Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами"

Транскрипт

1 Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Лектор Пахомова ЕГ 0 г

2 4 Системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Рассмотрим систему ЛОДУ вида i ij j ( i где ij постоянные Такую систему называют линейной однородной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Пусть A ( ij ) j ) Матрицу A называют матрицей системы () Существует связь между фср системы () и собственными векторами ее матрицы A ()

3 Нахождение фундаментальной системы решений системы () с использованием собственных векторов матрицы A называется методом Эйлера Предполагаем что решение системы () имеет вид: () где неизвестные действительные числа которые нужно выбрать так чтобы функции () удовлетворяли системе () Запишем систему () в матричном виде: A () По предположению где D D D

4 Подставим и в (): D A ( D) D A D A D D O (A E) D O (4) (4) матричная запись системы линейных однородных уравнений с неизвестными Система (4) имеет нетривиальные решения t(a E)0 Это означает что ) должно является действительным характеристическим корнем (т е собственным значением) матрицы A ) D является собственным вектором матрицы A относящимся к Матрица A имеет характеристических корней НО среди них могут быть комплексные и кратные Рассмотрим каждый из возможных случаев

5 Характеристические корни матрицы A действительны и различны Для каждого характеристического корня i (i ) найдем собственный вектор D i ( ji ) и запишем решения i : Решения линейно независимы и образуют фср Общее решение системы в этом случае имеет вид или подробнее D D D

6 Характеристические корни матрицы A различны но среди них есть комплексные Характеристический многочлен матрицы A имеет действительные коэффициенты комплексные корни будут появляться сопряженными парами Пусть характеристическими корнями являются числа α βi α βi Рассмотрим две системы линейных однородных уравнений с неизвестными: (A E) X O и (A E) X O В алгебре доказано: если для них выбрать одни и те же переменные свободными и придать им сопряженные значения то для зависимых переменных тоже получатся сопряженные значения

7 Пусть D ( j ) решение системы (A E) X O D ( ) решение системы (A E) X O Обозначим: j Z D D Матрицы-столбцы Z и Z будут удовлетворять матричному уравнению A Полагаем ( Z Z ) ( Z Z ) i Матрицы столбцы и состоят из действительных функций и тоже удовлетворяют матричному уравнению A Можно доказать что и линейно независимы и следовательно могут быть включены в фср Z Замечание На практике матрицу-столбец Z так как Z Z RZ ImZ не записывают

8 Характеристические корни матрицы A действительные но среди них есть кратные Пусть действительный характеристический корень матрицы A кратности l r rg(a E) Первый случай: r l Тогда фср системы (A E) X O состоит из l решений D D D l линейно независимые собственные векторы матрицы A относящиеся к D D l D l линейно независимые решения системы ДУ l входят в фср системы ДУ

9 Второй случай: r l Тогда фср системы (A E) X O состоит из k < l решений можем получить k линейно независимых решений системы ДУ Существует два способа найти все решения Первый способ искать l решений вида где коэффициенты ij находят подставляя в исходную систему l l l l l l

10 Второй способ решения найти k линейно независимых решений СДУ а недостающие l k решений искать в виде k ( Dk 0 Dk ) k D 0 Dk Dk k k Dk 0 Dk Dk Dk итд Здесь D ij числовые матрицы-столбцы определяемые так чтобы i были решениями системы дифференциальных уравнений

11 Рассмотрим -й метод применительно к системам ДУ -го порядка Вэтомслучае A матрица -го порядка l или l ) Пусть l r D линейно независимый собственный вектор матрицы A относящийся к D решение системы ДУ Еще одно решение системы ДУ входящее в фср будем искать в виде (D 0 D ) При этом получим: D D собственный вектор A относящийся к D 0 любое решение системы линейных уравнений (A E) X D

12 Таким образом при l r вфср системы ДУ войдут решения: D и (D 0 D ) Замечание При получении данного результата нигде не использовался тот факт что система ДУ третьего порядка Он останется справедливыми и для линейной однородной системы порядка в случае если l r ПРИМЕР 4 Найти общее решение системы

13 ) Пусть l r D линейно независимый собственный вектор матрицы A относящийся к D решение системы ДУ Еще два решения системы ДУ входящие в фср будем искать в виде (D 0 D ) 0 D D D При этом получим: D D D собственный вектор A относящийся к D 0 D любое решение системы линейных уравнений (A E) X D D 0 любое решение системы линейных уравнений (A E) X D 0

14 Таким образом при l r в фср системы ДУ войдут решения: Замечание Результат останется справедливыми и для линейной однородной системы порядка вслучае если l r ПРИМЕР 5 Найти общее решение системы ) ( D D D D D D 8 4 6

15 ) Пусть l r D D линейно независимые собственные векторы матрицы A относящиеся к D D линейно независимые решения системы ДУ Еще одно решение системы ДУ входящее в фср будем искать в виде (D 0 D ) При этом ранее получили что D собственный вектор A относящийся к те D α D β D где α β некоторые числа одновременно не равные нулю которые следует выбрать так чтобы была совместна система (A E) X D D 0 любое решение системы линейных уравнений (A E) X D

16 Таким образом при l r в фср системы ДУ войдут решения: D D (D 0 D ) Замечание Результат останется справедливыми и для линейной однородной системы порядка вслучае если l r ПРИМЕР 6 Найти общее решение системы

17 4 Среди характеристических корней матрицы A есть кратные комплексные корни В этом случае алгебраические трудности метода Эйлера возрастают настолько что лучше использовать другие методы интегрирования

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24 кафедра «Математическое моделирование» проф П Л Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекция 4 Однородные системы

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

В курсе линейной алгебры мы уже сталкивались с многочленами от матриц. В различных областях математики встречаются и другие, более сложные функции.

В курсе линейной алгебры мы уже сталкивались с многочленами от матриц. В различных областях математики встречаются и другие, более сложные функции. Функции от матриц Совместный бакалавриат ВШЭ-РЭШ. 2011-2012 учебный год. Общее замечание. В этом листочке мы рассматриваем матицы над полем комплексных чисел, хотя условие задач везде вещественно. Следите

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Тема: Линейные операторы

Тема: Линейные операторы Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Линейные операторы Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1. Определение линейного оператора Пусть L и V линейные пространства над F (где F

Подробнее

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора. Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.. Матричное представление линейных операторов Будем обозначатьчерез

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: Однородные уравнения Линейные уравнения Уравнения Бернулли Лектор Рожкова СВ 07 год 8 Однородные уравнения Функция M, называется однородной

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДУ допускающие понижение ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДУ линейные неоднородные (ДУЛН) ДУ линейные однородные

Подробнее

Тема: Интегрирование рациональных дробей

Тема: Интегрирование рациональных дробей Математический анализ Раздел: Неопределенный интеграл Тема: Интегрирование рациональных дробей Лектор Пахомова Е.Г. 0 г. 5. Интегрирование рациональных дробей ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рациональной дробью называется

Подробнее

... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n.

... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n. 5. КРАМЕРОВСКИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В этом параграфе будем рассматривать системы линейных уравнений, у которых количество неизвестных равно числу уравнений. В самом общем виде эта система может

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 14.1 Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством

Подробнее

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt =

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt = 57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа ( M N ) d ( ) p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M ( p q) p

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

7 класс Решение г. Задание 4. Задача 1. Решение

7 класс Решение г. Задание 4. Задача 1. Решение 7 класс 060-07 г. Задание 4 Задача Число единиц двузначного числа в раза меньше числа десятков. Если цифры этого числа переставить, то полученное число будет меньше данного на 6. Найдите данное число.

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП

Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП Лектор Рожкова С.В. 1 г. 18. Формула Тейлора для ФНП Если y = раз дифференцируема в окрестности

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

Расписание курсовых контрольных работ (компьютерных тестов) 4-го семестра 2017 г.

Расписание курсовых контрольных работ (компьютерных тестов) 4-го семестра 2017 г. Расписание курсовых контрольных работ (компьютерных тестов) 4-го семестра 2017 г. По дифференциальным м предполагается 3 теста. Ориентировочные сроки 01-10 марта, 10-20 апреля, 15-20 мая). По интегральным

Подробнее

1 о. Определение асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1)

1 о. Определение асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1) 29. Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и методы ее оценки. Теорема В.И. Зубова о границе области притяжения. В.Д.Ногин 1 о. Определение

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Методы интегрирования

Методы интегрирования Методы интегрирования Методы интегрирования. Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе. Понятия о рациональных функциях и их свойствах. Интегрирование простейших рациональных дробей. Теорема

Подробнее

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход.

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход. Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

Подробнее

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО- ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

Подробнее

ПРОСТОЙ СПОСОБ ОБОСНОВАНИЯ МЕТОДА ИСКЛЮЧЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ НОРМАЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПРОСТОЙ СПОСОБ ОБОСНОВАНИЯ МЕТОДА ИСКЛЮЧЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ НОРМАЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ISSN 2079-8490 Электронное научное издание «Ученые заметки ТОГУ» 2014, Том 5, 4, С. 1357 1363 Свидетельство Эл ФС 77-39676 от 05.05.2010 http://pnu.edu.ru/ru/ejournal/about/ ejournal@pnu.edu.ru УДК 517.95

Подробнее

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод Лагранжа Лекция 6 В. Н. Задорожный, В. Ф. Зальмеж, А. Ю. Трифонов, А. В. Шаповалов Курс: Дифференциальные уравнения Семестр 3, 2009 год portal.tpu.ru

Подробнее

Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ План лекции Лекция Системы линейных уравнений Матричная запись Основная и расширенная матрицы системы; 2 Совместные и не совместные системы 2 Однородные системы

Подробнее

Тематика и расписание 3-х тестов по дифференциальным уравнениям. (ориентировочные сроки 05 марта, 10 апреля, 15 мая)

Тематика и расписание 3-х тестов по дифференциальным уравнениям. (ориентировочные сроки 05 марта, 10 апреля, 15 мая) Тематика и расписание 3-х тестов по дифференциальным м (ориентировочные сроки 05 марта, 10 апреля, 15 мая) Тест по интегральным м и вариационному исчислению предполагается один - в конце семестра (ориентировочно,

Подробнее

Метод разделения переменных (метод Фурье)

Метод разделения переменных (метод Фурье) Метод разделения переменных (метод Фурье) Общие принципы метода разделения переменных Для простейшего уравнения с частными производными разделение переменных это поиски решений вида только от t. u (x,t

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия I семестр: 3 часа лекций, 2 часа практических занятий, 18 недель 7 лекция лектор Агапова Елена Григорьевна кандидат физико-математических наук, доцент кафедры

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Мы представим здесь технику использования собственных значений и собственных векторов для нахождения диагональной формы заданной квадратной матрицы.

Мы представим здесь технику использования собственных значений и собственных векторов для нахождения диагональной формы заданной квадратной матрицы. Международный институт экономики и финансов (Государственный университет Высшая Школа Экономики). Лекции по линейной алгебре Владимир Черняк Лекция. Диагонализация. Читать под музыку Statler Brothers Flowers

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула Важные понятия утверждения формулы и некоторые примеры по высшей алгебре Тема «К о м п л е к с н ы е ч и с л а» Записать заданное комплексное число в алгебраической тригонометрической и показательной форме

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Т В БОРОДИЧ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

l =- с собственным вектором ( )

l =- с собственным вектором ( ) Глава 3 НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА 3 Число и вектор Фробениуса Число и вектор Фробениуса используются в балансовых экономических моделях и, в частности, в модели международной торговли

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Фондовый рынок 37 (565) 2013

Фондовый рынок 37 (565) 2013 37 (565) 3 УДК 33649 ФОРМИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ПРИ ЗАДАННОМ УРОВНЕ ДОХОДНОСТИ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА Н А КЛИТИНА, старший преподаватель кафедры фундаментальной и прикладной математики E-mal:

Подробнее

О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова. Нахождение частного решения неоднородного линейного уравнения методом неопределенных коэффициентов

О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова. Нахождение частного решения неоднородного линейного уравнения методом неопределенных коэффициентов Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет Физический факультет Кафедра высшей математики и математической физики О. А. Кононова Н. И. Ильинкова Н. К. Филиппова

Подробнее

Однородные линейные дифференциальные уравнения

Однородные линейные дифференциальные уравнения 1 Семинар 6 по теме Дифференциальные уравнения Однородные линейные дифференциальные уравнения Линейными дифференциальными уравнениями назвыаются уравнения вида: a k (x) y (k) (x) = 0 Такие уравнения называются

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 31

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 31 ГЛАВА. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 3 Следствие. Всякое решение асимптотически устойчивой линейной системы (как однородной, так и неоднородной) асимптотически устойчиво в целом. 3. Устойчивость линейной

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

три вида ресурсов. Известны технологическая матрица A 6 ресурсов на производство единицы каждого вида продукции, вектор b 150

три вида ресурсов. Известны технологическая матрица A 6 ресурсов на производство единицы каждого вида продукции, вектор b 150 Линейная производственная задача. Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя при этом три вида ресурсов. Известны технологическая матрица A затрат 7 8 ресурсов на производство единицы

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

ψ = ψ ψ ψ c 2 t t j = ψ

ψ = ψ ψ ψ c 2 t t j = ψ Л Е К Ц И Я 15 ОСНОВЫ КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ Продолжение УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА-ГОРДОНА Делая в выражении E = + µ подстановки получим или E, -, -h ψ - 1 = (- h + µ )ψ = 0 µ ψ = 0. ( ) h Вводя инвариантный

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания к самостоятельной работе по математике МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

Подробнее

ДУ 2курс 4 семестр 1 задание

ДУ 2курс 4 семестр 1 задание . ДУ курс семестр задание. Постановка задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.. Выяснить, при каких начальных условиях существует единственное решение уравнения y y y.. Решить уравнения,

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Тема 3. Численные методы решения задачи аппроксимации

Тема 3. Численные методы решения задачи аппроксимации Тема. Численные методы решения задачи аппроксимации Будем считать, что является функцией аргумента. Это означает, что любому значению из области определения поставлено в соответствие значение. На практике

Подробнее

+ представляется в виде произведения линейных множителей следующим образом:

+ представляется в виде произведения линейных множителей следующим образом: Лекция. Элементы теории многочленов. Многочлен (некоторые сведения справочного характера) Функция вида: 1 P ( x) a0x a1x... a 1x a = + + + + (1) где натуральное число a i ( i = 01... ) постоянные коэффициенты

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

О ГРУППОВЫХ СВОЙСТВАХ И ЗАКОНАХ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

О ГРУППОВЫХ СВОЙСТВАХ И ЗАКОНАХ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 64 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2009. Т. 50, N- 3 УДК 57.944+59.46 О ГРУППОВЫХ СВОЙСТВАХ И ЗАКОНАХ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА Ю. А. Чиркунов Новосибирский

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ 1. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы Пусть имеется n степеней свободы. q 1, q 2,,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N11. Методы интегрирования.

ЛЕКЦИЯ N11. Методы интегрирования. ЛЕКЦИЯ. Методы интегрирования..интегрирование по частям..рациональные дроби. Разложение правильной дроби на простейшие...интегрирование рациональных дробей..интегрирование по частям. Пусть u и v две непрерывные

Подробнее

ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА. 1. Характеристический показатель функции

ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА. 1. Характеристический показатель функции ГЛАВА 3. ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА Под первым методом Ляпунова понимают совокупность приемов и средств исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений, основанных непосредственно на анализе

Подробнее

УДК Решение уравнения Риккати и его применение к линейным уравнениям второго порядка

УДК Решение уравнения Риккати и его применение к линейным уравнениям второго порядка 1 УДК 517 96 1. Решение уравнения Риккати и его применение к линейным уравнениям второго порядка Чочиев Тимофей Захарович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Южный Математический

Подробнее

Тема 1.4. Решение систем двух (трех) линейных уравнений формулы Крамера

Тема 1.4. Решение систем двух (трех) линейных уравнений формулы Крамера Тема 1.4. Решение систем двух (трех) линейных уравнений формулы Крамера Габриель Крамер (1704 1752) швейцарский математик. Данный метод применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных

Подробнее

Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом

Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом Занятие 19 Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом 19.1 Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Пусть требуется найти частное решение линейного

Подробнее

2. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения. Геометрический смысл теоремы.

2. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения. Геометрический смысл теоремы. 1 1. Определение дифференциального уравнения первого порядка. Его общее и частное решение, частный и общий интеграл. Запись уравнения в нормальной форме. 2. Задача Коши для дифференциального уравнения

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

4. МЕТОДЫ РАСЧЁТА РЕЗИСТИВНЫХ СХЕМ

4. МЕТОДЫ РАСЧЁТА РЕЗИСТИВНЫХ СХЕМ 28 4. МЕТОДЫ РАСЧЁТА РЕЗИСТИВНЫХ СХЕМ В данной главе рассматриваются методы расчёта, применяемые при анализе линейных схем в статическом режиме, т. е. при постоянных сигналах. В соответствии с компонентными

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет» Факультет информационных технологий и вычислительной техники Е В Новикова, А Г Родионова, Н В Родионова

Подробнее

Блочные матрицы и их использование для решения систем линейных алгебраических уравнений

Блочные матрицы и их использование для решения систем линейных алгебраических уравнений Блочные матрицы и их использование для решения систем линейных алгебраических уравнений. Определение блочных матриц Для решения систем линейных алгебраических уравнений синтезированного алгоритма МНК-уравнивания

Подробнее

Алгебраические многочлены.

Алгебраические многочлены. Алгебраические многочлены. 1 Алгебраические многочлены степени n над полем K Определение 1.1 Многочленом степени n, n N {0}, от переменной z над числовым полем K называется выражение вида: fz = a n z n

Подробнее

Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Кольцов С.Н.

Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Кольцов С.Н. Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Кольцов С.Н. www.linis.ru Метод вариации произвольных постоянных. Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение:

Подробнее