М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций"

Транскрипт

1 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ

2 Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и мы не можем предсказать, что именно будет. Достоверное событие это такое событие, которое в результате опыта заведомо произойдет. Невозможное событие такое событие, которое не может произойти в результате опыта. Вероятность численная мера возможности появления события. Договорились, что вероятность будет всегда заключена между нулём и единицей. Вероятность невозможного события равна нулю, а достоверного события единице. Познакомимся с алгеброй событий. 2 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ, ОПЕРАЦИЯ НАД СОБЫТИЯМИ События обозначаем большими буквами A, B, C... Вероятность события А: P(A). 1. Если при каждом появлении события А происходит и событие В, то говорят, что событие А влечёт за собой событие В. 2. Если событие А влечёт событие В, и событие В влечёт А, то эти события считаем эквивалентными. AB 3. Суммой двух событий А и В называется такое событие С, которое состоит либо в появлении А, либо В, либо А и В вместе. 4. Произведением двух событий называется такое событие D, которое состоит в одновременном появлении и А, и В. Разность двух событий это такое событие, при котором происходит А, но не происходит B. не А, всё остальное, кроме А. + достоверное событие. ( + ) 1.

3 невозможное событие. Два события А и В называются несовместными, если невозможно их совместное появление. То есть 0. А + В В + А сложение коммутативное. А + В + С А + (В + С) КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. СХЕМА СЛУЧАЯ 1. Несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них. 2. Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе. 3. Равновозможные события события, если по условиям опыта есть основания считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое. Если выполняются все три условия, то эта ситуация называется схемой случая. Общее число событий конечно. Случай называется благоприятным по отношению к некоторому событию, если появление этого случая влечёт за собой появление данного события. Вероятность события А вычисляется как отношение числа благоприятных случаев по отношению к событию А к общему числу случаев. Теорема сложения и умножения вероятностей Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Доказательство. A, B. Событию А соответствует k штук элементарных событий. 3

4 Событие В считаем несовместным с событием А. Несовместность событий означает, что множество тех событий, каждое из которых влечёт за собой В, не пересекаются с множеством событий, каждое из которых влечёт А. P(A) k/n P(B) m/n P(A+B) (k+m)/n P (A+B) P(A)+P(B) А если их больше двух, то все события должны быть попарно несовместными. В общем случае: Если мы имеем совокупность конечного количества событий, то при условии, что эта совокупность событий попарно несовместна вытекает, что ( ). Следствия: Если совокупность событий образует полную группу попарно несовместных событий, то тогда ( ) 1. В частности, если мы возьмём события и, то P( + )P(A)+P( ) 1. ( + ) ( ) + ( ) ( ) Теорема 2. Вероятность произведения независимых событий есть произведение их вероятностей. ( ) ( ) ( ) События А и В называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, произошло ли событие или нет. 4

5 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ. ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ СОБЫИТИЙ Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В или нет. Вероятность события А, вычисленная при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью события А. ( ) Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго события, вычисленную при условии, что первое событие произошло. k A m B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Если события А и В независимы, то ( ) ( ) ( ). Например. В урне находятся два белых шара и один чёрный. Два лица вынимают из урны по одному шару. Событие А: белый шар у первого лица. Событие В: белый шар у второго лица. Следствие 1. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5

6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Вероятность произведения любого конечного числа не зависимых в совокупности событий равна произведению их вероятностей. ( ) ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ Формулировка задачи. Пусть требуется определить вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий H1, H2,, Hn, образующих полную группу несовместных событий. События H1, H2,, Hn гипотезы. Заключение. Тогда вероятность события А есть сумма из произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события А при условии, что эта гипотеза имеет место. ( ) ( ) ( ) Ω ( ) ( ) ( ) ( ) Пример. В урне имеются два белых и три чёрных шара. Из урны вынимают два шара. Найти вероятность того, того оба шара белые. А появление белого шара. 6

7 Наше событие: А1 А2. А А1 A2 P (A) P (A1 A2) P (A1) P (A2 A1) 2/5 1/4. Пример. Есть три одинаковые урны. В первой урне два белых и один чёрный шар, во второй три белых, один чёрный, в третьей два белых и два чёрных. Некто наугад выбирает одну из урн и выбирает шар. Найти вероятность того, что шар белый. Ω ( ) 1 3, 1,2,3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 ( ) 3 4 ( ) 1 2 ( ) 1 3 ( ) ФОРМУЛА БАЙЕСА,, Произошло событие. ( )? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7

8 Пример. Делаются приборы из детали двух сортов. Одни детали высокого качества. Их 40% от общего количества деталей. 60% детали среднего качества. Если прибор собран из деталей высокого качества, то вероятность его безотказной работы за некий интервал времени t равна 0,95. А в случае если он собран из деталей среднего качества, то вероятность безотказной работы за это время составляет 0,7. Прибор испытывался в течение времени t и проработал безотказно. Найти вероятность того, что он сделан из высококачественных деталей. ( ) 0,4 0,95 +0,6 0,7 ( ) 0,4 0,95 0,4 0,95 +0,6 0,7 8 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ Постановка задачи: 1. Проводится серия опытов, в результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие А. Рассматривается результат не отдельного опыта, а общее число появления событий А в результате серии опытов. Опыты у нас будут независимыми. Несколько опытов называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из опытов не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Рассмотрим пример. Производится три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания в каждом из выстрелов равна p. Найти вероятность того, что при трёх выстрелах будут два попадания. : попал при первом выстреле., Промахи:,,. Нас интересует событие А, которое может быть устроено так:,,. Или,,, или,,.,, +,, +,, ( ), ( ) 1 (,, )

9 Учитывая, что все события независимые, применим формулу для вероятности суммы. Для случая n: ( ) ,, Формула Бернулли выглядит так: ( ) (из n независимых опытов событие А появляется m раз). ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЕЁ СВОЙСТВА Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, и неизвестно заранее, какое именно. Будем различать дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретной случайной величиной называется такая величина, что все её возможные значения могут быть перенумерованы. Непрерывная случайная величина когда её возможные значения не могут быть перенумерованы, и они заполняют некий целый интервал. Случайные величины будем обозначать X, Y, Z, а их значения так: x, y, z. Для дискретных случайных величин можем пронумеровать: x1, x2,, xn. Дискретная случайная величина целиком описана, если задан закон её распределения: X х1 х2 p p1 p2 хn pn ( ) 1 9

10 НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И ЕЁ СВОЙСТВА Это фундаментальное понятие! Мы договоримся, что значения случайной величины мы будем откладывать на числовой оси. 0 1 x x Функция распределения случайной величины Х это такая функция ( ), что выполнено равенство ( ) ( < ), то есть выражает вероятность того события, что значение данной случайной величины Х попадает левее точки х. 0 ( ) 1 при любом Свойство 1. Область значения функции полоса единичной высоты. Свойство 2. ( ) 0, (+ ) 1. Свойство 3. ( ) ( ) при >. Функция F(х) неубывающая функция своего аргумента. Если для данной случайной величины известна функция распределения вероятности ( ), то это есть полное описание случайной величины. X х1 х2 p p1 p2 хn pn F(x) х1 p1 х p2 1 х2 x3 хn x Такую функцию называют кусочно-постоянной. 10

11 ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. ЕЁ СВОЙСТВА A x C x+δx x B +, ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( + Δ ) ( ) lim ( + Δ ) ( ) Δ ( ) плотность вероятности. В этом определении проблема определения дискретной величины: отсутствие производной. Свойства плотности вероятности. ( ) ( ) 1) ( ) ( ), ( ) 1 2) ( ) 0 3) ( < + Δ ) ( ) МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН цт ( ) + + Введём понятие момента для случайных величин. [ ] ( ) 11

12 Для непрерывной величины: [ ] ( ) Это моменты первого порядка ( ), что также называется математическим ожиданием случайной величины. Но мы можем рассматривать также моменты любого порядка: [ ] ( ) [ ] ( ) 1,2,3 Мы можем из значения случайной величины Х вычесть её математическое ожидание, которое в какой-то мере напоминает центр тяжести, вокруг которого облако случайных значений как-то и сосредоточено. Центрированная случайная величина устроена таким образом: [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] ( [ ]) [ ] ( [ ]) ( ) Дисперсия выглядит так: 12 [ ] [ ] То есть это математическое ожидание момента квадрата центрированной случайной величины.

13 Дисперсия положительна, ведь ( ) 0, т. к. ( ) неубывающая. Характеризует ширину облака. Простейшие свойства математического ожидания и дисперсии 1. Если неслучайная величина, то математическое ожидание [ ]. А дисперсия [ ] Рассмотрим произведение случайной величины и константы. [ ] [ ] [ ] [ ] БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Проводится серия испытаний. В каждом из них известна вероятность появления какого-либо события А. Нас интересует число появления этого события А в этой серии. Мы зафиксировали число испытаний: n. Нам известно, что ( ). А соответственно события не А: ( ) 1. X n P (0) (1) (2) ( ) Формула Бернулли: ( ) 0 < событие А появилось m раз. 0! 1 ( + ) Вот эти коэффициенты они равноудалённые от концов совпадают. ( ) ( + ) Таким образом, мы ввели величину, которая возникла на основе применения схемы Бернулли. Мы получили нетривиальный пример 13

14 случайной величины и закон её распределения. Теперь посчитаем для этой случайной величины моменты. Вычислим математическое ожидание этой случайной величины. ( ) свойство биномиальных коэффициентов. (1 ) [ 1] (1 ) (1 ) + (1 ) [ ] Можно и сосчитать дисперсию. [ ] [( ) ] (1 ) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА, ИЛИ ЗАКОН РЕДКИХ ЯВЛЕНИЙ Представим себе, что опытов в серии сотни, а вероятность появления события мала. [ ], 0, const Теперь нам нужно вычислить вероятность появления события А в серии большого числа опытов и построить закон распределения. ( ) ( 1) ( +1) 1 1! (1 )! ( 1) ( +1) штук бм

15 lim ( )! lim (1 ) lim 1 ( )! предельная формула для вероятности для появления события А m раз в бесконечном количестве опытов. X m P 1 2!! Теперь нужно вычислить два момента: математическое ожидание и дисперсию. Но сначала надо проверить, будет ли это законом распределения. Просуммируем вероятности, должны получить единицу.!! 1 Таким образом, это действительно закон распределения случайной величины. [ ]! ( 1)! [( 1) ]! [ ] [( [ ]) ] [ 2 [ ] + ( [ ]) ] [ ] 2 [ ] [ ] + ( [ ]) [ ] ( [ ]) [ ]!! ( 1)!!,!! 15

16 ( 1)! ( 1)! ( ) ( + ) [ ] [ ] это равенство специфично для пуассоновского распределения. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Мы рассматриваем схему Бернулли, то есть у нас есть совокупность n опытов, в которых появляется А с вероятностью p. Эти опыты независимы. Нас будет интересовать вот такое событие. Мы, бросаем монету. И мы будем интересоваться такими событиями, что получилась решка. Как только появляется решка, мы прекращаем испытание. : Вот такое распределение называют геометрическим. Таким образом, наша задача построить закон распределения случайной величины. (1) (2) ( ) ( ) ( ) X k P 1 qp q 2 p q k-1 p Видим геометрическую прогрессию. Поэтому и распределение назвали геометрическим. [ ] (пользуясь теоремой Абеля) 1 1 (этот ряд есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии) 1 (1 ) 1 16

17 [ ] (1 ) 1 (1 ) + ( 2) 1 (1 ) 1 + 2(1 ) 1 +2(1 ) [ ]1 1 РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Говорят, что случайная величина распределена по закону равномерной плотности, если 1) значения этой величины лежат в пределах некоторого интервала; 2) в пределах этого интервала все значения случайной величины одинаково вероятны. Почему конечный интервал? Потому что в бесконечном интервале плотность вероятности нигде бы не убывала, следовательно, не существовала бы функция распределения вероятности. ( ), (, ) ( ) должно не зависеть от x. ( ), (, ) ( ), (, ) 0, (, ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 17

18 1 ( ) 1, (, ) 0, (, ) ( ) ( ) 1 ( ) [ ] 1 3( ) [ ] ( + ) 4 ( ) 12 Среднее квадратичное отклонение есть корень из дисперсии. Среднее арифметическое отклонение: 1 [ ] ( ), (, ) ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ, ИЛИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение, если её плотность вероятности удовлетворяет условию: ( ), 0 0, <0 >0 18 ( ) 1, 0 0, <0

19 [ ] 1 [ ] 1 ( < ) НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону, если плотность распределения вероятностей этой величины имеет вид: ( ) 1 2 ( ), где σ, m параметры распределения. m математическое ожидание. [ ] ( ) 2 + ( ) 2 2 интеграл Пуассона Убедимся, что дисперсия. Мы выяснили, что чем больше σ, тем более расплющен колокол. [ ] ( ) ( ) ( )

20 ФУНКЦИЯ ЛАПЛАСА Функцией Лапласа Φ(х) будем называть функцию. Свойства: 2 Ф(0) 0 ( ) Ф( ) Ф( ) Ф( ) функция нечётная. ( <3 )2Ф(3) 0,9973 правило трёх сигм. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА Если Х1, Х2,, Хn независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием m и дисперсией σ 2, то при неограниченном увеличении n (числа случайных величин) величина распределение случайной величины неограниченно стремится к нормальному с параметрами m и σ 2. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН (, ) ( <, < ) (, ) 0 (, )0 (, )1 (,+ ) ( ) 20

21 (+, ) ( ) По каждому из элементов (х и у) функция неубывающая. Введём понятие плотности распределения для (, ). Предположим, что функция распределения этой пары случайных величин дифференцируемая. ( + Δ, + Δ ) (, + Δ ) ( + Δ, ) + (, ) Δ Δ 1 Δ ( + Δ, + Δ ) (, + Δ ) ( + Δ, ) (, ) Δ Δ 1 Δ, (, ) Если функция F является гладкой, плотностью вероятности является смешанная частная производная второго порядка по x и по у. Если же функция распределения делает скачки, её дифференцировать в обычном смысле нельзя. Свойства этой плотности вероятности: 1) F(x,y) неубывающая, следовательно (, ) 0. 2) (, ) (, ) 3) (, ) 1 4) (, ) (, ) ( ) 21

22 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТДЕЛЬНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, ВХОДЯЩИХ В СИСТЕМУ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ( ) (, ) (, ) ( ) (, ) (, ) Таким образом, по функции распределения системы случайных величин мы можем восстановить функции распределения каждой из них. Обратно нельзя. Проблема в том, что в функции системы случайных величин могут не быть независимыми случайными величинами. Только если они независимые. НЕЗАВИСИМЫЕ И ЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. КОРЕЛЛЯЦИОННЫЙ МОМЕНТ, КОЭФФИЦИЕНТ КОРЕЛЛЯЦИИ Случайные величины Х и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая случайная величина. В противном случае Х и Y называются зависимыми случайными величинами. Теорема. Для того, чтобы две случайные величины Х и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы их плотность распределения вероятности (, ) ( ) ( ). То есть эта функция двух переменных есть на самом деле произведение функций от одной переменной. Например,. И тогда их двойной интеграл есть произведение одинарных. Условные вероятности (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, ) ( ) (, ) 22

23 ( ) (, ) (, ) Моменты системы случайных величин, [ ] (, ), (, ) [ ], (, ) [ ] Теперь можем вводить понятие центрированной случайной величины. Моменты:, ( [ ]) ( [ ]) (, ) Корреляционный момент:, [ ],, [ ] ( [ ])( [ ]) (, ) 23

24 Оглавление Случайные события, операция над событиями... 2 Классическое определение вероятности. Схема случая... 3 Условная вероятность. Независимость событий. Вероятность произведения собыитий... 5 Формула полной вероятности... 6 Формула Байеса... 7 Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли.. 8 Непрерывная случайная величина. Функция распределения вероятности и её свойства...10 Плотность распределение вероятности. Её свойства...11 Моменты случайных величин...11 Биномиальное распределение...13 Распределение Пуассона, или закон редких явлений...14 Геометрическое распределение...16 Равномерное распределение...17 Показательное, или экспоненциальное распределение...18 Нормальное распределение...19 Функция Лапласа...20 Центральная предельная теорема Ляпунова...20 Системы случайных величин...20 Законы распределения отдельных случайных величин, входящих в систему случайных величин...22 Независимые и зависимые случайные величины. Корелляционный момент, коэффициент корелляции


X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения.

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Варианты контрольной работы

Подробнее

Формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Подробнее

М.П. Харламов Конспект

М.П. Харламов  Конспект М.П. Харламов http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Конспект Теория вероятностей и математическая статистика Краткий конспект первого раздела (вопросы и ответы) Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов

Подробнее

Экзаменационный билет 3

Экзаменационный билет 3 Экзаменационный билет 1 1. Принцип умножения. 2. Построение функции распределения для дискретной случайной величины. 3. Генеральная и выборочная совокупности, свойство репрезентативности. Экзаменационный

Подробнее

1. Основные понятия теории вероятностей: пространство элементарных событий, алгебра событий, классическая вероятность.

1. Основные понятия теории вероятностей: пространство элементарных событий, алгебра событий, классическая вероятность. билет 1 1. Основные понятия теории вероятностей: пространство элементарных событий, алгебра событий, классическая вероятность. 2. Свойства математического ожидания. Вывести формулу для дисперсии D( ξ )

Подробнее

Предварительный письменный опрос. Список вопросов.

Предварительный письменный опрос. Список вопросов. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕСНА 2019 г. Предварительный письменный опрос. Список вопросов. В вариантах вопросов на экзамене возможны изменения по сравнению с предложенным списком: могут быть изменены численные

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна Тема: Теория вероятностей Дисциплина: Математика Авторы: Нефедова Г.А. Дата: 9.0.0. Вероятность случайного события может быть равна. 0.5. 3. 0. 0.7 5..5 6. - 7. 0.3. Вероятность достоверного события равна.

Подробнее

Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины

Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины Лекция 4 Тема Введение в случайные величины Содержание темы Случайная величина. Понятия дискретной и непрерывной случайной величины. Ряд распределения дискретной случайной величины. Функция распределения,

Подробнее

Предварительный письменный опрос. Список вопросов.

Предварительный письменный опрос. Список вопросов. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕСНА 2016 г. Предварительный письменный опрос. Список вопросов. Основы теории множеств, аксиоматические свойства вероятности и следствия из них. 1. Записать свойства ассоциативности

Подробнее

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ Случайные величины. Определение СВ ( Случайной называется величина, которая в результате испытания может принимать то или иное значение, заранее не известное).. Какие бывают СВ? ( Дискретные и непрерывные.

Подробнее

ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ 1

ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ 1 ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ. Теория вероятностей изучает явления: сложные Б) детерминированные В) случайные Г) простые. Количественная мера объективной возможности это : опыт Б) вероятность В) событие Г) явление

Подробнее

Лекция 7 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. . Производящей функцией для случайной величины X называется функция вида

Лекция 7 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. . Производящей функцией для случайной величины X называется функция вида Лекция 7 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить производящую функцию и вычислить параметры биномиального, пуассоновского, геометрического и гипергеометрического распределений;

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Комбинаторика, правила произведения и суммы Комбинаторика как наука Комбинаторика это раздел математики, в котором изучаются соединения подмножества элементов, извлекаемые из конечных

Подробнее

Глава 3. Непрерывные случайные величины

Глава 3. Непрерывные случайные величины Глава 3. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Если множество значений случайной величины X не конечно и не счетно, то такая случайная величина не может характеризоваться вероятностью

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Минск 018 018 Кафедра высшей

Подробнее

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, могут быть различными факторами: рассеянием

Подробнее

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева

Подробнее

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1 Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания Приведем основные понятия теории вероятностей необходимые для их выполнения Для решения задач 50 50 необходимо знание темы Случайные

Подробнее

а) отношение числа случаев, благоприятствующих событию А к общему числу

а) отношение числа случаев, благоприятствующих событию А к общему числу ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Задание. Выберите правильный ответ:. Относительной частотой случайного события А называется величина, равная... а) отношению числа случаев, благоприятствующих

Подробнее

Теоретические вопросы.

Теоретические вопросы. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Кафедра высшей математики. Дисциплина Математика Специальность 160505. Курс 2. Осенний семестр 2012 года Теоретические вопросы. РАЗДЕЛ

Подробнее

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины Случайные величины Дискретная и непрерывная случайные величины Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется другое более удобное понятие случайной величины Случайной величиной

Подробнее

Лекция 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Сумма и произведение события

Лекция 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Сумма и произведение события Лекция 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Сумма и произведение события Суммой или объединением, нескольких событий называется событие, состоящее в появлении наступления хотя бы одного из этих

Подробнее

Предварительный письменный опрос. Список вопросов.

Предварительный письменный опрос. Список вопросов. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕСНА 2018 г. Предварительный письменный опрос. Список вопросов. В вариантах вопросов на экзамене возможны изменения по сравнению с предложенным списком: могут быть изменены численные

Подробнее

6.4. Системы случайных величин

6.4. Системы случайных величин Лекция 4.9. Системы случайных величин. Функция распределения системы двух случайных величин (СДСВ). Свойства функции 6.4. Системы случайных величин В практике часто встречаются задачи которые описываются

Подробнее

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

1.24. Двумерные дискретные и непрерывные случайные величины: определения, функция распределения. Рассмотрим двумерные случайные величины.

1.24. Двумерные дискретные и непрерывные случайные величины: определения, функция распределения. Рассмотрим двумерные случайные величины. 1.4. Двумерные дискретные и непрерывные случайные величины: определения, функция распределения Определение одномерной случайной величины см. п.1.11.: def Одномерной случайной величиной называется числовая

Подробнее

4. Теория вероятностей

4. Теория вероятностей 4. Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания. Приведем основные понятия теории вероятностей, необходимые для их выполнения. Для решения задач 50 50 необходимо знание темы

Подробнее

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия.

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия. Параграф : Общие понятия Теория вероятностей Случайные события Определение : Теория вероятностей математическая наука, изучающая количественные закономерности в случайных явлениях Теория вероятностей не

Подробнее

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13 ЧАСТЬ 7 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция 3 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: доказать неравенство Чебышева; сформулировать и доказать закон больших чисел и

Подробнее

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г.

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г. Перечень Основных контрольных вопросов для зачета (экзамена) по дисциплине Физика, математика, модуль М атематика, для студентов 1 курса медикопрофилактического факультета 1. Понятие функции. Способы задания

Подробнее

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы

1. Случайные события. Операции над событиями. Вопросы ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» /009г ИУ-5,7 курс, 4 семестр 1. Случайные события. Операции над событиями. Определения случайного

Подробнее

Решение: Всего: = 16 карандашей в коробке. По классическому определению вероятности:

Решение: Всего: = 16 карандашей в коробке. По классическому определению вероятности: .8.. В коробке находятся синих, красных и зеленых карандашей. Одновременно вынимают карандашей. Найти вероятность того, что среди них будет синих и красных. Решение: Всего: + + = карандашей в коробке!

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра. Направление подготовки. Дисциплина (модуль) Математики, физики и информационных

Подробнее

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА Кафедра математики и информатики Математика Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 6 Элементы теории вероятностей и математической статистики

Подробнее

Основные понятия и важнейшие формулы теории вероятностей

Основные понятия и важнейшие формулы теории вероятностей Основные понятия и важнейшие формулы теории вероятностей Случайным событием называется событие, которое при данных условиях может произойти, а может не произойти Комплекс условий, которые необходимы для

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Министерство образования и науки Российской Федерации Северный (Арктический) федеральный университет Кафедра математики Теория вероятностей и математическая статистика Методическое пособие по выполнению

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ 1... 13 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ... 13 1. Определение теории вероятностей... 13 2. Некоторые примеры... 14 3. Устойчивость частот в массовых статистических

Подробнее

A первый взятый шар белого цвета; 24. Раздел 1. Случайные события. Литература. [4], гл. I; [5], гл 1 4.

A первый взятый шар белого цвета; 24. Раздел 1. Случайные события. Литература. [4], гл. I; [5], гл 1 4. Тема 2. Элементы теории вероятностей и математической статистики Раздел. Случайные события Литература. [4], гл. I; [5], гл 4. Основные вопросы.. Испытания и события, виды случайных событий, классическое

Подробнее

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Подробнее

по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей

по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Методические указания к самостоятельной подготовке за четвертый семестр по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Минск

Подробнее

что и требовалось доказать. При доказательстве мы использовали свойство неотрицательности функции плотности и неравенство (*)).

что и требовалось доказать. При доказательстве мы использовали свойство неотрицательности функции плотности и неравенство (*)). Оглавление Глава 5 Предельные теоремы 5 Неравенство Чебышѐва 5 Типы сходимости случайных величин 3 Диаграмма зависимости видов сходимости 3 53 Суммы случайных величин 4 Среднее арифметическое случайных

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности XCQ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5

ОГЛАВЛЕНИЕ. ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности XCQ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5 ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5 ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности Глава 1. Понятие вероятности 1.1. Виды случайных событий. Дискретное множество элементарных событий. Множество исходов опыта

Подробнее

Химия (направление); Фундаментальная и прикладная химия (специальность).

Химия (направление); Фундаментальная и прикладная химия (специальность). 0000.6-Химия (направление); http://kpfu.ru/pdf/portal/oop/4853.pdf 000.65 - Фундаментальная и прикладная химия (специальность). Дисциплина: «Математика» (бакалавриат, специалитет, курс, очное обучение).

Подробнее

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина).

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина). Достоверное событие. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина). Невозможное событие. Событие, которое

Подробнее

Учебник рассчитан на читателей, знакомых с курсом высшей математики в объеме дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной.

Учебник рассчитан на читателей, знакомых с курсом высшей математики в объеме дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной. Учебник рассчитан на читателей, знакомых с курсом высшей математики в объеме дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной. Представленный материал охватывает элементарные вопросы

Подробнее

Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей

Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Лекция 3 Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Содержание темы Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Формула полной вероятности.

Подробнее

Е. В. Морозова. Теория вероятностей

Е. В. Морозова. Теория вероятностей Е. В. Морозова Теория вероятностей 0 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Математика Статистика

Математика Статистика Лукьянова Е.А. Математика Статистика «Сестринское дело» Основные понятия статистики Генеральная совокупность и выборка Типы данных и их представление Точечное оценивание Интервальное оценивание 2015

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 3. Методы определения вероятностей

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 3. Методы определения вероятностей МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 3 Методы определения вероятностей 0 Классическое определение вероятностей Любой из возможных результатов опыта назовем элементарным

Подробнее

ОБНАРУЖЕНИЕ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ В НЕРАЗРУШАЮЩЕМ КОНТРОЛЕ. Практические занятия ЧАСТЬ 1. Примеры вопросов с пояснениями

ОБНАРУЖЕНИЕ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ В НЕРАЗРУШАЮЩЕМ КОНТРОЛЕ. Практические занятия ЧАСТЬ 1. Примеры вопросов с пояснениями ОБНАРУЖЕНИЕ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ В НЕРАЗРУШАЮЩЕМ КОНТРОЛЕ Практические занятия ЧАСТЬ 1 Этот раздел состоит из простых тестовых вопросов, требующих ответов «ДА» или «НЕТ», в зависимости от того, верное

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э. ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н. Д. ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2 ВАРИАНТ.. Группа состоит из 5 мужчин и 0 женщин. Найти вероятность того, что при случайной группировке их на 5 групп по три человека в каждой группе будет мужчина. Решение: Для решения задачи будем использовать

Подробнее

Примеры распределений дискретных случайных величин

Примеры распределений дискретных случайных величин Примеры распределений дискретных случайных величин 1 Биномиальное распределение = μ ( ) Рассмотрим случайную величину равную числу появлений события A в серии n независимых испытаний. Распределение вероятностей

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Основные законы распределения дискретных случайных величин

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Основные законы распределения дискретных случайных величин МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 9 Основные законы распределения случайных величин Основные законы распределения дискретных случайных величин Биномиальное распределение

Подробнее

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики УДК 57. Теория вероятностей: программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы / Сост. Л.В. Березина; РГАТУ имени П. А. Соловьева. Рыбинск, 0. 4 с. (Заочная форма обучения/

Подробнее

Предмет теории вероятностей

Предмет теории вероятностей Предмет теории вероятностей В различных разделах науки и техники нередко возникают ситуации, когда результат каждого из многих проводимых опытов заранее предугадать невозможно, однако можно исследовать

Подробнее

{ σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей -

{ σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей - { σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей - теорема сложения вероятностей - условная вероятность

Подробнее

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ)

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ) Лекция 5 Тема Непрерывные случайные величины (НСВ) Содержание темы Способы задания: интегральный закон распределения, плотность распределения. Связь между ними. Свойства плотности распределения. Применение

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Надежность технических систем и техногенный риск

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Надежность технических систем и техногенный риск ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Надежность технических систем и техногенный риск 2018 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 2 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ отказы ТС* ошибки операторов ТС внешние негативные воздействия *Отказ это

Подробнее

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН Дисциплина Теория вероятностей и математическая статистика УЧЕБНЫЙ ПЛАН: Факультет Разработки нефтяных и газовых месторождений

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ ЛЕКЦИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ Вероятность события относится к основным понятиям теории вероятностей и выражает меру объективной возможности появления события Для практической деятельности важно

Подробнее

14. Тесты по теории вероятностей. Тест 1

14. Тесты по теории вероятностей. Тест 1 1 Если A B, то чему равно AB? 14 Тесты по теории вероятностей Тест 1 Сформулируйте классическое определение вероятности События A, B, C взаимно независимы P( A) P( B) P( C) 1 Найдите P( A B C) 4 Испытываются

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. Институт управления и предпринимательства. Статистические методы анализа рынков Экзаменационные материалы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ. Институт управления и предпринимательства. Статистические методы анализа рынков Экзаменационные материалы ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» ИОНЦ «Бизнес информатика»

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (95) 509-8-0 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

1. A2. a A a A3.длялюбойсчетнойпоследовательностиa n. P A H k. позволяет найти

1. A2. a A a A3.длялюбойсчетнойпоследовательностиa n. P A H k. позволяет найти Теория вероятностей Учебно-методическое пособие для сдачи зачета по курсу 3 семестра. Данное пособие представляет собой план ответа для зачета у Матвеева В.Ф. (201,202 группы). Приведены в сжатой форме

Подробнее

Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА. Ч.III ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Тема III «ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА»

Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА. Ч.III ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Тема III «ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА» Министерство сельского хозяйства РФ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Ч.III ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Тема III «ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА» Методические указания для самостоятельной работы обучающихся

Подробнее

ГЛАВА 4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ. 1. Неравенства Чебышева

ГЛАВА 4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ. 1. Неравенства Чебышева ГЛАВА 4 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ Неравенства Чебышева Доказательство теоремы Чебышева основывается на неравенстве Чебышева Докажем это неравенство Неравенство Чебышева Вероятность того что отклонение (СВ) ξ

Подробнее

1.18. Непрерывная одномерная случайная величина

1.18. Непрерывная одномерная случайная величина .8. Непрерывная одномерная случайная величина def Случайная величина называется непрерывной, если ее возможные значения сплошь заполняют некоторый промежуток (; b) (или несколько промежутков) и на всей

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика. Случайные величины

Теория вероятностей и математическая статистика. Случайные величины Теория вероятностей и математическая статистика Случайные величины 1 Содержание Случайные величины Основные законы распределения 2 Случайные величины Понятие случайной величины и закона ее распределения

Подробнее

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события».

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события». Задание Решение задач по теории вероятностей Тема : «Вероятность случайного события». Задача. Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать последовательность X X X. где каждый

Подробнее

Основные понятия и определения

Основные понятия и определения 1 Основные понятия и определения Вспомним основные понятия и определения, которые употреблялись в курсе теории вероятностей. Вероятностный эксперимент (испытание) эксперимент, результат которого не предсказуем

Подробнее

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной Лекция Теория вероятностей Основные понятия Эксперимент Частота Вероятность Теория вероятностей раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений Случайные события это события, которые при

Подробнее

ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Биномиальное распределение

ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Биномиальное распределение ГЛАВА СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Биномиальное распределение Пусть эксперимент проводится по схеме Бернулли Определение Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами

Подробнее

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Составитель:

Подробнее

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2 Раздел VI. Глоссарий Матрица. Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей n строк и m столбцов называется матрицей размерности Определитель матрицы. Определителем квадратной

Подробнее

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1 Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1 1 Из букв слова бизнес наугад выбирается одна буква. Укажите пространство элементарных событий

Подробнее

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события».

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события». Задание Решение задач по теории вероятностей Тема : «Вероятность случайного события». Задача. Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать последовательность X, X, X 3., где

Подробнее

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие непрерывной случайной величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Подробнее

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН -МЕРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты ковариацию

Подробнее

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности

Измерения и обработка результатов измерений Случайные погрешности В теории вероятностей изучаются различные законы распределения, каждому из которых соответствует определенная функция плотности вероятности Они получены путем обработки большого числа наблюдений над случайными

Подробнее

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения 53 Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины. 4.. Равномерный закон распределения Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на промежутке

Подробнее

КОС включают контрольные материалы для проведения промежуточной аттестации в форме дифференцированного зачета

КОС включают контрольные материалы для проведения промежуточной аттестации в форме дифференцированного зачета 1. Общие положения Контрольно-оценочные средства (КОС) предназначены для контроля и оценки образовательных достижений обучающихся, освоивших программу учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Подробнее

9. Двумерная случайная величина. Законы распределения Определения и формулы для решения задач

9. Двумерная случайная величина. Законы распределения Определения и формулы для решения задач 9 Двумерная случайная величина Законы распределения 9 Определения и формулы для решения задач Определение Двумерной случайной величиной называется упорядоченная пара (, ) одномерных случайных величин и

Подробнее

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1 ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной величиной называется переменная, которая

Подробнее

Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей

Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей Закономерности в поведении случайных величин тем заметнее, чем больше число испытаний, опытов или наблюдений Закон больших

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЗАНЯТИЕ 4 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Понятие случайной величины одно из важнейших понятий теории вероятностей. Под случайной величиной понимается величина,

Подробнее

Практическая работа 3 Тема 4 Дискретные случайные величины

Практическая работа 3 Тема 4 Дискретные случайные величины Практическая работа Тема 4 Дискретные случайные величины Дискретной называют случайную величину X, принимающую конечное или счетное (можно перенумеровать) число значений: 1,,. Значение принимается с некоторой

Подробнее

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно Теория вероятностей и математическая статистика _рус_3кр_зим_ибрагимова С.А._ССМ(2.4.очное) 1. Метаданные теста Автор теста: Ибрагимова С.А. (для студентов преподавателя Елшибаева) Название курса: Теория

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ РОСЖЕЛДОР Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» (ФГБОУ ВО РГУПС) АА Зеленина, ЕО Лагунова, ИС Стасюк

Подробнее

Лекция 3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМА БАЙЕСА

Лекция 3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМА БАЙЕСА Лекция 3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМА БАЙЕСА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятия условной вероятности и независимости событий; построить правило умножения

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):. Кафедра Общие сведения. Направление подготовки Экономика Математики и математических методов в экономике

Подробнее

Простые вопросы по медицинской и биологической физике с ответами. Модуль 1

Простые вопросы по медицинской и биологической физике с ответами. Модуль 1 Простые вопросы по медицинской и биологической физике с ответами. Модуль 1 1. Предел отношения приращения функции одной переменной к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю является

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Понятие случайной величины Современная теория вероятностей предпочитает где только возможно оперировать не случайными событиями а случайными величинами

Подробнее

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС. Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к. 4г.о., ИС 1к. 2г.о., 1к. 3г.о.

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС. Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к. 4г.о., ИС 1к. 2г.о., 1к. 3г.о. Автор теста: Искакова АМ Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к 4го, ИС 1к 2го, 1к 3го Текст вопроса/варианты ответа 1 2 События А и В называются противоположными,

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Витебский государственный университет имени ПМ Машерова» Кафедра геометрии и математического анализа СМ Бородич, ТВ Кавитова ТЕОРИЯ

Подробнее