ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. М. В. Долгополик. 10 ноября 2016 г.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. М. В. Долгополик. 10 ноября 2016 г."

Транскрипт

1 ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ М. В. Долгополик 10 ноября 2016 г. Аннотация. В докладе обсуждается в некотором смысле оптимальный градиентный метод минимизации гладких выпуклых функций, предложенный Ю.Е. Нестеровым [1 3]. В изложении данного метода мы следуем разделу книги [3]. 1. Оценивающие последовательности. Рассмотрим задачу глобальной минимизации выпуклой функции f, определённой и непрерывно дифференцируемой на всём пространстве R n. Для простоты изложения мы будем предполагать, что градиент функции f удовлетворяет условию Липшица на R n с константой L > 0, т.е. f x f y L x y x,y R n, где евклидова норма. Также будем предполагать, что функция f ограничена снизу и достигает глобального минимума. Для построения и анализа метода Нестерова мы воспользуемся техникой оценивающих последовательностей [3], раздел ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пара последовательностей {φ k x},{λ k }, где φ k x функция определенная на R n, а λ k неотрицательное число, называется оценивающей последовательностью для функции fx, если для любого вектора x R n справедливо неравенство φ k x 1 λ k fx+λ k φ 0 x k {0} N. З а м е ч а н и е 1. Здесь и далее мы предполагаем, что все последовательности нумеруются начиная с нуля, т.е. что индекс последовательности k принадлежит множеству {0} N. Семинар по конструктивному негладкому анализу и недифференцируемой оптимизации «CNSA & NDO»: 1

2 2 В общем случае, оценивающие последовательности не несут почти никакой информации о функции f, т.к. в качестве функции φ k x можно выбрать любую миноранту функции1 λ k fx+λ k φ 0 x. Оценивающие последовательности оказываются полезным инструментом лишь в том случае, когда они определённым образом связаны с некоторой последовательностью точек {x k }, построенной согласно какому-нибудь итерационному методу минимизации функции f. Обозначим через x точку глобального минимума функции f, и положим f = fx. ЛЕММА 1. Пусть для некоторой последовательности {x k } справедливо неравенство fx k φ k := min x R nφ kx k {0} N. 1 Тогда fx k f λ k φ0 x f k {0} N. Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению последовательности {x k } будет fx k min x R nφ kx k {0} N. Воспользовавшись определением оценивающей последовательности, получим, что fx k min 1 λ k fx+λ k φ 0 x k {0} N и, следовательно, x R n fx k 1 λ k fx +λ k φ 0 x k {0} N. Перенеся fx = f в левую часть, придём к неравенству что и требовалось доказать. fx k f λ k φ0 x f, Таким образом, если имеется некоторая последовательность точек {x k }, и функции φ k x из оценивающей последовательности выбраны так, чтобы их глобальный минимум φ k не превосходил значения функции f в очередной точке x k, т.е. φ k fx k, то можно сразу получить оценку fx k f λ k φ0 x f k {0} N. Если, вдобавок, коэффициенты λ k 0 выбраны таким образом, что λ k 0 при k, то можно заключить, что последовательность {x k } является минимизирующей последовательностью для функции f. Кроме того, в этом случае можно легко получить оценку скорости сходимости последовательности {fx k } к f исходя из скорости сходимости последовательности {λ k } к нулю.

3 3 Для того чтобы воспользоваться описанным выше результатом, необходимо построить оценивающую последовательность для функции f и последовательность {x k }, удовлетворяющую неравенству 1. Первым делом мы рассмотрим простую итеративную процедуру построения оценивающих последовательностей. ЛЕММА 2. Пусть φ 0 : R n R произвольная функция и λ 0 = 1. Пусть также {y k } R n и {α k } 0,1 произвольные последовательности. Тогда пара последовательностей {φ k x},{λ k }, определяемая рекуррентными соотношениями λ k+1 = 1 α k λ k, 2 φ k+1 x = 1 α k φ k x+α k fy k + f y k,x y k, 3 является оценивающей последовательностью для функции f. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для того чтобы доказать данную лемму, необходимо проверить, что для любого x R n справедливо неравенство φ k x 1 λ k fx+λ k φ 0 x k {0} N. 4 Воспользуемся методом математической индукции. Пусть сначала k = 0. Поскольку λ 0 = 1, то φ 0 x 1 λ 0 fx+λ 0 φ 0 x φ 0 x x R n. Предположим теперь, что неравенство 4 выполняется для некоторого k {0} N. Покажем, что тогда это неравенство выполнено и для k +1. Действительно, по определению φ k+1 x = 1 α k φ k x+α k fy k + f y k,x y k. Поскольку функция f выпукла, то fx fy k f y k,x y k. Следовательно, φ k+1 x 1 α k φ k x+α k fx. Заметим, что Поэтому α k = 1 1 α k λ k 1 αk 1 λ k. φ k+1 x 1 1 α k λ k fx+1 αk φ k x 1 λ k fx.

4 4 Так как по нашему предположению неравенство 4 выполнено для k, то φ k x 1 λ k fx λ k φ 0 x, откуда φ k+1 x 1 1 α k λ k fx+1 αk λ k φ 0 x. Напомним, что по определению λ k+1 = 1 α k λ k. Поэтому φ k+1 x 1 λ k+1 fx+λ k+1 φ 0 x, т.е. неравенство 4 выполнено для k + 1. Следовательно, согласно методу математической индукции данное неравенство выполнено для всех k. З а м е ч а н и е 2. Пусть оценивающая последовательность {φ k x},{λ k } построена по описанной выше итеративной процедуре. Отметим, что простым достаточным условием, гарантирующим сходимость λ k к 0 является условие α k = +. Действительно, по определению k=0 λ k = k 1 α s. Оценим величину λ k сверху. Для этого воспользуемся неравенством s=1 1 t e t t 0, справедливость которого следует из неотрицательности производной функции ht = e t +t 1 для всех t 0 и того факта, что h0 = 0. Имеем k λ k = 1 α s e k s=1 αs. Отсюда, учитывая, что доказать. k=0 s=1 α k = +, получаем lim k λ k = 0, что и требовалось Предыдущая лемма описывает простой итеративный способ построения оценивающей последовательности для функции f. Необходимо выбрать «начальное приближение» φ 0 x, а также две последовательности {y k } R n и {α k } 0,1. После этого оценивающая последовательность строится согласно рекуррентным соотношениям 2, 3. Отметим, что последовательности {y k } и {α k } выступают в качестве параметров, которые необходимо выбирать таким образом, чтобы гарантировать справедливость неравенства 1. Покажем, что если в качестве «начального приближения» φ 0 x выбрать простую квадратичную функцию, то последовательность {φ k x} можно вычислить в явном виде.

5 5 ЛЕММА 3. Пусть φ 0 x = φ 0 + γ 0 2 x v 0 2, и предположим, что последовательности {λ k } и {φ k x} определяются рекуррентными соотношениями 2, 3. Тогда φ k x φ k + γ k 2 x v k 2 k N, где последовательности {γ k }, {v k } и {φ k } определяются следующим образом: γ k+1 = 1 α k γ k, v k+1 = v k α k γ k+1 f y k, φ k+1 = 1 α k φ k +α k fy k α2 k f y k 2 +α k f y k,v k y k. Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно рекуррентному соотношению 3 функцияφ k x имеет вид φ k+1 x = 1 α k φ k x+α k fy k + f y k,x y k. Поскольку функция φ 0 x является квадратичной, а каждая последующая функция φ k+1 x получается из предыдущей φ k x домножением на константу 1 α k и прибавлением линейной функции, то все функции φ k x являются квадратичными и имеют вид φ k x = φ k + x v k,a k x v k, 5 для некоторых матриц A k, векторов v k и чисел φ k. Вычислим данные величины в явном виде. Так как φ 0x γ 0 E n, где E n единичная матрица размерности n, и то Поэтому и φ k+1x 1 α k φ kx, A k+1 = γ k+1 E n, γ k+1 = 1 α k γ k. φ k x = φ k + γ k 2 x v k 2 φ k+1 x = 1 α k φ k + γ k 2 x v k 2 +α k fy k + f y k,x y k.

6 6 Заметим, что вектор v k из 5 является точкой глобального минимума функции φ k x. Поэтому справедливо равенство откуда 0 = φ k+1v k+1 = 1 α k γ k v k+1 v k +α k f y k = 0, v k+1 = v k α k γ k+1 f y k. 6 Теперь вычислим φ k+1. Из рекуррентного соотношения 3 следует, что φ k+1+ γ k+1 2 y k v k+1 2 = φ k+1 y k = 1 α k φ k + γ k 2 y k v k 2 +α k fy k. 7 В силу 6 имеем Поэтому v k+1 y k = v k y k α k γ k+1 f y k. γ k+1 2 v k+1 y k 2 = γ k+1 2 v k y k 2 α k f y k,v k y k + α2 k f y k 2. Подставляя данное выражение в 7, получаем φ k+1 = 1 α k φ k +α k fy k α2 k f y k 2 +α k f y k,v k y k, что и требовалось доказать. 2. Метод Нестерова. Перейдём к построению численного метода минимизации функции f. Пусть задано начальное приближение x 0. Мы будем одновременно строить последующие приближения x k и подбирать параметры y k и α k оценивающей последовательности {φ k },{λ k }, определяемой соотношениями 2, 3, с целью гарантировать справедливость неравенства fx k φ k := min x R nφ kx k {0} N. Если при этом удастся показать, что последовательность {λ k } стремится к нулю, то, воспользовавшись леммой 1, сразу получим, что последовательность {x k } является минимизирующей последовательностью для функции f. Кроме того, оценив скорость сходимости последовательности {λ k } к нулю, мы получим оценку скорости сходимости построенного метода. Поскольку при построении численного метода нам потребуется оценивать снизу величинуφ k, что делать проще зная её явный вид, то, учитывая лемму 3, положим φ 0 x = φ 0 + γ 0 2 x v 0 2.

7 7 Пусть очередное приближение x k, удовлетворяющее неравенству φ k fx k 8 уже построено. Покажем как определить следующее приближение x k+1. По лемме 3 имеем φ k+1 = 1 α k φ k +α k fy k α2 k f y k 2 +α k f y k,v k y k. Учитывая 8, получаем φ k+1 1 α k fx k +α k fy k α2 k f y k 2 +α k f y k,v k y k. Так как функция f выпукла, то fx k fy k f y k,x k y k. Поэтому φ k+1 fy k α2 k f y k 2 +1 α k f α k y k, v k y k +x k y k. 9 1 α k Разберёмся сначала с первыми двумя слагаемыми: fy k α2 k f y k 2. Напомним, что необходимо выбрать x k+1 так, чтобы φ k+1 fx k+1. Выберем в качестве x k+1 любую точку удовлетворяющую неравенству fy k 1 2L f y k 2 fx k В частности, можно положить x k+1 = y k 1 L f y k. Существование по крайней мере одной точки x k+1, удовлетворяющей неравенству 10, следует из хорошо известного неравенства fy fx f x,y x L 2 x y 2 x,y R n 11 см., например, [3], Теорема Для того чтобы из данного неравенства получить неравенство 10 достаточно положить x = y k и y = x k+1 = y k 1 L f y k. Определим α k из уравнения Lα 2 k = 1 α k γ k.

8 8 Тогда αk 2 = 1 2L. Подставляя данное выражение в 9 и используя определение точки x k+1 см. 10, приходим к неравенству φ k+1 fx k+1 +1 α k f α k y k, v k y k +x k y k. 1 α k Теперь естественно определить y k из уравнения т.е. α k 1 α k v k y k +x k y k = 0, y k = α k v k +1 α k x k. Данный выбор y k гарантирует выполнение неравенства φ k+1 fx k+1 для всех k {0} N. Таким образом, мы приходим к следующей теоретической схеме метода минимизации функции f, который принято называть оптимальным градиентным методом или методом Нестерова. 1 Выберем x 0 R n и γ 0 > 0. Положим v 0 = x 0. 2 Переход от k-го приближения к k + 1-ому осуществляется следующим образом: a Найдём α k 0,1 из уравнения Положим γ k+1 = 1 α k γ k. b Выберем и вычислим fy k и f y k. c Найдём x k+1 такое, что Lα 2 k = 1 α k γ k. y k = α k v k +1 α k x k fx k+1 fy k 1 2L f y k 2. d Положим v k+1 = v k α k γ k+1 f y k.

9 9 Покажем сначала, что для любого k {0} N действительно найдётся решение квадратного уравнения Lα 2 k = 1 α k γ k, принадлежащее интервалу 0, 1. Для этого воспользуемся методом математической индукции. При k = 0 искомое решение существует, так как непрерывная функция h 0 t = Lt 2 1 tγ 0 принимает на концах отрезка [0,1] значения разных знаков h 0 0 = γ 0 < 0 и h 0 1 = L > 0. Предположим теперь, что требуемое решение α k существует для некоторого k {0} N. По определению γ k+1 = 1 α k γ k = Lα 2 k, то есть γ k+1 > 0. Теперь, воспользовавшись тем, что функция h k+1 t = = Lt 2 1 tγ k+1 принимает на концах отрезка [0,1] значения разных знаков, получим существование решения α k+1 0,1, что и требовалось показать. Таким образом, все параметры α k корректно определены. Перейдём теперь к анализу сходимости построенного метода. ТЕОРЕМА 1. Пусть последовательность {x k } построена по методу Нестерова. Тогда fx k f 2LL+γ 0 γ 0 k +2 L 2 x 0 x 2 k {0} N. В частности, если γ 0 = L, то fx k f 4L k +2 2 x 0 x 2 k {0} N. Д о к а з а т е л ь с т в о. Напомним, что функция φ 0 x была выбрана в виде φ 0 x = φ 0 + γ 0 2 x v 0 2. Положим φ 0 = fx 0. Тогда по построению φ k fx k для всех k {0} N. Следовательно, по лемме 1 будет fx k f λ k fx 0 f + γ 0 2 x 0 x 2 k {0} N. Воспользовавшись неравенством fx 0 f L x 0 x 2 /2, которое следует из неравенства 11 при y = x 0 и x = x, получим fx k f λ k 2 L+γ 0 x 0 x 2. 12

10 10 Оценим коэффициенты λ k. По определению γ k+1 = 1 α k γ k и λ k+1 = 1 α k λ k см. 2. Так как λ 0 = 1, то получаем, что γ k = γ 0 λ k. Поэтому Lα 2 k = 1 α k γ k = γ k+1 = γ 0 λ k+1, то есть λ k+1 = L γ 0 α 2 k. 13 Для любого k {0} N имеем 1 1 = λk+1 λk λk λ k+1 λk λ k+1 = λ k λ k+1 λk λ k+1 λ k + λ k+1. Поскольку λ k = k s=1 1 α k и α k 0,1, то {λ k } невозрастающая последовательность. Следовательно, λk λ k+1 λk + λ k+1 = λk λk+1 λk λk + λ k+1 = Значит = λ k λk λ k λ k+1 = λ k 1 α k λ k = λk+1 λk 2λ k λk+1 2λ k λk+1 Отсюда и из 13 получим γ0 λk+1 λk 2 L. Поэтому, учитывая что λ 0 = 1, приходим к неравенству 1 1+ k γ0 λk 2 L или, что эквивалентно, λ k 4L γ 0 k +2 L 2. λk+1 λk λk+1 2λ k λk+1. α k 2 λ k+1. Подставляя данное неравенство в 12, окончательно получаем Теорема доказана. fx k f 2LL+γ 0 γ 0 k +2 L 2 x 0 x 2.

11 11 З а м е ч а н и е 3. Отметим, что для традиционных методов оптимизации, таких как метод градиентного спуска и различные варианты метода сопряжённых градиентов, справедлива следующая оценка скорости сходимости: 1 fx k f = O k см., например, [4, 5]. С другой стороны, согласно предыдущей теореме, для метода Нестерова справедлива лучшая оценка 1 fx k f O. Можно показать, что данная оценка в некотором смысле оптимальна см. главу 2 книги [3], что и объясняет называние «оптимальный градиентный метод». Подробнее по поводу оптимальности численных методов оптимизации см. книгу [6]. k 2 ЛИТЕРАТУРА 1. Нестеров Ю.Е. Метод решения задачи выпуклого программирования со скоростью сходимости O1/k 2 // Докл. АН СССР, 1983, т. 269, 3, с Нестров Ю.Е. Об одном классе методов безусловной минимизации выпуклой функции, обладающих высокой скоростью сходимости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ, 1984, т. 24, 7, с Nesterov Y. Introductory Lectures on Convex Optimization. A Basic Course. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, p. 4. Поляк Б.Т. Градиентные методы минимизации функционалов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1963, том 3, 4, с Любич Ю.И., Майстровский Г.Д. Общая теория релаксационных процессов для выпуклых функционалов // УМН, 1970, том 25, вып. 1151, с Немировский А.С., Юдин Д.Б. Сложность задач и эффективность методов оптимизации. М.: Наука, с.

МЕТОД НЕСТЕРОВА МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. М. В. Долгополик. 7 апреля 2016 г.

МЕТОД НЕСТЕРОВА МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. М. В. Долгополик. 7 апреля 2016 г. МЕТОД НЕСТЕРОВА МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ М. В. Долгополик maxim.dolgopolik@gmail.com 7 апреля 206 г. Аннотация. В докладе обсуждается субградиентный метод минимизации негладкой выпуклой функции на

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ. А. В. Фоминых. 12 мая 2016 г.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ. А. В. Фоминых. 12 мая 2016 г. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ А. В. Фоминых alexfomster@mail.ru 1 мая 16 г. Аннотация. В докладе рассматривается задача нахождения решения системы дифференциальных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 14. Численные методы нелинейного программирования. 3. Метод Такахаши (дуализация/градиентный

ЛЕКЦИЯ 14. Численные методы нелинейного программирования. 3. Метод Такахаши (дуализация/градиентный ЛЕКЦИЯ 14 Численные методы нелинейного программирования 1. Градиентный метод 2. Теоремы сходимости 3. Метод Такахаши (дуализация/градиентный метод) -1- Численные методы НЛП Задача поиска безусловного минимума:

Подробнее

1 Элеметарная теория погрешностей. 2

1 Элеметарная теория погрешностей. 2 Содержание Элеметарная теория погрешностей. Решение СЛАУ. 4. Нормы в конечномерных пространствах... 4. Обусловленность СЛАУ............ 5.3 Итерационные методы решения линейных систем......................

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. Н. Полякова, Некоторые методы минимизации максимума квадратичных функций, Владикавк. матем. журн., 2006, том 8, номер 4, 46 57 Использование Общероссийского

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ

ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ На прошлой лекции были рассмотрены методы решения нелинейных уравнений Были рассмотрены двухточечные методы, которые используют локализацию корня,

Подробнее

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Январь июнь 2006. Серия 2. Том 13, 1. 3 9 УДК 519.853.4 ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В. П.

Подробнее

ТОЧНЫЕ ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ. А. В. Фоминых. 22 октября 2015 г.

ТОЧНЫЕ ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ. А. В. Фоминых. 22 октября 2015 г. ТОЧНЫЕ ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ А. В. Фоминых alexfomser@mail.ru октября 15 г. Аннотация. В докладе рассматривается дифференциальное включение с заданными многозначным отображением

Подробнее

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС. В. Н. Малозёмов. 28 февраля 2013 г.

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС. В. Н. Малозёмов. 28 февраля 2013 г. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 28 февраля 2013 г. В докладе на двух примерах показывается, чем различаются классические и неклассические

Подробнее

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Лабораторная работа Методы минимизации функций одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной (

Подробнее

НАИЛУЧШЕЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ. М. А. Кольцов. 24 ноября 2016 г.

НАИЛУЧШЕЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ. М. А. Кольцов. 24 ноября 2016 г. НАИЛУЧШЕЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ М. А. Кольцов kolmax94@gmail.com 24 ноября 26 г.. Постановка задачи. Часто значение какой-либо функции известно лишь в заданных точках с некоторой

Подробнее

Метод множителей Лагранжа в задаче конечномерного. выпуклое программирование.

Метод множителей Лагранжа в задаче конечномерного. выпуклое программирование. Дальневосточный математический журнал. 015. Том 15. 1. C. 53 60 УДК 519.853 MSC010 65K05, 90C5, 49N15 c А. В. Жильцов, Р. В. Намм 1 Метод множителей Лагранжа в задаче конечномерного выпуклого программирования

Подробнее

ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛОГО ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ 1)

ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛОГО ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ 1) ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 3, том 53, 6, с. 867 877 УДК 59.658 ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛОГО ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И

Подробнее

Метод Крылова и Черноусько.

Метод Крылова и Черноусько. Метод Крылова и Черноусько. Пусть управляемый процесс описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений ẋ = f(t, x, u), t [t 0, T ], x(t 0 ) = x 0, u(t) U, где x R n вектор фазовых координат,

Подробнее

МОДИФИЦИРОВАННАЯ ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА. М. В. Долгополик. 24 сентября 2015 г.

МОДИФИЦИРОВАННАЯ ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА. М. В. Долгополик. 24 сентября 2015 г. МОДИФИЦИРОВАННАЯ ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА М. В. Долгополик maxim.dolgopolik@gmail.com 24 сентября 2015 г. Аннотация. В докладе обсуждается один из способов построения модифицированной функции Лагранжа для задач

Подробнее

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы.

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 19 сентября 212 г. Обозначения пусть B это некоторое банахово пространство

Подробнее

4.3 Выпуклые задачи. Доказательство. ˆx absmin P f(x) f(ˆx) 0 = 0, x

4.3 Выпуклые задачи. Доказательство. ˆx absmin P f(x) f(ˆx) 0 = 0, x 4.3 Выпуклые задачи 4.3.1 Задачи без ограничений Пусть f : X R выпуклая функция, отображающая нормированное пространство X в расширенную прямую. Выпуклой задачей без ограничений называется следующая экстремальная

Подробнее

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход.

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход. Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Об одном подходе к исследованию линейной краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений с нагружениями

Об одном подходе к исследованию линейной краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений с нагружениями Д.С. Джумабаев, К.И. Усманов Об одном подходе к исследованию линейной... 42 Об одном подходе к исследованию линейной краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений с нагружениями Д.С. Джумабаев,

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru Е. К. Чернэуцану katerinache@yandex.ru 26 мая 212 г. Памяти Б. Н. Пшеничного (1937 2) Данный доклад является

Подробнее

+ z n 1. Получено рекуррентное соотношение: Применяя это соотношение, найдем

+ z n 1. Получено рекуррентное соотношение: Применяя это соотношение, найдем Региональная олимпиада по математике для студентов технических специальностей вузов Декабрь 205 г., СибГАУ Задания для второго и старших курсов с решениями. Пусть E единичная матрица порядка n, а I квадратная

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство).

Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство). 1 4 Выпуклый анализ Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство). 4.1 Элементы выпуклого анализа 4.1.1 Выпуклые

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Ю. А. Черняев, Метод условного градиента для экстремальных задач с предвыпуклыми ограничениями, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2003, том 43, номер 12,

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ А. Р. ДАНИЛИН, О. О. КОВРИЖНЫХ О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ Рассматривается задача о быстродействии для одной линейной системы с быстрыми и медленными

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

5. Еще о пределах; ряды

5. Еще о пределах; ряды 5. Еще о пределах; ряды Докажем сначала предложение, на которое нам не хватило времени на прошлой лекции. Предложение 5.. Для всякого b > 0 имеем lim n (ln n=n b ) = 0. (Переход к произвольному основанию

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Выпуклые множества и функции

Выпуклые множества и функции Выпуклые множества и функции R n множество наборов из n вещественных чисел. Далее это множество будем называть пространством, его элементы точками, точку с координатами (x 1,..., x n ) будем обозначать

Подробнее

Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Симплекс-метод решения задач линейного программирования Симплекс-метод решения задач линейного программирования Основным численным методом решения задач линейного программирования является так называемый симплекс-метод. Термин «симплекс-метод» связан с тем

Подробнее

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь Предельные теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин. Сходимость по вероятности сходимость с вероятностью единица. Неравенство П.Л.Чебышева. Закон больших чисел для последовательности

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Быстрый градиентный метод

Быстрый градиентный метод Быстрый градиентный метод Родоманов А. О. Кропотов Д. А. Факультет ВМК МГУ им. М. В. Ломоносова 15 апреля 2014 г. Спецсеминар «Байесовские методы машинного обучения» Родоманов А. О., Кропотов Д. А. Быстрый

Подробнее

Численные методы Тема 2. Интерполяция

Численные методы Тема 2. Интерполяция Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Подробнее

Методы оптимизации, ФКН ВШЭ, зима Семинар 3: производные и условия оптимальности. Решение задач. 24 января 2017 г.

Методы оптимизации, ФКН ВШЭ, зима Семинар 3: производные и условия оптимальности. Решение задач. 24 января 2017 г. Методы оптимизации, ФКН ВШЭ, зима 207 Семинар 3: производные и условия оптимальности. Решение задач. 24 января 207 г. Теория Для вычисления большинства производных, которые возникают на практике, достаточно

Подробнее

такова, что: 1)f(, t, y, z) прогрессивно измерима t и для всех (y, z) со значениями в R d 1

такова, что: 1)f(, t, y, z) прогрессивно измерима t и для всех (y, z) со значениями в R d 1 3 2.2.2 Метод сжимаающих отображений Аналогичные рассуждения при определенных условиях справедливы и в общем случае. Приведем условия, при которых существует единственное решение (y(), z()) Y M задачи

Подробнее

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методические

Подробнее

6. Задача Лагранжа 6.1 Постановка задачи

6. Задача Лагранжа 6.1 Постановка задачи 6. Задача Лагранжа 6.1 Постановка задачи B (ξ) min; B i (ξ), i =1,..., m, B i (ξ)=, i =m +1,..., m, (P) ẋ α (t) ϕ(t, x(t)) = t, (1) ξ = (x( ), t, t 1 ), x( ) = (x 1 ( ),..., x n ( )) C 1 (, R n ), заданный

Подробнее

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +,

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +, Лекция 6 ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ В этой лекции мы введём потенциалы простого и двойного слоя, которые уже мы встречали в третьей формуле Грина из предыдущей тематической лекции, и изучим сначала свойства

Подробнее

Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для биматричных игр

Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для биматричных игр КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 202 Т. 4 3 С. 475 482 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ УДК: 59.833 Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ Часть 4

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ Часть 4 Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Ростовский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет Л.Н.Землянухина, А.Б.Зинченко, Л.И.Сантылова МЕТОДИЧЕСКИЕ

Подробнее

MATHEMATICAL PROGRAMMING. Ç. Ä. ÉéêÖãàä V. A. GORELIK

MATHEMATICAL PROGRAMMING. Ç. Ä. ÉéêÖãàä V. A. GORELIK MATHEMATICAL PROGRAMMING V. A. GORELIK The modern methods of solutions of nonlinear extremum problems with restrictions imposed by equality and inequality are described. ê ÒÒÏ ÚappleË ÚÒfl ÒÓ- appleâïâìì

Подробнее

Квадратичные формы. Закон

Квадратичные формы. Закон Материалы к установочной лекции Вопрос 10. Квадратичные формы. Закон инерции. Условия знакоопределенности квадратичных форм. 1 Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу Лагранжа. Обозначения.

Подробнее

Семинары по линейным классификаторам

Семинары по линейным классификаторам Семинары по линейным классификаторам Евгений Соколов 27 октября 2013 г. Пусть X R d пространство объектов, Y = { 1,+1} множество допустимых ответов, X l = (x i,y i ) l i=1 обучающая выборка. Каждый объект

Подробнее

4.7 Сопряженный конус

4.7 Сопряженный конус 4.7 Сопряженный конус 4.7.1 Определение сопряженного конуса Для наглядности представления будем рассматривать пространство R n. Определение. K конус в R n. Сопряженным конусом называется множество K :=

Подробнее

Фейеровские процессы с малыми возмущениями и задачи потокового равновесия в сетях

Фейеровские процессы с малыми возмущениями и задачи потокового равновесия в сетях Фейеровские процессы с малыми возмущениями и задачи потокового равновесия в сетях Е.А. Нурминский, Н.Б. Шамрай 1. Основные определения и результаты Одним из важнейших теоретических инструментов, используемых

Подробнее

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция 2. Свойства биномиальных коэффициентов. Подсчет сумм и метод производящих функций (конечный случай). Полиномиальные коэффициенты. Оценки биномиальных и полиномиальных коэффициентов. Оценки сумм

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения. Кафедра Математики и математических методов в экономике. Направление подготовки 05000

Подробнее

Линейная алгебра

Линейная алгебра Линейная алгебра 22.12.2012 Линейные модели в экономике Линейное программирование Теория двойственности Линейная алгебра (лекция 15) 22.12.2012 2 / 28 Линейное программирование Каждой задаче линейного

Подробнее

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 8-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Исследовать следующие ряды на равномерную сходимость с помощью определения: Д 767

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Методы оптимизации, ФКН ВШЭ, зима 2017 Практическое задание 3: Негладкая и условная оптимизация.

Методы оптимизации, ФКН ВШЭ, зима 2017 Практическое задание 3: Негладкая и условная оптимизация. Методы оптимизации, ФКН ВШЭ, зима 2017 Практическое задание 3: Негладкая и условная оптимизация. Срок сдачи: 7 апреля 2017 (23:59). Язык программирования: Python 3. 1 Алгоритмы 1.1 Субградиентный метод

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

О КОМПОНЕНТАХ ФАКТОРИЗАЦИОННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ В ПОЛОСЕ В. С. Лугавов

О КОМПОНЕНТАХ ФАКТОРИЗАЦИОННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ В ПОЛОСЕ В. С. Лугавов Сибирский математический журнал Июль август, 2003 Том 44, 4 УДК 51921+5192195 О КОМПОНЕНТАХ ФАКТОРИЗАЦИОННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ В ПОЛОСЕ В С Лугавов

Подробнее

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ В СМЫСЛЕ Е.М. ДЫНЬКИНА

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ В СМЫСЛЕ Е.М. ДЫНЬКИНА ISSN 274-863 Уфимский математический журнал. Том 7. 2 (25). С. 66-72. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ В СМЫСЛЕ Е.М. ДЫНЬКИНА УДК 57.53 Р.А. ГАЙСИН Аннотация. Вводится понятие сильной регуляризации положительных

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-NetR Общероссийский математический портал В Ф Бутузов Н Т Левашова А А Мельникова Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе уравнений с различными степенями малого параметра

Подробнее

Гипергеометрические функции

Гипергеометрические функции Гипергеометрические функции 1 Канонический вид уравнения гипергеометрического типа Уравнение гипергеометрического типа σy + τy + λy =, (1.1) где σ(z) полином не старше второй степени, τ(z) полином не старше

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 2. Другие важные свойства

Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ. 2. Другие важные свойства Семинар Лекция 1 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ 1. Факты, сообщённые на лекции 1 (напоминание) Для удобства ссылок приведём некоторые основные факты. Л 1. Функции ограниченной вариации образуют линейное

Подробнее

Об устойчивости разностных схем

Об устойчивости разностных схем Доклады Академии наук СССР 963 Том 9 3 А Н Тихонов А А Самарский Об устойчивости разностных схем Неоднократно высказывалась гипотеза что если разностная схема устойчива в классе постоянных коэффициентов

Подробнее

ОПТИМИЗАЦИЯ РЕСТРИКТИВНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ УПРАВЛЕНИЕМ НА ПРИМЕРЕ ИНЕРЦИОННОГО РЫНКА ОДНОГО ТОВАРА

ОПТИМИЗАЦИЯ РЕСТРИКТИВНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ УПРАВЛЕНИЕМ НА ПРИМЕРЕ ИНЕРЦИОННОГО РЫНКА ОДНОГО ТОВАРА УДК 519865 ОПТИМИЗАЦИЯ РЕСТРИКТИВНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ УПРАВЛЕНИЕМ НА ПРИМЕРЕ ИНЕРЦИОННОГО РЫНКА ОДНОГО ТОВАРА ВВ Поддубный Томский государственный университет E-mail: vvpoddubny@gmailcom

Подробнее

Построение математической модели задачи. Симплекс-метод решения задачи, метод искусственного базиса.

Построение математической модели задачи. Симплекс-метод решения задачи, метод искусственного базиса. ) Задача о планировании производства. Производственному участку может быть запланировано к изготовлению на определённый плановый период времени два вида изделий: A и B. На производство единицы изделия

Подробнее

7. Экстремумы функций нескольких переменных

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n ) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 214, том 5, 6, с. 726 744 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УДК 517.925.52+519.218 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ КРИТЕРИЙ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИЙ СПРОСА

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ КРИТЕРИЙ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИЙ СПРОСА ЭКОНОМИКА 1978 И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ т о м XIV, в ы п. 1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ КРИТЕРИЙ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИЙ СПРОСА Л.Г.МИТЮШИН, В.М.ПОЛТЕРОВИЧ (Москва) В теории потребительского

Подробнее

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Глава 3 ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Лекции 3-4 Интегральное уравнение Фредгольма -го рода как пример некорректно поставленной задачи Эта тема по предмету рассмотрения

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

1 о. Определение асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1)

1 о. Определение асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1) 29. Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и методы ее оценки. Теорема В.И. Зубова о границе области притяжения. В.Д.Ногин 1 о. Определение

Подробнее

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет Кафедра теории функций и функционального анализа

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет Кафедра теории функций и функционального анализа Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет Кафедра теории функций и функционального анализа Курсовая работа Выполнил: студент 331 группы Борис Агафонцев

Подробнее

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда:

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда: Сходимость произвольных рядов. Ниже будут рассматриваться ряды, в которых имеется бесконечное количество положительных членов и бесконечное количество отрицательных членов. Такие ряды называют знакопеременными.

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. П. Тизик, В. И. Цурков, Метод последовательной модификации функционала для решения транспортной задачи, Автомат. и телемех., 2012, выпуск 1, 148 158

Подробнее

Глава 7. Понятие об асимптотических методах

Глава 7. Понятие об асимптотических методах Глава 7 Понятие об асимптотических методах Лекция Регулярно и сингулярно возмущенные задачи При построении математических моделей физических объектов, характеризующихся различными масштабами по пространству,

Подробнее

Теоремы Витали и Безиковича.

Теоремы Витали и Безиковича. Тема 1 Теоремы Витали и Безиковича. Детали теории метрических и топологических пространств можно найти в [1], [2], [], [4], [5]. Напомним, что метрическим пространством называется пара (X, d), где X некоторое

Подробнее

Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа

Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа Дальневосточный математический журнал. 214. Том 14. 2. C. 231 241 УДК 517.95 MSC21 35J5 c A. A. Илларионов, Л. В. Илларионова 1 Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа Представлены

Подробнее

О формулах суммирования и интерполяции

О формулах суммирования и интерполяции О формулах суммирования и интерполяции А В Устинов УДК 51117 1 Введение Известно, что числа Бернулли B n и полиномы Бернулли B n x) возникают в самых разных вопросах теории чисел и приближенного анализа

Подробнее

Лекция 8. Слабая и сильная производные

Лекция 8. Слабая и сильная производные Лекция 8. Слабая и сильная производные Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 9 апреля 2012 г. Определение слабой производной Определение

Подробнее

МЕТОДЫ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ

МЕТОДЫ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика СП КОРОЛЕВА»

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

ТЕОРЕМА БОНДАРЕВОЙ ШЕПЛИ. 18 февраля 2016 г.

ТЕОРЕМА БОНДАРЕВОЙ ШЕПЛИ. 18 февраля 2016 г. ТЕОРЕМА БОНДАРЕВОЙ ШЕПЛИ Н. И. Наумова nataliai.naumova@mail.ru Н. А. Соловьёва vinyo@mail.ru 18 февраля 2016 г. Аннотация. В теореме Бондаревой Шепли устанавливается критерий непустоты C-ядра кооперативной

Подробнее

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1 ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕРИАЛУ ЛЕКЦИИ 1 1. Доказать лемму о баллотировке. Комментарий. Важно показать, что выбор вероятностного пространства (в виде функций, описывающих исходы) позволяет легко применить

Подробнее

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ. В. В. Карелин ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ НАБЛЮДЕНИЯ )

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ. В. В. Карелин ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ НАБЛЮДЕНИЯ ) Сер. 0. 200. Вып. 4 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ УДК 539.3 В. В. Карелин ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ НАБЛЮДЕНИЯ. Введение. Статья посвящена проблеме

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 9-10 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекции 9- Признаки сходимости

Подробнее

1 Экспонента линейного оператора.

1 Экспонента линейного оператора. 134 1. ЭКСПОНЕНТА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. 1 Экспонента линейного оператора. 1.1 Напоминание: геометрическая формулировка основной задачи ОДУ. Напомним, что векторное поле это отображение, которое каждой точке

Подробнее

НАХОЖДЕНИЕ КРАЙНИХ ТОЧЕК СУММЫ ДВУХ ПОЛИТОПОВ. Т. А. Ангелов. 5 мая 2016 г.

НАХОЖДЕНИЕ КРАЙНИХ ТОЧЕК СУММЫ ДВУХ ПОЛИТОПОВ. Т. А. Ангелов. 5 мая 2016 г. НАХОЖДЕНИЕ КРАЙНИХ ТОЧЕК СУММЫ ДВУХ ПОЛИТОПОВ Т. А. Ангелов angelov.t@gmail.com 5 мая 20 г. Аннотация. В работе получен критерий крайности точки у множества, образованного в результате сложения двух политопов.

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

Тема: Числовые последовательности

Тема: Числовые последовательности Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности, свойства сходящихся последовательностей) Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г.

Подробнее

1 Метрические пространства

1 Метрические пространства Содержание Введение Метрические пространства 5 Тема Сходящиеся последовательности в метрических пространствах 5 Тема Топология метрических пространств Тема Полнота метрических пространств 9 Тема Непрерывные

Подробнее

Вариационное исчисление

Вариационное исчисление Глава 1 Вариационное исчисление Началу появления вариационного исчисления дала толчок работа И. Бернулли 1696 года Новая задача, к решению которой приглашаются математики, в которой поставлена задача о

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

Однородные разностные схемы. Консервативность.

Однородные разностные схемы. Консервативность. Однородные разностные схемы. Консервативность. Достаточно часто на практике встречаются задачи, которые содержат дифференциальные операторы с переменными коэффициентами. При построении разностных схем

Подробнее