, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download ", которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x"

Транскрипт

1 Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S p p a p b p c где a b c - длины сторон треугольника а p a b c)/ - полупериметр Площадь треугольника зависит от длин его сторон следовательно S является функцией трех аргументов Квартирная плата зависит от размера площади квартиры от количества жильцов от тарифов на электричество газ воду холодную и горячую значит величина квартирной платы есть функция от этих показателей Предприятие производит n видов продукции в объемах n которые реализует по фиксированным ценам p p pn следовательно выручка от продажи равная Q p p p n n представляет функцию n аргументов n Пусть имеется n переменных n и переменная которые связаны между собой так что каждому набору числовых значений переменных n соответствует единственное значение переменной Тогда говорят что задана функция f ) n Переменные n называются аргументами этой функции а переменная называется значением функции от n переменных Как и функции одной переменной функции многих переменных можно задавать аналитически таблично графически и при помощи некоторого алгоритма При аналитическом способе задания функции ее значение определяется формулой от аргументов функции Приведенная выше формула Герона площади задана аналитическим способом Табличный способ для задания функций многих переменных применяется весьма часто в экономике Кроме того он иногда необходим в расчетах на ЭВМ Графический способ задания функции более чем двух переменных почти не применяется из-за трудностей изображения графика такой функции Функции двух переменных В дальнейшем будем рассматривать функции двух переменных Для функций большего числа переменных все факты о которых будет идти речь или аналогичны или сохраняются без всякого изменения Аргументы функции двух переменных будем обозначать как правило и а значение функции Переменная называется функцией двух переменных если любой паре чисел ; из некоторого множества D поставлено в соответствие единственное число которое обозначается f ; и называется значением функции f ; в точке ; Множество D называется областью определения функции

2 Поскольку любую пару чисел ; можно рассматривать как координаты точки M на плоскости то вместо f ; ) можно писать f M) При этом аргументами функции являются координаты ; точки M Графиком функции двух переменных f ; называется множество точек ; ; f ; ) трехмерного пространства где ; D и представляет собой некоторую поверхность Например область определения функции f ; 6 находится из условия 6 или 6 и это круг с центром в начале координат радиуса а графиком является верхняя половина сферы рис ) Z O Y X Рис График функции двух переменных может представлять сложную геометрическую фигуру Для лучшего представления графика изучают сечения графика плоскостями параллельными координатным плоскостям OXY OYZ и OXZ Рассмотрим сечение графика функции f ; плоскостью C которая параллельна координатной плоскости OXY и пересекает ось Z в точке C Спроектируем линию пересечения этой плоскости с поверхностью f ; на плоскость OXY и получим линию уровня функции f ; Придавая различные значения параметру C можно получить множество линий уровня функции Из определения функции следует что различные линии уровня не пересекаются Следовательно линия уровня представляет собой множество всех точек плоскости XOY для которых выполняется равенство f ; C см рис )

3 Z Поверхность f Плоскость сечения c O Y X Линия уровня Рис Пример Пусть Для получения линии уровня этой поверхности необходимо рассмотреть сечение поверхности плоскостью C Отсюда вытекает уравнение C Если C то линии уровня есть окружности с центром в начале координат и радиуса R C Если C то получаем одну точку O ;) При C уравнение не имеет решения и следовательно нет пересечения поверхности с плоскостью Поверхность представляет круговой параболоид см рис ) Z O Y X Рис

4 Предел функции двух переменных Пусть - некоторое положительное число -окрестностью точки M ; ) называется множество всех точек M ; координаты которых удовлетворяют неравенствам Очевидно что -окрестность M ; ) точки представляет собой круг радиуса с выколотым центром Пусть функция f ; определена в некоторой окрестности точки M ; ) за исключением быть может самой точки Число А называется пределом функции f ; если для любого существует положительное такое что для всех M ; M ; ) и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство f ; f ; ) Обозначается предел следующим образом: lim f M A или lim f ; A M M Из определения предела следует что если предел существует то он не зависит от пути по которому точка M ; приближается к точке M ; ) В случае функции одной переменной таких направлений два: слева и справа а в случае функции двух переменных таких направлений бесконечно много sin Пример Вычислить lim sin Функция не определена в точке M ; ) sin t Вычислим предел имея в виду первый замечательный предел lim : t t sin sin lim lim Пример Вычислить lim Вычислим предел задав направление приближения к точке ;) по прямым lim lim k) k) k k k Значение предела зависит от углового коэффициента k прямой по которой происходит приближение к точке ;) Следовательно данный предел не существует

5 Непрерывность функции двух переменных Функция f ; называется непрерывной в точке M ; ) если lim f M M M Это определение фактически повторяет определение непрерывности в точке для функции одной переменной Функция непрерывная в каждой точке области называется непрерывной в области Точки в которых нарушается непрерывность функции называются точками разрыва Точки разрыва функции двух переменных могут составлять линии разрыва Например функция имеет две линии разрыва и Геометрический смысл непрерывности состоит в том что график непрерывной функции представляет нерасслаивающуюся поверхность Используя определение непрерывности функции и теоремы о пределах можно доказать что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции приводит к непрерывной функции Пример Исследовать на непрерывность функцию ln f ; ln Функция определена в окрестности точки ;) и так как lim то функция непрерывна в точке ;) f M 5 Дифференцирование функции двух переменных Пусть задана функция f ; определенная в некоторой области D Возьмем некоторую точку из этой области Дадим переменной приращение оставляя переменную неизменной Тогда функция получит приращение f ; f ; которое называется частным приращением функции f ; по так как оно вызвано изменением значения лишь одной переменной Если существует предел f ; f ; lim lim то он называется частной производной функции f ; в точке M ; по переменной Обозначаются частные производные по переменной следующим образом: ; ; ; f ; Частные производные функции f ; по переменной в точке M ; ) : ; ) ; ) ; ) f ; ) Подобным образом определяются частное приращение и частная производная функции f ; по : f ; f ; 5

6 f ; f ; lim lim ; ; ; ) ; ) ; f ; ; ) f ; ) Если частные производные функции f ; ) существуют а точка в которой вычисляются частные производные несущественна то применяют краткие обозначениями: f f ; ; f; f ; ; При нахождении частных производных необходимо применять правила дифференцирования функции одной переменной считая другую переменную постоянной Пример 5 Найти частные производные функции ; Пример 6 Вычислить частные производные функции в точке M ; ) Найдем сначала частные производные Пусть переменная постоянна тогда ; 6 Считая переменную постоянной получаем ; Вычислим значения частных производных в точке: ; ) 6 6 и ; ) 5 Геометрический смысл частных производных Графиком функции f ; является поверхность рис ) 6

7 Z Поверхность =f; O Y X M ; ) β α и Рис График функции f ; ) есть линия пересечения этой поверхности и плоскости Из геометрического смысла производной для функции одной переменной вытекает что f ; ) tg где угол между осью OX и касательной к графику f ; ) в точке M ; ; f ; )) Аналогично f ; ) tg где угол между осью OY и касательной к графику f ; в точке M ; ; f ; )) Экономический смысл частных производных Рассмотрим в качестве примера производственную функцию Кобба-Дугласа AK L где A неотрицательные константы и ; К объем производственных фондов в стоимостном выражении или в натуральном количестве например количество станков; L объем трудовых ресурсов например количество рабочих; объем выпускаемой продукции в стоимостном выражении Величина l называется средней производительностью труда количество продукции L произведенное одним рабочим) Величина k - средняя фондоотдача количество продукции приходящееся на одну K единицу производственных фондов) K Величину f называют средней фондовооруженностью стоимость производственных L фондов приходящаяся в среднем на единицу трудовых ресурсов При фиксированном объеме фондов K и количестве рабочих L имеем объем продукции AK L K; L) Если нанять еще одного рабочего то приращение объема выпускаемой равно K; L ) K; L) 7

8 Это частное приращение функции K; L) по трудовым ресурсам следовательно L K; L) L L K; L) L ) Значит частная производная от производственной функции по объему трудовых ресурсов приближенно равна добавочной стоимости продукции произведѐнной одним дополнительным ' рабочим Частная производная L AK L называется предельной производительностью труда Если увеличить фонды на единицу купить дополнительно один станок) то добавочная стоимость продукции произведенной на нем приближенно равна частной производной от производственной функции по производственным фондам Эта частная производная ' K K L называется предельной фондоотдачей И предельная производительность труда и предельная фондоотдача абсолютные величины В экономике рассматриваются и относительные величины Например при изучении следующих задач На сколько процентов изменится объем выпускаемой продукции если количество рабочих увеличится на % или если фонды возрастут на %? Для решения таких задач применяют эластичность функции Найдем эластичность объема выпускаемой продукции по фондам: K K EK ) K K; L) A K L K; L) AK L Следовательно параметр - эластичность производственной функции по фондам он показывает на сколько процентов увеличится объем выпускаемой продукции если производственные фонды увеличить на % Аналогично параметр это эластичность объема выпускаемой продукции по трудовым ресурсам K K EL ) L K; L) A K L K; L) AK L Пример 7 На предприятии работает человек каждый из них за месяц производит продукции на млн руб Производственные фонды оцениваются в млрд руб Чтобы увеличить объем выпускаемой продукции на % необходимо увеличить производственные фонды на 6% или количество рабочих на 9% Составить производственную функцию Кобба- Дугласа для этого предприятия и вычислить величину средней фондоотдачи Для производственной функции Кобба-Дугласа AK L необходимо определить значения параметров A Из условий задачи следует если увеличить производственные фонды на % то объем выпускаемой продукции увеличится на 5 % Значит эластичность выпуска по производственным фондам Аналогично эластичность выпуска по трудовым ресурсам Следовательно функция Кобба-Дугласа имеет вид: / / AK L Для определения параметра A подставим исходные данные и значения параметров в производственную функцию: 6 A ) ) Отсюда A и функция Кобба-Дугласа имеет вид: / / K L 6 Средняя фондоотдача равна k K 8

9 6 Частные производные высших порядков Пусть функция f ; дифференцируема на некоторой области Частные производные ; и ; называются частными производными первого порядка Частные производные первого порядка как функции двух переменных можно дифференцировать по и по : ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Эти производные называются частными производными второго порядка Частные производные ; и ; отличающиеся порядком дифференцирования называются смешанными производными Пример 8 Найти частные производные второго порядка функции Найдем сначала частные производные первого порядка: Отсюда В этом примере 6 В общем случае смешанные производные зависят от порядка дифференцирования Теорема Если частные производные высшего порядка непрерывны то смешанные производные одного порядка отличающиеся только последовательностью дифференцирования равны между собой 7 Дифференциал функции двух переменных Рассмотрим функцию f ; имеющую в точке M ; частные производные f ; и f ; Перейдѐм от точки M ; к точке N ; придавая переменным и в точке M произвольные приращения и соответственно При этом функция в точке M получит полное приращение f ; f N) f M) f ; f ; Если полное приращение функции можно представить в виде f ; A B ) где ; ; при то функция называется дифференцируемой в точке M ; 9

10 Главная часть приращения функции f ; линейная относительно и у называется полным дифференциалом функции в точке M ; и обозначается df ; и справедлива формула df ; f ; d f ; d ) где f ; d d f ; и f ; d d f ; - частные дифференциалы функции f ; Пример 8 Найти полный дифференциал функции в точке M ; ) Найдем частные производные функции: ; Вычислим частные производные в точке M ; ) : ;) ; ;) Полный дифференциал точке M ; ) равен d d 6d Из формулы ) также следует что lim f ; Это значит что функция f ; непрерывна в точке M ; Следовательно дифференцируемая в точке функция непрерывна в этой точке Существование обеих частных производных функции в точке не означает что функция дифференцируема в этой точке Справедливо утверждение что если обе частные производные функции в точке непрерывны то функция дифференцируема в этой точке При малых значениях и из ) можно получить приближенную формулу 6 f ; f ; f ; f ; ) которую применяют для приближенных вычислений значений функции двух переменных 8 Дифференциалы высших порядков порядка Полный дифференциал функции f ; называют дифференциалом первого Пусть функция f ; имеет непрерывные частные производные второго порядка Дифференциал второго порядка определяется как дифференциал от дифференциала первого порядка те d d d) Найдем выражение для дифференциала второго порядка: Учитывая что d d d d получим d d d d ' d d d d d ' d d d

11 d d dd d Символически дифференциал второго порядка записывается следующим образом: где d d d Аналогично можно получить формулу для дифференциала третьего порядка: d d d d d d Дифференциал n го порядка: ) d d d d d d d n n d d d ) d d Полученные формулы справедливы лишь в случае когда переменные х и у функции f ; являются независимыми Пример 9 Вычислить дифференциал второго порядка для функции Вычислим частные производные первого порядка: Вычислим частные производные второго порядка: 8 d Следовательно d d 6 dd d n

12 9 Производная по направлению градиент Для функции двух переменных нельзя ввести понятия монотонности возрастания или убывания) Рассмотрим функцию f ; график которой изображен на рис 5 Z M ) l ) l ) O M ; ) l Y X l Рис 5 В области определения зададим два луча l и l выходящие из точки М х; у) Из рисунка видно что функция убывает в направлении l и возрастает в направлении l При исследовании функции в некоторой точке находят направления по которым функция убывает или возрастает и скорость изменения функции по этим направлениям В связи с этим вводится понятие производной по направлению Пусть функция f ; определена в некоторой окрестности точки M ; ) и l cos ;cos по направлению вектора l : ) - единичный вектор Определим прямую проходящую через точку t cos t cos t R t cos На прямой выберем точку M ; ) с координатами Вычислим приращение функции M) M ) f t cos ; t cos ) f ; ) Предел отношения f t cos ; t cos ) f ; ) lim lim t t t t t если он существует называется производной по направлению и обозначается Производная по направлению l определяет скорость изменения функции по направлению l Частные производные ; и ; это производные по направлениям параллельным координатным осям OX и OY соответственно cos M ; ) или l l

13 Вычисляют производную по направлению по формуле: ; ) ; ) ; ) cos cos l Градиентом функции f ; называется вектор ; ; grad ; ; Теперь производную по направлению можно вычислить как скалярное произведение градиента и единичного вектора задающего направление: ; ) ; ) ; ) grad ; ) l cos cos l Пусть - угол между векторами grad ; ) и l тогда ; ) l grad ; ) cos Из этой формулы следует что производная по направлению от функции f ; в точке M ; ) принимает наибольшее значение если это направление совпадает с градиентом Иначе говоря градиент функции в точке направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в этой точке Кроме того наибольшее значение производной по направлению в точке или наибольшее значение скорости возрастания функции в точке равно длине вектора-градиента функции в этой точке Если вектор grad ; ) задает направление и величину наибольшего роста функции в точке M ; ) то вектор grad ; ) - направление и величину наименьшего роста Пример Для функции 7 вычислить производную в точке M ; ) по направлению к точке M ; ) Найти направление наибольшего роста функции в точке M ; ) Вычислим частные производные первого порядка: Найдем вектор M M и его направляющие косинусы: M M ;) M M 5 5 cos 5 cos 5 Производная функции по направлению M M в произвольной точке равна ; у) l 5 5 и ; ) _ l Найдем градиент функции: grad ; ; grad ; ) ; Производная по направлению градиента:

14 ; ) grad ; ) l Теорема Пусть градиент функции f ; в точке M ; ) не равен нулю Тогда градиент перпендикулярен линии уровня проходящей через данную точку Доказательство Линия уровня определяется уравнением f ; С где константа C находится из равенства f ; ) C Пусть это уравнение можно разрешить относительно те на линии уровня справедливо равенство g) Вектор касательной к линии уровня имеет координаты k ; g )) Умножим этот вектор на d получим вектор k d d; g ) d) d; d касающийся линии уровня На линии уровня f ; С следовательно df или d d Левая часть этого равенства скалярное произведение градиента вектора к линии уровня d ; d Значит эти векторы перпендикулярны ; и касательного Пример Показать что градиент функции 5 в точке M ; ) ортогонален к линии уровня проходящей через эту точку Линия уровня определяется из уравнения ; ) С те C и 5 Разрешим это уравнение относительно : 5 Вычислим производную в точке M ; ) : 59 8 и 5 ) ) 7 Вектор касательной равен k ; 7) Найдем градиент функции в заданной точке: grad ; 5 ;5 и grad ;) ; 7 Векторы k ; 7) и grad ;) ; 7 легко проверить ортогональны Дифференцирование неявной функции Функция f ; называется неявной если она задана уравнением F ; ; ) Если это уравнение неразрешимо относительно переменной то для вычисления частных производных ; и ; поступают следующим образом В уравнение F ; ; ) вместо подставляют f ; и получается тождество: где функция зависит от двух переменных F ; ; f ; ) Частные производные функции тождественно равной нулю тоже равны нулю Считая постоянной находят частную производную по : Отсюда если F F ; ; f ; ) F F

15 F F Подобным образом приняв переменную постоянной из уравнения F ; ; f ; ) F F получают F F F Пример Найти частные производные неявной функции cos в точке M ; ) Так как F ; ; ) cos то F F F sin ) Отсюда F F и F sin F sin При и из уравнения cos получаем и поэтому M ) M ) sin sin Касательная плоскость и нормаль к поверхности Пусть поверхность задана уравнением f ; где функция дифференцируема в некоторой точке M ; ) см рис 6) l Z Поверхность =f; N O P Y = M X Касательная плоскость к поверхности =f; Рис 6 Построим сечения поверхности плоскостями и Подставив в уравнение f ; получим уравнение линии ) по которой плоскость рассекает поверхность 5

16 Функция f ; дифференцируема в точке M ; ) значит и функция ) дифференцируема при Поэтому в плоскости к линии ) в точке можно провести касательную l : f ; ) ) Подобным образом можно получить уравнение ) линии пересечения поверхности плоскостью и построить касательную l к линии пересечения: f ; ) ) Прямые l и l определяют единственную плоскость которая называется касательной плоскостью к поверхности Плоскость P проходит через точку N ; ; ) где f ; ) поэтому еѐ уравнение можно записать в виде A ) B ) C ) коэффициенты A B и C необходимо определить Перепишем уравнение: A B ) ) С С Касательная l лежит в плоскости P значит координаты любой еѐ точки удовлетворяют уравнению плоскости Это условие запишем в виде системы уравнений: A B ) ) С С f ; ) ) B Отсюда находим f ; ) С Далее учитывая что прямая l также лежит в плоскости P из системы уравнений A B ) ) С С f ; ) ) A получаем f ; ) С Следовательно уравнение касательной плоскости к поверхности f ; в точке M ; ) имеет вид: f ; ) ) f ; ) ) Если поверхность задана уравнением F ; ; ) то частные производные найдем как производные неявной функции F ; ; ) f ; ) и F ; ; ) f ; ) F ; ; F ; ; ) ; ; ) ; ; ; ; ) ) F ; ; ) ) F ; ; ) ) Уравнение касательной плоскости к поверхности F в точке N ) имеет вид: F ) 6

17 Прямая проходящая через точку M ; ) и перпендикулярная к касательной плоскости поверхности f ; называется нормалью Каноническое уравнение нормали: f ; ) f ; ) Если поверхность задана уравнением F ; ; ) то уравнение нормали имеет вид: F ; ; ) F ; ; ) F ; ; ) Пример Написать уравнение касательной плоскости к поверхности M ; ) Вычислим частные производные функции в заданной точке: M ) и Так как при и то уравнение касательной плоскости имеет вид: ) ) или в точке Задачи для самостоятельного решения В следующих задачах найти область определения функции f ; и изобразить еѐ в плоскости OXY ; ; ; 5 ; 5 ln ; ln ; ) ) ) ; 8 ; ; ln6 ) OXY В задачах для функции f ; построить линии уровня в плоскости ; ; ; ; 5 ; 6 ln ln ; ; ; В следующих задачах найти предел функции 7

18 lim ; lim ; lim ; 5 lim ; sin sin lim ; 6 lim ; 7 lim ; 8 lim ; ln 9 lim ; lim e 8

19 В задачах найти частные производные функции ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 sin ; 8 cos ; 9 e ; В задачах -5 вычислить значения частных производных функции в указанной точке M ; ) ; M ; ) ; M ; ) ; M ; ) ; 5 M ; ) ; 6 M ; ) 7 ln ) M ; ) ; 8 e ; ) M ; 9 M ;) ; 5 M ; ) В задачах 5-6 вычислить частные производные второго порядка 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 55 ; 56 ln ; 57 ; 58 ; 59 e ; 6 e В задачах 6-7 вычислить дифференциалы 6 ; 6 ; 6 ln ) ; 6 ; 65 ; ; 5 5 ; 68 ; 69 e ; 7 В задачах 7 7 вычислить производную функции f по направлению вектора l в заданной точке M 7 l ;) M ; ) 7 7 ln ) l ; ) M ;) 7 ln l ;) M ; ) l ; ) M ;) 9

20 В задачах вычислить производную функции f по направлению вектора MN в точке M заданы точки M и N) 75 M ; ) N ;5) ; ) ; ) M N ; ) M N ;) 78 e M ; ) N ; ) В задачах 79 8 найти направление и величину градиента функции f в заданной точке M ; 79 M ;) 8 M ;) 8 ln ) M ; ) 8 ln e e M ; ) В задачах 8 8 показать что градиент функции f в заданной точке M ; ортогонален линии уровня проходящей через эту точку 8 M ;) 8 M ;)

21 Ответы не существует ln ln 7 sin cos cos 8 sin cos sin 9 e e ) ) ) ) ) 5 ) 5 ) 5 ) 5 5 ) ) 6 ) ) 7 ) ) 8 e e 9 ) 7 ) 5 ) ) e 9 9 e e e e 6 e 6 d ) d ) d 6 d 6) d 8 d 6 d d d d ln d 6 65 d 66 d d d d d ln d d 67 d 68 d 5 5

22 69 d d d d d e 7 d ) / 7 5 / 7 5 / e) 79 grad ; ; ) grad ;) 7;7) cos cos grad ;) 7 8 grad ; ; ) cos grad ;) 65 8 grad ; ; cos 5 5 grad ;) 5 5 e e 8 grad ; ; e e e e grad ; grad ;) grad ) ;) 5; ; )cos ;7)cos 5)cos 5 cos grad ;) 8 Линия уровня ) 8 уравнение касательной 7 вектор касательной k ; ) grad M) ;) 8 Линия уровня уравнение касательной вектор касательной k ; ) grad M) ; )

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности.

называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности. 5 Точка в которой F F F или хотя бы одна из этих производных не существует называется особой точкой поверхности В такой точке поверхность может не иметь касательной плоскости Определение Нормалью к поверхности

Подробнее

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы. Порядок

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. - дифференцируемые функции, то сложная функция y f ( g( тоже дифференцируема, причѐм:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. - дифференцируемые функции, то сложная функция y f ( g( тоже дифференцируема, причѐм: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Дифференцирование сложных и неявных функций Приложения понятия частных производных(производная по направлению, градиент функции) Дифференцирование

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

Боревич А.З. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие

Боревич А.З. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого Боревич АЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Учебное пособие Санкт-Петербург 5 Оглавление Глава Предел Непрерывность

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ:

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: 11 Функциональная связь Предел функции 1 Производная функции 1 Механический физический и геометрический смысл производной 14 Основные

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский

Подробнее

Элементарная поверхность. Гладкая поверхность. Кривые на поверхности. Касательная плоскость. поверхности

Элементарная поверхность. Гладкая поверхность. Кривые на поверхности. Касательная плоскость. поверхности МОДУЛЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Структурно логическая схема модуля Явное задание Способы задания Элементарная поверхность Квадратичные формы Векторная параметризация Параметризация Регулярная

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

1.Дивергенция векторного поля.

1.Дивергенция векторного поля. ЛЕКЦИЯ N Дивергенция векторного поля Циркуляция Ротор отенциальные соленоидальные гармонические поля Операторы Лапласа и Гамильтона Дивергенция векторного поля Соленоидальные поля Циркуляция 4Формула Стокса

Подробнее

Четные и нечетные функции.

Четные и нечетные функции. Четные и нечетные функции. Функция f (x) называется четной, если для любого равенства: 1),2) f ( x) = f (x). выполняются График четной функции на всей области определения симметричен относительно оси OY.

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых...

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых... Содержание Построение графиков функций............. План исследования функции при построении графика... Основные понятия и этапы исследования функции..... Область определения функции D f и множество значений

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

Подробнее

Найти х из уравнений:

Найти х из уравнений: Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля) Планы практических занятий Матрицы и определители, системы линейных уравнений Матрицы Операции над матрицами Обратная матрица Элементарные

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim

1. ПРОИЗВОДНАЯ. называется приращением функции. Если существует предел. , то он называется производной функции f x. f x lim lim ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Пусть на множестве X задана функция f Фиксируем точку X и задаем приращение аргумента Тогда точка соответствует f и f f называется приращением функции Если существует

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1 ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА Вектором называется направленный прямолинейный отрезок Длину отрезка в установленном масштабе называют модулем вектора Векторы считаются

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Скалярное поле. Лабораторные и практические занятия. Методические указания

Скалярное поле. Лабораторные и практические занятия. Методические указания МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) Скалярное поле Лабораторные

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальное исчисление функций нескольких

Подробнее

6.1 Определения, предварительные сведения

6.1 Определения, предварительные сведения 6. Неявные функции 6.1 Определения, предварительные сведения Зависимость одной переменной от другой (или от других) не обязательно может быть выражена при помощи так называемого явного представления, когда

Подробнее

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями)

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями) ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 1/11 учебного года, 11 класс (с решениями) Задача 1 (1 балл) Найти наибольшее число, принадлежащее области определения функции Решение 1 способ Область определения функции задается

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы

Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы студентов. Примерное время, необходимое для выполнения ДКР,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ Основная задача теории погрешностей состоит в оценке погрешности результата вычислений при известных погрешностях исходных данных. Источники и классификация погрешностей результата

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

Практическая работа: Решение задач по теме "Геометрический смысл производной. Механический смысл первой и второй производной"

Практическая работа: Решение задач по теме Геометрический смысл производной. Механический смысл первой и второй производной Молодечненский государственный политехнический колледж Практическая работа: Решение задач по теме "Геометрический смысл производной Механический смысл первой и второй производной" Разработчик: И А Кочеткова

Подробнее

Производная и дифференциал. Лекция 4-5

Производная и дифференциал. Лекция 4-5 Производная и дифференциал Лекция 4-5 Приращения функции и аргумента Пусть функция y f ( x) определена в некоторой окрестности U( x) точки x и x U( x) произвольная точка из этой окрестности. Разность x

Подробнее

Лекция 27 Глава 3. Системы линейных неравенств 3.1. Основные понятия

Лекция 27 Глава 3. Системы линейных неравенств 3.1. Основные понятия Лекция 7 Глава. Системы линейных неравенств.. Основные понятия Системы линейных неравенств применяются для решения различных математических задач. Системой линейных неравенств из с неизвестными система

Подробнее

Дифференциальное исчисление и исследование функций многих переменных

Дифференциальное исчисление и исследование функций многих переменных САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ФИЛИАЛ НАЦИОНАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО УНИВЕРСИТЕТА «ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ» Департамент прикладной математики и бизнес-информатики И. Г. Михайлова Дифференциальное исчисление и исследование

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y +

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y + Вариант Найти область определения функции : y + + lg(5 Область определения данной функции определяется следующими неравенствами: + те 5 > те < 5 Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg( 5 или

Подробнее

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу 1. Дайте определение конечного предела последовательности. Приведите пример последовательности,

Подробнее

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1 Тройной интеграл Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие тройного интеграла. Условия его существования. Теорема о среднем. Вычисление тройного интеграла в декартовых и криволинейных координатах. Тройной

Подробнее

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и Вариант 5 Найти область определения функции : y arcsin + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и или Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +,

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +, Лекция 6 ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ В этой лекции мы введём потенциалы простого и двойного слоя, которые уже мы встречали в третьей формуле Грина из предыдущей тематической лекции, и изучим сначала свойства

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

n = или k = k n называется единичным вектором

n = или k = k n называется единичным вектором Лекция 5 Тема: Кривизна и кручение кривой Репер Френе План лекции Кривизна кривой Кручение кривой Репер Френе Формулы Френе Натуральные уравнения кривой Кривизна кривой Соприкасающаяся плоскость Пусть

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Лекция 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Тема: Элементарная кривая Касательная Длина кривой План лекции Понятие и способы задания элементарной кривой Вектор-функция одного переменного Касательная к кривой

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Уравнение касательной Рассмотрим следующую задачу: требуется составить уравнение касательной l, проведенной к графику функции в точке Согласно геометрическому смыслу производной

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Энергетические и скоростные свойства эллиптических орбит

Энергетические и скоростные свойства эллиптических орбит Косинский Юрий Иванович Энергетические и скоростные свойства эллиптических орбит Материальная точка массой координат, имеет координату и вектор скорости пройдет путь t и координата радиус-вектора повернется

Подробнее

Дифференциальное исчисление. Часть 2. "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ". Составитель В.П.Белкин

Дифференциальное исчисление. Часть 2. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. Составитель В.П.Белкин Дифференциальное исчисление Часть "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ" Составитель ВПБелкин Приращение функции Пусть функция y f () определена в некоторой окрестности точки Изменим это значение аргумента на новое

Подробнее

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Подробнее

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОЕТРИЯ ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. ОПР Плоскостью будем называть поверхность обладающую тем свойством что если две точки прямой принадлежат плоскости то и все точки прямой принадлежат данной

Подробнее

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( )

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( ) 8 и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- поверхностью z = f(, лельную оси OZ т.е. f(, s= v ц ( D) 4 Вычисление интеграла по фигуре от скалярной функции в декартовой системе координат Вычисление

Подробнее

МАТЕМАТИКА Элементарные функции и их графики

МАТЕМАТИКА Элементарные функции и их графики Федеральное агентство по образованию ----- САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АИ Сурыгин ЕФ Изотова ОА Новикова ТА Чайкина МАТЕМАТИКА Элементарные функции и их графики Учебное

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой.

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой. РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ ВАРИАНТА 0 Напомним, что на проверку сдаются решения заданий только из части Решения заданий частей и выполняются на черновиках и на оценку никак не влияют При выполнении заданий части

Подробнее

Примерные практические задания:

Примерные практические задания: Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА класс (профиль) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

Подробнее

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа.

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа. ~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур.

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур. . ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.. Вычисление площадей плоских фигур. Прямоугольные координаты Как уже было установлено, площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Задание 18 0;1. y 2 2. x y 2;3. Вебинар 17 ( ) 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции

Задание 18 0;1. y 2 2. x y 2;3. Вебинар 17 ( ) 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции Вебинар 7 (6-7) Тема: Параметры ЕГЭ Профиль Задание 8 Найдите все значения параметра, при каждом из которых множество значений функции 5 5 5 содержит отрезок Найдите все значения параметра, для каждого

Подробнее

Лекция 6 Поверхности второго порядка. Эллиптический тип

Лекция 6 Поверхности второго порядка. Эллиптический тип Лекция 6 Поверхности второго порядка Пространственным аналогом кривых второго порядка являются поверхности второго порядка, имеющие уравнение вида F(x,y,z) =, где F(x,y,z) многочлен второй степени от x,y,z.

Подробнее

Тема 3. Алгебраические выражения.

Тема 3. Алгебраические выражения. 13.Модуль. Композиция линейной функции и модуля, квадратичной функции и модуля, дробно-линейной функции и модуля. Линейная функция с двумя модулями. Тема 3. Алгебраические выражения. 1. Алгебраические

Подробнее