Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Транскрипт

1 Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат в пространстве Oxyz ; точка O начало координат (рис. ). O Рис. Каждой точке пространства Oxyz соответствует тройка чисел ( y z) x ее координаты. Расстояние между точками x y ) и x y ) ( z трехмерного пространства равно d ( x x ) ( y y ) ( z z. ) ( z 7. Плоскость В декартовой системе координат в пространстве любая плоскость может быть задана уравнением первой степени (или линейным уравнением) связывающим координаты точки в пространстве: A x B y C z D (7.) причем коэффициенты A B C не равны нулю одновременно A B C. Уравнение (7.) называется общим уравнением плоскости. Любой ненулевой вектор перпендикулярный данной плоскости называется нормальным вектором этой плоскости. Пусть даны плоскость и точка ( x y z ). Рассмотрим n A B C плоскости и произвольную точку ( x y z) (рис. ). нормальный вектор

2 Точка Рис. тогда и только тогда когда x x y y z z n следовательно скалярное произведение двух векторов n. Отсюда следует A ( x x) B( y y ) C ( z z) (7.) Уравнение (7.) уравнение плоскости составленное по точке ( x y z ) и нормальному вектору n A B C. В уравнении () раскроем скобки: A x B y C z Ax B y C z и обозначим D Ax B y C z. Получим уравнение (7.): A x B y C z D общее уравнение плоскости. Если плоскость проходит через три точки (a) N ( b) P ( c) лежащие на осях координат то ее уравнение имеет вид x y z a b c. (7.3) Уравнение (7.3) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Рассмотрим две плоскости : A x B y C z D и : A x B y C z D. Угол образованный этими двумя плоскостями можно найти по формуле cos A A B B C C. (7.4) A B C A B C Условие параллельности плоскостей имеет вид A B C. (7.5) A B C Условие перпендикулярности двух плоскостей и имеет вид A A B B CC. (7.6) Расстояние от точки ( x y z ) до плоскости : Ax B y C z D определяется по формуле A x B y d. (7.7) A B C z C D

3 7.3 Прямая в пространстве Прямая в пространстве может быть задана двумя пересекающимися плоскостями и (рис.3) уравнения которых : A x B y C z D и A x B y C z D. : Рис. 3 В этом случае уравнение прямой будет иметь вид A x B y C z D (7.8) A x B y C z D. Уравнение (7.8) называют общим уравнением прямой. Любой ненулевой вектор коллинеарный данной прямой называется направляющим вектором данной прямой. Пусть в пространстве дана прямая L ее направляющий вектор l m n p и точка x y z ) L (рис. 4). ( O Рис. 4 Точка x y z) L x x y y z z коллинеарен l m n p. Из условия коллинеарности двух векторов получаем ( тогда и только тогда когда x x y y z z m n p. (7.9) Уравнения (7.9) называются каноническими уравнениями прямой.

4 Уравнения прямой проходящей через точки ( x y z) и ( x y z ) записываются в виде x x y y z z. (7.) x x y y z z Параметрические уравнения прямой получаются из уравнений (7.9) если каждое из отношений (7.9) приравнять к параметру t : x mt x y nt y (7.) z pt z. Угол между двумя прямыми L и L с направляющими векторами l m n p и l m n p определяется по формуле cos m m n n p p. (7.) m n p m n p Условие параллельности двух прямых имеет вид m n p. (7.3) m n p Условие перпендикулярности двух прямых записывается в виде m m n n p p. (7.4) 7.4 Прямая и плоскость в пространстве Основными задачами на прямую и плоскость в пространстве являются: нахождение угла между прямой и плоскостью; проверка условий параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости; нахождение точки пересечения прямой с плоскостью; проверка условий принадлежности прямой плоскости. Рассмотрим плоскость заданную общим уравнением A x B y C z D x y y z z m n p x и прямую L заданную каноническими уравнениями. Угол между прямой L и плоскостью является дополнительным к углу между направляющим вектором прямой l m n pи нормальным вектором плоскости n A B C (рис. 5).

5 Рис. 5 Из определения скалярного произведения l n l n cos и равенства cos sin получим формулу для определения угла между прямой L и плоскостью : Am B n C p sin. (7.5) A B C m n p Ели прямая параллельна плоскости то вектор l m n p перпендикулярен вектору n A B C. В этом случае условие параллельности прямой и плоскости имеет вид A m Bn C p. (7.6) Ели прямая перпендикулярна плоскости то вектор l m n p параллелен вектору n A B C. Условием перпендикулярности прямой и плоскости являются равенства A m B C n p. (7.7) Для нахождения точки пересечения прямой с плоскостью надо решить систему уравнений x x m A x y y z z n p B y C z D. (7.8) Прямая лежит в плоскости если она ей параллельна и каждая точка прямой принадлежит плоскости. Пусть точка ( x y z ) лежит на заданной прямой тогда условие принадлежности прямой плоскости имеет вид; Am Bn C p (7.9) Ax B y C z D.

6 Примеры решения задач Пример 7.. Найти угол между плоскостью : 3x y z 4 и прямой проходящей через начало координат и точку ( ; ;3). Вычислить расстояние от точки до плоскости. Решение. Составим уравнение прямой L проходящей через точку O (;;) (начало координат) и точку ( ; ;3). Для этого подставим координаты указанных точек в уравнение (7.): x y z x y z 3 3 уравнение прямой L. Угол между прямой L и плоскостью найдем по формуле (7.5): 3 ( ) ( ) sin следовательно sin. 3 ( ) ( ) Расстояние от точки ( ; ;3) до плоскости : 3x y z 4 найдем по формуле (7.7): Ответ: 3 ( ) d. 3 ( ) sin d. 4 4 Пример 7.. Показать что прямая y z x y z 3 5 6x 3y 5z 4. параллельна плоскости x и перпендикулярна плоскости Решение. Если прямая параллельна плоскости то выполняется условие (7.6).Так как ( ) 5 то прямая x y z 3 5 параллельна плоскости x y z. Если прямая перпендикулярна плоскости то выполняется условие (7.7) Так как 5 6 3y 5z 4 то прямая x y z 3 5 перпендикулярна плоскости x. Что и требовалось доказать.

7 Пример 7.3. Найти точку пересечения прямой x y z плоскостью x y 3z 9. Решение. Найти точку пересечения прямой с плоскостью можно решив систему (7.8). Для этого поступим следующим образом. Запишем параметрические уравнения прямой x y z используя формулу (7.): x t y t z t. Подставим выражения для переменных x y z в уравнение плоскости: t ( t ) 3(t ) 9 t. Подставляя найденное значение параметра t в параметрические уравнения прямой найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью: x 4 y 3 z 3. Ответ: ( 4; 3; 3) точка пересечения прямой с плоскостью. Пример 7.4. Показать что прямая x y z. x y z 3 5 с лежит в плоскости Решение. Условием принадлежности прямой плоскости является выполнение условий (7.9). Проверим выполнение первого из условий: Am Bn Cz. Для этого выпишем координаты нормального вектора n ( ;; ) плоскости и направляющего вектора l (;; 5) прямой. Так как Am Bn Cz ( ) то делаем вывод что данное условие выполнено. Проверим выполнений второго из условий: A x B y C z D. Для этого выпишем координаты токи ( ; ; 3) принадлежащей данной прямой. Подставим координаты точки в уравнение плоскости: ( ) ( ) ( 3) 3. Данное условие также выполнено. Так как условия (7.9) полностью выполнены то делаем вывод о том что данная прямая лежит в указанной плоскости. Что и требовалось доказать.