Основы теории специальных функций

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Основы теории специальных функций"

Транскрипт

1 Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического явления сначала целесообразно рассматривать упрощенные задачи, допускающие аналитическое решение. Во-вторых, эти упрощенные задачи могут использоваться в качестве тестовых для выбора численного алгоритма решения более сложной задачи и его отладки. При решении многих задач теоретической и математической физики используются различные специальные функции. На практике специальные функции обычно возникают как решения различных дифференциальных уравнений. Поэтому в данном курсе будет рассматриваться подход, позволяющий получить все основные свойства специальных функций непосредственно из дифференциальных уравнений, присутствующих в постановке задачи. 1 Дифференциальное уравнение для специальных функций Многие важные задачи теоретической и математической физики приводят к дифференциальному уравнению u + τz) σz) u + σz) u =, 1.1) σ z) где σz) и σz) полиномы не выше второй степени z, τz) полином не выше первой степени z. Частными решениями уравнения вида 1.1) являются классические ортогональные полиномы, цилиндрические и гипергеометрические функции. Эти функции часто называют специальными функциями математической физики. 1

2 Покажем, что с помощью специальной замены искомой функции уравнение 1.1) можно упростить и привести к виду: σz)y + τz)y + λy =, 1.) где λ некоторая постоянная, τz) полином не выше первой степени z. Уравнение 1.) называется уравнением гипергеометрического типа, а его решения функциями гипергеометрического типа. Будем искать решение уравнения 1.1) в виде uz) = ϕz)yz), где функцию ϕz) необходимо подобрать так, чтобы уравнение 1.1) преобразовалось в уравнение 1.). Подставляя uz) в уравнение 1.1), получаем: u = ϕ y + ϕy, u = ϕ y + ϕ y + ϕy ϕ y + ϕ y + ϕy + τ σ ϕ y + ϕy ) + σ σ ϕy = ϕ y + ϕ + τ ) ϕ y + σ ϕ + ϕ ϕ τ σ + σ ) y =. 1.3) σ Потребуем, чтобы коэффициент при y имел вид τz), где τz) некоторый полином σz) не старше первой степени: где πz) = полином не старше первой степени. Так как имеет место равенство τz) τz) ϕ ϕ + τ σ = τz) σz) ϕ ϕ = πz) σz), ϕ ϕ = ) ϕ ) ϕ π ) π ) + = +, ϕ ϕ σ σ то уравнение 1.3) для функции yz) принимает вид: y + τ σ y + { π ) π ) π τ + + σ σ σ + σ } y =, σ }{{ } π σ πσ σ + π +π τ+ σ σ = π σ+π +π τ σ )+ σ σ причем σ = π σ+π +π τ σ )+ σ полином не старше второй степени. Итак, в результате замены приходим к уравнению:

3 y + τ σ y + σ σ y = того же типа, что и исходное уравнение 1.1). Выберем коэффициенты полинома πz) так, чтобы выполнялось равенство σz) = λσz): π σ + π + π τ σ ) + σ = λσ. 1.4) Так как π число, то и k = λ π число. Следовательно, уравнение 1.4) можно переписать в виде: π + τ σ )π + σ kσ =. Это квадратное относительно функции π уравнение имеет корни π ± = σ τ σ ) τ ± σ + kσ. 1.5) Так как функция πz) должна быть полиномом, то подкоренное выражение в 1.5) должно быть представимо в виде полного квадрата некоторого полинома. Из этого условия получаем в общем случае квадратное уравнение для постоянной k. Если k найдено, то по нему можно найти πz) и λ, а затем τz) и ϕz). Все эти функции, вообще говоря, находятся неоднозначно. Выбирать один из возможных вариантов следует в соответствии с дополнительными условиями конкретной задачи. Пример 1.1. Приведите уравнение Бесселя к уравнению гипергеометрического типа. Решение. Запишем уравнение Бесселя в виде z u + zu + z ν )u = u + 1 z u + z ν z u =. Сравнивая это уравнение с уравнением 1.1), находим: σz) = z, τz) = 1, σz) = z ν. В результате замены u = ϕy получаем: σ ) 1 π ± = σ τ τ ± σ + kσ = 1 1 ) 1 ± z + ν + kz = ± z + kz + ν. Подкоренное выражение является полным квадратом, если его дискриминант равен нулю: D = k + 4ν = k = ±iν. Следовательно, π ± z) = ± z iν) = ±iz ± ν). 3

4 Выберем, например, k = iν и π = iz + ν. Тогда λ = k + π z) = iν + 1), τz) = τz) + πz) = 1 + iz + ν, ϕ ϕ = π σ = iz + ν z = i + ν z d dz ln ϕ = i + ν z ϕz) = z ν e iz, ln ϕ = iz + ν ln z + ln = lnz ν e iz ) где нормировочный множитель. Не ограничивая общности, возьмем = 1. Тогда для yz) получим уравнение гипергеометрического типа: zy + iz + ν + 1)y + iν + 1)y =, где uz) = z ν e iz yz). Замечание 1.1 В дальнейшем можно ограничиться случаем, когда σz) не имеет кратных корней. В самом деле, если σz) = z a), то можно сделать замену переменных z a = 1. При этом s d dz = ds dz d ds = 1 z a) d ds = d s ds du dz = s du ds, и уравнение 1.1) принимает вид: d u dz = d s s du ) ds ds = s 4 d u du + s3 ds ds, или, что то же самое, s 4 d u ds + s 3 s 4 τ a + 1/s) ) du ds + s4 σ a + 1/s) u =, d u ds s τ a + 1/s) + s du ds + s σ a + 1/s) u =. 1.6) s Так как s τ a + 1/s) полином не старше первой степени, а s σ a + 1/s) полином не старше второй степени, то уравнение 1.6) является уравнением типа 1.1), где σs) = s кратных корней не имеет. Полиномы гипергеометрического типа Рассмотрим ряд свойств уравнения σy + τy + λy =..1) 4

5 Утверждение.1 Производные y n) любого порядка n функции гипергеометрического типа являются функциями гипергеометрического типа. Решение. Необходимо показать, что функции y n) удовлетворяют уравнению гипергеометрического типа. Докажем это утверждение по индукции. Пусть n = 1. Обозначим v 1 z) = y z), где yz) удовлетворяет уравнению.1). Дифференцируя уравнение.1), получаем: σ y +σ y +τ y +τ y +λ y = σv 1 + σ + τ) v 1 + λ + τ ) v 1 =. v 1 v 1 v 1 v 1 v 1 τ 1 µ 1 Так как τ 1 z) полином степени не старше 1, а µ 1 число, то v 1 z) функция гипергеометрического типа, то есть для n = 1 утверждение.1 справедливо. Введем обозначение v n = y n) и продифференцируем теперь уравнение.1) n раз: n n m σ m) y n+ m) + m= n n m τ m) y n+1 m + λy n) =, m= где n m n! =. Так как σ полином не старше второй степени, а τ полином не n m)!m! старше первой степени, получаем: n σ y n+) + n 1 1 v n n σ y } n+1) {{} v n σv + n nn 1) σ y n) + n v n 1 τ y } n+1) + {{} n 1 v n n τ y n) v n ) n + τ + nσ ) v n + λ + nτ nn 1) + σ v n =. τ n µ n +λ y n) v n = Так как τ n z) = τz) + nσ z) полином не старше первой степени, а µ n = λ + nτ + nn 1) σ число, то уравнение σv n + τ n v n + µ n v n =.) является уравнением гипергеометрического типа. При этом любое решение уравнения.) можно представить в виде v n z) = y n) z), где yz) некоторое решение уравнения.1). Заметим, что при µ n = уравнение.) имеет частное решение v n z) = const. Так как v n z) = y n) z), то это означает, что при λ n = nτ nn 1) σ существует частное решение yz) уравнения.1), являющееся полиномом степени n. Такие решения называют полиномами гипергеометрического типа. 5

6 Чтобы получить явное выражение полинома гипергеометрического типа yz), приведем уравнение.1) к дивергентному виду. Для этого умножим его на некоторую функцию ρz): Заметим, что ρσy + ρτy = ρσy ), если ρσy + ρτy + λρy =. ρσ) = ρτ..3) Далее будем считать, что функция ρz) удовлетворяет этому условию. Уравнение.3) называется уравнением Пирсона. Аналогично введем функцию ρ n z), такую что σρ n ) = τ n ρ n. Тогда уравнение.) можно переписать в эквивалентном виде σρ n v n) + µ n ρ n v n =..4) Установим связь между функциями ρ n и ρ = ρ. Для этого воспользуемся уравнением Пирсона: σρ n ) ρ n = τ n = τ + nσ = σρ ) ρ + nσ σ + σ ρ n ρ n = σ + σ ρ ρ + nσ ρ n ρ n = ρ ρ + n σ σ ln ρ n) = ln ρ ) + nln σ) ρ n = σ n ρ, где нормировочная постоянная. Не ограничивая общности, можно взять = 1. Итак, для функций ρ и ρ n получаем следующие соотношения: ρ n = σ n ρ, ρ n+1 = σρ n. Следовательно, уравнение.4) можно переписать в виде: ρ n v n = 1 µ n ρ n+1 v n+1 ). Пусть m < n целое неотрицательное число. Тогда имеет место цепочка равенств: ρ m v m = 1 ρ m+1 v m+1 ) = 1 ) 1 ) ρ m+ v m+ ) =... = µ m µ m µ m+1 n 1 = 1) n m k=m m 1 Введем обозначения: A = 1, A m = 1) m k= 1 µ k ρ n v n ) n m). µ k. Тогда ρ m v m = A m A n ρ n v n ) n m). 6

7 Если yz) = y n z) полином степени n, то v n = y n n) = const, и v m = y n m) = A mb n ρ n m) n, где B n = yn) n. ρ m A n В частности, при m = получаем явное выражение для полиномов гипергеометрического типа: y n z) = B n ρz) [σn z)ρz)] n)..5) Выражение.5) называют формулой Родрига, так как оно было получено Родригом в 1814 г. для частного случая полиномов гипергеометрического типа полиномов Лежандра, для которых σz) = 1 z, ρz) = 1. 3 Интегральное представление функций гипергеометрического типа Получим обобщение формулы Родрига для частных решений уравнения σy + τy + λy = 3.1) при произвольных значениях λ. Для этого воспользуемся интегральной формулой Коши для аналитической функции f: f n) z) = n! πi fs) ds, s z) n+1 3.) где замкнутый контур, охватывающий точку s = z. Пользуясь равенством 3.), перепишем выражение для полинома гипергеометрического типа y n z), отвечающего λ n = nτ nn 1) σ, в виде: y n z) = B n d n ρz) dz n σn z)ρz)) = n σ n s)ρs) ds, 3.3) ρz) s z) n+1 где n = B nn! πi, ρz) решение уравнения σρ) = τρ. Выражение 3.3) для частного решения уравнения гипергеометрического типа при λ = λ n дает возможность предположить, что при произвольном λ частное решение уравнения 3.1) можно искать в виде: yz) = y ν z) = ν ρz) σ ν s)ρs) ds, 3.4) s z) ν+1 7

8 где ν нормировочная постоянная, а величина ν связана с параметром λ соотношением λ = ντ Контур в выражении 3.4) может быть незамкнутым. νν 1) σ. 3.5) Теорема 3.1 Уравнение 3.1) имеет частные решения вида 3.4), если контур удовлетворяет условиям: 1) при дифференцировании выражения 3.4) можно менять местами порядок дифференцирования по z и интегрирования по s, то есть если имеет место равенство d k σ ν s)ρs) σ ν s)ρs) ds = ν + 1)...ν + k) ds, dz k s z) ν+1 s z) ν+k+1 где k принимает значения 1 и ; ) имеет место равенство где s 1 и s концы контура. σ ν+1 s)ρs) s z) ν+ s =, s 1 Доказательство. Пусть ν корень уравнения 3.5), а y ν z) частное решение уравнения 3.1), которое мы ищем в виде Тогда: y ν z) = ν ρz) w νz), w ν z) = y ν = ν ρ ρ w ν + ν ρ w ν, y ν = ν ρ 3 σ ν s)ρs) ds. s z) ν+1 ρ ) w ν ν ρ ρ w ν νρ ρ Подставляя эти выражения в уравнение 3.5), получаем: w ν + ν ρ w ν. σ ρ 3 ρ ) w ν σ ρ ρ w ν σ ρ ρ w ν + σ ρ w ν τ ρ ρ w ν + τ ρ w ν ντ + νν 1) ρ σ w ν = ) [ σw ν + σ ρ ρ + τ w ν + σ Так как имеет место равенство окончательно получаем: ρ ρ ρ ρ = ) σ ρ ρ τ ρ ρ ντ + ) ρ ) ρ +, ρ ρ 8 ) ] νν 1) σ w ν =.

9 ) [ σw ν + σ ρ ρ + τ w ν + σ ) ρ ρ σ ρ ρ ) τ ρ ρ ντ + Так как функция ρz) удовлетворяет уравнению σρ) = τρ, то σ ρ + σρ = τρ ρ ρ = τ σ. σ ) ] νν 1) σ w ν =. С учетом этого равенства уравнение для функции w ν принимает вид: [ ) τ σ σw ν + τ + σ + τ) w ) τ σ ν + σ τ τσ σ σ σ σ τ )] ντ νν 1) + σ w ν =. Приведем подобные в выражении в квадратных скобках: τ σ ) σ ) τ σ σ τ τσ σ σ = = τ τσ + σ ) τ σ + σ σ + τσ σ ) τ + τσ σ = σ τ. Итак, функция w ν z) должна удовлетворять уравнению σw ν + σ τ)w ν ν + 1) τ + ν ) σ w ν =. 3.6) Покажем, что функция w ν z) действительно является частным решением уравнения 3.6), если выполнены условия теоремы. В самом деле, по условию функцию w ν z) можно дифференцировать по параметру z под знаком интеграла, то есть w νz) = ν + 1) σ ν s)ρs) ds, w s z) ν+ νz) = ν + 1)ν + ) Рассмотрим выражение в левой части уравнения 3.6): Φz) = σw ν + σ τ)w ν ν + 1) = ν + 1) τ + ν ) σ w ν = { ν + )σz) + s z)σ z) τz)) s z) τ z) + ν )} σ σ ν s)ρs) z) ds. s z) ν+3 σ ν s)ρs) ds. s z) ν+3 Обозначим ψz, s) выражение в фигурных скобках под интегралом. Так как имеют место равенства: τz) = τz s + s) = τs) + z s)τ, 9

10 то σz) = σz s + s) = σs) + z s)σ s) + z s) σ, ψz, s) = ν + )σs) + ν + )z s)σ z s) s) + ν + ) σ s)+ +s z)σ s) + z s)σ τs) z s)τ ) s z) τ + ν ) σ = = ν+)σs)+σ s) [ν + )z s) + s z)] +τs)z s) = ν+)σs) s z) τs) + νσ s)). νz s) τ νs) Итак, левая часть уравнения 3.6) имеет вид: Φz) = ν + 1) ν + )σs) s z)τ ν s)) σν s)ρs) ds. s z) ν+3 Пусть ρ ν = σ ν ρ. Тогда σρ ν ) = τ ν ρ ν, и поэтому [ ] d σs)ρν s) = ν + ) σs)ρ νs) ds s z) ν+ s z) + τ νs)ρ ν s) ν+3 s z) = ν + )σs) s z)τ ρ ν s) νs)) ν+ s z). ν+3 Следовательно, Φz) = ν + 1) [ ] d σs)ρν s) ds = ν + 1) σs)ρ νs) ds s z) ν+ s z) ν+ s = ν + 1) σν+1 s)ρs) s 1 s z) ν+ В силу второго требования на контур, сформулированного в условиях теоремы, получаем, что Φz) =, то есть функция w ν z) действительно удовлетворяет уравнению 3.6), что в свою очередь означает, что функция y ν z) является частным решением уравнения 3.1). s s 1. 4 Выбор контура и аналитическое продолжение решения Выбирая различные контуры и различные корни ν уравнения 3.5) в общем случае квадратного), мы получаем различные частные решения уравнения гипергеометрического типа. Как правило, в качестве контура выбираются либо некоторые отрезки прямых, либо лучи. Условия теоремы 3.1 будут выполнены, если функция σν+1 s)ρs) s z) ν+ обращается в ноль на концах контура. В качестве одного из концов контура можно взять корень s уравнения σs) =, если функция ρs) такова, что σ ν+1 ρs) s=s =. 1

11 Если Reν + ) <, то в качестве одного из концов контура можно взять s = z. Ну и наконец, если σ ν+1 s)ρs) lim =, s s z) ν+ то в качестве одного из «концов» контура можно взять s = в этом случае будет представлять собой луч). При построении частных решений уравнения гипергеометрического типа мы будем пользоваться только однозначными аналитическими функциями. Для обеспечения однозначности функций выбора определенной ветви многозначной функции) по некоторым линиям комплексной плоскости проводятся разрезы. В частности, при построении гипергеометрических функций возникнет необходимость выделять определенную ветвь функций вида z a) α. При этом будем брать возводимую в степень величину с наименьшим по модулю значением аргумента, совместимым с разрезом argz a) < π см. рис. 1). Рис. 1: Комплексная плоскость с разрезом вдоль луча x a. Если нужно выбрать ветвь функции 1 z) α 1 + z) β, имеющей две точки ветвления z = ±1, то будем проводить разрез комплексной плоскости, рассматривая каждый из сомножителей последовательно. Шаг 1: функция fz) = 1 z) α будет однозначна в области arg1 z) < π рис. ), причем в этой области f) = 1. Рис. : Комплексная плоскость с разрезом вдоль луча x 1. Шаг : однозначность функции gz) = 1 + z) β будет обеспечена, если выполнено условие < arg1 + z) < π. Это означает, что нужно продлить уже существующий разрез комплексной плоскости до точки x = 1 рис. 3). 11

12 Рис. 3: Комплексная плоскость с разрезом вдоль луча x 1. Итак, для выбора ветви функции qz) = 1 z) α 1 + z) β достаточно сделать разрез комплексной плоскости вдоль действительной оси при x 1. При выборе контура на коэффициенты уравнения и область изменения переменной z приходится накладывать определенные ограничения, для того чтобы выполнялись условия теоремы 3.1. Получаемое в результате частное решение y ν z) = ν σ ν s)ρs) ds 4.1) ρz) s z) ν+1 уравнения σy + τy + λy = 4.) может быть распространено на более широкую область изменения параметров с помощью аналитического продолжения функции 4.1). Напомним, что аналитическим продолжением функции fz), заданной на множестве E, принадлежащем более широкому множеству D, называется функция F z), аналитическая в области D и совпадающая с функцией fz) на множестве E. Теорема 4.1 Принцип аналитического продолжения) Если множество E имеет хотя бы одну предельную точку, лежащую внутри D, то аналитическая на E функция fz) имеет не более одного аналитического продолжения в область D. Условия теоремы 4.1 выполнены, в частности, если множество E это отрезок внутри области D. В дальнейшем будем пользоваться следующей теоремой: Теорема 4. Пусть кусочно-гладкая кривая в плоскости комплексной переменной s, а D область в плоскости комплексной переменной z. Если функция fz, s) непрерывна по совокупности аргументов при s, z D и при любом s аналитична по переменной z в области D, то функция F z) = fz, s)ds 4.3) 1

13 является аналитической в области D, если интеграл в выражении 4.3) сходится равномерно. При этом F z) = fz, s) ds. z Для исследования интегралов вида 4.3) удобно пользоваться следующим признаком равномерной сходимости: если при всех s и z D непрерывная функция fz, s) удовлетворяет неравенству fz, s) ϕs), где функция ϕs) такова, что интеграл ϕs)ds сходится, то интеграл fz, s)ds сходится равномерно по z в области D. Пусть в некоторой области E комплексной плоскости переменной z при некоторых ограничениях на параметры уравнения решение вида 4.1) уравнения гипергеометрического типа построено. Тогда его аналитическое продолжение на более широкую область D также будет удовлетворять уравнению 4.). В самом деле, так как выражение в левой части уравнения 4.) является аналитической функцией, которая на множестве E тождественно равна, в соответствии с принципом аналитического продолжения, она будет тождественно равна и в области D. На основании сказанного выше сформулируем основную идею построения частных решений уравнения гипергеометрического типа: 1) с помощью обобщенной формулы Родрига при некоторых ограничениях на параметры уравнения и область изменения переменной z строится частное решение уравнения для достаточно простого контура ; ) исследуется равномерная сходимость полученного интеграла при ослаблении требований на параметры и переменную z и строится решение уравнения в виде аналитического продолжения интегрального выражения. 5 Некоторые вспомогательные сведения теории специальных функций Напомним, что γ-функцией называется функция Γz) = e t t z 1 dt, Re z >. 5.1) 13

14 Функция Γz) является аналитической функцией в области ее определения, так как для любых δ > и A > при < δ Re z A интеграл 5.1) сходится равномерно по z. Наряду с функцией Γz) будем также рассматривать функцию Bu, v) = 1 t u 1 1 t) v 1 dt. 5.) Функция Bu, v) является аналитической при Re u > и Re v >. Для нее справедливо следующее равенство: Для доказательства равенства 5.3) рассмотрим интеграл Iu, v) = Bu, v) = Γu)Γv) Γu + v). 5.3) + + e ξ +η ) ξ u 1 η v 1 dξdη. С одной стороны, имеет место равенство Iu, v) = Iu)Iv), где Iu) = + e ξ ξ u 1 dξ = + e ξ ξ ) u 1 1 dξ = Γu), то есть Iu, v) = Γu)Γv). С другой стороны, если сделать замену ξ = r cos ϕ, η = r sin ϕ, 4 то + π/ Iu, v) = e r r u v 1 dr cos ϕ) u 1 sin ϕ) v 1 dϕ. } {{ } Γu + v) Сделаем замену переменных t = cos ϕ. При этом dt = cos ϕ sin ϕdϕ, и Iu, v) = Γu + v) 4 1 t u 1 1 t) v 1 dt = 1 Γu)Γv) Γu + v)bu, v) Bu, v) = 4 Γu + v). Для γ-функции справедливы следующие равенства: Γz + 1) = zγz) Γz)Γ1) Γz + 1) = 1 z Bz, 1) = 1 z ; 5.4) Γz)Γ1 z) = π sinπz) Bz, 1 z) = π, где < Re z < 1; 5.5) sinπz) z 1 Γz)Γ z + 1 ) ) 1 z 1 Γz)Γz) = Γ Γz) Γz) 14 = Γz)Γ ) 1 Γ ) 5.6) z + 1

15 z 1 Bz, z) = B z, 1 ) 5.7) Равенство 5.4) доказывается непосредственной проверкой: Bz, 1) = 1 t z 1 dt = 1 z. Докажем равенство 5.5). Для этого рассмотрим подробнее выражение Bz, 1 z): Bz, 1 z) = Сделаем замену переменных 1 t z 1 1 t) z dt = 1 ) z 1 t dt 1 t 1 t. s = t 1 t t = s 1 + s dt = ds 1 + s). При этом 1 t = 1 s 1 + s = s Bz, 1 z) = s z s ds. Рассмотрим интеграл от функции sz 1 по замкнутому контуру, представленному 1 + s на рис. 4. Так как внутри контура находится только одна особая точка s = 1 = e iπ, то Рис. 4: Контур интегрирования. s z s ds = πieiπ ) z 1 = πie iπz. Интеграл по контуру равен сумме четырех интегралов по фрагментам 1,, 3, 4. Рассмотрим отдельно каждый из них: I 1 = 1 s z 1 R 1 + s ds = s z s ds r s z 1 ds = Bz, 1 z) при r, R ; 1 + s 15

16 I = так как Re z < 1; I 3 = 3 s z s ds = π s z 1 R 1 + s ds = I 4 = 4 r s z s ds = R z 1 e iϕz 1) π 1 + Re iϕ ireiϕ dϕ = ir z 1 e iϕz dϕ при R, e iϕ + R 1 e πi s) z e πi s ds = eπiz I 1 e πiz Bz, 1 z) при r, R ; π r z 1 e iϕz 1) π 1 + re iϕ ireiϕ dϕ = ir z e iϕz dϕ при r, 1 + reiϕ так как Re z >. Складывая интегралы I 1, I, I 3, I 4 и переходя к пределу при r и R, получаем равенство из которого находим Bz, 1 z) 1 e πiz) = πie iπz, Bz, 1 z) = iπ e iπz e iπz = π sinπz). Для доказательства равенства 5.7) рассмотрим выражение Bz, z) = 1 [t1 t)] z 1 dt, Re z >. Парабола y = t1 t) симметрична относительно точки t = 1, поэтому Bz, z) = Сделаем следующую замену переменных: 1/ s = 4t1 t) t t + s 4 = t = 1 В результате этой замены приходим к равенству: из которого следует 5.7). Bz, z) = 1 1 z 1 [t1 t)] z 1 dt. 1 1 s ) dt = ds 4 1 s. s z 1 1 s) 1 1 ds = B z, 1, z 1 Рассмотрим некоторые следствия равенств 5.4) - 5.7). Из равенства 5.4) следует, что Γn+1) = n!, где n целое неотрицательное число. Из равенства 5.5) при z = 1 получаем: Γ 1 ) = π sin π = π Γ 16 ) 1 = π. )

17 Это позволяет переписать равенство 5.6) в виде: z 1 Γz)Γ z + 1 ) = πγz). В случае z = n + 1, где n целое неотрицательное число, получаем: π Γ n + 1 ) = Пользуясь равенством 5.4), получаем πγn + 1) n Γn + 1) = n)!. n n! Γz + n + 1) = z + n)γz + n) =... = z + n)z + n 1)...z + 1)zΓz) Γz) = где n целое неотрицательное число. Γz + n + 1) z + n)z + n 1)...z + 1)z, 5.8) Выражение 5.8) можно использовать в качестве аналитического продолжения функции Γz) при Re z > n + 1). Так как n может быть любым целым неотрицательным числом, мы получаем аналитическое продолжение Γz) для любых значений z. Продолженная таким образом функция Γz) будет аналитической всюду, кроме точек z = n, n =, 1,,..., в которых функция Γz) имеет полюсы первого порядка. 17

Гипергеометрические функции

Гипергеометрические функции Гипергеометрические функции 1 Канонический вид уравнения гипергеометрического типа Уравнение гипергеометрического типа σy + τy + λy =, (1.1) где σ(z) полином не старше второй степени, τ(z) полином не старше

Подробнее

Основные свойства гипергеометрических функций

Основные свойства гипергеометрических функций Основные свойства гипергеометрических функций Рекуррентные соотношения и аналитические продолжения. Функция fα, β,, z Как было показано в предыдущем разделе, частным решением гипергеометрического уравнения

Подробнее

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Подробнее

3 Следствия теоремы Коши

3 Следствия теоремы Коши 3 Следствия теоремы Коши Дифференцируемость интегралов типа Коши позволяет получить важное следствие: Теорема 3.1. Дифференцируемая в области Ω C функция f(z) является бесконечно дифференцируемой в каждой

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D. 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора

ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D. 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора ЛЕКЦИЯ 11А Фундаментальные решения в пространстве D 1. Фундаментальные решения линейного дифференциального оператора Определение 1. Линейным дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами порядка

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Лекция Последовательности комплексных чисел

Лекция Последовательности комплексных чисел Лекция 2 2.1 Последовательности комплексных чисел Комплексное число a называется пределом последовательности комплексных чисел {z n }, если для любого числа ε > 0 найдется такой номер n 0 n 0 (ε), что

Подробнее

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход.

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход. Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд.

1.Разложение аналитической функции в степенной ряд. ЛЕКЦИЯ N37. Ряды аналитических функций. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Лорана..Разложение аналитической функции в степенной ряд.....ряд Тейлора.... 3.Разложение аналитической

Подробнее

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +,

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +, Лекция 6 ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ В этой лекции мы введём потенциалы простого и двойного слоя, которые уже мы встречали в третьей формуле Грина из предыдущей тематической лекции, и изучим сначала свойства

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции.

ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции. ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции..окрестность бесконечно удаленной точки.....разложение Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.... 3.Поведение

Подробнее

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1 Тройной интеграл Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие тройного интеграла. Условия его существования. Теорема о среднем. Вычисление тройного интеграла в декартовых и криволинейных координатах. Тройной

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 214, том 5, 6, с. 726 744 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УДК 517.925.52+519.218 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее

ВАРИАНТ 13 ЗАДАЧА 1. ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ (ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ): 6

ВАРИАНТ 13 ЗАДАЧА 1. ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ (ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ): 6 ВАРИАНТ ЗАДАЧА ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ (ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ: а Arch; б РЕШЕНИЕ А БУДЕМ ВЫЧИСЛЯТЬ ARH ПО ФОРМУЛЕ Arch( L( В ДАННОМ ПРИМЕРЕ ZI, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, Arch L(± L(± ДАЛЕЕ ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ

Подробнее

Ряды Лорана. n=1. c n (z z 0 ) n сходится в круге с центром в точке. n=0

Ряды Лорана. n=1. c n (z z 0 ) n сходится в круге с центром в точке. n=0 Ряды Лорана Более общим типом степенных рядов являются ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные степени z z 0. Как и ряды Тейлора, они играют важную роль в теории аналитических функций.

Подробнее

Тема: Криволинейный интеграл II рода

Тема: Криволинейный интеграл II рода Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл II рода Лектор Пахомова Е.Г. 2013 г. 10 10. Криволинейный Криволинейный интеграл интеграл II II рода рода по по координатам

Подробнее

Лекция Замечание об аналитических функциях. 3.2 Степенная функция

Лекция Замечание об аналитических функциях. 3.2 Степенная функция Лекция 3 3. Замечание об аналитических функциях 3.2 Степенная функция Степенная функция w = z n, (3.) где n > натуральное число, является аналитической во всей комплексной плоскости C. Ее производная w

Подробнее

7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме.

7 1. Даны комплексные числа z1 8 8i. 1) Изобразите их на комплексной плоскости. 2) Запишите число 3) Запишите число z 2. в тригонометрической форме. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен научиться: находить тригонометрическую и показательную формы комплексного числа по

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-201, 2015) Вопросы первого коллоквиума 1

М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-201, 2015) Вопросы первого коллоквиума 1 М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-21, 215) Вопросы первого коллоквиума 1 1. Дифференцируемость функции комплексного переменного в точке. Условия Коши Римана (Даламбера Эйлера).

Подробнее

Алгебраические многочлены.

Алгебраические многочлены. Алгебраические многочлены. 1 Алгебраические многочлены степени n над полем K Определение 1.1 Многочленом степени n, n N {0}, от переменной z над числовым полем K называется выражение вида: fz = a n z n

Подробнее

5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) 1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода

5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА (ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) 1. Задача, приводящая к понятию поверхностного интеграла I рода 5 ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла каким криволинейный интеграл I рода является по отношению к

Подробнее

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом Задачи с параметром (графический прием решения) Введение Применение графиков при исследовании задач с параметрами необычайно эффективно. В зависимости от способа их применения выделяют два основных подхода.

Подробнее

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Подробнее

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =. ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) Определение векторного поля Определение векторной линии Задача о работе силового поля Полем называется множество, элементы которого удовлетворяют

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса.

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Для численного решения нелинейных задач в различных ситуациях используют как линейные, так и нелинейные схемы. Устойчивость соответствующих

Подробнее

РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского НП Семерикова АА Дубков АА Харчева РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Вычисление интегралов со степенным и логарифмическим весом

Вычисление интегралов со степенным и логарифмическим весом Лекция 11 Вычисление интегралов со степенным и логарифмическим весом 11.1 Интегралы со степенным весом Рассмотрим интеграл вида x α 1 f(x) dx, (11.1) где α нецелое действительное число, а f(x) рациональная

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

Math-Net.Ru All Russian mathematical portal

Math-Net.Ru All Russian mathematical portal Math-Net.Ru All Russian mathematical portal A. L. Pavlov, Holomorphic factorization of polynomials, Sibirsk. Mat. Zh., 2016, Volume 57, Number 5, 1102 1108 DOI: http://dx.doi.org/10.17377/smzh.2016.57.515

Подробнее

k называется рядом Лорана. Здесь k, z

k называется рядом Лорана. Здесь k, z Практическое занятие 6 Ряды Тейлора и Лорана 6 Ряд Тейлора 6 Ряд Лорана 6 Ряд Тейлора Т е о р е м а ( Т е й л о р а ) Функция однозначная и аналитическая в круге R единственным образом разлагается в этом

Подробнее

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа.

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа. ~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения. Кафедра Математики и математических методов в экономике. Направление подготовки 05000

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Кафедра Математики, физики и информационных технологий Направление подготовки 0030 Математика

Подробнее

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор.

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор. ТЕМА Элементы теории линейных операторов Обратный оператор Вполне непрерывный оператор Основные определения и теоремы Оператор A, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L, называется

Подробнее

Симметрия в задачах с параметрами

Симметрия в задачах с параметрами И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Симметрия в задачах с параметрами Симметрия одно из ключевых понятий математики и физики. Вы знакомы с геометрической симметрией фигур и вообще различных

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ Проф др Авыт АСАНОВ Кыргызско-Турецкий Университет «Манас» Классические понятия производной и дифференциала функции изложены во многих работах Например в []

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-NetR Общероссийский математический портал В Ф Бутузов Н Т Левашова А А Мельникова Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе уравнений с различными степенями малого параметра

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ В РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРО- И МАГНИТОСТАТИКИ

ПРИМЕНЕНИЕ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ В РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРО- И МАГНИТОСТАТИКИ Р.В. Константинов ПРИМЕНЕНИЕ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ В РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРО- И МАГНИТОСТАТИКИ В пособии рассматриваются несколько модельных задач электро- и магнитостатики на плоскости, решение

Подробнее

Теория функций комплексного переменного

Теория функций комплексного переменного Теория функций комплексного переменного С. Г. Бугаева Физический факультет Новосибирский государственный университет Эти слайды сопровождали лекции и содержат некоторые (далеко не все!!!) определения и

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ L p ПРИ p 1 ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ.

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ L p ПРИ p 1 ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ L p ПРИ p 1 ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. В.А.Ильин, А.А.Кулешов Рассмотрим на этот раз в открытом с одной стороны

Подробнее

Однородные разностные схемы. Консервативность.

Однородные разностные схемы. Консервативность. Однородные разностные схемы. Консервативность. Достаточно часто на практике встречаются задачи, которые содержат дифференциальные операторы с переменными коэффициентами. При построении разностных схем

Подробнее

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Глава 7. Понятие об асимптотических методах

Глава 7. Понятие об асимптотических методах Глава 7 Понятие об асимптотических методах Лекция Регулярно и сингулярно возмущенные задачи При построении математических моделей физических объектов, характеризующихся различными масштабами по пространству,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Лекция 10 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. 1. Банаховы алгебры

Лекция 10 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ. 1. Банаховы алгебры Лекция 0 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ В этой лекции мы изучим банаховы алгебры и рассмотрим спектральную теорию операторов, действующих в банаховом пространстве, которое в данной лекции всюду

Подробнее

Опорный конспект лекций по курсу ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Опорный конспект лекций по курсу ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Н.А. Бушуева, В.М. Трутнев Опорный конспект лекций по курсу ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Красноярск 2007 Оглавление ЛЕКЦИЯ 1. Ряд Лорана 5 1.1. Ряды Лорана и их области сходимости........ 5

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Лекция 1 ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА

Лекция 1 ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА Лекция ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА В этой лекции мы рассмотрим основные свойства решений уравнения Лапласа и уравнения Пуассона в гладких областях. Многие результаты известны из курса лекций ММФ для третьего курса.

Подробнее

О формулах суммирования и интерполяции

О формулах суммирования и интерполяции О формулах суммирования и интерполяции А В Устинов УДК 51117 1 Введение Известно, что числа Бернулли B n и полиномы Бернулли B n x) возникают в самых разных вопросах теории чисел и приближенного анализа

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Функции комплексного переменного

Функции комплексного переменного 1 Основные понятия функций комплексного переменного Основные понятия, связанные с функцией комплексного переменного, находятся так же, как и в действительной области. Пусть заданы два множества комплексных

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

1 Комплексные функции

1 Комплексные функции 1 Комплексные функции 1.1 Комплексные числа Напомним, что комплексные числа можно определить как множество упорядоченных пар вещественных чисел C = {(x, y) : x, y R}, z = x + iy, где i мнимая единица (i

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. по дисциплине: комплексного переменного по направлению подготовки: факультеты: для всех факультетов кафедра: курс:

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. по дисциплине: комплексного переменного по направлению подготовки: факультеты: для всех факультетов кафедра: курс: УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Ю.А. Самарский 10 июня 2010 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ Теория функций по дисциплине: комплексного переменного по направлению подготовки: 010600 факультеты: для всех факультетов

Подробнее

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( )

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( ) 8 и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- поверхностью z = f(, лельную оси OZ т.е. f(, s= v ц ( D) 4 Вычисление интеграла по фигуре от скалярной функции в декартовой системе координат Вычисление

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски Тема КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода Вычисление

Подробнее

Справедливо и обратное утверждение.

Справедливо и обратное утверждение. Понятие комплексного переменного Предел и непрерывность комплексного переменного Пусть дано два множества комплексных чисел D и Δ и каждому числу z D поставлено в соответствие число ω Δ которое обозначается

Подробнее

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь

Доказательство: Применив теорему заметим что F F ( x ) во всех точках непрерывности предельной функции. Очевидно что 0 x < a F = x a Выберем произволь Предельные теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин. Сходимость по вероятности сходимость с вероятностью единица. Неравенство П.Л.Чебышева. Закон больших чисел для последовательности

Подробнее

О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры

О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры Математический сборник т 7(69) 95 А Н Тихонов О системах дифференциальных уравнений содержащих параметры Рассмотрим систему дифференциальных уравнений n и решение этой системы определяемое условиями Это

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

I(G i, M i ) = f(ξ i, η i ) Δs i, Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань

I(G i, M i ) = f(ξ i, η i ) Δs i, Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань Двойные интегралы Основные понятия и теоремы 1. Определение двойного интеграла. Пусть G квадрируемая (и, следовательно, ограниченная) область (открытая или замкнутая) на плоскости и пусть в области G определена

Подробнее

2. Пространства Соболева

2. Пространства Соболева 2. Пространства Соболева В теории дифференциальных уравнений в основном имеют дело с измеримыми функциями. Пусть область в R d. Функция u : R называется измеримой, если она является поточечным пределом

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

1., 2., 3., где а, d постоянные числа.

1., 2., 3., где а, d постоянные числа. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь

Подробнее

Об устойчивости разностных схем

Об устойчивости разностных схем Доклады Академии наук СССР 963 Том 9 3 А Н Тихонов А А Самарский Об устойчивости разностных схем Неоднократно высказывалась гипотеза что если разностная схема устойчива в классе постоянных коэффициентов

Подробнее

+ z n 1. Получено рекуррентное соотношение: Применяя это соотношение, найдем

+ z n 1. Получено рекуррентное соотношение: Применяя это соотношение, найдем Региональная олимпиада по математике для студентов технических специальностей вузов Декабрь 205 г., СибГАУ Задания для второго и старших курсов с решениями. Пусть E единичная матрица порядка n, а I квадратная

Подробнее

Несобственные интегралы первого рода

Несобственные интегралы первого рода ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им НИЛобачевского» Несобственные интегралы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Характеристические задачи. Задача Гурса. Задача Дарбу.

Характеристические задачи. Задача Гурса. Задача Дарбу. Характеристические задачи. Задача Гурса. Задача Дарбу..Характеристические задачи. Наряду с задачей Коши для волнового уравнения могут ставиться и другие задачи важные в приложениях. При изучении процессов

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ 6 СЕМЕСТР ТЕСТОВАЯ ВЕРСИЯ

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ 6 СЕМЕСТР ТЕСТОВАЯ ВЕРСИЯ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ 6 СЕМЕСТР ТЕСТОВАЯ ВЕРСИЯ А. А. Пожарский Содержание Предисловие 2 1 занятие 1. O-символика. 4 2. Асимптотика интегралов типа Лапласа. 5 3. Асимптотика интегралов типа Фурье. 10 2

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Глава 3 ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Лекции 3-4 Интегральное уравнение Фредгольма -го рода как пример некорректно поставленной задачи Эта тема по предмету рассмотрения

Подробнее

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

21-е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр -е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти разложения функции в степенной ряд по степеням, вычислить радиус сходимости степенного ряда: A f()

Подробнее

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ЛЕКЦИЯ 7 Неограниченные линейные операторы Хотя методами главы I нам удалось исследовать многие задачи математической физики, некоторые вполне классические задачи не

Подробнее

УДК Решение уравнения Риккати и его применение к линейным уравнениям второго порядка

УДК Решение уравнения Риккати и его применение к линейным уравнениям второго порядка 1 УДК 517 96 1. Решение уравнения Риккати и его применение к линейным уравнениям второго порядка Чочиев Тимофей Захарович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Южный Математический

Подробнее

КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е.А. Турилова ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Е.А. Турилова ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Е.А. Турилова ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Казань - 2009 Печатается по решению секции научно-методического совета КГУ В учебном пособии

Подробнее

6.1 Определения, предварительные сведения

6.1 Определения, предварительные сведения 6. Неявные функции 6.1 Определения, предварительные сведения Зависимость одной переменной от другой (или от других) не обязательно может быть выражена при помощи так называемого явного представления, когда

Подробнее