ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ I

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ I"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского АТ Козинова НН Ошарина ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЧАСТЬ I Учебное пособие Рекомендовано методической комиссией финансового факультета для студентов ННГУ обучающихся по направлениям подготовки «Экономика» «Менеджмент» Нижний Новгород

2 УДК () ББК я К К Козинова АТ Ошарина НН ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЧАСТЬ I: Учебное пособие Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет с Рецензенты: кф-мн доцент СА Лапинова ктн доцент ВГ Киселев кф-мн доцент ЕВ Губина Учебное пособие предназначено для методической поддержки лекционных и практических занятий по дисциплине «Линейная алгебра» для студентов обучающихся по направлениям подготовки «Экономика» «Менеджмент» В данном издании первой части учебного пособия представлены следующие разделы дисциплины «Линейная алгебра»: векторная алгебра матрицы и определители системы линейных алгебраических уравнений По всем темам предлагаются примеры решения типовых задач задания для самостоятельной работы вопросы для самоконтроля и подготовки к аттестации Ответственный за выпуск: председатель методической комиссии финансового факультета ННГУ кэн доцент НН Никулина Учебное пособие разработано на кафедре компьютерных информационных систем финансовых расчетов финансового факультета ННГУ заведующий кафедрой профессор ВН Ясенев УДК () ББК я Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского

3 «Есть вещи которые кажутся невероятными для большинства людей которые не изучали математику» Архимед из Сиракуз ( до нэ) Введение Дисциплина «Линейная алгебра» создает одну из фундаментальных основ экономического образования Она является базовой в математическом цикле ООП ФГОС ВПО по направлениям: «Экономика» и «Менеджмент» (квалификация (степень) «бакалавр») Наряду с дисциплинами «Математический анализ» и «Теория вероятностей и математическая статистика» дисциплина «Линейная алгебра» включает важнейшие понятия и методы которые наиболее часто востребованы при изучении других дисциплин в профессиональной деятельности а также являются элементами общей культуры Важнейшей целью изучения математической дисциплины «Линейная алгебра» является формирование навыков применения понятийной алгебраической базы для решения теоретических и прикладных задач в разных областях В данном учебном пособии приведены многочисленные примеры использования методов линейной алгебры как в геометрии (глава ) так и в экономике например при моделировании многоотраслевой экономики (глава ) и обмена в международной торговле (глава ) Учебное пособие «Линейная алгебра» запланировано в двух частях Данное издание первая часть пособия Оно включает следующие разделы: векторы и линейные пространства (глава ) матрицы и определители (глава ) системы линейных алгебраических уравнений (глава ) Во второй части учебного пособия предусмотрены разделы: аналитическая геометрия многочлены и комплексные числа основы линейного программирования По всем темам дисциплины «Линейная алгебра» в учебном пособии даны основные алгебраические понятия представлены важнейшие теоретические положения приведены примеры типовых задач и показаны методы их решения сформулированы задания для самостоятельной работы и вопросы для подготовки к аттестации Студентам следует учесть что результаты изучения любой вузовской математической дисциплины зависят не только от умения работать с новыми понятиями и методами но и от хороших знаний по предмету «Математика: алгебра и начала математического анализа геометрия» из программы среднего (полного) общего образования Эти знания можно восполнить и углубить используя учебно-справочную литературу в том числе указанную в данном учебном пособии []

4 Глава Векторы и линейные пространства Системы координат Прямая линия с выбранным на ней положительным направлением началом отсчёта O и единицей масштаба называется числовой (координатной осью) Точка M этой прямой характеризуется определенным числом координатой те M Расстояние s между точками M ( х ) и M на оси: s х х Координата точки М (х) делящий отрезок M M в отношении M M : MM определяется по формуле: х х х Пример Отрезок АВ двумя точками C и разделён на три части в отношении : : Определим координаты точек деления и длину отрезка C если А () В () Точка C делит отрезок АВ в отношении : тогда: х х х те C Точка делит отрезок АВ в отношении : тогда: х х х те Длина отрезка C: s Две взаимно перпендикулярные оси O и Oy имеющие общее начало отсчета O и одинаковую единицу масштаба образуют прямоугольную декартову систему координат на плоскости Oy Ось O называется осью абсцисс ось Oy - осью ординат точка O - началом координат Любой точке M этой плоскости соответствуют пара чисел абсцисса и ордината y называемых ее координатами те М ( х y) Расстояние s между точками M ( х y) и M y на плоскости: х х у s у Координаты точки М ( х y) делящей отрезок между точками M ( х y) и M y в заданном отношении определяются по формулам: х х у х ; у у

5 Пример Даны вершины треугольника: А ( ) В( ) и С () Найдем длину медианы проведённой из вершины А Координаты точки основания медианы M проведенной из вершины А (середина отрезка C ): х у те M ( ) Вычислим длину медианы M : s Три взаимно перпендикулярные координатные оси O Oy и Oz с общим началом координат O и одинаковой единицей масштаба образуют прямоугольную декартову систему координат в пространстве Oyz где ось Oz называется осью аппликат Любая точка пространства М характеризуется тремя координатами абсциссой ординатой y и аппликатой z те М ( х y z) Расстояние s между точками M х у ) и M х у ) : s ( z х х у у z z ( z Координаты точки М ( х y z) делящей отрезок между точками M ( х y z ) и M y z в заданном отношении определяются по формулам: х х у х ; у z у ; z z Пример Найдем длину диагоналей параллелограмма C если C заданы три его вершины Длина диагонали C равна s Точка пересечения диагоналей y M делит их пополам Тогда координаты точки M середины отрезка C равны: х у z те M Определим длину отрезка M s Следовательно длина диагонали M Полярная система координат состоит из некоторой точки O называемой полюсом и исходящего из него луча называемого полярной осью M плоскости характеризуется полярными координатами: Любая точка

6 полярный радиус полярный угол образованный отрезком ОМ с полярной осью Угол считается положительным при отсчёте от полярной оси против часовой стрелки Если начало декартовой системы координат совместить с полюсом а ось Ох направить по полярной оси то прямоугольные координаты х и у точки М и её полярные координаты и связаны формулами: х cos у у х у tg rctg у s х х Пример Точка задана полярными координатами М Найдем соответствующие координаты точки в декартовой системе координат Координаты точки M в декартовой системе координат равны: х соs у s те М Двумерные и трехмерные векторы Действия над векторами Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой и конечной точкой Векторы могут обозначаться либо с указанием его начала и конца АВ либо одной буквой Длиной (модулем или нормой) вектора называется число равное длине отрезка Вектор начало которого совпадает с концом называют нулевым вектором Векторы лежащие на параллельных прямых линиях или на одной прямой называются коллинеарными Два вектора равны если они коллинеарные и имеют одинаковые длины Векторы лежащие на параллельных плоскостях или в одной плоскости называются компланарными Координатами y или y z вектора а в декартовой системе координат соответственно на плоскости и в пространстве называются координаты его конечной точки если начало вектора совпадает с началом координат: а y представлен в виде: а y z или а y z Вектор а y z может быть

7 где единичные векторы (орты) совпадающие с направлением осей соответственно O Oy Oz; Равенство называется разложением вектора по координатным осям Длина вектора а y z равна y z Направляющими косинусами вектора а y z называются косинусы углов образуемых вектором а с осями координат O Oy Oz : y z cos cos cos y z y z y z причём cos cos cos Если вектор задан координатами начала х y ) и конца y z ( z то в координатной форме для вектора справедливы соотношения: АВ y y z z y y z z АВ y y z z Проекция прх а вектора а на ось Oопределяется формулой: пр х а cos где угол наклона вектора а к оси O Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций этих векторов на ось: пр х ( а в ) пр х а пр х Линейные операции над векторами: Произведением вектора а на число называется вектор имеющий длину а и направленный одинаково с вектором а если и противоположно а если

8 Суммой векторов а и называется вектор с а начало которого совпадает с началом вектора а а конец с концом вектора при условии что начало вектора приложено к концу вектора а (правило треугольника) Свойства линейных операций: а а а с а с а а а а а а а Вектор а а называется обратным вектором к вектору а Справедливы следующие равенства: а а а а Пример Найдем длину диагоналей параллелограмма построенного на векторах а и и d Обозначим векторы соответствующие диагоналям параллелограмма d Диагонали параллелограмма равны: d d Тогда длины диагоналей: d d

9 Пример Определим длину и направление вектора M его начало M и конец M M Определим длину вектора и его направляющие косинусы: M M cos cos Координаты вектора равны M M если заданы cos Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и называется число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними cos где угол между векторами а и Если векторы заданны своими координатами а y z cos y y zz y y zz y z y z и y z то Если векторы и перпендикулярны то а те y y z z Если векторы и коллинеарны то Свойства скалярного произведения: а а а а а а с а а с Пример Даны векторы а те y z y z а и единичные векторы угол между которыми равен векторами а и где и Найдем угол между

10 cos cos cos Вычислим угол между векторами а и : o cos Пример Даны радиус вектора трёх последовательных вершин параллелограмма C: r r r C Определим радиус вектор четвёртой вершины Пусть z y r Векторы соответствующие сторонам параллелограмма равны: r r r r C C z y r r C C z y r r Так как векторы C и C коллинеарные то соответственно z y z y Решая полученную систему: z y z y получим y и z Тогда r

11 Пример Найдем проекцию вектора c на вектор c если и c Введем обозначения: d c g c Искомая проекция вектора: d g пр g d d cos g Векторным произведением вектора а на вектор называется вектор с модуль которого равен произведению их модулей на синус угла между ними перпендикулярный каждому из векторов а и и направленный так что вектора и c образуют правую тройку: c s где угол между векторами Примечание Векторы и c образуют правую тройку векторов если кратчайший поворот вектора а в сторону вектора виден из точек с совершающимся против часовой стрелки и левую тройку если по часовой стрелке Выражение векторного произведения а y z через координаты сомножителей: y y z y y z z z z z y y и y z Свойства векторного произведения: а а если и либо нулевые либо коллинеарные векторы а

12 а а с с а с а Площадь параллелограмма построенного на векторах а и : а S Площадь треугольника построенного на векторах а и : а S Пример Даны векторы Найдем и ) ( ) ( Пример Вычислим площадь параллелограмма построенного на векторах а и ) ( ) ( S Смешанным (векторно-скалярным) произведением векторов и c называется выражение вида c

13 Если векторы а y z y z и с y z заданы своими координатами то их смешанное произведение определяется формулой: с y y y z z z y y z z y z z z y y Свойства смешанного произведения: c c поэтому смешанное произведение обозначается c Перестановка двух любых векторов в смешанном произведении меняет знак c c c c Примечание Три вектора компланарны тогда и только тогда когда выполняется равенство c Объём параллелепипеда построенного на векторах и c V c Объём пирамиды построенной на векторах и c c V Примечание В формулах расчета объемов параллелепипеда и пирамиды используется знак плюс при правой тройке векторов минус при левой тройке Пример Найдем объем параллелепипеда с вершинами C и Определим векторы C и А исходящие из вершины и совпадающие с рёбрами параллелепипеда: C Найдём смешанное произведение этих векторов: C ( ) Объем параллелепипеда равен V C

14 Пример Установим компланарны ли векторы и c если c Пары векторов и и c и c не коллинеарные так как их соответствующие координаты не пропорциональны Найдём смешанное произведение векторов: c ( ) ( ) ( ) Следовательно векторы c компланарны Обобщенный - мерный вектор - мерным вектором называется упорядоченный набор из чисел представленный в виде где - тая координата вектора Два - мерных вектора и Y y y равны Y y когда равны их соответствующие координаты y Длиной (нормой) - мерного вектора называется число Линейные операции над векторами: Произведением вектора на действительное число называется вектор U координаты которого u равны произведению на соответствующие координаты вектора - u те U ; Суммой двух векторов и Y одинаковой размерности называется вектор Z Y координаты которого z равны суммам соответствующих координат этих векторов - z y те Z Y y y y Свойства линейных операций над векторами: Y Y Y Z Y Z Y Y

15 Существует нулевой вектор любого вектора O такой что O для Для любого вектора существует противоположный вектор причем O Скалярным произведением двух векторов y и Y y y называется число равное сумме произведений соответствующих координат: Y y y y y Свойства скалярного произведения: Y Y Y Y Y Y Z Z YZ для любого вектора причем тогда когда O Угол между двумя ненулевыми - мерными векторами и Y определяется соотношением Y cos где Y Два ненулевых - мерных вектора называются коллинеарными если угол между ними равен или и ортогональными если угол между ними равен / Для ненулевых коллинеарных векторов и Y y y y справедливо соотношение Y или y y y Для двух ненулевых ортогональных векторов и Y справедливо соотношение Y или y y y Пример Набор товаров состоит из четырех видов продукции в количествах и единиц Цена единицы товара равна соответственно и денежных единиц Определим стоимость набора товаров и ее изменение при изменении цены соответственно на - и (-) денежные единицы Введем вектор набора товаров вектор цен товаров в P наборе P и соответствующий вектор изменения цен

16 Стоимость набора товаров P Вектор новых цен P P P Изменение стоимости набора товаров равно P P P P P P Пример Среди векторов и C найдем коллинеарные и ортогональные векторы Найдем скалярное произведение векторов: C C Следовательно пары векторов и C ортогональны Вектора и C коллинеарные тк Линейная зависимость и независимость векторов Вектор называется линейной комбинацией с мерный вектор разлагается по векторам если существует такой набор чисел что называются коэффициентами разложения вектора по Чтобы разложить вектор по векторам Для этого требуется векторов коэффициентами Числа векторам необходимо найти коэффициенты разложения решить систему линейных алгебраических уравнений эквивалентную данному соотношению (см главу ) Разложения вектора и l l l считаются отличными если различна хотя бы одна пара соответствующих коэффициентов разложения те существует такой номер для которого l Справедливы следующие утверждения о разложении векторов: Нулевой вектор O разлагается по любой системе векторов Если вектор разлагается по части системы векторов то он разлагается и по всей системе Если вектор разлагается по системе вектор а каждый вектор этой системы разлагается по системе векторов C C C то вектор разлагается по системе векторов C C C

17 Каждый - мерный вектор разлагается по диагональной системе векторов следующим образом: E E E где E E E Пример Определим являются ли вектор комбинацией векторов и В те линейно Решая систему линейных уравнений: получим Следовательно В Векторы называются линейно зависимыми если существуют такие числа не равные одновременно нулю при которых выполняется равенство: O Векторы называются линейно независимыми если равенство справедливо лишь при условии Чтобы определить являются векторы линейно зависимыми или независимыми необходимо проанализировать решение однородной системы линейных алгебраических уравнений эквивалентной данному соотношению (см главу ) Для линейно зависимых и линейно независимых векторов справедливы следующие утверждения: Система векторов состоящая из одного вектора O линейно независима Диагональная система векторов E E E линейно независима Система векторов линейно зависима если хотя бы один из векторов системы разлагается по остальным векторам этой системы Геометрическая интерпретация линейной зависимости двухмерных и трехмерных векторов: Два ненулевых вектора линейно зависимы тогда и только тогда когда они коллинеарные Три ненулевых вектора линейно зависимы тогда и только тогда когда они компланарны Пример Определим являются ли векторы и линейно зависимыми или линейно независимыми Рассмотрим соотношение O те:

18 Решая систему линейных уравнений: получим Следовательно векторы и линейно независимы Пример Векторы C линейно независимы Выясним будут ли линейно независимыми векторы C Чтобы определить линейную независимость векторов C рассмотрим соотношение C O Преобразуем его C O В силу линейной независимости векторов C имеем систему уравнений: В результате получим Следовательно векторы: C линейно независимы Линейное - мерное пространство Векторным или линейным пространством над полем действительных (комплексных) чисел называется непустое множество V элементов любой природы в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные (комплексные) числа удовлетворяющие определенным свойствам Элементы векторного пространства называются векторами Базисом векторного пространства называется совокупность линейно независимых векторов пространства V по которым разлагается любой вектор векторного пространства Векторное пространство называется конечномерным если оно имеет конечный базис Векторное пространство является бесконечномерным если в нем для любого натурального существует линейно независимых векторов Все базисы конечномерного векторного пространства V состоят из одного и того же числа векторов Размерностью векторного пространства называется максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов (число векторов в базисе пространства) и обозначается d V

19 Евклидовым пространством называется конечномерное векторное пространство над полем действительных чисел в котором задано скалярное произведение имеющее все необходимые свойства Пример Каким должно быть число чтобы множество состоящее из одного числа являлось векторным пространством Число должно быть равно нулю тк только в этом случае в рассматриваемом множестве будут определены операции сложения и умножения на действительное число Множество - мерных векторов с действительными компонентами образуют векторное или линейное пространство и обозначается R Любая совокупность линейно независимых векторов в пространстве R образуют его базис Одним из базисов является диагональная система векторов: E E E Любой другой базис пространства R содержит векторов Каждый вектор пространства R можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса где коэффициенты разложения называются координатами вектора в базисе R d размерность пространства R Пространство R является - мерным линейным пространством Линейное пространство R образует евклидово пространство так как в нем задано скалярное произведение векторов с соответствующими свойствами Векторы - мерного евклидова пространства образуют ортогональный базис если эти векторы попарно ортогональны те и ортонормированный базис если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице те: при и при В - мерном линейном пространстве R существует ортонормированный базис Примером ортонормированного базиса служит диагональная система E векторов: E E

20 Пример Выясним образуют ли базис в пространстве R векторы и Чтобы определить линейную независимость векторов рассмотрим соотношение O Оно эквивалентно системе уравнений: Система имеет единственное решение Векторы линейно независимы и следовательно образуют базис в пространстве R Пример Определим какие из векторов и R Разложим векторы не входящие образуют базис в пространстве в базис по векторам базиса Определим какие пары векторов являются линейно независимыми Рассмотрим соотношение O Получаем систему уравнений Она имеет только одно решение Векторы и линейно независимы Рассмотрим соотношение l l O l l Получаем систему уравнений l l l l Она имеет бесчисленное множество решений l l Векторы и линейно зависимы Рассмотрим соотношение O Получаем систему уравнений:

21 Она имеет только одно решение Векторы и линейно независимы R Пары векторов и образуют базисы в пространстве Разложим по базису : Получаем систему: Она имеет решение и Тогда Разложим по базису Получаем систему: Она имеет решение и : Тогда Пример Векторы и образуют ортонормированный базис Найдем угол между векторами и Y Y cos Y rccos Задания для самостоятельной работы Задача Известны координаты точек концов отрезка Найти длину этого отрезка и координаты точки M делящей этот отрезок в отношении l : l l l l

22 Задача Найти в каком соотношении точка M делит отрезок от начала C C yc zc если она одинаково удалена от точек y z ) y z координат до точки х и ( C C C C Задача Заданы координаты вершин треугольника ( х y) y и C C y C Найти длины сторон треугольника точку пересечения его медиан основания медианы и биссектрисы проведенных из вершины C C C C Задача Даны координаты трех последовательных вершин параллелограмма ( х y z) y z и C C yc zc Найти его y z четвертую вершину C C C C

23 Задача Определить расстояние между точками и заданными полярными координатами Задача Заданы координаты точек х y z ) ( и y z Определить длину и направление вектора в декартовой системе координат Задача Найти проекцию вектора C на вектор а АВ если заданы точки х y z ) y z C y z y z и ( C C C C Задача Определить длины векторов и на которых построен параллелограмм с диагоналями d y z c d C C C c y z и c d c d c d

24 Задача Найти угол между диагоналями параллелограмма построенного на векторах и Задача Даны два единичных вектора и угол между которыми равен Найти острый угол между диагоналями параллелограмма построенного на векторах и и проекцию вектора на направление вектора Задача Даны радиус векторы трёх последовательных вершин параллелограмма C: z y r z y r z y r C C C C Определить радиус вектор четвёртой вершины r r r r C r r r C r r r C r r r C

25 Задача Определить вектор y z с если y z Задача Вычислить значения площадей треугольника и параллелограмма построенных на векторах y z y z и Задача Векторы и образуют угол Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах g если известны значения а и p и p p g g p g p g

26 Задача Найти смешанное произведение векторов и c c c c c Задача Найти объем треугольной пирамиды с вершинами C C C C C и c Задача Вычислить объем параллелепипеда построенного на векторах c c c c

27 Задача Выяснить являются линейно зависимыми или линейно и независимыми векторы Задача Даны четыре вектора и в некотором базисе Показать что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе Задача Заданы векторы y z y z y z Выяснить является ли вектор y z комбинацией векторов и линейной

28 Глава Матрицы и определители Понятие матрицы Действия над матрицами Матрица упорядоченная система информации представленная в виде таблицы чисел состоящей из строк столбцов Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита (иногда с индексами) Таблица чисел записывается в круглых скобках: где элемент матрицы номер строки номер столбца Примечание Иногда для удобства под буквой обозначающей матрицу указывают ее размеры Виды матриц: нулевая матрица содержащая только нули; прямоугольная матрица имеющая неравное число строк и столбцов; матрица-строка имеющая одну строку чисел; матрица-столбец имеющая один столбец чисел; квадратная матрица имеющая равное число строк и столбцов; диагональная матрица а именно квадратная матрица имеющая ненулевые элементы только на главной диагонали (с одинаковыми индексами); треугольная матрица имеющая только нулевые элементы ниже (выше) главной диагонали; единичная матрица E а именно диагональная матрица имеющая единицы на главной диагонали и нули ниже (выше) ее Операции над матрицами Транспонирование матрицы Элементы любой строки исходной матрицы в транспонированной T матрице находятся в столбце с таким же номером в том же порядке: Т

29 Пример T Умножение матрицы на число Для расчета элементов матрицы R используют правило: Пример Сложение матриц одинаковых размеров Для расчета элементов матрицы C используют правило: c Пример C Умножение матриц Для расчета элементов матрицы используют правило: d s s s Примечание Число столбцов левой матрицы должно совпадать с числом строк правой матрицы Пример

30 d d d d d d d d d Умножение матрицы на вектор Произведением матрицы на вектор называется вектор y y y Y который равен линейной комбинации столбцов матрицы с коэффициентами являющимися координатами вектора Y где y Пример Y Y Основные свойства операций над матрицами: где R T T где R T T T T T T где R где R

31 C C l l C C C C C C E E Y Y где y y y Y векторы где вектор Понятие и вычисление определителя квадратной матрицы Свойства определителей Определитель матрицы число существующее только для квадратной матрицы вычисляемое по определенному правилу с помощью элементов данной матрицы Определитель обозначается той же заглавной буквой (иногда с индексом) что и матрица включенной в две вертикальные черты Таблица чисел также включается в две вертикальные черты: Правила расчета определителей Определитель первого порядка для матрицы состоящей из одной строки и одного столбца: Определитель второго порядка для матрицы состоящей из двух строк и двух столбцов:

32 Определитель матрицы состоящей из большого количества строк и столбцов может быть вычислен с помощью теоремы Лапласа: где алгебраическое дополнение элемента матрицы Примечание Алгебраическое дополнение элемента матрицы вычисляется следующим образом: M где M определитель матрицы получаемой из исходной матрицы удалением элементов -той строки и -ого столбца Пример Примечание При расчете определителя матрицы желательно использовать свойства определителей и их следствия: Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей то ее определитель равен нулю Если матрица содержит две одинаковых строки (столбца) то ее определитель равен нулю Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны то ее определитель равен нулю Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца) матрицы предварительно умноженные на одно и то же число Определитель матрицы не изменится если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить линейную комбинацию других ее строк (столбцов) При транспонировании матрицы ее определитель не меняется

33 При перестановке двух строк (столбцов) матрицы знак определителя меняется Определитель диагональной матрицы (квадратной матрицы имеющей ненулевые элементы только на главной диагонали) равен произведению элементов стоящих на главной диагонали матрицы Определитель треугольной матрицы (квадратной матрицы имеющей ненулевые элементы только ниже (выше) главной диагонали) равен произведению элементов стоящих на главной диагонали матрицы Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей Пример Вычислим определитель матрицы используя свойства определителей и их следствия: К первому столбцу матрицы прибавим сумму второго третьего и четвертого столбцов матрицы Первую строку матрицы умноженную на (-): прибавим ко второй строке прибавим к третьей строке прибавим к четвертой строке матрицы Вторую строку матрицы: умножим на и прибавим к третьей строке; прибавим к четвертой строке матрицы Используя свойства определителей получили треугольную матрицу Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов стоящих на главной диагонали матрицы

34 Обратная матрица Обратная матрица существует только для квадратных неособенных матриц а именно таких у которых определитель не равен нулю Обратная матрица к матрице обозначается По определению: E Алгоритм вычисления обратной матрицы: Вычисляется определитель матрицы он должен быть не равен нулю Вычисляется присоединенная матрица Вычисляется обратная матрица Пример Вычислим определитель матрицы Вычислим присоединенную матрицу

35 Вычислим обратную матрицу Ранг матрицы Ранг матрицы наивысший порядок ее миноров отличных от нуля Ранг матрицы совпадает с максимальным количеством независимых строк (столбцов) матрицы Примечание Минор -того порядка определитель матрицы элементов стоящих на пересечении строк и столбцов исходной матрицы Вычисление ранга матрицы по определению требует вычисления большого количества определителей Рекомендуется вычислять ранг с помощью элементарных преобразований матрицы не меняющих ранга матрицы: перестановка строк (столбцов); умножение всех элементов строки (столбца) на одно число отличное от нуля; прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца) умноженных на одно число; исключение строк (столбцов) состоящих из нулей Пример Первую строку элементов: умножим на и прибавим ко второй строке умножим на (-) и прибавим к третьей строке умножим на и прибавим к четвертой строке Вторую строку элементов: умножим на (/) и прибавим к третьей строке умножим на (-) и прибавим к четвертой строке / / Вычислим миноры матрицы окаймляющие друг друга всех возможных порядков

36 ; ; / ; / / Ранг матрицы (наивысший порядок миноров отличных от нуля) равен трем Решение матричных уравнений Обоснование: E Пример Обоснование: E

37 Пример Модель многоотраслевой экономики Леонтьева (США г) Цель моделирования ответ на вопрос: «Каким должен быть объем производства каждой из отраслей чтобы имел место баланс спроса и предложения продукции этих отраслей?» те выполнялись равенства: y где совокупный продукт -той отрасли; продукт -той отрасли потребляемый -той отраслей на внутриотраслевом рынке; y конечный продукт -той отрасли потребляемый гражданами и государством вне отраслей Баланс спроса и предложения продукции отраслей может быть записан в матричной форме: Y где матрица совокупных продуктов отраслей;

38 y y y Y матрица конечных продуктов отраслей; коэффициент прямых материальных затрат продукции -той отрасли идущей на одну условную единицу продукции -той отрасли; матрица коэффициентов прямых материальных затрат продукции Решим матричное балансовое уравнение: Y E Y Y Если Y E то баланс возможен при единственном варианте матрицы совокупных продуктов отраслей Пример Решим матричное балансовое уравнение Y найдем валовой продукт зная конечный спрос и матрицу коэффициентов прямых материальных затрат продукции: Y E

39 Следовательно баланс возможен при единственном варианте матрицы совокупных продуктов отраслей: Y Y Y Y Итак матрица совокупных продуктов отраслей составит:

40 Задания для самостоятельной работы Задача Выполнить операции над матрицами найти матрицу C ; T T C ; E C T ; E C T ; T E C ; T T T E C ; T T T E C ; T C ; T C

41 Задача Вычислить определитель матрицы

42 Задача Вычислить обратную матрицу если она существует

43 Задача Решить матричное уравнение

44 Задача Вычислить ранг матрицы

45 Задача Решить матричное балансовое уравнение Y найти валовой продукт зная матрицу коэффициентов прямых материальных затрат и конечный спрос продукции Y в экономической системе состоящей из трех отраслей Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y

46 Глава Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Матричная форма представления системы линейных алгебраических уравнений Общий вид системы линейных уравнений где неизвестные переменные R ; коэффициент при неизвестной в -том уравнении правые части уравнений Матричная форма представления системы линейных уравнений где матрица неизвестных матрица коэффициентов при неизвестных матрица правых частей расширенная матрица системы

47 Решение системы линейных уравнений набор чисел при подстановке которых вместо неизвестных уравнения превращаются в равенства Система уравнений называется несовместной если не имеет решений Система уравнений называется совместной если имеет решения Совместная система уравнений называется определенной если имеет единственное решение Совместная система уравнений называется неопределенной если имеет неединственное решение причем в этом случае у системы имеется бесчисленное множество решений Разрешимость систем линейных алгебраических уравнений Теорема Кронекера Капелли Теорема Кронекера Капелли Система линейных уравнений совместна и только тогда когда ранг матрицы коэффициентов при неизвестных равен рангу расширенной матрицы этой системы Для совместных систем линейных уравнений верны следующие утверждения: совместная система является определенной если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных; совместная система является неопределенной если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных Пример Установим несовместность системы уравнений: Первый шаг Из первой строки расширенной матрицы вычтем третью Второй шаг Из первой строки расширенной матрицы вычтем вторую Ранг матрицы коэффициентов при неизвестных равен двум и не совпадает с рангом расширенной матрицы системы равным трем Система несовместна

48 Пример Установим совместность и определенность системы уравнений: Первый шаг Из первой строки расширенной матрицы вычтем третью Второй шаг К первой строке расширенной матрицы прибавим вторую умноженную на Ранг матрицы коэффициентов при неизвестных равен трем и совпадает с рангом расширенной матрицы системы Система совместная и определенная Пример Установим совместность и неопределенность системы уравнений: Первый шаг Из первой строки расширенной матрицы вычтем третью Второй шаг Из первой строки расширенной матрицы вычтем вторую Ранг матрицы коэффициентов при неизвестных равен двум совпадает с рангом расширенной матрицы системы и меньше числа неизвестных Система совместная и неопределенная

49 Формулы Крамера решения определенных систем линейных алгебраических уравнений Пусть число неизвестных совпадает с числом уравнений причем матрица коэффициентов при неизвестных неособенная В этом случае система линейных уравнений является совместной и определенной а единственное решение можно найти используя формулы Крамера: где матрица может быть получена из матрицы заменой элементов того столбца правыми частями уравнений Пример Решим систему линейных уравнений: где

50 Решение определенных систем линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы Пусть число неизвестных совпадает с числом уравнений причем матрица коэффициентов при неизвестных неособенная В этом случае система линейных уравнений является совместной и определенной а единственной решение можно найти используя обратную матрицу: Пример Решим систему линейных уравнений: где Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Любая система линейных уравнений может быть решена методом Гаусса Метод Гаусса состоит из нескольких шагов На каждом шаге выполняются эквивалентные преобразования в результате которых выбранная неизвестная (ранее не выбиравшаяся) остается только в одном выбранном уравнении (ранее не выбиравшимся) Эквивалентные преобразования приводят к равносильным системам уравнений К эквивалентным преобразованиям относятся: перестановка уравнений; умножение уравнения на число отличное от нуля; прибавление к произвольному уравнению других уравнений системы умноженных на некоторые числа

51 Метод Гаусса позволяет: Установить определенность системы линейных уравнений В этом случае ранг матрицы коэффициентов при неизвестных совпадает с рангом расширенной матрицы и числом неизвестных Если после выполнения всех шагов метода матрица коэффициентов становится единичной то матрица правых частей представляет собой решение системы Установить несовместность системы линейных уравнений В этом случае ранг матрицы коэффициентов при неизвестных не совпадает с рангом расширенной матрицы После выполнения ряда шагов появляется уравнение вида s s Установить неопределенность системы линейных уравнений В этом случае ранг матрицы коэффициентов r при неизвестных совпадает с рангом расширенной матрицы и меньше числа неизвестных После выполнения всех шагов и возможно исключения уравнений вида число оставшихся уравнений становится менее числа неизвестных В бесконечном множестве решений неопределенных систем линейных уравнений выделяют совокупность базисных решений число которых r ограниченно и не превышает C где число неизвестных r число оставшихся после преобразований метода Гаусса линейно независимых уравнений (это число равно рангам матрицы коэффициентов и расширенной матрицы системы уравнений) Для отыскания базисного решения все неизвестные делят на две группы: r основных переменных r неосновных переменных В группу основных переменных могут быть включены неизвестные матрица коэффициентов при которых неособенная Неосновные переменные в базисном решении равны нулю Решение системы линейных уравнений методом Гаусса удобно выполнять с помощью преобразований расширенной матрицы коэффициентов системы Примечание Очевидно то что применяя метод Гаусса можно одновременно решать несколько систем линейных уравнений отличающихся только правыми частями уравнений Как следствие можно предложить данный метод для получения обратной матрицы E E

52 Примечание Неопределенные системы линейных уравнений нашли применение в линейном программировании Пример Решим систему линейных уравнений: Первый шаг Вычитаем третью строку расширенной матрицы из первой Второй шаг К первой строке прибавим вторую умноженную на (-) К третьей строке прибавим вторую Третий шаг Ко второй строке прибавим первую умноженную на К третьей строке прибавим первую умноженную на Первую строку умножим на (-) Третью строку умножим на (-) Меняем местами первую и вторую строки E Система уравнений совместная и определенная Пример Найдем обратную матрицу для матрицы:

53 E Первый шаг Вычитаем третью строку из первой Второй шаг К первой строке прибавим вторую умноженную на (-) К третьей строке прибавим вторую Третий шаг Ко второй строке прибавим первую умноженную на К третьей строке прибавим первую умноженную на Первую строку умножим на (-) Третью строку умножим на (-) Меняем местами первую и вторую строки Пример Решим систему уравнений: Первый шаг Вычитаем первую строку из третьей

54 Второй шаг К первой строке прибавим вторую К третьей строке прибавим вторую умноженную на Третий шаг К первой строке прибавим третью умноженную на Ко второй строке прибавим третью Третью строку умножим на ( ) и поменяем местами со второй строкой Ранг матрицы коэффициентов при неизвестных равен трем и совпадает с рангом расширенной матрицы системы Согласно теореме Кронекера - Капелли система уравнений совместная и неопределенная Имеется два базисных решения: T II T I Пусть c тогда бесчисленное множество решений системы уравнений принимает вид: R c c c T ) ( Следует отметить что решением системы уравнений будет и следующая линейная комбинация базисных решений: R II I Докажем это: II I II I

55 Решение однородных систем линейных алгебраических уравнений Общий вид однородной системы линейных уравнений: Система линейных уравнений называется однородной если все свободные члены этой системы равны нулю Однородная система линейных уравнений совместна тк ранг матрицы коэффициентов r при неизвестных всегда совпадает с рангом расширенной матрицы Пусть ранг матрицы коэффициентов r меньше числа неизвестных Тогда однородная система линейных уравнений является неопределенной и обладает следующими свойствами: Если I и II решения однородной системы то I II является решением системы Если I решение однородной системы то I ( число) является решением системы Любая линейная комбинация решений однородной системы линейных уравнений является решением этой системы Совокупность линейно независимых решений F F F( r) однородной системы уравнений называют фундаментальной системой решений если каждое решение системы уравнений является линейной комбинацией этих решений Для отыскания фундаментальной системы решений достаточно определить одну группу из r основных переменных и рассмотреть r таких наборов значений для неосновных переменных в которых только одной неизвестной придается значение а всем другим значение Примечание Общее решение неоднородной неопределенной системы линейных уравнений можно определить как сумму общего решения соответствующей однородной системы линейных уравнений и частного решения неоднородной системы линейных уравнений Пример Определим фундаментальную систему решений для однородной системы линейных уравнений:

56 Первый шаг Вычитаем первую строку из третьей строки Второй шаг К третьей строке прибавим вторую Вторую строку умножим на и прибавим к первой строке Ранг матрицы коэффициентов при неизвестных равен двум и совпадает с рангом расширенной матрицы системы В группу основных можно включить переменные и Рассмотрим два набора значений неосновных переменных: Определим соответствующие фундаментальные решения однородной системы линейных уравнений: F F Запишем общее решение однородной системы линейных уравнений как линейную комбинацию фундаментальных решений: F F Пример Решим неоднородную систему линейных уравнений:

57 Первый шаг Умножим первую строку на (-) и прибавим ко второй строке Умножим первую строку на (-) и прибавим к третьей строке Второй шаг Вторую строку умножим на и прибавим к первой строке Вычтем вторую строку из третьей строки Умножим вторую строку на (-) Ранг матрицы коэффициентов при неизвестных равен двум совпадает с рангом расширенной матрицы системы и меньше числа неизвестных Система уравнений совместная и неопределенная Частное решение K найдем принимая: T K Соответствующая однородная система линейных уравнений: В группу основных можно включить переменные и Рассмотрим два набора значений неосновных переменных: Определим соответствующие фундаментальные решения однородной системы линейных уравнений: F F Общее решение однородной системы линейных уравнений: F F Общее решение неоднородной системы линейных уравнений принимает вид: F F K

58 Собственные значения и собственные векторы матрицы Число называется собственным значением квадратной матрицы (или характеристическим числом) если можно подобрать такой ненулевой вектор что выполняется равенство: Ненулевой вектор называется собственным вектором квадратной матрицы если можно найти такое число что выполняется равенство: Используя вместо вектора матрицу - столбец данное равенство можно записать в матричной форме: Выполним преобразования данного матричного равенства E E E Таким образом чтобы найти собственные значения матрицы решить характеристическое уравнение: нужно E Подставив собственное значение в матричное уравнение можно получить множество всех собственных векторов соответствующих этому собственному значению матрицы Отыскание всех собственных векторов сводится к решению однородных систем линейных уравнений: E Пример Получим собственные значения матрицы E Собственные значения матрицы: Определим собственные векторы матрицы E

59 Система уравнений имеет одно фундаментальное решение: I Произвольный собственный вектор матрицы соответствующий собственному значению c ( ) c c имеет вид: I Система уравнений имеет одно фундаментальное решение: II Произвольный собственный вектор матрицы соответствующий собственному значению имеет вид: II c( ) c c Линейная модель международной торговли Цель моделирования ответ на вопрос: «Каким должно быть соотношение национальных доходов стран чтобы имел место баланс торговли между ними?» Считается что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны либо на импорт из других стран Линейная модель торгового обмена имеет вид: где количество стран S S S участвующих в торговле; вектор национальных доходов стран; национальный доход страны S ; структурная матрица торговли; доля национального дохода которую страна S тратит на закупку товаров у страны S ; ; так как национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны либо на импорт из других стран

60 вид: Пример Структурная матрица торговли трех стран S S S имеет Найдем соотношение национальных доходов стран при котором будет иметь место баланс торговли между ними: Для этого определим собственный вектор соответствующий собственному значению решая линейную однородную систему уравнений: E Первый шаг Умножим первую строку на (-) и прибавим ко второй строке Умножим первую строку на и прибавим к третьей строке Умножим первую строку на Второй шаг К третьей строке прибавим вторую Вторую строку умножим на (/) и прибавим к первой строке Ранг матрицы коэффициентов при неизвестных равен двум совпадает с рангом расширенной матрицы системы и меньше числа неизвестных Система уравнений совместная и неопределенная В группу основных можно включить две переменных Однородная система уравнений имеет одно фундаментальное решение Пусть тогда фундаментальное решение однородной системы уравнений принимает вид: T Произвольный собственный вектор матрицы соответствующий собственному значению имеет вид: c( ) c c c Полученное решение означает что баланс торговли трех стран достигается при соотношении национальных доходов стран ::

61 Задания для самостоятельной работы Задача Если матрица коэффициентов при неизвестных неособенная решить систему уравнений двумя способами используя формулы Крамера и обратную матрицу

62 Задача Установить совместность (или несовместность) системы уравнений Если система совместна найти базисные решения

63 Задача Найти фундаментальную систему решений для однородной системы линейных уравнений Задача Найти общее решение неоднородной системы линейных уравнений используя частное решение неоднородной системы и фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы линейных уравнений

64 Задача Структурная матрица торговли трех стран имеет вид Найти соотношение национальных доходов стран при котором может иметь место баланс торговли между ними

65 Заключение Вопросы для самоконтроля студентов и подготовки к аттестации Числовая (координатная) ось Расстояние между точками на оси Координата (на числовой оси) точки деления отрезка на части в заданном отношении Декартовая система координат на плоскости Расстояние между точками на плоскости Координаты (на плоскости) точки деления отрезка на части в заданном отношении Декартовая система координат в трехмерном пространстве Расстояние между точками в трехмерном пространстве Координаты (в трехмерном пространстве) точки деления отрезка на части в заданном отношении Полярная система координат Геометрические двухмерные и трехмерные векторы Основные понятия Координатный способ представления векторов Линейные операции над геометрическими векторами и их свойства Скалярное произведение векторов и его свойства Примеры приложений скалярного произведения векторов в геометрии Векторное произведение векторов и его свойства Примеры приложений векторного произведения векторов в геометрии Смешанное произведение векторов и его свойства Примеры приложений смешанного произведения векторов в геометрии Обобщенный - мерный вектор Линейные операции над - мерными векторами и их свойства Скалярное произведение - мерных векторов и его свойства Линейная комбинация векторов Разложение вектора по другим векторам Линейная зависимость и независимость векторов Линейное векторное пространство его базис и размерность Пространство - мерных векторов и его базис Евклидово пространство Понятие матрицы Виды матриц Операции над матрицами Основные свойства операций над матрицами Понятие и правила вычисления определителя квадратной матрицы Вычисление определителя квадратной матрицы по теореме Лапласа Свойства определителей и их следствия Обратная матрица Необходимое и достаточное условие существования и единственности обратной матрицы Ранг матрицы и его вычисление по определению

66 Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований матрицы Решение матричных уравнений вида Решение матричных уравнений вида Модель многоотраслевой экономики Леонтьева Система линейных алгебраических уравнений Основные понятия Матричная форма системы линейных алгебраических уравнений Разрешимость систем линейных алгебраических уравнений Теорема Кронекера-Капелли Метод обратной матрицы для решения определенных систем линейных алгебраических уравнений Методы решения определенных систем линейных алгебраических уравнений Формулы Крамера Эквивалентные (равносильные) преобразования системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений Определение обратной матрицы с помощью метода Гаусса Базисные решения неопределенной системы линейных алгебраических уравнений Допустимые базисные решения Общее решение неопределенной системы линейных алгебраических уравнений Решение однородных систем линейных алгебраических уравнений Фундаментальная система решений неопределенной однородной линейной системы алгебраических уравнений Общее решение однородной неопределенной линейной системы алгебраических уравнений Общее решение неоднородной неопределенной системы линейных алгебраических уравнений Собственные значения квадратной матрицы Собственные векторы квадратной матрицы Модель обмена в международной торговле

67 Литература Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для вузов / под ред проф НШ Кремера М: ЮНИТИ-ДАНА с Ильин ВА Ким ГД Линейная алгебра и аналитическая геометрия М: Проспект МГУ с Ильин ВА Позняк ЭГ Линейная алгебра: Учебник М: Физматлит с Кострикин АИ Введению в алгебру Часть I Основы алгебры: Учебник для вузов М: Физматлит с Красс МС Чупрынов БП Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник М: ДЕЛО с Красс МС Чупрынов БП Математика для экономического бакалавриата: Учебник М: ДЕЛО с Кремер НШ Путко БА Тришин ИМ Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: Учебно-справочное пособие / под ред проф НШ Кремера М: Высшее образование с Малыхин ВИ Математика в экономике: Учебное пособие М: ИНФРА М с Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / под ред проф ВИ Ермакова М: ИНФРА М с Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / под ред ВИ Ермакова М: ИНФРА М с Солодовников АС Бабайцев ВА Браилов АВ Шандра ИГ Математика в экономике: Учебник М: Финансы и статистика c Математика Математический анализ Аналитическая геометрия Алгебра: Учебно-методическое пособие / Составители: АТ Козинова АА Отделкина Н Новгород: ННГУ с Общий курс высшей математики Часть Основы математического анализа и линейной алгебры: Учебно-методическое пособие / Составители: ОИ Бех ОВ Подчищаева Н Новгород: ННГУ с Практикум по математике Математический анализ Алгебра Теория вероятностей: Учебно-методическое пособие / Составители: АТ Козинова ВП Савельев ВН Фокина Н Новгород: ННГУ с Подчищаева ОВ Шахов АЕ Отделкина АА Практикум по математике: математический анализ линейная алгебра теория вероятностей экономико-математические методы: Учебно-методическое пособие Н Новгород: ННГУ с

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Сборник контрольных заданий для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Линейная алгебра» Составитель: Ванин Ю. П.

Сборник контрольных заданий для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Линейная алгебра» Составитель: Ванин Ю. П. Автономная некоммерческая организация высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Новороссийский филиал (МГЭИ АНО ВПО НФ) Сборник контрольных заданий для студентов

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

ИНСТИТУТ МЕЖДУНАРОДНЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ INSTITUTE OF INTERNATIONAL ECONOMIC RELATIONS. Кафедра математики и информатики ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ИНСТИТУТ МЕЖДУНАРОДНЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ INSTITUTE OF INTERNATIONAL ECONOMIC RELATIONS. Кафедра математики и информатики ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ИНСТИТУТ МЕЖДУНАРОДНЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ INSTITUTE OF INTERNATIONAL ECONOMIC RELATIONS Факультет мировой экономики и международной торговли

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Е В Морозова, С В Мягкова БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ЧАСТЬ I ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет. А. М. Сухотин

Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет. А. М. Сухотин Министерство образования Российской федерации Томский политехнический университет «Утверждаю», зав каф высшей математики профессор КП Арефьев А М Сухотин ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) 8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8) ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Линейная алгебра»

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Линейная алгебра» Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Линейная алгебра» Направление 080100 Экономика для подготовки студентов бакалавров

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. ОК-7: способность к самоорганизации и самообразованию. Знать: Уровень 1 Основные определения курса аналитической геометрии и линейной

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ И ТОЧЕК Пусть в пространстве фиксирована точка O Совокупность точки O и базиса называется аффинной (декартовой)

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Методические

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Государственный университет- Высшая школа экономики

Государственный университет- Высшая школа экономики Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации Государственный университет- Высшая школа экономики Факультет Мировая Экономика Программа

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. 1.Векторная алгебра. Матрицы. Обратная матрица. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ-14-06. Вопросы к экзамену. 1. Определение вектора. Равенство векторов. Свободные вектора. Линейные

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008 Рецензенты: кандидат

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Б1.ДВ.2.1 Аналитическая геометрия Примерные тестовые задания Тест 1 ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления

Подробнее

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию учебного года, для I курса экономического факультета дневного

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию учебного года, для I курса экономического факультета дневного Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию - учебного года для I курса экономического факультета дневного отделения (специальностей «экономика» и «экономическая теория») заочного

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика I Практикум по линейной алгебре и аналитической

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Группа АМ-12-06 Вопросы к экзамену 1Векторная алгебра 1 Определение вектора Равенство векторов Свободные вектора Линейные операции над векторами и их свойства

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

1. Найти значение матричного многочлена:

1. Найти значение матричного многочлена: 1. Найти значение матричного многочлена: f(a) = A + 5A E f(x) = x + 5x, A = ( 0 1 4 ) 5 1 A = ( 0 1 4 ) ( 0 1 4 ) = 5 1 5 1 + 0 5 + 1 ( ) ( ) + 4 1 = ( 0 + 1 0 + 4 5 0 + 1 1 + 4 ( ) 0 ( ) + 1 4 + 4 1)

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

1 ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

1 ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ 1 ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ Цели курса. Целью изучения курса является освоение основных понятий и основных методов линейной алгебры, что поможет использовать их в области будущей деятельности студентов.

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. «Тюменский государственный нефтегазовый университет»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. «Тюменский государственный нефтегазовый университет» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тюменский государственный нефтегазовый университет» ИНСТИТУТ НЕФТИ И ГАЗА

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Бийский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Алтайский государственный

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее