М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций"

Транскрипт

1 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ

2 Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и мы не можем предсказать, что именно будет. Достоверное событие это такое событие, которое в результате опыта заведомо произойдет. Невозможное событие такое событие, которое не может произойти в результате опыта. Вероятность численная мера возможности появления события. Договорились, что вероятность будет всегда заключена между нулём и единицей. Вероятность невозможного события равна нулю, а достоверного события единице. Познакомимся с алгеброй событий. 2 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ, ОПЕРАЦИЯ НАД СОБЫТИЯМИ События обозначаем большими буквами A, B, C... Вероятность события А: P(A). 1. Если при каждом появлении события А происходит и событие В, то говорят, что событие А влечёт за собой событие В. 2. Если событие А влечёт событие В, и событие В влечёт А, то эти события считаем эквивалентными. AB 3. Суммой двух событий А и В называется такое событие С, которое состоит либо в появлении А, либо В, либо А и В вместе. 4. Произведением двух событий называется такое событие D, которое состоит в одновременном появлении и А, и В. Разность двух событий это такое событие, при котором происходит А, но не происходит B. не А, всё остальное, кроме А. + достоверное событие. ( + ) 1.

3 невозможное событие. Два события А и В называются несовместными, если невозможно их совместное появление. То есть 0. А + В В + А сложение коммутативное. А + В + С А + (В + С) КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. СХЕМА СЛУЧАЯ 1. Несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них. 2. Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе. 3. Равновозможные события события, если по условиям опыта есть основания считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое. Если выполняются все три условия, то эта ситуация называется схемой случая. Общее число событий конечно. Случай называется благоприятным по отношению к некоторому событию, если появление этого случая влечёт за собой появление данного события. Вероятность события А вычисляется как отношение числа благоприятных случаев по отношению к событию А к общему числу случаев. Теорема сложения и умножения вероятностей Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Доказательство. A, B. Событию А соответствует k штук элементарных событий. 3

4 Событие В считаем несовместным с событием А. Несовместность событий означает, что множество тех событий, каждое из которых влечёт за собой В, не пересекаются с множеством событий, каждое из которых влечёт А. P(A) k/n P(B) m/n P(A+B) (k+m)/n P (A+B) P(A)+P(B) А если их больше двух, то все события должны быть попарно несовместными. В общем случае: Если мы имеем совокупность конечного количества событий, то при условии, что эта совокупность событий попарно несовместна вытекает, что ( ). Следствия: Если совокупность событий образует полную группу попарно несовместных событий, то тогда ( ) 1. В частности, если мы возьмём события и, то P( + )P(A)+P( ) 1. ( + ) ( ) + ( ) ( ) Теорема 2. Вероятность произведения независимых событий есть произведение их вероятностей. ( ) ( ) ( ) События А и В называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, произошло ли событие или нет. 4

5 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ. ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ СОБЫИТИЙ Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В или нет. Вероятность события А, вычисленная при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью события А. ( ) Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго события, вычисленную при условии, что первое событие произошло. k A m B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Если события А и В независимы, то ( ) ( ) ( ). Например. В урне находятся два белых шара и один чёрный. Два лица вынимают из урны по одному шару. Событие А: белый шар у первого лица. Событие В: белый шар у второго лица. Следствие 1. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5

6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Вероятность произведения любого конечного числа не зависимых в совокупности событий равна произведению их вероятностей. ( ) ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ Формулировка задачи. Пусть требуется определить вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий H1, H2,, Hn, образующих полную группу несовместных событий. События H1, H2,, Hn гипотезы. Заключение. Тогда вероятность события А есть сумма из произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события А при условии, что эта гипотеза имеет место. ( ) ( ) ( ) Ω ( ) ( ) ( ) ( ) Пример. В урне имеются два белых и три чёрных шара. Из урны вынимают два шара. Найти вероятность того, того оба шара белые. А появление белого шара. 6

7 Наше событие: А1 А2. А А1 A2 P (A) P (A1 A2) P (A1) P (A2 A1) 2/5 1/4. Пример. Есть три одинаковые урны. В первой урне два белых и один чёрный шар, во второй три белых, один чёрный, в третьей два белых и два чёрных. Некто наугад выбирает одну из урн и выбирает шар. Найти вероятность того, что шар белый. Ω ( ) 1 3, 1,2,3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 ( ) 3 4 ( ) 1 2 ( ) 1 3 ( ) ФОРМУЛА БАЙЕСА,, Произошло событие. ( )? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7

8 Пример. Делаются приборы из детали двух сортов. Одни детали высокого качества. Их 40% от общего количества деталей. 60% детали среднего качества. Если прибор собран из деталей высокого качества, то вероятность его безотказной работы за некий интервал времени t равна 0,95. А в случае если он собран из деталей среднего качества, то вероятность безотказной работы за это время составляет 0,7. Прибор испытывался в течение времени t и проработал безотказно. Найти вероятность того, что он сделан из высококачественных деталей. ( ) 0,4 0,95 +0,6 0,7 ( ) 0,4 0,95 0,4 0,95 +0,6 0,7 8 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ Постановка задачи: 1. Проводится серия опытов, в результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие А. Рассматривается результат не отдельного опыта, а общее число появления событий А в результате серии опытов. Опыты у нас будут независимыми. Несколько опытов называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из опытов не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Рассмотрим пример. Производится три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания в каждом из выстрелов равна p. Найти вероятность того, что при трёх выстрелах будут два попадания. : попал при первом выстреле., Промахи:,,. Нас интересует событие А, которое может быть устроено так:,,. Или,,, или,,.,, +,, +,, ( ), ( ) 1 (,, )

9 Учитывая, что все события независимые, применим формулу для вероятности суммы. Для случая n: ( ) ,, Формула Бернулли выглядит так: ( ) (из n независимых опытов событие А появляется m раз). ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЕЁ СВОЙСТВА Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, и неизвестно заранее, какое именно. Будем различать дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретной случайной величиной называется такая величина, что все её возможные значения могут быть перенумерованы. Непрерывная случайная величина когда её возможные значения не могут быть перенумерованы, и они заполняют некий целый интервал. Случайные величины будем обозначать X, Y, Z, а их значения так: x, y, z. Для дискретных случайных величин можем пронумеровать: x1, x2,, xn. Дискретная случайная величина целиком описана, если задан закон её распределения: X х1 х2 p p1 p2 хn pn ( ) 1 9

10 НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И ЕЁ СВОЙСТВА Это фундаментальное понятие! Мы договоримся, что значения случайной величины мы будем откладывать на числовой оси. 0 1 x x Функция распределения случайной величины Х это такая функция ( ), что выполнено равенство ( ) ( < ), то есть выражает вероятность того события, что значение данной случайной величины Х попадает левее точки х. 0 ( ) 1 при любом Свойство 1. Область значения функции полоса единичной высоты. Свойство 2. ( ) 0, (+ ) 1. Свойство 3. ( ) ( ) при >. Функция F(х) неубывающая функция своего аргумента. Если для данной случайной величины известна функция распределения вероятности ( ), то это есть полное описание случайной величины. X х1 х2 p p1 p2 хn pn F(x) х1 p1 х p2 1 х2 x3 хn x Такую функцию называют кусочно-постоянной. 10

11 ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. ЕЁ СВОЙСТВА A x C x+δx x B +, ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( + Δ ) ( ) lim ( + Δ ) ( ) Δ ( ) плотность вероятности. В этом определении проблема определения дискретной величины: отсутствие производной. Свойства плотности вероятности. ( ) ( ) 1) ( ) ( ), ( ) 1 2) ( ) 0 3) ( < + Δ ) ( ) МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН цт ( ) + + Введём понятие момента для случайных величин. [ ] ( ) 11

12 Для непрерывной величины: [ ] ( ) Это моменты первого порядка ( ), что также называется математическим ожиданием случайной величины. Но мы можем рассматривать также моменты любого порядка: [ ] ( ) [ ] ( ) 1,2,3 Мы можем из значения случайной величины Х вычесть её математическое ожидание, которое в какой-то мере напоминает центр тяжести, вокруг которого облако случайных значений как-то и сосредоточено. Центрированная случайная величина устроена таким образом: [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] ( [ ]) [ ] ( [ ]) ( ) Дисперсия выглядит так: 12 [ ] [ ] То есть это математическое ожидание момента квадрата центрированной случайной величины.

13 Дисперсия положительна, ведь ( ) 0, т. к. ( ) неубывающая. Характеризует ширину облака. Простейшие свойства математического ожидания и дисперсии 1. Если неслучайная величина, то математическое ожидание [ ]. А дисперсия [ ] Рассмотрим произведение случайной величины и константы. [ ] [ ] [ ] [ ] БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Проводится серия испытаний. В каждом из них известна вероятность появления какого-либо события А. Нас интересует число появления этого события А в этой серии. Мы зафиксировали число испытаний: n. Нам известно, что ( ). А соответственно события не А: ( ) 1. X n P (0) (1) (2) ( ) Формула Бернулли: ( ) 0 < событие А появилось m раз. 0! 1 ( + ) Вот эти коэффициенты они равноудалённые от концов совпадают. ( ) ( + ) Таким образом, мы ввели величину, которая возникла на основе применения схемы Бернулли. Мы получили нетривиальный пример 13

14 случайной величины и закон её распределения. Теперь посчитаем для этой случайной величины моменты. Вычислим математическое ожидание этой случайной величины. ( ) свойство биномиальных коэффициентов. (1 ) [ 1] (1 ) (1 ) + (1 ) [ ] Можно и сосчитать дисперсию. [ ] [( ) ] (1 ) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА, ИЛИ ЗАКОН РЕДКИХ ЯВЛЕНИЙ Представим себе, что опытов в серии сотни, а вероятность появления события мала. [ ], 0, const Теперь нам нужно вычислить вероятность появления события А в серии большого числа опытов и построить закон распределения. ( ) ( 1) ( +1) 1 1! (1 )! ( 1) ( +1) штук бм

15 lim ( )! lim (1 ) lim 1 ( )! предельная формула для вероятности для появления события А m раз в бесконечном количестве опытов. X m P 1 2!! Теперь нужно вычислить два момента: математическое ожидание и дисперсию. Но сначала надо проверить, будет ли это законом распределения. Просуммируем вероятности, должны получить единицу.!! 1 Таким образом, это действительно закон распределения случайной величины. [ ]! ( 1)! [( 1) ]! [ ] [( [ ]) ] [ 2 [ ] + ( [ ]) ] [ ] 2 [ ] [ ] + ( [ ]) [ ] ( [ ]) [ ]!! ( 1)!!,!! 15

16 ( 1)! ( 1)! ( ) ( + ) [ ] [ ] это равенство специфично для пуассоновского распределения. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Мы рассматриваем схему Бернулли, то есть у нас есть совокупность n опытов, в которых появляется А с вероятностью p. Эти опыты независимы. Нас будет интересовать вот такое событие. Мы, бросаем монету. И мы будем интересоваться такими событиями, что получилась решка. Как только появляется решка, мы прекращаем испытание. : Вот такое распределение называют геометрическим. Таким образом, наша задача построить закон распределения случайной величины. (1) (2) ( ) ( ) ( ) X k P 1 qp q 2 p q k-1 p Видим геометрическую прогрессию. Поэтому и распределение назвали геометрическим. [ ] (пользуясь теоремой Абеля) 1 1 (этот ряд есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии) 1 (1 ) 1 16

17 [ ] (1 ) 1 (1 ) + ( 2) 1 (1 ) 1 + 2(1 ) 1 +2(1 ) [ ]1 1 РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Говорят, что случайная величина распределена по закону равномерной плотности, если 1) значения этой величины лежат в пределах некоторого интервала; 2) в пределах этого интервала все значения случайной величины одинаково вероятны. Почему конечный интервал? Потому что в бесконечном интервале плотность вероятности нигде бы не убывала, следовательно, не существовала бы функция распределения вероятности. ( ), (, ) ( ) должно не зависеть от x. ( ), (, ) ( ), (, ) 0, (, ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 17

18 1 ( ) 1, (, ) 0, (, ) ( ) ( ) 1 ( ) [ ] 1 3( ) [ ] ( + ) 4 ( ) 12 Среднее квадратичное отклонение есть корень из дисперсии. Среднее арифметическое отклонение: 1 [ ] ( ), (, ) ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ, ИЛИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение, если её плотность вероятности удовлетворяет условию: ( ), 0 0, <0 >0 18 ( ) 1, 0 0, <0

19 [ ] 1 [ ] 1 ( < ) НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону, если плотность распределения вероятностей этой величины имеет вид: ( ) 1 2 ( ), где σ, m параметры распределения. m математическое ожидание. [ ] ( ) 2 + ( ) 2 2 интеграл Пуассона Убедимся, что дисперсия. Мы выяснили, что чем больше σ, тем более расплющен колокол. [ ] ( ) ( ) ( )

20 ФУНКЦИЯ ЛАПЛАСА Функцией Лапласа Φ(х) будем называть функцию. Свойства: 2 Ф(0) 0 ( ) Ф( ) Ф( ) Ф( ) функция нечётная. ( <3 )2Ф(3) 0,9973 правило трёх сигм. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА Если Х1, Х2,, Хn независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием m и дисперсией σ 2, то при неограниченном увеличении n (числа случайных величин) величина распределение случайной величины неограниченно стремится к нормальному с параметрами m и σ 2. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН (, ) ( <, < ) (, ) 0 (, )0 (, )1 (,+ ) ( ) 20

21 (+, ) ( ) По каждому из элементов (х и у) функция неубывающая. Введём понятие плотности распределения для (, ). Предположим, что функция распределения этой пары случайных величин дифференцируемая. ( + Δ, + Δ ) (, + Δ ) ( + Δ, ) + (, ) Δ Δ 1 Δ ( + Δ, + Δ ) (, + Δ ) ( + Δ, ) (, ) Δ Δ 1 Δ, (, ) Если функция F является гладкой, плотностью вероятности является смешанная частная производная второго порядка по x и по у. Если же функция распределения делает скачки, её дифференцировать в обычном смысле нельзя. Свойства этой плотности вероятности: 1) F(x,y) неубывающая, следовательно (, ) 0. 2) (, ) (, ) 3) (, ) 1 4) (, ) (, ) ( ) 21

22 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТДЕЛЬНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, ВХОДЯЩИХ В СИСТЕМУ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ( ) (, ) (, ) ( ) (, ) (, ) Таким образом, по функции распределения системы случайных величин мы можем восстановить функции распределения каждой из них. Обратно нельзя. Проблема в том, что в функции системы случайных величин могут не быть независимыми случайными величинами. Только если они независимые. НЕЗАВИСИМЫЕ И ЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. КОРЕЛЛЯЦИОННЫЙ МОМЕНТ, КОЭФФИЦИЕНТ КОРЕЛЛЯЦИИ Случайные величины Х и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая случайная величина. В противном случае Х и Y называются зависимыми случайными величинами. Теорема. Для того, чтобы две случайные величины Х и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы их плотность распределения вероятности (, ) ( ) ( ). То есть эта функция двух переменных есть на самом деле произведение функций от одной переменной. Например,. И тогда их двойной интеграл есть произведение одинарных. Условные вероятности (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, ) ( ) (, ) 22

23 ( ) (, ) (, ) Моменты системы случайных величин, [ ] (, ), (, ) [ ], (, ) [ ] Теперь можем вводить понятие центрированной случайной величины. Моменты:, ( [ ]) ( [ ]) (, ) Корреляционный момент:, [ ],, [ ] ( [ ])( [ ]) (, ) 23

24 Оглавление Случайные события, операция над событиями... 2 Классическое определение вероятности. Схема случая... 3 Условная вероятность. Независимость событий. Вероятность произведения собыитий... 5 Формула полной вероятности... 6 Формула Байеса... 7 Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли.. 8 Непрерывная случайная величина. Функция распределения вероятности и её свойства...10 Плотность распределение вероятности. Её свойства...11 Моменты случайных величин...11 Биномиальное распределение...13 Распределение Пуассона, или закон редких явлений...14 Геометрическое распределение...16 Равномерное распределение...17 Показательное, или экспоненциальное распределение...18 Нормальное распределение...19 Функция Лапласа...20 Центральная предельная теорема Ляпунова...20 Системы случайных величин...20 Законы распределения отдельных случайных величин, входящих в систему случайных величин...22 Независимые и зависимые случайные величины. Корелляционный момент, коэффициент корелляции

ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ 1

ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ 1 ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ. Теория вероятностей изучает явления: сложные Б) детерминированные В) случайные Г) простые. Количественная мера объективной возможности это : опыт Б) вероятность В) событие Г) явление

Подробнее

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, могут быть различными факторами: рассеянием

Подробнее

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г.

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г. Перечень Основных контрольных вопросов для зачета (экзамена) по дисциплине Физика, математика, модуль М атематика, для студентов 1 курса медикопрофилактического факультета 1. Понятие функции. Способы задания

Подробнее

Решение: Всего: = 16 карандашей в коробке. По классическому определению вероятности:

Решение: Всего: = 16 карандашей в коробке. По классическому определению вероятности: .8.. В коробке находятся синих, красных и зеленых карандашей. Одновременно вынимают карандашей. Найти вероятность того, что среди них будет синих и красных. Решение: Всего: + + = карандашей в коробке!

Подробнее

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия.

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия. Параграф : Общие понятия Теория вероятностей Случайные события Определение : Теория вероятностей математическая наука, изучающая количественные закономерности в случайных явлениях Теория вероятностей не

Подробнее

Е. В. Морозова. Теория вероятностей

Е. В. Морозова. Теория вероятностей Е. В. Морозова Теория вероятностей 0 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события».

Решение задач по теории вероятностей. Тема 1: «Вероятность случайного события». Задание Решение задач по теории вероятностей Тема : «Вероятность случайного события». Задача. Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать последовательность X X X. где каждый

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Министерство образования и науки Российской Федерации Северный (Арктический) федеральный университет Кафедра математики Теория вероятностей и математическая статистика Методическое пособие по выполнению

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э. ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н. Д. ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Подробнее

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина).

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина). Достоверное событие. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина). Невозможное событие. Событие, которое

Подробнее

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2 ВАРИАНТ.. Группа состоит из 5 мужчин и 0 женщин. Найти вероятность того, что при случайной группировке их на 5 групп по три человека в каждой группе будет мужчина. Решение: Для решения задачи будем использовать

Подробнее

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН Дисциплина Теория вероятностей и математическая статистика УЧЕБНЫЙ ПЛАН: Факультет Разработки нефтяных и газовых месторождений

Подробнее

Основные понятия и определения

Основные понятия и определения 1 Основные понятия и определения Вспомним основные понятия и определения, которые употреблялись в курсе теории вероятностей. Вероятностный эксперимент (испытание) эксперимент, результат которого не предсказуем

Подробнее

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1 ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной величиной называется переменная, которая

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЗАНЯТИЕ 4 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Понятие случайной величины одно из важнейших понятий теории вероятностей. Под случайной величиной понимается величина,

Подробнее

Предмет теории вероятностей

Предмет теории вероятностей Предмет теории вероятностей В различных разделах науки и техники нередко возникают ситуации, когда результат каждого из многих проводимых опытов заранее предугадать невозможно, однако можно исследовать

Подробнее

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Составитель:

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности.

ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. 1 ЛЕКЦИЯ 12. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. 1 Плотность вероятности. Помимо дискретных случайных величин на практике приходятся иметь дело со случайными величинами, значения которых сплошь заполняет некоторые

Подробнее

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной Лекция Теория вероятностей Основные понятия Эксперимент Частота Вероятность Теория вероятностей раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений Случайные события это события, которые при

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Основные законы распределения дискретных случайных величин

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Основные законы распределения дискретных случайных величин МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 9 Основные законы распределения случайных величин Основные законы распределения дискретных случайных величин Биномиальное распределение

Подробнее

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН -МЕРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты ковариацию

Подробнее

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно Теория вероятностей и математическая статистика _рус_3кр_зим_ибрагимова С.А._ССМ(2.4.очное) 1. Метаданные теста Автор теста: Ибрагимова С.А. (для студентов преподавателя Елшибаева) Название курса: Теория

Подробнее

Простые вопросы по медицинской и биологической физике с ответами. Модуль 1

Простые вопросы по медицинской и биологической физике с ответами. Модуль 1 Простые вопросы по медицинской и биологической физике с ответами. Модуль 1 1. Предел отношения приращения функции одной переменной к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю является

Подробнее

Основные понятия и важнейшие формулы теории вероятностей

Основные понятия и важнейшие формулы теории вероятностей Основные понятия и важнейшие формулы теории вероятностей Случайным событием называется событие, которое при данных условиях может произойти, а может не произойти Комплекс условий, которые необходимы для

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра 2. Направление подготовки 3. Дисциплина (модуль) Информатики, вычислительной

Подробнее

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Числовые характеристики дискретных случайных величин 1 Числовые характеристики дискретных случайных величин Математическое ожидание Expected Value (i.e. Mean) - характеризует среднее весовое значение случайной величины с учётом вероятности появлений значений

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОДЕРЖАНИЕ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОДЕРЖАНИЕ. Основные определения и теоремы.... Сведения из комбинаторики..... События, их назначения и обозначения.3. Отношения между событиями 3.. Вероятность события...3.. Аксиомы

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (Пензенский филиал) Кафедра «Менеджмент, информатика и

Подробнее

Введение в теорию вероятностей

Введение в теорию вероятностей Д.ф.-м.н., профессор Михаил Павлович Харламов Введение в теорию вероятностей УЗ-100 2011-2012 учебный год 2-й семестр 1 Тема: Комбинаторика Это раздел математики, изучающий комбинации и перестановки объектов

Подробнее

Лекционные Практические Зачет Общая трудоемкость

Лекционные Практические Зачет Общая трудоемкость 1. Цель и задачи учебной дисциплины: Целями освоения дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы» являются: формирование математической культуры студентов, фундаментальная

Подробнее

«Теория вероятностей»

«Теория вероятностей» ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по дисциплине

Подробнее

Лекция 3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМА БАЙЕСА

Лекция 3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМА БАЙЕСА Лекция 3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМА БАЙЕСА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятия условной вероятности и независимости событий; построить правило умножения

Подробнее

Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей

Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей Закономерности в поведении случайных величин тем заметнее, чем больше число испытаний, опытов или наблюдений Закон больших

Подробнее

Основные положения теории вероятностей

Основные положения теории вероятностей Основные положения теории вероятностей Случайным относительно некоторых условий называется событие, которое при осуществлении этих условий может либо произойти, либо не произойти. Теория вероятностей имеет

Подробнее

Случайные величины. Дискретные случайные величины

Случайные величины. Дискретные случайные величины Случайные величины 1. Дано: Mξ = 3, Dξ = 1. Найти M(2ξ + 5), D(2ξ + 5). 2. Дано: случайные величины ξ, η независимы, Dξ = 1, Dη = 4. Найти D(ξ η). Дискретные случайные величины 1. В ящике находятся 4 шара

Подробнее

случайных величин f(x) и ее свойства Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной

случайных величин f(x) и ее свойства Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной Лекция 6 План лекции.3.3 Дифференциальная функция распределения непрерывных случайных величин.4 Числовые характеристики случайных.4. Математическое ожидание и его свойства..4. Дисперсия случайных величин

Подробнее

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X + = px ( ) xp( x)

Подробнее

Числовые характеристики нормального распределения

Числовые характеристики нормального распределения Числовые характеристики нормального распределения X Если случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами a и, то математическое ожидание совпадает с параметром, дисперсия с M X a, D

Подробнее

вероятность того, что произведение очков не превзойдет в) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: , в) p 5

вероятность того, что произведение очков не превзойдет в) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: , в) p 5 ) Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N ; б) произведение числа очков не превосходит N ; в) произведение числа очков делится на N. Решение:

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОДЕРЖАНИЕ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОДЕРЖАНИЕ. Основные определения и теоремы.... Сведения из комбинаторики..... События, их назначения и обозначения.3. Отношения между событиями 3.4. Вероятность события...3.5. Аксиомы

Подробнее

Функции многих переменных

Функции многих переменных Функции многих переменных Задача 7 Найти все производные второго порядка функции f ( x, y) : f ( x, y) y x Искомые производные: Задача 9 Найти полный дифференциал и градиент функции А: 3 4 f ( x, y) ln

Подробнее

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ. Лекция 4

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ. Лекция 4 ЧАСТЬ 3 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ Лекция 4 НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ МУАВРА ЛАПЛАСА И ПУАССОНА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие независимого испытания и

Подробнее

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М.

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М. А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 224 с. Книга предназначена для начального

Подробнее

~ 1 ~ Определение: Теория вероятности математическая наука, изучающая закономерности массовых однородных случайных событий, допускающих их повторение.

~ 1 ~ Определение: Теория вероятности математическая наука, изучающая закономерности массовых однородных случайных событий, допускающих их повторение. ~ ~ Теория вероятности Понятие теории вероятностей виды событий, испытания, исходы, частоты Определение: Теория вероятности математическая наука, изучающая закономерности массовых однородных случайных

Подробнее

ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ. Лекция 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ. Лекция 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ Лекция 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить предмет курса; ввести понятия опыта, случайного явления, случайного события, а также вероятности и частоты события;

Подробнее

Лекция 3. Тема. Содержание темы. Основные категории. Основные теоремы и формулы теории вероятностей

Лекция 3. Тема. Содержание темы. Основные категории. Основные теоремы и формулы теории вероятностей Лекция 3 Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Содержание темы Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Основные категории алгебра

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика_для ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ_ уч.год. Тема 1. Основные понятия теории вероятностей

Теория вероятностей и математическая статистика_для ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ_ уч.год. Тема 1. Основные понятия теории вероятностей Теория вероятностей и математическая статистика_для ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ_0-3 уч.год Тема. Основные понятия теории вероятностей Обязательным условием применения формулы P( A B) P( A) P( B) P( AB) является

Подробнее

Министерство транспорта РФ ФГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА»

Министерство транспорта РФ ФГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА» Министерство транспорта РФ ФГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА» 59 Г 738 А.Ш. Готман ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебное пособие для аспирантов Новосибирск

Подробнее

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1 ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1 1. Доказать лемму о баллотировке. Комментарий. Важно показать, что выбор вероятностного пространства (в виде функций, описывающих исходы) позволяет легко применить

Подробнее

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Специальность: 230201.65 Информационные системы и технологии Дисциплина: Математика (ТВ и МС) Время выполнения теста: 20 минут Количество заданий:

Подробнее

Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2. Направление подготовки

Общие сведения 1. Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2. Направление подготовки Этап формирования компетенции (разделы, темы дисциплины) Формируемая компетенция Формы контроля сформированност и компетенций Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся

Подробнее

Вероятность события, классическое определение вероятности. Графическое представление в виде диаграмм Эйлера Венна.

Вероятность события, классическое определение вероятности. Графическое представление в виде диаграмм Эйлера Венна. Лекция 2 Тема Основные понятия теории вероятностей Содержание темы Предмет ТВ. Случайное событие. Вероятность события, классическое определение вероятности. Операции с событиями. Графическое представление

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...... 14 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Основные понятия теории вероятностей... 17 1. Испытания и события... 17 2. Виды случайных событий... 17 3. Классическое определение

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

2.4. Непрерывные случайные величины

2.4. Непрерывные случайные величины Лекции по ТВ и МС Олейник ТА 6-7 4 Непрерывные случайные величины Непрерывная случайная величина Плотность распределения Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение, мода, медиана

Подробнее

Практическая работа 7 Функция, плотность распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины

Практическая работа 7 Функция, плотность распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины Практическая работа 7 Функция плотность распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины Цель работы: Нахождение функции и плотности распределения числовых характеристик непрерывной

Подробнее

ГЛАВА 3 (продолжение). Функции случайных величин. Характеристическая функция.

ГЛАВА 3 (продолжение). Функции случайных величин. Характеристическая функция. Оглавление ГЛАВА 3 продолжение. Функции случайных величин. Характеристическая функция... Функция одного случайного аргумента.... Основные числовые характеристики функции случайного аргумента.... Плотность

Подробнее

Вопросы к зачету по математике для студентов заочной формы обучения специальности Промышленное и гражданское строительство IV семестр

Вопросы к зачету по математике для студентов заочной формы обучения специальности Промышленное и гражданское строительство IV семестр Вопросы к зачету по математике для студентов заочной формы обучения специальности 270102.65 - Промышленное и гражданское строительство IV семестр Теория вероятностей и математическая статистика. 1. Элементы

Подробнее

Вероятность. Что это? Теория вероятностей случайного события Как решать задачи: классическая вероятность Вероятностью события

Вероятность. Что это? Теория вероятностей случайного события Как решать задачи: классическая вероятность Вероятностью события Вероятность. Что это? Теория вероятностей, как следует из названия, имеет дело с вероятностями. Нас окружают множество вещей и явлений, о которых, как бы ни была развита наука, нельзя сделать точных прогнозов.

Подробнее

игральных костях): C6 C6 а) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов:

игральных костях): C6 C6 а) Подсчитаем количество благоприятствующих исходов: Задачник Чудесенко, теория вероятностей, вариант Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а сумма числа очков не превосходит N ; б произведение числа очков не превосходит N ; в

Подробнее

Лекция 6 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 6 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 6 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики положения и моменты непрерывных и дискретных случайных величин Числовые характеристики положения Закон

Подробнее

Лекция 5. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Дискретная случайная величина.

Лекция 5. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Дискретная случайная величина. Лекция 5. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Дискретная случайная величина. Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает одно и только одно, значение,

Подробнее

М. А. ПЛЕСКУНОВ Л. В. КОРЧЁМКИНА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Справочник-практикум 1 0,5. a a+s

М. А. ПЛЕСКУНОВ Л. В. КОРЧЁМКИНА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Справочник-практикум 1 0,5. a a+s М. А. ПЛЕСКУНОВ Л. В. КОРЧЁМКИНА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Справочник-практикум p ( x ) F ( x) s p 0,5 a-s a a+s x 0 a x Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет

Подробнее

Основные определения и теоремы. I. Дифференциальные уравнения первого порядка

Основные определения и теоремы. I. Дифференциальные уравнения первого порядка К решению контрольной работы 5 по дифференциальным уравнениям Определение: Уравнение вида Основные определения и теоремы I Дифференциальные уравнения первого порядка F(,,, ( где х независимая переменная,

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАНИЙ К ТИПОВЫМ РАСЧЁТАМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

СБОРНИК ЗАДАНИЙ К ТИПОВЫМ РАСЧЁТАМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее

Математическое ожидание.

Математическое ожидание. Лекция. Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Их свойства и примеры. Закон распределения (функция

Подробнее

Пример решения варианта контрольной работы 1.

Пример решения варианта контрольной работы 1. Пример решения варианта контрольной работы Задание Вычислить определитель Решение: при решении подобных задач используются следующие свойства определителя: ) Если в определителе все элементы какой-либо

Подробнее

Кисловодский гуманитарно-технический институт РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Кисловодский гуманитарно-технический институт РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Кисловодский гуманитарно-технический институт РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» для бакалавров направления 27.03.04 «Управление в технических системах» Кисловодск,2016

Подробнее

Элементы теории вероятностей. План.

Элементы теории вероятностей. План. Элементы теории вероятностей. План. 1. События, виды событий. 2. Вероятность события а) Классическая вероятность события. б) Статистическая вероятность события. 3. Алгебра событий а) Сумма событий. Вероятность

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3. Задачи надёжности электроснабжения Теория надежности служит научной основой деятельности лабораторий, отделов, бюро и групп надежности на

ЛЕКЦИЯ 3. Задачи надёжности электроснабжения Теория надежности служит научной основой деятельности лабораторий, отделов, бюро и групп надежности на 1 ЛЕКЦИЯ 3. Задачи надёжности электроснабжения Теория надежности служит научной основой деятельности лабораторий, отделов, бюро и групп надежности на предприятиях, в проектных, научно-исследовательских

Подробнее

Тема Основные понятия математической статистики

Тема Основные понятия математической статистики Лекция 6 Тема Основные понятия математической статистики Содержание темы Задача математической статистики Научные предпосылки математической статистики Основные понятия математической статистики Основные

Подробнее

Вопросы к зачету по математике. IV семестр

Вопросы к зачету по математике. IV семестр Вопросы к зачету по математике для студентов заочной формы обучения специальностей: 900. ААХ, 00. МОЛК, 900. СТТМО IV семестр Теория вероятностей и математическая статистика.. Элементы комбинаторики..

Подробнее

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D

(, ) (, ) ( ) x y. F x y = P X Y D 4 СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Многомерной случайной величиной (векторной случайной величиной, случайным вектором или случайной точкой) называют упорядоченный набор нескольких случайных

Подробнее

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей. 1. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар черный или синий. 2. Три стрелка независимо

Подробнее

Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин

Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин Практическое занятие 8. Числовые характеристики случайных величин Закон распределения вероятностей случайной величины содержит полную информацию о случайной величине. Однако полная информация не всегда

Подробнее

Составитель А.А. Михальчук

Составитель А.А. Михальчук МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Вопросы к зачету по математике IV семестр

Вопросы к зачету по математике IV семестр Вопросы к зачету по математике IV семестр Заочное отделение специальность 240406.65 - «Технология химической переработки древесины» Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика. 1. Элементы

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Случайные события и вероятности Случайные события

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Случайные события и вероятности Случайные события ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Случайные события и вероятности Случайные события Одним из основных понятий теории вероятностей является случайное событие Случайным событием называется событие, которое должно

Подробнее

1. Пояснительная записка

1. Пояснительная записка ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Пояснительная записка 3 2. Тематический план дисциплины 5 3. Содержание обязательного и самостоятельного изучения 6 (теоретического курса, семинарских и практических занятий) 4. Вопросы для

Подробнее

Рабочая программа дисциплины ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. для студентов 3 курса. Направление подготовки

Рабочая программа дисциплины ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. для студентов 3 курса. Направление подготовки МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверской государственный университет» Физико-технический факультет

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Подробнее

М И Р Э А. Программа вступительного испытания по математике для поступающих в магистратуру

М И Р Э А. Программа вступительного испытания по математике для поступающих в магистратуру МИНОБРНАУКИ РОССИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»

Подробнее

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 5: ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 5: ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

4. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояния.

4. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояния. Лекция Элементы теории систем массового обслуживания 11. Элементы теории систем массового обслуживания Вопросы темы: 1. Основные понятия. Классификация СМО. 2. Понятие марковского случайного процесса.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

200 взятая деталь изготовлена первым, вторым и третьим цехами соответственно. Из условия следуют:

200 взятая деталь изготовлена первым, вторым и третьим цехами соответственно. Из условия следуют: . На складе 00 деталей, из которых 00 изготовлено цехом, 60 цехом и 40 цехом. Вероятность брака для цеха %, для цеха % и для цеха %. Наудачу взятая со слада деталь оказалась бракованной. Найти вероятность

Подробнее

2.5.3 Закон Пуассона (закон редких явлений)

2.5.3 Закон Пуассона (закон редких явлений) Лекция 8 План лекции 53 Закон Пуассона 54 Показательный закон распределения 55 Нормальный (гауссов) закон распределения вероятностей 53 Закон Пуассона (закон редких явлений) Дискретная случайная величина

Подробнее

Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Дисциплина: «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» Специальность: Факультет: «МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИЙ» Учебный год: 016-017 Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Х и, используя ее, найдите вероятности событий: х < 2;

Х и, используя ее, найдите вероятности событий: х < 2; СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 2016 1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, зная закон ее распределения: X 2 3 5 P 0,3 0,1 0,6 2. Из партии, содержащей

Подробнее

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр 2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр I Элементы линейной алгебры 1. Понятие определителей 2-го и 3-го порядка, их вычисление и

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1 Многомерная случайная величина X = (X 1,X 2,,X n ) это совокупность случайных величин X i (i =1,2,,n), заданных на одном и том же вероятностном пространстве Ω. Закон распределения

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

Введение в теорию вероятностей

Введение в теорию вероятностей Введение в теорию вероятностей Лектор Артем Павлович Ковалевский 1. Дискретная вероятностная модель. Предмет теории вероятностей. Определение дискретной вероятностной модели. Классическое определение вероятности.

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Моделирование случайных величин с заданным законом распределения

Моделирование случайных величин с заданным законом распределения Практическая работа Моделирование случайных величин с заданным законом распределения Цель работы изучение методов моделирования случайных величин с различными законами распределения и проверки их качества.

Подробнее

1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОПОП ВО 3. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОПОП ВО 3. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Целями освоения дисциплины «Основы теории стохастических систем» являются: Формирование у студентов представления о природе вероятностных явлений и способах их описания; Развитие

Подробнее