Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2"

Транскрипт

1 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких независимых переменных и содержащих независимые переменные неизвестную функцию и производные неизвестной функции Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями Если неизвестная функция зависит от одной переменной то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением если неизвестная функция зависит от нескольких переменных то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных Простейший пример обыкновенного дифференциального уравнения вычисление первообразной для заданной функции здесь имеем уравнение F ( ) f ( ) Обыкновенное дифференциальное уравнение можно записать в общем виде: (n) F( ) Порядок старшей производной неизвестной функции называется порядком дифференциального уравнения Дифференциальное уравнение называется разрешенным относительно старшей производной если оно записано в виде: ( n) ( n ) F( ) Решением дифференциального уравнения называется функция () подстановка которой в дифференциальное уравнение обращает его в тождество Нахождение решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой В качестве примера решим дифференциальное уравнение d d Так как то уравнение примет вид и найдем его решение d d C Отсюда d C и получим общее решение уравнения C C 6 где C и C - произвольные постоянные Для выделения единственного решения необходимо задать два условия: ( ) () из которых находим C и C Следовательно единственное решение уравнения 6 d

2 Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n го порядка у ( C C Cn) зависит от n произвольных независимых постоянных C C Cn Для выделения частного решения необходимо задать n начальных условий Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( ) () Если это уравнение можно разрешить относительно то записывают уравнение в виде f ( Множество решений уравнения () может быть получено в виде уравнения G ( C) которое называется общим интегралом дифференциального уравнения Множество решений уравнения () полученное в виде уравнения ( C) называется общим решением дифференциального уравнения Из общего интеграла и общего решения при каждом фиксированном значении постоянной C получают частное решение дифференциального уравнения Для этого задают начальное условие ) ( Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение f( ) f( где f ( ) и f( - заданные функции называется уравнением с разделяющимися переменными Его общий вид: d f( ) f( d Для нахождения решения разделим переменные в уравнении Предположив что f ( ) преобразуем уравнение: d f( ) d f ( Левая часть полученного уравнения зависит от правая - от Интегрируя обе части уравнения d f( ) d f( получим общий интеграл уравнения G ( F( ) C где G ( - первообразная функции F () - первообразная функции ( ) f ( f C - произвольная постоянная Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными записывают и в дифференциалах: P ( ) P ( d Q ( ) Q ( d Разделив это уравнение на P Q ( ) получим уравнение с разделенными переменными (

3 P ( ) Q ( d d Q ( ) P ( Проинтегрировав это уравнение получим общий интеграл уравнения P ( ) Q ( d d С Q ( ) P ( При делении уравнения на P ( Q ( ) можно потерять решения k при которых Q ( k ) и l при которых P ( l ) Такие решения k и l могут входить в общий интеграл при определенных значениях постоянной C или могут быть решениями исходного уравнения но не входить в общий интеграл уравнения Эти случаи необходимо проверять отдельно Рассмотрим некоторые задачи которые решаются при помощи дифференциальных уравнений Задача Найти уравнение кривых в каждой точке которых отрезок касательной заключенный между осями координат делится пополам точкой касания Пусть точка M ( - произвольная точка искомой кривой f () и уравнение касательной k к кривой в этой точке (рис) Y A M O B X Рис По условию AM BM значит или k Так как k то получим дифференциальное уравнение Отсюда С где С произвольная постоянная Это определяет множество кривых удовлетворяющих условию задачи Для выбора единственной кривой необходимо задать начальное условие например кривая должна проходить через точку N ( ) Запишем условие: () Из этого условия находим С Получили единственное решение Задача Эластичность функции спроса для любых значений цены p равна Найти функцию спроса По определению эластичности p dq E p ( q) q dp E p (q)

4 Тогда из условия задачи получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными p dq q dp Найдем решение этого уравнения: dq dp C ln q ln p ln C q q p p Задача Найти функцию (t) изменения численности населения некоторого региона в зависимости от времени t если в начальный момент времени численность населения равна () а количество новорожденных и умерших пропорциональны соответственно с коэффициентами k и k Изменение численности населения за промежуток времени t равно разности между числом родившихся и умерших за это время: k t k t и отсюда получаем равенство ( k k) t Перейдя к пределу в этом равенстве при t получим дифференциальное уравнение с начальными условиями: ( k k) () Решим это уравнение: d ( k k dt ( k k ) t ln ( k k) t ln C Ce Из начального условия находим С и окончательно e ( k k ) t 4 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка Функция F( называется однородной степени если для любого t она удовлетворяет равенству F( t t t F( Примеры однородных и неоднородных функций Функция F ( 7 - функция однородная степени так как F ( t t ( t) 7( t) t t( t t ( 7 ) Функция F ( e -однородная функция степени действительно Функция -неоднородная функция F ( t t tte t t t e F( 4 4

5 Дифференциальное уравнение P ( d Q( d где P( и Q( - однородные функции одной степени называется однородным дифференциальным уравнением Это уравнение заменой где - новая неизвестная функция приводится к уравнению с разделяющимися переменными Действительно пусть P( и Q( - однородные функции степени Приняв t получим P( ) P( и Q( ) Q( Обозначив теперь P ( ) P( )и Q ( ) Q( ) получим дифференциальное уравнение P ( ) d Q ( ) d Далее учитывая равенства d d d получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными P ( ) d Q ( )( d d) ( P ( ) Q ( ) ) d Q ( ) d Пример Проинтегрировать дифференциальное уравнение Перепишем это уравнение в дифференциалах: d ( ) d Сделаем замену d d d d ( ) d ( d d) ( ) d ( d d) ( ) d ( ) d d Получили уравнение с разделяющимися переменными d d Отсюда d d Интегрируем это уравнение ln Сделав обратную замену ln C ln C e C получим общий интеграл исходного уравнения e C 5

6 К однородным дифференциальным уравнениям при помощи соответствующей замены можно свести дифференциальные уравнения a a f a Пусть и ( х у) - решение системы линейных уравнений a Тогда заменой a a уравнение приводится к однородному уравнению: v f v a a c c v v c c a Если то необходимо сделать замену a z a Пример Решить дифференциальное уравнение Для этого уравнения следовательно замену необходимо выполнить по первому варианту Из системы уравнений находим и Отсюда v d d d dv и получим однородное дифференциальное уравнение ( v) dv ( v) d Для решения этого уравнения сделаем замену v w : ( w)( wd dw) ( w) d ( w ) d ( w) dw Разделим переменные: ( w) d dw ( w ) Проинтегрируем это уравнение ( w) d dw ( w ) d dw w w 6

7 ln ln w ln w ln C ( w ) ( w ) C Полученное уравнение общий интеграл возведем его в квадрат и последовательно сделаем обратную замену: 4 v ( w ) ( w ) C w ( v ) ( v ) C v ( C Последнее равенство представляет общий интеграл исходного уравнения Пример Решить дифференциальное уравнение 5 Здесь поэтому необходима следующая замена z : ) ( d dz z dz z dz z dz z 5 d z 5 d z 5 d z 5 d z 5 Интегрируем последнее уравнение z 5 5 dz d dz d z 5ln z 5 C z 5 z 5 Подставив z получим общий интеграл исходного уравнения ( 5ln 5 C 5 Линейные дифференциальные уравнения Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение ( ) ( ) ( ) () Если () то это уравнение можно представить в виде: p( ) f ( ) () где ( ) ( ) p ( ) f ( ) ( ) ( ) Если правые части уравнений () и () равны нулю то эти уравнения называются однородными в противном случае неоднородными Линейные дифференциальные уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами Если в уравнении () ( ) а и ( ) то есть эти функции являются константами то уравнение () называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим однородное уравнение () d d Перепишем его в виде: или d В этом уравнении равенство дифференциалов d функций одного и того же аргумента х Интегрируя его получаем общее решение уравнения () 7

8 ln ln C Ce (4) где С - произвольная константа Это решение зависит от неопределенной константы С придавая которой различные значения можно получить различные интегральные кривые уравнения () Если необходимо найти интегральную кривую проходящую через точку M ( ; ) то нужно подставить координаты точки в общее решение (4) и определить значение константы С С этим значением константы формула (4) определяет единственную интегральную кривую и частное решение уравнения () Для определения частного решения задача формулируется следующим образом: найти решение уравнения: если ( ) Такая постановка задачи называется задачей с начальным условием для дифференциального уравнения или задачей Коши Эта задача имеет единственное решение которое определяется формулой e Рассмотрим теперь случай неоднородного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами Найти решение уравнения c (5) с начальным условием ( ) Предположим что и введем новую неизвестную z c Получим однородное уравнение: c z z c или z z c Решением этого уравнения является функция z z e где z Сделав обратную замену получим решение неоднородного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами при заданном начальном условии: с с e (6) Если в уравнении (5) то его решением при заданном начальном условии имеет вид: ( ) c Решение (6) состоит из двух функций с с e и Решение назовем равновесным оно получается из уравнения (5) при Поэтому решение (6) уравнения (5) представляют как сумму равновесного значения и отклонения от равновесного значения Это отклонение убывает экспоненциально с ростом при Такое решение называется асимптотически устойчивым (рис ) Если же то отклонение увеличивается с ростом и называется неустойчивым (рис ) 8

9 с Y O X Рис с Y O X Рис Динамическая модель Вальраса Рассмотрим динамическую модель устойчивости рынка одного товара Имеется несколько продавцов и несколько покупателей товара Объявляется цена p на товар после чего каждый продавец сообщает сколько товара он может продать при такой цене Суммарное количество товара выставляемое на продажу при данной цене называется предложением и обозначается S (p) Каждый покупатель также сообщает сколько товара он собирается купить при данной цене Сумма потребностей покупателей в дальнейшем называется спросом и обозначается D ( p) Разность между спросом и предложением называется избыточным спросом и обозначается E ( p) D( p) S( p) Если избыточный спрос положителен то цена растет до тех пор пока не будет достигнуто равновесие которое определяется равенством спроса и предложения то есть равенством D ( p) S( p) или E (p) При отрицательном избыточном спросе предложение избыточное поэтому цена снижается пока не наступит равновесие Кроме того предположим что скорость изменения цены во времени пропорциональна избыточному спросу: малый избыточный спрос вызовет медленное увеличение цены товара большой избыточный спрос быстрое увеличение цены малое избыточное предложение медленное понижение цены и т д Отсюда следует уравнение dp ke p dt где k - положительный коэффициент пропорциональности Пусть спрос и предложение являются линейными функциями цены: 9

10 D ( p) p S ( p) p и в начальный момент времени цена товара p ( ) p Тогда получим дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами p t k p t k при начальных условиях p ( ) p Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами которое имеет решение k t p t p e которое устойчиво если и неустойчиво при Но - тангенс угла наклона кривой спроса а - тангенс угла наклона кривой предложения и если выполняется условие (которое верно при убывании спроса и возрастании предложения с ростом цены ) рынок устойчив то есть избыточный спрос снижается и окончательно устраняется возрастающей ценой Если рынок неустойчив: будет иметь место непрерывная и неограниченная инфляция Линейные дифференциальные уравнения первого порядка с переменными коэффициентами Рассмотрим теперь линейные дифференциальные уравнения первого порядка с переменными коэффициентами p( ) f ( ) (7) Найдем сначала решение однородного уравнения: p( ) Разделим переменные d p d и после интегрирования получим ln p d ln C p d Ce (8) где С - неопределенная константа которую можно найти из начального условия Найдем теперь решение неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка с переменными коэффициентами Применим для этого метод вариации произвольной постоянной Решение уравнения (7) будем искать в виде подобном решению однородного уравнения заменив в формуле (8) произвольную постоянную С на неизвестную функцию C () Подставим функцию p d C( ) e в уравнение (7): p d C e p d p d C e p d C e p C e p C e Отсюда получаем уравнение относительно функции C () : C e p d f p p d f

11 Решив его C находим и общее решение уравнения (7): e f p d f e e p d p d d Пример 4 Решить уравнение c начальным условием () Решим сначала однородное уравнение : d d d C ln ln ln c d Решение неоднородного уравнения будем искать в виде C( ) Так как C ( ) С и подставив и в исходное уравнение получим: C ( ) С С или C ( ) Значит С C C и общее решение исходного уравнения: Из начального условия найдем значение неопределенной константы C и получим окончательный ответ: d 6 Дифференциальные уравнения Бернулли Уравнением Бернулли называется уравнение p( ) q( ) Это уравнение заменой сводится к линейному уравнению Действительно p( ) q( ) Умножив последнее уравнение на и разделив на получим линейное уравнение ( ) p( ) ( ) q( )

12 Пример 4 Решить уравнение c начальным условием () Это уравнение Бернулли ( ) сделаем замену Отсюда Получим уравнение затем умножим его на и разделим на : Это линейное неоднородное уравнение Решим его методом вариации произвольной постоянной d d ln d ln C Ce C( ) e C ( ) e C( ) e C ( ) e C( ) e C( ) e Общее решение C ( ) e C( ) e d e C Ce Ce Из начального условия найдем С Окончательно частное решение e 7 Уравнения в полных дифференциалах Уравнение P ( d Q( d называется уравнением в полных дифференциалах если левая часть его есть полный дифференциал некоторой функции ( те P ( d Q( d d( Тогда уравнение можно записать в виде d ( и его общий интеграл определяется равенством ( С Для того чтобы уравнение было в полных дифференциалах необходимо и достаточно выполнение равенства P ( Q( Действительно запишем равенство d( ( ( d d Отсюда следует ( ( P( Q( d d Пример 5 Решить уравнение Из уравнения следует d и C

13 Пример 6 Решить уравнение ( ) d ( ) d Из свойств дифференциала получаем ( ) d( ) ( ) d( ) d ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) ( ) С Пример 6 Найти общий интеграл уравнения ( 6 ) d (6 4 ) d Покажем что это уравнение в полных дифференциалах Действительно для коэффициентов уравнения P ( 6 и Q( 6 4 вычислим производные P( Q( и и равенство P ( Q( выполняется Теперь уравнение преобразуем последовательно d 6 d 6 d 4 d d 6( d d 4 d d d(( ) 4 d d ( ( 4 ) Значит ( 4 C Пример 7 Решить уравнение ( 5) d ( ) d Для коэффициентов уравнения P ( 5 Q( частные производные равны: P( Q( и Следовательно исходное уравнение уравнение в полных дифференциалах Найдем функцию ( дифференциал которой представляет левую часть уравнения Запишем равенства ( ( 5 Интегрируем первое равенство: где ( - неопределенная функция Эту функцию найдем из второго равенства:

14 ( ( ( 5 ( ) ( ) C ( ( 5 C Общий интеграл уравнения 5 C 8 Дифференциальные уравнения высших порядков Дифференциальные уравнения второго порядка записываются в виде F ( ) или в виде f ( ) Общим решением этого уравнения называется функция ( C C ) где C и C - произвольные постоянные Для определения частного решения задают начальные условия (задача Коши): ( ) ( ) Дифференциальные уравнения второго порядка можно решать методом понижения порядка Пусть дано уравнение f () Порядок этого уравнения понизим заменой g() Тогда g () и получим уравнение первого порядка g ( ) f ( ) Решив это уравнение найдем функцию g g() и теперь необходимо решить уравнение g() В итоге получим общее решение дифференциального уравнения второго порядка Пример 8 Найти общее решение уравнения Пусть g() тогда решим уравнение Теперь решим уравнение g ( ) g ( ) ( ) d C C d ( C) d C C Рассмотрим теперь уравнение f ( ) не содержащее явно неизвестную функцию Заменим g() тогда g () и получим уравнение первого порядка 4

15 g f ( g) Пусть функция g ( ) ( C) - общее решение этого уравнения и решив уравнение ( C) получим общее решение дифференциального уравнения второго порядка ( C) d C Пример 9 Решить уравнение х Пусть g() тогда g () и получим уравнение g g Решим его: dg g d ln g ln ln C И найдем решение уравнения C C С 9 Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Уравнение p q f () () где p q - действительные числа f () - заданная функция называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами Если f () то уравнение называется однородным Доказано что существует единственное решение уравнения () удовлетворяющее условиям: ( ) ( ) где - действительные числа Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Пусть дано однородное уравнение p q () Уравнение p q называется характеристическим уравнением уравнения () В зависимости от корней и характеристического уравнения записывается общее решение уравнения () Если корни характеристического уравнения и действительны и различны то общее решение имеет вид: ( ) Ce Ce где C и C - произвольные постоянные Если характеристическое уравнение имеет один действительный корень кратности то общее решение имеет вид: ( ) ( C C) e где C и C - произвольные постоянные 5

16 Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни i и i то общее решение имеет вид: ( ) ( C sin C cos ) e где C и C - произвольные постоянные Пример Найти решение дифференциального уравнения с начальными условиями () () 4 Запишем характеристическое уравнение: Найдем его корни: и Общее решение дифференциального уравнения: ( ) Ce Ce где C и C - произвольные постоянные Найдем постоянные C и C из начальных условий: ( ) C C и ( ) C C 4 Из системы уравнений C C получим C и C Решение исходного уравнения : C Пример Решить дифференциальное уравнение с начальными условиями () () Характеристическое уравнение имеет один корень кратности два Тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид: где C и C - произвольные постоянные C 4 ( ) e e ) ( ) ( C C e Найдем постоянные C и C из начальных условий: ) C и ) C C ( ( C Решение исходного уравнения: ( ) ( ) e Пример Решить дифференциальное уравнение с начальными условиями () () Характеристическое уравнение имеет два комплексных корня i и i Следовательно и Тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид: ( ) ( C sin C cos ) e где C и C - произвольные постоянные Найдем постоянные C и C из начальных условий: ( ) C и ( ) C C C Решение исходного уравнения: 6

17 ( ) e cos Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами p q f () () и соответствующее ему однородное уравнение p q () Пусть * ( ) - частное решение неоднородного уравнения () () - общее решение однородного уравнения () тогда общее решение () неоднородного уравнения () находится по формуле ( ) * ( ) () Если правая часть уравнения () функция f () общего вида то частное решение * ( ) можно находить методом вариации произвольных постоянных Для случаев когда f () имеет специальный вид применяется метод неопределенных коэффициентов Этот метод состоит в том что по виду функции f () определяется предполагаемое решение * ( ) с неопределенными коэффициентами и подставляется в решение () а затем из полученного тождества находятся неопределенные коэффициенты Пусть уравнение () имеет вид p q P ( ) e где P n () - алгебраический многочлен степени n В этом случае частное решение * ( ) ищется в виде * r Qn ( ) где r - число равное кратности как корня характеристического уравнения p q Q n () - алгебраический многочлен степени n с неопределенными коэффициентами Если уравнение () имеет вид p q ( P ( )sin Q ( )cos ) e где P n () и () Q * ( ) ищется в виде где r - число равное кратности n n e - алгебраические многочлены степени n и соответственно то решение * r ( Rk ( )sin Sk ( )cos ) e i как корня характеристического уравнения p q R k () S k () - алгебраические многочлены степени k ( k a( n )) с неопределенными коэффициентами 7

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x)

называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) Исследование и построение графиков функций Схема исследования графика функции Найти область определения функции множество значений (по возможности точки разрывов вертикальные асимптоты Прямая 0 называется

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Часть 1. Основные понятия. 1.1. Введение 2 1.2. Начальные условия 4 1.3. Составление дифференциальных уравнений 5 1.4.

Подробнее

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Стр. 1 из 17 26.10.2012 11:39 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 010300.62 Математика. Компьютерные науки Дисциплина: Дифференциальные уравнения Время выполнения

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Однородные линейные дифференциальные уравнения

Однородные линейные дифференциальные уравнения 1 Семинар 6 по теме Дифференциальные уравнения Однородные линейные дифференциальные уравнения Линейными дифференциальными уравнениями назвыаются уравнения вида: a k (x) y (k) (x) = 0 Такие уравнения называются

Подробнее

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1).

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1). Лекция. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Теорема.. Если: функция непрерывна на отрезке [,],

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению

Романова Л.Д., Ланцова В.А., Романова Е.Г. Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Кафедра Высшей и прикладной математики Романова ЛД, Ланцова ВА, Романова ЕГ Контрольные задания по высшей математике и методические

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ЕАКОГАН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие по дисциплине математика для студентов обучающихся по специальности Автомобиле-и тракторостроение

Подробнее

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: Однородные уравнения Линейные уравнения Уравнения Бернулли Лектор Рожкова СВ 07 год 8 Однородные уравнения Функция M, называется однородной

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды»

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Новосибирский технологический институт филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ

Министерство общего и профессионального образования РФ Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет Министерство общего и профессионального образования РФ Назарова Л.И. Дифференциальные

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДУ допускающие понижение ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДУ линейные неоднородные (ДУЛН) ДУ линейные однородные

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua matmorgua Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 07 07 Кафедра «Высшая

Подробнее

5. УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Способы решения

5. УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Способы решения УРАВНЕНИЯ НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Способы решения Уравнениями первого порядка неразрешенными относительно производной называются уравнения вида F ( x ) () Уравнение () можно решать следующими

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

Тема 10. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования.

Тема 10. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования. Тема 0 Неопределенный интеграл Основные свойства Таблица неопределенных интегралов Метод непосредственного интегрирования Неопределенный интеграл На занятии по заданной функции y f по известным формулам

Подробнее

x принимает значение f a

x принимает значение f a Практическое занятие Тема: Функция Область определения и множество значений функции Цель: Формирование навыков нахождения области определения функций, и вычисления частных значений функций На выполнение

Подробнее

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 14.1 Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава 1 Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка................................. 8 1. Основные понятия

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

Кафедра «Физика и математика» ВОПРОСЫ по дисциплине «Дифференцтальные уравнения»

Кафедра «Физика и математика» ВОПРОСЫ по дисциплине «Дифференцтальные уравнения» Министерство образования и науки Республики Казахстан Каспийский государственный университет технологий и инжиниринга имени ШЕсенова Кафедра «Физика и математика» Государственный экзамен по профилирующей

Подробнее

Тематика и расписание 3-х тестов по дифференциальным уравнениям. (ориентировочные сроки 05 марта, 10 апреля, 15 мая)

Тематика и расписание 3-х тестов по дифференциальным уравнениям. (ориентировочные сроки 05 марта, 10 апреля, 15 мая) Тематика и расписание 3-х тестов по дифференциальным м (ориентировочные сроки 05 марта, 10 апреля, 15 мая) Тест по интегральным м и вариационному исчислению предполагается один - в конце семестра (ориентировочно,

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: ВПБелкин Лекция Неопределенный интеграл Основные понятия Свойства неопределенного интеграла 3 Основная таблица первообразных 3 4 Типовые примеры 3 5 Простейшие

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ АН Дук ЕГ Ткаченко НВ Целуйко ГМ Бартенев ВВ Толстой ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть II Разделы: Дифференциальное исчисление

Подробнее

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. Глава Введение Лекция Понятие дифференциального уравнения Основные определения Определение Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком производной

Подробнее

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Инженеру часто приходится иметь дело с техническими системами и технологическими процессами, характеристики которых непрерывно меняются со временем t Эти

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации ЕК Васенкова ЕС Волкова ИГ Шандра МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс лекций Москва 00 УДК 5(0758 ББК 8 Д

Подробнее

Расписание курсовых контрольных работ (компьютерных тестов) 4-го семестра 2017 г.

Расписание курсовых контрольных работ (компьютерных тестов) 4-го семестра 2017 г. Расписание курсовых контрольных работ (компьютерных тестов) 4-го семестра 2017 г. По дифференциальным м предполагается 3 теста. Ориентировочные сроки 01-10 марта, 10-20 апреля, 15-20 мая). По интегральным

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( )

и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- лельную оси OZ т.е. ( ) 8 и с боковой поверхностью, имеющей образующую, парал- поверхностью z = f(, лельную оси OZ т.е. f(, s= v ц ( D) 4 Вычисление интеграла по фигуре от скалярной функции в декартовой системе координат Вычисление

Подробнее

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет математики,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Скобки Пуассона На прошлой лекции вводилось понятие скобки Лагранжа. Это выражение было составлено из частных производных

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для самостоятельной работы студентов 1 курса

Подробнее

Семинар по теме Интегралы с параметрами

Семинар по теме Интегралы с параметрами Семинар по теме Интегралы с параметрами апреля 6 г. Бета-функция Эйлера Порой приходится иметь дело с интегралами вида: B(p, q) = t p ( t) q dt или интегралами, которые сводятся к интегралам такого вида

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений».

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений». Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений» Многочленом степени n называется многочлен вида P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, где a 0, a 1,, a n-1, a n заданные числа, a 0,

Подробнее

Авторский коллектив: В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко

Авторский коллектив: В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко 3-... 2012 УДК 517.9 ББК 22.161.1 C23 Авторский коллектив: В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко C23 Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению / В.

Подробнее

Метод разделения переменных (метод Фурье)

Метод разделения переменных (метод Фурье) Метод разделения переменных (метод Фурье) Общие принципы метода разделения переменных Для простейшего уравнения с частными производными разделение переменных это поиски решений вида только от t. u (x,t

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке

Подробнее

ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ. Понятие первообразной

ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ. Понятие первообразной ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ Понятие первообразной Задача. Скорость точки, движущейся прямолинейно, выражается как. Определить закон движения. Для решения данной задачи требуется ответить на вопрос производная

Подробнее

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt =

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt = 57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа ( M N ) d ( ) p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M ( p q) p

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Псковский государственный университет А. А. Хватцев, И. А. Строчков ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Учебное пособие Псков Псковский

Подробнее

МАТЕМАТИКА. III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ»

МАТЕМАТИКА. III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ» МАТЕМАТИКА III часть ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГБОУ ВПО «ТГТУ» Учебное издание МАТЕМАТИКА Часть III Задания контрольных работ Составители: МОРДОВИНА Елена Евгеньевна, ПЕТРОВА Елена Анатольевна Редактор ЛВ Комбарова

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

Тема: Интегрирование рациональных дробей

Тема: Интегрирование рациональных дробей Математический анализ Раздел: Неопределенный интеграл Тема: Интегрирование рациональных дробей Лектор Пахомова Е.Г. 0 г. 5. Интегрирование рациональных дробей ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рациональной дробью называется

Подробнее

Интегрирование рациональных функций (продолжение)

Интегрирование рациональных функций (продолжение) Занятие 4 Интегрирование рациональных функций (продолжение) Рациональной функцией (или, по-просту, дробью) называется отношение двух многочленов, то есть функция вида R() = f() g() = a 0 m + a m +...+

Подробнее

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Подробнее

Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода

Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода Метод разделения переменных применяется для решения линейных однородных уравнений с линейными однородными граничными условиями вида α 0, β0, 0,

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-NetR Общероссийский математический портал В Ф Бутузов Н Т Левашова А А Мельникова Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе уравнений с различными степенями малого параметра

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными Методические рекомендации для студентов IV курса математического факультета

Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными Методические рекомендации для студентов IV курса математического факультета Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

Руководство по высшей математике для проведения практических занятий и самостоятельной работы студентов. 2 семестр.

Руководство по высшей математике для проведения практических занятий и самостоятельной работы студентов. 2 семестр. Руководство по высшей математике для проведения практических занятий и самостоятельной работы студентов. 2 семестр. В.С.Куликов, И.А.Джваршейшвили, М.А.Климова Оглавление I Неопределенный интеграл 9 1

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Уравнение касательной Рассмотрим следующую задачу: требуется составить уравнение касательной l, проведенной к графику функции в точке Согласно геометрическому смыслу производной

Подробнее

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ АНГАРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ Иванова СВ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Учебное пособие АНГАРСК АГТА 4 Иванова СВ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УЧЕБНОЕ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Правило Бернулли-Лопиталя. Формула Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N6. Правило Бернулли-Лопиталя. Формула Тейлора. ЛЕКЦИЯ N6 Правило Бернулли-Лопиталя Формула Тейлора Правило Бернулли-Лопиталя раскрытия неопределенностей Формула Тейлора Правило Бернулли-Лопиталя раскрытия неопределенностей Раскрытием неопределенностей

Подробнее

Методы интегрирования

Методы интегрирования Методы интегрирования Методы интегрирования. Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе. Понятия о рациональных функциях и их свойствах. Интегрирование простейших рациональных дробей. Теорема

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования Российской Федерации «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского Кафедра «Высшая математика» НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Варианты

Подробнее

6.1 Определения, предварительные сведения

6.1 Определения, предварительные сведения 6. Неявные функции 6.1 Определения, предварительные сведения Зависимость одной переменной от другой (или от других) не обязательно может быть выражена при помощи так называемого явного представления, когда

Подробнее