12. Линейные операторы на векторных пространствах (продолжение)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "12. Линейные операторы на векторных пространствах (продолжение)"

Транскрипт

1 12. Линейные операторы на векторных пространствах (продолжение) Единственность жордановой нормальной формы F алгебраически замкнутое поле Теорема 9. τ Пусть A M n (F), A J и A J где J, J жордановы матрицы. Тогда J и J совпадают с точностью до перестановки жордановых клеток. Иными словами, жорданова форма матрицы единственна с точностью до перестановки клеток.

2 Схема доказательства. Пусть A J. r(λ,d) = r((a λe) d ) = r((j λe) d ), s(λ,d) = n r(λ,d); J = J d1,λ J dm,λ m ; N(J,λ,d) = число жордановых клеток в J с λ i = λ размера d i d, n(j,λ,d) = число жордановых клеток в J с λ i = λ размера d i = d, d = 1,2,...; Числа n(j, λ, d) выражаются через r(λ, d) определены матрицей A однозначно.

3 Следствие (критерий подобия матриц) τ Пусть F алгебраически замкнутое поле, A,B M n (F), A J A, B J B, где J A и J B жордановы матрицы. Тогда A B J A совпадает с J B с точностью до перестановки клеток.

4 Вычисление многочлена от матрицы Пусть F = C это алгебраически замкнутое поле. Значение n-й степени жордановой клетки размера d: J n d,λ = λ λ λ λ = n = (λe d +J d,0 ) n = n s=0 ( ) n d 1 λ n d+1 ( ) n d 2 λ n d+2 λ n nλ n 1 n(n 1) 2! λ n λ n nλ n λ n nλ n λ n ( ) n λ n s J s s d,0

5 Перепишем эту матрицу при помощи f(t) = t n : 1 s! f(s) (λ) = n(n 1)...(n s+1) λ n s = s! f(j d,λ ) = 1 ( ) n λ n s s 1 (d 1)! f(d 1) (λ) 1 (d 2)! f(d 2) (λ) f(λ) f (λ) 2! f (λ)... 0 f(λ) f (λ) f(λ) f (λ) 0 0 f(λ) Поскольку здесь n любое, эта формула верна для любого многочлена f(t) C[t].

6 Если A любая квадратная матрица над C, f(t) C[t], то A J = J d1,λ J dm,λ m J = T 1 AT A = TJT 1 A n = (TJT 1 ) n = TJ n T 1 f(a) = Tf(J)T 1, f(j) = f(j d1,λ 1 ) f(j dm,λ m ) Заметим, что f(a) не зависит от выбора T и J.

7 Замечание. Формулы для f(j d,λ ) (следовательно, для f(j), f(a)) имеют смысл не только для многочлена f(t), но и для любой функции f : C C, у которой определены значения производных достаточно большого порядка в нужных точках (собственных значениях): чтобы определить f(j d,λ ), нужно знать f(λ),f (λ),...,f (d 1) (λ). Это позволяет определять значение f(a) произвольной достаточно гладкой функции f от квадратной матрицы A.

8 Матричная экспонента Экспоненциальная функция: e α = 1+α+ α2 2! + α3 3! +... ряд сходится абсолютно при всех α C. Формула Эйлера: e a+ib = e a (cosb+isinb) a,b R

9 (?) Как вычислить e xa, где x параметр из C сумма бесконечного ряда; e xt = 1+xt+ 1 2! x2 t ! x3 t f(t) = e xt f (t) = xe xt,...,f (k) (t) = x k e xt Поэтому для A M n (R) (или M n (C)): e xa = E n +xa+ 1 2! x2 A ! x3 A суммы бесконечных рядов в каждой компоненте, все они сходятся.

10 Вычислим частичную сумму этого ряда для A = J d,λ : Обозначим Заметим, что f n (t) = n k=0 1 k! xk t k. f n (j) (t) = x j f n j (t) 1 j! f(j) n (λ) = xj j! f n j(λ), поэтому по формуле для многочлена от жордановой клетки f n (J d,λ ) = x d 1 (d 1)! f n d+1(λ) f n (λ) xf n 1 (λ) x2 2! f n 2(λ)... 0 f n (λ) xf n 1 (λ) f n (λ) xf n 1 (λ) 0 0 f n (λ).

11 В пределе при n : откуда f n (λ) e λx, f n (J d,λ ) 1 j! f(j) n (λ) = xj j! f n j(λ) xj j! eλx, e λx xe λx x 2 2! eλx... x d 1 (d 1)! eλx 0 e λx xe λx e λx xe λx 0 0 e λx = e xj d,λ Так вычисляется матричная экспонента от жордановой клетки.

12 Для произвольной матрицы A: A J = J d1,λ i J dn,λ in, f n (J) = f n (J d1,λ i1 ) f n (J dn,λ in ) exj = e xj d 1,λ i e xj d N,λ in при n.

13 A = TJT 1 lim n f n(j) = e xj f n (A) = Tf n (J)T 1 lim n f n (A) = e xa e xa = Te xj T 1

14 Минимальный многочлен линейного оператора Пусть A M n (F) квадратная матрица, f(t) F[t] ненулевой многочлен. Говорят, что f(t) аннулирует матрицу A, если f(a) = 0 M n (F). (Например, χ A (t) аннулирует A.) Унитарный многочлен минимальной степени, аннулирующий матрицу A, называется минимальным многочленом матрицы A.

15 Лемма 5. τ Минимальный многочлен матрицы A делит любой другой многочлен, аннулирующий A. Следовательно, минимальный многочлен определен однозначно, обозначается µ A (t).

16 Минимальный многочлен линейного оператора ϕ унитарный многочлен наименьшей степени, аннулирующий ϕ: Очевидно, µ ϕ (t) : µ ϕ (ϕ) = 0, degµ ϕ min µ ϕ (t) = µ A (t), где A матрица преобразования ϕ в любом базисе.

17 Предложение 6 (основные свойства минимального многочлена) B = T 1 AT µ A (t) = µ B (t) (!! обратное неверно); µ A (t) χ A (t); χ A (λ) = 0 µ A (λ) = 0; если A = A A A k, то µ A(t) lcm(µ A1 (t),...,µ Ak (t)) наименьшее общее кратное τ. В частности, A J µ A (t) = µ J (t): чтобы найти минимальный многочлен матрицы, достаточно найти минимальный многочлен ее жордановой формы.

18 Минимальный многочлен жордановой матрицы Пусть A = J d,λ жорданова клетка. Тогда χ A (t) = (λ t) d µ A (t) = (t λ) m, m d. Но (λe d J d,λ ) m 0 при m < d. Следовательно, для A = J d,λ µ A (t) = ±χ A (t) = (t λ) d.

19 Пусть A = J жорданова матрица, A = J d1,λ i J dn,λ in Тогда µ A (t) lcm((t λ i1 ) d 1,...,(t λ in ) d N)

20 Рекуррентные последовательности Пусть a 1,...,a m,b 1,...,b m C, a m 0. Рассмотрим последовательность комплексных чисел {x i } i=1,2,..., заданную следующим образом: x 1 = b 1, x 2 = b 2,..., x m = b m, x n = a 1 x n 1 + +a m x n m, n > m рекуррентная последовательность глубины m. Например, числа Фибоначчи определены таким правилом для m = 2, a 1 = a 2 = b 1 = b 2 = 1. (?) Как найти явную формулу для x n

21 Введем тогда Y n+1 = Y n = x n+m+1 x n+m. x n+3 x n+2 x n+m x n+m 1. x n+2 x n+1 = C m, n 0, Y 0 = a 1 a 2... a m 1 a m b m b m 1. b 2 b 1 x n+m x n+m 1. x n+2 x n+1 = AY n.

22 x n+1 =? Y n+1 = AY n Y n = A n Y 0 Нам нужна только последняя строка матрицы A n. Можно упростить задачу ее нахождения.

23 χ A (t) = ( 1) m (t m a 1 t m 1 a m 1 t a m ) = (λ 1 t) m 1...(λ k t) m k, m 1 + +m k = m. Жорданова форма J матрицы A содержит по одной клетке c каждым λ i размера ровно m i : r(a λ i E m ) = r a 1 λ i a 2... a m 1 a m 1 λ i λ i = m 1 т.к. нижний левый минор порядка m 1 не равен нулю, а число жорд.клеток с λ i равно m r(a λ i E m ).

24 Поэтому коэффициенты J n содержатся среди λ n i,nλn 1 i, n(n 1) 2! λ n 2 i,..., n(n 1)...(n m i +2) λ n m i+1 (m i 1)! i, следовательно, являются линейными комбинациями λ n i,nλn i,n2 λ n i,...,nm i 1 λ n i, i = 1,...,k, с коэффициентами, не зависящими от n: nλ n 1 i = 1 λ i nλ n i, n(n 1)... (λ i 0 т.к. a m 0). 2! λ n 2 i = 1 2λ 2 i n 2 λ n i 1 2λ 2 i nλ n i,

25 A = TJT 1 Коэффициенты матрицы A n = TJ n T 1 выражаются линейными комбинациями этих же функций λ n i,nλn i,n2 λ n i,...,nm i 1 λ n i, i = 1,...,k, Коэффициенты столбца Y n = A n Y 0 также выражаются в виде линейных комбинаций этих функций. Следовательно, x n+1 = k i=1 ( ci1 λ n i +c i2nλ n i + +c im i n m i 1 λ n i ) Коэффициенты c ij можно определить из начальных данных: x n+1 = b n+1 при n = 0,...,m 1.

26 13. Евклидовы и унитарные пространства Евклидово пространство конечномерное векторное пространство V над F = R, снабженное таким отображением что: V V F, (u,v) u,v, 1. αu 1 +βu 2,v = α u 1,v +β u 2,v ; 2. u,v = v,u ; 3. u,u вещественное положительное число для всех u 0 (u,v,u 1,u 2 V, α,β R)

27 Такое отображение, : V V R называется (евклидовым) скалярным произведением.

28 Унитарное пространство = эрмитово пространство конечномерное векторное пространство V над F = C, снабженное таким отображением что: V V F, (u,v) u,v, 1. αu 1 +βu 2,v = α u 1,v +β u 2,v ; 2. u,v = v,u ; 3. u,u вещественное положительное число для всех u 0 (u,v,u 1,u 2 V, α,β C) Из аксиом 1 и 2 следует, что u,αv 1 +βv 2 = ᾱ u,v 1 + β u,v 2

29 Такое отображение, : V V C называется (эрмитовым) скалярным произведением.

30 Примеры. (1) V = C n : u = x 1. x n, v = 1. y y n u,v = x 1 ȳ 1 + +x n ȳ n, унитарное пространство (для R n евклидово). (2) V = R[x] n (многочлены степени n): f,g = евклидово пространство. 1 0 f(x)g(x)dx

31 Упражнение (форма следа). Пусть V = M n (C). Докажите, что операция A,B = tr(b A) является эрмитовым скалярным произведением на V.

32 Ортогональность V унитарное или евклидово пространство Векторы u, v V ортогональны, если u, v = 0; Система векторов v 1,...,v n V называется ортогональной, если v i,v j = 0 при i j. Ортогональная система векторов v 1,...,v n V называется ортонормированной, если v i,v i = 1 для всех i = 1,...,n.

33 Лемма 1. Ортогональная система, состоящая из ненулевых векторов, является линейно независимой. τ

34 Лемма 2 (процесс Грама Шмидта). τ Для любой системы ненулевых векторов v 1,...,v n V (n 1) найдется ортогональная система u 1,...,u n V такая, что L(v 1,...,v n ) = L(u 1,...,u n ). Среди u 1,...,u n могут встречаться нулевые Схема доказательства. Индукцией по n.

35 Теорема 1 (об изоморфизме евклидовых/унитарных пространств). τ Для любого евклидова (унитарного) пространства V, dimv = n, найдется изоморфизм векторных пространств такой, что ϕ : V R n (C n ) u,v = ϕ(u),ϕ(v) скалярное произведение из примера 1.

36 Следствие. Пусть e 1,...,e n ортонормированный базис пространства V, v V. Тогда τ v = v,e 1 e 1 + v,e 2 e v,e n e n.

37 Ортогональное дополнение Пусть V евклидово или унитарное пространство, S V подмножество. Тогда S = {v V u,v = 0 для всех u S} называется ортогональным дополнением к подмножеству S в V.

38 Предложение 1 (основные свойства ортогонального дополнения). τ 1) {0} = V, V = {0}; 2) Для любого S V множество S является подпространством в V ; 3) Если U V подпространство, то V = U U

39 Упражнение. Пусть U 1,U 2 подпространства евклидова (унитарного) пространства V. Верны ли следующие равенства: (U 1 ) = U 1, (U 1 +U 2 ) = U 1 U 2, (U 1 U 2 ) = U 1 +U 2? Упражнение. Докажите, что для любого подмножества S евклидова (унитарного) пространства V выполняется равенство (S ) = L(S).

Тема 2-17: Сопряженное отображение

Тема 2-17: Сопряженное отображение Тема 2-17: Сопряженное отображение А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Тема 2-15: Ортогональность

Тема 2-15: Ортогональность Тема 2-15: Ортогональность А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 18 УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТЕОРЕМА МАШКЕ ЛЕММА ШУРА 1 УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Определение 1. Квадратная комплексная матрица A называется унитарной, если AA = E, где A = A T. Представление φ : G

Подробнее

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n:

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: Билет 1 Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: расположенных в m строках и n столбцах. Матрица называется квадратной, если m=n (n - порядок

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

12. Линейные операторы на векторных пространствах

12. Линейные операторы на векторных пространствах 12. Линейные операторы на векторных пространствах Пусть V векторное пространство над полем F, dimv = n. Линейным оператором на V называется линейное отображение из V в V : для всех α,β F, u,v V. ϕ : V

Подробнее

V и λ R ) выполняются равенства

V и λ R ) выполняются равенства Линейные преобразования Определение линейного преобразования Пусть V линейное пространство Если указано правило по которому каждому вектору x из V ставится в соответствие единственный вектор y из V то

Подробнее

41. Симметрические операторы

41. Симметрические операторы 41 Симметрические операторы Линейные операторы, действующие в евклидовых пространствах, обладают дополнительными свойствами по сравнению с линейными операторами в векторных пространствах без скалярного

Подробнее

АЛГЕБРЫ И АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ

АЛГЕБРЫ И АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ ЛЕКЦИЯ 16 КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ АЛГЕБРЫ И АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА 1 КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ Лемма 1. Если поле F состоит из q элементов, то каждый элемент поля F является корнем многочлена

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств

Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств Глава 15 Линейные преобразования унитарных и евклидовых пространств 151 Сопряженные преобразования Рассмотрим линейное преобразование ϕ унитарного или евклидова пространства V Отображение V V называется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие

Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Н.А. Зинченко, Н.Н. Мотькина, А.Г. Сокольский АЛГЕБРА (ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ) Учебное пособие Белгород, 2017 ББК 22.144 З 63 Печатается по решению редакционно-издательского совета НИУ «БелГУ» от

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОДНЫЕ МОДУ- ЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАННЫХ БАЗИ- САХ

ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОДНЫЕ МОДУ- ЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАННЫХ БАЗИ- САХ ЛЕКЦИЯ 14 ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОДНЫЕ МОДУ- ЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАННЫХ БАЗИ- САХ ТЕОРЕМА О СТРОЕНИИ ЖОРДАНОВА ФОРМА 1 ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОДНЫЕ МОДУЛИ Пусть M некоторый R-модуль. Для любого

Подробнее

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

Тема 2-1: Линейные пространства

Тема 2-1: Линейные пространства Тема 2-1: Линейные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАЗЛО- ЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ В КГИ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАН- НЫХ БАЗИСАХ ТЕОРЕМА О СТРОЕНИИ ЖОРДАНОВА ФОРМА

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАЗЛО- ЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ В КГИ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАН- НЫХ БАЗИСАХ ТЕОРЕМА О СТРОЕНИИ ЖОРДАНОВА ФОРМА ЛЕКЦИЯ 16 ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАЗЛО- ЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ В КГИ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАН- НЫХ БАЗИСАХ ТЕОРЕМА О СТРОЕНИИ ЖОРДАНОВА ФОРМА ПОЛЯ 1 ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ В КГИ На прошлой лекции мы доказали,

Подробнее

Некоторые решения задач из лекции 8.

Некоторые решения задач из лекции 8. кафедра Проблемы теор. физики, II курс Введение в теорию групп Некоторые решения задач из лекции 8. Задача 4. а) Алгебра Ли so(3, R) изоморфна алгебре векторов R 3. б) Обозначим через SU(2) группу унитарных

Подробнее

Тема 2-18: Нормальные операторы

Тема 2-18: Нормальные операторы Тема 2-18: Нормальные операторы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1.

3. Вычислить произведение всех комплексных корней n-ной степени из Вычислить сумму всех комплексных корней n-ной степени из 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1. Пусть ε первообразный корень нечетной степени n из 1. Доказать, что ε первообразный корень степени 2n из 1. 2. Пусть α первообразный корень степени 2n из 1. Вычислить 1+α+...+α n 1.

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ, АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ

ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ, АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ ЛЕКЦИЯ 18 ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ, АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ 1 ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА Предложение 1. Пусть P (α) расширение поля P, полученное

Подробнее

Тема 2-7: Линейные отображения

Тема 2-7: Линейные отображения Тема 2-7: Линейные отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Линейные системы со специальной правой частью

Линейные системы со специальной правой частью Линейные системы со специальной правой частью А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко 10 февраля 2015 г. В этой лекции мы рассмотрим неоднородные линейные уравнения, однородная часть которых автономна.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Алгебра. Антон Ермилов. По лекциям Афанасьевой Софьи. 2 октября 2017 г. 1. Векторные пространства с билинейной формой Билинейные формы...

Алгебра. Антон Ермилов. По лекциям Афанасьевой Софьи. 2 октября 2017 г. 1. Векторные пространства с билинейной формой Билинейные формы... Антон Ермилов По лекциям Афанасьевой Софьи 2 октября 2017 г. Содержание 1. Векторные пространства с билинейной формой 1 1.1 Билинейные формы..................................... 1 2. Билинейная форма.

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики. А.Д.

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики. А.Д. ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики А.Д.Больбот Задачи по алгебре Часть 2 Последнее изменение: 5 мая

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

12. Линейные операторы на векторных пространствах (продолжение)

12. Линейные операторы на векторных пространствах (продолжение) 12. Линейные операторы на векторных пространствах (продолжение) Некоторые вспомогательные понятия Пусть V векторное пространство, U V подпространство. Говорят, что векторы v 1,...,v k линейно независимы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства

Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

Лекция 8. f(x) = 0 W = 0 y = 0 f(z) = f(0 z) = f(0 V ). Таким образом, в силу взаимной однозначности отображения f, получаем x = 0 V ; противоречие.

Лекция 8. f(x) = 0 W = 0 y = 0 f(z) = f(0 z) = f(0 V ). Таким образом, в силу взаимной однозначности отображения f, получаем x = 0 V ; противоречие. Лекция 8 1. ГОМОМОРФИЗМ И ИЗОМОРФИЗМ ЛП Пусть (V, K) (операции +, ) и (W, K) (операции, ) два ЛП над одним и тем же ЧП K. Отображение f : V W называется гомоморфизмом, если f(x + y) = f(x) f(y) x,y V,

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

АЛГЕБРА модуль 3: Квадратичные и билинейные формы

АЛГЕБРА модуль 3: Квадратичные и билинейные формы АЛГЕБРА модуль 3: Квадратичные и билинейные формы 1 Квадратичные формы Мы рассматриваем конечномерные векторные пространства над полем k, где 0. Определение 1.1 Функция f : V k на векторном пространстве

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр М.Ф. Насрутдинов 19 ноября 2010 г. Оглавление 1 Линейные векторные пространства 5 1.1 Векторные пространства. Определение и примеры........... 5 1.1.1

Подробнее

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m

a 1, a 2,..., a m, m 1, x 1 a 1 + x 2 a x m a m ГЛАВА 8. ПОДПРОСТРАНСТВА 1 1. СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ Множество L векторов линейного пространства X называется подпространством, если из того, что x, y L вытекает, что αx + βy L при любых комплексных

Подробнее

' A (e i,e j )=(e i, Ae j )=(e i, X k. a kj e k )=a ij.

' A (e i,e j )=(e i, Ae j )=(e i, X k. a kj e k )=a ij. 8 Е. Ю. Смирнов 8. Восьмая лекция, 26февраля 2014 г. В этой лекции через V будет обозначаться n-мерное эрмитово пространство, т.е. комплексное векторное пространство, на котором задана положительно определенная

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

3 Обоснование симплекс-метода

3 Обоснование симплекс-метода 1 3 Обоснование симплекс-метода 3.1 Теоремы существования, двойственности, критерий решения Приведем три теоремы, играющие важную роль при обосновании симплекс-метода. Рассмотрим задачу линейного программирования

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgray 5 setgray Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Рассмотрим следующую систему m уравнений относительно n неизвестных в поле K: a x + a 2 + + a nx n b, a 2 x + a 2 2 + + a2 nx

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

ХАРАКТЕРЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ХАРАКТЕРОВ РЕГУЛЯРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

ХАРАКТЕРЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ХАРАКТЕРОВ РЕГУЛЯРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛЕКЦИЯ 19 СЛЕДСТВИЯ ЛЕММЫ ШУРА ХАРАКТЕРЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ХАРАКТЕРОВ РЕГУЛЯРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 1 СЛЕДСТВИЯ ЛЕММЫ ШУРА Предложение 1. Пусть φ : G GL (V ) и ψ : G GL (W ) два неприводимых комплексных

Подробнее

Курс лекций по линейной алгебре и геометрии

Курс лекций по линейной алгебре и геометрии В М Мануйлов Курс лекций по линейной алгебре и геометрии Механико-математический факультет I-й курс, 2-й семестр 2007/2008 уч год, поток механиков 1 Линейные пространства 11 Линейное (векторное) пространство

Подробнее

Тема 2-5: Ранг матрицы

Тема 2-5: Ранг матрицы Тема 2-5: Ранг матрицы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр) В

Подробнее

Вопросы, входящие в состав экзаменационных билетов по линейной алгебре, II, III потоки

Вопросы, входящие в состав экзаменационных билетов по линейной алгебре, II, III потоки Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Физический факультет. Кафедра математики Внимание! Все утверждения необходимо доказывать Вопросы, входящие в состав экзаменационных билетов по

Подробнее

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах

Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах Линейная алгебра 5 Операторы в евклидовых и унитарных пространствах 1. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР Пусть U УП, A ЛО в U. Оператор A называется сопряженным по отношению к ЛО A, если для любых векторов x, y U выполняется

Подробнее

всевозможные решения заданной системы линейных однородных уравнений:

всевозможные решения заданной системы линейных однородных уравнений: . ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Ранее мы охарактеризовали подпространство конечномерного пространства как линейную оболочку. Но возможны и другие истолкования подпространства. Пусть, e, e2, K, en какой-либо

Подробнее

где - функции данного класса, а - коэффициенты из R или C,

где - функции данного класса, а - коэффициенты из R или C, Ряды Фурье Ортогональные системы функций С точки зрения алгебры равенство где - функции данного класса а - коэффициенты из R или C попросту означает что вектор является линейной комбинацией векторов В

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О.В. Якунина МНОГОМЕРНАЯ

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Билинейные и квадратичные формы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е,

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 6 6.1. Гильбертовы пространства (продолжение) 6.1.1. Ортонормированные системы Пусть H предгильбертово пространство. Определение 6.1. Система векторов (e i

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

АЛГЕБРА II. Попырин А.В., Савина Л.Н. лекции. Министерство образования и науки Российской Федерации

АЛГЕБРА II. Попырин А.В., Савина Л.Н. лекции. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Филиал Казанского Федерального Университета в гелабуга Попырин АВ, Савина ЛН АЛГЕБРА II лекции Елабуга 20 Печатается по решению Редакционного совета

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008 Рецензенты: кандидат

Подробнее

Билинейные и квадратичные формы

Билинейные и квадратичные формы Если вдруг ошибку лектор На доске нарисовал, В знак протеста, хлопнув дверью, Уходи домой скорее, И читай, ища ошибки, Эту книжку на диване. Д.Н.Булгаков, А.М.Попов Билинейные и квадратичные формы Учебное

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва ОВ

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ. 1. Арифметическое пространство

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ. 1. Арифметическое пространство . ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ 1. Арифметическое пространство 1. Понятие арифметического пространства Из школьного курса математики известно, что если на плоскости или в пространстве задана система декартовых координат,

Подробнее

Тема : Действия над линейными отображениями

Тема : Действия над линейными отображениями Тема : Действия над линейными отображениями А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Тема: Линейное пространство R n

Тема: Линейное пространство R n Тема: Линейное пространство R n А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Линейная алгебра Матрицы и определители Обратная матрица Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или

Подробнее

1 Это трудная задача, она требует использования аксиомы выбора и знакомства с понятием базиса трансцендентности. 2 А это простая задача.

1 Это трудная задача, она требует использования аксиомы выбора и знакомства с понятием базиса трансцендентности. 2 А это простая задача. Решения задач пятой олимпиады Задача 010 1 Централизатор подстановки это множество подстановок которые с ней коммутируют. Какое наименьшее число элементов может быть в централизаторе подстановки из группы

Подробнее

1 Элеметарная теория погрешностей. 2

1 Элеметарная теория погрешностей. 2 Содержание Элеметарная теория погрешностей. Решение СЛАУ. 4. Нормы в конечномерных пространствах... 4. Обусловленность СЛАУ............ 5.3 Итерационные методы решения линейных систем......................

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 23 23.1. Компактные операторы в гильбертовом пространстве Про компактные операторы в банаховых пространствах нам уже довольно много известно (см. лекции 18

Подробнее

. Оператор A : Xn Xn называется косоэрмитовым, если A = A, то есть (Ax, y) = (x, Ay) x, y Xn. 2

. Оператор A : Xn Xn называется косоэрмитовым, если A = A, то есть (Ax, y) = (x, Ay) x, y Xn. 2 6. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ И КОСОЭРМИТОВ ОПЕРАТОРЫ Оператор A : X n X n называется самосопряженным (эрмитовым), если A = A, иными словами, если (Ax, y) = (x, Ay) x, y X n. Оператор A : X n X n называется косоэрмитовым,

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0

или A (3) x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + +x 4 + x 5 = 0 x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 ЛЕКЦИЯ 6. Метод ГАУССА и ДВОЙСТВЕННЫЙ БАЗИС. В этой лекции мы опишем алгоритм решения систем линейных уравнений, позволяющий найти и двойственный базис для любого базиса пространства F n 2. В Лекциях 7

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 5 5.1. Гильбертовы пространства (продолжение) 5.1.1. Унитарные изоморфизмы Обсудим теперь, какие предгильбертовы пространства следует считать «одинаковыми».

Подробнее

1 Скорости сходимости

1 Скорости сходимости Методы оптимизации в машинном обучении, ВМК+Физтех, осень 2017 Семинар 1: Скорости сходимости. Матрично-векторные скалярные произведения и нормы 1 Скорости сходимости Ключевой характеристикой сходящейся

Подробнее

Линейные отображения и преобразования

Линейные отображения и преобразования Глава 12 Линейные отображения и преобразования 121 Определения и примеры Рассмотрим два линейных пространства V, W, заданных над одним и тем же полем F Отображение ϕ : V W называется линейным отображением,

Подробнее