«Математический анализ»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "«Математический анализ»"

Транскрипт

1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени НЭ БАУМАНА Билеты для сдачи экзамена по курсу «Математический анализ» МГТУ имени НЭ Баумана

2 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени НЭ БАУМАНА Билеты для сдачи экзамена по курсу «Математический анализ» Москва МГТУ имени НЭ Баумана

3 Билет Доказать теорему Ролля Пусть дана функция y Определена и непрерывна на отрезке [ ] Дифференцируема на интервале 3 И на концах отрезка принимает одинаковые значения Тогда найдется по крайней мере E принадлежащая интервалу : E Доказательство: Тк функция непрерывна на отрезке [ ] то согласно теореме Вейерштрасса она достигает своего минимального и максимального значения m mi [ ] M m [ ] Случаи: m M os E - любое из интервала m M в силу 3-го условия теоремы одно из значений минимального или максимального достигается функцией во внутренней точке интервала Согласно второму условию теоремы Ролля функция дифференцируема на интервале в любой точке то по теореме Ферма существует E : E Доказать теорему о предельном переходе в неравенстве Пусть при имеет конечный предел А при имеет конечный предел А и существует : для тогда A A Доказательство: A { } { } A A { } E N E: N E A E { } A E N E: N E A E E A E A A A A A Пусть E Это неравенство выполняется для любого N m N E N E отсюда A A

4 Билет Доказать теорему Лагранжа Пусть функция y 4 Определена и непрерывна на отрезке [ ] 5 Дифференцируема на интервале Тогда существует E из интервала : E Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию F где - константа : F F Она непрерывна на [ ] дифференцируема на Все условия теоремы Ролля выполняются существует E из : F E F E y si Формула Маклорена для o Пеано с остаточным членом в форме Пеано где где - Лагранж 3 - Коши y si y os si y si si y si 3 5 si o тк si - нечет то вып усл: 3 5

5 Формула Маклорена для o Пеано Билет 3 y e с остаточным членом в форме Пеано где где - Лагранж 3 - Коши y e y e y e o Сравнение на бесконечности роста показательной степенной и логарифмических функций lo s где s> > lo s s l s o s s l s s s s s s = S o X s S lo 3 по транзитивности lo o

6 Билет 4 Доказать первое достаточное условие экстремума функции Пусть функция определена и дифференцируема в окрестности точки С Для того чтобы точка С являлась точкой локального экстремума достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с + на - локальный максимум с - на + локальный минимум Доказательство: Рассмотрим точку X из указанной окрестности тогда: на [ ] - непрерывна на - дифференцируема По т Лагранжа E где E тк то на [ ] : E где E Доказать теорему о связи функции её предела и бесконечно малой Для того чтобы функция определённая в имела конечный предел при необходимо и достаточно чтобы эту функцию можно было представить в виде суммы предела и бмф при где - бмф при Доказательство: I Необходимость: Дано: Доказать: где - бмф при E E : : E Пусть по определению бмф E E : : E - бмф при : : II Достаточность: Дано: где - бмф при Доказать: E E : : E

7 Билет 5 Доказать второе достаточное условие экстремума Пусть функция определена и имеет в окрестности точки с производную до -го порядка включительно причем в самой точке с все производные до --го порядка включительно равны а - ая производная в точке С отлична от нуля Если четное тогда С точка локального экстремума в частности если то = локальный минимум если то = локальный максимум Доказательство: Запишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано с центром в точке С o где - бмф при Пусть четное тогда не меняет знак при переходе через С в которой функция сохраняет знак своего предела o если - точка локального экстремума Вывести уравнение наклонной асимптоты Прямая y k - называется правосторонней наклонной асимптотой графика при если k где -бмф при Прямая y k - называется левосторонней наклонной асимптотой графика при если k где -бмф при Если k k k то y=k+ двусторонняя наклонная асимптота Теорема Для того чтобы y=k+ была правосторонней левосторонней наклонной асимптотой y= при при необходимо существование двух пределов: k k И достаточно существование k Необходимость Дано: y=k+ правосторонняя наклонная асимптота Доказать: k k k Док-во: k где - бмф k Тк И k Достаточность Дано: k Доказать: y=k+ правосторонняя наклонная асимптота Док-во Тк существует предел k то k k y k - правосторонняя наклонная асимптота из определения

8 Билет 6 Доказать необходимое условие возрастания дифференцируемой функции Для того чтобы определённая и дифференцируемая на интервале а была возраст на этом интервале необходимо чтобы Дано:-возраст Док-ть: Доказательство: из опред возраст ф-ции : : если то Тк диф-ма то По св-ву сохранения знака нестрогого нер-ва при предельном переходе : дост- по т Лагранжа Предел числовой последовательности Сформулировать признак сходимости монотонной последовательности Доказать теорему о единственности предела Число а называется пределом числовой последовательности } при если для любого Е> существует натуральное число NE такое что для любых >NE выполняется условие записывают E N E: N E E Числовая последовательность { } монотонно не убывает не возрастает при если для выполнено Признак: если числовая последовательность { } при монотонно не убывает не возрастает и ограничена сверху снизу числом A B тогда она сходится и её предел не больше чем A не меньше чем B Если последовательность } при имеет конечный предел то он единственный { Доказательство: Пусть { } имеет предела и при Пусть для определённости > E 3 E N E: N E E N E: N E E E N=mN N N эти неравенства выполняются одновременно чего быть не может тк по определению E окрестность точки а содержит все члены последовательности и E окрестность точки содержит все члены последовательности все члены не могут быть одновременно в окрестностях тк они не пересекаются {

9 Билет 7 Доказать необходимое условие экстремума дифференцируемой функции Для того чтобы функция дифференцируемая в точке имела локальный экстремум необходимо чтобы производная в этой точке была равна Доказательство: следует из теоремы Ферма Дано: точка точка локального экстремума Доказать: Согласно определению локального экстремума функция принимает в U либо максимальное либо минимальное значение по теореме Ферма производная в точке равна Т Ферма: Пусть y= определена на и в некоторой точке этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение Если в этой точке функция имеет производную то эта производная равна нулю Доказательство: Для наибольшего значения Пусть так как функция дифференцируема в Тк y C si Вывести замечательный предел: Пусть BD OA CA OA Ясно что SOAB Sсект SOCA но B S OAB OA BD si S сект OA BD D А S OA AC те si si si тк si si os

10 Билет 8- Доказать теорему Бернулли-Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций Теорема Пусть ф-ции и определены и дифференцируемы в представляют собой бмф при причем в Если Доказательство: Рассмотрим { Доопределим по непрерывности данные функции нулем в точке = = Тогда на [ ] функции и непрерывны на и дифференцируемы По теореме Коши : при по условию теоремы > Замечание : точка а может быть бесконечной тогда или Формулировка: пусть определены и дифференцируемы на и представл Бмф при причем Если Замечание : если и удовлетворяют всем условиям Б-Л и то и т д

11 Билет 8-3 Векторная функция скалярного аргумента: и её производная Касательная к пространственной кривой Теорема о производной векторфункции постоянной длины Рассмотрим [] Пусть любому [ ] поставлен в соответствии некоторый вектор r тогда говорят что на [] задана векторная функция скалярного аргумента Пусть задана ортонормированная система координат с базисом i j k тогда r i y j z k Функции y z- скалярные функции действительного аргумента координатные функции для вектор-функции r Геометрический смысл векторной функции: Функции r соответствует некоторая кривая z M r 3 y z y y z z [ ] Такое представление кривой называют годографом называется y пределом функции r r скалярного аргумента при если: r r Рассмотрим приращение векторной функции придадим приращение тогда r r r Производной r в точке называется предел разностного отношения при r r r r r r r i y j z k r i y j z k r r i y y j z z k r = y z = i j k i y j z k Пусть Предельное положение секущей M M при называют касательной к кривой Г в r точке M M M r M M Тогда при касательная в точке M параллельна вектору r Уравнение касательной: r r r M r r имеет конечную длину M Доказательство: S i y y y z z - каноническое уравнение касательной z Теорема: Пусть векторная функция скалярного аргумента r F [ ] - является непрерывно-дифференцируемой функцией на [ ] которой соответствует некоторая кривая Г: { 3 r r [ ]} Тогда M : длина дуги Г удовлетворяет: r r SГ M при этом Г r r i i r i i i i i где i по условию теоремы функция непрерывно-дифференцируема значит r на отрезке [ ] - непрерывная функция M m r [ ] по теореме Вейерштрасса i M i M при M S M i

12 Билет 9- Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано Лагранджа Теорема Пусть ф-ция F определена в и имеет в производные до +-го порядка включительно Пусть произвольное значение аргумента ф-ции из тогда для произвольного значения P > расположенная между и такие что справедлива следующая формула: Формула называется формулой Тейлора с центром в точке - остаточный член в формуле Тейлора в общем виде P эта функция многочлен степени многочлен Тейлора с центром в точке а Обозначим P Рассмотрим вспомогательную функцию Q P где Q Покажем что на [] удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывность на [] дифференцируема на 3 : Q Q Q Теорема Остаточный член в форме Тейлора представляет собой б м более высокого порядка малости чем при o Доказать: P P = P 3 P P раз применяем пр Б-Л= P Такую запись остаточного члена называют ост Чл В форме Пеано: o

13 Рассмотрим другие формы записи остаточного члена =+ тогда - остаточный член в форме Лагранжа = в форме Коши: Число в формуле Лагранжа и формуле Коши разные т К зависят от P Остаточный член в форме Лагранжа и Коши представляют собой погрешность которую мы получаем заменяя функцию ее многочленом Тейлора Если нас интересует порядок малости такой замены при то он совпадает с порядком малости остаточного члена в форме Пеано Оценка остаточного члена в форме Лагранжа Пусть функция имеет производную любого порядка в и эти производные ограничены одной и той же константой M M M : M Билет 9- Свойства бм функций Сумма конечного числа бмф при представляет собой бм функцию при k k - бмф k k Произведение конечного числа бмф при представляет собой бм функцию при k k - бмф k k 3 Пусть - бмф при а - ограничена в тогда - бмф при M M : : M M E E E M : : E M Пусть mi тогда M M E : M E для E тогда - бмф при M

14 Билет Доказать первое достаточное условие экстремума функции Пусть функция определена и дифференцируема в окрестности точки С Для того чтобы точка С являлась точкой локального экстремума достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с + на - локальный максимум с - на + локальный минимум Доказательство: Рассмотрим точку х из указанной окрестности тогда на [ ] : - непрерывна на - дифференцируема По т Лагранжа E где E тк то на [ ] : E где E Дифференциал функции определение геометрический смысл Доказать инвариантность формы дифференциала первого порядка Дифференциалом функции y= в точке называют главную линейную относительно приращения аргумента часть полного приращения функции в данной точке Инвариантность формы первого дифференциала y y где Х независимая переменная dy d d d

15 Билет Доказать второе достаточное условие экстремума Пусть ф-ция определена и имеет в окрестности точки с производную до -го порядка включительно причем в самой точке с все производные до --го порядка включительно равны а - ная производная в точке С отлична от нуля Если четное тогда С точка локального экстремума в частности если то = локальный минимум если то = локальный максимум Доказательство: Запишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано с центром в точке С o где -бмф при Пусть четное тогда не меняет знак при переходе через С в которой функция сохраняет знак своего предела o если - точка локального экстремума Доказать теорему о пределе произведения функций Пусть и при имеют конечные пределы равные A и B соответственно тогда B A Дано: B A Доказательство: A } { } { B } { } { B A } {

16 Билет Доказать достаточное условие выпуклости графика функции Пусть определена и дважды дифференцируема на Для того чтобы график функции имел направление выпуклости вниз вверх достаточно чтобы была неотрицательная неположительная на Доказательство: Дано: Доказать: - выпуклость вниз на Пусть M Уравнение касательной: Y y где если если y Y тк y Y y Y график функции на лежит не ниже касательной выпуклость вниз на Доказать теорему о знакопостоянстве функции имеющей отличный от нуля предел Если то существует окрестность точки а в которой и знак совпадает со знаком значения Доказательство: по условию те E E : E или справедливы неравенства E E Возьмём за E число E Тогда E E являются числами одного знака Следовательно в силу неравенства E E и имеет знак числа в указанной -окрестности точки а

17 Билет 3 Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба графика функции Доказать необходимое условие Пусть функция определена и дважды непрерывно-дифференцируема в окрестности точки С Для того чтобы с была точкой перегиба графика функции необходимо чтобы Доказательство: Дано: с точка перегиба Доказать: - это значит согласно свойству непрерывности что функция обладает знакопостоянством : те в этой окрестности график функции имеет одинаковые направления выпуклости слева и справа от точки С что противоречит определению точки перегиба в точке С Доказать теоремы об эквивалентных бесконечно малых Теорема Для того чтобы бмф и при были эквивалентными при необходимо и достаточно чтобы o o Доказательство Необходимость Дано ~ Доказать что o Достаточность Дано o Доказательство o ~ Рассмотрим сумму конечного числа бмф где - бмф при Пусть k o k=3 тогда - главная часть бмф k

18 Билет 4 Доказать теорему Коши Пусть функции и : определены и непрерывна на [] дифференцируемы на интервале 3 тогда Доказательство: Вводим вспомогательную функцию F Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: F непрерывна на [] F дифференцируема на 3 F F : F по теор Ролля Вывести формулу для производной сложной функции Пусть функция дифф В точке = а функция y - дифференцируема в точке тогда функция y дифференцируема в точке = причем y Док-во должны доказать что A y Имеем что y y

19 Билет 5 Доказать достаточное условие возрастания дифференцируемой функции Для того чтобы функция определённая и дифференцируемая на возрастала на достаточно чтобы на Доказательство: Дано: Доказать: - возрастает на : [ ] - определена - дифференцируемая Согласно т Лагранжа E : E тк E - возрастает на Длина дуги плоской кривой Производная и дифференциал длины дуги плоской кривой Рассмотрим в XOY плоскую кривую Г M M s s r r s s[ s ] s s - Средняя кривизна кривой Г Кривизной кривой Г в точке s s s s называют предел если он существует средней коивизны при s k s s s s Если k s то полагают s k s

20 Билет 6- Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано Лагранджа Теорема Пусть ф-ция F определена в и имеет в производные до +-го порядка включительно Пусть произвольное значение аргумента ф-ции из тогда для произвольного значения P > расположенная между и такие что справедлива следующая формула: Формула называется формулой Тейлора с центром в точке - остаточный член в формуле Тейлора в общем виде P эта функция многочлен степени многочлен Тейлора с центром в точке а Обозначим P Рассмотрим вспомогательную функцию Q P где Q Покажем что на [] удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывность на [] дифференцируема на 3 : Q Q Q Теорема Остаточный член в форме Тейлора представляет собой б м более высокого порядка малости чем при o Доказать: P P = P 3 P P раз применяем пр Б-Л= P Такую запись остаточного члена называют ост чл в форме Пеано: o

21 Рассмотрим другие формы записи остаточного члена =+ тогда - остаточный член в форме Лагранжа = в форме Коши: Число в формуле Лагранжа и формуле Коши разные т к зависят от P Остаточный член в форме Лагранжа и Коши представляют собой погрешность которую мы получаем заменяя функцию ее многочленом Тейлора Если нас интересует порядок малости такой замены при то он совпадает с порядком малости остаточного члена в форме Пеано Оценка остаточного члена в форме Лагранжа Пусть функция имеет производную любого порядка в и эти производные ограничены одной и той же константой M M M : M Билет 6- Доказать непрерывность функций y si Зададим приращение аргумента функции y si в точке X: y si si si si os y si os si y si и y e Здесь использовано неравенство si Итак y Тогда y y те y функция y si непрерывна в точке X а тк точка X принадлежит те произвольна то можна сказать что функция y si непрерывна на всей числовой оси y e ыв Зададим приращение аргумента функции y e e e y e e y e в точке X: e e e - непрерывная функция

22 Билет 7 Доказать первое достаточное условие экстремума функции Пусть функция определена и дифференцируема в окрестности точки С Для того чтобы точка С являлась точкой локального экстремума достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с + на - локальный максимум с - на + локальный минимум Доказательство: Рассмотрим точку X из указанной окрестности тогда: на [ ] - непрерывна на - дифференцируема По т Лагранжа E где E тк то на [ ] : E где E Непрерывность сложной функции Пусть y - непрерывна в точке = а функция z y - непрерывна в точке = тогда сложная функция z= непрерывна в точке = Доказательство: Тк y непрерывна в точке y= то E E: y : y y E тк y= непрерывна в точке = то E E: : E E E: : E Замечание:

23 Билет 8 Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности Для того чтобы функция была дифференцируема в точке необходимо чтобы она была непрерывной в этой точке Дано: - дифференцируема в точке Доказать: - непрерывна в точке y где - бмф при y - непрерывна в заданной точке Доказать теорему о пределе промежуточной функции Пусть функции и имеет конечный предел А при и пусть : тогда A Доказательство: A { } } A { { E N E : N E A E m N E N E A A A A A { } } A E N E : N E A E Рассмотрим N начиная с некоторого номера N { } и { } будут одинакого выполняться N Значит

24 Билет 9 Доказать теорему Лагранжа Пусть функция y 6 Определена и непрерывна на отрезке [ ] 7 Дифференцируема на интервале Тогда существует E из интервала : E Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию F где - константа : F F 3 Она непрерывна на [ ] 4 дифференцируема на Все условия теоремы Ролля выполняются существует E из : F E F E Дифференциал функции определение геометрический смысл Доказать инвариантность формы дифференциала первого порядка Дифференциалом функции y= в точке называют главную линейную относительно приращения аргумента часть полного приращения функции в данной точке Инвариантность формы первого дифференциала y y где Х - независимая переменная dy d d d

25 Билет Доказать теоремы Ролля и Ферма Пусть дана функция y 8 Определена и непрерывна на отрезке [ ] 9 Дифференцируема на интервале И на концах отрезка принимает одинаковые значения Тогда существует точка E принадлежащая отрезку : E Доказательство: Тк функция непрерывна на отрезке [ ] то согласно теореме Вейерштрасса она достигает своего минимального и максимального значения m mi [ ] M m [ ] Случаи: 3 m M os E - любое из интервала 4 m M в силу 3-го условия теоремы одно из значений минимального или максимального достигается функцией во внутренней точке отрезка [ ] Согласно второму условию теоремы Ролля функция дифференцируема на интервале в любой точке то по теореме Ферма существует E : E Т Ферма: Пусть y= определена на и в некоторой точке этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение Если в этой точке функция имеет производную то эта производная равна нулю Доказательство: Для наибольшего значения Пусть Тк Доказать теорему о связи функции её предела и бесконечно малой Для того чтобы функция определённая в имела конечный предел при необходимо и достаточно чтобы эту функцию можно было представить в виде суммы предела и бмф при где - бмф при Доказательство: I Необходимость: Дано: Доказать: где - бмф при E E : : E Пусть по определению бмф E E : : E - бмф при : : II Достаточность: Дано: где - бмф при Доказать: E E : : E

26 Формула Маклорена для o Пеано y Билет si с остаточным членом в форме Пеано где где - Лагранж 3 - Коши y si y os si y si si y si 3 5 si o Пеано тк si - нечет то вып 3 5 усл: 3 5 si 3 5 Лагранж Сформулировать определение функции непрерывной на отрезке Основные теоремы о функциях непрерывных на отрезке Функцию называют непрерывной на [] если она непрерывна на и непрерывна справа в точке = и непрерывна слева в точке = Первая теорема Вейерштрасса Если непрерывна на [] то она ограничена на этом отрезке M : [ ] M Вторая теорема Вейерштрасса Если непрерывна на [] то она достигает на этом отрезке своего наименьшего наибольшего значения Первая теорема Больцано-Коши Функция C[ ] тогда [ ]: Доказательство: [] разделим пополам и получим отрезки [+/] и [+/] Из них выберем тот на концах которого ф-ция принимает значения разные по знаку и обозначим [] < С этим отрезком поступим так же [+/] и [+/] Выберем отрезок с разными по знаку концами Когда-нибудь получим отрезок [ ]: При Получим систему вложенных отрезков [ ] [ ] [ ] Если при делении отрезка пополам значение функции в середине отрезка равно нулю то теорему можно считать доказанной Система вложенных отрезков длина которых стремится к нулю имеет одну общую точку => существует точка С Докажем что с= Предположим что Для определенности > Тк ф-ция непрерывна на отрезке [] то она непрерывна в точке С Раз > то : : N : N [ ] - притиворечие что и треб доказ Вторая теорема Больцано-Коши Пусть непрерывна на [] и на концах отрезка принимает значения B и A A B тогда для любого числа С: A C B [ ]: C Доказательство Рассмотрим F=-C F непрерывна на отрезке как разность двух непрерывных функций FF< По первой теореме Б-К [ ]: F C C

27 Билет Доказать первое достаточное условие экстремума функции Пусть функция определена и дифференцируема в окрестности точки С Для того чтобы точка С являлась точкой локального экстремума достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с + на - локальный максимум с - на + локальный минимум Доказательство: Рассмотрим точку х из указанной окрестности тогда на [ ] : 3 - непрерывна 4 на - дифференцируема По т Лагранжа E где E тк то на [ ] : E где E si Вывести замечательный предел: y C Пусть BD OA CA OA B Ясно что SOAB Sсект SOCA но S OAB OA BD si S сект OA BD D А S OA AC те si si si тк si si os

28 Билет 3 Доказать второе достаточное условие экстремума Пусть функция определена и имеет в окрестности точки с производную до -го порядка включительно причем в самой точке с все производные до --го порядка включительно равны а - ая производная в точке С отлична от нуля Если четное тогда С точка локального экстремума в частности если то = локальный минимум если то = локальный максимум Доказательство: Запишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано с центром в точке С o где - бмф при Пусть четное тогда не меняет знак при переходе через С в которой функция сохраняет знак своего предела o если - точка локального экстремума Вывести уравнение касательной и нормали к плоской кривой С геометрической точки зрения значении производной в данной точке = равно угловому коэффициенту касательной к графику ф-ции y в точке М Из аналит геометрии известно что уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k и проходящей через точку M имеет вид: y Прямую проходящую через точку М перпендикулярно касательной называют нормалью к графику функции в точке М Если то уравнение нормали имеет вид: y Предельное положение секущей при M P называют касательной к графику функции в точке М MP MN M y y

29 Билет 4 Доказать теорему Бернулли-Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций Теорема Пусть ф-ции и определены и дифференцируемы в представляют собой бмф при причем в Если Доказательство: Рассмотрим { Доопределим по непрерывности данные функции нулем в точке = = Тогда на [ ] функции и непрерывны на и дифференцируемы По теореме Коши : при по условию теоремы > Замечание : точка а может быть бесконечной тогда или Формулировка: пусть определены и дифференцируемы на и представл бмф при причем Если Замечание : если и удовлетворяют всем условиям Б-Л и то и т д Вывести формулу для производной частного от деления двух функций Пусть функции u и дифференцируемы в точке тогда дифференцируемыми в этой точке будут u/ причем u u u Док-во: u u u u u u u u u u u u u

30 Билет 5 Доказать первое достаточное условие экстремума функции Пусть функция определена и дифференцируема в окрестности точки С Для того чтобы точка С являлась точкой локального экстремума достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с + на - локальный максимум с - на + локальный минимум Доказательство: Рассмотрим точку х из указанной окрестности тогда на [ ] : 5 - непрерывна 6 на - дифференцируема По т Лагранжа E где E тк то на [ ] : E где E Сформулировать определение функции непрерывной на отрезке Свойства функций непрерывных на отрезке Функцию называют непрерывной на [] если она непрерывна на и непрерывна справа в точке = и непрерывна слева в точке = Первая теорема Вейерштрасса Если непрерывна на [] то она ограничена на этом отрезке M : [ ] M Вторая теорема Вейерштрасса Если непрерывна на [] то она достигает на этом отрезке своего наименьшего наибольшего значения Первая теорема Больцано-Коши Функция C[ ] тогда [ ]: Доказательство: [] разделим пополам и получим отрезки [+/] и [+/] Из них выберем тот на концах которого ф-ция принимает значения разные по знаку и обозначим [] < С этим отрезком поступим так же [+/] и [+/] Выберем отрезок с разными по знаку концами Когда-нибудь получим отрезок [ ]: При Получим систему вложенных отрезков [ ] [ ] [ ] Если при делении отрезка пополам значение функции в середине отрезка равно нулю то теорему можно считать доказанной Система вложенных отрезков длина которых стремится к нулю имеет одну общую точку => существует точка С Докажем что с= Предположим что Для определенности > Тк ф-ция непрерывна на отрезке [] то она непрерывна в точке С Раз > то : : N : N [ ] - притиворечие что и треб доказ Вторая теорема Больцано-Коши Пусть непрерывна на [] и на концах отрезка принимает значения B и A A B тогда для любого числа С: A C B [ ]: C Доказательство Рассмотрим F=-C 3 F непрерывна на отрезке как разность двух непрерывных функций 4 FF< По первой теореме Б-К [ ]: F C C

31 Билет 6 Доказать теоремы Ролля и Ферма Пусть дана функция y Определена и непрерывна на отрезке [ ] Дифференцируема на интервале 3 И на концах отрезка принимает одинаковые значения Тогда существует точка E принадлежащая отрезку : E Доказательство: Тк функция непрерывна на отрезке [ ] то согласно теореме Вейерштрасса она достигает своего минимального и максимального значения m mi [ ] M m [ ] Случаи: m M os E - любое из интервала m M в силу 3-го условия теоремы одно из значений минимального или максимального достигается функцией во внутренней точке отрезка [ ] Согласно второму условию теоремы Ролля функция дифференцируема на интервале в любой точке то по теореме Ферма существует E : E Т Ферма: Пусть y= определена на и в некоторой точке этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение Если в этой точке функция имеет производную то эта производная равна нулю Доказательство: Для наибольшего значения Пусть Тк Вывести формулу для производной обратной функции Пусть функция y= строго монотонна возрастает или убывает в некоторой окрестности точки и дифференцируема в точке тогда y - дифференцируемая в точке y Доказательство: Рассмотрим y пусть y - приращение аргумента обратной функции в точке y тогда функция получит приращение в силу строгой монотонности функции y y y y y y

32 Билет 7 Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба графика функции Доказать достаточное условие Пусть Первое достаточное условие существования точки перегиба определена в дважды дифференцируема в проколотой окрестности точки С и непрерывна в самой точке С Для того чтобы в точке С была точка перегиба достаточно чтобы при переходе значения аргумента через точку С меняла знак Дано: меняет знак Доказать: точка - точка перегиба Док-во: Тк меняет знак то в левой и правой полуокрестностях график функций имеет различные направления выпуклости согласно достаточным условиям выпуклости графика функции По условию теоремы функция непрерывна в точке С По определению точка - точка перегиба> Второе достаточное условие существования точки перегиба Пусть ф-ция определена в и имеет производные до -го порядка включительно в самой точке С причем а Для того чтобы точка была точкой перегиба графики функции достаточно чтобы было нечетно Док-во: Рассмотрим в окрестности точки С она как функция имеет производные до - го порядка Разложим ее по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано 3 где -бмф при 3 o подмножест во : Существует : сохраняется знак предела Если -нечетное существует такая в пределах которой при переходе значения аргумента через С вторая производная меняет знак Согласно первому достаточному условию точка точка перегиба Определение бб функций Теорема об их связи с бм функциями Функция определённая в называется бб функцией при если те E E : : E Теорема: I Пусть функция является ббф при тогда E E : : E тогда - представляет собой бмф при II Пусть функция - бмф при отличная от нуля в некоторой тогда при E E : : E E E : : mi E E : : E тогда E - ббф при - бмф при - ббф

33 Билет 8 Доказать достаточное условие выпуклости графика функции Пусть определена и дважды дифференцируема на Для того чтобы график функции имел направление выпуклости вниз вверх достаточно чтобы была неотрицательная неположительная на Доказательство: Дано: Доказать: - выпуклость вниз на Пусть M Уравнение касательной: Y y где если если y Y тк y Y y Y график функции на лежит не ниже касательной выпуклость вниз на Доказать теорему о пределе промежуточной функции Пусть функции и имеет конечный предел А при и пусть : тогда A Доказательство: A { } } A { { E N E : N E A E m N E N E A A A A A { } } A E N E : N E A E Рассмотрим N начиная с некоторого номера N { } и { } будут одинакого выполняться N Значит

34 Билет 9 Доказать теорему Лагранжа Пусть функция y Определена и непрерывна на отрезке ] [ Дифференцируема на интервале Тогда существует E из интервала : E Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию F где - константа F F : 5 Она непрерывна на ] [ 6 дифференцируема на Все условия теоремы Ролля выполняются существует E из : F E E F Вывести формулу для производной сложной функции Пусть функция дифф В точке = а функция y - дифференцируема в точке тогда функция y дифференцируема в точке = причем y Док-во должны доказать что A y Имеем что y y

35 Билет 3 Кривизна плоской кривой формула кривизны Рассмотрим в XOY плоскую кривую Г r r S S [ S ] S S S r - средняя кривизна кривой Г Кривизной Г в точке S называют предел если S S он существует средней кривизны при стремлении S к нулю K S S S S Если K S то полагают S прямая перпендикулярная касательной и K S проходящая через точку касания называется нормалью к кривой Г Точка нормали отстоящая от точки касания на величину равную радиусу кривизны называют центром кривизны Совокупность всех центров кривизны данной кривой называют эволютой и обозначат Сама кривая Г по отношению к своей эволюте называется эвольвентой Некоторые свойства эволюты и эвольвенты: Нормаль к кривой Г является касательной для эволюты в соответствующем центре кривизны При монотонном возрастании радиуса кривизны приращение радиуса кривизны равно по абсолютной величине длине эволюты между соответствующими центрами кривизны Рассмотрим в XOY плоскую кривую Г M M s s

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1)

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1) 1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения (2006-2007, сем.1 1. Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел. 2. Сформулируйте определение

Подробнее

Тема 1. Предел и непрерывность функции

Тема 1. Предел и непрерывность функции Уметь: Тема 1. Предел и непрерывность функции Вычислять пределы функций и числовых последовательностей, используя различные приемы, в том числе, замечательные пределы, проводить сравнение бесконечно малых

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? . КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком

Подробнее

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3 Лекции 56 Глава 6 Производная функции 6 Понятие производной Пусть функция определена и непрерывна на некотором промежутке X Взяв значение X придадим аргументу приращение так что и новое значение не выходит

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» семестр Очная форма обучения. Специалисты. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» Дисциплина - «Математика» Материалы

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "дифференциальное исчисление,

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины дифференциальное исчисление, Номер недели РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "дифференциальное исчисление, УЧЕБНЫЙ ПЛАН : Факультет линейная алгебра и аналитическая геометрия"

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Предел. Непрерывность.

Предел. Непрерывность. Функция. 1 1. Какие числа образуют множество действительных чисел? 2. Что называется числовой осью? 3. Что называется интервалом? 4. Определить понятие окрестности точки. 5. Что называется абсолютной величиной?

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им К Э Циолковского Кафедра

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Е Б Боронина Эта книга написана для студентов технических вузов желающих подготовиться к экзамену по математическому анализу Содержание данной книги полностью соответствует

Подробнее

Учебные материалы по математическому анализу в электронном виде, а также примеры экзаменационных билетов прошлых лет вы можете найти на сайте

Учебные материалы по математическому анализу в электронном виде, а также примеры экзаменационных билетов прошлых лет вы можете найти на сайте Перечень тем и вопросов, выносимых на зимнюю сессию 2013-2014 уч. год, 1 курс, 2 поток Дисциплина Математический анализ, лектор к.ф.-м.н., доцент Фроленков И.В. 1. Понятие функции. График функции. Обзор

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия наді матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Подробнее

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 1. Матрицы, операции над матрицами. 2. Верхние и нижние грани числовых множеств. Поле действительных чисел. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 1. Определители. Свойства определителей, методы

Подробнее

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ Проф др Авыт АСАНОВ Кыргызско-Турецкий Университет «Манас» Классические понятия производной и дифференциала функции изложены во многих работах Например в []

Подробнее

Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. a, монотонно

Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. a, монотонно Функция Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. f на интервале b не убывает, если f f ; не возрастает, если f f ; a, монотонно строго возрастает, если f f

Подробнее

~ 1 ~ «Признаки монотонности функции»

~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» ~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» Теорема: Для того чтобы функция f(x), дифференцируемая на a,b возрастала (убывала) на a,b необходимо и достаточно, чтобы x a,b выполнялось неравенство f (x) 0 (f (x)

Подробнее

1. Производная Рассмотрим график непрерывной функции секущая графика. будем называть касательной. в точке x

1. Производная Рассмотрим график непрерывной функции секущая графика. будем называть касательной. в точке x Лекция: Основы дифференциального исчисления Конспект лекции. Производная Рассмотрим график непрерывной функции на отрезке b M M секущая графика. Тогда тангенс угла наклона секущей. Предельное положение

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

Детали курса учебного года можно найти здесь:

Детали курса учебного года можно найти здесь: "Математический анализ-1" Составитель: А. Б. Шаповал Аннотация В последнее время математика активно расширяет сферу своих приложений, вторгаясь в смежные науки. Математики стали успешно решать не только

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНУНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика» ГАПостовалова

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

П рограмма экзам ен а. Для студентов ГФ. Первый семестр год. Январь 2010 г. Л е к т о р п р о ф. Л и с е е в И. А.

П рограмма экзам ен а. Для студентов ГФ. Первый семестр год. Январь 2010 г. Л е к т о р п р о ф. Л и с е е в И. А. П рограмма экзам ен а. Для студентов ГФ. Первый семестр. 2009 год. Январь 2010 г. Л е к т о р п р о ф. Л и с е е в И. А. В программе экзамена перечислено то, что с вас будут спрашивать на экзамене. Отдельно

Подробнее

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу 1. Дайте определение конечного предела последовательности. Приведите пример последовательности,

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания для самостоятельной работы студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y +

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y + Вариант Найти область определения функции : y + + lg(5 Область определения данной функции определяется следующими неравенствами: + те 5 > те < 5 Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg( 5 или

Подробнее

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу Министерство образования Российской федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра дискретного анализа Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1 ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I Лекции 1 2 Определители и матрицы Лекция 1 1.1. Понятие матрицы. Виды матриц... 19 1.1.1. Основные определения... 19 1.1.2. Виды матриц... 19 1.2.* Перестановки и подстановки... 21 1.3.*

Подробнее

НАН ЧОУ ВО Академия маркетинга и социально информационных технологий

НАН ЧОУ ВО Академия маркетинга и социально информационных технологий НАН ЧОУ ВО Академия маркетинга и социально информационных технологий АННОТАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Направление подготовки 10.03.01 «Информационная безопасность» направленность (профиль) программы Организация

Подробнее

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы. Порядок

Подробнее

Лекция Исследование функции и построение ее графика

Лекция Исследование функции и построение ее графика Лекция Исследование функции и построение ее графика Аннотация: Функция исследуется на монотонность, экстремум, выпуклость-вогнутость, на существование асимптот Приводится пример исследования функции, строится

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ).

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n Решения типовых задач Задача Доказать по определению предела числовой последовательности что n li n n Решение По определению число является пределом числовой последовательности n n n N если найдется натуральное

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра Математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра Математики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

{ теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа теорема о среднем значении - геометрическое истолкование теоремы о среднем -

{ теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа теорема о среднем значении - геометрическое истолкование теоремы о среднем - { теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа теорема о среднем значении - геометрическое истолкование теоремы о среднем - теорема Коши - формула конечных приращений - правило Лопиталя

Подробнее

Л.В. Липагина, Е.В. Маевский, П.В. Ягодовский. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» (1 семестр)

Л.В. Липагина, Е.В. Маевский, П.В. Ягодовский. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» (1 семестр) Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика-»

Подробнее

Глава II. Производная

Глава II. Производная Глава II Производная Производная функции в точке Геометрический и механический смысл производной Рассмотрим сначала два примера ) Пусть материальное тело совершает прямолинейное движение За время t тело

Подробнее

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "Дифференциальное. УЧЕБНЫЙ ПЛАН : Факультет

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины Дифференциальное. УЧЕБНЫЙ ПЛАН : Факультет РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "Дифференциальное УЧЕБНЫЙ ПЛАН : Факультет исчисление и аналитическая геометрия" геофизики. на осенний семестр

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1.

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1. 1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, 2014-2015 учебный

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП

Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП Лектор Рожкова С.В. 1 г. 18. Формула Тейлора для ФНП Если y = раз дифференцируема в окрестности

Подробнее

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает.

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает. Лекции 7-9 Глава 7 Исследование функции 7 Возрастание и убывание функции Теорема о монотонности функции Если f ( на промежутке ( a ; b, то на этом промежутке функция f ( возрастает Если f ( на промежутке

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ «Прикладные математика и физика» для всех факультетов высшей математики I

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ «Прикладные математика и физика» для всех факультетов высшей математики I УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Ю.А. Самарский 10 июня 2010 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ по дисциплине: по направлению подготовки: факультеты: кафедра: курс: Трудоёмкость: семестры: лекции: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

1. БИЛЕТ Сформулировать понятие точной верхней и точной нижней Сформулировать понятие окрестности точки и свойства окрестностей

1. БИЛЕТ Сформулировать понятие точной верхней и точной нижней Сформулировать понятие окрестности точки и свойства окрестностей 1. БИЛЕТ 1.1. Сформулировать понятие точной верхней и точной нижней границ числового множества. 1.2. Сформулировать понятие окрестности точки и свойства окрестностей фиксированной точки. 1.3. Сформулировать

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию учебного года, для I курса экономического факультета дневного

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию учебного года, для I курса экономического факультета дневного Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию - учебного года для I курса экономического факультета дневного отделения (специальностей «экономика» и «экономическая теория») заочного

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УЧЕБНИК В 2 частях Часть 1 3-е издание, переработанное и дополненное Под редакцией

Подробнее

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР )

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР ) ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР 2007-2008) 1 Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R 2 Сформулируйте определение прямоугольной

Подробнее

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр)

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) 1. Определения основных операций над множествами. 2. Законы дистрибутивности для операций над множествами. 3. Произведение множеств, простейшие свойства произведений

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

Весенний семестр год. Содержание курса математики. Потоки ИБ, ИС, ПИ.

Весенний семестр год. Содержание курса математики. Потоки ИБ, ИС, ПИ. Весенний семестр. 2016 год. Содержание курса математики. Потоки ИБ, ИС, ПИ. Последовательности. 1. Определение последовательности. 2. Последовательность как функция, область определения последовательности.

Подробнее

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (, Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет экономики статистики и информатики Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права Геворкян

Подробнее

Тема: Степенные ряды.

Тема: Степенные ряды. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд Лектор Рожкова С.В. 3 г. 34. Степенные ряды Степенным рядом рядом по степеням называется

Подробнее

Вопросы к зачёту по математике (11-й класс, 3-й семестр).

Вопросы к зачёту по математике (11-й класс, 3-й семестр). 1 Утверждаю Заведующий кафедрой СУНЦ-1 Профессор /Граськин С.С./ Вопросы к зачёту по математике (11-й класс, 3-й семестр). Часть 1. Вопросы по материалам лекций 11-го класса. Все теоремы части 1 нужно

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Специализированный учебно-научный центр. ГОУ лицей 1580.

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Специализированный учебно-научный центр. ГОУ лицей 1580. 1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике (10-й класс 2016 2017 й учебный

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ''Оренбургский государственный

Подробнее

13. Частные производные высших порядков

13. Частные производные высших порядков 13. Частные производные высших порядков Пусть = имеет и определенные на D O. Функции и называют также частными производными первого порядка функции или первыми частными производными функции. и в общем

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР

Решение типового варианта заданий по теме. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Решение типового варианта заданий по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание Задание

Подробнее

(3) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

(3) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (3) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Кафедра Высшей математики ММФ Автор программы: доцент М.П.Вишневский Лектор: 1-й семестр 1. Введение. Множества и операции над ними. Отображения множеств. Счетные множества. Действительные

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие к девятому изданию...9 Предисловие к пятому изданию Г Л А В А I ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФУНКЦИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие к девятому изданию...9 Предисловие к пятому изданию Г Л А В А I ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФУНКЦИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к девятому изданию.....9 Предисловие к пятому изданию... 11 Г Л А В А I ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФУНКЦИЯ 1. Действительные числа. Изображение действительных чисел точками числовой оси...

Подробнее

3. Планируемые результаты обучения дисциплине (учебному курсу) соотнесенные с планируемыми результатами освоения образовательной программы

3. Планируемые результаты обучения дисциплине (учебному курсу) соотнесенные с планируемыми результатами освоения образовательной программы АННОТАЦИЯ дисциплины (учебного курса) Б1.Б.11.1 Математический анализ 1 1. Цель и задачи изучения дисциплины (учебного курса) Цель формирование представлений о понятиях и методах математического анализа,

Подробнее