ЛЕКЦИЯ 11 ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛЕКЦИЯ 11 ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ"

Транскрипт

1 ЛЕКЦИЯ 11 ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ 1. Аксиомы исчисления предикатов Можно сказать, что исчисление предикатов это то же, что исчисление высказываний, только в формулах с кванторами. Конечной целью изучения данной темы является доказательство теоремы о полноте. Имеются следующие аксиомы исчисления предикатов: Аксиомы 1-11: аксиомы исчисления высказываний. Аксиома 12: x φ φ(t/x), где t/x это корректная подстановка терм t в φ вместо свободных вхождений x. Здесь могут возникнуть проблемы при неверной замене. Например: x y x < y y y < y, что неверно из-за некорректной подстановки. Корректная подстановка означает, что терм t не содержит переменных, по которым стоят кванторы в φ. Это не является формальным определением, так как формальное определение корректной подстановки происходит по индукции. С ним можно ознакомиться в книге Шеня. Аксиома 13: φ(t/x) x φ. Из данных аксиом уже можно получить формулу: Вывод этой формулы выглядит так: 1. x φ φ (аксиома 12); 2. φ x φ (аксиома 13); x φ x φ. 3. По аксиомам исчисления высказываний: x φ x φ (силлогизм). Однако, аксиомы охватывают не все аспекты кванторов.

2 2 2. Правила вывода Имеются следующие правила вывода: 1. Modus ponens, то есть: 2. Первое правило Бернайса: 3. Второе правило Бернайса: A, A B ; B φ ψ x φ ψ ; ψ φ ψ x φ. Для правил Бернайса важно следующее ограничение: x не является параметром ψ. Определение 57: Выводом называется конечная последовательность формул, каждая из которых либо аксиома, либо получается по одному из правил вывода. Пример 43 Имеется формула: Продемонстрируем ее вывод: 1. y φ φ (аксиома 12); 2. φ x φ (аксиома 13); 3. y φ x φ (силлогизм); x y φ y x φ. 4. x y φ x φ (первое правило Бернайса); 5. x y φ y x φ (второе правило Бернайса). Пример 44 Обобщенный закон де Моргана: x φ x φ, x φ x φ. Докажем одну из формул: x φ φ. Если взять контрапозицию, то получится: φ x φ. Воспользуемся правилом Бернайса: x φ x φ.

3 3 Преобразуя следующим образом: x φ φ, получим: По правилу Бернайса: Контрапозиция: В другую сторону: Контрапозиция: По правилу Бернайса: φ x φ. x φ x φ. x φ x φ. φ x φ. x φ φ. x φ x φ. Пример 45 Существует также взаимодействие кванторов с логическими операциями: x (φ ψ) ( x φ x ψ). Выведем: Тогда: Далее запишем: В итоге получаем: x (φ ψ) φ ψ; x (φ ψ) φ. x (φ ψ) x φ. x (φ ψ) x ψ. x (φ ψ) ( x φ x ψ), что и требовалось вывести. В другую сторону вывод аналогичен: x φ φ; x ψ ψ, тогда пропозициональная комбинация: Итак, получаем искомый результат: Имеется еще одно удобное правило: ( x φ x ψ) (φ ψ). ( x φ x ψ) x (φ ψ).

4 4 Теорема 16 (Правило обобщения (generalization)) Если выводимо φ, то выводимо x φ, то есть: φ x φ. Замечание φ x φ не является общезначимой формулой. Докажем правило обобщения: Док-во: Сначала в результате некоего вывода получаем φ. Используя первую аксиому получим: φ (ψ φ), в качестве ψ возьмем аксиому из первых одиннадцати, и ψ не зависит от x. Тогда ψ φ (modus ponens). По второму правилу Бернайса: ψ x φ. Воспользовавшись тем, что ψ это аксиома, получим x φ, что и требовалось доказать. Теорема 17 (О корректности) Если φ выводима, то она общезначима. Доказательство теоремы о корректности следует из того, что все аксиомы общезначимы. Правила вывода преобразуют общезначимые в общезначимые. Рассмотрим на примере аксиомы: x φ φ(t/x). Пусть x φ верно в некоторой интерпретации при некоторой оценке π. Тогда φ верна в той же интерпретации при любой оценке π, совпадающей с π всюду, кроме x (так оценивалась истинность формулы с квантором). В частности, в оценке, при которой: π (x) = [t](π), можно записать: [φ(t/x)](π) = [φ](π ). 3. Корректность правила Бернайса Будем рассматривать: φ ψ x φ ψ, причем ψ не зависит от x. Пусть φ ψ истинно при любой интерпретации на любой оценке.

5 5 Рассмотрим произвольную интерпретацию и произвольную оценку π. Тогда значение формулы ψ на этой оценке: [ψ](π) = [ 1; 0. В первом случае получается, что x φ ψ истинно. Во втором случае, так как φ ψ истинно на любой π, совпадающей с π всюду, кроме x, то φ ложна на любой такой π. Тогда x φ ложно на π, следовательно, x φ ψ истинно на π. 4. Лемма о дедукции Про выводимость из посылок нужно заметить, что посылки только замкнутые формулы. Тогда вывод из множества посылок Γ это последовательность формул, каждая из которых является либо аксиомой, либо элементом Γ, либо получается по одному из правил вывода. Лемма 6 (О дедукции) Если Γ множество замнкутых формул, и A тоже замкнутая формула, то: Γ A B Γ {A} B. Док-во: Первая часть ( ): аналогично с доказательством в исчислении высказываний, запишем: Γ {A} A, A B B. Вторая часть ( ): по индукции доказывается, что: Γ A C u. Если C u это аксиома, или элемент Γ, или A, или получено по modus ponens, то доказательство в точности повторяет аналогичное из исчисления высказываний. Тогда остается два случая правила Бернайса. Первый случай заключается в том, что: Тогда по предположению индукции: C u = x φ ψ, j < i, C u = φ ψ. Γ A (φ ψ). Имеет место пропозициональная эквивалентность: Γ φ (A ψ). Используя тот факт, что A замкнутая, а ψ не содержит x, приходим к выводу, что (A ψ) не зависит от x. Тогда по правилу Бернайса: Γ x φ (A ψ).

6 6 Следовательно: Γ A ( x φ ψ). Второй случай выглядит следующим образом: C u = ψ x φ, j < i, C u = ψ φ. По предположению индукции: Γ A (ψ φ), следовательно: Γ (A ψ) φ. Так как A замкнутая, а ψ не зависит от x, то по правилу Бернайса: Γ (A ψ) x φ. Тогда: Γ A (φ x φ). Лемма доказана. Следствия: Γ φ тогда и только тогда, когда для некоторых γ 1,, γ u Γ выводится: (γ 1 γ u ) φ. Идея доказательства следствия 4 применив много раз лемму о дедукции, получить в итоге: γ 1 (γ 2 (γ 3 (γ u φ))).

ЛЕКЦИЯ 5 ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

ЛЕКЦИЯ 5 ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ ЛЕКЦИЯ 5 ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 1 Аксиомы и правила вывода Если рассматривать другую семантику, то в ней будет другим понятие «тавтология» Основная идея исчисления высказываний состоит в том, что оговаривается

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 6 ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

ЛЕКЦИЯ 6 ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ ЛЕКЦИЯ 6 ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 1 Формулировка теоремы Вспомогательные леммы Теорема о полноте исчисления высказываний будет доказана двумя способами Первый способ проще для понимания,

Подробнее

Введение в математическую логику

Введение в математическую логику Введение в математическую логику Лекция 3 Лев Дмитриевич Беклемишев http://lpcs.math.msu.su/vml2010 lbekl@yandex.ru 25.02.2010 Аксиомы: Исчисление высказываний 1 A (B A), 2 (A (B C)) ((A B) (A C)), 3 A

Подробнее

Математическая логика и теория алгоритмов. Первухин Михаил Александрович

Математическая логика и теория алгоритмов. Первухин Михаил Александрович Математическая логика и теория алгоритмов Первухин Михаил Александрович Исчисление высказываний Лекция 4 Система аксиом и правил вывода Используя понятие формального исчисления, определим исчисление высказываний

Подробнее

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Семинар 5: Логика первого порядка: исчисление предикатов Логическое следование Мы обсуждаем язык первого порядка с некоторой сигнатурой Σ. Вспомним,

Подробнее

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Семинар 2: Исчисление высказываний Определение 1. Из множества формул Γ следует формула A (пишем: Γ = A), если для каждой оценки v имеем: если все формулы

Подробнее

Введение в математическую логику (oсень 2016)

Введение в математическую логику (oсень 2016) Введение в математическую логику (oсень 2016) В.Б. Шехтман Лекция 11 Предваренная нормальная форма Определение 42 Предваренная нормальная форма (ПНФ) это формула вида 1x 1... nx n [x 1,..., x n /a 1,...,

Подробнее

Лекции по математической логике

Лекции по математической логике Лекции по математической логике Секвенциальное исчисление высказываний Александр Сергеевич Герасимов http://gas-teach.narod.ru кафедра информатики математико-механического факультета Санкт-Петербургского

Подробнее

Введение в математическую логику Мех-мат МГУ, 1-й курс, весна 2008 г. Конспект лекции 3

Введение в математическую логику Мех-мат МГУ, 1-й курс, весна 2008 г. Конспект лекции 3 Введение в математическую логику Мех-мат МГУ, 1-й курс, весна 2008 г. Конспект лекции 3 Л.Д. Беклемишев 1.9 Нормальные формы 1.9.1 Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Определение 1.55. Литералами

Подробнее

Исчисление высказываний лекция 4

Исчисление высказываний лекция 4 Исчисление высказываний лекция 4 Лев Дмитриевич Беклемишев http://lpcs.math.msu.su/vml2008 lbekl@yandex.ru 28.02.2008 Аксиомы: Исчисление высказываний 1 A (B A), 2 (A (B C)) ((A B) (A C)), 3 A B A, A B

Подробнее

{ формальные языки - формальные исчисления - теоремы формального исчисления - выводимость в формальном исчислении - свойства выводимости из посылок -

{ формальные языки - формальные исчисления - теоремы формального исчисления - выводимость в формальном исчислении - свойства выводимости из посылок - { формальные языки - формальные исчисления - теоремы формального исчисления - выводимость в формальном исчислении - свойства выводимости из посылок - формальный язык исчисления высказываний - пропозициональные

Подробнее

Вывод в исчислении предикатов

Вывод в исчислении предикатов Вывод в исчислении предикатов В.Я. Беляев Лекция 1. Аксиомы и правила вывода В лекции приводится один из наиболее простых вариантов построения аксиоматики исчисления предикатов. Во-первых, мы ограничиваемся

Подробнее

Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия

Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия i Лекции по Математической логике, часть 2 Профессор, член-корреспондент РАН С.С.Гончаров Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия gonchar@math.nsc.ru L 1 Модели и алгебраические

Подробнее

Математическая логика

Математическая логика Математическая логика и логическое программирование Лектор: Подымов Владислав Васильевич 2016, весенний семестр e-mail: valdus@yandex.ru Лекция 10 Аксиоматические теории Основные свойства теорий Теория

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7 ЛОГИКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ЛЕКЦИЯ 7 ЛОГИКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА ЛЕКЦИЯ 7 ЛОГИКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1. Введение в логику первого порядка Есть два основных квантора существования ( ) и всеобщности ( ). Помимо кванторов есть также не логические, а математические знаки, связывающие

Подробнее

Н.Н. Корнеева. Математическая логика. Конспект лекций

Н.Н. Корнеева. Математическая логика. Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФГАОУ ВПО "Казанский (Приволжский) федеральный университет" Высшая школа информационных технологий и информационных систем Кафедра автономных робототехнических систем

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ ÄÈÑÊÐÅÒÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

Подробнее

Логика предикатов лекция 8

Логика предикатов лекция 8 Логика предикатов лекция 8 Лев Дмитриевич Беклемишев http://lpcs.math.msu.su/vml2010 lbekl@yandex.ru 01.04.2010 Исчисление предикатов Исчисление предикатов сигнатуры Σ задаётся след. аксиомами и правилами

Подробнее

Лекция Раздел 3. Основы логики предикатов. Понятие предиката. Операции над предикатами. Квантор всеобщности и квантор существования.

Лекция Раздел 3. Основы логики предикатов. Понятие предиката. Операции над предикатами. Квантор всеобщности и квантор существования. Лекция Раздел 3. Основы логики предикатов. Понятие предиката. Операции над предикатами. Квантор всеобщности и квантор существования. Термы, элементарные формулы и формулы логики предикатов. Свободные и

Подробнее

Введение в математическую логику Мех-мат МГУ, 1-й курс, весна 2008 г. Конспект лекции 4

Введение в математическую логику Мех-мат МГУ, 1-й курс, весна 2008 г. Конспект лекции 4 Введение в математическую логику Мех-мат МГУ, 1-й курс, весна 2008 г. Конспект лекции 4 Л.Д. Беклемишев 2.6 Непротиворечивые множества формул Определение 2.22. Множество формул Γ называется противоречивым,

Подробнее

Лекция 5 Раздел 5. Дедуктивные теории. Понятие об эффективных и полуэффективных процессах (методах). Задание дедуктивных теорий. Свойства дедуктивных

Лекция 5 Раздел 5. Дедуктивные теории. Понятие об эффективных и полуэффективных процессах (методах). Задание дедуктивных теорий. Свойства дедуктивных Лекция 5 Раздел 5. Дедуктивные теории. Понятие об эффективных и полуэффективных процессах (методах). Задание дедуктивных теорий. Свойства дедуктивных теорий: непротиворечивость, полнота, независимость

Подробнее

Математическая логика и теория вычислимости Лекция 7. Общезначимые формулы логики предикатов

Математическая логика и теория вычислимости Лекция 7. Общезначимые формулы логики предикатов Математическая логика и теория вычислимости Лекция 7. логики предикатов Кафедра математических и информационных технологий Санкт-Петербургского академического университета 27.03.2017 План лекции 1 2 Подстановки

Подробнее

Введение в математическую логику. Лекция 14

Введение в математическую логику. Лекция 14 Введение в математическую логику Лекция 14 1 Язык: Модальные логики В индуктивное определение формулы логики высказываний добавляется еще одна возможность: если A формула, то A тоже формула (читается «необходимо

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 9 НЕВЫРАЗИМОСТЬ ПРЕДИКАТОВ. ЭЛИМИНАЦИЯ КВАНТОРОВ

ЛЕКЦИЯ 9 НЕВЫРАЗИМОСТЬ ПРЕДИКАТОВ. ЭЛИМИНАЦИЯ КВАНТОРОВ ЛЕКЦИЯ 9 НЕВЫРАЗИМОСТЬ ПРЕДИКАТОВ. ЭЛИМИНАЦИЯ КВАНТОРОВ 1. Невыразимость предикатов На этой лекции будут изучены два метода доказательства того, что один предикат является невыразимым через другие. Первый

Подробнее

Математическая логика и теория вычислимости Лекция 5. Интуиционистское исчисление высказываний

Математическая логика и теория вычислимости Лекция 5. Интуиционистское исчисление высказываний Математическая логика и теория вычислимости Лекция 5. Интуиционистское исчисление высказываний Кафедра математических и информационных технологий Санкт-Петербургского академического университета 07.10.2014

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 8 ОБЩЕЗНАЧИМЫЕ ФОРМУЛЫ. ВЫРАЗИМОСТЬ ПРЕДИКАТОВ

ЛЕКЦИЯ 8 ОБЩЕЗНАЧИМЫЕ ФОРМУЛЫ. ВЫРАЗИМОСТЬ ПРЕДИКАТОВ ЛЕКЦИЯ 8 ОБЩЕЗНАЧИМЫЕ ФОРМУЛЫ. ВЫРАЗИМОСТЬ ПРЕДИКАТОВ 1. Общезначимые формулы. Предварённая нормальная форма На предыдущей лекции были изучены правила построения формул с кванторами (формул первого порядка),

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

Основные определения и примеры ( )

Основные определения и примеры ( ) Э. А. Гирш: с/к Сложность пропозициональных доказательств, осень 2010 г. 1 Лекция 1 Основные определения и примеры (09.09.2010) (Конспект: А. Бешенов) 1.1 Введение. Основные определения (Детерминированный)

Подробнее

5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ 5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ Практическое занятие 1. Алгебра высказываний 1.1 Высказывания и операции над ними Под высказыванием понимают предложение, представляющее собой утверждение,

Подробнее

Введениевматематическую логику. Лекция 8

Введениевматематическую логику. Лекция 8 Введениевматематическую логику Лекция 8 1 Логикавысказываний (напоминание) ФормулыстроятсяизлогическихпеременныхА 0,А 1,А 2,... с помощьюлогическихсвязок,,,, искобок. Для формулы определено её значение

Подробнее

5. Исчисление высказываний и предикатов

5. Исчисление высказываний и предикатов 5. Исчисление высказываний и предикатов Пусть дано непустое множество простых предложений Q. Расширим это множество, присоединив к нему все те предложения, которые можно образовать с использованием сентенциональных

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 10 ЭЛИМИНАЦИЯ КВАНТОРОВ. ИГРА ЭРЕНФОЙХТА

ЛЕКЦИЯ 10 ЭЛИМИНАЦИЯ КВАНТОРОВ. ИГРА ЭРЕНФОЙХТА ЛЕКЦИЯ 10 ЭЛИМИНАЦИЯ КВАНТОРОВ. ИГРА ЭРЕНФОЙХТА 1. Элиминация кванторов На предыдущей лекции была изучена элиминация кванторов в случае натуральных чисел, равенств и операции прибавления единицы. В результате

Подробнее

Математическая логика

Математическая логика Математическая логика Лектор: Подымов Владислав Васильевич e-mail: valdus@yandex.ru 2017, весенний семестр Лекция 10 Аксиоматические теории Теория частичных порядков Основные свойства теорий: непротиворечивость,

Подробнее

Введение в математическую логику Мех-мат МГУ, 1-й курс, весна 2008 г. Конспект лекции 7

Введение в математическую логику Мех-мат МГУ, 1-й курс, весна 2008 г. Конспект лекции 7 Введение в математическую логику Мех-мат МГУ, 1-й курс, весна 2008 г. Конспект лекции 7 Л.Д. Беклемишев 3.12 Теории и их модели Определение 3.64. Теорией сигнатуры Σ называем произвольное множество T замкнутых

Подробнее

Аксиоматический метод

Аксиоматический метод Аксиоматический метод Лекция по предмету «основы мат. Обработки информации» Составитель: доцент кафедры ИТОиМ КГПУ им. В.П. Астафьева Романова Н.Ю. Аксиоматический метод построения научной теории заключается

Подробнее

Некоторые примеры эквивалентностей (, обозначают произвольные формулы; ради удобства, крайние скобки часто не пишутся):

Некоторые примеры эквивалентностей (, обозначают произвольные формулы; ради удобства, крайние скобки часто не пишутся): ЛЕКЦИЯ Предмет математической логики Высказывания. Логические связки: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, отрицание. Фиксируем бесконечный список пропозициональных букв (их также называют

Подробнее

Сократ человек Платон человек

Сократ человек Платон человек 1 8.2. Логика предикатов Не всякие высказывания и не любые рассуждения могут быть описаны на языке логики высказываний. Логика предикатов раздел логики, в котором изучаются общезначимые связи между высказываниями

Подробнее

Логика предикатов лекция 7

Логика предикатов лекция 7 Логика предикатов лекция 7 Лев Дмитриевич Беклемишев http://lpcs.math.msu.su/vml2009 lbekl@yandex.ru 26.03.2009 Подстановка в логике предикатов Подстановка C[P/A] разрешена, если P не находится в C в области

Подробнее

Теория формальных систем и алгоритмов

Теория формальных систем и алгоритмов Теория формальных систем и алгоритмов Предварительная программа экзамена (МФТИ, осенний семестр 2017 года) Экзамен состоит из трёх частей: определения и формулировки основных теорем; доказательства фактов

Подробнее

Метод резолюции в Исчислении высказываний

Метод резолюции в Исчислении высказываний Метод резолюции в Исчислении высказываний В.Я. Беляев Лекция 1. Метод Правило резолюции в логике высказываний представляет собой умозаключение со следующей структурой A B, A C B C Здесь A, B и C - произвольные

Подробнее

Введение в математическую логику (oсень 2016)

Введение в математическую логику (oсень 2016) Введение в математическую логику (oсень 2016) В.Б. Шехтман Лекция 1 Высказывания это предложения естественного языка. Естественные языки предмет изучения других наук: лингвистики и филологии. В математической

Подробнее

Московский государственный университет Механико-математический факультет Введение в математическую логику 1-й курс, 2-й семестр Вопросы к экзамену

Московский государственный университет Механико-математический факультет Введение в математическую логику 1-й курс, 2-й семестр Вопросы к экзамену Московский государственный университет Механико-математический факультет Введение в математическую логику 1-й курс, 2-й семестр Вопросы к экзамену 1. Формулы логики высказываний, понятие подформулы. Истинностные

Подробнее

Введение в математическую логику (oсень 2016)

Введение в математическую логику (oсень 2016) Введение в математическую логику (oсень 2016) В.Б. Шехтман Лекция 7 Языки первого порядка: семантика (продолжение) На прошлой лекции было дано определение значений замкнутых термов в модели (определение

Подробнее

Проблема полноты в исчислении высказываний

Проблема полноты в исчислении высказываний Проблема полноты в исчислении высказываний Г.В. Боков В работе проблема полноты систем аксиом в исчислении высказываний рассматривается с позиции оператора замыкания, порожденного правилами вывода. Описываются

Подробнее

Математическая логика и алгоритмы (2014) Программа экзамена

Математическая логика и алгоритмы (2014) Программа экзамена Математическая логика и алгоритмы (2014) Программа экзамена Логика предикатов 1. Сигнатура 1-го порядка. Термы, атомарные формулы, формулы. Вхождение буквы в слово. Свободные и связанные вхождения переменных

Подробнее

Математическая логика

Математическая логика Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Горно-Алтайский государственный университет» Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики Математическая логика Учебно-методический комплекс

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА Логика анализ методов рассуждений. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 0. ВВЕДЕНИЕ Математическая логика (МЛ) анализ методов математических рассуждений с использованием математического аппарата. Более узкая цель МЛ

Подробнее

Исчисление предикатов

Исчисление предикатов Исчисление предикатов Оглавление 1. Определение предиката 2. Множество истинности предиката 3. Классификация предикатов 4. Теоремы о тождественно истинных (тождественно ложных) и равносильных предикатах

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ. ТЕОРЕМА ОБ ОДНОЗНАЧНОСТИ РАЗБОРА

ЛЕКЦИЯ 2 БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ. ТЕОРЕМА ОБ ОДНОЗНАЧНОСТИ РАЗБОРА ЛЕКЦИЯ 2 БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ. ТЕОРЕМА ОБ ОДНОЗНАЧНОСТИ РАЗБОРА 1. Булевы функции. Таблицы истинности Определение 11: Булева функция это функция с булевыми аргументами и булевыми значениями, то есть: f {0, 1}

Подробнее

Введениев математическуюлогику итеориюалгоритмов

Введениев математическуюлогику итеориюалгоритмов Введениев математическуюлогику итеориюалгоритмов Лекция 7 АлексейЛьвович ЛьвовичСеменов 1 15.10.2012 Теория (системааксиом). Истинностьвструктуре. Фиксируемсигнатуру Σ. Множество замкнутых формул мы называем

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ Министерство по образованию и науке Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса А.А. СТЕПАНОВА Т.Ю. ПЛЕШКОВА Е.Г. ГУСЕВ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

Подробнее

Логика предикатов лекция 7

Логика предикатов лекция 7 Логика предикатов лекция 7 Лев Дмитриевич Беклемишев http://lpcs.math.msu.su/vml2008 lbekl@yandex.ru 20.03.2008 Теории Опр. Теорией сигнатуры Σ называем произвольное множество T замкнутых формул языка

Подробнее

Формальные теории После открытия парадоксов в математике были выдвинуты различные пути их преодоления. С этой целью Д.Гильберт выдвинул программу

Формальные теории После открытия парадоксов в математике были выдвинуты различные пути их преодоления. С этой целью Д.Гильберт выдвинул программу Формальные теории После открытия парадоксов в математике были выдвинуты различные пути их преодоления. С этой целью Д.Гильберт выдвинул программу полной формализации математики, т.е. построения математических

Подробнее

А. А. Шум ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ

А. А. Шум ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ & А. А. Шум ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 2 Министерство образования Российской Федерации Тверской государственный технический университет А. А. Шум ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ Учебное

Подробнее

Элементы математической логики: исчисления

Элементы математической логики: исчисления Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Элементы математической логики: исчисления Раздел электронного учебника для сопровождения лекции

Подробнее

ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ. ФОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И АЛГОРИТМЫ

ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ. ФОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И АЛГОРИТМЫ Ю. И. Журавлёв, Ю. А. Флёров, М. Н. Вялый ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ. ФОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И АЛГОРИТМЫ Рекомендовано Учебно-методическим объединением высших учебных заведений Российской Федерации по образованию в

Подробнее

ЛОГИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛОГИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 1 8.3.4. Правила резолюции и склейки в логике предикатов Правило резолюции: Из дизъюнктов P (t 1,..., t n ) F и P (s 1,..., s n ) G выводим дизъюнкт (F) (G), где наиболее общий унификатор множества {P

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 ВВЕДЕНИЕ. ФОРМАЛЬНЫЕ ЯЗЫКИ

ЛЕКЦИЯ 1 ВВЕДЕНИЕ. ФОРМАЛЬНЫЕ ЯЗЫКИ ЛЕКЦИЯ 1 ВВЕДЕНИЕ. ФОРМАЛЬНЫЕ ЯЗЫКИ 1. Введение в математическую логику Рекомендуемая литература по данному курсу трилогия Верещагина и Шеня: «Начала теории множеств», «Языки и исчисления», «Вычислимые

Подробнее

М.М. Арсланов, И.Ш. Калимуллин ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

М.М. Арсланов, И.Ш. Калимуллин ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ М.М. Арсланов, И.Ш. Калимуллин ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ Казань, Издательство Казанского университета, 2007 КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ М.М. Арсланов, И.Ш. Калимуллин ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

Подробнее

Логика предикатов лекция 8

Логика предикатов лекция 8 Логика предикатов лекция 8 Лев Дмитриевич Беклемишев http://lpcs.math.msu.su/vml2009 lbekl@yandex.ru 02.04.2009 Непротиворечивость теории Опр. Теорией сигнатуры Σ называем произвольное множество T замкнутых

Подробнее

Основы математической логики и логического программирования

Основы математической логики и логического программирования Основы математической логики и логического программирования ЛЕКТОР: В.А. Захаров zakh@cs.msu.su http://mathcyb.cs.msu.su/courses/logprog.html Лекция 6. Общая схема метода резолюций. Равносильные формулы.

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННОСТИ В КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ *

ОПРЕДЕЛЕННОСТИ В КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ * А.М.Анисов ОПРЕДЕЛЕННОСТИ В КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ * Abstract. The article discusses the problem of argumentation modelling in the context of uncertainty by means of the classical first-order logics of predicates.

Подробнее

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Лекция 5 Логика отношений До сих пор мы рассматривали некоторую структуру и анализировали формулы в этой структуре. Так, мы рассматривали натуральный

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Булевы и логические функции Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр.

Подробнее

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 1. Алгебра высказываний и логика.

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 1. Алгебра высказываний и логика. Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление 1. Алгебра высказываний и логика. 1.1 Высказывания и логические операции...

Подробнее

О.В. Шефер. Методические указания по выполнению: индивидуальных домашних заданий

О.В. Шефер. Методические указания по выполнению: индивидуальных домашних заданий МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Булевы и логические функции Раздел электронного учебника для сопровождения лекции e-mail: melnikov@k66.ru,

Подробнее

Введение в математическую логику (oсень 2016)

Введение в математическую логику (oсень 2016) Введение в математическую логику (oсень 2016) В.Б. Шехтман Лекция 3 Нормальные формы Определение 10 Литерал это переменная или ее отрицание. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) это дизьюнкция нескольких

Подробнее

АЛГЕБРА ЛОГИКИ 1. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ.

АЛГЕБРА ЛОГИКИ 1. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ. Фарфоровская Ю.Б. АЛГЕБРА ЛОГИКИ Введение. Материал этого раздела рассчитан на 5-7 лекций (разброс связан с тем насколько подробно будут прочитываться доказательства). Заметим, что объективно алгебра логики

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Элементы математической логики: исчисления Раздел электронного учебника для сопровождения лекции

Подробнее

Математическая логика и теория алгоритмов

Математическая логика и теория алгоритмов Математическая логика и теория алгоритмов Лектор: А. Л. Семенов Лекция 2 Оглавление Теория множеств. Продолжение...1 Теория множеств. Пределы расширения...2 Гипотеза Континуума...3 Геометрия. Пятый постулат...4

Подробнее

2 Построение формул первого порядка

2 Построение формул первого порядка Московский физико-технический институт Факультет инноваций и высоких технологий Математическая логика и теория алгоритмов, осень 2017 Лекция 9: Языки первого порядка Краткое содержание Примеры высказываний,

Подробнее

М.И. Голованов, В.Р. Кияткин, В.В. Рыбаков, Е.М. Юрасова

М.И. Голованов, В.Р. Кияткин, В.В. Рыбаков, Е.М. Юрасова Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Сибирский федеральный университет" М.И. Голованов, В.Р. Кияткин, В.В.

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки "Педагогическое образование", профиль Математика,

Подробнее

3. Бесконечно большие функции

3. Бесконечно большие функции 3 Бесконечно большие функции Пусть функция f ( определена в некоторой окрестности точки R, кроме, может быть, самой точки ОПРЕДЕЛЕНИЕ (на языке ε δ Функцию f ( называют бесконечно большой при (в точке

Подробнее

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Лекция 14. Теория множеств Цермело Френкеля. Наш предварительный план состоял в том, чтобы (1) выбрать язык для записи математических утверждений (в

Подробнее

СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ. от 2010 О.Н. Наумова Проректор по УМР С.П. Ермишин

СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ. от 2010 О.Н. Наумова Проректор по УМР С.П. Ермишин ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СЕРВИСА (ПВГУС)» Кафедра «Высшая математика»

Подробнее

Свойства булевых операций. Двойственность

Свойства булевых операций. Двойственность Математическая логика Свойства булевых операций. Двойственность Лектор: к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН Зарипова Эльвира Ринатовна ezarip@mail.ru Курс математической

Подробнее

С.С. Коробков. Элементы математической логики и теории множеств: Учебное пособие/ Урал. гос. пед. ун-т. Екатеринбург, 1999, 63 с. В предлагаемом учебн

С.С. Коробков. Элементы математической логики и теории множеств: Учебное пособие/ Урал. гос. пед. ун-т. Екатеринбург, 1999, 63 с. В предлагаемом учебн Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Уральский государственный педагогический университет С.С. Коробков ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Учебное пособие

Подробнее

Введение в теорию моделей (весна 2017)

Введение в теорию моделей (весна 2017) Введение в теорию моделей (весна 2017) В.Б. Шехтман Лекция 1 Языки первого порядка: синтаксис Определение 1 Сигнатурой (первого порядка) называется четверка вида L = (Const L, F n L, P r L, ν), в которой

Подробнее

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Семинар 4: Языки первого порядка Выразимость в арифметике (продолжение) Чтобы выразить x = 2 z в структуре (N, +,, =), было бы желательно уметь говорить

Подробнее

Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА. 1. Схема построения абстрактной меры Лебега.

Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА. 1. Схема построения абстрактной меры Лебега. Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА На прошлой лекции мы рассмотрели построение меры Лебега плоских множеств. Теперь наша задача обобщить эту процедуру на случай произвольных множеств. При этом существо схемы

Подробнее

Билет 3 1. Теорема о дедукции для гильбертовского исчисления высказываний. 2. Эквивалентность понятий максимального фильтра и ультрафильтра.

Билет 3 1. Теорема о дедукции для гильбертовского исчисления высказываний. 2. Эквивалентность понятий максимального фильтра и ультрафильтра. Билет 1 1. Теорема о мощности декартова квадрата бесконечного множества. 2. Сигнатуры, модели. Гомоморфизмы, изоморфизмы, изоморфные вложения, подмодели. Отношение конгруэнтности, фактор-модели. Билет

Подробнее

ИНФОРМАТИКА И ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ИНФОРМАТИКА И ПРОГРАММИРОВАНИЕ ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2010 Управление вычислительная техника и информатика 2(11) ИНФОРМАТИКА И ПРОГРАММИРОВАНИЕ УДК 68103 АМ Бабанов АС Скачкова МЕТОДИКА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ

Подробнее

Лекции по математической логике

Лекции по математической логике Лекции по математической логике Язык логики высказываний и его семантика Александр Сергеевич Герасимов http://gas-teach.narod.ru кафедра информатики математико-механического факультета Санкт-Петербургского

Подробнее

Основы логики. Логические операции и таблицы истинности

Основы логики. Логические операции и таблицы истинности Основы логики. Логические операции и таблицы истинности Основы логики. Логические операции и таблицы истинности На данной странице будут рассмотрены 6 логических операций: конъюнкция, дизъюнкция, инверсия,

Подробнее

Основные положения логики высказываний

Основные положения логики высказываний Основные положения логики высказываний Основными объектами традиционных разделов логики являются высказывания. Высказывание повествовательное предложение (утверждение, суждение), о котором имеет смысл

Подробнее

Лекция 3. Математические предложения и доказательства в курсе геометрии основной школы

Лекция 3. Математические предложения и доказательства в курсе геометрии основной школы канд. пед. наук, доц. Вячеслав Евгеньевич Пырков pyrkovve@yandex.ru. Математические предложения и доказательства в курсе геометрии основной школы План лекции 1. Формы мышления 2. Элементы доказательства

Подробнее

или непосредственно выводимым выражением из формул, полученным по правилу вывода R. Если существует R l

или непосредственно выводимым выражением из формул, полученным по правилу вывода R. Если существует R l Лекция 4 Формальные системы и умозаключения Логика предикатов Цель лекции познакомить студентов с формальными системами, с исчислением высказываний и предикатов, с умозаключениями как формой мышления 4

Подробнее

Вычислительная сложность логики ALC

Вычислительная сложность логики ALC Глава 5 Вычислительная сложность логики ALC 5.1 Верхняя оценка сложности логики ALC Обычно длиной какого-либо синтаксического объекта (концепта, TBox, ABox и т.п.) называют число символов, использованных

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 38.03.01 (080100.62 Экономика. Профиль

Подробнее

Запросы к базам знаний

Запросы к базам знаний Глава 8 Запросы к базам знаний База знаний представляет собой совокупность утверждений о некоторой предметной области, собранную экспертами в этой области. Чтобы этими знаниями можно было пользоваться,

Подробнее

Математическая логика

Математическая логика Математическая логика Лектор: Подымов Владислав Васильевич e-mail: valdus@yandex.ru 2017, весенний семестр Лекция 11 Формальная арифметика Явные логические определения Теорема Гёделя о неполноте Аксиомы

Подробнее

Логика высказываний лекция 2

Логика высказываний лекция 2 Логика высказываний лекция 2 Лев Дмитриевич Беклемишев http://lpcs.math.msu.su/vml2008 lbekl@yandex.ru 14.02.2008 Объявление Просеминар по математической логике и информатике http://proseminar.math.ru/

Подробнее

Основы математической логики.

Основы математической логики. Основы математической логики. Киселев Александр Сергеевич Аничков лицей, 6 класс, первый год обучения январь-февраль 2012/13 учебный год 1 Высказывания и предикаты 1.1 Высказывания Определение 1.1. Определение:

Подробнее

Введение в математическую логику Лекция 7

Введение в математическую логику Лекция 7 Введение в математическую логику Лекция 7 Напомним некоторые определения и обозначения. Основным отношением для нас является истинность замкнутой формулы в некоторой структуре (модели). А именно, пусть

Подробнее

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2010 Математика и механика 1(9) В.М. Зюзьков НЕРАЗРЕШИМЫЕ КОСВЕННО РЕФЛЕКСИВНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2010 Математика и механика 1(9) В.М. Зюзьков НЕРАЗРЕШИМЫЕ КОСВЕННО РЕФЛЕКСИВНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2010 Математика и механика 1(9) УДК 519.95 В.М. Зюзьков НЕРАЗРЕШИМЫЕ КОСВЕННО РЕФЛЕКСИВНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ Для теории формальной арифметики доказывается обобщение

Подробнее