Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Российский Университет Дружбы Народов. Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды. Учебно-методическое пособие"

Транскрипт

1 Российский Университет Дружбы Народов Марченко В. В., Сорокина М. В. Числовые ряды Учебно-методическое пособие Москва 205

2 Аннотация Учебное пособие знакомит студентов с основными понятиями, методами доказательств и решения задач по теме «Числовые ряды». Пособие предназначено, в первую очередь, студентам 2-го курса, обучающимся по специальности НМ, и представляет собой краткий курс лекций. Может быть полезно преподавателям, ведущим математический анализ, а также студентам других специальностей, требующих серьёзной математической подготовки, а также всем тем, кто самостоятельно изучает математический анализ. Особенно полезно оно будет студентам-иностранцам.

3 Содержание Введение 4. Основные понятия 5 2. Положительные ряды 8 3. Признаки сходимости положительных рядов Теоремы сравнения Признаки Даламбера и Коши Признак Раабе Признак Куммера Признаки Бертрана и Гаусса Интегральный признак Маклорена Коши Произвольные ряды Критерий сходимости Больцано-Коши Абсолютная сходимость рядов Ассоциативность сходящегося ряда Коммутативность абсолютно сходящегося ряда. Теорема Римана Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница Признаки Абеля и Дирихле Преобразование Абеля Признаки Абеля и Дирихле Произведение рядов 25 Список литературы 28

4 Введение При изучении пределов приходится сталкиваться с такими последовательностями, которые построены путём последовательного суммирования членов другой последовательности. Такие последовательности называют рядами. Примером может служить последовательность x n = n. Оказывается, идея перехода к рядам может быть использована при решении задач элементарной математики, никак не связанных с понятием предела. Рассмотрим задачу. Дан конечный набор чисел a, a 2,...,. Доказать, что среди них всегда найдутся такие, сумма которых будет кратна n. Построим новый набор чисел: A = a, A 2 = a + a 2,..., A n = a + a Ясно, что либо среди этих новых чисел будет такое, которое кратно n (и тогда доказательство закончено), либо найдутся два числа (возможно, больше), имеющих одинаковый остаток при делении на n. В этом последнем случае пусть эти числа будут A m и A k, m > k. Остаток от деления A m A k на n равен 0. Следовательно, набор чисел a k+,..., a m искомый, т. к. a k a m = A m A k. Идея, использованная в этой задаче, оказывается весьма плодотворной при исследовании пределов последовательностей, когда задача исследования сходимости последовательности сводится к задаче исследования сходимости ряда. Для исследования рядов на сходимость существует множество признаков. В том или ином виде она присутствует в различных сборниках олимпиадных задач. 4

5 . Основные понятия i= Определение.. Числовым рядом назовём пару числовых последовательностей n (a i ; A n ), связанных соотношением A n = a i. Последовательность a i будем называть общим членом ряда, последовательность A n последовательностью частичных сумм. Обозначать числовой ряд будем символом a i или (более наглядно) a +a Определение.2. Конечный или бесконечный предел последовательности A n назовём суммой ряда. Если этот предел существует и конечен, то ряд называют сходящимся, в противном случае (сумма бесконечна или не существует) расходящимся. Обозначать сумму ряда (в случае её наличия) будем тем же символом Замечание. Таким образом, сходимость ряда i= a i. i= эквивалетна сходимости последовательности его частичных сумм A n = a Если же дана последовательность x n, то частичные суммы ряда x + (x n x n ) образуют последовательность x n. n=2 Таким образом, изучение рядов и последовательностей по существу одно и то же. Понятие ряда лишь даёт более удобную форму для исследования последовательностей. Рассмотрим ряд. Зафиксируем номер m. Определение.3. Ряд a k, в котором a k = a m+k, назовём остатком ряда k= после m-го члена или просто m-м остатком ряда. Для простоты исходный ряд обозначим символом (A), а его остаток символом (A ). Пример.. Найдем сумму ряда n(n + ) и докажем, что ряд сходится. Преобразуем выражение для, разложив на простейшие дроби: = n n +. n Тогда частичные суммы A n = a i = при n. Следовательно, n + i= ряд сходится по определению, и его сумма A =. i= a i 5

6 Свойства сходящихся рядов ) Если сходится ряд, то сходится любой из его остатков. Обратно, если сходится некоторый остаток ряда, то сходится и исходный ряд. Иными словами, к ряду можно добавить или от ряда отбросить несколько первых членов без изменения его сходимости/расходимости. последовательность ча- Доказательство. Пусть сходится ряд (A). Если A k стичных сумм ряда (A ), то при любом m A k = A k+m A m. Если существует конечный предел A = lim k A k = lim A k+m, то также суще- k = A A m. Теперь пусть сходится ряд ствует и конечен предел A = lim k A k (A ) для некоторого фиксированного m. Тогда, вводя обозначение l = k + m, из предыдущей формулы получим A l = A l m + A m. Если существует конечный предел A конечен предел A = lim l A l = A + A m. = lim l A l = lim l A l m, то существует и 2) Если имеется два сходящихся ряда (A): и (B): b n, то их суммма ряд (C): c n, где c n = + b n, также сходится и его сумма равна C = A + B. Иными словами, сходящиеся ряды можно складывать почленно. Доказательство. Частичная сумма ряда (C) равна C n = n + b i = A n + B n. Дальнейшее очевидно. i= n (a i + b i ) = i= n a i + i= 3) Если сходится ряд, то сходится произведение ряда на число k R ряд k. Иными словами, сходящийся ряд можно умножать на число. Доказательство. Аналогично. Обозначим сумму остатка сходящегося ряда (A) после m-го члена через α m. 4) lim m α m = 0. Доказательство. Было показано, что α m = A A m. Доказываемое равенство следует из того, что lim m A m = A. 6

7 5) (Необходимое условие сходимости ряда.) Если ряд (A) сходится, то lim n = 0. Доказательство. = A n A n (n = 2, 3,...), lim n = A A = 0. Пример.2. Исследуем на сходимость ряд cos n. = 0. Необходимое условие нарушено, ряд рас- Найдем lim = lim cos n n n ходится. Замечание. Обращаем внимание на то, что стремление к нулю общего члена ряда является лишь необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда. Например, для гармонического ряда lim = 0, хотя ряд и расходится. n n n 7

8 2. Положительные ряды Определение 2.. Ряд, для которого 0, будем называть положительным. В этом разделе нас будут интересовать вопросы сходимости/расходимости лишь положительных рядов. Если неравенство 0 выполняется, лишь начиная с некоторого номера, ряд также будем называть положительным (как следует из свойства, те члены, для которых оно не выполняется, можно без вреда для сходимости/расходимости ряда отбросить). Теорема 2. (критерий сходимости положительного ряда). Положительный ряд всегда имеет сумму. Необходимым и достаточным условием его сходимости является ограниченность последовательности его частичных сумм. Подробнее: если эта последовательность ограничена, то ряд сходится (сумма конечна), если не ограничена расходится (сумма бесконечна). Доказательство. Т. к. A n+ = A n + A n, то утверждение следует из соответствующего свойства монотонно возрастающей последовательности. Пример 2.. Докажем, что ряд n s, s R, сходится при s > и расходится при s. Сначала рассмотрим случай s =. Такой ряд называется гармоническим. Воспользуемся неравенством n n + i n 2n = 2. i= Рассмотрим частичную сумму ряда i= H 2 k = }{{ 4} 2 k }{{ 2 k } 2 k. 2 2 Таким образом, частичные суммы ряда неограничены, т. е. ряд расходится. Рассмотрим общий случай. Такой ряд называется обобщённым гармоническим. Если n n s <, то n, и ряд расходится. Если s >, то воспользуемся неравен- s n ством где σ = s > 0. i= n i= (n + i) s n n s = n σ, 8

9 Рассмотрим частичную сумму ряда без первых двух членов: H 2 = k } s {{ 4 s } (2 k + ) s (2 k ) }{{ s } 2 s (2 k ) s k i= (2 s ) i. Справа стоит ограниченная частичная сумма сходящегося ряда геометрической прогрессии со знаменателем <. Значит, частичные суммы рассматриваемого ряда также ограничены. Следовательно, ряд 2 s сходится. 9

10 3. Признаки сходимости положительных рядов В данной главе все рассматриваемые ряды являются положительными. 3.. Теоремы сравнения Рассмотрим ряды и () b n (2) с суммами A и B соответственно. Теорема 3.. Пусть b n. Если сходится ряд (2), то сходится ряд (), или (что то же самое), если расходится ряд (), то расходится ряд (2). Доказательство. Если сходится ряд (2), то A n B n B. Далее применяем критерий сходимости. Теорема 3.2 (предельная теорема сравнения). Пусть lim = K. При K < + n b n из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (), или (что то же самое) из расходимости ряда () следует расходимость ряда (2). При K > 0 из сходимости ряда () следует сходимость ряда (2), или (что то же самое) из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (). Следствие. Таким образом, при 0 < K < + ряды () и (2) сходятся или расходятся одновременно. В частности, при K =, теорема 3.2. утверждает, что если b n при n, ряды () и (2) сходятся или расходятся одновременно. Доказательство. В случае K < + зафиксируем некоторое ε > 0. Тогда, по определению предела последовательности, начиная с некоторого номера N, будет выполняться неравенство < K + ε, или < (K + ε) b n. Таким образом, из сходимости b n ряда (2) следует сходимость ряда (K + ε) b n, а значит, и ряда (). b n В случае K > 0 lim = n K сходимость (2). Теорема 3.3. Пусть < +. По доказанному из сходимости () следует + b n+ b n (, b n > 0). Если сходится ряд (2), то сходится ряд (), или (что то же) если расходится ряд (), то расходится ряд (2). 0

11 Доказательство. Перемножив неравенства a i+ b i+, i =, 2,..., n, получим a i b i неравенство b n, a b или b n b a. Дальнейшее следует из теоремы 3.. Замечание. Заметим, что все три сформулированные теоремы (а также все последующие признаки сходимости рядов) остаются верными, даже если упоминаемые там неравенства выполняются не для всех n, а лишь начиная с некоторого номера. Пример 3.. Исследуем на сходимость ряд n=2 ln n. Для всех n 2 выполняется оценка ln n > n, гармонический ряд n расходится, n=2 следовательно, по теореме 3. исходный ряд расходится. 2 Пример 3.2. Исследуем на сходимость ряд sin (n + ). 2 2 Так как 0 = sin (n + ) 2 2 n, ряд 2 сходится, то по теореме n 2 n=2 исходный ряд сходится Признаки Даламбера и Коши Рассмотрим сходящийся ряд и расходящийся ряд q n, q <, (3). (4) Теорема 3.4 (признак Даламбера в допредельной форме). Если (хотя бы начиная с некоторого номера) выполняется неравенство + для некоторого положительного числа q <, то ряд () сходится. Если выполняется неравенство +, то ряд () расходится. q

12 Доказательство. Следует из теоремы 3.3 сравнения рядов: сходимость следует из сравнения с рядом (3), расходимость из сравнения с рядом (4). Теорема 3.5 (признак Даламбера в предельной форме). Если + lim = D <, n то ряд () сходится. Если D >, то ряд () расходится. Если D =, то признак не работает. Доказательство. В случае D < зафиксируем положительное число ε так, что ε < D. Тогда, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство и ряд () сходится. + < D + ε <, В случае D >, начиная с некоторого номера, +, и ряд () расходится. 2 n Пример 3.3. Исследуем на сходимость ряд (2n)!. Заметим, что > 0 и + 2 = (2n + )(2n + 2) < <. Следовательно, по теореме 3.4 ряд 2 сходится. Теорема 3.6 (признак Коши в допредельной форме). Если (хотя бы начиная с некоторого номера) выполняется неравенство n an q <, то ряд () сходится. Если выполняется неравенство n an, то ряд () расходится. Доказательство. Если n q, то q n, и сходимость ряда () следует из теоремы 3.. Если n, то, и расходимость ряда следует из той же теоремы. Теорема 3.7 (признак Коши в предельной форме). Если lim n = K <, то n ряд () сходится. Если K >, то ряд () расходится. Если K =, то признак не работает. Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 3.5 (ссылка на теорему 3.6). ( 2n + 3 Пример 3.4. Исследуем на сходимость ряд 2n + Вычислим предел lim ( ) n n 2n + 3 = lim = e lim n n n 2n + Следовательно, по теореме 3.7 ряд расходится. ) n 2. Здесь > 0. n ln 2n+3 2n+ = e lim n 2n 2n+ = e 2 >. Замечание. Признак Коши сильнее признака Даламбера. Это означает, что если ряд сходится по признаку Коши, то он обязательно сходится по признаку Даламбера. Но не всякий ряд, который сходится по признаку Коши, можно исследовать с помощью признака Даламбера. 2

13 3.3. Признак Раабе Теорема 3.8. Если (хотя бы начиная с некоторого номера) выполняется неравенство ( ) an n r >, + то ряд (A) сходится. Если же (начиная с некоторого номера) ( ) an n, + ( ) a то ряд расходится. Предельная форма: если lim n n n + >, то ряд сходится; ( ) a если lim n n n + <, то ряд расходится. ( ) a В случае lim n n n + =, признак, как и ранее, ответа не даёт. Доказательство. ( ) Пусть, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство a n n + r >. Оно равносильно такому: + > + r n. Возьмём любое число s, такое, что < s < r. Известно, что ( + s lim n) n = s. n Следовательно, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство ( + s ( n) < r, или + ) s < + r n n. n Значит, или ( > + s, + n) + < (n+) s. n s Т. к. при s > ряд сходится, то, по теореме, исходный ряд также сходится. Вторая часть утверждения доказывается аналогично. Замечание. Признак Раабе уточняет признак Даламбера и, следовательно, сильнее. Признаки Раабе и Коши несравнимы. (2n )!! Пример 3.5. Исследуем на сходимость ряд. Здесь > 0. (2n)!! + 2n + Вычислим lim = lim =, следовательно, признак Даламбера ответа не дает. Применим признак Раабе, для этого вычислим lim n( 2n + 2 n n 2n + 2 n 2n + ) = n lim n 2n + = <, следовательно, по теореме 3.8 ряд расходится. 2 3

14 3.4. Признак Куммера Сначала докажем, что ряд n=2 n ln n расходится (это будет использовано в дальнейшем). Ряд (ln ln (n + ) ln ln n) n=2 с частичными суммами ln ln (n + ) ln ln 2 + расходится. По формуле конечных приращений значит, ln ln (n + ) ln ln n = (n + θ n ) ln (n + θ n ), 0 < θ n <, < ln ln (n + ) ln ln n < (n + ) ln (n + ) n ln n. Используя теорему сравнения 3., убеждаемся в расходимости ряда n=2 n ln n. Теорема 3.9. Пусть c n 0 произвольная последовательность. Если K n = c n c n+ δ > 0, (5) + то ряд сходится. Если и при этом ряд K n 0 (6) c n расходится, то ряд () также расходится. Доказательство. Неравенство (5) влечёт c n c n+ + δ+ > 0. Значит, c n монотонно убывающая последовательность. При этом она ограничена снизу (например, нулём), т. е. сходится. Следовательно, ряд (c n c n+ + ) сходится. По теореме сравнения, ряд ряд (). Если же выполнено (6), то имеем Из расходимости ряда δ+ также сходится, а значит, сходится и + c n+. c n c n, по теореме сравнения, следует расходимость ряда (). 4

15 В частности, положим c n = n ln n. Ряд 3.5. Признаки Бертрана и Гаусса Положим B n = ln n [ ( n + ) ]. n ln n расходится. Теорема 3.0 (признак Бертрана). Если lim n B n >, то ряд сходится; если B < расходится. При B = признак ответа не дает. Доказательство. В рассматриваемом случае K n = n ln n ( (n + ) ln(n + ) = B n ln + n+. + n) Т. к. K = lim n K n = B, то признак Бертрана следует из признака Куммера (его предельной формы). Теорема 3. (признак Гаусса). Пусть = λ + µ + n + θ n n, +σ где λ и µ постоянные, θ n есть ограниченная величина, а σ > 0 некоторое число. Тогда: если λ > ряд сходится, если λ < ряд расходится, если λ = : если µ > ряд сходится; если µ ряд расходится. Доказательство. В случаях λ < и λ > доказательство следует из признака Даламбера. Пусть теперь λ =. В случаях µ > и µ < применяем признак Раабе: ( ) ( lim n an = lim µ + θ ) n = µ. n + n n σ Если µ >, то ряд сходится, если µ < расходится. Наконец, в случае λ = µ = применяем признак Бертрана: [ ( ) ] lim ln n an ln n n = lim n + n n θ σ n = 0 <, и ряд расходится. 5

16 3.6. Интегральный признак Маклорена Коши Теорема 3.2. Пусть = f(n), где f(x) некоторая функция, определённая для x, положительная, монотонно убывающая и интегрируемая на [; A] A R, F (x) первообразная для f(x). Тогда ряд = f(n) сходится или расходится в зависимости от того, конечен ли или бесконечен предел F (+ ) = lim x F (x). Доказательство. Т. к. F (x) возрастает, то существует (конечный или бесконечный) предел F (+ ) = lim x F (x), значит, ряд имеет сумму, равную F (+ ). [F (n + ) F (n)] т. е. (т. к. f(x) монотонно убывает) F (n + ) F (n) = f(n + θ) (0 < θ < ), + = f(n + ) < F (n + ) F (n) < f(n) =. Таким образом, сходимость ряда [F (n + ) F (n)], сумма которого равна равносильна сходимости ряда. F (+ ) F () Пример 3.6. Исследуем на сходимость ряд n ln 2 n. n=2 Для 0 f(x) = x ln 2 выполнены условия теоремы 3.2. Рассмотрим интеграл x dx f(x) dx = x ln 2 x = = <. Следовательно, по теореме 3.2 ряд ln x 2 ln 2 2 сходится. 2 6

17 4. Произвольные ряды 4.. Критерий сходимости Больцано-Коши Теорема 4. (критерий сходимости Больцано Коши). Ряд сходится тогда и только тогда, когда для любого числа ε > 0 найдётся такой номер N, что для всех n > N и любого натурального числа m выполняется неравенство m A n+m A n = +i < ε. Доказательство. Теорема является переформулировкой теоремы Больцано Коши о необходимом и достаточном условии сходимости последовательности. i= 4.2. Абсолютная сходимость рядов Определение 4.. Говорят, что ряд. абсолютно сходится, если сходится ряд Теорема 4.2. Если ряд абсолютно сходится, то он сходится. Доказательство. Следует из условия Больцано Коши и неравенства m m a n+i +i. i= i= Теорема 4.3 (признак Даламбера абсолютной сходимости и расходимости ряда). a Если D = lim n+ n <, то ряд сходится абсолютно, если D >, то он расходится. Доказательство. Первая часть теоремы следует из (предельного) признака Даламбера, применённого к ряду, вторая из нарушения необходимого условия сходимости ряда. Определение 4.2. Если ряд что ряд расходится, а ряд сходится неабсолютно или условно. сходится, то говорят, 7

18 4.3. Ассоциативность сходящегося ряда Теорема 4.4 (сочетательное свойство сходящегося ряда). Если сходится ряд () = a + a , то сходится ряд ( ) a i n = (a a i ) + (a }{{} i a i2 ) ain a }{{} in +..., (7) }{{} a i a i 2 a in получающийся из первого произвольной группировкой его членов (без изменения порядка), причём к той же сумме. Доказательство. Обозначим через A n и A n последовательности частичных сумм первого и второго рядов соответственно. Ясно, что A = A i, A 2 = A i2,..., A n = A in,..., т. е. A n является подпоследoвательностью A n. Как известно, из сходимости A n следует сходимость A n и равенство пределов. Замечание. Обратное неверно. Примером может служить ряд ( ) + ( ) +... = , очевидно, сходящийся и имеющий сумму 0. Опуская скобки, получаем расходящийся ряд Теорема 4.5. Если сходится ряд (7), причём в каждой паре скобок все слагаемые одного знака, то ряд () также сходится и имеет ту же сумму. Доказательство. Для каждого n > i всегда найдётся такое k, что i k n < i k+. При этом частичная сумма A n заключена между A ik и A ik+, причём или A ik A n < A ik+, если все слагаемые в (k + )-й скобке положительны, A ik+ < A n A ik, если все слагаемые в (k + )-й скобке отрицательны. Дальнейшее очевидно. 8

19 4.4. Коммутативность абсолютно сходящегося ряда. Теорема Римана Если в ряде лишь конечное число отрицательных членов, его, начиная с некоторого номера, можно считать положительным и исследовать с помощью признаков предыдущего раздела. То же относится к рядам, имеющим лишь конечное число положительных членов (начиная с некоторого номера, их можно считать отрицательными и с точностью до знака исследовать теми же методами). Поэтому, в этой главе интерес представляют лишь те ряды, в которых бесконечное количество как положительных, так и отрицательных членов. Рассмотрим такой ряд =... + p +... q..., (8) из неотрицательых членов которого составим положительный ряд а из модулей отрицательных ряд p n, (9) q n. (0) Суммы этих рядов (в случае их наличия) обозначим через A, P и Q соответственно. Сумму ряда обозначим через A. () Утверждение 4.6. Если сходятся оба ряда (9) и (0), то ряд (8) сходится абсолютно, причём A = P Q, A = P + Q. Доказательство. Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда (8). Пусть в ней содержится m неотрицательных членов и k положительных (n = m + k). Так как в ряде (8) бесконечное количество как положительных, так и отрицательных членов, то при стремлении к бесконечности одного из индексов n, m, k, стремятся к бесконечности и два других. Таким образом, если в равенствax A n = P m Q k, A n = P m + Q k перейти к пределу при m (или k ), то (при условии сходимости обоих рядов (9) и (0)) получим A = P Q, A = P + Q. 9

20 Теорема 4.7. Если ряд (8) сходится абсолютно, то сходятся оба ряда (9) и (0), причём A = P Q, A = P + Q. Доказательство. Рассмотрим частичную сумму P m ряда (9). Очевидно, что члены этой суммы содержатся среди первых n слагаемых ряда () для достаточно большого номера n: P m A n < +, т. е. ряд (9) сходится. Аналогично, сходится и ряд (0). Кроме того, A n = P m + Q k, A n = P m Q k. Переходя к пределу при m (или k ), приходим к доказываемым равенствам. Теорема 4.8. Если ряд (8) сходится условно, то оба ряда (9) и (0) расходятся. Доказательство. Предположим, например, что ряд (9) сходится. Тогда из равенства Q k = A n P m и сходимости ряда (8) следует, что сходится ряд (0), а тогда из равенства A n = P m + Q k следует, что ряд () сходится, что противоречит условию. Аналогично доказывается, что ряд (0) также расходится. Предположим, что в ряде (8) произвольным образом переставлены члены и получен ряд a i n. (2) Теорема 4.9 (коммутативность абсолютно сходящегося ряда). Если ряд (8) сходится абсолютно, то ряд (2) также абсолютно сходится и имеет ту же сумму A. Доказательство. Докажем утверждение сначала в предположении, что ряд (8) положителен. Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда (2). Т. к. члены ряда неотрицательны, то, обозначив N = max (i,..., i n ), получим A n = a i a in A N A < +. Таким образом, ряд (2) сходится и имеет сумму A A. Так как ряд (8) тоже получается из ряда (2) перестановкой членов, то A A. Значит, A = A. В случае произвольного абсолютно сходящегося ряда (8) заметим, что, переставляя произвольным образом его члены, мы переставляем члены рядов (9) и (0). Как следует, от перестановки членов сходимость и сумма этих рядов не изменится. Следовательно, ряд () также останется сходящимся и сохранит свою сумму. Теорема 4.0 (Римана). Если ряд (8) сходится условно, то, переставив его члены, всегда можно получить как ряд, не имеющий суммы, так и ряд, имеющий суммой любое число или ±. 20

21 Доказательство. Как следует из доказанного ранее в теореме 4.8, оба ряда (9) и (0) расходятся. В таком случае, начиная с любого места, можно набрать столько членов каждого из этих рядов, чтобы их сумма была больше любого наперёд заданного числа. Используем это замечание. Чтобы получить ряд, не имеющий суммы, сначала наберём столько членов ряда (9), начиная с первого, чтобы их сумма p p i превзошла. Затем наберём столько членов ряда (0), начиная с первого, чтобы их сумма превзошла p p i +. Тогда сумма p p i q... q i2 <. Теперь снова наберём столько членов ряда (9), начиная с (i + )-го, чтобы их суммa превзошла (p p i q... q i2 ) + и т. д. Продолжая этот процесс неограниченно, мы, во-первых, используем все члены ряда (8), а во-вторых, получим ряд, частичные суммы которого для достаточно больших номеров будут то >, то <. Тем самым, получится ряд, не имеющий суммы. Теперь покажем, как получить ряд, сходящийся к произвольному числу A. Пусть p A. Наберём минимальное количество членов ряда (8) (начиная с первого) так, чтобы их сумма превзошла A, т. е. p p i A < p p i + p i. Заметим, что отклонение получившейся суммы от A не превосходит p i. Теперь наберём минимальное количество членов ряда (0) (начиная с первого) так, чтобы сумма p p i q... q i2 q i2 была < A, т. e. p p i q... q i2 q i2 < A p p i q... q i2. Отклонение получившейся суммы от A не превосходит q i2. Продолжая этот процесс неограниченно, мы получим ряд (p p i ) (q q i2 ) +... Его суммы будут отличаться от A не более чем на модуль общего члена сходящегося ряда (8). Следовательно, с ростом n это отклонение стремится к нулю. Таким образом, сумма построенного ряда равна A. Т. к. в скобках содержатся слагаемые одного знака, то, опустив их, мы получим ряд p p i q... q i2..., имеющий ту же сумму. В случае если p > A, в качестве первого члена нового ряда берём p, а затем набор членов начинаем с ряда (0). Дальнейшее аналогично. Для получения ряда с суммой (соответственно ) будем набирать члены ряда (9) (соответственно (0)) со сколь угодно большой (соответственно малой) суммой и периодически вставлять в эти суммы по одному члену ряда (0) (соответственно (9)), начиная с первого. 2

22 5. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница Определение 5.. Ряд вида ( ) n c n, где c n 0, будем называть знакочередующимся. ( ) n c n или Теорема 5. (признак Лейбница). Пусть последовательность c n 0 ) монотонно убывает и 2) стремится к 0 при n. Тогда ряд ( ) n c n сходится. Доказательство. Рассмотрим частичную сумму чётного порядка: C 2n = (c c 2 ) (c 2n c 2n ) = c... (c 2n 2 c 2n ) c 2n. Из первого равенства следует, что она возрастает (т. к. все разности в скобках неотрицательны), а из второго что она ограничена сверху (числом c ). Следовательно, существует конечный предел C = lim C 2n. n Т. к. частичная сумма нечётного порядка C 2n = C 2n c 2n, а lim c 2n = 0 (по условию), то C = lim C 2n. А значит, C = lim C n, т. е. ряд сходится, что и требовалось n n n доказать. Следствие (оценка остатка). Заметим, что 0 C 2n c. Переходя к пределу, получим: 0 C c. То же самое можно сказать о любом остатке ряда вида γ 2n = = c 2n+ c 2n , а именно 0 γ 2n c 2n+. (3) С другой стороны, γ 2n = (c 2n c 2n+ +...) и, как следует из вышесказанного, 0 γ 2n c 2n. (4) Так как в (3) остаток неотрицателен, а в (4) неположителен, получаем замечательный результат: остаток ряда лейбницевского типа имеет знак своего первого члена, а по модулю его не превосходит. ( ) n Пример 5.. Исследуем на сходимость ряд. n + 4 Ряд знакочередующийся, абсолютной сходимости нет, т.к. = n + 4 n /2 и ряд n расходится. С другой стороны, c /2 n = n+4 монотонно стремится к 0 при n, следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница, и сходимость условная. 22

23 6. Признаки Абеля и Дирихле 6.. Преобразование Абеля Рассмотрим сумму m α k β k = α β α m β m. (5) k= Введём в рассмотрение суммы B = β, B 2 = β + β 2,..., B m = β + β β m. Заметим, что β k = B k B k. Преобразуем сумму (5) следующим образом: α β + m α k (B k B k ) = k=2 = α m B m + m k= (α k α k+ ) B k. m α k B k k= m α k B k = k=2 m α k B k k= m k= α k+ B k = Это и есть преобразование Абеля или формула суммирования по частям. Лемма 6.. Если последовательность α k монотонна, а B k B, то m α k β k B( α + 2 α m ). k= Доказательство. Используем преобразование Абеля: m m α k β k = α mb m + (α k α k+ ) B k α m B m + α α m B ( α + 2 α m ) B. k= k= Замечание. Если последовательность α k монотонно убывает и неотрицательна, то указанную оценку можно уточнить: m α k β k α m B + (α α m ) B (α m + α α m ) B = α B. k= 6.2. Признаки Абеля и Дирихле Следующие две теоремы формулируют достаточные условия сходимости рядов вида Теорема 6.2 (признак Абеля). Если b n. (6) последовательность монотонна и ограничена, 23

24 ряд b n сходится, то ряд (6) сходится. Теорема 6.3 (признак Дирихле). Если последовательность монотонно стремится к нулю, частичные суммы ряда b n ограничены в совокупности: B n B, то ряд (6) сходится. Доказательство. При доказательстве обеих теорем используются принцип Больцано Коши и преобразвание Абеля. Для признака Абеля: L, а неравенство b n b n+m < ε 3L выполняется для всех n > N(ε) и всех m. Следовательно, + b n m b n+m < ( a + 2 a m ) B = ( a + 2 a m ) ε 3L < < ε. Значит, ряд (6) сходится. Для признака Дирихле: неравенство +m < N(ε) и всех m. ε 3B выполняется для всех n > Следовательно, + b n m b n+m ( m ) B < 3 ε 3B B = ε. Значит, ряд (6) сходится. Пример 6.. Исследуем на сходимость ряд cos n 3 n +. Представим 3 cos n = n + 3 n = b n. Здесь = n + cos 3 0, частичные сум- n + n мы B n = cos ni = sin sin 3 + sin 3 sin 5 n + + sin sin n sin sin i= 2 2 ограничены в совокупности. Следовательно, ряд сходится по признаку Дирихле. Покажем, что абсолютной сходимости нет. cos n Для всех n имеем оценку 3 cos2 n cos 2n n + 3 = n n n + = p n + q n, здесь первый ряд расходится, второй ряд сходится по признаку Дирихле, значит, ряд p n q n (p n +q n ) расходится, и вместе с ним расходится ряд из абсолютных величин. Таким образом, исходный ряд сходится условно. ( ) n(n ) 2 Пример 6.2. Исследуем на сходимость ряд arctg n. n Ряд сходится по признаку Абеля, так как 0 < arctg n < π 2, а ряд сходится по признаку Дирихле. Абсолютной сходимости нет. ( ) n(n ) 2 n 24

25 7. Произведение рядов Рассмотрим два ряда и = a + a (7) b n = b + b b n +... (8) Рассмотрим всевозможные произведения членов рядов (7) и (8): a b a 2 b... b... a b 2 a 2 b 2... b a b n a 2 b n... b n (9) Из элементов таблицы (9) можно различными способами составлять ряды вида a in b jn, Например, суммируя члены по квадратам: a b }{{} + (a b 2 + a 2 b ) (a }{{} b n + a 2 b n b n b 2 + b ) +... (20) }{{} c c 2 c n или по диагоналям: a b }{{} + (a b 2 + a 2 b ) (a }{{} b n b ) +..., (2) }{{} c c 2 c n получая произведение рядов (7) и (8) в различных формах. Особый интерес представляет произведение в форме (2). Определение 7.. Произведением рядов (7) и (8) в форме Коши называют ряд (2), т. е. ряд c n, в котором c = a b, c 2 = a b 2 + a 2 b,..., c n = a b n b,... Нас будут интересовать условия, при которых произведение рядов будет сходящимся (абсолютно сходящимся) рядом. Теорема 7.. Если оба ряда (7) и (8) сходятся абсолютно и имеют суммы A и B, соответственно, то их произведение в любой форме также сходится абсолютно и имеет сумму AB. 25

26 Доказательство. Т. к. порядок слагаемых в абсолютно сходящемся ряде не влияет на его сходимость и его сумму, мы можем доказать теорему для произведения в любой форме. Рассмотрим произведениe рядов (7) и (8) в форме (20), докажем его абсолютную сходимость и найдём сумму. a b + a b 2 + a 2 b 2 + a 2 b a b n + a 2 b n b n b 2 + b a b b n = ( a ) ( b b n ) A B, где A и B суммы рядов и b n, соответственно. Таким образом, произведение рядов (7) и (8) в форме Коши (а с ним и в любой другой форме) сходится абсолютно и имеет сумму что и требовалось доказать. lim (a ) (b b n ) = AB, n Лемма 7.2. Пусть обе последовательности x n и y n являются бесконечно малыми, причём существует такое число L, что для любого m N Тогда последовательность x + x x m L. есть бесконечно малая. z n = x y n + x 2 y n x n y Доказательство. Используя то, что lim y n = 0, для любого ε > 0 зафиксируем n такой номер N, что для всех n > N y n < ε. Кроме того, 2L z n = x y n x n y x y n x n N y N + + x n N +y N +... x n y. Первая сумма < ( x x n N ) ε ε L = ε. 2L 2L 2 Т. к. теперь N фиксировано и lim x n = 0, то найдётся такой номер N 2 > N, что n для всех n > N 2 второе слагаемое < ε и, значит, для тех же n выполняется z 2 n < ε, т. е. lim z n = 0, что и требовалось доказать. n Теорема 7.3. Если оба ряда (7) и (8) сходятся и имеют суммы A и B, соответственно, причём один рядов сходится абсолютно, то их произведение в форме Коши сходится и имеет сумму AB. Доказательство. Предположим, что оба ряда сходятся, причём ряд (7) сходится абсолютно. C n = a b + (a b 2 + a 2 b ) (a b n b ) = a (b + b b n ) + +a 2 (b + b b n ) b = a (B β n ) + a 2 (B β n ) (B β ) = (a ) B γ n = A n B γ n, 26

27 где β n = B B n, γ n = a β n β. Т. к. для всякого m N a a m L = A, lim = lim β n = 0, то, n n применяя лемму 7.2 при x n =, y n = β n, z n = γ n и учитывая, что lim A n = A, n получаем lim γ n = 0 и n что и требовалось доказать. lim C n = lim (A n B γ n ) = AB, n n 27

28 Список литературы [] Зорич В. А. Математический анализ (в двух томах). Т.. Любой год издания. [2] Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в трёх томах). Т.. Любой год издания. [3] Никольский С. М. Курс математического анализа (в двух томах). Т.. Любой год издания. [4] Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в трёх томах). Т. 2. Любой год издания.

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Е.М. РУДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ НОВОСИБИРСК 200 2 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Е.М. Рудой МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Подробнее

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Знакочередующийся ряд. Признак сходимости Лейбница. Знакопеременный ряд. Абсолютная и условная сходимости. Общий комплексный ряд. Теорема

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

Числовые ряды. Лекции 6-7

Числовые ряды. Лекции 6-7 Числовые ряды Лекции 6-7 Понятие числового ряда Аналитическое выражение вида, a a2 a a a, a, a, где 2 последовательность чисел членов ряда, выражение a - называется общим членом ряда. Последовательность

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные

интегралы» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Числовые ряды и несобственные Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. Числовые ряды ТЕОРИЯ РЯДОВ ТЕОРИЯ РЯДОВ Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и функциональные.

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция. Определение ряда, свойства, критерий Коши сходимости ряда. Сравнение положительных рядов. Достаточные признаки сходимости Даламбера, Коши, Коши-Адамара, Раабе,

Подробнее

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки:

4. Сходимость знакопеременных рядов Определение Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: 4 Сходимость знакопеременных рядов Определение 4 Ряд a с членами произвольных знаков называют знакопеременным Знакочередующимся называется ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки: a

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие

В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. Учебное пособие МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Ф. Бутузов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Учебное пособие Москва 05 Предисловие

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

a......, a,... называют членами...

a......, a,... называют членами... РЯДЫ Числовые ряды Основные понятия числового Пусть дана последовательность вещественных или комплексных чисел Числовым рядом называется сумма всех членов числовой последовательности: Числа,,,, называют

Подробнее

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда:

0. В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда: Сходимость произвольных рядов. Ниже будут рассматриваться ряды, в которых имеется бесконечное количество положительных членов и бесконечное количество отрицательных членов. Такие ряды называют знакопеременными.

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

РЯДЫ. 1. Числовые ряды

РЯДЫ. 1. Числовые ряды РЯДЫ. Числовые ряды. Основные определения Пусть дана бесконечная последовательность чисел Выражение (бесконечная сумма) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= называется числовым рядом. Числа

Подробнее

1. Числовые ряды. результату одно следующее число, мы будем получать частичные суммы: 1 ; ; ; ;...

1. Числовые ряды. результату одно следующее число, мы будем получать частичные суммы: 1 ; ; ; ;... ЛЕКЦИЯ N25. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимый признак сходимости рядов с положительными членами. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов..числовые ряды 2.Основные теоремы....

Подробнее

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ Глава. ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ.. Сравнение поведения функций. О-символика В этой, вводной, главе будет обсуждаться сравнительное поведение функций, а также асимптотическое

Подробнее

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент.

Рецензенты Канд. ф.-м. наук, доцент. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

Комплексный анализ Последовательности и ряды комплексных чисел

Комплексный анализ Последовательности и ряды комплексных чисел Комплексный анализ Последовательности и ряды комплексных чисел Никита Александрович Евсеев Физичеcкий факультет Новосибирского государственного университета Китайско-российский институт Хэйлунцзянского

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд 3. Признаки сходимости знакопеременных рядов Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд Ряд u, не являющийся знакоположительным или знакоотрицательным

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

Лекция 5. Абсолютная и условная сходимости

Лекция 5. Абсолютная и условная сходимости С. А. Лавренченко www.lwreceko.ru Лекция 5 Абсолютная и условная сходимости. Понятие абсолютной и условной сходимостей Пусть дан ряд (данный ряд). Поставим ему в соответствие ряд, члены которого равны

Подробнее

Сходимость знакопеременных числовых рядов

Сходимость знакопеременных числовых рядов ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Сходимость знакопеременных числовых рядов Числовой ряд u, в котором имеется бесконечно много как положительных, так = и отрицательных элементов, называется числовым рядом с произвольными

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

5. Еще о пределах; ряды

5. Еще о пределах; ряды 5. Еще о пределах; ряды Докажем сначала предложение, на которое нам не хватило времени на прошлой лекции. Предложение 5.. Для всякого b > 0 имеем lim n (ln n=n b ) = 0. (Переход к произвольному основанию

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Математический анализ (v2.0)

Математический анализ (v2.0) Математический анализ (v.) 1 Числовые ряды. 1.1 Понятие числового ряда. Сходимость числового ряда. Определение. Рассмотрим числовую последовательность {a n } и образуем выражение вида: a 1 + a +... + a

Подробнее

Лекция Несобственные интегралы

Лекция Несобственные интегралы Лекция..9. Несобственные интегралы Аннотация: Рассматриваются несобственные интегралы первого и второго рода. Вводится понятие главного значения несобственного интеграла. Определенный интеграл был введен

Подробнее

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет.

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Химический факультет. Московский Государственный Университет им МВЛомоносова Химический факультет Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока Третий семестр Числовые ряды Дифференциальные

Подробнее

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

11. Несобственный интеграл

11. Несобственный интеграл . Несобственный интеграл.. Говоря в предыдущем параграфе об определенном интеграле, мы рассматривали ограниченные функции, заданные на ограниченных замкнутых промежутках числовой прямой (если хотя бы одно

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

Задача Первая теорема сравнения

Задача Первая теорема сравнения Первая теорема сравнения Постановка задачи: Исследовать сходимость ряда с неотрицательными членами где = f(, u (), u 2 (),...) и u (), u 2 (),...- функции с известными наименьшими и наибольшими значениями,

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна

Третий семестр. Лектор: Князева Людмила Павловна Третий семестр Лектор: Князева Людмила Павловна Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Демина ЕЛ, Демин СЕ РЯДЫ г Нижний Тагил 00 Предисловие В настоящем

Подробнее

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1

} k=1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рядом называется выражение вида. a k. k=1. k=1 Глава 3. Числовые ряды 3.. Занятие 0 3... Сумма ряда Рассмотрим числовую последовательность {a k } k=. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3... Рядом называется выражение вида a + a 2 +...+ a k +...= a k. k= Величина a k называется

Подробнее

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики

Ряды. Практикум по математическому анализу. К а ф е д р а прикладной математики и информатики МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

9. Некоторые следствия из свойств полноты

9. Некоторые следствия из свойств полноты 9. Некоторые следствия из свойств полноты Начнем с понятия, которое нам уже знакомо (как минимум в примерах). Речь идет о понятии подпоследовтаельности. Именно, пусть у нас есть последовательность {x n

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

n =1,2, K. Ряд называют

n =1,2, K. Ряд называют 2. Признаки сходимости знакоположительных рядов Ряд u называют знакоположительным, если все его члены неотрицательны, т.е. если u 0 для любого,2, K. Ряд называют знакоотрицательным, если все его члены

Подробнее

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости).

«Ряды» Тесты для самопроверки. 1. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). «Ряды» Тесты для самопроверки Необходимый признак сходимости ряда Теорема необходимый признак сходимости Если ряд сходится то lim + Следствие достаточное условие расходимости ряда Если lim то ряд расходится

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Признаки Абеля и Дирихле сходимости знакопроизвольных рядов. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов.

Признаки Абеля и Дирихле сходимости знакопроизвольных рядов. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Признаки Абеля и Дирихле сходимости знакопроизвольных рядов. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Формулировка признаков Абеля и Дирихле. Признак Абеля сходимости знакопроизвольных рядов.

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

Тема: Несобственные интегралы

Тема: Несобственные интегралы Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Несобственные интегралы Лектор Рожкова С.В. 23 г. 5. Несобственные интегралы Для существования необходимы условия: [;] конечен, 2 f ограничена

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

10. Несобственный интеграл

10. Несобственный интеграл . Несобственный интеграл ТЕОРИЯ При определении интеграла Римана от участвующих в нем объектов, а именно промежутка интегрирования и заданной на нем функции, предполагались выполненными следующие условия:

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

Курс лекций по математическому анализу

Курс лекций по математическому анализу Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук Лекционные курсы НОЦ Выпуск 2 Издание выходит с 26 года С. А. Теляковский Курс лекций по математическому анализу Семестр III Издание

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Т. А. Матвеева, В. Б. Светличная, Н. Н. Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Т А Матвеева, В Б Светличная, Н Н Короткова ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Волгоград 00 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций

3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций 3. Признаки сходимости для интегралов с бесконечными пределами от неотрицательных функций Рассмотрим два знака менительно к несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом. Аналогичные знаки имеют

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

18-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр 8-е занятие. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Исследовать следующие ряды на равномерную сходимость с помощью определения: Д 767

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра высшей математики Учебно-методическое пособие для студентов факультета прикладной математики и информатики

Подробнее

Лекция 1. Функциональные ряды

Лекция 1. Функциональные ряды С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Функциональные ряды Понятие функционального ряда Ранее мы изучали числовые ряды, т е членами ряда были числа Сейчас мы переходим к изучению функциональных рядов, т

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

Одобрено учебно-методической комиссией Троицкого филиала ГОУ ВПО «Челябинский государственный университет»

Одобрено учебно-методической комиссией Троицкого филиала ГОУ ВПО «Челябинский государственный университет» Федеральное агентство по образованию Троицкий филиал государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» Кафедра математики и информатики

Подробнее

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b.

1. Определение и основные свойства интеграла Римана. Разбиением отрезка [a, b] называется набор точек. a = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. 1. Определение и основные свойства интеграла Римана Определение разбиения Разбиением отрезка [, b] называется набор точек = x 1 < x 2 < < x n+1 = b. Разбиение обозначают буквой P. Разбиение может быть

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов

16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16. Равномерная сходимость последовательностей и рядов 16.1. Рассмотрим произвольное множество X и последовательность функций f, определенных на X. Говорят, что последовательность f сходится поточечно

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

9. Формула Ньютона Лейбница. Формула замены переменной в определённом интеграле и интегрирование по частям. f(t) dt = Φ(x) Φ(a). f(t) dt = Φ(x) + C.

9. Формула Ньютона Лейбница. Формула замены переменной в определённом интеграле и интегрирование по частям. f(t) dt = Φ(x) Φ(a). f(t) dt = Φ(x) + C. ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие является продолжением [7]. Оно создано на базе хорошо известных учебных пособий по математическому анализу [ 6]. В его основу положены лекции В. В. Жука, которые неоднократно читались

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

11. Числовые ряды. Пусть дана числовая последовательность x n. Если эту последовательность рассматривают с точки зрения нахождения «суммы» всех ее

11. Числовые ряды. Пусть дана числовая последовательность x n. Если эту последовательность рассматривают с точки зрения нахождения «суммы» всех ее . Числовые ряды ТЕОРИЯ Пусть дана числовая последовательность x. Если эту последовательность рассматривают с точки зрения нахождения «суммы» всех ее членов, то говорят, что рассматривают числовой ряд x,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x

РЯДЫ РЯДЫ РЯДЫ. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. П.Ф. Зибров, О.А. Кузнецова. Учебно-методическое пособие. Тольятти ТГУ Тольятти ТГУ 2009 ) ( ) x u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров, ОА Кузнецова РЯДЫ Учебно-методическое пособие Тольятти ТГУ 9 РЯДЫ РЯДЫ u u u u u u u u u u!!! iy iy iy!!!! iy iy iy iy iy cos d ПФ Зибров,

Подробнее