А.И. Соловьев, канд. физ.-мат. наук КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ДВУМЯ СООСНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОТВЕРСТИЯМИ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "А.И. Соловьев, канд. физ.-мат. наук КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ДВУМЯ СООСНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОТВЕРСТИЯМИ"

Транскрипт

1 4 УДК А.И. Соловьев, канд. физ.-мат. наук КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ДВУМЯ СООСНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОТВЕРСТИЯМИ Имеется лишь небольшое число публикаций, ориентированных на построение новых и развитие имеющихся аналитических методов исследования задач теории упругости для многосвязных ортотропных тел. Это обстоятельство связано с существенными математическими трудностями построения эффективных общих решений уравнений равновесия и точной реализацией граничных условий. Актуальность соответствующих исследований для инженерных применений определяется тем, что в вопросах прочности материалов и элементов конструкций используют в основном информацию о напряженно-деформированном состоянии вблизи полостей, трещин, включений, краев и т.д. Получение достоверной и полной информации о распределении напряжений в указанных локальных зонах непосредственно связано с использованием аналитических методов решения краевых задач теории упругости. В обзорных статьях [, ] с достаточной полнотой представлена история проблемы исследования закономерностей напряженного состояния в анизотропных телах. Предлагаемый в данной работе аналитический подход основан на представлении общих решений уравнений равновесия через две гармонические функции [3, 4] и использовании соотношений между базисными гармоническими функциями в разных эллиптических системах координат. Реализация граничных условий основных краевых задач приводит к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений с экспоненциально убывающими матричными коэффициентами, что позволяет провести эффективный анализ напряженного состояния вблизи концентраторов напряжений, в частности, получить простые асимптотические формулы для коэффициентов интенсивности нормальных напряжений. Пусть, ( >) безразмерные величины, определяемые формулами E + = = - = = E >, -4, G E x E E y модули упругости материала на растяжение ; G G xy модуль сдвига в плос- где E E, (сжатие) в направлении осей x и y ; кости Oxy ; xy коэффициент Пуассона. В силу симметрии этих формул относительно, имеем

2 4-4 = либо -4 = Частные решения двумерных однородных уравнений равновесия ортотропных в осях x и y пластин представим в виде [3, 4] () I I I I xy =- =- y y, () x =- x, () - () y = x x =- ; () u () = x - ( ) E I, u () = y ( ) E. 3- I dy x где I I (x,y ) гармонические функции переменных (=, ), () x,y = y ; параметр, определяемый выбором исходной криволинейной системы I координат. Заметим, что в формулах () I и dy сопряженные x гармонические функции переменных x,y. Положим () + () () () () () () () () () =, = +, = + ; u = u + u, u = u + u. (3) xy xy xy x x x y y y x x x y y y При ( 4 ) представления (3) компонент тензора напряжений и вектора перемещений являются общими (функции I линейно независимы). В случае ( 4 ) функции I, I образуют линейно зависимую систему и тогда надо либо построить решение уравнений равновесия, не выражающееся линейно через уже имеющееся решение (построенное с помощью гармонической функции I ), либо в исходной краевой задаче ( ) совершить предельный переход. Общие решения (3) в сочетании с методом Фурье позволяют получить простые выражения для проекций вектора перемещений и вектора сил на границах ортотропных эллиптических пластин и тем самым точно удовлетворить граничным условиям основных краевых задач. Пусть x,y,, исходные декартова и эллиптическая системы координат, связанные соотношениями x = sh si, y = ch cos ( >, <, ). (4) Уравнение = =cost задает вытянутый вдоль оси Oy эллипс x y + = ( sh ) ( ch ) (5)

3 4 При каждую из гармонических функций I (=, ) будем рассматривать как функцию эллиптических координат i, i, определяемых формулами x = x = shsi, Уравнение = =cost задает эллипс y = y = ch cos ( >, <, ). (6) x y x ( y) + = + = (=, ), (7) ( sh) ( ch) ( sh) ( ch) совпадающий с исходным эллипсом (5) при условии, что sh = sh, ch = ch (=, ). (8) Тогда из соотношений (4), (6), (8) следует, что на границах =, = эллиптических областей <, < ; < <, < < выполняются равенства = =. (9) Коэффициенты Ляме эллиптических систем координат,,, имеют вид H =h, h = H = ch - cos ; H = H = h, ch - cos, а направляющие косинусы единичных внешних нормалей, h = к границам (5), (7) эллиптических областей <, < определяются формулами chsi x=-, h y shcos =- ; h () x chsi =- h, () y shcos =- ; h () h = ch - cos, h = ( ch ) si + sh cos. Из равенств (8), (9) следует, что на граничных линиях =, = выполняются соотношения () h = h = h, x = x, y = y (=, ). () Если на контуре (границе) пластины задан вектор сил, то его проекции на оси декартовой системы координат выражаются формулами Fx = xx + xy y, Fy = xyx + y y. Найдем проекции () x () x x () () xy y () F = +, () y () () xy x () () y y () F = + векторов сил

4 43 на границах =, соответствующие частным решениям (). Используя равенства I I () =- shcos -ch si, xy h I I () =- ch si + sh cos, x h () () y x ch si + sh cos h, на основании (8) - () получаем простые формулы () Fx I h (), Fy I - h ; () () () () () Fx = F F x + x, Fy F F y + y В предельном случае, когда = ( = ), эллипсы =, = вырождаются в один и тот же разрез =, h = =. (3) x =, y si., причем Введем теперь координатные системы x,y,,, x,y,,, связанные с координатными системами x,y,,, x,y,, соотношениями (рисунок) x = x = x = x, =- - x = shsi, y = chcos ( >, <, ); x = shsi, y = y = chcos ( > ; <, ). Пусть = =cost, = =cost (=, ) эллипсы, вытянутые вдоль оси Oy (Oy ). В соответствии с приведенными выше построениями на эллипсах =, = имеем sh sh, = = F ch ch, = =, h = () x = (), Fy h I I = - h ch - cos ; ; (4)

5 44 () () Fx = F F x + x, Fy F F y + y () () =. (5) Геометрия пластины В предельном случае = ( =) эллипсы =, = вырождаются в один и тот же разрез x =, h = =, y, причем si. Базисные гармонические функции в координатных системах,,, связаны между собой соотношениями - () () e cos b bchcos, - () e si bshsi ch < h- ; (6)

6 - () () e cos c cchcos, - () e si cshsi ch <h-, h где b () = (-) e I ( )I ( )d, () () c = b ; + < h ( + < h 45 (7) ); I(z) модифицированная функция Бесселя. Методика получения такого рода соотношений между базисными гармоническими функциями, рассматриваемыми в разных координатных системах, изложена в работе [5]. Разложения (6), (7) в сочетании с методом Фурье позволяют точно удовлетворить граничным условиям основных краевых задач для неограниченной ортотропной пластины, ослабленной эллиптическим отверстиями <, <, в частности, разрезами (трещинами) =, =. В качестве приложения приведенных общих результатов рассмотрим первую основную краевую задачу для бесконечной ортотропной пластины, ослабленной двумя разрезами = ( x =, y ) и = ( x =, y ). Пусть берега этих разрезов растягиваются равномерно распределенными нормальными усилиями интенсивности =cost ( >). В силу симметрии задачи по координате x (x ) достаточно удовлетворить граничным условиям Fx =, Fy = (<<); F x =, Fy = (<<), а гармонические функции I (=, ) представить в виде суммы рядов по базисным гармоническим функциям I = A () - - e si, e si + B () - - e si : e si. (8) Используя теперь равенства () (5) при =, =, =, =, разложения (6) (8) и учитывая, что =, =, h = si, h = si (<, <), получаем следующие связи между коэффициентами A (), B() :

7 46 A() + A() A () + A() B () +B() =; B() + B() = (, =,, ); = B B b () () f ; f=-, f = (=, 3, ); = () () A A c g b = (-) S ; c = (-) S ; h ; g =-, g = (=, 3, ); S = e I ( ) I ( )d ( + < h ). (9) Полагая,, для нахождения величин x (), y() получаем связанные бесконечные системы линейных алгебраических уравнений = b y f x () x () = b y () () ; y () = c x ; y () = c x () () ; f =, f = (=, 3, ); () + g ; g =, g = (=, 3, ), () в которых b S, c S ; b >, c >. Совокупность систем (), () равносильна двум несвязанным бесконечным системам относительно величин x (), y() = d m x m f x () y () и двум соотношениям y () = c x m () () = d ym g () m () () m ; x () = b y которые определяют значения y () систем (), (3). m m ; d m () = b c () ; d () m = c b,, x() Введем безразмерные геометрические параметры >; () > (3) через решения бесконечных, h. h Так как + < h, то + <, - <, <. Используя равенства [6] -

8 z I (z)+ I (z) I (z) ; c e px I( cx )d x= p c p p c и учитывая, что I (z) < I (z), I (z) e (z ), для сумм () () b >, c > получаем оценки (), (), в которых ( ) <, z ( ) -+ ( )- m () () m d () c () c m m d = b < b (), ( ) 47 <. Отсюда следует, что = < () Поскольку <, < при + < ( + < h ), то d () m m (), d () m m <, (4) <. (5) (), т.е. бесконечные системы (), (3) квазирегулярны при любых допустимых значениях параметров, (любой близости разрезов =, =). Пусть для определенности ( ). Тогда, ;, = ( ) (<<); d () m, d () 4 m < 4 m m ( )( ) < ( < < = ). (6) Следовательно, операторы бесконечных систем (), (3), действующие на основании оценок (4), (5) в пространстве абсолютно суммируемых числовых последовательностей, являются в нем операторами сжатия. Это свойство обеспечивает существование и единственность решений указанных систем в и позволяет для их нахождения использовать методы последовательных приближений и малого параметра. С другой стороны, оценки (6) означают, что при < бесконечные системы (), (3) вполне регулярны и, следовательно, к ним в качестве метода решения применим также метод редукции.,

9 48 Используя значение интеграла [6] x e px I ( bx) I ( cx )d x= s bc s b ( ) c = s s p s s p F -,- - ; +; ( +) b s! ( + +) ( ( z) гамма-функция, F(, ; ; z) гипергеометрическая функция Гаусса) и равенства [7] s s!( + s)!! F - s,-- s; +; = s- s- +,!( )!( + )!( )! F(, ; ;)= ( ) ( - - ) (, -, -, ; - - >) ( - ) ( - ) для величин (9) получаем разложения в ряды по степеням, s s s ( + + -)! S = s + s- s- ( ); 4 4!( )!( )!( + )! 4 s + ( + +s-)!( + + s)! S = s s +s +s +s ( = ). 4!( )!( )!( + )! 4 Рассмотрим теперь вопрос о поведении нормальных напряжений вблизи концов разрезов и вычислении соответствующих коэффициентов интенсивности. Используя представления (), (3) и учитывая, что = = при =, = и = = при =, =, после некоторых простых операций получаем асимптотические формулы () x x () = (-) x e sh ( (y )); () () x y = (-) y e sh ( (y )); () x = x () x e sh ( ( y - )); () () x = y y e sh ( (y - )); (); ( ).

10 При этом коэффициенты интенсивности нормальных напряжений I y () x () K =lim x x ( - ) = ( ) = +, = ; (7) I y () () K =lim y y x ( - ) = ( ) = +, =. Из оценок (4), (5) и принадлежности последовательностей f, g пространству следует сходимость рядов в формулах (7). Решая бесконечные системы (), (3) либо (), () методом малого параметра и ограничиваясь при этом членами до порядка O( i ) (i+6) для величин x () = x () (, ), x () = x () (, ), y () = y () (, ), y () = y () (, ) и коэффициентов I K =KI (, ), I K =KI (, ), получаем значения x () = , x () = 56 3, x () 3 = 4 4 ; x () = ( + ) ( + ) , x () = , x () 3 = , x () 4 = 5 4, x () 5 = 48 5 ; y () = x () (, ), y () = x () (, ); K I = f(, ), K I = f(, ); f (, )= ( ) 8 ( )+ 4 ( ). В заключение отметим, что другая пара разложений (6), (7) (базисных гармонических функций e cos, e cos ) - - позволяет реализовать и антисимметричный вариант задачи, а в общем случае разбиение исходной краевой задачи на симметричную и антисимметричную по координате x ( x ) дает возможность исследовать ее при произвольных граничных условиях на берегах разрезов. 49

11 5 Список использованных источников. Космодамианский, А.С. Концентрация внутренней энергии в многосвязных телах [Текст] / А.С. Космодамианский // Прикладная механика.. Т.38, 4. С Немиш, Ю.Н. Развитие аналитических методов в трехмерных задачах статики анизотропных тел (обзор) [Текст] / Ю.Н. Немиш // Прикладная механика.. Т.36,. С Соловьев, А.И. Краевые задачи теории упругости для ортотропных пластин, ограниченных координатными линиями декартовой и параболической систем координат [Текст] / А.И. Соловьев // Вопросы проектирования и производства конструкций летательных аппаратов: сб. науч. тр. Нац. аэрокосм. ун-та им. Н.Е. Жуковского ХАИ. Вып. (7). Х.,. С Соловьев, А.И. О совместном применении декартовых и эллиптических координат к решению краевых задач теории упругости для ортотропных пластин [Текст] / А.И. Соловьев, А.В. Головченко // Открытые информационные и компьютерные технологии: сб. науч. тр. Нац. аэрокосм. ун-та им. Н.Е. Жуковского ХАИ. Вып. 53. Х.,. С.. 5. Проценко, В.С. О совместном применении декартовых и биполярных координат к решению краевых задач теории потенциала и теории упругости [Текст] / В.С. Проценко, А.И. Соловьев // Прикладная механика Т.48, 6. С Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции [Текст] / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. М.: Наука, с. 7. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Дополнительные главы [Текст] / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. М.: Наука, с. Поступила в редакцию.4.3. Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. В.С. Проценко Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского «ХАИ», г. Харьков

Открытые информационные и компьютерные интегрированные технологии 41, Т.В. Денисова, В.С. Проценко

Открытые информационные и компьютерные интегрированные технологии 41, Т.В. Денисова, В.С. Проценко Открытые информационные и компьютерные интегрированные технологии 4 9 УДК 5393 ТВ Денисова ВС Проценко Полосовые и круговые трещины нормального разрыва в одной плоскости упругого однородного пространства

Подробнее

ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ ТОЧНОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КИРША В РАМКАХ КОНТИНУУМА И ПСЕВДОКОНТИНУУМА КОССЕРА

ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ ТОЧНОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КИРША В РАМКАХ КОНТИНУУМА И ПСЕВДОКОНТИНУУМА КОССЕРА ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 001. Т., N- 15 УДК 539.3.01 ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ ТОЧНОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КИРША В РАМКАХ КОНТИНУУМА И ПСЕВДОКОНТИНУУМА КОССЕРА М. А. Кулеш, В. П. Матвеенко,

Подробнее

3. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. НАПРЯЖЕНИЯ

3. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. НАПРЯЖЕНИЯ 3. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. НАПРЯЖЕНИЯ 3.. Напряжения Уровень оценки прочности по нагрузке отличают простота и доступность. Расчеты при этом чаще всего минимальны - требуется определить только саму нагрузку. Для

Подробнее

УДК Гоголева О.С. Оренбургский государственный университет

УДК Гоголева О.С. Оренбургский государственный университет УДК 5393 Гоголева ОС Оренбургский государственный университет E-mail: ov08@inboxru ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПОЛУПОЛОСЕ (СИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА) Даются примеры решения

Подробнее

УДК Вестник СПбГУ. Сер Вып. 3

УДК Вестник СПбГУ. Сер Вып. 3 УДК 629.12.035 Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 3 РАСЧЕТ ПРИСОЕДИНЕННЫХ МАСС НЕКОТОРОГО КЛАССА ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ Е. Н. Надымов С.-Петербургский государственный университет, аспирант, johnnypmpu@gmail.com

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

. После нахождения искомых коэффициентов разложения, определяются дополнительные напряжения на всех контурах по формулам:

. После нахождения искомых коэффициентов разложения, определяются дополнительные напряжения на всех контурах по формулам: Л.А. Данилова ( )() известных коэффициентов c ( ) в нулевой итерации которого полагается ( ) C ( ). После нахождения искомых коэффициентов разложения определяются дополнительные напряжения на всех контурах

Подробнее

ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА В ЗАДАЧЕ КРУЧЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО СТЕРЖНЯ

ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА В ЗАДАЧЕ КРУЧЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО СТЕРЖНЯ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 26. Т. 47, N- 6 129 УДК 539.3 ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА В ЗАДАЧЕ КРУЧЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО СТЕРЖНЯ В. В. Калашников, М. И. Карякин Ростовский

Подробнее

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО- ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Уравнения математической физики

Уравнения математической физики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ РАСТИТЕЛЬНЫХ

Подробнее

НЕЛИНЕЙНЫЕ УЕДИНЕННЫЕ УДАРНО-ВОЛНОВЫЕ СТРУКТУРЫ В ВЯЗКОУПРУГИХ СТЕРЖНЯХ. Кубанский государственный аграрный университет Лаптев В.Н. канд. техн.

НЕЛИНЕЙНЫЕ УЕДИНЕННЫЕ УДАРНО-ВОЛНОВЫЕ СТРУКТУРЫ В ВЯЗКОУПРУГИХ СТЕРЖНЯХ. Кубанский государственный аграрный университет Лаптев В.Н. канд. техн. УДК 59:5:55 НЕЛИНЕЙНЫЕ УЕДИНЕННЫЕ УДАРНО-ВОЛНОВЫЕ СТРУКТУРЫ В ВЯЗКОУПРУГИХ СТЕРЖНЯХ Аршинов ГА канд физ-мат наук Кубанский государственный аграрный университет Лаптев ВН канд техн наук Кубанский государственный

Подробнее

РЕШЕНИЕ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ УТОЧНЕННОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. Ю. М. Волчков,, Д. В. Важева

РЕШЕНИЕ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ УТОЧНЕННОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. Ю. М. Волчков,, Д. В. Важева ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 28. Т. 49, N- 5 69 УДК 539.3 РЕШЕНИЕ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ УТОЧНЕННОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК Ю. М. Волчков,, Д. В. Важева Институт гидродинамики им. М.

Подробнее

p x = σ x l + τ yx m + τ zx n, σ ν = p x l + p y m + p z n. (11.1.5)

p x = σ x l + τ yx m + τ zx n, σ ν = p x l + p y m + p z n. (11.1.5) ГЛАВА 11 РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ СЛОЖНОМ НАПРЯЖЕННОМ СО- СТОЯНИИ В гл. 9 в примерах 9.3, 9.4 мы столкнулись с напряженными состояниями, которые отличаются от простых состояний растяжения-сжатия и чистого

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x)

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x) 6 Ряды Фурье 6 Ортогональные системы функций Ряд Фурье по ортогональной системе функций Функции ϕ () и ψ (), определенные и интегрируемые на отрезке [, ], называются ортогональными на этом отрезке, если

Подробнее

Экзамен. Координаты луча. Матрица трансляции. Матрица преломления на сферической границе.

Экзамен. Координаты луча. Матрица трансляции. Матрица преломления на сферической границе. Экзамен. Координаты луча. Матрица трансляции. Матрица преломления на сферической границе. Уравнение трансляции луча и уравнение преломления луча на сферической границе могут быть выражены через такие параметры

Подробнее

Решение задачи Дирихле для вырождающегося В-эллиптического уравнения 2-го рода с параметром методом потенциалов

Решение задачи Дирихле для вырождающегося В-эллиптического уравнения 2-го рода с параметром методом потенциалов УДК 517.946 Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 13. Вып. 1. С. 43 55 Математика Решение задачи Дирихле для вырождающегося В-эллиптического уравнения -го рода с параметром

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Глава 7. Понятие об асимптотических методах

Глава 7. Понятие об асимптотических методах Глава 7 Понятие об асимптотических методах Лекция Регулярно и сингулярно возмущенные задачи При построении математических моделей физических объектов, характеризующихся различными масштабами по пространству,

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА И ЭЛЕКТРОНИКА

ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА И ЭЛЕКТРОНИКА ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА И ЭЛЕКТРОНИКА УДК 539.3 А. В. Михеев ЛОКАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИХ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ Рассматривается вопрос расчета устойчивости ортотропных псевдосферических

Подробнее

Дифференциальное исчисление и исследование функций многих переменных

Дифференциальное исчисление и исследование функций многих переменных САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ФИЛИАЛ НАЦИОНАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО УНИВЕРСИТЕТА «ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ» Департамент прикладной математики и бизнес-информатики И. Г. Михайлова Дифференциальное исчисление и исследование

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МАТРИЦ ЖЕСТКОСТИ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ МАТФИЗИКИ

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МАТРИЦ ЖЕСТКОСТИ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ МАТФИЗИКИ Вычислительные технологии Том 1, 1, 1996 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ МАТРИЦ ЖЕСТКОСТИ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ МАТФИЗИКИ А. Д. Матвеев Вычислительный центр СО РАН в г.

Подробнее

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1. Дифференциальные уравнения с частными производными Уравнение, связывающее неизвестную функцию u (x 1, x 2,..., x n ), независимые переменные x 1, x 2,..., x n и частные

Подробнее

Теорема Гаусса. Применение теоремы Гаусса к расчету полей

Теорема Гаусса. Применение теоремы Гаусса к расчету полей Теорема Гаусса Применение теоремы Гаусса к расчету полей Основные формулы Электростатическое поле можно задать, указав для каждой точки величину и направление вектора Совокупность этих векторов образует

Подробнее

Курс: Прикладные задачи МСС. По Ширко И.В., МФТИ

Курс: Прикладные задачи МСС. По Ширко И.В., МФТИ Курс: Прикладные задачи МСС. По Ширко И.В., МФТИ Курс составлен на основе лекций, читающихся для студентов 3 курса МФТИ факультета аэрофизики и космических исследований. Предполагает знание основ тензорного

Подробнее

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР )

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР ) ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР 2007-2008) 1 Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R 2 Сформулируйте определение прямоугольной

Подробнее

Тычина К.А. С л о ж н о е н а п р я ж ё н н о е с о с т о я н и е

Тычина К.А. С л о ж н о е н а п р я ж ё н н о е с о с т о я н и е www.tchina.pro Тычина К.А. IX С л о ж н о е н а п р я ж ё н н о е с о с т о я н и е П о л н о е н а п р я ж е н и е в п р о и з в о л ь н о й п л о щ а д к е Совокупность напряжений для всего множества

Подробнее

А.М. Полатов, канд. физ.-мат. наук ВЛИЯНИЕ ТРЕЩИНЫ НА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВОЛОКНИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ

А.М. Полатов, канд. физ.-мат. наук ВЛИЯНИЕ ТРЕЩИНЫ НА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВОЛОКНИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ 77 УДК 539.3:519.6 А.М. Полатов, канд. физ.-мат. наук ВЛИЯНИЕ ТРЕЩИНЫ НА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВОЛОКНИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ Развитие науки и техники позволяет получать анизотропные композиционные

Подробнее

ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2012, 1

ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2012, 1 ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ Сер. А: Природничі науки 22 УДК 539.3 ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ ВЫРАБОТКИ ВБЛИЗИ ЗАГРУЖЕННОЙ ДНЕВНОЙ ПОВЕРХНОСТИ НА КОНЦЕНТРАЦИЮ НАПРЯЖЕНИЙ ОКОЛО НЕЕ С. А. Калоеров Е.

Подробнее

Контрольная работа 5

Контрольная работа 5 Вопросы по математике часть для студентов заочной формы обучения специальностей 19060165 Автомобили и автомобильное хозяйство 15040565 Машины и оборудование лесного комплекса 1906065 Сервис транспортных

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. В трех частях

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. В трех частях Министерство образования и науки Украины Государственное высшее учебное заведение «Приазовский государственный технический университет» А. М. Холькин ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В трех частях Часть ІІІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

5.2. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА

5.2. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА 5 УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА Основным динамическим уравнением квантовой механики описывающим эволюцию состояния микрочастицы во времени является уравнение Шрѐдингера: () Ĥ оператор Гамильтона в общем случае

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

. В этот же момент начинается разгрузка. Напряжения, деформации и перемещения естественно начнут изменяться, но они должны

. В этот же момент начинается разгрузка. Напряжения, деформации и перемещения естественно начнут изменяться, но они должны Лекция 9. Теорема о разгрузке. Итак, рассмотрен ряд теорий о поведении материала за пределами упругости. Теперь обратимся к другому вопросу: что будет, если начать разгружать образец, который уже находится

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа

Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа Дальневосточный математический журнал. 214. Том 14. 2. C. 231 241 УДК 517.95 MSC21 35J5 c A. A. Илларионов, Л. В. Илларионова 1 Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа Представлены

Подробнее

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Подробнее

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1 Тройной интеграл Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие тройного интеграла. Условия его существования. Теорема о среднем. Вычисление тройного интеграла в декартовых и криволинейных координатах. Тройной

Подробнее

АСТРОНОМИЯ НЕКОТОРЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ В ТЕОРИИ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ. А.К.Колесов 1, Н.Ю.Кропачева 2

АСТРОНОМИЯ НЕКОТОРЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ В ТЕОРИИ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ. А.К.Колесов 1, Н.Ю.Кропачева 2 13 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 4 АСТРОНОМИЯ УДК 5-64 НЕКОТОРЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ В ТЕОРИИ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ А.К.Колесов 1, Н.Ю.Кропачева 1. С.-Петербургский

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-NetRu Общероссийский математический портал Л И Фридман К С Моргачев Решение стационарной динамической задачи для кольцевой пластины в рамках модели Тимошенко Вестн Сам гос техн ун-та Сер Физ-мат науки

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ПРИАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. А.М. Холькин ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ПРИАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. А.М. Холькин ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ПРИАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А.М. Холькин ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ І ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Мариуполь 2009 УДК

Подробнее

Найти х из уравнений:

Найти х из уравнений: Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля) Планы практических занятий Матрицы и определители, системы линейных уравнений Матрицы Операции над матрицами Обратная матрица Элементарные

Подробнее

Глава 10 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. 1 Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат

Глава 10 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. 1 Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат 99 Глава ГЕМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛЖЕНИЯ ПРЕДЕЛЕННГ ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что если

Подробнее

Занятие 1. Глава 1. Предел и непрерывность фукнции одной переменной 1. Построение графиков (1) Построить графики функций: (а) f(x) = 3x+2

Занятие 1. Глава 1. Предел и непрерывность фукнции одной переменной 1. Построение графиков (1) Построить графики функций: (а) f(x) = 3x+2 Занятие 1 Глава 1. Предел и непрерывность фукнции одной переменной 1. Построение графиков (1) Построить графики функций: (а) f(x) = 3x+2 2x 3, (б) f(x) = 6 cos 2x + 8 sin 2x. Занятие 2 2. Мат индукция.

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

1 Задачи механики. 2 Материальная точка и абсолютно твердое тело. 3 Способы описания движения материальной точки. 4 Тангенциальное, нормальное и

1 Задачи механики. 2 Материальная точка и абсолютно твердое тело. 3 Способы описания движения материальной точки. 4 Тангенциальное, нормальное и 1 Задачи механики. Материальная точка и абсолютно твердое тело. 3 Способы описания движения материальной точки. 4 Тангенциальное, нормальное и полное ускорения. Структура механики Механика Механика Кинематика

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом

Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом Потенциал. Связь напряженности и потенциала Основные теоретические сведения Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом Напряженность электрического поля величина, численно равная

Подробнее

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. Глава Введение Лекция Понятие дифференциального уравнения Основные определения Определение Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком производной

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения Обыкновенные дифференциальные уравнения Лекторы: В. А. Кондратьев, Ю. С. Ильяшенко III IV семестры, программа экзамена 2003 2004 г, варианты 2001 2009 г. 1. Программа экзамена 1.1. Первый семестр Введение.

Подробнее

ПРОГРАМММА вступительных испытаний по предмету «Математика»

ПРОГРАМММА вступительных испытаний по предмету «Математика» МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВО «ЧелГУ») УТВЕРЖДАЮ: Председатель приемной комиссии,

Подробнее

О предельных движениях волчка с внутренней диссипацией в однородном поле тяжести

О предельных движениях волчка с внутренней диссипацией в однородном поле тяжести 126 Теоретическая и прикладная механика ТРУДЫ МФТИ. 2013. Том 5, 2 УДК 531.38 А. А. Адуенко, Н. И. Амелькин Московский физико-технический институт (государственный университет) О предельных движениях волчка

Подробнее

Интегральные представления функций Лежандра, возникающие при преобразовании Пуассона *

Интегральные представления функций Лежандра, возникающие при преобразовании Пуассона * Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск 40 www.mai.ru/science/trudy/ УДК: 519.6 + 517.586 Интегральные представления функций Лежандра, возникающие при преобразовании Пуассона * И. А. Шилин, В. А. Вестяк

Подробнее

Н.А. ШЕВЕЛЕВ, И.В. ДОМБРОВСКИЙ Пермский государственный технический университет ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ КОНСТРУКЦИЙ

Н.А. ШЕВЕЛЕВ, И.В. ДОМБРОВСКИЙ Пермский государственный технический университет ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ КОНСТРУКЦИЙ Вестник ПГТУ. Механика. 9. 5 УДК 539.3: 534. Н.А. ШЕВЕЛЕВ, И.В. ДОМБРОВСКИЙ Пермский государственный технический университет ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ КОНСТРУКЦИЙ Предлагается

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 9 Элементы теории деформированного состояния в точке. Потенциальная энергия упругой деформации

ЛЕКЦИЯ 9 Элементы теории деформированного состояния в точке. Потенциальная энергия упругой деформации В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 203 ЛЕКЦИЯ 9 Элементы теории деформированного состояния в точке. Потенциальная энергия упругой деформации Понятие о деформированном состоянии в точке ДТТ

Подробнее

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Белорусский государственный университет Механико-математический факультет Кафедра теоретической и прикладной механики ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Тема 4. ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ И ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

Подробнее

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски Тема КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода Вычисление

Подробнее

Занятия 2-4. Математический аппарат квантовой механики Векторы линейного пространства, скалярное произведение

Занятия 2-4. Математический аппарат квантовой механики Векторы линейного пространства, скалярное произведение Занятия - 4 Математический аппарат квантовой механики Векторы линейного пространства, скалярное произведение Пусть ψ = и ϕ = 3 4 Вычислить ψ ϕ и ϕ ψ Доказать неравенство Шварца: для любых векторов α и

Подробнее

Матрица жесткости отсека анизотропной цилиндрической оболочки с произвольным поперечным сечением при изгибе, поперечном сдвиге и кручении

Матрица жесткости отсека анизотропной цилиндрической оболочки с произвольным поперечным сечением при изгибе, поперечном сдвиге и кручении Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск 4 www.mai.ru/cience/trudy/ УДК 539.3 Матрица жесткости отсека анизотропной цилиндрической оболочки с произвольным поперечным сечением при изгибе поперечном сдвиге

Подробнее

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу 1. Дайте определение конечного предела последовательности. Приведите пример последовательности,

Подробнее

Элементарная поверхность. Гладкая поверхность. Кривые на поверхности. Касательная плоскость. поверхности

Элементарная поверхность. Гладкая поверхность. Кривые на поверхности. Касательная плоскость. поверхности МОДУЛЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Структурно логическая схема модуля Явное задание Способы задания Элементарная поверхность Квадратичные формы Векторная параметризация Параметризация Регулярная

Подробнее

Работа внешних сил. + δ и поверхностные δ. Изменение сил, естественно повлияют (5)

Работа внешних сил. + δ и поверхностные δ. Изменение сил, естественно повлияют (5) Работа внешних сил Рассмотрим некоторое тело, имеющее объём и поверхность Пусть в момент времени t к телу приложены объёмные силы X и поверхностные Pν Эти силы вызывают в теле перемещения относительно

Подробнее

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Решение задач по теме 2: «Понятие вероятности в квантовой механике. Среднее значение физической величины»

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Решение задач по теме 2: «Понятие вероятности в квантовой механике. Среднее значение физической величины» КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Решение задач по теме : «Понятие вероятности в квантовой механике Среднее значение физической величины» Задачи Найдите возможные собственные значения оператора Lˆ и их вероятности для

Подробнее

А.Г. Николаев, д-р физ.-мат. наук, Е.А. Танчик, И.С. Тарасевич ХРУПКОЕ РАЗРУШЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ С КРУГОВОЙ ТРЕЩИНОЙ ПРИ КРУЧЕНИИ.

А.Г. Николаев, д-р физ.-мат. наук, Е.А. Танчик, И.С. Тарасевич ХРУПКОЕ РАЗРУШЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ С КРУГОВОЙ ТРЕЩИНОЙ ПРИ КРУЧЕНИИ. 6 УДК 539.3 А.Г. Николаев, д-р физ.-мат. наук, Е.А. Танчик, И.С. Тарасевич ХРУПКОЕ РАЗРУШЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ С КРУГОВОЙ ТРЕЩИНОЙ ПРИ КРУЧЕНИИ Введение В объектах аэрокосмической техники есть множество

Подробнее

РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского НП Семерикова АА Дубков АА Харчева РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Подробнее

К РЕШЕНИЮ ПЛОСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛА

К РЕШЕНИЮ ПЛОСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛА УДК 539.3 К РЕШЕНИЮ ПЛОСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛА Веремейчик А.И. Гарбачевский В.В. к.т.н. Хвисевич В.М. УО «Брестский государственный технический университет»

Подробнее

Радченко А.В. 1, Радченко П.А. 2

Радченко А.В. 1, Радченко П.А. 2 Влияние ориентации механических свойств композиционных материалов на динамическое разрушение преград из них при высокоскоростном нагружении Радченко А.В. 1 Радченко П.А. 2 1 Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

А.В. Абанин, Д.А. Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

А.В. Абанин, Д.А. Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» АВ Абанин, ДА Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ

Подробнее

УПРАВЛЯЮЩИЕ И ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОГИБА ДИСКА ПЕРЕКРЫТИЯ В СТРУКТУРЕ КАРКАСНОГО ЗДАНИЯ

УПРАВЛЯЮЩИЕ И ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОГИБА ДИСКА ПЕРЕКРЫТИЯ В СТРУКТУРЕ КАРКАСНОГО ЗДАНИЯ УПРАВЛЯЮЩИЕ И ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ УДК 59.:59.:64. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОГИБА ДИСКА ПЕРЕКРЫТИЯ В СТРУКТУРЕ КАРКАСНОГО ЗДАНИЯ А.В. БЫХОВЦЕВ, В.Е. БЫХОВЦЕВ, К.С. КУРОЧКА Учреждение образования «Гомельский

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ 1. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы Пусть имеется n степеней свободы. q 1, q 2,,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

I(G i, M i ) = f(ξ i, η i ) Δs i, Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань

I(G i, M i ) = f(ξ i, η i ) Δs i, Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань Двойные интегралы Основные понятия и теоремы 1. Определение двойного интеграла. Пусть G квадрируемая (и, следовательно, ограниченная) область (открытая или замкнутая) на плоскости и пусть в области G определена

Подробнее

1.Дивергенция векторного поля.

1.Дивергенция векторного поля. ЛЕКЦИЯ N Дивергенция векторного поля Циркуляция Ротор отенциальные соленоидальные гармонические поля Операторы Лапласа и Гамильтона Дивергенция векторного поля Соленоидальные поля Циркуляция 4Формула Стокса

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Тема 3. Алгебраические выражения.

Тема 3. Алгебраические выражения. 13.Модуль. Композиция линейной функции и модуля, квадратичной функции и модуля, дробно-линейной функции и модуля. Линейная функция с двумя модулями. Тема 3. Алгебраические выражения. 1. Алгебраические

Подробнее

1 Комплексные функции

1 Комплексные функции 1 Комплексные функции 1.1 Комплексные числа Напомним, что комплексные числа можно определить как множество упорядоченных пар вещественных чисел C = {(x, y) : x, y R}, z = x + iy, где i мнимая единица (i

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Физики, биологии и инженерных технологий 2. Направление подготовки 16.03.01

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

Деформированное состояние в точке. Связь между деформациями и напряжениями

Деформированное состояние в точке. Связь между деформациями и напряжениями Деформированное состояние в точке. Связь между деформациями и напряжениями. Деформированным состоянием в точке называется (-ются) ОТВТ: ) совокупность деформаций в точке; ) совокупность нормальных и касательных

Подробнее

БАЗИСНЫЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ, КОСИНУСОВ И СИНУСОВ Б. Т. Билалов

БАЗИСНЫЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ, КОСИНУСОВ И СИНУСОВ Б. Т. Билалов Сибирский математический журнал Март апрель, 2004. Том 45, 2 УДК 517.5 БАЗИСНЫЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ, КОСИНУСОВ И СИНУСОВ Б. Т. Билалов Аннотация: Рассматриваются системы экспонент, косинусов

Подробнее

ПРОГРАММА КОМПЛЕКСНОГО ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ В МАГИСТРАТУРУ. Направление подготовки Математика

ПРОГРАММА КОМПЛЕКСНОГО ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ В МАГИСТРАТУРУ. Направление подготовки Математика МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Механико-математический

Подробнее

Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет. А. М. Сухотин

Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет. А. М. Сухотин Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет «Утверждаю», зав каф высшей математики профессор КП Арефьев А М Сухотин ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Пахомова Е.Г. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Лекция 11. Полная система уравнений теории упругости. Уравнения равновесия. Соотношения Коши: (2) z yz. Соотношения Закона Гука (3)

Лекция 11. Полная система уравнений теории упругости. Уравнения равновесия. Соотношения Коши: (2) z yz. Соотношения Закона Гука (3) Полная система уравнений теории упругости si F () i Лекция Полная система уравнений теории упругости. Уравнения совместности деформаций. Уравнения Бельтрами. Уравнения Ламе. Плоское напряженное и плоское

Подробнее

К СВОЙСТВАМ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

К СВОЙСТВАМ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ И. П. ПОЛОВИНКИН К СВОЙСТВАМ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ В рамках символического подхода предложен способ получения формул средних значений для некоторых классов уравнений в частных

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

И.М. Тараненко, канд. техн. наук

И.М. Тараненко, канд. техн. наук 5 УДК 69.735 И.М. Тараненко, канд. техн. наук ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ СТЕРЖНЕЙ ИЗ КОМПОЗИТОВ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ При проектировании силовых элементов

Подробнее

1. Поверхности второго порядка

1. Поверхности второго порядка 1 1. Поверхности второго порядка Здесь мы познакомимся с некоторыми вопросами теории поверхностей второго порядка, уравнения которых будут иметь вид A + B + Cz 2 + Dxy + Eyz + F yz + Gx + Hy + Kz + L =

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Подробнее

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ПЛАН ЛЕКЦИИ Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВОЙ РЯД Бесконечная сумма чисел вида: а а а... а... 3 называется числовым

Подробнее

MEASUREMENT OF THE DISTANCE BETWEEN FUNCTIONS

MEASUREMENT OF THE DISTANCE BETWEEN FUNCTIONS ИЗМЕРЕНИЕ РАССТОЯНИЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ А О ВАТУЛЬЯН Ростовский государственный университет Ростов-на-Дону MEASUREMENT OF THE DISTANCE BETWEEN FUNCTIONS A O VATULYAN Different ws of introducing the distnce

Подробнее

Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Математические модели теории упругости

Рабочая программа дисциплины (с аннотацией) Математические модели теории упругости Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО «Тверской государственный университет» Утверждаю: Руководитель ООП А.В. Язенин «_10_» сентября 2015 г. Рабочая программа дисциплины (с аннотацией)

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Лекция 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Тема: Элементарная кривая Касательная Длина кривой План лекции Понятие и способы задания элементарной кривой Вектор-функция одного переменного Касательная к кривой

Подробнее