λ < 5 0, то передача становится самотормозящей и никакие силы при вращении колеса не заставят вращаться червяк вплоть до поломки. Передача движения только от червяка к червячному колесу очень важна в грузоподъемных устройствах, т. к. позволяет обходиться без дополнительного тормоза при выключении приводного двигателя. Груз остается висеть на тросе, намотанном на барабан, который установлен на одном валу с червячным колесом. Мощность, передаваемая червячной передачей, не превышает квт. При больших мощностях возникает сильный нагрев, бороться с которым становится проблематичным. Из-за перегрева червячные передачи следует использовать в приводах периодического действия. Червяки бывают однозаходные и многозаходные. Червяк это винт. У однозаходного винта на цилиндрический стержень намотана одна нитка виток к витку. Шаг винта и ход винта совпадают и равны расстоянию между соседними витками.

184 184 Многозаходные винты наматываются одновременно двумя, тремя или четырьмя нитками, число которых обозначают буквой z. За один оборот многониточной ленты винтовая линия уходит не на один шаг t, а на h = zt, где h называется ходом винта или ходом винтовой линии, а z называют числом заходов. Если смотреть на винт или червяк с торца, то две, три или четыре нитки смотрятся как два, три или четыре зуба колеса. Число заходов червяка в передаточном отношении играют ту же роль, что и число зубьев шестерни. Червяки изготавливаются из конструкционных сталей марок 45, 50, 40х с последующей закалкой и шлифованием. Червячные передачи склонны к заеданию, поэтому материал червячных колес должен обладать антифрикционными свойствами. Кроме этого червяк (или колесо) погружают до некоторого уровня в масляную ванну для обеспечения обильной смазки. Лучшим материалом для колес являются оловянистые бронзы, которые дорогие. В целях экономии применяют алюминиево-железистые бронзы, при низких скоростях скольжения серые чугуны. Геометрия червячного колеса и червяка зубчатой передачи связана с модулем, который равен m = t / π. (17.14) Многоходовые (многовитковые) червяки характеризуются еще ходом винтовой линии h = z 1 t, (17.15) где z 1 число заходов червяка. Угол подъема винтовой линии tg λ = h / πd 1 = tz 1 / πd 1 = π m z 1 / π d 1 ; tg λ = m z 1 / d 1, где d 1 диаметр начальной окружности червяка. Если ввести понятие «коэффициент диаметра червяка» и обозначить его q, и приравнять q = z 1 / tg λ, (17.16) то после подстановки в предыдущее уравнение получим диаметр начальной окружности червяка z d 1 =m 1 =m q. (17.17) tg Значения q так же, как модуля m, стандартизованы: 8; 10; 1,5; 16; 0. Меньшее значение применяют для быстроходных передач во избежание больших окружных скоростей. Диаметр вершин витков червяка d a1 = d 1 + h a = d 1 + m. (17.18)

185 185 Диаметр впадин червяка d f1 = d 1 - h f = d 1,5m. (17.19) Начальный диаметр червячного колеса d = mz. (17.0) Диаметр вершин зубьев червячного колеса d a = m( z + ). (17.1) Диаметр впадин червячного колеса d f = m( z,5). (17.) Передаточное отношение червячной передачи 1 n1 z1 u. (17.3) n z Угол подъема винтовой линии z1 = arctg. (17.4) q Межцентровое расстояние а = 0,5m(z +q). (17.5) Число зубьев червячного колеса рекомендуют выбирать в пределах 8 z 80. Крутящие моменты на валах определяют по формулам: d1 М1 Ft tg(+), (17.6) где М 1 момент на червяке, Н м; F t окружная сила на колесе, M F t. (17.7) d1tg Через мощность на червяке N 1 и частоту вращения n 1 момент M 1 определяется N1 M1 9, 55. (17.8) n1 Подставив (17.8) в (17.7), получим 19,1N 1 F t. (17.9) d1tg Момент на валу колеса М = М 1 и η. (17.30)

186 186 Скорость скольжения между червяком и колесом определяют по формуле v1 0,05d1n1 0,05qmn1. (17.31) В червячной передаче рассчитывают колесо, т. к. оно изготовлено из бронзы, прочность которой значительно меньше стального червяка. Расчет производят на износостойкость по формуле km m3 q 3, (17.3) ч C н z ч где k = 1, коэффициент нагрузки; С н допускаемый коэффициент контактных напряжений, МПа; М крутящий момент на колесе, Н мм; z число зубьев колеса. Таблица 17.1 Определение параметров червячного колеса m, мм q Число заходов z 1 m 3 q, мм 1, ,, 4 3,6 3,78 1, ,, 4 4, 10 1,, 4 4,3 1 4, , ,, 4 5,37,5 1 5, , ,, 4 6,46 1 6,88 3, ,0 14 8,45 9 1,, 4 8, , , , m, мм q Число заходов z 1 m 3 q, мм 9 1,, 4 10, , , ,, 4 1,5 10 1,9 9 14, ,, 4 15, , ,, 4 16,0 16,65 17, 18,3 8 1,, ,54 1 1,9 Получив результат по формуле (17.3), который измеряется в миллиметрах, по табл выбирают остальные параметры. ч Допускаемый коэффициент контактных напряжений С н для ч оловянистой бронзы Бр.ОФ10-1 при незакаленном червяке С н = 0, ч МПа; а при закаленном и шлифованном червяке С н = 0,3 МПа. В червячных передачах применяют обильную смазку, чаще окунанием червяка или червячного колеса. При окружной скорости

187 187 червяка v 1 < 4 м/с червяк располагают под колесом. Для этих скоростей можно выбирать алюминиево-железистую бронзу БрАЖ9-4. Допускаемый коэффициент контактных напряжений для этой бронзы принимают ч н С = 0,8 0,035v 1, МПа, (17.33) где v 1 - окружная скорость червяка v 1 =v с или скорость скольжения, м/с. Таблица 17. Выбор скорости скольжения v с в зависимости от мощности N э и синхронной частоты вращения электродвигателя n с N э, квт 0,5 1,0 1,5, 4 7,5 v с, м/с,3,8 3 3,6 4 при n с = 1000 об/мин v с, м/с при n с = 1500 об/мин,3,8 3, 3,5 4 - Если скорость скольжения v 1 > 4 м/с, то червяк располагают над колесом во избежание чрезмерных потерь на перемешивание масла и заливания подшипников этим маслом. Последовательность расчета червячной передачи: 1. По заданным полезной нагрузке, скорости и КПД определяют мощность электродвигателя и его частоту вращения, т.е. N э и n э.. Так как червяк обычно связан непосредственно с двигателем, по мощности и частоте вращения двигателя задаются скоростью ч скольжения по табл. 17., а по формуле (17.33) определяют С н. 3. Определяют передаточное отношение червячной передачи и. Если это грузоподъемное устройство, то число заходов червяка выбирают z 1 = 1, а если это другая машина, то выбирают z 1 =, т. к. чем меньше z 1, тем ниже КПД. При z 1 = 4 повышается КПД, но в два раза увеличиваются габариты передачи. Определяют число зубьев колеса z = и 1 z 1. При этом z должно быть больше или равно 3. Если z <3, то нужно увеличить число заходов червяка z Определяют крутящий момент на колесе N1 M 9550 u1 1, (17.34) n1 где М 1 крутящий момент, Н м; N 1 мощность, квт; n 1 частота вращения, об/мин; и 1 передаточное отношение червячной передачи; η 1 КПД червячной передачи, при z 1 =1 η 1 =0,7, a при z 1 = η 1 =0,8. 5. По формуле (17.3) и табл определяют m и q и межцентровое расстояние по формуле (17.5). Затем находим размеры червяка и

188 188 червячного колеса по формулам ( ). Длину червяка в 1 определяют по формуле в1 11 0, 06z m. (17.35) Ширину червячного колеса определяют по формуле в 0, 7dа1. (17.36) КПД червячной передачи по формуле tg tg, (17.37) где tg λ = h/πd 1 = tz 1 / πd 1 = mz 1 / d 1 ; (17.38) φ угол трения, определяемый по формуле φ = arctg f, (17.39) где f коэффициент трения, определяемый по табл Скорость скольжения вычисляем по формуле (17.31). Коэффициент трения Таблица 17.3 Скорость скольжения 0,01 0,5 0,5 1,0 1,5,0, v с, м/с f 0,11 0,07 0,06 0,05 0,045 0,04 0,035 0,03 0,06 0, Цепные передачи Рис.17.4 Цепная передача относится к передачам с гибкой связью и предназначена для передачи вращательного движения между

189 189 параллельными валами. Она по принципу действия похожа на ременную передачу, но в отличие от ременной цепная передача работает подобно зубчатой без проскальзывания. Передача состоит (рис. 17.4) из ведущей 1, ведомой звездочек и охватывающей их цепи 3. Цепь состоит из множества звеньев, которые шарнирно соединены друг с другом. Шаг цепи t есть расстояние между осями шарниров, соединяющих звенья. Шаг цепи и звездочек должны соответствовать друг другу. Наиболее популярный пример применения цепной передачи велосипед. В технике цепные передачи применяются при сравнительно больших межосевых расстояниях в мощных установках: транспортных средствах (мотоциклы, железнодорожные дрезины), транспортирующих машинах (конвейеры, транспортеры, элеваторы), сельхозмашинах (комбайны, сеялки, веялки), подъемно-транспортных устройствах, машинах легкой и пищевой промышленности, химическом машиностроении и т.д. Передаваемая мощность до 100 квт, скорость цепи до 15 м/с, коэффициент полезного действия η = 0,9 0,95. Достоинства цепных передач перед ременными: отсутствие проскальзывания, компактность, меньшее давление на валы и подшипники, более высокий КПД. Недостатки цепных передач: неравномерность угловой скорости ведомого вала, шум, сравнительно высокая стоимость, необходимость тщательного монтажа и ухода, вытяжка цепи вследствие износа ее в шарнирах, которая способна при отсутствии ухода привести к соскальзыванию со звездочек (вспомните велосипед). Цепи применяют для выполнения разных работ, по их характеру цепи различают: приводные для передачи вращательного движения; грузовые для подвески и подъема грузов при υ 0,5 м/с; тяговые, которые применяют в элеваторах и конвейерах при υ м/с (подвесные цепные конвейеры для сборки узлов и машин на заводах массового производства, ковшовые элеваторы и т.д.). Цепные передачи в отличие от ременных применяют в тихоходной ступени привода при передаче больших усилий. Для нормальной передачи необходимо поддерживать натяжение цепи с помощью натяжного устройства (см. рис. 17.4). В работающей передаче для преодоления сопротивления ведомой звездочки, т.е. полезной нагрузки (момент М ), в ведущей ветви добавляется дополнительная растягивающая сила, поэтому сила предварительного натяжения F 0 увеличивается до F 1, а сила предварительного натяжения F 0 ведомой ветви уменьшается до F, а их сумма остается постоянной. Если силы, приложенные к ведомой (правой) звездочке спроектировать на горизонтальную ось, то получим

190 190 F 1 + F = F 0 + F 0 = F 0 = const. (17.40) Теперь составим уравнения моментов для ведомой звездочки относительно точки О d d F1 F M, или M F1 F F. (17.41) d Уравнение моментов для ведущей звездочки относительно точки О 1 дает M1 F1 F F, (17.4) d1 где F окружная сила цепной передачи, которую можно определить по формуле M N1 60N1 N1 F 19, 1, (17.43) d1 v n1d 1 d1n1 где F окружная сила, Н; N 1 мощность, передаваемая передачей, Вт; v скорость цепи, м/с; n 1 частота вращения ведущей звездочки, об/мин; d 1 диаметр делительной окружности ведущей звездочки, м. Неравномерность угловой скорости ведомого вала объясняется неравномерностью Рис.17.5 скорости цепи. На рис запечатлены два момента. Максимальной является скорость v 1 = ω 1 r 1 ; а минимальной скорость v = ω 1 r 1 сos (180 0 / z 1 ). Колебание скорости цепи происходит в пределах v v v 1 z 1 раз за 1 оборот ведущей звездочки. Пропорционально с той же частотой изменяется угловая скорость ведомой звездочки и ведомого вала. Эта неравномерность скорости цепи ограничивает максимально допустимую скорость цепной передачи. Среднюю скорость цепи определяют по формуле

191 191 t z1 n1 v, (17.44) где t шаг цепи, мм; z 1 число зубьев малой звездочки; n 1 частота вращения малой звездочки, об/мин; v скорость цепи, м/с. Передаточное число цепной передачи определяется аналогично ременной и зубчатой передачам n1 z и1, (17.45) n z1 где и 1 передаточное отношение между I и II валом; n 1 и n частоты вращения ведущей и ведомой звездочек или I-го и II-го валов, об/мин; z 1 и z числа зубьев ведущей и ведомой звездочек. Число зубьев меньшей звездочки рекомендуют брать z 1 1 в зависимости от передаточного отношения по формуле z 1 = 9 и. (17.46) Число зубьев ведомой звездочки определяется по формуле (17.44). Наибольшее число зубьев большей звездочки рекомендуют z 10. Числа зубьев малой и большой звездочек рекомендуют брать нечетным и некратным, чтобы не было постоянного контактирования одного зуба с одним и тем же звеном цепи. Делительный диаметр звездочки определяют по формуле t d. (17.47) 0 sin180 / z Оптимальное межосевое расстояние а = (30 50)t. (17.48) Шаг цепи рассчитывают по формуле kn1 t 30,53, (17.49) n1 где N 1 мощность, передаваемая передачей, квт; t шаг цепи, мм; k коэффициент влияния частоты вращения n 1 на износостойкость шарниров; n 1 частота вращения ведущей звездочки, об/мин. Коэффициент влияния частоты вращения n 1 определяют по формуле n 3 1 k. (17.50) 100 Срок службы цепи принимают равным L h = 10 4 ч. Основные данные роликовых цепей Таблица 17.4 Шаг цепи t, мм 1,7 15,875 19,05 5,4 31,75 Разрушающая 18,,7 31,8 56,7 88,5 нагрузка F р, кн

192 19 Окончание табл Опорная поверхность S 0, мм Коэффициент, учитывающий условия эксплуатации, определяют по формуле k э = k д k н k с, (17.51) где k д коэффициент динамической нагрузки: k д = 1 при спокойной нагрузке, k д = 1,5 при нагрузке с толчками; k н коэффициент натяжения цепи: k н = 1 при натяжении одной из звездочек (см. рис.17.4), k н = 1,1 при натяжении нажимной звездочкой, k н = 1,5 без натяжения; k с коэффициент вида смазки передачи: k с = 1 при непрерывном смазывании, k с =1,5 при периодическом смазывании. Давление в шарнирах цепи определяется по формуле p kэ F / S0 p. (17.5) Допускаемое давление (Н/мм ) в шарнирах цепи C p 40, (17.53) Lh k k э где С = коэффициент работоспособности; L h = 10 4 ч срок службы передачи. Порядок расчета состоит в определении: 1. Числа зубьев ведущей звездочки по формуле (17.47), а ведомой по формуле z =z 1 и Коэффициента влияния частоты вращения n 1 по формуле (17.50). 3. Шага цепи t по формуле (17.49) с округлением его до стандартного ряда по табл Скорости цепи v по формуле (17.44). 5. Окружной силы F, передаваемой цепью, по формуле (17.43). 6. Коэффициента k э, учитывающего условия эксплуатации, по формуле (17.50). 7. Среднего давления р в шарнирах по формуле (17.5). 8. Допускаемого давления [р] при сроке службы L h = 10 4 ч и коэффициента работоспособности С = по формуле (17.53). 9. Межосевого расстояния а по формуле (17.48). 10. Сил, действующих на валы звездочек, по формуле (см. рис. 17.4) F в F0 k F, (17.54) где F в сила, с которой цепная передача действует на валы О 1 и О (см. рис. 17.4); F 0 сила натяжения ветвей цепи; k коэффициент динамической нагрузки, зависящий от характера нагрузки и расположения угла наклона θ линии центров звездочек к горизонту: при θ=0 40 0

193 193 значение k = 1,15 1,3; при θ = значение k = 1,05 1,15. Меньшие значения k соответствуют спокойной нагрузке, а большие ударной. 18. ВАЛЫ И ИХ ОПОРЫ Общие сведения Вал это вращающаяся деталь, несущая на себе шкивы, звездочки, зубчатые колеса и другие детали вращения, которые через вал передают крутящий момент. Вал в свою очередь устанавливается в корпусе с помощью подшипников. Подшипники являются опорами вала и одновременно направляющими вращения. Они отбирают у вала свободу осевого и радиального перемещения и, наоборот, создают свободу вращательному движению. Вал в совокупности с деталями вращения и подшипниками называют узлом вала. Валы, как правило, имеют ступенчатую форму, т. к. каждая деталь вращения или подшипник имеют свой диаметр отверстия. Это объясняется тем, что все детали вращения и подшипники одеваются на вал последовательно. Вначале в середине вала одевается деталь с большим отверстием, затем последовательно одеваются детали с меньшими диаметрами и в последнюю очередь деталь с наименьшим диаметром. Узел вала (рис. 18.1) состоит из собственно вала, являющегося несущей деталью (основой), на которой установлены детали вращения: коническое колесо 1, получающее вращение, и крутящий момент от конической шестерни (на чертеже не показана); звездочки, на которую передается крутящий момент, и вращение от колеса 1 и подшипников качения 3, на которые опирается вал и которые способствуют вращательному движению вала благодаря тому, что они опираются на свободно катающиеся шарики. Подшипники в свою очередь установлены в корпус 4, в котором установлен вал с конической шестерней и могут размещаться валы других зубчатых передач. Цепная передача вынесена за пределы корпуса, поэтому она называется открытой, а коническая передача закрытой. Для передачи крутящего момента с колеса на вал и с вала на звездочку применяются шпонки 5 и 6. Участки вала 7 и 8, на которые одеты подшипники 3 и которыми вал опирается на подшипники, называются цапфами. Концевая цапфа 7 называется шипом, а 8 шейкой. Шипы и шейки передают радиальную нагрузку. Ими вал опирается через подшипники на корпус, как балка на двух опорах. Участки вала 9 и 10, на которые посажены колесо 1 и звездочка, называются посадочными поверхностями валов или посадочными участками.

194 194 Рис.18.1 Уступы на валу при переходе с поверхности одного диаметра на поверхность другого диаметра называют заплечиками. Они служат для восприятия осевых сил (заплечики 11 и 1), а также для фиксации положения деталей на валу (заплечики 11 и 14) и вала в подшипниках (заплечики 1 и 13).

195 195 Порядок сборки узла вала, когда корпус разъемный и вал собирается отдельно, следующий. Коническое колесо 1 имеет наибольшее отверстие, поэтому при одевании его на вал с правого конца колесо свободно проходит через все участки вала до своего посадочного места 9, не задевая участков, т. к. их диаметры меньше отверстия в колесе. Затем одеваются подшипники 3 слева и справа. Последней одевается звездочка Шпоночные соединения Вращающиеся детали закрепляются на валах с помощью шпоночных и шлицевых соединений, которые служат для передачи крутящего момента от вала к детали вращения (зубчатому колесу, шкиву, звездочке, муфте) или наоборот. Шпоночное соединение состоит из (см. рис и 18.) шпонки 1, которая помещается в продольном пазу вала и ступицы детали вращения 3. Шпонка имеет призматическую форму. Она плотно входит одновременно в паз вала и паз ступицы и запирает вал и ступицу от возможности их относительного вращения. При сборке узла (см. рис.18.1) шпонку 6 закладывают в паз вала, а затем надевают звездочку. Шпонка не удерживает деталь вращения от осевого смещения по валу. Рис.18. Для осевой фиксации детали (детали 1 и, см. рис.18.1) на валу делают ступеньки (заплечики) 11 и 14, в упор до которых насаживаются детали 1 и, а для того, чтобы детали в процессе работы не сдвигались назад, их насаживают по тугой посадке, вызывающей напряжения между валом и деталью. Деталь вращения: звездочка или колесо 1 туго обхватывают вал и удерживают деталь. Такие соединения называют напряженными. Кроме напряженных соединений для удержания деталей на валу применяют стопорные кольца, стопорные винты, специальные гайки и т.д. Наряду с передачей крутящего момента шпонки выполняют роль слабого звена. Слабым звеном называют деталь, которая в случае перегрузки узла должна в первую очередь разрушиться, а остальные детали должны остаться невредимыми. По другому это звено называют предохранительным. Одну из шпонок редуктора конструктор выбирает в качестве слабого звена и рассчитывает на большее в полтора два раза

196 196 допускаемое напряжение, обеспечивая этим срез именно этой шпонки в случае перегрузки. При передаче крутящего момента М (см. рис. 18.) на боковых поверхностях шпонки возникают напряжения смятия см, которые можно определить по формуле M см, (18.1) dl bh где l длина шпонки (см.рис. 18.1). Ступицы деталей вращения (колес, шкивов, звездочек) обычно изготавливают из стали и реже чугуна, а шпонки из конструкционных сталей из чистотянутых стальных призматических прутков сечением b h. Предел прочности σ b 500 Н. Например, сталь 35 имеет σ b =540 Н/ мм ; σ Т =30 Н/мм. Допускаемое напряжение на смятие: при спокойной нагрузке и стальной ступице см = Н/мм ; при чугунной ступице - см = Н/мм ; при значительных колебаниях нагрузки см следует снижать на 50 %. Слабое звено нужно рассчитывать на напряжение см в два раза большее, чтобы получить опорную поверхность шпонки в полтора два раза меньшую (конкретно в полтора два раза меньшую длину шпонки). Размеры сечений шпонки (ширину b и высоту h) выбирают в зависимости от диаметра d вала по ГОСТ Длину шпонки l (см. рис. 18.1, поз.6) выбирают на 5 10 мм меньше, чем длину ступицы. Размеры стандартных шпонок подобраны из условия прочности на смятие, поэтому основным расчетом является проверочный расчет на смятие. Проверка шпонок на срез может не производиться, т. к. соотношение стандартных размеров b и h таково, что прочность сечения на срез выше, чем на смятие поверхности. Проверочный расчет рабочих поверхностей шпонки и ступицы на смятие проводят по формуле M см см, (18.) dl bh где М передаваемый крутящий момент, Н м; d диаметр вала, мм; b ширина шпонки, мм; h высота шпонки, мм; l длина шпонки, мм; σ см и см - расчетное допускаемое напряжение на смятие соответственно, Н/мм. Если по расчету получается σ см см, то удлиняют ступицу, а если невозможно, то устанавливают две шпонки диаметрально противоположно друг другу, т.е. под углом

197 Расчет валов Валы должны изготавливаться из прочных материалов, хорошо обрабатываться и иметь хорошую упругость. Для валов применяют среднеуглеродистые стали марок 45 и 40Х. Основные критерии работоспособности и расчета валов это статическая и усталостная прочность и жесткость. Основными расчетными нагрузками являются передаваемый крутящий момент М к и момент поперечного изгиба М и. Расчет на прочность проводится в два этапа: проектный расчет и проверочный расчет. Проектный расчет. К началу проектирования вала известен лишь крутящий момент. Поэтому в первую очередь определяют ориентировочный (приближенный) диаметр валов по эмпирической формуле d M k 3, (18.3) 0, k где d диаметр вала, мм; М к крутящий момент, Н мм; [τ к ] = 1 5 Н/мм допускаемое напряжение на кручение. Малое значение допускаемого напряжения [τ к ] компенсирует отсутствующие напряжения изгиба. Расчетное значение диаметра d округляют до ближайшего стандартного в большую сторону. Этот диаметр d является минимальным для ступенчатого вала (диаметр посадочного участка 10 под звездочку на рис.18.1). Затем выбирают подшипники по внутреннему диаметру d п, ближайшие большие, чем d. После этого выбирают стандартный внутренний диаметр зубчатого колеса (см. рис. 18.1) d к, который ближайший больший, чем d п. Например, расчетный диаметр, полученный по формуле (18.3), d = 15,3 мм. Округляем его до ближайшего стандартного ряда R a 0: 10; 11; 1; 14; 16; 18; 0; ; 5; 8; 3; 36; 40; 45; 50; 56; 63; 70; 75; 80; 90; 100, а далее нужно умножить на 10 написанный ряд, т.е. 110; 10; 140 и т.д. Выбранный размер d=16 мм. Стандартный ряд внутренних диаметров подшипников: 10; 1; 15; 17; 0; 5 и далее через 5 до 100 мм. Итак, диаметр посадочного участка 10 вала под звездочку d = 16 мм. Высота уступа 14 должна быть не менее мм по радиусу, а по диаметру 4 мм (выбираем 6 мм). Следовательно, диаметр промежуточного участка вала между звездочкой и подшипником 3 d пр = d + 6 = 16+6 = мм. Внутренний диаметр подшипника 3 выбираем из стандартного ряда d п = 5мм. Уступ 13 должен быть не менее 3 мм, а по диаметру 6 мм. Диаметр промежуточного участка вала между подшипником 3 и коническим колесом 1 d пр = 5+6 = 31 мм. Диаметр посадочного участка 9 под коническое колесо 1 выбираем как ближайший

198 198 больший из стандартного ряда R a 0, т.е. d к = 3 мм. Диаметр цапфы 7 равен диаметру цапфы 8, т.е. d п = 5мм. Диаметр промежуточного участка вала левее конического колеса с учетом уступа 11 d пр = d к + 6 = 3+6 = 38 мм. Аналогично рассчитывают второй, третий и т.д. валы. Затем конструктор вычерчивает эскизный проект редуктора, который позволяет определить линейные, т.е. осевые размеры валов (на рис это a; b; c). Линейные размеры и диаметры вала необходимы для его проверочного и уточненного расчетов. Проверочный расчет начинается с разработки расчетной схемы (см. рис. 18.1). Bал изображают как балку на двух опорах A и C. К балке прикладывают силы F t ; F r и F a, приложенные в полюсе П конического зацепления, и силу натяжения цепной передачи F ц =F 0. Это внешние силы. Затем освобождают балку от связей (опор А и С), заменяя их реакциями R a и R c. Расчетные схемы выполняют в вертикальной плоскости и в горизонтальной. Строят эпюру крутящих моментов М к и эпюры изгибающих моментов М в в вертикальной плоскости и М г в горизонтальной плоскости. Далее определяют опасное сечение (точка В), в котором действуют максимальные изгибающие моменты М в max и М г max, и крутящий момент М к. Максимальный изгибающий момент в точке В в M max г max M u M, (18.4) а эквивалентный момент в точке В u M u M M. (18.5) Проверку прочности проводят по формуле k M э э 1, W где М и изгибающий момент в опасном сечении, т.е. максимальный, Н мм; М э эквивалентный момент, Н мм; σ э эквивалентное напряжение, Н/мм ; W осевой момент сопротивления, мм 3 ; [σ -1 ] допускаемое напряжение, Н/мм. При работе валы испытывают переменные (циклические) напряжения, поэтому основной вид разрушения валов усталостное разрушение. При расчете на усталость нужно установить характер цикла изменения напряжений, действующих внутри вала. Изгибающие вал силы остаются на месте, а вал вращается, поэтому каждая точка вала при вращении подвергается переменному изгибу, изменяющемуся по симметричному циклу, напоминающему перегиб проволоки взад вперед (когда ее хотят отломить). Такая нагрузка называется знакопеременной, а цикл изменения напряжений симметричным от +σ max до σ max. Напряжение при знакопеременной симметричной нагрузке обозначается σ -1. Напряжение σ -1 является предельным, а его значение приведено в табл

199 199 Допускаемое напряжение изгиба при симметричном цикле [σ -1 ] определяется по формуле 1 1, (18.6) k n Таблица 18.1 Предельные и допускаемые напряжения для материала валов Марка стали, Н/мм закаленная 40х закаленная σ в σ [σ -1 ] где ε масштабный коэффициент, зависящий от диаметра вала, для валов d=30 60 мм можно выбирать ε=0,8; β коэффициент, учитывающий шероховатость поверхности, для валов можно выбирать β=0,9; k σ коэффициент концентрации напряжений, для вала k σ =1,5; [n] = 1.8 коэффициент запаса прочности. Если обозначить комплексный коэффициент буквой k, то k, k n а его величина (в среднем) может быть равной 0,8 0,9 k 0,7. 1,5 1,8 Тогда уравнение (18.6) перепишется в виде 1 k 1 0, 71. (18.7) Данные среднего значения [σ -1 ] приведены в табл Подшипники Как было показано выше (см. рис.18.1), вал опирается на корпус посредством подшипников. Подшипниками называют опоры вращающегося вала. Они поддерживают вал и одновременно являются направляющими вращения. Подшипники воспринимают и передают на корпус радиальные и осевые силы, действующие на детали узла вала. Подшипники, которые воспринимают радиальные нагрузки, называют радиальными, воспринимающие осевые нагрузки, упорными, воспринимающие одновременно радиальные и осевые нагрузки, называют радиально-упорными.

200 00 По виду трения различают подшипники скольжения и подшипники качения. Подшипник скольжения представляет собой бронзовую втулку, которая одевается на цапфу свободно, а в корпус запрессовывается. Поверхность цапфы скользит по поверхности подшипника, при этом возникает трение скольжения, которое приводит к износу и нагреву подшипника. Для уменьшения трения между поверхностями скольжения вводят смазку. В современных машинах применяют главным образом подшипники качения, которые имеют преимущества: низкие потери на трение, их КПД η=0,995; невысокий нагрев подшипника; возможность взаимозаменяемости при ремонте и др. От качества подшипников в значительной мере зависят надежность и качество машин. Рис.18.3 Подшипники качения это готовые узлы, которые состоят (рис.18.3) из наружного 1 и внутреннего колец с полукруглыми желобами, называемыми дорожками качения, тел качения 3 (шариков или роликов) и сепаратора 4. Тела качения помещаются в дорожках (желобах) между наружным и внутренним кольцами. Катиться тело вращения может только по желобу, т.е. по дорожке, а в сторону выкатиться оно не может. Наружное кольцо 1 запрессовывается в корпус и остается неподвижным. Внутреннее кольцо туго одевается на вал и вращается вместе с ним. Вращающееся внутреннее кольцо увлекает за собой тела качения, которые катятся по дорожкам внутреннего и наружного колец. Таким образом, вал опирается на шарики и ролики и катится по ним. Трение качения в десятки раз меньше трения скольжения. Именно этим объясняется столь высокий КПД подшипников качения 0,995. Количество тел качения бывает четное 6, 8, 10, 1 и т.д., чтобы всегда два тела качения (шарика или ролика) стояли друг против друга на

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Министерство образования и науки РФ Федеральное агенство по образованию Пермский государственный технический университет Кафедра теоретической механики ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Учебно-методическое пособие

Подробнее

ЧАСТЬ III. СТАТИКА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

ЧАСТЬ III. СТАТИКА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ЧАСТЬ III. СТАТИКА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Теперь, когда все виды простейших деформаций бруса рассмотрены, можно было бы обратиться к исследованию усилий и перемещений в системах

Подробнее

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

Подробнее

МЕХАНИКА. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

МЕХАНИКА. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный технический университет» МЕХАНИКА. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Подробнее

Григорьев Ю. М., Муравьёв В. М., Потапов В. Ф. ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ. МЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА «ТУЙМААДА»

Григорьев Ю. М., Муравьёв В. М., Потапов В. Ф. ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ. МЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА «ТУЙМААДА» Григорьев Ю. М., Муравьёв В. М., Потапов В. Ф. ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ. МЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА «ТУЙМААДА» Под общей редакцией Селюка Б. В. Рекомендовано УМО по классическому университетскому образованию

Подробнее

Ильинский Николай Федотович

Ильинский Николай Федотович Ильинский Николай Федотович ОБЩИЙ КУРС ЭЛЕКТРОПРИВОДА ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ЭЛЕКТРОПРИВОДА ЭЛЕКТРОПРИВОДЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА ЭЛЕКТРОПРИВОДЫ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ ЭНЕРГЕТИКА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Измерения физических величин

Измерения физических величин Министерство транспорта Российской федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта САМАРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Кафедра физика и экологическая теплофизика Измерения физических

Подробнее

А.П. Кузнецов, С.П. Кузнецов, Л.А. Мельников, А.В. Савин, В.Н. Шевцов ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ

А.П. Кузнецов, С.П. Кузнецов, Л.А. Мельников, А.В. Савин, В.Н. Шевцов ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ А.П. Кузнецов, С.П. Кузнецов, Л.А. Мельников, А.В. Савин, В.Н. Шевцов 50 ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ А.П. Кузнецов, С.П. Кузнецов, Л.А. Мельников, А.В. Савин, В.Н. Шевцов 50 ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ

Подробнее

Д. В. Аносов. Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем

Д. В. Аносов. Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем Д. В. Аносов Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем Москва Издательство МЦНМО 2008 УДК 22.161.6 ББК 517.91 А69 А69 Аносов Д. В. Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем М.: МЦНМО, 2008.

Подробнее

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (следящие системы)

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (следящие системы) Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет К. К. Васильев ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (следящие системы) -е издание Рекомендовано Учебно-методическим

Подробнее

Векторная алгебра и ее приложения

Векторная алгебра и ее приложения м Векторная алгебра и ее приложения для студентов и аспирантов математических, физических и технических специальностей м МГ Любарский Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые

Подробнее

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный университет им А М Горького Подготовлено кафедрами общей физики и физики магнитных явлений КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Подробнее

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1.. Кинематика. Кинематика это часть теоретической механики, в которой изучается механическое движение материальных точек и твердых тел. Механическое движение это перемещение

Подробнее

Д. В. АНОСОВ. Отображения окружности, векторные поля и их применения

Д. В. АНОСОВ. Отображения окружности, векторные поля и их применения Д. В. АНОСОВ Отображения окружности, векторные поля и их применения МЦНМО Москва 2003 УДК 515.12 ББК 22.152 А69 Аносов Д. В. А69 Отображения окружности, векторные поля и их применения. М.: МЦНМО, 2003.

Подробнее

GRUNDFOS ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛИ

GRUNDFOS ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛИ GRUNDFOS ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛИ Компания GRUNDFOS работает в России уже более 14 лет, и все эти годы мы старались быть образцом делового партнерства. Наше оборудование надежно и успешно служит людям и широко

Подробнее

ЗАДАЧИ вступительных экзаменов и олимпиад по физике с решениями

ЗАДАЧИ вступительных экзаменов и олимпиад по физике с решениями Федеральное агентство по образованию Московский инженерно-физический институт (государственный университет) А.Н. Долгов, С.Е. Муравьев, Б.В. Соболев ЗАДАЧИ вступительных экзаменов и олимпиад по физике

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского А.Т. Козинова Н.Н. Ошарина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ II Учебное пособие Рекомендовано

Подробнее

Впредыдущих главах мы рассматривали методы решения обыкновенных дифференциальных

Впредыдущих главах мы рассматривали методы решения обыкновенных дифференциальных 4 Введение в системы дифференциальных уравнений Г Л А В А 4.1. Системы первого порядка и их приложения Впредыдущих главах мы рассматривали методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений с одной

Подробнее

Глава 1. Введение 1.1. Термодинамика и ее метод 1.2. Параметры состояния 1.3. Понятие о термодинамическом процессе 1.4. Идеальный газ.

Глава 1. Введение 1.1. Термодинамика и ее метод 1.2. Параметры состояния 1.3. Понятие о термодинамическом процессе 1.4. Идеальный газ. Глава 1. Введение 1.1. Термодинамика и ее метод 1.2. Параметры состояния 1.3. Понятие о термодинамическом процессе 1.4. Идеальный газ. Законы идеального газа 1.5. Понятие о смесях. Смеси идеальных газов

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru. Энергия

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru. Энергия И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Энергия Темы кодификатора ЕГЭ: работа силы, мощность, кинетическая энергия, потенциальная энергия, закон сохранения механической энергии. Мы приступаем к изучению

Подробнее

d 2 Ψ(x) + V (x)ψ(x) = EΨ(x). (1.1)

d 2 Ψ(x) + V (x)ψ(x) = EΨ(x). (1.1) Федеральное агентство по образованию И.В. Копытин, А.С. Корнев, Т.А. Чуракова Задачи по квантовой механике Учебное пособие для вузов Часть 3-е издание Воронеж 008 Утверждено научно-методическим советом

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра общей физики. ОБРАБОТКА И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Методические рекомендации

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра общей физики. ОБРАБОТКА И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Методические рекомендации КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра общей физики ОБРАБОТКА И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Методические рекомендации Казань-1999 1. ИЗМЕРЕНИЕ И ЕГО МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ В основе

Подробнее

Представления групп и их применение в физике Функции Грина

Представления групп и их применение в физике Функции Грина Представления групп и их применение в физике Функции Грина Д.А.Шапиро кафедра теоретической физики НГУ Конспект лекций по математическим методам физики Часть II 21 января 2004 г. Оглавление 1 Симметрии

Подробнее

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ «ЧАЙНИКОВ» Часть II. Управление при случайных возмущениях. Оптимальные линейные системы. К.Ю.

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ «ЧАЙНИКОВ» Часть II. Управление при случайных возмущениях. Оптимальные линейные системы. К.Ю. ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ «ЧАЙНИКОВ» Часть II Управление при случайных возмущениях Оптимальные линейные системы КЮ Поляков Санкт-Петербург 9 КЮ Поляков, 9 «В ВУЗе нужно излагать материал на

Подробнее

Лекция 3. 2.6. Работа силы. Кинетическая энергия ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

Лекция 3. 2.6. Работа силы. Кинетическая энергия ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ 34 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Лекция 3.6. Работа силы. Кинетическая энергия Наряду с временнóй характеристикой силы ее импульсом, вводят пространственную, называемую работой. Как всякий вектор, сила

Подробнее

Э. Г. Готман. Стереометрические задачи и методы их решения

Э. Г. Готман. Стереометрические задачи и методы их решения Э. Г. Готман Стереометрические задачи и методы их решения Москва Издательство МЦНМО, 006 УДК 514.11 ББК.151.0 Г7 Г7 Готман Э. Г. Стереометрические задачи и методы их решения. М.: МЦНМО, 006. 160 с.: ил.

Подробнее

Готовимся к Общереспубликанскому тесту: Пособие для абитуриентов. Основной тест. Издание второе, переработанное и дополненное

Готовимся к Общереспубликанскому тесту: Пособие для абитуриентов. Основной тест. Издание второе, переработанное и дополненное Готовимся к Общереспубликанскому тесту: Пособие для абитуриентов Основной тест Издание второе, переработанное и дополненное Бишкек 2004 УДК 378 ББК 74.58 Г74 Авторы разделов: Математика: М. Зельман, Г.

Подробнее

В.И. Липкин, А.П. Малиновский РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ

В.И. Липкин, А.П. Малиновский РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ Томский государственный архитектурно-строительный университет В.И. Липкин, А.П. Малиновский МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ Учебное пособие

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА: УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА: УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) ЗАОЧНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ ОГАНЕСОВ О.А., КУЗЕНЕВА Н.Н., РЯБИКОВА И.М., МАЛАМУТ Ю.А. НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА:

Подробнее

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ. по физической химии

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ. по физической химии Российский химико-технологический университет имени Д.И. Менделеева Кафедра физической химии ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ по физической химии Спектрохимия Москва 015 Лабораторный практикум по физической химии.

Подробнее