Часть 2 КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Часть 2 КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ"

Транскрипт

1 Часть КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ После введения вероятностного описания случайных процессов можно дать их классификацию с учетом тех или иных ограничений которые предъявляются к их вероятностным характеристикам СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ Важным классом случайных процессов являются стационарные случайные процессы Эмпирическое представление о стационарном случайном процессе можно получить если наблюдать какие-либо флуктуации параметра характеризующего физический процесс при неизменных макроскопических условиях Другими словами стационарный случайный процесс является устойчивым во времени В связи с этим вводят формальное определение стационарного процесса Случайный процесс называется стационарным в узком смысле если все конечномерные функции распределения любого порядка инвариантны относительно сдвига по времени т е при любых и справедливо равенство F F Это значит что вероятностные характеристики стационарного случайного процесса не меняются при изменении начала отсчета времени наблюдения на произвольную величину Разумеется что аналогичное равенство должно выполняться и для плотностей вероятностей а также для характеристических моментных и корреляционных функций Из определения стационарности в частности следует: если 3а 3б где Соотношение 3а показывает что одномерная плотность вероятности стационарного в узком смысле случайного процесса вообще не за-

2 висит от времени Двумерный закон распределения для стационарного процесса 3б зависит только от разности моментов времени для которых выбраны ординаты случайных функций Из определения стационарности следует что стационарный случайный процесс не имеет начала и конца В противном случае переместив точку наблюдения в начало или конец процесса получим другое распределение вероятностей что противоречит определению стационарности Математическое ожидание среднее значение стационарного в узком смысле случайного процесса также не зависит от времени m } d 4 Корреляционная и ковариационная функции зависят лишь от разности аргументов : K } dd K R [ m ][ m ]} 5 Причем d d 6 m m R K m 7 Дисперсия стационарного процесса постоянна и равна значению корреляционной функции при нулевом значении аргумента: D [ m ] } R m m d } 8 Пример стационарного в узком смысле случайного процесса Рассмотрим случайный процесс представляющий гармоническое колебание у которого амплитуда и частота постоянны а фаза случайная величина

3 A si [ ] 9 Необходимым и достаточным условием стационарности в узком смысле этого процесса является равномерное распределение фазы Функция распределения процесса 9 полностью определяется распределением случайной фазы Пусть тогда из 9 следует что A si где Плотность вероятности случайной фазы процесса и случайной фазы процесса после временого сдвига изображены на рис Так как фазы отличающиеся на не изменяют значений процесса то при их равномерном распределении справедливо равенство т е равномерная плотность вероятности фазы инвариантна сдвигу процесса во времени π π Рис Плотности распределения начальной фазы При неравномерном распределении фазы случайный процесс 9 перестает быть стационарным т к плотности и не совпадают При решении некоторых практических задач в рамках корреляционной теории многомерные плотности вероятности не рассматривают а оперируют только математическими ожиданиями и корреляционной ковариационной функцией В связи с этим вводится понятие стационарности в широком смысле 3

4 Стационарный процесс с конечной дисперсией называется стационарным в широком смысле если его математическое ожидание и корреляционная ковариационная функция инвариантны относительно сдвига во времени т е математическое ожидание постоянно не зависит от времени а корреляционная функция зависит только от разности аргументов и конечна при : m cos K K K На основании 4 6 заключаем что случайные процессы стационарные в узком смысле всегда стационарны и в широком смысле Однако обратное утверждение в общем случае неверно Для гауссовых стационарных процессов плотности вероятности которых полностью определяются математическим ожиданием и корреляционной функцией понятие стационарности в узком и широком смыслах полностью совпадают ЭРГОДИЧЕСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ До сих пор характеристики случайных процессов плотности вероятности моментные функция и др были определены через соответствующие статистические средние значения "поперек процесса" т е средние значения большого числа реализаций в ансамбле идентичных систем Оказывается что для многих стационарных случайных процессов указанные характеристики можно получить путем усреднения соответствующих величин "вдоль процесса" т е по одной реализации достаточно большой длительности Такая возможность физически может быть оправдана тем что стационарный случайный процесс протекает однородно во времени Представим себе что длинная реализация стационарного процесса разбита на "куски" примерно одинаковой длительности Для ряда стационарных процессов каждый из таких "кусков" можно рассматривать в качестве "полномочного представителя" отрезка реализации отдельного члена статистического ансамбля одинаковых систем Стационарные случайные процессы для которых это справедливо называются эргодическими или говорят что стационарный процесс обладает эргодическими свойствами Свойство эргодичности важно потому что при его наличии имеют место чрезвычайно существенные соотношения между функцией распределения и временем пребывания случайной функции в определенном интервале значений а также между статистическими средними и средними по времени 4

5 Экспериментатор за данный промежуток времени Т чаще всего может получить лишь одну реализацию интересующего его случайного процесса и предпочитает поэтому усреднять по времени пользуясь одной реализацией Спрашивается в каком соотношении находятся эти способы усреднения по времени и по ансамблю? Сформулируем в общем виде эргодическое свойство случайного процесса не обязательно стационарного Имеем случайный процесс для которого определены одномерная и двумерная плотности вероятности Пусть [ ] некая детерминированная функция от Введем ее среднее по времени за промежуток [ ] в виде [ ] [ ] d где [ ] случайная величина различная для разных реализаций на интервале [ ] Определение: Случайный процесс для которого усреднения по ансамблю и по времени дают одинаковые результаты называется эргодическим Теорема Необходимым и достаточным условием эргодичности случайного процесса является выполнение равенства где R K m m lim R dd [ ] dd ковариационная функция случайного процесса [ ] Доказательство: Так как [ ] случайная величина то для нее справедливо неравенство Чебышева D{ } P { } } 3 5

6 Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины [ ] : где p } d M [ ] d d d [ d ]} d p d 4 d 5 эффективная плотность вероятности средняя за время D { } M M } d [ d M M ] M d dd d [ } } }] dd R dd 6 где R функция ковариации процесса которая определена выше Следовательно если выполнимо т е предел стремится к нулю то и дисперсия процесса D { } тоже стремится к нулю Тогда в силу 6

7 неравенства Чебышева 3 условие необходимо и достаточно для сходимости по вероятности или в развернутой форме p [ ] [ ]} [ ] d p p d 7 8 где "эффективная" плотность вероятности p задается формулой 5 Можно сказать что это закон больших чисел в применении к непрерывному наблюдению Определение: Относительным временем пребывания процесса в интервале d называется отношение суммарного времени проведенного процессом выше уровня но ниже уровня d к полной продолжительности интервала То есть отношение суммы всех отмеченных на рис жирной линией отрезков оси абсцисс от момента до момента к полной продолжительности интервала : d d i относительное время пребывания i +d Δ Δ Δ 3 Δ - Δ Теорема Если процесс эргодичен т е выполнено условие то относительное время пребывания случайного процесса в промежутке d сходится по вероятности при к p d где p lim p Рис Определение относительного времени пребывания 7

8 Доказательство: Возьмем в качестве функции [ ] функцию-фиксатор [ ] и вычислим среднее значение [ ] если если 8 вне d d] d если d [ ] d если вне d] если если вне С другой стороны для малых d имеем: p d если d d] [ ]} p d если вне d] d d d p d p d Таким образом учитывая 8 получаем p d p d 9 что и требовалось доказать Как изменятся полученные результаты если свойством эргодичности обладает стационарный процесс? В этом случае одномерная плотность распределения вероятности не зависит от времени а двумерная зависит лишь от разности т е и соответственно R зависит лишь от а p d В этом случае соотношения 8 и 9 принимают вид: [ ] d p d

9 p d d а необходимое и достаточное условие эргодичности содержит только однократный интеграл от R lim R d Условие необходимое и достаточное для эргодичности стационарного в широком смысле случайного процесса носит название условия Слуцкого Оно допускает что R не стремится к нулю при а например содержит член вида a cos R d В этом случае asi и условие выполняется Достаточные условия эргодичности стационарного процесса можно сформулировать как требование чтобы lim R Наиболее существенным результатом является то что для стационарного процесса распределение p совпадает с одномерной фикцией распределения поскольку последняя не зависит от Тем самым доказанные нами теоремы утверждают что при условии эргодичности имеем p [ ] [ ]} т е среднее по времени от [ ] сходится по вероятности к среднему статистическому и в частности d p } И наконец выражение позволяет записать что d M d 3 9

10 Соотношение 3 дает в руки экспериментатору если он имеет дело со стационарным эргодическим случайным процессом непосредственный метод измерения одномерной функции распределения Вероятность попадания на какой-либо интервал a b определяется относительным временем пребывания процесса в этом интервале за достаточно длинный промежуток времени Т До сих пор рассматривали условия эргодичности применительно к временному среднему случайной функции [ ] т е функции зависящей от значения в какой-то один момент времени иногда это называют эргодичностью первого порядка Эргодичность второго порядка имеет дело с временными средними функций [ ] Ограничимся в этом вопросе частным случаем стационарного процесса и функцией [ ] В этом случае среднее по времени d Среднее статистическое такой случайной величины будет равно M { } K d 3 K } d Можно показать что при выполнении условия Слуцкого имеет место сходимость по вероятности d p K 4 которая на практике позволяет измерять вычислять корреляционную функцию путем временного усреднения произведения по достаточно длинному промежутку времени Т На рис 3 приведен один из возможных видов классификации случайных процессов

11 Случайные процессы Стационарные Нестационарные Эргодические Неэргодические Классификация по типам нестационарностей Рис 3 Классификация случайных процессов 3 ДАЛЬНЕЙШАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Было показано что знание многомерной плотности вероятности полностью характеризует случайный процесс Однако многие физические процессы статистически не столь сложны чтобы для получения исчерпывающей информации о процессе было бы необходимо знание всех часто бывает достаточно знать только или Можно показать что если эти плотности содержат все возможные статистические данные то по ним можно найти многомерные плотности вероятности и заполнить всю их последовательность Значение классификации состоит в том что при решении частных задач бывает необходимо знать содержится ли в или на самом деле вся информация о процессе или нет Например в теории броуновского движения знания r r где r вектор перемещения а r скорость тяжелой частицы в суспензии недостаточно для полного описания стохастического процесса Кроме r r необходимо знание совместной двумерной плотности вероятности r r r r 3 Условные плотности вероятности Расширим теперь понятие условной плотности вероятности введенное ранее Дадим следующее определение "простейшей" условной плотности вероятности случайного процесса : d равно 3

12 вероятности того что если имеет значение в момент времени то в более поздний момент он примет значение лежащее в интервале d В этом разделе переменные относящиеся к гипотезе стоят раньше аргументов функции что отличается от использованных ранее обозначений В первом случае величина стоящая за наклонной чертой является заданной или указывает на принятую гипотезу а стоящая перед этой чертой является аргументом функции Например y дано y аргумент функции Второй способ противоположен первому Первый вид принят в математических трудах а второй часто используется в физических прикладных работах Подобным же образом можно определить и многомерные условные плотности вероятности: d вероятность того что если имел значения в моменты соответственно то в более поздний момент функция примет значение лежащее в интервале d Из определений приведенных ранее получаются следующие соотношения между условными и безусловными плотностями вероятностей: и так далее для всех Условные плотности вероятности должны удовлетворять обычным условиям для плотности: d d d Заметим что все моменты времени упорядочены а именно 3

13 33 Существуют и иные плотности вероятности Например можно определить условную плотность вероятности вида m m m m m m Из соотношения 5 следует lim и lim так как достоверно что т е заданному значению при совпадении моментов наблюдения В другом крайнем случае lim 7 и lim Для рассматриваемых здесь случайных процессов это равносильно утверждению что отсутствует "память" или статистическая связь между значениями наблюдающимися в двух различных моментах времени достаточно далеко отстоящих друг от друга 3 Совершенно случайный процесс шум Вернемся теперь к классификации Процесс называется совершенно случайным шумом если последовательные значения i никак не связаны т е когда последовательные значения случайной величины не зависят статистически от предыдущих значений как бы малы ни были промежутки между наблюдениями Это можно выразить следующим образом: 8 Подстановка 7 в 5 дает при последовательность равенств: i i i 9

14 В этом случае можно утверждать что статистически независимы для любых значений i Вся информация о процессе содержится в одномерной плотности вероятности знание которой дает возможность используя 9 полностью описать процесс Это легко иллюстрировать на примере случайной последовательности когда принимает только дискретные значения Например бросание монеты в заданные моменты времени Однако при непрерывном совершенно случайный процесс является только предельным случаем Так как практически и всегда коррелированны если соответствующий промежуток времени конечен и мал Обычно в реальных случаях именно причина и степень этой корреляции и представляет особый интерес 33 Простой марковский процесс Следующий по сложности процесс получается когда вся информация содержится в двумерной плотности вероятности Такие процессы называются марковскими по имени русского математика впервые исследовавшего их Они составляют очень важный класс процессов так как в большинстве случаев шумы и во многих случаях и сигналы являются в том или ином смысле такими процессами Простым марковским процессом называется такой стохастический процесс значение которого в моменты времени входящие в любую совокупность зависят лишь от последнего известного значения из всех значений которые случайный процесс принимает в моменты времени входящие в любую совокупность предыдущих моментов времени В этом случае условную плотность вероятности можно записать в виде 3 где Из определения условной плотности и соотношения 3 получаем и соответственно имеем 34

15 Получили что процесс полностью охарактеризован в предположении конечно что и различные существуют Марковское условие 3 подразумевает также что процесс может быть и чисто случайный Учитывая 7 т е lim и lim получаем что при выражение в 3 приводится к выражению 9 совершенно случайного процесса когда все моменты наблюдений бесконечно удалены друг от друга Подобным же образом в другом крайнем случае когда все одинаковы можно преобразовать 3 к виду lim В первом случае все последовательные значения статистически независимы а во втором случае имеет место полная зависимость: с вероятностью Приведенные соотношения нужно соответствующим образом изменить если процесс содержит детерминированные составляющие 34 Случайные процессы различных типов В предыдущих лекциях мы рассматривали непрерывные случайные процессы Кроме непрерывных существуют и другие типы случайных процессов Например если стохастическая принимает контину-

16 ум значений а значения параметра выбираются из дискретного множества которое может быть конечным или бесконечным то называется непрерывной случайной последовательностью рис 4 б Важным примером такого процесса является классическая задача о случайных блужданиях где каждый "шаг" или "перемещение" может принимать значение из непрерывного интервала a b но эти i шаги совершаются только в дискретные моменты и т д а i b a б i 3 3 b в i г i a Рис 4 Четыре вида случайных процессов: а непрерывный случайный процесс б непрерывная случайная последовательность в дискретная случайная последовательность г дискретный случайный процесс Третий тип процесса возникает когда значения выбираются также из дискретного множества значений в дискретные моменты Такие процессы часто называют дискретными случайными последовательностями рис 4 в одним из примеров которых является бросание монеты Монета бросается в моменты два возможных значения соответствуют "гербу" или "решке" Наконец существует случай когда может принимать лишь множество дискретных значений а множество значений представляет континуум что имеет место например на выходе релейной системы авторегулирования счетчика и т д Здесь время изменяется непрерывно а на выходе подобных систем сохраняется одно из дискретного множества 36

17 возможных значений в течение периода различной длительности которое изменяется скачком Эти процессы называются дискретными случайными процессами рис 4 г Полезно заметить что термины дискретный и непрерывный связаны со стохастической величиной а термин процесс и последовательность относятся к параметру В большинстве приложений рассматриваемых в настоящем пособии будут встречаться непрерывная случайная последовательность б и непрерывный случайный процесс а Процессы типа б не только дают полезную модель для детального описания различных шумовых процессов но также часто встречаются когда непрерывные данные квантуются во времени процедурами выборки С другой стороны непрерывный процесс полезен для макроскопического описания электрических шумов и других флуктуационных явлений при их наблюдении в масштабе лежащем значительно выше уровня при котором проявляется существенно дискретный характер физического процесса Моделью непрерывного случайного процесса удобно пользоваться также во многих задачах теории связи когда непрерывные и дискретные данные обрабатываются непрерывно например при линейной и нелинейной фильтрации модуляции детектировании и т д Более того часто бывает необходимо рассматривать непрерывный случайный процесс как предел непрерывной последовательности например при анализе оптимальных решающих систем для обнаружения и извлечения сигнала из шумов 35 Сигнал и шум Интересным типовым примером является аддитивная смесь шума и сигнала реализация которой представляет принятое колебание во многих связных задачах Если сигнал представляет собой детерминированный процесс а шум естественно стохастический то результирующий процесс называют смешанным Эта смесь бывает как аддитивной так и мультипликативной т е представляет произведение сигнала и шума Например полезный сигнал может быть колебанием которое модулировано шумом cos и появляется на фоне шума и тд В практических применениях встречаются различные смешанные процессы 37

18 Сигнал определяется в общем как любая полезная составляющая переданного или принятого колебания а шум как сопровождающая его вредная составляющая Сигналы могут быть детерминированными или чисто случайными а шум будучи обычно случайным может во многих случаях обладать детерминированными свойствами которые часто связаны с совокупностью сигналов Представим сигнал в виде A s где А мера мощности т е масштаб амплитуд сигнала s нормированная форма колебания которая характеризует зависимость от времени и предполагается заданной основные параметры сигнала которые могут иметь а могут и не иметь непрерывную или дискретную плотность вероятности Заметим что параметры процесса A могут быть сами функциями времени или стохастическими величинами Например сигнал может быть колебанием со случайным периодом т е имеет функцию распределения или период может быть постоянным Амплитуда масштаб колебания может подвергаться случайным изменениям либо от одной реализации к другой либо от одного момента времени к другому для данной реализации Кроме этого сигнал может иметь вид s A где А заданно а чисто случайный процесс Ясно что возможна любая комбинация случайной и детерминированной составляющих Точно такое же утверждение можно сделать относительно сопровождающего сигнал шума хотя в большинстве рассмотренных ниже случаях предполагается что шум не содержит детерминированных составляющих по крайней мере пока он не подвергается обработке вместе с сигналом

Часть 3 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Часть 3 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть 3 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В курсе "Теория вероятностей" корреляция между двумя случайными величинами определяется математическим ожиданием их произведения Если в качестве двух случайных

Подробнее

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D 4 СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Многомерной случайной величиной (векторной случайной величиной, случайным вектором или случайной точкой) называют упорядоченный набор нескольких случайных

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

Лекция 12. Стационарные последовательности

Лекция 12. Стационарные последовательности Лекция 12 Стационарные последовательности Рассмотрим еще один класс случайных последовательностей, обобщающих последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Пусть Ω, F, P исходное

Подробнее

5. Корреляционная обработка сигналов

5. Корреляционная обработка сигналов ВН Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) 5 Корреляционная обработка сигналов 51 Различение сигналов Коэффициент корреляции сигналов Одной из задач, решаемых при обработке сигналов,

Подробнее

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН -МЕРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты ковариацию

Подробнее

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Вектор среднего дисперсий границ математических ожиданий границ функции среднеквадратических отклонений границ величина гиперслучайная векторная непрерывная 1.2 скалярная 1.2 интервальная

Подробнее

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2013 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Выборка.

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...... 14 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Основные понятия теории вероятностей... 17 1. Испытания и события... 17 2. Виды случайных событий... 17 3. Классическое определение

Подробнее

В. И. Парфенов, Е. В. Сергеева. Воронежский государственный университет

В. И. Парфенов, Е. В. Сергеева. Воронежский государственный университет УДК 61.391 ПРИМЕНЕНИЕ ДИСКРИМИНАНТНОЙ ПРОЦЕДУРЫ ПРИ СИНТЕЗЕ И АНАЛИЗЕ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ, ОСНОВАННОЙ НА МАНИПУЛЯЦИИ СТАТИСТИЧЕСКИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА В. И. Парфенов, Е. В.

Подробнее

ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ

ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ ЧАСТЬ ІІ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ МОДЕЛИ ГЛАВА 6 ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВЕЛИЧИН Описаны точечный и интервальный методы оценки детерминированных величин основанные на представлении оценок гиперслучайными

Подробнее

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и

Подробнее

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x)

6. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Функции ϕ (x) 6 Ряды Фурье 6 Ортогональные системы функций Ряд Фурье по ортогональной системе функций Функции ϕ () и ψ (), определенные и интегрируемые на отрезке [, ], называются ортогональными на этом отрезке, если

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ «СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В РАДИОТЕХНИКЕ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ГРУППЫ ВДБВ-6-14

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ «СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В РАДИОТЕХНИКЕ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ГРУППЫ ВДБВ-6-14 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ «СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В РАДИОТЕХНИКЕ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ГРУППЫ ВДБВ-6-14 Список литературы 1. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем:

Подробнее

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь Предельные теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин. Сходимость по вероятности сходимость с вероятностью единица. Неравенство П.Л.Чебышева. Закон больших чисел для последовательности

Подробнее

ЧАСТЬ 7 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

ЧАСТЬ 7 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ЧАСТЬ 7 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Глава 22 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 22.1. Событие, классификация событий, вероятность

Подробнее

Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей

Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей Закономерности в поведении случайных величин тем заметнее, чем больше число испытаний, опытов или наблюдений Закон больших

Подробнее

2. СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ ПО ПРЯМОЙ

2. СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ ПО ПРЯМОЙ . СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ ПО ПРЯМОЙ Рассмотрим простейшую математическую модель случайного блуждания. Пусть точечная частица может совершать только один тип движений: в дискретные моменты времени t 0, t 1,...

Подробнее

Теория случайных процессов. Тесты

Теория случайных процессов. Тесты МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

АННОТАЦИЯ. Направление подготовки (специальность) Государственное и муниципальное управление

АННОТАЦИЯ. Направление подготовки (специальность) Государственное и муниципальное управление АННОТАЦИЯ к рабочей программе дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» Направление подготовки (специальность) 38.03.04 Государственное и муниципальное управление 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

Подробнее

Ответ: х i -0,5 0,5 y i 3 4 p i 0,3 0,7 q i 0,2 0,8. Решение Так как X и Y независимые величины, то мы имеем DX MX

Ответ: х i -0,5 0,5 y i 3 4 p i 0,3 0,7 q i 0,2 0,8. Решение Так как X и Y независимые величины, то мы имеем DX MX Задача. Монета бросается до тех пор пока два раза подряд она выпадет одной и той же стороной. Найти вероятность того что опыт окончится до шестого бросания. Решение Событие - опыт закончится до шестого

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

Глава 7. Понятие об асимптотических методах

Глава 7. Понятие об асимптотических методах Глава 7 Понятие об асимптотических методах Лекция Регулярно и сингулярно возмущенные задачи При построении математических моделей физических объектов, характеризующихся различными масштабами по пространству,

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Программа и задачи курса Случайные процессы

Программа и задачи курса Случайные процессы Программа и задачи курса Случайные процессы лектор к.ф.-м.н. Д. А. Шабанов ПРОГРАММА 1. Понятие случайного процесса (случайной функции). Примеры: случайное блуждание, процессы восстановления, эмпирические

Подробнее

Решение: а) Используем локальную теорему Лапласа.

Решение: а) Используем локальную теорему Лапласа. Найди свою задачу на http://mathprof.com! ) Человек, проходящий мимо киоска, покупает газету с вероятностью 0,. Найти вероятность того, что из 00 человек, прошедших мимо киоска в течение часа: а) купят

Подробнее

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М.

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М. А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 224 с. Книга предназначена для начального

Подробнее

7. Обнаружение сигналов 7.1. Постановка задачи обнаружения сигналов

7. Обнаружение сигналов 7.1. Постановка задачи обнаружения сигналов 7 Обнаружение сигналов 71 Постановка задачи обнаружения сигналов Среда где распространяется сигнал РПдУ + РПУ Рис71 К постановке задачи обнаружения сигналов Радиопередающее устройство (РПдУ) на интервале

Подробнее

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 28.1. Пространства D, D основных и обобщенных функций Понятие обобщенной функции обобщает классическое понятие функции и дает возможность выразить в математической форме такие

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ, N4, 2013

ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ, N4, 2013 ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКРОНИКИ, N4, 03 УДК 6.39, 6.39.8 ОЦЕНКА ОНОШЕНИЯ СИГНАЛ/ШУМ НА ОСНОВЕ ФАЗОВЫХ ФЛУКУАЦИЙ СИГНАЛА В. Г. Патюков, Е. В. Патюков, А. А. Силантьев Институт инженерной физики и радиоэлектроники,

Подробнее

2.1. ВРЕМЕННОЙ РЯД (ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ, ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ).

2.1. ВРЕМЕННОЙ РЯД (ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ, ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ). РАЗДЕЛ. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ. АНАЛИЗ И ПРОГНОЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ПО ИХ ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ... ВРЕМЕННОЙ РЯД (ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ, ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ... СТАЦИОНАРНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ И ИХ ОСНОВНЫЕ

Подробнее

Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье

Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье Лекция 4. Гармонический анализ. Ряды Фурье Периодические функции. Гармонический анализ В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т. е. такими, которые повторяются через

Подробнее

Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2. Направление подготовки

Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2. Направление подготовки Этап формирования компетенции (разделы, темы дисциплины) Формируемая компетенция Формы контроля сформированност и компетенций Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся

Подробнее

Основные понятия и определения

Основные понятия и определения 1 Основные понятия и определения Вспомним основные понятия и определения, которые употреблялись в курсе теории вероятностей. Вероятностный эксперимент (испытание) эксперимент, результат которого не предсказуем

Подробнее

Лекция 24. Регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости

Лекция 24. Регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4 Регрессионный анализ Функциональная статистическая и корреляционная зависимости Во многих прикладных (в том числе экономических) задачах

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее

2.4. Непрерывные случайные величины

2.4. Непрерывные случайные величины Лекции по ТВ и МС Олейник ТА 6-7 4 Непрерывные случайные величины Непрерывная случайная величина Плотность распределения Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение, мода, медиана

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 7 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Обозначим через D множество всех бесконечно дифференцируемых финитных функций действительного переменного. Это

Подробнее

План лекции. Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров. Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок

План лекции. Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров. Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок План лекции Статистики, свойства оценок. Методы оценки параметров метод моментов метод максимума правдоподобия метод наименьших квадратов Доверительные интервалы, оценка статистических ошибок Функция результатов

Подробнее

4. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояния.

4. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояния. Лекция Элементы теории систем массового обслуживания 11. Элементы теории систем массового обслуживания Вопросы темы: 1. Основные понятия. Классификация СМО. 2. Понятие марковского случайного процесса.

Подробнее

Теория случайных процессов. Сборник задач

Теория случайных процессов. Сборник задач МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет

Подробнее

Лекция 1. Введение. Основные понятия и методы математической статистики.

Лекция 1. Введение. Основные понятия и методы математической статистики. 1 Лекция 1. Введение. Основные понятия и методы математической статистики. 1. Что изучают математическая статистика, теория случайных процессов. Изучение данного курса будет состоять из двух частей: «Математическая

Подробнее

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1 Многомерная случайная величина X = (X 1,X 2,,X n ) это совокупность случайных величин X i (i =1,2,,n), заданных на одном и том же вероятностном пространстве Ω. Закон распределения

Подробнее

Лекция 7. Работа. Теорема об изменении кинетической энергии

Лекция 7. Работа. Теорема об изменении кинетической энергии Лекция 7 Работа. Теорема об изменении кинетической энергии. Консервативные силы. Потенциальная энергия частицы в потенциальном поле. Примеры: упругая сила, гравитационное поле точечной массы. Работа. Теорема

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ ЛЕКЦИЯ 1. Постановка задачи оценивания параметров сигналов. Байесовские оценки случайных параметров сигналов при различных функциях потерь. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ 3.1.

Подробнее

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ. Лекция 4

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ. Лекция 4 ЧАСТЬ 3 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ Лекция 4 НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ МУАВРА ЛАПЛАСА И ПУАССОНА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие независимого испытания и

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

Статистическое моделирование

Статистическое моделирование Статистическое моделирование. Общая характеристика метода статистического моделирования На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей широко используется метод

Подробнее

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям)

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т. И. Коршикова,

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

Методы Монте Карло по схеме марковской цепи (Markov Chain Monte Carlo, MCMC)

Методы Монте Карло по схеме марковской цепи (Markov Chain Monte Carlo, MCMC) Методы Монте Карло по схеме марковской цепи (Markov Chain Monte Carlo, MCMC) Идея MCMC Рассмотрим вероятностное распределение p(t ). Методы Монте Карло (методы статистических испытаний) предполагают генерацию

Подробнее

Материалы к экзамену. Теоретический минимум

Материалы к экзамену. Теоретический минимум ФКН ВШЭ, 3 курс, 3 модуль Материалы к экзамену Вероятностные модели и статистика случайных процессов, весна 2017 Теоретический минимум 1. Сформулируйте определение случайного процесса как случайной функции.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

2.5.3 Закон Пуассона (закон редких явлений)

2.5.3 Закон Пуассона (закон редких явлений) Лекция 8 План лекции 53 Закон Пуассона 54 Показательный закон распределения 55 Нормальный (гауссов) закон распределения вероятностей 53 Закон Пуассона (закон редких явлений) Дискретная случайная величина

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности.

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. 1 ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. Помимо дискретных случайных величин на практике приходятся иметь дело со случайными величинами, значения которых сплошь заполняет некоторые

Подробнее

Программа и задачи курса Случайные процессы

Программа и задачи курса Случайные процессы Программа и задачи курса Случайные процессы лектор профессор Д. А. Шабанов осень 2016 ПРОГРАММА 1. Понятие случайного процесса (случайной функции). Примеры: случайное блуждание, процессы восстановления,

Подробнее

ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ. Лекция 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ. Лекция 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ Лекция 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить предмет курса; ввести понятия опыта, случайного явления, случайного события, а также вероятности и частоты события;

Подробнее

6.1. Надежность элемента, плотность отказов, среднее время безотказной работы

6.1. Надежность элемента, плотность отказов, среднее время безотказной работы Теория надежности раздел прикладной математики, в котором разрабатываются методы обеспечения эффективной работы изделий. Под надежностью в широком смысле слова понимается способность технического устройства

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Лекция 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Тема: Элементарная кривая Касательная Длина кривой План лекции Понятие и способы задания элементарной кривой Вектор-функция одного переменного Касательная к кривой

Подробнее

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ЛЕКЦИЯ 7 Неограниченные линейные операторы Хотя методами главы I нам удалось исследовать многие задачи математической физики, некоторые вполне классические задачи не

Подробнее

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, могут быть различными факторами: рассеянием

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R..

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R.. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 5 Тема ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция Пространство R 6 Лекция Предел и непрерывность функции нескольких переменных 5 Лекция 3 Функции многих переменных

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЗАНЯТИЕ 4 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Понятие случайной величины одно из важнейших понятий теории вероятностей. Под случайной величиной понимается величина,

Подробнее

случайных величин f(x) и ее свойства Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной

случайных величин f(x) и ее свойства Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной Лекция 6 План лекции.3.3 Дифференциальная функция распределения непрерывных случайных величин.4 Числовые характеристики случайных.4. Математическое ожидание и его свойства..4. Дисперсия случайных величин

Подробнее

( C x A) x C (1) (соответственно

( C x A) x C (1) (соответственно 1.3. Предел последовательности 3.1. Точные границы. Начнем c анализа точных границ последовательностей. Сначала напомним определение точной границы множества. ТЕОРИЯ Множество A R называют ограниченным

Подробнее

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной Лекция Теория вероятностей Основные понятия Эксперимент Частота Вероятность Теория вероятностей раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений Случайные события это события, которые при

Подробнее

Таким образом, мы пришли к закону (5).

Таким образом, мы пришли к закону (5). Конспект лекций по курсу общей физики Часть II Электричество и магнетизм Лекция. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ (продолжение).4. Теорема Остроградского Гаусса. Применение теоремы Докажем теорему для частного

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции.

ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции. ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции..окрестность бесконечно удаленной точки.....разложение Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.... 3.Поведение

Подробнее

М И Р Э А. Программа вступительного испытания по математике для поступающих в магистратуру

М И Р Э А. Программа вступительного испытания по математике для поступающих в магистратуру МИНОБРНАУКИ РОССИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Экспериментальный метод построения моделей технологических объектов

Экспериментальный метод построения моделей технологических объектов Экспериментальный метод построения моделей технологических объектов Основным принципом моделирования технологических систем, содержащих стохастические или вероятностные элементы, является разыгрывание

Подробнее

УДК Г. А. Омарова. Построение траектории движения объекта

УДК Г. А. Омарова. Построение траектории движения объекта УДК 5979 + 5933 Г А Омарова Èíñòèòóò âû èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè åñêîé ãåîôèçèêè ÑÎ ÐÀÍ ïð Àêàä Ëàâðåíòüåâà, 6, Íîâîñèáèðñê, 630090, Ðîññèÿ E-mail: gulzira@ravccru Статистическая модель движения

Подробнее

Теорема Гаусса. Применение теоремы Гаусса к расчету полей

Теорема Гаусса. Применение теоремы Гаусса к расчету полей Теорема Гаусса Применение теоремы Гаусса к расчету полей Основные формулы Электростатическое поле можно задать, указав для каждой точки величину и направление вектора Совокупность этих векторов образует

Подробнее

Институт радиоэлектроники и информационных технологий. Методические рекомендации по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Теория вероятностей»

Институт радиоэлектроники и информационных технологий. Методические рекомендации по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Теория вероятностей» Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Нижегородский государственный технический университет

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла.

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла. Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R 2. 1. Необходимость расширения понятия интеграла. Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) определена на собственном отрезке [a, b]. Определим разбиение

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X + = px ( ) xp( x)

Подробнее

СТАТИСТИКА ЯДЕРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

СТАТИСТИКА ЯДЕРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Рынок ценных бумаг. Применение анализа временных рядов в стратегии инвестора и торговой системе трейдера 27 (315) 2008

Рынок ценных бумаг. Применение анализа временных рядов в стратегии инвестора и торговой системе трейдера 27 (315) 2008 7 (35) 008 Рынок ценных бумаг Применение анализа временных рядов в стратегии инвестора и торговой системе трейдера Е.Е. Лещенко Кафедра менеджмента инвестиций и инноваций Российской экономической академии

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Составитель:ВПБелкин Лекция Определенный интеграл Вычисление и свойства определенного интеграла Определенным интегралом функции f ( ) по отрезку [, ] называется число, обозначаемое

Подробнее

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В высшей степени наивно думать, что все физические распределения соответствуют идеальным. Несмотря на то что при некоторых условиях идеальные распределения встречаются в физике, реальная жизнь, к несчастью,

Подробнее

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург,

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Основные законы распределения дискретных случайных величин

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Основные законы распределения дискретных случайных величин МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 9 Основные законы распределения случайных величин Основные законы распределения дискретных случайных величин Биномиальное распределение

Подробнее

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 214, том 5, 6, с. 726 744 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УДК 517.925.52+519.218 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Подробнее

Факультет Компьютерных наук Департамент больших данных и информационного поиска Базовая кафедра Яндекс

Факультет Компьютерных наук Департамент больших данных и информационного поиска Базовая кафедра Яндекс Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" Факультет Компьютерных наук Департамент больших

Подробнее

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1 Тройной интеграл Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие тройного интеграла. Условия его существования. Теорема о среднем. Вычисление тройного интеграла в декартовых и криволинейных координатах. Тройной

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (Пензенский филиал) Кафедра «Менеджмент, информатика и

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Г. М. Бездудный, В. А. Знаменский,

Подробнее

ГЛАВА 3 (продолжение). Функции случайных величин. Характеристическая функция.

ГЛАВА 3 (продолжение). Функции случайных величин. Характеристическая функция. Оглавление ГЛАВА 3 продолжение. Функции случайных величин. Характеристическая функция... Функция одного случайного аргумента.... Основные числовые характеристики функции случайного аргумента.... Плотность

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие лава 1. Случайные события: основные понятия и формулы, связанные с ними Глава 2. Случайные величины

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие лава 1. Случайные события: основные понятия и формулы, связанные с ними Глава 2. Случайные величины ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие... 6 Глава 1. Случайные события: основные понятия и формулы, связанные с ними... 7 1. Элементы комбинаторики... 7 1.1. Основные правила комбинаторики... 7 Задачи... 11 1.2. Размещения.

Подробнее