Математический анализ. Введение [1,3,4]

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Математический анализ. Введение [1,3,4]"

Транскрипт

1 I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела тесно связано с понятием бесконечно малых, то можно сказать, что математический анализ часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются методами бесконечно малых До 17 века различные практические задачи (вычисление площадей фигур, объѐмов тел, работы силы и тд) решались специально подобранными методами В трудах И Ньютона ( , Англия), Г Лейбница ( , Германия) была создана общая теория для решения этих разрозненных задач, а именно теория интегрального и дифференциального исчисления Первые публикации по новой теории были у Лейбница дифференциальное исчисление (1684 г), интегральное исчисление (1686 г) Л Эйлер ( , Швейцария, Россия) Т Лагранж ( , Франция) О Коши ( , Франция) (создатель теории пределов) Н И Лобачевский ( , Россия) (уточнил понятие функции) К Вейерштрасс ( , Германия) (развил теорию действительных чисел) Г Кантор ( , Германия) (теория множеств) 1

2 II Вводные замечания 1) Об аксиоматической теории 21 основные понятия; 22 основные математические предложения аксиомы; 23 новые понятия, новые математические предложения (теоремы, леммы, следствия) Н И Лобачевский; 1826 г; 1829 г (первая работа) A a Аксиоматический метод 1947 г Н Бурбаки Архитектура математики 2) Некоторые логические символы квантор всеобщности, x A; квантор существования, x A; ; существует единственное 3) Множество Декартовое произведение множеств Понятие множества основное математическое понятие A, B, X, множества; a, b, x, элементы а А, А= А = B = B X, B подмножество множества Х М = А B= = M декартовое произведение двух множеств (прямое декартовое произведение) Декартовое произведение двух множеств состоит из пар, где первый элемент из первого множества, второй из второго А B C= ; = ;, 4) Функция (отображение) Пусть даны два множества и Если каждому элементу, по некоторому правилу (закону) поставлен в соответствие элемент, то будем говорить, что задана функция с областью определения и значениями из Будем писать,, образ элемента Вместо термина функция, применяется термин отображение 2

3 Существуют синонимы: оператор, функционал, морфизм (в зависимости от природы элементов множества ), натуральные числа; 1) числовая функция, числового аргумента; 2) функция многих переменных; 3) вектор функция 4) отображение, образ множества при отображении Если при отображении все элементы из заняты (случай 1), то будем говорит о отображении на (в общем случае будем говорить об отображении в Такое отображение называется сюръекцией (см 1, 2) Если при будет, то инъекция (см 1, 4) Если сюръекция и инъекция одновременно, то это биекция (взаимно-однозначное отображение) (см 1) Если биекция, то можно говорить об обратном отображении Часто бывает необходимо рассматривать такое отображение Здесь имеем дело со сложной функцией или имеем дело с композицией отображений 3

4 Раздел Действительные числа [1] 1 Аксиоматика действительных чисел П1 Аксиоматическое определение множества действительных чисел Множество будем называть множеством действительных чисел, если введѐнные ниже операции и отношения подчинены аксиомам: адана операция +: со свойствами:, что ; существует, что ; (ассоциативность);, (коммутативность) Задана операция : со свойствами:, что, ;, ;, Связь умножения и сложения:, (дистрибутивность) Аксиомы порядка, задано отношение : ; Если и, то ; (транзитивность); будет или связь порядка и операций: если, то ; Пусть : если, будет, то, что (аксиома полноты) 4

5 П2 Изображение точками числовой оси Между действительными числами и точками числовой оси существует взаимно однозначное соответствие Если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то эти множества называются равномощными То общее, что характеризуют эти множества, называется мощностью множества Множества, равномощные множеству натуральных чисел, называются счѐтными множествами П3 О расширении множества действительных чисел задана числовая ось = Символы (не числа) (недостижимые символы) расширенное множество П4 Некоторые подмножества множества действительных чисел 1) Имеем множество дискретно плотное множество (без наибольшего и наименьшего элементов) 2) Промежутки: отрезок; интервал; полуинтервалы Определение Любой интервал, содержащий точку, называется окрестностью точки окрестность точки проколотая окрестность точки 5

6 2 Основные леммы П1 Лемма о верхней (точной) грани числового множества множество, число, Определение 1 Множество называется ограниченным сверху (снизу), если существует, что, для Определение 2 Множество ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным Определение 3 Число называется минимальным (максимальным) элементом множества, если Определение 4 Наименьшее из чисел, ограничивающих множество сверху, называется верхней (точной) гранью множества (супремум): где сколь угодно малое число Определение 5 Наибольшее из чисел, ограничивающих множество снизу, называется нижней (точной) гранью множества (инфимум): Лемма 1 Всякое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет, и при том единственную, верхнюю грань Доказательство Так как множество ограничено сверху, то возьмѐм множество Множества и обладают свойствами, то согласно аксиоме из, что Ясно Единственность верхней грани следует из Упражнение Сформулировать и доказать лемму для нижней грани числового множества 6

7 П2 Лемма о вложенных отрезках (длинна отрезка ) Последовательность называется системой вложенных отрезков, если, Лемма 1 Любая система вложенных отрезков имеет общую точку Если при этом для всякого что, то такая общая точка единственна Доказательство Образуем два множества Очевидно, что, таким образом множества и таковы, о которых идѐт речь в аксиоме VI, поэтому, что для, а значит Докажем вторую часть леммы методом от противного Пусть Тогда, поэтому те Противоречие! и фиксированы, а как угодно малое положительное число Противоречие свидетельствует о том, что сделанное предположение неверно П3 Лемма о конечном покрытии Если, то будем говорить, что покрывает Лемма 3 Из всякой системы интервалов, покрывающей данный отрезок, можно выделить конечную систему интервалов, также покрывающую данный отрезок Доказательство проведѐм методом от противного Пусть отрезок нельзя покрыть конечной системой интервалов Поделим отрезок пополам, пусть та часть отрезка, которую нельзя покрыть конечной системой интервалов Поделим отрезок пополам, пусть не допускает конечного покрытия интервалами и тд Пусть не допускает конечного покрытия интервалами и тд Очевидно система вложенных отрезков, причѐм длина Очевидно, найдѐм, что Согласно лемме 2 интервал из системы интервалов, осуществляющих покрытие Можно взять 0 Ясно, что Противоречие! Тк, по предположению, не допускает конечного покрытия 7

8 П4 Лемма о предельной точке Определение Точку назовем предельной точкой множества, если всякая проколотая окрестность содержит точку из Следствие Если предельная точка множества, то содержит бесчисленное множество элементов из Лемма 4 Всякое бесконечное ограниченное множество имеет предельную точку Доказательство Так как ограниченное множество, то что Докажем утверждение: хотя бы одна точка отрезка является предельной для От противного Пусть ни одна точка из не является предельной для Согласно лемме 3 можно осуществить конечное покрытие отрезка интервалами при этом ни одна из точек не является предельной для Значит либо вовсе не содержит точек из, либо содержит их конечное число Однако имеем: Противоречие! бесконечное множество, значит предположение не верно, значит хотя бы одна точка из отрезка является предельной для 8

9 Раздел 2 Теория пределов [1,2,3,4,5] 1 Предел последовательности П1 Определение понятия предела последовательности Определение: Функция называется числовой последовательностью (функция натурального аргумента) Пример 1 1) ; ограниченная последовательность Пример 2 ; ограниченная последовательность Пример 3 ; неограниченная последовательность Определение 2 Число называется пределом последовательности, если для, что для всех будет Пример 4, Значит (2) (3) (4) Например, и тд Определение 2 можно переформулировать следующим образом: число последовательности, если для, что для : называется пределом Иначе, число называется пределом последовательности, если в окрестности точки содержится бесчисленное множество элементов последовательности, за окрестностью точки находится их конечное число Будем писать (5) Если существует конечное число, что имеет место (5), то будем говорить, что последовательность сходится (сходящаяся), в противном случае расходится Определение 3 Последовательность называется ограниченной, если, что 9

10 П2 Свойства предела а) Общие свойства предела Теорема 1 1) Если последовательность сходится, то она имеет единственный предел 2) Сходящаяся последовательность ограничена Доказательство 1) Пусть и Согласно определению 2 : ), ) Поэтому имеем: 0 0 <! Противоречие! Так как сколь угодно малое, фиксированные 2) ), те Если (6) выполнено, то выполнено и неравенство 1), 2), (6) (7) те Пусть, тогда, б) Предел и арифметические операции Определение Последовательности будем называть соответственно суммой, разностью, произведением, частным двух последовательностей (в последнем случае ) Теорема 2 Пусть Тогда 1) ( )= 2) ( )= 3) Доказательство 2), 10

11 Положим, тогда неравенства, выполняются одновременно Поэтому По теореме 1, значит (8) 3),,, = Согласно условию, что для будет Пример 1,, Пример 2,, +1 Пример 3 в) Предельный переход и неравенства Теорема 3 Пусть,, a<b, тогда, что для будет Доказательство ( ε>0 N 1, n>n 1 : ), 11

12 ( ε>0 N 2, n>n 2 : ) Пусть, Пусть, тогда Следствие 1) ; 2) ; 3) ; 4), то есть 1), 2), 3), Доказательство следствий от противного Пример 4,, Теорема 4 Пусть Если, то Доказательство ( ε>0, > : ), ( ε>0 N 2, >N 2 : ) Положим N max тогда для :,, значит П 3 Существование пределов Определение Последовательность называется фундаментальной (последовательностью Коши), если для, что для всех выполняется неравенство Пример последовательности, образованной десятичными приближениями с недостатком: Очевидно, последовательность (10) фундаментальная 1,4; 1,41;1,414; (10) Теорема Чтобы последовательность фундаментальной имела предел необходимо и достаточно, чтобы она была Доказательство 1) Пусть имеем, 2) Пусть фундаментальная Доказать Имеем > N Фиксируем ( 12

13 (11) Из неравентва (11) следует, что множество ограничено, a l нижняя грань множества {,, b l верхняя грань, Пример, ;, = = ; = Заметим, что с увеличением l нижняя грань не уменьшается, а верхняя не увеличивается Рассмотрим =[, ] Тогда имеем Свойство (12) означает, что имеем дело с системой вложенных отрезков По лемме 2 с R, что с l, те Из (13) и (14) имеем: ( те (12), (13) (14) (15) Используя (11), можно записать, n>n, откуда (16) (17) > N (18) Эта теорема имеет место в R, а в Q eѐ нет (потому что в Q нет аксиомы VI) П4 Существование предела ограниченной последовательности Определение 6 Пусть имеем: 1), возрастающая; 2), неубывающая; 3), убывающая; 4), невозрастающая 13

14 Все эти последовательности будем называть монотонными Определение 7 Последовательность ( > M), N называют ограниченной сверху (снизу), если M, что Теорема 1 Монотонно возрастающая последовательность имеет предел тогда и только тогда, когда она ограничена сверху Доказательство 1) < M, n; 2) Согласно лемме 1, множество ограничено сверху, имеет верхнюю грань s = sup 1) s 2) N, что s ε <, s ε < s < s ε, n>n s ε< < s ε, n>n, значит s Обратное утверждение очевидно Теорема 2 Монотонно убывающая последовательность имеет предел тогда и только тогда, когда она ограничена снизу (если, что, ) Пример 1 если,, Очевидно ;, тк, те >N убывающая Тогда ограничена снизу 0 (нулѐм) a Имеем q q a = a 1, (q 1) a = 0, a = 0 Пример 2 1, а также Имеем: 1 <(, 1,, Значит 1 П5 Число е а) Лемма ; (неравенство Бернулли) Метод математической индукции 1) = 1 (верное) ) Пусть неравенство верно при, те Покажем тогда справедливость утверждения при : Имеем: (1+k α)(1+α) 1+k α+k +α 1+α(k+1), те 14

15 3) Вывод: неравенство верно при б) Рассмотрим последовательность { }, { }, где ; Пусть > { } убывает ( ), но ограничена снизу нулѐм 1, n 2, n Значит, существует x n Определение (число иррациональное) П1 Понятие подпоследовательности 2 Подпоследовательности, частичные пределы 1< 2< < k< k+1< (2) Последовательность (3) будем называть подпоследовательностью последовательности (1), если выполнено условие (2) (1) (3) Пример 1 1,2,3,4,,, 2, 4, 6,,, 15

16 Теорема 1 Из любой ограниченной последовательности подпоследовательность можно выделить сходящуюся Доказательство Пусть Е есть множество значений последовательности 1) E конечное множество Тогда хотя бы один элемент последовательности повторяется бесчисленное число раз Можно выделить следующую подпоследовательность: Например : x, x, x, x (стационарная последовательность) 1, 1, 1, 1 Вывод? 2) E бесконечное множество По лемме 4 существует предельная точка множества E, так как E ограниченное множество П2 Бесконечно большие последовательности, 2> 1,, Почему?, 3> 2 k> k-1,,,,,, будет >M), будет ), будет >M) x >3, (4) Замечание Последовательности, для которых выполнено (4), не называют сходящимися Сходящимися последовательностями называются те, предел которых есть конечное число Последовательности, для которых выполнено (4) называются бесконечно большими последовательностями Теорема 2 Из любой неограниченной последовательности можно извлечь бесконечно большую подпоследовательность Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1 Определение 3 Предел конечный или бесконечный определенного знака подпоследовательности (3) последовательности (1) называется частичным пределом последовательности (1) 16

17 Определение 4 Наибольший из частичных пределов называется верхним пределом данной последовательности, а наименьший нижним пределом данной последовательности Пример = = 1; 2; 3; 4; О свойствах нижнего и верхнего предела смотри [3] Предел функции в точке П1 Определения предела функции в точке f: X Y, X, Y R a предельная точка множества Определение 1 (по Коши) Число называем пределом функции f в точке а (при ), если для Определение 2 Число b называется пределом функции f в точке а, если для Можно сказать так: число b называется пределом функции f в точке а, если для Определение 3 Число b называется пределом функции f в точке а, если для 17

18 y b O a x Определение 3 приложимое для более широкого класса отображений f (см [1], предел по базе) Определение 4 Число называется пределом функции f в точке a, если для всякой последовательности Теорема 1 Определения (1) и (4) равносильны Доказательство 1) Пусть b предел f в точке a, то по Коши: если Х, 0 то ) a,, X, >N δ > 0 N, >N, 2) Пусть b предел по Гейне, но не является пределом по Коши, те,,, f ( ) b при n Но (от противного) ε > 0 δ > 0,, что если 0,, означает (,, имеем : 0 ε > 0 Противоречие! Пример 1 Пример 2, a), π 0 б) 0, при m, то Вывод? 18

19 П2 Свойства предела функции в точке Определение 5 Функция f называется финально постоянной при х а, если V(a), что для всех х V(a) будет f(x) = const Определение 6 Функция f называется финально ограниченной сверху (снизу) при x a, если V(a), что ) для x V(a) Теорема 2 1) Финально-постоянная функция при х а имеет в точке а предел, равный этому постоянному значению 2) Если функция f имеет предел в точке а, то этот предел единственный 3) Если функция f имеет предел в точке а, то она финально ограничена при x a Теорема 3 Пусть, тогда 1) 2) 3) Теорема 4 Пусть, x (a) причем b<c, тогда можно указать V(a), что Следствие Пусть тогда x : 1) ) ; 2) ; 3) > c ; 4) c Теорема 5 Пусть предел,, x V(a) Тогда Доказательство Для теоремы 22 Пусть существует,, b 1 ( V(b 1 ), V 1 ( ), V 1 ( ) X: f( ) V (b 1 )), b 2 ( V(b 2 ), V 2 ( ), V 2 ( ) X: f( ) V (b 2 )) Пусть V(b 1 ) V(b 2 )= 19

20 V (a) V 1(a) V 2 (a), V(a): f( ) V(b 1 ), f( ) V(b 2 ) Противоречие! П3 Критерий существования предела функции в точке f: X R, a предельная точка множества Х Теорема 6 Чтобы функция f в точке а имела предел, необходимо и достаточно, чтобы для ε>0 δ>0,, X таких что 0, 0, выполняется Доказательство 1) Пусть ( ε>0 δ>0, x X, 0 ; Тогда X, 2) Пусть для ε>0 δ>0, что для x, t X, будет Возьмем последовательность a, n δ>0 N:, если >N, тогда имеем: ε>0 δ>0,, 0 > N (1) Из (1) следует что фундаментальная! Значит b 1 a, X, a, создадим последовательность : Это возможно при b 1 =b 2 =b подпоследовательности 20

21 П4 Односторонние пределы правостороняя полуокрестность точки левосторонняя полуокрестность точки Определение 7 Число называется левосторонним пределом функции в точке, если для, что если, то или, то Определение 8 Число называется правосторонним пределом функции в точке, если для, что если, то Замечание Если, то пишут Теорема 7 Для существования предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы существовали оба односторонних предела, которые должны быть равны между собой Доказательство и 1) то 2),что если Отсюда, если, то 21

22 П5 Предел по множеству предельная точка множества (сужение функции на множество ) Определение 9 Если, предельная точка множества, то называется пределом функции по множеству в точке и обозначается Замечание Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке являются пределами функции по множеству соответственно Замечание В этих случаях определена а) ; б) в) замечательные пределы радиан 22

23 , те Неравенство (3) верно для Из (2): Из (5) следует требуемое равенство П8 О числе «e» Пусть 23

24 П 9 Предел сложной функции (предел композиции) X Теорема 8 Пусть Согласно определению 3: Надо: что если то Так как по условию для то можно сказать что если то Замечание При нахождении предела функций теорема 8 позволяет делать замену переменной 4 Бесконечно малые и бесконечно большие функции в точке П1 Понятие бесконечно малой, бесконечно большой функции в точке Определение 1 Если то функция Пример называется бесконечно малой в точке бесконечно малая при 24

25 Определение 2 Если предел то функция называется бесконечно большой при бесконечно большая при бесконечно большая при бесконечно малая при Теорема 1 Пусть функции бесконечно малые при тогда функции бесконечно малые при Доказательство Имеем Теорема 2 Пусть бесконечно малая при финально-ограничена, при, тогда функция, является бесконечно малой при Доказательство при Замечание Пусть предел тогда где бесконечно малая при Это замечание можно применить для доказательства теорем, например: пусть Доказать: В самом деле, имеем, где бесконечно малые при Тогда П2 Сравнение функций Определение 3 Пусть бесконечно малые при Если то функции и называются эквивалентными при Будем писать 25

26 при Пример при при Определение 4 Пусть бесконечно малые при Если то функцию называют бесконечно малой более высокого порядка, чем ; будем писать: при Пример, Определение 5 Пусть для функции и существует что для всех будет тогда функция называется ограниченной по сравнению с функцией, тогда пишут: Что означает: 1)? 2)? 5 Непрерывность функции в точке [1,2,3,4,5] П1 Определения непрерывной функции в точке Определение 1 Если предел то функцию называют непрерывной в точке будет 26

27 Определение 2 Пусть Если что если то то непрерывна в точке Определение 3 Если что то непрерывна в точке Определение 4 непрерывна в точке если то Символы перестановочны Определение 5 Пусть приращение функции Если то функция называется непрерывной в точке 2), Примеры 1) непрерывна в любой точке 2) тогда 3) Аналогично Замечание При рассмотрении предела функции в точке мы считаем, что эта точка является предельной точкой области определения функции Будем говорить, что изолированная точка множества если не содержащая элементов множества ( в ней нет точек из )! Есть понятие точки прикосновения [3] Если точка прикосновения множества то она либо предельная, либо изолированная; в [3] понятие предела функции в точке вводится для случая, если точка прикосновения множества Равенство (1) распространяется и на случай изолированной точки, поэтому считается, что в изолированной точке функция является непрерывной Пример очевидно если целые,, 27

28 Заметим, что для других не существует, если не целое, то П2 Точки разрыва функции Будем говорить, что точка является точкой разрыва функции если либо не определена в точке либо в этой точке она не является непрерывной Равенство (1) не имеет места, когда либо но либо оба односторонних предела не существуют Примеры 1 скачок равен 1 28

29 1) Если но, то назовем точку точкой устранимого разрыва 2) Если и то то точку назовем точкой разрыва первого рода, при этом разность называется скачком функции в точке 3) Точки разрыва других видов (не относящихся к 1 и 2) будем называть точками разрыва второго рода, те если не существует хотя бы один из односторонних пределов, либо хотя бы один из них бесконечен Пример 4 Чтобы исследовать функцию на непрерывность в точке, необходимо: 1) вычислить (если существует); 2) найти и (оба односторонних предела); 3) в случае непрерывности функции в точке будет конечные числа П3 Свойства функций непрерывных в точке Теорема 1 Пусть и непрерывные функции в точке, тогда их сумма, разность, произведение, частное, непрерывны в точке, в последнем случае Доказательство Теорема 2 Если непрерывна в точке, непрерывна в точке 29

30 то φ непрерывна в точке Справедливость вытекает из определения непрерывной функции в точке и из теоремы о пределе сложной функции П1 Непрерывность функции на множестве 6 Непрерывность функции на отрезке Определение 1 Функция называется непрерывной на множестве, если непрерывна в каждой точке множества При этом, если то непрерывна в точке справа, а в точке слева, то есть множество функции непрерывных на множестве Теорема 1 (Вейерштрасс) Если непрерывна, то на ограничена Доказательство Пусть, например, неограничена сверху, тогда что Рассмотрим ограничена Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность если Очевидно При этом, то есть Так как непрерывна, то по Гейне Противоречие! конечное число Теорема 2 Если то принимает на свою верхнюю и нижнюю точную грань Доказательство Доказательство проведѐм от противного Пусть тогда для непрерывна на ограничена сверху (теорема 1), то есть что то есть Противоречие! Ведь верхняя грань, то есть уменьшить это число нельзя, наименьшее из чисел ограничивает множество сверху 30

31 П2 Теорема о промежуточных значениях непрерывных функций Теорема 3 Пусть причем Тогда для число заключенное между что Доказательство Предположим для определенности, что Разделим отрезок пополам точкой если то задача решена; если то рассмотрим та половина отрезка, где и тд и тд Возникает при При этом = Перейдем к пределу в неравенстве (4): те значит откуда Замечание О способах доказательств теорем 1, 2 и теоремы 3 Следствие 1 Если то что Следствие 2 Пусть непрерывна на так, что тогда если или при Те образом отрезка является отрезок П3 Непрерывность обратных функций Определение 2 1) Пусть если для выполняется условие то функцию называют строго возрастающей 2) Если для то называют строго убывающей 3) Функции вида 1), 2) называют строго монотонными Теорема 4 Пусть строго монотонна на тогда причем строго монотонна (характер строгой монотонности совпадает с характером строгой монотонности функции ), причем если Если непрерывна, строго убывает, то и обратная ей функция строго убывает, непрерывна Доказательство Так как то образ отрезка Пусть строго возрастает, тогда Имеем тогда ( строго возрастает), те так как то сюрьекция, так как то инъекция, поэтому биекция (взаимно-однозначное соответствие) Предположим, что то есть не является строго возрастающей, то есть: Но если то неверно! Возникает противоречие и строго возрастает 31

32 Покажем, что Пусть Пусть строго возрастает Значит,,,,,,,, Значит, П4 Непрерывность элементарных функций Основными элементарными функциями будем считать если непрерывны на непрерывна, где то есть Покажем непрерывность функции Пусть Покажем, что Мы имеем то есть,,,, (Аналогично при ) Все функции, полученные из основных элементарных функций путем действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, композиции образуют класс элементарных функций Имеет место Теорема Любая элементарная функция непрерывна в своей области определения 32

33 7 Равномерная непрерывность функций Определение 1 Функцию называют равномерно непрерывной на множестве X, если для что для таких что выполняется неравенство 1) равномерно непрерывна на что для 2) что Примеры функций, не являющихся равномерно непрерывными на множестве 1 Чем больше и, тем ближе они к нулю за счет выбора и достаточно больших что обратное не верно Очевидно, что если функция равномерно непрерывна на множестве то она непрерывна на этом множестве, проведенные примеры показывают, Теорема (Кантора) Если то равномерно непрерывна на Доказательство Доказательство проведѐм от противного Пусть непрерывна на но не является равномерно непрерывной на то есть Возьмем, так как то ограничены,, Покажем, что!!! Переходя в неравенстве к пределу, получим: Получаем противоречие! 33

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

2. Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) не равен + 3. Вычислите предел, не используя правила Лопиталя: lim

2. Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) не равен + 3. Вычислите предел, не используя правила Лопиталя: lim Билет 1 1 Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) равен + при x + Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения двух функций 2 Сформулируйте определение того, что предел

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2 ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по совокупности аргументов.

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Лекция 1. Последовательности

Лекция 1. Последовательности С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция 1 Последовательности 1 Понятие последовательности Мы будем рассматривать только бесконечные числовые последовательности Начнем с формального определения этого объекта

Подробнее

Детали курса учебного года можно найти здесь:

Детали курса учебного года можно найти здесь: "Математический анализ-1" Составитель: А. Б. Шаповал Аннотация В последнее время математика активно расширяет сферу своих приложений, вторгаясь в смежные науки. Математики стали успешно решать не только

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности Математический анализ (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности 1 Предварительные сведения о действительных (вещественных) числах Рациональное число m Q, m, -целые числа.

Подробнее

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств

Подробнее

Тема: Числовые последовательности

Тема: Числовые последовательности Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности, свойства сходящихся последовательностей) Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г.

Подробнее

Глава 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Глава 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА Глава ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В элементарной математике изучаются действительные (вещественные) числа Сначала в процессе счета возникли натуральные числа 3 для которых

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Лекция МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Монотонные последовательности Теорема Вейерштрасса Число e Принцип выбора 4 Фундаментальные последовательности Критерий Коши Теорема о вложенных отрезках Определение

Подробнее

1. БИЛЕТ Сформулировать понятие точной верхней и точной нижней Сформулировать понятие окрестности точки и свойства окрестностей

1. БИЛЕТ Сформулировать понятие точной верхней и точной нижней Сформулировать понятие окрестности точки и свойства окрестностей 1. БИЛЕТ 1.1. Сформулировать понятие точной верхней и точной нижней границ числового множества. 1.2. Сформулировать понятие окрестности точки и свойства окрестностей фиксированной точки. 1.3. Сформулировать

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН Западно-Казахстанский государственный университет им.м.утемисова РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА MTОƏ1201 Методика преподавания математического анализа 6М060100

Подробнее

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел 1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (1) следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция

Подробнее

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям)

Т. И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (Методическое пособие по практическим занятиям) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т. И. Коршикова,

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 MA ksm-n4a-непрерывные функции 4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 4.. Непрерывные функции одной переменной. 3 4... Непрерывность функции в точке. 3 4... Точки разрыва, устранимые 9

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФНДЕРАЦИИ. Московский физико-технический институт (государственный университет) Кафедра высшей математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФНДЕРАЦИИ. Московский физико-технический институт (государственный университет) Кафедра высшей математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФНДЕРАЦИИ Московский физико-технический институт (государственный университет) Кафедра высшей математики ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ (Задачи и упражнения) Учебно-методическое

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

) i, где i длина i. i=1. Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная

) i, где i длина i. i=1. Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная Дата последнего обновления: 29 марта 2008 г. Список определений: 1.1 Неперекрывающиеся отрезки................................... 2 1.2 Система неперекрывающихся отрезков..............................

Подробнее

Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная

Определение (Масштаб на отрезке). Масштабом на отрезке [a, b] называется строго положительная Дата последнего обновления: 16 марта 2008 г. Список определений: 1.1 Неперекрывающиеся отрезки................................... 2 1.2 Система неперекрывающихся отрезков..............................

Подробнее

VI. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

VI. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ VI МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Федеральное агентство по образованию РФ ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий VI МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Математический анализ 1-й семестр 1-го курса НМУ учебного года. М. Э. Казарян Программа

Математический анализ 1-й семестр 1-го курса НМУ учебного года. М. Э. Казарян Программа Математический анализ -й семестр -го курса НМУ 205-206 учебного года. М. Э. Казарян Программа. Рациональные и вещественные числа. Рациональное число как класс эквивалентности пар целых чисел. Рациональное

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Лекция 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Тема: Элементарная кривая Касательная Длина кривой План лекции Понятие и способы задания элементарной кривой Вектор-функция одного переменного Касательная к кривой

Подробнее

Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 2. Другие важные свойства

Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 2. Другие важные свойства Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) Для удобства ссылок приведём некоторые основные факты. Л 1. Функции ограниченной вариации образуют линейное

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Основные понятия и теоремы 1. Интегральные суммы и определенный интеграл. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b] (где a < b). Произвольное

Подробнее

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ Глава. ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ.. Сравнение поведения функций. О-символика В этой, вводной, главе будет обсуждаться сравнительное поведение функций, а также асимптотическое

Подробнее

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла.

Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R Необходимость расширения понятия интеграла. Лекция 1 ТЕОРИЯ МЕРЫ ЛЕБЕГА ИЗ R 2. 1. Необходимость расширения понятия интеграла. Сначала обсудим построение интеграла Римана. Пусть функция f(x) определена на собственном отрезке [a, b]. Определим разбиение

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "дифференциальное исчисление,

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины дифференциальное исчисление, Номер недели РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "дифференциальное исчисление, УЧЕБНЫЙ ПЛАН : Факультет линейная алгебра и аналитическая геометрия"

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет экономики статистики и информатики Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права Геворкян

Подробнее

{ предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и

{ предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и { предел последовательности - число e - оценка предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы первый и второй бесконечно малые величины и их свойства - сравнение

Подробнее

Предел. Непрерывность.

Предел. Непрерывность. Функция. 1 1. Какие числа образуют множество действительных чисел? 2. Что называется числовой осью? 3. Что называется интервалом? 4. Определить понятие окрестности точки. 5. Что называется абсолютной величиной?

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

Подробнее

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА понятия, которые можно описать, но нельзя строго определить, так как любая попытка дать строгое определение неизбежно сведётся к замене определяемого понятия ему

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции 3 было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

3. Бесконечно большие последовательности

3. Бесконечно большие последовательности 3. Бесконечно большие последовательности ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовая последовательность { n } называется бесконечно большой, если M> NN такое, что n >M, n>n. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Подробнее

Теорема (Единственность предела последовательности) Если x 0 = lim x n и y 0 = lim x n, то x 0 = y 0.

Теорема (Единственность предела последовательности) Если x 0 = lim x n и y 0 = lim x n, то x 0 = y 0. Глава 2. Предел последовательности. 1. Сходящиеся числовые последовательности. Опр. 2.1.1. Числовой последовательностью называется отображение x :. Число x = x() называется -ым членом последовательности.

Подробнее

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор.

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор. ТЕМА Элементы теории линейных операторов Обратный оператор Вполне непрерывный оператор Основные определения и теоремы Оператор A, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L, называется

Подробнее

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1. Понятие множества Мы не будем здесь формулировать аксиомы теории множеств. Интересующие могут обратиться, например, к 1 тому курса «Математический анализ» В.

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

Боревич А.З. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие

Боревич А.З. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого Боревич АЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Учебное пособие Санкт-Петербург 5 Оглавление Глава Предел Непрерывность

Подробнее

23. Полнота (продолжение)

23. Полнота (продолжение) 23. Полнота (продолжение) Завершим доказательство теоремы 22.5. Именно, покажем, что i(x) плотно в X. Так как пространства, о которых идет речь, метрические, нам достаточно проверить, что всякий элемент

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации. 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание)

ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации. 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) ЛЕКЦИЯ 1А Функции ограниченной вариации 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) Для удобства ссылок приведём некоторые основные факты. Л1. Функции ограниченной вариации образуют линейное пространство.

Подробнее

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР )

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР ) ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР 2007-2008) 1 Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R 2 Сформулируйте определение прямоугольной

Подробнее

Дифференциальная геометрия и топология. Конспект лекций Осень, учебный год

Дифференциальная геометрия и топология. Конспект лекций Осень, учебный год Дифференциальная геометрия и топология. Конспект лекций Осень, 2009-2010 учебный год 26 августа 2009 г. 1 Теория многообразий 1.1 Метрические и топологические пространства 1.1.1 Метрические пространства

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНУНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика» ГАПостовалова

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей

ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега. 1. Типы сходимости функциональных последовательностей ЛЕКЦИЯ 3А Типы сходимости. Интеграл Лебега. Пространства Лебега 1. Типы сходимости функциональных последовательностей На лекции было отмечено, что имеются следующие виды сходимости функциональных последовательностей:

Подробнее

Тема: Понятие функции

Тема: Понятие функции Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Понятие функции (основные определения, классификация, основные характеристики поведения) Лектор Рожкова С.В. 2012 г. Литература Пискунов Н.С. Дифференциальное

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Весенний семестр год. Содержание курса математики. Потоки ИБ, ИС, ПИ.

Весенний семестр год. Содержание курса математики. Потоки ИБ, ИС, ПИ. Весенний семестр. 2016 год. Содержание курса математики. Потоки ИБ, ИС, ПИ. Последовательности. 1. Определение последовательности. 2. Последовательность как функция, область определения последовательности.

Подробнее

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ Проф др Авыт АСАНОВ Кыргызско-Турецкий Университет «Манас» Классические понятия производной и дифференциала функции изложены во многих работах Например в []

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R..

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R.. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 5 Тема ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция Пространство R 6 Лекция Предел и непрерывность функции нескольких переменных 5 Лекция 3 Функции многих переменных

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинников Дифференциальное исчисление Учебное пособие

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. 0 Определения и формулировки из программы 1-го семестра

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. 0 Определения и формулировки из программы 1-го семестра ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (1 курс, 2 семестр) Жирным шрифтом ниже выделены (за исключением названий разделов) важнейшие понятия этого семестра 0 Определения и формулировки из программы

Подробнее

Четные и нечетные функции.

Четные и нечетные функции. Четные и нечетные функции. Функция f (x) называется четной, если для любого равенства: 1),2) f ( x) = f (x). выполняются График четной функции на всей области определения симметричен относительно оси OY.

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

1. Предел последовательности

1. Предел последовательности 1. Предел последовательности Из школьного курса вы знаете, что действительные числа это бесконечные десятичные дроби. Это определение не слишком строгое (точнее говоря, при таком определении довольно трудно

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа Математический анализ Методические указания Ярославль Составители: МВ Ануфриенко

Подробнее

Оглавление Асимптотическая формула x А.А.Быков boombook.narod.ru,

Оглавление Асимптотическая формула x А.А.Быков boombook.narod.ru, MA ksm-0-эталонные пределы А.А.Быков boombook.arod.ru, boombook@yade.ru Оглавление. Лекция. Первый и второй замечательные пределы... 5.. Формула, выражающая первый замечательный предел... 5... Напоминание

Подробнее

Основы математического анализа Лектор Александр Петрович Ульянов 1-й семестр

Основы математического анализа Лектор Александр Петрович Ульянов 1-й семестр Основы математического анализа Лектор Александр Петрович Ульянов 1-й семестр 0. Стартовые позиции Вещественные числа: Десятичные дроби. Числовые множества и системы. Промежутки. Функции: Эволюция понятия

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ 1 Понятие множества. Операции над множествами В математике встречаются самые разнообразные множества. Можно говорить о множестве граней многогранника, множестве точек на прямой,

Подробнее

1 Метрические пространства

1 Метрические пространства Содержание Введение Метрические пространства 5 Тема Сходящиеся последовательности в метрических пространствах 5 Тема Топология метрических пространств Тема Полнота метрических пространств 9 Тема Непрерывные

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ Основная задача теории погрешностей состоит в оценке погрешности результата вычислений при известных погрешностях исходных данных. Источники и классификация погрешностей результата

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n lm n m Δх 0 f ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Ермилов Антон, Никифоровская Анна 24 января 2017 г. Содержание 1. Введение. 1 1.1 Множества........................................... 1 1.2 Отношения........................................... 2 1.3 Вещественные

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Глава 3 ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Лекции 3-4 Интегральное уравнение Фредгольма -го рода как пример некорректно поставленной задачи Эта тема по предмету рассмотрения

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 2. Алгебра множеств.

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 2. Алгебра множеств. Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет 014 г. Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. Алгебра множеств..1 Понятие множества... 1. Операции над множествами...

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

Дискретная математика

Дискретная математика Дискретная математика Часть 1 ВЕ Алексеев 2014 Глава 1 Множества 11 Понятие множества Под множеством математики понимают соединение каких-либо объектов в одно целое Создатель теории множеств немецкий математик

Подробнее

( C x A) x C (1) (соответственно

( C x A) x C (1) (соответственно 1.3. Предел последовательности 3.1. Точные границы. Начнем c анализа точных границ последовательностей. Сначала напомним определение точной границы множества. ТЕОРИЯ Множество A R называют ограниченным

Подробнее

Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа.

Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа. Тема 1 Метрические пространства. Геометрия расстояния Хаусдорфа. Мы будем изучать множества, наделенные функцией расстояния, сопоставляющей каждой неупорядоченной паре точек неотрицательное вещественное

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

Расстояние Громова Хаусдорфа. Свойства. Пространство метрических компактов.

Расстояние Громова Хаусдорфа. Свойства. Пространство метрических компактов. Лекция 7 Расстояние Громова Хаусдорфа. Свойства. Пространство метрических компактов. Данный раздел посвящен описанию различных свойств семейств метрических пространств. Особое внимание уделяется семейству

Подробнее

Тема 1. Элементы теории погрешностей

Тема 1. Элементы теории погрешностей - 1 - Тема 1 Элементы теории погрешностей 11 Источники и классификация погрешностей Численное решение любой задачи, как правило, осуществляется приближенно, те с некоторой точностью Это может быть обусловлено

Подробнее

«Математический анализ»

«Математический анализ» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени НЭ БАУМАНА Билеты для сдачи экзамена по курсу «Математический анализ» МГТУ имени НЭ Баумана МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени

Подробнее