( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R"

Транскрипт

1 Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке О есть геометрическое место всех точек пространства, находящихся от точки О на расстоянии R?. Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками чисел х, у и z их координатами. Свойство, общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности. Уравнением данной поверхности в прямоугольной системе координат Oxyz называется такое уравнение F(x, у, z) = 0 с тремя переменными х, у и z, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности. Переменные х, у и z в уравнении поверхности называются текущими координатами точек поверхности. Уравнение сферы Найдем уравнение сферы радиуса R с центром в точке O (x 0 ;y 0 ;z 0 ). Согласно определению расстояние любой точки М(х;у;z) сферы от центра O (x 0 ;y 0 ;z 0 ) равно радиусу R?, т. е. О М = R ( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Это и есть искомое уравнение сферы. Если центр сферы О совпадает с началом координат, то уравнение сферы принимает вид x + y + z = R 2. Если же дано уравнение вида F(x;y;z) = 0, то оно, вообще говоря, определяет в пространстве некоторую поверхность.

2 Выражение «вообще говоря» означает, что в отдельных случаях уравнение F(x;у;z)=0 может определять не поверхность, а точку, линию или вовсе не определять никакой геометрический образ Так, уравнению 2х 2 + у 2 + z 2 = 0 не удовлетворяют никакие дей - ствительные значения х,у, z. Итак, поверхность в пространстве можно задать геометрически и аналитически. Отсюда вытекает постановка двух основных задач:. Дана поверхность как геометрическое место точек. Найти уравнение этой поверхности. 2. Дано уравнение F(x;y;z)=0. Исследовать форму поверхности, определяемой этим уравнением. Уравнения линии в пространстве Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей (см. рис 2.) или как геометрическое место точек, об щих двум поверхностям. Если F (x;у;z)=0 и F 2 (x;у;z)=0 уравнения двух поверхностей, определяющих линию L, то координаты точек этой линии удовлетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными: F ( x; y; z ) = 0, (2.) F2 ( x; y; z ) = 0. Уравнения системы (2.) называются уравнениями линии в пространств е Например, y = 0 z = 0 есть уравнения оси Ох. Рис.2.. Рис.2.2.

3 Линию в пространстве можно рассматривать как траекторию движе ния точки (см. рис. 2.2). В этом случае ее задают векторным уравнением r = r t ( ). (2.2) 2.2. Уравнения плоскости в пространстве Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве Oxyz можно задать разными способами. Каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой M 0 ( x0 ; y0; z0 ) и вектором, n = ( A; B; C ),перпендикулярным этой плоскости (см. рис 2.3). Выведем уравнение плоскости Q. Возьмем на ней произвольную точку M(x;y;z)и составим вектор M 0M = ( x x0; y y0; z z0 ). При любом расположении точки М на плоскости Q векторы п и M M взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное 0 произведение равно нулю: п M 0M = 0, т. Е ( ) + ( ) + ( ) = ( ) A x x0 B y y0 C z z Уравнение (2.3) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку M x ; y ; z перпендикулярно 0 ( ) вектору n ( A; B; C ) = - нормальный вектор плоскости. Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей, а

4 Рис уравнение (2.3) уравнением связки плоскостей. Общее уравнение плоскости Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными х, y и z: Ax + By + Cz + D = 0 ( 2.4) Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А, В или С не равен нулю, например B 0, перепишем уравнение (2.4) в виде D A x B y C z B ( 0) ( 0) = 0 ( 2.5) Сравнивая уравнение (2.5) с уравнением (2.3), видим, что уравнения (2.4) и (2.5) являются уравнением плоскости с нормальным вектором n = ( A; B; C ), проходящей через точку M ( 0; D ;0 B ). Уравнение (2.4) называется общим уравнением плоскости. Частные случаи общего уравнения плоскости:. Если D = 0, то оно принимает вид Ах + By +Cz = 0. Этому уравнению удовлетворяет точка О(0;0;0). Следовательно, в этом случае плоскость проходит через начало координат 2. Если С = 0, то имеем уравнение Ах + By + D = 0. Нормальный вектор п = {А; В; 0) перпендикулярен оси Oz. Следовательно, плоскость параллельна оси Oz; если В = 0 параллельна оси Оу, А = 0 параллельна оси Ох. 3. Если С = D = 0, то плоскость проходит через О(0; 0; 0) параллельно оси Oz, т. е. плоскость Ах + By = 0 проходит через ось Oz. 4. Если А=В = 0, то уравнение (2.4) принимает вид Cz + D = 0, т. е. z = D B. Плоскость

5 параллельна плоскости Оху. 5. А = В = D = 0, то уравнение (2.4) примет вид Cz = 0, т. е. z = 0. Это уравнение плоскости Оху. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки Найдем уравнение плоскости Q, проходящей через три данные точки M ( x; y; z ), M 2 ( x2; y2; z2) и M 3 ( x3; y3; z 3), не лежащие на одной прямой. Возьмем на плоскости произвольную точку М(х; у; z) и составим век- M M x x ; y y ; z z, M M = x x ; y y ; z z, торы = ( ) 2 ( ) M M ( x x ; y y ; z z ), 3 = Эти векторы лежат на плоскости Q, следовательно, они компланарны. Используем условие компланарности трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем MM MM 2 M M 3 = 0, т. е. x x y y z z 2 x x y y z z x x y y z z Уравнение (2.6) есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. ( 2.6) Уравнение плоскости в отрезках Пусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу и Oz соответственно отрезки а, b и с, т. е. Рис. 2.4

6 проходит через три точки А(а;0;0), B(0;b;0) и С(0;0;с) (см.рис. 2.4). Подставляя координаты этих точек в уравнение (2.6) и раскрыв определитель, x y z + + = 2.7 a b c ( ) Уравнение (2.7) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Им удобно пользоваться при построении плоскости. Нормальное уравнение плоскости Положение плоскости Q вполне определяется заданием единичного вектора e, имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного на плоскость из начала координат, и длиной р этого перпендикуляра (см. рис. 2.5). Пусть ОК = р, а α, β, γ углы, образованные единичным вектором e с осями Ох, Оу и Oz. Тогда e = ( cos α;cos β;cosγ ). Возьмем на плоскости произвольную точ - ку М(х;у;z) и соединим ее с началом координат. Образуем вектор r = OM = (х; у; z). При любом положении точки М на плоскости Q проекция радиусрис. 2.5 вектора r на направление вектора e всегда равно р: пр e r = р, т. е. Уравнение (2.8) называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме. Зная координаты векторов r и e, уравнение перепишем в виде ( ) xcosα + y cos β + z cosγ p = 0 2.9

7 (2.8) называется нормальным уравнением плоскости в координатной форме Плоскость. Основные задачи Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей Пусть заданы две плоскости Q и Q 2 A x + B y + C z + D = 0 A x + B y + C z + D = 0 2 Под углом между плоскостями Q и Q 2 понимается один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. n = A ; B ; C и Угол ϕ между нормальными векторами ( ) n ( A ; B ; C ) 2 = плоскостей Q и Q 2 равен одному из этих углов (см. рис. 2.6). cosϕ A A + B B + C C = A + B + C A2 + B2 + C2 Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части. Рис Рис. 2.7 Рис Рис. 2.7

8 Если плоскости Q и Q 2 перпендикулярны (см. рис. 2.7, а), то таковы же их нормали, т. е. n n2 (и наоборот). Но тогда n n2 = 0, т. е. A A2 + BB 2 + CC 2 = 0. Полученное равенство есть условие перпендикулярности двух плоскостей Q и Q 2. Если плоскости Q и Q 2 параллельны (см. рис. 73, б), то будут параллельны и их нормали n и n 2 (и наоборот). Но тогда, как известно, координаты векторов пропорциональны: параллельности двух плоскостей Q и Q 2. Расстояние от точки до плоскости Пусть задана точка ( ; ; ) M 0 x0 y0 z 0 и плоскость Q своим уравнением Ax + By + Cz + D = 0. Расстояние d от точки M 0 до плоскости Q находится по формуле Ax0 + By0 + Cz0 + D d =. A + B + C рис. 2.8 dпр M M 0 = n 0 = = = Расстояние d от точки M 0 до плоскости Q равно модулю проекции вектора MM 0, где M ( x; y; z ) - произвольная точка плоскости Q, нанаправление нормального вектора п = (А; В; С) (см. рис. 2.8). Следовательно, ( ) + ( ) + ( ) M M n x0 x A y0 y B z0 z C n A + B + C Ax + By + Cz Ax By Cz A + B + C А так как точка ( ; ; ) Поэтому. M x y z принадлежит плоскости Q, то Ax + By + Cz + D =, т.е. D = Ax. By Cz d Ax0 + By0 + Cz0 + D =. A + B + C 2.4. Уравнения прямой в пространстве

9 Векторное уравнение прямой Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать какую-либо точку M 0 на прямой и вектор S параллельный этой прямой. Вектор S называется направляющим вектором M x ; y ; z и прямой. Пусть прямая L задана ее точкой 0 ( 0 0 0) направляющим вектором S ( m; n; p ). произвольную точку M ( ; ; ) = Возьмем на прямой L x y z. Обозначим радиус-векторы точек M 0 И М соответственно через r 0 и r. Очевидно, что три вектора r 0, r и связаны соотношением r = r + M M. 0 0 ( 2.0 ) рис. 2.9 Вектор MM 0, лежащий на прямой L, параллелен направляющему вектору S, поэтому MM 0 = ts, где t скалярный множитель, называемый параметром, может принимать различные значения в зависимости от положения точки М на прямой (см. рис. 2.9). Уравнение (2.0) можно записать в виде ( ) r = r0 + ts 2. Полученное уравнение называется векторным уравнением прямой. Параметрические уравнения прямой Замечая, что r = ( x; y; z ) ), r ( x ; y ; z ) 0 = 0 0 0, ts = (tm;tn;tp), уравнение (2.) можно записать в виде ( ) ( ) ( ) xi + yj + zk = x + tm i + y + tn j + z + tp k Отсюда следуют равенства:

10 x = x0 + mt, y = y0 + nt, 2.2 z = z0 + pt. ( ) Они называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве. Канонические уравнения прямой Пусть S = ( m; n; p ). направляющий вектор прямой L и M ( x ; y ; z ) точка, лежащая на этой прямой. Вектор M 0M, соединяющий точку M x; y; z прямой L, параллелен вектору M 0 с произвольной точкой ( ) S. Поэтому координаты вектора M 0M ( x x0; y y0; z z0 ) S = ( m; n; p ). пропорциональны: = И вектора x x0 y y0 z z = = ( ) Уравнения (2.3) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки Пусть прямая L проходит через точки M ( x ; y; z ) и M 2 ( x2; y2; z 2). В качестве направляющего вектора S можно взять вектор MM 2 = ( x2 x; y2 y; z2 z) т. е. S = MM 2 (см. рис. 2.0). Следовательно, m = x x, n = y y, p = z z. Поскольку рис. 2.0 прямая проходит через точку M ( x ; y; z ) то, согласно уравнениям (2.3), уравнения прямой L имеют вид x x y y z z = =. ( 2.4) x x y y z z Уравнения (2.4) называются уравнениями прямой, проходящей через две данные точки.

11 Общие уравнения прямой Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Рассмотрим систему уравнений A x + B y + Cz + D = 0 A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0 (2.5) Каждое из уравнений этой системы определяет плоскость. Если плоскости не параллельны, то система (2.5) определяет прямую L как геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют каждому из уравнений системы (см. рис. 2.). Уравнения (2.5) называют общими уравнениями прямой. От общих уравнений (2.5) можно перейти к каноническим уравнениям (2.3). Координаты точки M 0 на прямой L получаем из системы 2. уравнений (2.5), придав одной из координат произвольное значение (например, z = 0). Так как прямая L перпендикулярна векторам nи n 2, то за направляющий вектор S прямой L можно принять векторное произведение n n2 : i j k S = n n = A B C 2 A B C. Замечание: Канонические уравнения прямой легко получить, взяв две какие-либо точки на ней и применив уравнения (2.4). Пример 2.. Написать канонические уравнения прямой L, заданной уравнениями x + y z + = 0 2x y 3z + 5 = 0. Решение: Положим z = 0 и решим систему: x + y =, 2x y = 5. Находим О. 76

12 x z =, 2;;0 LПоложим у = 0 и решим систему 2x 3z = 5. Находим вторую точку M 2 ( 2; 0;3) прямой L. Записываем уравнение прямой L, проходящей через точки M и M 2 : x + 2 y = = z. 4 3 Точку: M ( ) 2.5. Прямая линия в пространстве. Основные задачи Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых Пусть прямые Lи L 2 заданы уравнениями x x y y z z = = x x2 y y2 z z2 = = рис. 2.2 m2 n2 p2 Под углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами S = ( m; n; p ) и S2 = ( m2; n2; p2 ) (см. рис. 2.2). Поэтому, по известной формуле для косинуса угла между векторами получаем mm 2 + nn 2 + p p2 cos ϕ =. (2.6) m + n + p m + n + p Для нахождения острого угла между прямыми Lи L 2 числитель правой части формулы (2.6) следует взять по модулю. Если прямые Lи L 2 перпендикулярны, то в этом и только в этом случае имеем cosϕ = 0. Следовательно, числитель дроби (2.6) равен нулю, т. е. mm 2 + nn 2 + p p2 = 0.

13 Если прямые Lи L 2 параллельны, то параллельны их направляющие векторы Sи S 2. Следовательно, координаты этих векторов пропорциональны, т. е. = =. Пример 2.2. Найти угол между прямыми x y 2 z + 2 2x + y z = 0, = = И 2 3 2x y + 3z + 5 = 0. Решение: Очевидно, S = ( 2; ;3 ), а S2 = n n2, где n = ( 2;; ), n 2 = ( 2; ;3 ). Отсюда следует, что S 2 = ( 2; 8; 4 ). Так как S S2 = = 0, то ϕ = 90 o. Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости Пусть прямые Lи L 2 заданы каноническими уравнениями x x y y z z = = x x y y z z = = рис. 2.3 Их направляющие векторы S = ( m ; n ; p ) и S ( m ; n ; p ) = (см. 2 рис. 2.3). Прямая L проходит через точку M ( x; y; z ), радиус-вектор которой обозначим через r ; прямая L 2 проходит через точку M ( x ; y ; z ), радиус-вектор которой обозначим через r 2. Тогда 2 ( ) r r = M M = x x ; y y ; z z Прямые Lи L 2 лежат в одной плоскости, если векторы S, S 2 и MM 2 = r2 r компланарны. Условием компланарности векторов

14 является равенство нулю их смешанного произведения: r r S S =, т. е. ( ) x x y y z z = 0. При выполнении этого условия прямые Lи L 2 лежат в одной плоскости, то есть либо пересекаются, если S λs 2, либо параллельны, если S PS Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости Пусть плоскость Q задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0, а x x0 y y0 z z0 прямая L уравнениями = = Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Обозначим через ϕ угол между плоскостью Q и прямой L, а n = A; B; C через θ угол между векторами ( ) и S = ( m; n; p ) (см. рис. 2.4). Тогда рис. 2.4 n S cos θ =. π Найдем sinϕ : если ϕ, то n S 2 π sinϕ cos = θ = cosθ. sinϕ 0, получаем 2 Am + Bn + Cp sin ϕ =. (2.7) A + B + C m + n + p Если прямая L параллельна плоскости Q, то векторы n и S перпендикулярны (см. рис. 2.5), а потому n S = 0, т. е. Am + Bn + Cp = 0

15 является условием параллельности прямой и плоскости. рис. 2.5 рис. 2.6 Если прямая L перпендикулярна плоскости Q, то векторы n и S параллельны (см. рис. 2.6). Поэтому равенства A B C = = являются условиями перпендикулярности прямой и плоскости. Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой плоскости Пусть требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью x x0 y y0 z z0 = = 2.8 Ax + By + Cz + D = ( ) 0. ( 2.9) Для этого надо решить систему уравнений (2.8) и (2.9). Проще всего это сделать, записав уравнения прямой (2.8) в параметрическом виде: x = x0 + mt, y = y0 + nt, z = z0 + pt. Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости (2.9), получаем уравнение ( + + ) + ( ) = ( ) t Am Bn Cp Ax0 By0 Cz0 D

16 Если прямая L не параллельна плоскости, т. е. если Am + Bn + Cp 0, то из равенства (2.20) находим значение t: Ax0 + By0 + Cz0 + D t =. Am + Bn + Cp Подставляя найденное значение t в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью. Рассмотрим теперь случай, когда Am + Bn + Cp = 0 ( L P Q ) : а) если F = Ax0 + By0 + Cz0 + D 0 то прямая L параллельна плоскости и пересекать ее не будет (уравнение (2.20) решения не имеет, то прямая L параллельна плоскости и пересекать ее не будет (уравнение (2.20) решения не имеет, так как имеет вид 0 t + F = 0, где F 0) : б) если Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0, то уравнение (2.20) имеет вид 0 t + 0 = 0, ; ему удовлетворяет любое значение t, любая точка прямой является точкой пересечения прямой и плоскости. Заключаем: прямая лежит в плоскости. Таким образом, одновременное выполнение равенств Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 Am + Bn + Cp = 0 является условием принадлежности прямой плоскости.

17

18


Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль 2 Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 6 Аннотация Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору Общее уравнение

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль 2 Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 6 (самостоятельное изучение) Аннотация Уравнения прямой в пространстве: как линии пересечения двух плоскостей,

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой Лекция.. Уравнения плоскости и прямой Аннотация: Помимо векторного, общего, нормального и в отрезках дается еще и параметрическое уравнение плоскости, с целью обобщения в дальнейшем понятия плоскости в

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи)

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Раздел 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция Тема: Прямая на плоскости 6 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Прямая, которая служит для изображения действительных чисел, на которой выбраны начальная

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики НЛ Воронцова АВ Маргулян НК Орехова ЕС Филимонова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

{ прямая как пересечение двух плоскостей векторно-параметрическое уравнение прямой уравнение прямой, проходящей через две заданные точки уравнение

{ прямая как пересечение двух плоскостей векторно-параметрическое уравнение прямой уравнение прямой, проходящей через две заданные точки уравнение { прямая как пересечение двух плоскостей векторно-параметрическое уравнение прямой уравнение прямой, проходящей через две заданные точки уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно

Подробнее

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.

РТУ-МИРЭА ГОРШУНОВА Т.А. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N14. Плоскость. 1.Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку.

ЛЕКЦИЯ N14. Плоскость. 1.Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку. ЛЕКЦИЯ N4. Плоскость и прямая в пространстве. Плоскость.....Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку.....общее уравнение плоскости.... 4.Угол между плоскостями. Условия

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30 Аналитическая геометрия Прямые и плоскости Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 2 / 30 Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 3 / 30 Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1 ) и M 2 (x 2, y 2 )

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия МЛ Каган, ТС Кузина, ТА Мацеевич Аналитическая геометрия Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

Лекция 6. Прямая на плоскости

Лекция 6. Прямая на плоскости Лекция 6 Прямая на плоскости Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный вектор нормали l O b y На плоскости, где введена прямоугольная система координат, рассмотрим прямую l.

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Имас О.Н. 016 г. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости Опр. Плоскостью называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Прямые и плоскости в пространстве

Прямые и плоскости в пространстве Прямые и плоскости в пространстве Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2002 384 с 502 Составить параметрические

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Уравнение прямой на плоскости.

Уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой на плоскости. Каноническое уравнение прямой. Пусть прямая параллельна вектору {, } и проходит через точку (, ) тогда уравнение этой прямой может быть записано в виде,. () Уравнение ()

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 8 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ 1. Различные уравнения прямой в пространстве Уравнение прямой в векторной параметрической форме было получено нами в предыдущей лекции:

Подробнее

13. Прямая в пространстве 1. Уравнения прямой в пространстве

13. Прямая в пространстве 1. Уравнения прямой в пространстве 3. Прямая в пространстве. Уравнения прямой в пространстве Пусть A +B +C +D =0 и A +B +C +D =0 уравнения любых двух различных плоскостей содержащих прямую l. Тогда координаты любой точки прямой l удовлетворяют

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

Уравнение плоскости. Шульц Денис Сергеевич

Уравнение плоскости. Шульц Денис Сергеевич Уравнение плоскости. Шульц Денис Сергеевич План занятия. Общее уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Расстояние от точки до плоскости Типовые задачи Общее уравнение плоскости. Ax+By+Cz+D=0

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

) вычисляется по формуле

) вычисляется по формуле 5-6 уч. год. 4, кл. Математика. Стереометрия.. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости.

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости. Основные задачи аналитической геометрии Аналитическая геометрия раздел математики, в котором изучаются геометрические объекты с помощью алгебраических методов. Основным методом аналитической геометрии

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Лектор Пахомова Е.Г г.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Лектор Пахомова Е.Г г. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Пахомова Е.Г. г. 3. Плоскость. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку

Подробнее

Конспект лекции 12 НОРМАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Конспект лекции 12 НОРМАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Конспект лекции 12 НОРМАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ 0. План лекции 1. Взаимный базис. 1.1. Определение; 1.2. Линейная независимость; 1.3. Формулы скалярного произведения; 1.4. Формулы векторного

Подробнее

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОЕТРИЯ ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. ОПР Плоскостью будем называть поверхность обладающую тем свойством что если две точки прямой принадлежат плоскости то и все точки прямой принадлежат данной

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Продолжение темы 3: «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

Продолжение темы 3: «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» Плоскость. Прямая в пространстве 1 Продолжение темы 3: «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод

Подробнее

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ К РАЗДЕЛУ 3 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ К РАЗДЕЛУ 3

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ К РАЗДЕЛУ 3 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ К РАЗДЕЛУ 3 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ К РАЗДЕЛУ ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ К РАЗДЕЛУ ЗАДАНИЕ ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ По тематике раздела студент должен уметь: Составить

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

Прямая на плоскости. Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L.

Прямая на плоскости. Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L. Прямая на плоскости Общее уравнение прямой. Прежде чем вводить общее уравнение прямой на плоскости введем общее определение линии. Определение. Уравнение вида F(x,y)=0 (1) называется уравнением линии L

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич

Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич Основные задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Шульц Денис Сергеевич План занятия. Содержание раздела «Аналитическая геометрия» Уравнение прямой на плоскости: с угловым коэффициентом общее

Подробнее

анализ взаимного расположения прямых и плоскостей, поиск расстояния от точки до прямой и плоскости;

анализ взаимного расположения прямых и плоскостей, поиск расстояния от точки до прямой и плоскости; Практикум по теме 5 Методические указания по выполнению практикума. Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента темы 5, а также развитие следующих навыков: задание прямых на плоскости

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности.

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности. ~ ~ АНАЛИТИЧЕКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Уравнения линии и поверхности. Определение: Уравнение f, называется уравнением линии на плоскости, если координата любой точки этой линии удовлетворяет данному уравнению. Определение:

Подробнее

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Линейная алгебра (лекция 11) 24.11.2012 2 / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 )

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Векторы в пространстве Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия: абсолютная величина

Подробнее

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой в пространстве Уравнение прямой в пространстве 1 Прямая как пересечение двух плоскостей. Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей. Пусть

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

Плоскость. 2 x x y y. x y. x y. Уравнение прямой, проходящей через точки M1( x1; или

Плоскость. 2 x x y y. x y. x y. Уравнение прямой, проходящей через точки M1( x1; или Плоскость Уравнение прямой, проходящей через точки M( ; ) и M ( ; ) [, стр. 4] 0 Если прямая проходит через точку M0( 0; 0 ) параметрическом виде имеет вид 0 + a t 0 + b t Например 5 t 5t [3, стр. 35]

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Тема: Плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 9 Тема: Плоскости План. Способы задания и уравнения плоскости.. Общее уравнение плоскости.. Лемма о параллельности вектора и плоскости. Особенности расположения плоскости в АСК. 4.

Подробнее

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр 11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр Каноническое и параметрическое уравнения прямой A1 Даны точка M 0 (x 0 ; y 0 ) и ненулевой вектор a = (p; q). Составить уравнение

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее