Тема 1-7: Определители

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Тема 1-7: Определители"

Транскрипт

1 Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

2 Перестановки и подстановки Пусть K ассоциативное коммутативное кольцо с единицей (в частности, поле). Для определения понятия определителя матрицы A K n n нам потребуются перестановки и подстановки на множестве {1, 2,..., n}. Определения Перестановкой множества {1, 2,..., n} называется любой кортеж (i 1, i 2,..., i n), где {i 1, i 2,..., i n} = {1, 2,..., n}. Множество всех перестановок множества {1, 2,..., n} обозначим через S n. Подстановкой на множестве {1, 2,..., n} называется любая биекция этого множества на себя. Определение перестановки согласуется с определением, данным на сл.8 т.1-2. Любой подстановке ( ϕ на множестве ) {1, 2,..., n} можно сопоставить n единственную матрицу, где ϕ(m) = i i 1 i 2... i m, n m = 1, 2,..., n, т.е. (i 1, i 2,..., i n) некоторая перестановка на множестве {1, 2,..., n}. Мы получаем биекцию между множеством S n и множеством всех подстановок на множестве {1, 2,..., n}. Очевидно, ( что при) любой перестановке столбцов в матрице n подстановки ϕ получается матрица, определяющая i 1 i 2... i n указанным выше образом ту же самую подстановку ϕ.

3 Транспозиции в перестановках Определение Говорят, что перестановка (j 1, j 2,..., j n) получается из перестановки (i 1, i 2,..., i n) транспозицией символов i p и i q, если j m = i m при m {p, q} и j p = i q, j q = i p. Транспозиция называется смежной, если q = p + 1. Теорема Все n! элементов множества перестановок S n можно расположить в виде последовательности так, что каждая последующая перестановка получается из предыдущей с помощью одной транспозиции. При этом начать можно с любой перестановки. Доказательство. Используем индукцию по n. При n = 2 утверждение очевидно. Предположим, что для всех 1 m < n требуемое доказано. Запишем любую перестановку (i 1, i 2,..., i n). Применяя предположение индукции к перестановке (i 2,..., i n), получим расположение (n 1)! перестановок на множестве {1, 2,..., n} с первым элементом i 1. В последней перестановке (i 1, j 2,..., j n) сделаем транспозицию символов i 1 и j 2 и снова применим предположение индукции. В последней перестановке этого расположения сделаем транспозицию первого элемента c элементом, отличным от i 1. Продолжая этот процесс, за n шагов получим требуемое.

4 Инверсии в перестановках Определение Говорят, что элементы i p, i q образуют инверсию в перестановке (i 1, i 2,..., i n), если p < q и i p > i q. Количество инверсий в перестановке (i 1, i 2,..., i n) обозначим через I (i 1, i 2,..., i n). Например, I (3, 5, 6, 1, 2, 4) = = 8. Определение Перестановка (i 1, i 2,..., i n) называется четной [нечетной], если I (i 1, i 2,..., i n) четное [нечетное] число. Теорема Одна транспозиция меняет четность перестановки. Доказательство. Утверждение теоремы очевидно для смежной транспозиции. Предположим, что в транспозиции переставляются элементы i p и i q, где p < q. Тогда эту транспозицию можно осуществить с помощью q p смежных транспозиций, переставив i p на место q-го элемента и затем с помощью q p 1 смежных транспозиций переставить i q на место p-го элемента. Таким образом, четность перестановки изменяется нечетное число раз.

5 Четность подстановки Из теорем сл.3 и 4 получается такое Следствие Количество четных перестановок в множестве S n равно количеству нечетных перестановок и равно n! 2. Рассмотрим подстановку ( ϕ на множестве ) {1, 2,..., n}, которой n соответствует матрица. Переставляя столбцы этой i 1 i 2... i ( n ) s1 s 2... s n матрицы, получаем матрицу. В силу теорем сл.3 и 4 t 1 t 2... t n сумма I (s 1, s 2,..., s n) + I (t 1, t 2,..., t n) сохраняет четность при любой перестановке столбцов матрицы. Определение Подстановка ( ϕ на множестве ) {1, 2,..., n}, которой соответствует матрица n, называется четной [нечетной], если I (i i 1 i 2... i 1, i 2,..., i n) n четное [нечетное] число.

6 Определение определителя порядка n Пусть K ассоциативное коммутативное кольцо с единицей (в частности, поле), A K n n. Перестановку (σ 1, σ 2,..., σ n) на множестве {1, 2,..., n} обозначим через σ. Определение Определителем матрицы A = (a ij ) n n называется элемент кольца K, равный σ S n ( 1) I (σ) a 1σ1 a 2σ2... a nσn. a 11 a a 1n Развернутое обозначение определителя: a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn Обозначение определителя как функции от матрицы: A. Таким образом, Определитель матрицы порядка n представляет собой сумму n! слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение a 1σ1 a 2σ2... a nσn элементов матрицы, взятых по одному из каждой ее строки и каждого столбца, если перестановка σ четная, и a 1σ1 a 2σ2... a nσn, если перестановка σ нечетная. ( ) i1 i 2... i n Отметим, что знак при a i1 j 1 a i2 j 2... a injn, где подстановка, определяется четностью этой подстановки (минус если j 1 j 2... j n нечетная).

7 Формулы для определителей малых порядков Развернутая запись определителя похожа на запись матрицы, но разница между ними существенная. Элементы матрицы определителя называются его элементами. Аналогично можно говорить о строках или столбцах определителя. Порядок матрицы определителя называют порядком определителя. Определитель первого порядка равен своему единственному элементу. Из определения, поскольку I (1, 2) = 0, I (2, 1) = 1, получаем важную формулу для вычисления определителя второго порядка: a11 a12 a 21 a 22 = a11a22 a12a21. Аналогично, так как I (1, 2, 3) = 0, I (2, 3, 1) = 2, I (3, 1, 2) = 2, I (2, 1, 3) = 1, I (3, 2, 1) = 3, I (1, 3, 2) = 1, получаем формулу для определителя третьего порядка: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = = a 11a 22a 33 + a 12a 23a 31 + a 13a 21a 32 a 13a 22a 31 a 12a 21a 33 a 11a 23a 32.

8 Правило треугольников Формула для вычисления определителя третьего порядка выглядит весьма громоздко. Существует несколько приемов для того, чтобы запомнить эту формулу. Опишем один из них, называемый правилом треугольников. Со знаком плюс берется произведение элементов, образующих главную диагональ, а также элементов, образующих равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали; со знаком минус произведение элементов, образующих побочную диагональ, а также элементов, образующих равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными побочной диагонали. На рис. 1 приведена графическая иллюстрация правила треугольников. Со знаком плюс Рис. 1 Со знаком минус

9 Свойство аддитивности определителя относительно строки Свойство 1 Имеет место равенство a 11 a a 1n a 21 a a 2n a i1 + b i1 a i2 + b i2... a in + b in = a n1 a n2... a nn a 11 a a 1n a 11 a a 1n a 21 a a 2n a 21 a a 2n = a i1 a i2... a in b i1 b i2... b in a n1 a n2... a nn a n1 a n2... a nn Для доказательства запишем правую часть по определению: σ S n ( 1) I (σ) a 1σ1 a 2σ2... (a iσi + b iσi )... a nσn. Раскрывая скобки и переставляя слагаемые, получаем σ S n ( 1) I (σ) a 1σ1 a 2σ2... a iσi... a nσn + + σ S n ( 1) I (σ) a 1σ1 a 2σ2... b iσi... a nσn, последнее выражение совпадает с правой частью требуемого равенства.

10 Свойство однородности определителя относительно строки Свойство 2 Общий множитель всех элементов одной строки определителя можно вынести за знак определителя, т.е. имеет место равенство a 11 a a 1n a 11 a a 1n a 21 a a 2n a 21 a a 2n λa i1 λa i2... λa in = λ a i1 a i2... a in a n1 a n2... a nn a n1 a n2... a nn Доказательство получается с помощью равенства σ S n ( 1) I (σ) a 1σ1 a 2σ2... (λa iσi )... a nσn = λ( σ S n ( 1) I (σ) a 1σ1 a 2σ2... a iσi... a nσn ). Из свойства 2 непосредственно вытекает Свойство 3 Определитель матрицы, содержащей нулевую строку, равен нулю.

11 Определитель с двумя одинаковыми строками Свойство 4 Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки, равен нулю. Доказательство. Пусть матрица A = (a ij ) n n имеет совпадающие строки: a ij = a mj для j = 1, 2,..., n, 1 i < m n. Рассмотрим произвольное слагаемое определителя A u σ = ( 1) I (σ) a 1σ1 a 2σ2... a iσi... a mσm... a nσn. Обозначим через τ перестановку, полученную из σ транспозицией элементов σ i и σ m. Тогда в силу теоремы сл.4 имеем ( 1) I (σ) = ( 1) I (τ). Кроме того, по предположению получаем a 1σ1 a 2σ2... a iσi... a mσm... a nσn = a 1σ1 a 2σ2... a iσm... a mσi... a nσn = a 1τ1 a 2τ2... a iτi... a mτm... a nτn. Таким образом, слагаемое u σ взаимно уничтожается в сумме, выражающей определитель A. Так как взято произвольное слагаемое определителя, теорема доказана.

12 Дальнейшие свойства определителей Из свойств 2 и 4 вытекает Свойство 5 Определитель, имеющий две пропорциональные строки, равен нулю. Из свойств 1 и 5 получается Свойство 6 Если к элементам одной строки определителя прибавить элементы некоторой другой строки, умноженные на один и тот же элемент поля, то полученный определитель будет равен исходному.

13 Перестановка строк в определителе Свойство 7 Если в определителе поменять местами две строки, сохранив расположение остальных строк, то полученный определитель будет равен. Для доказательства заметим, что на основании свойств 3, 1 и 4 a 11 a a 1n a i1 + a j1 a i2 + a j2... a in + a jn 0 = = a i1 + a j1 a i2 + a j2... a in + a jn a n1 a n2... a nn a 11 a a 1n a 11 a a 1n a i1 a i2... a in a j1 a j2... a jn a j1 a j2... a jn a i1 a i2... a in a n1 a n2... a nn a n1 a n2... a nn (мы не выписываем после второго знака равенства определители с совпадающими строками), откуда следует требуемое.

14 Определитель транспонированной матрицы Свойство 8 Пусть A F n n. Тогда A = A. Доказательство. Пусть A = (a ij ). Тогда произведение элементов a i1 j 1 a i2 j 2... a injn матрицы A входит в качестве слагаемого в определители A ( и A с одинаковым ) знаком, определяемым четностью подстановки i1 i 2... i n, откуда следует требуемое. j 1 j 2... j n Из доказанного утверждения вытекает принцип "равноправия строк и столбцов" в определителе: для каждого свойства определителей, формулируемого в терминах строк, справедливо аналогичное свойство для столбцов. Таким образом, для столбцов определителя справедливы аналоги свойств 1-7.

15 Элементарные преобразования строк или столбцов матрицы в определителе Из свойств 2, 6, 7 получаем следующее утверждение. Предложение 1 Пусть A, B F n n и матрица A получается из матрицы B с помощью конечного числа элементарных преобразований строк, то A = 0 тогда и только тогда, когда B = 0. По аналогии с элементарными преобразованиями строк матрицы (см. сл.26 т.1-5) определяются элементарные преобразования столбцов. Применяя принцип "равноправия строк и столбцов", получаем Предложение 2 Пусть A, B F n n и матрица A получается из матрицы B с помощью конечного числа элементарных преобразований строк или столбцов (в любой последовательности), то A = 0 тогда и только тогда, когда B = 0.

16 Примеры вычисления определителя по определению Определитель треугольной матрицы Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на ее главной диагонали. В таком определителе единственное ненулевое слагаемое - это a 11a a nn (со знаком плюс). Определитель единичной матрицы Определитель единичной матрицы любого порядка равен единице. Определитель матрицы, у которой выше или ниже побочной диагонали нули. a 11 a a 1n a 21 a = ( 1) n(n 1) 2 a 1na 2,n 1... a n1. a n В таком определителе единственное ненулевое слагаемое - это a 1na 2,n 1... a n1 со знаком ( 1) I (n,n 1,...,1). Так как I (n, n 1,..., 1) = = (n 1) + (n 2) = n(n 1) 2, получаем требуемое равенство.

17 Миноры и алгебраические дополнения Пусть A F n n. Определение Минором порядка 1 m n в определителе A называется определитель квадратной подматрицы порядка m матрицы A. Обозначение: M(i 1,..., i m; j 1,..., j m) (i 1 < < i m и j 1 < < j m - номера строк и столбцов матрицы A, на пересечении которых стоит подматрица). Определение Дополнительным минором минора M(i 1,..., i m; j 1,..., j m) называется минор квадратной подматрицы порядка n m, полученной из матрицы A вычеркиванием строк с номерами i 1,..., i m и столбцов с номерами j 1,..., j m. Обозначение: M (i 1,..., i m; j 1,..., j m). Определение Алгебраическим дополнением минора M(i 1,..., i m; j 1,..., j m) называется ( 1) i 1+ +i m+j 1 + +j m M (i 1,..., i m; j 1,..., j m). Обозначение: A(i 1,..., i m; j 1,..., j m).

18 Пример Пусть = Тогда M(1, 3, 5; 2, 4, 5) = = 5, M (1, 3, 5; 2, 4, 5) = и A(1, 3, 5; 2, 4, 5) = ( 1) M (1, 3, 5; 2, 4, 5) = 14. = 14

19 Лемма о произведении минора и его алгебраического дополнения Лемма Произведение минора M(i 1,..., i m; j 1,..., j m) и его алгебраического дополнения A(i 1,..., i m; j 1,..., j m) в определителе порядка n является суммой m!(n m)! различных слагаемых этого определителя с нужными знаками. Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда i l = j l = l при l = 1,..., m. Очевидно, что в этом случае A(i 1,..., i m; j 1,..., j m) = = M (i 1,..., i m; j 1,..., j m). Запишем a a 1m a 1,m+1... a 1n = a m1... a mm a m,m+1... a mn a m+1,1... a m+1,m a m+1,m+1... a m+1,n. Тогда любое a n1... a nm a n,m+1... a nn слагаемое минора имеет вид ( 1) I (σ) a 1σ1... a mσm, где σ некоторая перестановка чисел 1,..., m а любое слагаемое дополнительного минора имеет вид ( 1) I (τ) a m+1,τ1 +m... a n,τn m +m. где τ перестановка чисел 1,..., n m. Количество слагаемых в миноре равно m!, в дополнительном миноре (n m)!, поэтому в произведении при раскрытии скобок будет m!(n m)! различных слагаемых. Продолжение см. на след. слайде.

20 Окончание доказательства леммы Любое произведение слагаемых минора и дополнительного минора равно ( 1) I (σ)+i (τ) a 1σ1... a mσm a m+1,τ1 +m... a n,τn m +m. Произведение элементов определителя входит в со знаком ( 1) I (ρ), где ρ = (σ 1,..., σ m, τ 1 + m,..., τ n m + m). Очевидно, что ни один элемент σ j не образует инверсию ни с одним элементом τ k + m, поэтому I (ρ) = I (σ) + I (τ), и в рассматриваемом случае утверждение доказано. Теперь рассмотрим общий случай. Переставим в определителе строки так, чтобы строка i 1 стала первой по порядку (требуется i 1 1 перестановка строк), строка i 2 второй (требуется i 2 2 перестановок строк) и так далее, i m стала m-й (требуется i m m перестановок строк). Всего потребуется i i m ( m) перестановок строк. Затем аналогично переставим столбцы так, чтобы j 1,..., j m стали на место 1,..., m. Всего потребуется j j m ( m) перестановок столбцов. Получили определитель 1 = ( 1) s, где s = i i m + j j m 2( m). Таким образом, слагаемые определителей 1 и отличаются множителем ( 1) i i m+j j m. Применяя к 1 доказанное в начале утверждение, получаем требуемое.

21 Теорема Лапласа Теорема Определитель порядка n равен сумме произведений всевозможных миноров, выбранных в зафиксированных m (1 m < n) строках (соответственно столбцах), на их алгебраические дополнения. Доказательство. Рассмотрим случай строк, для столбцов доказательство проводится аналогично. По лемме сл.19 произведение минора, взятого в выбранных строках, на его алгебраическое дополнение, равно сумме m!(n m)! различных слагаемых определителя с нужными знаками. Еслм взять различные миноры, то их произведения на алгебраические дополнения не имеют общих слагаемых. Количество миноров порядка m, которые можно выбрать в фиксированных m строках определителя порядка n, равно числу способов выбрать m столбцов из n имеющихся n! m!(n m)! столбцов, т.е. равно Cn m =. Следовательно, указанная в формулировке сумма произведений всевозможных миноров, выбранных в зафиксированных m строках, на их алгебраические дополнения, содержит Cn m m!(n m)! = n! слагаемых определителя с нужными знаками, т.е. все слагаемые определителя. Теорема доказана.

22 Разложение определителя по строке Рассмотрим определитель порядка n. Элемент a ij этого определителя является минором 1-го порядка M(i; j). Его алгебраическое дополнение A(i; j) будем обозначать через A ij. Применяя теорему Лапласа к i-й строке определителя, получаем Правило разложения определителя по строке Определитель равен сумме произведений элементов своей фиксированной строки на их алгебраические дополнения, т.е. имеет место равенство = a i1 A i1 + a i2 A i a in A in. Применяя это утверждение к выражению a k1 A i1 + a k2 A i a kn A in при k i, заключаем, что оно равно определителю 1, полученому из заменой i-й строки на k-ю. Согласно свойству 4 1 = 0. Следовательно, получаем Наблюдение При k i имеет место равенство a k1 A i1 + a k2 A i a kn A in = 0, которое формулируется так: сумма произведений элементов строки определителя на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки равна нулю.

23 Разложение определителя по столбцу Применяя теорему Лапласа к столбцу определителя порядка n, получаем утверждения, аналогичные утверждениям сл.22. Правило разложения определителя по столбцу Определитель равен сумме произведений элементов своего фиксированного столбца на их алгебраические дополнения, т.е. имеет место равенство = a 1j A 1j + a 2j A 2j a jn A jn. Наблюдение При k j имеет место равенство a 1k A 1j + a 2k A 2j a nk A nj = 0, которое формулируется так: сумма произведений элементов столбца определителя на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другого столбца равна нулю.

24 Определитель полураспавшейся матрицы Матрица A F n n называется ( полураспавшейся, ) если ее можно разбить X Y на блоки так, что A =, где X F m m, Y F m n m, U Z U F n m m, Z F n m n m и U = O или Y = 0. Если U = O и Y = 0, то матрица A называется распавшейся. Теорема ( X Y Если A = U Z ) полураспавшаяся матрица, то A = X Y. Предположим, что U = O и применим теорему Лапласа к строкам с m + 1-й по n-ю в A (единственный ненулевой минор в этих строках стоит в m + 1-м n-м столбцах, его алгебраическое дополнение совпадает с a a 1m a 1,m+1... a 1n дополнительным минором): a m1... a mm a m,m+1... a mn a m+1,m+1... a m+1,n = a n,m+1... a nn a a 1m a m1... a mm a m+1,m+1... a m+1,n a n,m+1... a nn.

25 Определитель произведения матриц Теорема Пусть A, B F n n. Тогда A B = A B. ( ) A O Доказательство. Рассмотрим блочную матрицу C = и E n B вычислим C двумя способами. По теореме сл.24 имеем C = A B. С другой стороны, умножая j-й столбец на b jm и последовательно прибавляя к (n + m)-му столбцу при всех j = 1,..., n для каждого m = 1,..., n, a a 1n получим C = a n1... a nn b b 1n = b n1... b nn a a 1n a 11b a 1nb n1... a 11b 1n a 1nb nn a n1... a nn a n1b a nnb n1... a n1b 1n a nnb nn Окончание доказательства см. на следующем слайде.

26 Окончание доказательства теоремы Таким образом, C = A A B E n O. Для вычисления последнего определителя применим теорему Лапласа к строкам с (n + 1)-й по 2n-ю: A A B E n O = En ( 1)n n n A B = ( 1) n ( 1) n n n A B = A B, так как показатель при 1 равен n+n n n = n+ n(3n+1) + n(n+1) = 2n+3n2 +n+n 2 +n = 2n 2 +2n Теорема доказана.

27 Как вычислять определители приведением к треугольному виду Утверждение сл.16 можно использовать для вычисления определителя произвольной матрицы. В теореме сл.30 т.1-5 было доказано, что произвольную квадратную матрицу A можно с помощью элементарных преобразований строк привести к верхнетреугольной матрице B. Свойства 2, 6, 7 и принцип равноправия строк и столбцов показывают, как связаны A и B. Вычислив B как определитель треугольной матрицы, можно найти и A.

28 Пример = = = ( 4) ( 63) = = = = = = =

29 Окончание примера На первом шаге мы, воспользовавшись свойством 6, прибавили ко второй строке первую, умноженную на 1, к третьей первую, умноженную на 2, а к четвертой первую, умноженную на 3. На втором шаге умножили третью и четвертую строки на 4 и 2 соответственно и воспользовались свойством 2. На третьем шаге мы, вновь воспользовавшись свойством 6, прибавили к третьей строке вторую, умноженную на 1, а к четвертой вторую, умноженную на 1. На четвертом шаге умножили третью и четвертую строки на 7 и 9 соответственно и воспользовались свойством 2. На пятом прибавили к четвертой строке третью, умноженную на 1, еще раз использовав свойство 6, а на шестом вычислили определитель треугольной матрицы.

30 Понижение порядка определителя Вычислить определитель Первую строку прибавим ко второй, умножим первую строку на 2 и прибавим к третьей, вычтем первую строку из четвертой. Полученный определитель разложим по третьему столбцу. В определителе третьего порядка умножим вторую строку на 2 и прибавим к первой; полученный определитель разложим по первой строке и придем к определителю второго порядка. Получаем = = = ( 3) ( 1) = 1 ( 1) 1+3 = ( 3) 3 = Реализованный в этом примере способ вычисления определителя называется понижением порядка определителя. =

31 Определитель порядка n Рассмотрим примеры вычисления определителей порядка n. 1. Для данных чисел a, b вычислить следующий определитель порядка n: a b b... b b a b... b b b a... b b b b... a Преобразуем его, прибавив к 1-й строке последовательно 2-ю, 3-ю и все остальные, затем вынося из первой строки общий множитель a + (n 1)b и прибавляя ко всем строкам, начиная со второй, первую строку, умноженную на b. Наконец, воспользуемся правилом вычисления определителя треугольной матрицы.

32 Окончание примера 1 a + (n 1) a + (n 1)b a + (n 1)b... a + (n 1)b b a b... b b b a... b b b b... a = (a + (n 1)b) b a b... b b b a... b b b b... a = = = (a + (n 1)b) a b a b a b = (a + (n 1))(a b) n 1.

33 Oпределитель Вандермонда 2. Пусть n натуральное число, a 1, a 2..., a n произвольные скаляры из поля F. Oпределителем Вандермонда называется следующий определитель порядка n: d = a 1 a 2 a 3... a n a1 2 a2 2 a an a n 1 1 a n 1 2 a n an n 1. (1) Докажем, что при любом n определитель Вандермонда равен произведению всевозможных разностей a i a j, где 1 j < i n. Воспользуемся индукцией по n.

34 Доказательство При n = 2 очевидно, что 1 1 a 1 a 2 = a2 a1. Пусть утверждение уже доказано для определителей Вандермонда порядка n 1. Преобразуем определитель (1) следующим образом: для каждого k = n, n 1,..., 2 из k-й его строки вычтем (k 1)-ю, умноженную на a 1. Тогда a 2 a 1 a 3 a 1... a n a 1 d = 0 a2 2 a 1a 2 a3 2 a 1a 3... an 2 a 1a n a n 1 2 a 1a n 2 2 a n 1 3 a 1a n an n 1 a 1an n 2 Разлагая полученный определитель по первому столбцу, мы получим определитель n 1-го порядка. Вынося из k-го столбца множитель a k a 1 при k = 2,..., n, приходим к равенству d = (a 2 a 1)(a 3 a 1) (a n a 1) a 2 a 3... a n a2 2 a an a n 2 2 a n an n 2. (2) Последний множитель является определителем Вандермонда порядка n 1. Применяя предположение индукции, из формулы (2) получаем требуемое.

35 Важное свойство определителя Вандермонда Из полученного результата следует Предложение Определитель Вандермонда порядка n, построенный на скалярах a 1, a 2,..., a n, равен нулю тогда и только тогда, когда a j = a k при некоторых 1 j < k n, и определитель Вандермонда порядка n, построенный на различных скалярах a 1, a 2,..., a n, всегда отличен от нуля.

36 Критерий обратимости матрицы Определение обратимой матрицы см. на сл.27 т.1-6. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. Следующая теорема дает критерий обратимости матрицы. Теорема Матрица является обратимой тогда и только тогда, когда она невырожденная. Доказательство. Пусть квадратная матрица A порядка n обратима. Тогда по определению существует матрица B такая, что AB = BA = E n. По теореме сл.25, учитывая, что E n = 1, имеем 1 = AB = A B, откуда непосредственно следует, что A 0, т.е. матрица A является невырожденной.

37 Окончание доказательства Обратно, предположим, что квадратная матрица A порядка n невырожденная. Рассмотрим матрицу, составленную следующим образом из алгебраических дополнений элементов определителя A : Ã = A 11 A 21 A n1 A 12 A 22 A n2 A 1n A 2n A nn. (3) Она называется присоединенной матрицей матрицы A. Положим B = 1 A Ã и покажем, что B является матрицей, обратной к A. В самом деле, используя утверждения сл.22, легко убедиться, что AÃ = A E n, откуда в силу свойства 4 умножения матриц (сл.15 т.1-6) вытекает AB = E n. Для проверки равенства BA = E n необходимо провести аналогичные рассуждения с использованием утверждений сл.23. Таким образом, теорема доказана.

38 Формула для обратной матрицы Из доказательства теоремы на сл.37 получается следующая формула для нахождения обратной матрицы: A 1 = 1 A Ã.

39 Обоснование первого способа нахождения обратной матрицы Следствие Пусть A квадратная матрица порядка n, а матрица B такова, что AB = E n. Тогда матрица A обратима, B = A 1 и BA = E n. Доказательство. Из равенства AB = E n, беря определители левой и правой части, получаем AB = E n, откуда в силу теоремы сл.25 следует A B = 1. Таким образом, A 0 и матрица A невырожденная. По теореме сл.36 она является обратимой. Поскольку обратная матрица A 1 является единственным решением матричного уравнения AX = E n, заключаем, что B = A 1. Равенство BA = E n теперь очевидно. Это утверждение показывает, что матричное уравнение AX = E n либо имеет единственное решение, совпадающее с A 1, либо не имеет решений. Таким образом, первый способ нахождения обратной матрицы полностью обоснован.

40 Определитель обратной матрицы Пусть A обратимая матрица. Из равенства AA 1 = E, вычисляя определители левой и правой части, выводим A A 1 = E. Таким образом, A A 1 = 1. Отсюда получаем формулу, связывающую определители обратимой матрицы A и ее обратной матрицы: A 1 = 1 A.

41 Второй способ нахождения обратной матрицы Формула сл.38 дает еще один способ нахождения обратной матрицы (первый способ см. на сл.31 т.1-6). Этот способ особенно удобен для матриц второго порядка, так как можно выписать следующую формулу для обратной матрицы: ( ) 1 ( a b 1 d b = c d ad bc c a ). (4)

42 Пример обращения матрицы вторым способом Для матриц порядка n указанный выше способ требует вычисления n 2 определителей порядка n 1, поэтому на практике для матриц порядка больше 3 он не применяется. Рассмотрим пример обращения матрицы порядка 3 этим способом. Вычислим матрицу, обратную к матрице A = Ее определитель равен 3, поэтому A 1 существует (и единственна). Составим матрицу Ã. Сначала запишем матрицу из алгебраических дополнений: Транспонируем эту матрицу: Ã =

43 Окончание примера Все элементы матрицы Ã разделим на A. Получим 5/3 1 4/3 A 1 = /3 1 2/3

44 Крамеровские системы линейных уравнений Система линейных уравнений называется крамеровской, если число уравнений в ней равно числу неизвестных. Рассмотрим крамеровскую систему линейных уравнений в общем виде: a 11x 1 + a 12x a 1nx n = b 1; a 21x 1 + a 22x a 2nx n = b 2; a n1x 1 + a n2x a nnx n = b n. (5)

45 Определители для крамеровской системы Введем следующие определители для этой системы: a 11 a 12 a 1n = a 21 a 22 a 2n, a n1 a n2 a nn b 1 a 12 a 1n a 11 a 12 b 1 1 = b 2 a 22 a 2n,..., n = a 21 a 22 b 2. b n a n2 a nn a n1 a n2 b n Здесь называется главным определителем крамеровской системы (1), а определитель i получается из заменой i-го столбца столбцом свободных членов уравнений и называется определителем при неизвестном x i (i = 1, 2,..., n).

46 Правило Крамера Следующее утверждение называется теоремой (или правилом) Крамера. Теорема Если главный определитель крамеровской системы линейных уравнений отличен от нуля, то она является определенной и ее единственное решение есть ( 1,..., n ). Доказательство. Запишем крамеровскую систему в матричном виде: Ax = b. (6) Пусть 0. Так как = A, в силу критерия обратимости (сл.36) матрица A обратима. Матричное уравнение (6) имеет единственное решение x = A 1 b. Применяя для обратной матрицы формулу сл.39, имеем x = A 1 Ãb. Расписывая это матричное равенство, получаем систему равенств x 1 = b1a11 + b2a bnan1, A b1a12 + b2a bnan2 x 2 =, A x n = b1a1n + b2a2n bnann. A

47 Окончание доказательства В знаменателях правых частей полученных равенств стоит определитель, а в числителях определители 1, 2,..., n, разложенные соответственно по первому, второму и так далее, n-му столбцу. Этим требуемое доказано.

48 Решение системы с двумя неизвестными Рассмотрим пример применения теоремы Крамера. Требуется решить систему линейных уравнений { 7x 6y = 4; 9x 8y = 7. Вычислим главный определитель: = = = 2. По теореме Крамера система имеет единственное решение. Вычислим определители при неизвестных: 1 = = = 74, 2 = = = 85. Получаем ответ: x = 1 = 37, y = 2 = Теорему Крамера наиболее удобно использовать для решения крамеровских систем линейных уравнений с двумя неизвестными.

49 Решение системы с тремя неизвестными Рассмотрим пример применения теоремы Крамера для решения крамеровской системы с тремя неизвестными. Решим систему 2x 4y + 9z = 28; 7x + 3y 6z = 1; 7x + 9y 9z = 5. Вычислим главный определитель: = = = 348. По теореме Крамера система имеет единственное решение. Вычислим определители при неизвестных: = = = 696, = = = 1044,

50 Окончание решения примера 3 = = = Находим решение системы: x = 1 = 2, y = 2 = 3, z = 3 = 4.

51 Вычисление определителей с помощью рекуррентных соотношений Вычислить определитель порядка n. α + β α β α + β α β α + β α + β α β α + β Обозначим указанный в условии определитель через n и разложим его β α α + β α... 0 по 1-й строке: n = (α + β) n 1 α 0 β α + β β α + β Второй определитель разложим по 1-му столбцу: β α α + β α β α + β... 0 = β n 2. Таким образом, получаем β α + β рекуррентное соотношение n = (α + β) n 1 αβ n 2.

52 Вычисление определителей с помощью рекуррентных соотношений (1) Решим это соотношение (см. сл.18 т.2-6). Составляем характеристическое уравнение (подставляем в соотношение x n вместо n), получаем x n = (α + β)x n 1 αβx n 2. Затем сокращаем на x n 2, переносим все слагаемые в левую часть: x 2 (α + β)x + αβ = 0. Это квадратное уравнение имеет корни x 1 = α и x 2 = β. Рассмотрим два возможных случая. 1. α β. В этом случае ищем n в виде C 1α n + C 2β n, где C 1, C 2 постоянные, не зависящие от n. Непосредственно вычисляем 1 = α + β и 2 = α + β α β α + β = (α + β)2 αβ = α 2 + αβ + β 2. Записываем { C1α + C 2β = α + β, систему линейных уравнений: C 1α 2 + C 2β 2 = α 2 + αβ + β 2 Решая эту. систему по правилу Крамера, получаем C 1 = α, β α C2 = β. Таким β α образом, n = α β α αn + β β α βn = βn+1 α n+1. β α

53 Вычисление определителей с помощью рекуррентных соотношений (2) 2. α = β. В этом случае ищем n в виде α n (C 1 + nc 2), где C 1, C 2 постоянные, не зависящие от n. Непосредственно вычисляем 1 = 2α и 2 = 2α α α 2α = 3α2. Записываем систему линейных уравнений: { α(c1 + C 2) = 2α, α 2 (C 1 + 2C 2) = 3α 2 Если α = 0, то. n = 0. Пусть α 0. Тогда C 1 + C 2 = 2, C 1 + 2C 2 = 3, откуда C 1 = C 2 = 1. Таким образом, n = (n + 1)α n.

54 Вычисление определителей с помощью теоремы Лапласа Вычислить определитель Применяем теорему Лапласа (сл.21) к 2-му и 4-му столбцам данного определителя. Если минор 2-го порядка, стоящий в этих столбцах, содержит 2-ю, 4-ю или 5-ю строки, то он равен 0. Поэтому отличен от нуля лишь минор, содержащий 1-ю и 3-ю строки. Имеем = ( 1) = 2 3 = 6.


Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Алгебра и теория чисел

Алгебра и теория чисел Московский международный институт эконометрики информатики финансов и права Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел Москва УДК ББК А Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел // Московский

Подробнее

УДК [ ](075.8) P 175 P175

УДК [ ](075.8) P 175 P175 БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Г П РАЗМЫСЛОВИЧ ГЕОМЕТРИЯ И АЛГЕБРА В пяти частях Часть 1 МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En 4 Обратная матрица Понятие обратной матрицы Существование и единственность обратной матрицы Присоединенная матрица Определение 4 Пусть А квадратная матрица порядка п Матрица B называется правой обратной

Подробнее

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Линейная алгебра Матрицы и определители Обратная матрица Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ 1 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Пусть нам дана еще одна линейная система того же размера a 11x 1 + a 12x 2 + + a 1nx n = b 1, a 21x 1

Подробнее

Семинар 7. Линейная алгебра

Семинар 7. Линейная алгебра 1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

Подробнее

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. В.Л. Клюшин. Учебное пособие

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. В.Л. Клюшин. Учебное пособие РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ В.Л. Клюшин Высшая МАтемаТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Учебное пособие Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

Тема 2-7: Линейные отображения

Тема 2-7: Линейные отображения Тема 2-7: Линейные отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

Тема 2-18: Нормальные операторы

Тема 2-18: Нормальные операторы Тема 2-18: Нормальные операторы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

Тема 1-8: Комплексные числа

Тема 1-8: Комплексные числа Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

Тема 1-4: Алгебраические операции

Тема 1-4: Алгебраические операции Тема 1-4: Алгебраические операции А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

Математика (БкПл-100, БкК-100)

Математика (БкПл-100, БкК-100) Математика (БкПл-100, БкК-100) М.П. Харламов 2009/2010 учебный год, 2-й семестр Лекция 7. Определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера 1 Тема 1: Определители 1.1. Понятие определителя Определитель

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К БИОЛОГИИ Ю. Н. СУДАРЕВ, Т. В. ПЕРШИКОВА, Т. В. РАДОСЛАВОВА ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Допущено Научно-методическим советом

Подробнее

Ф. Г. Кораблёв, В. В. Кораблёва. Дискретная математика: комбинаторика

Ф. Г. Кораблёв, В. В. Кораблёва. Дискретная математика: комбинаторика Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» Ф.

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ План лекции Лекция Системы линейных уравнений Матричная запись Основная и расширенная матрицы системы; 2 Совместные и не совместные системы 2 Однородные системы

Подробнее

Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Тема 2-17: Сопряженное отображение

Тема 2-17: Сопряженное отображение Тема 2-17: Сопряженное отображение А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМ ГУБКИНА ИН Мельникова, ТС Соболева, НО Фастовец МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct ББК я К Печатается

Подробнее

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ КИ Лившиц ЛЮ Сухотина ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Учебно-методическое пособие Томск Издательский Дом Томского государственного университета 6 УДК 7 ББК Л Рецензенты: д-р физ-мат наук профессор

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n.

... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n. 5. КРАМЕРОВСКИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В этом параграфе будем рассматривать системы линейных уравнений, у которых количество неизвестных равно числу уравнений. В самом общем виде эта система может

Подробнее

О формулах суммирования и интерполяции

О формулах суммирования и интерполяции О формулах суммирования и интерполяции А В Устинов УДК 51117 1 Введение Известно, что числа Бернулли B n и полиномы Бернулли B n x) возникают в самых разных вопросах теории чисел и приближенного анализа

Подробнее

Тема 2-15: Ортогональность

Тема 2-15: Ортогональность Тема 2-15: Ортогональность А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Допущены к проведению занятий в - учгоду Заведующий кафедрой профессор АП Господариков

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua mtemorgu Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ОВБугрим ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия I семестр: 3 часа лекций, 2 часа практических занятий, 18 недель 3-4 лекции лектор Агапова Елена Григорьевна кандидат физико-математических наук, доцент кафедры

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Л. Л. Березкина, А. А. Егоров, М. А. Глецевич, Т. А. Чехменок. Матрицы и определители

Л. Л. Березкина, А. А. Егоров, М. А. Глецевич, Т. А. Чехменок. Матрицы и определители Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет Физический факультет Кафедра высшей математики и математической физики Л Л Березкина, А А Егоров, М А Глецевич, Т А

Подробнее

1. При каких значениях ранг матрицы. Решение:

1. При каких значениях ранг матрицы. Решение: . При каких значениях ранг матрицы равен двум? Решение: Ранг матрицы равен порядку базисного минора. Поскольку требуется, чтобы ранг матрицы был равен двум, то базисным должен быть какой-либо минор второго

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЧЕЛЯБИНСКИЙ

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЧЕЛЯБИНСКИЙ МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Линейная алгебра 1 Системы линейных уравнений

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Обратная матрица Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп. e-mail:

Подробнее

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методические

Подробнее

Тема 1. Действительные числа и действия над ними

Тема 1. Действительные числа и действия над ними Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78 Часть I Конечные поля или поля Галуа. II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 2 / 78 Поля вычетов по модулю

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

Тема 1.4. Решение систем двух (трех) линейных уравнений формулы Крамера

Тема 1.4. Решение систем двух (трех) линейных уравнений формулы Крамера Тема 1.4. Решение систем двух (трех) линейных уравнений формулы Крамера Габриель Крамер (1704 1752) швейцарский математик. Данный метод применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных

Подробнее

Линейная алгебра 12(6) 18(9)

Линейная алгебра 12(6) 18(9) Линейная алгебра Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики Томского политехнического университета. E-mail: vachurikov@list.ru. 1 Линейная

Подробнее

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Бийский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Алтайский государственный

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Методическое пособие по выполнению контрольной работы 1 для заочного и дистанционного обучения студентов экономических специальностей

МАТЕМАТИКА. Методическое пособие по выполнению контрольной работы 1 для заочного и дистанционного обучения студентов экономических специальностей Федеральное агентство по образованию Вологодский государственный технический университет Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Методическое пособие по выполнению контрольной работы для заочного и дистанционного

Подробнее

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n:

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: Билет 1 Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: расположенных в m строках и n столбцах. Матрица называется квадратной, если m=n (n - порядок

Подробнее

Алгебра, первый курс, четвертый модуль 15

Алгебра, первый курс, четвертый модуль 15 14 Е. Ю. Смирнов 3. Третья лекция, 16апреля 2014 г. 3.1. Аннулятор модуля. Циклические модули. Определение 3.1. Модуль, порождённый одним элементом, называется циклическим. Пример 3.2. Всякий циклический

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Тема: Линейные операторы

Тема: Линейные операторы Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Линейные операторы Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1. Определение линейного оператора Пусть L и V линейные пространства над F (где F

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). II

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78 Часть I Конечные поля (поля Галуа). II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 2 / 78 Поля вычетов по модулю простого

Подробнее

1. Число сочетаний и бином Ньютона

1. Число сочетаний и бином Ньютона ВШЭ, 20-2, «Дискретная математика» Отделение лингвистики филологического факультета, 20-2 уч. год. Дискретная математика Комбинаторика-2. Бином Ньютона (4 октября 20) Ю. Г. Кудряшов, И. В. Щуров, И. А.

Подробнее

Блочные матрицы и их использование для решения систем линейных алгебраических уравнений

Блочные матрицы и их использование для решения систем линейных алгебраических уравнений Блочные матрицы и их использование для решения систем линейных алгебраических уравнений. Определение блочных матриц Для решения систем линейных алгебраических уравнений синтезированного алгоритма МНК-уравнивания

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К ХИМИИ А. А. МИХАЛЕВ, И. Х. САБИТОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Допущено Учебно-методическим объединением по классическому университетскому

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

1 Элеметарная теория погрешностей. 2

1 Элеметарная теория погрешностей. 2 Содержание Элеметарная теория погрешностей. Решение СЛАУ. 4. Нормы в конечномерных пространствах... 4. Обусловленность СЛАУ............ 5.3 Итерационные методы решения линейных систем......................

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

V i : вычитание из i-й строки удвоенной последней; U i : ещё одно прибавление i-й строки к последней. Теперь ясно, что A = T 1 = T 1

V i : вычитание из i-й строки удвоенной последней; U i : ещё одно прибавление i-й строки к последней. Теперь ясно, что A = T 1 = T 1 Решения задач шестой студенческой олимпиады по алгебре Задача 1 Докажите, что если все элементы действительной квадратной матрицы порядка больше двух отличны от нуля, то их можно умножить на положительные

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ В ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ В ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Сказочник: Миша Вельтищев Физическое отделение ЛЭШ, 1 цикл, 2007 г Введение Далее мы будем пользоваться некоторыми стандартными обозначениями R множество вещественных (действительных

Подробнее

Алгебраические многочлены.

Алгебраические многочлены. Алгебраические многочлены. 1 Алгебраические многочлены степени n над полем K Определение 1.1 Многочленом степени n, n N {0}, от переменной z над числовым полем K называется выражение вида: fz = a n z n

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

+ z n 1. Получено рекуррентное соотношение: Применяя это соотношение, найдем

+ z n 1. Получено рекуррентное соотношение: Применяя это соотношение, найдем Региональная олимпиада по математике для студентов технических специальностей вузов Декабрь 205 г., СибГАУ Задания для второго и старших курсов с решениями. Пусть E единичная матрица порядка n, а I квадратная

Подробнее

ВНЕШНИЕ ФОРМЫ. О. В. Якунина. Учебное пособие

ВНЕШНИЕ ФОРМЫ. О. В. Якунина. Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О. В. Якунина ВНЕШНИЕ

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Подробнее

И. А. Никифорова Н. П. Шерстянкина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Курс лекций

И. А. Никифорова Н. П. Шерстянкина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Курс лекций И А Никифорова Н П Шерстянкина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Курс лекций Министерство образования и науки Российской Федерации Байкальский государственный университет экономики и права И А Никифорова Н П Шерстянкина

Подробнее

Р. М. Рудман ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ

Р. М. Рудман ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ Р М Рудман ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ Самара 009 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра

Подробнее

1 Это трудная задача, она требует использования аксиомы выбора и знакомства с понятием базиса трансцендентности. 2 А это простая задача.

1 Это трудная задача, она требует использования аксиомы выбора и знакомства с понятием базиса трансцендентности. 2 А это простая задача. Решения задач пятой олимпиады Задача 010 1 Централизатор подстановки это множество подстановок которые с ней коммутируют. Какое наименьшее число элементов может быть в централизаторе подстановки из группы

Подробнее