Лекция Несобственные интегралы

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекция Несобственные интегралы"

Транскрипт

1 Лекция..9. Несобственные интегралы Аннотация: Рассматриваются несобственные интегралы первого и второго рода. Вводится понятие главного значения несобственного интеграла. Определенный интеграл был введен как предел последовательности интегральных сумм. При этом мы предполагали, что отрезок интегрирования конечен, а подынтегральная функция ограничена на этом отрезке. Обобщая понятие определенного интеграла на случай бесконечного промежутка интегрирования, приходят к новому понятию несобственному интегралу -го рода. Определение. Пусть функция f () определена на,. промежутке [,) Тогда, и интегрируема на любом отрезке [ ] lim d называют несобственным интегралом первого рода и обозначают Таким образом, по определению d. () d lim d. () Если предел () конечен, то говорят, что несобственный интеграл () сходится. В противном случае интеграл () расходится. Аналогично вводится понятие несобственного интеграла по промежутку (,] : d lim d. (3) В том случае, когда подынтегральная функция, несобственные интегралы (), (3) можно истолковать как площадь неограниченной криволинейной трапеции.

2 Если существуют оба интеграла () и (3), то можно определить интеграл c d lim d + lim d, (4) где c любое число. Пример. d d lim lim rctg + + π lim ( rctg rctg). Пример. c sin d lim sin d lim ( cos ) lim ( cos + ) cos. Так как предел функции cos при ± не существует, то этот интеграл расходится. Пример 3. При каких значениях сходится интеграл d Решение. Если, то J lim lim ln. Если же, то J lim d lim, >, при., при <. lim ( ) d J. lim ln

3 d Следовательно, 3 сходится при > и расходится при. Главное значение интеграла (4) определяется так. v. p d lim d. (5) Заметим, что интеграл, рассмотренный в примере, существует в смысле главного значения. Действительно, по формуле (5). v. p sin d lim ( cos + cos ). Для вычисления несобственного интеграла нужно знать первообразную подынтегральной функции. Поскольку для подавляющего большинства функций их первообразные не выражаются через элементарные функции, то огромное значение имеют методы, позволяющие устанавливать сходимость или расходимость несобственных интегралов без вычисления первообразных. Приведем два таких критерия.. Если функции f () и g () неотрицательны и для < справедливо неравенство g( ), то из сходимости g ( ) d следует сходимость d, а из расходимости d следует расходимость g ( ) d.. Если функции f () и g () неотрицательны и существует предел lim k ( k ), то при < k < оба g( ) интеграла либо сходится, либо расходятся, при k из

4 сходимости g ( ) d следует сходимость из сходимости 4 d, при k d следует сходимость g ( ) d. Абсолютная сходимость несобственного интеграла. Интеграл d называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл d. Если интеграл сходится абсолютно, то он и просто сходится, поскольку d d. Если интеграл сходится, но не является абсолютно сходящимся, то он называется условно сходящимся. Пример 4. J sin d. sin Решение. Так как lim, то, доопределив подынтегральную функцию при единицей, получим функцию, интегрируемую на любом отрезке [, ], >. Покажем, что интеграл не является абсолютно сходящимся. Имеем sin sin sin d d d +. Первый интеграл справа существует. Покажем, что второй cos расходится. Так как sin sin, то

5 5 sin d d cos d. (6) d cos Интеграл расходится и равен +. Интеграл же d сходится, поскольку, интегрируя по частям, имеем cos sin d d( sin ) sin d sin sin + d. cos В силу этой формулы, сходимость интеграла d следует sin из сходимости интеграла d. Сходимость последнего sin вытекает из неравенства. Переходя к пределу в sin неравенстве (6) при, получаем, что d. Это доказывает расходимость интеграла sin d. Сам же интеграл sin d сходится. В этом легко убедиться, проинтегрировав его по частям. Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл Γ( ) e d (Гамма-функция Эйлера) при >.

6 Решение. При Поэтому по частям >> < n 6, где n [ ] целая часть числа. Γ( ) n e d. Проинтегрируем последний интеграл n n n n e d e + n e d n e d. После n-кратного интегрирования по частям получим n e d n! e d n! e n!. Поэтому Γ( ) n!. Значит, наш интеграл сходится при любом >. Пусть функция f () неограничена на конечном промежутке [, ] и пусть в любом промежутке [, ε ], где < ε < функция f () ограничена и интегрируема. В этом случае точка называется особой точкой функции f (). Определение. Предел интеграла ε d при ε называется несобственным интегралом второго рода от функции f () по промежутку [, ] ε d lim d. (7) ε В том случае, когда предел (7) конечен, говорят, что интеграл d сходится, если же предел (7) бесконечен или не существует, то говорят, что интеграл расходится. Аналогично, если единственная особая точка функции f () на отрезке [, ] и функция f () интегрируема на любом отрезке [ + ε, ], < ε <, то

7 7 d lim ε + ε d. (8) Наконец, пусть единственная особая точка c функции f () на отрезке [, ] лежит внутри интервала ( c (, )), тогда d lim ε c ε d + lim ε c+ ε d. (9) В этом случае интеграл d называется сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части равенства (9). Главное значение интеграла d. Пусть c единственная особая точка функции f () на отрезке [, ] лежит внутри этого отрезка и f () интегрируема на отрезках [, c ε ] и [ c + ε, ], тогда, по определению главное значение этого интеграла есть V. P. d lim ε c ε d + lim ε c+ ε f ) ) d. () d Пример 6. Выяснить, при каких интеграл J ( ) сходится, а при каких расходится. Решение. Пусть, тогда J ε ( ln ) ε d d lim ε lim ε lim lnε ln. J расходится. ε [ ] Если, тогда

8 J ε d lim d ( ) ε ( ) ε - ( ) lim ε ( ) 8 - lim - ε ( ) [ ], при <, ε -, при >. Следовательно, интеграл J сходится при < и расходится при. Пример 7. Показать, что интеграл сходится в смысле главного значения. Решение. По формуле (9) имеем c ε d d V. P. J lim + lim c c ε ε c+ ε [ lnε + ln c ln c + lnε ] lim ε c ln. c d J, < c < c Как и в случае с несобственными интегралами первого рода, важное значение имеют критерии сходимости интегралов второго рода.. Пусть функции f () и g() неотрицательны на [, ] и g() тогда: ) если интеграл g ( ) d сходится, то сходится и интеграл d ; ) если интеграл g ( ) d. d расходится, то расходится и интеграл

9 9. Пусть функции f () и g() неотрицательны на полуинтервале [, ), g( ) при [, ) и существует предел lim k, ( k ), тогда: g( ) ) если ( k < ) интеграл и интеграл g ( ) d сходится, то сходится и d ; ) если ( < k ) и интеграл g ( ) d расходится, то расходится и интеграл d ; 3) при ( < k < ) оба интеграла вместе сходятся или расходятся. Подынтегральная функция f () может быть и отрицательной на [, ]. В этом случае применяется понятие абсолютной сходимости. Определение 3. Несобственный интеграл d называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл d. Если интеграл сходится абсолютно, то он и просто сходится. Заметим, что интеграл может сходиться, но не сходиться абсолютно. Тогда он называется условно сходящимся.


Несобственные интегралы 1.Определения, теоремы и формулы для решения задач.

Несобственные интегралы 1.Определения, теоремы и формулы для решения задач. Несобственные интегралы.определения, теоремы и формулы для решения задач. Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от неограниченных функций называются несобствнными интегралами I и II рода соответственно.

Подробнее

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих

Лекция 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. 1. Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих Лекция НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Подробнее

[ определение несобственного интеграла - несобственный интеграл по неограниченному промежутку (первого рода) - первый признак сходимости

[ определение несобственного интеграла - несобственный интеграл по неограниченному промежутку (первого рода) - первый признак сходимости [ определение несобственного интеграла - несобственный интеграл по неограниченному промежутку первого рода) - первый признак сходимости несобственного интеграла первого рода - второй признак сходимости

Подробнее

Тема: Несобственные интегралы

Тема: Несобственные интегралы Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Несобственные интегралы Лектор Рожкова С.В. 23 г. 5. Несобственные интегралы Для существования необходимы условия: [;] конечен, 2 f ограничена

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекции 9- Признаки сходимости

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 8

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 8 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса 2-го семестра специальностей РЛ,2,3,6, БМТ,2 Лекция 8 Несобственные

Подробнее

3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций

3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций 3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций Рассмотрим два знака менительно к несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом. Аналогичные знаки имеют

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы 7 Занятие Несобственные интегралы. Несобственные интегралы первого и второго рода Понятие определенного интеграла f() от ограниченной функции по конечному отрезку [; b] распространяют на случаи, когда

Подробнее

Определенный интеграл Несобственные интегралы

Определенный интеграл Несобственные интегралы Математический анализ Тема: Определенный интеграл Несобственные интегралы Лектор Пахомова Е.Г. 2017 г. ГЛАВА II. Определенный интеграл и его приложения 1. Определенный интеграл и его свойства 1. Задачи,

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль 2. Определенный интеграл, несобственные интегралы Лекция 2.5

Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль 2. Определенный интеграл, несобственные интегралы Лекция 2.5 Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль. Определенный интеграл, несобственные интегралы Лекция.5 Аннотация Несобственные интегралы I рода. Определение ограниченное числовое множество. Множество вещественных

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

В этом случае говорят, что несобственный интеграл. интегрируема в несобственном смысле на [a,b). Если предел при b. dx называется расходящимся.

В этом случае говорят, что несобственный интеграл. интегрируема в несобственном смысле на [a,b). Если предел при b. dx называется расходящимся. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Определение. Свойства. Признаки сходимости. Примеры с решениями. Определение Пусть функция f() определена для всех а и интегрируема на любом

Подробнее

( ) S -1. Решение Если α 1, то. Следовательно. В случае α = 1 имеем. сходится при α > 1 и расходится при α 1. Итак, интеграл

( ) S -1. Решение Если α 1, то. Следовательно. В случае α = 1 имеем. сходится при α > 1 и расходится при α 1. Итак, интеграл 89 Решение Если, то Следовательно В случае имеем Итак, интеграл d d lim ( ) lim lim d > < d liml lim l d сходится при > и расходится при Пример Исследовать на сходимость интеграл По формуле (), полагая

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

Цель работы: научиться вычислять несобственные интегралы первого и второго рода и двойные интегралы по прямоугольной и криволинейной области.

Цель работы: научиться вычислять несобственные интегралы первого и второго рода и двойные интегралы по прямоугольной и криволинейной области. Практическая работа Вычисление несобственных и двойных интегралов. Цель работы: научиться вычислять несобственные интегралы первого и второго рода и двойные интегралы по прямоугольной и криволинейной области.

Подробнее

. Интегральное определение логарифма

. Интегральное определение логарифма . Интегральное определение логарифма Ранее логарифмическая функция определялась, как обратная показательной функции. В этом параграфе будет дано определение логарифмической функции через определённый интеграл

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 30. Несобственные интегралы и их свойства. Условная и абсолютная сходимость. Признаки сходимости.

ЛЕКЦИЯ 30. Несобственные интегралы и их свойства. Условная и абсолютная сходимость. Признаки сходимости. ЛЕКЦИЯ Несобственные интегралы и их свойства Условная и абсолютная сходимость Признаки сходимости Определение определенного интеграла, его свойства и методы интегрирования рассматривались в предположении,

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

Несобственные интегралы первого рода

Несобственные интегралы первого рода ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им НИЛобачевского» Несобственные интегралы

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Лекция 7 Несобственные интегралы Несобственными интегралами называются определенные интегралы, для которых не выполнено хотя бы одно из условий существования определенного (собственного) интеграла: )либо

Подробнее

Несобственные интегралы. Несобственные интегралы 1-го рода (с бесконечным промежутком интегрирования). f x и x

Несобственные интегралы. Несобственные интегралы 1-го рода (с бесконечным промежутком интегрирования). f x и x Несобственные интегралы. Несобственные интегралы -го рода (с бесконечным промежутком интегрирования). Определение. Пусть функция f x определена на полупрямой и интегрируема по сегменту при любом несобственным

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n lm n m Δх 0 f ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

6.7. Определенный интеграл и его свойства

6.7. Определенный интеграл и его свойства 7 Определенный интеграл и его свойства Определенный интеграл Пусть функция f ( ) определена на отрезке [,] и пусть i (i,,n )- совокупность точек этого отрезка, таких, что n Назовем эту совокупность точек

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

задана на отрезке [ ab ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками a x0 x

задана на отрезке [ ab ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками a x0 x ГЛАВА ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Свойства определенного интеграла Пусть функция y f ( ) задана на отрезке [ ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками n n Интегральной суммой функции f( )

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Задача Первая теорема сравнения

Задача Первая теорема сравнения Первая теорема сравнения Постановка задачи: Исследовать сходимость ряда с неотрицательными членами где = f(, u (), u 2 (),...) и u (), u 2 (),...- функции с известными наименьшими и наибольшими значениями,

Подробнее

11. Несобственный интеграл

11. Несобственный интеграл . Несобственный интеграл.. Говоря в предыдущем параграфе об определенном интеграле, мы рассматривали ограниченные функции, заданные на ограниченных замкнутых промежутках числовой прямой (если хотя бы одно

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

Лекция 9. Несобственные интегралы

Лекция 9. Несобственные интегралы С.А. Лавренченко www.lwrenenko.ru Лекция 9 Несобственные интегралы До сих пор мы имели дело с интегралами по отрезку от непрерывной функции. На этой лекции мы познакомимся с интегралами по бесконечному

Подробнее

10. Несобственный интеграл

10. Несобственный интеграл . Несобственный интеграл ТЕОРИЯ При определении интеграла Римана от участвующих в нем объектов, а именно промежутка интегрирования и заданной на нем функции, предполагались выполненными следующие условия:

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК)

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

Подробнее

Лекция 3. Интегральный признак

Лекция 3. Интегральный признак С. А. Лавренченко www.lwreceko.ru Лекция Интегральный признак Перед прослушиванием этой лекции рекомендуется повторить несобственные интегралы (лекция 9 и практическое занятие 9 из модуля «Интегральное

Подробнее

Лекция 29 «Несобственные интегралы» Кафедра ВМ. Несобственные интегралы 1

Лекция 29 «Несобственные интегралы» Кафедра ВМ. Несобственные интегралы 1 Лекция 29 «Несобственные интегралы» +A lim A + A f x V. P. f x Кафедра ВМ. Несобственные интегралы О п р е д е л е н н ы й и н т е г р а л I. Опр. f x lim λ, n y x i x = x i ξ i x i f(ξ i ) = x. 3. Интуиция

Подробнее

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2011 Chir of Mth. Anlysis, SPb. Stte University. A.V.Poteun, Исследование сходимости несобственных интегралов Методические указания для решения задач А. В. Потепун Как известно (см. [], глава III, 7), если

Подробнее

В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов, М.В. Бутузова НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебное пособие Москва 6 Предисловие Учебное пособие

Подробнее

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям)

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т. И. Коршикова,

Подробнее

2. Степенные ряды. 1. Определения, теоремы и формулы для решения задач. Теорема. (теорема Абеля). Если степенной ряд

2. Степенные ряды. 1. Определения, теоремы и формулы для решения задач. Теорема. (теорема Абеля). Если степенной ряд Степенные ряды Определения, теоремы и формулы для решения задач Определение Функциональный ряд ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 называется степенным рядом, числа R,,, называются коэффициентами степенного ряда

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

УДК (072)(075.8)

УДК (072)(075.8) БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА, К ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ.

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА, К ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ. Тема курса лекций: ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА, К ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ Лекция 8 Интеграл Эйлера-Пуассона Интеграл Лапласа Интеграл Френеля

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания Решение типовых вариантов контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной Методические указания УДК 517.91 Методические указания содержат подробные решения типовых вариантов контрольной работы

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Интегралы". Модуль 2. Определенный

Подробнее

Кафедра ВМ. Несобственные интегралы 1

Кафедра ВМ. Несобственные интегралы 1 +A lim A + A f x V. P. f x Кафедра ВМ. Несобственные интегралы При найденной первообразной эта формула сводит подсчёт определённого интеграла к простой подстановке в первообразную заданных пределов интегрирования...

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Определённый интеграл Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики Томского политехнического университета. Национальный

Подробнее

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1)

18. Степенные ряды Функциональный ряд вида. c n (z a) n, (18.1) 8. Степенные ряды 8.. Функциональный ряд вида c n (z ) n, (8.) n= где c n числовая последовательность, R фиксированное число, а z R, называют степенным рядом с коэффициентами c n. Выполнив замену переменных

Подробнее

1. Числовые ряды, основные понятия.

1. Числовые ряды, основные понятия. Числовой ряд. Числовые ряды, основные понятия. () называется сходящимся, если его частичная сумма (2) имеет конечный предел Тогда называется суммой ряда, а разность lim. (3) (4) называют остатком ряда.

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Интегралы". Модуль 2. Определенный

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Основные понятия и теоремы 1. Интегральные суммы и определенный интеграл. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b] (где a < b). Произвольное

Подробнее

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. Лекция 7. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость несобственного интеграла -го рода. Критерий Коши. Признаки

Подробнее

ТЕМА 1. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. 3 0, n. Ряд сходится. В). Применим признак сравнения с гармоническим рядом: 1!!

ТЕМА 1. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. 3 0, n. Ряд сходится. В). Применим признак сравнения с гармоническим рядом: 1!! ТЕМА РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ Выяснить, какие из указанных рядов сходятся, а какие нет А) cos - расходится не выполнено необходимое условие cos, Б) arctg Применим признак Даламбера:! arctg! arctg

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Лекция 2. Последовательности

Лекция 2. Последовательности Лекция 2 Последовательности Определение. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x, то множество занумерованных чисел x, x2,..., x,...

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 5,6. Краткие теоретические сведения., называется первообразной функцией функции f (x)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 5,6. Краткие теоретические сведения., называется первообразной функцией функции f (x) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Краткие теоретические сведения Функция F () производная от которой равна данной функции f () т е F ( ) f ( ) называется первообразной функцией функции

Подробнее

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.

Глава 3. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Глава. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. Определенный интеграл f ( d ) в главе был введен для случая ко нечного промежутка [, ] и ограниченной функции f (). Теперь это понятие

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ для студентов всех специальностей очной формы

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X,

1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, Глава 4. Интеграл 1. Неопределенный интеграл 1 0. Первообразная и неопределенный интеграл Определение Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на промежутке X, если x X: F'(x) = f(x). Пример

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

Комплексный анализ Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексный анализ Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексный анализ Последовательности и ряды комплексных чисел Никита Александрович Евсеев Физичеcкий факультет Новосибирского государственного университета Китайско-российский институт Хэйлунцзянского

Подробнее

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ].

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ]. Лекция 8 Определённый интеграл Определенный интеграл Римана Пусть f ( ) некоторая функция, определенная на отрезке [, ] Произведем разбиение R отрезка [, ] на п частей: = < 1 < K < n = Выберем на каждом

Подробнее

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b.

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. 1. Определение и основные свойства интеграла Римана Определение разбиения Разбиением отрезка [, b] называется набор точек = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. Разбиение обозначают буквой P. Разбиение может быть

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела Двойной интеграл Определение двойного интеграла и его свойства Как задача вычисления площади криволинейной трапеции приводит к определенному интегралу от функции одной переменной, так аналогичная задача

Подробнее

Теорема 2.7. (Обобщенный признак Коши). Если существует верхний предел lim n a, то при 1. ряд расходится. Пример 14. Исследуем на сходимость ряд

Теорема 2.7. (Обобщенный признак Коши). Если существует верхний предел lim n a, то при 1. ряд расходится. Пример 14. Исследуем на сходимость ряд Теорема.7. (Обобщенный признак Коши). Если существует верхний предел lim a, то при ряд сходится, а при ряд расходится. ( ) Пример 4. Исследуем на сходимость ряд. 4 Первая мысль при рассмотрении данного

Подробнее

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Лекция. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши.. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение. Числовой ряд вида

Подробнее

x i Эта сумма выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, и приближенно заменяет криволинейную трапецию.

x i Эта сумма выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, и приближенно заменяет криволинейную трапецию. Задача о площади криволинейной трапеции =f() B A f(ξ i ) ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ i ξ 1 2 i-1 i S k 1 f ( ) k Эта сумма выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, и приближенно заменяет криволинейную

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЕРЛяликова, ЛИСпинко Несобственные

Подробнее

dx = F (+ ) F (a) (8.37)

dx = F (+ ) F (a) (8.37) 8.9. Несобственные интегралы До данного момента рассматривались определенные интегралы для случая конечного промежутка интегрирования (отрезка) [, ] и интегрируемой функции на нем. Расширим область применения

Подробнее

Лекция Неопределенный интеграл

Лекция Неопределенный интеграл Лекция..3. Неопределенный интеграл Аннотация: Неопределенный интеграл определяется как множество первообразных функций подынтегральной функции. Рассматриваются свойства неопределенного интеграла, приводится

Подробнее

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ПЛАН ЛЕКЦИИ Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВОЙ РЯД Бесконечная сумма чисел вида: а а а... а... 3 называется числовым

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1 Глава 3. Числовые ряды 3.. Занятие 0 3... Сумма ряда Рассмотрим числовую последовательность {a k } k=. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3... Рядом называется выражение вида a + a 2 +...+ a k +...= a k. k= Величина a k называется

Подробнее

1. Бета функция. определяется равенством (1)

1. Бета функция. определяется равенством (1) Лекционные наброски на тему Бета и гамма функции Содержание. 1. Бета функция 1 2. Гамма функция 5 3. Выражение бета-функции через гамма-функцию 7 4. Таблица основных формул 9 Графики гамма функции 11 Графики

Подробнее

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ В.Л. КОПОРУЛІН, І.Л. ШИНКОВСЬКА, І.П. ЗАЄЦЬ, Л.Ф.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ В.Л. КОПОРУЛІН, І.Л. ШИНКОВСЬКА, І.П. ЗАЄЦЬ, Л.Ф. МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ В.Л. КОПОРУЛІН, І.Л. ШИНКОВСЬКА, І.П. ЗАЄЦЬ, Л.Ф. СУШКО ВИЩА МАТЕМАТИКА Частина IV Друкується за Планом навчальної та методичної

Подробнее

Рис. 12. точке. Рассмотрим вопрос о длине дуги l кривой, заданной y f (x), a x b. Впишем в данную гладкую кривую ломаную линию A M

Рис. 12. точке. Рассмотрим вопрос о длине дуги l кривой, заданной y f (x), a x b. Впишем в данную гладкую кривую ломаную линию A M Лекция подготовлена доц Мусиной МВ Приложения определенного интеграла Длина дуги кривой Определение Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу,

Подробнее

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ Билет 1 Дисциплина высшая математика Факультет нефтемеханический специальности АТ,ОБД семестр IV.

ГРОЗНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ Билет 1 Дисциплина высшая математика Факультет нефтемеханический специальности АТ,ОБД семестр IV. Билет. Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица неопределённых интегралов. Непосредственное интегрирование.. Найти неопределённые интегралы: а) + ; б) х cos. Вычислить определенный

Подробнее

Практическое занятие 9. Несобственные интегралы

Практическое занятие 9. Несобственные интегралы СА Лавренченко wwwlwrncnkoru Практическое занятие 9 Несобственные интегралы Типовые расчеты, Несобственные интегралы -го рода Несобственный интеграл -го рода обозначается и определяется следующим образом:

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

«5» Шаг 1 (достаточность) «5» Шаг 2 () «5» Шаг 3 (необходимость) «3» Теорема 3 (теорема сравнения для рядов/мажорантный признак)

«5» Шаг 1 (достаточность) «5» Шаг 2 () «5» Шаг 3 (необходимость) «3» Теорема 3 (теорема сравнения для рядов/мажорантный признак) БИЛЕТ 1 «3» Определение первообразной «3» Пример (гармонический ряд расходится) «3» Пример ( 1/n 2 сходится) «3» Теорема 6 (интегральный признак) БИЛЕТ 2 «3» Определение обобщенной первообразной «3» Теорема

Подробнее

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X

4. Функциональные ряды Основные определения. Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X 4 Функциональные ряды 4 Основные определения Пусть задана бесконечная последовательность функций с общей областью определения X u ), u ( ), K, u ( ),K ( ОПРЕДЕЛЕНИЕ Выражение u ) + u ( ) + K + u ( ) +

Подробнее