Кривые второго порядка

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Кривые второго порядка"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания Рекомендовано Научно-методическим советом университета для студентов, обучающихся по направлению Математика и компьютерные науки и специальности Компьютерная безопасность Ярославль ЯрГУ 014

2 УДК (07 ББК В151.54я7 К8 Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного издания. План 014 года Рецензент кафедра алгебры и математической логики ЯрГУ Составитель С. И. Яблокова Кривые второго порядка: методические указания / К8 сост. С. И. Яблокова Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. Ярославль: ЯрГУ, с. Предназначены для студентов, обучающихся по направлению Математика и компьютерные науки (дисциплина Аналитическая геометрия, цикл Б и специальности Компьютерная безопасность (дисциплина Геометрия, цикл С, очной формы обучения. УДК (07 ББК В151.54я7 c ЯрГУ, 014

3 В методических указаниях содержится набор задач по теме "Кривые второго порядка" курсов "Аналитическая геометрия" и "Геометрия". Для решения предлагаемых задач требуется знать канонические уравнения кривых второго порядка, основные формулы, связывающие различные характеристики этих кривых, а также уметь пользоваться преобразованиями декартовых координат на плоскости. Необходимо уметь строить матрицу перехода к новому базису, матрицу поворота вокруг начала координат на заданный угол, а также переносить начало координат. Кроме того, требуется знание уравнений кривых второго порядка в полярной системе координат и формул, связывающих полярные и декартовы прямоугольные координаты на плоскости. Обычно основные трудности при решении задач связаны с преобразованием уравнений кривых при переходе к новой системе координат, поэтому особое внимание следует уделить этому вопросу. Указания начинаются со списка основных формул и соотношений между кривыми второго порядка и характеризующими их точками (фокусами, вершинами и прямыми (директрисами, асимптотами. Кроме того, напоминается определение матрицы перехода к новому базису, матрицы поворота на некоторый угол вокруг начала координат, а также формулы сдвига начала координат. Затем разбираются решения задач, подобных предлагаемым ниже, которые обычно вызывают затруднения. Далее предлагаются наборы задач для самостоятельного решения.

4 ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ Каноническое уравнение эллипса и основные формулы: x a + y b = 1 (a большая ось эллипса, b малая ось эллипса. Фокусы: F 1 (c, 0, F ( c, 0, где c = a b (a > b. Эксцентриситет (e < 1 : e = 1 b a, e = c a. Директрисы: δ 1 : x = a e, δ : x = a e. Расстояние от фокуса до соответствующей директрисы: ( 1 p = a e e, p = b c. Фокальные радиусы (расстояния от произвольной точки эллипса M(x, y до фокусов: r 1 = MF 1 = a ex, r = MF = a + ex. Уравнение эллипса в полярной системе координат: ρ = ep 1 e cos θ. Каноническое уравнение гиперболы и основные формулы: x a y b = 1 (a действительная ось гиперболы, b мнимая ось гиперболы. Фокусы: F 1 (c, 0, F ( c, 0, где c = a + b. Эксцентриситет (e > 1 : e = 1 + b a, e = c a. Директрисы: δ 1 : x = a e, δ : x = a e. Асимптоты: y = b a x, y = b a x. 4

5 Расстояние от фокуса до соответствующей директрисы: ( p = a e 1, p = b e c. Фокальные радиусы (расстояния от произвольной точки гиперболы M(x, y до фокусов: { ex a, если x a, r 1 = MF 1 = a ex, если x a, { ex + a, если x a, r = MF = (a + ex, если x a. Сопряженная гипербола: действительная ось. x a + y = 1 (a мнимая ось, b b Равносторонняя гипербола: a y a = 1. Уравнения гиперболы в полярной системе координат: ep ρ = уравнение правой ветви 1 e cos θ ep ρ = уравнение левой ветви. 1 + e cos θ Каноническое уравнение параболы и основные формулы: y = px. ( p Фокус F, 0, эксцентриситет e = 1. Директриса δ : x = p. Фокальный радиус (расстояние от произвольной точки параболы M(x, y до фокуса: x r = MF = x + p. Для параболы, заданной уравнением F ( p, 0, δ : x = p уравнением x = py y = px 5

6 ( F 0, p, δ : y = p уравнением ( x = py F 0, p, δ : y = p. Уравнения параболы в полярной системе координат: ρ = p 1 cos θ. Преобразования координат на плоскости Пусть на плоскости заданы старый базис e 1, e и новый базис e 1, e. Будем считать, что векторы нового базиса e 1, e заданы своими координатами в старом базисе, т. е. известны разложения e 1 = c 11 e 1 + c 1 e e = c 1 e 1 + c e. Тогда матрица C, в столбцах которой стоят координаты векторов нового базиса e 1, e в старом e 1, e, т. е. матрица ( c11 c C = 1 (1 c 1 c называется матрицей перехода от базиса e 1, e к базису e 1, e. В случае, когда преобразование координат представляет собой поворот на угол α вокруг начала координат, матрицей перехода к новому базису является матрица ( cos α sin α. ( sin α cos α Эта матрица является ортогональной. Известно, что матрица перехода от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой прямоугольной декартовой системе координат всегда является ортогональной. На самом деле, существуют всего два вида матриц, задающих ортогональное преобразование плоскости. Это матрица поворота ( и матрица поворота с отражением (относительно первой оси координат ( cos α sin α. ( sin α cos α 6

7 Для ортогональных матриц справедливо C T = C 1, что позволяет легко находить обратную к ортогональной матрице, применяя к ней операцию транспонирования. Формулы, связывающие координаты любой точки плоскости (x, y в старой системе координат с ее координатами (x, y в новой системе, имеют вид: x = c 11 x + c 1 y y = c 1 x + c y в случае перехода к новому базису с матрицей перехода (1 x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α в случае поворота на угол вокруг начала координат x = x cos α + y sin α y = x sin α y cos α в случае поворота с отражением. Формулы сдвига (переноса начала координат в точку O (x 0, y 0 имеют вид x = x + x 0 y = y + y 0. (4 Общие формулы преобразования координат в случае, когда имеем сдвиг начала координат и переход к новому базису с матрицей перехода C имеют вид x = c 11 x + c 1 y + x 0 y = c 1 x + c y + y 0. (5 Для получения обратного преобразования координат следует переписать формулы (5 в виде ( ( ( x x0 c11 c = 1 x y y 0 c 1 c y 7

8 и применить к обеим частям полученного матричного равенства матрицу C 1. В результате получим выражения новых координат (x, y точки через ее старые координаты (x, y. Как мы отметили выше, проще всего найти обратную к матрице в случае, когда она является ортогональной матрицей. Пример 1. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку A(45, 1, асимптотами которой служат прямые y = ± 5 x. Решение. Асимптоты пересекаются в центре симметрии гиперболы, значит, в данном случае центр симметрии начало координат. Будем искать каноническое уравнение гиперболы x a y b = 1. Из уравнений асимптот имеем b a = 5b, откуда a =, т. е. уравнение гиперболы имеет 5 вид x 5b 4 y b = 1. Подставляя в последнее уравнение координаты точки А, находим следовательно, a = b 1 b = 1, b = 6, 6 = 5. Уравнение искомой гиперболы: x 5 y 6 = 1. Пример. Написать уравнение эллипса, вершины которого находятся в точках A 1 (1, 0 и A ( 4, 0, зная, что на оси Oy этот эллипс высекает хорду длины 6. Решение. Так как вершины эллипса лежат на оси Ox, то эта ось является осью симметрии. Центр симметрии эллипса O лежит посередине между вершинами, значит, O (4, 0. Расстояние 8

9 между вершинами эллипса равно его оси, следовательно, a = 16 и a = 8. Вторая ось симметрии эллипса лежит на прямой x = 4. Таким образом, уравнение эллипса имеет вид (x 4 + y = 1. (6 64 b По условию длина хорды, отсекаемой эллипсом на оси Oy, равна 6. Две точки оси Oy, лежащие симметрично относительно оси Ox и принадлежащие эллипсу, очевидно, имеют координаты B 1 (0, и B (0,. Подставляя координаты одной из них в уравнение (6, получаем b = 1, откуда 7 b = 4 и b = 6. Итак, искомый эллипс задается уравнением (x 4 + y 64 6 = 1. Пример. Написать уравнение линии второго порядка, зная ее фокус F (5,, соответствующую ему директрису y = и эксцентриситет e = 4. Найти второй фокус и вторую директрису. Решение. Так как эксцентриситет больше единицы, то это гипербола. Директриса гиперболы параллельна оси Ox, значит, действительная ось гиперболы параллельна оси Oy, а мнимая оси Ox. Таким образом, мы имеем дело с сопряженной гиперболой (x x 0 a + (y y 0 b = 1, где O (x 0, y 0 центр симметрии гиперболы. Расстояние от фокуса до директрисы p = 0, с другой стороны, p = b ( e e 1 ( b действительная полуось нашей гиперболы, значит, ( 0 = b 4 1, откуда b = 8. 4 Тогда c = be = 8 4 = и a = c b = 8 = 960. Теперь найдем центр симметрии гиперболы. Фокус лежит на действительной 9

10 оси гиперболы, поэтому ее уравнение x = 5, откуда x 0 = 5. Так как c это расстояние от центра симметрии до фокуса, то y 0 = c =, откуда y 0 = 1. В результате получаем уравнение гиперболы (x 5 (y 1 + = Второй фокус лежит на прямой x = 5 симметрично данному фокусу относительно прямой y = 1, эначит, F (5, 1. Вторая директриса симметрична данной относительно мнимой оси y = 1, поэтому она задается уравнением y = 1. Пример 4. Написать уравнение линии второго порядка, фокус которой находится в точке F (, 0, соответствующая ему директриса задана уравнением x = 8, если линия проходит через точку A(4, 1. Найти второй фокус и вторую директрису. Решение. Отношение расстояния от точки А до фокуса к расстоянию от А до директрисы равно эксцентриситету кривой, значит, e = 4 = 4 =. Итак e > 1, т. е. наша кривая гипербола. Так как = e = c a, то c = a, и b = c a = 9 8 a a = 1 8 a. Поскольку фокус лежит на оси Ox, и директриса перпендикулярна этой оси, то центр симметрии гиперболы O лежит на оси Ox, пусть O (x 0, 0. Тогда уравнение гиперболы имеет вид (x x 0 8b y b = 1. Расстояние p от фокуса до директрисы равно 1, с другой стороны, p = a ( e e 1, значит, 1 = a ( = a 6,

11 откуда a =. Имеем a = 8, b = 1, откуда c = a + b = = 9 и c =. Но c это расстояние от фокуса до центра симметрии гиперболы, значит, центр симметрии находится в начале координат. Таким образом, уравнение искомой гиперболы: x 8 y 1 = 1. Пример 5. Написать уравнение гиперболы, зная четыре точки пересечения ее директрис и асимптот (±6, ±. Решение. Гипербол, удовлетворяющих данным условиям, очевидно, две. У одной из них действительная ось ось Ox, у второй действительная ось ось Oy. Начнем со случая, когда действительной осью гиперболы является ось Ox. Тогда директрисы задаются уравнениями x = 6 и x = 6, а асимптоты уравнениями y = ± 1 x. Гипербола задается каноническим уравнением x a y b = 1, асимптоты такой гиперболы задаются уравнениями y = ± b x, значит, a b a = 1 или a = b, а директрисы задаются уравнениями x = ± a e. Расстояние между директрисам a e e = 1 + b a. Получаем систему a = b a = 1e e = = 5 4. = 1. Кроме того, 5 Решением являются e =, a = 5, b = 5. Значит, уравнение гиперболы есть x 45 y = 1.

12 Теперь пусть действительной осью гиперболы является ось Oy, тогда директрисы задаются уравнениями y = ±, асимптоты уравнениями y = ± 1 x. В этом случае уравнение гиперболы имеет вид x a + y b = 1, а директрисы задаются уравнениями y = ± b. Имеем систему e a = b b = 6e e = 1 + a b = 5, откуда e = 5, b = 5, a = 6 5 и уравнение гиперболы x y 45 = 1. Пример 6. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку A(7, 6, асимптотами которой служат прямые x = 5 и y =. Решение. Асимптоты гиперболы пересекаются в центре симметрии, значит, точка O (5, является центром симметрии гиперболы. Прямые x = 5 и y = перпендикулярны, поэтому мы имеем дело с равносторонней гиперболой, для которой асимптоты являются биссектрисами углов между осями симметрии, значит, одна из осей симметрии параллельна биссектрисе первой и третьей четвертей, а вторая параллельна биссектрисе второй и четвертой четвертей, причем обе проходят черех точку O. Далее возможны два варианта рассуждений. Наиболее простой способ решения состоит в том, что нетрудно заметить, что мы имеем дело с гиперболой из школьного курса математики, уравнение которой записывается в виде y = k, если центр симметрии находится в начале координат. Так как у нас центр симметрии сдвинут x в точку O (5,, напишем формулы сдвига начала координат { x = x + 5 y = y +, 1

13 откуда { x = x 5 y = y. В системе O x y, начало которой находится в точке O, а оси O x и O y параллельны соответственно осям Ox и Oy, уравнение искомой гиперболы имеет вид y = k x. Тогда в системе координат Oxy ее уравнение запишется в виде y = k x 5. (7 Остается найти k. Для этого у нас имеется точка, принадлежащая гиперболе. Подставляя ее координаты в уравнение (7, получаем 6 = k, откуда k = 6. Итак, уравнение гиперболы 7 5 принимает вид y = 6 x 5 или xy x 5y + 9 = 0. Можно было решать эту задачу, используя формулы преобразования координат. Введем новую систему координат O x y так, чтобы оси O x и O y были осями симметрии гиперболы. В силу сделанного выше замечания ось O x проходит через точку O и параллельна биссектрисе первой и третьей четвертей, т. е. она получается поворотом оси Ox на угол π против часовой стрелки 4 (т. е. в положительном направлении и переносом начала координат в точку (5,. Аналогично, ось O y получается поворотом оси Oy на тот же угол. Значит, наше преобразование координат есть преобразование поворота на угол π и сдвига начала координат. 4 Согласно формулам (5 x = x cos π 4 y sin π = x y + 5 y = x sin π 4 + y cos π 4 + = x + y +. (8 1

14 Уравнение оси O x в старой системе координат имеет вид x y = 0, уравнение оси O y x + y 8 = 0. В новой системе координат гипербола задается каноническим уравнением x a y b = 1, причем a = b, поскольку выше мы заметили, что она равносторонняя. Перепишем наше уравнение в виде x y = a. (9 Чтобы перевести это уравнение в старую систему координат, следует выразить новые координаты точки (x, y через ее старые координаты (x, y. Для этого перепишем формулы (8 в виде ( x 5 = y 1 1 ( x 1 1 y Матрица поворота является ортогональной матрицей, следовательно, обратная к ней получается применением к ней операции транспонирования. Применим к обеим частям последнего равенства обратную к матрице поворота, тогда получим ( 1 1 x y = 1 1. ( x 5, y откуда x = x + y 8, y = x + y +. Подставляя эти выражения x и y в уравнение (9, получаем ( ( x + y 8 x + y + = a или xy 6x y + 0 = a. 14

15 Подставим в последнее уравнение координаты точки A, тогда имеем = 1 = a. В результате получим xy 6x y + 0 = 1 или xy x 5y + 9 = 0. Пример 7. Написать уравнение эллипса, для которого прямые x + y 19 = 0 и x y = 9 = 0 являются соответственно большой и малой осями, если длины полуосей a = и b = 1. Решение. Найдем центр симметрии эллипса O как точку пересечения его осей { x + y 19 = 0 x y 9 = 0, откуда O (5,. Направляющие векторы большой и малой осей p = (, и q = (,. В качестве векторов нового ортонормированного базиса возьмем нормированные векторы p и q : e 1 = p ( p =,, e = q ( 1 1 q =,. 1 1 Тогда формулы преобразования координат имеют вид ( ( ( x = 1 1 y x 5 y или ( x y = ( x 5 y. В новой системе координат эллипс задается каноническим уравнением x 4 + y 1 = 1. 15

16 Тогда, подставляя в это уравнение выражения x и y через старые координаты, получаем или (x y Окончательно получаем + (x + y 19 1 = 1 (x y 9 + 4(x + y 19 = 5. 5x + 6xy + 40y 58x 40y = 0. Пример 8. Написать уравнение параболы, если дана ее ось x y + 7 = 0 и две точки A(0, 4 и B(4, 7, принадлежащие параболе. Решение. Выберем новую систему координат, взяв за новую ось O x ось параболы. Так как направляющий вектор оси p = (, 1, ( то, нормировав его, получим первый вектор нового базиса e 1 1 =,. Второй вектор нового базиса e выбе- рем перпендикулярным ( к e 1 и имеющим единичную длину, пусть e = 1,. Начало новой системы координат нам неиз- вестно, обозначим эту точку O (x 0, y 0. Мы знаем, что O принадлежит оси параболы, т. е. ее координаты удовлетворяют уравнению оси x 0 y = 0. Тогда формулы преобразования координат: ( x y = 1 1 ( x y + ( x0 y 0 или ( x y = 1 1 ( x x0 y y 0, 16

17 откуда x = x + y + ( x 0 y 0 y = x + y + (x 0 y 0. В новой системе координат парабола задается каноническим уравнением y = px. Перейдем к старой системе координат, подставив в это уравнение выражения новых координат через старые ( x + y + (x 0 y 0 = p x + y + ( x 0 y 0. Координаты точек A и B должны удовлетворять уравнению параболы, поэтому получаем следующую систему уравнений (1 + (x 0 y 0 ( (x 0 y 0 = p 4 + ( x 0 y 0 = p ( x 0 y 0 x 0 y = 0. Выражая x 0 через y 0 из третьего уравнения системы и подставляя в первые два, получаем 5 = p5 y 0 = p 40 y 0 x 0 = y 0 7. Решая эту систему, получаем x 0 = 1, y 0 = и p = Таким образом, получаем 4. или ( x + y 7 = (x + y + 1 x 6xy + 9y x 47y + 44 = 0. 17

18 Пример 9. Написать уравнение эллипса, если даны его фокусы F 1 (7, 5 и F (, 1 и известно, что большая ось эллипса равна. Решение. Центр симметрии эллипса лежит посередине между фокусами, значит, он находится в точке O (5,. Длина большой полуоси a равна 5, а расстояние от центра симметрии до фокусов c = O F 1 = + = 1, отсюда b = a c = 1. Большая ось эллипса лежит на прямой, проходящей через точки F 1, F и O, т. е. на прямой x 4 = y или x y 11 = 0. Угловой коэффициент этой прямой равен. Это тангенс угла наклона оси O x к оси Ox, т. е. тангенс угла поворота системы ко- ординат. Таким образом, преобразование координат при переходе от старой системы координат к новой состоит в повороте на угол α = arctg и переносе начала координат в точку O (5,. Из tg α = следует, что sin α =, cos α =, значит, 1 1 ( ( ( x = 1 1 x 5 y y откуда ( x y = ( x 5 y В новой системе координат O x y уравнение эллипса записывается в каноническом виде x 5 + y 1 = 1, тогда в системе Oxy получаем ( 1 x + y ( x + y + 11 =

19 Пример. Написать уравнение гиперболы, зная ее ось x y 8 = 0, асимптоту y = и точку A(4, 0, принадлежащую гиперболе. Решение. Найдем центр симметрии гиперболы O как точку пересечения ее оси и асимптоты: { x y 8 = 0 y =, откуда O (4,. Направляющий вектор данной оси гиперболы p = (, 1, нормируем его и возьмем вектор e 1 = p ( p = 1 5, 5 в качестве первого ( вектора нового базиса. Второй вектор нового базиса e = 1, выбираем так, чтобы он имел единич- 5 5 ную длину и был перпендикулярен вектору e 1. Направление выбрано так, чтобы матрица перехода к новому базису была матрицей поворота. Формулы преобразования координат имеют вид ( x y = ( x y + ( 4 или ( x y = ( x 4 y +. Найдем уравнение второй асимптоты нашей гиперболы. Направляющий вектор данной в условии задачи асимптоты q = (1, 0. Тогда если r = (x, y направляющий вектор второй асимптоты, то r+q коллинеарен вектору e 1, т. е. вектор с координатами (x + 1, y коллинеарен e 1 = ( 5, x + 1 = k 5 y = 1 5 k, 1, откуда 5 k 0. 19

20 Учитывая, что длина вектора r равна 1, получаем 1 = x + y = 4 5 k k k или k 4 k = 0, откуда k = 4. Значит, x = 5 5 5, y = 4 5 и r = ( 5, 4. Таким образом, уравнение второй асимптоты гиперболы 5 x 4 = y + 4 или 4x y = 0. Отклонение точки А от этой асимптоты отрицательно δ(a = 16 5 < 0, отклонение А от заданной в условии задачи асимптоты также отрицательно δ(a = < 0. Значит, точка А находится в том углу, образованном асимптотами, который содержит ось O y, и мы должны искать уравнение сопряженной гиперболы x a + y b = 1. Найдем a и b. Для этого запишем уравнение одной из асимптот в новой системе координат x 5 + y 5 = или y = 1 x, откуда b a = 1 или a = b. Подставляя в уравнение гиперболы выражения x и y через старые координаты, получаем уравнение (x + y 6 ( x + y = b 5b 0

21 Найдем b, для этого подставим в полученное уравнение координаты точки А: 4 0b b = 1, откуда b =, а уравнение гиперболы записывается в виде или (x + y ( x + y y 4xy 8x + 8y + = 0. = 1 Пример 11. Написать уравнение гиперболы, если ее фокусы находятся в точках F 1 (7, и F (, 1, а асимптоты гиперболы параллельны осям координат. Решение. Центр симметрии гиперболы O является серединой отрезка F 1 F, т. е. O (5, 1. Найдем расстояние от центра симметрии до фокуса c = O F 1 = + =. Действительная ось гиперболы проходит через фокусы, поэтому ее уравнение имеет вид x 7 = y или x y 4 = 0. Асимптоты гиперболы перпендикулярны, значит, гипербола равносторонняя, т. е. a = b, и уравнение в новой системе координат O x y (где оси O x и O y являются осями симметрии имеет вид x y = a. Система координат O x y получается из старой с помощью поворота на угол π вокруг начала координат и переноса начала координат в точку O (5, 1, следовательно, формулы преобразования 4 координат имеют вид ( x y = ( x y + ( 5 1, 1

22 откуда ( x y = ( x 5 y 1. Так как c = 8 = a, то a = 4, и, подставляя в уравнение гиперболы вместо x и y их выражения через старые координаты, получаем (x + y 6 ( x + y + 4 = a или 4xy 4x 0y + 1 = 0. Пример 1. Составить уравнение гиперболы, если даны ее фокусы F 1 (5, 7 и F (, 1 и известно, что одна из ее асимптот параллельна оси Ox. Решение. Найдем центр симметрии гиперболы. Это середина отрезка F 1 F, т. е. O (4, 4. Теперь напишем уравнение прямой O x, которая является действительной осью гиперболы. Так как она проходит через фокусы, то x 5 5 = y или x y 8 = 0. Угловой коэффициент ее равен, т. е. тангенс угла поворота α осей координат вокруг начала равен, откуда sin α = и cos α = 1. Новая система координат O x y, в которой гипербола имеет каноническое уравнение, получается поворотом осей на угол α вокруг начала координат и переносом начала координат в точку O (4, 4, значит, формулы преобразования координат имеют вид ( x y = 1 1 ( x y + ( 4 4,

23 откуда x = x y + 4, y = x + y + 4. Обратное преобразование определено формулами ( 1 x ( y = x 4 1. y 4 Из последних формул получаем x = x + y 16, y = x + y + 8. Асимптота гиперболы параллельна оси Ox и проходит через центр симметрии, значит, ее уравнение есть y = 4. В новой системе координат это уравнение имеет вид x + y + 4 = 4 или x + y b = 0, следовательно, a =. Поскольку c = O F 1 = 1 + =, b = a и c = a + b = a +9a = a, то a = 1. Уравнение гиперболы в новой системе кооринат имеет вид x 1 y 9 = 1. Подставляя в это уравнение выражения новых координат через старые, имеем ( x + y 16 1 ( x + y + 8 = 1. 9 Пример 1. Написать уравнение равносторонней гиперболы, зная ее фокус F ( 5, 6 и асимптоту x + y = 0. Решение. Так как гипербола равносторонняя, то ее асимптоты перпендикулярны, следовательно, уравнение второй асимптоты имеет вид x y + C = 0.

24 Действительная и мнимая оси гиперболы являются биссектрисами углов, образованных асимптотами. В качестве направляющих векторов асимптот возьмем p 1 = (, и p = (,. Чтобы найти вектор, лежащий на биссектрисе угла между этими векторами, достаточно их сложить (так как длины векторов равны, то на них натягивается ромб, диагональ которого является биссектрисой угла ромба q 1 = p 1 + p = (5, 1. Этот вектор коллинеарен одной из осей симметрии гиперболы. Перпендикулярный ему вектор q = (1, 5 коллинеарен второй оси симметрии. Очевидно, что задача имеет два решения. За действительную ось гиперболы мы можем взять прямую, коллинеарную любому из двух векторов q 1, q. Пусть ось O x коллинеарна q 1, т. e. действительная ось гиперболы лежит на прямой с направляющим вектором q 1, проходящей через точку F ( 5, 6 x + 5 = y или x + 5y 5 = 0. Точка пересечения этой оси с известной асимптотой является центром симметрии гиперболы { x + 5y 5 = 0 e 1 = q 1 q 1 = x + y = 0, откуда O (0, 5. Новая система координат O e 1e задается началом координат точкой O (0, 5 и векторами ( 5, 1 ( 1 5,, и e = q q = а формулы преобразования координат имеют вид ( 5 1 ( x = 6 6 x + y y ( 0 5 4

25 или ( x y = ( x y 5. В новой системе координат гипербола задается каноническим уравнением x a y = 1. ( a Чтобы найти полуось a вспомним, что c = a + a, где c расстояние от фокуса до центра симметрии. Имеем c = F O = = 6, откуда a = 1. Итак, уравнение гиперболы x y = 1. Подставляя выражения x и y через старые координаты, получаем (5x y + 5 (x + 5y 5 = или 1x xy 1y + 50x + y 469 = 0. Если за действительную ( ось гиперболы взять прямую, параллельную вектору e 5 1 =,, то ее уравнение имеет вид 6 6 x = y 6 5 или 5x y + 1 = 0. Точка пересечения этой оси с асимптотой { 5x y + 1 = 0 x + y = 0, есть новое начало координат, т. е. O ( 4, 11. Новая система координат O e 1 e задается точкой O ( 4, 11 и векторами 5

26 e 1 = q q откуда = ( x y ( 1 5,, e = q q 1 = ( x y + = ( 5 1,, 6 6 ( 4 11 или ( x y = ( x + 4 y 11. Найдем квадрат расстояния от фокуса до центра симметрии O c = O F = = 6, значит, a = 1. Подставляя выражения x и y через старые координаты в каноническое уравнение равносторонней гиперболы (, получаем или (x + 5y 51 6 ( 5x + y 1 6 = 1 1x xy 1y + 06x + 4y 651 = 0. Пример 14. Уравнение кривой дано в полярной системе координат. Написать каноническое уравнение этой прямой 1 ρ =. 4cos θ Решение. Поскольку в полярных координатах уравнение должно иметь вид ep ρ = 1 ecos θ, приведем данное уравнение к такому виду, для чего числитель и знаменатель в левой части данного уравнения поделим на 1 ρ = 1 4, cos θ 6

27 отсюда e = 4 и ep = 1, значит, p =. Так( как e > 1, то наша кривая гипербола. Для гиперболы p = a e 1, т. е. e ( 4 = a, 4 откуда a =, c = ae = 8, b = c a = = 4. Итак, каноническое уравнение гиперболы имеет вид x 40 y 4 = 1. 7

28 ЗАДАЧИ Задание 1 Написать уравнение эллипса, пересекающего одну из координатных осей в точках A(x 1, y 1 и B(x, y и касающегося второй координатной оси в точке C(x, y, зная, что его оси симметрии параллельны осям координат: 1. (, 0, (9, 0, (0, 5. (0, 15, (0,, (15, 0. (, 0, (1, 0, (0, 4 4. (0, 6, (0,, (9, 0 5. (, 0, (15, 0, (0, 5 6. (0, 6, (0, 14, (7, 0 7. (, 0, ( 8, 0, (0, (0, 6, (0, 16, ( 8, 0 9. ( 9, 0, ( 1, 0, (0,. (0,, (0, 1, ( 6, ( 1, 0, ( 4, 0, (0, 9 1. (0,, (0, 15, (, 0 1. (, 0, (8, 0, (0, (0, 4, (0, 1, ( 6, ( 16, 0, ( 8, 0, (0, (0,, (0, 8, ( 16, (5, 0, (11, 0, (0, 18. (0,, (0, 18, ( 15, (1, 0, (, 0, (0, 6 0. (0, 1, (0, 5, (, 0 1. (4, 0, (, 0, (0, 8. (0, 9, (0,, ( 5, 0. (6, 0, (14, 0, (0, 7 4. (0, 1, (0, 9, (6, 0 5. ( 6, 0, (, 0, (0, 9 6. (0, 0, (0, 4, (15, 0 7. ( 1, 0, (, 0, (0, 1 8

29 8. (0, 8, (0,, (4, 0 9. ( 7, 0, (, 0, (0, 7 0. (0, 6, (0, 14, ( 1, 0. Задание Написать уравнение эллипса, оси которого параллельны осям координат, касающегося осей Ox и Oy соответственно в точках A(x 1, y 1 и B(x, y : 1. (, 0, (0, ( 1, 0, (0, 4. (4, 0, (0, (9, 0, (0,.( 5, 0, (0, (, 0, (0, 8 4. (7, 0, (0, (, 0, (0, (1, 0, (0, 0. (11, 0, (0, 5 6.( 6, 0, (0, 1 1. (, 0, (0, 6 7. (4, 0, (0, 5. ( 6, 0, (0, (, 0, (0, 7. (6, 0, (0, 8 9. ( 8, 0, (0, 4. (1, 0, (0, 5. (, 0, (0, 6 5. (4, 0, (0, (5, 0, (0, 6. (7, 0, (0, 4 1. ( 9, 0, (0, 7 7. ( 9, 0, (0, 1 1. (11, 0, (0, 5 8. (7, 0, (0, (, 0, (0, 8 9. (, 0, (0, ( 1, 0, (0, 9 0. ( 8, 0, (0, 17. Задание Найти уравнение эллипса с вершинами A(x 1, y 1 и B(x, y при условии, что на оси Ox(Oy этот эллипс высекает хорду длины p : 1. (0, 6, (0,, p = 6. ( 5, 0, (11, 0, p = (0, 8, (0, 4, p = 4 4. ( 7, 0, (5, 0, p = 7 5. (0, 9, (0,, p = 6 9

30 6. ( 14, 0, (, 0, p = (0, 8, (0, 14, p = 8 8. (, 0, (, 0, p = 9. (0, 4, (0, 8, p = 8. (16, 0, ( 4, 0, p = (0, 6, (0,, p = 1 1. ( 4, 0, (1, 0, p = 6 1. (0, 9, (0,, p = (5, 0, ( 11, 0, p = (0,, (0, 8, p = (1, 0, ( 7, 0, p = (0, 8, (0, 14, p = (, 0, (8, 0, p = (0, 16, (0, 4, p = 8 0. (, 0, (, 0, p = 0 1. (0,, (0, 8, p =. ( 16, 0, (4, 0, p = 4. (0, 6, (0,, p = 0 4. ( 4, 0, (8, 0, p = 4 5. (0, 9, (0,, p = 0 6. ( 1, 0, (7, 0, p = (0, 4, (0, 1, p = 6 8. ( 8, 0, (4, 0, p = 8 9. (0, 14, (0,, p = (, 0, (14, 0, p = 14. Задание 4 Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку A(x 0, y 0, асимптотами которой служат прямые y = ± b a x : 1. A(4,, y = ± x 16. A(6,, y = ± x. A(,, y = ±x 17. A(5, 6, y = ±x. A(4, 1, y = ± 1 x 18. A(8,, y = ±1 x 0

31 4. A(, 1, y = ± x 19. A(9, 4, y = ± x 5. A(6, 1, y = ± 1 x 0. A(15,, y = ±1 x 6. A(8, 9, y = ± x 1. A(8,, y = ± x 7. A(4,, y = ±x. A(4, 4, y = ±x 8. A(6,, y = ± 1 x. A(8,, y = ±1 x 9. A(6,, y = ± x 4. A(1,, y = ± x. A(9,, y = ± 1 x 5. A(15, 4, y = ±1 x 11. A(, 9, y = ± x 6. A(4, 6, y = ±x 1. A(5,, y = ±x 7. A(1, 4, y = ± x 1. A(6, 1, y = ± 1 x 8. A(18, 5, y = ±1 x 14. A(9,, y = ± x 9. A(6, 4, y = ±x 15. A(1,, y = ± 1 x 0. A(1, 6, y = ± x. Задание 5 Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку A(x 0, y 0, асимптотами которой служат прямые y = ± b a x : 1. A(5, 1, y = ±x 16. A(, 1, y = ±x. A(,, y = ± 1 x 17. A(4,, y = ±1 x. A(, 4, y = ± x 18. A(6,, y = ±1 x 4. A(,, y = ± 1 x 19. A(, 1, y = ± x 5. A(, 6, y = ± x 0. A(4,, y = ±x 6. A(4, 1, y = ±x 1. A(4, 4, y = ± 1 x 1

32 7. A(, 4, y = ± 1 x. A(6, 4, y = ±1 x 8. A(, 6, y = ± x. A(4, 1, y = ± x 9. A(,, y = ± 1 x 4. A(,, y = ±x. A(, 9, y = ± x 5. A(4, 6, y = ±1 x 11. A(, 1, y = ±x 6. A(9, 4, y = ± 1 x 1. A(, 5, y = ± 1 x 7. A(6, 1, y = ± x 1. A(, 8, y = ± x 8. A(, 8, y = ±x 14. A(, 5, y = ± 1 x 9. A(9, 5, y = ±1 x 15. A(4, 9, y = ± x 0. A(, 8, y = ±x. Задание 6 Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку A(x 0, y 0, асимптотами которой служат прямые l 1 и l : 1. A(0, 0, x = 1, y =. A(1,, x =, y =. A(,, x = 5, y = 4. A(1, 5, x = 1, y = 4 5. A(4, 1, x =, y = 0 6. A(4, 1, x =, y = 7. A(,, x =, y = 4 8. A(4,, x =, y = 0 9. A(1, 0, x = 1, y =. A( 1,, x = 0, y = 11. A(,, x = 4, y = 1. A(,, x = 6, y = 1 1. A(1, 1, x = 0, y = 14. A(, 1, x = 6, y =

33 15. A(1,, x = 5, y = A(6, 1, x = 4, y = 17. A(, 1, x =, y = A(0,, x = 1, y = A(1,, x =, y = 0 0. A(8, 5, x =, y = 1. A(4, 5, x =, y = 4. A(5, 1, x = 7, y =. A(1, 8, x = 7, y = 4. A( 1, 5, x =, y = 7 5. A(1, 1, x = 1, y = 6. A(1,, x =, y = 1 7. A(4, 5, x =, y = 8. A(0,, x = 1, y = 1 9. A(, 8, x =, y = 0. A(, 1, x = 5, y =. Задание 7 Написать уравнение линии второго порядка, для которой ось Ox (или Oy является осью симметрии, другая координатная ось касательной в вершине, зная, что линия проходит через точки A(x 1, y 1 и B(x, y : 1. Ox, A(5, 6, B(9, 6. Ox, A(, 4, B(9, 4. Oy, A(8,, B( 8, 8 4. Oy, A(6, 4, B( 6, 1 5. Ox, A(4, 4, B(, 4 6. Ox, A( 1,, B( 11, 7. Oy, A( 5,, B(5, 8. Ox, A(, 4, B(8, 4 9. Oy, A(7,, B( 7, 14. Oy, A(1, 1, B( 1, Ox, A(,, B(6, 1. Oy, A(,, B(, 18

34 1. Ox, A(, 5, B(, Oy, A(,, B(, Ox, A( 8,, B( 4, 16. Oy, A(6, 5, B( 6, Ox, A( 11, 5, B( 5, Ox, A(1,, B(9, 19. Oy, A(5,, B( 5, Ox, A( 1,, B( 4, 1. Oy, A( 6, 6, B(6, 18. Oy, A( 1, 9, B(1,. Ox, A( 15, 9, B( 5, 9 4. Oy, A(, 4, B(, 1 5. Ox, A( 18, 6, B( 8, 6 6. Ox, A(, 9, B(6, 9 7. Oy, A(6,, B( 6, Ox, A( 1, 6, B(, 6 9. Oy, A( 8, 6, B(8, 1 0. Ox, A( 1, 5, B( 5, 5. Задание 8 Написать уравнение параболы, вершина которой находится в данной точке, ось симметрии параллельна оси Ox (Oy, зная, что на другой оси координат эта парабола высекает хорду длины q : 1. Oy, ( 5, 1, q = 1. Ox, ( 4,, q = 8. Oy, (, 5, q = 4. Ox, (, 1, q = 1 5. Oy, (, 8, q = 8 6. Ox, (, 1, q = 0 7. Ox, (4, 8, q = 1 8. Oy, (,, q = 4 9. Ox, ( 5, 1, q =. Oy, (1, 1, q = Oy, (1,, q = 6 4

35 1. Ox, (7,, q = 8 1. Oy, ( 8,, q = Ox, ( 1,, q = Ox, ( 1,, q = Oy, (9,, q = Ox, (4, 5, q = Oy, (9,, q = Oy, (, 4, q = 8 0. Ox, (5,, q = Oy, ( 11, 6, q = 6. Ox, ( 6,, q = 1. Ox, (,, q = 1 4. Oy, ( 6, 4, q = Ox, (8, 5, q = Oy, (6, 8, q = 8 7. Ox, ( 4,, q = 8 8. Oy, (7, 8, q = 8 9. Ox, (6, 4, q = 1 0. Oy, ( 7, 4, q = 8. Задание 9 Написать уравнение равносторонней гиперболы, одна из вершин которой находится в точке A(x 1, y 1, если ее действительная ось параллельна оси Ox (Oy, а на второй оси гипербола высекает хорду длины q : 1. Oy, A( 7, 8, q = 4. Ox, A(,, q = 8. Oy, A(, 4, q = Ox, A(,, q = 8 5. Oy, A(1, 1, q = Ox, A( 1,, q = 6 7. Oy, A(1, 1, q = 6 8. Ox, A(4,, q = Oy, A( 8, 4, q = 4 5

36 . Oy, A(, 1, q = 11. Ox, A( 1, 6, q = 1. Oy, A(1, 1, q = 6 1. Oy, A( 4, 9, q = Ox, A( 4, 4, q = Oy, A(4,, q = Oy, A(4,, q = Ox, A(, 7, q = Oy, A(,, q = Ox, A(1,, q = 0. Oy, A( 1,, q = 1 1. Ox, A( 8, 8, q =. Ox, A(, 17, q = 40. Oy, A(11, 6, q = Ox, A(1,, q = 5. Ox, A( 5, 11, q = 0 6. Oy, A( 9,, q = Oy, A(,, q = 8 8. Ox, A( 8, 9, q = 9. Ox, A(4, 1, q = 4 0. Oy, A( 1, 1, q = 6. Задание Написать уравнение линии второго порядка, зная ее фокус F (x 1, y 1, соответствующую ему директрису δ и эксцентриситет e. Найти второй фокус и вторую директрису: 1. F (4, 0, δ : x = 5, e =. F (1, 4, δ : y = 44, e = 5. F (4, 0, δ : x = 8, e = 1 4. F ( 1,, δ : y = 85 7, e = F (, 1, δ : x = 5, e = 6

37 6. F (1, 6, δ : y = 54 5, e = F (, 1, δ : x = 5, e = 1 8. F ( 1,, δ : y = 45 4, e = F (1, 0, δ : x =, e = 6. F ( 1, 7, δ : y = 46 5, e = F (1, 1, δ : x =, e = 5 1. F (,, δ : y = 7, e = 1. F (, 1, δ : x = 1, e = F (0, 5, δ : y = 9 4, e = F (6, 0, δ : x =, e = F (1,, δ : y = 1, e = F (4,, δ : x = 1, e = 18. F (1, 1, δ : y = 17, e = F (1, 1, δ : x = 9, e = F (0, 4, δ : y = 1, e = 1. F (1, 1, δ : x =, e = 15. F (,, δ : y = 16, e = 4. F (,, δ : x = 14, e = F (, 4, δ : y = 8, e = 5 7

38 5. F (1,, δ : x = 5, e = 7 6. F ( 1, 8, δ : y = 88 7, e = F (, 0, δ : x = 7, e = 1 8. F (1, 11, δ : y = 7, e = 9. F (6, 0, δ : x = 7, e = 0. F (, 7, δ : y = 91 5, e = 5 9. Задание 11 Написать уравнение линии второго порядка, зная ее фокус F (x 1, y 1, соответствующую ему директрису δ и эксцентриситет e. Найти второй фокус и вторую директрису: 1. F (1, 6, δ : y = 9 7, e = 7 6. F (5, 1, δ : x = 5 6, e = F ( 1, 9, δ : y = 11, e = 4 4. F (, 1, δ : x = 1, e = 5. F (, 7, δ : y = 1 6, e = F (9, 0, δ : x = 15, e = 7. F (1, 9, δ : y = 9 7, e = F (5,, δ : x = 11 4, e = F (, 7, δ : y = 11, e =. F (7, 1, δ : x = 1 5, e = 5 1 8

39 11. F (, 4, δ : y = 11 5, e = F (5, 1, δ : x =, e = 1. F ( 1, 6, δ : y = 17 4, e = F (6, 0, δ : x = 9 7, e = F (1,, δ : y = 1 5, e = F (, 0, δ : x = 7 6, e = F (,, δ : y = 1, e = 18. F (8, 1, δ : x = 7, e = F ( 1,, δ : y = 1, e = 0. F (9, 1, δ : x = 54 7, e = 7 1. F (, 6, δ : y = 9 5, e = 5. F (8,, δ : x = 0 7, e = 7 1. F (1, 9, δ : y = 11, e = 4. F (8,, δ : x = 16 7, e = 7 5. F (1, 8, δ : y = 49 8, e = F (9, 1, δ : x = 8 7, e = F (0, 8, δ : y = 40 9, e = F (4, 1, δ : x = 9 4, e = 4 9. F (1, 11, δ : y = 59, e = 7 0. F (8, 0, δ : x = 7, e =

40 Задание 1 Написать уравнение линии второго порядка, зная ее фокус F (x 1, y 1 и соответствующую ему директрису δ, если эксцентриситет линии равен 1: 1. F (1,, δ : x =. F (, 6, δ : y = 1. F (,, δ : x = 4. F (1,, δ : y = 5. F (4, 5, δ : x = 0 6. F (1,, δ : y = 6 7. F (1, 1, δ : x = 5 8. F (, 0, δ : y = 5 9. F (,, δ : x = 6. F ( 1,, δ : y = F (8,, δ : x = 1. F ( 1,, δ : y = 1. F (5,, δ : x = 14. F ( 5, 1, δ : y = F (7, 8, δ : x = F (,, δ : y = F ( 1, 7, δ : x = F (6, 1, δ : y = F (, 6, δ : x = 0. F (5, 4, δ : y = 7 1. F ( 9, 1, δ : x = 11. F (,, δ : y =. F (, 7, δ : x = F (,, 1, δ : y = 6 5. F (7, 5, δ : x = 1 6. F (7, 0, δ : y = 6 7. F (1, 1, δ : x = 5 8. F ( 6,, δ : y = 9. F ( 6, 9, δ : x = F ( 5,, δ : y = 5. 40

41 Задание 1 Написать уравнение линии второго порядка, фокус которой находится в точке F (x 1, y 1, соответствующая ему директриса задана уравнением x = a (y = b, если линия проходит через точку A(x, y. Найти второй фокус и вторую директрису: 1. F (1, 4, y = 44 ( 9, A 5, 6. F (7, 1, x = 46 ( 5, A 7, 5 6. F ( 1,, y = 85 ( 7 7, A 8, 4. F (, 1, x = (, A, F (1, 6, y = 54 ( 1 5, A 7, 6 ( 6. F (5,, x =, A 5, F ( 1,, y = 45 ( 6 4, A 7, 8. F (,, x = 11 (, A, F ( 1, 7, y = 46 ( 5 5, A 6, 7. F (4, 0, x =, A(4, 11. F (0, 5, y = 9 ( 1 4, A 5, 4 1. F (6,, x = 54 ( 5, A 6, ( F (1, 1, y = 17, A, F ( 1, 0, x = 4 (, A 1, F (0, 4, y = 1 ( 5, A, 4 41

42 ( 16. F (5, 0, x = 14, A 5, F (,, y = 16 ( 19, A 4, 18. F (5,, x = 47 (, A 7, F (, 4, y = 8 ( 1, A 5, 4 0. F (6, 1, x = 57 ( 4, A 6, F ( 1, 8, y = 88 ( 1 7, A, 4. F (4, 1, x = 5 (, A 4, 7. F (1, 11, y = 7, A(6, F (,, x = 17 ( 4, A 1, 5 5. F (1, 6, y = 65 ( 6 8, A 9, 6 6. F (4, 0, x = 5, A(, 7. F ( 1, 8, y = 71 ( 7 7, A 8, 8 8. F (7, 1, x = 15, A(6, 0 9. F (, 5, y = 5, A(, 5 0. F (0, 1, x = 7 (, A 0, Задание 14 Написать уравнение линии второго порядка, фокус которой находится в точке F (x 1, y 1, соответствующая ему директриса задана уравнением x = a (y = b, если линия проходит через точку A(x, y. Найти второй фокус и вторую директрису: 1. F (6, 1, x = 14 5, A ( 19 4, 4

43 . F ( 1, 9, y = 11, A(41, 49. F (7, 1, x = 5, A( 5, 8 4. F (, 7, y = 1, A(5, F (4, 0, x = 8 ( 7, A, 1 6. F (1, 9, y = 9, A(5, F (8, 1, x =, A(, 8. F (, 7, y = 11, A(, 7 9. F (4, 1, x = 1, A(4,. F (, 4, y = 11 ( 5, A 6, F (5, 0, x = 5, A(5, 5 1. F ( 1, 6, y = 17 ( 4 4, A, 6 1. F (8, 1, x = 16, A(7, F (1,, y = 1 ( 5, A 4, F (9,, x = 19, A(, F (,, y = 1 ( 1, A, 17. F (4, 0, x = 1, A(4, F ( 1,, y = 1, A(5, 19. F (4, 1, x = 11 5, A ( 4, F (1, 9, y = 11, A(17, 9 1. F (5,, x = 5, A(5, 4

44 . F (1, 8, y = 49, A(16, 8 8. F (7, 1, x = 5, A(7, F (0, 8, y = 40, A(16, F (, 0, x = 5, A(, 6 6. F (,, y = 1, A(7, 7. F (8,, x = 5, A(8, 8. F ( 1, 6, y = 1, A (, 0 9. F ( 4,, x = 4, A(7, 1 0. F ( 1, 7, y = 41, A(14, 7. 8 Задание 15 Написать уравнение линии второго порядка, проходящей через точку A(x 0, y 0, если дан фокус F (x 1, y 1 линии и соответствующая ему директриса δ : 1. A(, 7, F (4, 1, δ : x = 8. A(7,, F (, 5, δ : y = 7. A(1, 9, F (1,, δ : x = 5 4. A(9, 4, F (, 4, δ : y = 5. A( 4, 11, F (,, δ : x = 6 6. A(5, 5, F ( 1, 5, δ : y = 1 7. A(9, 1, F (0, 1, δ : x = 6 8. A(,, F ( (,, δ : y = A(1, 16, F,, δ : x = 9. A( 7, 1, F ( 1, 5, δ : x = 11. A(1,, F (1, 1, δ : y = 5 1. A(6,, F (,, δ : y = 1 1. A(, 5, F (, 1, δ : x = A(, 6, F (7, 6, δ : y = A(5, 1, F (5, 5, δ : x = 1 44

45 16. A( 6,, F (, 1, δ : y = 17. A(8,, F ( (,, δ : y = A(17, 1, F, 5, δ : y = A( 4, 1, F (5, 1, δ : x = A(9, 1, F (, 1, δ : y = 1 1. A(7,, F (7,, δ : x = 5. A(7,, F (,, δ : y =. A(1, 7, F ( (,, δ : x = A( 1, 15, F, 1, δ : x = A( 1, 1, F ( 5, 1, δ : y = 6. A(11, 5, F (5,, δ : x = 1 7. A(1,, F (4,, δ : y = 1 8. A(7, 4, F (1, 4, δ : y = 9. A(, 1, F (, 1, δ : y = 9 0. A(1, 5, F (7,, δ : x = 9. Задание 16 Написать уравнение параболы, имеющей с данной параболой общую фокальную хорду, проходящую через фокус параболы перпендикулярно ее оси: 1. x + = 1 1 (y 16. y = (x y = 1 8 (x y = 1 6 (x y 4 = 1 18 (x x = 1 (y x + = 1 4 (y x = 1 4 (y x + 1 = 1 14 (y 0. y + 5 = 1 (x 4 6. y = 1 0 (x y + = 1 14 (x y = 1 1 (x + 1. x + 6 = 1 18 (y 5 8. x = 1 (y 5. y = 1 6 (x 1 45

46 9. x = 1 6 (y y = 1 8 (x y = 5 8 x 5. y = 1 4 (x x = 1 8 (y x = 1 6 (y y = 1 1 (x 7. y + 4 = 1 4 (x x = 1 16 (y x + 1 = 1 (y y + 1 = 1 14 (x 9. y = 1 1 (x x 4 = 1 16 (y x = 1 (y 8 +. Задание 17 Дан эллипс x a + y = 1. Написать уравнение параболы, вершина которой находится в левом (нижнем фокусе эллипса, если b парабола проходит через вершины эллипса, лежащие на его малой оси: 1. (x 1 9. x (y y 5 = 1 9. (x + 6 = 1. x (y x 5 + y 16 = (x x (y + + = (x x 7. 6 x (y y 7 = 1 1. x 5 + y 16 = 1 (y = (x 6 8. x (y x (y y 11 = x 5 + y 9 = 1. = 1 + y 0 = 1 = 1 + y 1 = 1 = 1 = 1 46

47 Дан эллипс x a + y = 1. Написать уравнение параболы, вершина которой находится в правом (верхнем фокусе эллипса, если b парабола проходит через вершины эллипса, лежащие на его малой оси: 16. x 1 + y 9 = 1 4. (x x + (y = 1 5. x 7 + (y x 1 + y 4 = 1 6. x 9 + y 4 = x (y x + = (x y 1 = 1 8. (x 6 1. x (y 1 + = (x +. + y 1 8 = 1 0. x 6. x + (y + 11 = 1 Задание 18 + (y y 4 = 1 x (y (y 1 15 = 1 = 1 + y = 1 = 1 = 1. Написать уравнения эллипса и гиперболы с фокусами F 1 (x 1, y 1 и F (x, y, проходящих ( через точку A(x, y : (7, 0, ( 7, 0,, 7 7 ( 5. (6, 0, ( 6, 0,,. (5, 0, ( 5, 0, ( 7, 4. (4, 0, ( 4, 0, ( 15, (, 0, (, 0,, 4 6. (7, 0, ( 7, 0, (, 1 7. (6, 0, ( 6, 0, (, 47

48 8. (5, 0, ( 5, 0, (, ( 9. (4, 0, ( 4, 0, 5, ( 5. (, 0, (, 0,, ( 11. (7, 0, ( 7, 0, 0 5, (6, 0, ( 6, 0, (5, 1. (5, 0, ( 5, 0, (, ( (4, 0, ( 4, 0,, ( (, 0, (, 0,, 16. (6, 0, ( 6, 0, ( 4, (5, 0, ( 5, 0, ( 7, 18. (, 0, (, 0, (8 (, (6, 0, ( 6, 0,, 4 ( (4, 0, ( 4, 0,, ( (, 0, (, 0,,. (6, 0, ( 6, 0, (,. (4, 0, ( 4, 0, (, 4. (5, 0, ( 5, 0, ( 4 (, 5. (6, 0, ( 6, 0,, ( 6. (4, 0, ( 4, 0, 5 7, 48

49 7. (5, 0, ( 5, 0, (6 (, 8. (6, 0, ( 6, 0,, 9. (4, 0, ( 4, 0, (, 1 0. (, 0, (, 0, (4, 1. Задание 19 Написать уравнение гиперболы, зная четыре точки пересечения ее директрис и асимптот: 1. (±, ± ( 16. (±1, ±4. ± 9, ± 17. (±, ±. (±4, ±8 18. (±5, ± 5 4. (±1, ± 19. (± 5, ±5 5. (±, ±6 0. (±4, ± ( ± 1. (±5, ± 6., ± (±4, ±. (±, ± (±8, ±4 5. (±, ± 9. (±, ±6 4. (± 5, ±. (±, ±5 5. (±, ± 11. (±4, ±6 6. (±, ±4 1. ( ± 8, ± (±, ±4 1. (±, ±9 8. (±, ± ( ± 9 4, ± 7 9. (±, ± (±, ± 0. (±4 5, ±. 49

50 Задание 0 Написать уравнение эллипса, для которого данные прямые есть соответственно большая и малая оси, если известны длины полуосей эллипса a и b : 1. x + y 1 = 0, x y + 1 = 0, a =, b = 1. x y = 0, x + y = 0, a =, b =. x + y 1 = 0, x y 5 = 0, a = 4, b = 1 4. x + y + 1 = 0, x y + = 0, a =, b = x y + 1 = 0, x + 4y 4 = 0, a =, b = 1 6. x 4y = 0, 4x + y 4 = 0, a = 5, b = 7. x y 1 = 0, x + y 1 = 0, a =, b = 8. 5x y + 4 = 0, x + 5y + 6 = 0, a = 4, b = 9. x + 5y + 8 = 0, 5x y 9 = 0, a = 4, b =. 5x y 8 = 0, x + 5y + = 0, a = 5, b = 11. 4x + 5y + 19 = 0, 5x 4y 7 = 0, a =, b = 1 1. x 4y + 6 = 0, 4x + y = 0, a =, b = 1. x + y = 0, x y = 0, a = 4, b = 14. x + 5y 14 = 0, 5x y + 8 = 0, a = 4, b = x y = 0, x + y 11 = 0, a = 5, b = x + 4y + 6 = 0, 4x y = 0, a = 5, b = 17. x 5y + 9 = 0, 5x + y 7 = 0, a = 5, b = 18. x + 4y = 0, 4x y 4 = 0, a =, b = x y + 1 = 0, x + y 8 = 0, a =, b = 1 0. x + y 1 = 0, x y = 0, a = 4, b = 1. x + y + 5 = 0, x y 5 = 0, a =, b = 1. 5x + y + 8 = 0, x 5y + 9 = 0, a =, b =. x 5y 5 = 0, 5x + y + = 0, a = 4, b = 4. 4x + y 6 = 0, x 4y + 8 = 0, a = 4, b = 5. x y + = 0, x + y + 1 = 0, a =, b = x + 4y = 0, 4x 5y + 14 = 0, a =, b = 1 7. x + y 1 = 0, x y + 7 = 0, a =, b = 1 8. x y 1 = 0, x + y 1 = 0, a =, b = 9. x + y + 4 = 0, x y + 6 = 0, a = 4, b = 1 0. x y 7 = 0, x + y 1 = 0, a = 5, b =. 50

51 Задание 1 Составить уравнение эллипса, если даны фокусы F 1 (x 1, y 1 и F (x, y и известно, что его большая ось равна a : 1. ( 4, 6, (, 4, 8. (, 0, (0,, 6. (,, (, 6, 6 4. (1, 0, (0, 1, 5. (, 1, ( 4, 6, 1 6. (4, 0, (0,, 6 7. (, 6, (4, 4, 6 8. (6, 0, (0, 4, (, 1, ( 1, 7,. (4, 0, (0,, 11. ( 5, 4, ( 1,, 6 1. (8, 0, (0, 6, 1. (, 8, (6, 16, (, 0, (0,, (5, 1, (1,, 16. (6, 0, (0, 4, ( 1, 5, (, 17, (4, 0, (0,, 19. (1,, (5,, ( 4, 0, (0, 6, 1 1. ( 5,, (1, 0, 8. (, 0, (0,, 4. (,, (8, 4, 4. ( 6, 0, (0, 8, 1 5. (, 5, (, 1, 8 6. (, 0, (0, 4, 8 7. (1,, ( 5, 7, 8. (, 0, (0, 4, 6 9. (, 1, (6, 1, (4, 1, (0,, 6. 51

52 Задание Написать уравнение параболы, проходящей через две данные точки (x 1, y 1 и (x, y, если ее осью симметрии служит прямая Ax + By + C = 0 : 1. x y + = 0, (0, 18, (9, 0. x + y + 1 = 0, (0, 0, (0,( 1 7. x + y 1 = 0, (0,,, 0 4. x + y + 4 = 0, (1, 0, ( 1, 4 5. x y 1 = 0, (, 1, (, 5 6. x 4y + 7 = 0, ( 1, 1, ( 1, 0 7. x + y 7 = 0, (, 1, ( 1, 1 8. x y = 0, ( 1, 0, (0, 9. x y + = 0, (0, 18, ( 6, 0. x + y 1 = 0, (0,, ( 9, 0 ( 11. x y 1 = 0, (, 0, 0, 9 1. x + y 1 = 0, (0, 0, (1, 1. x y + = 0, (,, (6, x y + 6 = 0, (,, ( 5, x + y = 0, (1, 1, (, x y + = 0, (0,, (9 (, x + y 1 = 0, (0, 1,, 0 ( 18. x y 1 = 0, (, 0, 0, x y + = 0, (0, 6, (4, 0. x + y 4 = 0, (9, 0, (0, 1. x y + 6 = 0, (0, 0, (, 0. x y + = 0, (0,, ( 6, 0. x + y 1 = 0, (0, 1,, 0 ( 7 4. x y + 1 = 0,, 0, (6, 1 5

53 5. x + y + 1 = 0, (15, 0, (0, 9 6. x 4y + 6 = 0, (0,, (, 0 7. x y + 1 = 0, (, 4, (0, 8. x + y + 1 = 0, (15, 0, (0, 5 9. x + y 1 = 0, (, 0, (0, 1 0. x y + 4 = 0, ( 1, 1, (5, 1. Задание Написать уравнение гиперболы, зная ее ось, асимптоту и точку, через которую она проходит: 1. x y 1 = 0, y = 0, (1,. x + y 4 = 0, y = 0, (,. x y + = 0, y = 0, (1, 1 4. x y + 4 = 0, x = 0, (6, 5 5. x y 1 = 0, y = 0, (5, 6. x + y + 1 = 0, y = 0, (0, 7. x + y 6 = 0, x = 0, (, 8. x y + 1 = 0, x = 0, (1, 4 9. x + y = 0, y = 0, (, 1. x y + = 0, y = 0, (, x y + 4 = 0, x + y = 0, (, 5 1. x y 1 = 0, y = 0, (0, 1. x + y 6 = 0, x = 0, (1, 14. x y 4 = 0, y = 0, (, x y + 4 = 0, x = 0, (6, x y + = 0, y = 0, (, 17. x y 1 = 0, x = 1, (5, 18. x + y = 0, x = 0, (, 4 19 x + y 4 = 0, y = 0, (, 1 0. x y + = 0, x = 1, (0, 1. x + y 6 = 0, x = 0, (, 4. x + y = 0, x = 1, (5, 4. x y 4 = 0, x y 8 = 0, (7, 4. x + y 6 = 0, x + y = 0, (9, 5

54 5. x + y + 1 = 0, x = 1, (1, 1 6. x y + 1 = 0, y = 1, (1, 4 7. x + y 4 = 0, y = 0, ( 1, 8. x + y 6 = 0, y =, ( 1, 1 9 x + y 4 = 0, x y 8 = 0, (5, 1 0. x y + = 0, y =, (4, 1. Задание 4 Составить уравнение гиперболы, если даны ее фокусы и известно, что ее асимптоты параллельны осям координат: 1. (, 0, (0,. (, 0, (0,. ( 4, 0, (0, 4 4. (6, 0, (0, 6 5. (1, 0, (0, 1 6. (,, ( 1, 1 7. ( 7, 1, (, 6 8. (5, 1, (1, 5 9. (6, 1, (,. ( 9,, ( 4, 11. ( 5,, (, 4 1. (7,, ( 1, 1. (4, 0, (0, (, 0, (0, 15. ( 5, 0, (0, (7, 5, (, ( 4, 0, (0, ( 7, 0, (0, (8, 0, (0, 8 0. (, 1, (1, 1. ( 1, 4, (, 7. (, 5, (, 1. (4, 0, (0, 4 4. (6, 1, (, 54

55 5. ( 8, 0, (0, 8 6. (, 0, (0, 7. (1, 0, (0, 1 8. (5, 4, (, 4 9. (,, (7, 6 0. ( 5, 5, (6, 6. Задание 5 Составить уравнение гиперболы, если даны ее фокусы и известно, что одна из ее асимптот параллельна оси Ox (Oy : 1. (, 0, (0, 4, Ox. (5,, (1, 5, Oy. ( 5,, ( 1, 4, Oy 4. ( 1, 1, (1,, Ox 5. (1,, ( 1,, Oy 6. (4, 0, (0,, Ox 7. ( 6, 0, (0, 4, Oy 8. ( 4, 0, (0,, Ox 9. ( 4, 0, (0,, Ox. (6, 0, (0,, Oy 11. (, 0, (0, 4, Oy 1. ( 4, 0, (0,, Oy 1. (1, 1, ( 1, 5, Ox 14. (,, (1,, Oy 15. ( 1, 4, (,, Ox 16. ( 4, 0, (0, 6, Oy 17. (6, 1, (,, Ox 18. (, 0, (1, 6, Ox 19. ( 5,, (0, 5, Oy 0. ( 4, 0, (0, 6, Ox 1. (8, 0, (0, 4, Oy. ( 8, 0, (0,, Oy. (6, 0, (0,, Ox 4. (, 0, (0, 6, Oy 55

56 5. (, 1, ( 1, 9, Ox 6. (8,, (, 7, Oy 7. (,, (, 5, Ox 8. (4, 0, (0, 8, Oy 9. (, 0, (0, 4, Oy 0. ( 1, 0, (0, 6, Ox. Задание 6 Написать уравнение равносторонней гиперболы, зная ее фокус и асимптоту: 1. (5, 11, x y = 0. (4, 1, x y 1 = 0. (1, 4, x y + 4 = 0 4. (0, 1, 4x y + 11 = 0 5. (,, 4x y + = 0 6. (,, 5x y 4 = 0 7. (, 8, 5x + y + = 0 8. (, 8, 5x y 5 = 0 9. (,, x y = 0. (4, 6, x y 1 = (,, x y + 4 = 0 1. (5,, 4x y + 11 = 0 1. ( 5, 1, 4x y + = (4,, 5x y 4 = (6,, 5x + y + = (5, 1, 5x y 5 = (5, 11, x + y 11 = (4, 1, x + y 17 = (1, 4, x + y = 0 0. (0, 1, x + 4y + = 0 1. (,, x + 4y 8 = 0. (,, x + 5y 6 = 0. (, 8, x 5y + 7 = 0 4. (, 8, x + 5y = 0 56

57 5. (,, x + y 11 = 0 6. (4, 6, x + y 17 = 0 7. (,, x + y = 0 8. (5,, x + 4y + = 0 9. ( 5, 1, x + 4y 8 = 0 0. (4,, x + 5y 6 = 0. Задание 7 Составить уравнение кривой в полярных координатах, если дано ее каноническое уравнение: 1. x 5 + y 400. x 1 y 7 = x 81 + y 45 = 1 = x 15 y 60 = 1. x 48 + y 4 = x y 7 = 1 4. x 6 y = 1 8 x y 96 = 1 5. y = 4x 0. y = 1x 6. x 8 + y 16 = 1 1. x 8 + y 64 = 1 7. x 64 y 144 = 1. x 16 y 64 = 1 8. x 6 + y 18 = 1. x y 81 = 1 9. x y = 1 7 x 4. 1 y 48 = 1. y = x 5. y = 14x 11. x 4 + y 1 = 1 6. x 94 + y 49 = 1 1. x 60 y = 1 7. x 7 y 8 = 1 x 11 + y 64 = 1 8. x 45 + y 196 = 1 57

58 14. x 8 y = 1 x 9. y 18 = y = 6x 0. y = 8x. Задание 8 Составить каноническое уравнение кривой, если дано ее уравнение в полярных координатах: 9 1. ρ = 1 cos θ 16. ρ = 5 1 cos θ 1. ρ = 6 7cos θ 17. ρ = 9 5 8cos θ 11. ρ = 6 5cos θ 18. ρ = 14 4 cos θ ρ = 4cos θ 19. ρ = cos θ 9 5. ρ = 5 4cos θ 0. ρ = cos θ 6. ρ = 1 cos θ 1. ρ = 1 cos θ ρ = cos θ. ρ = cos θ 1 8. ρ = 7 6cos θ. ρ = 9 7cos θ 9. ρ = 5cos θ 4. ρ = cos θ 4. ρ = 7 5cos θ 5. ρ = 15 cos θ ρ = 1 cos θ 6. ρ = 1 1 cos θ ρ = 5 6cos θ 7. ρ = cos θ 1. ρ = 7 4cos θ 8. ρ = cos θ ρ = 5 7cos θ 9. ρ = 1 11cos θ 58

59 15. ρ = 9 8 5cos θ 0. ρ = 19 9cos θ. Список литературы 1. Яблокова, С. И. Лекции по курсу "Аналитическая геометрия". Ч. 1 / С. И. Яблокова. Ярославль: ЯрГУ, 00.. Яблокова, С. И. Лекции по курсу "Аналитическая геометрия". Ч. / С. И. Яблокова. Ярославль: ЯрГУ, 00.. Ильин, В. А. Аналитическая геометрия/ В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. М.: Наука, Александров, П. С. Лекции по аналитической геометрии/ П. С. Александров. М.: Наука, Александров, П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры/ П. С. Александров. М.: Наука,

60 Учебное издание Составитель Яблокова Светлана Ивановна Кривые второго порядка Часть I Методические указания Редактор, корректор М. В. Никулина Верстка С. И. Яблокова Подписано в печать Формат Усл. печ. л. 6,97. Уч.-изд. л.,0. Тираж 50 экз. Заказ Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе ЯрГУ. Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова , Ярославль, ул. Советская, 14.

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ Глава ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ.1. Эллипс, гипербола, парабола Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F 1 и F есть постоянная

Подробнее

Кривые второго порядка.

Кривые второго порядка. Кривые второго порядка. Определение : Линией кривой) второго порядка называется множество {М} точек плоскости, декартовы координаты X, Y) которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:,

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 9 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 1. Каноническое уравнение эллипса Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, сумма расстояний от каждой

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a.

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a. Занятие 12 Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F 1 и F 2, называемых

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Уравнения кривых второго порядка Окружность Определение Окружность это геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности, на расстоянии r

Подробнее

Лекция 11: Гипербола

Лекция 11: Гипербола Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции изучается еще одна кривая второго порядка гипербола.

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4 ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность... 1.Эллипс... 1 3.Гипербола.... 4.Парабола.... 4 1.Окружность Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс. 1.1. Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Лекция 12: Парабола. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 12: Парабола. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции изучается третья кривая второго порядка парабола.

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Пахомова Е.Г. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кривые второго порядка Индивидуальные

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Казань 008 0 Казанский государственный университет Кафедра общей математики Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Екатеринбург

Подробнее

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL.

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL. Лекция 9 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка»

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Математика и финансовые приложения Е.С. Волкова Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» Москва 00 Аннотация Курс лекций содержит

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ!УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Подробнее

Лекция 11 M L G K M C

Лекция 11 M L G K M C Лекция 11 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические рекомендации к практическим занятиям

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

x2 a 2) ( x + x 2 a 2) x 2 a 2 =

x2 a 2) ( x + x 2 a 2) x 2 a 2 = 44. Гипербола Определение. Гиперболой называется множество всех точек на плоскости, координаты которых в подходящей системе координат удовлетворяют уравнению 2 2 y2 = 1, (1) b2 где, b > 0. Это уравнение

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики НЛ Воронцова АВ Маргулян НК Орехова ЕС Филимонова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30 Аналитическая геометрия Прямые и плоскости Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 2 / 30 Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 3 / 30 Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1 ) и M 2 (x 2, y 2 )

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

Подробнее

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость»,

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», «Кривые и поверхности второго порядка». Под индивидуальными

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра дискретного анализа ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Задачи Ярославль Составитель канд.

Подробнее

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Подробнее

Контрольная 1 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень 2014

Контрольная 1 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень 2014 Вариант 1 Задача 1. Дать геометрическое определение эллипса. Задача 2. Доказать с помощью шаров Данделена, что эллипс возникает как коническое сечение. Задача 3. Доказать, что множество точек P, из которых

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса;

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса; эллипса КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная,

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Контрольная работа 3

Контрольная работа 3 Контрольная работа 3 ВАРИАНТ 1 Составить уравнение прямой, перпендикулярной и проходящей через точку пересечения прямых и.. Записать уравнение прямой проходящей через точки и и найти расстояние от точки

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М. ГУБКИНА Кафедра высшей математики Д.Л. БЕЛОЦЕРКОВСКИЙ КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ Методическое

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Лекция 10: Эллипс. Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики. Б.М.

Лекция 10: Эллипс. Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики. Б.М. Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В трех предыдущих лекциях изучались прямые и плоскости, т.е.

Подробнее

С.А. Зотова, В. Б. Светличная, Т. А. Матвеева ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

С.А. Зотова, В. Б. Светличная, Т. А. Матвеева ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ С.А. Зотова В. Б. Светличная Т. А. Матвеева ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Волгоград МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения А. В. Мезенцев П. П. Скачков Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические рекомендации

Подробнее

Учебно-методическое пособие

Учебно-методическое пособие САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ "ОБРАЗОВАНИЕ" Проект «Инновационная образовательная среда в классическом университете» Пилотный проект «Разработка и внедрение

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

Глава 3. Геометрические преобразования

Глава 3. Геометрические преобразования Глава 3. Геометрические преобразования Пусть дана прямоугольная система координат O на плоскости или Oz в пространстве. В теории геометрических преобразований рассматриваются две основные задачи, которые

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

2. Эллипс и его свойства

2. Эллипс и его свойства . Эллипс и его свойства Определение.. Эллипсом называется кривая второго порядка, определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением b, b 0. (.) Равенство (.) называется каноническим

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против ЛЕКЦИЯ 9 Уравнение прямой на плоскости угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть дана некоторая прямая L Углом наклона прямой L к оси O называется α, отсчитываемый от положительного направления

Подробнее

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Методические указания и задания по аналитической геометрии для студентов 1-го курса Агапова Елена Григорьевна Битехтина Екатерина Андреевна 3 Введение

Подробнее

a 2 - малая полуось эллипса, b 2 - большая полуось эллипса. Фокусы эллипса лежат на прямой, параллельной оси Oy, т.к. b a.

a 2 - малая полуось эллипса, b 2 - большая полуось эллипса. Фокусы эллипса лежат на прямой, параллельной оси Oy, т.к. b a. 1) Привести уравнение кривой второго порядка x 4x y 0 к каноническому виду и найти точки пересечения её с прямой x y 0. Выполните графическую иллюстрацию полученного решения. x 4x y 0 x x 1 y 0 x 1 y 4

Подробнее

49. Цилиндрические и конические поверхности

49. Цилиндрические и конические поверхности 49. Цилиндрические и конические поверхности 1. Цилиндрические поверхности Определение. Пусть в пространстве заданы линия l и ненулевой вектор a. Поверхность, образованная прямыми, проходящими через всевозможные

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее