y отличны от нуля, то частным последовательностей

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "y отличны от нуля, то частным последовательностей"

Транскрипт

1 Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности В курсе школьной математики кратко излагались элементы теории последовательности при изучении арифметической и геометрической прогрессий, при последовательных приближениях иррациональных чисел Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел и принимающая свои значения из множества действительных чисел : и обозначается: ; 2 ;; ; ; ;; ; или 2, называются элементами (членами) последовательности, 2 3 Числа,, формула общего члена последовательности, номер общего члена последовательности Последовательность считается заданной, если указан способ получения ее любого элемента Основными способами задания последовательности являются: формула -го члена, рекуррентный, словесный, графический Пусть даны две последовательности, y Суммой последовательностей и y называется последовательность y, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов последовательностей Произведением последовательности на число m называется последовательность m, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности на число m Произведением последовательностей и y называется последовательность y, каждый элемент которой равен произведению соответствующих элементов последовательностей Если все члены последовательности y отличны от нуля, то частным последовательностей и y называется последовательность, y каждый элемент которой равен частному соответствующих элементов последовательностей Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует число M ( m ) такое, что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству Числа M и m называются верхней и нижней гранями числовой последовательности : ограничена сверху M : M M ( m ) ограничена снизу m : m Последовательность называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу, те существуют числа M и m такие, что каждый элемент неравенству m M : Пусть A ma m, M ограничена m, M : m M последовательности удовлетворяет Тогда условие ограниченности можно записать в виде A Последовательность называется неограниченной, если для любого действительного числа A существует элемент последовательности, удовлетворяющий неравенству A или A : неограниченна A : A A, те либо

2 Последовательность называется неубывающей, если ее элементы удовлетворяют условию: 2 Последовательность называется возрастающей, если ее элементы удовлетворяют условию: 2 Последовательность называется невозрастающей, если ее элементы удовлетворяют условию: 2 Последовательность называется убывающей, если ее элементы удовлетворяют условию: 2 Последовательность называется монотонной, если является одной из выше перечисленных Последовательность называется строго монотонной, если она возрастающая или убывающая Последовательность называется бесконечно малой, если для любого положительного числа существует такой номер N такой, что для всех номеров N выполняется неравенство : бмп N : N Свойства бесконечно малых последовательностей: бесконечно малая последовательность ограничена; сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность; произведение бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность; есть бесконечно малая последовательность Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа c существует такой номер N k такой, что для всех номеров Nk выполняется неравенство произведение бесконечно малой последовательность c : на ограниченную ббп c Nk : Nk c Если последовательность бесконечно большая, то она неограниченна Если последовательность неограниченна, то она не обязательно бесконечно большая Если бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от нуля, то последовательность является бесконечно малой последовательность Если бесконечно малая последовательность и все ее члены отличны от нуля, то последовательность является бесконечно большой последовательностью Тема 2 Предел последовательности 2 Определение предела последовательности 22 Свойства предела последовательности 23 Критерий Коши сходимости последовательности 24 Замечательные пределы Число a называется пределом последовательности, если для любого положительного действительного числа найдется такой номер N элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству lim a N : N a N, что при всех a и обозначается: lim a : Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся (к числу а), а последовательности, не имеющие конечного предела, расходящимися

3 Неравенство a означает, что последовательность a является бесконечно малой последовательностью Отсюда следует, что любую сходящуюся последовательность можно представить в виде a бесконечно малая последовательность, где lim, где Бесконечно большая последовательность имеет бесконечный предел: lim A N A : N A A Сходящиеся последовательности обладают следующими свойствами: сходящаяся последовательность имеет только один предел; сходится, то она ограничена: если последовательность lim a M : M ; сумма (разность) двух сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей lim y lim lim y ; произведение двух сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность предел которой равен произведению пределов последовательностей lim y lim lim y ; частное двух сходящихся последовательностей и y, lim y, есть сходящаяся последовательность предел которой равен частному пределов последовательностей lim lim ; y lim y если все элементы сходящейся последовательности, lim a, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству b ( b ), то и предел этой последовательности удовлетворяет неравенству a b ( a b ); z таковы, что выполняется неравенство пусть последовательности y z и lim a, a, y, lim Тогда последовательность z y сходится и lim a ; y каждая ограниченная монотонная последовательность сходится Последовательность называется фундаментальной, если для любого малого действительного числа найдется номер N и любого p выполняется неравенство N такой, что для всех номеров, больших : p фундаментальна N : N и p Из определения следует, что lim p p Критерий Коши сходимости последовательности: Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной Пределы, к которым сводятся вычисления многих пределов условно называются замечательными пределами Ниже приводятся некоторые из них: a lim e ; lim ( a );! lim a ( a ); lim ; Тема 3 Предел функции lim ;! lim! 3 Понятие функции, сложная и обратная функции 32 Способы задания функции

4 33 Определения предела функции по Гейне и по Коши 34 Односторонние пределы функции Под функциями понимается отображение числовых множеств Пусть X произвольное подмножество действительных чисел, X Если каждому числу X поставлено в соответствие единственное действительное число y, то говорят, что на множестве X определена числовая функция Переменная называется независимой переменной или аргументом, y зависимой переменной, множество X называется областью определения функции и обозначается D, а множество Y y y, D множеством значений функции и обозначается E Если о функции говорить как об отображении : X Y, то, а прообразом элемента называется образом элемента При этом множество Y называется образом множества X, множество X прообразом множества Y Чтобы определить функцию y, нужно задать множество X и закон (правило, соответствие), переводящий элементы множества X в элементы y множества Y и Пусть функции u y u определены на множествах X и U соответственно, причем множество значений функции содержится в области определения Тогда функция переводит элементы в элементы u, а функция переводит элементы u в элементы y : u y Таким образом, каждому значению ставится в соответствие (посредством промежуточной переменной u ) одно значение y В этом случае y называется сложной функцией (композицией функций и ) аргумента При этом функция u называется промежуточным аргументом, независимым аргументом Обозначается: y или Обратная функция Пусть функция y такова, что каждое значение y она принимает только при одном значении Такая функция называется обратимой Тогда уравнение y можно однозначно разрешить относительно, те каждому y соответствует единственное значение Это соответствие определяет функцию, которая называется обратной к функции Обозначается: Если функция y или обратной по отношению к те y y и является обратной по отношению к функции, то функция является Если числовая функция, те Функции и называются взаимно обратными, y строго монотонна, то существует обратная функция y При этом, если возрастающая функция, то возрастающая; если убывающая, то убывающая Если же у обратной функции, так же как и у данной, аргумент обозначить через, а зависимую переменную через у, то обратная функция запишется в виде Функции y и y переменных Поэтому, чтобы из графика функции y, получить график функции y y различаются только обозначением зависимой и независимой y совпадающего с графиком функции, достаточно поменять местами оси O и Oy, те повернуть плоскость чертежа вокруг биссектрисы первого координатного угла Таким образом, график обратной функции y симметричен графику данной функции y относительно биссектрисы первого координатного угла Функция задается одним из следующих способов А н а л и т и ч е с к и й способ задания функции состоит в том, что с помощью формулы устанавливается алгоритм вычисления значений функции для каждого из значений D Частное значение функции y при некотором значении аргумента записывается в виде

5 или y При аналитическом задании функции область определения D есть множество значений аргумента, при которых данная формула имеет смысл Аналитически функция a; b может быть неявно задана уравнением F ; y, если y, a; b F ; В некоторых случаях, разрешив уравнение ; y задание функции y F относительно у, удается получить явное Аналитически функция y () может быть задана в п а р а м е т р и ч е с к о м виде Пусть ( t), y ( t) две функции одной независимой переменной t T Если (t) монотонна на Т, то существует обратная к ней функция t ( ) Поэтому функцию y (t), t ( ) можно рассматривать как сложную функцию, переводящую элемент в элемент y посредством промежуточной переменной t : ( t), t ( y ( ( )) F( ) y ( t), y t,), В этом случае говорят, что сложная функция y ( ( )) F( ) задана параметрическими уравнениями и пишут: ( t), y ( t), где t, параметр, t T Всякую функцию, заданную явно y (), можно задать параметрическими уравнениями Действительно, t, y y t Параметрическое задание функций иногда имеет преимущество перед другими формами их задания В некоторых случаях непосредственная связь между y и может быть весьма сложной, в то и y (t) определяющие функциональную зависимость y от через параметр t, оказываются простыми Т а б л и ч н ы й способ задания функции осуществляется табличным перечислением значений аргумента ; 2;; и соответствующих им значений функции y ; y2;; y Г р а ф и ч е с к и й способ задания функции состоит в представлении функции y графиком в некоторой системе координат Графиком Γ функции y называется множество точек M ; y плоскости 2, координаты которых связаны данной функциональной зависимостью: время как функции t 2 y с областью определения Г M ; y y D Средствами элементарной математики для функции большинстве случаев можно определить следующие характеристики Н у л и ф у н к ц и и и з н а к ф у н к ц и и н а м н о ж е с т в е котором функция корнями уравнения D Значение D D в при y обращается в нуль, называется нулем функции, те нули функции являются В интервале, на котором функция положительна, график ее расположен выше оси O, а в интервале, на котором она отрицательна, ниже оси O ; в нуле функции график имеет общую точку с осью O Ч е т н о с т ь и н е ч е т н о с т ь ф у н к ц и и Числовая функция (нечетной), если выполняются следующие условия: y называется четной ) область ее определения симметрична относительно точки O, т е для каждой точки D существует точка D ;

6 2) для любого из области определения выполняется равенство ( ) Существуют функции, которые не являются ни четными, ни нечетными Они называются функциями общего вида Ось Oy является осью симметрии графика любой четной функции, а начало координат центром симметрии графика нечетной функции Графики функций, не обладающих свойствами четности или нечетности, не симметричны При изучении поведения четной (нечетной) функции достаточно изучить ее при любом и продолжить это изучение по симметрии на любое D, П е р и о д и ч н о с т ь ф у н к ц и и Функция y, определенная на множестве T, что D называется периодической, если существует такое число выполняются следующие условия: ) T, T D ; 2) T T Число T называется периодом функции Если число Т является периодом функции y для любого, то число T также период этой функции Если существует наименьший положительный период функции, то он называется основным периодом Если T период функции y, то достаточно построить график на одном из интервалов длиной Т, а затем произвести параллельный перенос его вдоль оси O на Tk, k Если функция k также периодическая с периодом k T периодическая с периодом Т, то функция К периодическим функциям относится постоянная функция c, cost D Любое число T является периодом этой функции, но наименьшего (основного) периода Т функция не имеет М о н о т о н н о с т ь ф у н к ц и и Функция y называется возрастающей (убывающей) на множестве X, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее (меньшее) значение функции: возрастает на X, 2 X : 2 2 ;, X c, убывает на X 2 : Функция y называется неубывающей (невозрастающей) на множестве X, если большему значению аргумента из этого множества соответствует не меньшее (не большее) значение функции: (), X ; не убывает на Х 2 : 2 2 () не возрастает на Х, X 2 : 2 2 Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными, а неубывающие и невозрастающие монотонными О г р а н и ч е н н о с т ь ф у н к ц и и Функция y называется ограниченной сверху (снизу) на множестве D условие M ( M ): () ограничена сверху на X M : X M ; ( () ограничена снизу на X M : X M ) Функция y называется ограниченной на множестве X D X, если существует такое число M, что при любых X выполняется положительное число M, что для любого X выполняется условие M Функция ограниченности не выполняются: () : () ограничена на X M : X M y называется неограниченной сверху (снизу) на множестве D неограничена сверху на X : неограничена снизу на X : ( () M X M ; M X M ) 2 2, если существует такое X если условия

7 Пусть функция значение определена в проколотой окрестности U ; может быть не определено Число A называется пределом (по Гейне) функции для любой последовательности точек U ; соответствующих значений функции A lim, U ; : lim В точке y в точке (или при ), если, сходящейся к, последовательность сходится к A : a lim можно указать такое число Число A называется пределом (по Коши) функции для любого условию A lim :, выполняется неравенство A y в точке (или при ), если, что при всех, удовлетворяющих : A Определения предела функции в точке по Гейне и по Коши эквивалентны Предел функции обладает следующими свойствами функция в точке не может иметь больше одного предела; если функция в точке имеет предел, то она ограничена в некоторой окрестности ; если функции и U ; ) g a b lim ; 2) g a b 3) lim ; a lim, g b если в U ; пределы b ; g в точке 4) a имеют конечные пределы, т е lim a, g b lim, ; 5) lim a, a, справедливо функциональное неравенство lim, lim, то lim lim ; lim : и существуют конечные если в U ; справедливы функциональные неравенства lim A A, то существует lim A ; lim, если в окрестности точки задана сложная функция lim u u ( u при ), u A в точке и lim u lim u uu и существует y u и существуют пределы lim, то существует предел сложной функции y u Левой -окрестностью точки называется множество всех, удовлетворяющих неравенству х U : ; Правой -окрестностью точки называется множество всех, удовлетворяющих неравенству : U ; Число A называется левым пределом функции y в точке, если для любого существует, такое, что U ; выполняется неравенство A lim A : U ; A :

8 Число A называется правым пределом функции y в точке, если для любого существует, такое, что U ; выполняется неравенство A lim A : U ; A : Функция имеет в точке предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют конечные правый и левый пределы и они равны между собой lim lim lim имела в точке Критерий Коши существования предела функции: для того чтобы функция конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовала такая окрестность U ; точки такая, что для любых '' ' : ' '' lim A :, U ; Тема 4 Бесконечно малые функции '' ' ' '', U ; 4 Определение и свойства бесконечно малых функций 42 Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций 43 Первый и второй замечательные пределы 44 Сравнение асимптотического поведения функций имеет место неравенство Функция называется бесконечно малой функцией (или бесконечно малой) при, если lim при имеет конечный предел тогда и только тогда, когда функция является бесконечно малой при Бесконечно малые функции обладают следующими свойствами: конечная сумма бесконечно малых функций есть функция, бесконечно малая; произведение бесконечно малой функции и функции ограниченной есть бесконечно малая функция; произведение некоторого числа и бесконечно малой функции есть бесконечно малая функция; произведение двух бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция; Обозначается: o Функция A частное от деления бесконечно малой функции на функцию, такую, что lim есть бесконечно малая функция; если функция большая Если функция при бесконечно малая, то функция при бесконечно большая, то функция бесконечно малая П е р в ы й з а м е ч а т е л ь н ы й п р е д е л : si lim В т о р о й з а м е ч а т е л ь н ы й п р е д е л : lim e, lim e, при бесконечно при Под асимптотикой, или асимптотическим поведением функции в окрестности некоторой точки, понимается описание поведения функции вблизи точки, в которой функция, как правило, не определена Асимптотическое поведение функции обычно характеризуется с помощью другой, более простой или более изученной функции, которая в окрестности исследуемой точки с малой относительной

9 погрешностью воспроизводит значения изучаемой функции Если бесконечно малые функции и, lim с, то они называются бесконечно малыми одного порядка малости Обозначается: O Запись O означает, что функция при ограничена Если функции, бесконечно малые и lim, то они называются эквивалентными (асимптотически равными) при Обозначается: ~ или при Если функция такова, что lim, то при справедливы следующие асимптотические равенства: ~ si ~ tg ~ arcsi ~ arctg ~ ~ l ~ e, ~ Предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения эквивалентных им функций, т е если при ~, ~, то lim lim Данное свойство используется при вычислении пределов, так как каждую бесконечно малую (или только одну) можно заменить бесконечно малой, ей эквивалентной Если функции, бесконечно малые и lim, то говорят, что является бесконечно малой функцией более высокого порядка по сравнению с функцией и обозначается: o Запись o при означает, что функция является бесконечно малой при o множество бесконечно малых функций при Если функции, бесконечно малые и lim c, k, то называется k функцией k -го порядка малости по сравнению с Соотношения вида O, o, ~ при называются асимптотическими оценками Ниже приведены некоторые важные пределы, которые используются при вычислении: lim l a, lim, l log a lim, lim a e log a e lim, Тема 5 Непрерывность функции 5 Определение непрерывности функции 52 Точки разрыва и их классификация 53 Свойства непрерывных функций 54 Равномерная непрерывность функции Функция y называется непрерывной в точке, если выполняются следующие три условия:

10 ) функция 2) существует y определена в точке, т е D lim ; 3) lim ; Если в точке нарушено хотя бы одно из условий 3, то функция называется разрывной в точке, а точка точкой разрыва Функция называется непрерывной в точке (по Коши), если для любого заданного числа можно найти такое число (зависящее от и ), что для всех, для которых выполняется неравенство : непрерывна в точке : U ;, Пусть есть приращение аргумента, а y приращение функции в точке При фиксированном переменной приращение y является функцией аргумента Геометрический смысл приращений виден на рисунке 2 Можно дать еще одно определение непрерывности функции в терминах приращений Функция называется непрерывной в точке, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции y, т е lim y Функция, определенная в некоторой левой (правой) окрестности точки называется непрерывной слева (справа) в точке, если существует предел слева (справа) функции y и он равен : непрерывна справа в точке lim непрерывна слева в точке lim, Рисунок 2 Определение непрерывности функции, Из определения односторонней непрерывности в точке следует, что функция определенная в некоторой -окрестности точки, непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке слева и справа Функция называется непрерывной в точке (по Гейне), если для любой последовательности точек U ; сходится к : A lim, сходящейся к, последовательность соответствующих значений функции ; : lim, U lim Функция непрерывная во всех точках некоторого множества X, называется непрерывной на множестве X Если X a; b, то для непрерывности функции на a; b требуется, чтобы была непрерывна во всех внутренних точках отрезка, непрерывна справа на левом его конце, те в точке a, и непрерывна слева на правом его конце, те в точке b Класс непрерывных на отрезке a; b функций обозначается C a;b Пусть функции и g непрерывны в точке Тогда функции g, g,

11 , где g g Пусть функция, также непрерывны в этой точке y определена на промежутке X, и множество ее значений Y Число M ( m ) называется точной верхней (нижней) гранью функции если выполняются следующие условия ) X M ( m ); y на множестве X, 2) для любого числа M ' M ( m ' m ) найдется такая точка ' X, что ' M ' ' ' ( m ) Условие ) означает, что число M является одной из верхних граней функции y на множестве X, условие 2) показывает, что M наименьшая из верхних граней функции Аналогично для точной нижней грани Если множество Y неограниченно сверху, то пишут sup, если снизу, то i Точка называется точкой разрыва функции непрерывной Разрывы функции классифицируются следующим образом Точка называется точкой устранимого разрыва функции Вводя новую функцию получим lim, X, если в этой точке функция если, A, если, A т е новая функция является непрерывной Точка называется точкой разрыва -го рода функции имеет конечные, но не равные односторонние пределы: lim lim,, если A X не является lim и A, если в этой точке функция Если lim, то функция будет непрерывной слева, если lim непрерывной справа Пусть существуют два конечных односторонних предела, im lim l не равные друг другу Разность называется скачком функции в точке называется точкой разрыва 2-го рода функции, если в этой точке функция Точка имеет хотя бы один бесконечный односторонний предел: равен бесконечности: lim или lim При исследовании функции на непрерывность необходимо проверить выполнение условий определения Если точка разрыва, то для установления характера разрыва необходимо вычислить односторонние пределы и значение функции в исследуемой точке Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке a; b, если она непрерывна во всех внутренних точках a; b, за исключением, может быть, конечного числа точек, в которых она имеет разрыв -го рода При этом существуют односторонние пределы в точках a и b Функция называется кусочно-непрерывной на числовой прямой, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке Многочлен P a a a, ak, k,, является функцией, непрерывной для любого P Всякая рациональная функция непрерывна в любой точке, для которой Q Здесь Q P, Q многочлены Если функция u непрерывна в точке, а функция y u непрерывна в точке u,,

12 то сложная функция y непрерывна в точке Тогда справедливы следующие равенства для непрерывных функций: lim lim, lim lim Пусть функция y определена, непрерывна и монотонна на некотором множестве X и пусть Y множество ее значений Тогда на множестве Y обратная функция y монотонна и непрерывна Все элементарные функции непрерывны во всех точках, принадлежащих их области определения Непрерывные функции обладают следующими свойствами (устойчивость знака непрерывной функции) Если функция непрерывна в точке и, то существует такая окрестность точки, в которой знак функции совпадает со знаком 2 (прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение) Если функция a; b и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри этого непрерывна на отрезке отрезка существует точка, в которой значение функции равно нулю: : a b a; b : 3 Пусть непрерывна на отрезке a; b и a A, b B заключенного между A и B, найдется такая точка c a; b, что c C Тогда для любого числа C, Свойство 3 можно переформулировать так: непрерывная функция, переходя от одного значения к другому, обязательно принимает все промежуточные значения между ними 4 (ограниченность непрерывных функций) Если функция определена и непрерывна на отрезке a; b, то она ограничена на этом отрезке 5 (достижение непрерывной функцией своих точных граней) Если функция непрерывна на отрезке a; b, то на этом отрезке она достигает своих нижней и верхней граней, те на нем существуют по крайней мере две точки и 2 такие, что M sup, m 2 i a;b a;b Из множества функций, непрерывных на числовом промежутке, выделяют равномернонепрерывные функции Функция называется равномерно-непрерывной на множестве X, если для любого найдется, такое, что для любых двух точек, 2 X, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство : 2 2 равномерно-непрерывна в точке :, 2 X 2 2 Число зависит только от и является общим для всех значений, 2 X переменной Геометрическая интерпретация равномерной непрерывности функции: если равномернонепрерывна на X, то такое, что прямоугольник со сторонами и, параллельными осям O и Oy, можно переместить вдоль графика (сохраняя параллельность сторон осям координат), что график не пересечет горизонтальных сторон прямоугольника, а будет пересекать только вертикальные стороны (рисунок 2 2) Рисунок 2 2 Равномерная непрерывность функции

13 Очевидно, что равномерно-непрерывная функция X Теорема (Кантора) Функция отрезке Теорема не верна, если отрезок заменить интервалом, непрерывная на отрезке b на промежутке X является непрерывной на a;, равномерно-непрерывна на этом Вопросы для самоконтроля О п р е д е л е н и я Сформулируйте определение числовой последовательности 2 Дайте определение ограниченной и неограниченной последовательности 3 Какие последовательности называются монотонными, строго монотонными? 4 Сформулируйте определение бесконечно малой и бесконечно большой последовательности 5 Перечислите свойства бесконечно малых последовательностей Дайте определение предела последовательности


Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

( ) 0. Пример. Найти область определения D и множество значений Е функции y =. Лекция 4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

( ) 0. Пример. Найти область определения D и множество значений Е функции y =. Лекция 4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 4 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие функции Способы задания функции Основные свойства функций Сложная функция 4 Обратная функция Понятие функции Способы задания функции Пусть D

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

4 Лекция Функция

4 Лекция Функция Функция Понятие функции Способы задания функции Характеристики функции Обратная функция Предел функции Предел функции в точке Односторонние пределы Предел функции при x Бесконечно большая функция 4 Лекция

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

ФУНКЦИЯ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

ФУНКЦИЯ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ФУНКЦИЯ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Одним из основных математических понятий является понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пусть даны два непустых множества

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

6 Лекция Второй замечательный предел. показано, что предел числовой последовательности 1 n xn = 1 + , n N, имеет предел, равный e. = e. (6.

6 Лекция Второй замечательный предел. показано, что предел числовой последовательности 1 n xn = 1 + , n N, имеет предел, равный e. = e. (6. Второй замечательный предел Непрерывность функции Непрерывность функции в точке Непрерывность функции в интервале и на отрезке Точки разрыва функции и их классификация Свойства непрерывных функций 6 Лекция

Подробнее

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных - - Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Понятие функции. Основные свойства функций Математический анализ (лекция 2) 28 / 64 Понятие функции. Основные свойства функций Если каждому элементу (значению) x множества X поставлен

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

( ) ( ( ) ) ( ) 0. ( x) M. α. Тогда. α называется. ϕ ограничена в ( ) Лекция 7.БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ

( ) ( ( ) ) ( ) 0. ( x) M. α. Тогда. α называется. ϕ ограничена в ( ) Лекция 7.БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ Лекция 7БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ Определение и свойства бесконечно малых функций Основные теоремы о пределах Замечательные пределы 4 Сравнение асимптотического поведения функций Определение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества.

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества. ЛЕКЦИЯ N1 Числовые множества Числовые последовательности Пределы, свойства Теорема Больцано-Вейерштрасса Функции Способы задания Элементарные функции Предел функции в точке 1Частично упорядоченные множества

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВСЕХ. Ю.Л.Калиновский

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВСЕХ. Ю.Л.Калиновский МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВСЕХ Ю.Л.Калиновский Contents 1 Графики функций. Часть I.................................... 5 1.1 Введение 5 1.1.1 Понятие множества.............................................. 5 1.1.

Подробнее

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP,

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP, 5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (,,, n ), где,,, n - действительные числа называется n-мерным

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 1 Определения Сформулируйте определение: 2 ноября 2013 г. 1. ограниченного

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для

Подробнее

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,...

2 Предел функции. , определенная на множестве всех натуральных чисел N 1,2,3,..., n,... . Значения функции f1, f2,..., fn,... Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Математический анализ. Введение [1,3,4]

Математический анализ. Введение [1,3,4] I Краткие исторические сведения Математический анализ Введение [1,3,4] Математический анализ часть математики, в которой изучаются функции и их обобщения методами теории пределов Поскольку понятие предела

Подробнее

- 1 - Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

- 1 - Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - - Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, 9- Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел Сформулируйте

Подробнее

функция f. Множество D называется областью определения функции, а множество -множеством значений функции. f( x)

функция f. Множество D называется областью определения функции, а множество -множеством значений функции. f( x) 6 2. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО. Понятие функции. Способы задания Пусть D - произвольное подмножество действительных чисел ( D ). Если каждому числу D поставлено в соответствие

Подробнее

Тема 2.1 Числовые функции. Функция, ее свойства и график

Тема 2.1 Числовые функции. Функция, ее свойства и график Тема 2.1 Числовые функции. Функция, ее свойства и график Пусть X и Y Некоторые числовые множества Если каждому по некоторому правилу F ставится в соответствие единственный элемент то говорят, что Задана

Подробнее

lim lim arctg x~ 1 cos x ~ (1 x) ~1 m Лекция ( ) Предел функции (продолжение) lim f(x) = b, то f(x) = b +

lim lim arctg x~ 1 cos x ~ (1 x) ~1 m Лекция ( ) Предел функции (продолжение) lim f(x) = b, то f(x) = b + Предел функции (продолжение) Лекция (..) Теорема (о связи функции, ее предела и бесконечно малой). Если, где б.м. при a. Доказательство. Пусть б.м. при +. f( = b, то f( = b + f ( = b. Рассмотрим функцию

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Первый замечательный предел. Тригонометрические неопределенности. S (1).

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Первый замечательный предел. Тригонометрические неопределенности. S (1). Первый замечательный предел. Тригонометрические неопределенности. При вычислении пределов функций, которые содержат тригонометрические выражения часто используют предел: Это первый замечательный предел.

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( )

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( ) Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу (2013 2014) 29 августа 2013 г. Тема I. Вещественные числа 1. Определения 1.1. Сформулируйте правило сравнения вещественных чисел. Сформулируйте определение:

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

Математический минимум. Часть 1. Теоретическая.

Математический минимум. Часть 1. Теоретическая. Сергей А Беляев стр 1 Математический минимум Часть 1 Теоретическая 1 Верно ли определение Наименьшим общим кратным двух целых чисел называется наименьшее число, которое делится на каждое из заданных чисел

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

Математический анализ I семестр. Ю. Л. Калиновский

Математический анализ I семестр. Ю. Л. Калиновский Математический анализ I семестр Ю. Л. Калиновский Справочные материалы Графики основных элементарных функций Парабола y = ax 2 + bx + c Функция y = x α α > 0 4 α < 0 Функция y = a x Функция y = log a

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Числовые функции и числовые последовательности

Числовые функции и числовые последовательности Числовые функции и числовые последовательности Д. В. Лыткина АЭС, I семестр Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 1 / 35 Содержание 1 Числовая функция Понятие функции Числовые функции.

Подробнее

Лекция 2. Последовательности

Лекция 2. Последовательности Лекция 2 Последовательности Определение. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x, то множество занумерованных чисел x, x2,..., x,...

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 MA ksm-n4a-непрерывные функции 4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 4.. Непрерывные функции одной переменной. 3 4... Непрерывность функции в точке. 3 4... Точки разрыва, устранимые 9

Подробнее

МНОЖЕСТВА. Операции над множествами.

МНОЖЕСТВА. Операции над множествами. МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы объекты данной совокупности можно отличить друг от

Подробнее

x называется равномерно непрерывной на множестве x X x x <δ f x f x <ε.3

x называется равномерно непрерывной на множестве x X x x <δ f x f x <ε.3 Глава 7. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ Функция f ( ) x называется равномерно непрерывной на множестве X если > δδ ( ) > ( ) ( ) x x X x x

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

Познакомились с новыми свойствами числовых последовательностей:

Познакомились с новыми свойствами числовых последовательностей: Итак, в главе 1 Познакомились с новыми свойствами числовых последовательностей: ограниченность снизу; ограниченность сверху; сходимость; расходимость Выяснили, что такое: окрестность точки; предел числовой

Подробнее

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия :

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ. , если выполняются следующие три условия : 57 Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ. 1 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ Определение 1 Функция = f ( ) называется непрерывной в точке, если выполняются следующие три условия : 1) функция = f (

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП Функции нескольких переменных 11. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП 1. Определение функции нескольких переменных ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X = { 1 n i X i R } U R. Функция

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

Кафедра Высшая и вычислительная математика. О.А.Платонова МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Кафедра Высшая и вычислительная математика. О.А.Платонова МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Российский университет транспорта МИИТ» Кафедра Высшая и вычислительная

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ...10 Основные свойства функций...11 Четность и нечетность...11 Периодичность...12 Нули функции...12 Монотонность (возрастание, убывание)...13 Экстремумы (максимумы

Подробнее

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

( 1) по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие. Лекция 3. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Лекция МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Монотонные последовательности Теорема Вейерштрасса Число e Принцип выбора 4 Фундаментальные последовательности Критерий Коши Теорема о вложенных отрезках Определение

Подробнее

Предел. Непрерывность.

Предел. Непрерывность. Функция. 1 1. Какие числа образуют множество действительных чисел? 2. Что называется числовой осью? 3. Что называется интервалом? 4. Определить понятие окрестности точки. 5. Что называется абсолютной величиной?

Подробнее

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности

Математический анализ. (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности Математический анализ (греч. ανάλυσις -разрешать, разлагать) Лекция 1. Предел последовательности 1 Предварительные сведения о действительных (вещественных) числах Рациональное число m Q, m, -целые числа.

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

2. Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) не равен + 3. Вычислите предел, не используя правила Лопиталя: lim

2. Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) не равен + 3. Вычислите предел, не используя правила Лопиталя: lim Билет 1 1 Сформулируйте определение того, что предел (по Коши) функции f(x) равен + при x + Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения двух функций 2 Сформулируйте определение того, что предел

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Определенный интеграл Несобственные интегралы

Определенный интеграл Несобственные интегралы Математический анализ Тема: Определенный интеграл Несобственные интегралы Лектор Пахомова Е.Г. 2017 г. ГЛАВА II. Определенный интеграл и его приложения 1. Определенный интеграл и его свойства 1. Задачи,

Подробнее

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b.

Лекция 3, 4. Будем считать, что область задания функции f (x) } значений аргумента функции f ( x n ) значений функции сходится к b. Лекция 3, 4 Предельное значение функции при, + и Будем считать, что область задания функции f ( имеет хотя бы один элемент, лежащий вне отрезка [ A, A], для любого положительного числа A. Определение (по

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

4. Непрерывность функции 1. Основные определения

4. Непрерывность функции 1. Основные определения 4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x если справедливо равенство f ( x). (1)

Подробнее

Тема 2. Числовая функция, ее свойства и график

Тема 2. Числовая функция, ее свойства и график Тема Числовая функция, ее свойства и график Понятие числовой функции Область определения и множество значений функции Пусть задано числовое множество X Правило, сопоставляющее каждому числу X единственное

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА понятия, которые можно описать, но нельзя строго определить, так как любая попытка дать строгое определение неизбежно сведётся к замене определяемого понятия ему

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n lm n m Δх 0 f ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Е Б Боронина Эта книга написана для студентов технических вузов желающих подготовиться к экзамену по математическому анализу Содержание данной книги полностью соответствует

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

Тема: Понятие функции

Тема: Понятие функции Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Понятие функции (основные определения, классификация, основные характеристики поведения) Лектор Рожкова С.В. 2012 г. Литература Пискунов Н.С. Дифференциальное

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Глава Множества Последовательности Функции Элементы теории множеств Понятие множества является в математике неопределяемым Интуитивно, множество это совокупность объектов любой природы,

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1)

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1) 1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения (2006-2007, сем.1 1. Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел. 2. Сформулируйте определение

Подробнее

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания.

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания. ГЛАВА 3. Предел и непрерывность отображения 1. Предельные точки, открытые и замкнутые множества в метрических пространствах Опр. 3.1.1. Пусть (X, ) метрическое пространство, x X, >. Проколотой - окрестностью

Подробнее

Непрерывность функции

Непрерывность функции Непрерывность функции Непрерывная в точке функция, свойства Непрерывная на множестве функция Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке. Обратная функция Метод половинного деления. Односторонние пределы.

Подробнее

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x

, где k любое целое число. В таком случае автоматически выполняется и неравенство x 0. Ответ: x [4k. x Вариант 8 Найти область определения функции : y sin Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и sin Из второго неравенства следует, что должно выполняться неравенство k π k+

Подробнее