Тема 1-7: Определители

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Тема 1-7: Определители"

Транскрипт

1 Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

2 Перестановки и подстановки Пусть K ассоциативное коммутативное кольцо с единицей (в частности, поле). Для определения понятия определителя матрицы A K n n нам потребуются перестановки и подстановки на множестве {1, 2,..., n}. Определения Перестановкой множества {1, 2,..., n} называется любой кортеж (i 1, i 2,..., i n), где {i 1, i 2,..., i n} = {1, 2,..., n}. Множество всех перестановок множества {1, 2,..., n} обозначим через S n. Подстановкой на множестве {1, 2,..., n} называется любая биекция этого множества на себя. Определение перестановки согласуется с определением, данным на сл.8 т.1-2. Любой подстановке ( ϕ на множестве ) {1, 2,..., n} можно сопоставить n единственную матрицу, где ϕ(m) = i i 1 i 2... i m, n m = 1, 2,..., n, т.е. (i 1, i 2,..., i n) некоторая перестановка на множестве {1, 2,..., n}. Мы получаем биекцию между множеством S n и множеством всех подстановок на множестве {1, 2,..., n}. Очевидно, ( что при) любой перестановке столбцов в матрице n подстановки ϕ получается матрица, определяющая i 1 i 2... i n указанным выше образом ту же самую подстановку ϕ.

3 Транспозиции в перестановках Определение Говорят, что перестановка (j 1, j 2,..., j n) получается из перестановки (i 1, i 2,..., i n) транспозицией символов i p и i q, если j m = i m при m {p, q} и j p = i q, j q = i p. Транспозиция называется смежной, если q = p + 1. Теорема Все n! элементов множества перестановок S n можно расположить в виде последовательности так, что каждая последующая перестановка получается из предыдущей с помощью одной транспозиции. При этом начать можно с любой перестановки. Доказательство. Используем индукцию по n. При n = 2 утверждение очевидно. Предположим, что для всех 1 m < n требуемое доказано. Запишем любую перестановку (i 1, i 2,..., i n). Применяя предположение индукции к перестановке (i 2,..., i n), получим расположение (n 1)! перестановок на множестве {1, 2,..., n} с первым элементом i 1. В последней перестановке (i 1, j 2,..., j n) сделаем транспозицию символов i 1 и j 2 и снова применим предположение индукции. В последней перестановке этого расположения сделаем транспозицию первого элемента c элементом, отличным от i 1. Продолжая этот процесс, за n шагов получим требуемое.

4 Инверсии в перестановках Определение Говорят, что элементы i p, i q образуют инверсию в перестановке (i 1, i 2,..., i n), если p < q и i p > i q. Количество инверсий в перестановке (i 1, i 2,..., i n) обозначим через I (i 1, i 2,..., i n). Например, I (3, 5, 6, 1, 2, 4) = = 8. Определение Перестановка (i 1, i 2,..., i n) называется четной [нечетной], если I (i 1, i 2,..., i n) четное [нечетное] число. Теорема Одна транспозиция меняет четность перестановки. Доказательство. Утверждение теоремы очевидно для смежной транспозиции. Предположим, что в транспозиции переставляются элементы i p и i q, где p < q. Тогда эту транспозицию можно осуществить с помощью q p смежных транспозиций, переставив i p на место q-го элемента и затем с помощью q p 1 смежных транспозиций переставить i q на место p-го элемента. Таким образом, четность перестановки изменяется нечетное число раз.

5 Четность подстановки Из теорем сл.3 и 4 получается такое Следствие Количество четных перестановок в множестве S n равно количеству нечетных перестановок и равно n! 2. Рассмотрим подстановку ( ϕ на множестве ) {1, 2,..., n}, которой n соответствует матрица. Переставляя столбцы этой i 1 i 2... i ( n ) s1 s 2... s n матрицы, получаем матрицу. В силу теорем сл.3 и 4 t 1 t 2... t n сумма I (s 1, s 2,..., s n) + I (t 1, t 2,..., t n) сохраняет четность при любой перестановке столбцов матрицы. Определение Подстановка ( ϕ на множестве ) {1, 2,..., n}, которой соответствует матрица n, называется четной [нечетной], если I (i i 1 i 2... i 1, i 2,..., i n) n четное [нечетное] число.

6 Определение определителя порядка n Пусть K ассоциативное коммутативное кольцо с единицей (в частности, поле), A K n n. Перестановку (σ 1, σ 2,..., σ n) на множестве {1, 2,..., n} обозначим через σ. Определение Определителем матрицы A = (a ij ) n n называется элемент кольца K, равный σ S n ( 1) I (σ) a 1σ1 a 2σ2... a nσn. a 11 a a 1n Развернутое обозначение определителя: a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn Обозначение определителя как функции от матрицы: A. Таким образом, Определитель матрицы порядка n представляет собой сумму n! слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение a 1σ1 a 2σ2... a nσn элементов матрицы, взятых по одному из каждой ее строки и каждого столбца, если перестановка σ четная, и a 1σ1 a 2σ2... a nσn, если перестановка σ нечетная. ( ) i1 i 2... i n Отметим, что знак при a i1 j 1 a i2 j 2... a injn, где подстановка, определяется четностью этой подстановки (минус если j 1 j 2... j n нечетная).

7 Формулы для определителей малых порядков Развернутая запись определителя похожа на запись матрицы, но разница между ними существенная. Элементы матрицы определителя называются его элементами. Аналогично можно говорить о строках или столбцах определителя. Порядок матрицы определителя называют порядком определителя. Определитель первого порядка равен своему единственному элементу. Из определения, поскольку I (1, 2) = 0, I (2, 1) = 1, получаем важную формулу для вычисления определителя второго порядка: a11 a12 a 21 a 22 = a11a22 a12a21. Аналогично, так как I (1, 2, 3) = 0, I (2, 3, 1) = 2, I (3, 1, 2) = 2, I (2, 1, 3) = 1, I (3, 2, 1) = 3, I (1, 3, 2) = 1, получаем формулу для определителя третьего порядка: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = = a 11a 22a 33 + a 12a 23a 31 + a 13a 21a 32 a 13a 22a 31 a 12a 21a 33 a 11a 23a 32.

8 Правило треугольников Формула для вычисления определителя третьего порядка выглядит весьма громоздко. Существует несколько приемов для того, чтобы запомнить эту формулу. Опишем один из них, называемый правилом треугольников. Со знаком плюс берется произведение элементов, образующих главную диагональ, а также элементов, образующих равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали; со знаком минус произведение элементов, образующих побочную диагональ, а также элементов, образующих равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными побочной диагонали. На рис. 1 приведена графическая иллюстрация правила треугольников. Со знаком плюс Рис. 1 Со знаком минус

9 Свойство аддитивности определителя относительно строки Свойство 1 Имеет место равенство a 11 a a 1n a 21 a a 2n a i1 + b i1 a i2 + b i2... a in + b in = a n1 a n2... a nn a 11 a a 1n a 11 a a 1n a 21 a a 2n a 21 a a 2n = a i1 a i2... a in b i1 b i2... b in a n1 a n2... a nn a n1 a n2... a nn Для доказательства запишем правую часть по определению: σ S n ( 1) I (σ) a 1σ1 a 2σ2... (a iσi + b iσi )... a nσn. Раскрывая скобки и переставляя слагаемые, получаем σ S n ( 1) I (σ) a 1σ1 a 2σ2... a iσi... a nσn + + σ S n ( 1) I (σ) a 1σ1 a 2σ2... b iσi... a nσn, последнее выражение совпадает с правой частью требуемого равенства.

10 Свойство однородности определителя относительно строки Свойство 2 Общий множитель всех элементов одной строки определителя можно вынести за знак определителя, т.е. имеет место равенство a 11 a a 1n a 11 a a 1n a 21 a a 2n a 21 a a 2n λa i1 λa i2... λa in = λ a i1 a i2... a in a n1 a n2... a nn a n1 a n2... a nn Доказательство получается с помощью равенства σ S n ( 1) I (σ) a 1σ1 a 2σ2... (λa iσi )... a nσn = λ( σ S n ( 1) I (σ) a 1σ1 a 2σ2... a iσi... a nσn ). Из свойства 2 непосредственно вытекает Свойство 3 Определитель матрицы, содержащей нулевую строку, равен нулю.

11 Определитель с двумя одинаковыми строками Свойство 4 Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки, равен нулю. Доказательство. Пусть матрица A = (a ij ) n n имеет совпадающие строки: a ij = a mj для j = 1, 2,..., n, 1 i < m n. Рассмотрим произвольное слагаемое определителя A u σ = ( 1) I (σ) a 1σ1 a 2σ2... a iσi... a mσm... a nσn. Обозначим через τ перестановку, полученную из σ транспозицией элементов σ i и σ m. Тогда в силу теоремы сл.4 имеем ( 1) I (σ) = ( 1) I (τ). Кроме того, по предположению получаем a 1σ1 a 2σ2... a iσi... a mσm... a nσn = a 1σ1 a 2σ2... a iσm... a mσi... a nσn = a 1τ1 a 2τ2... a iτi... a mτm... a nτn. Таким образом, слагаемое u σ взаимно уничтожается в сумме, выражающей определитель A. Так как взято произвольное слагаемое определителя, теорема доказана.

12 Дальнейшие свойства определителей Из свойств 2 и 4 вытекает Свойство 5 Определитель, имеющий две пропорциональные строки, равен нулю. Из свойств 1 и 5 получается Свойство 6 Если к элементам одной строки определителя прибавить элементы некоторой другой строки, умноженные на один и тот же элемент поля, то полученный определитель будет равен исходному.

13 Перестановка строк в определителе Свойство 7 Если в определителе поменять местами две строки, сохранив расположение остальных строк, то полученный определитель будет равен. Для доказательства заметим, что на основании свойств 3, 1 и 4 a 11 a a 1n a i1 + a j1 a i2 + a j2... a in + a jn 0 = = a i1 + a j1 a i2 + a j2... a in + a jn a n1 a n2... a nn a 11 a a 1n a 11 a a 1n a i1 a i2... a in a j1 a j2... a jn a j1 a j2... a jn a i1 a i2... a in a n1 a n2... a nn a n1 a n2... a nn (мы не выписываем после второго знака равенства определители с совпадающими строками), откуда следует требуемое.

14 Определитель транспонированной матрицы Свойство 8 Пусть A F n n. Тогда A = A. Доказательство. Пусть A = (a ij ). Тогда произведение элементов a i1 j 1 a i2 j 2... a injn матрицы A входит в качестве слагаемого в определители A ( и A с одинаковым ) знаком, определяемым четностью подстановки i1 i 2... i n, откуда следует требуемое. j 1 j 2... j n Из доказанного утверждения вытекает принцип "равноправия строк и столбцов" в определителе: для каждого свойства определителей, формулируемого в терминах строк, справедливо аналогичное свойство для столбцов. Таким образом, для столбцов определителя справедливы аналоги свойств 1-7.

15 Элементарные преобразования строк или столбцов матрицы в определителе Из свойств 2, 6, 7 получаем следующее утверждение. Предложение 1 Пусть A, B F n n и матрица A получается из матрицы B с помощью конечного числа элементарных преобразований строк, то A = 0 тогда и только тогда, когда B = 0. По аналогии с элементарными преобразованиями строк матрицы (см. сл.26 т.1-5) определяются элементарные преобразования столбцов. Применяя принцип "равноправия строк и столбцов", получаем Предложение 2 Пусть A, B F n n и матрица A получается из матрицы B с помощью конечного числа элементарных преобразований строк или столбцов (в любой последовательности), то A = 0 тогда и только тогда, когда B = 0.

16 Примеры вычисления определителя по определению Определитель треугольной матрицы Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на ее главной диагонали. В таком определителе единственное ненулевое слагаемое - это a 11a a nn (со знаком плюс). Определитель единичной матрицы Определитель единичной матрицы любого порядка равен единице. Определитель матрицы, у которой выше или ниже побочной диагонали нули. a 11 a a 1n a 21 a = ( 1) n(n 1) 2 a 1na 2,n 1... a n1. a n В таком определителе единственное ненулевое слагаемое - это a 1na 2,n 1... a n1 со знаком ( 1) I (n,n 1,...,1). Так как I (n, n 1,..., 1) = = (n 1) + (n 2) = n(n 1) 2, получаем требуемое равенство.

17 Миноры и алгебраические дополнения Пусть A F n n. Определение Минором порядка 1 m n в определителе A называется определитель квадратной подматрицы порядка m матрицы A. Обозначение: M(i 1,..., i m; j 1,..., j m) (i 1 < < i m и j 1 < < j m - номера строк и столбцов матрицы A, на пересечении которых стоит подматрица). Определение Дополнительным минором минора M(i 1,..., i m; j 1,..., j m) называется минор квадратной подматрицы порядка n m, полученной из матрицы A вычеркиванием строк с номерами i 1,..., i m и столбцов с номерами j 1,..., j m. Обозначение: M (i 1,..., i m; j 1,..., j m). Определение Алгебраическим дополнением минора M(i 1,..., i m; j 1,..., j m) называется ( 1) i 1+ +i m+j 1 + +j m M (i 1,..., i m; j 1,..., j m). Обозначение: A(i 1,..., i m; j 1,..., j m).

18 Пример Пусть = Тогда M(1, 3, 5; 2, 4, 5) = = 5, M (1, 3, 5; 2, 4, 5) = и A(1, 3, 5; 2, 4, 5) = ( 1) M (1, 3, 5; 2, 4, 5) = 14. = 14

19 Лемма о произведении минора и его алгебраического дополнения Лемма Произведение минора M(i 1,..., i m; j 1,..., j m) и его алгебраического дополнения A(i 1,..., i m; j 1,..., j m) в определителе порядка n является суммой m!(n m)! различных слагаемых этого определителя с нужными знаками. Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда i l = j l = l при l = 1,..., m. Очевидно, что в этом случае A(i 1,..., i m; j 1,..., j m) = = M (i 1,..., i m; j 1,..., j m). Запишем a a 1m a 1,m+1... a 1n = a m1... a mm a m,m+1... a mn a m+1,1... a m+1,m a m+1,m+1... a m+1,n. Тогда любое a n1... a nm a n,m+1... a nn слагаемое минора имеет вид ( 1) I (σ) a 1σ1... a mσm, где σ некоторая перестановка чисел 1,..., m а любое слагаемое дополнительного минора имеет вид ( 1) I (τ) a m+1,τ1 +m... a n,τn m +m. где τ перестановка чисел 1,..., n m. Количество слагаемых в миноре равно m!, в дополнительном миноре (n m)!, поэтому в произведении при раскрытии скобок будет m!(n m)! различных слагаемых. Продолжение см. на след. слайде.

20 Окончание доказательства леммы Любое произведение слагаемых минора и дополнительного минора равно ( 1) I (σ)+i (τ) a 1σ1... a mσm a m+1,τ1 +m... a n,τn m +m. Произведение элементов определителя входит в со знаком ( 1) I (ρ), где ρ = (σ 1,..., σ m, τ 1 + m,..., τ n m + m). Очевидно, что ни один элемент σ j не образует инверсию ни с одним элементом τ k + m, поэтому I (ρ) = I (σ) + I (τ), и в рассматриваемом случае утверждение доказано. Теперь рассмотрим общий случай. Переставим в определителе строки так, чтобы строка i 1 стала первой по порядку (требуется i 1 1 перестановка строк), строка i 2 второй (требуется i 2 2 перестановок строк) и так далее, i m стала m-й (требуется i m m перестановок строк). Всего потребуется i i m ( m) перестановок строк. Затем аналогично переставим столбцы так, чтобы j 1,..., j m стали на место 1,..., m. Всего потребуется j j m ( m) перестановок столбцов. Получили определитель 1 = ( 1) s, где s = i i m + j j m 2( m). Таким образом, слагаемые определителей 1 и отличаются множителем ( 1) i i m+j j m. Применяя к 1 доказанное в начале утверждение, получаем требуемое.

21 Теорема Лапласа Теорема Определитель порядка n равен сумме произведений всевозможных миноров, выбранных в зафиксированных m (1 m < n) строках (соответственно столбцах), на их алгебраические дополнения. Доказательство. Рассмотрим случай строк, для столбцов доказательство проводится аналогично. По лемме сл.19 произведение минора, взятого в выбранных строках, на его алгебраическое дополнение, равно сумме m!(n m)! различных слагаемых определителя с нужными знаками. Еслм взять различные миноры, то их произведения на алгебраические дополнения не имеют общих слагаемых. Количество миноров порядка m, которые можно выбрать в фиксированных m строках определителя порядка n, равно числу способов выбрать m столбцов из n имеющихся n! m!(n m)! столбцов, т.е. равно Cn m =. Следовательно, указанная в формулировке сумма произведений всевозможных миноров, выбранных в зафиксированных m строках, на их алгебраические дополнения, содержит Cn m m!(n m)! = n! слагаемых определителя с нужными знаками, т.е. все слагаемые определителя. Теорема доказана.

22 Разложение определителя по строке Рассмотрим определитель порядка n. Элемент a ij этого определителя является минором 1-го порядка M(i; j). Его алгебраическое дополнение A(i; j) будем обозначать через A ij. Применяя теорему Лапласа к i-й строке определителя, получаем Правило разложения определителя по строке Определитель равен сумме произведений элементов своей фиксированной строки на их алгебраические дополнения, т.е. имеет место равенство = a i1 A i1 + a i2 A i a in A in. Применяя это утверждение к выражению a k1 A i1 + a k2 A i a kn A in при k i, заключаем, что оно равно определителю 1, полученому из заменой i-й строки на k-ю. Согласно свойству 4 1 = 0. Следовательно, получаем Наблюдение При k i имеет место равенство a k1 A i1 + a k2 A i a kn A in = 0, которое формулируется так: сумма произведений элементов строки определителя на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки равна нулю.

23 Разложение определителя по столбцу Применяя теорему Лапласа к столбцу определителя порядка n, получаем утверждения, аналогичные утверждениям сл.22. Правило разложения определителя по столбцу Определитель равен сумме произведений элементов своего фиксированного столбца на их алгебраические дополнения, т.е. имеет место равенство = a 1j A 1j + a 2j A 2j a jn A jn. Наблюдение При k j имеет место равенство a 1k A 1j + a 2k A 2j a nk A nj = 0, которое формулируется так: сумма произведений элементов столбца определителя на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другого столбца равна нулю.

24 Определитель полураспавшейся матрицы Матрица A F n n называется ( полураспавшейся, ) если ее можно разбить X Y на блоки так, что A =, где X F m m, Y F m n m, U Z U F n m m, Z F n m n m и U = O или Y = 0. Если U = O и Y = 0, то матрица A называется распавшейся. Теорема ( X Y Если A = U Z ) полураспавшаяся матрица, то A = X Y. Предположим, что U = O и применим теорему Лапласа к строкам с m + 1-й по n-ю в A (единственный ненулевой минор в этих строках стоит в m + 1-м n-м столбцах, его алгебраическое дополнение совпадает с a a 1m a 1,m+1... a 1n дополнительным минором): a m1... a mm a m,m+1... a mn a m+1,m+1... a m+1,n = a n,m+1... a nn a a 1m a m1... a mm a m+1,m+1... a m+1,n a n,m+1... a nn.

25 Определитель произведения матриц Теорема Пусть A, B F n n. Тогда A B = A B. ( ) A O Доказательство. Рассмотрим блочную матрицу C = и E n B вычислим C двумя способами. По теореме сл.24 имеем C = A B. С другой стороны, умножая j-й столбец на b jm и последовательно прибавляя к (n + m)-му столбцу при всех j = 1,..., n для каждого m = 1,..., n, a a 1n получим C = a n1... a nn b b 1n = b n1... b nn a a 1n a 11b a 1nb n1... a 11b 1n a 1nb nn a n1... a nn a n1b a nnb n1... a n1b 1n a nnb nn Окончание доказательства см. на следующем слайде.

26 Окончание доказательства теоремы Таким образом, C = A A B E n O. Для вычисления последнего определителя применим теорему Лапласа к строкам с (n + 1)-й по 2n-ю: A A B E n O = En ( 1)n n n A B = ( 1) n ( 1) n n n A B = A B, так как показатель при 1 равен n+n n n = n+ n(3n+1) + n(n+1) = 2n+3n2 +n+n 2 +n = 2n 2 +2n Теорема доказана.

27 Как вычислять определители приведением к треугольному виду Утверждение сл.16 можно использовать для вычисления определителя произвольной матрицы. В теореме сл.30 т.1-5 было доказано, что произвольную квадратную матрицу A можно с помощью элементарных преобразований строк привести к верхнетреугольной матрице B. Свойства 2, 6, 7 и принцип равноправия строк и столбцов показывают, как связаны A и B. Вычислив B как определитель треугольной матрицы, можно найти и A.

28 Пример = = = ( 4) ( 63) = = = = = = =

29 Окончание примера На первом шаге мы, воспользовавшись свойством 6, прибавили ко второй строке первую, умноженную на 1, к третьей первую, умноженную на 2, а к четвертой первую, умноженную на 3. На втором шаге умножили третью и четвертую строки на 4 и 2 соответственно и воспользовались свойством 2. На третьем шаге мы, вновь воспользовавшись свойством 6, прибавили к третьей строке вторую, умноженную на 1, а к четвертой вторую, умноженную на 1. На четвертом шаге умножили третью и четвертую строки на 7 и 9 соответственно и воспользовались свойством 2. На пятом прибавили к четвертой строке третью, умноженную на 1, еще раз использовав свойство 6, а на шестом вычислили определитель треугольной матрицы.

30 Понижение порядка определителя Вычислить определитель Первую строку прибавим ко второй, умножим первую строку на 2 и прибавим к третьей, вычтем первую строку из четвертой. Полученный определитель разложим по третьему столбцу. В определителе третьего порядка умножим вторую строку на 2 и прибавим к первой; полученный определитель разложим по первой строке и придем к определителю второго порядка. Получаем = = = ( 3) ( 1) = 1 ( 1) 1+3 = ( 3) 3 = Реализованный в этом примере способ вычисления определителя называется понижением порядка определителя. =

31 Определитель порядка n Рассмотрим примеры вычисления определителей порядка n. 1. Для данных чисел a, b вычислить следующий определитель порядка n: a b b... b b a b... b b b a... b b b b... a Преобразуем его, прибавив к 1-й строке последовательно 2-ю, 3-ю и все остальные, затем вынося из первой строки общий множитель a + (n 1)b и прибавляя ко всем строкам, начиная со второй, первую строку, умноженную на b. Наконец, воспользуемся правилом вычисления определителя треугольной матрицы.

32 Окончание примера 1 a + (n 1) a + (n 1)b a + (n 1)b... a + (n 1)b b a b... b b b a... b b b b... a = (a + (n 1)b) b a b... b b b a... b b b b... a = = = (a + (n 1)b) a b a b a b = (a + (n 1))(a b) n 1.

33 Oпределитель Вандермонда 2. Пусть n натуральное число, a 1, a 2..., a n произвольные скаляры из поля F. Oпределителем Вандермонда называется следующий определитель порядка n: d = a 1 a 2 a 3... a n a1 2 a2 2 a an a n 1 1 a n 1 2 a n an n 1. (1) Докажем, что при любом n определитель Вандермонда равен произведению всевозможных разностей a i a j, где 1 j < i n. Воспользуемся индукцией по n.

34 Доказательство При n = 2 очевидно, что 1 1 a 1 a 2 = a2 a1. Пусть утверждение уже доказано для определителей Вандермонда порядка n 1. Преобразуем определитель (1) следующим образом: для каждого k = n, n 1,..., 2 из k-й его строки вычтем (k 1)-ю, умноженную на a 1. Тогда a 2 a 1 a 3 a 1... a n a 1 d = 0 a2 2 a 1a 2 a3 2 a 1a 3... an 2 a 1a n a n 1 2 a 1a n 2 2 a n 1 3 a 1a n an n 1 a 1an n 2 Разлагая полученный определитель по первому столбцу, мы получим определитель n 1-го порядка. Вынося из k-го столбца множитель a k a 1 при k = 2,..., n, приходим к равенству d = (a 2 a 1)(a 3 a 1) (a n a 1) a 2 a 3... a n a2 2 a an a n 2 2 a n an n 2. (2) Последний множитель является определителем Вандермонда порядка n 1. Применяя предположение индукции, из формулы (2) получаем требуемое.

35 Важное свойство определителя Вандермонда Из полученного результата следует Предложение Определитель Вандермонда порядка n, построенный на скалярах a 1, a 2,..., a n, равен нулю тогда и только тогда, когда a j = a k при некоторых 1 j < k n, и определитель Вандермонда порядка n, построенный на различных скалярах a 1, a 2,..., a n, всегда отличен от нуля.

36 Критерий обратимости матрицы Определение обратимой матрицы см. на сл.27 т.1-6. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. Следующая теорема дает критерий обратимости матрицы. Теорема Матрица является обратимой тогда и только тогда, когда она невырожденная. Доказательство. Пусть квадратная матрица A порядка n обратима. Тогда по определению существует матрица B такая, что AB = BA = E n. По теореме сл.25, учитывая, что E n = 1, имеем 1 = AB = A B, откуда непосредственно следует, что A 0, т.е. матрица A является невырожденной.

37 Окончание доказательства Обратно, предположим, что квадратная матрица A порядка n невырожденная. Рассмотрим матрицу, составленную следующим образом из алгебраических дополнений элементов определителя A : Ã = A 11 A 21 A n1 A 12 A 22 A n2 A 1n A 2n A nn. (3) Она называется присоединенной матрицей матрицы A. Положим B = 1 A Ã и покажем, что B является матрицей, обратной к A. В самом деле, используя утверждения сл.22, легко убедиться, что AÃ = A E n, откуда в силу свойства 4 умножения матриц (сл.15 т.1-6) вытекает AB = E n. Для проверки равенства BA = E n необходимо провести аналогичные рассуждения с использованием утверждений сл.23. Таким образом, теорема доказана.

38 Формула для обратной матрицы Из доказательства теоремы на сл.37 получается следующая формула для нахождения обратной матрицы: A 1 = 1 A Ã.

39 Обоснование первого способа нахождения обратной матрицы Следствие Пусть A квадратная матрица порядка n, а матрица B такова, что AB = E n. Тогда матрица A обратима, B = A 1 и BA = E n. Доказательство. Из равенства AB = E n, беря определители левой и правой части, получаем AB = E n, откуда в силу теоремы сл.25 следует A B = 1. Таким образом, A 0 и матрица A невырожденная. По теореме сл.36 она является обратимой. Поскольку обратная матрица A 1 является единственным решением матричного уравнения AX = E n, заключаем, что B = A 1. Равенство BA = E n теперь очевидно. Это утверждение показывает, что матричное уравнение AX = E n либо имеет единственное решение, совпадающее с A 1, либо не имеет решений. Таким образом, первый способ нахождения обратной матрицы полностью обоснован.

40 Определитель обратной матрицы Пусть A обратимая матрица. Из равенства AA 1 = E, вычисляя определители левой и правой части, выводим A A 1 = E. Таким образом, A A 1 = 1. Отсюда получаем формулу, связывающую определители обратимой матрицы A и ее обратной матрицы: A 1 = 1 A.

41 Второй способ нахождения обратной матрицы Формула сл.38 дает еще один способ нахождения обратной матрицы (первый способ см. на сл.31 т.1-6). Этот способ особенно удобен для матриц второго порядка, так как можно выписать следующую формулу для обратной матрицы: ( ) 1 ( a b 1 d b = c d ad bc c a ). (4)

42 Пример обращения матрицы вторым способом Для матриц порядка n указанный выше способ требует вычисления n 2 определителей порядка n 1, поэтому на практике для матриц порядка больше 3 он не применяется. Рассмотрим пример обращения матрицы порядка 3 этим способом. Вычислим матрицу, обратную к матрице A = Ее определитель равен 3, поэтому A 1 существует (и единственна). Составим матрицу Ã. Сначала запишем матрицу из алгебраических дополнений: Транспонируем эту матрицу: Ã =

43 Окончание примера Все элементы матрицы Ã разделим на A. Получим 5/3 1 4/3 A 1 = /3 1 2/3

44 Крамеровские системы линейных уравнений Система линейных уравнений называется крамеровской, если число уравнений в ней равно числу неизвестных. Рассмотрим крамеровскую систему линейных уравнений в общем виде: a 11x 1 + a 12x a 1nx n = b 1; a 21x 1 + a 22x a 2nx n = b 2; a n1x 1 + a n2x a nnx n = b n. (5)

45 Определители для крамеровской системы Введем следующие определители для этой системы: a 11 a 12 a 1n = a 21 a 22 a 2n, a n1 a n2 a nn b 1 a 12 a 1n a 11 a 12 b 1 1 = b 2 a 22 a 2n,..., n = a 21 a 22 b 2. b n a n2 a nn a n1 a n2 b n Здесь называется главным определителем крамеровской системы (1), а определитель i получается из заменой i-го столбца столбцом свободных членов уравнений и называется определителем при неизвестном x i (i = 1, 2,..., n).

46 Правило Крамера Следующее утверждение называется теоремой (или правилом) Крамера. Теорема Если главный определитель крамеровской системы линейных уравнений отличен от нуля, то она является определенной и ее единственное решение есть ( 1,..., n ). Доказательство. Запишем крамеровскую систему в матричном виде: Ax = b. (6) Пусть 0. Так как = A, в силу критерия обратимости (сл.36) матрица A обратима. Матричное уравнение (6) имеет единственное решение x = A 1 b. Применяя для обратной матрицы формулу сл.39, имеем x = A 1 Ãb. Расписывая это матричное равенство, получаем систему равенств x 1 = b1a11 + b2a bnan1, A b1a12 + b2a bnan2 x 2 =, A x n = b1a1n + b2a2n bnann. A

47 Окончание доказательства В знаменателях правых частей полученных равенств стоит определитель, а в числителях определители 1, 2,..., n, разложенные соответственно по первому, второму и так далее, n-му столбцу. Этим требуемое доказано.

48 Решение системы с двумя неизвестными Рассмотрим пример применения теоремы Крамера. Требуется решить систему линейных уравнений { 7x 6y = 4; 9x 8y = 7. Вычислим главный определитель: = = = 2. По теореме Крамера система имеет единственное решение. Вычислим определители при неизвестных: 1 = = = 74, 2 = = = 85. Получаем ответ: x = 1 = 37, y = 2 = Теорему Крамера наиболее удобно использовать для решения крамеровских систем линейных уравнений с двумя неизвестными.

49 Решение системы с тремя неизвестными Рассмотрим пример применения теоремы Крамера для решения крамеровской системы с тремя неизвестными. Решим систему 2x 4y + 9z = 28; 7x + 3y 6z = 1; 7x + 9y 9z = 5. Вычислим главный определитель: = = = 348. По теореме Крамера система имеет единственное решение. Вычислим определители при неизвестных: = = = 696, = = = 1044,

50 Окончание решения примера 3 = = = Находим решение системы: x = 1 = 2, y = 2 = 3, z = 3 = 4.

51 Вычисление определителей с помощью рекуррентных соотношений Вычислить определитель порядка n. α + β α β α + β α β α + β α + β α β α + β Обозначим указанный в условии определитель через n и разложим его β α α + β α... 0 по 1-й строке: n = (α + β) n 1 α 0 β α + β β α + β Второй определитель разложим по 1-му столбцу: β α α + β α β α + β... 0 = β n 2. Таким образом, получаем β α + β рекуррентное соотношение n = (α + β) n 1 αβ n 2.

52 Вычисление определителей с помощью рекуррентных соотношений (1) Решим это соотношение (см. сл.18 т.2-6). Составляем характеристическое уравнение (подставляем в соотношение x n вместо n), получаем x n = (α + β)x n 1 αβx n 2. Затем сокращаем на x n 2, переносим все слагаемые в левую часть: x 2 (α + β)x + αβ = 0. Это квадратное уравнение имеет корни x 1 = α и x 2 = β. Рассмотрим два возможных случая. 1. α β. В этом случае ищем n в виде C 1α n + C 2β n, где C 1, C 2 постоянные, не зависящие от n. Непосредственно вычисляем 1 = α + β и 2 = α + β α β α + β = (α + β)2 αβ = α 2 + αβ + β 2. Записываем { C1α + C 2β = α + β, систему линейных уравнений: C 1α 2 + C 2β 2 = α 2 + αβ + β 2 Решая эту. систему по правилу Крамера, получаем C 1 = α, β α C2 = β. Таким β α образом, n = α β α αn + β β α βn = βn+1 α n+1. β α

53 Вычисление определителей с помощью рекуррентных соотношений (2) 2. α = β. В этом случае ищем n в виде α n (C 1 + nc 2), где C 1, C 2 постоянные, не зависящие от n. Непосредственно вычисляем 1 = 2α и 2 = 2α α α 2α = 3α2. Записываем систему линейных уравнений: { α(c1 + C 2) = 2α, α 2 (C 1 + 2C 2) = 3α 2 Если α = 0, то. n = 0. Пусть α 0. Тогда C 1 + C 2 = 2, C 1 + 2C 2 = 3, откуда C 1 = C 2 = 1. Таким образом, n = (n + 1)α n.

54 Вычисление определителей с помощью теоремы Лапласа Вычислить определитель Применяем теорему Лапласа (сл.21) к 2-му и 4-му столбцам данного определителя. Если минор 2-го порядка, стоящий в этих столбцах, содержит 2-ю, 4-ю или 5-ю строки, то он равен 0. Поэтому отличен от нуля лишь минор, содержащий 1-ю и 3-ю строки. Имеем = ( 1) = 2 3 = 6.


Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

Лекция 5: Определители

Лекция 5: Определители Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Тема 2-5: Ранг матрицы

Тема 2-5: Ранг матрицы Тема 2-5: Ранг матрицы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр) В

Подробнее

9. Крамеровские системы линейных уравнений

9. Крамеровские системы линейных уравнений 9. Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение крамеровской системы Определение

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре, 2 семестр. Репин О.Н., под редакцией Зайцева Ю.В. 13 февраля 2006 г.

Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре, 2 семестр. Репин О.Н., под редакцией Зайцева Ю.В. 13 февраля 2006 г. Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре, 2 семестр Репин ОН, под редакцией Зайцева ЮВ 13 февраля 2006 г 1 Аннотация Данные лекции читались на радиофизическом факультете ННГУ им Лобачевского

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B:

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B: Лекция 3. Обратная матрица. Определитель произведения квадратных матриц. Обратная матрица, определение, основные свойства. Критерий обратимости матрицы. Элементарные преобразования матриц. Нахождение обратных

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» Кафедра «Математический анализ»

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =...

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =... Лекция Определение матрицы Определители второго и третьего порядков, их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу) Методы вычисления определителей

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Тема 1-2: Элементы комбинаторики

Тема 1-2: Элементы комбинаторики Тема 1-2: Элементы комбинаторики А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 11 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ Определение 1. Определитель матрицы,

Подробнее

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Основные алгебраические структуры ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР Занятие 1 Основные алгебраические структуры 11 Является ли операция на множестве A ассоциативной если a A = N x y = x y b A = N x y = НОДx y c A = N x y = 2xy d A = Z x y = x 2 + y 2 e A

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

ЛЕКЦИЯ 2. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными ЛЕКЦИЯ. Определители II-го и III-го порядков. Свойства определителей. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными ) коэффициенты которого составляют квадратную матрицу второго порядка

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Определители. Определители второго порядка и их свойства.

Определители. Определители второго порядка и их свойства. Определители Определители второго порядка и их свойства Рассмотрим матрицу Определение Определителем (или детерминантом) второго порядка, называется число, определяемое по формуле: det Пример Вычислить

Подробнее

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Подробнее

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций):

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): Лекция 1 Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): http://sites.google.com/site/vkolybasova Группы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов: http://vk.com/vvkolybasova

Подробнее

Тема 1-5: Системы линейных уравнений

Тема 1-5: Системы линейных уравнений Тема 1-5: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть 2)

ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть 2) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть ) Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray Лекция 4 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определители порядка > Пусть A K a a a a 2 a 2 2 a 2 A = a a2 a a a a 2 A =, A a 2 2 2 = a a2 = A,A 2,,A,,, A = a a 2 ṇ a Определение Определителем, или детерминантом

Подробнее

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца.

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца. ) Матрицы, основные определения ) Элементарная алгебра матриц ) Определители и их свойства 4) Обратные матрицы ) Матрицы, основные определения I Определения Совокупность элементов, расположенных в виде

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ Содержание. Полилинейные отображения 2. Перестановки 3. Определение и формула для вычисления определителя 2 4. Свойства определителя 2 5. Формула для элементов обратной

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть 2)

ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть 2) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть ) Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией

Подробнее

Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких переменных

Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких переменных Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких переменных А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра

Подробнее

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: a11 x 1 +a 12 x 2 = b 1, a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: a11 x 1 +a 12 x 2 = b 1, a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2. Глава 11 Определители 111 Определители второго и третьего порядков Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: { a11 x 1 +a 12 x 2 = b 1, a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 111 Вычитая из первого

Подробнее

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I

Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I План лекции Лекция Определители Определители второго порядка Система линейных уравнений; 2 Определение определителя второго порядка; 3 Запись через определители; 4 Свойства

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет ОБРАТНАЯ МАТРИЦА ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц Пусть квадратная матрица порядка n Матрица, удовлетворяющая

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие

Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие НДВыск, КЮ Осипенко Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие МАТИ-РГТУ им КЭ Циолковского Кафедра «Высшая математика» 0 3 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания

Подробнее

Н.Д.Выск, К.Ю. Осипенко. Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие

Н.Д.Выск, К.Ю. Осипенко. Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие НДВыск, КЮ Осипенко Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие МАТИ-РГТУ им КЭ Циолковского Кафедра «Высшая математика» 0 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 1 (самостоятельное изучение) Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка, его свойства Вычисление определителей 2-ого

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление.

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление. ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители..Определители, свойства, вычисление. 2.Определители высших порядков... 4 Рассмотрим таблицу вида:.определители, свойства, вычисление. A = Эта таблица, состоящая

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы ЕЛ Первова Оглавление Глава 1 Перестановки и матрицы 5 1 Перестановки и их свойства 5 2 Матрицы и операции над ними 7 3 Определители

Подробнее

Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II

Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II 0 План лекции Лекция Определители II 4 Существование и единственность определителя Продолжение 44 Теорема о равенстве deta = deta T Определители специального вида 5 Лемма

Подробнее

Тема 2-10: Характеристический многочлен. Инвариантные подпространства

Тема 2-10: Характеристический многочлен. Инвариантные подпространства Тема 2-10: Характеристический многочлен. Инвариантные подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Тема: Линейное пространство R n

Тема: Линейное пространство R n Тема: Линейное пространство R n А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Алгебра и теория чисел

Алгебра и теория чисел Московский международный институт эконометрики информатики финансов и права Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел Москва УДК ББК А Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел // Московский

Подробнее

А Л Г Е Б Р А. ЧАСТЬ I. А. М. Водолазов, О.А. Королева, В.В. Кривобок, Е.В. Сецинская

А Л Г Е Б Р А. ЧАСТЬ I. А. М. Водолазов, О.А. Королева, В.В. Кривобок, Е.В. Сецинская ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н. Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО» А. М. Водолазов, О.А. Королева,

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Лекция II. II.1. Определитель матрицы. a 1 a 2 b 1 b 2. = a 1b 2 a 2 b 1.

Лекция II. II.1. Определитель матрицы. a 1 a 2 b 1 b 2. = a 1b 2 a 2 b 1. Лекция II II.1. Определитель матрицы С каждой квадратной матрицей A можно связать некоторое число, называемое её определителем или детерминантом (обозначается deta или A ). Определителем (или детерминантом)

Подробнее